Egenskaber for eksponentialligninger. Hvad er en eksponentiel ligning, og hvordan løses den

hjem / Psykologi

Foredrag: ”Løsningsmetoder eksponentielle ligninger».

1 . Eksponentialligninger.

Ligninger, der indeholder ukendte i eksponenter, kaldes eksponentielle ligninger. Den enkleste af dem er ligningen ax = b, hvor a > 0, a ≠ 1.

1) Ved b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) For b > 0, ved at bruge monotoniteten af funktionen og rodsætningen, har ligningen en unik rod. For at finde den skal b være repræsenteret på formen b = aс, аx = bс ó x = c eller x = logab.

Eksponentialligninger ved algebraiske transformationer fører til standardligninger, som løses ved hjælp af følgende metoder:

1) metode til reduktion til én base;

2) vurderingsmetode;

3) grafisk metode;

4) metode til at introducere nye variabler;

5) faktoriseringsmetode;

6) vejledende – potensligninger;

7) demonstrativ med en parameter.

2 . Metode til reduktion til én base.

Metoden er baseret på følgende ejendom grader: hvis to grader er ens og deres baser er ens, så er deres eksponenter ens, dvs. ligningen skal reduceres til formen

Eksempler. Løs ligningen:

1 . 3x = 81;

Lad os forestille os højre side ligninger på formen 81 = 34 og skriv ligningen svarende til de oprindelige 3 x = 34; x = 4. Svar: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">og lad os gå videre til ligningen for eksponenter 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Bemærk, at tallene 0,2, 0,04, √5 og 25 repræsenterer potenser af 5. Lad os udnytte dette og transformere den oprindelige ligning som følger:

, hvorfra 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, hvorfra vi finder løsningen x = -1. Svar: -1.

5. 3x = 5. Per definition af logaritme er x = log35. Svar: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Lad os omskrive ligningen i formen 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, dvs..png" width="181" height="49 src="> Derfor x – 4 =0, x = 4. Svar: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Ved hjælp af potensers egenskaber skriver vi ligningen på formen 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 derefter 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, dvs. dvs. x+1 = 2, x =1. Svar: 1.

Problembank nr. 1.

Løs ligningen:

Test nr. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ingen rødder
	1) 7;1 2) ingen rødder 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ingen rødder 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Evalueringsmetode.

Rodsætning: hvis funktionen f(x) stiger (falder) på intervallet I, er tallet a en hvilken som helst værdi taget af f på dette interval, så har ligningen f(x) = a en enkelt rod på intervallet I.

Ved løsning af ligninger ved estimeringsmetoden anvendes denne sætning og funktionens monotoniske egenskaber.

Eksempler. Løs ligninger: 1. 4x = 5 – x.

Løsning. Lad os omskrive ligningen som 4x +x = 5.

1. hvis x = 1, så er 41+1 = 5, 5 = 5 sandt, hvilket betyder, at 1 er roden af ligningen.

Funktion f(x) = 4x – stiger på R, og g(x) = x – stiger på R => h(x)= f(x)+g(x) stiger på R, som summen af stigende funktioner, så er x = 1 den eneste rod af ligningen 4x = 5 – x. Svar: 1.

Løsning. Lad os omskrive ligningen i formen .

1. hvis x = -1, så , 3 = 3 er sandt, hvilket betyder, at x = -1 er roden af ligningen.

2. bevise, at han er den eneste.

3. Funktion f(x) = - aftager på R, og g(x) = - x – aftager på R=> h(x) = f(x)+g(x) – aftager på R, som summen af faldende funktioner. Det betyder ifølge rodsætningen, at x = -1 er ligningens eneste rod. Svar: -1.

Problembank nr. 2. Løs ligningen

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x - 2 = 1 - x;

4. Metode til indførelse af nye variabler.

Metoden er beskrevet i afsnit 2.1. Introduktionen af en ny variabel (substitution) udføres normalt efter transformationer (simplificering) af ligningens vilkår. Lad os se på eksempler.

Eksempler. R Løs ligningen: 1. .

Lad os omskrive ligningen anderledes: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Løsning. Lad os omskrive ligningen anderledes:

Lad os udpege https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ikke egnet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationel ligning. Vi bemærker, at

Løsningen til ligningen er x = 2,5 ≤ 4, hvilket betyder, at 2,5 er roden af ligningen. Svar: 2.5.

Løsning. Lad os omskrive ligningen i formen og dividere begge sider med 56x+6 ≠ 0. Vi får ligningen

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Rødderne til andengradsligningen er t1 = 1 og t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Løsning . Lad os omskrive ligningen i formen

og bemærk, at det er en homogen ligning af anden grad.

Divider ligningen med 42x, får vi

Lad os erstatte https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Svar: 0; 0,5.

Problembank nr. 3. Løs ligningen

Test nr. 3 med et valg af svar. Minimum niveau.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) ingen rødder 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ingen rødder 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test nr. 4 med et valg af svar. Generelt niveau.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ingen rødder

5. Faktoriseringsmetode.

1. Løs ligningen: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , hvorfra

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Løsning. Lad os sætte 6x ud af parenteser i venstre side af ligningen og 2x i højre side. Vi får ligningen 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Da 2x >0 for alle x, kan vi dividere begge sider af denne ligning med 2x uden frygt for at miste løsninger. Vi får 3x = 1ó x = 0.

Løsning. Lad os løse ligningen ved hjælp af faktoriseringsmetoden.

Lad os vælge kvadratet af binomialet

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 er roden af ligningen.

Ligning x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test nr. 6 Generelt niveau.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponentiel – potensligninger.

Ved siden af eksponentialligninger er de såkaldte eksponential-potensligninger, det vil sige ligninger på formen (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Hvis man ved, at f(x)>0 og f(x) ≠ 1, så løses ligningen, ligesom den eksponentielle, ved at sidestille eksponenterne g(x) = f(x).

Hvis betingelsen ikke udelukker muligheden for f(x)=0 og f(x)=1, så er vi nødt til at overveje disse tilfælde, når vi løser en eksponentiel ligning.

1..png" width="182" height="116 src=">

Løsning. x2 +2x-8 – giver mening for enhver x, da det er et polynomium, hvilket betyder, at ligningen er ækvivalent med totaliteten

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Eksponentialligninger med parametre.

1. For hvilke værdier af parameteren p har ligning 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) eneste beslutning?

Løsning. Lad os introducere erstatningen 2x = t, t > 0, så vil ligning (1) have formen t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminerende af ligning (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ligning (1) har en unik løsning, hvis ligning (2) har én positiv rod. Dette er muligt i følgende tilfælde.

1. Hvis D = 0, det vil sige p = 1, så vil ligning (2) have formen t2 – 2t + 1 = 0, derfor t = 1, derfor har ligning (1) en unik løsning x = 0.

2. Hvis p1, så 9(p – 1)2 > 0, så har ligning (2) to forskellige rødder t1 = p, t2 = 4p – 3. Betingelserne for problemet er opfyldt af et sæt systemer

Vi har erstattet t1 og t2 i systemerne

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Løsning. Lade så vil ligning (3) have formen t2 – 6t – a = 0. (4)

Lad os finde værdierne af parameteren a, for hvilken mindst en rod af ligning (4) opfylder betingelsen t > 0.

Lad os introducere funktionen f(t) = t2 – 6t – a. Følgende tilfælde er mulige.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kvadratisk trinomium f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Tilfælde 2. Ligning (4) har en unik positiv beslutning, hvis

D = 0, hvis a = – 9, så vil ligning (4) have formen (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Tilfælde 3. Ligning (4) har to rødder, men en af dem opfylder ikke uligheden t > 0. Dette er muligt, hvis

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

For a 0 har ligning (4) således en enkelt positiv rod . Så har ligning (3) en unik løsning

Når en< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

hvis en< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
hvis a = – 9, så er x = – 1;

hvis a  0, så

Lad os sammenligne metoderne til løsning af ligning (1) og (3). Bemærk, at når løsning af ligning (1) blev reduceret til en andengradsligning, hvis diskriminant er et perfekt kvadrat; Således blev rødderne af ligning (2) straks beregnet ved hjælp af formlen for rødderne af en andengradsligning, og derefter blev der draget konklusioner vedrørende disse rødder. Ligning (3) er blevet reduceret til en andengradsligning (4), hvis diskriminant ikke er et perfekt kvadrat, derfor er det tilrådeligt, når man løser ligning (3), at bruge sætninger om placeringen af rødderne af et kvadratisk trinomium og en grafisk model. Bemærk, at ligning (4) kan løses ved hjælp af Vietas sætning.

Lad os løse mere komplekse ligninger.

Opgave 3: Løs ligningen

Løsning. ODZ: x1, x2.

Lad os introducere en erstatning. Lad 2x = t, t > 0, så som et resultat af transformationer vil ligningen have formen t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Lad os finde værdierne af a, for hvilke mindst en rod af ligningen (*) opfylder betingelsen t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Svar: hvis a > – 13, a  11, a  5, så hvis a – 13,

a = 11, a = 5, så er der ingen rødder.

Bibliografi.

1. Guzeev grundlaget for uddannelsesteknologi.

2. Guzeev-teknologi: fra reception til filosofi.

M. "Skoledirektør" nr. 4, 1996

3. Guzeev og organisatoriske former uddannelse.

4. Guzeev og praksis med integreret pædagogisk teknologi.

M. "Public Education", 2001

5. Guzeev fra formerne af en lektion - seminar.

Matematik i skolen nr. 2, 1987 s. 9 – 11.

6. Seleuko uddannelsesteknologier.

M. "Public Education", 1998

7. Episheva skolebørn til at studere matematik.

M. "Oplysning", 1990

8. Ivanova forberede lektioner - workshops.

Matematik i skolen nr. 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnovs model for undervisning i matematik.

Matematik i skolen nr. 1, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko måder at organisere praktisk arbejde på.

Matematik i skolen nr. 1, 1993 s. 27 – 28.

11. Om en af typerne af individuelt arbejde.

Matematik i skolen nr. 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Khazankin Kreative færdigheder skolebørn.

Matematik i skolen nr. 2, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Forlag, 1997

14. og andre Algebra og begyndelsen af analysen. Didaktiske materialer Til

15. Krivonogov opgaver i matematik.

M. "First of September", 2002

16. Cherkasov. Håndbog for gymnasieelever og

ind på universiteterne. "A S T - presseskole", 2002

17. Zhevnyak for dem, der kommer ind på universiteter.

Minsk og Den Russiske Føderation "Review", 1996

18. Skriftlig D. Vi forbereder os til eksamen i matematik. M. Rolf, 1999

19. osv. At lære at løse ligninger og uligheder.

M. "Intellekt - Center", 2003

20. osv. Uddannelses- og træningsmateriale til forberedelse til EGE.

M. "Intelligence - Center", 2003 og 2004.

21 og andre CMM-muligheder. Testcenter under Den Russiske Føderations Forsvarsministerium, 2002, 2003.

22. Goldberg-ligninger. "Quantum" nr. 3, 1971

23. Volovich M. Hvordan man med succes underviser i matematik.

Matematik, 1997 nr. 3.

24 Okunev til lektionen, børn! M. Education, 1988

25. Yakimanskaya - orienteret læring i skolen.

26. Liimets arbejder i klassen. M. Knowledge, 1975

På forberedelsesstadiet til den afsluttende test skal gymnasieelever forbedre deres viden om emnet "Eksponentielle ligninger." De seneste års erfaringer viser, at sådanne opgaver volder visse vanskeligheder for skolebørn. Derfor skal gymnasieelever, uanset deres forberedelsesniveau, grundigt mestre teorien, huske formlerne og forstå princippet om at løse sådanne ligninger. Efter at have lært at klare denne type opgaver, vil dimittender kunne regne med høje scores når du har bestået Unified State Examination i matematik.

Gør dig klar til eksamenstest med Shkolkovo!

Når de gennemgår de materialer, de har dækket, står mange elever over for problemet med at finde de nødvendige formler til at løse ligninger. Skole lærebog er ikke altid lige ved hånden, og det tager lang tid at vælge de nødvendige oplysninger om et emne på internettet.

Shkolkovo uddannelsesportal inviterer studerende til at bruge vores vidensbase. Vi implementerer en helt ny metode til at forberede den endelige test. Ved at studere på vores hjemmeside vil du være i stand til at identificere huller i viden og være opmærksom på de opgaver, der volder de største vanskeligheder.

Shkolkovo lærere indsamlede, systematiserede og præsenterede alt nødvendigt for vellykket afslutning Unified State eksamensmateriale i den enkleste og mest tilgængelige form.

Grundlæggende definitioner og formler er præsenteret i afsnittet "Teoretisk baggrund".

For bedre at forstå materialet, anbefaler vi, at du øver dig i at udføre opgaverne. Gennemgå omhyggeligt eksemplerne på eksponentialligninger med løsninger præsenteret på denne side for at forstå beregningsalgoritmen. Fortsæt derefter med at udføre opgaver i sektionen "Mappen". Du kan starte med de nemmeste opgaver eller gå direkte til at løse komplekse eksponentialligninger med flere ukendte eller . Databasen med øvelser på vores hjemmeside bliver løbende suppleret og opdateret.

Disse eksempler med indikatorer, der voldte dig vanskeligheder, kan føjes til "Favoritter". På denne måde kan du hurtigt finde dem og diskutere løsningen med din lærer.

For at bestå Unified State-eksamenen skal du studere på Shkolkovo-portalen hver dag!

Eksempler:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Sådan løses eksponentialligninger

Når vi løser en eksponentiel ligning, stræber vi efter at bringe den til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\), og derefter foretage overgangen til eksponenternes lighed, det vil sige:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

For eksempel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Vigtig! Fra samme logik følger to krav til en sådan overgang:
- nummer ind venstre og højre skal være det samme;
- graderne til venstre og højre skal være "rene", det vil sige, at der ikke skal være multiplikation, division osv.

For eksempel:

For at reducere ligningen til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\) og bruges.

Eksempel . Løs eksponentialligningen \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Løsning:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Vi ved, at \(27 = 3^3\). Med dette i betragtning transformerer vi ligningen.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Ved egenskaben af roden \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) opnår vi, at \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dernæst, ved at bruge egenskaben af grad \((a^b)^c=a^(bc)\), opnår vi \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Vi ved også, at \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Ved at anvende dette på venstre side får vi: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Husk nu at: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Denne formel kan også bruges i modsatte side: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Derefter \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)

Ved at anvende egenskaben \((a^b)^c=a^(bc)\) til højre får vi: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)

Og nu er vores baser lige store, og der er ingen forstyrrende koefficienter osv. Så vi kan klare overgangen.

Eksempel . Løs eksponentialligningen \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Løsning:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		Vi bruger igen potensegenskaben \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) i den modsatte retning.
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Husk nu at \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\)		Ved hjælp af egenskaberne for grader transformerer vi: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		Vi ser nøje på ligningen og ser, at erstatningen \(t=2^x\) foreslår sig selv.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Vi har dog fundet værdierne for \(t\), og vi har brug for \(x\). Vi vender tilbage til X'erne og laver en omvendt erstatning.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Lad os transformere den anden ligning ved hjælp af egenskaben for negativ potens...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...og vi bestemmer os indtil svaret.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Svar : \(-1; 1\).

Spørgsmålet står tilbage - hvordan man forstår, hvornår man skal bruge hvilken metode? Dette kommer med erfaring. Indtil du har fundet ud af det, brug den generelle anbefaling til at løse komplekse opgaver- "Hvis du ikke ved, hvad du skal gøre, så gør, hvad du kan." Det vil sige, se efter, hvordan du i princippet kan transformere ligningen, og prøv at gøre det - hvad nu hvis hvad der sker? Det vigtigste er kun at lave matematisk baserede transformationer.

Eksponentialligninger uden løsninger

Lad os se på yderligere to situationer, der ofte forvirrer eleverne:
- positivt tal til potensen lig med nul, for eksempel \(2^x=0\);
- et positivt tal i potensen er lig med negativt tal, for eksempel \(2^x=-4\).

Lad os prøve at løse med rå magt. Hvis x er et positivt tal, så når x vokser, vil hele potensen \(2^x\) kun stige:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Også af. Negative X'er forbliver. Ved at huske egenskaben \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), tjekker vi:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

På trods af at tallet bliver mindre for hvert trin, når det aldrig nul. Så den negative grad reddede os ikke. Vi kommer til en logisk konklusion:

Et positivt tal i enhver grad forbliver et positivt tal.

Begge ligninger ovenfor har således ingen løsninger.

Eksponentialligninger med forskellige baser

I praksis støder vi nogle gange på eksponentielle ligninger med forskellige baser, der ikke kan reduceres til hinanden, og samtidig med de samme eksponenter. De ser sådan ud: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), hvor \(a\) og \(b\) er positive tal.

For eksempel:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Sådanne ligninger kan nemt løses ved at dividere med en hvilken som helst af ligningens sider (normalt divideret med højre side, dvs. med \(b^(f(x))\). Du kan dividere på denne måde, fordi et positivt tal er positiv til enhver potens (det vil sige, at vi ikke dividerer med nul).

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Eksempel . Løs eksponentialligningen \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Løsning:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Her vil vi ikke være i stand til at forvandle en femmer til en treer, og heller ikke omvendt (ifølge i det mindste uden brug). Det betyder, at vi ikke kan komme til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Indikatorerne er dog de samme. Lad os dividere ligningen med højre side, det vil sige med \(3^(x+7)\) (vi kan gøre dette, fordi vi ved, at tre ikke vil være nul i nogen grad).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Husk nu egenskaben \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) og brug den fra venstre i den modsatte retning. Til højre reducerer vi blot fraktionen.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Det ser ud til, at tingene ikke blev bedre. Men husk endnu en egenskab ved magt: \(a^0=1\), med andre ord: "ethvert tal i nulpotensen er lig med \(1\)." Det omvendte er også sandt: "et kan repræsenteres som et hvilket som helst tal til nulpotensen." Det bruger vi ved at gøre basen til højre den samme som til venstre.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila! Lad os slippe af med baserne.
		Vi skriver et svar.

Svar : \(-7\).

Nogle gange er "ensartetheden" af eksponenter ikke indlysende, men dygtig brug af eksponenternes egenskaber løser dette problem.

Eksempel . Løs eksponentialligningen \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Løsning:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Ligningen ser meget trist ud... Ikke alene kan grundlerne ikke reduceres til det samme tal (syv vil på ingen måde være lig med \(\frac(1)(3)\)), men også eksponenterne er forskellige. .. Lad os dog bruge venstre eksponent toer.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Ved at huske egenskaben \((a^b)^c=a^(b·c)\), transformerer vi fra venstre: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Når vi nu husker egenskaben negativ grad \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformerer vi fra højre: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Halleluja! Indikatorerne er de samme! Handler i henhold til den ordning, der allerede er kendt for os, løser vi før svaret.

Svar : \(2\).

Første niveau

Eksponentialligninger. Omfattende guide (2019)

Hej! I dag vil vi diskutere med dig, hvordan man løser ligninger, der enten kan være elementære (og jeg håber, at efter at have læst denne artikel, vil næsten alle være det for dig), og dem, der normalt gives "til påfyldning". Tilsyneladende for endelig at falde i søvn. Men jeg vil forsøge at gøre alt muligt, så du nu ikke kommer i problemer, når du står over for denne type ligninger. Jeg slår ikke rundt mere, men jeg åbner den med det samme lille hemmelighed: i dag skal vi studere eksponentielle ligninger.

Før jeg går videre til at analysere måder at løse dem på, vil jeg straks skitsere dig en række spørgsmål (ganske små), som du bør gentage, før du skynder dig at angribe dette emne. Altså at få bedste resultat, Vær venlig, gentage:

Ejendomme og
Løsning og ligninger

Gentaget? Fantastiske! Så vil det ikke være svært for dig at bemærke, at roden af ligningen er et tal. Forstår du præcis, hvordan jeg gjorde det? Er det sandt? Så lad os fortsætte. Svar nu på mit spørgsmål, hvad er lig med tredje potens? Du har helt ret: . Hvilken potens af to er otte? Det er rigtigt - den tredje! Fordi. Nå, lad os nu prøve at løse følgende problem: Lad mig gange tallet med sig selv én gang og få resultatet. Spørgsmålet er, hvor mange gange jeg gangede med mig selv? Du kan selvfølgelig tjekke dette direkte:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( justere)

Så kan du konkludere, at jeg gangede med mig selv gange. Hvordan kan du ellers tjekke dette? Sådan gør du: direkte efter definition af grad: . Men, du må indrømme, at hvis jeg spurgte, hvor mange gange to skal ganges med sig selv for at få, siger du, ville du sige til mig: Jeg vil ikke narre mig selv og formere mig selv, før jeg er blå i ansigtet. Og han ville have fuldstændig ret. For hvordan kan du skriv kort alle trinene ned(og korthed er talentets søster)

hvor - det er de samme "gange", når du formerer med sig selv.

Jeg tror, at du ved (og hvis du ikke ved, omgående, meget presserende gentag graderne!), at så vil mit problem blive skrevet i formen:

Hvordan kan du med rimelighed konkludere, at:

Så ubemærket skrev jeg det enkleste ned eksponentiel ligning:

Og jeg fandt ham endda rod. Synes du ikke, at alt er fuldstændig trivielt? Jeg tænker præcis det samme. Her er endnu et eksempel til dig:

Men hvad skal man gøre? Det kan jo ikke skrives som en potens af et (rimeligt) tal. Lad os ikke fortvivle og bemærke, at begge disse tal er perfekt udtrykt gennem kraften af det samme tal. Hvilken en? Højre: . Derefter transformeres den oprindelige ligning til formen:

Hvor, som du allerede har forstået, . Lad os ikke udsætte længere og skrive det ned definition:

I vores tilfælde:.

Disse ligninger løses ved at reducere dem til formen:

efterfulgt af løsning af ligningen

Faktisk gjorde vi dette i det forrige eksempel: vi fik følgende: Og vi løste den enkleste ligning.

Det ser ikke ud til at være noget kompliceret, vel? Lad os først øve os på de enkleste eksempler:

Vi ser igen, at højre og venstre side af ligningen skal repræsenteres som potenser af ét tal. Ganske vist er dette allerede blevet gjort til venstre, men til højre er der et nummer. Men det er okay, for min ligning er mirakuløst vil forvandle sig til dette:

Hvad skulle jeg bruge her? Hvilken regel? Reglen om "grader inden for grader" som lyder:

Hvad hvis:

Inden vi besvarer dette spørgsmål, lad os udfylde følgende tabel:

Det er let for os at bemærke, at jo mindre, jo mindre mindre værdi, men ikke desto mindre er alle disse værdier større end nul. OG DET VIL ALTID VÆRE!!! Den samme egenskab gælder FOR ENHVER BASIS MED ENHVER INDIKATOR!! (for enhver og). Hvad kan vi så konkludere om ligningen? Her er hvad det er: det har ingen rødder! Ligesom enhver ligning ikke har nogen rødder. Lad os nu øve os og Lad os løse simple eksempler:

Lad os tjekke:

1. Her vil der ikke blive krævet noget af dig, undtagen viden om gradernes egenskaber (som jeg i øvrigt bad dig om at gentage!) Som regel fører alt til den mindste base: , . Så vil den oprindelige ligning svare til følgende: Alt jeg behøver er at bruge egenskaberne for potenser: Når man multiplicerer tal med samme grundtal, lægges potenserne sammen, og når man dividerer, trækkes de fra. Så får jeg: Nå, nu vil jeg med god samvittighed gå fra eksponentialligningen til den lineære: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. I det andet eksempel skal vi være mere forsigtige: Problemet er, at vi på venstre side umuligt kan repræsentere det samme tal som en potens. I dette tilfælde er det nogle gange nyttigt repræsentere tal som et produkt af potenser med forskellige baser, men de samme eksponenter:

Venstre side af ligningen vil se sådan ud: Hvad gav dette os? Her er hvad: Tal med forskellige grundtal men de samme eksponenter kan ganges.I dette tilfælde multipliceres baserne, men indikatoren ændres ikke:

I min situation vil dette give:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Ikke dårligt, vel?

3. Jeg kan ikke lide det, når jeg unødigt har to led på den ene side af ligningen og ingen på den anden (nogle gange er det selvfølgelig berettiget, men nu er det ikke sådan et tilfælde). Jeg flytter minusleddet til højre:

Nu, som før, vil jeg skrive alt i form af trepotenser:

Jeg tilføjer graderne til venstre og får en ækvivalent ligning

Du kan nemt finde dens rod:

4. Som i eksempel tre har minusleddet en plads i højre side!

På min venstre side er næsten alt fint, undtagen hvad? Ja, den "forkerte grad" af de to generer mig. Men det kan jeg sagtens ordne ved at skrive:. Eureka - til venstre er alle baserne forskellige, men alle graderne er ens! Lad os formere med det samme!

Her er alt klart igen: (hvis du ikke forstår, hvordan jeg på magisk vis fik den sidste ligestilling, så tag en pause i et minut, træk vejret og læs gradens egenskaber igen meget omhyggeligt. Hvem sagde, at du kan springe en grad med en negativ eksponent Nå, her er jeg omtrent det samme som ingen). Nu får jeg:

\begin(align)
& ((2)^(4\venstre((x) -9 \højre)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Her er nogle problemer for dig at øve dig på, som jeg kun vil give svarene på (men i en "blandet" form). Løs dem, tjek dem, og du og jeg fortsætter vores forskning!

Parat? Svar som disse:

ethvert nummer

Okay, okay, jeg lavede sjov! Her er nogle skitser af løsninger (nogle meget korte!)

Tror du ikke, at det ikke er tilfældigt, at den ene brøkdel til venstre er den anden "omvendt"? Det ville være synd ikke at udnytte dette:

Denne regel bruges meget ofte, når man løser eksponentialligninger, husk det godt!

Så bliver den oprindelige ligning sådan:

Ved at løse denne andengradsligning får du følgende rødder:

2. En anden løsning: at dividere begge sider af ligningen med udtrykket til venstre (eller højre). Divider med hvad der er til højre, så får jeg:

Hvor (hvorfor?!)

3. Jeg vil ikke engang gentage mig selv, alt er allerede blevet "tygget" så meget.

4. svarende til en andengradsligning, rødder

5. Du skal bruge formlen givet i den første opgave, så får du det:

Ligningen er blevet til en triviel identitet, der er sand for enhver. Så er svaret et hvilket som helst reelt tal.

Nå, nu har du øvet dig i at løse simple eksponentialligninger. Nu vil jeg give dig et par stykker livseksempler, som vil hjælpe dig med at forstå, hvorfor de er nødvendige i princippet. Her vil jeg give to eksempler. En af dem er ret hverdagsagtig, men den anden er mere tilbøjelig til at være af videnskabelig snarere end praktisk interesse.

Eksempel 1 (merkantil) Lad dig have rubler, men du vil gøre det til rubler. Banken tilbyder dig at tage disse penge fra dig til en årlig kurs med månedlig kapitalisering af renter (månedlig periodisering). Spørgsmålet er, hvor mange måneder skal du åbne et depositum i for at nå det krævede endelige beløb? En ganske banal opgave, er det ikke? Ikke desto mindre er dens løsning forbundet med konstruktionen af den tilsvarende eksponentielle ligning: Lad - det oprindelige beløb, - det endelige beløb, - rente per periode, - antallet af perioder. Derefter:

I vores tilfælde (hvis satsen er årlig, så beregnes den pr. måned). Hvorfor er det divideret med? Hvis du ikke kender svaret på dette spørgsmål, så husk emnet ""! Så får vi denne ligning:

Denne eksponentielle ligning kan kun løses ved hjælp af en lommeregner (dens udseende antyder dette, og det kræver kendskab til logaritmer, som vi stifter bekendtskab med lidt senere), hvilket jeg vil gøre: ... For at modtage en million skal vi altså lave en indbetaling i en måned ( ikke særlig hurtigt, vel?).

Eksempel 2 (temmelig videnskabeligt). På trods af hans visse "isolation" anbefaler jeg, at du er opmærksom på ham: han "glider regelmæssigt ind i Unified State Examination!! (problemet er taget fra den "rigtige" version) Under henfaldet af en radioaktiv isotop falder dens masse ifølge loven, hvor (mg) er isotopens begyndelsesmasse, (min.) er den tid, der er gået fra indledende øjeblik, (min.) er halveringstiden. I det indledende tidspunkt er isotopens masse mg. Dens halveringstid er min. Efter hvor mange minutter vil massen af isotopen være lig med mg? Det er okay: vi tager bare og erstatter alle data i den formel, der er foreslået os:

Lad os dividere begge dele med "i håbet om" at vi til venstre får noget fordøjeligt:

Nå, vi er meget heldige! Det er til venstre, så lad os gå videre til den tilsvarende ligning:

Hvor er min.

Som du kan se, har eksponentielle ligninger meget reelle anvendelser i praksis. Nu vil jeg vise dig en anden (simpel) måde at løse eksponentialligninger på, som er baseret på at tage den fælles faktor ud af parentes og derefter gruppere termerne. Bliv ikke bange for mine ord, du stødte allerede på denne metode i 7. klasse, da du studerede polynomier. For eksempel, hvis du havde brug for at faktorisere udtrykket:

Lad os gruppere: det første og tredje led, såvel som det andet og fjerde. Det er klart, at den første og den tredje er forskellen mellem kvadrater:

og den anden og fjerde har en fælles faktor på tre:

Så svarer det oprindelige udtryk til dette:

Hvor man kan udlede den fælles faktor er ikke længere svært:

Derfor,

Dette er nogenlunde, hvad vi vil gøre, når vi løser eksponentielle ligninger: kig efter "fællesskab" blandt begreberne og tag det ud af parentes, og så - hvad som helst, jeg tror på, at vi vil være heldige =)) For eksempel:

Til højre er langt fra at være en potens af syv (jeg tjekkede!) Og til venstre - det er lidt bedre, du kan selvfølgelig "hakke" faktoren a fra den anden fra første termin, og derefter behandle med hvad du har, men lad os være mere forsigtige med dig. Jeg vil ikke beskæftige mig med de brøker, der uundgåeligt dannes, når man "vælger" , så burde jeg ikke hellere tage det ud? Så vil jeg ikke have nogen fraktioner: som man siger, ulvene bliver fodret, og fårene er sikre:

Beregn udtrykket i parentes. Magisk, magisk viser det sig at (overraskende, selvom hvad skal vi ellers forvente?).

Så reducerer vi begge sider af ligningen med denne faktor. Vi får: , fra.

Her er et mere kompliceret eksempel (egentlig en smule):

Hvilket problem! Vi har ikke ét fælles fodslag her! Det er ikke helt klart, hvad man skal gøre nu. Lad os gøre, hvad vi kan: Flyt først "firerne" til den ene side og "femrene" til den anden:

Lad os nu tage "generelle" ud til venstre og højre:

Så hvad nu? Hvad er fordelen ved sådan en dum gruppe? Ved første øjekast er det slet ikke synligt, men lad os se dybere:

Nå, nu sørger vi for, at vi til venstre kun har udtrykket c, og til højre - alt andet. Hvordan gør vi dette? Sådan gør du: Divider begge sider af ligningen først med (så vi slipper af med eksponenten til højre), og divider derefter begge sider med (så vi slipper af med den numeriske faktor til venstre). Endelig får vi:

Utrolig! Til venstre har vi et udtryk, og til højre har vi et simpelt udtryk. Så konkluderer vi med det samme

Her er endnu et eksempel, som du kan forstærke:

Jeg vil give hans korte løsning (uden at genere mig selv meget med forklaringer), prøv selv at forstå alle "finesser" af løsningen.

Nu til den endelige konsolidering af det dækkede materiale. Prøv selv at løse følgende problemer. Jeg vil blot give korte anbefalinger og tips til at løse dem:

Lad os tage den fælles faktor ud af parentes: Hvor:
Lad os præsentere det første udtryk i formen: , divider begge sider med og få det
, så transformeres den oprindelige ligning til formen: Nå, nu et tip - se efter, hvor du og jeg allerede har løst denne ligning!
Forestil dig hvordan, hvordan, ah, ja, så divider begge sider med, så du får den enkleste eksponentielle ligning.
Tag det ud af beslagene.
Tag det ud af beslagene.

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. GENNEMSNIVEAU

Jeg antager, at efter at have læst den første artikel, som talte om hvad er eksponentialligninger og hvordan man løser dem, har du mestret den nødvendige minimumsviden, der er nødvendig for at løse de enkleste eksempler.

Nu vil jeg se på en anden metode til at løse eksponentialligninger, det er

"metode til at introducere en ny variabel" (eller erstatning). Han løser de fleste af de "svære" problemer om emnet eksponentielle ligninger (og ikke kun ligninger). Denne metode er en af de mest anvendte i praksis. Først anbefaler jeg, at du sætter dig ind i emnet.

Som du allerede har forstået fra navnet, er essensen af denne metode at indføre en sådan ændring af variabel, at din eksponentielle ligning mirakuløst vil forvandle sig til en, som du nemt kan løse. Alt, der er tilbage for dig efter at have løst denne meget "forenklede ligning" er at lave en "omvendt erstatning": det vil sige, vende tilbage fra den erstattede til den erstattede. Lad os illustrere, hvad vi lige sagde med et meget simpelt eksempel:

Eksempel 1:

Denne ligning er løst ved hjælp af en "simpel substitution", som matematikere nedsættende kalder det. Faktisk er erstatningen her den mest oplagte. Det skal man bare se

Så bliver den oprindelige ligning til dette:

Hvis vi derudover forestiller os hvordan, så er det helt klart, hvad der skal udskiftes: selvfølgelig. Hvad bliver så den oprindelige ligning? Her er hvad:

Du kan nemt finde dens rødder på egen hånd: . Hvad skal vi gøre nu? Det er tid til at vende tilbage til den oprindelige variabel. Hvad har jeg glemt at nævne? Nemlig: ved udskiftning af en vis grad med en ny variabel (det vil sige ved udskiftning af en type), vil jeg være interesseret i kun positive rødder! Du kan nemt svare på hvorfor. Derfor er du og jeg ikke interesseret, men den anden rod er ret egnet til os:

Så hvor fra.

Svar:

Som du kan se, i det foregående eksempel, bad en erstatning bare om vores hænder. Det er desværre ikke altid tilfældet. Lad os dog ikke gå direkte til de triste ting, men lad os øve os med endnu et eksempel med en ret simpel erstatning

Eksempel 2.

Det er klart, at vi højst sandsynligt bliver nødt til at lave en erstatning (dette er den mindste af de potenser, der er inkluderet i vores ligning), men før vi introducerer en erstatning, skal vores ligning være "forberedt" til det, nemlig: , . Så kan du erstatte, som et resultat får jeg følgende udtryk:

Åh rædsel: en kubisk ligning med helt forfærdelige formler til at løse det (nå, taler i generel opfattelse). Men lad os ikke fortvivle med det samme, men lad os tænke over, hvad vi skal gøre. Jeg vil foreslå snyd: vi ved, at for at få et "smukt" svar, skal vi få det i form af en eller anden potens af tre (hvorfor skulle det være, ikke?). Lad os prøve at gætte mindst én rod af vores ligning (jeg begynder at gætte med tre potenser).

Første gæt. Ikke en rod. Ak og åh...

.
Venstre side er lige.
Højre del:!
Spise! Gættede den første rod. Nu bliver tingene nemmere!

Kender du til "hjørne"-delingsordningen? Selvfølgelig gør du det, du bruger det når du dividerer et tal med et andet. Men de færreste ved, at det samme kan gøres med polynomier. Der er en vidunderlig sætning:

Anvendes til min situation, fortæller dette mig, at det er deleligt uden rest med. Hvordan foregår opdelingen? Sådan:

Jeg ser på hvilket monom jeg skal gange med for at få Clearly, så:

Jeg trækker det resulterende udtryk fra, får jeg:

Hvad skal jeg gange med for at få? Det er klart, at på, så får jeg:

og fratræk igen det resulterende udtryk fra det resterende:

Nå, det sidste trin er at gange med og trække fra det resterende udtryk:

Hurra, splittelsen er forbi! Hvad har vi akkumuleret privat? I sig selv:.

Så fik vi følgende udvidelse af det oprindelige polynomium:

Lad os løse den anden ligning:

Det har rødder:

Så den oprindelige ligning:

har tre rødder:

Vi vil selvfølgelig kassere den sidste rod, da den mindre end nul. Og de første to efter omvendt udskiftning vil give os to rødder:

Svar: ..

Med dette eksempel ville jeg slet ikke skræmme dig, men mit mål var at vise, at selvom vi havde en ret simpel erstatning, førte det alligevel til en ret kompleks ligning, hvis løsning krævede nogle specielle færdigheder fra os. Nå, ingen er immune over for dette. Men erstatningen i dette tilfælde var ret åbenlys.

Her er et eksempel med en lidt mindre indlysende erstatning:

Det er slet ikke klart, hvad vi skal gøre: Problemet er, at i vores ligning er der to forskellige baser, og den ene base kan ikke opnås fra den anden ved at hæve den til nogen (rimelig, naturligt) magt. Men hvad ser vi? Begge baser adskiller sig kun i fortegn, og deres produkt er forskellen mellem kvadrater lig med én:

Definition:

Således er de tal, der er baserne i vores eksempel, konjugerede.

I dette tilfælde ville det smarte skridt være Multiplicer begge sider af ligningen med det konjugerede tal.

For eksempel på, så vil venstre side af ligningen blive lig med, og højre. Hvis vi laver en substitution, vil vores oprindelige ligning blive sådan her:

dens rødder, og husker vi det, så får vi det.

Svar: , .

Som regel er erstatningsmetoden tilstrækkelig til at løse de fleste "skole" eksponentialligninger. Følgende opgaver er taget fra Unified State Examination C1 (øget sværhedsgrad). Du er allerede dygtig nok til at løse disse eksempler på egen hånd. Jeg vil kun give den nødvendige erstatning.

Løs ligningen:
Find rødderne til ligningen:
Løs ligningen:. Find alle rødderne til denne ligning, der hører til segmentet:

Og nu nogle korte forklaringer og svar:

Her er det nok for os at bemærke, at... Så vil den oprindelige ligning svare til dette: Denne ligning kan løses ved at erstatte Lav selv de videre beregninger. I sidste ende vil din opgave blive reduceret til at løse de enkleste trigonometriske problemer (afhængigt af sinus eller cosinus). Vi vil se på løsninger på lignende eksempler i andre afsnit.
Her kan du endda undvære substitution: Flyt blot subtrahenden til højre og repræsentere begge baser gennem to potenser: , og gå derefter direkte til andengradsligningen.
Den tredje ligning er også løst ganske standard: lad os forestille os hvordan. Så, i stedet for, får vi en andengradsligning: derefter,
Du ved allerede, hvad en logaritme er, ikke? Ingen? Så læs emnet hurtigt!

Den første rod hører åbenbart ikke til segmentet, men den anden er uklar! Men det finder vi ud af meget snart! Siden da (dette er en egenskab ved logaritmen!) Lad os sammenligne:

Træk fra begge sider, så får vi:

Venstre side kan repræsenteres som:

gange begge sider med:

kan så ganges med

Sammenlign derefter:

siden da:

Så hører den anden rod til det nødvendige interval

Svar:

Som du kan se, udvælgelse af rødder til eksponentialligninger kræver et ret dybt kendskab til logaritmers egenskaber, så jeg råder dig til at være så forsigtig som muligt, når du løser eksponentialligninger. Som du forstår, hænger alt sammen i matematik! Som min matematiklærer sagde: "matematik kan ligesom historie ikke læses fra den ene dag til den anden."

Som regel alle Vanskeligheden ved at løse opgaver C1 er netop udvælgelsen af ligningens rødder. Lad os øve os med endnu et eksempel:

Det er klart, at selve ligningen er løst ganske enkelt. Ved at lave en substitution reducerer vi vores oprindelige ligning til følgende:

Lad os først se på den første rod. Lad os sammenligne og: siden da. (ejendom logaritmisk funktion, kl). Så er det klart, at den første rod ikke hører til vores interval. Nu den anden rod:. Det er tydeligt (da funktionen på er stigende). Det er tilbage at sammenligne og...

siden da på samme tid. På denne måde kan jeg "drive en pind" mellem og. Denne pind er et nummer. Det første udtryk er mindre, og det andet er større. Så er det andet udtryk større end det første, og roden hører til intervallet.

Svar: .

Lad os endelig se på et andet eksempel på en ligning, hvor substitutionen er ret ikke-standard:

Lad os starte med det samme med, hvad der kan gøres, og hvad - i princippet kan gøres, men det er bedre ikke at gøre det. Du kan forestille dig alt gennem magten tre, to og seks. Hvor fører det hen? Det vil ikke føre til noget: et virvar af grader, hvoraf nogle vil være ret svære at slippe af med. Hvad skal der så til? Lad os bemærke, at a Og hvad vil det give os? Og det faktum, at vi kan reducere beslutningen dette eksempel En simpel eksponentialligning er nok til at løse! Lad os først omskrive vores ligning som:

Lad os nu dividere begge sider af den resulterende ligning med:

Eureka! Nu kan vi erstatte, vi får:

Nå, nu er det din tur til at løse demonstrationsproblemer, og jeg vil kun give korte kommentarer til dem, så du ikke kommer på afveje! Held og lykke!

1. Det sværeste! Det er så svært at se en erstatning her! Men ikke desto mindre kan dette eksempel løses fuldstændigt vha fremhæve en komplet firkant. For at løse det er det nok at bemærke, at:

Så her er din erstatning:

(Bemærk venligst, at her under vores udskiftning kan vi ikke kassere den negative rod!!! Hvorfor tror du?)

For at løse eksemplet skal du kun løse to ligninger:

Begge kan løses ved en "standardudskiftning" (men den anden i ét eksempel!)

2. Læg mærke til det, og lav en erstatning.

3. Dekomponér tallet i coprime-faktorer og forenkle det resulterende udtryk.

4. Divider brøkens tæller og nævner med (eller, hvis du foretrækker det) og foretag substitutionen eller.

5. Bemærk, at tallene og er konjugeret.

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. AVANCERET NIVEAU

Derudover, lad os se på en anden måde - løse eksponentialligninger ved hjælp af logaritmemetoden. Jeg kan ikke sige, at løsning af eksponentialligninger ved hjælp af denne metode er meget populær, men i nogle tilfælde kan det kun føre os til den rigtige beslutning vores ligning. Det bruges især ofte til at løse de såkaldte " blandede ligninger ": det vil sige dem, hvor funktioner af forskellige typer forekommer.

For eksempel en ligning af formen:

i det generelle tilfælde kan det kun løses ved at tage logaritmer på begge sider (for eksempel til basen), hvor den oprindelige ligning bliver til følgende:

Lad os se på følgende eksempel:

Det er klart, at ifølge ODZ af den logaritmiske funktion er vi kun interesserede. Dette følger dog ikke kun af ODZ af logaritmen, men af endnu en grund. Jeg tror ikke, det vil være svært for dig at gætte, hvilken det er.

Lad os tage logaritmen af begge sider af vores ligning til basen:

Som du kan se, førte logaritmen af vores oprindelige ligning os hurtigt til det korrekte (og smukke!) svar. Lad os øve os med endnu et eksempel:

Der er heller ikke noget galt her: lad os tage logaritmen af begge sider af ligningen til basen, så får vi:

Lad os lave en erstatning:

Vi gik dog glip af noget! Lagde du mærke til, hvor jeg lavede en fejl? Når alt kommer til alt, så:

som ikke opfylder kravet (tænk hvor det kom fra!)

Svar:

Prøv at nedskrive løsningen til eksponentialligningerne nedenfor:

Sammenlign nu din beslutning med dette:

1. Lad os logaritme begge sider til basen under hensyntagen til, at:

(den anden rod er ikke egnet til os på grund af udskiftning)

2. Logaritme til basen:

Lad os transformere det resulterende udtryk til følgende form:

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. KORT BESKRIVELSE OG GRUNDLÆGGENDE FORMLER

Eksponentiel ligning

Formens ligning:

hedder den enkleste eksponentialligning.

Egenskaber for grader

Tilgange til løsning

Reduktion til samme grundlag
Reduktion til samme eksponent
Variabel udskiftning
Forenkling af udtrykket og anvendelse af et af ovenstående.

Løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er der sket eksponentiel ligning? Dette er en ligning, hvor de ukendte (x'er) og udtryk med dem er med indikatorer nogle grader. Og kun der! Det er vigtigt.

Der er du eksempler på eksponentialligninger:

3 x 2 x = 8 x+3

Bemærk! I basis af grader (nedenfor) - kun tal. I indikatorer grader (over) - en bred vifte af udtryk med et X. Hvis der pludselig dukker et X op i ligningen et andet sted end en indikator, for eksempel:

dette vil være en ligning blandet type. Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning af dem. Vi vil ikke overveje dem lige nu. Her vil vi beskæftige os med løsning af eksponentialligninger i sin reneste form.

Faktisk løses selv rene eksponentielle ligninger ikke altid klart. Men der er visse typer eksponentialligninger, der kan og bør løses. Det er disse typer, vi vil overveje.

Løsning af simple eksponentialligninger.

Lad os først løse noget meget grundlæggende. For eksempel:

Selv uden nogen teorier, ved simpel udvælgelse er det klart, at x = 2. Intet andet, vel!? Ingen anden værdi af X virker. Lad os nu se på løsningen til denne vanskelige eksponentielle ligning:

Hvad har vi gjort? Vi smed faktisk simpelthen de samme baser ud (tripler). Fuldstændig smidt ud. Og den gode nyhed er, at vi rammer sømmet på hovedet!

Faktisk, hvis der i en eksponentiel ligning er venstre og højre det samme tal i enhver potens, kan disse tal fjernes, og eksponenterne kan udlignes. Matematik tillader. Det er tilbage at løse en meget enklere ligning. Fantastisk, ikke?)

Men lad os huske bestemt: Du kan kun fjerne baser, når basistallene til venstre og højre er i glimrende isolation! Uden nogen naboer og koefficienter. Lad os sige i ligningerne:

2 x +2 x+1 = 2 3, eller

toer kan ikke fjernes!

Nå, vi har mestret det vigtigste. Hvordan man bevæger sig fra onde eksponentielle udtryk til enklere ligninger.

"Det er tiderne!" - du siger. "Hvem ville give sådan en primitiv lektion om prøver og eksamener!?"

Jeg må være enig. Ingen vil. Men nu ved du, hvor du skal sigte, når du skal løse vanskelige eksempler. Det skal bringes til den form, hvor det samme grundtal er til venstre og højre. Så bliver alt nemmere. Faktisk er dette en klassiker inden for matematik. Vi tager det originale eksempel og transformerer det til det ønskede os sind. Efter matematikkens regler, selvfølgelig.

Lad os se på eksempler, der kræver en ekstra indsats for at reducere dem til de enkleste. Lad os ringe til dem simple eksponentialligninger.

Løsning af simple eksponentialligninger. Eksempler.

Ved løsning af eksponentialligninger er hovedreglerne handlinger med grader. Uden viden om disse handlinger vil intet fungere.

Til handlinger med grader skal man tilføje personlig iagttagelse og opfindsomhed. Har vi brug for de samme grundtal? Så vi leder efter dem i eksemplet i eksplicit eller krypteret form.

Lad os se, hvordan dette gøres i praksis?

Lad os få et eksempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Det første skarpe blik er på grunde. De... De er forskellige! To og otte. Men det er for tidligt at blive modløs. Det er tid til at huske det

To og otte er slægtninge i grad.) Det er sagtens muligt at skrive:

8 x+1 = (2 3) x+1

Hvis vi husker formlen fra operationer med grader:

(a n) m = a nm ,

dette fungerer godt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det oprindelige eksempel begyndte at se sådan ud:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi overfører 2 3 (x+1) til højre (ingen har annulleret matematikkens elementære operationer!), får vi:

2 2x = 2 3(x+1)

Det er praktisk talt alt. Fjernelse af baserne:

Vi løser dette monster og får

Dette er det rigtige svar.

I dette eksempel hjalp det os at kende tos kræfter. Vi identificeret i otte er der en krypteret to. Denne teknik (kryptering fælles grundlag under forskellige tal) er en meget populær teknik i eksponentialligninger! Ja, og også i logaritmer. Du skal kunne genkende potenser af andre tal i tal. Dette er ekstremt vigtigt for at løse eksponentialligninger.

Faktum er, at det ikke er et problem at hæve et hvilket som helst tal til enhver magt. Multiplicer, selv på papiret, og det er det. For eksempel kan enhver hæve 3 til femte potens. 243 vil fungere, hvis du kender multiplikationstabellen.) Men i eksponentialligninger er det meget oftere ikke nødvendigt at hæve til en potens, men omvendt... Find ud af hvilket tal i hvilken grad er gemt bag tallet 243, eller f.eks. 343... Ingen lommeregner vil hjælpe dig her.

Du skal kende nogle tals kræfter ved synet, ikke sandt... Lad os øve os?

Bestem hvilke potenser og hvilke tal tallene er:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i et rod, selvfølgelig!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Hvis du ser godt efter, kan du se mærkeligt faktum. Der er markant flere svar end opgaver! Nå, det sker... For eksempel 2 6, 4 3, 8 2 - det er alle 64.

Lad os antage, at du har noteret dig informationen om kendskab til tal.) Lad mig også minde dig om, at vi bruger til at løse eksponentialligninger alle lager af matematisk viden. Inklusiv dem fra junior- og middelklassen. Du gik ikke direkte i gymnasiet, vel?)

For eksempel, når man løser eksponentialligninger, hjælper det ofte at sætte den fælles faktor ud af parentes (hej til 7. klasse!). Lad os se på et eksempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Og igen er det første blik på fundamentet! Grundlaget for graderne er forskellige... Tre og ni. Men vi ønsker, at de skal være de samme. Nå, i dette tilfælde er ønsket fuldstændig opfyldt!) Fordi:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Brug de samme regler for håndtering af grader:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Det er fantastisk, du kan skrive det ned:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi gav et eksempel af samme årsager. Så hvad er det næste!? Du kan ikke smide treere ud... blindgyde?

Slet ikke. Husk den mest universelle og magtfulde beslutningsregel alle sammen matematiske opgaver:

Hvis du ikke ved, hvad du har brug for, så gør hvad du kan!

Se, alt ordner sig).

Hvad er der i denne eksponentielle ligning Kan gøre? Ja, i venstre side beder den bare om at blive taget ud af beslag! Den samlede multiplikator på 3 2x antyder tydeligt dette. Lad os prøve, og så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eksemplet bliver bedre og bedre!

Vi husker, at for at eliminere grunde har vi brug for en ren grad uden koefficienter. Tallet 70 generer os. Så vi dividerer begge sider af ligningen med 70, får vi:

Ups! Alt blev bedre!

Dette er det endelige svar.

Det sker dog, at taxa på samme grundlag er mulig, men deres eliminering er ikke mulig. Dette sker i andre typer eksponentialligninger. Lad os mestre denne type.

Udskiftning af en variabel ved løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Lad os løse ligningen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Først - som sædvanligt. Lad os gå videre til én base. Til en toer.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ligningen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Og det er her, vi hænger ud. Tidligere tricks vil ikke virke, uanset hvor hårdt du kigger. Vi bliver nødt til at trække en anden kraftfuld og universel metode ud af vores arsenal. Det hedder variabel udskiftning.

Essensen af metoden er overraskende enkel. I stedet for et komplekst ikon (i vores tilfælde - 2 x) skriver vi et andet, enklere (for eksempel - t). Sådan en tilsyneladende meningsløs erstatning fører til fantastiske resultater!) Alt bliver bare klart og forståeligt!

Så lad

Så 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

I vores ligning erstatter vi alle potenser med x'er med t:

Nå, går det op for dig?) Kvadratiske ligninger Har du glemt det endnu? Løser vi gennem diskriminanten, får vi:

Det vigtigste her er ikke at stoppe, som det sker... Dette er ikke svaret endnu, vi skal bruge et x, ikke et t. Lad os vende tilbage til X'erne, dvs. vi foretager en omvendt udskiftning. Først for t 1:

Det er,

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:

Hm... 2 x til venstre, 1 til højre... Problem? Slet ikke! Det er nok at huske (fra operationer med beføjelser, ja...), at en enhed er nogen tal til nul potens. Nogen. Uanset hvad der er nødvendigt, installerer vi det. Vi skal bruge en toer. Midler:

Det er det nu. Vi har 2 rødder:

Dette er svaret.

På løsning af eksponentialligninger til sidst ender man nogle gange med en form for akavet udtryk. Type:

Fra syv til to til simpel grad virker ikke. De er ikke pårørende... Hvordan kan vi være det? Nogen kan være forvirret... Men den person, der læste på dette websted emnet "Hvad er en logaritme?" , smiler bare sparsomt og skriver med fast hånd det helt rigtige svar ned:

Der kan ikke være et sådant svar i opgave "B" på Unified State Examination. Der kræves et bestemt nummer. Men i opgave "C" er det nemt.

Denne lektion giver eksempler på løsning af de mest almindelige eksponentialligninger. Lad os fremhæve hovedpunkterne.

Praktiske råd:

1. Først og fremmest ser vi på grunde grader. Vi spekulerer på, om det er muligt at lave dem identisk. Lad os prøve at gøre dette ved aktivt at bruge handlinger med grader. Glem ikke, at tal uden x'er også kan konverteres til potenser!

2. Vi forsøger at bringe eksponentialligningen til formen, når der til venstre og højre er det samme tal i enhver potens. Vi bruger handlinger med grader Og faktorisering. Hvad der kan tælles i tal, tæller vi.

3. Hvis det andet tip ikke virkede, så prøv at bruge variabel erstatning. Resultatet kan være en ligning, der let kan løses. Oftest - firkantet. Eller fraktioneret, som også reduceres til kvadrat.

4. For at kunne løse eksponentialligninger skal du kende potenserne af nogle tal ved synet.

Som sædvanlig bliver du i slutningen af lektionen inviteret til at bestemme lidt.) På egen hånd. Fra simpelt til komplekst.

Løs eksponentialligninger:

Sværere:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Find produktet af rødder:

2 3'ere + 2 x = 9

sket?

Okay så det mest komplicerede eksempel(besluttede dog i sindet...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Hvad er mere interessant? Så er her et dårligt eksempel til dig. Ret fristende for øget sværhedsgrad. Lad mig antyde, at i dette eksempel er det, der redder dig, opfindsomhed og den mest universelle regel for at løse alle matematiske problemer.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Et enklere eksempel til afslapning):

9 2 x - 4 3 x = 0

Og til dessert. Find summen af ligningens rødder:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dette er en ligning af blandet type! Hvilket vi ikke overvejede i denne lektion. Hvorfor overveje dem, de skal løses!) Denne lektion er ganske nok til at løse ligningen. Nå, du har brug for opfindsomhed... Og må syvende klasse hjælpe dig (dette er et tip!).

Svar (i uorden, adskilt af semikolon):

1; 2; 3; 4; der er ingen løsninger; 2; -2; -5; 4; 0.

Er alt vellykket? Store.

Der er et problem? Intet problem! Special Section 555 løser alle disse eksponentialligninger med detaljerede forklaringer. Hvad, hvorfor og hvorfor. Og selvfølgelig er der yderligere værdifuld information om at arbejde med alle mulige eksponentielle ligninger. Ikke kun disse.)

Et sidste sjovt spørgsmål at overveje. I denne lektion arbejdede vi med eksponentialligninger. Hvorfor sagde jeg ikke et ord om ODZ her? I ligninger er dette i øvrigt en meget vigtig ting...

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.