Mga katangian ng decimal logarithms. Kahulugan ng logarithm at mga katangian nito: teorya at paglutas ng problema

pangunahing katangian.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

magkatulad na batayan

Log6 4 + log6 9.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain.

Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms

Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Siyempre, lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x >

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tingnan din ang:

Mga pangunahing katangian ng logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo at eksaktong halaga exhibitors, at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga halimbawa para sa logarithms

Mga expression ng logarithm

Halimbawa 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Gamit ang mga katangian 3.5 kinakalkula namin

4. saan .

Halimbawa 2. Hanapin ang x kung

Halimbawa 3. Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Talagang kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - kung wala ang mga ito, hindi malulutas ang isang seryosong problema sa logarithmic. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: pangunahing punto dito - magkatulad na batayan. Kung ang mga dahilan ay iba, ang mga patakarang ito ay hindi gumagana!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na hindi binibilang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Marami ang binuo sa katotohanang ito mga pagsubok. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pagkuha ng exponent mula sa logarithm

Madaling mapansin iyon huling tuntunin sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran , ibig sabihin. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinaka huling sandali nagtatrabaho lamang kami sa denominator.

Mga formula ng logarithm. Mga halimbawa ng solusyon sa Logarithms.

Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang naging resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung itinakda namin ang c = x, makakakuha kami ng:

Mula sa pangalawang pormula ito ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito sa pamamagitan lamang ng pagpapasya logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay isang logarithm value lamang.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Yan ang tawag dito: .

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b ay itinaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang na a? Iyan ay tama: ang resulta ay ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha namin:

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a ng base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.

Tingnan din ang:

Ang logarithm ng b sa base a ay nagsasaad ng expression. Upang kalkulahin ang logarithm ay nangangahulugan na makahanap ng isang kapangyarihan x () kung saan ang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan

Mga pangunahing katangian ng logarithm

Kinakailangang malaman ang mga katangian sa itaas, dahil halos lahat ng mga problema at mga halimbawa na may kaugnayan sa logarithms ay nalutas sa kanilang batayan. Ang natitirang mga kakaibang katangian ay maaaring makuha sa pamamagitan ng matematikal na pagmamanipula gamit ang mga formula na ito

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kapag kinakalkula ang formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga logarithms (3.4) madalas kang nakakaharap. Ang natitira ay medyo kumplikado, ngunit sa isang bilang ng mga gawain sila ay kailangang-kailangan para sa pagpapasimple ng mga kumplikadong expression at pagkalkula ng kanilang mga halaga.

Mga karaniwang kaso ng logarithms

Ang ilan sa mga pinakakaraniwang logarithms ay ang mga kung saan ang base ay katumbas ng sampu, exponential o dalawa.
Ang logarithm sa base ten ay karaniwang tinatawag na decimal logarithm at simpleng tinutukoy ng lg(x).

Malinaw sa recording na ang mga basic ay hindi nakasulat sa recording. Halimbawa

Ang natural na logarithm ay isang logarithm na ang base ay isang exponent (na tinutukoy ng ln(x)).

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay katumbas ng 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Nikolaevich Tolstoy. Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

At isa pang mahalagang logarithm sa base ng dalawa ay tinutukoy ng

Ang derivative ng logarithm ng isang function ay katumbas ng isang hinati ng variable

Ang integral o antiderivative logarithm ay tinutukoy ng relasyon

Ang ibinigay na materyal ay sapat para sa iyo upang malutas ang isang malawak na klase ng mga problema na may kaugnayan sa logarithms at logarithms. Upang matulungan kang maunawaan ang materyal, magbibigay lamang ako ng ilang karaniwang mga halimbawa mula sa kurikulum ng paaralan at mga unibersidad.

Mga halimbawa para sa logarithms

Mga expression ng logarithm

Halimbawa 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Gamit ang mga katangian 3.5 kinakalkula namin

2.
Sa pamamagitan ng pag-aari ng pagkakaiba ng logarithms mayroon tayo

3.
Gamit ang mga katangian 3.5 nahanap namin

4. saan .

Sa itsura kumplikadong pagpapahayag ang paggamit ng ilang mga panuntunan ay pinasimple upang mabuo

Paghahanap ng mga halaga ng logarithm

Halimbawa 2. Hanapin ang x kung

Solusyon. Para sa pagkalkula, nalalapat kami sa huling termino 5 at 13 na mga katangian

Inilagay namin ito sa talaan at nagdadalamhati

Dahil ang mga base ay pantay, tinutumbasan namin ang mga expression

Logarithms. Entry level.

Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Solusyon: Kumuha tayo ng logarithm ng variable upang isulat ang logarithm sa pamamagitan ng kabuuan ng mga termino nito

Ito ay simula pa lamang ng ating pagkakakilala sa logarithms at sa kanilang mga ari-arian. Magsanay ng mga kalkulasyon, pagyamanin ang iyong mga praktikal na kasanayan - malapit mo nang kailanganin ang kaalaman na makukuha mo upang malutas ang mga logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, palalawakin namin ang iyong kaalaman para sa isa pa nang hindi kukulangin mahalagang paksa- mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic...

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung ang mga dahilan ay iba, ang mga patakarang ito ay hindi gumagana!

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log6 4 + log6 9.

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pagkuha ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung itinakda namin ang c = x, makakakuha kami ng:

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay isang logarithm value lamang.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Yan ang tawag dito: .

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a ng base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.

Habang umuunlad ang lipunan at naging mas kumplikado ang produksyon, umunlad din ang matematika. Paggalaw mula simple hanggang kumplikado. Mula sa ordinaryong accounting gamit ang paraan ng karagdagan at pagbabawas, sa kanilang paulit-ulit na pag-uulit, dumating kami sa konsepto ng multiplikasyon at paghahati. Ang pagbabawas ng paulit-ulit na operasyon ng multiplikasyon ay naging konsepto ng exponentiation. Ang mga unang talahanayan ng pag-asa ng mga numero sa base at ang bilang ng exponentiation ay pinagsama-sama noong ika-8 siglo ng Indian mathematician na si Varasena. Mula sa kanila maaari mong bilangin ang oras ng paglitaw ng mga logarithms.

Makasaysayang sketch

Ang muling pagkabuhay ng Europa noong ika-16 na siglo ay nagpasigla din sa pag-unlad ng mekanika. T nangangailangan ng malaking halaga ng pagtutuos may kaugnayan sa pagpaparami at paghahati multi-digit na mga numero. Napakahusay ng serbisyo ng mga sinaunang mesa. Ginawa nilang posible na palitan ang mga kumplikadong operasyon ng mas simple - karagdagan at pagbabawas. Ang isang malaking hakbang pasulong ay ang gawain ng mathematician na si Michael Stiefel, na inilathala noong 1544, kung saan napagtanto niya ang ideya ng maraming mathematician. Ginawa nitong posible na gumamit ng mga talahanayan hindi lamang para sa mga degree sa anyo mga pangunahing numero, ngunit para din sa mga arbitraryong makatuwiran.

Noong 1614, ang Scotsman na si John Napier, na bumubuo ng mga ideyang ito, ay unang ipinakilala bagong termino"logarithm ng isang numero." Ang mga bago ay pinagsama-sama kumplikadong mga talahanayan para sa pagkalkula ng logarithms ng mga sine at cosine, pati na rin ang mga tangent. Ito ay lubhang nabawasan ang gawain ng mga astronomo.

Nagsimulang lumitaw ang mga bagong talahanayan, na matagumpay na ginamit ng mga siyentipiko sa kabuuan tatlong siglo. Maraming oras ang lumipas kanina bagong operasyon sa algebra nakuha nito ang kumpletong anyo. Ang kahulugan ng logarithm ay ibinigay at ang mga katangian nito ay pinag-aralan.

Noong ika-20 siglo lamang, sa pagdating ng calculator at computer, iniwan ng sangkatauhan ang mga sinaunang talahanayan na matagumpay na gumana sa buong ika-13 siglo.

Tinatawag natin ngayon ang logarithm ng b upang ibase sa a ang numerong x na siyang kapangyarihan ng a upang gawing b. Ito ay isinulat bilang isang formula: x = log a(b).

Halimbawa, ang log 3(9) ay magiging katumbas ng 2. Ito ay malinaw kung susundin mo ang kahulugan. Kung itataas natin ang 3 sa kapangyarihan ng 2, makakakuha tayo ng 9.

Kaya, ang nabuong kahulugan ay nagtatakda lamang ng isang paghihigpit: ang mga numerong a at b ay dapat na totoo.

Mga uri ng logarithms

Ang klasikong kahulugan ay tinatawag na tunay na logarithm at talagang ang solusyon sa equation na a x = b. Ang opsyon a = 1 ay borderline at hindi interesado. Pansin: Ang 1 sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng 1.

Tunay na halaga ng logarithm tinukoy lamang kapag ang base at ang argumento ay mas malaki sa 0, at ang base ay hindi dapat katumbas ng 1.

Espesyal na lugar sa larangan ng matematika maglaro ng logarithms, na papangalanan depende sa laki ng kanilang base:

Mga tuntunin at paghihigpit

Ang pangunahing katangian ng logarithms ay ang panuntunan: ang logarithm ng isang produkto ay katumbas ng logarithmic sum. log abp = log a(b) + log a(p).

Bilang isang variant ng pahayag na ito ay magiging: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), ang quotient function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga function.

Mula sa nakaraang dalawang panuntunan, madaling makita na: log a(b p) = p * log a(b).

Kasama sa iba pang mga ari-arian ang:

Magkomento. Huwag gumawa ng isang karaniwang pagkakamali - ang logarithm ng kabuuan ay hindi katumbas ng kabuuan logarithms.

Sa loob ng maraming siglo, ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ay isang medyo matagal na gawain. Ginamit ng mga mathematician ang kilalang formula ng logarithmic theory ng polynomial expansion:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kung saan n - natural na numero higit sa 1, na tumutukoy sa katumpakan ng pagkalkula.

Ang mga logarithm sa iba pang mga base ay kinakalkula gamit ang theorem tungkol sa paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa at ang ari-arian ng logarithm ng produkto.

Dahil ang pamamaraang ito ay napaka-labor-intensive at kapag nilulutas ang mga praktikal na problema mahirap ipatupad, gumamit kami ng mga pre-compiled na talahanayan ng logarithms, na makabuluhang pinabilis ang lahat ng gawain.

Sa ilang mga kaso, ginamit ang mga espesyal na pinagsama-samang mga graph ng logarithms, na nagbigay ng mas kaunting katumpakan, ngunit makabuluhang pinabilis ang paghahanap para sa nais na halaga. Ang curve ng function na y = log a(x), na binuo sa ilang mga punto, ay nagpapahintulot sa iyo na gumamit ng isang regular na ruler upang mahanap ang halaga ng function sa anumang iba pang punto. Mga inhinyero mahabang panahon Para sa mga layuning ito, ginamit ang tinatawag na graph paper.

Noong ika-17 siglo, lumitaw ang unang auxiliary analog computing na kondisyon, na ika-19 na siglo nakakuha ng tapos na hitsura. Ang pinakamatagumpay na device ay tinatawag na slide rule. Sa kabila ng pagiging simple ng aparato, ang hitsura nito ay makabuluhang pinabilis ang proseso ng lahat ng mga kalkulasyon ng engineering, at ito ay mahirap na mag-overestimate. Sa kasalukuyan, kakaunti ang mga taong pamilyar sa device na ito.

Ang pagdating ng mga calculator at computer ay ginawa ang paggamit ng anumang iba pang mga aparato na walang kabuluhan.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Upang malutas ang iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms, ang mga sumusunod na formula ay ginagamit:

Paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Bilang resulta ng nakaraang opsyon: log a(b) = 1 / log b(a).

Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kapaki-pakinabang na malaman:

Ang halaga ng logarithm ay magiging positibo lamang kung ang base at argumento ay parehong mas malaki o mas mababa sa isa; kung hindi bababa sa isang kundisyon ang nilabag, ang halaga ng logarithm ay magiging negatibo.
Kung ang logarithm function ay inilapat sa kanan at kaliwang bahagi ng isang hindi pagkakapantay-pantay, at ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mapangalagaan; kung hindi ito ay nagbabago.

Mga sample na problema

Isaalang-alang natin ang ilang mga opsyon para sa paggamit ng logarithms at ang kanilang mga katangian. Mga halimbawa sa paglutas ng mga equation:

Isaalang-alang ang opsyon ng paglalagay ng logarithm sa isang kapangyarihan:

Suliranin 3. Kalkulahin ang 25^log 5(3). Solusyon: sa mga kondisyon ng problema, ang entry ay katulad ng sumusunod (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Isulat natin ito sa ibang paraan: 5^log 5(3*2), o ang parisukat ng isang numero bilang function argument ay maaaring isulat bilang square ng function mismo (5^log 5(3))^2. Gamit ang mga katangian ng logarithms, ang expression na ito ay katumbas ng 3^2. Sagot: bilang isang resulta ng pagkalkula ay makakakuha tayo ng 9.

Praktikal na Aplikasyon

Ang pagiging isang purong mathematical tool, tila malayo sa totoong buhay na biglang nakuha ng logarithm malaking halaga upang ilarawan ang mga bagay totoong mundo. Mahirap maghanap ng agham kung saan hindi ito ginagamit. Ito ay ganap na nalalapat hindi lamang sa natural, kundi pati na rin sa makataong larangan ng kaalaman.

Mga dependency ng logarithmic

Narito ang ilang halimbawa ng mga numerical na dependencies:

Mechanics at physics

Sa kasaysayan, ang mga mekanika at pisika ay palaging binuo gamit ang mga pamamaraan ng pananaliksik sa matematika at sa parehong oras ay nagsisilbing isang insentibo para sa pagbuo ng matematika, kabilang ang mga logarithms. Ang teorya ng karamihan sa mga batas ng pisika ay nakasulat sa wika ng matematika. Magbigay lamang tayo ng dalawang halimbawa ng mga paglalarawan pisikal na batas gamit ang logarithm.

Ang problema sa pagkalkula ng tulad ng isang kumplikadong dami bilang ang bilis ng isang rocket ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paggamit ng Tsiolkovsky formula, na naglatag ng pundasyon para sa teorya ng paggalugad sa kalawakan:

V = I * ln (M1/M2), kung saan

Ang V ay ang huling bilis ng sasakyang panghimpapawid.
I - tiyak na salpok ng makina.
M 1 - paunang masa ng rocket.
M 2 – huling masa.

Isa pa mahalagang halimbawa - ito ay ginagamit sa pormula ng isa pang mahusay na siyentipiko na si Max Planck, na nagsisilbing pagsusuri sa estado ng ekwilibriyo sa thermodynamics.

S = k * ln (Ω), kung saan

S - thermodynamic na pag-aari.
k – Boltzmann pare-pareho.
Ang Ω ay ang istatistikal na timbang ng iba't ibang estado.

Chemistry

Hindi gaanong halata ang paggamit ng mga formula sa kimika na naglalaman ng ratio ng logarithms. Magbigay lamang tayo ng dalawang halimbawa:

Nernst equation, ang kondisyon ng redox potential ng medium na may kaugnayan sa aktibidad ng mga substance at ang equilibrium constant.
Ang pagkalkula ng mga pare-pareho tulad ng autolysis index at ang kaasiman ng solusyon ay hindi rin magagawa nang wala ang ating function.

Sikolohiya at biyolohiya

At hindi malinaw kung ano ang kinalaman ng sikolohiya dito. Ito ay lumalabas na ang lakas ng pandamdam ay mahusay na inilarawan ng function na ito bilang ang kabaligtaran na ratio ng halaga ng stimulus intensity sa mas mababang halaga ng intensity.

Matapos ang mga halimbawa sa itaas, hindi na nakakagulat na ang paksa ng logarithms ay malawakang ginagamit sa biology. Maaaring isulat ang buong volume tungkol sa mga biyolohikal na anyo na tumutugma sa mga logarithmic spiral.

Iba pang mga lugar

Tila imposible ang pagkakaroon ng mundo nang walang koneksyon sa tungkuling ito, at ito ang namamahala sa lahat ng batas. Lalo na kapag ang mga batas ng kalikasan ay may kaugnayan sa geometric na pag-unlad. Ito ay nagkakahalaga ng pagpunta sa MatProfi website, at mayroong maraming mga tulad na halimbawa sa mga sumusunod na lugar ng aktibidad:

Ang listahan ay maaaring walang katapusan. Ang pagkakaroon ng mastered ang mga pangunahing prinsipyo ng function na ito, maaari mong plunge sa mundo ng walang katapusang karunungan.

Ang pokus ng artikulong ito ay logarithm. Dito ay magbibigay tayo ng kahulugan ng logarithm, ipakita ang tinatanggap na notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng logarithm, at pag-uusapan ang natural at decimal logarithms. Pagkatapos nito ay isasaalang-alang natin ang pangunahing logarithmic identity.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng logarithm

Ang konsepto ng isang logarithm ay lumitaw kapag nilutas ang isang problema sa sa isang tiyak na kahulugan kabaligtaran, kapag kailangan mong hanapin ang exponent ng kilalang halaga degree at alam na batayan.

Ngunit sapat na mga paunang salita, oras na upang sagutin ang tanong na "ano ang logarithm"? Ibigay natin ang kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Logarithm ng b sa base a, kung saan ang a>0, a≠1 at b>0 ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas ang numerong a upang makuha ang b bilang resulta.

Sa yugtong ito, napapansin namin na ang binibigkas na salitang "logarithm" ay dapat na agad na magtaas ng dalawang follow-up na tanong: "anong numero" at "sa anong batayan." Sa madaling salita, walang logarithm, ngunit ang logarithm lamang ng isang numero sa ilang base.

Pumasok na tayo agad notasyon ng logarithm: ang logarithm ng isang numero b hanggang base a ay karaniwang tinutukoy bilang log a b. Ang logarithm ng isang numero b hanggang base e at ang logarithm sa base 10 ay may sariling mga espesyal na pagtatalaga lnb at logb, ayon sa pagkakabanggit, iyon ay, hindi sila sumulat ng log e b, ngunit lnb, at hindi log 10 b, ngunit lgb.

Ngayon ay maaari tayong magbigay ng: .
At ang mga talaan huwag magkaroon ng kahulugan, dahil sa una sa kanila sa ilalim ng tanda ng logarithm mayroong negatibong numero, sa pangalawa mayroong negatibong numero sa base, at sa pangatlo ay may negatibong numero sa ilalim ng logarithm sign at isang yunit sa base.

Ngayon pag-usapan natin mga panuntunan para sa pagbabasa ng logarithms. Ang log a b ay binabasa bilang "ang logarithm ng b hanggang base a". Halimbawa, ang log 2 3 ay ang logarithm ng tatlo hanggang base 2, at ang logarithm ng two point two thirds hanggang base 2 parisukat na ugat sa lima. Ang logarithm sa base e ay tinatawag natural na logarithm, at ang lnb entry ay nagbabasa ng " natural na logarithm b". Halimbawa, ang ln7 ay ang natural na logarithm ng pito, at babasahin natin ito bilang natural na logarithm ng pi. Ang base 10 logarithm ay mayroon ding espesyal na pangalan - decimal logarithm, at ang lgb ay binabasa bilang "decimal logarithm ng b". Halimbawa, ang lg1 ay ang decimal logarithm ng isa, at ang lg2.75 ay ang decimal logarithm ng two point seven five hundredths.

Ito ay nagkakahalaga ng paninirahan nang hiwalay sa mga kondisyon a>0, a≠1 at b>0, kung saan ibinibigay ang kahulugan ng logarithm. Ipaliwanag natin kung saan nagmula ang mga paghihigpit na ito. Ang pagkakapantay-pantay ng form na tinatawag na , na direktang sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas, ay makakatulong sa amin na gawin ito.

Magsimula tayo sa a≠1. Dahil ang isa sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng isa, ang pagkakapantay-pantay ay maaari lamang maging totoo kapag b=1, ngunit ang log 1 1 ay maaaring maging anumang tunay na numero. Upang maiwasan ang kalabuan na ito, ipinapalagay ang a≠1.

Bigyan natin ng katwiran ang pagiging angkop ng kondisyon a>0. Sa a=0, ayon sa kahulugan ng logarithm, magkakaroon tayo ng pagkakapantay-pantay, na posible lamang sa b=0. Ngunit ang log 0 0 ay maaaring maging anumang di-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang di-zero na kapangyarihan ay zero. Ang kundisyong a≠0 ay nagpapahintulot sa amin na maiwasan ang kalabuan na ito. At kapag a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Sa wakas, ang kundisyon b>0 ay sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0, dahil , at ang halaga ng isang kapangyarihan na may positibong base a ay palaging positibo.

Upang tapusin ang puntong ito, sabihin natin na ang nakasaad na kahulugan ng logarithm ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na ipahiwatig ang halaga ng logarithm kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay isang tiyak na kapangyarihan ng base. Sa katunayan, ang kahulugan ng isang logarithm ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na kung b=a p, kung gayon ang logarithm ng numerong b sa base a ay katumbas ng p. Ibig sabihin, ang equality log a a p =p ay totoo. Halimbawa, alam natin na 2 3 =8, pagkatapos ay log 2 8=3. Pag-uusapan natin ang higit pa tungkol dito sa artikulo.

Ano ang logarithm?

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)

Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na ang mga equation na may logarithms.

Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! Huwag maniwala sa akin? ayos lang. Ngayon, sa loob lang ng 10 - 20 minuto ay:

1. Maiintindihan mo ano ang logarithm.

2. Matutong lutasin ang isang buong klase mga exponential equation. Kahit na wala kang narinig tungkol sa kanila.

3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.

Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang multiplication table at kung paano itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan...

Pakiramdam ko ay may pagdududa ka... Well, okay, markahan ang oras! Tara na!

Una, lutasin ang equation na ito sa iyong ulo:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

(mula sa Greek λόγος - “salita”, “relasyon” at ἀριθμός - “numero”) mga numero b batay sa a(log α b) ay tinatawag na ganoong numero c, At b= isang c, ibig sabihin, records log α b=c At b=ac ay katumbas. Makatuwiran ang logarithm kung a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Sa madaling salita logarithm mga numero b batay sa A binabalangkas bilang isang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(umiiral lamang ang logarithm para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x= log α b, ay katumbas ng paglutas ng equation a x =b.

Halimbawa:

log 2 8 = 3 dahil 8 = 2 3 .

Bigyang-diin natin na ang ipinahiwatig na pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang agad na matukoy halaga ng logarithm, kapag ang numero sa ilalim ng logarithm sign ay gumaganap bilang ilang kapangyarihan ng base. Sa katunayan, ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b batay sa a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithms ay malapit na nauugnay sa paksa kapangyarihan ng isang numero.

Ang pagkalkula ng logarithm ay tinatawag logarithm. Ang Logarithm ay ang matematikal na operasyon ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithms, ang mga produkto ng mga salik ay binago sa kabuuan ng mga termino.

Potentiation ay ang inverse mathematical operation ng logarithm. Sa panahon ng potentiation, ang isang naibigay na base ay itataas sa antas ng pagpapahayag kung saan ginaganap ang potentiation. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay binago sa isang produkto ng mga kadahilanan.

Kadalasan, ang mga tunay na logarithm ay ginagamit sa mga base 2 (binary), Euler's number e ≈ 2.718 (natural logarithm) at 10 (decimal).

Naka-on sa yugtong ito ito ay ipinapayong isaalang-alang mga sample ng logarithm log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

At ang mga entry na lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ay walang katuturan, dahil sa una sa kanila isang negatibong numero ang inilalagay sa ilalim ng tanda ng logarithm, sa pangalawa mayroong negatibong numero sa base, at sa pangatlo ay may negatibong numero sa ilalim ng logarithm sign at unit sa base.

Mga kondisyon para sa pagtukoy ng logarithm.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang hiwalay sa mga kundisyon a > 0, a ≠ 1, b > 0. kung saan nakukuha natin kahulugan ng logarithm. Isaalang-alang natin kung bakit kinuha ang mga paghihigpit na ito. Ang pagkakapantay-pantay ng form na x = log α ay makakatulong sa atin dito b, na tinatawag na pangunahing logarithmic identity, na direktang sumusunod sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas.

Kunin natin ang kondisyon a≠1. Dahil ang isa sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng isa, ang pagkakapantay-pantay x=log α b maaari lamang umiral kapag b=1, ngunit ang log 1 1 ay magiging anumang tunay na numero. Upang maalis ang kalabuan na ito, kukunin namin a≠1.

Patunayan natin ang pangangailangan ng kondisyon a>0. Sa a=0 ayon sa pagbabalangkas ng logarithm ay maaari lamang umiral kapag b=0. At ayon noon log 0 0 ay maaaring maging anumang di-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang di-zero na kapangyarihan ay zero. Ang kalabuan na ito ay maaaring maalis ng kondisyon a≠0. At kailan a<0 kailangan nating tanggihan ang pagsusuri ng mga makatwiran at hindi makatwiran na mga halaga ng logarithm, dahil ang isang antas na may makatwiran at hindi makatwiran na exponent ay tinukoy lamang para sa mga di-negatibong base. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang kondisyon ay itinakda a>0.

At ang huling kondisyon b>0 sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0, dahil x=log α b, at ang halaga ng degree na may positibong base a laging positibo.

Mga tampok ng logarithms.

Logarithms nailalarawan sa pamamagitan ng katangi-tangi mga tampok, na humantong sa kanilang malawakang paggamit upang makabuluhang mapadali ang maingat na pagkalkula. Kapag lumipat "sa mundo ng logarithms," ang multiplikasyon ay nababago sa isang mas madaling karagdagan, ang paghahati ay binago sa pagbabawas, at ang exponentiation at root extraction ay binago, ayon sa pagkakabanggit, sa multiplikasyon at paghahati ng exponent.

Pagbubuo ng mga logarithms at talahanayan ng kanilang mga halaga (para sa trigonometriko function) ay unang inilathala noong 1614 ng Scottish mathematician na si John Napier. Ang mga logarithmic table, na pinalaki at idinetalye ng ibang mga siyentipiko, ay malawakang ginagamit sa mga kalkulasyon ng siyentipiko at inhinyero, at nanatiling may kaugnayan hanggang sa paggamit ng mga electronic calculator at computer.

Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Mga pangunahing katangian ng logarithm

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Mga halimbawa para sa logarithms

Mga expression ng logarithm

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Pagkuha ng exponent mula sa logarithm

Mga formula ng logarithm. Mga halimbawa ng solusyon sa Logarithms.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Logarithmic unit at logarithmic zero

Mga pangunahing katangian ng logarithm

Mga karaniwang kaso ng logarithms

Mga halimbawa para sa logarithms

Mga expression ng logarithm

Paghahanap ng mga halaga ng logarithm

Logarithms. Entry level.

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Pagkuha ng exponent mula sa logarithm

Paano malutas ang mga logarithms

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Logarithmic unit at logarithmic zero

Makasaysayang sketch

Mga uri ng logarithms

Mga tuntunin at paghihigpit

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Mga sample na problema

Praktikal na Aplikasyon

Mga dependency ng logarithmic

Mechanics at physics

Chemistry

Sikolohiya at biyolohiya

Iba pang mga lugar

Kahulugan ng logarithm

Ano ang logarithm?

Kung gusto mo ang site na ito...

Mga kondisyon para sa pagtukoy ng logarithm.

Mga tampok ng logarithms.

Pinili ng Editor