गणितीय क्रम निष्पादित करने का नियम. कार्य करने की प्रक्रिया, नियम, उदाहरण

पाठ विषय: "कोष्ठक के बिना और कोष्ठक सहित भावों में क्रियाओं के निष्पादन का क्रम।"

पाठ का उद्देश्य: कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ अभिव्यक्तियों में क्रियाओं के क्रम के बारे में ज्ञान को लागू करने की क्षमता को मजबूत करने के लिए स्थितियाँ बनाएँ अलग-अलग स्थितियाँ, अभिव्यक्ति द्वारा समस्याओं को हल करने का कौशल।

पाठ मकसद।

शैक्षिक:

कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ अभिव्यक्ति में कार्य करने के नियमों के बारे में छात्रों के ज्ञान को समेकित करना; विशिष्ट अभिव्यक्तियों की गणना करते समय इन नियमों का उपयोग करने की उनकी क्षमता विकसित करना; कंप्यूटिंग कौशल में सुधार; गुणा और भाग के मामलों की तालिका दोहराएँ;

शैक्षिक:

कंप्यूटिंग कौशल विकसित करें, तर्कसम्मत सोच, छात्रों का ध्यान, स्मृति, संज्ञानात्मक क्षमताएं,

संचार कौशल;

शैक्षिक:

एक-दूसरे के प्रति सहिष्णु रवैया अपनाएं, आपसी सहयोग करें,

कक्षा में व्यवहार की संस्कृति, सटीकता, स्वतंत्रता, गणित में रुचि पैदा करना।

गठित यूयूडी:

नियामक यूयूडी:

प्रस्तावित योजना, निर्देशों के अनुसार कार्य करें;

के आधार पर अपनी परिकल्पनाएँ सामने रखें शैक्षिक सामग्री;

आत्मसंयम बरतें.

संज्ञानात्मक यूयूडी:

कार्यों के क्रम के नियम जानें:

उनकी सामग्री को समझाने में सक्षम हो;

कार्यों के क्रम के नियम को समझें;

निष्पादन क्रम के नियमों के अनुसार अभिव्यक्तियों के अर्थ खोजें;

शब्द समस्याओं का उपयोग करते हुए क्रियाएँ;

किसी अभिव्यक्ति का उपयोग करके समस्या का समाधान लिखें;

कार्यों के क्रम के लिए नियम लागू करें;

प्रदर्शन करते समय अर्जित ज्ञान को लागू करने में सक्षम हो परीक्षण कार्य.

संचार यूयूडी:

दूसरों के भाषण को सुनें और समझें;

अपने विचारों को पर्याप्त पूर्णता और सटीकता के साथ व्यक्त करें;

विभिन्न दृष्टिकोणों की संभावना की अनुमति दें, वार्ताकार की स्थिति को समझने का प्रयास करें;

विभिन्न सामग्री की एक टीम में काम करें (युगल, छोटा समूह, पूरी कक्षा), जोड़ियों में काम करते हुए, चर्चाओं में भाग लें;

व्यक्तिगत यूयूडी:

किसी गतिविधि के उद्देश्य और उसके परिणाम के बीच संबंध स्थापित करना;

सभी के लिए व्यवहार के सामान्य नियम निर्धारित करें;

सफलता की कसौटी के आधार पर आत्म-मूल्यांकन करने की क्षमता व्यक्त करें शैक्षणिक गतिविधियां.

नियोजित परिणाम:

विषय:

कार्यों के क्रम के नियम जानें.

उनकी सामग्री को समझाने में सक्षम हो.

अभिव्यक्ति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने में सक्षम हो।

निजी:
शैक्षिक गतिविधियों की सफलता की कसौटी के आधार पर आत्म-मूल्यांकन करने में सक्षम हो।

मेटाविषय:

शिक्षक की सहायता से किसी पाठ में लक्ष्य निर्धारित करने और तैयार करने में सक्षम होना; पाठ में क्रियाओं के क्रम का उच्चारण करें; सामूहिक रूप से तैयार की गई योजना के अनुसार कार्य करें; पर्याप्त पूर्वव्यापी मूल्यांकन के स्तर पर कार्रवाई की शुद्धता का मूल्यांकन करें; कार्य के अनुसार अपने कार्य की योजना बनाएं; कार्रवाई के पूरा होने के बाद उसके मूल्यांकन के आधार पर और की गई त्रुटियों की प्रकृति को ध्यान में रखते हुए उसमें आवश्यक समायोजन करें; अपना अनुमान व्यक्त करें( नियामक यूयूडी ).

अपने विचार मौखिक रूप से व्यक्त करने में सक्षम हों; दूसरों के भाषण को सुनें और समझें; स्कूल में व्यवहार और संचार के नियमों पर संयुक्त रूप से सहमत हों और उनका पालन करें ( संचारी यूयूडी ).

अपने ज्ञान तंत्र को नेविगेट करने में सक्षम हो: एक शिक्षक की मदद से पहले से ज्ञात से नए को अलग करें; नया ज्ञान प्राप्त करें: पाठ्यपुस्तक का उपयोग करके प्रश्नों के उत्तर खोजें जीवनानुभवऔर कक्षा में प्राप्त जानकारी (संज्ञानात्मक यूयूडी ).

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण.

ताकि हमारा पाठ उज्जवल हो जाए,

हम अच्छाई साझा करेंगे.

तुम अपनी हथेलियाँ फैलाओ,

उनमें अपना प्यार रखो,

और एक दूसरे को देखकर मुस्कुराएं.

अपनी नौकरियाँ ले लो.

हमने अपनी नोटबुक खोली, संख्या लिखी और कक्षा का काम पूरा किया।

2. ज्ञान को अद्यतन करना।

इस पाठ में हमें कोष्ठक रहित तथा कोष्ठक सहित भावों में अंकगणितीय संक्रियाएँ करने के क्रम को विस्तार से देखना होगा।

मौखिक गिनती.

खेल "सही उत्तर खोजें।"

(प्रत्येक छात्र के पास संख्याओं वाली एक शीट है)

मैं कार्यों को पढ़ता हूं, और आपको, अपने दिमाग में कार्यों को पूरा करने के बाद, परिणामी परिणाम, यानी, उत्तर को पार करना होगा।

मैंने एक संख्या के बारे में सोचा, उसमें से 80 घटाया, और 18 प्राप्त हुआ। मैंने कौन सी संख्या के बारे में सोचा? (98)

मैंने एक संख्या के बारे में सोचा, उसमें 12 जोड़ा, और 70 प्राप्त हुआ। मैंने कौन सी संख्या के बारे में सोचा? (58)

पहला पद 90 है, दूसरा पद 12 है। योग ज्ञात कीजिए। (102)

अपने परिणामों को संयोजित करें.

आपको कौन सी ज्यामितीय आकृति मिली? (त्रिकोण)

हमें बताएं कि आप इसके बारे में क्या जानते हैं ज्यामितीय आकृति. (इसकी 3 भुजाएँ, 3 शीर्ष, 3 कोने हैं)

हम कार्ड पर काम करना जारी रखते हैं।

संख्या 100 और 22 के बीच अंतर ज्ञात कीजिए . (78)

लघुअंत 99 है, उपअंक 19 है। अंतर ज्ञात कीजिए। (80).

संख्या 25 को 4 बार लें। (100)

परिणामों को जोड़ते हुए त्रिभुज के अंदर एक और त्रिभुज बनाएं।

आपको कितने त्रिभुज मिले? (5)

3. पाठ के विषय पर काम करें। अंकगणितीय संक्रियाओं के निष्पादन के क्रम के आधार पर किसी अभिव्यक्ति के मूल्य में परिवर्तन का अवलोकन करना

जीवन में, हम लगातार कुछ न कुछ कार्य करते रहते हैं: हम चलते हैं, अध्ययन करते हैं, पढ़ते हैं, लिखते हैं, गिनते हैं, मुस्कुराते हैं, झगड़ते हैं और शांति बनाते हैं। हम ये क्रियाएं अलग-अलग क्रम में करते हैं। कभी-कभी उनकी अदला-बदली की जा सकती है, कभी-कभी नहीं। उदाहरण के लिए, सुबह स्कूल के लिए तैयार होते समय, आप पहले व्यायाम कर सकते हैं, फिर अपना बिस्तर बना सकते हैं, या इसके विपरीत। लेकिन आप पहले स्कूल नहीं जा सकते और फिर कपड़े नहीं पहन सकते।

क्या गणित में ऐसा करना जरूरी है? अंकगणितीय आपरेशनसएक निश्चित क्रम में?

की जाँच करें

आइए भावों की तुलना करें:
8-3+4 और 8-3+4

हम देखते हैं कि दोनों अभिव्यक्तियाँ बिल्कुल एक जैसी हैं।

आइए एक अभिव्यक्ति में बाएँ से दाएँ और दूसरे में दाएँ से बाएँ क्रियाएँ करें। आप क्रियाओं के क्रम को इंगित करने के लिए संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं (चित्र 1)।

चावल। 1. प्रक्रिया

पहली अभिव्यक्ति में, हम पहले घटाव ऑपरेशन करेंगे और फिर परिणाम में संख्या 4 जोड़ देंगे।

दूसरी अभिव्यक्ति में, हम पहले योग का मान ज्ञात करते हैं, और फिर परिणामी परिणाम 7 को 8 में से घटाते हैं।

हम देखते हैं कि भावों के अर्थ भिन्न-भिन्न हैं।

आइए निष्कर्ष निकालें: अंकगणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करने का क्रम बदला नहीं जा सकता.

कोष्ठक के बिना भावों में अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रम

आइए बिना कोष्ठक वाले व्यंजकों में अंकगणितीय संक्रियाएँ करने का नियम सीखें।

यदि कोष्ठक रहित अभिव्यक्ति में केवल जोड़ और घटाव या केवल गुणा और भाग शामिल है, तो क्रियाएं उसी क्रम में की जाती हैं जिसमें वे लिखे गए हैं।

का अभ्यास करते हैं।

अभिव्यक्ति पर विचार करें

इस अभिव्यक्ति में केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएँ शामिल हैं। इन क्रियाओं को कहा जाता है प्रथम चरण की कार्रवाई.

हम क्रम में बाएं से दाएं क्रियाएं करते हैं (चित्र 2)।

चावल। 2. प्रक्रिया

दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें

इस अभिव्यक्ति में केवल गुणा और भाग संक्रियाएँ शामिल हैं - ये दूसरे चरण की क्रियाएं हैं.

हम क्रम में बाएं से दाएं क्रियाएं करते हैं (चित्र 3)।

चावल। 3. प्रक्रिया

यदि अभिव्यक्ति में न केवल जोड़ और घटाव, बल्कि गुणा और भाग भी शामिल है, तो अंकगणितीय संक्रियाएं किस क्रम में की जाती हैं?

यदि कोष्ठक रहित अभिव्यक्ति में न केवल जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ शामिल हैं, बल्कि गुणा और भाग, या ये दोनों संक्रियाएँ भी शामिल हैं, तो पहले क्रम में (बाएँ से दाएँ) गुणा और भाग करें, और फिर जोड़ और घटाव करें।

आइए अभिव्यक्ति को देखें.

आइए ऐसे सोचें. इस अभिव्यक्ति में जोड़ और घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाएँ शामिल हैं। हम नियम के मुताबिक काम करते हैं.' सबसे पहले, हम क्रम में (बाएं से दाएं) गुणा और भाग करते हैं, और फिर जोड़ और घटाव करते हैं। आइए कार्यों के क्रम को व्यवस्थित करें।

आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

कोष्ठक वाले भावों में अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रम

यदि किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं तो अंकगणितीय संक्रियाएं किस क्रम में की जाती हैं?

यदि किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में अभिव्यक्ति के मूल्य का मूल्यांकन पहले किया जाता है।

आइए अभिव्यक्ति को देखें.

30 + 6 * (13 - 9)

हम देखते हैं कि इस अभिव्यक्ति में कोष्ठक में एक क्रिया है, जिसका अर्थ है कि हम पहले इस क्रिया को करेंगे, फिर क्रम से गुणा और जोड़ करेंगे। आइए कार्यों के क्रम को व्यवस्थित करें।

30 + 6 * (13 - 9)

आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ भावों में अंकगणितीय संक्रियाएँ करने का नियम

किसी संख्यात्मक अभिव्यक्ति में अंकगणितीय संक्रियाओं के क्रम को सही ढंग से स्थापित करने के लिए किसी को कैसे तर्क करना चाहिए?

गणना शुरू करने से पहले, आपको अभिव्यक्ति को देखना होगा (पता लगाएं कि इसमें कोष्ठक हैं या नहीं, इसमें कौन सी क्रियाएं हैं) और उसके बाद ही निम्नलिखित क्रम में क्रियाएं करें:

1. कोष्ठक में लिखी गई क्रियाएँ;

2. गुणा और भाग;

3. जोड़ और घटाव.

आरेख आपको इस सरल नियम को याद रखने में मदद करेगा (चित्र 4)।

चावल। 4. प्रक्रिया

4. समेकन सीखे गए नियम के लिए प्रशिक्षण कार्यों को पूरा करना

का अभ्यास करते हैं।

आइए भावों पर विचार करें, क्रियाओं का क्रम स्थापित करें और गणना करें।

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

हम नियम के मुताबिक कार्रवाई करेंगे.' अभिव्यक्ति 43 - (20 - 7) +15 में कोष्ठक में संचालन, साथ ही जोड़ और घटाव संचालन शामिल हैं। आइए एक प्रक्रिया स्थापित करें. पहली क्रिया कोष्ठकों में संक्रिया करना है, और फिर बाएं से दाएं क्रम में घटाव और जोड़ करना है।

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

अभिव्यक्ति 32 + 9 * (19 - 16) में कोष्ठक में संचालन, साथ ही गुणन और जोड़ संचालन शामिल हैं। नियम के अनुसार, हम पहले क्रिया को कोष्ठक में करते हैं, फिर गुणा करते हैं (घटाव द्वारा प्राप्त परिणाम से हम संख्या 9 को गुणा करते हैं) और जोड़ करते हैं।

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

अभिव्यक्ति 2*9-18:3 में कोई कोष्ठक नहीं है, लेकिन गुणा, भाग और घटाव संक्रियाएँ हैं। हम नियम के मुताबिक काम करते हैं.' सबसे पहले, हम बाएँ से दाएँ गुणा और भाग करते हैं, और फिर भाग से प्राप्त परिणाम को गुणा द्वारा प्राप्त परिणाम से घटाते हैं। अर्थात पहली क्रिया है गुणा, दूसरी है भाग, तीसरी है घटाव।

2*9-18:3=18-6=12

आइए जानें कि निम्नलिखित अभिव्यक्तियों में क्रियाओं का क्रम सही ढंग से परिभाषित है या नहीं।

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

आइए ऐसे सोचें.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

इस अभिव्यक्ति में कोई कोष्ठक नहीं है, जिसका अर्थ है कि हम पहले बाएँ से दाएँ गुणा या भाग करते हैं, फिर जोड़ या घटाव करते हैं। इस अभिव्यक्ति में पहली क्रिया विभाजन है, दूसरी गुणा है। तीसरी क्रिया जोड़, चौथी - घटाव होनी चाहिए। निष्कर्ष: प्रक्रिया सही ढंग से निर्धारित की गई है।

आइए इस अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करें।

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

आइये बात करना जारी रखें.

दूसरी अभिव्यक्ति में कोष्ठक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि हम पहले क्रिया को कोष्ठक में करते हैं, फिर बाएं से दाएं गुणा या भाग, जोड़ या घटाव करते हैं। हम जाँचते हैं: पहली क्रिया कोष्ठक में है, दूसरी विभाजन है, तीसरी जोड़ है। निष्कर्ष: प्रक्रिया को गलत तरीके से परिभाषित किया गया है। आइए त्रुटियों को सुधारें और व्यंजक का मान ज्ञात करें।

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

इस अभिव्यक्ति में कोष्ठक भी शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि हम पहले क्रिया को कोष्ठक में करते हैं, फिर बाएं से दाएं गुणा या भाग, जोड़ या घटाव करते हैं। आइए जाँचें: पहली क्रिया कोष्ठक में है, दूसरी गुणा है, तीसरी घटाव है। निष्कर्ष: प्रक्रिया को गलत तरीके से परिभाषित किया गया है। आइए त्रुटियों को सुधारें और व्यंजक का मान ज्ञात करें।

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

आइए कार्य पूरा करें.

आइए सीखे गए नियम का उपयोग करके अभिव्यक्ति में क्रियाओं के क्रम को व्यवस्थित करें (चित्र 5)।

चावल। 5. प्रक्रिया

हम संख्यात्मक मान नहीं देखते हैं, इसलिए हम अभिव्यक्तियों का अर्थ नहीं ढूंढ पाएंगे, लेकिन हमने जो नियम सीखा है उसे लागू करने का अभ्यास करेंगे।

हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।

पहली अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, जिसका अर्थ है कि पहली क्रिया कोष्ठक में है। फिर बाएँ से दाएँ गुणा-भाग, फिर बाएँ से दाएँ घटाव और जोड़।

दूसरी अभिव्यक्ति में कोष्ठक भी शामिल है, जिसका अर्थ है कि हम पहली क्रिया कोष्ठक में करते हैं। उसके बाद बाएं से दाएं गुणा और भाग, उसके बाद घटाव.

आइए स्वयं जाँचें (चित्र 6)।

चावल। 6. प्रक्रिया

5. संक्षेपण।

आज कक्षा में हमने कोष्ठक रहित और कोष्ठक सहित भावों में क्रियाओं के क्रम के नियम के बारे में सीखा। कार्यों के दौरान, उन्होंने यह निर्धारित किया कि क्या अभिव्यक्तियों का अर्थ उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें अंकगणितीय संचालन किया जाता है, यह पता लगाया कि क्या अंकगणितीय संचालन का क्रम कोष्ठक के बिना और कोष्ठक के साथ अभिव्यक्तियों में भिन्न होता है, सीखे गए नियम को लागू करने का अभ्यास किया, त्रुटियों को देखा और ठीक किया क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते समय किया गया।

कार्यों के क्रम के लिए नियम जटिल अभिव्यक्तियाँदूसरी कक्षा में अध्ययन किया जाता है, लेकिन व्यावहारिक रूप से उनमें से कुछ का उपयोग पहली कक्षा के बच्चों द्वारा किया जाता है।

सबसे पहले, हम कोष्ठक के बिना अभिव्यक्तियों में संक्रियाओं के क्रम के नियम पर विचार करते हैं, जब संख्याओं को या तो केवल जोड़ और घटाव, या केवल गुणा और भाग किया जाता है। समान स्तर के दो या दो से अधिक अंकगणितीय संक्रियाओं वाले भावों को प्रस्तुत करने की आवश्यकता तब उत्पन्न होती है जब छात्र 10 के भीतर जोड़ और घटाव की कम्प्यूटेशनल तकनीकों से परिचित हो जाते हैं, अर्थात्:

इसी प्रकार: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

चूँकि इन अभिव्यक्तियों के अर्थ खोजने के लिए, स्कूली बच्चे वस्तुनिष्ठ क्रियाओं की ओर रुख करते हैं जो एक निश्चित क्रम में की जाती हैं, वे आसानी से इस तथ्य को सीखते हैं कि अभिव्यक्तियों में होने वाली अंकगणितीय संक्रियाएँ (जोड़ और घटाव) क्रमिक रूप से बाएँ से दाएँ की ओर की जाती हैं।

छात्र सबसे पहले "10 के भीतर जोड़ और घटाव" विषय में जोड़ और घटाव संचालन और कोष्ठक वाले संख्या अभिव्यक्तियों का सामना करेंगे। जब बच्चे पहली कक्षा में ऐसे भावों का सामना करते हैं, उदाहरण के लिए: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; दूसरी कक्षा में, उदाहरण के लिए: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, शिक्षक दिखाता है कि ऐसे भावों को कैसे पढ़ना और लिखना है और उनका अर्थ कैसे खोजना है (उदाहरण के लिए, 4*10:5 पढ़ें: 4 को 10 से गुणा करें और परिणामी परिणाम को 5 से विभाजित करें)। जब तक वे दूसरी कक्षा में "क्रियाओं का क्रम" विषय का अध्ययन करते हैं, तब तक छात्र इस प्रकार की अभिव्यक्तियों के अर्थ ढूंढने में सक्षम हो जाते हैं। पर काम करने का उद्देश्य इस स्तर पर- छात्रों के व्यावहारिक कौशल पर भरोसा करते हुए, उनका ध्यान ऐसे भावों में क्रिया करने के क्रम की ओर आकर्षित करें और संबंधित नियम बनाएं। छात्र स्वतंत्र रूप से शिक्षक द्वारा चुने गए उदाहरणों को हल करते हैं और बताते हैं कि उन्होंने उन्हें किस क्रम में निष्पादित किया; प्रत्येक उदाहरण में क्रियाएँ। फिर वे स्वयं निष्कर्ष निकालते हैं या पाठ्यपुस्तक से पढ़ते हैं: यदि कोष्ठक के बिना किसी अभिव्यक्ति में केवल जोड़ और घटाव की क्रियाएं (या केवल गुणा और भाग की क्रियाएं) इंगित की जाती हैं, तो उन्हें उसी क्रम में किया जाता है जिसमें वे लिखे गए हैं (अर्थात् बाएँ से दाएँ)।

इस तथ्य के बावजूद कि a+b+c, a+(b+c) और (a+b)+c रूप की अभिव्यक्तियों में कोष्ठक की उपस्थिति जोड़ के साहचर्य नियम के कारण क्रियाओं के क्रम को प्रभावित नहीं करती है, इस पर चरण में छात्रों को इस ओर उन्मुख करना अधिक उचित है कि कोष्ठक में कार्रवाई पहले की जाए। यह इस तथ्य के कारण है कि फॉर्म ए - (बी + सी) और ए - (बी - सी) की अभिव्यक्तियों के लिए ऐसा सामान्यीकरण अस्वीकार्य है और छात्रों के लिए आरंभिक चरणविभिन्न संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के लिए कोष्ठक के निर्धारण में नेविगेट करना काफी कठिन होगा। जोड़ और घटाव संचालन वाले संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में कोष्ठक का उपयोग आगे विकसित किया गया है, जो ऐसे नियमों के अध्ययन से जुड़ा हुआ है जैसे किसी संख्या में योग जोड़ना, किसी संख्या में एक संख्या जोड़ना, किसी संख्या में से योग घटाना और किसी संख्या में से एक संख्या घटाना जोड़। लेकिन जब पहली बार कोष्ठक का परिचय दिया जाता है, तो छात्रों को पहले कोष्ठक में कार्रवाई करने का निर्देश देना महत्वपूर्ण है।

शिक्षक बच्चों का ध्यान इस ओर आकर्षित करते हैं कि गणना करते समय इस नियम का पालन करना कितना महत्वपूर्ण है, अन्यथा आपको गलत समानता मिल सकती है। उदाहरण के लिए, छात्र समझाते हैं कि अभिव्यक्तियों के अर्थ कैसे प्राप्त किए जाते हैं: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2, वे गलत क्यों हैं, इन अभिव्यक्तियों का वास्तव में क्या अर्थ है। इसी प्रकार, वे फॉर्म के कोष्ठक वाले भावों में क्रियाओं के क्रम का अध्ययन करते हैं: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5)। छात्र भी ऐसे भावों से परिचित होते हैं और पढ़, लिख और उनके अर्थ की गणना कर सकते हैं। ऐसे कई भावों में क्रियाओं के क्रम को समझाने के बाद, बच्चे एक निष्कर्ष निकालते हैं: कोष्ठक वाले भावों में, पहली क्रिया कोष्ठक में लिखे अंकों पर की जाती है। इन भावों को देखकर यह दर्शाना कठिन नहीं है कि इनमें क्रियाएँ उस क्रम में नहीं होतीं जिस क्रम में वे लिखी जाती हैं; उनके निष्पादन का एक अलग क्रम दिखाने के लिए, और कोष्ठक का उपयोग किया जाता है।

निम्नलिखित कोष्ठक के बिना अभिव्यक्तियों में क्रियाओं के निष्पादन के क्रम के लिए नियम का परिचय देता है, जब उनमें पहले और दूसरे चरण की क्रियाएं होती हैं। चूँकि प्रक्रिया के नियम सहमति से स्वीकार किए जाते हैं, शिक्षक उन्हें बच्चों को बताता है या छात्र उन्हें पाठ्यपुस्तक से सीखते हैं। छात्रों को शुरू किए गए नियमों को समझने के लिए, प्रशिक्षण अभ्यासों के साथ-साथ, वे अपने कार्यों के क्रम की व्याख्या के साथ उदाहरणों को हल करना भी शामिल करते हैं। क्रियाओं के क्रम में त्रुटियों को समझाने का अभ्यास भी प्रभावी है। उदाहरण के लिए, दिए गए उदाहरणों के जोड़े में से, केवल उन्हीं को लिखने का प्रस्ताव है जहां गणना क्रियाओं के क्रम के नियमों के अनुसार की गई थी:

त्रुटियों की व्याख्या करने के बाद, आप एक कार्य दे सकते हैं: कोष्ठक का उपयोग करके, क्रियाओं के क्रम को बदलें ताकि अभिव्यक्ति में निर्दिष्ट मान हो। उदाहरण के लिए, दिए गए भावों में से पहले का मान 10 के बराबर हो, इसके लिए आपको इसे इस तरह लिखना होगा: (20+30):5=10।

किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने का अभ्यास विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब छात्र को अपने द्वारा सीखे गए सभी नियमों को लागू करना होता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 36:6+3*2 बोर्ड पर या नोटबुक में लिखी जाती है। छात्र इसके मूल्य की गणना करते हैं। फिर, शिक्षक के निर्देशों के अनुसार, बच्चे अभिव्यक्ति में क्रियाओं के क्रम को बदलने के लिए कोष्ठक का उपयोग करते हैं:

• 36:6+3-2
• 36:(6+3-2)
• 36:(6+3)-2
• (36:6+3)-2

एक दिलचस्प, लेकिन अधिक कठिन व्यायाम, उलटा व्यायाम है: कोष्ठक लगाना ताकि अभिव्यक्ति में दिया गया मान हो:

• 72-24:6+2=66
• 72-24:6+2=6
• 72-24:6+2=10
• 72-24:6+2=69

निम्नलिखित अभ्यास भी दिलचस्प हैं:

• 1. कोष्ठकों को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि समानताएँ सत्य हों:
• 25-17:4=2 3*6-4=6
• 24:8-2=4
• 2. तारांकन के स्थान पर "+" या "-" चिह्न लगाएं ताकि आपको सही समानताएं मिलें:
• 38*3*7=34
• 38*3*7=28
• 38*3*7=42
• 38*3*7=48
• 3. तारांकन के स्थान पर अंकगणितीय चिह्न लगाएं ताकि समानताएं सत्य हों:
• 12*6*2=4
• 12*6*2=70
• 12*6*2=24
• 12*6*2=9
• 12*6*2=0

इस तरह के अभ्यास करने से, छात्रों को यह विश्वास हो जाता है कि यदि क्रियाओं का क्रम बदल दिया जाए तो अभिव्यक्ति का अर्थ बदल सकता है।

क्रियाओं के क्रम के नियमों में महारत हासिल करने के लिए, ग्रेड 3 और 4 में तेजी से जटिल अभिव्यक्तियों को शामिल करना आवश्यक है, जिनके मूल्यों की गणना करते समय छात्र एक नहीं, बल्कि क्रियाओं के क्रम के दो या तीन नियमों को लागू करेगा। समय, उदाहरण के लिए:

• 90*8- (240+170)+190,
• 469148-148*9+(30 100 - 26909).

इस मामले में, संख्याओं का चयन किया जाना चाहिए ताकि वे कार्यों को किसी भी क्रम में करने की अनुमति दें, जो सीखे गए नियमों के सचेत अनुप्रयोग के लिए स्थितियां बनाता है।

जब हम साथ काम करते हैं विभिन्न अभिव्यक्तियाँ, संख्याओं, अक्षरों और चरों सहित, हमें प्रदर्शन करना होगा एक बड़ी संख्या कीअंकगणितीय आपरेशनस। जब हम कोई रूपांतरण करते हैं या किसी मूल्य की गणना करते हैं, तो इन क्रियाओं के सही क्रम का पालन करना बहुत महत्वपूर्ण है। दूसरे शब्दों में, अंकगणितीय संक्रियाओं के निष्पादन का अपना विशेष क्रम होता है।

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इस लेख में हम आपको बताएंगे कि कौन से कार्य पहले करने चाहिए और कौन से बाद में। सबसे पहले, आइए कुछ पर नजर डालें सरल भाव, जिसमें केवल चर हैं या संख्यात्मक मान, साथ ही भाग, गुणा, घटाव और जोड़ के संकेत भी। तो आइए कोष्ठक के साथ उदाहरण लें और विचार करें कि उनकी गणना किस क्रम में की जानी चाहिए। तीसरे भाग में हम उन उदाहरणों में परिवर्तनों और गणनाओं का आवश्यक क्रम देंगे जिनमें जड़ों, शक्तियों और अन्य कार्यों के संकेत शामिल हैं।

कोष्ठक के बिना अभिव्यक्तियों के मामले में, क्रियाओं का क्रम स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है:

1. सभी क्रियाएँ बाएँ से दाएँ की ओर की जाती हैं।
2. हम भाग और गुणा पहले करते हैं, और घटाव और जोड़ बाद में करते हैं।

इन नियमों का मतलब समझना आसान है. पारंपरिक बाएँ से दाएँ लेखन क्रम गणनाओं के मूल अनुक्रम को परिभाषित करता है, और पहले गुणा या भाग करने की आवश्यकता को इन कार्यों के सार द्वारा समझाया गया है।

आइए स्पष्टता के लिए कुछ कार्य करें। हमने केवल सबसे सरल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का उपयोग किया ताकि सभी गणनाएँ मानसिक रूप से की जा सकें। इस तरह आप वांछित आदेश को तुरंत याद कर सकते हैं और परिणामों की तुरंत जांच कर सकते हैं।

उदाहरण 1

स्थिति:गणना करें कि यह कितना होगा 7 − 3 + 6 .

समाधान

हमारी अभिव्यक्ति में कोई कोष्ठक नहीं है, गुणा-भाग भी नहीं है, इसलिए हम सभी क्रियाएं निर्दिष्ट क्रम में करते हैं। पहले हम सात में से तीन घटाते हैं, फिर शेष में छह जोड़ते हैं और दस पर समाप्त होते हैं। यहां संपूर्ण समाधान का एक प्रतिलेख है:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

उत्तर: 7 − 3 + 6 = 10 .

उदाहरण 2

स्थिति:अभिव्यक्ति में गणना किस क्रम में की जानी चाहिए? 6:2 8:3?

समाधान

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए बिना कोष्ठक वाले व्यंजकों के नियम को दोबारा पढ़ें जिसे हमने पहले तैयार किया था। हमारे यहाँ केवल गुणा और भाग है, जिसका अर्थ है कि हम गणनाओं का लिखित क्रम रखते हैं और क्रमिक रूप से बाएँ से दाएँ गिनती करते हैं।

उत्तर:पहले हम छह को दो से विभाजित करते हैं, परिणाम को आठ से गुणा करते हैं और परिणामी संख्या को तीन से विभाजित करते हैं।

उदाहरण 3

स्थिति:गणना करें कि यह कितना होगा 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

समाधान

सबसे पहले, आइए संक्रियाओं का सही क्रम निर्धारित करें, क्योंकि हमारे यहां सभी बुनियादी प्रकार के अंकगणितीय संक्रियाएं हैं - जोड़, घटाव, गुणा, भाग। पहली चीज़ जो हमें करने की ज़रूरत है वह है विभाजित करना और गुणा करना। इन क्रियाओं की एक-दूसरे पर प्राथमिकता नहीं होती, इसलिए हम इन्हें दाएँ से बाएँ लिखित क्रम में करते हैं। अर्थात्, 30 प्राप्त करने के लिए 5 को 6 से गुणा करना होगा, फिर 10 प्राप्त करने के लिए 30 को 3 से विभाजित करना होगा। इसके बाद 4 को 2 से भाग दें तो 2 आता है. आइए पाए गए मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

यहां अब कोई भाग या गुणा नहीं है, इसलिए हम शेष गणना क्रम में करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

उत्तर:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

जब तक कार्यों को करने का क्रम दृढ़ता से याद नहीं हो जाता, तब तक आप गणना के क्रम को इंगित करने वाले अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेतों के ऊपर संख्याएँ रख सकते हैं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त समस्या के लिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

अगर हमारे पास है शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ, फिर हम उनके साथ भी ऐसा ही करते हैं: पहले हम गुणा और भाग करते हैं, फिर हम जोड़ते और घटाते हैं।

प्रथम और द्वितीय चरण की क्रियाएँ क्या हैं?

कभी-कभी संदर्भ पुस्तकों में सभी अंकगणितीय संक्रियाओं को पहले और दूसरे चरण की क्रियाओं में विभाजित किया जाता है। आइए हम आवश्यक परिभाषा तैयार करें।

पहले चरण के संचालन में घटाव और जोड़ शामिल हैं, दूसरे में - गुणा और भाग।

इन नामों को जानकर हम क्रियाओं के क्रम के संबंध में पहले दिए गए नियम को इस प्रकार लिख सकते हैं:

परिभाषा 2

ऐसे अभिव्यक्ति में जिसमें कोष्ठक नहीं हैं, आपको पहले दूसरे चरण की क्रियाएं बाएं से दाएं दिशा में करनी होंगी, फिर पहले चरण की क्रियाएं (उसी दिशा में) करनी होंगी।

कोष्ठक सहित भावों में गणना का क्रम

कोष्ठक स्वयं एक संकेत है जो हमें कार्यों का वांछित क्रम बताता है। इस मामले में सही नियमइस प्रकार लिखा जा सकता है:

परिभाषा 3

यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो पहला कदम उनमें ऑपरेशन करना है, जिसके बाद हम गुणा और भाग करते हैं, और फिर बाएं से दाएं जोड़ते और घटाते हैं।

जहां तक ​​कोष्ठक अभिव्यक्ति का सवाल है, इसे मुख्य अभिव्यक्ति का अभिन्न अंग माना जा सकता है। कोष्ठक में व्यंजक के मान की गणना करते समय, हम वही प्रक्रिया अपनाते हैं जो हमें ज्ञात है। आइए अपने विचार को एक उदाहरण से स्पष्ट करें।

उदाहरण 4

स्थिति:गणना करें कि यह कितना होगा 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

समाधान

इस अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो चलिए उनसे शुरू करते हैं। सबसे पहले, आइए गणना करें कि 7 - 2 · 3 कितना होगा। यहां हमें 2 को 3 से गुणा करना होगा और परिणाम को 7 से घटाना होगा:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

हम दूसरे कोष्ठक में परिणाम की गणना करते हैं। वहां हमारी केवल एक ही क्रिया है: 6 − 4 = 2 .

अब हमें परिणामी मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

आइए गुणा और भाग से शुरू करें, फिर घटाव करें और प्राप्त करें:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

इससे गणना समाप्त होती है।

उत्तर: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

अगर हमारी स्थिति में कोई अभिव्यक्ति शामिल है जिसमें कुछ कोष्ठक दूसरों को संलग्न करते हैं, तो चिंतित न हों। हमें केवल उपरोक्त नियम को कोष्ठक में सभी अभिव्यक्तियों पर लगातार लागू करने की आवश्यकता है। आइए इस समस्या को लें।

उदाहरण 5

स्थिति:गणना करें कि यह कितना होगा 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

समाधान

हमारे पास कोष्ठकों के भीतर कोष्ठक हैं। हम 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), यानी 2 + 3 से शुरू करते हैं। 5 बजे होंगे. मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने और गणना करने की आवश्यकता होगी कि 3 + 1 + 4 · 5। हमें याद है कि हमें पहले गुणा करना होगा और फिर जोड़ना होगा: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. पाए गए मानों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हम उत्तर की गणना करते हैं: 4 + 24 = 28 .

उत्तर: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

दूसरे शब्दों में, किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते समय जिसमें कोष्ठक के भीतर कोष्ठक शामिल होते हैं, हम आंतरिक कोष्ठक से शुरू करते हैं और बाहरी कोष्ठक की ओर अपना काम करते हैं।

मान लीजिए कि हमें यह पता लगाना है कि (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 कितना होगा। हम आंतरिक कोष्ठक में अभिव्यक्ति से शुरू करते हैं। चूँकि 4 - 6: 2 = 4 - 3 = 1, मूल अभिव्यक्ति को (4 + (4 + 1) - 1) - 1 के रूप में लिखा जा सकता है। आंतरिक कोष्ठकों को फिर से देखें: 4 + 1 = 5। हम अभिव्यक्ति पर आ गये हैं (4 + 5 − 1) − 1 . हम गिनते है 4 + 5 − 1 = 8 और परिणामस्वरूप हमें अंतर 8 - 1 मिलता है, जिसका परिणाम 7 होगा।

घातों, मूलों, लघुगणक और अन्य कार्यों के साथ अभिव्यक्तियों में गणना का क्रम

यदि हमारी स्थिति में डिग्री, मूल, लघुगणक या के साथ एक अभिव्यक्ति शामिल है त्रिकोणमितीय फलन(sine, cosine, tangent और cotangent) या अन्य फ़ंक्शन, तो सबसे पहले हम फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं। इसके बाद, हम पिछले पैराग्राफ में निर्दिष्ट नियमों के अनुसार कार्य करते हैं। दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शंस कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति के महत्व के बराबर हैं।

आइए ऐसी गणना का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 6

स्थिति:ज्ञात कीजिए कि (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 कितना है।

समाधान

हमारे पास एक डिग्री के साथ एक अभिव्यक्ति है, जिसका मूल्य पहले पाया जाना चाहिए। हम गिनते हैं: 6 2 = 36। अब परिणाम को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद यह (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 का रूप ले लेगा।

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

उत्तर: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

भावों के मूल्यों की गणना के लिए समर्पित एक अलग लेख में, हम अन्य, और भी बहुत कुछ प्रदान करते हैं जटिल उदाहरणमूल, डिग्री आदि वाले भावों के मामले में गणना। हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को इससे परिचित कर लें।

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प्राथमिक विद्यालय ख़त्म होने वाला है, और जल्द ही बच्चा गणित की उन्नत दुनिया में कदम रखेगा। लेकिन इस अवधि के दौरान पहले से ही छात्र को विज्ञान की कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। एक साधारण कार्य करते समय, बच्चा भ्रमित हो जाता है और खो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अंततः किए गए कार्य के लिए नकारात्मक अंक प्राप्त होता है। ऐसी परेशानियों से बचने के लिए, उदाहरणों को हल करते समय, आपको उस क्रम में नेविगेट करने में सक्षम होना चाहिए जिसमें आपको उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है। कार्यों को गलत तरीके से वितरित करने के कारण, बच्चा कार्य को सही ढंग से पूरा नहीं करता है। लेख उदाहरणों को हल करने के लिए बुनियादी नियमों का खुलासा करता है जिसमें कोष्ठक सहित गणितीय गणनाओं की पूरी श्रृंखला शामिल है। चौथी कक्षा के गणित में प्रक्रिया के नियम और उदाहरण।

कार्य पूरा करने से पहले, अपने बच्चे से उन कार्यों को गिनने के लिए कहें जो वह करने जा रहा है। यदि आपको कोई कठिनाई हो तो कृपया सहायता करें।

कोष्ठक के बिना उदाहरणों को हल करते समय पालन करने योग्य कुछ नियम:

यदि किसी कार्य को करने के लिए कई क्रियाओं की आवश्यकता होती है, तो आपको पहले भाग या गुणा करना होगा, फिर। पत्र की प्रगति के अनुसार सभी क्रियाएं की जाती हैं। अन्यथा निर्णय का परिणाम सही नहीं होगा.

यदि उदाहरण में आपको निष्पादित करने की आवश्यकता है, तो हम इसे बाएं से दाएं क्रम में करते हैं।

27-5+15=37 (उदाहरण को हल करते समय, हम नियम द्वारा निर्देशित होते हैं। पहले हम घटाव करते हैं, फिर जोड़)।

अपने बच्चे को हमेशा किए गए कार्यों की योजना बनाना और उन्हें गिनना सिखाएं।

प्रत्येक हल की गई कार्रवाई के उत्तर उदाहरण के ऊपर लिखे गए हैं। इससे बच्चे के लिए गतिविधियों को नेविगेट करना बहुत आसान हो जाएगा।

आइए एक अन्य विकल्प पर विचार करें जहां क्रियाओं को क्रम में वितरित करना आवश्यक है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान करते समय नियम का पालन किया जाता है: पहले हम उत्पाद की तलाश करते हैं, फिर हम अंतर की तलाश करते हैं।

यह सरल उदाहरणजिसका समाधान करते समय सावधानी बरतने की आवश्यकता है। कई बच्चे तब दंग रह जाते हैं जब वे कोई ऐसा कार्य देखते हैं जिसमें न केवल गुणा और भाग होता है, बल्कि कोष्ठक भी होता है। एक छात्र जो कार्य करने की प्रक्रिया नहीं जानता, उसके मन में ऐसे प्रश्न होते हैं जो उसे कार्य पूरा करने से रोकते हैं।

जैसा कि नियम में कहा गया है, पहले हम उत्पाद या भागफल ढूंढते हैं, और फिर बाकी सब कुछ। लेकिन कोष्ठक हैं! ऐसे में क्या करें?

उदाहरणों को कोष्ठक सहित हल करना

आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें:

• इस कार्य को निष्पादित करते समय, हम सबसे पहले कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करते हैं।
• आपको गुणा से शुरुआत करनी चाहिए, फिर जोड़ से।
• कोष्ठक में अभिव्यक्ति हल होने के बाद, हम उनके बाहर की कार्रवाइयों के लिए आगे बढ़ते हैं।
• प्रक्रिया के नियमों के अनुसार अगला चरण गुणन है।
• अंतिम चरण होगा.

जैसा कि हम दृश्य उदाहरण में देख सकते हैं, सभी क्रियाएँ क्रमांकित हैं। विषय को सुदृढ़ करने के लिए, अपने बच्चे को स्वयं कई उदाहरण हल करने के लिए आमंत्रित करें:

जिस क्रम में अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना की जानी चाहिए उसे पहले ही व्यवस्थित किया जा चुका है। बच्चे को केवल सीधे निर्णय लेना होगा।

आइए कार्य को जटिल बनाएं। बच्चे को स्वयं भावों का अर्थ ढूंढने दें।

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

अपने बच्चे को सभी कार्यों को ड्राफ्ट फॉर्म में हल करना सिखाएं। इस मामले में, छात्र को सही करने का अवसर मिलेगा सही निर्णयया दाग. में कार्यपुस्तिकासुधार की अनुमति नहीं है. कार्यों को स्वयं पूरा करने से बच्चों को अपनी गलतियाँ नजर आने लगती हैं।

बदले में, माता-पिता को गलतियों पर ध्यान देना चाहिए, बच्चे को उन्हें समझने और सुधारने में मदद करनी चाहिए। आपको किसी छात्र के दिमाग पर बड़ी मात्रा में काम का बोझ नहीं डालना चाहिए। ऐसे कार्यों से आप बच्चे की ज्ञान की इच्छा को हतोत्साहित करेंगे। हर चीज़ में अनुपात का भाव होना चाहिए.

एक ब्रेक ले लो। बच्चे का ध्यान भटकना चाहिए और कक्षाओं से छुट्टी लेनी चाहिए। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि हर किसी के पास गणितीय दिमाग नहीं होता है। हो सकता है कि आपका बच्चा बड़ा होकर एक प्रसिद्ध दार्शनिक बने।

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ...वर्तमान समय में चर्चा जारी है, आइए आम मतवैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार को समझने में सफल नहीं हुआ है... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। साथ भौतिक बिंदुएक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक अगला खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह नहीं है संपूर्ण समाधानसमस्या। प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं क्या कहना चाहता हूँ विशेष ध्यान, यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

विकिपीडिया पर सेट और मल्टीसेट के बीच अंतर को बहुत अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। चलो देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बोलने वाले तोतों और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। आइए गणितज्ञ को समझाएं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि हमारे पास एक ही मूल्यवर्ग के बैंकनोट हैं अलग-अलग नंबरबिल, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था प्रत्येक सिक्के के लिए अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे ज्यादा है रुचि पूछो: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम चुनते हैं फुटबॉल स्टेडियमएक ही फ़ील्ड क्षेत्र के साथ. फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक जादूगर सेट सिद्धांत के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, यह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग डफ के साथ जादूगरों का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन यही कारण है कि वे जादूगर हैं, अपने वंशजों को अपने कौशल और ज्ञान सिखाएं, अन्यथा जादूगर बस खत्म हो जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "किसी संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ ढूंढने का प्रयास करें। वह अस्तित्व में नहीं है. गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिसका उपयोग किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सके। आख़िरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन ओझा इसे आसानी से कर सकते हैं।

आइए जानें कि संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं दिया गया नंबर. और इसलिए, आइए हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आइए क्रम से सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिख ​​लें। हमने क्या किया है? हमने संख्या को ग्राफिकल संख्या प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

2. हमने एक परिणामी चित्र को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काटा। किसी चित्र को काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. व्यक्तिगत ग्राफ़िक प्रतीकों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

4. परिणामी संख्याएँ जोड़ें। अब ये गणित है.

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये जादूगरों द्वारा पढ़ाए जाने वाले "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं जिनका उपयोग गणितज्ञ करते हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणितीय दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में कोई संख्या लिखते हैं। तो, में विभिन्न प्रणालियाँकैलकुलस में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। साथ एक लंबी संख्या 12345 मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, आइए लेख से संख्या 26 को देखें। आइए इस संख्या को बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में लिखें। हम हर कदम को माइक्रोस्कोप के नीचे नहीं देखेंगे; हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइये परिणाम पर नजर डालते हैं.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे यदि आपने किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निर्धारित किया है, तो आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

शून्य सभी संख्या प्रणालियों में एक जैसा दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है। गणितज्ञों के लिए प्रश्न: वह चीज़ कैसी है जो गणित में निर्दिष्ट संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? मैं ओझाओं के लिए इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए नहीं। वास्तविकता सिर्फ संख्याओं के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के माप की इकाइयाँ हैं। आख़िरकार, हम संख्याओं की तुलना माप की विभिन्न इकाइयों से नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ समान क्रियाओं की तुलना करने पर अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? ऐसा तब होता है जब गणितीय ऑपरेशन का परिणाम संख्या के आकार, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

ओह! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- युवती! यह स्वर्ग में आरोहण के दौरान आत्माओं की अनिश्चित पवित्रता के अध्ययन के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर हेलो और ऊपर तीर. और कौन सा शौचालय?

महिला... शीर्ष पर प्रभामंडल और नीचे तीर पुरुष हैं।

यदि डिजाइन कला का ऐसा कोई काम आपकी आंखों के सामने दिन में कई बार चमकता है,

फिर यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आपको अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन मिले:

व्यक्तिगत रूप से, मैं शौच कर रहे व्यक्ति (एक चित्र) में माइनस चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की एक रचना: एक माइनस चिह्न, संख्या चार, डिग्री का एक पदनाम)। और मुझे नहीं लगता कि यह लड़की मूर्ख है जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों को समझने की एक मजबूत रूढ़ि है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है.

1ए "शून्य से चार डिग्री" या "एक ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल नोटेशन में "पूपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं वे स्वचालित रूप से एक संख्या और एक अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में समझते हैं।