Posible bang bawasan ang logarithms? Kahulugan ng logarithm, pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan, alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Sumusunod mula sa kahulugan nito. At kaya ang logarithm ng numero b batay sa A ay tinukoy bilang ang exponent kung saan ang isang numero ay dapat na itaas a para makuha ang numero b(umiiral lamang ang logarithm para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x=log a b, ay katumbas ng paglutas ng equation isang x =b. Halimbawa, log 2 8 = 3 kasi 8 = 2 3 . Ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible na bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b batay sa a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithms ay malapit na nauugnay sa paksa ng mga kapangyarihan ng isang numero.

Sa logarithms, tulad ng anumang mga numero, magagawa mo mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at magbago sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil sa ang katunayan na ang logarithms ay hindi ganap na ordinaryong mga numero, ang kanilang sariling mga espesyal na patakaran ay nalalapat dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms.

Kumuha tayo ng dalawang logarithms na may parehong mga base: mag-log ng x At mag-log a y. Pagkatapos ay posible na magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = mag-log ng x 1 + mag-log ng x 2 + mag-log ng x 3 + ... + mag-log a x k.

Mula sa logarithm quotient theorem Ang isa pang pag-aari ng logarithm ay maaaring makuha. Karaniwang kaalaman na ang log a 1= 0, samakatuwid

log a 1 /b=log a 1 - log a b= -log a b.

Nangangahulugan ito na mayroong pagkakapantay-pantay:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithms ng dalawang reciprocal na numero para sa parehong dahilan ay mag-iiba sa isa't isa lamang sa pamamagitan ng pag-sign. Kaya:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Ang logarithm ng isang positibong numero b sa base a (a>0, a ay hindi katumbas ng 1) ay isang numero c na ang a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)        

Tandaan na ang logarithm ng isang hindi positibong numero ay hindi natukoy. Bilang karagdagan, ang base ng logarithm ay dapat na positibong numero, hindi katumbas ng 1. Halimbawa, kung parisukat natin -2, makukuha natin ang numero 4, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang logarithm sa base -2 ng 4 ay katumbas ng 2.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Mahalagang magkaiba ang saklaw ng kahulugan ng kanan at kaliwang bahagi ng formula na ito. Ang kaliwang bahagi ay tinukoy lamang para sa b>0, a>0 at a ≠ 1. Ang kanang bahagi ay tinukoy para sa anumang b, at hindi nakadepende sa a. Kaya, ang paggamit ng pangunahing logarithmic na "pagkakakilanlan" kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa OD.

Dalawang halatang kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm

Sa katunayan, kapag itinaas ang numero a sa unang kapangyarihan, nakukuha natin ang parehong numero, at kapag itinaas ito sa zero na kapangyarihan, makakakuha tayo ng isa.

Logarithm ng produkto at logarithm ng quotient

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Gusto kong bigyan ng babala ang mga mag-aaral laban sa walang pag-iisip na paglalapat ng mga formula na ito sa paglutas logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kapag ginagamit ang mga ito "mula kaliwa pakanan," ang ODZ ay lumiliit, at kapag lumilipat mula sa kabuuan o pagkakaiba ng logarithms patungo sa logarithm ng produkto o quotient, lumalawak ang ODZ.

Sa katunayan, ang expression na log a (f (x) g (x)) ay tinukoy sa dalawang kaso: kapag ang parehong mga function ay mahigpit na positibo o kapag ang f (x) at g (x) ay parehong mas mababa sa zero.

Ang pagbabago sa expression na ito sa sum log a f (x) + log a g (x), napipilitan tayong limitahan ang ating sarili lamang sa kaso kapag f(x)>0 at g(x)>0. Mayroong pagpapaliit ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, at ito ay tiyak na hindi katanggap-tanggap, dahil maaari itong humantong sa pagkawala ng mga solusyon. Ang isang katulad na problema ay umiiral para sa formula (6).

Ang antas ay maaaring alisin sa tanda ng logarithm

At muli gusto kong tumawag para sa katumpakan. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay malinaw na tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng f(x) maliban sa zero. Ang kanang bahagi ay para lamang sa f(x)>0! Sa pamamagitan ng pagkuha ng degree sa logarithm, muli nating pinaliit ang ODZ. Ang baligtad na pamamaraan ay humahantong sa pagpapalawak ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Ang lahat ng mga pangungusap na ito ay nalalapat hindi lamang sa kapangyarihan 2, kundi pati na rin sa anumang kahit na kapangyarihan.

Formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon

Ang bihirang kaso na iyon kapag ang ODZ ay hindi nagbabago sa panahon ng pagbabago. Kung pinili mo ang base c nang matalino (positibo at hindi katumbas ng 1), ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ay ganap na ligtas.

Kung pipiliin natin ang numero b bilang bagong base c, makakakuha tayo ng isang mahalagang espesyal na kaso mga formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Ilang simpleng halimbawa na may logarithms

Halimbawa 1. Kalkulahin: log2 + log50.
Solusyon. log2 + log50 = log100 = 2. Ginamit namin ang sum ng logarithms formula (5) at ang kahulugan ng decimal logarithm.

Halimbawa 2. Kalkulahin: lg125/lg5.
Solusyon. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base (8).

Talaan ng mga formula na nauugnay sa logarithms

274. Pangungusap.

A) Kung ang expression na gusto mong suriin ay naglalaman ng sum o pagkakaiba mga numero, pagkatapos ay dapat silang matagpuan nang walang tulong ng mga talahanayan ordinaryong karagdagan o sa pamamagitan ng pagbabawas. Hal:

log (35 +7.24) 5 = 5 log (35 + 7.24) = 5 log 42.24.

b) Alam kung paano mag-logarithm expression, maaari nating, sa kabaligtaran, gamit ang isang naibigay na resulta ng logarithm, hanapin ang expression kung saan nakuha ang resultang ito; kaya kung

log X=log a+ log b- 3 log Sa,

saka madaling intindihin yun

V) Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang sa istraktura ng mga logarithmic table, ipahiwatig namin ang ilang mga katangian decimal logarithms, ibig sabihin. ang mga kung saan ang bilang na 10 ay kinuha bilang batayan (ang mga logarithms lamang ang ginagamit para sa mga kalkulasyon).

Ikalawang Kabanata.

Mga katangian ng decimal logarithms.

275 . A) Dahil 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, atbp., pagkatapos ay log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, at iba pa.

Ibig sabihin, Ang logarithm ng isang integer na kinakatawan ng isa na may mga zero ay isang positibong integer na naglalaman ng kasing dami ng may mga zero sa representasyon ng numero.

kaya: log 100,000 = 5, log 1000 000 = 6 , atbp.

b) Dahil

log 0.1 = -l; log 0.01 = - 2; log 0.001 == -3; log 0.0001 = - 4, atbp.

Ibig sabihin, logarithm decimal, na kinakatawan ng isang unit na may mga naunang zero, ay isang negatibong integer na naglalaman ng kasing dami ng mga negatibong unit gaya ng mayroong mga zero sa representasyon ng fraction, kabilang ang 0 integer.

kaya: log 0.00001= - 5, log 0.000001 = -6, atbp.

V) Kunin natin ang isang integer na hindi kinakatawan ng isa at mga zero, halimbawa. 35, o isang buong numero na may isang fraction, halimbawa. 10.7. Ang logarithm ng naturang numero ay hindi maaaring isang integer, dahil ang pagtaas ng 10 sa isang kapangyarihan na may integer exponent (positibo o negatibo), makakakuha tayo ng 1 na may mga zero (kasunod ng 1, o nauuna dito). Ipagpalagay natin ngayon na ang logarithm ng naturang numero ay ilang fraction a / b . Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng pagkakapantay-pantay

Ngunit ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay imposible, bilang 10A may mga 1 na may mga zero, samantalang ang mga degree 35b At 10,7b sa anumang sukat b hindi maaaring magbigay ng 1 na sinusundan ng mga zero. Ibig sabihin hindi tayo papayag log 35 At log 10.7 ay katumbas ng mga fraction. Ngunit mula sa mga ari-arian logarithmic function alam natin () na ang bawat positibong numero ay may logarithm; dahil dito, ang bawat isa sa mga numerong 35 at 10.7 ay may sariling logarithm, at dahil hindi ito maaaring alinman sa isang integer na numero o isang fractional na numero, ito ay isang hindi makatwiran na numero at, samakatuwid, ay hindi maaaring ipahayag nang eksakto sa pamamagitan ng mga numero. Ang mga di-makatwirang logarithm ay karaniwang ipinapahayag ng humigit-kumulang bilang isang decimal fraction na may ilang decimal na lugar. Ang buong bilang ng fraction na ito (kahit na ito ay "0 integers") ay tinatawag katangian, at ang fractional na bahagi ay ang mantissa ng logarithm. Kung, halimbawa, mayroong isang logarithm 1,5441 , kung gayon ang katangian nito ay pantay 1 , at ang mantissa ay 0,5441 .

G) Kunin natin ang ilang integer o mixed number, halimbawa. 623 o 623,57 . Ang logarithm ng naturang numero ay binubuo ng isang katangian at isang mantissa. Lumalabas na ang mga decimal logarithm ay may kaginhawaan na palagi nating mahahanap ang kanilang mga katangian sa pamamagitan ng isang uri ng numero . Upang gawin ito, bilangin natin kung gaano karaming mga digit ang nasa isang ibinigay na numero ng integer, o sa isang integer na bahagi ng isang pinaghalong numero Sa aming mga halimbawa ng mga digit na ito 3 . Samakatuwid, ang bawat isa sa mga numero 623 At 623,57 higit sa 100 ngunit mas mababa sa 1000; nangangahulugan ito na ang logarithm ng bawat isa sa kanila ay mas malaki log 100, ibig sabihin, higit pa 2 , ngunit mas kaunti log 1000, ibig sabihin, mas kaunti 3 (tandaan na ang mas malaking numero ay mayroon ding mas malaking logarithm). Kaya naman, log 623 = 2,..., At log 623.57 = 2,... (pinapalitan ng mga tuldok ang hindi kilalang mantissas).

Katulad nito nakita namin:

Hayaan sa pangkalahatan ang isang ibinigay na numero ng integer, o isang bahagi ng integer ng isang pinaghalong numero, ay naglalaman m numero Dahil ang pinakamaliit na integer na naglalaman m mga numero, oo 1 Sa m - 1 mga zero sa dulo, pagkatapos (nagsasaad ng numerong ito N) maaari nating isulat ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

at samakatuwid,

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m- 1) + positibong bahagi.

Kaya ang katangian logN = m - 1 .

Nakikita natin sa ganitong paraan iyon ang katangian ng logarithm ng isang integer o pinaghalong numero ay naglalaman ng maraming positibong yunit gaya ng mayroong mga digit sa integer na bahagi ng numerong minus one.

Nang mapansin ito, maaari tayong direktang sumulat:

log 7.205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720.4 = 2,... at iba pa.

d) Kumuha tayo ng ilang decimal fraction na mas maliit 1 (i.e. pagkakaroon 0 buo): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, at iba pa.

Kaya, ang bawat isa sa mga logarithms ay nakapaloob sa pagitan ng dalawang negatibong integer na nag-iiba ng isang yunit; samakatuwid ang bawat isa sa kanila ay katumbas ng mas maliit sa mga negatibong bilang na ito na nadagdagan ng ilang positibong bahagi. Halimbawa, log0.0056= -3 + positibong bahagi. Ipagpalagay natin na ang fraction na ito ay 0.7482. Pagkatapos ang ibig sabihin ay:

log 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518).

Mga halaga tulad ng - 3 + 0,7482 , na binubuo ng isang negatibong integer at isang positibong decimal fraction, sumang-ayon kaming sumulat ng pinaikling tulad ng sumusunod sa mga kalkulasyon ng logarithmic: 3 ,7482 (Ang bilang na ito ay nagbabasa ng: 3 minus, 7482 ten thousandths.), ibig sabihin, naglalagay sila ng minus sign sa ibabaw ng katangian upang ipakita na ito ay nauugnay lamang sa katangiang ito, at hindi sa mantissa, na nananatiling positibo. Kaya, mula sa talahanayan sa itaas ay malinaw na

log 0.35 == 1,....; log 0.07 = 2,....; log 0.0008 = 4 ,....

Hayaan sa lahat . mayroong isang decimal fraction kung saan bago ang una makabuluhang pigura α gastos m mga zero, kabilang ang 0 integer. Tapos halata naman

- m < log A < - (m- 1).

Dahil mula sa dalawang integer:- m At- (m- 1) may mas kaunti - m , Iyon

log A = - m+ positibong bahagi,

at samakatuwid ay ang katangian log A = - m (na may positibong mantissa).

kaya, ang katangian ng logarithm ng isang decimal fraction na mas mababa sa 1 ay naglalaman ng kasing dami ng negatibo gaya ng mga zero sa imahe ng decimal fraction bago ang unang makabuluhang digit, kabilang ang mga zero integer; Ang mantissa ng naturang logarithm ay positibo.

e) I-multiply natin ang ilang numero N(integer o fraction - hindi mahalaga) ng 10, ng 100 ng 1000..., sa pangkalahatan ng 1 na may mga zero. Tingnan natin kung paano ito nagbabago log N. Dahil ang logarithm ng produkto katumbas ng kabuuan logarithms ng mga kadahilanan, pagkatapos

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; atbp.

Kailan log N nagdaragdag kami ng ilang integer, pagkatapos ay maaari naming palaging idagdag ang numerong ito sa katangian, at hindi sa mantissa.

Kaya, kung ang log N = 2.7804, pagkatapos ay 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801, atbp.;

o kung ang log N = 3.5649, pagkatapos ay 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, atbp.

Kapag ang isang numero ay pinarami ng 10, 100, 1000,.., sa pangkalahatan sa 1 na may mga zero, ang mantissa ng logarithm ay hindi nagbabago, at ang katangian ay tumataas ng kasing dami ng mga yunit na mayroong mga zero sa factor. .

Katulad nito, isinasaalang-alang na ang logarithm ng quotient ay katumbas ng logarithm ng dibidendo nang walang logarithm ng divisor, nakukuha natin:

log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; at iba pa.

Kung sumasang-ayon kami, kapag binabawasan ang isang integer mula sa isang logarithm, na palaging ibawas ang integer na ito mula sa katangian at iwanan ang mantissa na hindi nagbabago, pagkatapos ay maaari nating sabihin:

Ang paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng 1 na may mga zero ay hindi nagbabago sa mantissa ng logarithm, ngunit ang katangian ay bumababa ng kasing dami ng mga yunit dahil mayroong mga zero sa divisor.

276. Bunga. Mula sa ari-arian ( e) ang sumusunod na dalawang bunga ay maaaring mahihinuha:

A) Ang mantissa ng logarithm ng isang decimal na numero ay hindi nagbabago kapag inilipat sa isang decimal point , dahil ang paglipat ng decimal point ay katumbas ng pagpaparami o paghahati sa 10, 100, 1000, atbp. Kaya, ang mga logarithms ng mga numero:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

naiiba lamang sa mga katangian, ngunit hindi sa mantissas (sa kondisyon na ang lahat ng mantissas ay positibo).

b) Ang mga mantissas ng mga numero na may parehong makabuluhang bahagi, ngunit naiiba lamang sa pamamagitan ng pagtatapos ng mga zero, ay pareho: Kaya, ang logarithms ng mga numero: 23, 230, 2300, 23,000 ay naiiba lamang sa mga katangian.

Magkomento. Mula sa ipinahiwatig na mga katangian ng decimal logarithms ay malinaw na mahahanap natin ang mga katangian ng logarithm ng isang integer at isang decimal fraction nang walang tulong ng mga talahanayan (ito ang mahusay na kaginhawahan ng decimal logarithms); bilang resulta, isang mantissa lamang ang inilalagay sa mga logarithmic table; bilang karagdagan, dahil ang paghahanap ng mga logarithm ng mga fraction ay nababawasan sa paghahanap ng mga logarithm ng mga integer (logarithm ng isang fraction = logarithm ng numerator na walang logarithm ng denominator), ang mga mantissas ng logarithms ng mga integer lamang ay inilalagay sa mga talahanayan.

Ikatlong Kabanata.

Disenyo at paggamit ng apat na digit na talahanayan.

277. Mga sistema ng logarithms. Ang sistema ng logarithms ay isang set ng logarithms na kinakalkula para sa isang bilang ng magkakasunod na integer gamit ang parehong base. Dalawang sistema ang ginagamit: ang sistema ng ordinaryo o decimal logarithms, kung saan ang numero ay kinuha bilang base 10 , at isang sistema ng tinatawag na natural logarithms, kung saan ang isang hindi makatwirang numero ay kinuha bilang batayan (para sa ilang kadahilanan na malinaw sa ibang mga sangay ng matematika) 2,7182818 ... Para sa mga kalkulasyon, ginagamit ang mga decimal logarithm, dahil sa kaginhawahan na ipinahiwatig namin noong inilista namin ang mga katangian ng naturang logarithms.

Natural logarithms tinatawag ding Neperovs pagkatapos ng imbentor ng logarithms, isang Scottish mathematician Nepera(1550-1617), at decimal logarithms - Briggs na ipinangalan sa propesor Brigga(isang kontemporaryo at kaibigan ni Napier), na unang nag-compile ng mga talahanayan ng mga logarithms na ito.

278. Pag-convert ng negatibong logarithm sa isa na ang mantissa ay positibo, at ang kabaligtaran na pagbabago. Nakita namin na ang logarithms ng mga numerong mas mababa sa 1 ay negatibo. Nangangahulugan ito na binubuo sila ng isang negatibong katangian at isang negatibong mantissa. Ang ganitong mga logarithms ay maaaring palaging mabago upang ang kanilang mantissa ay positibo, ngunit ang katangian ay nananatiling negatibo. Upang gawin ito, sapat na upang magdagdag ng isang positibo sa mantissa, at isang negatibo sa katangian (na, siyempre, ay hindi nagbabago sa halaga ng logarithm).

Kung, halimbawa, mayroon tayong logarithm - 2,0873 , pagkatapos ay maaari mong isulat:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

o pinaikling:

Sa kabaligtaran, ang anumang logarithm na may negatibong katangian at positibong mantissa ay maaaring gawing negatibo. Upang gawin ito, sapat na upang ilakip ang isang negatibo sa positibong mantissa, at isang positibo sa negatibong katangian: kaya, maaari kang sumulat:

279. Paglalarawan ng apat na digit na talahanayan. Upang malutas ang karamihan sa mga praktikal na problema, ang apat na digit na mga talahanayan ay sapat na, ang paghawak nito ay napaka-simple. Ang mga talahanayan na ito (na may nakasulat na "logarithms" sa itaas) ay inilalagay sa dulo ng aklat na ito, at isang maliit na bahagi ng mga ito (upang ipaliwanag ang pagkakaayos) ay nakalimbag sa pahinang ito

Logarithms.

logarithms ng lahat ng integer mula sa 1 dati 9999 inclusive, kinakalkula sa apat na decimal na lugar, na ang huli sa mga lugar na ito ay tumaas ng 1 sa lahat ng mga kaso kung saan ang ika-5 decimal na lugar ay magiging 5 o higit pa sa 5; samakatuwid, ang mga 4-digit na talahanayan ay nagbibigay ng tinatayang mantissas hanggang sa 1 / 2 sampung libong bahagi (na may kakulangan o labis).

Dahil maaari nating direktang ilarawan ang logarithm ng isang integer o isang decimal fraction, batay sa mga katangian ng decimal logarithms, ang mga mantissas lang ang dapat nating kunin mula sa mga talahanayan; Kasabay nito, dapat nating tandaan na ang posisyon ng kuwit ay nasa decimal na numero, pati na rin ang bilang ng mga zero sa dulo ng numero, ay walang epekto sa halaga ng mantissa. Samakatuwid, kapag hinahanap ang mantissa para sa isang naibigay na numero, itinatapon namin ang kuwit sa numerong ito, pati na rin ang mga zero sa dulo nito, kung mayroon man, at hanapin ang mantissa ng integer na nabuo pagkatapos nito. Maaaring lumitaw ang mga sumusunod na kaso.

1) Ang isang integer ay binubuo ng 3 digit. Halimbawa, sabihin nating kailangan nating hanapin ang mantissa ng logarithm ng numerong 536. Ang unang dalawang digit ng numerong ito, ibig sabihin, 53, ay matatagpuan sa mga talahanayan sa unang patayong haligi sa kaliwa (tingnan ang talahanayan). Ang pagkakaroon ng natagpuan ang numero 53, lumipat kami mula dito kasama ang isang pahalang na linya sa kanan hanggang sa ang linyang ito ay bumalandra sa isang patayong haligi na dumadaan sa isa sa mga numero 0, 1, 2, 3,... 9, na inilagay sa itaas (at ibaba) ng talahanayan, na ika-3 digit ng isang naibigay na numero, ibig sabihin, sa aming halimbawa, ang numero 6. Sa intersection ay nakuha namin ang mantissa 7292 (i.e. 0.7292), na kabilang sa logarithm ng numero 536. Katulad nito , para sa numerong 508 nakita namin ang mantissa 0.7059, para sa numerong 500 nakita namin ang 0.6990, atbp.

2) Ang isang integer ay binubuo ng 2 o 1 digit. Pagkatapos ay itatalaga namin ang isa o dalawang zero sa numerong ito at hanapin ang mantissa para sa tatlong-digit na numero na nabuo. Halimbawa, nagdaragdag kami ng isang zero sa numerong 51, kung saan makakakuha kami ng 510 at hanapin ang mantissa 7070; sa numero 5 nagtatalaga kami ng 2 zero at hanapin ang mantissa 6990, atbp.

3) Ang isang integer ay ipinahayag sa 4 na digit. Halimbawa, kailangan mong hanapin ang mantissa ng log 5436. Pagkatapos ay makikita muna natin sa mga talahanayan, gaya ng ipinahiwatig, ang mantissa para sa numerong kinakatawan ng unang 3 digit ng numerong ito, ibig sabihin, para sa 543 (ang mantissa na ito ay magiging 7348) ; pagkatapos ay lumipat kami mula sa natagpuang mantissa kasama ang pahalang na linya sa kanan (sa kanang bahagi talahanayan na matatagpuan sa likod ng makapal na patayong linya) hanggang sa mag-intersect ito sa patayong column na dumadaan sa mga numero: 1, 2 3,... 9, nakatayo sa tuktok (at ibaba) ng bahaging ito ng talahanayan, na kumakatawan sa Ika-4 na digit ng mga numerong ito, i.e. sa aming halimbawa, ang numero 6. Sa intersection nakita namin ang pagwawasto (numero 5), na dapat ilapat sa pag-iisip sa mantissa ng 7348 upang makuha ang mantissa ng numero 5436; Sa ganitong paraan makuha natin ang mantissa 0.7353.

4) Ang isang integer ay ipinahayag na may 5 o higit pang mga digit. Pagkatapos ay itinatapon namin ang lahat ng digit maliban sa unang 4, at kumuha ng tinatayang apat na digit na numero, at dagdagan ang huling digit ng numerong ito ng 1 sa numerong iyon. kaso kapag ang itinapon na 5th digit ng number ay 5 or more than 5. So, instead of 57842 we take 5784, instead of 30257 we take 3026, instead of 583263 we take 5833, etc. Para sa bilugan na apat na digit na numerong ito, makikita natin ang mantissa gaya ng ipinaliwanag.

Ginagabayan ng mga tagubiling ito, hanapin natin, halimbawa, ang logarithms ng mga sumusunod na numero:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Una sa lahat, nang hindi lumingon sa mga talahanayan sa ngayon, ibababa lamang natin ang mga katangian, na mag-iiwan ng puwang para sa mga mantissas, na isusulat natin pagkatapos:

log 36.5 = 1,.... log 0.00345 = 3,....

log 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....

log 0.26 = 1,.... log 3456.86 = 3,....

log 36.5 = 1.5623; log 0.00345 = 3.5378;

log 804.7 = 2.9057; log 7.2634 = 0.8611;

log 0.26 = 1.4150; log 3456.86 = 3.5387.

280. Tandaan. Sa ilang apat na digit na talahanayan (halimbawa, sa mga talahanayan V. Lorchenko at N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) ang mga pagwawasto para sa ika-4 na digit ng numerong ito ay hindi inilagay. Kapag nakikitungo sa naturang mga talahanayan, kailangan mong hanapin ang mga pagwawasto na ito gamit ang isang simpleng pagkalkula, na maaaring isagawa batay sa sumusunod na katotohanan: kung ang mga numero ay lumampas sa 100 at ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga ito ay mas mababa sa 1, kung gayon nang walang sensitibong error ito maaaring ipagpalagay na ang mga pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ay proporsyonal sa mga pagkakaiba sa pagitan ng mga katumbas na numero . Hayaan, halimbawa, kailangan nating hanapin ang mantissa na tumutugma sa numerong 5367. Ang mantissa na ito, siyempre, ay kapareho ng para sa numerong 536.7. Nakikita namin sa mga talahanayan para sa numerong 536 ang mantissa 7292. Ang paghahambing ng mantissa na ito sa mantissa 7300 na katabi ng kanan, na tumutugma sa numerong 537, napansin namin na kung ang bilang na 536 ay tumaas ng 1, ang mantissa nito ay tataas ng 8 sampu -thousandths (8 ang tinatawag na pagkakaiba ng talahanayan sa pagitan ng dalawang katabing mantissas); kung ang bilang na 536 ay tumaas ng 0.7, ang mantissa nito ay tataas hindi ng 8 sampu-sa-libo, ngunit sa ilang mas maliit na bilang X sampung libo, na, ayon sa ipinapalagay na proporsyonalidad, ay dapat matugunan ang mga proporsyon:

X :8 = 0.7:1; saan X = 8 07 = 5,6,

na bilugan sa 6 na sampu-sa-libo. Nangangahulugan ito na ang mantissa para sa numerong 536.7 (at samakatuwid para sa numerong 5367) ay magiging: 7292 + 6 = 7298.

Tandaan na ang paghahanap ng isang intermediate na numero mula sa dalawang magkatabing numero sa mga talahanayan ay tinatawag interpolation. Ang interpolation na inilarawan dito ay tinatawag proporsyonal, dahil ito ay batay sa pagpapalagay na ang pagbabago sa logarithm ay proporsyonal sa pagbabago sa numero. Tinatawag din itong linear, dahil ipinapalagay nito na ang pagbabago sa isang logarithmic function ay ipinahayag ng isang tuwid na linya.

281. Error limit ng tinatayang logarithm. Kung ang numero na hinahanap ang logarithm ay isang eksaktong numero, kung gayon ang limitasyon ng error ng logarithm nito na matatagpuan sa 4 na digit na mga talahanayan ay maaaring kunin, gaya ng sinabi namin sa. 1 / 2 sampung libong bahagi. Kung hindi tumpak ang numerong ito, sa limitasyon ng error na ito dapat din nating idagdag ang limitasyon ng isa pang error na nagreresulta mula sa hindi kawastuhan ng numero mismo. Napatunayan na (inaalis namin ang patunay na ito) na ang naturang limitasyon ay maaaring kunin na produkto

a(d +1) sampung libo.,

kung saan A ay ang margin ng error para sa pinaka-hindi tumpak na numero, sa pag-aakalang iyon ang integer na bahagi nito ay naglalaman ng 3 digit, a d tabular na pagkakaiba ng mantissas na tumutugma sa dalawang magkasunod na tatlong-digit na numero kung saan matatagpuan ang ibinigay na hindi tumpak na numero. Kaya, ang limitasyon ng huling error ng logarithm ay ipapahayag ng formula:

1 / 2 + a(d +1) sampung libo

Halimbawa. Maghanap ng log π , pagkuha para sa π tinatayang numero 3.14, eksakto hanggang 1 / 2 ikadaan.

Sa pamamagitan ng paglipat ng kuwit pagkatapos ng ika-3 digit sa numerong 3.14, pagbibilang mula sa kaliwa, makukuha natin ang tatlong-digit na numerong 314, eksaktong hanggang 1 / 2 mga yunit; Nangangahulugan ito na ang margin ng error para sa isang hindi tumpak na numero, ibig sabihin, kung ano ang tinukoy namin ng titik A , meron 1 / 2 Mula sa mga talahanayan makikita natin:

log 3.14 = 0.4969.

Pagkakaiba ng talahanayan d sa pagitan ng mantissas ng mga numero 314 at 315 ay katumbas ng 14, kaya ang error ng natagpuang logarithm ay magiging mas kaunti

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 ikasampung libo.

Dahil hindi natin alam ang tungkol sa logarithm 0.4969 kung ito ay kulang o sobra, maaari lamang nating garantiya na ang eksaktong logarithm π nasa pagitan ng 0.4969 - 0.0008 at 0.4969 + 0.0008, ibig sabihin, 0.4961< log π < 0,4977.

282. Maghanap ng numero gamit ang ibinigay na logarithm. Upang mahanap ang isang numero gamit ang isang ibinigay na logarithm, ang parehong mga talahanayan ay maaaring gamitin upang mahanap ang mga mantissas ng mga ibinigay na numero; ngunit mas maginhawang gumamit ng iba pang mga talahanayan na naglalaman ng tinatawag na antilogarithms, ibig sabihin, mga numero na tumutugma sa mga mantissa na ito. Ang mga talahanayan na ito, na ipinahiwatig ng inskripsiyon sa itaas na "antilogarithms," ay inilalagay sa dulo ng aklat na ito pagkatapos ng mga talahanayan ng logarithms ay ilagay sa pahinang ito (para sa paliwanag).

Ipagpalagay na binigyan ka ng 4-digit na mantissa 2863 (hindi namin binibigyang pansin ang katangian) at kailangan mong hanapin ang kaukulang integer. Pagkatapos, sa pagkakaroon ng mga talahanayan ng antilogarithms, kailangan mong gamitin ang mga ito sa eksaktong parehong paraan tulad ng naunang ipinaliwanag upang mahanap ang mantissa para sa isang naibigay na numero, ibig sabihin: nakita namin ang unang 2 digit ng mantissa sa unang hanay sa kaliwa. Pagkatapos ay lumipat kami mula sa mga numerong ito kasama ang pahalang na linya patungo sa kanan hanggang sa mag-intersect ito sa patayong column na nagmumula sa ika-3 digit ng mantissa, na dapat hanapin sa tuktok na linya (o ibaba). Sa intersection nakita namin ang apat na digit na numero 1932, na tumutugma sa mantissa 286. Pagkatapos mula sa numerong ito ay lumipat pa kami sa pahalang na linya sa kanan hanggang sa intersection na may patayong haligi na nagmumula sa ika-4 na digit ng mantissa, na dapat ay matatagpuan sa itaas (o ibaba) sa mga numerong 1, 2 na nakalagay doon , 3,... 9. Sa intersection ay makikita natin ang correction 1, na dapat ilapat (sa isip) sa numerong 1032 na natagpuan nang mas maaga sa pagkakasunud-sunod upang makuha ang numerong katumbas ng mantissa 2863.

Kaya, ang bilang ay magiging 1933. Pagkatapos nito, na binibigyang pansin ang katangian, kailangan mong ilagay ang okupado sa tamang lugar sa numerong 1933. Halimbawa:

Kung log x = 3.2863, pagkatapos X = 1933,

„ log x = 1,2863, „ X = 19,33,

, log x = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ log x = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Narito ang higit pang mga halimbawa:

log x = 0,2287, X = 1,693,

log x = 1 ,7635, X = 0,5801,

log x = 3,5029, X = 3184,

log x = 2 ,0436, X = 0,01106.

Kung ang mantissa ay naglalaman ng 5 o higit pang mga numero, pagkatapos ay kukuha lamang kami ng unang 4 na numero, itinatapon ang natitira (at tinataasan ang ika-4 na digit ng 1 kung ang ika-5 na digit ay may lima o higit pa). Halimbawa, sa halip na ang mantissa 35478 ay kukuha tayo ng 3548, sa halip na 47562 ay 4756 ang kinukuha natin.

283. Tandaan. Ang pagwawasto para sa ika-4 at kasunod na mga digit ng mantissa ay matatagpuan din sa pamamagitan ng interpolation. Kaya, kung ang mantissa ay 84357, kung gayon, na natagpuan ang numerong 6966, na tumutugma sa mantissa 843, maaari pa tayong mangatuwiran tulad ng sumusunod: kung ang mantissa ay tumaas ng 1 (ika-sanlibo), ibig sabihin, ito ay gumagawa ng 844, kung gayon ang bilang, bilang ay makikita mula sa mga talahanayan, tataas ng 16 na yunit; kung ang mantissa ay hindi tumaas ng 1 (thousandth), ngunit sa pamamagitan ng 0.57 (thousandth), kung gayon ang bilang ay tataas ng X mga yunit, at X dapat matugunan ang mga proporsyon:

X : 16 = 0.57: 1, mula saan x = 16 0,57 = 9,12.

Nangangahulugan ito na ang kinakailangang numero ay magiging 6966+ 9.12 = 6975.12 o (limitado sa apat na digit lamang) 6975.

284. Error limit ng nahanap na numero. Napatunayan na sa kaso kapag sa nahanap na numero ang kuwit ay pagkatapos ng ika-3 digit mula sa kaliwa, ibig sabihin, kapag ang katangian ng logarithm ay 2, ang kabuuan ay maaaring kunin bilang limitasyon ng error.

saan A ay ang limitasyon ng error ng logarithm (ipinahayag sa sampung libo) kung saan natagpuan ang numero, at d - ang pagkakaiba sa pagitan ng mga mantissa ng dalawang tatlong-digit na magkakasunod na numero kung saan matatagpuan ang nahanap na numero (na may kuwit pagkatapos ng ika-3 digit mula sa kaliwa). Kapag ang katangian ay hindi 2, ngunit ilang iba pa, pagkatapos ay sa nahanap na numero ang kuwit ay kailangang ilipat sa kaliwa o sa kanan, ibig sabihin, hatiin o i-multiply ang numero sa ilang kapangyarihan ng 10. Sa kasong ito, ang error ng resulta ay hahatiin din o paramihin ng parehong kapangyarihan na 10.

Hayaan, halimbawa, naghahanap tayo ng isang numero gamit ang logarithm 1,5950 , na kilala na tumpak sa 3 sampung-libo; ibig sabihin noon A = 3 . Ang bilang na tumutugma sa logarithm na ito, na natagpuan mula sa talahanayan ng mga antilogarithm, ay 39,36 . Ang paglipat ng kuwit pagkatapos ng 3rd digit mula sa kaliwa, mayroon kaming numero 393,6 , na binubuo sa pagitan ng 393 At 394 . Mula sa mga talahanayan ng logarithms makikita natin na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga mantissa na tumutugma sa dalawang numerong ito ay 11 sampung libo; ibig sabihin d = 11 . Ang error sa numerong 393.6 ay magiging mas kaunti

Nangangahulugan ito na ang error sa numero 39,36 magkakaroon ng mas kaunti 0,05 .

285. Mga operasyon sa logarithms na may negatibong katangian. Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms ay hindi nagpapakita ng anumang mga paghihirap, tulad ng makikita mula sa mga sumusunod na halimbawa:

Wala ring kahirapan sa pagpaparami ng logarithm sa isang positibong numero, halimbawa:

Sa huling halimbawa, ang positibong mantissa ay hiwalay na pinarami ng 34, pagkatapos negatibong katangian sa 34.

Kung ang logarithm ng isang negatibong katangian at isang positibong mantissa ay pinarami ng isang negatibong numero, pagkatapos ay magpatuloy sa dalawang paraan: alinman sa ibinigay na logarithm ay unang naging negatibo, o ang mantissa at katangian ay pinarami nang hiwalay at ang mga resulta ay pinagsama-sama, halimbawa :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Kapag naghahati, maaaring lumitaw ang dalawang kaso: 1) ang negatibong katangian ay nahahati at 2) ay hindi nahahati ng isang divisor. Sa unang kaso, ang katangian at mantissa ay pinaghiwalay nang hiwalay:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

Sa pangalawang kaso, napakaraming negatibong yunit ang idinagdag sa katangian upang ang resultang numero ay nahahati sa divisor; ang parehong bilang ng mga positibong yunit ay idinagdag sa mantissa:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Ang pagbabagong ito ay dapat gawin sa isip, kaya ang aksyon ay ganito:

286. Pagpapalit ng mga ibinawas na logarithms ng mga termino. Kapag nagkalkula ng ilan kumplikadong pagpapahayag gamit ang logarithms kailangan mong magdagdag ng ilang logarithms, ibawas ang iba; sa kasong ito, sa karaniwang paraan ng pagsasagawa ng mga aksyon, hiwalay nilang hinahanap ang kabuuan ng mga idinagdag na logarithms, pagkatapos ay ang kabuuan ng mga ibinawas, at ibawas ang pangalawa mula sa unang kabuuan. Halimbawa, kung mayroon tayong:

log X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

pagkatapos ay ang karaniwang pagpapatupad ng mga aksyon ay magiging ganito:

Gayunpaman, posible na palitan ang pagbabawas ng karagdagan. Kaya:

Ngayon ay maaari mong ayusin ang pagkalkula tulad nito:

287. Mga halimbawa ng kalkulasyon.

Halimbawa 1. Suriin ang expression:

Kung A = 0.8216, B = 0.04826, C = 0.005127 At D = 7.246.

Kumuha tayo ng logarithm ng expression na ito:

log X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Ngayon, upang maiwasan ang hindi kinakailangang pagkawala ng oras at upang mabawasan ang posibilidad ng mga pagkakamali, una sa lahat ay ayusin namin ang lahat ng mga kalkulasyon nang hindi isinasagawa ang mga ito sa ngayon at, samakatuwid, nang hindi tumutukoy sa mga talahanayan:

Pagkatapos nito, kinukuha namin ang mga talahanayan at inilalagay ang mga logarithms sa natitirang mga libreng puwang:

Limitasyon ng error. Una, hanapin natin ang limitasyon ng error ng numero x 1 = 194,5 , katumbas ng:

Kaya, una sa lahat kailangan mong hanapin A , ibig sabihin, ang limitasyon ng error ng tinatayang logarithm, na ipinahayag sa sampung libo. Ipagpalagay natin na ang mga numerong ito A, B, C At D lahat ay tumpak. Kung gayon ang mga pagkakamali sa mga indibidwal na logarithms ay ang mga sumusunod (sa sampung libo):

V logA.......... 1 / 2

V 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 idinagdag dahil kapag hinahati sa 3 logarithms ng 1.9146, ni-round namin ang quotient sa pamamagitan ng pag-discard sa ika-5 digit nito, at, samakatuwid, gumawa ng mas maliit na error. 1 / 2 sampu-sampung libo).

Ngayon nakita namin ang limitasyon ng error ng logarithm:

A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (sampung libo).

Ipaliwanag pa natin d . kasi x 1 = 194,5 , pagkatapos ay 2 magkakasunod na integer sa pagitan ng kung saan ay namamalagi x 1 kalooban 194 At 195 . Pagkakaiba ng talahanayan d sa pagitan ng mga mantissa na tumutugma sa mga numerong ito ay katumbas ng 22 . Nangangahulugan ito na ang limitasyon ng error ng numero ay x 1 mayroong:

kasi x = x 1 : 10, pagkatapos ay ang limitasyon ng error sa numero x katumbas 0,3:10 = 0,03 . Kaya, ang numero na aming natagpuan 19,45 ay naiiba sa eksaktong bilang ng mas mababa sa 0,03 . Dahil hindi namin alam kung ang aming pagtatantya ay nakitang may kakulangan o may labis, maaari lamang naming garantiya na

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , ibig sabihin.

19,48 > X > 19,42 ,

at samakatuwid, kung tatanggapin natin X =19,4 , pagkatapos ay magkakaroon tayo ng approximation na may disadvantage na may katumpakan na hanggang 0.1.

Halimbawa 2. Kalkulahin:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Dahil ang mga negatibong numero ay walang logarithms, una nating mahanap ang:

X" = (2,31) 3 5 √72

sa pamamagitan ng agnas:

log X"= 3 log 2.31 + 1/5 log72.

Pagkatapos ng pagkalkula, lumabas ito:

X" = 28,99 ;

kaya naman,

x = - 28,99 .

Halimbawa 3. Kalkulahin:

Ang patuloy na logarithmization ay hindi maaaring gamitin dito, dahil ang tanda ng ugat ay c u m m a. SA katulad na mga kaso kalkulahin ang formula sa pamamagitan ng mga bahagi.

Una naming mahanap N = 5 √8 , Pagkatapos N 1 = 4 √3 ; pagkatapos ay sa pamamagitan ng simpleng karagdagan natutukoy natin N+ N 1 , at sa wakas ay kinakalkula namin 3 √N+ N 1 ; iyon pala:

N=1.514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

log x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2.830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Ikaapat na Kabanata.

Exponential at logarithmic equation.

288. Ang mga exponential equation ay ang mga kung saan ang hindi alam ay kasama sa exponent, at logarithmic- ang mga kung saan ang hindi kilalang pumasok sa ilalim ng tanda log. Ang ganitong mga equation ay maaaring malutas lamang sa mga espesyal na kaso, at ang isa ay dapat umasa sa mga katangian ng logarithms at sa prinsipyo na kung ang mga numero ay pantay, kung gayon ang kanilang mga logarithms ay pantay, at, sa kabaligtaran, kung ang logarithms ay pantay, kung gayon ang kaukulang pantay ang mga numero.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation: 2 x = 1024 .

I-logarithm natin ang magkabilang panig ng equation:

Halimbawa 2. Lutasin ang equation: a 2x - a x = 1 . Paglalagay a x = sa , nakukuha namin quadratic equation:

y 2 - sa - 1 = 0 ,

kasi 1-√5 < 0 , kung gayon ang huling equation ay imposible (function a x palaging may positibong numero), at ang una ay nagbibigay ng:

Halimbawa 3. Lutasin ang equation:

log( isang + x) + log ( b + x) = log ( c + x) .

Ang equation ay maaaring isulat tulad nito:

log [( isang + x) (b + x)] = log ( c + x) .

Mula sa pagkakapantay-pantay ng logarithms, napagpasyahan namin na ang mga numero ay pantay:

(isang + x) (b + x) = c + x .

Ito ay isang quadratic equation, ang solusyon kung saan ay hindi mahirap.

Ikalimang Kabanata.

Pinagsamang interes, mga pagbabayad sa termino at mga pagbabayad sa termino.

289. Pangunahing suliranin sa tambalang interes. Magkano ang magiging kapital? A rubles, na ibinigay sa paglago sa R tambalang interes, pagkatapos t taon ( t - integer)?

Sinasabi nila na ang kapital ay binabayaran sa tambalang interes kung ang tinatawag na "interes sa interes" ay isinasaalang-alang, iyon ay, kung ang interes na pera na dapat bayaran sa kapital ay idinagdag sa kapital sa pagtatapos ng bawat taon upang tumaas. ito na may interes sa mga susunod na taon.

Ang bawat ruble ng kapital ay ibinibigay R %, ay magdadala ng tubo sa loob ng isang taon p / 100 ruble, at, samakatuwid, ang bawat ruble ng kapital sa 1 taon ay magiging 1 + p / 100 ruble (halimbawa, kung ang kapital ay ibinigay sa 5 %, kung gayon ang bawat ruble nito sa isang taon ay magiging 1 + 5 / 100 , ibig sabihin, sa 1,05 ruble).

Para sa kaiklian, nagsasaad ng fraction p / 100 na may isang titik, halimbawa, r , maaari nating sabihin na ang bawat ruble ng kapital sa isang taon ay magiging 1 + r rubles; kaya naman, A rubles ay ibabalik sa 1 taon sa A (1 + r ) kuskusin. Pagkatapos ng isa pang taon, i.e. 2 taon mula sa simula ng paglago, bawat ruble ng mga ito A (1 + r ) kuskusin. makikipag-ugnayan muli 1 + r kuskusin.; Nangangahulugan ito na ang lahat ng kapital ay magiging A (1 + r ) 2 kuskusin. Sa parehong paraan nakita namin na pagkatapos ng tatlong taon ang kabisera ay magiging A (1 + r ) 3 , sa loob ng apat na taon ay magiging A (1 + r ) 4 ,... sa pangkalahatan sa pamamagitan ng t taon kung t ay isang integer, ito ay magiging A (1 + r ) t kuskusin. Kaya, nagsasaad ng A panghuling kapital, magkakaroon tayo ng sumusunod na formula ng tambalang interes:

A = A (1 + r ) t saan r = p / 100 .

Halimbawa. Hayaan a =2,300 kuskusin., p = 4, t=20 taon; pagkatapos ang formula ay nagbibigay ng:

r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2,300 (1.04) 20.

Upang makalkula A, gumagamit kami ng logarithms:

log a = log 2 300 + 20 log 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.

A = 5031 ruble.

Magkomento. Sa halimbawang ito kailangan naming gawin log 1.04 dumami sa 20 . Dahil ang bilang 0,0170 may tinatayang halaga log 1.04 hanggang 1 / 2 sampung-libong bahagi, pagkatapos ay ang produkto ng bilang na ito sa pamamagitan ng 20 tiyak na hanggang 1 / 2 20, ibig sabihin, hanggang 10 ten-thousandths = 1 thousandth. Samakatuwid sa kabuuan 3,7017 Hindi lamang natin masisiguro ang bilang ng sampung libo, kundi pati na rin ang bilang ng ikalibo. Upang makakuha ng higit na katumpakan sa mga ganitong kaso, ito ay mas mahusay para sa numero 1 + r kumuha ng logarithms hindi 4-digit, ngunit may isang malaking bilang mga numero, hal. 7-digit. Para sa layuning ito, ipinakita namin dito ang isang maliit na talahanayan kung saan ang 7-digit na logarithms ay isinulat para sa pinakakaraniwang mga halaga R .

290. Ang pangunahing gawain ay para sa mga agarang pagbabayad. May kumuha A rubles bawat R % na may kondisyon na bayaran ang utang, kasama ang interes na dapat bayaran dito, sa t taon, nagbabayad ng parehong halaga sa katapusan ng bawat taon. Ano ang dapat na halagang ito?

Sum x , na binabayaran taun-taon sa ilalim ng gayong mga kundisyon, ay tinatawag na agarang pagbabayad. Muli nating tukuyin sa pamamagitan ng titik r taunang pera ng interes mula sa 1 rub., ibig sabihin, ang numero p / 100 . Pagkatapos sa pagtatapos ng unang taon ang utang A tumataas sa A (1 + r ), pangunahing pagbabayad X ito ay nagkakahalaga ng rubles A (1 + r )-X .

Sa pagtatapos ng ikalawang taon, ang bawat ruble ng halagang ito ay muling magiging 1 + r rubles, at samakatuwid ang utang ay magiging [ A (1 + r )-X ](1 + r ) = A (1 + r ) 2 - x (1 + r ), at para sa pagbabayad x rubles ay magiging: A (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . Sa parehong paraan, sisiguraduhin natin na sa pagtatapos ng 3rd year ay magiging utang

A (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,

at sa pangkalahatan at sa wakas t taon ay magiging:

A (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , o

A (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]

Ang polynomial sa loob ng mga panaklong ay kumakatawan sa kabuuan ng mga termino geometric na pag-unlad; na may unang miyembro 1 , huli ( 1 + r ) t -1, at ang denominator ( 1 + r ). Gamit ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad (Seksyon 10 Kabanata 3 § 249) makikita natin:

at ang halaga ng utang pagkatapos t -Ang kabayaran ay:

Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang utang ay nasa dulo t -ang taon ay dapat na katumbas ng 0 ; kaya naman:

saan

Kapag kinakalkula ito mga formula ng agarang pagbabayad gamit ang logarithms kailangan muna nating hanapin ang auxiliary number N = (1 + r ) t sa pamamagitan ng logarithm: log N= t log(1+ r) ; pagkakaroon ng natagpuan N, ibawas ang 1 mula dito, pagkatapos ay makuha natin ang denominator ng formula para sa X, pagkatapos nito ay makikita natin sa pamamagitan ng pangalawang logarithm:

log X=log a+ log N + log r - log (N - 1).

291. Ang pangunahing gawain para sa mga kontribusyon sa termino. May nagdeposito ng parehong halaga sa bangko sa simula ng bawat taon. A kuskusin. Tukuyin kung anong kapital ang mabubuo mula sa mga kontribusyong ito pagkatapos t taon kung magbabayad ang bangko R tambalang interes.

Itinalaga ni r taunang pera ng interes mula sa 1 ruble, i.e. p / 100 , nangangatuwiran kami ng ganito: sa pagtatapos ng unang taon ang kabisera ay magiging A (1 + r );

sa simula ng 2nd year ay idadagdag sa halagang ito A rubles; nangangahulugan ito na sa panahong ito ang kapital ay A (1 + r ) + a . By the end of 2nd year na siya A (1 + r ) 2 + a (1 + r );

sa simula ng 3rd year ay pinapasok na naman A rubles; nangangahulugan ito na sa panahong ito ay magkakaroon ng kapital A (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + A ; by the end of the 3rd magiging siya A (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Sa pagpapatuloy ng mga argumentong ito nang higit pa, nalaman natin na sa pagtatapos t taon ang kinakailangang kapital A ay:

Ito ang pormula para sa mga kontribusyon sa termino na ginawa sa simula ng bawat taon.

Ang parehong formula ay maaaring makuha sa pamamagitan ng sumusunod na pangangatwiran: paunang bayad sa A rubles habang nasa bangko t taon, ay magiging, ayon sa compound interest formula, sa A (1 + r ) t kuskusin. Ang pangalawang yugto, na nasa bangko nang mas mababa ng isang taon, i.e. t - 1 taong gulang, makipag-ugnayan A (1 + r ) t- 1 kuskusin. Gayundin, ang ikatlong yugto ay magbibigay A (1 + r ) t-2 atbp., at sa wakas ang huling installment, na nasa bangko ng 1 taon lamang, ay mapupunta sa A (1 + r ) kuskusin. Nangangahulugan ito ng huling kapital A kuskusin. ay:

A= A (1 + r ) t + A (1 + r ) t- 1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ),

na, pagkatapos ng pagpapasimple, ay nagbibigay ng formula na matatagpuan sa itaas.

Kapag kinakalkula gamit ang logarithms ng formula na ito, dapat kang magpatuloy sa parehong paraan tulad ng pagkalkula ng formula para sa mga agarang pagbabayad, ibig sabihin, hanapin muna ang numero N = ( 1 + r ) t sa pamamagitan ng logarithm nito: log N= t log(1 + r ), pagkatapos ay ang numero N- 1 at pagkatapos ay kumuha ng logarithm ng formula:

log A = log a+log(1+ r) + log (N - 1) - 1ogr

Magkomento. Kung isang kagyat na kontribusyon sa A kuskusin. ay ginawa hindi sa simula, ngunit sa katapusan ng bawat taon (tulad ng, halimbawa, isang agarang pagbabayad ay ginawa X upang bayaran ang utang), kung gayon, sa pangangatuwirang katulad ng nauna, nalaman natin na sa wakas t taon ang kinakailangang kapital A" kuskusin. ay magiging (kabilang ang huling yugto A kuskusin, walang interes):

A"= A (1 + r ) t- 1 + A (1 + r ) t-2 + . . . + A (1 + r ) + A

na katumbas ng:

i.e. A" nagtatapos sa ( 1 + r ) beses na mas kaunti A, na inaasahan, dahil ang bawat ruble ng kapital A" namamalagi sa bangko para sa isang taon na mas mababa kaysa sa kaukulang ruble ng kapital A.

1. Suriin kung may mga negatibong numero o isa sa ilalim ng logarithm sign. Ang pamamaraang ito naaangkop sa mga expression ng form log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Gayunpaman, hindi ito angkop para sa ilang mga espesyal na kaso:

   • Logarithm negatibong numero hindi tinutukoy sa anumang batayan (halimbawa, log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) o log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Sa kasong ito, isulat ang "walang solusyon".
   • Ang logarithm ng zero sa anumang base ay hindi rin natukoy. Kung mahuli ka ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), isulat ang "walang solusyon".
   • Logarithm ng isa sa anumang base ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) ay palaging zero, dahil x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) para sa lahat ng halaga x. Sumulat ng 1 sa halip ng logarithm na ito at huwag gamitin ang pamamaraan sa ibaba.
   • Kung ang logarithms ay may iba't ibang base, halimbawa l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), at hindi binabawasan sa mga integer, ang halaga ng expression ay hindi mahanap nang manu-mano.

2. I-convert ang expression sa isang logarithm. Kung ang expression ay hindi nalalapat sa mga espesyal na kaso sa itaas, maaari itong ipahayag bilang isang solong logarithm. Gamitin ang sumusunod na formula para dito: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Halimbawa 1: Isaalang-alang ang expression log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Una, katawanin natin ang expression bilang isang logarithm gamit ang formula sa itaas: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Ang formula na ito para sa "pagpapalit ng base" ng isang logarithm ay nagmula sa mga pangunahing katangian ng logarithms.

3. Kung maaari, suriin nang manu-mano ang halaga ng expression. Hanapin mag-log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), isipin ang expression " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", iyon ay, tanungin ang iyong sarili sunod na tanong: "Sa anong kapangyarihan dapat itaas a, Para makuha x?. Ang pagsagot sa tanong na ito ay maaaring mangailangan ng isang calculator, ngunit kung ikaw ay mapalad, maaari mong mahanap ito nang manu-mano.

   • Halimbawa 1 (ipinagpatuloy): Isulat muli bilang 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Kailangan mong hanapin kung anong numero ang dapat tumayo sa lugar ng "?" Magagawa ito sa pamamagitan ng pagsubok at pagkakamali:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Kaya, ang numero na hinahanap namin ay 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Iwanan ang iyong sagot sa logarithmic form kung hindi mo ito mapapasimple. Maraming logarithms ang napakahirap kalkulahin sa pamamagitan ng kamay. Sa kasong ito, upang makakuha ng tumpak na sagot, kakailanganin mo ng calculator. Gayunpaman, kung nilulutas mo ang isang problema sa klase, malamang na masisiyahan ang guro sa sagot sa logarithmic form. Ang pamamaraan na tinalakay sa ibaba ay ginagamit upang malutas ang isang mas kumplikadong halimbawa:

   • halimbawa 2: ano ang katumbas log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • I-convert natin ang expression na ito sa isang logarithm: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Tandaan na ang base 3 na karaniwan sa parehong logarithms ay nawawala; ito ay totoo sa anumang kadahilanan.
   • Isulat muli natin ang expression sa form 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) at subukan nating hanapin ang halaga?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Dahil ang 58 ay nasa pagitan ng dalawang numerong ito, hindi ito ipinahayag bilang isang buong numero.
   • Iniwan namin ang sagot sa logarithmic form: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).