Tanda akar tentang cara mengekstrak. Bagaimana untuk mengekstrak punca nombor berbilang digit

Penerangan bibliografi: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Kaedah untuk mengekstrak punca kuasa dua // Saintis muda. 2017. Bil 2.2. P. 76-77..02.2019).



Kata kunci : punca kuasa dua, perahan punca kuasa dua.

Dalam pelajaran matematik, saya berkenalan dengan konsep punca kuasa dua, dan operasi mengekstrak punca kuasa dua. Saya mula berminat sama ada mengekstrak punca kuasa dua hanya boleh menggunakan jadual petak, menggunakan kalkulator, atau adakah terdapat cara untuk mengekstraknya secara manual. Saya dapati beberapa cara: formula Babylon Purba, melalui penyelesaian persamaan, kaedah membuang persegi lengkap, kaedah Newton, kaedah geometri, kaedah grafik(, ), kaedah pemilihan dengan meneka, kaedah potongan nombor ganjil.

Pertimbangkan kaedah berikut:

Mari kita reput menjadi faktor utama, menggunakan kriteria kebolehbahagi 27225=5*5*3*3*11*11. Justeru

1. KEPADA kaedah Kanada. ini kaedah cepat telah ditemui oleh saintis muda di salah sebuah universiti terkemuka Kanada pada abad ke-20. Ketepatannya tidak lebih daripada dua hingga tiga tempat perpuluhan.

dengan x ialah nombor dari mana punca mesti diekstrak, c ialah nombor kuasa dua terdekat), contohnya:

=5,92

1. Dalam lajur. Kaedah ini membolehkan anda mencari nilai anggaran punca sebarang nombor nyata dengan sebarang ketepatan yang telah ditetapkan. Kelemahan kaedah ini termasuk kerumitan pengiraan yang semakin meningkat apabila bilangan digit yang ditemui bertambah. Untuk mengekstrak akar secara manual, notasi yang serupa dengan pembahagian panjang digunakan

Algoritma Punca Kuasa Dua

1. Kami membahagikan bahagian pecahan dan bahagian integer secara berasingan daripada koma di ambang dua digit pada setiap muka ( ciuman bahagian - dari kanan ke kiri; pecahan- dari kiri ke kanan). Ada kemungkinan bahagian integer mungkin mengandungi satu digit, dan bahagian pecahan mungkin mengandungi sifar.

2. Pengekstrakan bermula dari kiri ke kanan, dan kami memilih nombor yang kuasa duanya tidak melebihi nombor di muka pertama. Kami kuasa dua nombor ini dan tuliskannya di bawah nombor di sebelah pertama.

3. Cari perbezaan antara nombor pada muka pertama dan kuasa dua nombor pertama yang dipilih.

4. Kami menambah tepi seterusnya kepada perbezaan yang terhasil, nombor yang terhasil adalah boleh dibahagikan. Jom didik pembahagi. Kami menggandakan digit pertama jawapan yang dipilih (darab dengan 2), kami mendapat bilangan puluhan pembahagi, dan bilangan unit harus sedemikian rupa sehingga hasil darabnya dengan keseluruhan pembahagi tidak melebihi dividen. Kami menulis nombor yang dipilih sebagai jawapan.

5. Kami mengambil kelebihan seterusnya kepada perbezaan yang terhasil dan melakukan tindakan mengikut algoritma. Jika wajah ini ternyata menjadi wajah bahagian pecahan, maka kita meletakkan koma dalam jawapan. (Rajah 1.)

Menggunakan kaedah ini, anda boleh mengekstrak nombor dengan ketepatan yang berbeza, contohnya, sehingga perseribu. (Gamb.2)

mempertimbangkan pelbagai cara mengekstrak punca kuasa dua, kita boleh membuat kesimpulan: dalam setiap kes tertentu anda perlu membuat keputusan mengenai pilihan yang paling berkesan untuk menghabiskan lebih sedikit masa menyelesaikan

kesusasteraan:

1. Kiselev A. Unsur algebra dan analisis. Bahagian satu.-M.-1928

Kata kunci: punca kuasa dua, punca kuasa dua.

Anotasi: Artikel ini menerangkan kaedah untuk mengekstrak punca kuasa dua dan menyediakan contoh mengekstrak akar.

Apakah punca kuasa dua?

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Konsep ini sangat mudah. Semulajadi, saya akan katakan. Ahli matematik cuba mencari reaksi untuk setiap tindakan. Ada tambah - ada juga tolak. Ada darab - ada juga bahagi. Ada segi empat sama... Jadi ada juga mengambil punca kuasa dua! Itu sahaja. Tindakan ini ( punca kuasa dua) dalam matematik ditunjukkan oleh ikon ini:

Ikon itu sendiri dipanggil satu perkataan yang indah "radikal".

Bagaimana untuk mengekstrak akar? Ia lebih baik untuk melihat contoh.

Apakah punca kuasa dua bagi 9? Apakah nombor kuasa dua yang akan memberi kita 9? 3 kuasa dua memberi kita 9! Mereka:

Tetapi apakah punca kuasa dua sifar? Tiada masalah! Apakah nombor kuasa dua yang dibuat oleh sifar? Ya, ia memberikan sifar! Bermaksud:

faham, apakah punca kuasa dua? Kemudian kita pertimbangkan contoh:

Jawapan (berantakan): 6; 1; 4; 9; 5.

Memutuskan? Sungguh, betapa mudahnya itu?!

Tetapi... Apakah yang dilakukan oleh seseorang apabila dia melihat beberapa tugas dengan akar?

Seseorang mula berasa sedih... Dia tidak percaya pada kesederhanaan dan ringannya akarnya. Walaupun dia seperti tahu apakah punca kuasa dua...

Ini kerana orang itu mengabaikan beberapa perkara penting semasa mengkaji akarnya. Kemudian golongan ini membalas dendam dengan kejam terhadap ujian dan peperiksaan...

Titik satu. Anda perlu mengenali akar dengan penglihatan!

Apakah punca kuasa dua bagi 49? tujuh? Betul! Bagaimana anda tahu ia adalah tujuh? Kuadrat tujuh dan mendapat 49? Betul! Sila ambil perhatian bahawa ekstrak akar daripada 49 kami terpaksa melakukan operasi terbalik - persegi 7! Dan pastikan kita tidak ketinggalan. Atau mereka mungkin terlepas...

Inilah kesukarannya pengekstrakan akar. Segi empat Anda boleh menggunakan sebarang nombor tanpa sebarang masalah. Darab nombor dengan sendirinya dengan lajur - itu sahaja. Tetapi untuk pengekstrakan akar Tiada teknologi yang mudah dan selamat gagal. Kita terpaksa angkat jawab dan semak sama ada betul dengan menduakannya.

Proses kreatif yang kompleks ini - memilih jawapan - amat dipermudahkan jika anda ingat kuasa dua nombor popular. Seperti jadual pendaraban. Jika, katakan, anda perlu mendarab 4 dengan 6, anda tidak menambah empat 6 kali ganda, bukan? Jawapan 24 segera muncul. Walaupun, tidak semua orang faham, ya...

Untuk bekerja dengan bebas dan berjaya dengan akar, cukup untuk mengetahui kuasa dua nombor dari 1 hingga 20. Selain itu di sana Dan belakang. Itu. anda sepatutnya boleh membaca kedua-duanya dengan mudah, katakan, 11 kuasa dua dan punca kuasa dua 121. Untuk mencapai hafalan ini, terdapat dua cara. Yang pertama ialah mempelajari jadual segi empat sama. Ini akan menjadi bantuan besar dalam menyelesaikan contoh. Yang kedua ialah menyelesaikan lebih banyak contoh. Ini akan membantu anda mengingati jadual segi empat sama.

Dan tiada kalkulator! Untuk tujuan ujian sahaja. Jika tidak, anda akan melambatkan tanpa belas kasihan semasa peperiksaan...

Jadi, apakah punca kuasa dua Dan bagaimana ekstrak akar- Saya rasa ia jelas. Sekarang mari kita ketahui dari APA kita boleh mengeluarkannya.

Titik dua. Root, saya tidak kenal awak!

Apakah nombor yang boleh anda ambil punca kuasa dua? Ya, hampir mana-mana daripada mereka. Lebih mudah untuk memahami asal usulnya ia adalah dilarang ekstrak mereka.

Mari cuba kira akar ini:

Untuk melakukan ini, kita perlu memilih nombor yang kuasa dua akan memberi kita -4. Kami pilih.

Apa, ia tidak sesuai? 2 2 memberi +4. (-2) 2 memberi lagi +4! Itu sahaja... Tiada nombor yang, apabila diduakan, akan memberikan kita nombor negatif! Walaupun saya tahu nombor ini. Tetapi saya tidak akan memberitahu anda). Pergi ke kolej dan anda akan mengetahuinya sendiri.

Kisah yang sama akan berlaku dengan mana-mana nombor negatif. Maka kesimpulannya:

Ungkapan yang terdapat nombor negatif di bawah tanda punca kuasa dua - tidak masuk akal! Ini adalah operasi yang dilarang. Ia dilarang sama seperti membahagi dengan sifar. Ingat fakta ini dengan tegas! Atau dengan kata lain:

Punca kuasa dua daripada nombor negatif tidak boleh dikeluarkan!

Tetapi daripada semua yang lain, ia mungkin. Sebagai contoh, agak mungkin untuk mengira

Pada pandangan pertama, ini sangat sukar. Memilih pecahan dan menduakannya... Jangan risau. Apabila kita memahami sifat akar, contoh tersebut akan dikurangkan kepada jadual petak yang sama. Hidup akan menjadi lebih mudah!

Okey, pecahan. Tetapi kita masih menemui ungkapan seperti:

Tidak mengapa. Semuanya sama. Punca kuasa dua bagi dua ialah nombor yang, apabila kuasa dua, memberi kita dua. Hanya nombor ini tidak sekata sama sekali... Ini dia:

Apa yang menarik ialah pecahan ini tidak pernah berakhir... Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional. Dalam punca kuasa dua ini adalah perkara yang paling biasa. Dengan cara ini, inilah sebabnya ungkapan dengan akar dipanggil tidak rasional. Adalah jelas bahawa menulis pecahan tak terhingga sepanjang masa adalah menyusahkan. Oleh itu, bukannya pecahan tak terhingga, mereka meninggalkannya seperti ini:

Jika, semasa menyelesaikan contoh, anda mendapat sesuatu yang tidak boleh diekstrak, seperti:

maka kita biarkan begitu sahaja. Ini akan menjadi jawapannya.

Anda perlu memahami dengan jelas maksud ikon tersebut

Sudah tentu, jika punca nombor itu diambil licin, anda mesti melakukan ini. Jawapan kepada tugasan adalah dalam bentuk, sebagai contoh

Jawapan yang cukup lengkap.

Dan, tentu saja, anda perlu mengetahui nilai anggaran dari ingatan:

Pengetahuan ini sangat membantu untuk menilai situasi dalam tugas yang kompleks.

Titik tiga. Yang paling licik.

Kekeliruan utama dalam bekerja dengan akar disebabkan oleh titik ini. Dialah yang memberikan ketidakpastian kepada kekuatan sendiri... Mari kita tangani isu ini dengan betul!

Mula-mula, mari kita ambil punca kuasa dua empat daripadanya sekali lagi. Adakah saya sudah mengganggu anda dengan akar ini?) Tidak mengapa, sekarang ia akan menjadi menarik!

Apakah nombor kuasa dua? Nah, dua, dua - saya mendengar jawapan yang tidak berpuas hati...

Betul. dua. Tetapi juga tolak dua akan memberi 4 kuasa dua... Manakala jawapannya

betul dan jawapannya

kesilapan yang teruk. macam ni.

Jadi apa urusannya?

Sesungguhnya, (-2) 2 = 4. Dan di bawah takrif punca kuasa dua bagi empat tolak dua agak sesuai... Ini juga punca kuasa dua bagi empat.

Tetapi! Dalam kursus matematik sekolah, adalah kebiasaan untuk mempertimbangkan punca kuasa dua hanya nombor bukan negatif! Iaitu, sifar dan semuanya positif. Malah istilah khas dicipta: daripada nombor A- Ini bukan negatif nombor yang kuasa duanya A. Keputusan negatif apabila mengekstrak punca kuasa dua aritmetik dibuang begitu sahaja. Di sekolah, semuanya adalah punca kuasa dua - aritmetik. Walaupun ini tidak disebut secara khusus.

Okay, itu boleh difahami. Lebih baik jangan ambil pusing dengan keputusan negatif... Ini belum lagi kekeliruan.

Kekeliruan bermula apabila menyelesaikan persamaan kuadratik. Sebagai contoh, anda perlu menyelesaikan persamaan berikut.

Persamaannya mudah, kita tulis jawapannya (seperti yang diajar):

Jawapan ini (benar-benar betul, dengan cara ini) hanyalah versi singkatan dua jawapan:

Berhenti, berhenti! Di atas saya menulis bahawa punca kuasa dua ialah nombor Sentiasa bukan negatif! Dan inilah salah satu jawapannya - negatif! Gangguan. Ini adalah masalah pertama (tetapi bukan yang terakhir) yang menyebabkan ketidakpercayaan akar ... Jom selesaikan masalah ini. Mari tuliskan jawapan (hanya untuk pemahaman!) seperti ini:

Tanda kurung tidak mengubah intipati jawapan. Saya hanya memisahkannya dengan kurungan tanda-tanda daripada akar. Kini anda dapat melihat dengan jelas bahawa punca itu sendiri (dalam kurungan) masih merupakan nombor bukan negatif! Dan tanda-tandanya ialah hasil penyelesaian persamaan. Lagipun, apabila menyelesaikan sebarang persamaan kita mesti menulis Semua Xs itu, apabila digantikan ke dalam persamaan asal, akan memberikan hasil yang betul. Punca lima (positif!) dengan kedua-dua tambah dan tolak sesuai dengan persamaan kita.

macam ni. Jika awak ambil punca kuasa dua sahaja daripada apa-apa, awak Sentiasa anda mendapatkan satu bukan negatif hasil. Sebagai contoh:

Kerana ia - punca kuasa dua aritmetik.

Tetapi jika anda memutuskan sesuatu persamaan kuadratik, taip:

Itu Sentiasa Kesudahannya dua jawapan (dengan tambah dan tolak):

Kerana ini adalah penyelesaian kepada persamaan.

Harapan, apakah punca kuasa dua Anda telah mendapat mata anda dengan jelas. Sekarang tinggal untuk mengetahui apa yang boleh dilakukan dengan akar, apakah sifatnya. Dan apakah titik dan perangkap... maaf, batu!)

Semua ini ada dalam pelajaran berikut.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Bulatan menunjukkan cara anda boleh mengekstrak punca kuasa dua dalam lajur. Anda boleh mengira punca dengan ketepatan sewenang-wenangnya, mencari sebarang bilangan digit dalam tatatanda perpuluhannya, walaupun ia ternyata tidak rasional. Algoritma telah diingati, tetapi soalan kekal. Tidak jelas dari mana kaedah itu datang dan mengapa ia memberikan hasil yang betul. Ia tiada dalam buku, atau mungkin saya hanya mencari dalam buku yang salah. Akhirnya, seperti kebanyakan perkara yang saya tahu dan boleh lakukan hari ini, saya sendiri yang menciptanya. Saya berkongsi ilmu di sini. Dengan cara ini, saya masih tidak tahu di mana rasional untuk algoritma diberikan)))

Jadi, mula-mula saya memberitahu anda "bagaimana sistem berfungsi" dengan contoh, dan kemudian saya menerangkan sebab ia sebenarnya berfungsi.

Mari kita ambil nombor (nombor itu diambil "dari udara tipis", ia hanya terlintas di fikiran).

1. Kami membahagikan nombornya kepada pasangan: yang di sebelah kiri titik perpuluhan dikumpulkan dua dari kanan ke kiri, dan yang di sebelah kanan dikumpulkan dua dari kiri ke kanan. Kita mendapatkan.

2. Kami mengekstrak punca kuasa dua daripada kumpulan nombor pertama di sebelah kiri - dalam kes kami ini (jelas bahawa punca sebenar mungkin tidak diekstrak, kami mengambil nombor yang kuasa duanya sehampir mungkin dengan nombor kami yang dibentuk oleh kumpulan nombor pertama, tetapi tidak melebihinya). Dalam kes kami ini akan menjadi nombor. Kami menulis jawapan - ini adalah digit akar yang paling penting.

3. Kami kuasa dua nombor yang sudah ada dalam jawapan - ini - dan tolak daripada kumpulan nombor pertama di sebelah kiri - daripada nombor itu. Dalam kes kami ia kekal.

4. Kami menetapkan kumpulan dua nombor berikut di sebelah kanan: . Kita darabkan nombor yang sudah ada dalam jawapan dengan , dan kita dapat .

5. Sekarang perhatikan dengan teliti. Kita perlu menetapkan satu digit kepada nombor di sebelah kanan, dan mendarab nombor itu dengan, iaitu, dengan digit yang diperuntukkan yang sama. Hasilnya hendaklah sedekat mungkin dengan, tetapi sekali lagi tidak lebih daripada nombor ini. Dalam kes kami, ini akan menjadi nombor, kami menulisnya dalam jawapan di sebelah, di sebelah kanan. Ini ialah digit seterusnya dalam tatatanda perpuluhan punca kuasa dua kita.

6. Daripada tolak produk, kita dapat.

7. Seterusnya, kami mengulangi operasi biasa: kami tetapkan kumpulan digit berikut ke kanan, darab dengan , kepada nombor yang terhasil > kami tetapkan satu digit ke kanan, supaya apabila didarab dengannya kami mendapat nombor yang lebih kecil daripada , tetapi paling hampir kepadanya - ini ialah digit seterusnya dalam tatatanda punca perpuluhan.

Pengiraan akan ditulis seperti berikut:

Dan sekarang penjelasan yang dijanjikan. Algoritma adalah berdasarkan formula

Ulasan: 50

1. 2 Anton:

   Terlalu kelam kabut dan mengelirukan. Susun semua titik demi titik dan nomborkannya. Tambahan: terangkan di mana kita menggantikan nilai yang diperlukan dalam setiap tindakan. Saya tidak pernah mengira akar akar sebelum ini; Saya mempunyai masa yang sukar untuk memikirkannya.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Yulia, 23 tahun masa ini ditulis di sebelah kanan, ini adalah dua yang pertama (di sebelah kiri) yang telah memperoleh digit punca dalam jawapan. Darab dengan 2 mengikut algoritma. Kami mengulangi langkah yang diterangkan dalam perkara 4.

4. 7 zzz:

   ralat dalam “6. Daripada 167 kita tolak hasil darab 43 * 3 = 123 (129 nada), kita dapat 38.”
   Saya tidak faham bagaimana ia menjadi 08 selepas titik perpuluhan...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Dan walaupun dalam era pra-kalkulator, kami diajar di sekolah bukan sahaja untuk mengekstrak punca kuasa dua, tetapi juga punca kubus dalam lajur, tetapi ini lebih membosankan dan kerja bersusah payah. Lebih mudah menggunakan jadual Bradis atau peraturan slaid, yang telah kami pelajari di sekolah menengah.

6. 10 :

   Alexander, anda betul, anda boleh mengekstrak akar kuasa besar ke dalam lajur. Saya akan menulis tentang cara mencari punca kubus.

7. 12 Sergei Valentinovich:

   Elizaveta Alexandrovna yang dihormati! Pada penghujung 70-an, saya telah membangunkan satu skim untuk pengiraan quadra automatik (iaitu, bukan dengan pemilihan). root pada mesin penambahan Felix. Jika anda berminat, saya boleh menghantar penerangan kepada anda.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Mengekstrak punca kuasa dua lajur)))
   Algoritma dipermudahkan jika anda menggunakan sistem nombor ke-2, yang dipelajari dalam sains komputer, tetapi juga berguna dalam matematik. A.N. Kolmogorov membentangkan algoritma ini dalam kuliah popular untuk pelajar sekolah. Artikelnya boleh didapati dalam "Koleksi Chebyshev" (Jurnal Matematik, cari pautan kepadanya di Internet)
   Dengan cara ini, katakan:
   G. Leibniz pada satu ketika bermain-main dengan idea untuk beralih daripada sistem nombor ke-10 kepada sistem binari kerana kesederhanaan dan kebolehcapaiannya untuk pemula ( budak sekolah rendah). Tetapi melanggar tradisi yang telah ditetapkan adalah seperti memecahkan pintu kubu dengan dahi anda: ia mungkin, tetapi ia tidak berguna. Jadi ternyata mengikut yang paling banyak disebut dalam masa dahulu kepada ahli falsafah berjanggut: tradisi semua generasi yang mati menindas kesedaran orang yang hidup.

   Sehingga lain kali.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, ya, saya berminat...((

   Saya yakin bahawa ini adalah variasi pada "Felix" kaedah Babylon untuk mengekstrak ksatria persegi menggunakan kaedah anggaran berturut-turut. Algoritma ini diliputi oleh kaedah Newton (kaedah tangen)

   Saya tertanya-tanya adakah saya salah dalam ramalan saya?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Ya, algoritma dalam binari harus lebih mudah, itu cukup jelas.

    Mengenai kaedah Newton. Mungkin itu benar, tetapi ia masih menarik

11. 20 Kirill:

    Terima kasih banyak-banyak. Tetapi masih tiada algoritma, tiada siapa yang tahu dari mana asalnya, tetapi hasilnya betul. TERIMA KASIH BANYAK-BANYAK! Saya telah mencari ini untuk masa yang lama)

12. 21 Alexander:

    Bagaimanakah anda akan mengekstrak akar daripada nombor di mana kumpulan kedua dari kiri ke kanan adalah sangat kecil? sebagai contoh, nombor kegemaran semua orang ialah 4,398,046,511,104. Selepas penolakan pertama, tidak mungkin untuk meneruskan semuanya mengikut algoritma. Boleh tolong jelaskan.

13. 22 Alexey:

    Ya, saya tahu kaedah ini. Saya masih ingat membacanya dalam buku "Algebra" beberapa edisi lama. Kemudian, dengan analogi, dia sendiri menyimpulkan cara mengekstrak akar kubus dalam lajur. Tetapi di sana ia sudah lebih rumit: setiap digit ditentukan bukan oleh satu (seperti untuk segi empat sama), tetapi dengan dua penolakan, dan walaupun di sana anda perlu mendarab nombor panjang setiap kali.

14. 23 Artem:

    Terdapat kesilapan kesilapan dalam contoh mengekstrak punca kuasa dua 56789.321. Kumpulan nombor 32 diberikan dua kali kepada nombor 145 dan 243, dalam nombor 2388025 8 kedua mesti digantikan dengan 3. Kemudian penolakan terakhir hendaklah ditulis seperti berikut: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Selain itu, apabila membahagikan baki dengan nilai dua kali ganda jawapan (tanpa mengambil kira koma), kami memperoleh nombor tambahan digit bererti (47975/(2*238305) = 0.100658819...), yang perlu ditambah kepada jawapannya (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 Sergey:

    Rupa-rupanya algoritma itu datang dari buku Isaac Newton "Aritmetik Umum atau buku tentang sintesis dan analisis aritmetik." Berikut adalah petikan daripadanya:

    TENTANG MENGEKSTRAK AKAR

    Untuk mengekstrak punca kuasa dua nombor, anda mesti meletakkan titik di atas digitnya, bermula dari yang. Kemudian anda harus menulis dalam hasil bagi atau radikal nombor yang kuasa duanya sama dengan atau paling hampir dengan kelemahan kepada nombor atau nombor sebelum titik pertama. Selepas menolak kuasa dua ini, baki digit akar akan dijumpai secara berurutan dengan membahagikan baki dengan dua kali ganda nilai bahagian akar yang telah diekstrak dan menolak setiap kali daripada baki kuasa dua digit terakhir dijumpai dan hasil darab sepuluh kali ganda dengan pembahagi bernama.

16. 25 Sergey:

    Sila betulkan juga tajuk buku "Aritmetik Am atau buku tentang sintesis dan analisis aritmetik"

17. 26 Alexander:

    terima kasih kerana bahan yang menarik. Tetapi kaedah ini nampaknya saya agak rumit daripada apa yang diperlukan, sebagai contoh, untuk anak sekolah. Saya menggunakan kaedah yang lebih mudah berdasarkan mengembangkan fungsi kuadratik menggunakan dua derivatif pertama. Formulanya ialah:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, di mana
    A1 ialah integer yang kuasa duanya paling hampir dengan x;
    A2 ialah pecahan, pengangkanya ialah x-A1, penyebutnya ialah 2*A1.
    Untuk kebanyakan nombor yang ditemui dalam kursus sekolah, ini sudah cukup untuk mendapatkan keputusan tepat kepada keseratus.
    Jika anda memerlukan hasil yang lebih tepat, ambil
    A3 ialah pecahan, pengangkanya ialah A2 kuasa dua, penyebutnya ialah 2*A1+1.
    Sudah tentu, untuk menggunakannya anda memerlukan jadual segi empat sama integer, tetapi ini bukan masalah di sekolah. Mengingat formula ini agak mudah.
    Walau bagaimanapun, ia mengelirukan saya bahawa saya memperoleh A3 secara empirik hasil daripada percubaan dengan hamparan dan saya tidak begitu faham mengapa ahli ini mempunyai penampilan ini. Mungkin anda boleh memberi saya nasihat?

18. 27 Alexander:

    Ya, saya telah mempertimbangkan pertimbangan ini juga, tetapi syaitan ada dalam butirannya. Anda menulis:
    “memandangkan a2 dan b berbeza agak sedikit.” Persoalannya ialah betapa sedikitnya.
    Formula ini berfungsi dengan baik pada nombor dalam sepuluh kedua dan lebih teruk (tidak sehingga perseratus, hanya sehingga persepuluh) pada nombor dalam sepuluh pertama. Mengapa ini berlaku sukar difahami tanpa menggunakan derivatif.

19. 28 Alexander:

    Saya akan menjelaskan apa yang saya lihat sebagai kelebihan formula yang saya cadangkan. Ia tidak memerlukan pembahagian nombor yang tidak sepenuhnya semula jadi kepada pasangan digit, yang, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, sering dilakukan dengan ralat. Maksudnya jelas, tetapi bagi orang yang biasa dengan analisis, ia adalah remeh. Berfungsi dengan baik pada nombor dari 100 hingga 1000, yang merupakan nombor yang paling biasa ditemui di sekolah.

20. 29 Alexander:

    Dengan cara ini, saya melakukan beberapa penggalian dan menemui ungkapan yang tepat untuk A3 dalam formula saya:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Pada zaman kita, dengan penggunaan teknologi komputer yang meluas, persoalan mengekstrak ksatria persegi dari nombor tidak berbaloi dari sudut pandangan praktikal. Tetapi bagi pencinta matematik, mereka sudah pasti diminati pelbagai pilihan penyelesaian kepada masalah ini. DALAM kurikulum sekolah kaedah pengiraan ini tanpa penglibatan dana tambahan hendaklah berlaku setanding dengan pendaraban dan pembahagian ke dalam lajur. Algoritma pengiraan bukan sahaja mesti dihafal, tetapi juga boleh difahami. Kaedah klasik, yang disediakan dalam bahan ini untuk perbincangan dengan pendedahan intipati, mematuhi sepenuhnya kriteria di atas.
    Kelemahan ketara kaedah yang dicadangkan oleh Alexander ialah penggunaan jadual segi empat sama integer. Penulis diam tentang majoriti nombor yang ditemui dalam kursus sekolah. Bagi formula, secara amnya saya suka kerana ketepatan pengiraan yang agak tinggi.

22. 31 Alexander:

    untuk 30 vasil stryzhak
    Saya tidak mendiamkan apa-apa. Jadual segi empat sama sepatutnya sehingga 1000. Pada masa saya di sekolah, mereka hanya mempelajarinya dengan hati dan ia ada dalam semua buku teks matematik. Saya secara eksplisit menamakan selang ini.
    Bagi teknologi komputer, ia tidak digunakan terutamanya dalam pelajaran matematik, melainkan topik penggunaan kalkulator dibincangkan secara khusus. Kalkulator kini terbina dalam peranti yang dilarang untuk digunakan pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, terima kasih atas penjelasan! Saya fikir bahawa untuk kaedah yang dicadangkan secara teorinya perlu untuk mengingati atau menggunakan jadual petak bagi semua nombor dua digit. Kemudian untuk nombor radikal yang tidak termasuk dalam selang dari 100 hingga 10000, anda boleh gunakan teknik menambah atau mengurangkannya mengikut bilangan tertib magnitud yang diperlukan dengan menggerakkan titik perpuluhan.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDER:

    PROGRAM PERTAMA SAYA DALAM BAHASA IAMB PADA MESIN SOVIET “ISKRA 555″ TELAH DITULIS UNTUK MENGEKSTRAKAN AKAR KUASA SATU NOMBOR MENGGUNAKAN ALGORITMA PENGEKSTRAAN LAjur! dan sekarang saya terlupa cara mengekstraknya secara manual!

Bab pertama.

Mencari punca kuasa dua integer terbesar daripada integer tertentu.

170. Ucapan awal.

A) Memandangkan kita akan bercakap tentang mengekstrak hanya punca kuasa dua, untuk memendekkan ucapan dalam bab ini, bukannya akar "kuasa dua" kita hanya akan mengatakan "akar".

b) Jika kita kuasa duakan nombor siri semula jadi: 1,2,3,4,5. . . , maka kita mendapat jadual segi empat sama berikut: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Jelas sekali, terdapat banyak integer yang tiada dalam jadual ini; Sudah tentu, adalah mustahil untuk mengekstrak keseluruhan akar daripada nombor tersebut. Oleh itu, jika anda perlu mengekstrak punca sebarang integer, sebagai contoh. diperlukan untuk mencari √4082, maka kami bersetuju untuk memahami keperluan ini seperti berikut: ekstrak keseluruhan punca 4082, jika boleh; jika tidak mungkin, maka kita mesti mencari integer terbesar yang kuasa duanya ialah 4082 (nombor sedemikian ialah 63, kerana 63 2 = 3969, dan 64 2 = 4090).

V) Jika nombor ini kurang daripada 100, maka puncanya didapati menggunakan jadual pendaraban; Oleh itu, √60 akan menjadi 7, kerana tujuh 7 sama dengan 49, iaitu kurang daripada 60, dan lapan 8 sama dengan 64, yang lebih besar daripada 60.

171. Mengeluarkan punca nombor kurang daripada 10,000 tetapi lebih daripada 100. Katakan kita perlu mencari √4082. Oleh kerana nombor ini kurang daripada 10,000, puncanya adalah kurang daripada √l0,000 = 100. Sebaliknya, nombor ini lebih besar daripada 100; ini bermakna akarnya lebih besar daripada (atau sama dengan 10). (Jika, sebagai contoh, adalah perlu untuk mencari √ 120 , maka walaupun nombor 120 > 100, namun √ 120 bersamaan dengan 10, kerana 11 2 = 121.) Tetapi setiap nombor yang lebih besar daripada 10 tetapi kurang daripada 100 mempunyai 2 digit; Ini bermakna akar yang diperlukan ialah jumlah:

puluhan + satu,

dan oleh itu kuasa duanya mestilah sama dengan jumlah:

Jumlah ini mestilah kuasa dua terbesar bagi 4082.

Mari kita ambil yang terbesar daripada mereka, 36, dan andaikan bahawa kuasa dua punca puluh akan sama dengan tepat kuasa dua terbesar ini. Maka bilangan puluh dalam punca mestilah 6. Sekarang mari kita semak bahawa ini sepatutnya sentiasa berlaku, iaitu, bilangan puluh dalam punca sentiasa sama dengan punca integer terbesar bagi bilangan ratusan radikal.

Malah, dalam contoh kita, bilangan puluh punca tidak boleh lebih daripada 6, sejak (7 dec.) 2 = 49 ratus, yang melebihi 4082. Tetapi ia tidak boleh kurang daripada 6, sejak 5 dec. (dengan unit) adalah kurang daripada 6 des., dan sementara itu (6 des.) 2 = 36 ratus, iaitu kurang daripada 4082. Dan kerana kita sedang mencari punca keseluruhan terbesar, kita tidak sepatutnya mengambil 5 des untuk punca, apabila 6 puluh pun tidak banyak.

Jadi, kami telah menemui bilangan puluh punca, iaitu 6. Kami menulis nombor ini di sebelah kanan tanda =, mengingati bahawa ia bermakna puluhan punca. Menaikkannya dengan segi empat sama, kita mendapat 36 ratus. Kita tolak 36 ratus ini daripada 40 ratus nombor radikal dan tolak baki dua digit nombor ini. Baki 482 mesti mengandungi 2 (6 dec.) (unit) + (unit)2. Hasil (6 dec.) (unit) mestilah puluhan; oleh itu, hasil darab berganda puluh dengan satu mesti dicari dalam puluh baki, iaitu, dalam 48 (kita mendapat nombornya dengan memisahkan satu digit di sebelah kanan dalam baki 48 "2). Puluh berganda punca membentuk 12. Ini bermakna jika kita mendarab 12 dengan unit punca (yang masih tidak diketahui), maka kita harus mendapatkan nombor yang terkandung dalam 48. Oleh itu, kita bahagikan 48 dengan 12.

Untuk melakukan ini, lukis garis menegak ke kiri baki dan di belakangnya (melangkah ke belakang dari garis satu tempat ke kiri untuk tujuan yang kini akan muncul) kita tulis dua kali ganda digit pertama akar, iaitu 12, dan bahagikan 48 dengannya. Dalam hasil bahagi kita mendapat 4.

Walau bagaimanapun, kami tidak boleh menjamin terlebih dahulu bahawa nombor 4 boleh diambil sebagai unit akar, kerana kami kini telah membahagikan keseluruhan bilangan puluhan baki dengan 12, sementara sebahagian daripadanya mungkin bukan milik dua kali ganda produk puluh dengan unit, dan merupakan sebahagian daripada kuasa dua unit. Oleh itu, nombor 4 mungkin besar. Kita perlu mencubanya. Ia jelas sesuai jika jumlah 2 (6 dec.) 4 + 4 2 adalah tidak lebih daripada baki 482.

Akibatnya, kami mendapat jumlah kedua-duanya sekali gus. Produk yang terhasil ternyata 496, yang lebih besar daripada baki 482; Maknanya nombor 4 besar. Kemudian mari kita uji nombor 3 yang lebih kecil seterusnya dengan cara yang sama.

Contoh.

Dalam contoh 4, apabila membahagikan 47 puluh baki dengan 4, kita mendapat 11 sebagai hasil bahagi. Tetapi kerana bilangan unit punca tidak boleh menjadi nombor dua digit 11 atau 10, kita mesti menguji nombor 9 secara langsung.

Dalam contoh 5, selepas menolak 8 daripada muka pertama segi empat sama, bakinya menjadi 0, dan muka seterusnya juga terdiri daripada sifar. Ini menunjukkan bahawa punca yang dikehendaki hanya terdiri daripada 8 puluh, dan oleh itu sifar mesti diletakkan di tempat yang.

172. Mengeluarkan punca nombor yang lebih besar daripada 10000. Katakan kita perlu mencari √35782. Oleh kerana nombor radikal melebihi 10,000, puncanya lebih besar daripada √10000 = 100 dan, oleh itu, ia terdiri daripada 3 digit atau lebih. Tidak kira berapa banyak digit yang mengandunginya, kita sentiasa boleh menganggapnya sebagai hasil tambah sepuluh dan satu sahaja. Jika, sebagai contoh, akarnya menjadi 482, maka kita boleh mengiranya sebagai jumlah 48 des. + 2 unit Kemudian kuasa dua akar akan terdiri daripada 3 sebutan:

(dis.) 2 + 2 (dis.) (unit) + (unit) 2 .

Sekarang kita boleh membuat alasan dengan cara yang sama seperti ketika mencari √4082 (dalam perenggan sebelumnya). Satu-satunya perbezaan ialah untuk mencari puluh daripada punca 4082 kita perlu mengekstrak punca 40, dan ini boleh dilakukan menggunakan jadual pendaraban; sekarang, untuk mendapatkan puluh√35782, kita perlu mengambil punca 357, yang tidak boleh dilakukan menggunakan jadual pendaraban. Tetapi kita boleh mencari √357 menggunakan teknik yang diterangkan dalam perenggan sebelumnya, kerana nombor 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Seterusnya, kami meneruskan seperti yang kami lakukan apabila mencari √4082, iaitu: di sebelah kiri baki 3382 kami melukis garis menegak dan di belakangnya kami menulis (mengundur satu ruang dari garisan) dua kali ganda bilangan puluh punca yang ditemui, iaitu 36 (dua kali 18). Dalam baki, kami memisahkan satu digit di sebelah kanan dan membahagikan bilangan puluh baki, iaitu 338, dengan 36. Dalam hasil bagi kami mendapat 9. Kami menguji nombor ini, yang mana kami menetapkannya kepada 36 di sebelah kanan dan darab dengannya. Produk itu ternyata 3321, yang kurang daripada yang selebihnya. Ini bermakna nombor 9 itu sesuai, kita tulis pada akarnya.

Secara umum, untuk mengekstrak punca kuasa dua mana-mana integer, anda mesti terlebih dahulu mengekstrak punca ratusannya; jika nombor ini lebih daripada 100, maka anda perlu mencari punca bilangan ratusan daripada ratusan ini, iaitu, daripada puluhan ribu nombor ini; jika nombor ini lebih daripada 100, anda perlu mengambil punca daripada bilangan ratusan puluh ribu, iaitu, daripada berjuta-juta nombor tertentu, dsb.

Contoh.

Dalam contoh terakhir, setelah menjumpai digit pertama dan menolak kuasa duanya, kita mendapat baki 0. Kita tolak 2 digit seterusnya 51. Mengasingkan sepuluh, kita mendapat 5 des, manakala digit berganda yang ditemui punca ialah 6. Ini bermakna daripada membahagikan 5 dengan 6 kita mendapat 0 Kami meletakkan 0 di tempat kedua di akar dan menambah 2 digit seterusnya kepada baki; kita dapat 5110. Kemudian kita teruskan seperti biasa.

Dalam contoh ini, punca yang diperlukan hanya terdiri daripada 9 ratus, dan oleh itu sifar mesti diletakkan di tempat puluhan dan di tempat satu.

peraturan. Untuk mengekstrak punca kuasa dua integer tertentu, bahagikan daripada tangan kanan ke kiri, di tepi, 2 digit setiap satu, kecuali yang terakhir, yang mungkin mengandungi satu digit.
Untuk mencari digit pertama punca, ambil punca kuasa dua muka pertama.
Untuk mencari digit kedua, kuasa dua digit pertama punca ditolak daripada muka pertama, muka kedua dibawa ke baki, dan bilangan puluh nombor yang terhasil dibahagikan dengan dua kali digit pertama punca. ; integer yang terhasil diuji.
Ujian ini dijalankan seperti ini: di belakang garis menegak (di sebelah kiri baki) tulis dua kali nombor punca yang ditemui sebelumnya dan padanya, dengan sebelah kanan, digit yang diuji diberikan, nombor yang terhasil didarab dengan digit yang diuji selepas penambahan ini. Jika selepas pendaraban hasilnya adalah nombor yang lebih besar daripada baki, maka digit yang diuji tidak sesuai dan digit seterusnya yang lebih kecil mesti diuji.
Digit akar seterusnya didapati menggunakan teknik yang sama.
Jika, selepas mengeluarkan muka, bilangan puluhan nombor yang terhasil ternyata kurang daripada pembahagi, iaitu kurang daripada dua kali bahagian akar yang ditemui, maka mereka meletakkan 0 pada akar, keluarkan muka seterusnya dan teruskan tindakan selanjutnya.

173. Bilangan digit punca. Daripada pertimbangan proses mencari punca, ia berikutan bahawa terdapat banyak digit dalam akar kerana terdapat muka 2 digit setiap satu dalam nombor radikal (muka kiri mungkin mempunyai satu digit).

Bab dua.

Mengeluarkan kepercayaan punca kuasa dua daripada nombor bulat dan pecahan .

Untuk mengekstrak punca kuasa dua polinomial, lihat penambahan pada bahagian ke-2 § 399 et seq.

174. Tanda-tanda punca kuasa dua tepat. Punca kuasa dua tepat nombor tertentu ialah nombor yang kuasa duanya betul-betul sama dengan nombor yang diberikan. Mari kita nyatakan beberapa tanda yang membolehkan seseorang menilai sama ada punca tepat boleh diekstrak daripada nombor tertentu atau tidak:

A) Jika punca keseluruhan tepat tidak diekstrak daripada integer tertentu (selebihnya diperoleh semasa mengekstrak), maka punca tepat pecahan tidak boleh ditemui daripada nombor sedemikian, kerana mana-mana pecahan yang tidak sama dengan nombor bulat, apabila didarab dengan sendiri , juga menghasilkan pecahan dalam produk, bukan integer.

b) Oleh kerana punca pecahan adalah sama dengan punca pengangka dibahagikan dengan punca penyebutnya, punca tepat pecahan tidak dapat dikurangkan tidak boleh ditemui jika ia tidak boleh diekstrak daripada pengangka atau penyebut. Sebagai contoh, punca yang tepat tidak boleh diekstrak daripada pecahan 4/5, 8/9 dan 11/15, kerana dalam pecahan pertama ia tidak boleh diekstrak daripada penyebut, dalam kedua - dari pengangka, dan dalam pecahan ketiga - bukan dari pengangka mahupun dari penyebut.

Daripada nombor yang punca sebenar tidak boleh diekstrak, hanya akar anggaran boleh diekstrak.

175. Anggaran punca tepat kepada 1. Punca kuasa dua anggaran, tepat hingga dalam 1, bagi nombor tertentu (integer atau pecahan, tidak penting) ialah integer yang memenuhi dua keperluan berikut:

1) kuasa dua nombor ini tidak lebih besar daripada nombor yang diberikan; 2) tetapi kuasa dua nombor ini meningkat sebanyak 1 adalah lebih besar daripada nombor ini. Dalam erti kata lain, anggaran punca kuasa dua tepat kepada 1 ialah punca kuasa dua integer terbesar bagi nombor tertentu, iaitu punca yang kita pelajari untuk mencari dalam bab sebelumnya. Punca ini dipanggil anggaran dengan ketepatan 1, kerana untuk mendapatkan punca tepat, kita perlu menambah beberapa pecahan kurang daripada 1 kepada punca anggaran ini, jadi jika bukannya punca tepat yang tidak diketahui kita mengambil anggaran ini, kita akan membuat ralat kurang daripada 1.

peraturan. Untuk mengekstrak punca kuasa dua anggaran tepat hingga dalam 1, anda perlu mengekstrak punca integer terbesar bahagian integer nombor yang diberikan.

Nombor yang ditemui oleh peraturan ini ialah punca anggaran dengan kelemahan , kerana ia tidak mempunyai punca tepat bagi pecahan tertentu (kurang daripada 1). Jika kita menambah punca ini sebanyak 1, kita mendapat nombor lain di mana terdapat lebihan di atas punca tepat, dan lebihan ini kurang daripada 1. Pukar ini meningkat sebanyak 1 juga boleh dipanggil punca anggaran dengan ketepatan 1, tetapi dengan lebihan. (Nama: "dengan kekurangan" atau "dengan lebihan" dalam beberapa buku matematik digantikan dengan yang setara: "dengan kekurangan" atau "dengan lebihan.")

176. Anggaran punca dengan ketepatan 1/10. Katakan kita perlu mencari √2.35104 dengan ketepatan 1/10. Ini bermakna anda perlu mencari pecahan perpuluhan yang akan terdiri daripada keseluruhan unit dan persepuluh dan yang akan memenuhi dua keperluan berikut:

1) kuasa dua pecahan ini tidak melebihi 2.35104, tetapi 2) jika kita menambahnya sebanyak 1/10, maka kuasa dua pecahan meningkat ini melebihi 2.35104.

Untuk mencari pecahan sedemikian, kita mula-mula mencari punca anggaran tepat kepada 1, iaitu, kita mengekstrak punca hanya daripada integer 2. Kita mendapat 1 (dan selebihnya ialah 1). Kami menulis nombor 1 di akar dan meletakkan koma selepasnya. Sekarang kita akan mencari bilangan persepuluh. Untuk melakukan ini, kami menurunkan kepada baki 1 digit 35 di sebelah kanan titik perpuluhan, dan meneruskan pengekstrakan seolah-olah kami mengekstrak punca integer 235. Kami menulis nombor 5 yang terhasil dalam punca di tempat persepuluh . Kami tidak memerlukan baki digit nombor radikal (104). Bahawa nombor 1.5 yang terhasil sebenarnya akan menjadi punca anggaran dengan ketepatan 1/10 boleh dilihat dari yang berikut. Jika kita mencari punca integer terbesar 235 dengan ketepatan 1, kita akan mendapat 15. Jadi:

15 2 < 235, tetapi 16 2 >235.

Membahagikan semua nombor ini dengan 100, kita mendapat:

Ini bermakna nombor 1.5 ialah pecahan perpuluhan yang kami panggil punca anggaran dengan ketepatan 1/10.

Menggunakan teknik ini, kita juga boleh mencari punca anggaran berikut dengan ketepatan 0.1:

177. Anggaran punca kuasa dua hingga dalam 1/100 hingga 1/1000, dsb.

Katakan kita perlu mencari anggaran √248 dengan ketepatan 1/100. Ini bermakna: cari pecahan perpuluhan yang akan terdiri daripada bahagian keseluruhan, persepuluh dan perseratus dan yang akan memenuhi dua keperluan:

1) kuasa duanya tidak melebihi 248, tetapi 2) jika kita menambah pecahan ini sebanyak 1/100, maka kuasa dua pecahan meningkat ini melebihi 248.

Kita akan mencari pecahan sedemikian dalam urutan berikut: pertama kita akan mencari nombor bulat, kemudian angka persepuluh, kemudian angka perseratus. Punca bagi integer ialah 15 integer. Untuk mendapatkan angka persepuluh, seperti yang telah kita lihat, anda perlu menambah baki 23 2 digit lagi di sebelah kanan titik perpuluhan. Dalam contoh kami, nombor ini tidak hadir sama sekali; kami meletakkan sifar di tempatnya. Dengan menambahkannya kepada baki dan meneruskan seolah-olah kita mencari punca integer 24,800, kita akan mencari angka persepuluhan 7. Ia kekal untuk mencari angka perseratus. Untuk melakukan ini, kami menambah 2 lagi sifar kepada baki 151 dan meneruskan pengekstrakan, seolah-olah kami mencari punca integer 2,480,000. Kami mendapat 15.74. Bahawa nombor ini benar-benar punca anggaran 248 dengan ketepatan 1/100 boleh dilihat daripada yang berikut. Jika kita mencari punca kuasa dua integer terbesar bagi integer 2,480,000, kita akan mendapat 1574; Bermaksud:

1574 2 < 2,480,000, tetapi 1575 2 > 2,480,000.

Membahagikan semua nombor dengan 10,000 (= 100 2), kita dapat:

Ini bermakna 15.74 ialah pecahan perpuluhan yang kami panggil punca anggaran dengan ketepatan 1/100 daripada 248.

Menggunakan teknik ini untuk mencari punca anggaran dengan ketepatan 1/1000 hingga 1/10000, dsb., kita dapati perkara berikut.

peraturan. Untuk mengekstrak daripada ini nombor bulat atau daripada pecahan perpuluhan tertentu punca anggaran dengan ketepatan 1/10 hingga 1/100 hingga 1/100, dsb., mula-mula cari punca anggaran dengan ketepatan 1, mengekstrak punca daripada integer (jika tidak di sana, tulis tentang akar 0 keseluruhan).

Kemudian mereka mencari bilangan persepuluh. Untuk melakukan ini, tambahkan pada baki 2 digit nombor radikal di sebelah kanan titik perpuluhan (jika tiada, tambah dua sifar pada bakinya), dan teruskan pengekstrakan seperti yang dilakukan semasa mengekstrak punca integer. . Nombor yang terhasil ditulis pada akar di tempat persepuluh.

Kemudian cari nombor perseratus. Untuk melakukan ini, dua nombor di sebelah kanan nombor yang baru dialih keluar ditambah pada bakinya, dsb.

Oleh itu, apabila mengekstrak punca integer dengan pecahan perpuluhan, adalah perlu untuk membahagikan kepada muka 2 digit setiap satu, bermula dari titik perpuluhan, kedua-duanya ke kiri (dalam bahagian integer nombor) dan ke kanan (dalam bahagian pecahan).

Contoh.

1) Cari sehingga 1/100 punca: a) √2; b) √0.3;

Dalam contoh terakhir, kami menukar pecahan 3/7 kepada perpuluhan dengan mengira 8 tempat perpuluhan untuk membentuk 4 muka yang diperlukan untuk mencari 4 tempat perpuluhan punca.

178. Penerangan tentang jadual punca kuasa dua. Di penghujung buku ini terdapat jadual punca kuasa dua yang dikira dengan empat digit. Menggunakan jadual ini, anda boleh mencari punca kuasa dua nombor bulat (atau pecahan perpuluhan) dengan cepat yang dinyatakan dalam tidak lebih daripada empat digit. Sebelum menerangkan cara jadual ini distrukturkan, kami ambil perhatian bahawa kami sentiasa boleh mencari digit bererti pertama bagi punca yang diingini tanpa bantuan jadual dengan hanya melihat nombor radikal; kita juga boleh dengan mudah menentukan tempat perpuluhan mana digit pertama punca bermakna dan, oleh itu, di mana dalam akar, apabila kita menemui digitnya, kita mesti meletakkan koma. Berikut adalah beberapa contoh:

1) √5"27,3 . Digit pertama ialah 2, kerana sebelah kiri nombor radikal ialah 5; dan punca 5 adalah bersamaan dengan 2. Di samping itu, kerana di bahagian integer radikal hanya terdapat 2 muka, maka di bahagian integer akar yang dikehendaki mesti ada 2 digit dan, oleh itu, digit pertamanya 2 mesti bermakna puluhan.

2) √9.041. Jelas sekali, dalam akar ini digit pertama akan menjadi 3 unit perdana.

3) √0.00"83"4. Digit bererti pertama ialah 9, kerana muka dari mana punca perlu diambil untuk mendapatkan digit bererti pertama ialah 83, dan punca 83 ialah 9. Oleh kerana nombor yang diperlukan tidak akan mengandungi sama ada nombor bulat atau persepuluh, digit pertama 9 mesti bermakna perseratus.

4) √0.73"85. Angka bererti pertama ialah 8 persepuluh.

5) √0.00"00"35"7. Angka bererti pertama ialah 5 perseribu.

Mari kita buat satu teguran lagi. Mari kita anggap bahawa kita perlu mengekstrak punca nombor yang, selepas membuang perkataan yang diduduki di dalamnya, diwakili oleh satu siri nombor seperti ini: 5681. Punca ini boleh menjadi salah satu daripada yang berikut:

Jika kita mengambil akar yang kita gariskan dengan satu baris, maka semuanya akan dinyatakan oleh siri nombor yang sama, tepatnya nombor yang diperolehi semasa mengekstrak akar dari 5681 (ini akan menjadi nombor 7, 5, 3, 7 ). Sebabnya ialah muka yang perlu dibahagikan nombor radikal apabila mencari digit punca akan sama dalam semua contoh ini, oleh itu digit untuk setiap punca adalah sama (hanya kedudukan perpuluhan titik akan, tentu saja, berbeza). Dengan cara yang sama, dalam semua akar yang digariskan oleh kita dengan dua baris, kita harus mendapatkan nombor yang sama, tepatnya yang √568.1 dinyatakan (nombor ini akan menjadi 2, 3, 8, 3), dan atas sebab yang sama. Oleh itu, digit punca nombor yang diwakili (dengan menjatuhkan koma) dengan baris nombor yang sama 5681 akan terdiri daripada dua (dan hanya dua) jenis: sama ada ini adalah baris 7, 5, 3, 7, atau baris 2, 3, 8, 3. Perkara yang sama, jelas, boleh dikatakan tentang mana-mana siri nombor lain. Oleh itu, seperti yang akan kita lihat sekarang, dalam jadual, setiap baris digit nombor radikal sepadan dengan 2 baris digit untuk akar.

Sekarang kita boleh menerangkan struktur jadual dan cara menggunakannya. Untuk penjelasan yang lebih jelas, kami telah menunjukkan permulaan halaman pertama jadual di sini.

Jadual ini terletak pada beberapa halaman. Pada setiap daripada mereka, dalam lajur pertama di sebelah kiri, nombor 10, 11, 12... (sehingga 99) diletakkan. Nombor ini menyatakan 2 digit pertama nombor dari mana punca kuasa dua dicari. Di garisan mendatar atas (serta di bahagian bawah) ialah nombor: 0, 1, 2, 3... 9, mewakili digit ke-3 nombor ini, dan kemudian di sebelah kanan ialah nombor 1, 2, 3. . . 9, mewakili digit ke-4 nombor ini. Semua garis mendatar lain mengandungi 2 nombor empat digit yang menyatakan punca kuasa dua nombor yang sepadan.

Katakan anda perlu mencari punca kuasa dua bagi beberapa nombor, integer atau dinyatakan perpuluhan. Pertama sekali, kita dapati, tanpa bantuan jadual, digit pertama akar dan digitnya. Kemudian kami akan membuang koma dalam nombor ini, jika ada. Mari kita anggap dahulu bahawa selepas membuang koma, hanya 3 digit akan kekal, sebagai contoh. 114. Kami dapati dalam jadual di lajur paling kiri 2 digit pertama, iaitu 11, dan bergerak daripadanya ke kanan di sepanjang garis mendatar sehingga kami mencapai lajur menegak, di bahagian atas (dan bawah) yang merupakan digit ke-3 daripada nombor , iaitu 4. Di tempat ini kita dapati dua nombor empat digit: 1068 dan 3376. Manakah antara dua nombor ini yang harus diambil dan di mana untuk meletakkan koma di dalamnya, ini ditentukan oleh digit pertama punca dan digitnya, yang kami temui sebelum ini. Jadi, jika kita perlu mencari √0.11"4, maka digit pertama punca ialah 3 persepuluh, dan oleh itu kita mesti mengambil 0.3376 untuk punca. Jika kita perlu mencari √1.14, maka digit pertama punca ialah 1, dan kami Kemudian kami akan mengambil 1.068.

Dengan cara ini kita boleh mencari dengan mudah:

√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571, dsb.

Sekarang mari kita andaikan bahawa kita perlu mencari punca nombor yang dinyatakan (dengan menjatuhkan titik perpuluhan) dalam 4 digit, contohnya, √7"45.6. Mengambil perhatian bahawa digit pertama punca ialah 2 puluh, kita dapati untuk nombor 745, seperti yang telah dijelaskan sekarang, digit 2729 (kami hanya melihat nombor ini dengan jari kami, tetapi tidak menulisnya.) Kemudian kami bergerak dari nombor ini lebih jauh ke kanan sehingga di sebelah kanan meja (di belakang baris tebal terakhir) kita bertemu lajur menegak yang ditandakan di bahagian atas (dan bawah) 4 digit ke nombor yang diberikan, iaitu nombor 6, dan cari nombor 1 di sana. Ini akan menjadi pembetulan yang mesti digunakan (dalam fikiran) kepada nombor yang ditemui sebelum ini 2729; kita mendapat 2730. Kami menulis nombor ini dan meletakkan koma di dalamnya di tempat yang betul: 27.30.

Dengan cara ini kita dapati, sebagai contoh:

√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 =0.2107, dsb.

Jika nombor radikal dinyatakan dengan hanya satu atau dua digit, maka kita boleh menganggap bahawa digit ini diikuti oleh satu atau dua sifar, dan kemudian meneruskan seperti yang dijelaskan untuk nombor tiga digit. Contohnya, √2.7 =√2.70 =1.643; √0.13 = √0.13"0 = 0.3606, dsb.

Akhirnya, jika nombor radikal dinyatakan dengan lebih daripada 4 digit, maka kami akan mengambil hanya 4 pertama daripada mereka, dan membuang yang lain, dan untuk mengurangkan ralat, jika digit pertama yang dibuang ialah 5 atau lebih daripada 5, maka kita akan menambah sebanyak l keempat daripada digit terkumpul . Jadi:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; dan sebagainya.

Komen. Jadual menunjukkan anggaran punca kuasa dua, kadangkala dengan kekurangan, kadangkala dengan lebihan, iaitu salah satu daripada punca anggaran yang datang lebih hampir kepada punca tepat.

179. Mengeluarkan punca kuasa dua daripada pecahan biasa. Punca kuasa dua tepat bagi pecahan tak dapat dikurangkan boleh diekstrak hanya apabila kedua-dua sebutan pecahan itu ialah kuasa dua tepat. Dalam kes ini, cukup untuk mengekstrak akar pengangka dan penyebut secara berasingan, sebagai contoh:

Anggaran punca kuasa dua pecahan biasa dengan beberapa ketepatan perpuluhan boleh didapati dengan paling mudah jika kita mula-mula membalikkan pecahan sepunya kepada perpuluhan, mengira dalam pecahan ini bilangan tempat perpuluhan selepas titik perpuluhan yang akan menjadi dua kali lebih banyak nombor tempat perpuluhan dalam punca yang dikehendaki.

Walau bagaimanapun, anda boleh melakukannya secara berbeza. Mari kita jelaskan ini dengan contoh berikut:

Cari anggaran √ 5 / 24

Mari kita jadikan penyebut kuasa dua tepat. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mendarab kedua-dua sebutan pecahan dengan penyebut 24; tetapi dalam contoh ini anda boleh melakukannya secara berbeza. Mari kita uraikan 24 kepada faktor perdana: 24 = 2 2 2 3. Daripada penguraian ini jelas bahawa jika 24 didarab dengan 2 dan 3 lagi, maka setiap faktor perdana akan diulang dalam hasil darab. nombor genap kali, dan oleh itu penyebutnya menjadi segi empat sama:

Ia kekal untuk mengira √30 dengan sedikit ketepatan dan membahagikan hasilnya dengan 12. Perlu diingat bahawa membahagi dengan 12 juga akan mengurangkan pecahan yang menunjukkan tahap ketepatan. Jadi, jika kita dapati √30 dengan ketepatan 1/10 dan membahagikan hasilnya dengan 12, kita akan memperoleh punca anggaran pecahan 5/24 dengan ketepatan 1/120 (iaitu 54/120 dan 55/120)

Bab tiga.

Graf fungsix = √y .

180. Fungsi songsang. Biarkan beberapa persamaan diberikan yang menentukan di sebagai fungsi X , sebagai contoh, seperti ini: y = x 2 . Kita boleh mengatakan bahawa ia menentukan bukan sahaja di sebagai fungsi X , tetapi juga, sebaliknya, menentukan X sebagai fungsi di , walaupun secara tersirat. Untuk menjadikan fungsi ini jelas, kita perlu menyelesaikan persamaan ini untuk X , mengambil di untuk nombor yang diketahui; Jadi, daripada persamaan yang kami ambil kami dapati: y = x 2 .

Ungkapan algebra yang diperoleh untuk x selepas menyelesaikan persamaan yang mentakrifkan y sebagai fungsi x dipanggil fungsi songsang bagi yang mentakrifkan y.

Jadi fungsinya x = √y fungsi songsang y = x 2 . Jika, seperti biasa, kita menandakan pembolehubah bebas X , dan tanggungan di , maka fungsi songsang yang diperoleh sekarang boleh dinyatakan seperti berikut: y = √x . Oleh itu, untuk mendapatkan fungsi songsang yang diberikan (langsung), daripada persamaan yang menentukan ini fungsi ini, pengeluaran X bergantung kepada y dan dalam ungkapan yang terhasil ganti y pada x , A X pada y .

181. Graf bagi suatu fungsi y = √x . Fungsi ini tidak boleh dilakukan dengan nilai negatif X , tetapi ia boleh dikira (dengan sebarang ketepatan) untuk sebarang nilai positif x , dan untuk setiap nilai tersebut fungsi menerima dua makna yang berbeza dengan nilai mutlak yang sama, tetapi dengan tanda yang bertentangan. Jika anda biasa √ Jika kita menyatakan hanya nilai aritmetik punca kuasa dua, maka kedua-dua nilai fungsi ini boleh dinyatakan seperti berikut: y = ± √ x Untuk memplot graf fungsi ini, anda mesti menyusun jadual nilainya terlebih dahulu. Cara paling mudah untuk mencipta jadual ini ialah daripada jadual nilai fungsi langsung:

y = x 2 .

jika nilai di ambil sebagai nilai X , dan begitu juga sebaliknya:

y = ± √ x

Dengan memplot semua nilai ini pada lukisan, kami mendapat graf berikut.

Dalam lukisan yang sama kami menggambarkan (dengan garis putus) graf fungsi langsung y = x 2 . Mari kita bandingkan kedua-dua graf ini antara satu sama lain.

182. Hubungan antara graf fungsi langsung dan songsang. Untuk menyusun jadual nilai bagi fungsi songsang y = ± √ x kami ambil untuk X nombor yang terdapat dalam jadual fungsi langsung y = x 2 berkhidmat sebagai nilai untuk di , dan untuk di mengambil nombor tersebut; yang dalam jadual ini adalah nilai untuk x . Oleh itu, kedua-dua graf adalah sama, hanya graf fungsi langsung terletak secara relatif kepada paksi. di - bagaimana graf bagi fungsi songsang terletak relatif kepada paksi X - ov. Akibatnya, jika kita membengkokkan lukisan di sekeliling garis lurus OA membahagikan satu sudut tepat xOy , supaya bahagian lukisan yang mengandungi separuh paksi OU , jatuh pada bahagian yang mengandungi aci gandar Oh , Itu OU bersesuaian dengan Oh , semua bahagian OU akan bertepatan dengan pembahagian Oh , dan mata parabola y = x 2 akan sejajar dengan titik yang sepadan pada graf y = ± √ x . Contohnya, mata M Dan N , yang ordinatnya 4 , dan abscissas 2 Dan - 2 , akan bertepatan dengan mata M" Dan N" , yang mana abscissa 4 , dan ordinat 2 Dan - 2 . Jika titik ini bertepatan, ini bermakna bahawa garis lurus MM" Dan NN" berserenjang dengan OA dan bahagikan garis lurus ini kepada dua. Perkara yang sama boleh dikatakan untuk semua titik lain yang sepadan dalam kedua-dua graf.

Oleh itu, graf bagi fungsi songsang hendaklah sama dengan graf bagi fungsi langsung, tetapi graf ini terletak berbeza, iaitu secara simetri antara satu sama lain berbanding pembahagi dua sudut. xOy . Kita boleh mengatakan bahawa graf bagi fungsi songsang ialah pantulan (seperti dalam cermin) bagi graf fungsi langsung berbanding pembahagi dua sudut. xOy .

Sebaik-baiknya yang kejuruteraan - yang mempunyai butang dengan tanda akar: "√". Biasanya, untuk mengekstrak akar, cukup untuk menaip nombor itu sendiri, dan kemudian tekan butang: "√".

Dalam kebanyakan moden telefon bimbit Terdapat aplikasi "kalkulator" dengan fungsi pengekstrakan akar. Prosedur untuk mencari punca nombor menggunakan kalkulator telefon adalah sama seperti di atas.
Contoh.
Cari daripada 2.
Hidupkan kalkulator (jika ia dimatikan) dan tekan butang dengan imej dua dan akar ("2" "√" berturut-turut). Sebagai peraturan, anda tidak perlu menekan kekunci "=". Hasilnya, kami mendapat nombor seperti 1.4142 (bilangan digit dan "bulat" bergantung pada kedalaman bit dan tetapan kalkulator).
Nota: Apabila cuba mencari punca, kalkulator biasanya memberikan ralat.

Jika anda mempunyai akses kepada komputer, maka mencari punca nombor adalah sangat mudah.
1. Anda boleh menggunakan aplikasi Kalkulator, tersedia pada hampir mana-mana komputer. Untuk Windows XP, program ini boleh dilancarkan seperti berikut:
"Mula" - "Semua Program" - "Aksesori" - "Kalkulator".
Adalah lebih baik untuk menetapkan pandangan kepada "biasa". By the way, tidak seperti kalkulator sebenar, butang untuk mengekstrak akar ditandakan "sqrt" dan bukan "√".

Jika anda tidak boleh mendapatkan kalkulator menggunakan kaedah yang ditunjukkan, anda boleh menjalankan kalkulator standard "secara manual":
"Mula" - "Jalankan" - "calc".
2. Untuk mencari punca nombor, anda juga boleh menggunakan beberapa program yang dipasang pada komputer anda. Di samping itu, program ini mempunyai kalkulator terbina dalam sendiri.

Sebagai contoh, untuk aplikasi MS Excel, anda boleh melakukan urutan tindakan berikut:
Lancarkan MS Excel.

Kami menulis dalam mana-mana sel nombor yang kami perlukan untuk mengekstrak akarnya.

Alihkan penuding sel ke lokasi lain

Tekan butang pemilihan fungsi (fx)

Pilih fungsi "ROOT".

Kami menentukan sel dengan nombor sebagai hujah kepada fungsi tersebut

Klik "OK" atau "Enter"
Kelebihan kaedah ini ialah sekarang sudah cukup untuk memasukkan sebarang nilai ke dalam sel dengan nombor, seperti dalam fungsi, .
Catatan.
Terdapat beberapa cara lain yang lebih eksotik untuk mencari punca nombor. Contohnya, dalam "sudut", menggunakan peraturan slaid atau jadual Bradis. Walau bagaimanapun, kaedah ini tidak dibincangkan dalam artikel ini kerana kerumitan dan tidak berguna secara praktikal.

Video mengenai topik

Sumber:

• cara mencari punca nombor

Kadangkala situasi timbul apabila anda perlu melakukan beberapa jenis pengiraan matematik, termasuk mengekstrak punca kuasa dua dan ke tahap yang lebih besar daripada nombor. Punca "n" bagi "a" ialah nombor ijazah ke-n yang manakah nombor "a".

Arahan

Untuk mencari punca "n" daripada , lakukan perkara berikut.

Pada komputer anda, klik "Mula" - "Semua Program" - "Aksesori". Kemudian pergi ke subseksyen "Perkhidmatan" dan pilih "Kalkulator". Anda boleh melakukan ini secara manual: Klik Mula, taip "calk" dalam kotak Run dan tekan Enter. Akan buka. Untuk mengekstrak punca kuasa dua nombor, masukkannya ke dalam kalkulator dan tekan butang berlabel "sqrt". Kalkulator akan mengekstrak punca darjah kedua, dipanggil punca kuasa dua, daripada nombor yang dimasukkan.

Untuk mengekstrak akar yang darjahnya lebih tinggi daripada yang kedua, anda perlu menggunakan jenis kalkulator lain. Untuk melakukan ini, dalam antara muka kalkulator, klik butang "Lihat" dan pilih baris "Kejuruteraan" atau "Saintifik" dari menu. Kalkulator jenis ini mempunyai keperluan untuk mengira punca ijazah ke-n fungsi.

Untuk mengekstrak punca darjah ketiga (), pada kalkulator "kejuruteraan", taip nombor yang betul dan tekan butang “3√”. Untuk mendapatkan punca yang darjahnya lebih tinggi daripada 3, masukkan nombor yang dikehendaki, tekan butang dengan ikon “y√x” dan kemudian masukkan nombor - eksponen. Selepas itu, tekan tanda sama (butang "=") dan anda akan mendapat akar yang dikehendaki.

Jika kalkulator anda tidak mempunyai fungsi "y√x", yang berikut.

Untuk mengekstrak akar kubus, masukkan ungkapan radikal, kemudian letakkan tanda semak dalam kotak semak, yang terletak di sebelah tulisan "Inv". Dengan tindakan ini, anda akan membalikkan fungsi butang kalkulator, iaitu, dengan mengklik pada butang kiub, anda akan mengekstrak punca kiub. Pada butang yang anda