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एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और उसके समानांतर एक खंड से बनता है। हम कह सकते हैं कि एक कटा हुआ पिरामिड एक पिरामिड है जिसका शीर्ष कटा हुआ है। इस आकृति में कई अद्वितीय गुण हैं:

• पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं;
• नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व किनारे समान लंबाई के होते हैं और समान कोण पर आधार से झुके होते हैं;
• आधार समान बहुभुज हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में, चेहरे समान समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं, जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है। वे भी एक कोण पर आधार की ओर झुके हुए हैं।

एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र इसके पक्षों के क्षेत्रों का योग है:

चूँकि काटे गए पिरामिड की भुजाएँ समलम्बाकार हैं, इसलिए मापदंडों की गणना करने के लिए आपको सूत्र का उपयोग करना होगा समलम्बाकार क्षेत्र. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, आप क्षेत्रफल की गणना के लिए एक अलग सूत्र लागू कर सकते हैं। चूँकि इसकी सभी भुजाएँ, फलक और आधार पर कोण समान हैं, इसलिए आधार और एपोथेम की परिधि को लागू करना संभव है, और आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्र भी प्राप्त करना संभव है।

यदि, नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की स्थितियों के अनुसार, एपोथेम (पक्ष की ऊंचाई) और आधार के किनारों की लंबाई दी गई है, तो क्षेत्रफल की गणना परिमापों के योग के आधे-उत्पाद के माध्यम से की जा सकती है आधार और एपोटेम:

आइए एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना का एक उदाहरण देखें।
एक नियमित पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है। एपोथेम एल= 5 सेमी, बड़े आधार में किनारे की लंबाई है ए= 6 सेमी, और किनारा छोटे आधार पर है बी= 4 सेमी. काटे गए पिरामिड का क्षेत्रफल ज्ञात करें.

सबसे पहले, आइए आधारों की परिधि ज्ञात करें। चूँकि हमें एक पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है, हम समझते हैं कि आधार पंचकोण हैं। इसका मतलब यह है कि आधारों में पांच समान भुजाओं वाली एक आकृति होती है। आइए बड़े आधार का परिमाप ज्ञात करें:

इसी प्रकार हम छोटे आधार का परिमाप ज्ञात करते हैं:

अब हम एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। डेटा को सूत्र में रखें:

इस प्रकार, हमने परिधि और एपोथेम के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना की।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का दूसरा तरीका सूत्र है आधार पर कोणों और इन्हीं आधारों के क्षेत्रफल के माध्यम से.

आइए एक उदाहरण गणना देखें। हमें याद है कि यह सूत्र केवल नियमित रूप से काटे गए पिरामिड पर लागू होता है।

मान लीजिए कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है। निचले आधार का किनारा a = 6 सेमी है, और ऊपरी आधार का किनारा b = 4 सेमी है। आधार पर डायहेड्रल कोण β = 60° है। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

सबसे पहले, आइए आधारों के क्षेत्रफल की गणना करें। चूँकि पिरामिड नियमित है, आधारों के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं। यह मानते हुए कि आधार एक चतुर्भुज है, हम समझते हैं कि इसकी गणना करना आवश्यक होगा वर्ग का क्षेत्रफल. यह चौड़ाई और लंबाई का गुणनफल है, लेकिन वर्ग करने पर ये मान समान होते हैं। आइए बड़े आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें:


अब हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए पाए गए मानों का उपयोग करते हैं।

कुछ सरल सूत्रों को जानने के बाद, हमने विभिन्न मूल्यों का उपयोग करके आसानी से एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना की।

इस पाठ में हम एक काटे गए पिरामिड को देखेंगे, एक नियमित काटे गए पिरामिड से परिचित होंगे, और उनके गुणों का अध्ययन करेंगे।

आइए हम त्रिकोणीय पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके एन-गोनल पिरामिड की अवधारणा को याद करें। त्रिभुज ABC दिया गया है। त्रिभुज के तल के बाहर, एक बिंदु P लिया गया है, जो त्रिभुज के शीर्षों से जुड़ा है। परिणामी बहुफलकीय सतह को पिरामिड कहा जाता है (चित्र 1)।

चावल। 1. त्रिकोणीय पिरामिड

आइए पिरामिड को पिरामिड के आधार के तल के समानांतर एक समतल से काटें। इन तलों के बीच प्राप्त आकृति को काटे गए पिरामिड कहा जाता है (चित्र 2)।

चावल। 2. कटा हुआ पिरामिड

मुख्य तत्व:

ऊपरी आधार;

एबीसी निचला आधार;

पार्श्व चेहरा;

यदि PH मूल पिरामिड की ऊंचाई है, तो यह काटे गए पिरामिड की ऊंचाई है।

एक काटे गए पिरामिड के गुण उसके निर्माण की विधि से उत्पन्न होते हैं, अर्थात् आधारों के तलों की समानता से:

काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्ब चतुर्भुज हैं। उदाहरण के लिए, किनारे पर विचार करें। इसमें समानांतर विमानों की संपत्ति है (चूंकि विमान समानांतर हैं, वे मूल एवीआर पिरामिड के पार्श्व चेहरे को समानांतर सीधी रेखाओं के साथ काटते हैं), लेकिन साथ ही वे समानांतर नहीं हैं। जाहिर है, चतुर्भुज एक ट्रेपोज़ॉइड है, जैसे कि काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक।

सभी समलंबों के लिए आधारों का अनुपात समान है:

हमारे पास समान समानता गुणांक वाले समान त्रिभुजों के कई जोड़े हैं। उदाहरण के लिए, त्रिभुज और RAB समतलों की समानता और समानता गुणांक के कारण समान हैं:

साथ ही, त्रिभुज और आरवीएस समानता गुणांक के समान हैं:

जाहिर है, समान त्रिभुजों के सभी तीन युग्मों के लिए समानता गुणांक समान हैं, इसलिए आधारों का अनुपात सभी समलंबों के लिए समान है।

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड एक काटे गए पिरामिड को आधार के समानांतर एक विमान के साथ एक नियमित पिरामिड को काटकर प्राप्त किया जाता है (चित्र 3)।

चावल। 3. नियमित रूप से काटे गए पिरामिड

परिभाषा।

एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि इसका आधार एक नियमित एन-गॉन है, और इसका शीर्ष इस एन-गॉन के केंद्र (खुदा और परिचालित वृत्त का केंद्र) में प्रक्षेपित होता है।

इस मामले में, पिरामिड के आधार पर एक वर्ग है, और शीर्ष इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित है। परिणामी नियमित चतुर्भुजाकार काटे गए पिरामिड ABCD का निचला आधार और ऊपरी आधार है। मूल पिरामिड की ऊंचाई आरओ है, काटे गए पिरामिड की ऊंचाई (चित्र 4) है।

चावल। 4. नियमित चतुष्कोणीय काटे गए पिरामिड

परिभाषा।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंबवत है।

मूल पिरामिड का एपोथेम RM है (M, AB का मध्य है), काटे गए पिरामिड का एपोथेम है (चित्र 4)।

परिभाषा।

काटे गए पिरामिड का एपोटेम किसी भी पार्श्व फलक की ऊंचाई है।

यह स्पष्ट है कि काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, अर्थात पार्श्व फलक समान समद्विबाहु समलम्बाकार हैं।

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधारों और एपोथेम की परिधि के आधे योग के उत्पाद के बराबर है।

प्रमाण (एक नियमित चतुर्भुजाकार काटे गए पिरामिड के लिए - चित्र 4):

तो, हमें साबित करना होगा:

यहां पार्श्व सतह के क्षेत्रफल में पार्श्व फलकों - ट्रेपेज़ॉइड्स के क्षेत्रों का योग शामिल होगा। चूँकि समलंब समान हैं, हमारे पास है:

वर्ग समद्विबाहु समलम्बाकार- आधारों और ऊंचाई के आधे योग का गुणनफल है, एपोथेम ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई है। हमारे पास है:

क्यू.ई.डी.

एन-गोनल पिरामिड के लिए:

जहाँ n पिरामिड के पार्श्व फलकों की संख्या है, a और b समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं, और एपोथेम है।

आधार के किनारे नियमित रूप से काटे गए हैं चतुर्भुज पिरामिड बराबर 3 सेमी और 9 सेमी, ऊंचाई - 4 सेमी. पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें.

चावल। 5. समस्या 1 के लिए चित्रण

समाधान। आइए स्थिति को स्पष्ट करें:

द्वारा पूछा गया: , ,

बिंदु O के माध्यम से हम निचले आधार के दोनों किनारों के समानांतर एक सीधी रेखा MN खींचते हैं, और इसी तरह बिंदु के माध्यम से हम एक सीधी रेखा खींचते हैं (चित्र 6)। चूँकि काटे गए पिरामिड के आधार पर वर्ग और निर्माण समानांतर हैं, हमें पार्श्व फलकों के बराबर एक समलम्ब चतुर्भुज प्राप्त होता है। इसके अलावा, इसका किनारा पार्श्व फलकों के ऊपरी और निचले किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरेगा और काटे गए पिरामिड का एपोथेम होगा।

चावल। 6. अतिरिक्त निर्माण

आइए परिणामी समलम्बाकार (चित्र 6) पर विचार करें। इस समलम्ब चतुर्भुज में ऊपरी आधार, निचला आधार और ऊँचाई ज्ञात होती है। आपको वह पक्ष ढूंढना होगा जो किसी दिए गए काटे गए पिरामिड का एपोथेम है। आइए MN पर लंब बनाएं। बिंदु से हम लंबवत NQ को नीचे करते हैं। हम पाते हैं कि बड़ा आधार तीन सेंटीमीटर () के खंडों में विभाजित है। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें, इसमें पैर ज्ञात हैं, यह एक मिस्र का त्रिभुज है, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम कर्ण की लंबाई निर्धारित करते हैं: 5 सेमी।

अब पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए सभी तत्व मौजूद हैं:

पिरामिड आधार के समानांतर एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित है। त्रिकोणीय पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके साबित करें कि पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊंचाई को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया गया है।

सबूत। आइए स्पष्ट करें:

चावल। 7. समस्या 2 के लिए चित्रण

RABC पिरामिड दिया गया है. पीओ - ​​पिरामिड की ऊंचाई. पिरामिड को एक समतल द्वारा काटा जाता है, एक छोटा पिरामिड प्राप्त होता है, और। बिंदु - काटे गए पिरामिड के आधार के तल के साथ आरओ की ऊंचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु। यह साबित करना आवश्यक है:

समाधान की कुंजी समानांतर विमानों की संपत्ति है। दो समानांतर तल किसी तीसरे तल को इस प्रकार काटते हैं कि प्रतिच्छेदन रेखाएँ समानांतर हों। यहाँ से: । संगत रेखाओं की समानता से समरूप त्रिभुजों के चार युग्मों की उपस्थिति का पता चलता है:

त्रिभुजों की समानता से संगत भुजाओं की आनुपातिकता का अनुसरण होता है। महत्वपूर्ण विशेषतायह है कि इन त्रिभुजों के समानता गुणांक समान हैं:

क्यू.ई.डी.

आधार की ऊंचाई और भुजा वाला एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड आरएबीसी को आधार एबीसी के समानांतर ऊंचाई पीएच के मध्य से गुजरने वाले एक विमान द्वारा विच्छेदित किया जाता है। परिणामी काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए स्पष्ट करें:

चावल। 8. समस्या 3 के लिए चित्रण

दीया - नियमित त्रिकोण, H इस त्रिभुज का केंद्र है (खुदा और परिचालित वृत्तों का केंद्र)। आरएम किसी दिए गए पिरामिड का एपोथेम है। - एक काटे गए पिरामिड का एपोटेम। समानांतर विमानों की संपत्ति के अनुसार (दो समानांतर विमान किसी तीसरे विमान को काटते हैं ताकि चौराहे की रेखाएं समानांतर हों), हमारे पास समान समानता गुणांक वाले समान त्रिकोण के कई जोड़े हैं। विशेष रूप से, हम इस संबंध में रुचि रखते हैं:

आइए एनएम खोजें। यह आधार में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या है; हम संबंधित सूत्र जानते हैं:

अब से सही त्रिकोणआरएनएम पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके हम आरएम पाते हैं - मूल पिरामिड का एपोथेम:

प्रारंभिक अनुपात से:

अब हम काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सभी तत्वों को जानते हैं:

इसलिए, हम एक काटे गए पिरामिड और एक नियमित काटे गए पिरामिड की अवधारणाओं से परिचित हुए, बुनियादी परिभाषाएँ दीं, गुणों की जांच की, और पार्श्व सतह के क्षेत्र पर प्रमेय को सिद्ध किया। अगला पाठ समस्या समाधान पर केंद्रित होगा।

संदर्भ

1. आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों(बुनियादी और प्रोफ़ाइल स्तर) / आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, रेव। और अतिरिक्त - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पी.: बीमार।
2. शैरगिन आई. एफ. ज्यामिति। 10-11 ग्रेड: सामान्य शिक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों/ शैरगिन आई.एफ. - एम.: बस्टर्ड, 1999. - 208 पी.: बीमार।
3. ई. वी. पोटोस्कुएव, एल. आई. ज़्वालिच। ज्यामिति। ग्रेड 10: गणित/ई के गहन और विशेष अध्ययन के साथ सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। वी. पोटोस्कुएव, एल. आई. ज़्वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम.: बस्टर्ड, 2008. - 233 पी.: बीमार।

1. Uztest.ru ()।
2. Fmclass.ru ()।
3. Webmath.exponenta.ru ().

गृहकार्य

पिरामिड. कटा हुआ पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक है, जिसका एक फलक बहुभुज है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( पार्श्व चेहरे ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। वह त्रिभुजाकार पिरामिड कहलाता है जिसके सभी किनारे बराबर हों चतुर्पाश्वीय .

पार्श्व पसलीपिरामिड के पार्श्व फलक का वह भाग होता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक बराबर होते हैं समद्विबाहु त्रिभुज. शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम . विकर्ण खंड पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले एक विमान द्वारा कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। कुल सतह क्षेत्र इसे सभी पार्श्व फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट घिरे एक वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाने पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सही सूत्र है:

कहाँ वी- आयतन;

एस आधार- आधार क्षेत्र;

एच-पिरामिड की ऊंचाई.

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ पी- आधार परिधि;

हा ए– एपोटेम;

एच- ऊंचाई;

एस भरा हुआ

एस ओर

एस आधार- आधार क्षेत्र;

वी– एक नियमित पिरामिड का आयतन.

कटा हुआ पिरामिडपिरामिड के आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे पिरामिड के भाग को कहा जाता है (चित्र 17)। नियमित रूप से काटे गए पिरामिड इसे नियमित पिरामिड का वह हिस्सा कहा जाता है जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

मैदानकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। पार्श्व चेहरे - ट्रेपेज़ोइड्स। ऊंचाई एक काटे गए पिरामिड की दूरी उसके आधारों के बीच की दूरी है। विकर्ण एक कटा हुआ पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड एक विमान द्वारा काटे गए पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह से संबंधित नहीं हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्र;

एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्र;

एस ओर- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एच- ऊंचाई;

वी- एक काटे गए पिरामिड का आयतन।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए सूत्र सही है:

कहाँ पी 1 , पी 2 - आधारों की परिधि;

हा ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोटेम।

उदाहरण 1.दाईं ओर त्रिकोणीय पिरामिडआधार पर डायहेड्रल कोण 60º है। आधार के तल पर पार्श्व किनारे के झुकाव के कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है और सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व पृष्ठ और आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण ही कोण है एदो लंबों के बीच: आदि। पिरामिड का शीर्ष त्रिभुज के केंद्र (परिवृत्त का केंद्र और त्रिभुज के उत्कीर्ण वृत्त) पर प्रक्षेपित है एबीसी). पार्श्व किनारे के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए)। एस.बी.) किनारे और आधार के तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। पसली के लिए एस.बी.यह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा ज्ञात करने के लिए आपको पाद जानने की आवश्यकता है इसलिएऔर ओ.बी.. चलो खंड की लंबाई बी.डी 3 के बराबर है ए. डॉट के बारे मेंखंड बी.डीभागों में विभाजित है: तथा से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2.एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात करें यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी के बराबर हैं, और इसकी ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानते हुए, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी के बराबर हैं। इसका अर्थ है आधारों का क्षेत्रफल और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। किसी समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। आधार शर्त के अनुसार दिये गये हैं, केवल ऊँचाई अज्ञात रहती है। हम उसे कहां से ढूंढेंगे ए 1 ईएक बिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी– से लंबवत ए 1 प्रति ए.सी. ए 1 ई= 2 सेमी, चूँकि यह पिरामिड की ऊँचाई है। ढूँढ़ने के लिए डी.ईआइए शीर्ष दृश्य दिखाते हुए एक अतिरिक्त चित्र बनाएं (चित्र 20)। डॉट के बारे में- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक है– वृत्त में अंकित त्रिज्या तथा ॐ– एक वृत्त में अंकित त्रिज्या:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4.पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलंब है, जिसके आधार हैं एऔर बी (ए> बी). प्रत्येक पार्श्व किनारापिरामिड के आधार के तल के बराबर एक कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीक्षेत्रफलों के योग और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर ए बी सी डी.

आइए इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी चेहरे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। डॉट के बारे में- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर. त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार के तल तक. एक समतल आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

वैसे ही इसका मतलब है इस प्रकार, समस्या समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने तक सीमित रह गई ए बी सी डी. आइए एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। डॉट के बारे में- एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय से हमारे पास है