உபகரணங்கள்:

• கணினி,
• மல்டிமீடியா ப்ரொஜெக்டர்,
• திரை,
• இணைப்பு 1(பவர்பாயிண்ட் ஸ்லைடு விளக்கக்காட்சி) “அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்”
• இணைப்பு 2(வேர்டில் உள்ள "மூன்று வெவ்வேறு அடிப்படை சக்திகள்" போன்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது)
• இணைப்பு 3(வார்டில் உள்ள கையேடு செய்முறை வேலைப்பாடு).
• இணைப்பு 4(வீட்டுப்பாடத்திற்கான வார்த்தையில் கையேடு).

வகுப்புகளின் போது

• பாடம் தலைப்பின் செய்தி (பலகையில் எழுதப்பட்டது),
• 10-11 வகுப்புகளில் பொதுப் பாடத்தின் தேவை:

செயலில் கற்றலுக்கு மாணவர்களை தயார்படுத்தும் நிலை

மீண்டும் மீண்டும்

வரையறை.

அதிவேக சமன்பாடு என்பது ஒரு அதிவேகத்துடன் (மாணவர் பதில்கள்) மாறியைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடாகும்.

ஆசிரியரின் குறிப்பு. அதிவேக சமன்பாடுகள் ஆழ்நிலை சமன்பாடுகளின் வகுப்பைச் சேர்ந்தவை. இந்த உச்சரிக்க முடியாத பெயர், அத்தகைய சமன்பாடுகளை, பொதுவாக பேசினால், சூத்திரங்களின் வடிவத்தில் தீர்க்க முடியாது என்று கூறுகிறது.

கணினிகளில் உள்ள எண் முறைகள் மூலம் மட்டுமே அவற்றைத் தீர்க்க முடியும். ஆனால் தேர்வு பணிகள் பற்றி என்ன? தந்திரம் என்னவென்றால், தேர்வாளர் சிக்கலை ஒரு பகுப்பாய்வு தீர்வை அனுமதிக்கும் வகையில் வடிவமைக்கிறார். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த அதிவேக சமன்பாட்டை எளிய அதிவேக சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கும் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களை நீங்கள் செய்யலாம் (மற்றும் வேண்டும்!). இந்த எளிய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது: எளிமையான அதிவேக சமன்பாடு. அது தீர்க்கப்பட்டு வருகிறது மடக்கை மூலம்.

ஒரு அதிவேக சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூழ்நிலை ஒரு தளம் வழியாக பயணிப்பதை நினைவூட்டுகிறது, இது சிக்கலின் ஆசிரியரால் சிறப்பாகக் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இந்த பொதுவான வாதங்களில் இருந்து மிகவும் குறிப்பிட்ட பரிந்துரைகளைப் பின்பற்றவும்.

1. அனைத்து அதிவேக அடையாளங்களையும் தீவிரமாக அறிவது மட்டுமல்லாமல், இந்த அடையாளங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட மாறி மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும், இதனால் இந்த அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தும் போது நீங்கள் தேவையற்ற வேர்களைப் பெற மாட்டீர்கள், இன்னும் அதிகமாக, தீர்வுகளை இழக்காதீர்கள். சமன்பாட்டிற்கு.

2. அனைத்து அதிவேக அடையாளங்களையும் செயலில் அறிந்து கொள்ளுங்கள்.

3. தெளிவாக, விரிவாக மற்றும் பிழைகள் இல்லாமல், சமன்பாடுகளின் கணித மாற்றங்களை மேற்கொள்ளுங்கள் (சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு சொற்களை மாற்றவும், அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காமல், பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருதல் போன்றவை). இது கணித கலாச்சாரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதே நேரத்தில், கணக்கீடுகள் தானாக கையால் செய்யப்பட வேண்டும், மேலும் தீர்வுக்கான பொதுவான வழிகாட்டி நூலைப் பற்றி தலை சிந்திக்க வேண்டும். மாற்றங்கள் முடிந்தவரை கவனமாகவும் விரிவாகவும் செய்யப்பட வேண்டும். இது மட்டுமே சரியான, பிழையற்ற முடிவிற்கு உத்தரவாதம் அளிக்கும். மேலும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: ஒரு சிறிய எண்கணிதப் பிழையானது, கொள்கையளவில், பகுப்பாய்வு ரீதியாக தீர்க்க முடியாத ஒரு ஆழ்நிலை சமன்பாட்டை உருவாக்க முடியும். நீங்கள் உங்கள் வழியை இழந்து தளத்தின் சுவரில் மோதிவிட்டீர்கள் என்று மாறிவிடும்.

4. சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை அறிந்து கொள்ளுங்கள் (அதாவது, தீர்வு பிரமை மூலம் அனைத்து பாதைகளையும் அறிந்து கொள்ளுங்கள்). ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் சரியாகச் செல்ல, நீங்கள் (உணர்வோடு அல்லது உள்ளுணர்வுடன்!):

• வரையறு சமன்பாடு வகை;
• தொடர்புடைய வகையை நினைவில் கொள்க தீர்வு முறைபணிகள்.

ஆய்வு செய்யப்பட்ட பொருளின் பொதுமைப்படுத்தல் மற்றும் முறைப்படுத்தலின் நிலை.

ஆசிரியர், கணினியைப் பயன்படுத்தும் மாணவர்களுடன் சேர்ந்து, அனைத்து வகையான அதிவேக சமன்பாடுகளையும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளையும் மதிப்பாய்வு செய்கிறார், தொகுக்கிறார். பொது திட்டம். (பயன்படுத்தப்பட்ட பயிற்சி கணினி நிரல் L.Ya Borevsky "கணிதம் பாடநெறி - 2000", PowerPoint விளக்கக்காட்சியின் ஆசிரியர் T.N. குப்ட்சோவா.)

அரிசி. 1.அனைத்து வகையான அதிவேக சமன்பாடுகளின் பொதுவான வரைபடத்தை படம் காட்டுகிறது.

இந்த வரைபடத்தில் இருந்து பார்க்க முடியும், அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உத்தி, கொடுக்கப்பட்ட அதிவேக சமன்பாட்டை சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பதாகும், முதலில், டிகிரிகளின் அதே அடிப்படைகளுடன் , பின்னர் - மற்றும் அதே டிகிரி குறிகாட்டிகளுடன்.

அதே அடிப்படைகள் மற்றும் அடுக்குகளுடன் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெற்ற பிறகு, இந்த அடுக்குகளை ஒரு புதிய மாறியுடன் மாற்றி, இந்த புதிய மாறியைப் பொறுத்து ஒரு எளிய இயற்கணித சமன்பாட்டை (பொதுவாக பின்னம்-பகுத்தறிவு அல்லது இருபடி) பெறுவீர்கள்.

இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்த பிறகு, நீங்கள் தீர்க்கக்கூடிய எளிய அதிவேக சமன்பாடுகளின் தொகுப்புடன் முடிவடையும். பொதுவான பார்வைமடக்கையைப் பயன்படுத்தி.

(பகுதி) சக்திகளின் தயாரிப்புகள் மட்டுமே காணப்படும் சமன்பாடுகள் தனித்து நிற்கின்றன. அதிவேக அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாடுகளை உடனடியாக ஒரு அடிப்படையில், குறிப்பாக, எளிமையான அதிவேக சமன்பாட்டிற்கு குறைக்க முடியும்.

மூன்று வெவ்வேறு தளங்களைக் கொண்ட அதிவேக சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் பார்ப்போம்.

(ஆசிரியரிடம் L.Ya. Borevsky “கணிதம் பாடநெறி - 2000” இன் கல்வி கணினி நிரல் இருந்தால், இயற்கையாகவே நாங்கள் வட்டுடன் வேலை செய்கிறோம், இல்லையென்றால், ஒவ்வொரு மேசைக்கும் இந்த வகையான சமன்பாட்டை அச்சிடலாம், கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.)

அரிசி. 2.சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான திட்டம்.

அரிசி. 3.சமன்பாட்டைத் தீர்க்கத் தொடங்குங்கள்

அரிசி. 4.சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதை முடிக்கவும்.

நடைமுறை வேலைகளைச் செய்வது

சமன்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானித்து அதைத் தீர்க்கவும்.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

பாடத்தை சுருக்கவும்

பாடத்திற்கான தரப்படுத்தல்.

பாடத்தின் முடிவு

ஆசிரியருக்கு

பதில் திட்டத்தைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்.

உடற்பயிற்சி:சமன்பாடுகளின் பட்டியலிலிருந்து, குறிப்பிட்ட வகையின் சமன்பாடுகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (அட்டவணையில் பதில் எண்ணை உள்ளிடவும்):

1. மூன்று வெவ்வேறு டிகிரி அடிப்படைகள்
2. இரண்டு வெவ்வேறு அடிப்படைகள் - வெவ்வேறு குறிகாட்டிகள்டிகிரி
3. அதிகாரங்களின் அடிப்படைகள் - ஒரு எண்ணின் சக்திகள்
4. அதே அடிப்படைகள் - வெவ்வேறு அடுக்குகள்
5. அதே டிகிரி அடிப்படைகள் - அதே டிகிரி குறிகாட்டிகள்
6. அதிகாரங்களின் தயாரிப்பு
7. இரண்டு வெவ்வேறு டிகிரி அடிப்படைகள் - அதே குறிகாட்டிகள்
8. எளிமையான அதிவேக சமன்பாடுகள்

1. (அதிகாரங்களின் தயாரிப்பு)

2. (ஒரே அடிப்படைகள் - வெவ்வேறு அடுக்குகள்)

விரிவுரை: "அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்."

1 . அதிவேக சமன்பாடுகள்.

அடுக்குகளில் அறியப்படாத சமன்பாடுகள் அதிவேக சமன்பாடுகள் எனப்படும். அவற்றில் எளிமையானது ax = b என்ற சமன்பாடு ஆகும், இங்கு a > 0, a ≠ 1.

1) பி< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 க்கு, செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் ரூட் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாடு தனித்துவமான ரூட்டைக் கொண்டுள்ளது. அதைக் கண்டுபிடிக்க, b = aс, аx = bс ó x = c அல்லது x = logab வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட வேண்டும்.

இயற்கணித மாற்றங்களின் மூலம் அதிவேக சமன்பாடுகள் நிலையான சமன்பாடுகளுக்கு வழிவகுக்கும், அவை பின்வரும் முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகின்றன:

1) ஒரு தளத்திற்கு குறைக்கும் முறை;

2) மதிப்பீட்டு முறை;

3) வரைகலை முறை;

4) புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்தும் முறை;

5) காரணியாக்குதல் முறை;

6) குறிகாட்டி - சக்தி சமன்பாடுகள்;

7) ஒரு அளவுருவுடன் ஆர்ப்பாட்டம்.

2 . ஒரு தளத்திற்கு குறைக்கும் முறை.

முறை அடிப்படையாக கொண்டது பின்வரும் சொத்துடிகிரி: இரண்டு டிகிரி சமம் மற்றும் அவற்றின் அடிப்படைகள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் அடுக்குகள் சமமாக இருக்கும், அதாவது, சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு குறைக்க முயற்சிக்க வேண்டும்

எடுத்துக்காட்டுகள். சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

1 . 3x = 81;

சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தை 81 = 34 வடிவத்தில் குறிப்பிடுவோம் மற்றும் அசல் 3 x = 34 க்கு சமமான சமன்பாட்டை எழுதுவோம்; x = 4. பதில்: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">மேலும் 3x+1 = 3 – 5x; 8x = அடுக்குகளுக்கான சமன்பாட்டிற்குச் செல்லலாம். 4; x = 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

0.2, 0.04, √5 மற்றும் 25 எண்கள் 5 இன் சக்திகளைக் குறிக்கின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இதைப் பயன்படுத்தி, அசல் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மாற்றுவோம்:

, எங்கிருந்து 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, இதிலிருந்து x = -1 என்ற தீர்வைக் காண்கிறோம். பதில்:-1.

5. 3x = 5. மடக்கையின் வரையறையின்படி, x = பதிவு35. பதில்: பதிவு35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

சமன்பாட்டை 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம், அதாவது..png" width="181" height="49 src="> எனவே x – 4 =0, x = 4. பதில்: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. அதிகாரங்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டை 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 வடிவில் எழுதுகிறோம், பின்னர் 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, அதாவது x+1 = 2, x =1. பதில்: 1.

பிரச்சனை வங்கி எண். 1.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

சோதனை எண். 1.

சோதனை எண். 2

3 மதிப்பீட்டு முறை.

ரூட் தேற்றம்: இடைவெளி I இல் f(x) சார்பு அதிகரித்தால் (குறைந்தால்), எண் a என்பது இந்த இடைவெளியில் f ஆல் எடுக்கப்பட்ட எந்த மதிப்பாகும், பின்னர் f(x) = a என்ற சமன்பாடு I இடைவெளியில் ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

மதிப்பீட்டு முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​இந்த தேற்றம் மற்றும் செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள். சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்: 1. 4x = 5 – x.

தீர்வு. சமன்பாட்டை 4x +x = 5 என மீண்டும் எழுதுவோம்.

1. x = 1 என்றால், 41+1 = 5, 5 = 5 என்பது உண்மை, அதாவது 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர்.

செயல்பாடு f(x) = 4x – R இல் அதிகரிக்கிறது, மற்றும் g(x) = x – R இல் அதிகரிக்கிறது => h(x)= f(x)+g(x) R இல் அதிகரிக்கிறது, அதிகரிக்கும் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாக, பின்னர் x = 1 என்பது 4x = 5 – x சமன்பாட்டின் ஒரே ரூட் ஆகும். பதில்: 1.

2.

தீர்வு. சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் .

1. x = -1 என்றால், பிறகு , 3 = 3 என்பது உண்மை, அதாவது x = -1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர்.

2. அவர் மட்டுமே என்பதை நிரூபிக்கவும்.

3. செயல்பாடு f(x) = - R இல் குறைகிறது, மற்றும் g(x) = - x – R=> h(x) = f(x)+g(x) இல் குறைகிறது – R இல் குறைகிறது, இதன் கூட்டுத்தொகையாக செயல்பாடுகளை குறைத்தல். இதன் பொருள், மூல தேற்றத்தின்படி, சமன்பாட்டின் ஒரே வேர் x = -1 ஆகும். பதில்:-1.

பிரச்சனை வங்கி எண். 2. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்தும் முறை.

முறை பத்தி 2.1 இல் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு புதிய மாறியின் அறிமுகம் (மாற்று) பொதுவாக சமன்பாட்டின் விதிமுறைகளின் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு (எளிமைப்படுத்துதல்) மேற்கொள்ளப்படுகிறது. உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டுகள். ஆர்சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: 1. .

சமன்பாட்டை வேறுவிதமாக மாற்றி எழுதுவோம்: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

தீர்வு. சமன்பாட்டை வேறுவிதமாக மீண்டும் எழுதுவோம்:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - பொருத்தமானதல்ல என்று குறிப்பிடுவோம்.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடு. அதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்

சமன்பாட்டின் தீர்வு x = 2.5 ≤ 4 ஆகும், அதாவது 2.5 என்பது சமன்பாட்டின் வேர். பதில்: 2.5.

தீர்வு. சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் மற்றும் இரு பக்கங்களையும் 56x+6 ≠ 0 ஆல் வகுப்போம். சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் t1 = 1 மற்றும் t2 ஆகும்<0, т. е..png" width="200" height="24">.

தீர்வு . சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்

மற்றும் இது இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு என்பதைக் கவனியுங்கள்.

சமன்பாட்டை 42x ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> ஐ மாற்றுவோம்.

பதில்: 0; 0.5

பிரச்சனை வங்கி எண். 3. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

b)

ஜி)

சோதனை எண். 3 ஒரு தேர்வு பதில்களுடன். குறைந்தபட்ச நிலை.

சோதனை எண். 4 ஒரு தேர்வு பதில்களுடன். பொது நிலை.

5. காரணிப்படுத்தல் முறை.

1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 5x+1 - 5x-1 = 24.

தீர்வு..png" width="169" height="69"> , எங்கிருந்து

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் அடைப்புக்குறிக்குள் 6x மற்றும் வலது பக்கத்தில் 2x ஐ வைப்போம். 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

அனைத்து x க்கும் 2x >0 என்பதால், தீர்வுகளை இழக்க நேரிடும் என்ற அச்சமின்றி இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2x ஆல் வகுக்க முடியும். நமக்கு 3x = 1ó x = 0 கிடைக்கும்.

3.

தீர்வு. காரணிமயமாக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

பைனோமியலின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம்

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 என்பது சமன்பாட்டின் வேர்.

சமன்பாடு x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

சோதனை எண். 6 பொது நிலை.

6. அதிவேக - சக்தி சமன்பாடுகள்.

அதிவேக சமன்பாடுகளுக்கு அருகில் அதிவேக-சக்தி சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அதாவது, வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

f(x)>0 மற்றும் f(x) ≠ 1 என்று தெரிந்தால், சமன்பாடு, அதிவேக ஒன்று போன்றது, g(x) = f(x) என்ற அடுக்குகளை சமன் செய்வதன் மூலம் தீர்க்கப்படும்.

நிபந்தனை f(x)=0 மற்றும் f(x)=1 ஆகியவற்றின் சாத்தியத்தை விலக்கவில்லை என்றால், ஒரு அதிவேக சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது இந்த நிகழ்வுகளை நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

1..png" அகலம்="182" உயரம்="116 src=">

2.

தீர்வு. x2 +2x-8 – எந்த xக்கும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் அது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, அதாவது சமன்பாடு மொத்தத்திற்கு சமம்

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. அளவுருக்கள் கொண்ட அதிவேக சமன்பாடுகள்.

1. p அளவுருவின் எந்த மதிப்புகளுக்கு சமன்பாடு 4 (5 - 3)2 +4p2-3p = 0 (1) உள்ளது ஒரே முடிவு?

தீர்வு. மாற்றீடு 2x = t, t > 0 ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம், பின்னர் சமன்பாடு (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

சமன்பாட்டின் பாகுபாடு (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

சமன்பாடு (2) ஒரு நேர்மறை மூலத்தைக் கொண்டிருந்தால், சமன்பாடு (1) தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் இது சாத்தியமாகும்.

1. D = 0, அதாவது p = 1 எனில், சமன்பாடு (2) t2 – 2t + 1 = 0 வடிவத்தை எடுக்கும், எனவே t = 1, எனவே, சமன்பாடு (1) x = 0 என்ற தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது.

2. p1 என்றால், 9(p – 1)2 > 0, பின்னர் சமன்பாடு (2) இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது t1 = p, t2 = 4p – 3. சிக்கலின் நிபந்தனைகள் அமைப்புகளின் தொகுப்பால் திருப்திப்படுத்தப்படுகின்றன.

கணினிகளில் t1 மற்றும் t2 ஐ மாற்றுவது, எங்களிடம் உள்ளது

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

தீர்வு. விடுங்கள் பின்னர் சமன்பாடு (3) t2 – 6t – a = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். (4)

குறைந்தபட்சம் ஒரு சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமான (4) நிபந்தனை t > 0 ஐ பூர்த்தி செய்யும் அளவுருவின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

f(t) = t2 – 6t – a செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம். பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} இருபடி முக்கோணம் f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

வழக்கு 2. சமன்பாடு (4) தனித்துவமானது நேர்மறையான முடிவு, என்றால்

D = 0, a = – 9 எனில், சமன்பாடு (4) வடிவத்தை எடுக்கும் (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

வழக்கு 3. சமன்பாடு (4) இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் அவற்றில் ஒன்று சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யவில்லை t > 0. இது சாத்தியம் என்றால்

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

எனவே, a 0க்கு, சமன்பாடு (4) ஒற்றை நேர்மறை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது . பின்னர் சமன்பாடு (3) ஒரு தனிப்பட்ட தீர்வு உள்ளது

எப்போது ஏ< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ஒரு என்றால்< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 என்றால், x = – 1;

ஒரு  0 என்றால், பின்னர்

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (3) தீர்க்கும் முறைகளை ஒப்பிடுவோம். சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது (1) ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்பட்டது, அதன் பாகுபாடு ஒரு சரியான சதுரம்; எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்கள் (2) உடனடியாக ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்டன, பின்னர் இந்த வேர்கள் குறித்து முடிவுகள் எடுக்கப்பட்டன. சமன்பாடு (3) ஒரு இருபடி சமன்பாடு (4) ஆகக் குறைக்கப்பட்டது, அதன் பாகுபாடு ஒரு சரியான சதுரம் அல்ல, எனவே, சமன்பாட்டை (3) தீர்க்கும் போது, ​​ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்களின் இருப்பிடத்தில் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்துவது நல்லது. மற்றும் ஒரு வரைகலை மாதிரி. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடு (4) தீர்க்கப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க.

மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்போம்.

சிக்கல் 3: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு. ODZ: x1, x2.

ஒரு மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம். 2x = t, t > 0 ஆக இருக்கட்டும், பின்னர் மாற்றங்களின் விளைவாக சமன்பாடு t2 + 2t – 13 – a = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். (*) குறைந்தபட்சம் ஒரு ரூட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம். சமன்பாடு (*) நிபந்தனை t > 0 ஐ பூர்த்தி செய்கிறது.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

பதில்: a > – 13, a  11, a  5 எனில், a ​​– 13 எனில்,

a = 11, a = 5, பின்னர் வேர்கள் இல்லை.

நூல் பட்டியல்.

1. கல்வி தொழில்நுட்பத்தின் Guzeev அடித்தளங்கள்.

2. Guzeev தொழில்நுட்பம்: வரவேற்பு முதல் தத்துவம் வரை.

எம். “பள்ளி இயக்குநர்” எண். 4, 1996

3. Guzeev மற்றும் நிறுவன வடிவங்கள்பயிற்சி.

4. Guzeev மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கல்வி தொழில்நுட்பத்தின் நடைமுறை.

எம். “பொதுக் கல்வி”, 2001

5. ஒரு பாடத்தின் வடிவங்களில் இருந்து Guzeev - கருத்தரங்கு.

பள்ளி எண். 2, 1987 பக். 9 - 11 இல் கணிதம்.

6. Seleuko கல்வி தொழில்நுட்பங்கள்.

எம். “பொதுக் கல்வி”, 1998

7. எபிஷேவா பள்ளிக் குழந்தைகள் கணிதம் படிக்க.

எம். "அறிவொளி", 1990

8. Ivanova பாடங்கள் தயார் - பட்டறைகள்.

பள்ளி எண். 6 இல் கணிதம், 1990 பக். 37 - 40.

9. கணிதம் கற்பிக்கும் ஸ்மிர்னோவின் மாதிரி.

பள்ளி எண். 1 இல் கணிதம், 1997 பக். 32 - 36.

10. நடைமுறை வேலைகளை ஒழுங்கமைப்பதற்கான தாராசென்கோ வழிகள்.

பள்ளி எண். 1 இல் கணிதம், 1993 பக். 27 - 28.

11. தனிப்பட்ட வேலை வகைகளில் ஒன்றைப் பற்றி.

பள்ளி எண். 2, 1994 இல் கணிதம், பக். 63 - 64.

12. கசான்கின் படைப்பு திறன்கள்பள்ளி குழந்தைகள்.

பள்ளி எண். 2 இல் கணிதம், 1989 பக். 10.

13. ஸ்கானவி. வெளியீட்டாளர், 1997

14. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம். டிடாக்டிக் பொருட்கள்க்கு

15. கணிதத்தில் Krivonogov பணிகள்.

எம். "செப்டம்பர் முதல்", 2002

16. செர்காசோவ். உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கையேடு மற்றும்

பல்கலைக்கழகங்களில் நுழைகிறது. “ஏ எஸ் டி - பிரஸ் ஸ்கூல்”, 2002

17. பல்கலைக்கழகங்களில் நுழைபவர்களுக்கு Zhevnyak.

மின்ஸ்க் மற்றும் ரஷ்ய கூட்டமைப்பு "விமர்சனம்", 1996

18. எழுதப்பட்ட D. கணிதத்தில் பரீட்சைக்குத் தயாராகுதல். எம். ரோல்ஃப், 1999

19. முதலியன சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க கற்றல்.

எம். "புத்தி - மையம்", 2003

20. முதலியன. EGE க்கு தயாரிப்பதற்கான கல்வி மற்றும் பயிற்சி பொருட்கள்.

எம். "உளவுத்துறை - மையம்", 2003 மற்றும் 2004.

21 மற்றும் பிற CMM விருப்பங்கள். ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பாதுகாப்பு அமைச்சகத்தின் சோதனை மையம், 2002, 2003.

22. கோல்ட்பர்க் சமன்பாடுகள். "குவாண்டம்" எண். 3, 1971

23. Volovich M. கணிதத்தை எவ்வாறு வெற்றிகரமாக கற்பிப்பது.

கணிதம், 1997 எண். 3.

24 பாடத்திற்கு ஒகுனேவ், குழந்தைகளே! எம். கல்வி, 1988

25. Yakimanskaya - பள்ளியில் கற்றல் சார்ந்த.

26. Liimets வகுப்பில் வேலை செய்கின்றன. எம். அறிவு, 1975

அனைத்து புதிய வீடியோ பாடங்களையும் உடனுக்குடன் தெரிந்துகொள்ள எங்கள் இணையதளத்தின் youtube சேனலுக்குச் செல்லவும்.

முதலில், அதிகாரங்களின் அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளை நினைவில் கொள்வோம்.

எண்ணின் தயாரிப்பு அ n முறை தானாகவே நிகழ்கிறது, இந்த வெளிப்பாட்டை a … a=a n என்று எழுதலாம்

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

சக்தி அல்லது அதிவேக சமன்பாடுகள்- இவை சமன்பாடுகள், இதில் மாறிகள் சக்திகளில் (அல்லது அடுக்குகள்) உள்ளன, மேலும் அடிப்படை ஒரு எண்ணாகும்.

அதிவேக சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

IN இந்த எடுத்துக்காட்டில்எண் 6 அடிப்படை, அது எப்போதும் கீழே உள்ளது, மற்றும் மாறி எக்ஸ்பட்டம் அல்லது காட்டி.

அதிவேக சமன்பாடுகளுக்கு இன்னும் பல உதாரணங்களை தருவோம்.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

இப்போது அதிவேக சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்?

ஒரு எளிய சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்:

2 x = 2 3

இந்த உதாரணத்தை உங்கள் தலையில் கூட தீர்க்க முடியும். x=3 என்பதைக் காணலாம். அனைத்து பிறகு, அதனால் இடது மற்றும் வலது பகுதிசமமாக இருந்தது, நீங்கள் x ஐ எண் 3 உடன் மாற்ற வேண்டும்.
இந்த முடிவை எவ்வாறு முறைப்படுத்துவது என்பதை இப்போது பார்க்கலாம்:

2 x = 2 3
x = 3

அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நாங்கள் அகற்றினோம் ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள்(அதாவது, இரண்டு) மற்றும் எஞ்சியதை எழுதினார், இவை பட்டங்கள். நாங்கள் தேடிய விடை கிடைத்தது.

இப்போது எங்கள் முடிவை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

அதிவேக சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:
1. சரிபார்க்க வேண்டும் அதேசமன்பாடு வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் அடிப்படைகளைக் கொண்டிருக்கிறதா. காரணங்கள் ஒரே மாதிரியாக இல்லாவிட்டால், இந்த உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதற்கான விருப்பங்களை நாங்கள் தேடுகிறோம்.
2. அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியான பிறகு, சமன்டிகிரி மற்றும் விளைவாக புதிய சமன்பாடு தீர்க்க.

இப்போது சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

எளிமையான ஒன்றைத் தொடங்குவோம்.

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் உள்ள தளங்கள் எண் 2 க்கு சமம், அதாவது நாம் அடித்தளத்தை நிராகரித்து அவற்றின் சக்திகளை சமன் செய்யலாம்.

x+2=4 எளிமையான சமன்பாடு பெறப்படுகிறது.
x=4 - 2
x=2
பதில்: x=2

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், அடிப்படைகள் வேறுபட்டவை என்பதை நீங்கள் காணலாம்: 3 மற்றும் 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

முதலில், ஒன்பதை வலது பக்கமாக நகர்த்தவும், நாம் பெறுகிறோம்:

இப்போது நீங்கள் அதே தளங்களை உருவாக்க வேண்டும். 9=3 2 என்று நமக்குத் தெரியும். சக்தி சூத்திரம் (a n) m = a nm ஐப் பயன்படுத்துவோம்.

3 3x = (3 2) x+8

நமக்கு 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 கிடைக்கும்

3 3x = 3 2x+16 இப்போது நீங்கள் அதை இடது மற்றும் பார்க்க முடியும் வலது பக்கம்அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் மூன்றிற்கு சமமானவை, அதாவது நாம் அவற்றை நிராகரித்து டிகிரிகளை சமன் செய்யலாம்.

3x=2x+16 எளிமையான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
3x - 2x=16
x=16
பதில்: x=16.

பின்வரும் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

முதலில், நாம் அடிப்படைகள், இரண்டு மற்றும் நான்கு அடிப்படைகளைப் பார்க்கிறோம். மேலும் அவை ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். (a n) m = a nm என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நான்கை மாற்றுகிறோம்.

4 x = (2 2) x = 2 2x

மேலும் ஒரு n a m = a n + m என்ற சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்துகிறோம்:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

சமன்பாட்டில் சேர்க்கவும்:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

அதே காரணங்களுக்காக நாங்கள் ஒரு உதாரணம் கொடுத்தோம். ஆனால் மற்ற எண்கள் 10 மற்றும் 24 அவர்களை என்ன செய்வது? நீங்கள் உற்று நோக்கினால், இடது பக்கத்தில் 2 2x திரும்பத் திரும்ப இருப்பதைக் காணலாம், இங்கே பதில் உள்ளது - அடைப்புக்குறிக்குள் 2 2x ஐ வைக்கலாம்:

2 2x (2 4 - 10) = 24

அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

முழு சமன்பாட்டையும் 6 ஆல் வகுக்கிறோம்:

4=2 2 என்று கற்பனை செய்வோம்:

2 2x = 2 2 அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, அவற்றை நிராகரித்து டிகிரிகளை சமன் செய்கிறோம்.
2x = 2 என்பது எளிமையான சமன்பாடு. அதை 2 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும்
x = 1
பதில்: x = 1.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

9 x – 12*3 x +27= 0

மாற்றுவோம்:
9 x = (3 2) x = 3 2x

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

எங்கள் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, இந்த எடுத்துக்காட்டில், முதல் மூன்றில் இரண்டாவதாக (வெறும் x) இருமுறை (2x) பட்டம் இருப்பதை நீங்கள் காணலாம். இந்த வழக்கில், நீங்கள் தீர்க்க முடியும் மாற்று முறை. எண்ணை சிறிய பட்டத்துடன் மாற்றுகிறோம்:

பிறகு 3 2x = (3 x) 2 = t 2

சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து x சக்திகளையும் t உடன் மாற்றுகிறோம்:

t 2 - 12t+27 = 0
நாம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். பாகுபாடு மூலம் தீர்ப்பது, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

மாறிக்கு திரும்புகிறது எக்ஸ்.

டி 1 ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:
t 1 = 9 = 3 x

அது,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ஒரு வேர் கிடைத்தது. t 2 இலிருந்து இரண்டாவது ஒன்றைத் தேடுகிறோம்:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
பதில்: x 1 = 2; x 2 = 1.

இணையதளத்தில், உதவி முடிவு பிரிவில் ஆர்வமுள்ள கேள்விகளைக் கேட்கலாம், நாங்கள் உங்களுக்கு நிச்சயமாக பதிலளிப்போம்.

குழுவில் சேரவும்

அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. எடுத்துக்காட்டுகள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

என்ன நடந்தது அதிவேக சமன்பாடு? இது ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இதில் தெரியாதவை (x) மற்றும் அவற்றுடன் வெளிப்பாடுகள் உள்ளன குறிகாட்டிகள்சில டிகிரி. மற்றும் அங்கு மட்டுமே! அது முக்கியம்.

அங்கு நிற்கிறீர்கள் அதிவேக சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

3 x 2 x = 8 x+3

குறிப்பு! டிகிரிகளின் அடிப்படைகளில் (கீழே) - எண்கள் மட்டுமே. IN குறிகாட்டிகள்டிகிரி (மேலே) - X உடன் பலவிதமான வெளிப்பாடுகள். ஒரு குறிகாட்டியைத் தவிர வேறு எங்காவது சமன்பாட்டில் ஒரு எக்ஸ் தோன்றினால், எடுத்துக்காட்டாக:

இது ஒரு சமன்பாடாக இருக்கும் கலப்பு வகை. இத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான தெளிவான விதிகள் இல்லை. அவற்றை இப்போதைக்கு கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம். இங்கே நாம் சமாளிப்போம் அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுஅதன் தூய வடிவத்தில்.

உண்மையில், தூய அதிவேக சமன்பாடுகள் கூட எப்போதும் தெளிவாக தீர்க்கப்படுவதில்லை. ஆனால் உள்ளன சில வகைகள்தீர்க்கப்படக்கூடிய மற்றும் தீர்க்கப்பட வேண்டிய அதிவேக சமன்பாடுகள். இந்த வகைகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

எளிய அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

முதலில், மிக அடிப்படையான ஒன்றைத் தீர்ப்போம். உதாரணத்திற்கு:

எந்த கோட்பாடும் இல்லாமல், எளிமையான தேர்வின் மூலம் x = 2 என்பது தெளிவாகிறது. இனி ஒன்றுமில்லை, சரி!? X இன் வேறு எந்த மதிப்பும் வேலை செய்யாது. இப்போது இந்த தந்திரமான அதிவேக சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைப் பார்ப்போம்:

நாம் என்ன செய்தோம்? நாங்கள், உண்மையில், அதே தளங்களை (மும்முறைகள்) வெளியே எறிந்தோம். முற்றிலும் தூக்கி எறியப்பட்டது. மேலும், நல்ல செய்தி என்னவென்றால், நாங்கள் தலையில் ஆணி அடித்தோம்!

உண்மையில், ஒரு அதிவேக சமன்பாட்டில் இடது மற்றும் வலது இருந்தால் அதேஎந்த சக்திகளிலும் உள்ள எண்கள், இந்த எண்களை அகற்றி, அடுக்குகளை சமப்படுத்தலாம். கணிதம் அனுமதிக்கிறது. இது மிகவும் எளிமையான சமன்பாட்டை தீர்க்க உள்ளது. அருமை, சரியா?)

இருப்பினும், உறுதியாக நினைவில் கொள்வோம்: இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் உள்ள அடிப்படை எண்கள் தனித்தனியாக இருக்கும்போது மட்டுமே நீங்கள் அடிப்படைகளை அகற்ற முடியும்!எந்த அண்டை மற்றும் குணகங்கள் இல்லாமல். சமன்பாடுகளில் கூறுவோம்:

2 x +2 x+1 = 2 3, அல்லது

இரண்டு நீக்க முடியாது!

சரி, நாங்கள் மிக முக்கியமான விஷயத்தில் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளோம். தீய அதிவேக வெளிப்பாடுகளிலிருந்து எளிமையான சமன்பாடுகளுக்கு எப்படி நகர்த்துவது.

"அதுதான் நேரங்கள்!" - நீங்கள் சொல்கிறீர்கள். "சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளில் இவ்வளவு பழமையான பாடத்தை யார் கொடுப்பார்கள்!?"

நான் ஒப்புக்கொள்ள வேண்டும். யாரும் செய்ய மாட்டார்கள். ஆனால் தந்திரமான உதாரணங்களைத் தீர்க்கும்போது எங்கு நோக்க வேண்டும் என்பது இப்போது உங்களுக்குத் தெரியும். இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் ஒரே அடிப்படை எண் இருக்கும் படிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். பின்னர் எல்லாம் எளிதாக இருக்கும். உண்மையில், இது கணிதத்தின் உன்னதமானது. நாங்கள் அசல் உதாரணத்தை எடுத்து அதை விரும்பியதாக மாற்றுகிறோம் எங்களுக்குமனம். கணித விதிகளின் படி, நிச்சயமாக.

அவற்றை எளிமையாகக் குறைக்க கூடுதல் முயற்சி தேவைப்படும் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம். அவர்களை அழைப்போம் எளிய அதிவேக சமன்பாடுகள்.

எளிய அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. எடுத்துக்காட்டுகள்.

அதிவேக சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது, ​​முக்கிய விதிகள் டிகிரி கொண்ட செயல்கள்.இந்த செயல்களைப் பற்றிய அறிவு இல்லாமல் எதுவும் செயல்படாது.

டிகிரி கொண்ட செயல்களுக்கு, ஒருவர் தனிப்பட்ட கவனிப்பு மற்றும் புத்தி கூர்மை சேர்க்க வேண்டும். அதே அடிப்படை எண்கள் தேவையா? எனவே அவற்றை வெளிப்படையான அல்லது மறைகுறியாக்கப்பட்ட வடிவத்தில் எடுத்துக்காட்டில் தேடுகிறோம்.

இதை நடைமுறையில் எப்படி செய்வது என்று பார்ப்போமா?

ஒரு உதாரணம் தருவோம்:

2 2x - 8 x+1 = 0

முதல் கூரிய பார்வை உள்ளது மைதானங்கள்.அவர்கள்... அவர்கள் வேறு! இரண்டு மற்றும் எட்டு. ஆனால் சோர்வடைவது மிக விரைவில். அதை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது

இரண்டு மற்றும் எட்டு பட்டப்படிப்பில் உறவினர்கள்.) எழுதுவது மிகவும் சாத்தியம்:

8 x+1 = (2 3) x+1

டிகிரி கொண்ட செயல்பாடுகளிலிருந்து சூத்திரத்தை நாம் நினைவு கூர்ந்தால்:

(a n) m = a nm,

இது நன்றாக வேலை செய்கிறது:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

அசல் உதாரணம் இப்படி இருக்க ஆரம்பித்தது:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

நாங்கள் மாற்றுகிறோம் 2 3 (x+1)வலதுபுறம் (கணிதத்தின் ஆரம்ப செயல்பாடுகளை யாரும் ரத்து செய்யவில்லை!), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

2 2x = 2 3(x+1)

நடைமுறையில் அவ்வளவுதான். அடித்தளங்களை நீக்குதல்:

இந்த அரக்கனை தீர்த்து பெறுகிறோம்

இதுவே சரியான விடை.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், இருவரின் சக்திகளை அறிவது எங்களுக்கு உதவியது. நாங்கள் அடையாளம் காணப்பட்டதுஎட்டில் ஒரு மறைகுறியாக்கப்பட்ட இரண்டு உள்ளது. இந்த நுட்பம் (குறியாக்கம் பொதுவான காரணங்கள்கீழ் வெவ்வேறு எண்கள்) அதிவேக சமன்பாடுகளில் மிகவும் பிரபலமான நுட்பம்! ஆம், மடக்கைகளிலும் கூட. எண்களில் உள்ள மற்ற எண்களின் சக்திகளை நீங்கள் அடையாளம் காண வேண்டும். அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு இது மிகவும் முக்கியமானது.

எந்த எண்ணை எந்த சக்தியாக உயர்த்தினாலும் பிரச்சனை இல்லை என்பதுதான் உண்மை. காகிதத்தில் கூட பெருக்கவும், அவ்வளவுதான். உதாரணமாக, யார் வேண்டுமானாலும் 3 ஐ ஐந்தாவது சக்தியாக உயர்த்தலாம். பெருக்கல் அட்டவணை உங்களுக்குத் தெரிந்தால் 243 செயல்படும்.) ஆனால் அதிவேக சமன்பாடுகளில், பெரும்பாலும் ஒரு சக்திக்கு உயர்த்த வேண்டிய அவசியமில்லை, மாறாக நேர்மாறாக... கண்டுபிடிக்கவும் எந்த எண் எந்த அளவிற்கு 243 என்ற எண்ணுக்குப் பின்னால் மறைந்துள்ளது, அல்லது, 343 என்று சொல்லுங்கள்... இங்கு எந்த கால்குலேட்டரும் உங்களுக்கு உதவாது.

சில எண்களின் சக்தியை பார்வையால் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், சரி... பயிற்சி செய்யலாமா?

எண்கள் என்ன சக்திகள் மற்றும் எந்த எண்கள் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

பதில்கள் (ஒரு குழப்பத்தில், நிச்சயமாக!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

கூர்ந்து கவனித்தால் தெரியும் விசித்திரமான உண்மை. பணிகளை விட அதிகமான பதில்கள் உள்ளன! சரி, அது நடக்கும்... உதாரணமாக, 2 6, 4 3, 8 2 - அவ்வளவுதான் 64.

எண்களுடன் பரிச்சயம் பற்றிய தகவலை நீங்கள் கவனத்தில் எடுத்துள்ளீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.) அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நாம் பயன்படுத்தும் என்பதையும் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். அனைத்துகணித அறிவின் பங்கு. இளைய மற்றும் நடுத்தர வகுப்பைச் சேர்ந்தவர்கள் உட்பட. நீங்கள் நேரடியாக உயர்நிலைப் பள்ளிக்குச் செல்லவில்லை, இல்லையா?)

எடுத்துக்காட்டாக, அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது பெரும்பாலும் உதவுகிறது (7 ஆம் வகுப்புக்கு வணக்கம்!). ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

3 2x+4 -11 9 x = 210

மீண்டும், முதல் பார்வை அடித்தளத்தில் உள்ளது! பட்டங்களின் அடிப்படைகள் வேறு... மூன்று மற்றும் ஒன்பது. ஆனால் அவர்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும் என்று நாங்கள் விரும்புகிறோம். சரி, இந்த விஷயத்தில் ஆசை முற்றிலும் நிறைவேறும்!) ஏனெனில்:

9 x = (3 2) x = 3 2x

பட்டங்களைக் கையாள்வதற்கு அதே விதிகளைப் பயன்படுத்துதல்:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

அது நன்றாக இருக்கிறது, நீங்கள் அதை எழுதலாம்:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

அதே காரணங்களுக்காக நாங்கள் ஒரு உதாரணம் கொடுத்தோம். எனவே, அடுத்தது என்ன!? மூணு பேரை தூக்கி எறிய முடியாது... டெட் எண்ட்?

இல்லவே இல்லை. மிகவும் உலகளாவிய மற்றும் சக்திவாய்ந்த முடிவு விதியை நினைவில் கொள்ளுங்கள் அனைவரும்கணித பணிகள்:

உங்களுக்கு என்ன தேவை என்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், உங்களால் முடிந்ததைச் செய்யுங்கள்!

பார், எல்லாம் சரியாகிவிடும்).

இந்த அதிவேக சமன்பாட்டில் என்ன இருக்கிறது முடியும்செய்? ஆம், இடது பக்கத்தில் அது அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கும்படி கெஞ்சுகிறது! 3 2x இன் ஒட்டுமொத்த பெருக்கி இதை தெளிவாகக் குறிக்கிறது. முயற்சிப்போம், பிறகு பார்ப்போம்:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

உதாரணம் மேலும் மேலும் சிறப்பாக வருகிறது!

அடிப்படைகளை அகற்ற, எந்த குணகங்களும் இல்லாமல், ஒரு தூய பட்டம் தேவை என்பதை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம். 70 என்ற எண் நம்மைத் தொந்தரவு செய்கிறது. எனவே சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 70 ஆல் வகுக்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:

அச்சச்சோ! எல்லாம் சிறப்பாகிவிட்டது!

இதுவே இறுதி விடை.

எவ்வாறாயினும், அதே அடிப்படையில் டாக்ஸி செய்வது சாத்தியம், ஆனால் அவற்றை நீக்குவது சாத்தியமில்லை. இது மற்ற வகை அதிவேக சமன்பாடுகளில் நிகழ்கிறது. இந்த வகையை மாஸ்டர் செய்வோம்.

அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் மாறியை மாற்றுதல். எடுத்துக்காட்டுகள்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

4 x - 3 2 x +2 = 0

முதல் - வழக்கம் போல். ஒரு தளத்திற்கு செல்லலாம். ஒரு டியூஸுக்கு.

4 x = (2 2) x = 2 2x

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

மேலும் இங்குதான் நாங்கள் பழகுகிறோம். முந்தைய தந்திரங்கள்நீங்கள் எவ்வளவு கடினமாக பார்த்தாலும் வேலை செய்யாது. எங்கள் ஆயுதக் களஞ்சியத்தில் இருந்து மற்றொரு சக்திவாய்ந்த மற்றும் உலகளாவிய முறையை நாங்கள் வெளியேற்ற வேண்டும். இது அழைக்கப்படுகிறது மாறி மாற்று.

முறையின் சாராம்சம் வியக்கத்தக்க வகையில் எளிமையானது. ஒரு சிக்கலான ஐகானுக்குப் பதிலாக (எங்கள் விஷயத்தில் - 2 x) இன்னொன்றை எழுதுகிறோம், எளிமையான ஒன்றை (உதாரணமாக - t). அத்தகைய வெளித்தோற்றத்தில் அர்த்தமற்ற மாற்றீடு அற்புதமான முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது!) எல்லாம் தெளிவாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் மாறும்!

எனவே விடுங்கள்

பிறகு 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

எங்கள் சமன்பாட்டில், அனைத்து சக்திகளையும் x உடன் t ஆல் மாற்றுகிறோம்:

சரி, உங்களுக்கு விடிகிறதா?) இருபடி சமன்பாடுகள்நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா? பாகுபாடு மூலம் தீர்ப்பது, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இங்கே முக்கிய விஷயம், நடப்பது போல் நிறுத்தக்கூடாது... இது இன்னும் பதில் இல்லை, நமக்கு x தேவை, t அல்ல. X க்கு திரும்புவோம், அதாவது. நாங்கள் ஒரு தலைகீழ் மாற்றீடு செய்கிறோம். டி 1க்கு முதலில்:

அது,

ஒரு வேர் கிடைத்தது. t 2 இலிருந்து இரண்டாவது ஒன்றைத் தேடுகிறோம்:

ம்... இடதுபுறம் 2 x, வலதுபுறம் 1... பிரச்சனையா? இல்லவே இல்லை! ஒரு யூனிட் என்பதை (அதிகாரங்களுடனான செயல்பாடுகளிலிருந்து, ஆம்...) நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் போதும் ஏதேனும்பூஜ்ஜிய சக்திக்கு எண். ஏதேனும். எது தேவையோ, அதை நிறுவுவோம். எங்களுக்கு இரண்டு வேண்டும். பொருள்:

இப்போது அவ்வளவுதான். எங்களுக்கு 2 வேர்கள் கிடைத்துள்ளன:

இதுதான் பதில்.

மணிக்கு அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுஇறுதியில் சில சமயங்களில் நீங்கள் ஒருவித அருவருப்பான வெளிப்பாட்டுடன் முடிவடையும். வகை:

ஏழு முதல் இரண்டு வரை எளிய பட்டம்வேலை செய்ய வில்லை. அவர்கள் உறவினர்கள் அல்ல... நாம் எப்படி இருக்க முடியும்? யாரோ குழப்பத்தில் இருக்கலாம்... ஆனால் இந்தத் தளத்தில் “மடக்கை என்றால் என்ன?” என்ற தலைப்பைப் படித்தவர். , சிக்கனமாக புன்னகைத்து, உறுதியான கையால் முற்றிலும் சரியான பதிலை எழுதுங்கள்:

ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் "பி" பணிகளில் அத்தகைய பதில் இருக்க முடியாது. அங்கு ஒரு குறிப்பிட்ட எண் தேவைப்படுகிறது. ஆனால் "சி" பணிகளில் இது எளிதானது.

இந்தப் பாடம் மிகவும் பொதுவான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறது. முக்கிய புள்ளிகளை முன்னிலைப்படுத்துவோம்.

நடைமுறை ஆலோசனை:

1. முதலில், நாம் பார்க்கிறோம் மைதானங்கள்டிகிரி. அவற்றை உருவாக்க முடியுமா என்று யோசித்து வருகிறோம் ஒரே மாதிரியான.சுறுசுறுப்பாகப் பயன்படுத்தி இதைச் செய்ய முயற்சிப்போம் டிகிரி கொண்ட செயல்கள். x இல்லாத எண்களையும் பவர்களாக மாற்றலாம் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்!

2. இடது மற்றும் வலதுபுறம் இருக்கும் போது, ​​அதிவேக சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முயற்சிக்கிறோம் அதேஎந்த சக்திகளிலும் எண்கள். நாம் பயன்படுத்த டிகிரி கொண்ட செயல்கள்மற்றும் காரணியாக்கம்.எண்களில் எதை எண்ணலாம், நாங்கள் எண்ணுகிறோம்.

3. இரண்டாவது உதவிக்குறிப்பு வேலை செய்யவில்லை என்றால், மாறி மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கவும். இதன் விளைவாக எளிதில் தீர்க்கக்கூடிய ஒரு சமன்பாடு இருக்கலாம். பெரும்பாலும் - சதுரம். அல்லது பின்னம், இது சதுரமாகவும் குறைகிறது.

4. அதிவேக சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, நீங்கள் பார்வை மூலம் சில எண்களின் சக்திகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

வழக்கம் போல், பாடத்தின் முடிவில் நீங்கள் ஒரு சிறிய முடிவை எடுக்க அழைக்கப்படுகிறீர்கள்.) சொந்தமாக. எளிமையானது முதல் சிக்கலானது வரை.

அதிவேக சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

மேலும் கடினம்:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

வேர்களின் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும்:

2 3கள் + 2 x = 9

நடந்ததா?

நல்லது அப்புறம் மிகவும் சிக்கலான உதாரணம்(எவ்வாறாயினும், மனதில் முடிவு...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

இன்னும் சுவாரஸ்யமானது என்ன? அப்படியானால் உங்களுக்கு ஒரு மோசமான உதாரணம். அதிகரித்த சிரமத்திற்கு மிகவும் தகுதியானது. இந்த எடுத்துக்காட்டில், உங்களைக் காப்பாற்றுவது புத்திசாலித்தனம் மற்றும் அனைத்து கணித சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் உலகளாவிய விதி என்பதை நான் சுட்டிக்காட்டுகிறேன்.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ஒரு எளிய உதாரணம், தளர்வுக்கு):

9 2 x - 4 3 x = 0

மற்றும் இனிப்புக்காக. சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ஆம் ஆம்! இது ஒரு கலப்பு வகை சமன்பாடு! இந்த பாடத்தில் நாங்கள் கருத்தில் கொள்ளவில்லை. அவற்றை ஏன் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், அவை தீர்க்கப்பட வேண்டும்!) இந்த பாடம் சமன்பாட்டை தீர்க்க போதுமானது. சரி, உங்களுக்கு புத்திசாலித்தனம் தேவை... மேலும் ஏழாம் வகுப்பு உங்களுக்கு உதவட்டும் (இது ஒரு குறிப்பு!).

பதில்கள் (சீரற்ற நிலையில், அரைப்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்டவை):

1; 2; 3; 4; தீர்வுகள் இல்லை; 2; -2; -5; 4; 0.

எல்லாம் வெற்றி பெற்றதா? நன்று.

ஒரு பிரச்சனை உள்ளது? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை! சிறப்புப் பிரிவு 555 இந்த அனைத்து அதிவேக சமன்பாடுகளையும் விரிவான விளக்கங்களுடன் தீர்க்கிறது. என்ன, ஏன், ஏன். மற்றும், நிச்சயமாக, அனைத்து வகையான அதிவேக சமன்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் கூடுதல் மதிப்புமிக்க தகவல் உள்ளது. இவை மட்டுமல்ல.)

கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய கடைசி வேடிக்கையான கேள்வி. இந்த பாடத்தில் நாங்கள் அதிவேக சமன்பாடுகளுடன் வேலை செய்தோம். நான் ஏன் இங்கு ODZ பற்றி ஒரு வார்த்தை கூட சொல்லவில்லை?சமன்பாடுகளில், இது ஒரு மிக முக்கியமான விஷயம்.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பற்றி நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

இறுதித் தேர்வுக்குத் தயாராகும் கட்டத்தில், உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள் “அதிவேக சமன்பாடுகள்” என்ற தலைப்பில் தங்கள் அறிவை மேம்படுத்திக்கொள்ள வேண்டும். இத்தகைய பணிகள் பள்ளி மாணவர்களுக்கு சில சிரமங்களை ஏற்படுத்துகின்றன என்பதை கடந்த ஆண்டுகளின் அனுபவம் சுட்டிக்காட்டுகிறது. எனவே, உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்கள், அவர்களின் தயாரிப்பின் அளவைப் பொருட்படுத்தாமல், கோட்பாட்டை முழுமையாக மாஸ்டர் செய்ய வேண்டும், சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்து, அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கையைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இந்த வகையான பணியைச் சமாளிக்க கற்றுக்கொண்டதால், பட்டதாரிகள் நம்பலாம் உயர் புள்ளிகள்கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் தேர்ச்சி பெறும்போது.

ஷ்கோல்கோவோவுடன் பரீட்சை சோதனைக்கு தயாராகுங்கள்!

அவர்கள் உள்ளடக்கிய பொருட்களை மதிப்பாய்வு செய்யும் போது, ​​பல மாணவர்கள் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க தேவையான சூத்திரங்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கலை எதிர்கொள்கின்றனர். பள்ளி பாடநூல்எப்போதும் கையில் இல்லை, மேலும் இணையத்தில் ஒரு தலைப்பில் தேவையான தகவலைத் தேர்ந்தெடுப்பது நீண்ட நேரம் எடுக்கும்.

Shkolkovo கல்வி போர்ட்டல் எங்கள் அறிவுத் தளத்தைப் பயன்படுத்த மாணவர்களை அழைக்கிறது. இறுதித் தேர்வுக்குத் தயாராகும் வகையில் முற்றிலும் புதிய முறையை அமல்படுத்தி வருகிறோம். எங்கள் இணையதளத்தில் படிப்பதன் மூலம், அறிவில் உள்ள இடைவெளிகளைக் கண்டறிந்து, மிகவும் சிரமத்தை ஏற்படுத்தும் பணிகளில் கவனம் செலுத்த முடியும்.

ஷ்கோல்கோவோ ஆசிரியர்கள் தேவையான அனைத்தையும் சேகரித்து, முறைப்படுத்தினர் மற்றும் வழங்கினர் வெற்றிகரமாக முடித்தல் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பொருள்எளிமையான மற்றும் மிகவும் அணுகக்கூடிய வடிவத்தில்.

அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் சூத்திரங்கள் "கோட்பாட்டு பின்னணி" பிரிவில் வழங்கப்படுகின்றன.

உள்ளடக்கத்தை நன்றாகப் புரிந்து கொள்ள, பணிகளை முடிக்கப் பயிற்சி செய்யுமாறு பரிந்துரைக்கிறோம். கணக்கீட்டு வழிமுறையைப் புரிந்துகொள்ள இந்தப் பக்கத்தில் வழங்கப்பட்ட தீர்வுகளுடன் கூடிய அதிவேக சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களை கவனமாக மதிப்பாய்வு செய்யவும். அதன் பிறகு, "அடைவுகள்" பிரிவில் பணிகளைச் செய்ய தொடரவும். நீங்கள் எளிதான பணிகளுடன் தொடங்கலாம் அல்லது பல தெரியாதவற்றுடன் சிக்கலான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நேராக செல்லலாம் அல்லது . எங்கள் இணையதளத்தில் உள்ள பயிற்சிகளின் தரவுத்தளம் தொடர்ந்து நிரப்பப்பட்டு புதுப்பிக்கப்படுகிறது.

உங்களுக்கு சிரமங்களை ஏற்படுத்திய குறிகாட்டிகளைக் கொண்ட அந்த எடுத்துக்காட்டுகளை "பிடித்தவை" என்பதில் சேர்க்கலாம். இந்த வழியில் நீங்கள் அவர்களை விரைவாகக் கண்டுபிடித்து, உங்கள் ஆசிரியருடன் தீர்வைப் பற்றி விவாதிக்கலாம்.

ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற, ஒவ்வொரு நாளும் ஷ்கோல்கோவோ போர்ட்டலில் படிக்கவும்!