കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലെ ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഗണിത മാതൃക. ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ

ഒരു ഗണിത മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

1. ഒരു യഥാർത്ഥ വസ്തുവിനെയോ പ്രക്രിയയെയോ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വിശകലനം ചെയ്യുക;
2. അതിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകളും ഗുണങ്ങളും ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുക;
3. വേരിയബിളുകൾ നിർവചിക്കുക, അതായത്. വസ്തുവിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകളെയും സവിശേഷതകളെയും മൂല്യങ്ങൾ ബാധിക്കുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ;
4. ലോജിക്കൽ-ഗണിത ബന്ധങ്ങൾ (സമവാക്യങ്ങൾ, തുല്യതകൾ, അസമത്വങ്ങൾ, ലോജിക്കൽ-ഗണിത ഘടനകൾ) ഉപയോഗിച്ച് വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളിൽ ഒരു വസ്തുവിന്റെ, പ്രക്രിയയുടെ അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്നത് വിവരിക്കുക;
5. നിയന്ത്രണങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ, തുല്യതകൾ, അസമത്വങ്ങൾ, ലോജിക്കൽ, ഗണിത ഘടനകൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വസ്തുവിന്റെയോ പ്രക്രിയയുടെയോ സിസ്റ്റത്തിന്റെയോ ആന്തരിക കണക്ഷനുകൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുക;
6. ബാഹ്യ കണക്ഷനുകൾ തിരിച്ചറിയുകയും നിയന്ത്രണങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ, തുല്യതകൾ, അസമത്വങ്ങൾ, ലോജിക്കൽ, ഗണിത ഘടനകൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് അവയെ വിവരിക്കുകയും ചെയ്യുക.

ഗണിത മോഡലിംഗ്, ഒരു ഒബ്ജക്റ്റ്, പ്രോസസ് അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റം എന്നിവ പഠിക്കുന്നതിനും അതിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിവരണം വരയ്ക്കുന്നതിനും പുറമേ, ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

1. ഒരു വസ്തുവിന്റെയോ പ്രക്രിയയുടെയോ സിസ്റ്റത്തിന്റെയോ സ്വഭാവത്തെ മാതൃകയാക്കുന്ന ഒരു അൽഗോരിതം നിർമ്മിക്കുക;
2. കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ, ഫുൾ സ്കെയിൽ പരീക്ഷണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി മോഡലിന്റെയും ഒബ്ജക്റ്റിന്റെയും പ്രക്രിയയുടെയും അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെയും പര്യാപ്തത പരിശോധിക്കുന്നു;
3. മോഡൽ ക്രമീകരണം;
4. മോഡൽ ഉപയോഗിച്ച്.

പഠനത്തിനു കീഴിലുള്ള പ്രക്രിയകളുടെയും സിസ്റ്റങ്ങളുടെയും ഗണിത വിവരണം ഇനിപ്പറയുന്നവയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

1. ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയയുടെയോ സിസ്റ്റത്തിന്റെയോ സ്വഭാവം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, മെക്കാനിക്സ്, തെർമോഡൈനാമിക്സ്, ഹൈഡ്രോഡൈനാമിക്സ്, ഇലക്ട്രിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, പ്ലാസ്റ്റിറ്റി സിദ്ധാന്തം, ഇലാസ്തികത സിദ്ധാന്തം മുതലായവയുടെ നിയമങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നത്.
2. യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയകളുടെയും സിസ്റ്റങ്ങളുടെയും പഠനത്തിന്റെയും ഗവേഷണത്തിന്റെയും ആവശ്യമായ വിശ്വാസ്യതയും കൃത്യതയും.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിന്റെ നിർമ്മാണം സാധാരണയായി ആരംഭിക്കുന്നത് പരിഗണനയിലിരിക്കുന്ന വസ്തുവിന്റെയോ പ്രക്രിയയുടെയോ സിസ്റ്റത്തിന്റെയോ ഏറ്റവും ലളിതവും അസംസ്കൃതവുമായ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിന്റെ നിർമ്മാണവും വിശകലനവും ഉപയോഗിച്ചാണ്. ഭാവിയിൽ, ആവശ്യമെങ്കിൽ, മോഡൽ പരിഷ്കരിക്കുകയും ഒബ്ജക്റ്റുമായുള്ള അതിന്റെ കത്തിടപാടുകൾ കൂടുതൽ പൂർണ്ണമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം എടുക്കാം. നിങ്ങൾ ഉപരിതല പ്രദേശം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഡെസ്ക്ക്. സാധാരണഗതിയിൽ, ഇത് അതിന്റെ നീളവും വീതിയും അളന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകളെ ഗുണിച്ചാണ് ചെയ്യുന്നത്. ഈ പ്രാഥമിക നടപടിക്രമം യഥാർത്ഥത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്: ഒരു യഥാർത്ഥ ഒബ്ജക്റ്റ് (പട്ടിക ഉപരിതലം) ഒരു അമൂർത്ത ഗണിത മാതൃക ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു - ഒരു ദീർഘചതുരം. പട്ടികയുടെ ഉപരിതലത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും അളക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന അളവുകൾ ദീർഘചതുരത്തിന് നൽകിയിരിക്കുന്നു, അത്തരമൊരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഏകദേശം പട്ടികയുടെ ആവശ്യമായ പ്രദേശമായി കണക്കാക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഡെസ്കിനുള്ള ദീർഘചതുര മാതൃകയാണ് ഏറ്റവും ലളിതവും ക്രൂഡ് മോഡലും. നിങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിന് കൂടുതൽ ഗുരുതരമായ സമീപനം സ്വീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പട്ടികയുടെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഒരു ദീർഘചതുര മോഡൽ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഈ മോഡൽ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. പരിശോധനകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടത്താം: പട്ടികയുടെ എതിർവശങ്ങളുടെ നീളവും അതിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ നീളവും അളക്കുക, അവ പരസ്പരം താരതമ്യം ചെയ്യുക. ആവശ്യമായ അളവിലുള്ള കൃത്യതയോടെ, എതിർവശങ്ങളുടെ നീളവും ഡയഗണലുകളുടെ നീളവും ജോഡികളായി തുല്യമാണെങ്കിൽ, പട്ടികയുടെ ഉപരിതലം ശരിക്കും ഒരു ദീർഘചതുരമായി കണക്കാക്കാം. അല്ലെങ്കിൽ, ദീർഘചതുര മോഡൽ നിരസിക്കുകയും പകരം ഒരു പൊതു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മോഡൽ നൽകുകയും വേണം. കൃത്യതയ്ക്കായി ഉയർന്ന ആവശ്യകതയോടെ, മോഡൽ കൂടുതൽ പരിഷ്കരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, പട്ടികയുടെ കോണുകളുടെ റൗണ്ടിംഗ് കണക്കിലെടുക്കുക.

ഇതിന്റെ സഹായത്തോടെ ലളിതമായ ഉദാഹരണംഒബ്ജക്റ്റ്, പ്രോസസ് അല്ലെങ്കിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് കാണിക്കുന്നു സിസ്റ്റം.

അല്ലെങ്കിൽ (നാളെ വ്യക്തമാക്കും)

കണക്ക് പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴികൾ. മോഡലുകൾ:

1, പ്രകൃതി നിയമങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു മാതൃകയുടെ നിർമ്മാണം (വിശകലന രീതി)

2. സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഔപചാരിക മാർഗം. പ്രോസസ്സിംഗ്, മെഷർമെന്റ് ഫലങ്ങൾ (സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സമീപനം)

3. മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു മാതൃകയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു മാതൃകയുടെ നിർമ്മാണം (സങ്കീർണ്ണമായ സംവിധാനങ്ങൾ)

1, അനലിറ്റിക്കൽ - മതിയായ പഠനത്തോടൊപ്പം ഉപയോഗിക്കുക. പൊതുവായ പാറ്റേൺ അറിയപ്പെടുന്നു. മോഡലുകൾ.

2. പരീക്ഷണം. വിവരങ്ങളുടെ അഭാവത്തിൽ.

3. അനുകരണം m. - വസ്തുവിന്റെ സവിശേഷതകൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നു. പൊതുവെ.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം.

ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക- ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രാതിനിധ്യംയാഥാർത്ഥ്യം.

ഗണിത മോഡലിംഗ്പണിയുകയും പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രക്രിയയാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകൾ.

ഗണിതശാസ്ത്രം ഉപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ പ്രകൃതിദത്തവും സാമൂഹികവുമായ ശാസ്ത്രങ്ങൾ അടിസ്ഥാനപരമായി ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗിൽ ഏർപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: അവ ഒരു വസ്തുവിനെ അതിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും രണ്ടാമത്തേത് പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഒരു ഗണിത മാതൃകയും യാഥാർത്ഥ്യവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം അനുമാനങ്ങൾ, ആദർശവൽക്കരണങ്ങൾ, ലളിതവൽക്കരണങ്ങൾ എന്നിവയുടെ ഒരു ശൃംഖല ഉപയോഗിച്ചാണ് നടപ്പിലാക്കുന്നത്. ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ചട്ടം പോലെ, അർത്ഥവത്തായ മോഡലിംഗിന്റെ ഘട്ടത്തിൽ നിർമ്മിച്ച അനുയോജ്യമായ ഒരു വസ്തുവിനെ വിവരിക്കുന്നു.

എന്തുകൊണ്ട് മോഡലുകൾ ആവശ്യമാണ്?

മിക്കപ്പോഴും, ഏതെങ്കിലും വസ്തു പഠിക്കുമ്പോൾ, ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകുന്നു. ഒറിജിനൽ തന്നെ ചിലപ്പോൾ ലഭ്യമല്ല, അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഉപയോഗം അഭികാമ്യമല്ല, അല്ലെങ്കിൽ ഒറിജിനൽ ആകർഷിക്കുന്നത് ചെലവേറിയതാണ്. ഈ പ്രശ്നങ്ങളെല്ലാം സിമുലേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. മോഡൽ ഇൻ ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽപഠിക്കുന്ന വസ്തുവിനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും.

മോഡലുകളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ

§ ഒരു ഫോട്ടോയെ ഒരു വ്യക്തിയുടെ മാതൃക എന്ന് വിളിക്കാം. ഒരാളെ തിരിച്ചറിയാൻ അവന്റെ ഫോട്ടോ കണ്ടാൽ മതി.

§ ആർക്കിടെക്റ്റ് ഒരു പുതിയ റെസിഡൻഷ്യൽ ഏരിയയുടെ ഒരു മാതൃക സൃഷ്ടിച്ചു. ഉയരമുള്ള ഒരു കെട്ടിടം ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് കൈകൊണ്ട് നീക്കാൻ അദ്ദേഹത്തിന് കഴിയും. വാസ്തവത്തിൽ ഇത് സാധ്യമാകില്ല.

മോഡൽ തരങ്ങൾ

മോഡലുകളെ വിഭജിക്കാം മെറ്റീരിയൽ"ഒപ്പം തികഞ്ഞ. മുകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ മെറ്റീരിയൽ മോഡലുകളാണ്. അനുയോജ്യമായ മോഡലുകൾപലപ്പോഴും ഒരു പ്രതീകാത്മക രൂപമുണ്ട്. യഥാർത്ഥ ആശയങ്ങൾ ചില അടയാളങ്ങളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു, അവ പേപ്പറിലും കമ്പ്യൂട്ടർ മെമ്മറിയിലും മറ്റും എളുപ്പത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്താം.

ഗണിത മോഡലിംഗ്

ഗണിത മോഡലിംഗ് പ്രതീകാത്മക മോഡലിംഗ് വിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നു. കൂടാതെ, ഏത് ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളിൽ നിന്നും മോഡലുകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും: അക്കങ്ങൾ, പ്രവർത്തനങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ മുതലായവ.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക നിർമ്മിക്കുന്നു

§ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക നിർമ്മിക്കുന്നതിന്റെ നിരവധി ഘട്ടങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കാവുന്നതാണ്:

1. പ്രശ്നം മനസിലാക്കുക, ഞങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗുണങ്ങൾ, ഗുണങ്ങൾ, അളവുകൾ, പാരാമീറ്ററുകൾ എന്നിവ തിരിച്ചറിയുക.

2. നൊട്ടേഷന്റെ ആമുഖം.

3. നൽകിയ മൂല്യങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ട നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം വരയ്ക്കുന്നു.

4. ആവശ്യമുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ സൊല്യൂഷൻ വഴി തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ട വ്യവസ്ഥകളുടെ രൂപീകരണവും റെക്കോർഡിംഗും.

മോഡലിംഗ് പ്രക്രിയ ഒരു മോഡലിന്റെ സൃഷ്ടിയോടെ അവസാനിക്കുന്നില്ല, മറിച്ച് അത് ആരംഭിക്കുന്നു. ഒരു മോഡൽ സമാഹരിച്ച ശേഷം, അവർ ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതിനും പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുമുള്ള ഒരു രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, അത് യാഥാർത്ഥ്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു. ഉത്തരം തൃപ്തികരമല്ലായിരിക്കാം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മോഡൽ പരിഷ്ക്കരിക്കുകയോ അല്ലെങ്കിൽ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു മോഡൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകയുടെ ഉദാഹരണം

ടാസ്ക്

പ്രൊഡക്ഷൻ അസോസിയേഷൻ, രണ്ട് ഫർണിച്ചർ ഫാക്ടറികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ മെഷീൻ പാർക്ക് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. മാത്രമല്ല, ആദ്യത്തെ ഫർണിച്ചർ ഫാക്ടറിക്ക് മൂന്ന് മെഷീനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, രണ്ടാമത്തേത് - ഏഴ്. രണ്ട് മെഷീൻ ടൂൾ ഫാക്ടറികളിൽ ഓർഡർ നൽകാം. ആദ്യത്തെ പ്ലാന്റിന് 6 മെഷീനുകളിൽ കൂടുതൽ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ പ്ലാന്റ് ഒരു ഓർഡർ സ്വീകരിക്കും. ഓർഡറുകൾ എങ്ങനെ നൽകണമെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 1.5.1.

ഒരു നിശ്ചിത സാമ്പത്തിക പ്രദേശം സ്വന്തം നിലയ്ക്കും ഈ പ്രദേശത്തെ ജനസംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രമായി നിരവധി (n) തരത്തിലുള്ള ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ നിർമ്മിക്കട്ടെ. സാങ്കേതിക പ്രക്രിയ രൂപപ്പെട്ടുവെന്നും ഈ സാധനങ്ങൾക്കായുള്ള ജനസംഖ്യയുടെ ആവശ്യം പഠിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ വോള്യം അന്തിമവും വ്യാവസായികവുമായ ഉപഭോഗം നൽകണം എന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് ഉൽപ്പന്ന ഉൽപാദനത്തിന്റെ വാർഷിക അളവ് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക സൃഷ്ടിക്കാം. അതിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്നവ നൽകിയിരിക്കുന്നു: ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ, അവയ്ക്കുള്ള ഡിമാൻഡും സാങ്കേതിക പ്രക്രിയയും; ഓരോ തരത്തിലുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും ഔട്ട്പുട്ട് വോളിയം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

അറിയപ്പെടുന്ന അളവുകൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം:

സി ഐ- ജനസംഖ്യ ആവശ്യം ഐഉൽപ്പന്നം ( ഐ=1,...,എൻ); എ ij- അളവ് ഐതന്നിരിക്കുന്ന സാങ്കേതികവിദ്യ ഉപയോഗിച്ച് jth ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഒരു യൂണിറ്റ് ഉത്പാദിപ്പിക്കാൻ ആവശ്യമായ ഉൽപ്പന്നം ( ഐ=1,...,എൻ ; ജെ=1,...,എൻ);

എക്സ് ഐ - ഔട്ട്പുട്ട് വോളിയം ഐ-th ഉൽപ്പന്നം ( ഐ=1,...,എൻ); സമഗ്രത കൂടെ =(സി 1 ,..., സി എൻ ) ഡിമാൻഡ് വെക്റ്റർ, നമ്പറുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ ij- സാങ്കേതിക ഗുണകങ്ങളും മൊത്തവും എക്സ് =(എക്സ് 1 ,..., എക്സ് എൻ ) - വെക്റ്റർ റിലീസ് ചെയ്യുക.

പ്രശ്ന സാഹചര്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, വെക്റ്റർ എക്സ് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിതരണം ചെയ്യുന്നു: അന്തിമ ഉപഭോഗത്തിന് (വെക്റ്റർ കൂടെ ) പുനരുൽപാദനത്തിനും (വെക്റ്റർ x-s ). നമുക്ക് വെക്റ്ററിന്റെ ആ ഭാഗം കണക്കാക്കാം എക്സ് അത് പുനരുൽപാദനത്തിലേക്ക് പോകുന്നു. ഉൽപ്പാദനത്തിനുള്ള ഞങ്ങളുടെ പദവികൾ അനുസരിച്ച് എക്സ് ജെവിതരണം ചെയ്ത jth ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അളവ് എ ij · എക്സ് ജെഅളവുകൾ ഐ- ഉൽപ്പന്നം.

പിന്നെ തുക എ i1 · എക്സ് 1 +...+ എ ഇൻ · എക്സ് എൻആ മൂല്യം കാണിക്കുന്നു ഐ-th ഉൽപ്പന്നം, ഇത് മുഴുവൻ റിലീസിനും ആവശ്യമാണ് എക്സ് =(എക്സ് 1 ,..., എക്സ് എൻ ).

അതിനാൽ, സമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം:

ഈ ന്യായവാദം എല്ലാത്തരം ഉൽപ്പന്നങ്ങളിലേക്കും വ്യാപിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള മോഡലിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

n ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു എക്സ് 1 ,...,എക്സ് എൻആവശ്യമായ റിലീസ് വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

ഈ മോഡൽ കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ള (വെക്റ്റർ) രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

സമചതുരം Samachathuram (
) -മാട്രിക്സ് എസാങ്കേതിക മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ മോഡൽ ഇപ്പോൾ ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: x-s=ആഹ്അഥവാ

(1.6)

ഞങ്ങൾക്ക് ക്ലാസിക് മോഡൽ ലഭിച്ചു " ഇൻപുട്ട് ഔട്ട്പുട്ട് ", ഇതിന്റെ രചയിതാവ് പ്രശസ്ത അമേരിക്കൻ സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രജ്ഞനായ വി. ലിയോണ്ടീവ് ആണ്.

ഉദാഹരണം 1.5.2.

ഓയിൽ റിഫൈനറിക്ക് രണ്ട് ഗ്രേഡ് എണ്ണയുണ്ട്: ഗ്രേഡ് എ 10 യൂണിറ്റുകളുടെ അളവിൽ, ഗ്രേഡ് IN- 15 യൂണിറ്റുകൾ. എണ്ണ ശുദ്ധീകരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് വസ്തുക്കൾ ലഭിക്കും: ഗ്യാസോലിൻ (ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ബി) കൂടാതെ ഇന്ധന എണ്ണ ( എം). പ്രോസസ്സിംഗ് സാങ്കേതിക പ്രക്രിയയ്ക്ക് മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്:

ഐ: 1 യൂണിറ്റ് എ+ 2 യൂണിറ്റുകൾ IN 3 യൂണിറ്റുകൾ നൽകുന്നു. ബി+ 2 യൂണിറ്റുകൾ എം

II: 2 യൂണിറ്റുകൾ. എ+ 1 യൂണിറ്റ് IN 1 യൂണിറ്റ് നൽകുന്നു. ബി+ 5 യൂണിറ്റുകൾ എം

III: 2 യൂണിറ്റുകൾ എ+ 2 യൂണിറ്റുകൾ IN 1 യൂണിറ്റ് നൽകുന്നു. ബി+ 2 യൂണിറ്റുകൾ എം

പെട്രോൾ വില യൂണിറ്റിന് $ 10 ആണ്, ഇന്ധന എണ്ണ യൂണിറ്റിന് $ 1 ആണ്.

ഏറ്റവും പ്രയോജനകരമായ കോമ്പിനേഷൻ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് സാങ്കേതിക പ്രക്രിയകൾലഭ്യമായ എണ്ണയുടെ അളവ് പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നു.

മോഡലിംഗ് ചെയ്യുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിന്റുകൾ വ്യക്തമാക്കാം. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, പ്ലാന്റിനായുള്ള സാങ്കേതിക പ്രക്രിയയുടെ "ലാഭം" അതിന്റെ പൂർത്തിയായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ (ഗ്യാസോലിൻ, ഇന്ധന എണ്ണ) വിൽപ്പനയിൽ നിന്ന് പരമാവധി വരുമാനം നേടുക എന്ന അർത്ഥത്തിൽ മനസ്സിലാക്കണം. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ഏത് സാങ്കേതികവിദ്യ പ്രയോഗിക്കണം, എത്ര തവണ പ്രയോഗിക്കണം എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ പ്ലാന്റിന്റെ "തിരഞ്ഞെടുക്കൽ (നിർമ്മാണം) തീരുമാനം" അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്. വ്യക്തമായും, അത്തരം സാധ്യമായ നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്.

നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ അളവുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എക്സ് ഐ- ഉപയോഗത്തിന്റെ അളവ് ഐസാങ്കേതിക പ്രക്രിയ (i=1,2,3). മറ്റ് മോഡൽ പാരാമീറ്ററുകൾ (എണ്ണ കരുതൽ, ഗ്യാസോലിൻ, ഇന്ധന എണ്ണ വില) അറിയപ്പെടുന്നത്.

ഇനി ഒരു കാര്യം നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരംഒരു വെക്റ്റർ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലേക്ക് പ്ലാന്റ് വരുന്നു എക്സ് =(x 1 ,എക്സ് 2 ,എക്സ് 3 ) , പ്ലാന്റിന്റെ വരുമാനം ഇതിന് തുല്യമാണ് (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) ഡോളർ. ഇവിടെ, 32 ഡോളർ എന്നത് ആദ്യത്തെ സാങ്കേതിക പ്രക്രിയയുടെ ഒരു ആപ്ലിക്കേഷനിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന വരുമാനമാണ് ($10 3 യൂണിറ്റുകൾ. ബി+ 1 ഡോളർ · 2 യൂണിറ്റുകൾ. എം= $32). രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സാങ്കേതിക പ്രക്രിയകൾക്കായി യഥാക്രമം 15 ഉം 12 ഉം ഗുണകങ്ങൾക്ക് സമാനമായ അർത്ഥമുണ്ട്. എണ്ണ ശേഖരം കണക്കാക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

വൈവിധ്യത്തിന് എ:

വൈവിധ്യത്തിന് IN:,

ആദ്യത്തെ അസമത്വ ഗുണകങ്ങളിൽ 1, 2, 2 എന്നത് സാങ്കേതിക പ്രക്രിയകളുടെ ഒറ്റത്തവണ ഉപയോഗത്തിനുള്ള ഗ്രേഡ് എ എണ്ണയുടെ ഉപഭോഗ നിരക്കാണ്. ഐ,II,IIIയഥാക്രമം. രണ്ടാമത്തെ അസമത്വത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾക്ക് ഗ്രേഡ് ബി എണ്ണയ്ക്ക് സമാനമായ അർത്ഥമുണ്ട്.

മൊത്തത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

അത്തരമൊരു വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക x = (x 1 ,എക്സ് 2 ,എക്സ് 3 ) പരമാവധിയാക്കാൻ

f(x) =32х 1 +15x 2 +12x 3

ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിധേയമായി:

ഈ എൻട്രിയുടെ ചുരുക്കിയ രൂപം ഇതാണ്:

നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ

(1.7)

ഞങ്ങൾക്ക് ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ലഭിച്ചു.

മോഡൽ (1.7.) ഒരു ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് തരത്തിന്റെ (നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട മൂലകങ്ങളോടെ) ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ മോഡലിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്.

ഉദാഹരണം 1.5.3.

ഒരു നിശ്ചിത ലാഭം നേടുന്നതിനായി നിക്ഷേപകൻ ഒരു നിശ്ചിത തുകയ്ക്ക് വാങ്ങുന്നതിന് ഏറ്റവും മികച്ച സ്റ്റോക്കുകൾ, ബോണ്ടുകൾ, മറ്റ് സെക്യൂരിറ്റികൾ എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. കുറഞ്ഞ അപകടസാധ്യതഎനിക്ക് വേണ്ടി. ഒരു സെക്യൂരിറ്റിയിൽ നിക്ഷേപിക്കുന്ന ഒരു ഡോളറിന്റെ ലാഭം ജെ- തരം, രണ്ട് സൂചകങ്ങളാൽ സവിശേഷത: പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ലാഭവും യഥാർത്ഥ ലാഭവും. ഒരു നിക്ഷേപകനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, നിക്ഷേപത്തിന്റെ ഒരു ഡോളറിന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ലാഭം മുഴുവൻ സെറ്റിനും ആകുന്നത് അഭികാമ്യമാണ് വിലപ്പെട്ട പേപ്പറുകൾനിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യത്തേക്കാൾ കുറവല്ല ബി.

ഈ പ്രശ്നം ശരിയായി മാതൃകയാക്കാൻ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് സെക്യൂരിറ്റികളുടെ പോർട്ട്ഫോളിയോ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മേഖലയിൽ ചില അടിസ്ഥാന അറിവ് ആവശ്യമാണ്.

പ്രശ്നത്തിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം:

എൻ- സെക്യൂരിറ്റികളുടെ തരം എണ്ണം; എ ജെ- j-th തരത്തിലുള്ള സുരക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള യഥാർത്ഥ ലാഭം (റാൻഡം നമ്പർ); - പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ലാഭം ജെ-ആം തരം സുരക്ഷ.

നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ അളവുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം :

വൈ ജെ - തരത്തിലുള്ള സെക്യൂരിറ്റികൾ വാങ്ങുന്നതിനായി അനുവദിച്ച ഫണ്ടുകൾ ജെ.

ഞങ്ങളുടെ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, നിക്ഷേപിച്ച മുഴുവൻ തുകയും ഇതായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു . മോഡൽ ലളിതമാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ പുതിയ അളവുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു

.

അങ്ങനെ, എക്സ് ഐ- ഈ തരത്തിലുള്ള സെക്യൂരിറ്റികൾ ഏറ്റെടുക്കുന്നതിന് അനുവദിച്ച എല്ലാ ഫണ്ടുകളുടെയും വിഹിതമാണിത് ജെ.

അത് വ്യക്തമാണ്

കുറഞ്ഞ അപകടസാധ്യതയുള്ള ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലുള്ള ലാഭം കൈവരിക്കുക എന്നതാണ് നിക്ഷേപകന്റെ ലക്ഷ്യം എന്ന് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. സാരാംശത്തിൽ, പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ലാഭത്തിൽ നിന്നുള്ള യഥാർത്ഥ ലാഭത്തിന്റെ വ്യതിചലനത്തിന്റെ അളവുകോലാണ് അപകടസാധ്യത. അതിനാൽ, ടൈപ്പ് i, ടൈപ്പ് j എന്നിവയുടെ സെക്യൂരിറ്റികൾക്കായുള്ള ലാഭത്തിന്റെ കോവേരിയൻസ് ഉപയോഗിച്ച് ഇത് തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. ഇവിടെ M എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെ പദവിയാണ്.

യഥാർത്ഥ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ

,
,
,
. (1.8)

ഒരു സെക്യൂരിറ്റീസ് പോർട്ട്ഫോളിയോയുടെ ഘടന ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്ന മാർക്കോവിറ്റ്സ് മോഡൽ നേടിയിട്ടുണ്ട്.

മോഡൽ (1.8.) സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് തരത്തിന്റെ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ മോഡലിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (റാൻഡംനസ് മൂലകങ്ങൾക്കൊപ്പം).

ഉദാഹരണം 1.5.4.

ഒരു ട്രേഡ് ഓർഗനൈസേഷന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ശേഖരണ ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ ഒന്നിന്റെ n തരങ്ങളുണ്ട്. തന്നിരിക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഒരു തരം മാത്രമേ സ്റ്റോറിൽ കൊണ്ടുവരാവൂ. സ്റ്റോറിൽ കൊണ്ടുവരാൻ അനുയോജ്യമായ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ തരം നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഉൽപ്പന്ന തരം എങ്കിൽ ജെആവശ്യക്കാരുണ്ടാകും, സ്റ്റോർ അതിന്റെ വിൽപ്പനയിൽ നിന്ന് ലാഭം ഉണ്ടാക്കും ആർ ജെ, അത് ഡിമാൻഡ് ഇല്ലെങ്കിൽ - ഒരു നഷ്ടം q ജെ .

മോഡലിംഗിന് മുമ്പ്, ഞങ്ങൾ ചില അടിസ്ഥാന പോയിന്റുകൾ ചർച്ച ചെയ്യും. ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, ഡിസിഷൻ മേക്കർ (ഡിഎം) സ്റ്റോറാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഫലം (പരമാവധി ലാഭം) അവന്റെ തീരുമാനത്തെ മാത്രമല്ല, ഇറക്കുമതി ചെയ്ത ഉൽപ്പന്നത്തിന് ആവശ്യമുണ്ടോ എന്നതിനെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്, അത് ജനസംഖ്യ വാങ്ങുമോ (ചില കാരണങ്ങളാൽ സ്റ്റോർ ഇല്ലെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ജനസംഖ്യയുടെ ആവശ്യം പഠിക്കാൻ അവസരമുണ്ട് ). അതിനാൽ, ജനസംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തെ തീരുമാനമെടുക്കുന്നയാളായി കണക്കാക്കാം, അവരുടെ മുൻഗണനകൾ അനുസരിച്ച് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ തരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഒരു സ്റ്റോറിനായുള്ള ജനസംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും മോശമായ "തീരുമാനം" ഇതാണ്: "ഇറക്കുമതി ചെയ്ത സാധനങ്ങൾക്ക് ആവശ്യക്കാരില്ല." അതിനാൽ, സാധ്യമായ എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളും കണക്കിലെടുക്കുന്നതിന്, സ്റ്റോർ ജനസംഖ്യയെ അതിന്റെ “ശത്രു” (സോപാധികമായി) ആയി കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, വിപരീത ലക്ഷ്യം പിന്തുടരുന്നു - സ്റ്റോറിന്റെ ലാഭം കുറയ്ക്കുന്നതിന്.

അതിനാൽ, രണ്ട് പങ്കാളികൾ എതിർ ലക്ഷ്യങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നതിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു തീരുമാനമെടുക്കൽ പ്രശ്നമുണ്ട്. സ്റ്റോർ വിൽപ്പനയ്ക്കുള്ള ചരക്കുകളിൽ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് വ്യക്തമാക്കാം (തീരുമാനത്തിനുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്), ജനസംഖ്യ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഡിമാൻഡുള്ള ചരക്കുകളിൽ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു ( എൻപരിഹാര ഓപ്ഷനുകൾ).

ഒരു ഗണിത മാതൃക കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു പട്ടിക വരയ്ക്കാം എൻവരികളും എൻനിരകൾ (ആകെ എൻ 2 സെല്ലുകൾ) കൂടാതെ വരികൾ സ്റ്റോറിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനോടും നിരകൾ ജനസംഖ്യയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനോടും യോജിക്കുന്നുവെന്ന് സമ്മതിക്കുന്നു. പിന്നെ കളം (i, j)സ്റ്റോർ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ സാഹചര്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ഐഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ തരം ( ഐ-th line), കൂടാതെ ജനസംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു ജെഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ തരം ( j-മത്തെ കോളം). ഓരോ സെല്ലിലും സ്റ്റോറിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് അനുബന്ധ സാഹചര്യത്തിന്റെ ഒരു സംഖ്യാ വിലയിരുത്തൽ (ലാഭം അല്ലെങ്കിൽ നഷ്ടം) ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

നമ്പറുകൾ q ഐസ്റ്റോറിന്റെ നഷ്ടം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നതിന് മൈനസ് ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്നു; ഓരോ സാഹചര്യത്തിലും, ജനസംഖ്യയുടെ "നേട്ടം" (സോപാധികമായി) സ്റ്റോറിന്റെ "നേട്ടത്തിന്" തുല്യമാണ്, എതിർ ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്തതാണ്.

ഈ മോഡലിന്റെ ചുരുക്കരൂപം ഇതാണ്:

(1.9)

ഞങ്ങൾക്ക് മാട്രിക്സ് ഗെയിം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ലഭിച്ചു. മോഡൽ (1.9.) ഗെയിം തീരുമാനമെടുക്കുന്ന മോഡലുകളുടെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്.

സോവെറ്റോവിന്റെയും യാക്കോവ്ലേവിന്റെയും പാഠപുസ്തകം അനുസരിച്ച്: "ഒരു മോഡൽ (lat. മോഡുലസ് - അളവ്) യഥാർത്ഥ ഒബ്ജക്റ്റിന് പകരമുള്ള വസ്തുവാണ്, ഇത് ഒറിജിനലിന്റെ ചില ഗുണങ്ങളുടെ പഠനം ഉറപ്പാക്കുന്നു." (പേജ് 6) "ഒരു മോഡൽ ഒബ്‌ജക്‌റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് യഥാർത്ഥ ഒബ്‌ജക്‌റ്റിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന് ഒരു വസ്തുവിനെ മറ്റൊന്നുമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനെ മോഡലിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു." (പേജ് 6) "ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ് വഴി, ഒരു നിശ്ചിത ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുവുമായി ഒരു നിശ്ചിത ഗണിത വസ്തുവുമായി ഒരു കത്തിടപാടുകൾ സ്ഥാപിക്കുന്ന പ്രക്രിയയും ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഈ മോഡലിന്റെ പഠനവും ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ നേടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പരിഗണനയിലുള്ള വസ്തു. ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിന്റെ തരം യഥാർത്ഥ വസ്തുവിന്റെ സ്വഭാവത്തെയും വസ്തുവിനെ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതലകളെയും ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആവശ്യമായ വിശ്വാസ്യതയെയും കൃത്യതയെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

അവസാനമായി, ഒരു ഗണിത മാതൃകയുടെ ഏറ്റവും സംക്ഷിപ്തമായ നിർവചനം: "ഒരു ആശയം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം».

മോഡൽ വർഗ്ഗീകരണം

മോഡലുകളുടെ ഔപചാരിക വർഗ്ഗീകരണം

ഉപയോഗിച്ച ഗണിത ഉപകരണങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് മോഡലുകളുടെ ഔപചാരിക വർഗ്ഗീകരണം. പലപ്പോഴും ദ്വിതീയ രൂപത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിക്കോടോമികളുടെ ജനപ്രിയ സെറ്റുകളിൽ ഒന്ന്:

ഇത്യാദി. ഓരോ നിർമ്മിത മോഡലും രേഖീയമോ രേഖീയമോ അല്ല, നിർണ്ണായകമായ അല്ലെങ്കിൽ യാദൃശ്ചികമാണ്,... സ്വാഭാവികമായും, മിശ്രിത തരങ്ങൾ: ഒരു കാര്യത്തിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ച് (പാരാമീറ്ററുകളുടെ കാര്യത്തിൽ), മറ്റൊന്നിൽ - വിതരണം ചെയ്ത മോഡലുകൾ മുതലായവ.

വസ്തുവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന രീതി അനുസരിച്ച് വർഗ്ഗീകരണം

ഔപചാരിക വർഗ്ഗീകരണത്തോടൊപ്പം, ഒരു വസ്തുവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന രീതിയിൽ മോഡലുകൾ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

• ഘടനാപരമോ പ്രവർത്തനപരമോ ആയ മോഡലുകൾ

ഘടനാപരമായ മോഡലുകൾഒരു വസ്തുവിനെ അതിന്റെ സ്വന്തം ഘടനയും പ്രവർത്തന സംവിധാനവുമുള്ള ഒരു സിസ്റ്റമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. പ്രവർത്തന മാതൃകകൾഅത്തരം പ്രതിനിധാനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കരുത് കൂടാതെ വസ്തുവിന്റെ ബാഹ്യമായി മനസ്സിലാക്കിയ സ്വഭാവം (പ്രവർത്തനം) മാത്രം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുക. അവരുടെ തീവ്രമായ ആവിഷ്കാരത്തിൽ, അവയെ "ബ്ലാക്ക് ബോക്സ്" മോഡലുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. സംയോജിത തരത്തിലുള്ള മോഡലുകളും സാധ്യമാണ്, അവയെ ചിലപ്പോൾ വിളിക്കുന്നു " ചാരനിറത്തിലുള്ള പെട്ടി».

ഉള്ളടക്കവും ഔപചാരിക മോഡലുകളും

മിക്കവാറും എല്ലാ രചയിതാക്കളും ഈ പ്രക്രിയയെ വിവരിക്കുന്നു ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ്, ആദ്യം ഒരു പ്രത്യേക അനുയോജ്യമായ ഘടന നിർമ്മിച്ചതായി സൂചിപ്പിക്കുക, ഉള്ളടക്ക മാതൃക. ഇവിടെ ഒരു സ്ഥാപിത പദാവലി ഇല്ല, മറ്റ് രചയിതാക്കൾ ഈ അനുയോജ്യമായ വസ്തുവിനെ വിളിക്കുന്നു ആശയപരമായ മാതൃക , ഊഹക്കച്ചവട മാതൃകഅഥവാ പ്രീമോഡൽ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അന്തിമ ഗണിത നിർമ്മാണം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ഔപചാരിക മാതൃകഅല്ലെങ്കിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന അർത്ഥവത്തായ മാതൃകയുടെ (പ്രീ മോഡൽ) ഔപചാരികവൽക്കരണത്തിന്റെ ഫലമായി ലഭിച്ച ഒരു ഗണിത മാതൃക. മെക്കാനിക്സിലെന്നപോലെ ഒരു കൂട്ടം റെഡിമെയ്ഡ് ഐഡിയലൈസേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അർത്ഥവത്തായ ഒരു മാതൃകയുടെ നിർമ്മാണം നടത്താം, അവിടെ അനുയോജ്യമായ നീരുറവകൾ, കർക്കശമായ ശരീരങ്ങൾ, അനുയോജ്യമായ പെൻഡുലങ്ങൾ, ഇലാസ്റ്റിക് മീഡിയമുതലായവ റെഡിമെയ്ഡ് നൽകുക ഘടനാപരമായ ഘടകങ്ങൾഅർത്ഥവത്തായ മോഡലിംഗിനായി. എന്നിരുന്നാലും, പൂർണ്ണമായി പൂർത്തീകരിക്കപ്പെട്ട ഔപചാരിക സിദ്ധാന്തങ്ങളില്ലാത്ത (ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, സാമൂഹ്യശാസ്ത്രം, മനഃശാസ്ത്രം, മറ്റ് മിക്ക മേഖലകളിലും) അറിവിന്റെ മേഖലകളിൽ അർത്ഥവത്തായ മാതൃകകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത് നാടകീയമായി കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

മോഡലുകളുടെ ഉള്ളടക്ക വർഗ്ഗീകരണം

ശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു സിദ്ധാന്തവും ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി തെളിയിക്കാനാവില്ല. റിച്ചാർഡ് ഫെയ്ൻമാൻ ഇത് വളരെ വ്യക്തമായി രൂപപ്പെടുത്തി:

“ഒരു സിദ്ധാന്തം നിരാകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും അവസരമുണ്ട്, പക്ഷേ അത് ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കലും കഴിയില്ലെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. നിങ്ങൾ വിജയകരമായ ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും അത് എവിടേക്കാണ് നയിക്കുന്നത് എന്ന് കണക്കാക്കുകയും അതിന്റെ എല്ലാ അനന്തരഫലങ്ങളും പരീക്ഷണാത്മകമായി സ്ഥിരീകരിക്കുകയും ചെയ്തുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. നിങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം ശരിയാണെന്നാണോ ഇതിനർത്ഥം? ഇല്ല, നിങ്ങൾ അതിനെ നിരാകരിക്കുന്നതിൽ പരാജയപ്പെട്ടു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ആദ്യ തരത്തിലുള്ള ഒരു മാതൃക നിർമ്മിക്കപ്പെട്ടാൽ, ഇത് താൽക്കാലികമായി സത്യമായി അംഗീകരിക്കുകയും മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുകയും ചെയ്യാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഗവേഷണത്തിലെ ഒരു പോയിന്റായിരിക്കില്ല, പക്ഷേ ഒരു താൽക്കാലിക താൽക്കാലിക വിരാമം മാത്രം: ആദ്യ തരത്തിലുള്ള ഒരു മോഡലിന്റെ നില താൽക്കാലികം മാത്രമായിരിക്കും.

തരം 2: പ്രതിഭാസ മാതൃക (ഞങ്ങൾ പെരുമാറുന്നത് പോലെയാണ്…)

ഒരു പ്രതിഭാസ മാതൃകയിൽ ഒരു പ്രതിഭാസത്തെ വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സംവിധാനം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സംവിധാനം വേണ്ടത്ര ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നില്ല, ലഭ്യമായ ഡാറ്റയാൽ വേണ്ടത്ര സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല, അല്ലെങ്കിൽ വസ്തുവിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിലവിലുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്കും ശേഖരിച്ച അറിവുകൾക്കും അനുയോജ്യമല്ല. അതുകൊണ്ടാണ് പ്രതിഭാസ മാതൃകകൾതാൽകാലിക പരിഹാരങ്ങൾ എന്ന നിലയിലുണ്ട്. ഉത്തരം ഇപ്പോഴും അജ്ഞാതമാണെന്നും "യഥാർത്ഥ മെക്കാനിസങ്ങൾ" എന്നതിനായുള്ള തിരയൽ തുടരണമെന്നും വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. പീയറുകളിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, കലോറിക് മോഡലും എലിമെന്ററി കണങ്ങളുടെ ക്വാർക്ക് മോഡലും രണ്ടാം തരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഗവേഷണത്തിൽ മോഡലിന്റെ പങ്ക് കാലക്രമേണ മാറിയേക്കാം, കൂടാതെ പുതിയ ഡാറ്റയും സിദ്ധാന്തങ്ങളും പ്രതിഭാസ മാതൃകകളെ സ്ഥിരീകരിക്കുകയും അവ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നിലയിലേക്ക് ഉയർത്തപ്പെടുകയും ചെയ്യും. അതുപോലെ, പുതിയ അറിവ് ക്രമേണ ആദ്യ തരത്തിലുള്ള മാതൃകകളുമായി വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് വരാം, അവ രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്. അങ്ങനെ, ക്വാർക്ക് മാതൃക ക്രമേണ അനുമാനങ്ങളുടെ വിഭാഗത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു; ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ആറ്റോമിസം ഒരു താൽക്കാലിക പരിഹാരമായി ഉയർന്നുവെങ്കിലും ചരിത്രത്തിന്റെ ഗതിയിൽ അത് ആദ്യത്തെ തരമായി മാറി. എന്നാൽ ഈതർ മോഡലുകൾ ടൈപ്പ് 1 ൽ നിന്ന് ടൈപ്പ് 2 വരെ എത്തി, ഇപ്പോൾ ശാസ്ത്രത്തിന് പുറത്താണ്.

മോഡലുകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ലളിതവൽക്കരണം എന്ന ആശയം വളരെ ജനപ്രിയമാണ്. എന്നാൽ ലളിതവൽക്കരണം വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങളിൽ വരുന്നു. മോഡലിംഗിൽ മൂന്ന് തരം ലളിതവൽക്കരണങ്ങൾ പിയർൽസ് തിരിച്ചറിയുന്നു.

തരം 3: ഏകദേശ കണക്ക് (വളരെ വലുതോ ചെറുതോ ആയ എന്തെങ്കിലും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു)

പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള സിസ്റ്റത്തെ വിവരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ സഹായത്തോടെ പോലും അവ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. ഈ കേസിൽ ഒരു സാധാരണ സാങ്കേതികതയാണ് ഏകദേശ (ടൈപ്പ് 3 മോഡലുകൾ) ഉപയോഗം. അവർക്കിടയിൽ രേഖീയ പ്രതികരണ മോഡലുകൾ. സമവാക്യങ്ങൾ ലീനിയർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണമാണ് ഓമിന്റെ നിയമം.

ഇവിടെ ടൈപ്പ് 8 വരുന്നു, ഇത് ബയോളജിക്കൽ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളിൽ വ്യാപകമാണ്.

തരം 8: ഫീച്ചർ ഡെമോൺസ്ട്രേഷൻ (സാധ്യതയുടെ ആന്തരിക സ്ഥിരത കാണിക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം)

ഇതും ചിന്താ പരീക്ഷണങ്ങളാണ്അത് തെളിയിക്കുന്ന സാങ്കൽപ്പിക അസ്തിത്വങ്ങൾക്കൊപ്പം അനുമാനിക്കപ്പെടുന്ന പ്രതിഭാസംഅടിസ്ഥാന തത്വങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതും ആന്തരികമായി സ്ഥിരതയുള്ളതും. ടൈപ്പ് 7 ന്റെ മോഡലുകളിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന വ്യത്യാസം ഇതാണ്, മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന വൈരുദ്ധ്യങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഈ പരീക്ഷണങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത് ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയാണ് (ലോബചെവ്സ്കി അതിനെ "സാങ്കൽപ്പിക ജ്യാമിതി" എന്ന് വിളിച്ചു). കെമിക്കൽ, ബയോളജിക്കൽ വൈബ്രേഷനുകൾ, ഓട്ടോവേവ് മുതലായവയുടെ ഔപചാരികമായ ചലനാത്മക മോഡലുകളുടെ വൻതോതിലുള്ള ഉൽപ്പാദനമാണ് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം. ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിന്റെ പൊരുത്തക്കേട് തെളിയിക്കാൻ ഐൻസ്റ്റീൻ-പോഡോൾസ്കി-റോസൻ വിരോധാഭാസം ഒരു ടൈപ്പ് 7 മോഡലായി വിഭാവനം ചെയ്യപ്പെട്ടു. പൂർണ്ണമായും ആസൂത്രണം ചെയ്യാത്ത രീതിയിൽ, ഇത് ഒടുവിൽ ഒരു ടൈപ്പ് 8 മോഡലായി മാറി - വിവരങ്ങളുടെ ക്വാണ്ടം ടെലിപോർട്ടേഷന്റെ സാധ്യതയുടെ പ്രകടനം.

ഉദാഹരണം

ഒരു സ്പ്രിംഗ് അടങ്ങുന്ന ഒരു മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക, ഒരു അറ്റത്ത് ഉറപ്പിച്ചു, ഒരു പിണ്ഡം പിണ്ഡം , സ്പ്രിംഗ് സ്വതന്ത്ര അവസാനം അറ്റാച്ച്. സ്പ്രിംഗ് അച്ചുതണ്ടിന്റെ ദിശയിൽ മാത്രമേ ലോഡ് നീങ്ങാൻ കഴിയൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, വടിയിലൂടെ ചലനം സംഭവിക്കുന്നു). നമുക്ക് ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഗണിത മാതൃക നിർമ്മിക്കാം. ലോഡിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് നിന്ന് അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്കുള്ള ദൂരം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥ വിവരിക്കും. സ്പ്രിംഗിന്റെ ഇടപെടലും ഉപയോഗിക്കുന്ന ലോഡും നമുക്ക് വിവരിക്കാം ഹുക്കിന്റെ നിയമം() തുടർന്ന് ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുക:

ഇവിടെ അർത്ഥമാക്കുന്നത് സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ്: .

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഭൗതിക വ്യവസ്ഥയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക വിവരിക്കുന്നു. ഈ മോഡലിനെ "ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഔപചാരിക വർഗ്ഗീകരണം അനുസരിച്ച്, ഈ മാതൃക രേഖീയവും നിർണ്ണായകവും ചലനാത്മകവും ഏകാഗ്രവും തുടർച്ചയായതുമാണ്. അതിന്റെ നിർമ്മാണ പ്രക്രിയയിൽ, ഞങ്ങൾ നിരവധി അനുമാനങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കി (ബാഹ്യ ശക്തികളുടെ അഭാവം, ഘർഷണത്തിന്റെ അഭാവം, വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ചെറുത് മുതലായവ), അത് വാസ്തവത്തിൽ പാലിക്കപ്പെടാനിടയില്ല.

യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഇത് മിക്കപ്പോഴും ഒരു ടൈപ്പ് 4 മോഡലാണ് ലളിതവൽക്കരണം(“വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ചില വിശദാംശങ്ങൾ ഒഴിവാക്കും”), കാരണം ചില അവശ്യ സാർവത്രിക സവിശേഷതകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിസിപ്പേഷൻ) ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു. ചില ഏകദേശ കണക്കനുസരിച്ച് (പറയുക, സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള ലോഡിന്റെ വ്യതിയാനം ചെറുതാണെങ്കിലും, കുറഞ്ഞ ഘർഷണത്തോടെ, അധിക സമയവും മറ്റ് ചില വ്യവസ്ഥകൾക്കും വിധേയമല്ല), അത്തരം ഒരു മോഡൽ ഒരു യഥാർത്ഥ മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തെ നന്നായി വിവരിക്കുന്നു, കാരണം ഉപേക്ഷിക്കപ്പെട്ട ഘടകങ്ങൾ അതിന്റെ പെരുമാറ്റത്തിൽ ഒരു നിസ്സാരമായ പ്രഭാവം. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഘടകങ്ങളിൽ ചിലത് കണക്കിലെടുത്ത് മോഡൽ പരിഷ്കരിക്കാനാകും. ഇത് വിപുലമായ (വീണ്ടും പരിമിതമാണെങ്കിലും) പ്രയോഗക്ഷമതയുള്ള ഒരു പുതിയ മോഡലിലേക്ക് നയിക്കും.

എന്നിരുന്നാലും, മോഡലിനെ പരിഷ്കരിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണത ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കുകയും മോഡലിനെ ഫലത്തിൽ ഉപയോഗശൂന്യമാക്കുകയും ചെയ്യും. പലപ്പോഴും, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ (ഒപ്പം, ഔപചാരികമായി, "കൂടുതൽ ശരി") ഒരു യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മികച്ചതും ആഴത്തിലുള്ളതുമായ പര്യവേക്ഷണത്തിന് ഒരു ലളിതമായ മോഡൽ അനുവദിക്കുന്നു.

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയുള്ള വസ്തുക്കളിൽ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ മോഡൽ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ അടിസ്ഥാന നില വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ മാതൃക ബയോളജിക്കൽ പോപ്പുലേഷനിൽ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഇത് മിക്കവാറും ടൈപ്പ് 6 ആയി തരംതിരിക്കണം സാദൃശ്യം("നമുക്ക് ചില സവിശേഷതകൾ മാത്രം കണക്കിലെടുക്കാം").

ഹാർഡ് ആൻഡ് സോഫ്റ്റ് മോഡലുകൾ

"ഹാർഡ്" മോഡൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ് ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ. ഒരു യഥാർത്ഥ ഭൗതിക വ്യവസ്ഥയുടെ ശക്തമായ ആദർശവൽക്കരണത്തിന്റെ ഫലമായാണ് ഇത് ലഭിക്കുന്നത്. അതിന്റെ പ്രയോഗക്ഷമതയുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അവഗണിച്ച ഘടകങ്ങൾ എത്രത്തോളം പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നതാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, "മൃദു" മോഡൽ പഠിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അത് "ഹാർഡ്" എന്നതിന്റെ ചെറിയ പ്രക്ഷുബ്ധതയാൽ ലഭിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് നൽകാം:

ഘർഷണ ശക്തിയോ സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യത്തിന്റെ ഗുണകത്തിന്റെ ആശ്രിതത്വമോ അതിന്റെ സ്ട്രെച്ചിംഗിന്റെ അളവിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു - ചില ചെറിയ പാരാമീറ്റർ. ഞങ്ങൾ ഇൻ ചെയ്യുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യക്തമായ രൂപം ഈ നിമിഷംതാൽപ്പര്യമില്ല. മൃദുവായ മോഡലിന്റെ സ്വഭാവം ഹാർഡ് മോഡലിന്റെ സ്വഭാവത്തിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുകയാണെങ്കിൽ (പ്രകടമാക്കുന്ന ഘടകങ്ങളുടെ വ്യക്തമായ തരം പരിഗണിക്കാതെ, അവ ചെറുതാണെങ്കിൽ), ഹാർഡ് മോഡൽ പഠിക്കുന്നതിലേക്ക് പ്രശ്നം ചുരുങ്ങും. അല്ലെങ്കിൽ, കർക്കശമായ മോഡൽ പഠിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഫലങ്ങളുടെ പ്രയോഗത്തിന് അധിക ഗവേഷണം ആവശ്യമായി വരും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം രൂപത്തിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്, അതായത്, സ്ഥിരമായ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുള്ള ആന്ദോളനങ്ങൾ. ഒരു യഥാർത്ഥ ഓസിലേറ്റർ സ്ഥിരമായ വ്യാപ്തിയോടെ അനിശ്ചിതമായി ആന്ദോളനം ചെയ്യുമെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നുണ്ടോ? ഇല്ല, കാരണം ഏകപക്ഷീയമായി ചെറിയ ഘർഷണം ഉള്ള ഒരു സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ (യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും ഉണ്ട്), നമുക്ക് നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങൾ ലഭിക്കും. സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വഭാവം ഗുണപരമായി മാറിയിരിക്കുന്നു.

ചെറിയ അസ്വസ്ഥതകൾക്ക് കീഴിൽ ഒരു സിസ്റ്റം അതിന്റെ ഗുണപരമായ സ്വഭാവം നിലനിർത്തുന്നുവെങ്കിൽ, അത് ഘടനാപരമായി സ്ഥിരതയുള്ളതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ എന്നത് ഘടനാപരമായി അസ്ഥിരമായ (നോൺ-റഫ്) സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പരിമിതമായ കാലയളവിൽ പ്രക്രിയകൾ പഠിക്കാൻ ഈ മാതൃക ഉപയോഗിക്കാം.

മോഡലുകളുടെ വൈവിധ്യം

ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകൾ സാധാരണയായി ഉണ്ട് പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വത്ത് ബഹുമുഖത: അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമായ യഥാർത്ഥ പ്രതിഭാസങ്ങളെ അതേ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകയിൽ വിവരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്പ്രിംഗിലെ ലോഡിന്റെ സ്വഭാവം മാത്രമല്ല, മറ്റ് ഓസിലേറ്ററി പ്രക്രിയകളും ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ വിവരിക്കുന്നു, പലപ്പോഴും തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ സ്വഭാവമുണ്ട്: ഒരു പെൻഡുലത്തിന്റെ ചെറിയ ആന്ദോളനങ്ങൾ, എ-ആകൃതിയിലുള്ള പാത്രത്തിലെ ദ്രാവക നിലയിലെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ. , അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ടിലെ നിലവിലെ ശക്തിയിലെ മാറ്റം. അങ്ങനെ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക പഠിക്കുന്നതിലൂടെ, അത് വിവരിച്ച ഒരു ക്ലാസ് പ്രതിഭാസങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഉടനടി പഠിക്കുന്നു. ശാസ്ത്ര വിജ്ഞാനത്തിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന നിയമങ്ങളുടെ ഈ ഐസോമോർഫിസമാണ് "സിസ്റ്റംസിന്റെ പൊതു സിദ്ധാന്തം" സൃഷ്ടിക്കാൻ ലുഡ്വിഗ് വോൺ ബെർട്ടലാൻഫിയെ പ്രചോദിപ്പിച്ചത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗിന്റെ നേരിട്ടുള്ളതും വിപരീതവുമായ പ്രശ്നങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ആദ്യം, നിങ്ങൾ മാതൃകാപരമായ വസ്തുവിന്റെ ഒരു അടിസ്ഥാന ഡയഗ്രം കൊണ്ട് വരേണ്ടതുണ്ട്, ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആദർശവൽക്കരണത്തിന്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ അത് പുനർനിർമ്മിക്കുക. അങ്ങനെ, ഒരു ട്രെയിൻ കാർ വിവിധ വസ്തുക്കളിൽ നിന്നുള്ള പ്ലേറ്റുകളുടെയും കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ബോഡികളുടെയും ഒരു സംവിധാനമായി മാറുന്നു, ഓരോ മെറ്റീരിയലും അതിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് മെക്കാനിക്കൽ ഐഡിയലൈസേഷൻ (സാന്ദ്രത, ഇലാസ്റ്റിക് മൊഡ്യൂളി, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ശക്തി സവിശേഷതകൾ) ആയി വ്യക്തമാക്കുന്നു, അതിനുശേഷം സമവാക്യങ്ങൾ വരയ്ക്കുകയും വഴിയിലുടനീളം ചില വിശദാംശങ്ങൾ അപ്രധാനമെന്ന് കരുതി കളയുന്നു , കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നു, അളവുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, മോഡൽ പരിഷ്കരിച്ചു, തുടങ്ങിയവ. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ് സാങ്കേതികവിദ്യകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഈ പ്രക്രിയയെ അതിന്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വേർപെടുത്തുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

പരമ്പരാഗതമായി, ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട രണ്ട് പ്രധാന ക്ലാസുകളുണ്ട്: നേരിട്ടുള്ളതും വിപരീതവും.

നേരിട്ടുള്ള ചുമതല: മോഡലിന്റെ ഘടനയും അതിന്റെ എല്ലാ പാരാമീറ്ററുകളും അറിയപ്പെടുന്നതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, വസ്തുവിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഉപയോഗപ്രദമായ അറിവ് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ മോഡലിന്റെ ഒരു പഠനം നടത്തുക എന്നതാണ് പ്രധാന ദൌത്യം. പാലം എന്ത് സ്റ്റാറ്റിക് ലോഡിനെ നേരിടും? ഡൈനാമിക് ലോഡിനോട് അത് എങ്ങനെ പ്രതികരിക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, സൈനികരുടെ ഒരു കമ്പനിയുടെ മാർച്ചിലേക്കോ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത വേഗതയിൽ ഒരു ട്രെയിൻ കടന്നുപോകുന്നതിനോ), വിമാനം എങ്ങനെ മറികടക്കും ശബ്ദ തടസ്സംഇത് ഫ്ലട്ടറിൽ നിന്ന് വേർപെടുത്തുമോ - ഇവ നേരിട്ടുള്ള പ്രശ്നത്തിന്റെ സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. ശരിയായ നേരിട്ടുള്ള പ്രശ്നം (ശരിയായ ചോദ്യം ചോദിക്കൽ) സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന് പ്രത്യേക വൈദഗ്ദ്ധ്യം ആവശ്യമാണ്. ശരിയായ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിച്ചില്ലെങ്കിൽ, ഒരു പാലം തകർന്നേക്കാം, അതിന്റെ പെരുമാറ്റത്തിന് ഒരു നല്ല മാതൃക നിർമ്മിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും. അതിനാൽ, 1879-ൽ ഗ്രേറ്റ് ബ്രിട്ടനിൽ ടേ നദിക്ക് കുറുകെയുള്ള ഒരു മെറ്റൽ പാലം തകർന്നു, അതിന്റെ ഡിസൈനർമാർ പാലത്തിന്റെ ഒരു മാതൃക നിർമ്മിച്ചു, പേലോഡിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് 20 മടങ്ങ് സുരക്ഷാ ഘടകം ഉണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കി, പക്ഷേ കാറ്റിനെക്കുറിച്ച് മറന്നു. ആ സ്ഥലങ്ങളിൽ നിരന്തരം വീശുന്നു. ഒന്നര വർഷത്തിനുശേഷം അത് തകർന്നു.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഓസിലേറ്റർ സമവാക്യം), നേരിട്ടുള്ള പ്രശ്നം വളരെ ലളിതവും ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ വ്യക്തമായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതുമാണ്.

വിപരീത പ്രശ്നം: സാധ്യമായ നിരവധി മോഡലുകൾ അറിയാം, വസ്തുവിനെക്കുറിച്ചുള്ള അധിക ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട മോഡൽ തിരഞ്ഞെടുക്കണം. മിക്കപ്പോഴും, മോഡലിന്റെ ഘടന അറിയപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ചില അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അധിക വിവരംഅധിക അനുഭവപരമായ ഡാറ്റ അല്ലെങ്കിൽ ഒബ്ജക്റ്റിന് ആവശ്യമായ ആവശ്യകതകൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം ( ഡിസൈൻ പ്രശ്നം). വിപരീത പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയ പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ അധിക ഡാറ്റ എത്തിച്ചേരാം ( നിഷ്ക്രിയ നിരീക്ഷണം) അല്ലെങ്കിൽ പരിഹാര സമയത്ത് പ്രത്യേകം ആസൂത്രണം ചെയ്ത ഒരു പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലമായിരിക്കാം ( സജീവ നിരീക്ഷണം).

ലഭ്യമായ ഡാറ്റയുടെ പൂർണ്ണമായ ഉപയോഗത്തിലൂടെ ഒരു വിപരീത പ്രശ്നത്തിനുള്ള സമർത്ഥമായ പരിഹാരത്തിന്റെ ആദ്യ ഉദാഹരണങ്ങളിലൊന്നാണ്, നിരീക്ഷിച്ച നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ഘർഷണ ശക്തികളെ പുനർനിർമ്മിക്കുന്നതിനായി I. ന്യൂട്ടൺ നിർമ്മിച്ച രീതി.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളാണ്. ബഹുജന റാൻഡം പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് മാതൃകകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് നിരീക്ഷണപരവും പരീക്ഷണാത്മകവുമായ ഡാറ്റ റെക്കോർഡുചെയ്യുന്നതിനും വിവരിക്കുന്നതിനും വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള രീതികൾ വികസിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചുമതല. ആ. സാധ്യമായ മോഡലുകളുടെ കൂട്ടം പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് മോഡലുകളിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികളിൽ, മോഡലുകളുടെ സെറ്റ് കൂടുതൽ പരിമിതമാണ്.

കമ്പ്യൂട്ടർ സിമുലേഷൻ സിസ്റ്റങ്ങൾ

ഗണിത മോഡലിംഗിനെ പിന്തുണയ്ക്കുന്നതിനായി, കമ്പ്യൂട്ടർ ഗണിതശാസ്ത്ര സംവിധാനങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim മുതലായവ. ലളിതവും ഔപചാരികവും തടയുന്നതുമായ മോഡലുകൾ സൃഷ്ടിക്കാൻ അവ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രക്രിയകൾഉപകരണങ്ങളും സിമുലേഷൻ സമയത്ത് മോഡൽ പാരാമീറ്ററുകൾ എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റുന്നു. മോഡലുകൾ തടയുകബ്ലോക്കുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു (മിക്കപ്പോഴും ഗ്രാഫിക്), ഇവയുടെ സെറ്റും കണക്ഷനും മോഡൽ ഡയഗ്രം വ്യക്തമാക്കുന്നു.

അധിക ഉദാഹരണങ്ങൾ

മാൾത്തസിന്റെ മാതൃക

നിലവിലെ ജനസംഖ്യാ വലുപ്പത്തിന് ആനുപാതികമാണ് വളർച്ചാ നിരക്ക്. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് വിവരിക്കുന്നത്

ജനനനിരക്കും മരണനിരക്കും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പാരാമീറ്റർ എവിടെയാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനാണ്. ജനനനിരക്ക് മരണനിരക്ക് () കവിയുന്നുവെങ്കിൽ, ജനസംഖ്യയുടെ വലുപ്പം അനിശ്ചിതമായും വളരെ വേഗത്തിലും വർദ്ധിക്കുന്നു. പരിമിതമായ വിഭവങ്ങൾ കാരണം ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ സംഭവിക്കില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. നിർണായകമായ ഒരു ജനസംഖ്യാ വലുപ്പത്തിൽ എത്തുമ്പോൾ, പരിമിതമായ വിഭവങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കാത്തതിനാൽ, മോഡൽ മതിയായതായിരിക്കില്ല. മാൽത്തസ് മോഡലിന്റെ പരിഷ്‌ക്കരണം ഒരു ലോജിസ്റ്റിക് മോഡലാകാം, ഇത് വെർഹൾസ്റ്റ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം വിവരിക്കുന്നു.

"സന്തുലിതാവസ്ഥ" ജനസംഖ്യാ വലുപ്പം എവിടെയാണ്, ജനനനിരക്കിന് മരണനിരക്ക് കൃത്യമായി നഷ്ടപരിഹാരം നൽകുന്നു. അത്തരമൊരു മാതൃകയിലെ ജനസംഖ്യാ വലുപ്പം ഒരു സന്തുലിത മൂല്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, ഈ സ്വഭാവം ഘടനാപരമായി സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്.

പ്രെഡേറ്റർ-ഇരയുടെ സംവിധാനം

രണ്ട് തരം മൃഗങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക പ്രദേശത്ത് വസിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് പറയാം: മുയലുകൾ (സസ്യങ്ങൾ തിന്നുന്നു), കുറുക്കന്മാർ (മുയലുകൾ തിന്നുന്നു). മുയലുകളുടെ എണ്ണം, കുറുക്കന്മാരുടെ എണ്ണം. കുറുക്കൻ മുയലുകളെ ഭക്ഷിക്കുന്നത് കണക്കിലെടുത്ത് ആവശ്യമായ ഭേദഗതികളോടെ മാൾത്തസ് മോഡൽ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സംവിധാനത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചേരുന്നു. മോഡലുകൾ ട്രേകൾ - Volterra:

മുയലുകളുടെയും കുറുക്കന്മാരുടെയും എണ്ണം സ്ഥിരമായിരിക്കുമ്പോൾ ഈ സംവിധാനത്തിന് ഒരു സന്തുലിതാവസ്ഥയുണ്ട്. ഈ അവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾക്ക് സമാനമായി മുയലുകളുടെയും കുറുക്കന്മാരുടെയും എണ്ണത്തിൽ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾക്ക് കാരണമാകുന്നു. ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ പോലെ, ഈ സ്വഭാവം ഘടനാപരമായി സ്ഥിരതയുള്ളതല്ല: മോഡലിലെ ഒരു ചെറിയ മാറ്റം (ഉദാഹരണത്തിന്, മുയലുകൾക്ക് ആവശ്യമായ പരിമിതമായ വിഭവങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ) സ്വഭാവത്തിൽ ഗുണപരമായ മാറ്റത്തിന് ഇടയാക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, സന്തുലിതാവസ്ഥ സ്ഥിരമായേക്കാം, സംഖ്യകളിലെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ ഇല്ലാതാകും. സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും ചെറിയ വ്യതിയാനം ഒരു ജീവിവർഗത്തിന്റെ പൂർണ്ണമായ വംശനാശം വരെ വിനാശകരമായ പ്രത്യാഘാതങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുമ്പോൾ വിപരീത സാഹചര്യവും സാധ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഏതാണ് സാക്ഷാത്കരിക്കപ്പെടുന്നത് എന്ന ചോദ്യത്തിന് വോൾട്ടെറ-ലോട്ട്ക മോഡൽ ഉത്തരം നൽകുന്നില്ല: ഇവിടെ കൂടുതൽ ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്.

കുറിപ്പുകൾ

1. "യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതിനിധാനം" (എൻസൈക്ലോപീഡിയ ബ്രിട്ടാനിക്ക)
2. നോവിക് I. B., സൈബർനെറ്റിക് മോഡലിംഗിന്റെ ദാർശനിക വിഷയങ്ങളിൽ. എം., നോളജ്, 1964.
3. സോവെറ്റോവ് ബി യാ., യാക്കോവ്ലെവ് എസ്.എ., സിസ്റ്റങ്ങളുടെ മോഡലിംഗ്: Proc. സർവ്വകലാശാലകൾക്കായി - 3rd ed., പരിഷ്കരിച്ചത്. കൂടാതെ അധികവും - എം.: ഉയർന്നത്. സ്കൂൾ, 2001. - 343 പേ. ISBN 5-06-003860-2
4. സമർസ്‌കി എ.എ., മിഖൈലോവ് എ.പി.ഗണിത മോഡലിംഗ്. ആശയങ്ങൾ. രീതികൾ. ഉദാഹരണങ്ങൾ. - 2nd എഡി., റവ. - എം.: ഫിസ്മാറ്റ്ലിറ്റ്, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. മിഷ്കിസ് എ.ഡി., ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ. - മൂന്നാം പതിപ്പ്., റവ. - എം.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4
6. സെവോസ്ത്യനോവ്, എ.ജി. സാങ്കേതിക പ്രക്രിയകളുടെ മോഡലിംഗ്: പാഠപുസ്തകം / എ.ജി. സെവോസ്ത്യനോവ്, പി.എ. സെവോസ്ത്യനോവ്. - എം.: വെളിച്ചവും ഭക്ഷ്യ വ്യവസായം, 1984. - 344 പേ.
7. വിക്കിനിഘണ്ടു: ഗണിത മാതൃക
8. CliffsNotes.com. എർത്ത് സയൻസ് ഗ്ലോസറി. 20 സെപ്റ്റംബർ 2010
9. മൾട്ടിസ്‌കെയിൽ പ്രതിഭാസങ്ങൾ, സ്പ്രിംഗർ, കോംപ്ലക്‌സിറ്റി സീരീസ്, ബെർലിൻ-ഹൈഡൽബർഗ്-ന്യൂയോർക്ക്, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. “ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ നോൺലീനിയർ - ഏത് തരത്തിലുള്ള ഗണിത ഉപകരണത്തെ ആശ്രയിച്ച് ഒരു സിദ്ധാന്തം ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ നോൺലീനിയർ ആയി കണക്കാക്കുന്നു, അത് ഏത് തരത്തിലുള്ള ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ നോൺലീനിയർ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ... രണ്ടാമത്തേത് നിഷേധിക്കാതെ. ഒരു ആധുനിക ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞന്, രേഖീയമല്ലാത്ത ഒരു സുപ്രധാന വസ്തുവിന്റെ നിർവചനം പുനർനിർമ്മിക്കേണ്ടി വന്നാൽ, മിക്കവാറും വ്യത്യസ്തമായി പ്രവർത്തിക്കും, കൂടാതെ രണ്ട് വിപരീതങ്ങളിൽ കൂടുതൽ പ്രധാനവും വ്യാപകവുമായ രേഖീയതയ്ക്ക് മുൻഗണന നൽകുമ്പോൾ, രേഖീയത "അല്ല" എന്ന് നിർവചിക്കും. രേഖീയമല്ലാത്തത്." ഡാനിലോവ് യു. എ., രേഖീയമല്ലാത്ത ചലനാത്മകതയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രഭാഷണങ്ങൾ. പ്രാഥമിക ആമുഖം. സീരീസ് "സിനർജറ്റിക്സ്: ഭൂതകാലത്തിൽ നിന്ന് ഭാവിയിലേക്ക്." പതിപ്പ് 2. - എം.: യുആർഎസ്എസ്, 2006. - 208 പേ. ISBN 5-484-00183-8
11. “സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിമിതമായ സംഖ്യകളാൽ മാതൃകയാക്കപ്പെട്ട ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റങ്ങളെ കോൺസെൻട്രേറ്റഡ് അല്ലെങ്കിൽ പോയിന്റ് സിസ്റ്റങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പരിമിതമായ അളവിലുള്ള ഫേസ് സ്പേസ് ഉപയോഗിച്ചാണ് അവ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നത്, കൂടാതെ പരിമിതമായ അളവിലുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യമാണ് ഇവയുടെ സവിശേഷത. വ്യത്യസ്ത സാഹചര്യങ്ങളിലുള്ള ഒരേ സംവിധാനം ഒന്നുകിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചോ വിതരണം ചെയ്തതോ ആയി കണക്കാക്കാം. ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, സമഗ്ര സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ സാധാരണ കാലതാമസ സമവാക്യങ്ങൾ എന്നിവയാണ് വിതരണം ചെയ്ത സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗണിത മാതൃകകൾ. ഒരു വിതരണം ചെയ്ത സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്, അതിന്റെ അവസ്ഥ നിർണ്ണയിക്കാൻ അനന്തമായ ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്. അനിഷ്ചെങ്കോ വി.എസ്., ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റംസ്, സോറോസ് എഡ്യൂക്കേഷണൽ ജേർണൽ, 1997, നമ്പർ 11, പേ. 77-84.
12. "സിസ്റ്റം എസ്-ൽ പഠിക്കുന്ന പ്രക്രിയകളുടെ സ്വഭാവത്തെ ആശ്രയിച്ച്, എല്ലാത്തരം മോഡലിംഗും ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക്, സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക്, സ്റ്റാറ്റിക്, ഡൈനാമിക്, ഡിസ്ക്രീറ്റ്, തുടർച്ചയായ, വ്യതിരിക്ത-തുടർച്ച എന്നിങ്ങനെ വിഭജിക്കാം. ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് മോഡലിംഗ് നിർണ്ണായക പ്രക്രിയകളെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്, ക്രമരഹിതമായ സ്വാധീനങ്ങളുടെ അഭാവം അനുമാനിക്കുന്ന പ്രക്രിയകൾ; സ്‌റ്റോക്കാസ്റ്റിക് മോഡലിംഗ് പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പ്രക്രിയകളെയും സംഭവങ്ങളെയും ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ... സ്റ്റാറ്റിക് മോഡലിംഗ് ഏത് സമയത്തും ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്വഭാവം വിവരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഡൈനാമിക് മോഡലിംഗ് ഒരു വസ്തുവിന്റെ കാലക്രമേണ സ്വഭാവത്തെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. യഥാക്രമം വ്യതിരിക്തമെന്ന് കരുതപ്പെടുന്ന പ്രക്രിയകളെ വിവരിക്കാൻ ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് മോഡലിംഗ് ഉപയോഗിക്കുന്നു, തുടർച്ചയായ മോഡലിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ തുടർച്ചയായ പ്രക്രിയകളെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, കൂടാതെ വ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതുമായ പ്രക്രിയകളുടെ സാന്നിധ്യം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ വ്യതിരിക്ത-തുടർച്ചയുള്ള മോഡലിംഗ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ” സോവെറ്റോവ് ബി യാ., യാക്കോവ്ലെവ് എസ്.എ. ISBN 5-06-003860-2
13. സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക മാതൃകാപരമായ വസ്തുവിന്റെ ഘടന (ഉപകരണം), ഗവേഷണ ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ ഈ വസ്തുവിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളും ബന്ധങ്ങളും പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു; അത്തരമൊരു മാതൃകയെ സ്ട്രക്ചറൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒബ്‌ജക്റ്റ് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്ന് മാത്രം മോഡൽ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ - ഉദാഹരണത്തിന്, ബാഹ്യ സ്വാധീനങ്ങളോട് അത് എങ്ങനെ പ്രതികരിക്കുന്നു - അതിനെ ഫങ്ഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ ആലങ്കാരികമായി ഒരു ബ്ലാക്ക് ബോക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംയോജിത മോഡലുകളും സാധ്യമാണ്. മിഷ്കിസ് എ.ഡി. ISBN 978-5-484-00953-4
14. "വ്യക്തമാണ്, എന്നാൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത് ആദ്യ ഘട്ടംഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക നിർമ്മിക്കുകയോ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് അനൗപചാരിക ചർച്ചകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, മാതൃകയാക്കപ്പെടുന്ന വസ്തുവിനെക്കുറിച്ച് കഴിയുന്നത്ര വ്യക്തമായ ഒരു ചിത്രം നേടുകയും അതിന്റെ അർത്ഥവത്തായ മാതൃക പരിഷ്കരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ ഘട്ടത്തിൽ നിങ്ങൾ സമയവും പരിശ്രമവും ചെലവഴിക്കരുത്; മുഴുവൻ പഠനത്തിന്റെയും വിജയം പ്രധാനമായും അതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്‌നം പരിഹരിക്കുന്നതിനായി ചെലവഴിച്ച സുപ്രധാന ജോലികൾ കാര്യത്തിന്റെ ഈ വശത്തേക്ക് വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധ ചെലുത്താത്തതിനാൽ ഫലപ്രദമല്ലാത്തതോ പാഴായതോ ആയി മാറിയത് ഒന്നിലധികം തവണ സംഭവിച്ചു. മിഷ്കിസ് എ.ഡി., ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ. - മൂന്നാം പതിപ്പ്., റവ. - എം.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4, പേ. 35.
15. « സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആശയ മാതൃകയുടെ വിവരണം.ഒരു സിസ്റ്റം മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ ഉപഘട്ടത്തിൽ: a) ആശയപരമായ മോഡൽ M അമൂർത്തമായ പദങ്ങളിലും ആശയങ്ങളിലും വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു; ബി) സ്റ്റാൻഡേർഡ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ സ്കീമുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മോഡലിന്റെ ഒരു വിവരണം നൽകിയിരിക്കുന്നു; c) അനുമാനങ്ങളും അനുമാനങ്ങളും അന്തിമമായി അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നു; d) ഒരു മോഡൽ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയകളുടെ ഏകദേശ നടപടിക്രമം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് ന്യായമാണ്. സോവെറ്റോവ് ബി യാ., യാക്കോവ്ലെവ് എസ്.എ., സിസ്റ്റങ്ങളുടെ മോഡലിംഗ്: Proc. സർവ്വകലാശാലകൾക്കായി - 3rd ed., പരിഷ്കരിച്ചത്. കൂടാതെ അധികവും - എം.: ഉയർന്നത്. സ്കൂൾ, 2001. - 343 പേ. ISBN 5-06-003860-2, പേ. 93.
16. ബ്ലെഖ്മാൻ I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., അപ്ലൈഡ് മാത്തമാറ്റിക്സ്: വിഷയം, യുക്തി, സമീപനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ. മെക്കാനിക്സിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം: ട്യൂട്ടോറിയൽ. - മൂന്നാം പതിപ്പ്., റവ. കൂടാതെ അധികവും - എം.: യുആർഎസ്എസ്, 2006. - 376 പേ. ISBN 5-484-00163-3, അധ്യായം 2.

സോവെറ്റോവിന്റെയും യാക്കോവ്ലേവിന്റെയും പാഠപുസ്തകം അനുസരിച്ച്: "ഒരു മോഡൽ (lat. മോഡുലസ് - അളവ്) യഥാർത്ഥ ഒബ്ജക്റ്റിന് പകരമുള്ള വസ്തുവാണ്, ഇത് ഒറിജിനലിന്റെ ചില ഗുണങ്ങളുടെ പഠനം ഉറപ്പാക്കുന്നു." (പേജ് 6) "ഒരു മോഡൽ ഒബ്‌ജക്‌റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് യഥാർത്ഥ ഒബ്‌ജക്‌റ്റിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന് ഒരു വസ്തുവിനെ മറ്റൊന്നുമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനെ മോഡലിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു." (പേജ് 6) "ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ് വഴി, ഒരു നിശ്ചിത ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുവുമായി ഒരു നിശ്ചിത ഗണിത വസ്തുവുമായി ഒരു കത്തിടപാടുകൾ സ്ഥാപിക്കുന്ന പ്രക്രിയയും ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഈ മോഡലിന്റെ പഠനവും ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ നേടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പരിഗണനയിലുള്ള വസ്തു. ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിന്റെ തരം യഥാർത്ഥ വസ്തുവിന്റെ സ്വഭാവത്തെയും വസ്തുവിനെ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതലകളെയും ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആവശ്യമായ വിശ്വാസ്യതയെയും കൃത്യതയെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

അവസാനമായി, ഒരു ഗണിത മാതൃകയുടെ ഏറ്റവും സംക്ഷിപ്തമായ നിർവചനം: "ഒരു ആശയം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം».

മോഡൽ വർഗ്ഗീകരണം

മോഡലുകളുടെ ഔപചാരിക വർഗ്ഗീകരണം

ഉപയോഗിച്ച ഗണിത ഉപകരണങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് മോഡലുകളുടെ ഔപചാരിക വർഗ്ഗീകരണം. പലപ്പോഴും ദ്വിതീയ രൂപത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിക്കോടോമികളുടെ ജനപ്രിയ സെറ്റുകളിൽ ഒന്ന്:

ഇത്യാദി. ഓരോ നിർമ്മിത മോഡലും ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ നോൺലീനിയർ, ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക്, ... സ്വാഭാവികമായും, മിക്സഡ് തരങ്ങളും സാധ്യമാണ്: ഒരു കാര്യത്തിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ച് (പാരാമീറ്ററുകളുടെ കാര്യത്തിൽ), മറ്റൊന്നിൽ വിതരണം ചെയ്യുന്നു, മുതലായവ.

വസ്തുവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന രീതി അനുസരിച്ച് വർഗ്ഗീകരണം

ഔപചാരിക വർഗ്ഗീകരണത്തോടൊപ്പം, ഒരു വസ്തുവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന രീതിയിൽ മോഡലുകൾ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

• ഘടനാപരമോ പ്രവർത്തനപരമോ ആയ മോഡലുകൾ

ഘടനാപരമായ മോഡലുകൾഒരു വസ്തുവിനെ അതിന്റെ സ്വന്തം ഘടനയും പ്രവർത്തന സംവിധാനവുമുള്ള ഒരു സിസ്റ്റമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. പ്രവർത്തന മാതൃകകൾഅത്തരം പ്രതിനിധാനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കരുത് കൂടാതെ വസ്തുവിന്റെ ബാഹ്യമായി മനസ്സിലാക്കിയ സ്വഭാവം (പ്രവർത്തനം) മാത്രം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുക. അവരുടെ തീവ്രമായ ആവിഷ്കാരത്തിൽ, അവയെ "ബ്ലാക്ക് ബോക്സ്" മോഡലുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. സംയോജിത തരത്തിലുള്ള മോഡലുകളും സാധ്യമാണ്, അവയെ ചിലപ്പോൾ വിളിക്കുന്നു " ചാരനിറത്തിലുള്ള പെട്ടി».

ഉള്ളടക്കവും ഔപചാരിക മോഡലുകളും

ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ് പ്രക്രിയ വിവരിക്കുന്ന മിക്കവാറും എല്ലാ രചയിതാക്കളും സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ആദ്യം ഒരു പ്രത്യേക ആദർശ ഘടനയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഉള്ളടക്ക മാതൃക. ഇവിടെ ഒരു സ്ഥാപിത പദാവലി ഇല്ല, മറ്റ് രചയിതാക്കൾ ഈ അനുയോജ്യമായ വസ്തുവിനെ വിളിക്കുന്നു ആശയപരമായ മാതൃക , ഊഹക്കച്ചവട മാതൃകഅഥവാ പ്രീമോഡൽ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അന്തിമ ഗണിത നിർമ്മാണം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ഔപചാരിക മാതൃകഅല്ലെങ്കിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന അർത്ഥവത്തായ മാതൃകയുടെ (പ്രീ മോഡൽ) ഔപചാരികവൽക്കരണത്തിന്റെ ഫലമായി ലഭിച്ച ഒരു ഗണിത മാതൃക. മെക്കാനിക്സിലെന്നപോലെ ഒരു കൂട്ടം റെഡിമെയ്ഡ് ഐഡിയലൈസേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അർത്ഥവത്തായ ഒരു മാതൃകയുടെ നിർമ്മാണം നടത്താം, ഇവിടെ അനുയോജ്യമായ നീരുറവകൾ, കർക്കശമായ ശരീരങ്ങൾ, അനുയോജ്യമായ പെൻഡുലങ്ങൾ, ഇലാസ്റ്റിക് മീഡിയ മുതലായവ അർത്ഥവത്തായ മോഡലിംഗിനായി റെഡിമെയ്ഡ് ഘടനാപരമായ ഘടകങ്ങൾ നൽകുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, പൂർണ്ണമായി പൂർത്തീകരിക്കപ്പെട്ട ഔപചാരിക സിദ്ധാന്തങ്ങളില്ലാത്ത (ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, സാമൂഹ്യശാസ്ത്രം, മനഃശാസ്ത്രം, മറ്റ് മിക്ക മേഖലകളിലും) അറിവിന്റെ മേഖലകളിൽ അർത്ഥവത്തായ മാതൃകകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത് നാടകീയമായി കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

മോഡലുകളുടെ ഉള്ളടക്ക വർഗ്ഗീകരണം

ശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു സിദ്ധാന്തവും ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി തെളിയിക്കാനാവില്ല. റിച്ചാർഡ് ഫെയ്ൻമാൻ ഇത് വളരെ വ്യക്തമായി രൂപപ്പെടുത്തി:

“ഒരു സിദ്ധാന്തം നിരാകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും അവസരമുണ്ട്, പക്ഷേ അത് ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കലും കഴിയില്ലെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. നിങ്ങൾ വിജയകരമായ ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും അത് എവിടേക്കാണ് നയിക്കുന്നത് എന്ന് കണക്കാക്കുകയും അതിന്റെ എല്ലാ അനന്തരഫലങ്ങളും പരീക്ഷണാത്മകമായി സ്ഥിരീകരിക്കുകയും ചെയ്തുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. നിങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം ശരിയാണെന്നാണോ ഇതിനർത്ഥം? ഇല്ല, നിങ്ങൾ അതിനെ നിരാകരിക്കുന്നതിൽ പരാജയപ്പെട്ടു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ആദ്യ തരത്തിലുള്ള ഒരു മാതൃക നിർമ്മിക്കപ്പെട്ടാൽ, ഇത് താൽക്കാലികമായി സത്യമായി അംഗീകരിക്കുകയും മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുകയും ചെയ്യാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഗവേഷണത്തിലെ ഒരു പോയിന്റായിരിക്കില്ല, പക്ഷേ ഒരു താൽക്കാലിക താൽക്കാലിക വിരാമം മാത്രം: ആദ്യ തരത്തിലുള്ള ഒരു മോഡലിന്റെ നില താൽക്കാലികം മാത്രമായിരിക്കും.

തരം 2: പ്രതിഭാസ മാതൃക (ഞങ്ങൾ പെരുമാറുന്നത് പോലെയാണ്…)

ഒരു പ്രതിഭാസ മാതൃകയിൽ ഒരു പ്രതിഭാസത്തെ വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സംവിധാനം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സംവിധാനം വേണ്ടത്ര ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നില്ല, ലഭ്യമായ ഡാറ്റയാൽ വേണ്ടത്ര സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല, അല്ലെങ്കിൽ വസ്തുവിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിലവിലുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്കും ശേഖരിച്ച അറിവുകൾക്കും അനുയോജ്യമല്ല. അതിനാൽ, പ്രതിഭാസ മാതൃകകൾക്ക് താൽക്കാലിക പരിഹാരങ്ങളുടെ പദവിയുണ്ട്. ഉത്തരം ഇപ്പോഴും അജ്ഞാതമാണെന്നും "യഥാർത്ഥ മെക്കാനിസങ്ങൾ" എന്നതിനായുള്ള തിരയൽ തുടരണമെന്നും വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. പീയറുകളിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, കലോറിക് മോഡലും എലിമെന്ററി കണങ്ങളുടെ ക്വാർക്ക് മോഡലും രണ്ടാം തരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഗവേഷണത്തിൽ മോഡലിന്റെ പങ്ക് കാലക്രമേണ മാറിയേക്കാം, കൂടാതെ പുതിയ ഡാറ്റയും സിദ്ധാന്തങ്ങളും പ്രതിഭാസ മാതൃകകളെ സ്ഥിരീകരിക്കുകയും അവ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നിലയിലേക്ക് ഉയർത്തപ്പെടുകയും ചെയ്യും. അതുപോലെ, പുതിയ അറിവ് ക്രമേണ ആദ്യ തരത്തിലുള്ള മാതൃകകളുമായി വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് വരാം, അവ രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്. അങ്ങനെ, ക്വാർക്ക് മാതൃക ക്രമേണ അനുമാനങ്ങളുടെ വിഭാഗത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു; ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ആറ്റോമിസം ഒരു താൽക്കാലിക പരിഹാരമായി ഉയർന്നുവെങ്കിലും ചരിത്രത്തിന്റെ ഗതിയിൽ അത് ആദ്യത്തെ തരമായി മാറി. എന്നാൽ ഈതർ മോഡലുകൾ ടൈപ്പ് 1 ൽ നിന്ന് ടൈപ്പ് 2 വരെ എത്തി, ഇപ്പോൾ ശാസ്ത്രത്തിന് പുറത്താണ്.

മോഡലുകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ലളിതവൽക്കരണം എന്ന ആശയം വളരെ ജനപ്രിയമാണ്. എന്നാൽ ലളിതവൽക്കരണം വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങളിൽ വരുന്നു. മോഡലിംഗിൽ മൂന്ന് തരം ലളിതവൽക്കരണങ്ങൾ പിയർൽസ് തിരിച്ചറിയുന്നു.

തരം 3: ഏകദേശ കണക്ക് (വളരെ വലുതോ ചെറുതോ ആയ എന്തെങ്കിലും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു)

പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള സിസ്റ്റത്തെ വിവരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ സഹായത്തോടെ പോലും അവ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. ഈ കേസിൽ ഒരു സാധാരണ സാങ്കേതികതയാണ് ഏകദേശ (ടൈപ്പ് 3 മോഡലുകൾ) ഉപയോഗം. അവർക്കിടയിൽ രേഖീയ പ്രതികരണ മോഡലുകൾ. സമവാക്യങ്ങൾ ലീനിയർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണമാണ് ഓമിന്റെ നിയമം.

ഇവിടെ ടൈപ്പ് 8 വരുന്നു, ഇത് ബയോളജിക്കൽ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളിൽ വ്യാപകമാണ്.

തരം 8: ഫീച്ചർ ഡെമോൺസ്ട്രേഷൻ (സാധ്യതയുടെ ആന്തരിക സ്ഥിരത കാണിക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം)

ഇതും ചിന്താ പരീക്ഷണങ്ങളാണ്അത് തെളിയിക്കുന്ന സാങ്കൽപ്പിക അസ്തിത്വങ്ങൾക്കൊപ്പം അനുമാനിക്കപ്പെടുന്ന പ്രതിഭാസംഅടിസ്ഥാന തത്വങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതും ആന്തരികമായി സ്ഥിരതയുള്ളതും. ടൈപ്പ് 7 ന്റെ മോഡലുകളിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന വ്യത്യാസം ഇതാണ്, മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന വൈരുദ്ധ്യങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഈ പരീക്ഷണങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത് ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ജ്യാമിതിയാണ് (ലോബചെവ്സ്കി അതിനെ "സാങ്കൽപ്പിക ജ്യാമിതി" എന്ന് വിളിച്ചു). കെമിക്കൽ, ബയോളജിക്കൽ വൈബ്രേഷനുകൾ, ഓട്ടോവേവ് മുതലായവയുടെ ഔപചാരികമായ ചലനാത്മക മോഡലുകളുടെ വൻതോതിലുള്ള ഉൽപ്പാദനമാണ് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം. ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിന്റെ പൊരുത്തക്കേട് തെളിയിക്കാൻ ഐൻസ്റ്റീൻ-പോഡോൾസ്കി-റോസൻ വിരോധാഭാസം ഒരു ടൈപ്പ് 7 മോഡലായി വിഭാവനം ചെയ്യപ്പെട്ടു. പൂർണ്ണമായും ആസൂത്രണം ചെയ്യാത്ത രീതിയിൽ, ഇത് ഒടുവിൽ ഒരു ടൈപ്പ് 8 മോഡലായി മാറി - വിവരങ്ങളുടെ ക്വാണ്ടം ടെലിപോർട്ടേഷന്റെ സാധ്യതയുടെ പ്രകടനം.

ഉദാഹരണം

ഒരു സ്പ്രിംഗ് അടങ്ങുന്ന ഒരു മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക, ഒരു അറ്റത്ത് ഉറപ്പിച്ചു, ഒരു പിണ്ഡം പിണ്ഡം , സ്പ്രിംഗ് സ്വതന്ത്ര അവസാനം അറ്റാച്ച്. സ്പ്രിംഗ് അച്ചുതണ്ടിന്റെ ദിശയിൽ മാത്രമേ ലോഡ് നീങ്ങാൻ കഴിയൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, വടിയിലൂടെ ചലനം സംഭവിക്കുന്നു). നമുക്ക് ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഗണിത മാതൃക നിർമ്മിക്കാം. ലോഡിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് നിന്ന് അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്കുള്ള ദൂരം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥ വിവരിക്കും. സ്പ്രിംഗിന്റെ ഇടപെടലും ഉപയോഗിക്കുന്ന ലോഡും നമുക്ക് വിവരിക്കാം ഹുക്കിന്റെ നിയമം() തുടർന്ന് ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുക:

ഇവിടെ അർത്ഥമാക്കുന്നത് സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ്: .

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഭൗതിക വ്യവസ്ഥയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക വിവരിക്കുന്നു. ഈ മോഡലിനെ "ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഔപചാരിക വർഗ്ഗീകരണം അനുസരിച്ച്, ഈ മാതൃക രേഖീയവും നിർണ്ണായകവും ചലനാത്മകവും ഏകാഗ്രവും തുടർച്ചയായതുമാണ്. അതിന്റെ നിർമ്മാണ പ്രക്രിയയിൽ, ഞങ്ങൾ നിരവധി അനുമാനങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കി (ബാഹ്യ ശക്തികളുടെ അഭാവം, ഘർഷണത്തിന്റെ അഭാവം, വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ചെറുത് മുതലായവ), അത് വാസ്തവത്തിൽ പാലിക്കപ്പെടാനിടയില്ല.

യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഇത് മിക്കപ്പോഴും ഒരു ടൈപ്പ് 4 മോഡലാണ് ലളിതവൽക്കരണം(“വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ചില വിശദാംശങ്ങൾ ഒഴിവാക്കും”), കാരണം ചില അവശ്യ സാർവത്രിക സവിശേഷതകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിസിപ്പേഷൻ) ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു. ചില ഏകദേശ കണക്കനുസരിച്ച് (പറയുക, സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള ലോഡിന്റെ വ്യതിയാനം ചെറുതാണെങ്കിലും, കുറഞ്ഞ ഘർഷണത്തോടെ, അധിക സമയവും മറ്റ് ചില വ്യവസ്ഥകൾക്കും വിധേയമല്ല), അത്തരം ഒരു മോഡൽ ഒരു യഥാർത്ഥ മെക്കാനിക്കൽ സിസ്റ്റത്തെ നന്നായി വിവരിക്കുന്നു, കാരണം ഉപേക്ഷിക്കപ്പെട്ട ഘടകങ്ങൾ അതിന്റെ പെരുമാറ്റത്തിൽ ഒരു നിസ്സാരമായ പ്രഭാവം. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഘടകങ്ങളിൽ ചിലത് കണക്കിലെടുത്ത് മോഡൽ പരിഷ്കരിക്കാനാകും. ഇത് വിപുലമായ (വീണ്ടും പരിമിതമാണെങ്കിലും) പ്രയോഗക്ഷമതയുള്ള ഒരു പുതിയ മോഡലിലേക്ക് നയിക്കും.

എന്നിരുന്നാലും, മോഡലിനെ പരിഷ്കരിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണത ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കുകയും മോഡലിനെ ഫലത്തിൽ ഉപയോഗശൂന്യമാക്കുകയും ചെയ്യും. പലപ്പോഴും, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ (ഒപ്പം, ഔപചാരികമായി, "കൂടുതൽ ശരി") ഒരു യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മികച്ചതും ആഴത്തിലുള്ളതുമായ പര്യവേക്ഷണത്തിന് ഒരു ലളിതമായ മോഡൽ അനുവദിക്കുന്നു.

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയുള്ള വസ്തുക്കളിൽ ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ മോഡൽ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ അടിസ്ഥാന നില വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ മാതൃക ബയോളജിക്കൽ പോപ്പുലേഷനിൽ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഇത് മിക്കവാറും ടൈപ്പ് 6 ആയി തരംതിരിക്കണം സാദൃശ്യം("നമുക്ക് ചില സവിശേഷതകൾ മാത്രം കണക്കിലെടുക്കാം").

ഹാർഡ് ആൻഡ് സോഫ്റ്റ് മോഡലുകൾ

"ഹാർഡ്" മോഡൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ് ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ. ഒരു യഥാർത്ഥ ഭൗതിക വ്യവസ്ഥയുടെ ശക്തമായ ആദർശവൽക്കരണത്തിന്റെ ഫലമായാണ് ഇത് ലഭിക്കുന്നത്. അതിന്റെ പ്രയോഗക്ഷമതയുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അവഗണിച്ച ഘടകങ്ങൾ എത്രത്തോളം പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നതാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, "മൃദു" മോഡൽ പഠിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അത് "ഹാർഡ്" എന്നതിന്റെ ചെറിയ പ്രക്ഷുബ്ധതയാൽ ലഭിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് നൽകാം:

ഘർഷണ ശക്തിയോ സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യത്തിന്റെ ഗുണകത്തിന്റെ ആശ്രിതത്വമോ അതിന്റെ സ്ട്രെച്ചിംഗിന്റെ അളവിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു - ചില ചെറിയ പാരാമീറ്റർ. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യക്തമായ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോൾ താൽപ്പര്യമില്ല. മൃദുവായ മോഡലിന്റെ സ്വഭാവം ഹാർഡ് മോഡലിന്റെ സ്വഭാവത്തിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുകയാണെങ്കിൽ (പ്രകടമാക്കുന്ന ഘടകങ്ങളുടെ വ്യക്തമായ തരം പരിഗണിക്കാതെ, അവ ചെറുതാണെങ്കിൽ), ഹാർഡ് മോഡൽ പഠിക്കുന്നതിലേക്ക് പ്രശ്നം ചുരുങ്ങും. അല്ലെങ്കിൽ, കർക്കശമായ മോഡൽ പഠിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഫലങ്ങളുടെ പ്രയോഗത്തിന് അധിക ഗവേഷണം ആവശ്യമായി വരും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം രൂപത്തിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്, അതായത്, സ്ഥിരമായ ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡുള്ള ആന്ദോളനങ്ങൾ. ഒരു യഥാർത്ഥ ഓസിലേറ്റർ സ്ഥിരമായ വ്യാപ്തിയോടെ അനിശ്ചിതമായി ആന്ദോളനം ചെയ്യുമെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നുണ്ടോ? ഇല്ല, കാരണം ഏകപക്ഷീയമായി ചെറിയ ഘർഷണം ഉള്ള ഒരു സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ (യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും ഉണ്ട്), നമുക്ക് നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങൾ ലഭിക്കും. സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വഭാവം ഗുണപരമായി മാറിയിരിക്കുന്നു.

ചെറിയ അസ്വസ്ഥതകൾക്ക് കീഴിൽ ഒരു സിസ്റ്റം അതിന്റെ ഗുണപരമായ സ്വഭാവം നിലനിർത്തുന്നുവെങ്കിൽ, അത് ഘടനാപരമായി സ്ഥിരതയുള്ളതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ എന്നത് ഘടനാപരമായി അസ്ഥിരമായ (നോൺ-റഫ്) സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പരിമിതമായ കാലയളവിൽ പ്രക്രിയകൾ പഠിക്കാൻ ഈ മാതൃക ഉപയോഗിക്കാം.

മോഡലുകളുടെ വൈവിധ്യം

ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകൾക്ക് സാധാരണയായി പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വത്ത് ഉണ്ട് ബഹുമുഖത: അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമായ യഥാർത്ഥ പ്രതിഭാസങ്ങളെ അതേ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകയിൽ വിവരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്പ്രിംഗിലെ ലോഡിന്റെ സ്വഭാവം മാത്രമല്ല, മറ്റ് ഓസിലേറ്ററി പ്രക്രിയകളും ഒരു ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ വിവരിക്കുന്നു, പലപ്പോഴും തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ സ്വഭാവമുണ്ട്: ഒരു പെൻഡുലത്തിന്റെ ചെറിയ ആന്ദോളനങ്ങൾ, എ-ആകൃതിയിലുള്ള പാത്രത്തിലെ ദ്രാവക നിലയിലെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ. , അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഓസിലേറ്ററി സർക്യൂട്ടിലെ നിലവിലെ ശക്തിയിലെ മാറ്റം. അങ്ങനെ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക പഠിക്കുന്നതിലൂടെ, അത് വിവരിച്ച ഒരു ക്ലാസ് പ്രതിഭാസങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഉടനടി പഠിക്കുന്നു. ശാസ്ത്ര വിജ്ഞാനത്തിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന നിയമങ്ങളുടെ ഈ ഐസോമോർഫിസമാണ് "സിസ്റ്റംസിന്റെ പൊതു സിദ്ധാന്തം" സൃഷ്ടിക്കാൻ ലുഡ്വിഗ് വോൺ ബെർട്ടലാൻഫിയെ പ്രചോദിപ്പിച്ചത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗിന്റെ നേരിട്ടുള്ളതും വിപരീതവുമായ പ്രശ്നങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ആദ്യം, നിങ്ങൾ മാതൃകാപരമായ വസ്തുവിന്റെ ഒരു അടിസ്ഥാന ഡയഗ്രം കൊണ്ട് വരേണ്ടതുണ്ട്, ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആദർശവൽക്കരണത്തിന്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ അത് പുനർനിർമ്മിക്കുക. അങ്ങനെ, ഒരു ട്രെയിൻ കാർ വിവിധ വസ്തുക്കളിൽ നിന്നുള്ള പ്ലേറ്റുകളുടെയും കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ബോഡികളുടെയും ഒരു സംവിധാനമായി മാറുന്നു, ഓരോ മെറ്റീരിയലും അതിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് മെക്കാനിക്കൽ ഐഡിയലൈസേഷൻ (സാന്ദ്രത, ഇലാസ്റ്റിക് മൊഡ്യൂളി, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ശക്തി സവിശേഷതകൾ) ആയി വ്യക്തമാക്കുന്നു, അതിനുശേഷം സമവാക്യങ്ങൾ വരയ്ക്കുകയും വഴിയിലുടനീളം ചില വിശദാംശങ്ങൾ അപ്രധാനമെന്ന് കരുതി കളയുന്നു , കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നു, അളവുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, മോഡൽ പരിഷ്കരിച്ചു, തുടങ്ങിയവ. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ് സാങ്കേതികവിദ്യകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഈ പ്രക്രിയയെ അതിന്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വേർപെടുത്തുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

പരമ്പരാഗതമായി, ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട രണ്ട് പ്രധാന ക്ലാസുകളുണ്ട്: നേരിട്ടുള്ളതും വിപരീതവും.

നേരിട്ടുള്ള ചുമതല: മോഡലിന്റെ ഘടനയും അതിന്റെ എല്ലാ പാരാമീറ്ററുകളും അറിയപ്പെടുന്നതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, വസ്തുവിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഉപയോഗപ്രദമായ അറിവ് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ മോഡലിന്റെ ഒരു പഠനം നടത്തുക എന്നതാണ് പ്രധാന ദൌത്യം. പാലം എന്ത് സ്റ്റാറ്റിക് ലോഡിനെ നേരിടും? ഒരു ചലനാത്മക ലോഡിനോട് ഇത് എങ്ങനെ പ്രതികരിക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, സൈനികരുടെ ഒരു കമ്പനിയുടെ മാർച്ചിലേക്ക്, അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത വേഗതയിൽ ഒരു ട്രെയിൻ കടന്നുപോകുന്നത്), വിമാനം ശബ്ദ തടസ്സത്തെ എങ്ങനെ മറികടക്കും, അത് പറക്കലിൽ നിന്ന് വേർപെടുത്തുമോ - നേരിട്ടുള്ള പ്രശ്നത്തിന്റെ സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങളാണിവ. ശരിയായ നേരിട്ടുള്ള പ്രശ്നം (ശരിയായ ചോദ്യം ചോദിക്കൽ) സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന് പ്രത്യേക വൈദഗ്ദ്ധ്യം ആവശ്യമാണ്. ശരിയായ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിച്ചില്ലെങ്കിൽ, ഒരു പാലം തകർന്നേക്കാം, അതിന്റെ പെരുമാറ്റത്തിന് ഒരു നല്ല മാതൃക നിർമ്മിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും. അതിനാൽ, 1879-ൽ ഗ്രേറ്റ് ബ്രിട്ടനിൽ ടേ നദിക്ക് കുറുകെയുള്ള ഒരു മെറ്റൽ പാലം തകർന്നു, അതിന്റെ ഡിസൈനർമാർ പാലത്തിന്റെ ഒരു മാതൃക നിർമ്മിച്ചു, പേലോഡിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് 20 മടങ്ങ് സുരക്ഷാ ഘടകം ഉണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കി, പക്ഷേ കാറ്റിനെക്കുറിച്ച് മറന്നു. ആ സ്ഥലങ്ങളിൽ നിരന്തരം വീശുന്നു. ഒന്നര വർഷത്തിനുശേഷം അത് തകർന്നു.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഓസിലേറ്റർ സമവാക്യം), നേരിട്ടുള്ള പ്രശ്നം വളരെ ലളിതവും ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ വ്യക്തമായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതുമാണ്.

വിപരീത പ്രശ്നം: സാധ്യമായ നിരവധി മോഡലുകൾ അറിയാം, വസ്തുവിനെക്കുറിച്ചുള്ള അധിക ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട മോഡൽ തിരഞ്ഞെടുക്കണം. മിക്കപ്പോഴും, മോഡലിന്റെ ഘടന അറിയപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ചില അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അധിക വിവരങ്ങളിൽ അധിക അനുഭവ ഡാറ്റയോ ഒബ്ജക്റ്റിന് ആവശ്യമായ ആവശ്യകതകളോ അടങ്ങിയിരിക്കാം ( ഡിസൈൻ പ്രശ്നം). വിപരീത പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയ പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ അധിക ഡാറ്റ എത്തിച്ചേരാം ( നിഷ്ക്രിയ നിരീക്ഷണം) അല്ലെങ്കിൽ പരിഹാര സമയത്ത് പ്രത്യേകം ആസൂത്രണം ചെയ്ത ഒരു പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലമായിരിക്കാം ( സജീവ നിരീക്ഷണം).

ലഭ്യമായ ഡാറ്റയുടെ പൂർണ്ണമായ ഉപയോഗത്തിലൂടെ ഒരു വിപരീത പ്രശ്നത്തിനുള്ള സമർത്ഥമായ പരിഹാരത്തിന്റെ ആദ്യ ഉദാഹരണങ്ങളിലൊന്നാണ്, നിരീക്ഷിച്ച നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ഘർഷണ ശക്തികളെ പുനർനിർമ്മിക്കുന്നതിനായി I. ന്യൂട്ടൺ നിർമ്മിച്ച രീതി.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളാണ്. ബഹുജന റാൻഡം പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് മാതൃകകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് നിരീക്ഷണപരവും പരീക്ഷണാത്മകവുമായ ഡാറ്റ റെക്കോർഡുചെയ്യുന്നതിനും വിവരിക്കുന്നതിനും വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള രീതികൾ വികസിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചുമതല. ആ. സാധ്യമായ മോഡലുകളുടെ കൂട്ടം പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് മോഡലുകളിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികളിൽ, മോഡലുകളുടെ സെറ്റ് കൂടുതൽ പരിമിതമാണ്.

കമ്പ്യൂട്ടർ സിമുലേഷൻ സിസ്റ്റങ്ങൾ

ഗണിത മോഡലിംഗിനെ പിന്തുണയ്ക്കുന്നതിനായി, കമ്പ്യൂട്ടർ ഗണിതശാസ്ത്ര സംവിധാനങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim മുതലായവ. ലളിതവും സങ്കീർണ്ണവുമായ പ്രക്രിയകളുടെയും ഉപകരണങ്ങളുടെയും ഔപചാരികവും തടയുന്നതുമായ മോഡലുകൾ സൃഷ്ടിക്കാനും മോഡൽ പാരാമീറ്ററുകൾ എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റാനും അവ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. മോഡലിംഗ്. മോഡലുകൾ തടയുകബ്ലോക്കുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു (മിക്കപ്പോഴും ഗ്രാഫിക്), ഇവയുടെ സെറ്റും കണക്ഷനും മോഡൽ ഡയഗ്രം വ്യക്തമാക്കുന്നു.

അധിക ഉദാഹരണങ്ങൾ

മാൾത്തസിന്റെ മാതൃക

നിലവിലെ ജനസംഖ്യാ വലുപ്പത്തിന് ആനുപാതികമാണ് വളർച്ചാ നിരക്ക്. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് വിവരിക്കുന്നത്

ജനനനിരക്കും മരണനിരക്കും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പാരാമീറ്റർ എവിടെയാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനാണ്. ജനനനിരക്ക് മരണനിരക്ക് () കവിയുന്നുവെങ്കിൽ, ജനസംഖ്യയുടെ വലുപ്പം അനിശ്ചിതമായും വളരെ വേഗത്തിലും വർദ്ധിക്കുന്നു. പരിമിതമായ വിഭവങ്ങൾ കാരണം ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ സംഭവിക്കില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. നിർണായകമായ ഒരു ജനസംഖ്യാ വലുപ്പത്തിൽ എത്തുമ്പോൾ, പരിമിതമായ വിഭവങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കാത്തതിനാൽ, മോഡൽ മതിയായതായിരിക്കില്ല. മാൽത്തസ് മോഡലിന്റെ പരിഷ്‌ക്കരണം ഒരു ലോജിസ്റ്റിക് മോഡലാകാം, ഇത് വെർഹൾസ്റ്റ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം വിവരിക്കുന്നു.

"സന്തുലിതാവസ്ഥ" ജനസംഖ്യാ വലുപ്പം എവിടെയാണ്, ജനനനിരക്കിന് മരണനിരക്ക് കൃത്യമായി നഷ്ടപരിഹാരം നൽകുന്നു. അത്തരമൊരു മാതൃകയിലെ ജനസംഖ്യാ വലുപ്പം ഒരു സന്തുലിത മൂല്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, ഈ സ്വഭാവം ഘടനാപരമായി സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്.

പ്രെഡേറ്റർ-ഇരയുടെ സംവിധാനം

രണ്ട് തരം മൃഗങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക പ്രദേശത്ത് വസിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് പറയാം: മുയലുകൾ (സസ്യങ്ങൾ തിന്നുന്നു), കുറുക്കന്മാർ (മുയലുകൾ തിന്നുന്നു). മുയലുകളുടെ എണ്ണം, കുറുക്കന്മാരുടെ എണ്ണം. കുറുക്കൻ മുയലുകളെ ഭക്ഷിക്കുന്നത് കണക്കിലെടുത്ത് ആവശ്യമായ ഭേദഗതികളോടെ മാൾത്തസ് മോഡൽ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സംവിധാനത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചേരുന്നു. മോഡലുകൾ ട്രേകൾ - Volterra:

മുയലുകളുടെയും കുറുക്കന്മാരുടെയും എണ്ണം സ്ഥിരമായിരിക്കുമ്പോൾ ഈ സംവിധാനത്തിന് ഒരു സന്തുലിതാവസ്ഥയുണ്ട്. ഈ അവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററിന്റെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾക്ക് സമാനമായി മുയലുകളുടെയും കുറുക്കന്മാരുടെയും എണ്ണത്തിൽ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾക്ക് കാരണമാകുന്നു. ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്റർ പോലെ, ഈ സ്വഭാവം ഘടനാപരമായി സ്ഥിരതയുള്ളതല്ല: മോഡലിലെ ഒരു ചെറിയ മാറ്റം (ഉദാഹരണത്തിന്, മുയലുകൾക്ക് ആവശ്യമായ പരിമിതമായ വിഭവങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ) സ്വഭാവത്തിൽ ഗുണപരമായ മാറ്റത്തിന് ഇടയാക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, സന്തുലിതാവസ്ഥ സ്ഥിരമായേക്കാം, സംഖ്യകളിലെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ ഇല്ലാതാകും. സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും ചെറിയ വ്യതിയാനം ഒരു ജീവിവർഗത്തിന്റെ പൂർണ്ണമായ വംശനാശം വരെ വിനാശകരമായ പ്രത്യാഘാതങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുമ്പോൾ വിപരീത സാഹചര്യവും സാധ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഏതാണ് സാക്ഷാത്കരിക്കപ്പെടുന്നത് എന്ന ചോദ്യത്തിന് വോൾട്ടെറ-ലോട്ട്ക മോഡൽ ഉത്തരം നൽകുന്നില്ല: ഇവിടെ കൂടുതൽ ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്.

കുറിപ്പുകൾ

1. "യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതിനിധാനം" (എൻസൈക്ലോപീഡിയ ബ്രിട്ടാനിക്ക)
2. നോവിക് I. B., സൈബർനെറ്റിക് മോഡലിംഗിന്റെ ദാർശനിക വിഷയങ്ങളിൽ. എം., നോളജ്, 1964.
3. സോവെറ്റോവ് ബി യാ., യാക്കോവ്ലെവ് എസ്.എ., സിസ്റ്റങ്ങളുടെ മോഡലിംഗ്: Proc. സർവ്വകലാശാലകൾക്കായി - 3rd ed., പരിഷ്കരിച്ചത്. കൂടാതെ അധികവും - എം.: ഉയർന്നത്. സ്കൂൾ, 2001. - 343 പേ. ISBN 5-06-003860-2
4. സമർസ്‌കി എ.എ., മിഖൈലോവ് എ.പി.ഗണിത മോഡലിംഗ്. ആശയങ്ങൾ. രീതികൾ. ഉദാഹരണങ്ങൾ. - 2nd എഡി., റവ. - എം.: ഫിസ്മാറ്റ്ലിറ്റ്, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. മിഷ്കിസ് എ.ഡി., ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ. - മൂന്നാം പതിപ്പ്., റവ. - എം.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4
6. സെവോസ്ത്യനോവ്, എ.ജി. സാങ്കേതിക പ്രക്രിയകളുടെ മോഡലിംഗ്: പാഠപുസ്തകം / എ.ജി. സെവോസ്ത്യനോവ്, പി.എ. സെവോസ്ത്യനോവ്. – എം.: ലൈറ്റ് ആൻഡ് ഫുഡ് ഇൻഡസ്ട്രി, 1984. - 344 പേ.
7. വിക്കിനിഘണ്ടു: ഗണിത മാതൃക
8. CliffsNotes.com. എർത്ത് സയൻസ് ഗ്ലോസറി. 20 സെപ്റ്റംബർ 2010
9. മൾട്ടിസ്‌കെയിൽ പ്രതിഭാസങ്ങൾ, സ്പ്രിംഗർ, കോംപ്ലക്‌സിറ്റി സീരീസ്, ബെർലിൻ-ഹൈഡൽബർഗ്-ന്യൂയോർക്ക്, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. “ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ നോൺലീനിയർ - ഏത് തരത്തിലുള്ള ഗണിത ഉപകരണത്തെ ആശ്രയിച്ച് ഒരു സിദ്ധാന്തം ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ നോൺലീനിയർ ആയി കണക്കാക്കുന്നു, അത് ഏത് തരത്തിലുള്ള ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ നോൺലീനിയർ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ... രണ്ടാമത്തേത് നിഷേധിക്കാതെ. ഒരു ആധുനിക ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞന്, രേഖീയമല്ലാത്ത ഒരു സുപ്രധാന വസ്തുവിന്റെ നിർവചനം പുനർനിർമ്മിക്കേണ്ടി വന്നാൽ, മിക്കവാറും വ്യത്യസ്തമായി പ്രവർത്തിക്കും, കൂടാതെ രണ്ട് വിപരീതങ്ങളിൽ കൂടുതൽ പ്രധാനവും വ്യാപകവുമായ രേഖീയതയ്ക്ക് മുൻഗണന നൽകുമ്പോൾ, രേഖീയത "അല്ല" എന്ന് നിർവചിക്കും. രേഖീയമല്ലാത്തത്." ഡാനിലോവ് യു. എ., രേഖീയമല്ലാത്ത ചലനാത്മകതയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രഭാഷണങ്ങൾ. പ്രാഥമിക ആമുഖം. സീരീസ് "സിനർജറ്റിക്സ്: ഭൂതകാലത്തിൽ നിന്ന് ഭാവിയിലേക്ക്." പതിപ്പ് 2. - എം.: യുആർഎസ്എസ്, 2006. - 208 പേ. ISBN 5-484-00183-8
11. “സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിമിതമായ സംഖ്യകളാൽ മാതൃകയാക്കപ്പെട്ട ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റങ്ങളെ കോൺസെൻട്രേറ്റഡ് അല്ലെങ്കിൽ പോയിന്റ് സിസ്റ്റങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പരിമിതമായ അളവിലുള്ള ഫേസ് സ്പേസ് ഉപയോഗിച്ചാണ് അവ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നത്, കൂടാതെ പരിമിതമായ അളവിലുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യമാണ് ഇവയുടെ സവിശേഷത. വ്യത്യസ്ത സാഹചര്യങ്ങളിലുള്ള ഒരേ സംവിധാനം ഒന്നുകിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചോ വിതരണം ചെയ്തതോ ആയി കണക്കാക്കാം. ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, സമഗ്ര സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ സാധാരണ കാലതാമസ സമവാക്യങ്ങൾ എന്നിവയാണ് വിതരണം ചെയ്ത സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗണിത മാതൃകകൾ. ഒരു വിതരണം ചെയ്ത സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്, അതിന്റെ അവസ്ഥ നിർണ്ണയിക്കാൻ അനന്തമായ ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്. അനിഷ്ചെങ്കോ വി.എസ്., ഡൈനാമിക് സിസ്റ്റംസ്, സോറോസ് എഡ്യൂക്കേഷണൽ ജേർണൽ, 1997, നമ്പർ 11, പേ. 77-84.
12. "സിസ്റ്റം എസ്-ൽ പഠിക്കുന്ന പ്രക്രിയകളുടെ സ്വഭാവത്തെ ആശ്രയിച്ച്, എല്ലാത്തരം മോഡലിംഗും ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക്, സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക്, സ്റ്റാറ്റിക്, ഡൈനാമിക്, ഡിസ്ക്രീറ്റ്, തുടർച്ചയായ, വ്യതിരിക്ത-തുടർച്ച എന്നിങ്ങനെ വിഭജിക്കാം. ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് മോഡലിംഗ് നിർണ്ണായക പ്രക്രിയകളെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്, ക്രമരഹിതമായ സ്വാധീനങ്ങളുടെ അഭാവം അനുമാനിക്കുന്ന പ്രക്രിയകൾ; സ്‌റ്റോക്കാസ്റ്റിക് മോഡലിംഗ് പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പ്രക്രിയകളെയും സംഭവങ്ങളെയും ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ... സ്റ്റാറ്റിക് മോഡലിംഗ് ഏത് സമയത്തും ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്വഭാവം വിവരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഡൈനാമിക് മോഡലിംഗ് ഒരു വസ്തുവിന്റെ കാലക്രമേണ സ്വഭാവത്തെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. യഥാക്രമം വ്യതിരിക്തമെന്ന് കരുതപ്പെടുന്ന പ്രക്രിയകളെ വിവരിക്കാൻ ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് മോഡലിംഗ് ഉപയോഗിക്കുന്നു, തുടർച്ചയായ മോഡലിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ തുടർച്ചയായ പ്രക്രിയകളെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, കൂടാതെ വ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതുമായ പ്രക്രിയകളുടെ സാന്നിധ്യം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ വ്യതിരിക്ത-തുടർച്ചയുള്ള മോഡലിംഗ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ” സോവെറ്റോവ് ബി യാ., യാക്കോവ്ലെവ് എസ്.എ. ISBN 5-06-003860-2
13. സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക മാതൃകാപരമായ വസ്തുവിന്റെ ഘടന (ഉപകരണം), ഗവേഷണ ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ ഈ വസ്തുവിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളും ബന്ധങ്ങളും പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു; അത്തരമൊരു മാതൃകയെ സ്ട്രക്ചറൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒബ്‌ജക്റ്റ് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്ന് മാത്രം മോഡൽ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ - ഉദാഹരണത്തിന്, ബാഹ്യ സ്വാധീനങ്ങളോട് അത് എങ്ങനെ പ്രതികരിക്കുന്നു - അതിനെ ഫങ്ഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ ആലങ്കാരികമായി ഒരു ബ്ലാക്ക് ബോക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംയോജിത മോഡലുകളും സാധ്യമാണ്. മിഷ്കിസ് എ.ഡി. ISBN 978-5-484-00953-4
14. "ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക നിർമ്മിക്കുന്നതിനോ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനോ ഉള്ള വ്യക്തവും എന്നാൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ പ്രാരംഭ ഘട്ടം അനൗപചാരിക ചർച്ചകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി മാതൃകാപരമായ വസ്തുവിനെ കുറിച്ച് കഴിയുന്നത്ര വ്യക്തമായ ഒരു ചിത്രം നേടുകയും അതിന്റെ അർത്ഥവത്തായ മാതൃക പരിഷ്കരിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. ഈ ഘട്ടത്തിൽ നിങ്ങൾ സമയവും പരിശ്രമവും ചെലവഴിക്കരുത്; മുഴുവൻ പഠനത്തിന്റെയും വിജയം പ്രധാനമായും അതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്‌നം പരിഹരിക്കുന്നതിനായി ചെലവഴിച്ച സുപ്രധാന ജോലികൾ കാര്യത്തിന്റെ ഈ വശത്തേക്ക് വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധ ചെലുത്താത്തതിനാൽ ഫലപ്രദമല്ലാത്തതോ പാഴായതോ ആയി മാറിയത് ഒന്നിലധികം തവണ സംഭവിച്ചു. മിഷ്കിസ് എ.ഡി., ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ. - മൂന്നാം പതിപ്പ്., റവ. - എം.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4, പേ. 35.
15. « സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആശയ മാതൃകയുടെ വിവരണം.ഒരു സിസ്റ്റം മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ ഉപഘട്ടത്തിൽ: a) ആശയപരമായ മോഡൽ M അമൂർത്തമായ പദങ്ങളിലും ആശയങ്ങളിലും വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു; ബി) സ്റ്റാൻഡേർഡ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ സ്കീമുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മോഡലിന്റെ ഒരു വിവരണം നൽകിയിരിക്കുന്നു; c) അനുമാനങ്ങളും അനുമാനങ്ങളും അന്തിമമായി അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നു; d) ഒരു മോഡൽ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയകളുടെ ഏകദേശ നടപടിക്രമം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് ന്യായമാണ്. സോവെറ്റോവ് ബി യാ., യാക്കോവ്ലെവ് എസ്.എ., സിസ്റ്റങ്ങളുടെ മോഡലിംഗ്: Proc. സർവ്വകലാശാലകൾക്കായി - 3rd ed., പരിഷ്കരിച്ചത്. കൂടാതെ അധികവും - എം.: ഉയർന്നത്. സ്കൂൾ, 2001. - 343 പേ. ISBN 5-06-003860-2, പേ. 93.
16. ബ്ലെഖ്മാൻ I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., അപ്ലൈഡ് മാത്തമാറ്റിക്സ്: വിഷയം, യുക്തി, സമീപനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ. മെക്കാനിക്സിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം: പാഠപുസ്തകം. - മൂന്നാം പതിപ്പ്., റവ. കൂടാതെ അധികവും - എം.: യുആർഎസ്എസ്, 2006. - 376 പേ. ISBN 5-484-00163-3, അധ്യായം 2.

ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകൾ

ഗണിത മാതൃക - ഏകദേശ opiമോഡലിംഗ് വസ്തുവിന്റെ അർത്ഥം, ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീകാത്മകതയുടെ.

നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തോടൊപ്പം ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ ആവിർഭാവം ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗിന്റെ വികാസത്തിന് വലിയ പ്രചോദനം നൽകി. മുമ്പ് അനലിറ്റിക്കൽ ഗവേഷണത്തിന് അനുയോജ്യമല്ലാത്ത നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകൾ വിശകലനം ചെയ്യാനും പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കാനും കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ ഉപയോഗം സാധ്യമാക്കി. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിൽ നടപ്പിലാക്കുന്നുആകാശ മാതൃകവിളിച്ചു കമ്പ്യൂട്ടർ ഗണിത മാതൃക, എ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ മോഡൽ ഉപയോഗിച്ച് ടാർഗെറ്റുചെയ്‌ത കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നുവിളിച്ചു കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പരീക്ഷണം.

കമ്പ്യൂട്ടർ ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഘട്ടങ്ങൾഡിവിഷൻചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ആദ്യംസ്റ്റേജ് - മോഡലിംഗ് ലക്ഷ്യങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നു.ഈ ലക്ഷ്യങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം:

1. ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഒബ്ജക്റ്റ് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഘടന എന്താണ്, അതിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ, വികസന നിയമങ്ങൾ, ഇടപെടൽ എന്നിവ മനസിലാക്കാൻ ഒരു മാതൃക ആവശ്യമാണ്.
   പുറം ലോകവുമായി (മനസിലാക്കൽ);
2. ഒരു ഒബ്ജക്റ്റ് (അല്ലെങ്കിൽ പ്രോസസ്സ്) എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യാമെന്നും നിർണ്ണയിക്കണമെന്നും പഠിക്കാൻ ഒരു മാതൃക ആവശ്യമാണ് മികച്ച വഴികൾനൽകിയിരിക്കുന്ന ലക്ഷ്യങ്ങളും മാനദണ്ഡങ്ങളും ഉള്ള മാനേജ്മെന്റ് (മാനേജ്മെന്റ്);
3. തന്നിരിക്കുന്ന രീതികളും വസ്തുവിനെ സ്വാധീനിക്കുന്ന രൂപങ്ങളും (പ്രവചനം) നടപ്പിലാക്കുന്നതിന്റെ പ്രത്യക്ഷവും പരോക്ഷവുമായ പ്രത്യാഘാതങ്ങൾ പ്രവചിക്കുന്നതിന് മാതൃക ആവശ്യമാണ്.

തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പ്രദേശത്ത് നിന്നുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം: സ്ഥിരതയുള്ള സംഖ്യകളുമായി സമാധാനപരമായി സഹവസിച്ചിരുന്നതും പൊതുവായ ഭക്ഷണ വിതരണമുള്ളതുമായ രണ്ട് ഇനം വ്യക്തികളുടെ ജനസംഖ്യ “പെട്ടെന്ന്” അവരുടെ സംഖ്യ കുത്തനെ മാറ്റാൻ തുടങ്ങുന്നു. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ് (ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള വിശ്വാസ്യതയോടെ) കാരണം സ്ഥാപിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ഇത്രയെങ്കിലുംഒരു നിശ്ചിത സിദ്ധാന്തം നിരാകരിക്കുക).

ഒരു ഒബ്ജക്റ്റ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു ആശയം വികസിപ്പിക്കുന്നത് മോഡലിംഗിന്റെ സാധ്യമായ മറ്റൊരു ലക്ഷ്യമാണ്. വിമാനം സുരക്ഷിതവും സാമ്പത്തികമായി ഏറ്റവും ലാഭകരവുമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ ഞാൻ ഏത് എയർക്രാഫ്റ്റ് ഫ്ലൈറ്റ് മോഡ് തിരഞ്ഞെടുക്കണം? നൂറുകണക്കിന് നിർമ്മാണ ജോലികൾ എങ്ങനെ ഷെഡ്യൂൾ ചെയ്യാം വലിയ വസ്തുഅങ്ങനെ അത് കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിൽ അവസാനിക്കും ഷോർട്ട് ടേം? സാമ്പത്തിക വിദഗ്ധർ, ഡിസൈനർമാർ, ശാസ്ത്രജ്ഞർ എന്നിവരുടെ മുമ്പാകെ അത്തരം നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ വ്യവസ്ഥാപിതമായി ഉയർന്നുവരുന്നു.

അവസാനമായി, ഒരു വസ്തുവിലെ ചില ആഘാതങ്ങളുടെ അനന്തരഫലങ്ങൾ പ്രവചിക്കുന്നത് ലളിതമായ ഭൗതിക സംവിധാനങ്ങളിൽ താരതമ്യേന ലളിതമായ കാര്യവും ജൈവികവും സാമ്പത്തികവും സാമൂഹികവുമായ വ്യവസ്ഥകളിൽ വളരെ സങ്കീർണ്ണവും - സാധ്യതയുടെ വക്കിലുള്ളതുമാണ്. ഘടക അലോയ്യിലെ മാറ്റങ്ങൾ കാരണം നേർത്ത വടിയിലെ താപ വിതരണ രീതിയിലെ മാറ്റങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നത് താരതമ്യേന എളുപ്പമാണെങ്കിൽ, ഒരു വലിയ നിർമ്മാണത്തിന്റെ പാരിസ്ഥിതിക, കാലാവസ്ഥാ പ്രത്യാഘാതങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് (പ്രവചിക്കാൻ) താരതമ്യേന എളുപ്പമാണ്. ജലവൈദ്യുത നിലയം അല്ലെങ്കിൽ സാമൂഹിക പ്രത്യാഘാതങ്ങൾനികുതി നിയമനിർമ്മാണത്തിലെ മാറ്റങ്ങൾ താരതമ്യപ്പെടുത്താനാവാത്തവിധം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഒരുപക്ഷേ ഇവിടെയും, ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ് രീതികൾ ഭാവിയിൽ കൂടുതൽ കാര്യമായ സഹായം നൽകും.

രണ്ടാം ഘട്ടം:മോഡലിന്റെ ഇൻപുട്ട്, ഔട്ട്പുട്ട് പാരാമീറ്ററുകളുടെ നിർണ്ണയം; ഇൻപുട്ട് പാരാമീറ്ററുകളുടെ വിഭജനം ഔട്ട്പുട്ടിൽ അവയുടെ മാറ്റങ്ങളുടെ സ്വാധീനത്തിന്റെ പ്രാധാന്യത്തിന്റെ അളവ് അനുസരിച്ച്. ഈ പ്രക്രിയയെ റാങ്കിംഗ് അല്ലെങ്കിൽ റാങ്ക് അനുസരിച്ച് വേർതിരിക്കുക (കാണുക. "ഔപചാരികവൽക്കരണംടിഷനും മോഡലിംഗും").

മൂന്നാം ഘട്ടം:ഒരു ഗണിത മാതൃകയുടെ നിർമ്മാണം. ഈ ഘട്ടത്തിൽ, മോഡലിന്റെ ഒരു അമൂർത്ത രൂപീകരണത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പ്രത്യേക ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രാതിനിധ്യമുള്ള ഒരു ഫോർമുലേഷനിലേക്ക് ഒരു പരിവർത്തനമുണ്ട്. സമവാക്യങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ തുടങ്ങിയവയാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക.

നാലാം ഘട്ടം:ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. മിക്കപ്പോഴും, സംഖ്യാ രീതികൾ ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് പ്രോഗ്രാമിംഗിന് നന്നായി സഹായിക്കുന്നു. ചട്ടം പോലെ, ഒരേ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിരവധി രീതികൾ അനുയോജ്യമാണ്, കൃത്യത, സ്ഥിരത മുതലായവയിൽ വ്യത്യാസമുണ്ട്. നിന്ന് ശരിയായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്രീതി പലപ്പോഴും മുഴുവൻ മോഡലിംഗ് പ്രക്രിയയുടെ വിജയത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

അഞ്ചാം ഘട്ടം:ഒരു അൽഗോരിതം വികസിപ്പിക്കുക, ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാം കംപൈൽ ചെയ്യുക, ഡീബഗ്ഗിംഗ് എന്നിവ ഔപചാരികമാക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു പ്രക്രിയയാണ്. പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളിൽ, പല പ്രൊഫഷണലുകളും ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗിനായി ഫോർട്രാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു: പാരമ്പര്യങ്ങളും കംപൈലറുകളുടെ അതിരുകടന്ന കാര്യക്ഷമതയും (കണക്കുകൂട്ടൽ ജോലികൾക്കായി), അതിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന വലിയതും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ഡീബഗ് ചെയ്തതും ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്തതുമായ ലൈബ്രറികളുടെ ലഭ്യത എന്നിവ കാരണം. സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രോഗ്രാമുകൾഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾ. ടാസ്‌ക്കിന്റെ സ്വഭാവവും പ്രോഗ്രാമറുടെ ചായ്‌വുകളും അനുസരിച്ച് പാസ്‌ക്കൽ, ബേസിക്, സി തുടങ്ങിയ ഭാഷകളും ഉപയോഗത്തിലുണ്ട്.

ആറാം ഘട്ടം:പ്രോഗ്രാം ടെസ്റ്റിംഗ്. പ്രോഗ്രാമിന്റെ പ്രവർത്തനം, മുമ്പ് അറിയപ്പെട്ട ഉത്തരത്തോടുകൂടിയ ഒരു ടെസ്റ്റ് പ്രശ്‌നത്തിൽ പരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. ഔപചാരികമായി സമഗ്രമായ രീതിയിൽ വിവരിക്കാൻ പ്രയാസമുള്ള ഒരു പരിശോധനാ നടപടിക്രമത്തിന്റെ തുടക്കം മാത്രമാണിത്. സാധാരണഗതിയിൽ, ഉപയോക്താവ് തന്റെ പ്രൊഫഷണൽ സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രോഗ്രാം ശരിയാണെന്ന് കണക്കാക്കുമ്പോൾ പരിശോധന അവസാനിക്കുന്നു.

ഏഴാം ഘട്ടം:യഥാർത്ഥ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പരീക്ഷണം, ഈ സമയത്ത് മോഡൽ ഒരു യഥാർത്ഥ ഒബ്‌ജക്റ്റുമായി (പ്രക്രിയ) യോജിക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിൽ ലഭിച്ച പ്രക്രിയയുടെ ചില സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള കൃത്യതയോടെ പരീക്ഷണാത്മകമായി ലഭിച്ച സ്വഭാവസവിശേഷതകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയയ്ക്ക് മോഡൽ മതിയാകും. മോഡൽ യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ മുമ്പത്തെ ഘട്ടങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം വിവിധ തത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാകാം. നിങ്ങൾക്ക് ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ശാഖകൾ (ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം, സാമൂഹ്യശാസ്ത്രം മുതലായവയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലുകൾ) അനുസരിച്ച് മോഡലുകളെ തരംതിരിക്കാം. ഉപയോഗിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണമനുസരിച്ച് തരംതിരിക്കാം (സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, സ്റ്റോക്കാസ്റ്റിക് രീതികൾ, വ്യതിരിക്ത ബീജഗണിത പരിവർത്തനങ്ങൾ മുതലായവയുടെ ഉപയോഗം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മോഡലുകൾ). ഒടുവിൽ, അടിസ്ഥാനമാക്കി പൊതുവായ ജോലികൾഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം പരിഗണിക്കാതെ, വ്യത്യസ്ത ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ മോഡലിംഗ്, ഏറ്റവും സ്വാഭാവികമായ വർഗ്ഗീകരണം:

• വിവരണാത്മക (വിവരണാത്മക) മോഡലുകൾ;
• ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ മോഡലുകൾ;
• മൾട്ടിക്രൈറ്റീരിയ മോഡലുകൾ;
• ഗെയിം മോഡലുകൾ.

ഉദാഹരണസഹിതം ഇത് വിശദീകരിക്കാം.

വിവരണാത്മക (വിവരണാത്മക) മോഡലുകൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ധൂമകേതു ആക്രമണത്തിന്റെ ചലനത്തെ മാതൃകയാക്കുന്നു സൗരയൂഥം, അതിന്റെ ഫ്ലൈറ്റ് പാത, അത് ഭൂമിയിൽ നിന്ന് കടന്നുപോകുന്ന ദൂരം മുതലായവ പ്രവചിക്കുന്നതിന് വേണ്ടി നിർമ്മിച്ചതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മോഡലിംഗ് ലക്ഷ്യങ്ങൾ സ്വഭാവത്തിൽ വിവരണാത്മകമാണ്, കാരണം ധൂമകേതുവിന്റെ ചലനത്തെ സ്വാധീനിക്കുന്നതിനോ അതിൽ എന്തെങ്കിലും മാറ്റുന്നതിനോ ഒരു മാർഗവുമില്ല.

ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ മോഡലുകൾഒരു നിശ്ചിത ലക്ഷ്യം നേടാനുള്ള ശ്രമത്തിൽ സ്വാധീനിക്കാവുന്ന പ്രക്രിയകളെ വിവരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മോഡലിൽ സ്വാധീനിക്കാവുന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ പാരാമീറ്ററുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കളപ്പുരയിൽ താപ ഭരണം മാറ്റുമ്പോൾ, പരമാവധി ധാന്യ സുരക്ഷ കൈവരിക്കുന്ന ഒരു ഭരണകൂടം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള ലക്ഷ്യം നിങ്ങൾക്ക് സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും, അതായത്. സംഭരണ ​​പ്രക്രിയ ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുക.

മൾട്ടിക്രിറ്റീരിയ മോഡലുകൾ. ഒരേസമയം നിരവധി പാരാമീറ്ററുകൾ സഹിതം ഒരു പ്രക്രിയ ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്, ലക്ഷ്യങ്ങൾ തികച്ചും പരസ്പരവിരുദ്ധമായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഭക്ഷണത്തിന്റെ വിലയും ഒരു വ്യക്തിയുടെ ഭക്ഷണത്തിന്റെ ആവശ്യകതയും അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, വലിയ കൂട്ടം ആളുകൾക്ക് (സൈന്യത്തിൽ, കുട്ടികളുടെ സമ്മർ ക്യാമ്പ് മുതലായവ) ഫിസിയോളജിക്കൽ കൃത്യമായും അതേ സമയം വിലകുറഞ്ഞും പോഷകാഹാരം സംഘടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സാധ്യമാണ്. ഈ ലക്ഷ്യങ്ങൾ ഒട്ടും യോജിക്കുന്നില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത്. മോഡലിംഗ് ചെയ്യുമ്പോൾ, നിരവധി മാനദണ്ഡങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും, അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു ബാലൻസ് തേടണം.

ഗെയിം മോഡലുകൾഎന്നതുമായി മാത്രം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കാം കമ്പ്യൂട്ടർ ഗെയിമുകൾ, മാത്രമല്ല വളരെ ഗൗരവമുള്ള കാര്യങ്ങളിലും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു യുദ്ധത്തിന് മുമ്പ്, ഒരു കമാൻഡർ, എതിർ സൈന്യത്തെക്കുറിച്ച് അപൂർണ്ണമായ വിവരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു പദ്ധതി വികസിപ്പിക്കണം: ശത്രുവിന്റെ സാധ്യമായ പ്രതികരണം കണക്കിലെടുത്ത് ചില യൂണിറ്റുകളെ യുദ്ധത്തിൽ ഏതൊക്കെ ക്രമത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കണം, മുതലായവ. ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക ശാഖയുണ്ട് - ഗെയിം സിദ്ധാന്തം - അപൂർണ്ണമായ വിവരങ്ങളുടെ സാഹചര്യങ്ങളിൽ തീരുമാനമെടുക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ പഠിക്കുന്നു.

സ്കൂൾ കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് കോഴ്‌സിൽ, അടിസ്ഥാന കോഴ്‌സിന്റെ ഭാഗമായി കമ്പ്യൂട്ടർ മാത്തമാറ്റിക്കൽ മോഡലിംഗിനെക്കുറിച്ച് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പ്രാഥമിക ധാരണ ലഭിക്കും. ഹൈസ്കൂളിൽ, ഫിസിക്സ്, മാത്തമാറ്റിക്സ് ക്ലാസുകൾക്കായുള്ള ഒരു പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ കോഴ്സിലും ഒരു പ്രത്യേക തിരഞ്ഞെടുപ്പ് കോഴ്സിന്റെ ഭാഗമായും ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ് ആഴത്തിൽ പഠിക്കാൻ കഴിയും.

ഹൈസ്കൂളിൽ കമ്പ്യൂട്ടർ മാത്തമാറ്റിക്കൽ മോഡലിംഗ് പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രൂപങ്ങൾ പ്രഭാഷണങ്ങൾ, ലബോറട്ടറി, ടെസ്റ്റ് ക്ലാസുകൾ എന്നിവയാണ്. സാധാരണഗതിയിൽ, ഓരോ പുതിയ മോഡലും സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനും പഠിക്കുന്നതിനുമുള്ള ജോലി 3-4 പാഠങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. മെറ്റീരിയലിന്റെ അവതരണ വേളയിൽ, ഭാവിയിൽ വിദ്യാർത്ഥികൾ സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കേണ്ട പ്രശ്നങ്ങൾ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴികൾ പൊതുവായി വിവരിക്കുന്നു. ചോദ്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, ടാസ്‌ക്കുകൾ പൂർത്തിയാക്കുമ്പോൾ അതിനുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കണം. സൂചിപ്പിച്ചു അധിക സാഹിത്യം, ടാസ്ക്കുകൾ കൂടുതൽ വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കുന്നതിന് സഹായക വിവരങ്ങൾ നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുമ്പോൾ ക്ലാസുകളുടെ ഓർഗനൈസേഷന്റെ രൂപം സാധാരണയായി ഒരു പ്രഭാഷണമാണ്. അടുത്ത മോഡലിന്റെ ചർച്ച പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം വിദ്യാർത്ഥികൾആവശ്യമായ സൈദ്ധാന്തിക വിവരങ്ങളും തുടർന്നുള്ള ജോലികൾക്കായി ഒരു കൂട്ടം ജോലികളും അവരുടെ പക്കലുണ്ട്. ഒരു ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനുള്ള തയ്യാറെടുപ്പിൽ, വിദ്യാർത്ഥികൾ ഉചിതമായ ഒരു പരിഹാര രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ചില അറിയപ്പെടുന്ന സ്വകാര്യ സൊല്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് വികസിപ്പിച്ച പ്രോഗ്രാം പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ജോലികൾ പൂർത്തിയാക്കുമ്പോൾ സാധ്യമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടായാൽ, കൺസൾട്ടേഷൻ നൽകുകയും സാഹിത്യ സ്രോതസ്സുകളിൽ ഈ വിഭാഗങ്ങൾ കൂടുതൽ വിശദമായി പഠിക്കാനുള്ള നിർദ്ദേശം നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു.

കമ്പ്യൂട്ടർ മോഡലിംഗ് പഠിപ്പിക്കുന്നതിന്റെ പ്രായോഗിക ഭാഗത്തിന് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായത് പ്രോജക്റ്റ് രീതിയാണ്. ഒരു വിദ്യാഭ്യാസ പ്രോജക്റ്റിന്റെ രൂപത്തിൽ വിദ്യാർത്ഥിക്കായി ഈ ടാസ്ക് രൂപപ്പെടുത്തുകയും പ്രധാന പാഠങ്ങൾക്കൊപ്പം നിരവധി പാഠങ്ങളിലൂടെ പൂർത്തിയാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. സംഘടനാ രൂപംകമ്പ്യൂട്ടർ ലബോറട്ടറി ജോലികൾ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. വിദ്യാഭ്യാസ പദ്ധതികളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് മോഡലിംഗ് പഠിപ്പിക്കുന്നത് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും വ്യത്യസ്ത തലങ്ങൾ. ആദ്യത്തേത് അധ്യാപകന്റെ നേതൃത്വത്തിൽ പ്രോജക്റ്റ് പൂർത്തിയാക്കുന്ന പ്രക്രിയയുടെ പ്രശ്നകരമായ അവതരണമാണ്. അധ്യാപകന്റെ നേതൃത്വത്തിൽ വിദ്യാർഥികൾ പദ്ധതി നടപ്പാക്കുന്നതാണ് രണ്ടാമത്തേത്. മൂന്നാമത്തേത് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് സ്വതന്ത്രമായി ഒരു വിദ്യാഭ്യാസ ഗവേഷണ പദ്ധതി പൂർത്തിയാക്കുക എന്നതാണ്.

ജോലിയുടെ ഫലങ്ങൾ സംഖ്യാ രൂപത്തിൽ, ഗ്രാഫുകളുടെയും ഡയഗ്രമുകളുടെയും രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കണം. സാധ്യമെങ്കിൽ, പ്രക്രിയ ചലനാത്മകതയിൽ കമ്പ്യൂട്ടർ സ്ക്രീനിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഫലങ്ങളുടെ രസീതിയും പൂർത്തിയാകുമ്പോൾ, അവ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു, സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള അറിയപ്പെടുന്ന വസ്തുതകളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, വിശ്വാസ്യത സ്ഥിരീകരിക്കുകയും അർത്ഥവത്തായ വ്യാഖ്യാനം നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നു, അത് പിന്നീട് ഒരു രേഖാമൂലമുള്ള റിപ്പോർട്ടിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്നു.

ഫലങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥിയെയും അധ്യാപകനെയും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ, ജോലി എണ്ണുന്നുപൂർത്തിയായി, അതിന്റെ അവസാന ഘട്ടം ഒരു റിപ്പോർട്ട് തയ്യാറാക്കലാണ്. പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഹ്രസ്വമായ സൈദ്ധാന്തിക വിവരങ്ങൾ, പ്രശ്നത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപീകരണം, പരിഹാര അൽഗോരിതം, അതിന്റെ ന്യായീകരണം, ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാം, പ്രോഗ്രാമിന്റെ ഫലങ്ങൾ, ഫലങ്ങളുടെയും നിഗമനങ്ങളുടെയും വിശകലനം, റഫറൻസുകളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് എന്നിവ റിപ്പോർട്ടിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

എല്ലാ റിപ്പോർട്ടുകളും സമാഹരിച്ച ശേഷം, വിദ്യാർത്ഥികൾ അവ അവതരിപ്പിക്കുന്നു ചെറിയ സന്ദേശങ്ങൾചെയ്ത ജോലിയെക്കുറിച്ച്, അവരുടെ പ്രോജക്റ്റ് സംരക്ഷിക്കുക. ഇതാണ് ഫലപ്രദമായ ഫോംപ്രശ്നം സജ്ജീകരിക്കുക, ഒരു ഔപചാരിക മോഡൽ നിർമ്മിക്കുക, മോഡലുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക, ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിൽ മോഡൽ നടപ്പിലാക്കുക, പൂർത്തിയായ മോഡലുമായി പ്രവർത്തിക്കുക, ഫലങ്ങൾ വ്യാഖ്യാനിക്കുക, പ്രവചിക്കുക എന്നിവ ഉൾപ്പെടെ, പ്രോജക്റ്റ് ക്ലാസിലേക്ക് നടത്തുന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ റിപ്പോർട്ട്. തൽഫലമായി, വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് രണ്ട് ഗ്രേഡുകൾ ലഭിക്കും: ആദ്യത്തേത് - പ്രോജക്റ്റിന്റെ വിപുലീകരണത്തിനും അതിന്റെ പ്രതിരോധത്തിന്റെ വിജയത്തിനും, രണ്ടാമത്തേത് - പ്രോഗ്രാമിനായി, അതിന്റെ അൽഗോരിതം, ഇന്റർഫേസ് മുതലായവയുടെ ഒപ്റ്റിമലിറ്റി. തിയറി ക്വിസുകളിൽ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഗ്രേഡുകളും ലഭിക്കും.

ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗിനായി ഒരു സ്കൂൾ കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് കോഴ്‌സിൽ ഏതൊക്കെ ടൂളുകൾ ഉപയോഗിക്കണം എന്നതാണ് ഒരു പ്രധാന ചോദ്യം. മോഡലുകളുടെ കമ്പ്യൂട്ടർ നിർവ്വഹണം നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും:

• ഒരു സ്പ്രെഡ്ഷീറ്റ് പ്രോസസർ (സാധാരണയായി MS Excel) ഉപയോഗിക്കുന്നു;
• പരമ്പരാഗത പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളിലും (പാസ്കൽ, ബേസിക്, മുതലായവ) അവയുടെ ആധുനിക പതിപ്പുകളിലും (ഡെൽഫി, വിഷ്വൽ) പ്രോഗ്രാമുകൾ സൃഷ്ടിച്ചുകൊണ്ട്
  ആപ്ലിക്കേഷന്റെ അടിസ്ഥാനം മുതലായവ);
• ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പ്രത്യേക ആപ്ലിക്കേഷൻ പാക്കേജുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു (MathCAD, മുതലായവ).

അടിസ്ഥാന സ്കൂൾ തലത്തിൽ, ആദ്യ രീതിയാണ് കൂടുതൽ അഭികാമ്യമെന്ന് തോന്നുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇൻ ഹൈസ്കൂൾകമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലെ ഒരു പ്രധാന വിഷയം മോഡലിംഗിനൊപ്പം പ്രോഗ്രാമിംഗ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, അത് ഒരു മോഡലിംഗ് ഉപകരണമായി ഉപയോഗിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമാണ്. പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രക്രിയയിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര നടപടിക്രമങ്ങളുടെ വിശദാംശങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ലഭ്യമാകും; മാത്രമല്ല, അവയിൽ പ്രാവീണ്യം നേടാൻ അവർ നിർബന്ധിതരാകുന്നു, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര വിദ്യാഭ്യാസത്തിനും സംഭാവന നൽകുന്നു. പ്രത്യേക സോഫ്‌റ്റ്‌വെയർ പാക്കേജുകളുടെ ഉപയോഗത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, മറ്റ് ഉപകരണങ്ങൾക്ക് അനുബന്ധമായി ഒരു പ്രത്യേക കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് കോഴ്‌സിൽ ഇത് ഉചിതമാണ്.

വ്യായാമം ചെയ്യുക :

• പ്രധാന ആശയങ്ങളുടെ ഒരു ഡയഗ്രം ഉണ്ടാക്കുക.