Potensligninger og udtryk hvordan man løser. Foredrag: ”Metoder til løsning af eksponentialligninger

hjem / Psykologi

I denne artikel vil du stifte bekendtskab med alle typer eksponentielle ligninger og algoritmer til at løse dem, lær at genkende, hvilken type den tilhører eksponentiel ligning, som du skal løse, og anvende den passende metode til at løse det. Detaljeret løsning af eksempler eksponentielle ligninger Du kan se hver type i de tilsvarende VIDEOLEKTIONER.

En eksponentiel ligning er en ligning, hvor det ukendte er indeholdt i en eksponent.

Før du begynder at løse en eksponentiel ligning, er det nyttigt at lave et par stykker foreløbige handlinger , hvilket væsentligt kan lette processen med at løse det. Dette er trinene:

1. Opdel alle magtgrundlag i primfaktorer.

2. Præsenter rødderne som en grad.

3. Præsenter decimalbrøker som almindelige brøker.

4. Skriv blandede tal som uægte brøker.

Du vil indse fordelene ved disse handlinger i processen med at løse ligninger.

Lad os se på hovedtyperne eksponentielle ligninger og algoritmer til at løse dem.

1. Formens ligning

Denne ligning svarer til ligningen

Se løsningen til ligningen i denne VIDEO TUTORIAL denne type.

2. Formens ligning

I ligninger af denne type:

b) koefficienterne for det ukendte i eksponenten er lige store.

For at løse denne ligning skal du udregne den mindste faktor.

Et eksempel på løsning af en ligning af denne type:

se VIDEO TUTORIAL.

3. Formens ligning

Ligninger af denne type adskiller sig herved

a) alle grader har de samme baser

b) koefficienterne for det ukendte i eksponenten er forskellige.

Ligninger af denne type løses ved hjælp af ændringer af variable. Før du introducerer en erstatning, er det tilrådeligt at slippe af med gratis termer i eksponenten. (, , etc)

Se VIDEO TUTORIAL for at løse denne type ligning:

4. Homogene ligninger type

Karakteristiske træk ved homogene ligninger:

a) alle monomialer har samme grad,

b) den frie periode er nul,

c) ligningen indeholder potenser med to forskellige grundtal.

Homogene ligninger løses ved hjælp af en lignende algoritme.

For at løse denne form for ligning dividerer vi begge sider af ligningen med (kan divideres med eller med)

Opmærksomhed! Når du dividerer højre og venstre side af en ligning med et udtryk, der indeholder en ukendt, kan du miste rødder. Derfor er det nødvendigt at kontrollere, om rødderne af det udtryk, som vi deler begge sider af ligningen med, er rødderne af den oprindelige ligning.

I vores tilfælde, da udtrykket ikke er nul for nogen værdi af det ukendte, kan vi dividere med det uden frygt. Lad os dividere venstre side af ligningen med dette udtryk led for led. Vi får:

Lad os reducere tælleren og nævneren af anden og tredje brøk:

Lad os introducere erstatningen:

Desuden title="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Vi får andengradsligning:

Lad os løse den andengradsligning, find de værdier, der opfylder betingelsen title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Se VIDEO TUTORIAL detaljeret løsning homogen ligning:

5. Formens ligning

Når vi løser denne ligning, vil vi gå ud fra, at title="f(x)>0">!}

Den oprindelige lighed er opfyldt i to tilfælde:

1. Hvis, da 1 til enhver potens er lig med 1,

2. Hvis to betingelser er opfyldt:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Se VIDEO TUTORIAL for en detaljeret løsning på ligningen

Eksponentialligninger. Som du ved, inkluderer Unified State Examinationen simple ligninger. Vi har allerede overvejet nogle - disse er logaritmiske, trigonometriske, rationelle. Her er eksponentialligningerne.

I en nylig artikel, vi arbejdede med eksponentielle udtryk, vil det være nyttigt. Selve ligningerne løses enkelt og hurtigt. Du skal bare kende eksponenternes egenskaber og... Om detteYderligere.

Lad os liste egenskaberne for eksponenter:

Nulpotensen af ethvert tal er lig med en.

En konsekvens af denne ejendom:

Lidt mere teori.

En eksponentiel ligning er en ligning, der indeholder en variabel i eksponenten, det vil sige, det er en ligning af formen:

f(x) udtryk, der indeholder en variabel

Metoder til løsning af eksponentialligninger

1. Som et resultat af transformationer kan ligningen reduceres til formen:

Så anvender vi ejendommen:

2. Ved opnåelse af en ligning af formen en f (x) = b ved hjælp af definitionen af logaritme får vi:

3. Som et resultat af transformationer kan du få en ligning af formen:

Logaritme anvendt:

Udtryk og find x.

I opgaver Muligheder for Unified State Exam Det vil være nok at bruge den første metode.

Det vil sige, at det er nødvendigt at repræsentere venstre og højre side i form af potenser med samme base, og så sidestiller vi eksponenterne og løser den sædvanlige lineære ligning.

Overvej ligningerne:

Find roden til ligning 4 1–2x = 64.

Det er nødvendigt at sørge for, at i venstre og rigtige dele der var demonstrative udtryk med én base. Vi kan repræsentere 64 som 4 i 3 potens. Vi får:

4 1-2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Undersøgelse:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Svar: -1

Find roden til ligning 3 x–18 = 1/9.

Det er kendt, at

Så 3 x-18 = 3 -2

Baserne er ens, vi kan sidestille indikatorerne:

x – 18 = – 2

x = 16

Undersøgelse:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Svar: 16

Find roden til ligningen:

Lad os repræsentere brøken 1/64 som en fjerdedel til tredje potens:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Undersøgelse:

Svar: 11

Find roden til ligningen:

Lad os forestille os 1/3 som 3 –1 og 9 som 3 i anden kvadrat, vi får:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Nu kan vi sidestille indikatorerne:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Undersøgelse:

Svar: 5

26654. Find roden af ligningen:

Løsning:

Svar: 8,75

Ja, lige meget i hvilken grad vi hæver positivt tal a, vi kan ikke få et negativt tal på nogen måde.

Enhver eksponentiel ligning efter passende transformationer reduceres til at løse en eller flere simple.I dette afsnit vil vi også se på at løse nogle ligninger, gå ikke glip af det!Det er alt. Held og lykke!

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.

Eksponentialligninger er dem, hvor det ukendte er indeholdt i eksponenten. Den simpleste eksponentialligning har formen: a x = a b, hvor a> 0, a 1, x er ukendt.

De vigtigste egenskaber ved potenser, hvormed eksponentialligninger transformeres: a>0, b>0.

Ved løsning af eksponentialligninger bruger de også følgende egenskaber eksponentiel funktion: y = a x, a > 0, a1:

For at repræsentere et tal som en potens, skal du bruge det grundlæggende logaritmisk identitet: b = , a > 0, a1, b > 0.

Problemer og test om emnet "Eksponentialligninger"

Eksponentialligninger
Lektioner: 4 opgaver: 21 prøver: 1
Eksponentialligninger - Vigtige emner for at gentage Unified State Examination i matematik
Opgaver: 14
Systemer af eksponentielle og logaritmiske ligninger - Demonstrerende og logaritmisk funktion 11. klasse
Lektioner: 1 Opgaver: 15 prøver: 1
§2.1. Løsning af eksponentialligninger
Lektioner: 1 Opgaver: 27
§7 Eksponentielle og logaritmiske ligninger og uligheder - Afsnit 5. Eksponentielle og logaritmiske funktioner, grad 10
Lektioner: 1 Opgaver: 17

For at kunne løse eksponentielle ligninger skal du kende de grundlæggende egenskaber for potenser, egenskaberne for eksponentialfunktionen og den grundlæggende logaritmiske identitet.

Ved løsning af eksponentialligninger bruges to hovedmetoder:

overgang fra ligningen a f(x) = a g(x) til ligningen f(x) = g(x);
introduktion af nye linjer.

Eksempler.

1. Ligninger reduceret til de enkleste. De løses ved at reducere begge sider af ligningen til en potens med samme base.

3 x = 9 x – 2 .

Løsning:

3 x = (3 2) x – 2;
3 x = 3 2x – 4;
x = 2x –4;
x = 4.

Svar: 4.

2. Ligninger løst ved at tage den fælles faktor ud af parentes.

Løsning:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Svar: 3.

3. Ligninger løst ved hjælp af en ændring af variabel.

Løsning:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Vi betegner 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y1 = -4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ligningen har ingen løsninger, fordi 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log23; x = log 2 3.

Svar: log 2 3.

4. Ligninger indeholdende potenser med to forskellige (ikke reducerbare til hinanden) baser.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Svar: 2.

5. Ligninger, der er homogene med hensyn til a x og b x.

Generel form: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x.

Løsning:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Lad os betegne (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y1 = 2; y 2 = ½.

Svar: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Hvad er en eksponentiel ligning? Eksempler.

Altså en eksponentiel ligning... En ny unik udstilling i vores generelle udstilling af en bred vifte af ligninger!) Som det næsten altid er tilfældet, er nøgleordet i ethvert nyt matematisk udtryk det tilsvarende adjektiv, der kendetegner det. Så det er her. Søgeord i udtrykket "eksponentiel ligning" er ordet "vejledende". Hvad betyder det? Dette ord betyder, at det ukendte (x) er lokaliseret hvad angår eventuelle grader. Og kun der! Dette er ekstremt vigtigt.

For eksempel disse simple ligninger:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Eller endda disse monstre:

2 sin x = 0,5

Vær opmærksom på én ting med det samme vigtig ting: V grunde grader (nederst) – kun tal. Men i indikatorer grader (over) - en bred vifte af udtryk med et X. Absolut alle.) Alt fra specifik ligning afhænger af. Hvis x pludselig optræder et andet sted i ligningen, ud over indikatoren (f.eks. 3 x = 18 + x 2), så vil en sådan ligning allerede være en ligning blandet type . Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning af dem. Derfor vil vi ikke overveje dem i denne lektion. Til glæde for eleverne.) Her vil vi kun overveje eksponentialligninger i deres "rene" form.

Generelt er det ikke alle og ikke altid engang rene eksponentialligninger, der kan løses klart. Men blandt al den rige variation af eksponentialligninger, der er visse typer, som kan og bør løses. Det er disse typer ligninger, vi vil overveje. Og vi vil helt sikkert løse eksemplerne.) Så lad os få det godt og afsted! Ligesom i computerskydespil, vil vores rejse foregå gennem niveauer.) Fra elementært til enkelt, fra enkelt til mellemliggende og fra middel til komplekst. Undervejs vil der også vente dig et hemmeligt niveau - teknikker og metoder til at løse ikke-standardiserede eksempler. Dem du ikke læser mest om skole lærebøger... Nå, til sidst venter selvfølgelig den endelige chef på dig i form af lektier.)

Niveau 0. Hvad er den enkleste eksponentialligning? Løsning af simple eksponentialligninger.

Lad os først se på nogle ærlige elementære ting. Du skal starte et sted, ikke? For eksempel denne ligning:

2 x = 2 2

Selv uden nogen teorier, ifølge simpel logik og sund fornuft Det er klart, at x = 2. Der er ingen anden måde, vel? Ingen anden betydning af X er egnet ... Og lad os nu vende vores opmærksomhed mod optegnelse over beslutning denne seje eksponentielle ligning:

2 x = 2 2

X = 2

Hvad skete der med os? Og følgende skete. Vi tog det faktisk og... smed simpelthen de samme baser (toere) ud! Fuldstændig smidt ud. Og den gode nyhed er, at vi har ramt bull's eye!

Ja, faktisk, hvis der i en eksponentiel ligning er venstre og højre det samme tal i enhver potens, så kan disse tal kasseres og blot sidestille eksponenterne. Matematik tillader det.) Og så kan man arbejde separat med indikatorerne og løse en meget enklere ligning. Fantastisk, ikke?

Det er nøgle idé løsninger til enhver (ja, præcis enhver!) eksponentiel ligning: ved hjælp af identiske transformationer er det nødvendigt at sikre, at venstre og højre side af ligningen er det samme grundtal i forskellige potenser. Og så kan du roligt fjerne de samme baser og sidestille eksponenterne. Og arbejde med en enklere ligning.

Lad os nu huske jern regel: det er muligt at fjerne identiske baser, hvis og kun hvis grundtallene til venstre og højre for ligningen er i stolt ensomhed.

Hvad betyder det, i pragtfuld isolation? Det betyder uden nogen naboer og koefficienter. Lad mig forklare.

For eksempel i lign.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Treere kan ikke fjernes! Hvorfor? For til venstre har vi ikke bare en ensom treer i den grad, men arbejde 3·3 x-5. En ekstra tre forstyrrer: koefficienten, forstår du.)

Det samme kan siges om ligningen

5 3 x = 5 2 x +5 x

Også her er alle baserne ens - fem. Men til højre har vi ikke en eneste potens af fem: der er en sum af potenser!

Kort sagt, vi har kun ret til at fjerne identiske baser, når vores eksponentielle ligning ser sådan ud og kun sådan her:

-enf (x) = et g (x)

Denne type eksponentielligning kaldes den enkleste. Eller videnskabeligt set, kanonisk . Og uanset hvilken indviklet ligning vi har foran os, vil vi på den ene eller anden måde reducere den til netop denne simpleste (kanoniske) form. Eller i nogle tilfælde til helhed ligninger af denne art. Så kan vores enkleste ligning skrives som generel opfattelse omskriv det sådan her:

F(x) = g(x)

Det er alt. Dette ville være en tilsvarende konvertering. I dette tilfælde kan f(x) og g(x) være absolut alle udtryk med et x. Uanset hvad.

Måske vil en særlig nysgerrig studerende undre sig: hvorfor i alverden kasserer vi så let og enkelt de samme baser til venstre og højre og sidestiller eksponenterne? Intuition er intuition, men hvad nu hvis denne tilgang i en eller anden ligning og af en eller anden grund viser sig at være forkert? Er det altid lovligt at smide de samme grunde ud? Desværre for et stringent matematisk svar på dette interesse Spørg du skal dykke ret dybt og seriøst ned i generel teori enhed og funktionsadfærd. Og lidt mere specifikt – i fænomenet streng monotoni. Især streng monotoni eksponentiel funktiony= et x. Da det er eksponentialfunktionen og dens egenskaber, der ligger til grund for løsningen af eksponentialligninger, ja.) Et detaljeret svar på dette spørgsmål vil blive givet i en separat speciallektion, der er dedikeret til at løse komplekse ikke-standardligninger ved hjælp af monotoniteten af forskellige funktioner.)

At forklare dette punkt i detaljer nu ville kun blæse hovedet på den gennemsnitlige studerende og skræmme ham væk på forhånd med en tør og tung teori. Jeg vil ikke gøre dette.) Fordi vores vigtigste dette øjeblik opgave - lær at løse eksponentialligninger! De enkleste! Lad os derfor ikke bekymre os endnu og frimodigt smide de samme grunde ud. Det her Kan, tag mit ord for det!) Og så løser vi den ækvivalente ligning f(x) = g(x). Som regel enklere end den oprindelige eksponentielle.

Det antages selvfølgelig, at folk allerede ved, hvordan man løser mindst , og ligninger, uden x'er i eksponenter.) For dem, der stadig ikke ved hvordan, er du velkommen til at lukke denne side, følge de relevante links og udfylde de gamle huller. Ellers får du det svært, ja...

Jeg taler ikke om irrationelle, trigonometriske og andre brutale ligninger, der også kan dukke op i processen med at eliminere grundlaget. Men vær ikke foruroliget, vi vil ikke overveje direkte grusomhed i form af grader for nu: det er for tidligt. Vi træner kun på de enkleste ligninger.)

Lad os nu se på ligninger, der kræver en ekstra indsats for at reducere dem til de enkleste. For forskellens skyld, lad os kalde dem simple eksponentialligninger. Så lad os gå til næste niveau!

Niveau 1. Simple eksponentialligninger. Lad os genkende graderne! Naturlige indikatorer.

Nøglereglerne for løsning af eksponentielle ligninger er regler for håndtering af grader. Uden denne viden og færdigheder vil intet fungere. Ak. Så hvis der er problemer med graderne, så er du først velkommen. Derudover får vi også brug for . Disse transformationer (to af dem!) er grundlaget for at løse alle matematiske ligninger generelt. Og ikke kun demonstrative. Så den, der har glemt det, tag også et kig på linket: Jeg sætter dem ikke bare der.

Men operationer med beføjelser og identitetstransformationer alene er ikke nok. Personlig observation og opfindsomhed er også påkrævet. Vi har brug for de samme grunde, ikke? Så vi undersøger eksemplet og leder efter dem i en eksplicit eller forklædt form!

For eksempel denne ligning:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Første kig på grunde. De er forskellige! Tre og syvogtyve. Men det er for tidligt at gå i panik og fortvivlelse. Det er tid til at huske det

27 = 3 3

Nummer 3 og 27 er slægtninge efter grad! Og tætte.) Derfor har vi hver ret Skriv ned:

27 x +2 = (3 3) x+2

Lad os nu forbinde vores viden om handlinger med grader(og jeg advarede dig!). Der er en meget nyttig formel der:

(a m) n = a mn

Hvis du nu sætter det i værk, fungerer det godt:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Det originale eksempel ser nu sådan ud:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Dejligt, gradernes bund er jævnet ud. Det var det, vi ville. Halvdelen er overstået.) Og nu starter vi den grundlæggende identitetstransformation - flyt 3 3(x +2) til højre. Ingen har annulleret matematikkens elementære operationer, ja.) Vi får:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Hvad giver denne form for ligning os? Og det faktum, at nu er vores ligning reduceret til kanonisk form: til venstre og højre er der de samme tal (tre) i potenser. Desuden er begge tre i pragtfuld isolation. Fjern gerne triplerne og få:

2x = 3(x+2)

Vi løser dette og får:

X = -6

Det er det. Dette er det rigtige svar.)

Lad os nu tænke på løsningen. Hvad reddede os i dette eksempel? Kendskab til tres kræfter reddede os. Hvordan præcist? Vi identificeret nummer 27 indeholder en krypteret treer! Dette trick (kryptering af den samme base under forskellige tal) er en af de mest populære i eksponentialligninger! Medmindre det er det mest populære. Ja, og på samme måde i øvrigt. Det er derfor, at observation og evnen til at genkende potenser af andre tal i tal er så vigtige i eksponentielle ligninger!

Praktiske råd:

Du skal kende kræfterne i populære tal. I ansigtet!

Selvfølgelig kan enhver hæve to til syvende potens eller tre til femte potens. Ikke i mit sind, men i hvert fald i et udkast. Men i eksponentielle ligninger er det meget oftere ikke nødvendigt at hæve til en potens, men snarere at finde ud af, hvilket tal og til hvilken styrke, der gemmer sig bag tallet, f.eks. 128 eller 243. Og dette er mere kompliceret end simpelt at hæve, du vil være enig. Mærk forskellen, som man siger!

Da evnen til at genkende grader personligt vil være nyttig ikke kun på dette niveau, men også på de næste, er her en lille opgave til dig:

Bestem hvilke potenser og hvilke tal tallene er:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Svar (selvfølgelig tilfældigt):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ja Ja! Bliv ikke overrasket over, at der er flere svar end opgaver. For eksempel er 2 8, 4 4 og 16 2 alle 256.

Niveau 2. Simple eksponentialligninger. Lad os genkende graderne! Negative og fraktionerede indikatorer.

På dette niveau bruger vi allerede vores viden om grader fuldt ud. Det involverer vi nemlig i spændende proces negative og brøkeksponenter! Ja Ja! Vi er nødt til at øge vores magt, ikke?

For eksempel denne frygtelige ligning:

Igen er det første blik på fundamentet. Årsagerne er forskellige! Og denne gang ligner de slet ikke hinanden! 5 og 0,04... Og for at eliminere baserne er de samme nødvendige... Hvad skal man gøre?

Det er ok! Faktisk er alt det samme, det er bare, at sammenhængen mellem de fem og 0,04 er visuelt dårligt synlig. Hvordan kan vi komme ud? Lad os gå videre til tallet 0,04 som en almindelig brøk! Og så, ser du, alt vil fungere.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Det viser sig, at 0,04 er 1/25! Nå, hvem skulle have troet!)

Så hvordan? Er det nu nemmere at se sammenhængen mellem tallene 5 og 1/25? Det er det...

Og nu efter reglerne for handlinger med grader med negativ indikator Du kan skrive med en rolig hånd:

Det er godt. Så vi kom til samme base - fem. Nu erstatter vi det ubelejlige tal 0,04 i ligningen med 5 -2 og får:

Igen, ifølge reglerne for operationer med grader, kan vi nu skrive:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

For en sikkerheds skyld minder jeg dig (hvis nogen ikke ved det), at de grundlæggende regler for håndtering af grader gælder for nogen indikatorer! Inklusiv for negative.) Så tag og multiplicer indikatorerne (-2) og (x-1) i henhold til den relevante regel. Vores ligning bliver bedre og bedre:

Alle! Bortset fra ensomme femmere er der intet andet i magterne til venstre og højre. Ligningen er reduceret til kanonisk form. Og så - ad det riflede spor. Vi fjerner femtallene og sætter lighedstegn mellem indikatorerne:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Eksemplet er næsten løst. Det eneste, der er tilbage, er folkeskolens matematik - åbn (korrekt!) parenteserne og saml alt til venstre:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Vi løser dette og får to rødder:

x 1 = 1; x 2 = 3

Det er alt.)

Lad os nu tænke igen. I i dette eksempel vi skulle igen genkende det samme tal i forskellig grad! Nemlig at se en krypteret femmer i tallet 0,04. Og denne gang - i negativ grad! Hvordan gjorde vi det? Lige fra hånden - ingen måde. Men efter overgangen fra decimal 0,04 til den almindelige brøk 1/25 og det er det! Og så gik hele beslutningen som smurt.)

Derfor endnu et grønt praktisk råd.

Hvis en eksponentielligning indeholder decimalbrøker, så går vi fra decimalbrøker til almindelige brøker. I almindelige brøker Det er meget nemmere at genkende kræfterne i mange populære numre! Efter genkendelsen går vi fra brøker til potenser med negative eksponenter.

Husk, at dette trick forekommer meget, meget ofte i eksponentielle ligninger! Men personen er ikke i emnet. Han kigger for eksempel på tallene 32 og 0,125 og bliver ked af det. Uden at han ved det, er dette en og samme toer, kun i forskellige grader... Men du er allerede ved emnet!)

Løs ligningen:

I! Det ligner stille rædsel... Tilsyneladende bedrager dog. Dette er den enkleste eksponentielle ligning på trods af dens skræmmende udseende. Og nu vil jeg vise dig det.)

Lad os først se på alle tallene i baserne og koefficienterne. De er selvfølgelig forskellige, ja. Men vi vil stadig tage en risiko og forsøge at lave dem identisk! Lad os prøve at komme til det samme tal i forskellige magter. Desuden er tallene helst så små som muligt. Så lad os begynde at afkode!

Nå, med de fire er alt umiddelbart klart - det er 2 2. Så det er allerede noget.)

Med en brøkdel af 0,25 - er det stadig uklart. Skal tjekkes. Lad os bruge praktiske råd - gå fra en decimalbrøk til en almindelig brøk:

0,25 = 25/100 = 1/4

Meget bedre allerede. For nu er det tydeligt at se, at 1/4 er 2 -2. Fantastisk, og tallet 0,25 er også beslægtet med to.)

Så langt så godt. Men det værste antal af alle er tilbage - kvadratrod af to! Hvad skal man gøre med denne peber? Kan det også repræsenteres som en topotens? Og hvem ved...

Nå, lad os dykke ned i vores skatkammer af viden om grader igen! Denne gang forbinder vi desuden vores viden om rødder. Fra 9. klasses forløb skulle du og jeg have lært, at enhver rod, hvis det ønskes, altid kan forvandles til en grad med en brøkindikator.

Sådan her:

I vores tilfælde:

Wow! Det viser sig, at kvadratroden af to er 2 1/2. Det er det!

Det er fint! Alle vores ubelejlige numre viste sig faktisk at være en krypteret toer.) Jeg argumenterer ikke, et sted meget sofistikeret krypteret. Men vi forbedrer også vores professionalisme i at løse sådanne cifre! Og så er alt allerede indlysende. I vores ligning erstatter vi tallene 4, 0,25 og roden af to med to potenser:

Alle! Grundlaget for alle grader i eksemplet blev det samme - to. Og nu bruges standardhandlinger med grader:

en men n = en m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Til venstre side får du:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

For højre side vil det være:

Og nu ser vores onde ligning sådan ud:

For dem, der ikke har fundet ud af præcis, hvordan denne ligning opstod, så handler spørgsmålet her ikke om eksponentielle ligninger. Spørgsmålet handler om handlinger med grader. Jeg bad dig om hurtigst muligt at gentage det til dem, der har problemer!

Her er målstregen! Den kanoniske form af eksponentialligningen er opnået! Så hvordan? Har jeg overbevist dig om, at alt ikke er så skræmmende? ;) Vi fjerner toerne og sidestiller indikatorerne:

Tilbage er kun at løse denne lineære ligning. Hvordan? Ved hjælp af identiske transformationer, selvfølgelig.) Beslut hvad der foregår! Gang begge sider med to (for at fjerne brøken 3/2), flyt termerne med X'er til venstre, uden X'er til højre, bring lignende, tæl - og du vil blive glad!

Alt skal vise sig smukt:

X=4

Lad os nu tænke over løsningen igen. I dette eksempel blev vi hjulpet af overgangen fra kvadrat rod Til grad med eksponent 1/2. Desuden hjalp kun sådan en snedig transformation os med at nå den samme base (to) overalt, hvilket reddede situationen! Og hvis ikke for det, så ville vi have alle muligheder for at fryse for evigt og aldrig klare dette eksempel, ja...

Derfor forsømmer vi ikke det næste praktiske råd:

Hvis en eksponentielligning indeholder rødder, så går vi fra rødder til potenser med brøkeksponenter. Meget ofte afklarer kun en sådan transformation den videre situation.

Naturligvis er negative og fraktionelle kræfter allerede meget mere komplekse end naturlige kræfter. I hvert fald set fra et synspunkt visuel perception og især genkendelse fra højre mod venstre!

Det er klart, at det ikke er tilfældet at hæve f.eks. to direkte til -3 eller fire til -3/2. et stort problem. For dem der ved det.)

Men gå for eksempel indse det straks

0,125 = 2 -3

Eller

Her er det kun øvelse og rig erfaring, der hersker, ja. Og selvfølgelig en klar idé, Hvad er en negativ og fraktioneret grad? Og - praktiske råd! Ja, ja, de samme grøn.) Jeg håber, at de stadig vil hjælpe dig med bedre at navigere i hele den mangfoldige række af grader og markant øge dine chancer for succes! Så lad os ikke forsømme dem. Jeg er ikke forgæves grøn Jeg skriver nogle gange.)

Men hvis I lærer hinanden at kende selv med så eksotiske kræfter som negative og brøkdele, så vil jeres evner til at løse eksponentielle ligninger udvide sig enormt, og I vil være i stand til at håndtere næsten enhver form for eksponentielligninger. Tja, hvis ikke nogen, så 80 procent af alle eksponentielle ligninger - helt sikkert! Ja, ja, jeg laver ikke sjov!

Så vores første del af at blive bekendt med eksponentielle ligninger er nået til sin afslutning. logisk konklusion. Og som en mellemtræning foreslår jeg traditionelt at gøre lidt selvrefleksion.)

Øvelse 1.

For at mine ord om at dechifrere negative og brøkkræfter ikke er forgæves, foreslår jeg at spille et lille spil!

Udtryk tal som to potenser:

Svar (i uorden):

sket? Store! Så laver vi en kampmission - løs de enkleste og simpleste eksponentielle ligninger!

Opgave 2.

Løs ligningerne (alle svar er noget rod!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Svar:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

sket? Faktisk er det meget enklere!

Så løser vi næste spil:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Svar:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Og disse eksempler er et tilbage? Store! Du vokser! Så er her nogle flere eksempler, som du kan snacke med:

Svar:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Og er dette besluttet? Nå, respekt! Jeg tager hatten af.) Så lektionen var ikke forgæves, og Første niveau løsning af eksponentielle ligninger kan anses for at være behersket. Næste niveauer og mere komplekse ligninger er forude! Og nye teknikker og tilgange. Og ikke-standardiserede eksempler. Og nye overraskelser.) Alt dette er i den næste lektion!

Gik noget galt? Det betyder, at problemerne højst sandsynligt er i . Eller i. Eller begge dele på én gang. Jeg er magtesløs her. jeg kan ind Endnu engang Jeg kan kun foreslå én ting - vær ikke doven og følg linkene.)

Fortsættes.)

Udstyr:

computer,
multimedieprojektor,
skærm,
Bilag 1(PowerPoint-diaspræsentation) "Metoder til løsning af eksponentielle ligninger"
Bilag 2(Løsning af en ligning som "Tre forskellige magtbaser" i Word)
Bilag 3(uddelingsark i Word til praktisk arbejde).
Bilag 4(uddelingsark i Word til lektier).

Under timerne

1. Organisationsstadie

besked om lektionens emne (skrevet på tavlen),
behovet for en generel lektion i klasse 10-11:

Stadiet med at forberede eleverne til aktiv læring

Gentagelse

Definition.

En eksponentiel ligning er en ligning, der indeholder en variabel med en eksponent (elevbesvarelser).

Lærerens notat. Eksponentialligninger hører til klassen af transcendentale ligninger. Dette uudtalelige navn antyder, at sådanne ligninger generelt ikke kan løses i form af formler.

De kan kun løses tilnærmelsesvis ved numeriske metoder på computere. Men hvad med eksamensopgaver? Tricket er, at eksaminator rammer problemet på en sådan måde, at det giver mulighed for en analytisk løsning. Med andre ord, du kan (og bør!) udføre identiske transformationer, der reducerer denne eksponentielle ligning til den enkleste eksponentielle ligning. Denne enkleste ligning kaldes: den enkleste eksponentialligning. Det er ved at blive løst ved logaritme.

Situationen med at løse en eksponentiel ligning minder om at rejse gennem en labyrint, som er specielt opfundet af problemets forfatter. Ud fra disse meget generelle argumenter følger meget specifikke anbefalinger.

For at kunne løse eksponentialligninger skal du:

1. Kender ikke kun aktivt alle eksponentielle identiteter, men find også de sæt af variable værdier, som disse identiteter er defineret på, så du ikke får unødvendige rødder ved brug af disse identiteter, og endnu mere ikke mister løsninger til ligningen.

2. Kend aktivt alle eksponentielle identiteter.

3. Udfør tydeligt, detaljeret og uden fejl, matematiske transformationer af ligninger (overfør udtryk fra en del af ligningen til en anden, ikke at glemme at ændre tegnet, bringe brøker til en fællesnævner osv.). Dette kaldes matematisk kultur. Samtidig skal selve beregningerne udføres automatisk i hånden, og hovedet skal tænke på løsningens generelle ledetråd. Transformationer skal udføres så omhyggeligt og detaljeret som muligt. Kun dette garanterer en korrekt, fejlfri beslutning. Og husk: en lille regnefejl kan simpelthen skabe en transcendental ligning, som i princippet ikke kan løses analytisk. Det viser sig, at du er gået vild og har ramt labyrintens væg.

4. Kend metoder til at løse problemer (det vil sige kende alle veje gennem løsningslabyrinten). For at navigere korrekt på hvert trin skal du (bevidst eller intuitivt!):

Definere ligningstype;
husk den tilsvarende type løsningsmetode opgaver.

Stadiet for generalisering og systematisering af det undersøgte materiale.

Læreren foretager sammen med elever ved hjælp af en computer en gennemgang af alle typer eksponentialligninger og metoder til at løse dem, kompilerer almindelig ordning. (Brugt træning computerprogram L.Ya. Borevsky "Matematikkursus - 2000", forfatteren til PowerPoint-præsentationen er T.N. Kuptsova.)

Ris. 1. Figuren viser et generelt diagram over alle typer eksponentialligninger.

Som det kan ses af dette diagram, er strategien til løsning af eksponentialligninger at reducere den givne eksponentialligning til ligningen, først og fremmest, med de samme grader , og så – og med samme gradsindikatorer.

Efter at have modtaget en ligning med de samme baser og eksponenter, erstatter du denne eksponent med en ny variabel og får en simpel algebraisk ligning (normalt brøk-rationel eller kvadratisk) med hensyn til denne nye variabel.

Efter at have løst denne ligning og lavet den omvendte substitution, ender du med et sæt simple eksponentialligninger, der kan løses i generel form ved hjælp af logaritmer.

Ligninger, hvor kun produkter af (del)potenser findes, skiller sig ud. Ved at bruge eksponentielle identiteter er det muligt at reducere disse ligninger umiddelbart til én base, især til den enkleste eksponentielle ligning.

Lad os se på, hvordan man løser en eksponentiel ligning med tre forskellige baser.

(Hvis læreren har det pædagogiske computerprogram af L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", så arbejder vi naturligvis med disken, hvis ikke, kan du lave en udskrift af denne form for ligning fra den for hvert skrivebord, præsenteret nedenfor.)