on monitahoinen, jonka muodostaa pyramidin kanta ja sen suuntainen osa. Voimme sanoa, että katkaistu pyramidi on pyramidi, jonka yläosa on leikattu pois. Tällä kuviolla on monia ainutlaatuisia ominaisuuksia:

• Pyramidin sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia;
• Säännöllisen katkaistun pyramidin sivureunat ovat samanpituisia ja kallistuneet alustaan ​​nähden samassa kulmassa;
• Pohjat ovat samanlaisia ​​polygoneja;
• Tavallisessa katkaistussa pyramidissa pinnat ovat identtisiä tasakylkisiä puolisuunnikkaita, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Ne on myös kallistettu alustaan ​​yhdessä kulmassa.

Katkaistun pyramidin sivupinta-alan kaava on sen sivujen pintojen summa:

Koska katkaistun pyramidin sivut ovat puolisuunnikkaan muotoisia, parametrien laskemiseen on käytettävä kaavaa puolisuunnikkaan muotoinen alue. Tavallisessa katkaistussa pyramidissa voit soveltaa erilaista kaavaa alueen laskemiseen. Koska sen kaikki sivut, pinnat ja kulmat pohjassa ovat yhtä suuret, on mahdollista soveltaa pohjan ja apoteemin kehyksiä sekä johtaa pinta-ala pohjan kulman kautta.

Jos säännöllisen katkaistun pyramidin olosuhteiden mukaan on annettu apoteemi (sivun korkeus) ja pohjan sivujen pituudet, niin pinta-ala voidaan laskea kehäsumman puolitulon kautta. perusteet ja apoteemi:

Katsotaanpa esimerkkiä katkaistun pyramidin sivupinta-alan laskemisesta.
Annettu säännöllinen viisikulmainen pyramidi. Apothem l= 5 cm, reunan pituus suuressa pohjassa on a= 6 cm, ja reuna on pienemmässä pohjassa b= 4 cm. Laske katkaistun pyramidin pinta-ala.

Ensin etsitään pohjan kehät. Koska meille on annettu viisikulmainen pyramidi, ymmärrämme, että kannat ovat viisikulmioita. Tämä tarkoittaa, että pohjat sisältävät kuvion, jossa on viisi identtistä sivua. Etsitään suuremman pohjan kehä:

Samalla tavalla löydämme pienemmän pohjan kehän:

Nyt voimme laskea säännöllisen katkaistun pyramidin alueen. Korvaa tiedot kaavaan:

Näin ollen laskemme säännöllisen katkaistun pyramidin alueen kehän ja apoteemin läpi.

Toinen tapa laskea sivupinta-ala tavallinen pyramidi, tämä on kaava pohjan kulmien ja juuri näiden tukien alueen läpi.

Katsotaanpa esimerkkilaskelmaa. Muistamme, että tämä kaava koskee vain tavallista katkaistua pyramidia.

Olkoon säännöllinen nelikulmainen pyramidi. Alapohjan reuna on a = 6 cm ja yläpohjan reuna b = 4 cm. Dihedraalinen kulma pohjassa on β = 60°. Etsi säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala.

Ensin lasketaan tukien pinta-ala. Koska pyramidi on säännöllinen, kaikki kantojen reunat ovat keskenään yhtä suuret. Ottaen huomioon, että kanta on nelikulmio, ymmärrämme, että se on tarpeen laskea aukion alue. Se on leveyden ja pituuden tulo, mutta neliöitynä nämä arvot ovat samat. Etsitään suuremman pohjan pinta-ala:


Nyt käytämme löydettyjä arvoja laskettaessa sivupinta-alaa.

Tietäen muutaman yksinkertaisen kaavan, laskemme helposti katkaistun pyramidin sivusuunnikkaan alueen eri arvoilla.

Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi on monitaho, jonka yksi pinoista on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (Kuva 15). Pyramidi on ns oikea , jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiomaista pyramidia, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .

Lateraalinen kylkiluu pyramidin sivupinnan se puoli, joka ei kuulu pohjaan Korkeus pyramidi on etäisyys sen huipulta pohjan tasoon. Kaikki lateraaliset kylkiluut säännöllisen pyramidin kaikki sivupinnat ovat yhtä suuret tasakylkiset kolmiot. Huippupisteestä vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteemi . Diagonaalinen leikkaus kutsutaan pyramidin poikkileikkaukseksi, jonka taso kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Sivuttaispinta-ala pyramidi on kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa. Kokonaispinta-ala kutsutaan kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summaksi.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä vinossa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjan lähellä olevan ympyrän keskelle.

2. Jos pyramidin kaikki sivureunat ovat yhtä pitkiä, niin pyramidin huippu heijastuu ympyrän keskelle, joka on rajattu lähellä kantaa.

3. Jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi oikea kaava on:

Missä V- tilavuus;

S pohja– peruspinta-ala;

H– pyramidin korkeus.

Normaalille pyramidille seuraavat kaavat ovat oikein:

Missä s– pohjakehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S puoli

S pohja– peruspinta-ala;

V– säännöllisen pyramidin tilavuus.

Katkaistu pyramidi kutsutaan pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin (kuva 17). Tavallinen katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Perusteet katkaistu pyramidi - samanlaisia ​​polygoneja. Sivukasvot - puolisuunnikkaan muotoiset. Korkeus Katkaistun pyramidin etäisyys on sen kantojen välinen etäisyys. Diagonaalinen katkaistu pyramidi on segmentti, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. Diagonaalinen leikkaus on katkaistun pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Katkaistulle pyramidille ovat voimassa seuraavat kaavat:

(4)

Missä S 1 , S 2 – ylä- ja alapohjan alueet;

S täynnä– kokonaispinta-ala;

S puoli– sivupinta-ala;

H- korkeus;

V– katkaistun pyramidin tilavuus.

Normaalille katkaistulle pyramidille kaava on oikea:

Missä s 1 , s 2 – pohjan kehät;

h a– säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kaksitahoinen kulma on 60º. Etsi sivureunan kaltevuuskulman tangentti pohjan tasoon nähden.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).

Pyramidi on säännöllinen, mikä tarkoittaa, että pohjassa on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välissä: jne. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (ympyrän keskipiste ja kolmion piirretty ympyrä ABC). Sivureunan kaltevuuskulma (esim S.B.) on itse reunan ja sen pohjan tasoon projektion välinen kulma. Kylkiluulle S.B. tämä kulma on kulma SBD. Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN Ja O.B.. Olkoon segmentin pituus BD on yhtä kuin 3 A. Piste NOIN Jana BD on jaettu osiin: ja mistä löydämme NIIN: Meiltä löydät:

Vastaus:

Esimerkki 2. Etsi oikean katkaisun tilavuus nelikulmainen pyramidi, jos sen kantavien diagonaalit ovat yhtä suuria kuin cm ja cm ja sen korkeus on 4 cm.

Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Pohjien alueen löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat vastaavasti 2 cm ja 8 cm. Tämä tarkoittaa kantojen pinta-alaa ja korvaamalla kaikki tiedot kaavaan laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm 3.

Esimerkki 3. Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka pohjien sivut ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).

Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen. Puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi sinun on tiedettävä pohja ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus jää tuntemattomaksi. Löydämme hänet mistä A 1 E kohtisuorassa pisteestä A 1 alemman alustan tasossa, A 1 D– kohtisuoraan alkaen A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytää DE Tehdään lisäpiirros, joka näyttää ylhäältä katsottuna (kuva 20). Piste NOIN– ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK– ympyrään merkitty säde ja OM– ympyrään merkitty säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen mukaan

Kasvojen sivualue:

Vastaus:

Esimerkki 4. Pyramidin pohjassa on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat A Ja b (a> b). Jokainen sivupinta muodostaa kulman, joka on yhtä suuri kuin pyramidin pohjan taso j. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD yhtä suuri kuin pintojen summa ja puolisuunnikkaan pinta-ala ABCD.

Käytetään väitettä, että jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin kärki projisoidaan kantaan piirretyn ympyrän keskelle. Piste NOIN– kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD pohjan tasoon. Käyttämällä lausetta tasokuvan ortogonaalisen projektion alueella saamme:

Samoin se tarkoittaa Siten ongelma rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD. Piirretään puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Piste NOIN– puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.

Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, niin tai Pythagoraan lauseesta meillä on

Tällä oppitunnilla tarkastelemme katkaistua pyramidia, tutustumme tavalliseen katkaistuun pyramidiin ja tutkimme niiden ominaisuuksia.

Muistetaan n-kulmaisen pyramidin käsite esimerkin avulla kolmion muotoinen pyramidi. Kolmio ABC on annettu. Kolmion tason ulkopuolelle otetaan piste P, joka on yhdistetty kolmion kärkipisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista pintaa kutsutaan pyramidiksi (kuva 1).

Riisi. 1. Kolmiopyramidi

Leikataan pyramidi tasolla, joka on yhdensuuntainen pyramidin kannan tason kanssa. Näiden tasojen väliltä saatua kuvaa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi (kuva 2).

Riisi. 2. Katkaistu pyramidi

Tarvittavat elementit:

Yläpohja;

ABC alempi pohja;

Sivu kasvot;

Jos PH on alkuperäisen pyramidin korkeus, se on katkaistun pyramidin korkeus.

Katkaistun pyramidin ominaisuudet johtuvat sen rakennusmenetelmästä, nimittäin kantajen tasojen yhdensuuntaisuudesta:

Katkaistun pyramidin kaikki sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia. Harkitse esimerkiksi reunaa. Sillä on yhdensuuntaisten tasojen ominaisuus (koska tasot ovat yhdensuuntaisia, ne leikkaavat alkuperäisen AVR-pyramidin sivupinnan yhdensuuntaisia ​​suoria linjoja pitkin), mutta samalla ne eivät ole yhdensuuntaisia. On selvää, että nelikulmio on puolisuunnikkaan muotoinen, kuten kaikki katkaistun pyramidin sivupinnat.

Kantojen suhde on sama kaikille puolisuunnikkaan:

Meillä on useita samankaltaisia ​​kolmioita, joilla on sama samankaltaisuuskerroin. Esimerkiksi kolmiot ja RAB ovat samankaltaisia ​​tasojen yhdensuuntaisuuden ja samankaltaisuuskertoimen vuoksi:

Samanaikaisesti kolmiot ja RVS ovat samankaltaisia ​​samankaltaisuuskertoimella:

Ilmeisesti samankaltaisuuskertoimet kaikille kolmelle samankaltaisten kolmioiden parille ovat yhtä suuret, joten kantojen suhde on sama kaikille puolisuunnikkaan.

Säännöllinen katkaistu pyramidi on katkaistu pyramidi, joka saadaan leikkaamalla säännöllinen pyramidi, jonka taso on yhdensuuntainen kannan kanssa (kuva 3).

Riisi. 3. Säännöllinen katkaistu pyramidi

Määritelmä.

Pyramidia kutsutaan säännölliseksi, jos sen kanta on säännöllinen n-kulmio ja sen kärki projisoidaan tämän n-kulmion (kirjoitetun ja rajatun ympyrän keskipisteeseen) keskelle.

Tässä tapauksessa pyramidin pohjassa on neliö, ja huippu heijastetaan sen diagonaalien leikkauspisteeseen. Tuloksena olevalla säännöllisellä nelikulmaisella katkaistulla pyramidilla ABCD on alempi kanta ja ylempi kanta. Alkuperäisen pyramidin korkeus on RO, katkaistu pyramidi (kuva 4).

Riisi. 4. Säännöllinen nelikulmainen katkaistu pyramidi

Määritelmä.

Katkaistun pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty yhden kannan mistä tahansa pisteestä toisen kannan tasoon.

Alkuperäisen pyramidin apoteemi on RM (M on AB:n keskikohta), katkaistun pyramidin apoteemi on (kuva 4).

Määritelmä.

Katkaistun pyramidin apoteemi on minkä tahansa sivupinnan korkeus.

On selvää, että katkaistun pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, eli sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä puolisuunnikkaita.

Säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin kannan kehän ja apoteemin puolen summan tulo.

Todiste (säännölliselle nelikulmaiselle katkaistulle pyramidille - kuva 4):

Joten meidän on todistettava:

Sivupinnan pinta-ala tässä koostuu sivupintojen pinta-alojen summasta - puolisuunnikkaat. Koska puolisuunnikkaat ovat samat, meillä on:

Neliö tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen on puolet kantajen ja korkeuden summasta, apoteemi on puolisuunnikkaan korkeus. Meillä on:

Q.E.D.

n-kulmaiselle pyramidille:

Missä n on pyramidin sivupintojen lukumäärä, a ja b ovat puolisuunnikkaan kantat ja apoteemi.

Säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin pohjan sivut yhtä suuri kuin 3 cm ja 9 cm, korkeus - 4 cm. Etsi sivupinnan pinta-ala.

Riisi. 5. Kuva tehtävälle 1

Ratkaisu. Havainnollistetaan tilanne:

Kysyjä: , ,

Vedämme pisteen O kautta suoran MN, joka on yhdensuuntainen alemman alustan molempien sivujen kanssa, ja vastaavasti pisteen läpi vedämme suoran (kuva 6). Koska katkaistun pyramidin pohjassa olevat neliöt ja rakenteet ovat yhdensuuntaiset, saadaan puolisuunnikkaan sivupinnat. Lisäksi sen sivu kulkee sivupintojen ylä- ja alareunojen keskipisteiden läpi ja on katkaistun pyramidin apoteemi.

Riisi. 6. Lisärakenteet

Tarkastellaan saatua puolisuunnikasta (kuva 6). Tässä puolisuunnikkaan ylempi pohja, alempi pohja ja korkeus tunnetaan. Sinun on löydettävä sivu, joka on tietyn katkaistun pyramidin apoteemi. Piirretään kohtisuoraan MN:ään nähden. Pisteestä lasketaan kohtisuora NQ. Havaitsemme, että suurempi pohja on jaettu kolmen senttimetrin osiin (). Harkitse suorakulmaista kolmiota, sen jalat tunnetaan, tämä on egyptiläinen kolmio, Pythagoraan lauseen avulla määritämme hypotenuusan pituuden: 5 cm.

Nyt on kaikki elementit pyramidin sivupinnan alueen määrittämiseksi:

Pyramidin leikkaa pohjan kanssa yhdensuuntainen taso. Todista kolmiopyramidin esimerkillä, että pyramidin sivureunat ja korkeus on jaettu tällä tasolla suhteellisiin osiin.

Todiste. Havainnollistetaan:

Riisi. 7. Kuva tehtävälle 2

RABC-pyramidi on annettu. PO - pyramidin korkeus. Pyramidi leikataan tasolla, saadaan katkaistu pyramidi ja. Piste - RO:n korkeuden leikkauspiste katkaistun pyramidin pohjan tason kanssa. On tarpeen todistaa:

Avain ratkaisuun on yhdensuuntaisten tasojen ominaisuus. Kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa minkä tahansa kolmannen tason siten, että leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset. Täältä: . Vastaavien viivojen yhdensuuntaisuus tarkoittaa neljän samankaltaisen kolmion paria:

Kolmioiden samankaltaisuudesta seuraa vastaavien sivujen suhteellisuus. Tärkeä ominaisuus on, että näiden kolmioiden samankaltaisuuskertoimet ovat samat:

Q.E.D.

Säännöllinen kolmion muotoinen pyramidi RABC, jonka korkeus ja sivu on pohjan, leikataan tasolla, joka kulkee korkeuden PH keskikohdan läpi samansuuntaisesti pohjan ABC:n kanssa. Etsi tuloksena olevan katkaistun pyramidin sivupinta-ala.

Ratkaisu. Havainnollistetaan:

Riisi. 8. Kuva tehtävälle 3

DIA - säännöllinen kolmio, H on tämän kolmion keskipiste (kirjoitettujen ja rajattujen ympyröiden keskipiste). RM on tietyn pyramidin apoteemi. - katkaistun pyramidin apoteemi. Yhdensuuntaisten tasojen ominaisuuden mukaan (kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa minkä tahansa kolmannen tason niin, että leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset) meillä on useita samankaltaisia ​​kolmioita, joilla on sama samankaltaisuuskerroin. Erityisesti olemme kiinnostuneita suhteesta:

Etsitään NM. Tämä on kantaan kirjoitetun ympyrän säde; tiedämme vastaavan kaavan:

Nyt alkaen suorakulmainen kolmio RNM Pythagoraan lauseen avulla löydämme RM - alkuperäisen pyramidin apoteemin:

Alkusuhteesta:

Nyt tiedämme kaikki elementit katkaistun pyramidin sivupinnan alueen löytämiseksi:

Joten tutustuimme katkaistun pyramidin ja säännöllisen katkaistun pyramidin käsitteisiin, annoimme perusmääritelmiä, tutkimme ominaisuuksia ja todistimme lauseen sivupinnan pinta-alasta. Seuraavalla oppitunnilla keskitytään ongelmanratkaisuun.

Bibliografia

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometria. Luokat 10-11: oppikirja opiskelijoille koulutusinstituutiot(perus- ja profiilitasot) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. painos, rev. ja ylimääräisiä - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Sharygin I. F. Geometria. 10-11 luokka: Yleissivistävän oppikirja koulutusinstituutiot/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometria. Arvosana 10: Oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle, jossa on matematiikan syvällinen ja erikoistunut opiskelu /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: ill.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru ().

Kotitehtävät