ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ. ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

1. ನೈಜ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ;
2. ಅದರ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ;
3. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಸ್ತುವಿನ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳು;
4. ತಾರ್ಕಿಕ-ಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು (ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಮಾನತೆಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ತಾರ್ಕಿಕ-ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ವಸ್ತು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ;
5. ನಿರ್ಬಂಧಗಳು, ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಮಾನತೆಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಸ್ತು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಂತರಿಕ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ;
6. ಬಾಹ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು, ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಮಾನತೆಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ತಾರ್ಕಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್, ಒಂದು ವಸ್ತು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ಅದರ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:

1. ಒಂದು ವಸ್ತು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು;
2. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ವಸ್ತು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮರ್ಪಕತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು;
3. ಮಾದರಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ;
4. ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ:

1. ನೈಜ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಹೈಡ್ರೊಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ.
2. ನೈಜ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ನಿಖರತೆ.

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಳವಾದ, ಅತ್ಯಂತ ಕಚ್ಚಾ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅದರ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನೀವು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು ಮೇಜು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅದರ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ. ಈ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ: ನಿಜವಾದ ವಸ್ತುವನ್ನು (ಟೇಬಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ) ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಒಂದು ಆಯತ. ಮೇಜಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಆಯತಕ್ಕೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಮೇಜಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರದೇಶವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಜಿನ ಆಯತಾಕಾರದ ಮಾದರಿಯು ಸರಳವಾದ, ಅತ್ಯಂತ ಕಚ್ಚಾ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. ನೀವು ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಗಂಭೀರವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಮೇಜಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಆಯತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಚೆಕ್ಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು: ಮೇಜಿನ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ. ಅಗತ್ಯ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಜಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಆಯತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಯತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರತೆಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಶ್ಯಕತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಜಿನ ಮೂಲೆಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು.

ಇದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ವಸ್ತು, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ಮೂಲಕ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಅಥವಾ (ನಾಳೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುವುದು)

ಗಣಿತವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳು. ಮಾದರಿಗಳು:

1, ಪ್ರಕೃತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣ (ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ)

2. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾರ್ಗ. ಸಂಸ್ಕರಣೆ ಮತ್ತು ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು (ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನ)

3. ಅಂಶಗಳ ಮಾದರಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣ (ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು)

1, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ - ಸಾಕಷ್ಟು ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮಾದರಿಗಳು.

2. ಪ್ರಯೋಗ. ಮಾಹಿತಿಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ.

3. ಅನುಕರಣೆ m. - ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ.

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ.

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ- ಇದು ಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಸ್ತವ.

ಗಣಿತ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು.

ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಕೊಂಡಿವೆ: ಅವರು ವಸ್ತುವನ್ನು ಅದರ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಆದರ್ಶೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳೀಕರಣಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಆದರ್ಶ ವಸ್ತುವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮಾದರಿಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು?

ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ತೊಂದರೆಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಮೂಲವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅದರ ಬಳಕೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಮೂಲವನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸುವುದು ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಮಾದರಿಗಳ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

§ ಛಾಯಾಚಿತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು, ಅವನ ಫೋಟೋವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ಸಾಕು.

§ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿ ಹೊಸ ವಸತಿ ಪ್ರದೇಶದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವನು ತನ್ನ ಕೈಯ ಚಲನೆಯಿಂದ ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ.

ಮಾದರಿ ಪ್ರಕಾರಗಳು

ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ವಸ್ತು"ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಸ್ತು ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರ್ಶ ಮಾದರಿಗಳುಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಂಕೇತಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೆಮೊರಿಯಲ್ಲಿ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಬಹುದು.

ಗಣಿತ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ಸಾಂಕೇತಿಕ ಮಾದರಿಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು: ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು

§ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು:

1. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ನಮಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು.

2. ಸಂಕೇತಗಳ ಪರಿಚಯ.

3. ನಮೂದಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವುದು.

4. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸೂಕ್ತ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್.

ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾದರಿಯ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಿದ ನಂತರ, ಅವರು ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿಲ್ಲದಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಕಾರ್ಯ

ಉತ್ಪಾದನಾ ಸಂಘ, ಎರಡು ಪೀಠೋಪಕರಣ ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅದರ ಯಂತ್ರ ಉದ್ಯಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೊದಲ ಪೀಠೋಪಕರಣ ಕಾರ್ಖಾನೆಯು ಮೂರು ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಏಳು. ಎರಡು ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳ ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಲ್ಲಿ ಆದೇಶಗಳನ್ನು ಇರಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾವರವು 6 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಇದ್ದರೆ ಎರಡನೇ ಸಸ್ಯವು ಆದೇಶವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದೇಶಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಇಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 1.5.1.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆರ್ಥಿಕ ಪ್ರದೇಶವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಹಲವಾರು (n) ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಿ. ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸರಕುಗಳಿಗೆ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪಾದನೆಯ ವಾರ್ಷಿಕ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಈ ಪರಿಮಾಣವು ಅಂತಿಮ ಮತ್ತು ಕೈಗಾರಿಕಾ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಅದರ ಷರತ್ತುಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು, ಅವುಗಳಿಗೆ ಬೇಡಿಕೆ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ; ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ:

ಸಿ i- ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇಡಿಕೆ iನೇ ಉತ್ಪನ್ನ ( i=1,...,ಎನ್); ಎ ij- ಪ್ರಮಾಣ iನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು j ನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಘಟಕವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಉತ್ಪನ್ನ ( i=1,...,ಎನ್ ; ಜ=1,...,ಎನ್);

X i - ಔಟ್ಪುಟ್ ಪರಿಮಾಣ i-ನೇ ಉತ್ಪನ್ನ ( i=1,...,ಎನ್); ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಜೊತೆಗೆ =(ಸಿ 1 ,..., ಸಿ ಎನ್ ) ಬೇಡಿಕೆ ವೆಕ್ಟರ್, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ ij- ತಾಂತ್ರಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು X =(X 1 ,..., X ಎನ್ ) - ಬಿಡುಗಡೆ ವೆಕ್ಟರ್.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ವೆಕ್ಟರ್ X ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ: ಅಂತಿಮ ಬಳಕೆಗಾಗಿ (ವೆಕ್ಟರ್ ಜೊತೆಗೆ ) ಮತ್ತು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ (ವೆಕ್ಟರ್ x-s ) ವೆಕ್ಟರ್ನ ಭಾಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ X ಇದು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪಾದನೆಗೆ ನಮ್ಮ ಪದನಾಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ X ಜಸರಬರಾಜು ಮಾಡಿದ jth ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮಾಣ ಎ ij · X ಜಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ i-ನೇ ಉತ್ಪನ್ನ.

ನಂತರ ಮೊತ್ತ ಎ i1 · X 1 +...+ ಎ ರಲ್ಲಿ · X ಎನ್ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ i-th ಉತ್ಪನ್ನ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಿಡುಗಡೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ X =(X 1 ,..., X ಎನ್ ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:

n ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು X 1 ,...,X ಎನ್ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಿಡುಗಡೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ (ವೆಕ್ಟರ್) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಚೌಕ (
) -ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಈಗ ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ: x-s=ಆಹ್ಅಥವಾ

(1.6)

ನಾವು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ " ಇನ್ಪುಟ್ - ಔಟ್ಪುಟ್ ", ಇದರ ಲೇಖಕರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅಮೇರಿಕನ್ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ವಿ. ಲಿಯೊಂಟಿವ್.

ಉದಾಹರಣೆ 1.5.2.

ತೈಲ ಸಂಸ್ಕರಣಾಗಾರವು ಎರಡು ದರ್ಜೆಯ ತೈಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಗ್ರೇಡ್ ಎ 10 ಘಟಕಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೇಡ್ IN- 15 ಘಟಕಗಳು. ತೈಲವನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವಾಗ, ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ (ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಬಿ) ಮತ್ತು ಇಂಧನ ತೈಲ ( ಎಂ) ಸಂಸ್ಕರಣಾ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಮೂರು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:

I: 1 ಘಟಕ ಎ+ 2 ಘಟಕಗಳು IN 3 ಘಟಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಿ+ 2 ಘಟಕಗಳು ಎಂ

II: 2 ಘಟಕಗಳು. ಎ+ 1 ಘಟಕ IN 1 ಘಟಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಿ+ 5 ಘಟಕಗಳು ಎಂ

III: 2 ಘಟಕಗಳು ಎ+ 2 ಘಟಕಗಳು IN 1 ಘಟಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಿ+ 2 ಘಟಕಗಳು ಎಂ

ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಬೆಲೆ ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ಗೆ $ 10, ಇಂಧನ ತೈಲವು ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ಗೆ $ 1 ಆಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳುಲಭ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮಾಣದ ತೈಲವನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವುದು.

ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ, ಸಸ್ಯಕ್ಕೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ "ಲಾಭದಾಯಕತೆ" ಅದರ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಮತ್ತು ಇಂಧನ ತೈಲ) ಮಾರಾಟದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಆದಾಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಸಸ್ಯದ "ಆಯ್ಕೆ (ಮಾಡುವ) ನಿರ್ಧಾರ" ಯಾವ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಇವೆ.

ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ:

X i- ಬಳಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣ iತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ (i=1,2,3). ಇತರ ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳು (ತೈಲ ನಿಕ್ಷೇಪಗಳು, ಗ್ಯಾಸೋಲಿನ್ ಮತ್ತು ಇಂಧನ ತೈಲ ಬೆಲೆಗಳು) ತಿಳಿದಿದೆ.

ಈಗ ಒಂದು ವಿಷಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಸಸ್ಯವು ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಬರುತ್ತದೆ X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಸ್ಯದ ಆದಾಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) ಡಾಲರ್‌ಗಳು. ಇಲ್ಲಿ, 32 ಡಾಲರ್‌ಗಳು ಮೊದಲ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನಿಂದ ಪಡೆದ ಆದಾಯವಾಗಿದೆ ($10 3 ಘಟಕಗಳು. ಬಿ+ 1 ಡಾಲರ್ ·2 ಘಟಕಗಳು. ಎಂ= $32). ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 15 ಮತ್ತು 12 ಗುಣಾಂಕಗಳು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ತೈಲ ನಿಕ್ಷೇಪಗಳ ಲೆಕ್ಕಪತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ:

ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎ:

ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ IN:,

ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ 1, 2, 2 ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಒಂದು-ಬಾರಿ ಬಳಕೆಗಾಗಿ ಗ್ರೇಡ್ A ತೈಲದ ಬಳಕೆಯ ದರಗಳು I,II,IIIಕ್ರಮವಾಗಿ. ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಗ್ರೇಡ್ ಬಿ ತೈಲಕ್ಕೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು

f(x) =32х 1 +15x 2 +12x 3

ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಪ್ರವೇಶದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪ ಹೀಗಿದೆ:

ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ

(1.7)

ನಾವು ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಮಾದರಿ (1.7.) ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರಕಾರದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 1.5.3.

ಹೂಡಿಕೆದಾರರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಖರೀದಿಸಲು ಉತ್ತಮವಾದ ಸ್ಟಾಕ್‌ಗಳು, ಬಾಂಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಸೆಕ್ಯುರಿಟಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಅಪಾಯನನಗೋಸ್ಕರ. ಭದ್ರತೆಯಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಿದ ಪ್ರತಿ ಡಾಲರ್‌ಗೆ ಲಾಭ ಜ- ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡು ಸೂಚಕಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ: ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಲಾಭ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಲಾಭ. ಹೂಡಿಕೆದಾರರಿಗೆ, ಹೂಡಿಕೆಯ ಪ್ರತಿ ಡಾಲರ್‌ಗೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಲಾಭವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ ಬೆಲೆಬಾಳುವ ಕಾಗದಗಳುನಿಗದಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಬಿ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು, ಸೆಕ್ಯುರಿಟೀಸ್ ಪೋರ್ಟ್‌ಫೋಲಿಯೋ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ:

ಎನ್- ಭದ್ರತೆಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಎ ಜ- j-th ರೀತಿಯ ಭದ್ರತೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಲಾಭ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ); - ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಲಾಭ ಜ- ಭದ್ರತೆಯ ಪ್ರಕಾರ.

ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ :

ವೈ ಜ - ಪ್ರಕಾರದ ಸೆಕ್ಯುರಿಟಿಗಳ ಖರೀದಿಗೆ ಹಣವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಜ.

ನಮ್ಮ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೂಡಿಕೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ . ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಹೊಸ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ

.

ಹೀಗಾಗಿ, X i- ಇದು ಪ್ರಕಾರದ ಭದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಾಧೀನಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಧಿಗಳ ಪಾಲು ಜ.

ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ

ಕನಿಷ್ಠ ಅಪಾಯದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ಲಾಭವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಹೂಡಿಕೆದಾರರ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಅಪಾಯವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಲಾಭದಿಂದ ನಿಜವಾದ ಲಾಭದ ವಿಚಲನದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೈಪ್ i ಮತ್ತು ಟೈಪ್ j ನ ಸೆಕ್ಯುರಿಟಿಗಳಿಗೆ ಲಾಭದ ಸಹವರ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ M ಎಂಬುದು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಪದನಾಮವಾಗಿದೆ.

ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ

,
,
,
. (1.8)

ಸೆಕ್ಯುರಿಟೀಸ್ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೊದ ರಚನೆಯನ್ನು ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮಾರ್ಕೊವಿಟ್ಜ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಮಾದರಿ (1.8.) ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಪ್ರಕಾರದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 1.5.4.

ವ್ಯಾಪಾರ ಸಂಸ್ಥೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕನಿಷ್ಠ ವಿಂಗಡಣೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ n ಪ್ರಕಾರಗಳಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಧವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಂಗಡಿಗೆ ತರಬೇಕು. ಅಂಗಡಿಗೆ ತರಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನೀವು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಜಬೇಡಿಕೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂಗಡಿಯು ಅದರ ಮಾರಾಟದಿಂದ ಲಾಭವನ್ನು ಗಳಿಸುತ್ತದೆ ಆರ್ ಜ, ಇದು ಬೇಡಿಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ನಷ್ಟ q ಜ .

ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಧಾರ ತಯಾರಕರು (DM) ಅಂಗಡಿಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫಲಿತಾಂಶವು (ಗರಿಷ್ಠ ಲಾಭ) ಅವನ ನಿರ್ಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಆಮದು ಮಾಡಿದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬೇಡಿಕೆಯಲ್ಲಿದೆಯೇ, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಖರೀದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕೆಲವು ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅಂಗಡಿಯು ಅದನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇಡಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶವಿದೆ ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ನಿರ್ಧಾರ ತಯಾರಕರಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅವರ ಆದ್ಯತೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂಗಡಿಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಟ್ಟ "ನಿರ್ಧಾರ": "ಆಮದು ಮಾಡಿಕೊಂಡ ಸರಕುಗಳು ಬೇಡಿಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ." ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ಅಂಗಡಿಯು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತನ್ನ “ಶತ್ರು” (ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು, ವಿರುದ್ಧ ಗುರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು - ಅಂಗಡಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಬ್ಬರು ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಎದುರಾಳಿ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅಂಗಡಿಯು ಮಾರಾಟಕ್ಕೆ ಸರಕುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಎನ್ ನಿರ್ಧಾರ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ), ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೇಡಿಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸರಕುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ( ಎನ್ಪರಿಹಾರ ಆಯ್ಕೆಗಳು).

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಎನ್ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಎನ್ಕಾಲಮ್‌ಗಳು (ಒಟ್ಟು ಎನ್ 2 ಜೀವಕೋಶಗಳು) ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳು ಅಂಗಡಿಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಕೋಶ (i, j)ಅಂಗಡಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ iಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಕಾರ ( i-ನೇ ಸಾಲು), ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಜಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಕಾರ ( j-ನೇ ಕಾಲಮ್). ಪ್ರತಿ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಗಡಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವನ್ನು (ಲಾಭ ಅಥವಾ ನಷ್ಟ) ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು q iಅಂಗಡಿಯ ನಷ್ಟವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ಮೈನಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ; ಪ್ರತಿ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ "ಲಾಭ" (ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ) ಅಂಗಡಿಯ "ಲಾಭ"ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಮಾದರಿಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪ:

(1.9)

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಮಾದರಿ (1.9.) ಆಟದ ನಿರ್ಧಾರ-ಮಾಡುವ ಮಾದರಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಸೊವೆಟೊವ್ ಮತ್ತು ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಅವರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಾರ: "ಮಾದರಿ (ಲ್ಯಾಟ್. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ - ಅಳತೆ) ಮೂಲ ವಸ್ತುವಿನ ಬದಲಿ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೂಲದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಖಾತ್ರಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ." (ಪುಟ 6) "ಮಾದರಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ." (ಪು. 6) “ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಾದರಿಯ ಅಧ್ಯಯನವು ನೈಜ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತು. ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರವು ನೈಜ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ನಿಖರತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: "ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮೀಕರಣ».

ಮಾದರಿ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಮಾದರಿಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಮಾದರಿಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಬಳಸಿದ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇಬ್ಭಾಗಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದ್ವಿಗುಣಗಳ ಜನಪ್ರಿಯ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ:

ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಮಾದರಿಯು ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಾಪಿತ,... ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಮಿಶ್ರ ವಿಧಗಳು: ಒಂದು ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ), ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ - ವಿತರಿಸಿದ ಮಾದರಿಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಔಪಚಾರಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಜೊತೆಗೆ, ಮಾದರಿಗಳು ವಸ್ತುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

• ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳು

ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳುವಸ್ತುವನ್ನು ತನ್ನದೇ ಆದ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳುಅಂತಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಡಿ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಿದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು (ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವಿಕೆ) ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬೇಡಿ. ಅವರ ತೀವ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು "ಕಪ್ಪು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ" ಮಾದರಿಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಮಾದರಿಗಳು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ " ಬೂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ».

ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾದರಿಗಳು

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಲೇಖಕರು ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್, ಮೊದಲು ವಿಶೇಷ ಆದರ್ಶ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ, ವಿಷಯ ಮಾದರಿ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾಪಿತ ಪರಿಭಾಷೆ ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇತರ ಲೇಖಕರು ಈ ಆದರ್ಶ ವಸ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಮಾದರಿ , ಊಹಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಅಥವಾ ಪೂರ್ವಮಾದರಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಿಮ ಗಣಿತದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾದರಿಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯ (ಪೂರ್ವ-ಮಾದರಿ) ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ. ಒಂದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಿದ್ಧವಾದ ಆದರ್ಶೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಬುಗ್ಗೆಗಳು, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹಗಳು, ಆದರ್ಶ ಲೋಲಕಗಳು, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮಾಧ್ಯಮಇತ್ಯಾದಿ ರೆಡಿಮೇಡ್ ಕೊಡುತ್ತಾರೆ ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳುಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ಗಾಗಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಲ್ಲದ ಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರ, ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕತೆ), ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಗಳ ರಚನೆಯು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾದರಿಗಳ ವಿಷಯ ವರ್ಗೀಕರಣ

ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಊಹೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ರಿಚರ್ಡ್ ಫೇನ್ಮನ್ ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದರು:

"ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ನಮಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅವಕಾಶವಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು ಯಶಸ್ವಿ ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಟ್ಟಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ ನಿಮ್ಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ, ನೀವು ಅದನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ವಿಫಲರಾಗಿದ್ದೀರಿ ಎಂದರ್ಥ.

ಮೊದಲ ಪ್ರಕಾರದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ಇದನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಸತ್ಯವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದರ್ಥ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿರಬಾರದು, ಆದರೆ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಿರಾಮ ಮಾತ್ರ: ಮೊದಲ ಪ್ರಕಾರದ ಮಾದರಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ವಿಧ 2: ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿ (ನಾವು ಹಾಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ…)

ಒಂದು ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿಯು ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಮನವರಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಲಭ್ಯವಿರುವ ಡೇಟಾದಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹವಾದ ಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕೇ ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿಗಳುತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉತ್ತರವು ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು "ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ" ಹುಡುಕಾಟವು ಮುಂದುವರೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಪೀರ್ಲ್‌ಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಯಾಲೋರಿಕ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳ ಕ್ವಾರ್ಕ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ವಿಧವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯ ಪಾತ್ರವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ಹೊಸ ಡೇಟಾ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಊಹೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬಡ್ತಿ ನೀಡಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಹೊಸ ಜ್ಞಾನವು ಕ್ರಮೇಣ ಮೊದಲ ವಿಧದ ಮಾದರಿಗಳು-ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಘರ್ಷಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಕ್ವಾರ್ಕ್ ಮಾದರಿಯು ಕ್ರಮೇಣ ಊಹೆಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ; ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣುವಾದವು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಆದರೆ ಇತಿಹಾಸದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಮೊದಲ ವಿಧವಾಯಿತು. ಆದರೆ ಈಥರ್ ಮಾದರಿಗಳು ಟೈಪ್ 1 ರಿಂದ ಟೈಪ್ 2 ಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ವಿಜ್ಞಾನದಿಂದ ಹೊರಗಿವೆ.

ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಸರಳೀಕರಣದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸರಳೀಕರಣವು ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಪೀರ್ಲ್ಸ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಧದ ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ.

ವಿಧ 3: ಅಂದಾಜು (ನಾವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ)

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸಹ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಅಂದಾಜುಗಳ ಬಳಕೆ (ಟೈಪ್ 3 ಮಾದರಿಗಳು). ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮಾದರಿಗಳು. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಓಮ್ನ ನಿಯಮ.

ಇಲ್ಲಿ ಟೈಪ್ 8 ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಜೈವಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿದೆ.

ವಿಧ 8: ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ಪ್ರದರ್ಶನ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಆಂತರಿಕ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ)

ಇವು ಚಿಂತನೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೂ ಹೌದುಅದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾವಿಸಲಾದ ವಿದ್ಯಮಾನಮೂಲ ತತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೈಪ್ 7 ರ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಇದು ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುಪ್ತ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದದ್ದು ಲೋಬಾಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ (ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಇದನ್ನು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ" ಎಂದು ಕರೆದರು). ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ರಾಸಾಯನಿಕ ಮತ್ತು ಜೈವಿಕ ಕಂಪನಗಳು, ಆಟೋವೇವ್‌ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಚಲನ ಮಾದರಿಗಳ ಸಾಮೂಹಿಕ ಉತ್ಪಾದನೆ. ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್-ಪೊಡೊಲ್ಸ್ಕಿ-ರೋಸೆನ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಟೈಪ್ 7 ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯೋಜಿತವಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಟೈಪ್ 8 ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬದಲಾಯಿತು - ಮಾಹಿತಿಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟೆಲಿಪೋರ್ಟೇಶನ್ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪ್ರದರ್ಶನ.

ಉದಾಹರಣೆ

ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ , ವಸಂತದ ಮುಕ್ತ ತುದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲೋಡ್ ವಸಂತ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಚಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಾಡ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ). ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಲೋಡ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರದಿಂದ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಸಂತ ಮತ್ತು ಲೋಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ ಹುಕ್ ಕಾನೂನು() ತದನಂತರ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು:

ಇಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ: .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು "ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಔಪಚಾರಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಮಾದರಿಯು ರೇಖೀಯ, ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ, ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ, ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನೇಕ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ (ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ, ಘರ್ಷಣೆಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ, ವಿಚಲನಗಳ ಸಣ್ಣತನ, ಇತ್ಯಾದಿ), ಇದು ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸದಿರಬಹುದು.

ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಟೈಪ್ 4 ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ ಸರಳೀಕರಣ(“ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಕೆಲವು ವಿವರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ”), ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಅಗತ್ಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಸರಣ) ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಅಂದಾಜಿನ ಪ್ರಕಾರ (ಹೇಳಲು, ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಹೊರೆಯ ವಿಚಲನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಕಡಿಮೆ ಘರ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಇತರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿಲ್ಲ), ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯು ನೈಜ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಅಂಶಗಳು ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಪರಿಣಾಮ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೊಸ ಮಾದರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ವ್ಯಾಪಕವಾದ (ಮತ್ತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೂ) ಅನ್ವಯಿಕತೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವಾಗ, ಅದರ ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ಮಾದರಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ (ಮತ್ತು, ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, "ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾದ") ನೈಜ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಪರಿಶೋಧನೆಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ದೂರವಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವಸ್ತುಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಜೈವಿಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಟೈಪ್ 6 ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬೇಕು ಸಾದೃಶ್ಯ("ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ").

ಕಠಿಣ ಮತ್ತು ಮೃದು ಮಾದರಿಗಳು

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವು "ಹಾರ್ಡ್" ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಜವಾದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಲವಾದ ಆದರ್ಶೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಅನ್ವಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದ ಅಂಶಗಳು ಎಷ್ಟು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ಮೃದು" ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಇದು "ಕಠಿಣ" ಒಂದರ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು:

ಘರ್ಷಣೆಯ ಬಲ ಅಥವಾ ವಸಂತ ಬಿಗಿತದ ಗುಣಾಂಕದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು - ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪ ಈ ಕ್ಷಣಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ. ಮೃದುವಾದ ಮಾದರಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ಗಟ್ಟಿಯಾದ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರೆ (ಸ್ಪಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಗೊಂದಲದ ಅಂಶಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ), ಕಠಿಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕಠಿಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳು , ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗಳು. ನಿಜವಾದ ಆಂದೋಲಕವು ನಿರಂತರ ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಘರ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಜ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ), ನಾವು ತೇವಗೊಳಿಸಲಾದ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತನ್ನ ಗುಣಾತ್ಮಕ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಅಡಚಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ಅದು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರವಾದ (ಒರಟು ಅಲ್ಲದ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅವಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮಾದರಿಗಳ ಬಹುಮುಖತೆ

ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿವೆ ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿ ಬಹುಮುಖತೆ: ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ನೈಜ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವು ವಸಂತದ ಮೇಲಿನ ಹೊರೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಇತರ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ವಭಾವದ: ಲೋಲಕದ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳು, ಎ-ಆಕಾರದ ಹಡಗಿನ ದ್ರವದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತಗಳು , ಅಥವಾ ಆಸಿಲೇಟರಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ವಿವರಿಸಿದ ಇಡೀ ವರ್ಗದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಕಾನೂನುಗಳ ಈ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಲುಡ್ವಿಗ್ ವಾನ್ ಬರ್ಟಾಲನ್ಫಿಯನ್ನು "ಜನರಲ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್" ಅನ್ನು ರಚಿಸಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು.

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀವು ಮಾದರಿಯ ವಸ್ತುವಿನ ಮೂಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬರಬೇಕು, ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ಆದರ್ಶೀಕರಣಗಳ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಅದನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ರೈಲು ಕಾರು ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಪ್ಲೇಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ದೇಹಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಆದರ್ಶೀಕರಣ (ಸಾಂದ್ರತೆ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮಾಡುಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಶಕ್ತಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು) ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಕೆಲವು ವಿವರಗಳನ್ನು ಅಮುಖ್ಯವೆಂದು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಡಿಸ್ಅಸೆಂಬಲ್ ಮಾಡುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ: ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ.

ನೇರ ಕಾರ್ಯ: ಮಾದರಿಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮಾದರಿಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ನಡೆಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸೇತುವೆಯು ಯಾವ ಸ್ಥಿರ ಹೊರೆಯನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? ಡೈನಾಮಿಕ್ ಲೋಡ್‌ಗೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೈನಿಕರ ಕಂಪನಿಯ ಮೆರವಣಿಗೆಗೆ ಅಥವಾ ವಿಭಿನ್ನ ವೇಗದಲ್ಲಿ ರೈಲು ಹಾದುಹೋಗಲು), ವಿಮಾನವು ಹೇಗೆ ಜಯಿಸುತ್ತದೆ ಧ್ವನಿ ತಡೆಅದು ಬೀಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಬೀಳುತ್ತದೆಯೇ - ಇವು ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸರಿಯಾದ ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು (ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳುವುದು) ವಿಶೇಷ ಕೌಶಲ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳದಿದ್ದರೆ, ಸೇತುವೆಯು ಕುಸಿಯಬಹುದು, ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಉತ್ತಮ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 1879 ರಲ್ಲಿ, ಗ್ರೇಟ್ ಬ್ರಿಟನ್‌ನಲ್ಲಿ ಟೇ ನದಿಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಲೋಹದ ಸೇತುವೆಯು ಕುಸಿದುಬಿತ್ತು, ಅದರ ವಿನ್ಯಾಸಕರು ಸೇತುವೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಪೇಲೋಡ್‌ನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ 20 ಪಟ್ಟು ಸುರಕ್ಷತಾ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದರು, ಆದರೆ ಗಾಳಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆತಿದ್ದಾರೆ. ಆ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬೀಸುತ್ತಿದೆ. ಮತ್ತು ಒಂದೂವರೆ ವರ್ಷದ ನಂತರ ಅದು ಕುಸಿಯಿತು.

ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಆಂದೋಲಕ ಸಮೀಕರಣ), ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ: ಅನೇಕ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಮಾದರಿಯ ರಚನೆಯು ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು ( ವಿನ್ಯಾಸ ಸಮಸ್ಯೆ) ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾ ಬರಬಹುದು ( ನಿಷ್ಕ್ರಿಯ ವೀಕ್ಷಣೆ) ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಯೋಜಿಸಲಾದ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ( ಸಕ್ರಿಯ ಕಣ್ಗಾವಲು).

ಲಭ್ಯವಿರುವ ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪಾಂಡಿತ್ಯಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರದ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ I. ನ್ಯೂಟನ್‌ನಿಂದ ಘರ್ಷಣೆಯ ಬಲಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳಿಂದ ಮರುನಿರ್ಮಾಣ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. ಸಾಮೂಹಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ವೀಕ್ಷಣಾ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್, ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆ. ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಗಳ ಸೆಟ್ ಹೆಚ್ಚು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅವು ನಿಮಗೆ ಸರಳ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ಮತ್ತು ಬ್ಲಾಕ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳುಮತ್ತು ಸಾಧನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿಬ್ಲಾಕ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗ್ರಾಫಿಕ್), ಅದರ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಮಾದರಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಮಾಲ್ತಸ್ ಮಾದರಿ

ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ

ಜನನ ದರ ಮತ್ತು ಸಾವಿನ ದರದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಜನನ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಾವಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮೀರಿದರೆ (), ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ, ಮಾದರಿಯು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾಲ್ತಸ್ ಮಾದರಿಯ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯು ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಮಾದರಿಯಾಗಿರಬಹುದು, ಇದನ್ನು ವರ್ಹಲ್ಸ್ಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ

"ಸಮತೋಲನ" ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಜನನ ದರವನ್ನು ಮರಣ ದರದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಸರಿದೂಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವು ಸಮತೋಲನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ನಡವಳಿಕೆಯು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಭಕ್ಷಕ-ಬೇಟೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಾಣಿಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: ಮೊಲಗಳು (ಸಸ್ಯಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುವುದು) ಮತ್ತು ನರಿಗಳು (ಮೊಲಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುವುದು). ಮೊಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ನರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲಿ. ನರಿಗಳಿಂದ ಮೊಲಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುವುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಲ್ತಸ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ, ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮಾದರಿಗಳು ಟ್ರೇಗಳು - ವೋಲ್ಟೆರಾ:

ಮೊಲಗಳು ಮತ್ತು ನರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವಾಗ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ವಿಚಲನವು ಮೊಲಗಳು ಮತ್ತು ನರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದಂತೆ, ಈ ನಡವಳಿಕೆಯು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ: ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊಲಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು) ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತಗಳು ಸಾಯುತ್ತವೆ. ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ವಿಚಲನವು ದುರಂತದ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದಾಗ, ಒಂದು ಜಾತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳಿವಿನವರೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಹ ಸಾಧ್ಯ. ವೋಲ್ಟೆರಾ-ಲೋಟ್ಕಾ ಮಾದರಿಯು ಈ ಯಾವ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ: ಇಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

1. "ವಾಸ್ತವದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ" (ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಬ್ರಿಟಾನಿಕಾ)
2. ನೋವಿಕ್ I. B., ಸೈಬರ್ನೆಟಿಕ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ತಾತ್ವಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕುರಿತು. ಎಂ., ಜ್ಞಾನ, 1964.
3. ಸೊವೆಟೊವ್ ಬಿ.ಯಾ., ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಎಸ್.ಎ., ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್: ಪ್ರೊ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಿಗೆ - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: ಹೆಚ್ಚಿನದು. ಶಾಲೆ, 2001. - 343 ಪು. ISBN 5-06-003860-2
4. ಸಮರ್ಸ್ಕಿ A. A., ಮಿಖೈಲೋವ್ A. P.ಗಣಿತ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್. ಕಲ್ಪನೆಗಳು. ವಿಧಾನಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. - 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. ಮಿಶ್ಕಿಸ್ ಎ.ಡಿ., ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂಶಗಳು. - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ಜೊತೆಗೆ ISBN 978-5-484-00953-4
6. ಸೆವೊಸ್ಟಿಯಾನೋವ್, ಎ.ಜಿ. ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / ಎ.ಜಿ. ಸೆವೊಸ್ಟಿಯಾನೋವ್, ಪಿ.ಎ. ಸೆವೊಸ್ಟಿಯಾನೋವ್. - ಎಂ.: ಬೆಳಕು ಮತ್ತು ಆಹಾರ ಉದ್ಯಮ, 1984. - 344 ಪು.
7. ವಿಕ್ಷನರಿ: ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ
8. CliffsNotes.com. ಭೂ ವಿಜ್ಞಾನ ಪದಕೋಶ. 20 ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 2010
9. ಮಲ್ಟಿಸ್ಕೇಲ್ ಫಿನೋಮೆನಾ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸಿಟಿ ಸೀರೀಸ್, ಬರ್ಲಿನ್-ಹೈಡೆಲ್ಬರ್ಗ್-ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. "ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ - ಮತ್ತು ಯಾವ ರೀತಿಯ ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ...ಎರಡನೆಯದನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸದೆ. ಆಧುನಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಂತಹ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮರು-ಸೃಷ್ಟಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ವಿರುದ್ಧಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿದರೆ, ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು "ಅಲ್ಲ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ." ಡ್ಯಾನಿಲೋವ್ ಯು.ಎ., ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಚಯ. ಸರಣಿ "ಸಿನರ್ಜೆಟಿಕ್ಸ್: ಹಿಂದಿನಿಂದ ಭವಿಷ್ಯಕ್ಕೆ." ಆವೃತ್ತಿ 2. - ಎಂ.: URSS, 2006. - 208 ಪು. ISBN 5-484-00183-8
11. “ನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮಾಡಲಾದ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಹಂತದ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಅಥವಾ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವಿತರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಮಗ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಳಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ವಿತರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೇಟಾದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅನಿಶ್ಚೆಂಕೊ ವಿ.ಎಸ್., ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, ಸೊರೊಸ್ ಎಜುಕೇಶನಲ್ ಜರ್ನಲ್, 1997, ನಂ. 11, ಪು. 77-84.
12. "ಎಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಯೀಕ, ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಡಿಟರ್ಮಿನಿಸ್ಟಿಕ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಭಾವಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು; ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ... ಸ್ಥಾಯೀ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರಂತರ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಬಯಸಿದಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ನಿರಂತರ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ” ಸೊವೆಟೊವ್ ಬಿ.ಯಾ., ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಎಸ್.ಎ. ISBN 5-06-003860-2
13. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ಮಾದರಿಯ ವಸ್ತುವಿನ ರಚನೆ (ಸಾಧನ), ಸಂಶೋಧನೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿರುವ ಈ ವಸ್ತುವಿನ ಘಟಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚನಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ವಸ್ತುವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಿದರೆ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರಭಾವಗಳಿಗೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ - ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಕಪ್ಪು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಮಾದರಿಗಳು ಸಹ ಸಾಧ್ಯ. ಮಿಶ್ಕಿಸ್ ಎ.ಡಿ. ISBN 978-5-484-00953-4
14. "ಸ್ಪಷ್ಟ, ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯ ಮೊದಲ ಹಂತಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಆ ವಸ್ತುವಿನ ಮಾದರಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಚರ್ಚೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವುದು. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಮವನ್ನು ಉಳಿಸಬಾರದು; ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಧ್ಯಯನದ ಯಶಸ್ಸು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ಮಹತ್ವದ ಕೆಲಸವು ಈ ವಿಷಯದ ಕಡೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಗಮನ ಹರಿಸದ ಕಾರಣ ನಿಷ್ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ವ್ಯರ್ಥವಾಯಿತು ಎಂದು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸಿದೆ. ಮಿಶ್ಕಿಸ್ ಎ.ಡಿ., ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂಶಗಳು. - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ಜೊತೆಗೆ ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಮಾದರಿಯ ವಿವರಣೆ.ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಈ ಉಪ ಹಂತದಲ್ಲಿ: a) ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಮಾದರಿ M ಅನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಬಿ) ಮಾದರಿಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗಣಿತದ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ; ಸಿ) ಊಹೆಗಳು ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಡಿ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮರ್ಥನೆಯಾಗಿದೆ. ಸೊವೆಟೊವ್ ಬಿ.ಯಾ., ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಎಸ್.ಎ., ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್: ಪ್ರೊ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಿಗೆ - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: ಹೆಚ್ಚಿನದು. ಶಾಲೆ, 2001. - 343 ಪು. ISBN 5-06-003860-2, ಪು. 93.
16. ಬ್ಲೆಖ್ಮನ್ I. I., ಮಿಶ್ಕಿಸ್ A. D., ಪನೋವ್ಕೊ N. G., ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ: ವಿಷಯ, ತರ್ಕ, ವಿಧಾನಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು. ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ: ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್. - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: URSS, 2006. - 376 ಪು. ISBN 5-484-00163-3, ಅಧ್ಯಾಯ 2.

ಸೊವೆಟೊವ್ ಮತ್ತು ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಅವರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಾರ: "ಮಾದರಿ (ಲ್ಯಾಟ್. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ - ಅಳತೆ) ಮೂಲ ವಸ್ತುವಿನ ಬದಲಿ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೂಲದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಖಾತ್ರಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ." (ಪುಟ 6) "ಮಾದರಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ." (ಪು. 6) “ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಾದರಿಯ ಅಧ್ಯಯನವು ನೈಜ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತು. ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರವು ನೈಜ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ನಿಖರತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: "ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮೀಕರಣ».

ಮಾದರಿ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಮಾದರಿಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಮಾದರಿಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಬಳಸಿದ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇಬ್ಭಾಗಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದ್ವಿಗುಣಗಳ ಜನಪ್ರಿಯ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ:

ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಮಾದರಿಯು ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಥವಾ ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಕ್, ... ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ಮಿಶ್ರ ವಿಧಗಳು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ: ಒಂದು ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ), ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಔಪಚಾರಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಜೊತೆಗೆ, ಮಾದರಿಗಳು ವಸ್ತುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

• ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳು

ರಚನಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳುವಸ್ತುವನ್ನು ತನ್ನದೇ ಆದ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಗಳುಅಂತಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಡಿ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಿದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು (ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವಿಕೆ) ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬೇಡಿ. ಅವರ ತೀವ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು "ಕಪ್ಪು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ" ಮಾದರಿಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಮಾದರಿಗಳು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ " ಬೂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ».

ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾದರಿಗಳು

ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಲೇಖಕರು ಮೊದಲು ವಿಶೇಷ ಆದರ್ಶ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ, ವಿಷಯ ಮಾದರಿ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾಪಿತ ಪರಿಭಾಷೆ ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇತರ ಲೇಖಕರು ಈ ಆದರ್ಶ ವಸ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಮಾದರಿ , ಊಹಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಅಥವಾ ಪೂರ್ವಮಾದರಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂತಿಮ ಗಣಿತದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾದರಿಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯ (ಪೂರ್ವ-ಮಾದರಿ) ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ. ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಿದ್ಧವಾದ ಆದರ್ಶೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಬುಗ್ಗೆಗಳು, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹಗಳು, ಆದರ್ಶ ಲೋಲಕಗಳು, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮಾಧ್ಯಮ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಸಿದ್ಧ ರಚನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಲ್ಲದ ಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರ, ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕತೆ), ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಗಳ ರಚನೆಯು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾದರಿಗಳ ವಿಷಯ ವರ್ಗೀಕರಣ

ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಊಹೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ರಿಚರ್ಡ್ ಫೇನ್ಮನ್ ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದರು:

"ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ನಮಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅವಕಾಶವಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನೀವು ಯಶಸ್ವಿ ಊಹೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಟ್ಟಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ ನಿಮ್ಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ, ನೀವು ಅದನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ವಿಫಲರಾಗಿದ್ದೀರಿ ಎಂದರ್ಥ.

ಮೊದಲ ಪ್ರಕಾರದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ಇದನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಸತ್ಯವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದರ್ಥ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿರಬಾರದು, ಆದರೆ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಿರಾಮ ಮಾತ್ರ: ಮೊದಲ ಪ್ರಕಾರದ ಮಾದರಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿರಬಹುದು.

ವಿಧ 2: ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿ (ನಾವು ಹಾಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ…)

ಒಂದು ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿಯು ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಮನವರಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಲಭ್ಯವಿರುವ ಡೇಟಾದಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹವಾದ ಜ್ಞಾನದೊಂದಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿಗಳು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉತ್ತರವು ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು "ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ" ಹುಡುಕಾಟವು ಮುಂದುವರೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಪೀರ್ಲ್‌ಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಯಾಲೋರಿಕ್ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳ ಕ್ವಾರ್ಕ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ವಿಧವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯ ಪಾತ್ರವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ಹೊಸ ಡೇಟಾ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಊಹೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬಡ್ತಿ ನೀಡಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಹೊಸ ಜ್ಞಾನವು ಕ್ರಮೇಣ ಮೊದಲ ವಿಧದ ಮಾದರಿಗಳು-ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಘರ್ಷಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಕ್ವಾರ್ಕ್ ಮಾದರಿಯು ಕ್ರಮೇಣ ಊಹೆಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ; ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣುವಾದವು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಆದರೆ ಇತಿಹಾಸದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಮೊದಲ ವಿಧವಾಯಿತು. ಆದರೆ ಈಥರ್ ಮಾದರಿಗಳು ಟೈಪ್ 1 ರಿಂದ ಟೈಪ್ 2 ಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ವಿಜ್ಞಾನದಿಂದ ಹೊರಗಿವೆ.

ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಸರಳೀಕರಣದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸರಳೀಕರಣವು ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಪೀರ್ಲ್ಸ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಧದ ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ.

ವಿಧ 3: ಅಂದಾಜು (ನಾವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ)

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸಹ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಅಂದಾಜುಗಳ ಬಳಕೆ (ಟೈಪ್ 3 ಮಾದರಿಗಳು). ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮಾದರಿಗಳು. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಓಮ್ನ ನಿಯಮ.

ಇಲ್ಲಿ ಟೈಪ್ 8 ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಜೈವಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿದೆ.

ವಿಧ 8: ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ಪ್ರದರ್ಶನ (ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಆಂತರಿಕ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ)

ಇವು ಚಿಂತನೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳೂ ಹೌದುಅದನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಾವಿಸಲಾದ ವಿದ್ಯಮಾನಮೂಲ ತತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೈಪ್ 7 ರ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಇದು ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುಪ್ತ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದದ್ದು ಲೋಬಾಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ (ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಇದನ್ನು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ" ಎಂದು ಕರೆದರು). ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ರಾಸಾಯನಿಕ ಮತ್ತು ಜೈವಿಕ ಕಂಪನಗಳು, ಆಟೋವೇವ್‌ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಚಲನ ಮಾದರಿಗಳ ಸಾಮೂಹಿಕ ಉತ್ಪಾದನೆ. ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್-ಪೊಡೊಲ್ಸ್ಕಿ-ರೋಸೆನ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಟೈಪ್ 7 ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯೋಜಿತವಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಟೈಪ್ 8 ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬದಲಾಯಿತು - ಮಾಹಿತಿಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟೆಲಿಪೋರ್ಟೇಶನ್ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪ್ರದರ್ಶನ.

ಉದಾಹರಣೆ

ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ , ವಸಂತದ ಮುಕ್ತ ತುದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲೋಡ್ ವಸಂತ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಚಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಾಡ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲನೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ). ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಲೋಡ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಅದರ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರದಿಂದ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಸಂತ ಮತ್ತು ಲೋಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ ಹುಕ್ ಕಾನೂನು() ತದನಂತರ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು:

ಇಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ: .

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು "ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಔಪಚಾರಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಮಾದರಿಯು ರೇಖೀಯ, ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ, ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ, ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನೇಕ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ (ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ, ಘರ್ಷಣೆಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ, ವಿಚಲನಗಳ ಸಣ್ಣತನ, ಇತ್ಯಾದಿ), ಇದು ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸದಿರಬಹುದು.

ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಟೈಪ್ 4 ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ ಸರಳೀಕರಣ(“ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಕೆಲವು ವಿವರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ”), ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಅಗತ್ಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಸರಣ) ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಅಂದಾಜಿನ ಪ್ರಕಾರ (ಹೇಳಲು, ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಹೊರೆಯ ವಿಚಲನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಕಡಿಮೆ ಘರ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಇತರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿಲ್ಲ), ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯು ನೈಜ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಅಂಶಗಳು ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಪರಿಣಾಮ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೊಸ ಮಾದರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ವ್ಯಾಪಕವಾದ (ಮತ್ತೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೂ) ಅನ್ವಯಿಕತೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸುವಾಗ, ಅದರ ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ಮಾದರಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ (ಮತ್ತು, ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, "ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾದ") ನೈಜ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ಆಳವಾದ ಪರಿಶೋಧನೆಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ದೂರವಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವಸ್ತುಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಜೈವಿಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಟೈಪ್ 6 ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬೇಕು ಸಾದೃಶ್ಯ("ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ").

ಕಠಿಣ ಮತ್ತು ಮೃದು ಮಾದರಿಗಳು

ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವು "ಹಾರ್ಡ್" ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಜವಾದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಲವಾದ ಆದರ್ಶೀಕರಣದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಅನ್ವಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದ ಅಂಶಗಳು ಎಷ್ಟು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ಮೃದು" ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಇದು "ಕಠಿಣ" ಒಂದರ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು:

ಘರ್ಷಣೆಯ ಬಲ ಅಥವಾ ವಸಂತ ಬಿಗಿತದ ಗುಣಾಂಕದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು - ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಮೃದುವಾದ ಮಾದರಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ಗಟ್ಟಿಯಾದ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರೆ (ಸ್ಪಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಗೊಂದಲದ ಅಂಶಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ), ಕಠಿಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕಠಿಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳು , ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಆಂದೋಲನಗಳು. ನಿಜವಾದ ಆಂದೋಲಕವು ನಿರಂತರ ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಇಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಘರ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಜ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ), ನಾವು ತೇವಗೊಳಿಸಲಾದ ಆಂದೋಲನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ತನ್ನ ಗುಣಾತ್ಮಕ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಅಡಚಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ, ಅದು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರವಾದ (ಒರಟು ಅಲ್ಲದ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅವಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮಾದರಿಗಳ ಬಹುಮುಖತೆ

ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಬಹುಮುಖತೆ: ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ನೈಜ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕವು ವಸಂತದ ಮೇಲಿನ ಹೊರೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಇತರ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ವಭಾವದ: ಲೋಲಕದ ಸಣ್ಣ ಆಂದೋಲನಗಳು, ಎ-ಆಕಾರದ ಹಡಗಿನ ದ್ರವದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತಗಳು , ಅಥವಾ ಆಸಿಲೇಟರಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ವಿವರಿಸಿದ ಇಡೀ ವರ್ಗದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಕಾನೂನುಗಳ ಈ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಲುಡ್ವಿಗ್ ವಾನ್ ಬರ್ಟಾಲನ್ಫಿಯನ್ನು "ಜನರಲ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್" ಅನ್ನು ರಚಿಸಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು.

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀವು ಮಾದರಿಯ ವಸ್ತುವಿನ ಮೂಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಬರಬೇಕು, ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ಆದರ್ಶೀಕರಣಗಳ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಅದನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ರೈಲು ಕಾರು ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಪ್ಲೇಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ದೇಹಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಆದರ್ಶೀಕರಣ (ಸಾಂದ್ರತೆ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಮಾಡುಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಶಕ್ತಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು) ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಕೆಲವು ವಿವರಗಳನ್ನು ಅಮುಖ್ಯವೆಂದು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಡಿಸ್ಅಸೆಂಬಲ್ ಮಾಡುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ: ನೇರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ.

ನೇರ ಕಾರ್ಯ: ಮಾದರಿಯ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಮಾದರಿಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ನಡೆಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸೇತುವೆಯು ಯಾವ ಸ್ಥಿರ ಹೊರೆಯನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ? ಡೈನಾಮಿಕ್ ಲೋಡ್‌ಗೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೈನಿಕರ ಕಂಪನಿಯ ಮೆರವಣಿಗೆಗೆ ಅಥವಾ ವಿಭಿನ್ನ ವೇಗದಲ್ಲಿ ರೈಲು ಹಾದುಹೋಗಲು), ವಿಮಾನವು ಧ್ವನಿ ತಡೆಗೋಡೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಜಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಬೀಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಬೀಳುತ್ತದೆಯೇ - ಇವು ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸರಿಯಾದ ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು (ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳುವುದು) ವಿಶೇಷ ಕೌಶಲ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳದಿದ್ದರೆ, ಸೇತುವೆಯು ಕುಸಿಯಬಹುದು, ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಉತ್ತಮ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 1879 ರಲ್ಲಿ, ಗ್ರೇಟ್ ಬ್ರಿಟನ್‌ನಲ್ಲಿ ಟೇ ನದಿಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಲೋಹದ ಸೇತುವೆಯು ಕುಸಿದುಬಿತ್ತು, ಅದರ ವಿನ್ಯಾಸಕರು ಸೇತುವೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಪೇಲೋಡ್‌ನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ 20 ಪಟ್ಟು ಸುರಕ್ಷತಾ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದರು, ಆದರೆ ಗಾಳಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆತಿದ್ದಾರೆ. ಆ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬೀಸುತ್ತಿದೆ. ಮತ್ತು ಒಂದೂವರೆ ವರ್ಷದ ನಂತರ ಅದು ಕುಸಿಯಿತು.

ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಆಂದೋಲಕ ಸಮೀಕರಣ), ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆ: ಅನೇಕ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಮಾದರಿಯ ರಚನೆಯು ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವಿನ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು ( ವಿನ್ಯಾಸ ಸಮಸ್ಯೆ) ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾ ಬರಬಹುದು ( ನಿಷ್ಕ್ರಿಯ ವೀಕ್ಷಣೆ) ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಯೋಜಿಸಲಾದ ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ( ಸಕ್ರಿಯ ಕಣ್ಗಾವಲು).

ಲಭ್ಯವಿರುವ ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪಾಂಡಿತ್ಯಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರದ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ I. ನ್ಯೂಟನ್‌ನಿಂದ ಘರ್ಷಣೆಯ ಬಲಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಆಂದೋಲನಗಳಿಂದ ಮರುನಿರ್ಮಾಣ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು. ಸಾಮೂಹಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ವೀಕ್ಷಣಾ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್, ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು ಈ ವಿಜ್ಞಾನದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆ. ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಗಳ ಸೆಟ್ ಹೆಚ್ಚು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, ಇತ್ಯಾದಿ. ಸರಳ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಧನಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಮತ್ತು ಬ್ಲಾಕ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅವು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಮಾಡೆಲಿಂಗ್. ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿಬ್ಲಾಕ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗ್ರಾಫಿಕ್), ಅದರ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಮಾದರಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಮಾಲ್ತಸ್ ಮಾದರಿ

ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದರವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ

ಜನನ ದರ ಮತ್ತು ಸಾವಿನ ದರದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಜನನ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಾವಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮೀರಿದರೆ (), ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ, ಮಾದರಿಯು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾಲ್ತಸ್ ಮಾದರಿಯ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯು ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಮಾದರಿಯಾಗಿರಬಹುದು, ಇದನ್ನು ವರ್ಹಲ್ಸ್ಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ

"ಸಮತೋಲನ" ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಜನನ ದರವನ್ನು ಮರಣ ದರದಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಸರಿದೂಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರವು ಸಮತೋಲನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ನಡವಳಿಕೆಯು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಭಕ್ಷಕ-ಬೇಟೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಾಣಿಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: ಮೊಲಗಳು (ಸಸ್ಯಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುವುದು) ಮತ್ತು ನರಿಗಳು (ಮೊಲಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುವುದು). ಮೊಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ನರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲಿ. ನರಿಗಳಿಂದ ಮೊಲಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುವುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಲ್ತಸ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ, ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮಾದರಿಗಳು ಟ್ರೇಗಳು - ವೋಲ್ಟೆರಾ:

ಮೊಲಗಳು ಮತ್ತು ನರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವಾಗ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ವಿಚಲನವು ಮೊಲಗಳು ಮತ್ತು ನರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಏರಿಳಿತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದಂತೆ, ಈ ನಡವಳಿಕೆಯು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ: ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊಲಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು) ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತಗಳು ಸಾಯುತ್ತವೆ. ಸಮತೋಲನದ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ವಿಚಲನವು ದುರಂತದ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದಾಗ, ಒಂದು ಜಾತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳಿವಿನವರೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಹ ಸಾಧ್ಯ. ವೋಲ್ಟೆರಾ-ಲೋಟ್ಕಾ ಮಾದರಿಯು ಈ ಯಾವ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ: ಇಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

1. "ವಾಸ್ತವದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ" (ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಬ್ರಿಟಾನಿಕಾ)
2. ನೋವಿಕ್ I. B., ಸೈಬರ್ನೆಟಿಕ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ತಾತ್ವಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕುರಿತು. ಎಂ., ಜ್ಞಾನ, 1964.
3. ಸೊವೆಟೊವ್ ಬಿ.ಯಾ., ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಎಸ್.ಎ., ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್: ಪ್ರೊ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಿಗೆ - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: ಹೆಚ್ಚಿನದು. ಶಾಲೆ, 2001. - 343 ಪು. ISBN 5-06-003860-2
4. ಸಮರ್ಸ್ಕಿ A. A., ಮಿಖೈಲೋವ್ A. P.ಗಣಿತ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್. ಕಲ್ಪನೆಗಳು. ವಿಧಾನಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. - 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. ಮಿಶ್ಕಿಸ್ ಎ.ಡಿ., ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂಶಗಳು. - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ಜೊತೆಗೆ ISBN 978-5-484-00953-4
6. ಸೆವೊಸ್ಟಿಯಾನೋವ್, ಎ.ಜಿ. ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / ಎ.ಜಿ. ಸೆವೊಸ್ಟಿಯಾನೋವ್, ಪಿ.ಎ. ಸೆವೊಸ್ಟ್ಯಾನೋವ್. – ಎಂ.: ಬೆಳಕು ಮತ್ತು ಆಹಾರ ಉದ್ಯಮ, 1984. - 344 ಪು.
7. ವಿಕ್ಷನರಿ: ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ
8. CliffsNotes.com. ಭೂ ವಿಜ್ಞಾನ ಪದಕೋಶ. 20 ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 2010
9. ಮಲ್ಟಿಸ್ಕೇಲ್ ಫಿನೋಮೆನಾ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸಿಟಿ ಸೀರೀಸ್, ಬರ್ಲಿನ್-ಹೈಡೆಲ್ಬರ್ಗ್-ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. "ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ - ಮತ್ತು ಯಾವ ರೀತಿಯ ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ...ಎರಡನೆಯದನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸದೆ. ಆಧುನಿಕ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಂತಹ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮರು-ಸೃಷ್ಟಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ವಿರುದ್ಧಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಿದರೆ, ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು "ಅಲ್ಲ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ." ಡ್ಯಾನಿಲೋವ್ ಯು.ಎ., ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಚಯ. ಸರಣಿ "ಸಿನರ್ಜೆಟಿಕ್ಸ್: ಹಿಂದಿನಿಂದ ಭವಿಷ್ಯಕ್ಕೆ." ಆವೃತ್ತಿ 2. - ಎಂ.: URSS, 2006. - 208 ಪು. ISBN 5-484-00183-8
11. “ನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮಾಡಲಾದ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಹಂತದ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಅಥವಾ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ವಿತರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಮಗ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಳಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ವಿತರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಡೇಟಾದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅನಿಶ್ಚೆಂಕೊ ವಿ.ಎಸ್., ಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್, ಸೊರೊಸ್ ಎಜುಕೇಶನಲ್ ಜರ್ನಲ್, 1997, ನಂ. 11, ಪು. 77-84.
12. "ಎಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಯೀಕ, ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಡಿಟರ್ಮಿನಿಸ್ಟಿಕ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಭಾವಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು; ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ... ಸ್ಥಾಯೀ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರಂತರ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಬಯಸಿದಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ನಿರಂತರ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ” ಸೊವೆಟೊವ್ ಬಿ.ಯಾ., ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಎಸ್.ಎ. ISBN 5-06-003860-2
13. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯು ಮಾದರಿಯ ವಸ್ತುವಿನ ರಚನೆ (ಸಾಧನ), ಸಂಶೋಧನೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿರುವ ಈ ವಸ್ತುವಿನ ಘಟಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚನಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ವಸ್ತುವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಿದರೆ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಹ್ಯ ಪ್ರಭಾವಗಳಿಗೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತದೆ - ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಕಪ್ಪು ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಮಾದರಿಗಳು ಸಹ ಸಾಧ್ಯ. ಮಿಶ್ಕಿಸ್ ಎ.ಡಿ. ISBN 978-5-484-00953-4
14. "ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಥವಾ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ, ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವೆಂದರೆ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಚರ್ಚೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಸ್ತುವಿನ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಮವನ್ನು ಉಳಿಸಬಾರದು; ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಧ್ಯಯನದ ಯಶಸ್ಸು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ಮಹತ್ವದ ಕೆಲಸವು ಈ ವಿಷಯದ ಕಡೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಗಮನ ಹರಿಸದ ಕಾರಣ ನಿಷ್ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ವ್ಯರ್ಥವಾಯಿತು ಎಂದು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸಿದೆ. ಮಿಶ್ಕಿಸ್ ಎ.ಡಿ., ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂಶಗಳು. - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ಜೊತೆಗೆ ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಮಾದರಿಯ ವಿವರಣೆ.ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಈ ಉಪ ಹಂತದಲ್ಲಿ: a) ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ಮಾದರಿ M ಅನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಬಿ) ಮಾದರಿಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗಣಿತದ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ; ಸಿ) ಊಹೆಗಳು ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಡಿ) ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಆಯ್ಕೆಯು ಸಮರ್ಥನೆಯಾಗಿದೆ. ಸೊವೆಟೊವ್ ಬಿ.ಯಾ., ಯಾಕೋವ್ಲೆವ್ ಎಸ್.ಎ., ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್: ಪ್ರೊ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯಗಳಿಗೆ - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: ಹೆಚ್ಚಿನದು. ಶಾಲೆ, 2001. - 343 ಪು. ISBN 5-06-003860-2, ಪು. 93.
16. ಬ್ಲೆಖ್ಮನ್ I. I., ಮಿಶ್ಕಿಸ್ A. D., ಪನೋವ್ಕೊ N. G., ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ: ವಿಷಯ, ತರ್ಕ, ವಿಧಾನಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು. ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: URSS, 2006. - 376 ಪು. ISBN 5-484-00163-3, ಅಧ್ಯಾಯ 2.

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು

ಗಣಿತ ಮಾದರಿ - ಅಂದಾಜು ಒಪಿಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಸ್ತುವಿನ ಅರ್ಥ, ಬಳಸಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆಗಣಿತದ ಸಂಕೇತ.

ಹಲವು ಶತಮಾನಗಳ ಹಿಂದೆ ಗಣಿತದ ಜೊತೆಗೆ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಆಗಮನವು ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಭಾರಿ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಬಳಕೆಯು ಈ ಹಿಂದೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲದ ಅನೇಕ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆಆಕಾಶ ಮಾದರಿಎಂದು ಕರೆದರು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಣಿತ ಮಾದರಿ, ಎ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದ್ದೇಶಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದುಎಂದು ಕರೆದರು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪ್ರಯೋಗ.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದ ಹಂತಗಳುವಿಭಾಗಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಥಮಹಂತ - ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಗುರಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು.ಈ ಗುರಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು:

1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ರಚನೆ ಏನು, ಅದರ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ಮಾದರಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
   ಹೊರಗಿನ ಪ್ರಪಂಚದೊಂದಿಗೆ (ತಿಳುವಳಿಕೆ);
2. ವಸ್ತುವನ್ನು (ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ) ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಒಂದು ಮಾದರಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗಗಳುನೀಡಿದ ಗುರಿಗಳು ಮತ್ತು ಮಾನದಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಣೆ (ನಿರ್ವಹಣೆ);
3. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವದ ರೂಪಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನದ ನೇರ ಮತ್ತು ಪರೋಕ್ಷ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಮಾದರಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ (ಮುನ್ಸೂಚನೆ).

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಾಂತಿಯುತವಾಗಿ ಸಹಬಾಳ್ವೆ ನಡೆಸಿದ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಹಾರ ಪೂರೈಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಜಾತಿಯ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು "ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ" ತಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಕಾರಣವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯೊಂದಿಗೆ) ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸು).

ವಸ್ತುವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ವಿಮಾನವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾನು ಯಾವ ಏರ್‌ಕ್ರಾಫ್ಟ್ ಫ್ಲೈಟ್ ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು? ನೂರಾರು ನಿರ್ಮಾಣ ಉದ್ಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸುವುದು ದೊಡ್ಡ ವಸ್ತುಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬೇಗ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಲ್ಪಾವಧಿ? ಇಂತಹ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ವಿನ್ಯಾಸಕರು ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಮುಂದೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಪರಿಣಾಮಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವುದು ಸರಳ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜೈವಿಕ, ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಘಟಕ ಮಿಶ್ರಲೋಹದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದಾಗಿ ತೆಳುವಾದ ರಾಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಶಾಖದ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿದ್ದರೆ, ದೊಡ್ಡದಾದ ನಿರ್ಮಾಣದ ಪರಿಸರ ಮತ್ತು ಹವಾಮಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಊಹಿಸುವುದು) ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭ. ಜಲವಿದ್ಯುತ್ ಕೇಂದ್ರ ಅಥವಾ ಸಾಮಾಜಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳುತೆರಿಗೆ ಶಾಸನದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಹೋಲಿಸಲಾಗದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿವೆ. ಬಹುಶಃ ಇಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಮಹತ್ವದ ಸಹಾಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

ಎರಡನೇ ಹಂತ:ಮಾದರಿಯ ಇನ್ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಔಟ್ಪುಟ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಿರ್ಣಯ; ಔಟ್ಪುಟ್ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಪ್ರಭಾವದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇನ್ಪುಟ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವಿಭಜನೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಯಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆ (ನೋಡಿ. "ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣtion ಮತ್ತು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್").

ಮೂರನೇ ಹಂತ:ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ನಿರ್ಮಾಣ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯ ಅಮೂರ್ತ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಇದೆ. ಗಣಿತದ ಮಾದರಿ ಎಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ.

ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತ:ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಆರಿಸುವುದು. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಸಾಲ ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಒಂದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳು ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ, ನಿಖರತೆ, ಸ್ಥಿರತೆ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಂದ ಸರಿಯಾದ ಆಯ್ಕೆವಿಧಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಐದನೇ ಹಂತ:ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಡೀಬಗ್ ಮಾಡುವುದು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ವೃತ್ತಿಪರರು ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ಗಾಗಿ ಫೋರ್ಟ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ: ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಂಪೈಲರ್‌ಗಳ ಮೀರದ ದಕ್ಷತೆ (ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ) ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಬೃಹತ್, ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಡೀಬಗ್ ಮಾಡಿದ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ ಮಾಡಿದ ಗ್ರಂಥಾಲಯಗಳ ಲಭ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳುಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳು. ಕಾರ್ಯದ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್‌ನ ಒಲವುಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, PASCAL, BASIC, C ನಂತಹ ಭಾಷೆಗಳು ಸಹ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿವೆ.

ಆರನೇ ಹಂತ:ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸಮಗ್ರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬಳಕೆದಾರನು ತನ್ನ ವೃತ್ತಿಪರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಏಳನೇ ಹಂತ:ನಿಜವಾದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪ್ರಯೋಗ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯು ನಿಜವಾದ ವಸ್ತುವಿಗೆ (ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಮಾದರಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿಯು ನೈಜ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ವಿವಿಧ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರಬಹುದು. ನೀವು ವಿಜ್ಞಾನದ ಶಾಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು). ಬಳಸಿದ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮಾದರಿಗಳು, ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸ್ಥಾಯೀ ವಿಧಾನಗಳು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.). ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಆಧರಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳುವಿವಿಧ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್, ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವರ್ಗೀಕರಣ:

• ವಿವರಣಾತ್ಮಕ (ವಿವರಣಾತ್ಮಕ) ಮಾದರಿಗಳು;
• ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮಾದರಿಗಳು;
• ಬಹು ಮಾನದಂಡ ಮಾದರಿಗಳು;
• ಆಟದ ಮಾದರಿಗಳು.

ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ.

ವಿವರಣಾತ್ಮಕ (ವಿವರಣಾತ್ಮಕ) ಮಾದರಿಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧೂಮಕೇತು ಆಕ್ರಮಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಸೌರ ಮಂಡಲ, ಅದರ ಹಾರಾಟದ ಮಾರ್ಗ, ಅದು ಭೂಮಿಯಿಂದ ಹಾದುಹೋಗುವ ದೂರ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಗುರಿಗಳು ಸ್ವಭಾವತಃ ವಿವರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಧೂಮಕೇತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರಭಾವಿಸಲು ಅಥವಾ ಅದರಲ್ಲಿ ಏನನ್ನೂ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ.

ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮಾದರಿಗಳುನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯು ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಬಹುದಾದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧಾನ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಷ್ಣ ಆಡಳಿತವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ, ಗರಿಷ್ಠ ಧಾನ್ಯದ ಸುರಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಆಡಳಿತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಗುರಿಯನ್ನು ನೀವು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಶೇಖರಣಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸಿ.

ಮಲ್ಟಿಕ್ರೈಟೇರಿಯಾ ಮಾದರಿಗಳು. ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗುರಿಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಹಾರದ ಬೆಲೆಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಆಹಾರದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ (ಸೈನ್ಯದಲ್ಲಿ, ಮಕ್ಕಳ ಬೇಸಿಗೆ ಶಿಬಿರದಲ್ಲಿ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಶಾರೀರಿಕವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಗ್ಗವಾಗಿ ಪೌಷ್ಠಿಕಾಂಶವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಾಧ್ಯ. ಈ ಗುರಿಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಹಲವಾರು ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಡುವೆ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕು.

ಆಟದ ಮಾದರಿಗಳುಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು ಗಣಕಯಂತ್ರದ ಆಟಗಳು, ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಗಂಭೀರ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯುದ್ಧದ ಮೊದಲು, ಕಮಾಂಡರ್, ಎದುರಾಳಿ ಸೈನ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಬೇಕು: ಕೆಲವು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಯುದ್ಧಕ್ಕೆ ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕು, ಇತ್ಯಾದಿ, ಶತ್ರುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಶಾಖೆ ಇದೆ - ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ - ಇದು ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಶಾಲೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮೂಲಭೂತ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಭಾಗವಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ನ ಆರಂಭಿಕ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು, ಜೊತೆಗೆ ವಿಶೇಷ ಚುನಾಯಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಲಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ರೂಪಗಳು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು, ಪ್ರಯೋಗಾಲಯ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ತರಗತಿಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವ ಕೆಲಸವು 3-4 ಪಾಠಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಾಹಿತ್ಯ, ಇದು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸಹಾಯಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ತರಗತಿಗಳ ಸಂಘಟನೆಯ ರೂಪವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಮಾದರಿಯ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳುಮುಂದಿನ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಅಗತ್ಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅವರ ವಿಲೇವಾರಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರಿ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ ಸಾಕಷ್ಟು ತೊಂದರೆಗಳಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸಮಾಲೋಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಹಿತ್ಯಿಕ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಲಿಸುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದದ್ದು ಯೋಜನೆಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಯೋಜನೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ರೂಪಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರಯೋಗಾಲಯದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಯೋಜನೆಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಬೋಧನೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳು. ಮೊದಲನೆಯದು ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಶಿಕ್ಷಕರ ನೇತೃತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಶಿಕ್ಷಕರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುವುದು. ಮೂರನೆಯದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಶೋಧನಾ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು.

ಕೆಲಸದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬೇಕು. ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸ್ವೀಕೃತಿಯ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಗತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಂತರ ಲಿಖಿತ ವರದಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಕೆಲಸ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಹಂತವು ವರದಿಯ ತಯಾರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ವರದಿಯು ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿರುವ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾಹಿತಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ, ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಮರ್ಥನೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ, ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ವರದಿಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ನಂತರ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ವರದಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಕಿರು ಸಂದೇಶಗಳುಮಾಡಿದ ಕೆಲಸದ ಬಗ್ಗೆ, ಅವರ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಇದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ರೂಪಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು, ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವುದು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವುದು, ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು, ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವುದು, ಮುನ್ಸೂಚನೆ ನೀಡುವುದು ಸೇರಿದಂತೆ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ತರಗತಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ವರದಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಎರಡು ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: ಮೊದಲನೆಯದು - ಯೋಜನೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು ಅದರ ರಕ್ಷಣೆಯ ಯಶಸ್ಸಿಗೆ, ಎರಡನೆಯದು - ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಾಗಿ, ಅದರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಇಂಟರ್ಫೇಸ್, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮತೆ. ಥಿಯರಿ ರಸಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಗಣಿತದ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್‌ಗಾಗಿ ಶಾಲೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ? ಮಾದರಿಗಳ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು:

• ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಪ್ರೊಸೆಸರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ MS ಎಕ್ಸೆಲ್);
• ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ (ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್, ಬೇಸಿಕ್, ಇತ್ಯಾದಿ) ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಹಾಗೆಯೇ ಅವರ ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ (ಡೆಲ್ಫಿ, ವಿಷುಯಲ್
  ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗೆ ಮೂಲ, ಇತ್ಯಾದಿ);
• ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಶೇಷ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು (MathCAD, ಇತ್ಯಾದಿ).

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಲ್ಲಿ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಜೊತೆಗೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅದನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಸಾಧನವಾಗಿ ಬಳಸಲು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳ ವಿವರಗಳು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಲಭ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಸರಳವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಲವಂತವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಇದು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ವಿಶೇಷ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಇತರ ಪರಿಕರಗಳಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಯಾಮ :

• ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡಿ.