Ano ang mga pamamaraan na alam mo para sa pagtukoy ng mga posibilidad. Lifetime bilang isang random variable

Ang mga kaganapan na naganap sa katotohanan o sa ating imahinasyon ay maaaring nahahati sa 3 pangkat. Ang mga ito ay maaasahang mga kaganapan na tiyak na mangyayari, imposible mga kaganapan at random na mga kaganapan. Ang teorya ng probabilidad ay nag-aaral ng mga random na kaganapan, i.e. mga kaganapan na maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari. Ang artikulong ito ay ilalahad sa maikling porma mga formula ng teorya ng probabilidad at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa probabilidad na teorya, na magiging sa ika-4 na gawain ng pagsusulit sa matematika (antas ng profile).

Bakit kinakailangan ang teorya ng posibilidad

Kasaysayan, ang pangangailangan upang pag-aralan ang mga problemang ito ay lumitaw noong ika-17 siglo na may kaugnayan sa pag-unlad at pagiging propesyonal ng pagsusugal at paglitaw ng mga casino. Ito ay isang tunay na kababalaghan na nangangailangan ng pag-aaral at pananaliksik.

Ang paglalaro ng mga kard, craps, roulette ay lumikha ng mga sitwasyon kapag ang alinman sa isang tiyak na bilang ng pantay na posibleng mga kaganapan ay maaaring mangyari. Ang pangangailangan ay bumangon upang magbigay ng mga bilang ng mga pagtatantya ng posibilidad ng paglitaw ng isang partikular na kaganapan.

Noong ika-23 siglo, naging malinaw na ang tila walang gaanong agham na gumaganap ng isang mahalagang papel sa pag-unawa sa mga pangunahing proseso na nagaganap sa microcosm. Ay nilikha modernong teorya mga posibilidad.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad

Ang object ng pag-aaral ng teorya ng posibilidad ay mga kaganapan at ang kanilang mga posibilidad. Kung kumplikado ang kaganapan, kung gayon maaari itong masira sa mga simpleng sangkap, ang mga probabilidad na kung saan ay madaling mahanap.

Ang kabuuan ng mga kaganapan A at B ay tinatawag na kaganapan C, na binubuo sa katotohanan na ang alinman sa kaganapan A, o kaganapan B, o mga kaganapan A at B naganap nang sabay.

Ang produkto ng mga kaganapan A at B ay tinatawag na kaganapan C, na binubuo sa katotohanan na kapwa kaganapan A at kaganapan B.

Ang mga Kaganapan A at B ay tinatawag na hindi pare-pareho kung hindi sila maaaring mangyari sa parehong oras.

Ang Kaganapan A ay tinatawag na imposible kung hindi ito maaaring mangyari. Ang nasabing kaganapan ay ipinapahiwatig ng isang simbolo.

Ang Kaganapan A ay tinatawag na kapani-paniwala kung kinakailangan mangyari ito. Ang nasabing kaganapan ay ipinapahiwatig ng isang simbolo.

Hayaang italaga ang bilang na P (A) sa bawat kaganapan A. Ang bilang na ito ng P (A) ay tinatawag na posibilidad ng kaganapan A kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutupad para sa sulat na ito.

Ang isang mahalagang espesyal na kaso ay ang sitwasyon kung mayroong mga equiprobable elementong kinalabasan, at ang arbitrary ng mga kinalabasan ay bumubuo ng mga kaganapan A. Sa kasong ito, ang posibilidad ay maaaring maipasok gamit ang pormula. Ang posibilidad na ipinakilala sa ganitong paraan ay tinatawag na klasikal na posibilidad. Mapapatunayan na sa kasong ito ang mga pag-aari ng 1-4 ay nasiyahan.

Ang mga problema sa probabilidad na teorya na nakatagpo sa pagsusulit sa matematika ay pangunahing nauugnay sa klasikal na posibilidad. Ang ganitong mga gawain ay maaaring maging napaka-simple. Ang mga problema sa teorya ng probabilidad ay lalo na simple sa mga pagpipilian sa pagpapakita... Madaling kalkulahin ang bilang ng mga kanais-nais na mga kinalabasan, ang bilang ng lahat ng mga kinalabasan ay nakasulat nang tama sa kondisyon.

Nakukuha namin ang sagot sa pamamagitan ng pormula.

Isang halimbawa ng isang problema mula sa pagsusulit sa matematika upang matukoy ang posibilidad

Mayroong 20 mga pie sa talahanayan - 5 na may repolyo, 7 na may mansanas at 8 na may bigas. Nais ni Marina na kumuha ng pie. Ano ang posibilidad na kukunin niya ang bigas na bigas?

Desisyon.

Mayroong 20 equiprobable elementong kinalabasan sa kabuuan, iyon ay, ang Marina ay maaaring kumuha ng alinman sa 20 pie. Ngunit kailangan naming matantya ang posibilidad na ang Marina ay kukuha ng pie na may bigas, iyon ay, kung saan ang A ay ang pagpili ng isang pie na may bigas. Kaya mayroon kaming bilang ng mga kanais-nais na mga kinalabasan (mga pagpipilian ng mga pie na may bigas) lamang 8. Pagkatapos ang posibilidad ay matukoy ng pormula:

Malaya, kabaligtaran at di-makatwirang mga kaganapan

Gayunpaman, sa bukas na bangko nagsimulang matugunan ang mga gawain at mas kumplikadong mga gawain. Samakatuwid, iguhit natin ang pansin ng mambabasa sa iba pang mga isyu na pinag-aralan sa teorya ng posibilidad.

Ang mga Kaganapan A at B ay tinatawag na independyente kung ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay hindi nakasalalay kung may nangyari pang ibang kaganapan.

Ang Kaganapan B ay nangangahulugan na ang kaganapan A ay hindi nangyari, i.e. ang kaganapan B ay kabaligtaran ng kaganapan A. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan ay katumbas ng isang minus ang posibilidad ng direktang kaganapan, i.e. ...

Pagdagdag at pagdaragdag ng mga teorema para sa mga probabilidad, pormula

Para sa mga di-makatwirang mga kaganapan A at B, ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapang ito ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad nang walang posibilidad ng kanilang pinagsamang kaganapan, i.e. ...

Para sa mga independyenteng kaganapan A at B, ang posibilidad ng produkto ng mga kaganapang ito ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad, i.e. sa kasong ito.

Ang huling 2 pahayag ay tinatawag na theorems ng karagdagan at pagdaragdag ng mga probabilidad.

Ang pagbilang ng bilang ng mga kinalabasan ay hindi laging madali. Sa ilang mga kaso, kinakailangan na gumamit ng mga formula ng combinatorial. Sa kasong ito, ang pinakamahalagang bagay ay bilangin ang bilang ng mga kaganapan na nakakatugon sa ilang mga kundisyon. Minsan ang ganitong uri ng mga kalkulasyon ay maaaring maging independiyenteng mga gawain.

Gaano karaming mga paraan ang 6 na mag-aaral ay makaupo para sa 6 na bakanteng upuan? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na upuan. Ang bawat isa sa mga pagpipilian na ito ay tumutugma sa 5 mga paraan upang maganap ang pangalawang mag-aaral. Para sa pangatlong mag-aaral ay mayroong 4 na libreng lugar, para sa ikaapat - 3, para sa ikalima - 2, ang ikaanim ay kukuha ng natitirang lugar. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga pagpipilian, kailangan mong hanapin ang produkto, na ipinapahiwatig ng simbolo 6! at binabasa nito ang "anim na factorial".

Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng pormula para sa bilang ng mga pahintulot ng n elemento sa ating kaso.

Isaalang-alang ngayon ang isa pang kaso sa aming mga mag-aaral. Gaano karaming paraan ang maaaring mag-upo ng 2 mag-aaral na may 6 na bakanteng upuan? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na upuan. Ang bawat isa sa mga pagpipilian na ito ay tumutugma sa 5 mga paraan upang maganap ang pangalawang mag-aaral. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga pagpipilian, kailangan mong hanapin ang produkto.

Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga pagkakalagay ng mga n elemento para sa mga elemento ng k

Sa kaso natin .

AT huling kaso mula sa seryeng ito. Sa ilang mga paraan mayroong tatlong mag-aaral sa 6? Ang unang mag-aaral ay maaaring mapili sa 6 na paraan, ang pangalawa sa 5 paraan, ang pangatlo sa apat. Ngunit sa mga pagpipilian na ito, ang parehong tatlong mag-aaral ay nakatagpo ng 6 na beses. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga pagpipilian, kailangan mong kalkulahin ang halaga:. Sa pangkalahatan, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ng mga elemento ng mga elemento:

Sa kaso natin .

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa pagsusulit sa matematika upang matukoy ang posibilidad

Suliranin 1. Mula sa koleksyon, ed. Yashchenko.

Mayroong 30 mga pie sa plato: 3 na may karne, 18 na may repolyo at 9 na may mga cherry. Pumili si Sasha ng isang pie nang random. Hanapin ang posibilidad na nagtatapos siya sa isang cherry.

.

Sagot: 0.3.

Suliranin 2. Mula sa koleksyon, ed. Yashchenko.

Ang bawat pangkat ng 1000 na bombilya ay naglalaman ng isang average ng 20 na may depekto na bombilya. Hanapin ang posibilidad na gagana ang isang random na iginuhit na bombilya mula sa isang batch.

Solusyon: Ang bilang ng mga nagtatrabaho bombilya ay 1000-20 \u003d 980. Pagkatapos ang posibilidad na ang isang ilaw na bombilya na kinunan nang random mula sa batch ay magiging serbisyo:

Sagot: 0.98.

Ang posibilidad na ang mag-aaral ng U. ay wastong malutas nang higit sa 9 na mga problema sa pagsubok sa matematika ay 0.67. Ang posibilidad na ang U. ay tama na malulutas ng higit sa 8 mga problema ay 0.73. Hanapin ang posibilidad na malutas ng U ang eksaktong 9 na mga problema nang tama.

Kung iisipin natin ang isang linya at markahan ang mga puntos 8 at 9 dito, makikita natin na ang kundisyon na "Y. wastong lutasin nang eksakto ang 9 na mga problema "ay kasama sa kondisyon" W. ay malulutas nang tama ang higit sa 8 mga problema ", ngunit hindi nalalapat sa kondisyon" W. malulutas ang higit sa 9 na mga problema nang tama ”.

Gayunpaman, ang kondisyon na "W. wastong lutasin ang higit sa 9 na mga problema "ay nakapaloob sa kondisyon" W. malulutas ang higit sa 8 mga problema nang tama ”. Kaya, kung magtatalaga tayo ng mga kaganapan: "W. wastong lutasin nang eksakto ang 9 na mga problema "- sa pamamagitan ng A," Y. ay malulutas nang tama ang higit sa 8 mga problema "- sa pamamagitan ng B," U. ay malulutas nang higit sa 9 na mga problema nang tama "sa pamamagitan ng C. Iyon ang magiging solusyon:

Sagot: 0.06.

Sa pagsusulit ng geometry, sinasagot ng mag-aaral ang isang tanong mula sa listahan ng mga tanong sa pagsusulit. Ang posibilidad na ito ay isang tanong ng Trigonometry ay 0.2. Ang posibilidad na ito ay isang tanong sa labas ng Mga anggulo ay 0.15. Walang mga katanungan na sabay-sabay na nauugnay sa dalawang paksang ito. Hanapin ang posibilidad na ang isang mag-aaral ay makakakuha ng isang katanungan sa isa sa dalawang mga paksang ito sa pagsusulit.

Pag-isipan natin kung anong uri ng mga kaganapan ang mayroon tayo. Binigyan tayo ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan. Iyon ay, alinman sa tanong ay maiugnay sa paksang "Trigonometry", o sa paksang "Outer anggulo". Ayon sa probabilidad teorema, ang posibilidad ng hindi magkatulad na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng bawat kaganapan, dapat nating hanapin ang kabuuan ng mga posibilidad ng mga kaganapang ito, iyon ay:

Sagot: 0.35.

Ang silid ay iluminado ng isang parol na may tatlong lampara. Ang posibilidad ng isang lampara na nasusunog sa isang taon ay 0.29. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang lampara ay hindi masusunog sa loob ng isang taon.

Isaalang-alang natin ang mga posibleng kaganapan. Mayroon kaming tatlong bombilya, ang bawat isa ay maaaring o hindi masunog nang nakapag-iisa ng anumang iba pang bombilya. Ito ay mga independiyenteng mga kaganapan.

Pagkatapos ay isasaad namin ang mga pagpipilian para sa mga naturang kaganapan. Alamin natin ang notasyon: - ang ilaw ay nasa, - ang ilaw ay wala. At sa tabi mismo nito kinakalkula namin ang posibilidad ng kaganapan. Halimbawa, ang posibilidad ng isang kaganapan kung saan ang tatlong independiyenteng mga kaganapan "ang ilaw na bombilya ay sumunog", "ang ilaw na bombilya ay", "ang ilaw na bombilya ay naganap: ...

Tandaan na mayroon lamang 7 mga hindi pantay na mga kaganapan na kanais-nais sa amin.Ang posibilidad ng naturang mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapan:.

Sagot: 0.975608.

Maaari kang makakita ng isa pang problema sa larawan:

Sa gayon, naiintindihan mo at kung ano ang probabilidad na teorya ng pormula at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema kung saan maaari mong matugunan sa bersyon ng pagsusulit.

Hindi malamang na maraming mga tao ang nag-iisip tungkol sa kung posible upang makalkula ang mga kaganapan na higit pa o mas mababa sa random. Ipinahayag sa simpleng salita, makatotohanang malaman kung aling bahagi ng mamatay ang lulon sa susunod. Ang tanong na ito ay tinanong ng dalawang mahusay na siyentipiko na naglatag ng pundasyon para sa tulad ng isang agham bilang teorya ng posibilidad, ang posibilidad ng isang kaganapan kung saan napag-aralan nang lubos.

Pagsisimula

Kung susubukan mong tukuyin ang gayong konsepto bilang teorya ng posibilidad, makakakuha ka ng mga sumusunod: ito ay isa sa mga sanga ng matematika na may kinalaman sa pag-aaral ng patuloy na mga random na kaganapan. Syempre, ang konsepto na ito hindi talaga ihayag ang buong punto, kaya kinakailangan na isaalang-alang ito nang mas detalyado.

Gusto kong magsimula sa mga tagalikha ng teorya. Tulad ng nabanggit sa itaas, mayroong dalawa sa kanila, ito at Ito ang kanilang isa sa una upang subukang kalkulahin ang kinahinatnan ng isang kaganapan gamit ang mga pormula at matematika pagkalkula. Sa kabuuan, ang mga rudiments ng agham na ito ay lumitaw sa Middle Ages. Sa oras na iyon, sinubukan ng iba't ibang mga nag-iisip at iskolar na suriin pagsusugal, tulad ng isang panukalang tape, dice, at iba pa, sa gayon itinatag ang pattern at porsyento ng paglitaw ng isang partikular na numero. Ang pundasyon ay inilatag sa ikalabing siyam na siglo ng nabanggit na mga siyentipiko.

Sa una, ang kanilang mga gawa ay hindi maiugnay sa mahusay na mga nagawa sa lugar na ito, dahil ang lahat ng kanilang ginawa ay simpleng mga katotohanang katotohanan, at ang mga eksperimento ay itinayo nang biswal, nang hindi gumagamit ng mga formula. Sa paglipas ng panahon, ito ay upang makamit ang mahusay na mga resulta, na lumitaw bilang isang resulta ng pag-obserba ng pagkahagis ng mga buto. Ito ang tool na ito na nakatulong upang makuha ang unang matalinong mga formula.

Tulad ng mga taong may pag-iisip

Ang isang tao ay hindi mabibigo na banggitin ang tulad ng isang tao bilang Christian Huygens sa proseso ng pag-aaral ng isang paksa na tinatawag na "theory theory" (ang posibilidad ng isang kaganapan ay nasasakop sa mismong agham). Ang taong ito ay talagang kawili-wili. Siya, tulad ng mga siyentipiko na ipinakita sa itaas, sinubukan na ibawas ang pattern ng mga random na kaganapan sa anyo ng mga pormula sa matematika. Kapansin-pansin na hindi niya ginawa ito kasama sina Pascal at Fermat, iyon ay, ang lahat ng kanyang mga gawa ay hindi nakikipag-intay sa mga isipan sa anumang paraan. Dinala si Huygens

Ang isang kagiliw-giliw na katotohanan ay ang kanyang trabaho ay lumabas nang matagal bago ang mga resulta ng mga gawa ng mga natuklasan, o sa halip, dalawampung taon na ang nakaraan. Kabilang sa mga itinalagang konsepto, ang pinakasikat ay:

• ang konsepto ng posibilidad bilang isang magnitude ng isang pagkakataon;
• pag-asa sa matematika para sa mga discrete kaso;
• theorems ng pagdami at pagdaragdag ng mga probabilidad.

Imposibleng hindi maalala kung sino ang gumawa din ng makabuluhang kontribusyon sa pag-aaral ng problema. Ang pagsasagawa ng kanyang sariling, independiyenteng mga pagsubok, nagawa niyang magbigay ng katibayan ng batas malaking bilang... Kaugnay nito, ang mga siyentipiko na Poisson at Laplace, na nagtrabaho noong unang bahagi ng ikalabinsiyam na siglo, ay napatunayan ang orihinal na mga teoryang. Ito ay mula sa sandaling ito na ang teorya ng posibilidad ay nagsimulang magamit upang pag-aralan ang mga error sa kurso ng mga obserbasyon. Ang mga siyentipiko ng Russia, o sa halip Markov, Chebyshev at Dyapunov, ay hindi rin makakapasok sa agham na ito. Sila, batay sa gawaing ginawa ng mga mahusay na henyo, pinagsama ang paksang ito bilang isang sangay ng matematika. Ang mga figure na ito ay nagtrabaho na sa pagtatapos ng ikalabing siyam na siglo, at salamat sa kanilang kontribusyon, ang nasabing mga phenomena ay napatunayan bilang:

• ang batas ng maraming bilang;
• teorya ng chain Markov;
• central limit theorem.

Kaya, sa kasaysayan ng pinagmulan ng agham at sa mga pangunahing tao na naiimpluwensyahan ito, ang lahat ay higit o hindi gaanong malinaw. Ngayon na ang oras upang kumpunihin ang lahat ng mga katotohanan.

Mga pangunahing konsepto

Bago pa hawakan ang mga batas at theorems, sulit na pag-aralan ang mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Ang kaganapan ay tumatagal ng nangungunang papel sa ito. Ang paksang ito medyo madilaw, ngunit kung wala ito ay hindi posible na maunawaan ang lahat.

Ang isang kaganapan sa teorya ng posibilidad ay anumang hanay ng mga kinalabasan ng isang eksperimento. Hindi kakaunti ang mga konsepto ng hindi pangkaraniwang bagay na ito. Kaya, ang siyentipiko na si Lotman, na nagtatrabaho sa lugar na ito, ay nagsabi na sa kasong ito dumating na tungkol sa "nangyari, kahit na maaaring hindi nangyari."

Random na mga kaganapan (probabilidad teorya ay nagbibigay sa kanila espesyal na pansin) ay isang konsepto na nagpapahiwatig ng ganap na anumang kababalaghan na may kakayahang mangyari. O, sa kabaligtaran, ang sitwasyong ito ay maaaring hindi mangyayari kung maraming kondisyon ang natutugunan. Ito rin ay nagkakahalaga ng pag-alam na ito ay mga random na kaganapan na makuha ang buong dami ng mga phenomena na nangyari. Ang teorya ng posibilidad ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga kondisyon ay maaaring paulit-ulit sa lahat ng oras. Ito ay ang kanilang pag-uugali na tinawag na "eksperimento" o "pagsubok".

Ang isang mapagkakatiwalaang kaganapan ay isa na mangyayari isang daang porsyento sa isang naibigay na pagsubok. Alinsunod dito, ang isang imposible na kaganapan ay isa na hindi mangyayari.

Ang pagsasama-sama ng isang pares ng mga aksyon (kondisyon sa kaso A at kaso B) ay isang kababalaghan na nangyayari nang sabay-sabay. Tinukoy sila bilang AB.

Ang kabuuan ng mga pares ng mga kaganapan A at B ay C, sa madaling salita, kung hindi bababa sa isa sa mga ito ang mangyayari (A o B), kung gayon ito ay tatalikuran C. Ang pormula para sa inilarawan na kababalaghan ay nakasulat sa mga sumusunod: C \u003d A + B.

Ang hindi magkatulad na mga kaganapan sa teorya ng probabilidad ay nagpapahiwatig na ang dalawang kaso ay kapwa eksklusibo. Hindi sila maaaring mangyari nang sabay. Ang magkasanib na mga kaganapan sa teorya ng posibilidad ay ang kanilang mga antipod. Nangangahulugan ito na kung nangyari ang A, hindi ito makagambala sa B.

Ang mga salungat na kaganapan (ang teorya ng posibilidad na isinasaalang-alang ang mga ito nang mahusay) ay madaling maunawaan. Ang pinakamahusay na paraan upang makitungo sa kanila ay sa pamamagitan ng paghahambing. Ang mga ito ay katulad ng hindi magkatulad na mga kaganapan sa probabilidad na teorya. Ngunit ang kanilang pagkakaiba ay namamalagi sa katotohanan na ang isa sa maraming mga kababalaghan ay dapat mangyari sa anumang kaso.

Ang pantay na posibleng mga kaganapan ay ang mga pagkilos na iyon, ang posibilidad ng pag-uulit kung saan ay pantay. Upang maging mas malinaw, maaari mong isipin ang isang hagis ng barya: ang pagbagsak ng isa sa mga panig nito ay pantay na malamang na mahulog ang iba pa.

Ang isang masiglang kaganapan ay mas madaling makita na may isang halimbawa. Sabihin nating mayroong Episode B at Episode A. Ang una ay ang roll ng dice na may kakaibang numero, at ang pangalawa ay ang pagpapakita ng numero na lima sa mamatay. Pagkatapos ito ay lumiliko na ang A pabor B.

Ang mga independiyenteng mga kaganapan sa teorya ng posibilidad ay inaasahan lamang sa dalawa o higit pang mga kaso at ipinapahiwatig ang kalayaan ng isang aksyon mula sa iba. Halimbawa, ang A ay mga buntot kapag nag-flipping ng isang barya, at ang B ay nakakakuha ng isang jack mula sa kubyerta. Ang mga ito ay independiyenteng mga kaganapan sa teorya ng posibilidad. Sa sandaling ito ay naging mas malinaw.

Ang mga nakasalalay na kaganapan sa teorya ng posibilidad ay maaari ding tanggapin para sa kanilang hanay. Ipinapahiwatig nila ang pag-asa ng isa sa iba pa, iyon ay, ang kababalaghan B ay maaaring mangyari lamang kung nangyari na ang A o, sa kabaligtaran, ay hindi nangyari, kapag ito ang pangunahing kondisyon para sa B.

Ang kinalabasan ng isang random na eksperimento sa isang sangkap ay mga elementong kaganapan. Ipinapaliwanag ng teorya ng posibilidad na ito ay tulad ng isang kababalaghan na nangyari nang isang beses lamang.

Mga pangunahing formula

Kaya, ang mga konsepto na "kaganapan", "probabilidad teorya" ay itinuturing sa itaas, ang kahulugan ng mga pangunahing termino ng agham na ito ay ibinigay din. Ngayon ang oras upang makilala nang direkta sa mga mahahalagang pormula. Ang mga expression na ito ay nagpapatunay sa lahat ng mga pangunahing konsepto sa tulad ng isang kumplikadong paksa bilang teorya ng posibilidad. Ang posibilidad ng isang kaganapan ay gumaganap din ng malaking papel dito.

Mas mahusay na magsimula sa mga pangunahing at bago magpatuloy sa kanila, ito ay nagkakahalaga na isaalang-alang kung ano sila.

Pangunahin ang Combinatorics na isang sangay ng matematika, tinutukoy nito ang pag-aaral ng isang malaking bilang ng mga integer, pati na rin ang iba't ibang mga pahintulot ng parehong mga numero mismo at ang kanilang mga elemento, iba't ibang data, atbp, na humahantong sa hitsura ng isang bilang ng mga kumbinasyon. Bukod sa teorya ng probabilidad, ang industriya na ito ay mahalaga para sa mga istatistika, computer science at cryptography.

Kaya, ngayon maaari kang magpatuloy sa paglalahad ng mga pormula mismo at ang kanilang kahulugan.

Ang una sa kanila ang magiging expression para sa bilang ng mga pahintulot, ganito ang hitsura:

P_n \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \u003d n!

Ang equation ay nalalapat lamang kung ang mga elemento ay naiiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng pag-aayos.

Ngayon isasaalang-alang namin ang formula ng paglalagay, ganito ang hitsura:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (n - m)!

Ang expression na ito ay naaangkop hindi lamang sa pagkakasunud-sunod kung saan inilagay ang elemento, kundi pati na rin sa komposisyon nito.

Ang pangatlong equation mula sa combinatorics, at ito na ang huli, ay tinatawag na formula para sa bilang ng mga kumbinasyon:

C_n ^ m \u003d n! : ((n - m))! : m!

Ang isang kumbinasyon ay tinatawag na mga seleksyon na hindi iniutos, ayon sa pagkakabanggit, at ang panuntunang ito ay nalalapat sa kanila.

Ito ay naging madali upang malaman ang mga pormula ng combinatorics, maaari kang pumunta sa klasikal na kahulugan ng mga probabilidad. Ang expression na ito ay ganito:

Sa pormula na ito, ang m ay ang bilang ng mga kondisyon na kanais-nais sa kaganapan A, at n ay ang bilang ng ganap na pantay na posible at mga resulta sa elementarya.

Wala na malaking bilang ng Ang mga expression, hindi isasaalang-alang ng artikulo ang lahat, ngunit ang pinakamahalaga sa kanila ay maaantig sa, tulad ng, halimbawa, ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - teorema na ito para sa pagdaragdag lamang ng hindi magkatugma na mga kaganapan;

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) - at ito ay para sa pagdaragdag lamang ng mga katugma.

Ang posibilidad ng paggawa ng mga kaganapan:

P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B) - ang teorema na ito ay para sa mga independiyenteng mga kaganapan;

(P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (A∣B)) - at ito ay para sa umaasa.

Ang formula ng kaganapan ay magtatapos sa listahan. Sinasabi sa amin ng posibilidad tungkol sa teorema ng Bayes, na ganito ang hitsura:

P (H_m∣A) \u003d (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k \u003d 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m \u003d 1, ..., n

Sa pormula na ito, H 1, H 2, ..., H n ay buong pangkat hypotheses.

Mga halimbawa ng

Kung pinag-aaralan mong mabuti ang anumang lugar ng matematika, hindi ito kumpleto nang walang pagsasanay at mga sample na solusyon. Gayundin ang teorya ng posibilidad: ang mga kaganapan, mga halimbawa dito ay isang mahalagang bahagi na nagpapatunay sa mga kalkulasyong pang-agham.

Formula para sa bilang ng mga pahintulot

Sabihin nating may tatlumpung card sa isang deck ng mga kard, nagsisimula sa halaga ng mukha. Susunod na tanong. Gaano karaming mga paraan upang maglatag ng isang kubyerta upang ang mga kard na may denominasyon isa at dalawa ay hindi magkatabi?

Ang gawain ay nakatakda, ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas nito. Una, kailangan mong matukoy ang bilang ng mga pagpapahintulot ng tatlumpung elemento, para dito kinukuha namin ang pormula na ipinakita sa itaas, lumiliko ito ng P_30 \u003d 30 !.

Batay sa panuntunang ito, nalaman namin kung gaano karaming mga pagpipilian doon ang kulutin ang kubyerta sa iba't ibang mga paraan, ngunit kailangan nating ibawas mula sa kanila ang mga kung saan ang una at pangalawang card ay susunod sa bawat isa. Upang gawin ito, magsimula tayo sa pagpipilian kapag ang una ay nasa itaas ng pangalawa. Ito ay lumiliko na ang unang kard ay maaaring tumagal ng dalawampu't siyam na lugar - mula una hanggang dalawampu't siyam, at ang pangalawang kard mula sa pangalawa hanggang tatlumpu, lumiliko lamang sa dalawampu't siyam na lugar para sa isang pares ng mga kard. Kaugnay nito, ang natitira ay maaaring tumagal ng dalawampu't walong upuan, at walang partikular na pagkakasunud-sunod. Iyon ay, para sa permutasyon ng dalawampu't walong card, mayroong dalawampu't walong pagpipilian na P_28 \u003d 28!

Bilang isang resulta, lumiliko na kung isasaalang-alang namin ang solusyon kapag ang unang kard ay nasa itaas ng pangalawa, magkakaroon ng 29 ⋅ 28 dagdag na mga pagkakataon! \u003d 29!

Gamit ang parehong pamamaraan, kailangan mong kalkulahin ang bilang ng mga kalabisan na pagpipilian para sa kaso kapag ang unang card ay nasa ilalim ng pangalawa. Ito ay lumiliko din sa 29 sa 28! \u003d 29!

Mula dito ay sumusunod na mayroong 2 sa 29 dagdag na mga pagpipilian !, habang ang mga kinakailangang paraan upang makabuo ng isang kubyerta ay 30! - 2 ⋅ 29 !. Ito ay nananatili lamang upang mabilang.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Ngayon kailangan mong dumami sa bawat isa sa lahat ng mga numero mula isa hanggang dalawampu't siyam, at pagkatapos ay sa wakas ay dumami ang lahat sa pamamagitan ng 28. Ang sagot ay 2.4757335 ⋅ ⋅ 10〗 ^ 32

Halimbawa ng solusyon. Formula para sa numero ng paglalagay

Sa gawaing ito, kailangan mong malaman kung gaano karaming mga paraan upang maglagay ng labinlimang volume sa isang istante, ngunit sa kondisyon na may tatlumpung volume sa kabuuan.

Sa problemang ito, ang solusyon ay bahagyang mas simple kaysa sa nauna. Gamit ang kilala na formula, kailangan mong kalkulahin ang kabuuang bilang ng mga lokasyon mula sa tatlumpung volume ng labinlimang.

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 \u003d 202 843 204 931 727 360 000

Ang sagot, ayon sa pagkakabanggit, ay magiging katumbas sa 202,843,204,931,727,360,000.

Ngayon gawin natin ang gawain nang kaunti. Kailangan mong alamin kung gaano karaming mga paraan upang ayusin ang tatlumpung mga libro sa dalawang mga rak ng libro, sa kondisyon na labinlimang volume na maaaring sa isang istante.

Bago simulan ang solusyon, nais kong linawin na ang ilang mga problema ay lutasin sa maraming mga paraan, at sa ito ay may dalawang paraan, ngunit sa parehong formula ay inilalapat.

Sa problemang ito, maaari mong makuha ang sagot mula sa nauna, dahil doon namin kinakalkula kung gaano karaming beses mong mapunan ang isang istante para sa labing limang libong mga libro sa iba't ibang paraan. Ito ay naka-A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Ang pangalawang istante ay kinakalkula gamit ang pormula ng permutation, dahil ang labinglimang mga libro ay maaaring mailagay sa loob nito, habang may labinlimang kabuuan. Ginagamit namin ang formula P_15 \u003d 15 !.

Ito ay lumiliko na ang kabuuan ay magiging A_30 ^ 15 ⋅ P_15 paraan, ngunit, bilang karagdagan, ang produkto ng lahat ng mga numero mula tatlumpu hanggang labing-anim ay kakailanganin na maparami ng produkto ng mga numero mula sa isa hanggang labinlimang, bilang isang resulta, ang produkto ng lahat ng mga numero mula isa hanggang tatlumpung ay makuha, iyon ay, ang sagot ay 30!

Ngunit ang problemang ito ay maaaring malutas sa ibang paraan - mas madali. Para dito, maiisip ng isa na mayroong isang istante para sa tatlumpung libro. Ang lahat ng mga ito ay nakalagay sa eroplano na ito, ngunit dahil ang kondisyon ay nangangailangan na mayroong dalawang istante, nakita namin ang isang haba ng isa sa kalahati, lumiliko ito ng dalawa hanggang labinlimang. Mula dito lumiliko na ang mga pagpipilian sa paglalagay ay maaaring P_30 \u003d 30 !.

Halimbawa ng solusyon. Formula para sa numero ng kumbinasyon

Ngayon isasaalang-alang namin ang isang variant ng pangatlong problema mula sa combinatorics. Kailangan mong malaman kung gaano karaming mga paraan upang ayusin ang labinlimang mga libro, sa kondisyon na kailangan mong pumili mula sa tatlumpung eksaktong pareho.

Para sa solusyon, siyempre, ang formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ay ilalapat. Mula sa kondisyon ay malinaw na ang pagkakasunud-sunod ng parehong labinlimang libro ay hindi mahalaga. Samakatuwid, sa una kailangan mong malaman ang kabuuang bilang ng mga kumbinasyon ng tatlumpung mga libro ng labinlimang.

C_30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15))! : 15! \u003d 155 117 520

Iyon lang. Gamit ang pormula na ito, sa pinakamaikling oras pinamamahalaang upang malutas ang naturang problema, ang sagot, ayon sa pagkakabanggit, ay 155 117 520.

Halimbawa ng solusyon. Classical na kahulugan ng posibilidad

Gamit ang pormula sa itaas, mahahanap mo ang sagot sa isang simpleng problema. Ngunit makakatulong ito sa biswal na makita at bakas ang kurso ng pagkilos.

Sa problema na ito ay ibinigay na mayroong sampung ganap na magkaparehong magkatulad na mga bola sa urn. Sa mga ito, apat ang dilaw at anim ay asul. Ang isang bola ay kinuha mula sa ihi. Kailangan mong malaman ang posibilidad ng pagkuha ng asul.

Upang malutas ang problema, kinakailangan na italaga ang asul na bola kaganapan A. Ang karanasan na ito ay maaaring magkaroon ng sampung mga kinalabasan, na, naman, ay elementarya at pantay na posible. Kasabay nito, anim sa sampu ang kanais-nais para sa kaganapan A. Nagpapasya kami sa pamamagitan ng pormula:

P (A) \u003d 6: 10 \u003d 0.6

Paglalapat ng formula na ito, nalaman namin na ang kakayahang maabot ang asul na bola ay 0.6.

Halimbawa ng solusyon. Ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan

Ngayon isang variant ang ihaharap, na malulutas gamit ang formula para sa posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan. Kaya, sa kondisyon na ibinigay na mayroong dalawang kahon, ang una ay naglalaman ng isang kulay abo at limang puting bola, at ang pangalawa ay naglalaman ng walong kulay abo at apat na puting bola. Bilang isang resulta, ang isa sa kanila ay kinuha mula sa una at pangalawang mga kahon. Kailangan mong malaman kung ano ang pagkakataon na ang mga bola na nakuha mo ay magiging kulay abo at puti.

Upang malutas ang problemang ito, kinakailangan na magtalaga ng mga kaganapan.

• Kaya, A - kinuha ang kulay abong bola mula sa unang kahon: P (A) \u003d 1/6.
• A '- kumuha din sila ng puting bola mula sa unang kahon: P (A ") \u003d 5/6.
• B - tinanggal ang kulay abong bola mula sa pangalawang kahon: P (B) \u003d 2/3.
• B '- kumuha ng isang kulay-abo na bola mula sa pangalawang kahon: P (B ") \u003d 1/3.

Ayon sa kondisyon ng problema, kinakailangan para sa isa sa mga phenomena na mangyari: AB 'o AB. Gamit ang pormula, nakukuha natin: P (AB ") \u003d 1/18, P (A" B) \u003d 10/18.

Ang pormula para sa pagpaparami ng posibilidad ay ginagamit na ngayon. Bukod dito, upang malaman ang sagot, kailangan mong ilapat ang equation ng kanilang karagdagan:

P \u003d P (AB "+ A" B) \u003d P (AB ") + P (A" B) \u003d 11/18.

Ito ay kung paano, gamit ang isang formula, maaari mong malutas ang mga katulad na problema.

Kita

Ang artikulo ay nagbigay ng impormasyon tungkol sa paksang "Probabilidad teorya", ang posibilidad ng isang kaganapan kung saan gumaganap mahalagang papel... Siyempre, hindi lahat ay isinasaalang-alang, ngunit batay sa ipinakita ng teksto, maaari mong teoretikal na pamilyar sa seksyon na ito ng matematika. Ang agham na pinag-uusapan ay maaaring maging kapaki-pakinabang hindi lamang sa propesyonal na negosyo, kundi pati na rin araw-araw na buhay... Sa tulong nito, maaari mong kalkulahin ang anumang posibilidad ng anumang kaganapan.

Naantig din ang teksto makabuluhang mga petsa sa kasaysayan ng pagbuo ng teorya ng posibilidad bilang isang agham, at ang mga pangalan ng mga tao na ang mga gawa ay namuhunan dito. Ito ay kung paano humantong ang pagkamausisa ng tao sa katotohanan na natutunan ng mga tao na makalkula kahit ang mga random na kaganapan. Minsan ay interesado lamang sila dito, ngunit ngayon alam na ng lahat ang tungkol dito. At walang sasabihin kung ano ang naghihintay sa amin sa hinaharap, kung ano ang iba pang mga nakakaalam na pagtuklas na may kaugnayan sa teorya na isasaalang-alang. Ngunit ang isang bagay ay sigurado - ang pananaliksik ay hindi tumayo!

Marami, nahaharap sa konsepto ng "teorya ng probabilidad", natatakot, iniisip na ito ay isang bagay na napakalaki, napaka kumplikado. Ngunit ang lahat ay talagang hindi malungkot. Ngayon isasaalang-alang natin ang pangunahing konsepto at matutunan kung paano malulutas ang mga problema gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Ang agham

Ano ang ginagawa ng isang sangay ng matematika bilang "pag-aaral na teorya"? Tandaan niya ang mga pattern at dami. Sa kauna-unahang pagkakataon, ang mga siyentipiko ay naging interesado sa isyung ito pabalik sa ikalabing walong siglo, nang mag-aral sila ng pagsusugal. Ang pangunahing konsepto ng probabilidad na teorya ay isang kaganapan. Ito ang anumang katotohanan na tinitiyak ng karanasan o pagmamasid. Ngunit ano ang karanasan? Ang isa pang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga pangyayari ay hindi nilikha ng pagkakataon, ngunit para sa isang tiyak na layunin. Tulad ng para sa pagmamasid, narito mismo ang mananaliksik ay hindi nakikilahok sa eksperimento, ngunit nasaksihan lamang ang mga pangyayaring ito, hindi niya naaapektuhan ang nangyayari sa anumang paraan.

Mga Kaganapan

Nalaman namin na ang pangunahing konsepto ng probabilidad na teorya ay isang kaganapan, ngunit hindi namin isaalang-alang ang pag-uuri. Lahat sila ay nahuhulog sa mga sumusunod na kategorya:

• Kredible.
• Imposible.
• Random.

Hindi alintana kung anong uri ng mga kaganapan ang sinusunod o nilikha sa kurso ng eksperimento, lahat sila ay napapailalim sa pag-uuri na ito. Iminumungkahi namin na makilala ang bawat isa sa mga uri nang hiwalay.

Kaganapan ng kredible

Ito ay tulad ng isang pangyayari, sa harap kung saan kinuha ang kinakailangang hanay ng mga hakbang. Upang higit na maunawaan ang kakanyahan, mas mahusay na magbigay ng ilang mga halimbawa. Ang pisika, kimika, ekonomiya, at mas mataas na matematika ay napapailalim sa batas na ito. Kasama sa teorya ng posibilidad mahalagang konseptobilang isang maaasahang kaganapan. Narito ang ilang mga halimbawa:

• Nagtatrabaho kami at tumatanggap ng suweldo sa anyo ng sahod.
• Maipasa namin nang maayos ang mga pagsusulit, naipasa ang kompetisyon, para dito nakatanggap kami ng gantimpala sa anyo ng pagpasok sa institusyong pang-edukasyon.
• Kami ay namuhunan ng pera sa bangko, kung kinakailangan, ibabalik namin ito.

Ang ganitong mga kaganapan ay kapani-paniwala. Kung nakamit natin ang lahat ng kinakailangang mga kondisyon, tiyak na makukuha natin ang inaasahang resulta.

Imposibleng mga kaganapan

Tinitingnan natin ngayon ang mga elemento ng teorya ng posibilidad. Iminumungkahi namin na magpatuloy upang ipaliwanag ang susunod na uri ng kaganapan, ibig sabihin, ang imposible. Una, sabihin natin ang karamihan mahalagang tuntunin - ang posibilidad ng isang imposible na kaganapan ay zero.

Ang isang tao ay hindi maaaring lumihis mula sa pagbabalangkas kapag paglutas ng mga problema. Para sa paglilinaw, narito ang mga halimbawa ng mga naturang kaganapan:

• Ang tubig ay nagyelo sa temperatura ng plus sampung (imposible ito).
• Ang kakulangan ng koryente ay hindi nakakaapekto sa paggawa sa anumang paraan (tulad ng imposible tulad ng sa nakaraang halimbawa).

Hindi katumbas ng halaga ang pagbibigay ng higit pang mga halimbawa, dahil ang mga inilarawan sa itaas ay malinaw na sumasalamin sa kakanyahan ng kategoryang ito. Ang isang imposible na kaganapan ay hindi mangyayari sa panahon ng isang karanasan sa ilalim ng anumang mga pangyayari.

Random na mga kaganapan

Ang pag-aaral ng mga elemento ng teorya ng posibilidad, ang espesyal na pansin ay dapat bayaran sa partikular na uri ng kaganapan. Sila ang nag-aaral binigyan ng agham... Bilang isang resulta ng karanasan, maaaring mangyari o hindi. Bilang karagdagan, ang pagsubok ay maaaring isagawa ng isang walang limitasyong bilang ng mga beses. Mga nakagaganyak na halimbawa maaaring maglingkod:

• Ang paghagis ng isang barya ay isang karanasan, o isang pagsubok, ang pagbagsak ng isang ulo ay isang kaganapan.
• Ang paghila ng isang bola sa labas ng bag ay walang taros ay isang pagsubok, isang pulang bola ay nahuli - ito ay isang kaganapan, at iba pa.

Maaaring magkaroon ng isang walang limitasyong bilang ng mga halimbawa, ngunit, sa pangkalahatan, ang kakanyahan ay dapat na malinaw. Upang buod at pagrurahin ang kaalaman na nakuha tungkol sa mga kaganapan, ibinigay ang isang talahanayan. Ang pag-aaral sa teorya ng posibilidad lamang ang huling species ng lahat na ipinakita.

Batas

Ang teorya ng posibilidad ay isang agham na nag-aaral ng posibilidad ng isang pangyayari na nagaganap. Tulad ng iba, mayroon itong ilang mga patakaran. Wala na pagsunod sa mga batas teorya ng posibilidad:

• Pagkakabit ng mga pagkakasunud-sunod ng mga variable na variable.
• Ang batas ng maraming mga numero.

Kapag kinakalkula ang posibilidad ng isang kumplikado, maaari kang gumamit ng isang hanay ng mga simpleng kaganapan upang makamit ang isang resulta sa isang mas madali at mas mabilis na paraan. Tandaan na ang mga batas ng teorya ng posibilidad ay madaling napatunayan gamit ang ilang mga teorema. Iminumungkahi namin na makilala mo muna ang unang batas.

Pagkakabit ng mga pagkakasunud-sunod ng mga variable na variable

Tandaan na maraming mga uri ng tagpo:

• Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga random variable ay nagkakabit sa posibilidad.
• Halos imposible.
• Root-mean-square na tagpo.
• Paghahati ng pamamahagi.

Kaya, sa mabilisang, napakahirap na maunawaan ang kakanyahan. Narito ang ilang mga kahulugan na makakatulong sa iyo na maunawaan ang paksang ito. Para sa mga nagsisimula, ang unang view. Ang pagkakasunud-sunod ay tinatawag pag-convert sa posibilidad, kung natutugunan ang sumusunod na kundisyon: n may posibilidad na ang kawalang-hanggan, ang bilang kung saan ang pagkakasunud-sunod ay may posibilidad na mas malaki kaysa sa zero at malapit sa isa.

Ang paglipat sa ang mga sumusunod na uri, halos tiyak... Ang pagkakasunud-sunod ay sinasabing makipag-ugnay halos tiyak sa isang random variable bilang n ay may posibilidad na kawalang-hanggan, at ang P ay may posibilidad na malapit sa pagkakaisa.

Ang susunod na uri ay rms tagpo... Kapag gumagamit ng SC-tagpo, ang pag-aaral ng mga vector random na proseso ay nabawasan sa pag-aaral ng kanilang mga coordinate random na proseso.

Ang huling uri ay nananatili, ibagsak natin ito sa madaling sabi upang diretso na lutasin ang mga problema. Mayroong isa pang pangalan para sa tagpo sa pamamahagi - "mahina", sa ibaba ay ipapaliwanag namin kung bakit. Mahinang tagpo Ay ang kombinasyon ng mga pag-andar ng pamamahagi sa lahat ng mga punto ng pagpapatuloy ng paglilimita sa pagpapaandar na pamamahagi.

Tiyak na tatutupad namin ang aming pangako: ang mahina na kombinasyon ay naiiba sa lahat ng nasa itaas na ang random variable ay hindi tinukoy sa posibilidad ng posibilidad. Posible ito dahil ang kondisyon ay nabuo ng eksklusibo gamit ang mga function ng pamamahagi.

Ang batas ng maraming mga numero

Ang mga teorema ng teorya ng posibilidad ay magiging mahusay na mga katulong sa pagpapatunay ng batas na ito, tulad ng:

• Hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev.
• Teorema ni Chebyshev.
• Teorema ng Pangkalahatang Chebyshev.
• Teorema ni Markov.

Kung isasaalang-alang namin ang lahat ng mga teoryang ito, pagkatapos ang tanong na ito ay maaaring i-drag ang para sa maraming mga sampu-sampung pahina. Ang aming pangunahing gawain ay ang mag-apply ng teorya ng posibilidad sa pagsasanay. Inaanyayahan ka naming gawin ito ngayon. Ngunit bago iyon, isaalang-alang natin ang mga axioms ng teorya ng posibilidad, sila ang magiging pangunahing katulong sa paglutas ng mga problema.

Axioms

Natagpuan na namin ang una nang pag-uusapan namin ang isang imposible na kaganapan. Alalahanin natin: ang posibilidad ng isang imposible na kaganapan ay zero. Nagbigay kami ng isang napaka matingkad at di malilimutang halimbawa: ito ay nag-snow sa isang temperatura ng hangin na tatlumpung degree Celsius.

Ang pangalawa ay ang mga sumusunod: ang isang maaasahang kaganapan ay nangyayari na may posibilidad na katumbas ng isa. Ngayon ipapakita namin kung paano isulat ito gamit ang wikang matematika: P (B) \u003d 1.

Pangatlo: Ang isang random na kaganapan ay maaaring o hindi maaaring mangyari, ngunit ang posibilidad ay palaging nag-iiba mula sa zero hanggang isa. Kaysa mas malapit na kahulugan sa isa, mas maraming pagkakataon; kung ang halaga ay lumalapit sa zero, ang posibilidad ay napakaliit. Isulat natin ito sa wikang pang-matematika: 0<Р(С)<1.

Isaalang-alang ang huli, ika-apat na axiom, na ganito ang tunog: ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga posibilidad. Sumusulat kami sa wikang matematika: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Ang mga axioms ng teorya ng posibilidad ay ang pinakasimpleng mga patakaran na hindi magiging mahirap tandaan. Subukan nating malutas ang ilang mga problema, batay sa nakuha na kaalaman.

Tiket ng Lottery

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtingin sa pinakasimpleng halimbawa - isang loterya. Isipin na bumili ka ng isang tiket sa loterya para sa good luck. Ano ang posibilidad na manalo ka ng hindi bababa sa dalawampung rubles? Sa kabuuan, isang libong mga tiket ang lumahok sa pagguhit, kung saan ang isa ay may premyo na limang daang rubles, sampu para sa isang daang rubles, limampu sa dalawampung rubles, at isang daan para sa lima. Ang mga problema sa posibilidad ay batay sa paghahanap ng pagkakataon para sa swerte. Ngayon susuriin natin ang solusyon ng nabanggit na gawain nang magkasama.

Kung ipinapahiwatig namin ang isang panalo ng limang daang rubles na may titik A, kung gayon ang posibilidad na makuha ang A ay magiging 0.001. Paano natin ito nakuha? Kailangan mo lamang hatiin ang bilang ng mga "swerte" na mga tiket sa pamamagitan ng kanilang kabuuang bilang (sa kasong ito: 1/1000).

Ang B ay isang panalo ng isang daang rubles, ang posibilidad ay magiging 0.01. Ngayon kumilos kami sa parehong prinsipyo tulad ng sa nakaraang pagkilos (10/1000)

С - ang mga panalo ay pantay sa dalawampung rubles. Nahanap namin ang posibilidad, ito ay 0.05.

Ang natitirang mga tiket ay hindi interesado sa amin, dahil ang kanilang pondo sa premyo ay mas mababa kaysa sa tinukoy sa kondisyon. Ilapat natin ang ika-apat na axiom: Ang posibilidad na manalo ng hindi bababa sa dalawampung rubles ay P (A) + P (B) + P (C). Ang liham P ay nagpapahiwatig ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapang ito, natagpuan na natin ang mga ito sa mga nakaraang pagkilos. Ito ay nananatili lamang upang idagdag ang kinakailangang data, sa sagot na nakukuha namin ang 0,061. Ang bilang na ito ang magiging sagot sa tanong sa gawain.

Kubyerta card

Ang mga problema sa teorya ng posibilidad ay maaaring maging mas kumplikado, halimbawa, gawin natin ang sumusunod na gawain. Narito ang isang kubyerta ng tatlumpu't anim na kard. Ang iyong gawain ay upang gumuhit ng dalawang kard sa isang hilera nang hindi pinaghahalo ang tumpok, ang una at pangalawang kard ay dapat na aces, hindi mahalaga ang suit.

Una, hahanapin natin ang posibilidad na ang unang kard ay magiging isang ace, para sa mga ito hatiin namin ang apat sa tatlumpu't anim. Inilagay nila ito. Kinukuha namin ang pangalawang card, magiging isang ace na may posibilidad na tatlong tatlumpu't lima. Ang posibilidad ng pangalawang kaganapan ay nakasalalay sa kung aling card ang iguguhit muna natin, nagtataka kami kung ito ba ay hindi o hindi. Sinusundan ito mula sa kaganapang ito B ay depende sa kaganapan A.

Ang susunod na hakbang ay upang mahanap ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw, iyon ay, pinarami natin ang A at B. Ang kanilang produkto ay natagpuan tulad ng sumusunod: ang posibilidad ng isang kaganapan ay pinarami ng conditional probabilidad ng isa pa, na kinakalkula namin, sa pag-aakalang nangyari ang unang kaganapan, iyon ay, kasama ang unang card na iginuhit namin ang isang ace.

Upang maging malinaw ang lahat, bigyan natin ng isang pagtatalaga sa tulad ng isang elemento tulad ng mga kaganapan. Ito ay kinakalkula, ipinapalagay na ang kaganapan A ay nangyari. Kinakalkula tulad ng sumusunod: P (B / A).

Ipagpatuloy natin ang paglutas ng aming problema: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) o P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Ang posibilidad ay (4/36) * ((3/35) / (4/36). Kalkulahin, pag-ikot sa pinakamalapit na daan. Mayroon kaming: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.09 Ang posibilidad na iguguhit namin ang dalawang mga aces sa isang hilera ay katumbas ng siyam na daan na ang halaga ay napakaliit, na nangangahulugang ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan ay napakaliit.

Nakalimutan na numero

Iminumungkahi namin na suriin ang ilang higit pang mga pagpipilian para sa mga gawain na ang teorya ng mga pag-aaral ng posibilidad. Nakita mo na ang mga halimbawa ng paglutas ng ilan sa mga ito sa artikulong ito, subukang suriin ang sumusunod na problema: nakalimutan ng batang lalaki ang huling numero ng numero ng telepono ng kanyang kaibigan, ngunit dahil ang tawag ay napakahalaga, sinimulan niyang i-dial ang lahat. Kailangan nating kalkulahin ang posibilidad na tatawag siya nang hindi hihigit sa tatlong beses. Ang solusyon ng problema ay ang pinakasimpleng kung ang mga patakaran, batas at axioms ng teorya ng posibilidad ay kilala.

Bago tingnan ang solusyon, subukang malutas ito mismo. Alam namin na ang huling numero ay maaaring mula sa zero hanggang siyam, iyon ay, may sampung halaga lamang. Ang posibilidad ng pagkuha ng kinakailangang isa ay 1/10.

Susunod, kailangan nating isaalang-alang ang mga pagpipilian para sa pinagmulan ng kaganapan, ipagpalagay na tama ang lalaki na nahulaan at agad na nai-type ang nais, ang posibilidad ng naturang kaganapan ay 1/10. Ang pangalawang pagpipilian: ang unang tawag ay isang miss, at ang pangalawa ay nasa target. Isaalang-alang natin ang posibilidad ng naturang kaganapan: magparami ng 9/10 sa pamamagitan ng 1/9, sa dulo makakakuha din tayo ng 1/10. Ang pangatlong pagpipilian: ang una at pangalawang tawag ay nasa maling address, mula lamang sa pangatlo ang nakuha ng batang lalaki kung saan niya gusto. Kinakalkula namin ang posibilidad ng naturang kaganapan: dumami ang 9/10 sa pamamagitan ng 8/9 at sa pamamagitan ng 1/8, nakakakuha kami ng 1/10 bilang isang resulta. Hindi kami interesado sa iba pang mga pagpipilian ayon sa kondisyon ng problema, kaya nananatili para sa amin upang magdagdag ng mga resulta na nakuha, sa huli mayroon kaming 3/10. Sagot: Ang posibilidad na tumawag ang isang batang lalaki ng hindi hihigit sa tatlong beses ay 0.3.

Mga Mga Kard

Mayroong siyam na kard sa harap mo, bawat isa ay mayroong isang numero mula isa hanggang siyam na nakasulat, ang mga numero ay hindi paulit-ulit. Ang mga ito ay inilagay sa isang kahon at pinaghalong mabuti. Kailangan mong kalkulahin ang posibilidad na

• ang kahit isang numero ay ibababa;
• dalawang-digit.

Bago magpatuloy sa solusyon, sabihin natin na ang m ay ang bilang ng matagumpay na mga kaso, at n ay ang kabuuang bilang ng mga pagpipilian. Hanapin ang posibilidad na ang bilang ay magiging kahit na. Hindi magiging mahirap makalkula na mayroong apat kahit na mga numero, ito ang magiging m namin, siyam na mga pagpipilian lamang ang posible, iyon ay, m \u003d 9. Pagkatapos ang posibilidad ay 0.44 o 4/9.

Isaalang-alang ang pangalawang kaso: ang bilang ng mga pagpipilian ay siyam, ngunit walang maaaring matagumpay na mga kinalabasan, iyon ay, m ay katumbas ng zero. Ang posibilidad na ang iginuhit na card ay naglalaman ng isang dalawang-digit na numero ay din zero.

Orihinal na lamang ng isang koleksyon ng impormasyon at empirical na mga obserbasyon ng dice, ang teorya ng posibilidad ay naging isang matibay na agham. Ang una na nagbigay nito ng isang balangkas ng matematika ay sina Fermat at Pascal.

Mula sa pag-iisip tungkol sa walang hanggan hanggang sa teorya ng posibilidad

Dalawang personalidad kung saan ang teoryang teorya ay may utang sa maraming mga pangunahing pormula nito, sina Blaise Pascal at Thomas Bayes, ay kilala bilang malalim na relihiyosong tao, na ang huli ay isang pari ng Presbyterian. Tila, ang pagnanais ng dalawang siyentipiko na ito upang patunayan ang pagkahulog ng opinyon tungkol sa isang tiyak na Fortune, na nagbibigay ng magandang kapalaran sa kanyang mga alagang hayop, nagbigay impetus sa pananaliksik sa lugar na ito. Sa katunayan, sa katunayan, ang anumang laro sa pagsusugal kasama ang mga panalo at pagkalugi nito ay isang simetrya lamang ng mga prinsipyo sa matematika.

Salamat sa pagkasabik ng cavalier de Mere, na pantay na manugal at isang tao na walang pakialam sa agham, pinilit si Pascal na makahanap ng isang paraan upang makalkula ang posibilidad. Si De Mere ay interesado sa sumusunod na tanong: "Gaano karaming beses na kailangan mong itapon ang dalawang dice sa mga pares upang ang posibilidad na makakuha ng 12 puntos na lalampas sa 50%?" Ang pangalawang tanong, na kung saan ay napakahusay na interes sa ginoo: "Paano hatiin ang taya sa pagitan ng mga kalahok sa hindi natapos na laro?" Siyempre, matagumpay na sinagot ni Pascal ang parehong mga katanungan de Mere, na naging hindi kasiya-siyang payunir sa pagbuo ng teorya ng posibilidad. Kapansin-pansin na ang taong de Mere ay nanatiling kilala sa larangang ito, at hindi sa panitikan.

Noong nakaraan, walang isang matematiko na nagtangka upang makalkula ang mga posibilidad ng mga kaganapan, dahil pinaniniwalaan na ito ay isang solusyon lamang sa paghula. Ibinigay ni Blaise Pascal ang unang kahulugan ng posibilidad ng isang kaganapan at ipinakita na ito ay isang tiyak na pigura na maaaring matunayan sa matematika. Ang teorya ng posibilidad ay naging batayan para sa mga istatistika at malawak na ginagamit sa modernong agham.

Ano ang randomness

Kung isaalang-alang namin ang isang pagsubok na maaaring ulitin ng isang walang hanggan bilang ng mga beses, pagkatapos ay maaari naming tukuyin ang isang random na kaganapan. Ito ay isa sa mga malamang na resulta ng karanasan.

Ang karanasan ay ang pagpapatupad ng mga tukoy na aksyon sa ilalim ng palagiang mga kondisyon.

Upang magtrabaho kasama ang mga resulta ng eksperimento, ang mga kaganapan ay karaniwang itinalaga ng mga titik A, B, C, D, E ...

Ang posibilidad ng isang random na kaganapan

Upang masimulan ang bahagi ng matematika ng posibilidad, kinakailangan upang tukuyin ang lahat ng mga sangkap nito.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay isang bilang na sukatan ng posibilidad ng isang kaganapan (A o B) na nagaganap bilang isang resulta ng karanasan. Ang posibilidad ay itinalaga bilang P (A) o P (B).

Ang teorya ng posibilidad ay nakikilala sa pamamagitan ng:

• maaasahan ang kaganapan ay ginagarantiyahan na maganap bilang isang resulta ng eksperimento P (Ω) \u003d 1;
• imposible ang kaganapan ay hindi maaaring mangyari Р (Ø) \u003d 0;
• hindi sinasadya ang isang kaganapan ay namamalagi sa pagitan ng tiyak at imposible, iyon ay, ang posibilidad ng paglitaw nito ay posible, ngunit hindi garantisado (ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay palaging nasa loob ng saklaw ng 0≤P (A) ≤ 1).

Mga ugnayan sa pagitan ng mga kaganapan

Isaalang-alang ang isa at ang kabuuan ng mga kaganapan A + B, kapag ang kaganapan ay binibilang kung hindi bababa sa isa sa mga sangkap, A o B, o pareho, A at B ay ipinatupad.

Kaugnay sa bawat isa, ang mga kaganapan ay maaaring:

• Pantay na posible.
• Mga katugmang.
• Hindi katugma.
• Kabaligtaran (kapwa eksklusibo).
• Nakagumon.

Kung ang dalawang kaganapan ay maaaring mangyari na may pantay na posibilidad, kung gayon pantay na posible.

Kung ang paglitaw ng kaganapan A ay hindi binabawasan ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan B sa zero, kung gayon sila katugma

Kung ang mga kaganapan A at B ay hindi nagaganap nang sabay-sabay sa parehong karanasan, tinawag sila hindi katugma... Ang pagtagis ng isang barya ay isang magandang halimbawa: ang mga buntot ay awtomatikong hindi ulo.

Ang posibilidad para sa kabuuan ng naturang hindi magkatugma na mga kaganapan ay binubuo ng kabuuan ng mga posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapan:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

Kung ang pagsisimula ng isang kaganapan ay gumagawa ng simula ng isa pang imposible, kung gayon sila ay tinatawag na kabaligtaran. Kung gayon ang isa sa kanila ay itinalaga bilang A, at ang isa pa - Ā (basahin bilang "hindi A"). Pagkakataon ng kaganapan A ay nangangahulugan na hindi nangyari si Ā. Ang dalawang kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat na may kabuuan ng mga posibilidad na katumbas ng 1.

Ang mga umaasang pangyayari ay may impluwensya sa kapwa, pagbawas o pagtaas ng posibilidad ng bawat isa.

Mga ugnayan sa pagitan ng mga kaganapan. Mga halimbawa ng

Ang paggamit ng mga halimbawa, mas madaling maunawaan ang mga prinsipyo ng teorya ng posibilidad at pagsasama ng mga kaganapan.

Ang eksperimento na isasagawa ay binubuo sa pagkuha ng mga bola sa labas ng kahon, at ang resulta ng bawat eksperimento ay isang pangunahin na kinalabasan.

Ang isang kaganapan ay isa sa mga posibleng kinalabasan ng isang eksperimento - isang pulang bola, isang asul na bola, numero ng bola, atbp.

Pagsubok No. 1. Ang 6 na bola ay kasangkot, tatlo sa mga ito ay may kulay na asul na may kakaibang mga numero, at tatlong iba pa ay pula na kahit na ang mga numero.

Pagsubok bilang 2. Ang 6 na bola ng asul na kulay na may mga numero mula isa hanggang anim ay nakikilahok.

Batay sa halimbawang ito, maaari mong pangalanan ang mga kumbinasyon:

• Isang maaasahang kaganapan. Sa isp. Hindi. 2, ang kaganapan "upang makuha ang asul na bola" ay maaasahan, dahil ang posibilidad ng paglitaw nito ay 1, dahil ang lahat ng mga bola ay asul at walang maaaring makaligtaan. Samantalang ang kaganapan "makuha ang bola na may numero 1" ay random.
• Imposibleng kaganapan. Sa isp. Ang №1 na may asul at pulang bola, ang kaganapan "upang makuha ang lilang bola" ay imposible, dahil ang posibilidad ng paglitaw nito ay 0.
• Parehong posibleng mga kaganapan. Sa isp. Hindi. 1 ng mga kaganapan na "makuha ang bola na may numero 2" at "makuha ang bola na may numero 3" ay pantay na posible, at ang mga kaganapan ay "nakakuha ng bola na may isang numero" at "makuha ang bola na may bilang 2" ay may iba't ibang mga posibilidad.
• Mga katugmang mga kaganapan. Ang pagkuha ng isang anim na sunud-sunod nang dalawang beses sa isang hilera ay magkatugma na mga kaganapan.
• Hindi magkatugma na mga kaganapan. Sa parehong isp. Hindi. 1, ang mga kaganapan na "kumuha ng isang pulang bola" at "kumuha ng bola na may kakaibang numero" ay hindi maaaring pagsamahin sa parehong eksperimento.
• Kabaligtaran ang mga kaganapan. Ang pinaka-kapansin-pansin na halimbawa nito ay isang barya na ibinubuhos kung saan ang pagguhit ng mga ulo ay mahalaga sa hindi pagguhit ng mga buntot, at ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay palaging 1 (buong pangkat).
• Mga pangyayaring umaasa... Kaya, sa isp. # 1, maaari kang magtakda ng isang layunin upang kunin ang pulang bola nang dalawang beses sa isang hilera. Ito ay nakuha o hindi nakuha sa unang pagkakataon na nakakaapekto sa posibilidad na makuha ito sa pangalawang pagkakataon.

Makikita na ang unang kaganapan ay makabuluhang nakakaapekto sa posibilidad ng pangalawang (40% at 60%).

Formula ng probabilidad ng kaganapan

Ang paglipat mula sa nagsasabi ng mga kaisipan sa tumpak na data ay nangyayari sa pamamagitan ng pagsalin sa paksa sa isang eroplano sa matematika. Iyon ay, ang mga paghuhukom tungkol sa isang random na kaganapan tulad ng "mataas na posibilidad" o "minimum na probabilidad" ay maaaring isalin sa tiyak na data ayon sa numero. Ito ay pinapayagan na suriin ang naturang materyal, ihambing at pumasok sa mas kumplikadong mga kalkulasyon.

Mula sa punto ng view ng pagkalkula, ang kahulugan ng posibilidad ng isang kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga elementong positibong kinalabasan sa bilang ng lahat ng posibleng mga resulta ng karanasan patungkol sa isang partikular na kaganapan. Ang posibilidad ay ipinapahiwatig sa pamamagitan ng P (A), kung saan ang P ay nangangahulugang ang salitang "probabilite", na isinalin mula sa Pranses bilang "posibilidad".

Kaya, ang formula para sa posibilidad ng isang kaganapan:

Kung saan ang bilang ng mga kanais-nais na mga resulta para sa kaganapan A, n ay ang kabuuan ng lahat ng mga resulta na posible para sa karanasang ito. Sa kasong ito, ang posibilidad ng isang kaganapan ay palaging namamalagi sa pagitan ng 0 at 1:

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Pagkalkula ng posibilidad ng isang kaganapan. Halimbawa

Kunin natin ang Espanyol. Ball # 1 tulad ng inilarawan nang mas maaga: 3 asul na bola na may mga numero 1/3/5 at 3 pulang bola na may mga numero 2/4/6.

Maraming iba't ibang mga gawain ang maaaring isaalang-alang batay sa pagsubok na ito:

• A - pulang bola na bumabagsak. Mayroong 3 pulang bola, at mayroong 6 na variant sa kabuuan.Ito ang pinakasimpleng halimbawa, kung saan ang posibilidad ng isang kaganapan ay P (A) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• B - isang numero kahit na bumaba. Mayroong 3 (2,4,6) kahit na mga numero sa kabuuan, at ang kabuuang bilang ng mga posibleng mga variant ng numero ay 6. Ang posibilidad ng kaganapang ito ay P (B) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• C - nahuhulog sa isang bilang na mas malaki kaysa sa 2. Mayroong 4 tulad ng mga pagpipilian (3,4,5,6) mula sa kabuuang bilang ng mga posibleng kinalabasan 6. Ang posibilidad ng kaganapan C ay P (C) \u003d 4/6 \u003d 0.67.

Tulad ng nakikita mula sa mga kalkulasyon, ang kaganapan C ay may mataas na posibilidad, dahil ang bilang ng mga posibleng positibong resulta ay mas mataas kaysa sa A at B.

Hindi magkatugma na mga kaganapan

Ang ganitong mga kaganapan ay hindi maaaring lilitaw nang sabay-sabay sa parehong karanasan. Tulad ng sa isp. Hindi. Imposible na maabot ang asul at pulang bola nang sabay. Iyon ay, maaari kang makakuha ng alinman sa isang asul o isang pulang bola. Gayundin, ang isang kahit na at kakaibang numero ay hindi maaaring lumitaw sa mamatay nang sabay.

Ang posibilidad ng dalawang kaganapan ay isinasaalang-alang bilang ang posibilidad ng kanilang kabuuan o produkto. Ang kabuuan ng naturang mga kaganapan Ang A + B ay itinuturing na isang kaganapan na binubuo sa hitsura ng isang kaganapan A o B, at ang kanilang produkto na AB ay nasa hitsura ng pareho. Halimbawa, ang hitsura ng dalawang sixes nang sabay-sabay sa mga gilid ng dalawang dice sa isang roll.

Ang kabuuan ng maraming mga kaganapan ay isang kaganapan na presupposes ang hitsura ng hindi bababa sa isa sa kanila. Ang paggawa ng maraming mga kaganapan ay ang magkasanib na hitsura ng lahat ng mga ito.

Sa teorya ng posibilidad, bilang isang patakaran, ang paggamit ng unyon "at" nagpapahiwatig ng kabuuan, unyon "o" - ang pagdami. Ang mga formula na may mga halimbawa ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang lohika ng pagdaragdag at pagpaparami sa teorya ng posibilidad.

Ang posibilidad ng kabuuan ng hindi pantay na mga kaganapan

Kung ang posibilidad ng hindi pantay na mga kaganapan ay isinasaalang-alang, kung gayon ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan ay katumbas ng pagdaragdag ng kanilang mga probabilidad:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

Halimbawa: kalkulahin ang posibilidad na nasa isp. Ang №1 na may asul at pulang bola ay ibababa ang isang numero sa pagitan ng 1 at 4. Timbangin natin hindi sa isang pagkilos, ngunit ang kabuuan ng mga posibilidad ng mga elementong sangkap. Kaya, sa ganitong karanasan mayroon lamang 6 na bola o 6 sa lahat ng posibleng mga kinalabasan. Ang mga numero na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ay 2 at 3. Ang posibilidad na makuha ang numero 2 ay 1/6, ang posibilidad ng bilang 3 ay 1/6 din. Ang posibilidad na ang isang numero sa pagitan ng 1 at 4 ay ibababa ay:

Ang posibilidad ng kabuuan ng hindi katugma na mga kaganapan ng kumpletong pangkat ay 1.

Kaya, kung sa eksperimento sa kubo ay idinagdag namin ang mga posibilidad na mahulog sa lahat ng mga numero, kung gayon ang resulta ay isa.

Totoo rin ito para sa mga kabaligtaran na kaganapan, halimbawa, sa karanasan na may isang barya, kung saan ang isang bahagi nito ay ang kaganapan A, at ang isa pa ay ang kabaligtaran na kaganapan, tulad ng alam mo,

P (A) + P (Ā) \u003d 1

Posibilidad ng paggawa ng hindi pantay na mga kaganapan

Ang pagpaparami ng posibilidad ay ginagamit kapag isinasaalang-alang ang hitsura ng dalawa o higit pang hindi katugma na mga kaganapan sa isang obserbasyon. Ang posibilidad na ang mga kaganapan A at B ay lilitaw sa ito nang sabay-sabay ay katumbas ng produkto ng kanilang mga posibilidad, o:

P (A * B) \u003d P (A) * P (B)

Halimbawa, ang posibilidad na sa Espanyol. №1 bilang isang resulta ng dalawang pagtatangka, isang asul na bola ang lilitaw nang dalawang beses, pantay

Iyon ay, ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap kung, bilang isang resulta ng dalawang pagtatangka sa pagkuha ng mga bola, ang mga asul na bola lamang ang makukuha ay 25%. Napakadaling gawin ang mga praktikal na eksperimento sa gawaing ito at tingnan kung ito talaga ang kaso.

Pinagsamang mga kaganapan

Ang mga kaganapan ay itinuturing na magkasanib kung ang hitsura ng isa sa mga ito ay maaaring magkatugma sa hitsura ng isa pa. Bagaman sila ay magkasanib, ang posibilidad ng mga independiyenteng mga kaganapan ay isinasaalang-alang. Halimbawa, ang paghahagis ng dalawang dice ay maaaring magbigay ng isang resulta kapag ang dalawa ay nakuha ang numero 6. Kahit na ang mga kaganapan ay nagkakasabay at lumitaw nang sabay, sila ay independiyenteng sa bawat isa - isa lamang ang maaaring mahulog, ang pangalawang dice ay walang epekto dito.

Ang posibilidad ng magkasanib na mga kaganapan ay isinasaalang-alang bilang ang posibilidad ng kanilang kabuuan.

Ang posibilidad ng kabuuan ng magkasanib na mga kaganapan. Halimbawa

Ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan A at B, na magkakasamang may kaugnayan sa bawat isa, ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng kaganapan na bawas ang posibilidad ng kanilang produkto (iyon ay, ang kanilang magkasanib na pagpapatupad):

R magkasanib (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Ipagpalagay natin na ang posibilidad ng paghagup ng isang target na may isang shot ay 0.4. Pagkatapos kaganapan A - paghagupit ang target sa unang pagtatangka, B - sa pangalawa. Ang mga kaganapang ito ay magkasanib, dahil posible na matumbok ang target mula sa una at pangalawang shot. Ngunit ang mga kaganapan ay hindi nakasalalay. Ano ang posibilidad ng isang target na pagpindot sa kaganapan na may dalawang shot (hindi bababa sa isang)? Ayon sa pormula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ang sagot sa tanong ay: "Ang posibilidad ng pagpindot sa target na may dalawang pag-shot ay 64%."

Ang pormula na ito para sa posibilidad ng isang kaganapan ay maaaring mailapat sa hindi magkatulad na mga kaganapan, kung saan ang posibilidad ng magkasanib na paglitaw ng isang kaganapan P (AB) \u003d 0. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng kabuuan ng hindi pantay na mga kaganapan ay maaaring isaalang-alang ng isang espesyal na kaso ng iminungkahing pormula.

Geometry ng posibilidad para sa kalinawan

Kapansin-pansin, ang posibilidad ng kabuuan ng magkasanib na mga kaganapan ay maaaring kinakatawan sa anyo ng dalawang mga rehiyon A at B, na sumasalungat sa bawat isa. Tulad ng nakikita mo mula sa larawan, ang lugar ng kanilang unyon ay katumbas ng kabuuang lugar na minus sa lugar ng kanilang intersection. Ang mga geometrical na paliwanag na ito ay gumagawa ng pormula, hindi makatwiran sa unang sulyap, mas malinaw. Tandaan na ang mga geometric na solusyon ay hindi pangkaraniwan sa teorya ng posibilidad.

Ang pagtukoy ng posibilidad ng kabuuan ng isang hanay (higit sa dalawa) ng magkasanib na mga kaganapan ay sa halip mahirap. Upang makalkula ito, kailangan mong gumamit ng mga pormula na ibinigay para sa mga kasong ito.

Mga pangyayaring umaasa

Ang mga nakasalalay na kaganapan ay tinatawag kung ang paglitaw ng isang (A) sa mga ito ay nakakaapekto sa posibilidad ng paglitaw ng isa pang (B). Bukod dito, ang impluwensya ng parehong hitsura ng kaganapan A at ang di-hitsura nito ay isinasaalang-alang. Bagaman ang mga kaganapan ay tinatawag na nakasalalay sa kahulugan, isa lamang sa kanila ang nakasalalay (B). Ang karaniwang posibilidad ay tinukoy bilang P (B) o ang posibilidad ng independiyenteng mga kaganapan. Sa kaso ng nakasalalay, ang isang bagong konsepto ay ipinakilala - ang kondisyon na posibilidad na P A (B), na kung saan ay ang posibilidad ng nakasalalay na kaganapan B sa ilalim ng kondisyon ng kaganapan A (hypothesis), kung saan nakasalalay ito.

Ngunit ang kaganapan A ay random din, samakatuwid mayroon din itong isang posibilidad na dapat at maaaring isaalang-alang sa mga kalkulasyon. Ang sumusunod na halimbawa ay magpapakita sa iyo kung paano magtrabaho sa mga nakasalalay na kaganapan at isang hypothesis.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng posibilidad ng mga umaasang pangyayari

Ang isang mabuting halimbawa para sa pagkalkula ng mga umaasang mga kaganapan ay isang karaniwang deck ng mga kard.

Ang paggamit ng isang deck ng 36 card bilang isang halimbawa, isaalang-alang ang umaasa sa mga kaganapan. Kinakailangan upang matukoy ang posibilidad na ang pangalawang card na iginuhit mula sa kubyerta ay magiging mga diamante, kung ang unang card ay iginuhit:

1. Mga diamante.
2. Isa pang suit.

Malinaw, ang posibilidad ng ikalawang kaganapan B ay nakasalalay sa una A. Kaya, kung ang unang pagpipilian ay totoo, na mayroong 1 card (35) sa kubyerta at 1 tambourine (8) mas kaunti, ang posibilidad ng kaganapan B:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0.23

Kung ang pangalawang pagpipilian ay may bisa, pagkatapos ay mayroong 35 card sa kubyerta, at ang buong bilang ng mga tamburin (9) ay mapangalagaan, kung gayon ang posibilidad ng sumusunod na kaganapan B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Makikita na kung ang kaganapan A ay sumang-ayon na ang unang kard ay isang tamburin, kung gayon ang posibilidad ng kaganapan B ay bumababa, at kabaligtaran.

Pagpaparami ng mga umaasang pangyayari

Ginabayan ng nakaraang kabanata, kinukuha namin ang unang kaganapan (A) bilang katotohanan, ngunit sa esensya, ito ay random. Ang posibilidad ng kaganapang ito, lalo na ang pagkuha ng isang tambourine mula sa isang deck ng mga kard, ay katumbas ng:

P (A) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Dahil ang isang teorya ay hindi umiiral sa kanyang sarili, ngunit inilaan upang maglingkod para sa mga praktikal na layunin, makatarungan na sabihin na ang posibilidad ng paggawa ng mga umaasang mga kaganapan ay madalas na kinakailangan.

Ayon sa teorem sa produkto ng mga probabilidad ng mga umaasang pangyayari, ang posibilidad ng paglitaw ng magkakasamang umaasang mga kaganapan A at B ay katumbas ng posibilidad ng isang kaganapan A, pinarami ng kondisyon na posibilidad ng kaganapan B (umaasa sa A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Pagkatapos, sa halimbawa na may isang kubyerta, ang posibilidad ng pagguhit ng dalawang kard na may suit ng tamburin ay:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571, o 5.7%

At ang posibilidad ng pagkuha sa una hindi mga tamburin, at pagkatapos ng tamburin, ay katumbas ng:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19, o 19%

Makikita na ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan B ay mas malaki, sa kondisyon na ang unang card ay iginuhit mula sa isang suit maliban sa isang tamburina. Ang resulta na ito ay medyo lohikal at naiintindihan.

Kabuuang posibilidad ng kaganapan

Kung ang isang problema sa mga kondisyon ng posibilidad ay nagiging multifaceted, hindi ito makakalkula gamit ang mga maginoo na pamamaraan. Kapag mayroong higit sa dalawang hypotheses, lalo na ang A1, A2, ..., At n, .. ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan, na ibinigay:

• P (A i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i ∩ A j \u003d Ø, i ≠ j.
• Σ k A k \u003d Ω.

Kaya, ang formula para sa kabuuang posibilidad para sa kaganapan B na may isang buong pangkat ng mga random na kaganapan A1, A2, ..., At n ay katumbas ng:

Isang pagtingin sa hinaharap

Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay lubos na kinakailangan sa maraming mga lugar ng agham: ekonometrika, istatistika, pisika, atbp Dahil ang ilang mga proseso ay hindi mailarawan nang deterministically, dahil sila mismo ay may isang probabilistikong kalikasan, kinakailangan ang mga espesyal na pamamaraan ng trabaho. Ang teorya ng posibilidad ay maaaring magamit sa anumang larangan ng teknolohikal bilang isang paraan upang matukoy ang posibilidad ng pagkakamali o madepektong paggawa.

Masasabi natin na, pagkilala sa posibilidad, gumawa tayo ng isang hakbang na panteorya sa hinaharap, tinitingnan ito sa pamamagitan ng prisma ng mga pormula.

• Ang posibilidad ay ang antas (kamag-anak na panukalang-batas, pagsusuri sa dami) ng posibilidad ng isang tiyak na kaganapan na nagaganap. Kung ang mga dahilan para sa ilang posibleng kaganapan na aktwal na naganap kaysa sa kabaligtaran na mga kadahilanan, kung gayon ang kaganapan ay tinatawag na posibleng, kung hindi man ay hindi malamang o hindi magagawa. Ang preponderance ng mga positibong batayan sa mga negatibo, at kabaligtaran, ay maaaring magkakaiba-iba ng mga degree, bilang isang resulta kung saan ang posibilidad (at kawalan ng bisa) ay mas malaki o mas kaunti. Samakatuwid, ang posibilidad ay madalas na masuri sa isang antas ng husay, lalo na sa mga kaso kung saan imposible o labis na mahirap ang isang mas tumpak na pagtatasa ng dami. Iba't ibang mga gradasyon ng mga "antas" ng posibilidad.

  Ang pag-aaral ng posibilidad mula sa isang pang-matematika na pananaw ay isang espesyal na disiplina - ang teorya ng posibilidad. Sa probabilidad na teorya at matematikal na istatistika, ang konsepto ng posibilidad ay pormal na bilang isang bilang na katangian ng isang kaganapan - isang probabilistikong panukala (o ang halaga nito) ay isang panukalang-batas sa isang hanay ng mga kaganapan (mga subset ng isang hanay ng mga pangunahing kaganapan), ang pagkuha ng mga halaga mula sa

  (\\ displaystyle 0)

  (\\ displaystyle 1)

  Halaga

  (\\ displaystyle 1)

  Naaayon sa isang wastong kaganapan. Ang isang imposible na kaganapan ay may posibilidad na 0 (ang pag-uusap sa pangkalahatan ay hindi palaging totoo). Kung ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap ay

  (\\ displaystyle p)

  Kung gayon ang posibilidad ng hindi mangyari ay

  (\\ displaystyle 1-p)

  Sa partikular, ang posibilidad

  (\\ displaystyle 1/2)

  Nangangahulugan ng pantay na posibilidad ng paglitaw at hindi paglitaw ng kaganapan.

  Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay batay sa paniwala ng pantay na posibilidad ng mga kinalabasan. Ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan ng naaayon sa isang naibigay na kaganapan sa kabuuang bilang ng pantay na posibleng kinalabasan ay kumikilos bilang isang posibilidad. Halimbawa, ang posibilidad ng pagkuha ng "mga ulo" o "mga buntot" sa pamamagitan ng isang random na paghagis ng barya ay 1/2 kung ipinapalagay na ang dalawang posibilidad lamang na ito at pantay na posible. Ang klasikal na "kahulugan" ng posibilidad ay maaaring pangkalahatan sa kaso ng isang walang hanggan bilang ng mga posibleng halaga - halimbawa, kung ang isang kaganapan ay maaaring mangyari na may pantay na posibilidad sa anumang punto (ang bilang ng mga puntos ay walang hanggan) sa isang tiyak na limitadong lugar ng espasyo (eroplano), kung gayon ang posibilidad na mangyari ito sa isang tiyak bahagi ng napapayag na lugar na ito ay katumbas ng ratio ng dami (lugar) ng bahaging ito sa dami (lugar) ng lugar ng lahat ng posibleng mga puntos.

  Ang empirikal na "kahulugan" ng posibilidad ay nauugnay sa dalas ng paglitaw ng isang kaganapan sa batayan na sa isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok, ang dalas ay dapat na umaangkop sa layunin na antas ng posibilidad ng kaganapang ito. Sa modernong pagtatanghal ng teorya ng posibilidad, ang probabilidad ay tinukoy axiomatically, bilang isang espesyal na kaso ng abstract teorya ng sukatan ng isang set. Gayunpaman, ang link sa pagitan ng abstract na panukalang-batas at ang posibilidad, na nagpapahiwatig ng antas ng posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan, ay tiyak na dalas ng pagmamasid nito.

  Ang probabilistikong paglalarawan ng ilang mga phenomena ay naging laganap sa modernong agham, lalo na sa econometrics, ang statistic physics ng macroscopic (thermodynamic) system, kung saan kahit na sa kaso ng klasikal na deterministikong paglalarawan ng paggalaw ng mga particle, ang deterministikong paglalarawan ng buong sistema ng mga particle ay hindi praktikal na posible at malaki. Sa dami ng pisika, ang mga proseso na inilarawan sa kanilang mga sarili ay isang probabilistikong kalikasan.