arasında müxtəlif ifadələr, cəbrdə nəzərə alınan monomiyalların cəmləri mühüm yer tutur. Bu cür ifadələrə nümunələr:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Monoforalların cəminə çoxhədli deyilir. Çoxhədlinin şərtlərinə çoxhədlinin şərtləri deyilir. Monomialın bir üzvdən ibarət çoxhədli olduğunu nəzərə alaraq, mononomlar da çoxhədlilər kimi təsnif edilir.

Məsələn, çoxhədli
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
sadələşdirilə bilər.

Bütün terminləri monomial şəklində təmsil edək standart görünüş:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Nəticə polinomunda oxşar şərtləri təqdim edək:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Nəticə çoxhədlidir, bütün şərtləri standart formanın monomiallarıdır və onların arasında oxşarları yoxdur. Belə polinomlar deyilir standart formalı polinomlar.

Arxada polinom dərəcəsi standart formada öz üzvlərinin ən yüksək səlahiyyətlərini alır. Beləliklə, \(12a^2b - 7b\) binomial üçüncü dərəcəyə, \(2b^2 -7b + 6\) isə ikinci dərəcəyə malikdir.

Tipik olaraq, bir dəyişəni ehtiva edən standart formalı çoxhədlilərin şərtləri eksponentlərin azalan ardıcıllığı ilə düzülür. Misal üçün:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Bir neçə çoxhədlilərin cəmi standart formalı çoxhədliyə çevrilə (sadələşdirilə bilər).

Bəzən çoxhədlinin şərtlərini qruplara bölmək, hər bir qrupu mötərizə içərisində almaq lazımdır. Mötərizənin bağlanması, açılan mötərizələrin tərs çevrilməsi olduğundan, onu formalaşdırmaq asandır. mötərizələrin açılması qaydaları:

Mötərizədə “+” işarəsi qoyularsa, mötərizədə alınan şərtlər eyni işarələrlə yazılır.

Mötərizədə “-” işarəsi qoyularsa, mötərizədə alınan terminlər əks işarələrlə yazılır.

Monoformal və çoxhədli məhsulun çevrilməsi (sadələşdirilməsi).

Vurmanın paylayıcı xassəsindən istifadə edərək, monomial və çoxhədlinin hasilini çoxhədliyə çevirə (sadələşdirə bilərsiniz). Misal üçün:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Bir çoxhədli ilə çoxhədlinin hasili bu monohəmin və çoxhədlinin hər birinin hasillərinin cəminə eyni dərəcədə bərabərdir.

Bu nəticə adətən bir qayda olaraq tərtib edilir.

Bir çoxhədlini çoxhədli ilə vurmaq üçün həmin monohəmi çoxhədlinin hər bir həddi ilə vurmalısınız.

Biz artıq bir neçə dəfə cəminə vurmaq üçün bu qaydadan istifadə etmişik.

Çoxhədlilərin hasili. İki çoxhədlinin hasilinin çevrilməsi (sadələşdirilməsi).

Ümumiyyətlə, iki çoxhədlinin hasili eyni dərəcədə bir çoxhədlinin hər bir üzvü ilə digərinin hər bir həddinin hasilinin cəminə bərabərdir.

Adətən aşağıdakı qayda istifadə olunur.

Çoxhədlini çoxhədli ilə çoxaltmaq üçün bir çoxhədlinin hər həddini digərinin hər bir üzvünə vurmalı və nəticədə hasilləri əlavə etməlisiniz.

Qısaldılmış vurma düsturları. Kvadratların cəmi, fərqlər və kvadratlar fərqi

Cəbri çevrilmələrdə bəzi ifadələrlə digərlərindən daha tez-tez məşğul olmalısınız. Bəlkə də ən çox yayılmış ifadələr \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) və \(a^2 - b^2 \), yəni cəminin kvadratı, kvadratların fərqi və fərqi. Diqqət etdiniz ki, bu ifadələrin adları natamam görünür, məsələn, \((a + b)^2 \) təbii ki, cəminin kvadratı deyil, a və b cəminin kvadratıdır. . Bununla belə, a və b cəminin kvadratı çox tez-tez baş vermir, bir qayda olaraq, a və b hərfləri əvəzinə müxtəlif, bəzən kifayət qədər mürəkkəb ifadələr ehtiva edir.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ifadələri asanlıqla standart formanın çoxhədlilərinə çevrilə bilər (sadələşdirilə bilər); əslində çoxhədləri çoxaldarkən bu vəzifə ilə artıq qarşılaşmısınız:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Yaranan şəxsiyyətləri xatırlamaq və aralıq hesablamalar olmadan tətbiq etmək faydalıdır. Qısa şifahi formulalar buna kömək edir.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - cəminin kvadratı məbləğinə bərabərdir kvadratlar və məhsulu iki qat artırın.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - fərqin kvadratı ikiqat hasil olmadan kvadratların cəminə bərabərdir.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadratların fərqi fərqlə cəminin hasilinə bərabərdir.

Bu üç identiklik, transformasiyalarda onun sol hissələrini sağ əllərlə və əksinə - sağ hissələri sol əllərlə əvəz etməyə imkan verir. Ən çətini uyğun ifadələri görmək və onlarda a və b dəyişənlərinin necə əvəz olunduğunu anlamaqdır. Qısaldılmış vurma düsturlarının istifadəsinə dair bir neçə nümunəyə baxaq.

Cəbri polinomları hesablayarkən, hesablamaları sadələşdirmək üçün istifadə edin qısaldılmış vurma düsturları . Ümumilikdə yeddi belə düstur var. Onların hamısını əzbər bilmək lazımdır.

Onu da xatırlamaq lazımdır ki, düsturlarda a və b əvəzinə ya rəqəmlər, ya da hər hansı digər cəbri polinomlar ola bilər.

Kvadratların fərqi

İki ədədin kvadratlarının fərqi bu ədədlərin fərqinin və onların cəminin hasilinə bərabərdir.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Cəmin kvadratı

İki ədədin cəminin kvadratı birinci nömrənin kvadratına üstəgəl birinci nömrənin hasilinin iki qatına, ikinci və ikinci nömrənin kvadratına bərabərdir.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Nəzərə alın ki, bu qısaldılmış vurma düsturu ilə bunu etmək asandır kvadratları tapın böyük rəqəmlər kalkulyator və ya uzun vurma istifadə etmədən. Bir misalla izah edək:

112 2-ni tapın.

112-ni kvadratlarını yaxşı xatırladığımız ədədlərin cəminə ayıraq.2
112 = 100 + 1

Mötərizədə olan ədədlərin cəmini yazın və mötərizələrin üzərinə kvadrat qoyun.
112 2 = (100 + 12) 2

Cəmin kvadratı üçün düsturdan istifadə edək:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Unutmayın ki, kvadrat cəmi düsturu istənilən cəbri çoxhədlilər üçün də etibarlıdır.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Xəbərdarlıq!!!

(a + b) 2 a 2 + b 2-yə bərabər deyil

Kvadrat fərq

İki ədədin fərqinin kvadratı birinci ədədin kvadratından birinci və ikincinin hasilinin iki qatına üstəgəl ikinci ədədin kvadratına bərabərdir.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Çox faydalı bir çevrilməni də xatırlamağa dəyər:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Yuxarıdakı düsturu sadəcə mötərizələri açmaqla sübut etmək olar:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Cəmin kubu

İki ədədin cəminin kubu birinci ədədin kubuna üstəgəl birinci ədədin kvadratının hasilini üçə, ikincisi isə birincinin hasilini ikincinin kvadratına üstəgəl ikincinin kubuna üçqat artırmağa bərabərdir. .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Bu "qorxulu" görünən düsturu xatırlamaq olduqca asandır.

Başlanğıcda 3 olduğunu öyrənin.

Ortadakı iki çoxhədlinin əmsalı 3-ə bərabərdir.

INunutmayın ki, sıfırıncı dərəcəyə qədər istənilən ədəd 1-dir (a 0 = 1, b 0 = 1). Düsturda a dərəcəsində azalma və b dərəcəsində artım olduğunu görmək asandır. Bunu yoxlaya bilərsiniz:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Xəbərdarlıq!!!

(a + b) 3 a 3 + b 3-ə bərabər deyil

Fərq kubu

İki ədədin fərqinin kubu, birinci ədədin kubuna, birinci ədədin kvadratının hasilinin üç qatına, ikincinin isə birinci ədədin hasiline və ikincinin kvadratına kubun vurulmasına üç dəfə bərabərdir. ikincidən.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Bu düstur əvvəlki kimi xatırlanır, ancaq "+" və "-" işarələrinin növbələşməsi nəzərə alınmaqla. Birinci 3-cü bəndin qarşısında “+” işarəsi qoyulur (riyaziyyat qaydalarına görə biz onu yazmırıq). Bu o deməkdir ki, növbəti termindən əvvəl “-”, sonra yenidən “+” və s.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

kubların cəmi ( Cəmi kub ilə qarışdırılmamalıdır!)

Kubların cəmi iki ədədin cəminin və fərqin qismən kvadratının hasilinə bərabərdir.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Kubların cəmi iki mötərizənin məhsuludur.

Birinci mötərizə iki ədədin cəmidir.

İkinci mötərizə ədədlər arasındakı fərqin natamam kvadratıdır. Fərqin natamam kvadratı aşağıdakı ifadədir:

A 2 - ab + b 2
Bu kvadrat natamamdır, çünki ortada qoşa hasil əvəzinə ədədlərin adi hasili var.

Kubların fərqi (Fərq kubu ilə qarışdırmayın!!!)

Kubların fərqi iki ədədin fərqinin və cəminin qismən kvadratının hasilinə bərabərdir.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

İşarələri yazarkən diqqətli olun.Yadda saxlamaq lazımdır ki, yuxarıda verilmiş bütün düsturlar da sağdan sola istifadə olunur.

Qısaldılmış vurma düsturlarını yadda saxlamağın asan yolu və ya... Paskal üçbucağı.

Qısaldılmış vurma düsturlarını xatırlamaqda çətinlik çəkirsiniz? Səbəbinə kömək etmək asandır. Yalnız bunun necə təsvir olunduğunu xatırlamaq lazımdır sadə şey, Paskal üçbucağı kimi. Onda siz bu düsturları həmişə və hər yerdə xatırlayacaqsınız, daha doğrusu, xatırlamayacaq, əksinə bərpa edəcəksiniz.

Paskal üçbucağı nədir? Bu üçbucaq formanın binomialının istənilən dərəcəsinin çoxhədliyə genişlənməsinə daxil olan əmsallardan ibarətdir.

Məsələn, genişləndirək:

Bu girişdə birinci nömrənin kubunun başlanğıcda, ikinci nömrənin kubunun isə sonunda olduğunu xatırlamaq asandır. Ancaq ortada olanı xatırlamaq çətindir. Və hətta hər bir sonrakı müddətdə bir amilin dərəcəsinin daim azalması, ikincisinin isə artması - bunu fərq etmək və xatırlamaq çətin deyil; əmsalları və işarələri yadda saxlamaqla vəziyyət daha çətindir (bu, müsbət və ya mənfidir) ?).

Beləliklə, əvvəlcə ehtimallar. Onları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur! Paskal üçbucağını tez bir zamanda notebookun kənarlarına çəkirik və budur - əmsallar, artıq qarşımızdadır. Üç vahidlə çəkməyə başlayırıq, biri yuxarıda, ikisi aşağıda, sağda və sola - bəli, bu artıq üçbucaqdır:

Bir 1 olan birinci sətir sıfırdır. Sonra birinci, ikinci, üçüncü və s. İkinci sətri əldə etmək üçün kənarlara yenidən birini təyin etməlisiniz və mərkəzdə yuxarıdakı iki rəqəmi əlavə etməklə əldə edilən nömrəni yazın:

Üçüncü sətri yazırıq: yenidən bölmənin kənarları boyunca və yenidən yeni sətirdə növbəti nömrəni almaq üçün əvvəlki birinə onun üstündəki nömrələri əlavə edirik:

Təxmin etdiyiniz kimi, hər bir sətirdə binomialın çoxhədli genişlənməsinin əmsallarını alırıq:

Yaxşı, işarələri xatırlamaq daha asandır: birincisi genişləndirilmiş binomialdakı kimidir (cəmi genişləndiririk - bu, artı deməkdir, fərq - mənfi deməkdir), sonra işarələr bir-birini əvəz edir!

Bu çox faydalı bir şeydir - Paskal üçbucağı. İstifadə edin!

Cəbr kursunda öyrənilən ilk mövzulardan biri qısaldılmış vurma düsturlarıdır. 7-ci sinifdə onlar ən sadə situasiyalarda istifadə olunur, burada ifadədəki düsturlardan birini tanımaq və çoxhədli faktorla və ya əksinə, cəm və ya fərqi tez kvadrat və ya kublara ayırmaq lazımdır. Gələcəkdə FSU bərabərsizlikləri və tənlikləri tez həll etmək və hətta bəzi ədədi ifadələri kalkulyator olmadan hesablamaq üçün istifadə olunur.

Düsturların siyahısı nə kimi görünür?

Mötərizədə çoxhədliləri sürətlə çoxaltmağa imkan verən 7 əsas düstur var.

Bəzən bu siyahıya təqdim olunan şəxsiyyətlərdən irəli gələn və formaya malik olan dördüncü dərəcə üçün genişləndirmə də daxildir:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Kvadratların fərqi istisna olmaqla, bütün bərabərliklərin bir cütü (cəm - fərq) var. Kvadratların cəminin düsturu verilmir.

Qalan bərabərlikləri yadda saxlamaq asandır:

Yadda saxlamaq lazımdır ki, FSU-lar istənilən halda və istənilən dəyər üçün işləyir a Və b: bunlar ixtiyari ədədlər və ya tam ifadələr ola bilər.

Düsturdakı müəyyən bir terminin qarşısında hansı işarənin olduğunu birdən xatırlamadığınız bir vəziyyətdə, mötərizələri aça və düsturdan istifadə etdikdən sonra eyni nəticəni əldə edə bilərsiniz. Məsələn, FSU fərq kubunu tətbiq edərkən problem yaranarsa, orijinal ifadəni yazmalısınız və vurmağı bir-bir yerinə yetirin:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Nəticədə, bütün oxşar şərtləri gətirdikdən sonra cədvəldəki kimi eyni çoxhədli alındı. Eyni manipulyasiyalar bütün digər FSU-larla həyata keçirilə bilər.

Tənliklərin həlli üçün FSU-nun tətbiqi

Məsələn, ehtiva edən bir tənliyi həll etməlisiniz 3-cü dərəcəli çoxhədli:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

IN məktəb kurikulumu kub tənliklərinin həlli üçün universal üsullar nəzərə alınmır və bu cür tapşırıqlar çox vaxt daha çox həll olunur sadə üsullar(məsələn, faktorizasiya yolu ilə). Eyniliyin sol tərəfinin cəminin kubuna bənzədiyini görsək, tənliyi daha sadə formada yazmaq olar:

(x + 1)³ = 0.

Belə bir tənliyin kökü şifahi olaraq hesablanır: x = -1.

Bərabərsizliklər oxşar şəkildə həll olunur. Məsələn, bərabərsizliyi həll edə bilərsiniz x³ – 6x² + 9x > 0.

Hər şeydən əvvəl, ifadəni faktorla əlaqələndirməlisiniz. Əvvəlcə mötərizə etməlisiniz x. Bundan sonra, mötərizədəki ifadənin fərqin kvadratına çevrilə biləcəyinə diqqət yetirin.

Sonra ifadənin sıfır qiymət aldığı nöqtələri tapmalı və onları nömrə xəttində qeyd etməlisiniz. IN konkret hal bunlar 0 və 3 olacaq. Sonra interval metodundan istifadə edərək, hansı intervallarda x bərabərsizlik şərtini ödəyəcəyini müəyyən edin.

FSU-lar yerinə yetirərkən faydalı ola bilər kalkulyatorun köməyi olmadan bəzi hesablamalar:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Bundan əlavə, ifadələri faktorinq etməklə siz kəsrləri asanlıqla azalda və müxtəlif cəbri ifadələri sadələşdirə bilərsiniz.

7-8-ci siniflər üçün problem nümunələri

Sonda cəbrdə qısaldılmış vurma düsturlarının istifadəsi ilə bağlı iki tapşırığı təhlil edib həll edəcəyik.

Tapşırıq 1. İfadəni sadələşdirin:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Həll. Tapşırıqın şərti ifadənin sadələşdirilməsini, yəni mötərizələrin açılmasını, vurma və eksponentasiya əməliyyatlarının yerinə yetirilməsini, həmçinin bütün oxşar şərtlərin gətirilməsini tələb edir. İfadəni şərti olaraq üç hissəyə (termin sayına görə) bölək və mümkün olan yerlərdə FSU-dan istifadə edərək mötərizələri bir-bir açaq.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(cəm kvadratı);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(kvadratların fərqi);
• Son müddətdə çoxalmaq lazımdır: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Alınan nəticələri orijinal ifadə ilə əvəz edək:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

İşarələri nəzərə alaraq, mötərizələr açacağıq və oxşar şərtləri təqdim edəcəyik:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Məsələ 2. 5-ci dərəcəyə qədər naməlum k olan tənliyi həll edin:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Həll. Bu zaman FSU və qruplaşdırma metodundan istifadə etmək lazımdır. Son və sondan əvvəlki şərtləri şəxsiyyətin sağ tərəfinə keçirmək lazımdır.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Ümumi faktor sağ və sol tərəfdən əldə edilir (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Hər şey tənliyin sol tərəfinə köçürülür ki, 0 sağda qalsın:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Yenə ümumi faktoru çıxarmaq lazımdır:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Əldə edilən birinci amildən nəticə çıxara bilərik k. Qısa vurma düsturuna görə, ikinci amil eyni şəkildə bərabər olacaqdır (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Məhsul 0-a bərabər olduğundan, onun amillərindən ən azı biri sıfırdırsa, tənliyin bütün köklərini tapmaq çətin deyil:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

İllüstrativ nümunələrə əsaslanaraq, düsturları, onların fərqlərini necə yadda saxlamağı başa düşə bilərsiniz, həmçinin FSU-dan istifadə edərək bir neçə praktiki problemi həll edə bilərsiniz. Tapşırıqlar sadədir və onları yerinə yetirməkdə heç bir çətinlik olmamalıdır.

>>Riyaziyyat: Qısaldılmış vurma düsturları

Qısaldılmış vurma düsturları

Bir çoxhədlini digərinə vurmaqla yığcam, yaddaqalan nəticə əldə edən bir neçə hal var. Bu hallarda, hər dəfə bir dəfə çoxalmamaq daha yaxşıdır çoxhədli digər tərəfdən və bitmiş nəticədən istifadə edin. Gəlin bu halları nəzərdən keçirək.

1. Kvadrat cəmi və kvadrat fərq:

Misal 1.İfadədəki mötərizələri genişləndirin:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) (1) düsturundan istifadə edək, a-nın rolunun 3x, b-nin rolunun isə 2 rəqəmi olduğunu nəzərə alsaq.
Biz əldə edirik:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) (2) düsturundan istifadə edək, rolda olduğunu nəzərə alaraq A dayanır 5a 2, və rolda b dayanır 4b 3. Biz əldə edirik:

(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Kvadrat cəmi və ya kvadrat fərq düsturlarından istifadə edərkən bunu unutmayın
(- a - b) 2 = (a + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Bu, (- a) 2 = a 2 olmasından irəli gəlir.

Qeyd edək ki, (1) və (2) düsturları zehni hesablamalar aparmağa imkan verən bəzi riyazi fəndlərə əsaslanır.

Məsələn, 1 və 9 ilə bitən rəqəmləri demək olar ki, şifahi olaraq kvadrat edə bilərsiniz. Həqiqətən

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Bəzən 2 və ya 8 ilə bitən ədədi tez kvadrata çevirə bilərsiniz. Məsələn,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Ancaq ən zərif hiylə 5 ilə bitən ədədlərin kvadratlaşdırılmasını əhatə edir.
85 2 üçün müvafiq mülahizəni yerinə yetirək.

Bizdə:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Qeyd edək ki, 85 2-ni hesablamaq üçün 8-i 9-a vurmaq və nəticədə sağa 25 əlavə etmək kifayət idi.Başqa hallarda da eyni şeyi edə bilərsiniz. Məsələn, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 və sağda nəticələnən rəqəmə 25 əlavə edildi);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 və sağdakı nəticəyə 25 əlavə edildi).

Darıxdırıcı (ilk baxışda) düsturlar (1) və (2) ilə bağlı müxtəlif maraqlı hallardan bəhs etdiyimiz üçün bu söhbəti aşağıdakı həndəsi əsaslandırma ilə tamamlayacağıq. Qoy a və b olsun müsbət ədədlər. Tərəfi a + b olan kvadratı nəzərdən keçirək və onun iki küncündən müvafiq olaraq a və b-yə bərabər olan kvadratları kəsin (şəkil 4).

Tərəfi a + b olan kvadratın sahəsi (a + b) 2-ə bərabərdir. Ancaq bu kvadratı dörd hissəyə kəsdik: tərəfi a olan kvadrat (sahəsi 2-yə bərabərdir), b tərəfi olan kvadrat (sahəsi b 2-yə bərabərdir), a və b tərəfləri olan iki düzbucaqlı (sahəsi hər belə düzbucaqlı ab-ə bərabərdir). Bu (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab deməkdir, yəni (1) düsturu alırıq.

a + b binomunu a - b binomuna vurun. Biz əldə edirik:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
Belə ki

Riyaziyyatda hər hansı bərabərlik soldan sağa istifadə olunur (yəni bərabərliyin sol tərəfi onun ilə əvəz olunur) sağ tərəf), və sağdan sola (yəni bərabərliyin sağ tərəfi sol tərəfi ilə əvəz olunur). Formula C) soldan sağa istifadə olunursa, o, (a + b) (a - b) məhsulunu bitmiş nəticə a 2 - b 2 ilə əvəz etməyə imkan verir. Eyni düstur sağdan sola istifadə edilə bilər, sonra a 2 - b 2 kvadratlarının fərqini (a + b) (a - b) məhsulu ilə əvəz etməyə imkan verir. Riyaziyyatda düstur (3) xüsusi ad verir - kvadratlar fərqi.

Şərh. “Kvadratların fərqi” ifadəsini “kvadrat fərqi” ilə qarışdırmayın. Kvadratların fərqi 2 - b 2 deməkdir, yəni haqqında danışırıq düstur (3) haqqında; fərqin kvadratı (a- b) 2-dir, yəni biz (2) düsturundan danışırıq. Adi dildə düstur (3) “sağdan sola” belə oxunur:

iki ədədin (ifadələrin) kvadratlarının fərqi bu ədədlərin (ifadələrin) cəminin və onların fərqinin hasilinə bərabərdir;

Misal 2.Çoxalmanı həyata keçirin

(3x- 2y)(3x+ 2y)
Həll. Bizdə:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

Misal 3. 16x 4 - 9 binomunu binomların hasili kimi ifadə edin.

Həll. Bizdə: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, yəni verilmiş binom kvadratların fərqidir, yəni. düstur (3) ona tətbiq oluna bilər, sağdan sola oxunur. Sonra alırıq:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Formula (3), düsturlar (1) və (2) kimi riyazi fəndlər üçün istifadə olunur. Görmək:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Kvadratların fərqinin düsturu haqqında söhbəti maraqlı həndəsi mülahizə ilə yekunlaşdıraq. a və b müsbət ədədlər olsun, a > b. Tərəfləri a + b və a - b olan düzbucaqlı düşünün (şək. 5). Onun sahəsi (a + b) (a - b). Tərəfləri b və a - b olan düzbucaqlı kəsib Şəkil 6-da göstərildiyi kimi qalan hissəyə yapışdıraq.Aydın olur ki, nəticədə alınan fiqur eyni sahəyə malikdir, yəni (a + b) (a - b). Amma bu rəqəm ola bilər
belə qurun: a tərəfi olan kvadratdan b tərəfi olan bir kvadrat kəsin (bu, şək. 6-da aydın görünür). Belə ki, ərazi yeni fiqur 2 - b 2-yə bərabərdir. Beləliklə, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, yəni (3) düsturunu aldıq.

3. Kubların fərqi və kubların cəmi

a - b binomunu a 2 + ab + b 2 trinomialına vurun.
Biz əldə edirik:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 -b 3.

Eynilə

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(özünüz yoxlayın). Belə ki,

Formula (4) adətən adlanır kubların fərqi, düstur (5) - kubların cəmi. Gəlin (4) və (5) düsturlarını adi dilə çevirməyə çalışaq. Bunu etməzdən əvvəl nəzərə alın ki, a 2 + ab + b 2 ifadəsi (1) düsturunda görünən və (a + b) 2 verən a 2 + 2ab + b 2 ifadəsinə bənzəyir; a 2 - ab + b 2 ifadəsi (2) düsturunda görünən və (a - b) 2-ni verən a 2 - 2ab + b 2 ifadəsinə bənzəyir.

Bu ifadə cütlərini (dildə) bir-birindən fərqləndirmək üçün a 2 + 2ab + b 2 və a 2 - 2ab + b 2 ifadələrinin hər birinə mükəmməl kvadrat (cəm və ya fərq) deyilir və a ifadələrinin hər biri a 2 + ab + b 2 və a 2 - ab + b 2 natamam kvadrat adlanır (cəm və ya fərq). Sonra (4) və (5) düsturlarının ("sağdan sola" oxuyun) adi dilə aşağıdakı tərcüməsini alırıq:

iki ədədin (ifadələrin) kublarının fərqi bu ədədlərin (ifadələrin) fərqinin onların cəminin natamam kvadratına hasilinə bərabərdir; iki ədədin (ifadələrin) kublarının cəmi bu ədədlərin (ifadələrin) cəmi ilə onların fərqinin natamam kvadratının hasilinə bərabərdir.

Şərh. Bu bənddə alınan bütün (1)-(5) düsturları həm soldan sağa, həm də sağdan sola istifadə olunur, yalnız birinci halda (soldan sağa) deyirlər ki, (1)-(5) qısaldılmış vurmadır. düsturlar, ikinci halda (sağdan sola) deyirlər ki, (1)-(5) faktorlara ayırma düsturlarıdır.

Misal 4. Vurma yerinə yetirin (2x - 1)(4x 2 + 2x +1).

Həll. Birinci amil 2x və 1 monomialları arasındakı fərq, ikinci amil isə onların cəminin natamam kvadratı olduğundan (4) düsturundan istifadə edə bilərik. Biz əldə edirik:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Misal 5. 27a 6 + 8b 3 binomunu polinomların hasili kimi təqdim edin.

Həll. Bizdə: 27a 6 = (2 üçün) 3, 8b 3 = (2b) 3. Bu o deməkdir ki, verilmiş binom kubların cəmidir, yəni ona 95-ci düstur tətbiq oluna bilər, sağdan sola oxunur. Sonra alırıq:

27a 6 + 8b 3 = (2 üçün) 3 + (2b) 3 = (2 + 2b üçün) ((2 üçün) 2 - 2 üçün 2b + (2b) 2) = (2 + 2b üçün) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

Məktəblilər üçün onlayn kömək, 7-ci sinif üçün Riyaziyyat yükləmək, təqvim və tematik planlaşdırma

A. V. Poqorelov, Həndəsə 7-11 siniflər üçün, Dərslik təhsil müəssisələri

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Bizim tərəfimizdən yığılmışdır Şəxsi məlumat Sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda qanunvericiliyə uyğun olaraq məhkəmə proseduru, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.