डू-इट-खुद एस्चर झरना चित्र। मौरिट्स एस्चर - ऑप्टिकल भ्रम के मास्टर

मौरिट्स एस्चर एक उत्कृष्ट डच ग्राफिक कलाकार हैं जो अपने काम के लिए दुनिया भर में जाने जाते हैं। केंद्र में, संग्रहालय में, 2002 में खोला गया, और उनके नाम पर "एस्चर इन हेट पालिस" नाम दिया गया, मास्टर द्वारा 130 कार्यों की एक स्थायी प्रदर्शनी खुली है। क्या आप कह रहे हैं कि ग्राफिक्स उबाऊ हैं? हो सकता है... शायद यह ग्राफिक कलाकारों के काम के बारे में कहा जा सकता है, लेकिन एस्चर के बारे में नहीं। कलाकार को दुनिया की अपनी असामान्य दृष्टि और अंतरिक्ष के तर्क के साथ खेलने के लिए जाना जाता है।

एस्चर की शानदार नक्काशी, सचमुच, के रूप में माना जा सकता है ग्राफिक छविसापेक्षता के सिद्धांत। काम करता है जो दर्शाता है असंभव आंकड़ेऔर पुनर्जन्म सचमुच मंत्रमुग्ध कर देने वाले होते हैं, वे किसी और चीज की तरह नहीं होते।

मौरिट्स एस्चर पहेलियों के सच्चे स्वामी थे और उनके ऑप्टिकल भ्रम ऐसी चीजें दिखाते हैं जो वास्तव में मौजूद नहीं हैं। उनके चित्रों में, सब कुछ बदल जाता है, एक रूप से दूसरे रूप में सुचारू रूप से बहता है, सीढ़ियों का कोई आदि और अंत नहीं है, और पानी ऊपर की ओर बहता है। कोई कहेगा - यह नहीं हो सकता! अपने आप को देखो।
प्रसिद्ध पेंटिंग "दिन और रात"

"चढ़ना और उतरना", जहाँ लोग हर समय सीढ़ियाँ चढ़ते हैं... या नीचे?

"सरीसृप" - यहाँ घड़ियाल खींचे से त्रि-आयामी में बदल जाते हैं ...

"हाथ खींचना" - जिस पर दो हाथ एक दूसरे को खींचते हैं।

"मुलाकात"

"रिफ्लेक्टिव बॉल के साथ हाथ"

संग्रहालय का मुख्य मोती एस्चर का 7 मीटर का काम है - "मेटामोर्फोज़"। यह उत्कीर्णन आपको अनंत काल और अनंत के बीच संबंध का अनुभव करने की अनुमति देता है, जहां समय और स्थान एक साथ आते हैं।

पूर्व में स्थित संग्रहालय शीत महलरानी एम्मा वर्तमान रानी बीट्रिक्स की परदादी हैं। एम्मा ने 1896 में महल खरीदा और मई 1934 में अपनी मृत्यु तक वहीं रहीं। संग्रहालय के दो हॉल, जिन्हें "रॉयल रूम" कहा जाता है, में रानी एम्मा के फर्नीचर और तस्वीरें संरक्षित की गई हैं, और पर्दे पर उस समय के महल के इंटीरियर के बारे में जानकारी है।

संग्रहालय के शीर्ष तल पर एक इंटरैक्टिव प्रदर्शनी "लुक लाइक एस्चर" है। यह सच्चाई है जादू की दुनियाभ्रम। जादू की गेंद में दुनिया दिखाई देती है और गायब हो जाती है, दीवारें चलती हैं और बदलती हैं, और बच्चे अपने माता-पिता से लंबे दिखते हैं। थोड़ा आगे एक असामान्य मंजिल है, जो वैकल्पिक रूप से हर कदम के नीचे आती है, और एक चांदी की गेंद में आप खुद को एस्चर की आंखों से देख सकते हैं।

मौरिट्स कॉर्नेलिस एस्चर, डच ग्राफिक कलाकार

एस्चर मौरिट्स कॉर्नेलिस(मॉरिट्स कॉर्नेलिस एस्चर) (17 जून, 1898, लीवार्डेन, नीदरलैंड्स - 27 मार्च, 1972, हिल्वर्सम, द नीदरलैंड्स) डच ग्राफिक कलाकार, किताबों के लिए चित्र बनाया, टिकटोंऔर भित्ति चित्र, टेपेस्ट्री का आविष्कार किया। मुख्य रूप से उनके वैचारिक लिथोग्राफ, लकड़ी और धातु के उत्कीर्णन के लिए जाना जाता है, जिसमें उन्होंने अनंत और समरूपता की अवधारणाओं के प्लास्टिक पहलुओं के साथ-साथ जटिल त्रि-आयामी वस्तुओं की मनोवैज्ञानिक धारणा की विशेषताओं का उत्कृष्ट रूप से पता लगाया। उज्ज्वल प्रतिनिधिछोटा सा भूत कला। एस्चर ने काफी होशपूर्वक अपना करियर एक उत्कीर्णक के रूप में चुना, न कि एक चित्रकार के रूप में (तेल में)। अपने काम के शोधकर्ता, हंस लोचर के अनुसार, एस्चर कई प्रिंट प्राप्त करने की संभावना से आकर्षित थे, जो ग्राफिक तकनीकों द्वारा प्रदान किए गए थे, क्योंकि वह पहले से ही प्रारंभिक अवस्थाछवियों की पुनरावृत्ति की संभावना में रुचि। एस्चर के काम के सबसे उत्कृष्ट पहलुओं में से एक "कायापलट" का चित्रण है, जो विभिन्न प्रकार के कार्यों में विभिन्न रूपों में प्रकट होता है। कलाकार विस्तार से एक से क्रमिक संक्रमण की खोज करता है ज्यामितीय आकृतिदूसरे के लिए, रूपरेखा में मामूली बदलाव के माध्यम से। इसके अलावा, एस्चर ने बार-बार कायापलट किया जो जीवित प्राणियों (पक्षी मछली, आदि में बदल जाते हैं) और यहां तक ​​\u200b\u200bकि कायापलट के दौरान निर्जीव वस्तुओं को "चेतन" करते हैं, उन्हें जीवित प्राणियों में बदल देते हैं। एस्चर ने 448 लिथोग्राफ, प्रिंट और वुडकट और 2,000 से अधिक चित्र और रेखाचित्र तैयार किए। उनका काम दुनिया भर के लाखों लोगों को प्रभावित और विस्मित करना जारी रखता है। वी पिछले साल काएस्चर का स्वास्थ्य विफल हो जाता है और वह व्यावहारिक रूप से काम नहीं करता है। वह कई सर्जरी से गुजरता है और अंत में आंत्र कैंसर से अस्पताल में मर जाता है। एस्चर ने अपने पीछे अद्भुत लिथोग्राफ, पेंटिंग, चित्र और तीन बेटे छोड़े।

मुख्य तिथियां

• 1898 - मोरित्ज़ कॉर्नेलिस एस्चर का जन्म 17 जून को लिवरडेन (नीदरलैंड) में हुआ था। छोटा बेटाहाइड्रोलिक इंजीनियर जी ए एस्चर और सारा ग्लिचमैन के परिवार में।
• 1903 - परिवार अर्नहेम चला गया।
• 1912-18 - व्यायामशाला में प्रवेश किया और अंतिम परीक्षा में असफल हुए।
• 1919 - अपने पिता के अनुरोध पर, एस्चर ने हार्लेम में वास्तुकला का अध्ययन करना शुरू किया, लेकिन कुछ महीनों के बाद वह जेसेरन डे मेस्काइट के तहत ग्राफिक डिजाइन वर्ग में चले गए।
• 1921 - इटली की पहली यात्रा। पत्रिका "ईस्टर फ्लॉवर" (वुडकट) की पत्रिका में पहला प्रकाशन
• 1922 - कला विद्यालय से स्नातक और मध्य इटली की यात्रा; बहुत सारे स्केच बनाता है। सितंबर में, वह स्पेन में अल्हाम्ब्रा का दौरा करते हैं, इसे सबसे दिलचस्प मानते हुए, विशेष रूप से "विशाल जटिलता और गणितीय और कलात्मक अर्थ" के विशाल मोज़ाइक।
• 1923 - इटली की यात्रा; उससे मिलता है होने वाली पत्नीजेट्टा (जेट्टा उमिकर)। जीवन से आकर्षित। सिएना में उनकी पहली प्रदर्शनी।
• 1924 - द हेग, नीदरलैंड्स में पहली प्रदर्शनी जून 12 की शादी वियारेगियो में येट्टा से हुई है; रोम में चला जाता है।
• 1926 - वेरी सफल प्रदर्शनीरोम में मई में बाद में, एस्चर की हॉलैंड में एक स्थायी प्रदर्शनी है और मुख्य रूप से सकारात्मक समीक्षा. 23 जून को एस्चर परिवार में उनके पहले बेटे जॉर्ज का जन्म होगा। बाद के वर्षों में, मोरित्ज़ एस्चर ने लगातार यात्रा की (उदाहरण के लिए, ट्यूनीशिया के लिए), जिसमें पैदल अर्बुज़ी भी शामिल है; बहुत सारे परिदृश्य और स्थापत्य रेखाचित्र बनाता है।
• 1928 - 8 दिसंबर, बेटे आर्थर का जन्म हुआ।
• 1929 - पहला लिथोग्राफ "गोरियानो सिकोली का दृश्य", अर्बुज़िक
• 1931 - पहली लकड़ी की नक्काशी, लेकिन संक्षेप में यह हेग में एक प्रदर्शनी के निमंत्रण को छापने के लिए एक लकड़ी का मैट्रिक्स था। एस्चर ग्राफिक कलाकारों के संघ का सदस्य बन जाता है, थोड़ी देर बाद - पुल्ची स्टूडियो का सदस्य। उन्हें "धैर्यवान, शांत, ठंडे ड्राफ्ट्समैन" के रूप में अत्यधिक सम्मानित किया जाता है और उनके काम की "बहुत बौद्धिक" होने के लिए आलोचना की जाती है।
• 1932 - पंचांग "XXIV Emblemata dat zijns zinnebeelden" में उनके लकड़बग्घा मुद्रित हैं।
• 1933 - पुस्तक "द टेरिबल एडवेंचर्स ऑफ स्कोलास्टिकिज्म" एस्चर द्वारा वुडकट्स के साथ प्रिंट से बाहर आई।
• 1934 - शिकागो में आधुनिक प्रिंट (मुद्रण) "सेंचुरी ऑफ प्रोग्रेस" की प्रदर्शनी में उनके काम को केवल सकारात्मक समीक्षा मिली।
• 1935 - दमनकारी नीति फासीवादी इटलीएस्चर को स्विट्जरलैंड जाने के लिए मजबूर करता है।
• 1936 - स्पेन की यात्रा, जहां वह फिर से मूरिश टाइल के गहने (अलहम्ब्रा) में सक्रिय रूप से लगे हुए हैं। उन्हें फिर से खींचना एस्चर को पेंटिंग बनाने के लिए प्रेरित करता है जिसमें वह विमानों के सही आवधिक विभाजन का उपयोग करता है।
• 1938 - 6 मार्च को एक और बेटे, जान का जन्म हुआ। और एस्चर "आंतरिक चित्रों" पर ध्यान केंद्रित करता है और लगभग पूरी तरह से प्रकृति के चित्र को छोड़ देता है।
• 1939 - 96 वर्ष की आयु में अपने पिता की मृत्यु।
• 1940 - "एम.सी. एस्चर एन ज़िजन एक्सपेरिमेंटन" प्रकाशित हुआ। उसकी माँ मर जाती है।
• 1941 - एस्चर परिवार बार्न (बर्न) में हॉलैंड में अपनी मातृभूमि लौट आया
• 1948 एस्चर ने प्रदर्शनों के साथ-साथ अपने काम पर व्याख्यान देना शुरू किया।
• 1954 - महान गणितीय कांग्रेस के अवसर पर एस्चर की महान प्रदर्शनी। उसके पीछे - वाशिंगटन में एक प्रदर्शनी।
• 1955 - 30 अप्रैल को एक बड़ा शाही पुरस्कार मिला।
• 1958 - "Regelmatige vlakverdeling" (विमानों का सही विभाजन) प्रकाशित हुआ।
• 1959 - "ग्राफिक एन टेकेनिंगेन" (ग्राफिक वर्क्स) प्रकाशित हुआ
• 1960 - कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में क्रिस्टलोग्राफिक कांग्रेस में प्रदर्शनी और व्याख्यान
• 1962 - आपातकालीन ऑपरेशन, और लंबे समय तक अस्पताल में रहना।
• 1964 - एक और ऑपरेशन के लिए कनाडा रवाना।
• 1965 - हिलवर्सम कला पुरस्कार। "सममिति पहलू" मुद्रित है (एस्चर के आवधिक चित्र के सममित पहलू)।
• 1967 - दूसरा रानी पुरस्कार।
• 1968 - हेग में 70 वीं वर्षगांठ के सम्मान में एक विशाल पूर्वव्यापी। साल के अंत में, येट्टा स्विट्जरलैंड लौट जाता है।
• 1969 - जुलाई में, एस्चर ने अपना आखिरी वुडकट "सांप" बनाया।
• 1970 - ऑपरेशन और फिर से एक लंबा अस्पताल में भर्ती। एस्चर कलाकारों के लिए एक सेवानिवृत्ति गृह में रोजा-स्पियर-फाउंडेशन लारेन में चला जाता है।
• 1971 - डी वेरल्डन वैन एम.सी. एस्चर (एस्चर्स वर्ल्ड) प्रकाशित हुआ।
• 1972 - एमएस एस्चर का हिल्वर्सम लूथरन अस्पताल में निधन।

एस्चर द्वारा किया गया यह काम एक विरोधाभास को दर्शाता है - झरने का गिरता पानी एक पहिया को नियंत्रित करता है जो पानी को झरने के शीर्ष पर ले जाता है। झरने में "असंभव" पेनरोज़ त्रिकोण की संरचना है: लिथोग्राफ ब्रिटिश जर्नल ऑफ साइकोलॉजी में एक लेख के आधार पर बनाया गया था।

डिजाइन तीन क्रॉसबार से बना है जो एक दूसरे के ऊपर समकोण पर रखे गए हैं। लिथोग्राफ पर जलप्रपात एक सतत गति मशीन की तरह काम करता है। आँख की गति के आधार पर बारी-बारी से ऐसा लगता है कि दोनों मीनारें एक जैसी हैं और दायीं ओर स्थित मीनार बाएँ मीनार से एक तल नीचे है।

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झरना (लिथोग्राफ) की विशेषता वाला एक अंश

मोरित्ज़ एस्चर की गणितीय कला 28 फरवरी, 2014

मूल से लिया गया इमिट_ओमसु मोरित्ज़ एस्चर की गणितीय कला में

"गणितज्ञों ने दूसरी दुनिया का दरवाजा खोल दिया, लेकिन खुद इस दुनिया में प्रवेश करने की हिम्मत नहीं की। वे उस मार्ग में अधिक रुचि रखते हैं जिस पर द्वार खड़ा होता है, न कि उससे आगे के बगीचे में।
(एमसी एस्चर)

लिथोग्राफ "हाथ से" दर्पण क्षेत्र", आत्म चित्र।

मौरिट्स कॉर्नेलियस एस्चर एक डच ग्राफिक कलाकार है जो हर गणितज्ञ के लिए जाना जाता है।
एस्चर के कार्यों के भूखंडों को तार्किक और प्लास्टिक विरोधाभासों की एक मजाकिया समझ की विशेषता है।
उन्हें सबसे पहले उनके कार्यों के लिए जाना जाता है जिसमें उन्होंने विभिन्न गणितीय अवधारणाओं का उपयोग किया - सीमा और मोबियस पट्टी से लेकर लोबाचेव्स्की ज्यामिति तक।

वुडकट "लाल चींटियों"।

मौरिट्स एस्चर ने एक विशेष गणितीय शिक्षा प्राप्त नहीं की। लेकिन शुरू से ही रचनात्मक कैरियरअंतरिक्ष के गुणों में दिलचस्पी थी, इसके अप्रत्याशित पक्षों का अध्ययन किया।

"एकता के बंधन"।

अक्सर एस्चर 2डी और 3डी दुनिया के संयोजन के साथ काम करता था।


लिथोग्राफ "ड्राइंग हैंड्स"।

लिथोग्राफ "सरीसृप"।

टेस्सेलेशन।

टाइलिंग एक समतल का एक समान आकृतियों में विभाजन है। इस प्रकार के विभाजन का अध्ययन करने के लिए, एक समरूपता समूह की धारणा का पारंपरिक रूप से उपयोग किया जाता है। एक ऐसे विमान की कल्पना करें जिस पर कुछ खपरैल का आवरण खींचा गया हो। विमान को एक मनमानी धुरी के चारों ओर घुमाया जा सकता है और स्थानांतरित किया जा सकता है। शिफ्ट को शिफ्ट वेक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है, जबकि रोटेशन को केंद्र और कोण द्वारा परिभाषित किया गया है। ऐसे परिवर्तनों को गति कहा जाता है। ऐसा कहा जाता है कि यह या वह आंदोलन एक समरूपता है यदि इसके बाद टाइलिंग स्वयं में गुजरती है।

उदाहरण के लिए, एक समान वर्गों में विभाजित एक विमान पर विचार करें - एक पिंजरे में एक नोटबुक की सभी दिशाओं में एक अंतहीन शीट। यदि इस तरह के समतल को किसी वर्ग के केंद्र के चारों ओर 90 डिग्री (180, 270 या 360 डिग्री) घुमाया जाए, तो टाइलिंग अपने आप हो जाएगी। वर्गों के किनारों में से एक के समानांतर एक वेक्टर द्वारा स्थानांतरित होने पर यह अपने आप में चला जाता है। सदिश की लंबाई वर्ग की भुजा का गुणज होनी चाहिए।

1924 में, जियोमीटर जॉर्ज पोलिया (संयुक्त राज्य अमेरिका में जाने से पहले, ग्यॉर्गी पोया) ने टाइलिंग के समरूपता समूहों पर एक काम प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने एक उल्लेखनीय तथ्य साबित किया (हालांकि पहले से ही 1891 में रूसी गणितज्ञ एवग्राफ फेडोरोव द्वारा खोजा गया था, और बाद में सुरक्षित रूप से भुला दिया गया था) ): केवल 17 समूह समरूपताएं हैं जिनमें कम से कम दो में बदलाव शामिल हैं अलग दिशा. 1936 में, एस्चर, मूरिश आभूषणों में रुचि रखने लगे (साथ .) ज्यामितीय बिंदुदेखें, टाइलिंग वैरिएंट), पोलिया का काम पढ़ें। इस तथ्य के बावजूद कि उन्होंने, अपने स्वयं के प्रवेश से, काम के पीछे के सभी गणित को नहीं समझा, एस्चर इसके ज्यामितीय सार को पकड़ने में कामयाब रहे। नतीजतन, सभी 17 समूहों के आधार पर, एस्चर ने 40 से अधिक कार्यों का निर्माण किया।

मोज़ेक

वुडकट "दिन और रात"।

"विमान IV की नियमित टाइलिंग"।

वुडकट "स्काई एंड वॉटर"।

टेस्सेलेशन। समूह सरल, जनरेटिव है: स्लाइडिंग समरूपता और समानांतर अनुवाद। लेकिन टाइलिंग टाइल्स अद्भुत हैं। और मोबियस स्ट्रिप के संयोजन में, बस।


वुडकट "घुड़सवार"।

एक फ्लैट और 3 डी दुनिया और टाइलिंग के विषय पर एक और बदलाव।


लिथोग्राफ "मैजिक मिरर"।

एस्चर भौतिक विज्ञानी रोजर पेनरोज़ के मित्र थे। भौतिकी से अपने खाली समय में, पेनरोज़ गणितीय पहेलियों को हल करने में लगे हुए थे। एक दिन वह निम्नलिखित विचार के साथ आया: यदि आप एक से अधिक आकृतियों वाले टेसेलेशन की कल्पना करते हैं, तो क्या इसका समरूपता समूह पोलिया द्वारा वर्णित लोगों से भिन्न होगा? जैसा कि यह निकला, इस प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है - इस प्रकार पेनरोज़ मोज़ेक का जन्म हुआ। 1980 के दशक में, यह स्पष्ट हो गया कि यह क्वासिक क्रिस्टल से जुड़ा था ( नोबेल पुरुस्काररसायन विज्ञान 2011 में)।

हालांकि, एस्चर के पास अपने काम में इस मोज़ेक का उपयोग करने का समय नहीं था (या, शायद, नहीं चाहता था)। (लेकिन एक बिल्कुल अद्भुत पेनरोज़ मोज़ेक "पेनरोज़ हेन्स" है, उन्हें एस्चर द्वारा चित्रित नहीं किया गया था।)

लोबचेव्स्की विमान।

हाइबर्ग के पुनर्निर्माण में यूक्लिड के "तत्वों" में स्वयंसिद्धों की सूची में पांचवां निम्नलिखित कथन है: यदि दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा दो रेखाओं से कम आंतरिक एकतरफा कोण बनाती है, तो, अनिश्चित काल तक विस्तारित, ये दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को मिलेंगी वह भुजा जहाँ कोण दो रेखाओं से कम हों। वी समकालीन साहित्यएक समकक्ष और अधिक सुरुचिपूर्ण फॉर्मूलेशन पसंद करते हैं: एक बिंदु के माध्यम से जो एक रेखा पर झूठ नहीं बोलता है, वहां दिए गए एक के समानांतर एक रेखा गुजरती है, और इसके अलावा, केवल एक। लेकिन इस सूत्रीकरण में भी, यूक्लिड के बाकी अभिधारणाओं के विपरीत, स्वयंसिद्ध, बोझिल और भ्रमित करने वाला लगता है - यही कारण है कि वैज्ञानिक दो हजार वर्षों से इस कथन को शेष स्वयंसिद्धों से प्राप्त करने का प्रयास कर रहे हैं। अर्थात्, किसी अभिधारणा को प्रमेय में बदलना।

19वीं शताब्दी में, गणितज्ञ निकोलाई लोबचेव्स्की ने विरोधाभास से ऐसा करने की कोशिश की: उन्होंने माना कि यह अभिधारणा गलत थी और उन्होंने एक विरोधाभास खोजने की कोशिश की। लेकिन यह नहीं मिला - और परिणामस्वरूप, लोबचेव्स्की ने एक नई ज्यामिति का निर्माण किया। इसमें, एक ऐसे बिंदु से होकर जो एक रेखा पर नहीं पड़ता है, अनंत संख्या में विभिन्न रेखाएँ गुजरती हैं जो दी गई रेखा को नहीं काटती हैं। लोबचेवस्की इस नई ज्यामिति की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे। लेकिन वह पहले व्यक्ति थे जिन्होंने इसे सार्वजनिक रूप से घोषित करने का साहस किया - जिसके लिए, निश्चित रूप से, उनका उपहास किया गया था।

लोबचेव्स्की के काम की मरणोपरांत मान्यता, अन्य बातों के अलावा, उनकी ज्यामिति के मॉडल की उपस्थिति के कारण हुई - सामान्य यूक्लिडियन विमान पर वस्तुओं की प्रणाली, जो पांचवें अभिधारणा के अपवाद के साथ, यूक्लिड के सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करती है। इनमें से एक मॉडल को गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी हेनरी पोंकारे ने 1882 में कार्यात्मक और जटिल विश्लेषण की जरूरतों के लिए प्रस्तावित किया था।

मान लीजिए एक वृत्त है जिसकी सीमा को हम निरपेक्ष कहते हैं। हमारे मॉडल में "अंक" सर्कल के आंतरिक बिंदु होंगे। "सीधी रेखाएँ" की भूमिका वृत्तों या सीधी रेखाओं द्वारा निरपेक्ष (अधिक सटीक रूप से, उनके चाप जो वृत्त के अंदर आती हैं) द्वारा निभाई जाती है। तथ्य यह है कि इस तरह की "सीधी रेखाओं" के लिए पांचवीं अभिधारणा पूरी नहीं होती है, व्यावहारिक रूप से स्पष्ट है। तथ्य यह है कि इन वस्तुओं के लिए शेष अभिधारणाएं पूरी होती हैं, यह थोड़ा कम स्पष्ट है, हालांकि, यह सच है।

यह पता चला है कि पोंकारे मॉडल में बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करना संभव है। लंबाई की गणना करने के लिए, रीमैनियन मीट्रिक की अवधारणा की आवश्यकता होती है। इसके गुण इस प्रकार हैं: निरपेक्ष के लिए "सीधे" बिंदुओं की एक जोड़ी जितनी करीब होगी, उनके बीच की दूरी उतनी ही अधिक होगी। साथ ही "सीधी रेखाओं" के बीच के कोणों को परिभाषित किया गया है - ये "सीधी रेखाओं" के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण हैं।

अब चलिए वापस टाइलिंग पर आते हैं। यदि वे समान नियमित बहुभुजों (अर्थात, सभी के साथ बहुभुज) में विभाजित हैं, तो वे क्या दिखेंगे? समान पक्षऔर कोनों) पहले से ही पोंकारे मॉडल? उदाहरण के लिए, बहुभुज जितना छोटा हो उतना छोटा होना चाहिए। इस विचार को एस्चर ने "सर्कल लिमिट" कार्यों की श्रृंखला में महसूस किया था। हालांकि, डचमैन ने सही विभाजन का उपयोग नहीं किया, लेकिन उनके अधिक सममित संस्करण। वह मामला जहां गणितीय सटीकता की तुलना में सुंदरता अधिक महत्वपूर्ण थी।

वुडकट "सीमा - सर्कल II"।

वुडकट "लिमिट - सर्कल III"।

वुडकट "स्वर्ग और नरक"।

असंभव आंकड़े।

असंभव आंकड़ों को विशेष ऑप्टिकल भ्रम कहने की प्रथा है - वे एक विमान पर किसी त्रि-आयामी वस्तु की छवि प्रतीत होते हैं। लेकिन बारीकी से जांच करने पर उनकी संरचना में ज्यामितीय अंतर्विरोध पाए जाते हैं। असंभव आंकड़े न केवल गणितज्ञों के लिए दिलचस्प हैं - उनका अध्ययन मनोवैज्ञानिकों और डिजाइन विशेषज्ञों द्वारा भी किया जाता है।

असंभव आंकड़ों के परदादा तथाकथित नेकर क्यूब हैं, जो एक विमान पर क्यूब का परिचित प्रतिनिधित्व है। यह 1832 में स्वीडिश क्रिस्टलोग्राफर लुई नेकर द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इस छवि की ख़ासियत यह है कि इसकी व्याख्या की जा सकती है अलग तरीकों से. उदाहरण के लिए, इस आकृति में एक लाल वृत्त द्वारा दर्शाया गया कोना घन के सभी कोनों से हमारे निकटतम हो सकता है, और, इसके विपरीत, सबसे दूर।

इस तरह के पहले सच्चे असंभव आंकड़े 1930 के दशक में एक अन्य स्वीडिश वैज्ञानिक, ऑस्कर रदरस्वार्ड द्वारा बनाए गए थे। विशेष रूप से, वह क्यूब्स से एक त्रिकोण को इकट्ठा करने के विचार के साथ आया, जो प्रकृति में मौजूद नहीं हो सकता। रदरस्वर्ड के स्वतंत्र रूप से, पहले से ही उल्लेखित रोजर पेनरोज़ ने अपने पिता लियोनेल पेनरोज़ के साथ ब्रिटिश जर्नल ऑफ़ साइकोलॉजी में एक पेपर प्रकाशित किया, जिसका नाम था " असंभव वस्तुएं: विशेष प्रकार दृष्टिभ्रम»(1956)। इसमें पेनरोज़ ने दो ऐसी वस्तुओं का प्रस्ताव रखा - पेनरोज़ त्रिकोण (रदरसवर्ड के क्यूब्स के निर्माण का एक ठोस संस्करण) और पेनरोज़ सीढ़ियाँ। उन्होंने मौरिट्स एस्चर को अपने काम के लिए प्रेरणा का नाम दिया।

दोनों वस्तुएं - त्रिकोण और सीढ़ी दोनों - बाद में एस्चर के चित्रों में दिखाई दीं।

लिथोग्राफ "सापेक्षता"।

लिथोग्राफ "झरना"।

लिथोग्राफ "बेल्वेडियर"।

लिथोग्राफ "चढ़ाई और वंश"।

गणितीय अर्थ के साथ अन्य कार्य:

स्टार बहुभुज:

वुडकट "सितारे"।

लिथोग्राफ "अंतरिक्ष का घन विभाजन"।

लिथोग्राफ "सतह लहरों से ढकी हुई"।

लिथोग्राफ "तीन दुनिया"