Memfaktorkan polinomial. Bahagian 1

Pemfaktoran ialah teknik universal yang membantu menyelesaikan persamaan kompleks dan ketaksamaan. Pemikiran pertama yang perlu difikirkan semasa menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan di mana terdapat sifar di sebelah kanan ialah cuba memfaktorkan sebelah kiri.

Mari kita senaraikan yang utama cara untuk memfaktorkan polinomial:

• meletakkan faktor sepunya daripada kurungan
• menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan
• mengikut formula pemfaktoran trinomial kuadratik
• kaedah kumpulan
• membahagi polinomial dengan binomial
• kaedah pekali tidak pasti

Dalam artikel ini kita akan membincangkan secara terperinci mengenai tiga kaedah pertama; kita akan mempertimbangkan yang lain dalam artikel berikutnya.

1. Mengambil faktor sepunya daripada kurungan.

Untuk mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan, anda mesti mencarinya terlebih dahulu. Faktor pengganda biasa sama dengan pembahagi sepunya terbesar bagi semua pekali.

Bahagian surat faktor sepunya adalah sama dengan hasil darab ungkapan yang disertakan dalam setiap sebutan dengan eksponen terkecil.

Skim untuk menetapkan pengganda sepunya kelihatan seperti ini:

Perhatian!
Bilangan sebutan dalam kurungan adalah sama dengan bilangan sebutan dalam ungkapan asal. Jika salah satu istilah bertepatan dengan faktor sepunya, maka apabila membahagikannya dengan faktor sepunya, kita mendapat satu.

Contoh 1.

Faktorkan polinomial:

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan. Untuk melakukan ini, kami akan mencarinya terlebih dahulu.

1. Cari pembahagi sepunya terbesar bagi semua pekali polinomial, i.e. nombor 20, 35 dan 15. Ia bersamaan dengan 5.

2. Kami menetapkan bahawa pembolehubah terkandung dalam semua sebutan, dan eksponennya yang terkecil adalah sama dengan 2. Pembolehubah terkandung dalam semua sebutan, dan eksponennya yang terkecil ialah 3.

Pembolehubah terkandung hanya dalam istilah kedua, jadi ia bukan sebahagian daripada faktor sepunya.

Jadi faktor keseluruhannya ialah

3. Kami mengeluarkan pengganda daripada kurungan menggunakan rajah yang diberikan di atas:

Contoh 2. Selesaikan persamaan:

Penyelesaian. Mari kita memfaktorkan bahagian kiri persamaan. Mari kita keluarkan faktor daripada kurungan:

Jadi kita mendapat persamaan

Mari kita samakan setiap faktor dengan sifar:

Kami mendapat - punca persamaan pertama.

Akar:

Jawapan: -1, 2, 4

2. Pemfaktoran menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan.

Jika bilangan sebutan dalam polinomial yang akan kita faktorkan adalah kurang daripada atau sama dengan tiga, maka kita cuba menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan.

1. Jika polinomial ialahperbezaan dua istilah, kemudian kami cuba memohon formula perbezaan kuasa dua:

atau perbezaan formula kubus:

Berikut adalah surat-suratnya dan menandakan nombor atau ungkapan algebra.

2. Jika polinomial ialah hasil tambah dua sebutan, maka mungkin ia boleh difaktorkan menggunakan jumlah formula kubus:

3. Jika polinomial terdiri daripada tiga istilah, maka kita cuba gunakan formula jumlah kuasa dua:

atau formula perbezaan kuasa dua:

Atau kita cuba memfaktorkan formula untuk memfaktorkan trinomial kuadratik:

Di sini dan ialah punca-punca persamaan kuadratik

Contoh 3.Faktorkan ungkapan:

Penyelesaian. Kami ada di hadapan kami jumlah dua istilah. Mari cuba gunakan formula untuk jumlah kubus. Untuk melakukan ini, anda perlu mewakili setiap istilah terlebih dahulu sebagai kubus bagi beberapa ungkapan, dan kemudian gunakan formula untuk jumlah kubus:

Contoh 4. Faktorkan ungkapan:

Keputusan. Di sini kita mempunyai perbezaan kuasa dua dua ungkapan. Ungkapan pertama: , ungkapan kedua:

Mari gunakan formula untuk perbezaan kuasa dua:

Mari buka kurungan dan tambah istilah yang serupa, kita dapat:

Kalkulator dalam talian.
Mengasingkan kuasa dua binomial dan memfaktorkan trinomial segi empat sama.

Itu. masalah bermuara kepada mencari nombor \(p, q\) dan \(n, m\)

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian.

Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah Menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini, anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan adik-adik anda sendiri, manakala tahap pendidikan dalam bidang penyelesaian masalah meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan trinomial kuadratik, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik

Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.
Contohnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dsb.

Nombor boleh dimasukkan sebagai nombor bulat atau pecahan.
Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan bukan sahaja dalam bentuk perpuluhan, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Dalam pecahan perpuluhan, bahagian pecahan boleh dipisahkan daripada keseluruhan bahagian sama ada dengan noktah atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh masuk perpuluhan seperti ini: 2.5x - 3.5x^2

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Seluruh bahagian dipisahkan daripada pecahan oleh tanda ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Keputusan: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Apabila memasukkan ungkapan anda boleh menggunakan kurungan. Dalam kes ini, apabila menyelesaikan, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.
Contohnya: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Contoh penyelesaian terperinci

Mengasingkan kuasa dua binomial.$$ ax^2+bx+c \anak panah kanan a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \kanan)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kiri(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Jawapan:$$2x^2+2x-4 = 2\kiri(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Pemfaktoran.$$ ax^2+bx+c \anak panah kanan a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kiri(x^2+x-2 \kanan) = $$
$$ 2 \kiri(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \kanan) = $$ $$ 2 \kiri(x \kiri(x +2 \kanan) -1 \kiri(x +2 \kanan ) \kanan) = $$ $$ 2 \kiri(x -1 \kanan) \kiri(x +2 \kanan) $$ Jawapan:$$2x^2+2x-4 = 2 \kiri(x -1 \kanan) \kiri(x +2 \kanan) $$

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Mengasingkan kuasa dua binomial daripada trinomial segi empat sama

Jika trinomial ax 2 +bx+c diwakili sebagai a(x+p) 2 +q, dengan p dan q ialah nombor nyata, maka kita katakan bahawa daripada segi empat sama trinomial, segi empat sama binomial diserlahkan.

Daripada trinomial 2x 2 +12x+14 kami mengekstrak kuasa dua binomial itu.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Untuk melakukan ini, bayangkan 6x sebagai hasil darab 2*3*x, dan kemudian tambah dan tolak 3 2. Kita mendapatkan:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Itu. Kami ekstrak binomial segi empat sama daripada trinomial segi empat sama, dan menunjukkan bahawa:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Memfaktorkan trinomial kuadratik

Jika kapak trinomial segi empat sama 2 +bx+c diwakili dalam bentuk a(x+n)(x+m), dengan n dan m ialah nombor nyata, maka operasi itu dikatakan telah dilakukan. pemfaktoran trinomial kuadratik.

Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana transformasi ini dilakukan.

Mari kita faktorkan trinomial kuadratik 2x 2 +4x-6.

Mari kita keluarkan pekali a daripada kurungan, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Mari kita ubah ungkapan dalam kurungan.
Untuk melakukan ini, bayangkan 2x sebagai perbezaan 3x-1x, dan -3 sebagai -1*3. Kita mendapatkan:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Itu. Kami memfaktorkan trinomial kuadratik, dan menunjukkan bahawa:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Ambil perhatian bahawa pemfaktoran trinomial kuadratik hanya boleh dilakukan apabila, persamaan kuadratik, sepadan dengan trinomial ini mempunyai akar.
Itu. dalam kes kami, adalah mungkin untuk memfaktorkan trinomial 2x 2 +4x-6 jika persamaan kuadratik 2x 2 +4x-6 =0 mempunyai punca. Dalam proses pemfaktoran, kami menetapkan bahawa persamaan 2x 2 + 4x-6 = 0 mempunyai dua punca 1 dan -3, kerana dengan nilai ini, persamaan 2(x-1)(x+3)=0 bertukar menjadi kesamaan sebenar.

Polinomial pemfaktoran ialah transformasi identiti, akibatnya polinomial diubah menjadi hasil darab beberapa faktor - polinomial atau monomial.

Terdapat beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial.

Kaedah 1. Mengambil faktor sepunya daripada kurungan.

Penjelmaan ini adalah berdasarkan hukum taburan pendaraban: ac + bc = c(a + b). Intipati transformasi adalah untuk mengasingkan faktor sepunya dalam dua komponen yang sedang dipertimbangkan dan "mengeluarkannya" daripada kurungan.

Mari kita faktorkan polinomial 28x 3 – 35x 4.

Penyelesaian.

1. Cari pembahagi sepunya untuk unsur 28x3 dan 35x4. Untuk 28 dan 35 ia akan menjadi 7; untuk x 3 dan x 4 – x 3. Dalam erti kata lain, faktor sepunya kita ialah 7x 3.

2. Kami mewakili setiap elemen sebagai hasil daripada faktor, salah satunya
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Kami mengambil faktor sepunya daripada kurungan
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Kaedah 2. Menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan. "Penguasaan" menggunakan kaedah ini adalah untuk melihat salah satu formula pendaraban yang disingkatkan dalam ungkapan.

Mari kita faktorkan polinomial x 6 – 1.

Penyelesaian.

1. Kita boleh menggunakan formula perbezaan kuasa dua untuk ungkapan ini. Untuk melakukan ini, bayangkan x 6 sebagai (x 3) 2, dan 1 sebagai 1 2, i.e. 1. Ungkapan akan berbentuk:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Kita boleh menggunakan formula untuk jumlah dan perbezaan kubus kepada ungkapan yang terhasil:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Jadi,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Kaedah 3. Pengelompokan. Kaedah pengelompokan melibatkan penggabungan komponen polinomial dengan cara yang mudah untuk melakukan operasi ke atasnya (tambah, tolak, penolakan faktor sepunya).

Mari kita faktorkan polinomial x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Penyelesaian.

1. Mari kumpulkan komponen dengan cara ini: 1 dengan 2, dan 3 dengan 4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Dalam ungkapan yang terhasil, kita mengambil faktor sepunya daripada kurungan: x 2 dalam kes pertama dan 5 dalam kedua.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Kami mengambil faktor sepunya x – 3 daripada kurungan dan dapatkan:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Jadi,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Mari selamatkan bahan.

Faktorkan polinomial a 2 – 7ab + 12b 2.

Penyelesaian.

1. Mari kita wakili monomial 7ab sebagai jumlah 3ab + 4ab. Ungkapan akan mengambil bentuk:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Mari buka kurungan dan dapatkan:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Mari kumpulkan komponen polinomial dengan cara ini: 1 dengan 2 dan 3 dengan 4. Kita mendapatkan:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Mari kita ambil faktor sepunya (a – 3b) daripada kurungan:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Jadi,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Konsep "polinomial" dan "pemfaktoran polinomial" dalam algebra sering ditemui, kerana anda perlu mengetahuinya untuk memudahkan pengiraan dengan besar. nombor berbilang digit. Artikel ini akan menerangkan beberapa kaedah penguraian. Kesemuanya agak mudah digunakan; anda hanya perlu memilih yang sesuai untuk setiap kes tertentu.

Konsep polinomial

Polinomial ialah jumlah monomial, iaitu ungkapan yang mengandungi hanya operasi pendaraban.

Sebagai contoh, 2 * x * y ialah monomial, tetapi 2 * x * y + 25 ialah polinomial yang terdiri daripada 2 monomial: 2 * x * y dan 25. Polinomial tersebut dipanggil binomial.

Kadang-kadang, untuk kemudahan menyelesaikan contoh dengan makna berbilang nilai ungkapan mesti diubah, sebagai contoh, diuraikan kepada beberapa faktor tertentu, iaitu nombor atau ungkapan yang antaranya tindakan pendaraban dilakukan. Terdapat beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial. Perlu dipertimbangkan, bermula dengan yang paling primitif, yang digunakan di sekolah rendah.

Pengumpulan (rekod dalam bentuk umum)

Formula pemfaktoran polinomial menggunakan kaedah pengumpulan Pandangan umum kelihatan seperti ini:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Adalah perlu untuk mengumpulkan monomial supaya setiap kumpulan mempunyai faktor yang sama. Dalam kurungan pertama ini ialah faktor c, dan dalam kurungan kedua - d. Ini mesti dilakukan untuk kemudian mengalihkannya keluar dari kurungan, dengan itu memudahkan pengiraan.

Algoritma penguraian menggunakan contoh khusus

Contoh paling mudah untuk memfaktorkan polinomial menggunakan kaedah pengumpulan diberikan di bawah:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Dalam kurungan pertama anda perlu mengambil istilah dengan faktor a, yang akan menjadi biasa, dan dalam kedua - dengan faktor b. Beri perhatian kepada tanda + dan - dalam ungkapan selesai. Kami meletakkan di hadapan monomial tanda yang terdapat dalam ungkapan awal. Iaitu, anda perlu bekerja bukan dengan ungkapan 25a, tetapi dengan ungkapan -25. Tanda tolak nampaknya "dilekatkan" pada ungkapan di belakangnya dan sentiasa diambil kira semasa mengira.

Dalam langkah seterusnya, anda perlu mengambil pengganda, yang biasa, daripada kurungan. Inilah tujuan kumpulan itu. Untuk meletakkan di luar kurungan bermaksud menulis sebelum kurungan (meninggalkan tanda darab) semua faktor yang betul-betul berulang dalam semua istilah yang ada dalam kurungan. Jika tidak ada 2, tetapi 3 atau lebih istilah dalam kurungan, faktor sepunya mesti terkandung dalam setiap satu daripadanya, jika tidak, ia tidak boleh dikeluarkan dari kurungan.

Dalam kes kami, hanya terdapat 2 istilah dalam kurungan. Pengganda keseluruhan kelihatan serta-merta. Dalam kurungan pertama ia adalah a, dalam kurungan kedua ia adalah b. Di sini anda perlu memberi perhatian kepada pekali digital. Dalam kurungan pertama, kedua-dua pekali (10 dan 25) ialah gandaan 5. Ini bermakna bukan sahaja a, tetapi juga 5a boleh dikeluarkan daripada kurungan. Sebelum kurungan, tulis 5a, dan kemudian bahagikan setiap istilah dalam kurungan dengan faktor sepunya yang dikeluarkan, dan tulis hasil bagi dalam kurungan, jangan lupa tentang tanda + dan - Lakukan perkara yang sama dengan kurungan kedua, ambil daripada 7b, serta gandaan 14 dan 35 daripada 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Kami mendapat 2 sebutan: 5a(2c - 5) dan 7b(2c - 5). Setiap daripadanya mengandungi faktor sepunya (keseluruhan ungkapan dalam kurungan adalah sama di sini, yang bermaksud ia adalah faktor sepunya): 2c - 5. Ia juga perlu dikeluarkan daripada kurungan, iaitu, terma 5a dan 7b kekal dalam kurungan kedua:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Jadi ungkapan penuhnya ialah:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Oleh itu, polinomial 10ac + 14bc - 25a - 35b diuraikan kepada 2 faktor: (2c - 5) dan (5a + 7b). Tanda darab di antara mereka boleh ditinggalkan semasa menulis

Kadang-kadang terdapat ungkapan jenis ini: 5a 2 + 50a 3, di sini anda boleh meletakkan tanda kurung bukan sahaja a atau 5a, malah 5a 2. Anda harus sentiasa cuba meletakkan faktor sepunya terbesar daripada kurungan. Dalam kes kami, jika kami membahagikan setiap istilah dengan faktor sepunya, kami mendapat:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(apabila mengira hasil bagi beberapa kuasa dengan asas yang sama, asas dikekalkan dan eksponen ditolak). Oleh itu, unit kekal dalam kurungan (anda tidak terlupa untuk menulis satu jika anda mengeluarkan salah satu istilah daripada kurungan) dan hasil bahagi: 10a. Ternyata:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formula segi empat sama

Untuk memudahkan pengiraan, beberapa formula telah diperolehi. Ini dipanggil formula pendaraban singkatan dan digunakan agak kerap. Formula ini membantu polinomial faktor yang mengandungi kuasa. Ini lagi satu cara yang berkesan pemfaktoran. Jadi inilah mereka:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formula yang dipanggil "persegi jumlah", kerana hasil daripada penguraian menjadi segi empat sama, jumlah nombor yang disertakan dalam kurungan diambil, iaitu, nilai jumlah ini didarab dengan sendirinya 2 kali, dan oleh itu ialah pengganda.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula untuk kuasa dua perbezaan, ia adalah serupa dengan yang sebelumnya. Hasilnya ialah perbezaan, yang disertakan dalam kurungan, yang terkandung dalam kuasa kuasa dua.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- ini adalah formula untuk perbezaan kuasa dua, kerana pada mulanya polinomial terdiri daripada 2 kuasa dua nombor atau ungkapan, antara yang penolakan dilakukan. Mungkin, daripada tiga yang disebutkan, ia paling kerap digunakan.

Contoh pengiraan menggunakan formula segi empat sama

Pengiraan untuk mereka agak mudah. Sebagai contoh:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - gunakan formula "petak dua jumlah".
2. 25x 2 ialah kuasa dua bagi 5x. 20xy - produk berganda 2*(5x*2y), dan 4y 2 ialah kuasa dua bagi 2y.
3. Oleh itu, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Polinomial ini diuraikan kepada 2 faktor (faktor adalah sama, jadi ia ditulis sebagai ungkapan dengan kuasa segi empat sama).

Tindakan menggunakan formula perbezaan kuasa dua dijalankan sama seperti ini. Formula selebihnya ialah perbezaan kuasa dua. Contoh formula ini sangat mudah untuk ditakrifkan dan dicari antara ungkapan lain. Sebagai contoh:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Oleh kerana 25a 2 = (5a) 2, dan 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Oleh kerana 36x 2 = (6x) 2, dan 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Sejak 169b 2 = (13b) 2

Adalah penting bahawa setiap istilah ialah segi empat sama bagi beberapa ungkapan. Kemudian polinomial ini mesti difaktorkan menggunakan rumus perbezaan kuasa dua. Untuk ini, tidak semestinya darjah kedua berada di atas nombor. Terdapat polinomial yang mengandungi darjah besar, tetapi masih sesuai untuk formula ini.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

DALAM dalam contoh ini dan 8 boleh diwakili sebagai (a 4) 2, iaitu kuasa dua ungkapan tertentu. 25 ialah 5 2, dan 10a ialah 4 - ini ialah hasil darab bagi sebutan 2 * a 4 * 5. Iaitu, ungkapan ini, walaupun terdapat darjah dengan eksponen yang besar, boleh diuraikan kepada 2 faktor untuk kemudiannya berfungsi dengannya.

Formula kiub

Formula yang sama wujud untuk pemfaktoran polinomial yang mengandungi kubus. Mereka sedikit lebih rumit daripada yang mempunyai segi empat sama:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- formula ini dipanggil jumlah kubus, kerana dalam bentuk awal Polinomial ialah hasil tambah dua ungkapan atau nombor berpadu.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - formula yang sama dengan yang sebelumnya ditetapkan sebagai perbezaan kubus.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kubus jumlah, hasil pengiraan, jumlah nombor atau ungkapan disertakan dalam kurungan dan didarab dengan sendirinya 3 kali, iaitu, terletak dalam kubus
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, disusun dengan analogi dengan yang sebelumnya, mengubah hanya beberapa tanda operasi matematik (tambah dan tolak), dipanggil "kubus perbezaan".

Dua formula terakhir secara praktikalnya tidak digunakan untuk tujuan pemfaktoran polinomial, kerana ia adalah kompleks, dan cukup jarang untuk mencari polinomial yang sepadan sepenuhnya dengan struktur ini supaya ia boleh difaktorkan menggunakan formula ini. Tetapi anda masih perlu mengenali mereka, kerana ia akan diperlukan apabila beroperasi dalam arah yang bertentangan - apabila membuka kurungan.

Contoh rumus kubus

Mari lihat contoh: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Nombor yang agak mudah diambil di sini, jadi anda boleh segera melihat bahawa 64a 3 ialah (4a) 3, dan 8b 3 ialah (2b) 3. Oleh itu, polinomial ini dikembangkan mengikut perbezaan formula kubus kepada 2 faktor. Tindakan menggunakan formula untuk jumlah kubus dijalankan secara analogi.

Adalah penting untuk memahami bahawa tidak semua polinomial boleh dikembangkan dalam sekurang-kurangnya satu cara. Tetapi terdapat ungkapan yang mengandungi kuasa yang lebih besar daripada segi empat sama atau kubus, tetapi ia juga boleh dikembangkan menjadi bentuk pendaraban yang disingkatkan. Contohnya: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Contoh ini mengandungi sebanyak darjah ke-12. Tetapi ia boleh difaktorkan menggunakan formula jumlah kiub. Untuk melakukan ini, anda perlu membayangkan x 12 sebagai (x 4) 3, iaitu, sebagai kubus bagi beberapa ungkapan. Sekarang, bukannya a, anda perlu menggantikannya dalam formula. Nah, ungkapan 125y 3 ialah kubus 5y. Seterusnya, anda perlu mengarang produk menggunakan formula dan melakukan pengiraan.

Pada mulanya, atau sekiranya terdapat keraguan, anda sentiasa boleh menyemak dengan pendaraban songsang. Anda hanya perlu membuka kurungan dalam ungkapan yang terhasil dan melakukan tindakan dengan istilah yang serupa. Kaedah ini digunakan untuk semua kaedah pengurangan yang disenaraikan: kedua-duanya untuk bekerja dengan faktor dan kumpulan yang sama, dan untuk bekerja dengan formula kubus dan kuasa kuadratik.

Dalam pelajaran ini, kita akan mengingati semua kaedah pemfaktoran polinomial yang telah dipelajari sebelumnya dan mempertimbangkan contoh aplikasinya, di samping itu, kita akan mengkaji kaedah baru - kaedah mengasingkan persegi lengkap dan belajar cara menggunakannya dalam menyelesaikan pelbagai masalah. .

Subjek:Memfaktorkan polinomial

Pelajaran:Memfaktorkan polinomial. Kaedah untuk memilih petak lengkap. Gabungan kaedah

Mari kita ingat kaedah asas pemfaktoran polinomial yang telah dikaji sebelum ini:

Kaedah meletakkan faktor sepunya daripada kurungan, iaitu faktor yang hadir dalam semua sebutan polinomial. Mari lihat contoh:

Ingat bahawa monomial ialah hasil darab kuasa dan nombor. Dalam contoh kami, kedua-dua istilah mempunyai beberapa unsur yang sama dan serupa.

Jadi, mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

;

Biar kami ingatkan anda bahawa dengan mendarabkan faktor yang dikeluarkan dengan kurungan, anda boleh menyemak ketepatan faktor yang dikeluarkan.

Kaedah pengelompokan. Ia tidak selalu mungkin untuk mengekstrak faktor sepunya dalam polinomial. Dalam kes ini, anda perlu membahagikan ahlinya kepada kumpulan sedemikian rupa sehingga dalam setiap kumpulan anda boleh mengambil faktor yang sama dan cuba memecahkannya supaya selepas mengambil faktor dalam kumpulan, faktor yang sama muncul dalam keseluruhan ungkapan, dan anda boleh meneruskan penguraian. Mari lihat contoh:

Mari kumpulkan penggal pertama dengan yang keempat, yang kedua dengan yang kelima, dan yang ketiga dengan yang keenam:

Mari kita ambil faktor biasa dalam kumpulan:

Ungkapan itu kini mempunyai faktor yang sama. Mari keluarkan:

Aplikasi rumus pendaraban yang disingkatkan. Mari lihat contoh:

;

Mari tulis ungkapan secara terperinci:

Jelas sekali, kita mempunyai formula untuk perbezaan kuasa dua, kerana ia adalah hasil tambah kuasa dua dua ungkapan dan hasil darab duanya ditolak daripadanya. Mari gunakan formula:

Hari ini kita akan mempelajari kaedah lain - kaedah memilih persegi lengkap. Ia adalah berdasarkan formula kuasa dua jumlah dan kuasa dua perbezaan. Mari kita ingatkan mereka:

Formula untuk kuasa dua jumlah (perbezaan);

Keistimewaan formula ini ialah ia mengandungi petak dua ungkapan dan hasil gandaannya. Mari lihat contoh:

Mari kita tulis ungkapan:

Jadi, ungkapan pertama ialah , dan yang kedua ialah .

Untuk mencipta formula bagi kuasa dua jumlah atau perbezaan, dua kali hasil darab ungkapan tidak mencukupi. Ia perlu ditambah dan ditolak:

Mari kita lengkapkan kuasa dua jumlah itu:

Mari kita ubah ungkapan yang terhasil:

Mari kita gunakan formula untuk perbezaan kuasa dua, ingat bahawa perbezaan kuasa dua dua ungkapan ialah hasil darab dan hasil tambah perbezaannya:

Jadi, kaedah ini Pertama sekali, adalah perlu untuk mengenal pasti ungkapan a dan b yang kuasa dua, iaitu, untuk menentukan ungkapan mana yang kuasa dua dalam contoh ini. Selepas ini, anda perlu menyemak kehadiran produk berganda dan jika ia tidak ada, kemudian tambah dan tolak, ini tidak akan mengubah maksud contoh, tetapi polinomial boleh difaktorkan menggunakan formula untuk kuasa dua jumlah atau perbezaan dan perbezaan kuasa dua, jika boleh.

Mari kita beralih kepada penyelesaian contoh.

Contoh 1 - pemfaktoran:

Mari cari ungkapan yang kuasa dua:

Mari kita tuliskan apakah produk berganda mereka:

Mari tambah dan tolak dua kali ganda hasil darab:

Mari kita lengkapkan kuasa dua jumlah dan berikan yang serupa:

Mari kita tulis menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

Contoh 2 - selesaikan persamaan:

;

Di sebelah kiri persamaan ialah trinomial. Anda perlu memasukkannya ke dalam faktor. Kami menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

Kami mempunyai kuasa dua ungkapan pertama dan hasil gandaan, kuasa dua ungkapan kedua tiada, mari tambah dan tolaknya:

Mari kita lipat segi empat sama lengkap dan berikan istilah yang serupa:

Mari gunakan formula perbezaan kuasa dua:

Jadi kita mempunyai persamaan

Kita tahu bahawa produk adalah sama dengan sifar hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Mari kita buat persamaan berikut berdasarkan ini:

Mari kita selesaikan persamaan pertama:

Mari kita selesaikan persamaan kedua:

Jawapan: atau

;

Kami meneruskan sama seperti contoh sebelumnya - pilih kuasa dua perbezaan.