വ്യത്യസ്ത ശക്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം. ശക്തികളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം, വ്യത്യസ്‌ത എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുക

വീട് / മുൻ

അവസാനത്തെ വീഡിയോ പാഠത്തിൽ, ഒരു നിശ്ചിത അടിത്തറയുടെ അളവ്, ഘാതകത്തിന് തുല്യമായ തുകയിൽ എടുത്ത, ബേസിന്റെ ഉൽപ്പന്നത്തെ സ്വയം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി. അധികാരങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ചില സവിശേഷതകളും പ്രവർത്തനങ്ങളും നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പഠിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ശക്തികളെ നമുക്ക് ഗുണിക്കാം:

നമുക്ക് ഈ സൃഷ്ടിയെ പൂർണ്ണമായി അവതരിപ്പിക്കാം:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കിയാൽ, നമുക്ക് 32 എന്ന നമ്പർ ലഭിക്കും. മറുവശത്ത്, അതേ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, 32 എന്നത് ഒരേ അടിത്തറയുടെ (രണ്ട്) ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, 5 തവണ എടുത്തതാണ്. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ അത് കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ:

അതിനാൽ, നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ നിഗമനം ചെയ്യാം:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

ഏതെങ്കിലും സൂചകങ്ങൾക്കും ഏതെങ്കിലും കാരണങ്ങൾക്കും ഈ നിയമം വിജയകരമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. പവർ ഗുണനത്തിന്റെ ഈ സ്വത്ത് ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിലെ പരിവർത്തന സമയത്ത് പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ അർത്ഥം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന നിയമത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. ഏത് അടിസ്ഥാന a യ്ക്കും, (a)x, (a)y എന്നീ രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഗുണനം a(x + y) ന് തുല്യമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഏതെങ്കിലും പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മോണോമിയലിന് ഒന്നും രണ്ടും എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ഡിഗ്രികൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ആകെയുള്ള ഒരു ഡിഗ്രി ഉണ്ടാകും.

നിരവധി പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ അവതരിപ്പിച്ച നിയമവും മികച്ച രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. എല്ലാവർക്കും ഒരേ അടിത്തറയുണ്ടെന്നതാണ് പ്രധാന വ്യവസ്ഥ. ഉദാഹരണത്തിന്:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

ഡിഗ്രികൾ ചേർക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, അവയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ രണ്ട് ഘടകങ്ങളുമായി ഏതെങ്കിലും ശക്തി അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സംയുക്ത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുക.
ഞങ്ങളുടെ വീഡിയോ കാണിക്കുന്നതുപോലെ, ഗുണനത്തിന്റെയും വിഭജനത്തിന്റെയും പ്രക്രിയകളുടെ സമാനത കാരണം, ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൽ ശക്തികൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഡിവിഷൻ നടപടിക്രമത്തിലേക്ക് തികച്ചും കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഈ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

എക്‌സ്‌പ്രഷന്റെ ഒരു ടേം-ബൈ-ടേം പരിവർത്തനം നമുക്ക് നടത്താം പൂർണ്ണ കാഴ്ചഡിവിഡന്റിലും ഡിവൈസറിലും ഒരേ ഘടകങ്ങൾ കുറയ്ക്കുക:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

ഈ ഉദാഹരണത്തിന്റെ അന്തിമഫലം അത്ര രസകരമല്ല, കാരണം ഇതിനകം തന്നെ അത് പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം രണ്ടിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഡിഗ്രി ആദ്യത്തേതിന്റെ ഡിഗ്രിയിൽ നിന്ന് കുറച്ചാൽ ലഭിക്കുന്നത് രണ്ടാണ്.

ഘടകത്തിന്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഡിവിഡന്റ് ഡിഗ്രിയിൽ നിന്ന് വിഭജനത്തിന്റെ അളവ് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നിയമം അതിന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും എല്ലാ സ്വാഭാവിക ശക്തികൾക്കും ഒരേ അടിത്തറയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അമൂർത്തതയുടെ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് ഉണ്ട്:

(a) x / (a) y = (a) x - y

സമാന ബേസുകളെ ഡിഗ്രികളാൽ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിൽ നിന്ന്, പൂജ്യം ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം പിന്തുടരുന്നു. വ്യക്തമായും, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

മറുവശത്ത്, വിഭജനം കൂടുതൽ ദൃശ്യപരമായി ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(എ) 2 / (എ) 2 = (എ) (എ) / (എ) (എ) = 1

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ എല്ലാ ദൃശ്യ ഘടകങ്ങളും കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, 1/1 എന്ന പദപ്രയോഗം എല്ലായ്പ്പോഴും ലഭിക്കും, അതായത് ഒന്ന്. അതിനാൽ, പൂജ്യം പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഏതൊരു അടിത്തറയും ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്ന് പൊതുവെ അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നു:

a യുടെ മൂല്യം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ.

എന്നിരുന്നാലും, 0 (ഏത് ഗുണനത്തിനും 0 നൽകുന്നു) എങ്ങനെയെങ്കിലും ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ അത് അസംബന്ധമായിരിക്കും, അതിനാൽ (0) 0 (പൂജ്യം മുതൽ പൂജ്യം വരെ) എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കൂടാതെ ഫോർമുല ( a) 0 = 1 ഒരു നിബന്ധന ചേർക്കുക: "a 0 ന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ."

നമുക്ക് വ്യായാമം പരിഹരിക്കാം. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

അടിസ്ഥാനം എല്ലായിടത്തും തുല്യവും 34 ന് തുല്യവുമായതിനാൽ, അന്തിമ മൂല്യത്തിന് ഒരു ഡിഗ്രിയോടുകൂടിയ അതേ അടിത്തറ ഉണ്ടായിരിക്കും (മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്):

മറ്റൊരു വാക്കിൽ:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

ഉത്തരം: പദപ്രയോഗം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠം: "ഒരേ വ്യത്യസ്‌ത ഘാതങ്ങളുള്ള അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന്റെയും വിഭജനത്തിന്റെയും നിയമങ്ങൾ. ഉദാഹരണങ്ങൾ"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങൾ, അവലോകനങ്ങൾ, ആശംസകൾ എന്നിവ രേഖപ്പെടുത്താൻ മറക്കരുത്. എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ഒരു ആന്റി വൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിച്ചു.

ഗ്രേഡ് 7-നുള്ള ഇന്റഗ്രൽ ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിലെ ടീച്ചിംഗ് എയ്ഡുകളും സിമുലേറ്ററുകളും
പാഠപുസ്തകത്തിനായുള്ള മാനുവൽ യു.എൻ. പാഠപുസ്തകത്തിനായുള്ള മക്കാരിച്ചേവ മാനുവൽ എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്

പാഠത്തിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം: സംഖ്യകളുടെ ശക്തി ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ പഠിക്കുക.

ആദ്യം, "സംഖ്യയുടെ ശക്തി" എന്ന ആശയം ഓർക്കുക. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ $a^n$ ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

സംഭാഷണവും ശരിയാണ്: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

ഈ സമത്വത്തെ "ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി ബിരുദം രേഖപ്പെടുത്തൽ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ശക്തികളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാമെന്നും വിഭജിക്കാമെന്നും നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും.
ഓർക്കുക:
എ- ബിരുദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം.
എൻ- ഘാതം.
എങ്കിൽ n=1, അതായത് നമ്പർ എഒരിക്കൽ എടുത്തു, അതനുസരിച്ച്: $a^n= 1$.
എങ്കിൽ n= 0, തുടർന്ന് $a^0= 1$.

ഗുണനത്തിന്റെയും അധികാര വിഭജനത്തിന്റെയും നിയമങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുമ്പോൾ എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.

ഗുണന നിയമങ്ങൾ

a) ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികൾ ഗുണിച്ചാൽ.
$a^n * a^m$ ലഭിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി എഴുതുന്നു: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
നമ്പർ എന്ന് ചിത്രം കാണിക്കുന്നു എഎടുത്തിട്ടുണ്ട് n+mതവണ, പിന്നെ $a^n * a^m = a^(n + m)$.

ഉദാഹരണം.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

ഒരു നമ്പർ ഉയർന്ന ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ ജോലി ലളിതമാക്കാൻ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
ഉദാഹരണം.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള ഡിഗ്രികൾ, എന്നാൽ അതേ ഘാതം ഗുണിച്ചാൽ.
$a^n * b^n$ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി എഴുതുന്നു: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
നമ്മൾ ഘടകങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ജോഡികൾ കണക്കാക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

അതിനാൽ $a^n * b^n= (a * b)^n$.

ഉദാഹരണം.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

ഡിവിഷൻ നിയമങ്ങൾ

a) ബിരുദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നുതന്നെയാണ്, സൂചകങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ്.
ഒരു ശക്തിയെ ചെറിയ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് വലിയ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ശക്തിയെ ഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കുക.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ് $\frac(a^n)(a^m)$, എവിടെ n>m.

നമുക്ക് ഡിഗ്രികൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാം:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

സൗകര്യാർത്ഥം, ഞങ്ങൾ വിഭജനം ഒരു ലളിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതുന്നു.

ഇനി ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം.

ഇത് മാറുന്നു: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
അർത്ഥമാക്കുന്നത്, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

പൂജ്യം പവറിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തുന്ന സാഹചര്യം വിശദീകരിക്കാൻ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി സഹായിക്കും. എന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാം n=m, തുടർന്ന് $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

ബി) ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ്, സൂചകങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്.
$\frac(a^n)( b^n)$ ആവശ്യമാണെന്ന് പറയാം. നമുക്ക് സംഖ്യകളുടെ ശക്തികൾ ഭിന്നസംഖ്യകളായി എഴുതാം:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

സൗകര്യത്തിനായി, നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ച്, വലിയ ഭിന്നസംഖ്യയെ ചെറിയവയുടെ ഉൽപ്പന്നമായി വിഭജിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
അതനുസരിച്ച്: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

ഉദാഹരണം.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

അധികാരങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

മറ്റ് അളവുകൾ പോലെ ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ ചേർക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് വ്യക്തമാണ് , അവയുടെ അടയാളങ്ങൾക്കൊപ്പം അവയെ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി ചേർത്തുകൊണ്ട്.

അതിനാൽ, a 3, b 2 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 3 + b 2 ആണ്.
a 3 - b n, h 5 -d 4 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 3 - b n + h 5 - d 4 ആണ്.

സാധ്യതകൾ സമാന വേരിയബിളുകളുടെ തുല്യ ശക്തികൾകൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യാം.

അതിനാൽ, 2a 2, 3a 2 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 5a 2 ന് തുല്യമാണ്.

നിങ്ങൾ രണ്ട് ചതുരങ്ങൾ a, അല്ലെങ്കിൽ മൂന്ന് ചതുരങ്ങൾ a, അല്ലെങ്കിൽ അഞ്ച് ചതുരങ്ങൾ a എടുത്താൽ അത് വ്യക്തമാണ്.

പക്ഷേ ഡിഗ്രികൾ വിവിധ വേരിയബിളുകൾഒപ്പം വിവിധ ഡിഗ്രികൾ സമാന വേരിയബിളുകൾ, അവയുടെ അടയാളങ്ങൾക്കൊപ്പം അവയെ ചേർത്തുകൊണ്ട് രചിക്കേണ്ടതാണ്.

അതിനാൽ, 2, എ 3 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 2 + എ 3 യുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

a യുടെ ചതുരവും a യുടെ ക്യൂബും a യുടെ ഇരട്ടി ചതുരത്തിന് തുല്യമല്ല, പക്ഷേ ഇരട്ട ക്യൂബ്എ.

a 3 b n, 3a 5 b 6 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 3 b n + 3a 5 b 6 ആണ്.

കുറയ്ക്കൽഉപഭോക്താക്കളുടെ അടയാളങ്ങൾ അതിനനുസരിച്ച് മാറ്റണം എന്നതൊഴിച്ചാൽ അധികാരങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പോലെ തന്നെ നടപ്പിലാക്കുന്നു.

അഥവാ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

ശക്തികളെ ഗുണിക്കുക

ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ ഒന്നിന് പുറകെ ഒന്നായി എഴുതുന്നതിലൂടെയും അവയ്ക്കിടയിൽ ഗുണന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചോ അല്ലാതെയോ മറ്റ് അളവുകളെപ്പോലെ ഗുണിക്കാവുന്നതാണ്.

അങ്ങനെ, a 3 നെ b 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലം a 3 b 2 അല്ലെങ്കിൽ aaabb ആണ്.

അഥവാ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

സമാന വേരിയബിളുകൾ ചേർത്ത് അവസാന ഉദാഹരണത്തിലെ ഫലം ഓർഡർ ചെയ്യാവുന്നതാണ്.
എക്സ്പ്രഷൻ ഫോം എടുക്കും: a 5 b 5 y 3.

നിരവധി സംഖ്യകളെ (വേരിയബിളുകൾ) ശക്തികളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, അവയിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ടെണ്ണം ഗുണിച്ചാൽ, ഫലം തുല്യമായ പവർ ഉള്ള ഒരു സംഖ്യ (വേരിയബിൾ) ആണെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. തുകനിബന്ധനകളുടെ ഡിഗ്രികൾ.

അതിനാൽ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

ഇവിടെ 5 എന്നത് ഗുണന ഫലത്തിന്റെ ശക്തിയാണ്, ഇത് 2 + 3 ന് തുല്യമാണ്, പദങ്ങളുടെ ശക്തികളുടെ ആകെത്തുക.

അതിനാൽ, a n .a m = a m+n .

ഒരു n ന്, n ന്റെ ശക്തിയുടെ എത്രയോ മടങ്ങ് ഒരു ഘടകമായി a എടുക്കുന്നു;

ഒരു m എന്നത് എത്ര തവണ ഘടകമായി കണക്കാക്കുന്നുവോ അത്രയും തവണ m എന്നത് തുല്യമാണ്;

അതുകൊണ്ടാണ്, ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ശക്തികളുടെ ഘാതകങ്ങൾ ചേർത്ത് ഗുണിക്കാം.

അതിനാൽ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . കൂടാതെ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.

അഥവാ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ഗുണിക്കുക.
ഉത്തരം: x 4 - y 4.
ഗുണിക്കുക (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള സംഖ്യകൾക്കും ഈ നിയമം ശരിയാണ് നെഗറ്റീവ്.

1. അതിനാൽ, a -2 .a -3 = a -5 . ഇത് (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa എന്ന് എഴുതാം.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b എന്നത് a - b കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഫലം 2 - b 2 ആയിരിക്കും: അതായത്

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം ഗുണിച്ചതിന്റെ ഫലം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം.

ഉയർത്തിയ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യാസവും നിങ്ങൾ ഗുണിച്ചാൽ സമചതുരം Samachathuram, ഫലം ഈ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും നാലാമത്തെഡിഗ്രികൾ.

അതിനാൽ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

ഡിഗ്രികളുടെ വിഭജനം

ഡിവിഡൻഡിൽ നിന്ന് കുറച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ സ്ഥാപിച്ചോ മറ്റ് സംഖ്യകളെപ്പോലെ ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കാം.

അങ്ങനെ, a 3 b 2 നെ b 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ a 3 ആണ്.

5 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ $\frac പോലെ തോന്നുന്നു $. എന്നാൽ ഇത് ഒരു 2 ന് തുല്യമാണ്. സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പരയിൽ
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ഏത് സംഖ്യയും മറ്റൊന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, ഘാതം തുല്യമായിരിക്കും വ്യത്യാസംഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ സൂചകങ്ങൾ.

ഒരേ അടിത്തറയിൽ ഡിഗ്രികളെ ഹരിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതകങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു..

അതിനാൽ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. അതായത് $\frac = y$.

കൂടാതെ a n+1:a = a n+1-1 = a n . അതായത്, $\frac = a^n$.

അഥവാ:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

ഉള്ള സംഖ്യകൾക്കും നിയമം ശരിയാണ് നെഗറ്റീവ്ഡിഗ്രി മൂല്യങ്ങൾ.
-5-നെ -3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലം -2 ആണ്.
കൂടാതെ, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 അല്ലെങ്കിൽ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ ബീജഗണിതത്തിൽ വളരെ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നതിനാൽ, ഗുണനവും വിഭജനവും നന്നായി കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

1. എക്‌സ്‌പോണന്റുകളെ $\frac $ കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുക ഉത്തരം: $\frac $.

2. എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ $\frac$ കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുക. ഉത്തരം: $\frac$ അല്ലെങ്കിൽ 2x.

3. എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ a 2 /a 3, a -3 /a -4 എന്നിവ കുറയ്ക്കുകയും ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുക.
a 2 .a -4 ഒരു -2 ആണ് ആദ്യത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ.
a 3 .a -3 എന്നത് 0 = 1 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ.
a 3 .a -4 എന്നത് a -1 ആണ്, സാധാരണ ന്യൂമറേറ്റർ.
ലളിതമാക്കിയ ശേഷം: a -2 /a -1, 1/a -1 .

4. എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ 2a 4 /5a 3, 2 /a 4 എന്നിവ കുറയ്ക്കുകയും ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുക.
ഉത്തരം: 2a 3 /5a 7, 5a 5 /5a 7 അല്ലെങ്കിൽ 2a 3 /5a 2, 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

6. (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

7. b 4 /a -2 നെ h -3 /x കൊണ്ടും a n /y -3 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

8. ഒരു 4 /y 3 യെ 3 /y 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഉത്തരം: a/y.

ബിരുദത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ

ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾസ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങളും പൂജ്യവും. യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും എട്ടാം ക്ലാസിലെ പാഠങ്ങളിൽ ചർച്ചചെയ്യും.

സ്വാഭാവിക സൂചകമുള്ള ഒരു ബിരുദത്തിന് നിരവധിയുണ്ട് പ്രധാനപ്പെട്ട പ്രോപ്പർട്ടികൾ, പവർ ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങളിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 1
അധികാരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം

ഒരേ ബേസുകളുപയോഗിച്ച് ശക്തികളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അടിസ്ഥാനം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു, കൂടാതെ ശക്തികളുടെ എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ ചേർക്കുന്നു.

a m · a n = a m + n, ഇവിടെ “a” എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ “m”, “n” എന്നിവ ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്.

ഡിഗ്രികളുടെ ഈ ഗുണവും ബാധകമാണ് മൂന്നിന്റെ ഉൽപ്പന്നംകൂടുതൽ ഡിഗ്രികളും.

പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
അത് ഒരു ബിരുദമായി അവതരിപ്പിക്കുക.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
അത് ഒരു ബിരുദമായി അവതരിപ്പിക്കുക.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

നിർദ്ദിഷ്ട പ്രോപ്പർട്ടിയിൽ ഞങ്ങൾ ഒരേ അടിത്തറയുള്ള അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണനത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക.. അവരുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന് ഇത് ബാധകമല്ല.

നിങ്ങൾക്ക് തുക (3 3 + 3 2) 3 5 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയില്ല. എങ്കിൽ ഇത് മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ
കണക്കാക്കുക (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, കൂടാതെ 3 5 = 243

പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 2
ഭാഗിക ബിരുദങ്ങൾ

ഒരേ ബേസുകളുള്ള ശക്തികളെ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അടിസ്ഥാനം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു, ഡിവിഡന്റിന്റെ എക്‌സ്‌പോണന്റിൽ നിന്ന് ഡിവിസറിന്റെ ഘാതം കുറയ്ക്കുന്നു.

ഘടകത്തെ ഒരു ശക്തിയായി എഴുതുക
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
കണക്കാക്കുക.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. ക്വട്ടേഷൻ ശക്തികളുടെ സ്വത്ത് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
3 8: t = 3 4

ഉത്തരം: t = 3 4 = 81

പ്രോപ്പർട്ടികൾ നമ്പർ 1 ഉം നമ്പർ 2 ഉം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാനും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താനും കഴിയും.

ഉദാഹരണം. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

ഉദാഹരണം. എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

പ്രോപ്പർട്ടി 2 ൽ ഞങ്ങൾ സംസാരിച്ചത് ഒരേ അടിത്തറയുള്ള അധികാരങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യാസം (4 3 -4 2) 4 1 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയില്ല. നിങ്ങൾ (4 3 -4 2) = (64 - 16) = 48, 4 1 = 4 എന്നിവ കണക്കാക്കിയാൽ ഇത് മനസ്സിലാക്കാവുന്നതാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 3
ഒരു ബിരുദം ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

ഒരു ഡിഗ്രിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു, കൂടാതെ ഘാതകങ്ങൾ ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

(a n) m = a n · m, ഇവിടെ "a" എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ "m", "n" എന്നിവ ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്.

ഒരു ഘടകത്തെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന വിഷയത്തിൽ ഞങ്ങൾ അടുത്ത പേജിൽ കൂടുതൽ വിശദമായി സംസാരിക്കും.

ശക്തികളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം

ശക്തികളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം? ഏതൊക്കെ ശക്തികളെ ഗുണിക്കാം, ഏതിനെ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല? ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു പവർ കൊണ്ട് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം?

ബീജഗണിതത്തിൽ, രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ശക്തികളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താം:

1) ഡിഗ്രികൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുണ്ടെങ്കിൽ;

2) ഡിഗ്രികൾക്ക് ഒരേ സൂചകങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ.

ഒരേ ബേസുകളുപയോഗിച്ച് ശക്തികളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അടിസ്ഥാനം അതേപടി വിടുകയും ഘാതാങ്കങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും വേണം:

ഒരേ സൂചകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, മൊത്തത്തിലുള്ള സൂചകം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് എടുക്കാം:

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ശക്തികളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

യൂണിറ്റ് എക്‌സ്‌പോണന്റിൽ എഴുതിയിട്ടില്ല, എന്നാൽ ശക്തികളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവ കണക്കിലെടുക്കുന്നു:

ഗുണിക്കുമ്പോൾ, എത്ര ശക്തികൾ വേണമെങ്കിലും ഉണ്ടാകാം. അക്ഷരത്തിന് മുമ്പ് നിങ്ങൾ ഗുണന ചിഹ്നം എഴുതേണ്ടതില്ല എന്നത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്:

എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷനാണ് ആദ്യം ചെയ്യുന്നത്.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു പവർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ആദ്യം എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ നടത്തണം, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഗുണനം:

ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുക

ഈ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ സബ്സ്ക്രിപ്ഷൻ വഴി ലഭ്യമാണ്

ഇതിനകം ഒരു സബ്സ്ക്രിപ്ഷൻ ഉണ്ടോ? അകത്തേക്ക് വരാൻ

ഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ സമാന അടിത്തറകളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണനം പഠിക്കും. ആദ്യം, നമുക്ക് ബിരുദത്തിന്റെ നിർവചനം ഓർമ്മിക്കുകയും തുല്യതയുടെ സാധുതയെക്കുറിച്ച് ഒരു സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യാം . അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറുകളിൽ അതിന്റെ ആപ്ലിക്കേഷന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും അത് തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യും. വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യും.

വിഷയം: പ്രകൃതിദത്തമായ ഘാതവും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളും ഉള്ള പവർ

പാഠം: ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുക (സൂത്രം)

1. അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ

അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ:

എൻ- ഘാതം,

— എൻഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി.

2. സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസ്താവന 1

സിദ്ധാന്തം 1.ഏത് നമ്പറിനും എഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിദത്തവും എൻഒപ്പം കെസമത്വം സത്യമാണ്:

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ: എങ്കിൽ എ- ഏതെങ്കിലും നമ്പർ; എൻഒപ്പം കെസ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, പിന്നെ:

അതിനാൽ നിയമം 1:

3. വിശദീകരണ ചുമതലകൾ

ഉപസംഹാരം:പ്രത്യേക കേസുകൾ സിദ്ധാന്തം നമ്പർ 1 ന്റെ കൃത്യത സ്ഥിരീകരിച്ചു. നമുക്ക് അത് പൊതുവായ കേസിൽ തെളിയിക്കാം, അതായത്, ഏതൊരു കാര്യത്തിനും എഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിദത്തവും എൻഒപ്പം കെ.

4. സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ് 1

ഒരു നമ്പർ കൊടുത്തു എ- ഏതെങ്കിലും; സംഖ്യകൾ എൻഒപ്പം കെ -സ്വാഭാവികം. തെളിയിക്കുക:

ബിരുദത്തിന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് തെളിവ്.

5. സിദ്ധാന്തം 1 ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 1:ഒരു ബിരുദമായി കരുതുക.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം 1 ഉപയോഗിക്കും.

ഒപ്പം)

6. സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുവൽക്കരണം 1

ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു പൊതുവൽക്കരണം:

7. സിദ്ധാന്തം 1-ന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

8. സിദ്ധാന്തം 1 ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 2:കണക്കാക്കുക (നിങ്ങൾക്ക് അടിസ്ഥാന അധികാരങ്ങളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കാം).

എ) (പട്ടിക പ്രകാരം)

ഉദാഹരണം 3:അടിസ്ഥാനം 2 ഉള്ള ഒരു ശക്തിയായി ഇത് എഴുതുക.

എ)

ഉദാഹരണം 4:സംഖ്യയുടെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക:

, എ -നെഗറ്റീവ്, കാരണം -13-ലെ ഘാതം വിചിത്രമാണ്.

ഉദാഹരണം 5:ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഉപയോഗിച്ച് (·) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക r:

നമുക്കുണ്ട്, അതായത്.

9. സംഗ്രഹിക്കുന്നു

1. ഡോറോഫീവ് ജി.വി., സുവോറോവ എസ്.ബി., ബുനിമോവിച്ച് ഇ.എ. ആൾജിബ്ര 7. ആറാം പതിപ്പ്. എം.: ജ്ഞാനോദയം. 2010

1. സ്കൂൾ അസിസ്റ്റന്റ് (ഉറവിടം).

1. ഒരു ശക്തിയായി അവതരിപ്പിക്കുക:

എ ബി സി ഡി ഇ)

3. അടിസ്ഥാനം 2 ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ശക്തിയായി എഴുതുക:

4. സംഖ്യയുടെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക:

എ)

5. ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഉപയോഗിച്ച് (·) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും

ഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ തുല്യ ഘാതകങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണനം പഠിക്കും. ആദ്യം, ശക്തികളെ ഒരേ അടിത്തറകളോടെ ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം. അതേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണനത്തെയും വിഭജനത്തെയും കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുകയും തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. തുടർന്ന് അവരുടെ സഹായത്തോടെ ഞങ്ങൾ നിരവധി സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ

ഇവിടെ എ- ബിരുദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം,

— എൻഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി.

ഒരേ ബേസുകളുപയോഗിച്ച് ശക്തികളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഘാതാങ്കങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, അടിസ്ഥാനം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2.ഏത് നമ്പറിനും എഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിദത്തവും എൻഒപ്പം കെ,അത്തരം എൻ > കെസമത്വം സത്യമാണ്:

ഒരേ ബേസുകളുള്ള ഡിഗ്രികളെ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, എക്സ്പോണന്റുകൾ കുറയ്ക്കുന്നു, പക്ഷേ അടിസ്ഥാനം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 3.ഏത് നമ്പറിനും എഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിദത്തവും എൻഒപ്പം കെസമത്വം സത്യമാണ്:

ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും ഒരേ ശക്തികളെക്കുറിച്ചായിരുന്നു കാരണങ്ങൾ, ഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ ഡിഗ്രികൾ അതേപടി നോക്കും സൂചകങ്ങൾ.

ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുപയോഗിച്ച് ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ എഴുതാം.

ഉപസംഹാരം:ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് മനസ്സിലാക്കാം , എന്നാൽ ഇത് ഇനിയും തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുകയും പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ അത് തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യാം, അതായത്, ഏതിനും എഒപ്പം ബിഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിദത്തവും എൻ.

സിദ്ധാന്തം 4-ന്റെ രൂപീകരണവും തെളിവും

ഏത് നമ്പറുകൾക്കും എഒപ്പം ബിഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിദത്തവും എൻസമത്വം സത്യമാണ്:

തെളിവ്സിദ്ധാന്തം 4 .

ബിരുദത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്:

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിച്ചു .

ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുപയോഗിച്ച് ശക്തികളെ ഗുണിക്കാൻ, ആധാരങ്ങളെ ഗുണിച്ച് ഘാതം മാറ്റമില്ലാതെ വെച്ചാൽ മതിയാകും.

സിദ്ധാന്തം 5-ന്റെ രൂപീകരണവും തെളിവും

ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളെ ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം.

ഏത് നമ്പറിനും എഒപ്പം ബി() ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിദത്തവും എൻസമത്വം സത്യമാണ്:

തെളിവ്സിദ്ധാന്തം 5 .

ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം എഴുതാം:

വാക്കുകളിൽ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പ്രസ്താവന

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിച്ചു.

ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളെ പരസ്പരം വിഭജിക്കാൻ, ഒരു അടിത്തറയെ മറ്റൊന്നായി ഹരിച്ചാൽ മതി, ഘാതം മാറ്റമില്ലാതെ വിടുക.

സിദ്ധാന്തം 4 ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 1:അധികാരങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി അവതരിപ്പിക്കുക.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം 4 ഉപയോഗിക്കും.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഫോർമുലകൾ ഓർമ്മിക്കുക:

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുവൽക്കരണം 4

സിദ്ധാന്തം 4-ന്റെ പൊതുവൽക്കരണം:

സാമാന്യ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു 4

സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് തുടരുന്നു

ഉദാഹരണം 2:ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ശക്തിയായി ഇത് എഴുതുക.

ഉദാഹരണം 3:എക്‌സ്‌പോണന്റ് 2 ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ഒരു പവർ ആയി എഴുതുക.

കണക്കുകൂട്ടൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 4:ഏറ്റവും യുക്തിസഹമായ രീതിയിൽ കണക്കുകൂട്ടുക.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ബീജഗണിതം 7. എം.: വെന്റാന-ഗ്രാഫ്

3. കൊല്യാഗിൻ യു.എം., തകച്ചേവ എം.വി., ഫെഡോറോവ എൻ.ഇ. ബീജഗണിതം 7.M.: ജ്ഞാനോദയം. 2006

2. സ്കൂൾ അസിസ്റ്റന്റ് (ഉറവിടം).

1. അധികാരങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി അവതരിപ്പിക്കുക:

എ) ; ബി) ; വി) ; ജി) ;

2. ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ശക്തിയായി എഴുതുക:

3. എക്‌സ്‌പോണന്റ് 2 ഉപയോഗിച്ച് പവർ ആയി എഴുതുക:

4. ഏറ്റവും യുക്തിസഹമായ രീതിയിൽ കണക്കുകൂട്ടുക.

"അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗണിത പാഠം

വിഭാഗങ്ങൾ:ഗണിതം

പെഡഗോഗിക്കൽ ലക്ഷ്യം:

വിദ്യാർത്ഥി പഠിക്കുംഗുണനത്തിന്റെയും വിഭജനത്തിന്റെയും ഗുണവിശേഷതകൾ സ്വാഭാവിക ഘാതകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കുക; ഒരേ അടിത്തറയുടെ കാര്യത്തിൽ ഈ ഗുണങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുക;

വിദ്യാർത്ഥിക്ക് അവസരം ലഭിക്കുംവ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനും സംയോജിത ജോലികളിൽ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനും കഴിയും.

ചുമതലകൾ:

മുമ്പ് പഠിച്ച മെറ്റീരിയൽ ആവർത്തിച്ച് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ജോലി സംഘടിപ്പിക്കുക;

വിവിധ തരത്തിലുള്ള വ്യായാമങ്ങൾ നടത്തി പുനരുൽപാദനത്തിന്റെ തോത് ഉറപ്പാക്കുക;

പരിശോധനയിലൂടെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സ്വയം വിലയിരുത്തലിൽ ഒരു പരിശോധന സംഘടിപ്പിക്കുക.

അധ്യാപന പ്രവർത്തന യൂണിറ്റുകൾ:ഒരു സ്വാഭാവിക സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കൽ; ഡിഗ്രി ഘടകങ്ങൾ; പ്രൈവറ്റ് നിർവചനം; ഗുണനത്തിന്റെ സംയോജന നിയമം.

I. നിലവിലുള്ള അറിവിന്റെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ വൈദഗ്ധ്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രകടനം സംഘടിപ്പിക്കുന്നു. (ഘട്ടം 1)

a) അറിവ് പുതുക്കുന്നു:

2) ഒരു സ്വാഭാവിക എക്സ്പോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദത്തിന്റെ ഒരു നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്തുക.

a n =a a a a ... a (n തവണ)

b k =b b b b a… b (k തവണ) ഉത്തരം ന്യായീകരിക്കുക.

II. നിലവിലെ അനുഭവത്തിൽ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ പ്രാവീണ്യത്തിന്റെ സ്വയം വിലയിരുത്തലിന്റെ ഓർഗനൈസേഷൻ. (ഘട്ടം 2)

സ്വയം പരിശോധന: ( വ്യക്തിഗത ജോലിരണ്ട് പതിപ്പുകളിൽ.)

A1) ഉൽപ്പന്നം 7 7 7 7 x x ഒരു ശക്തിയായി അവതരിപ്പിക്കുക:

A2) പവർ (-3) 3 x 2 ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുക

A3) കണക്കാക്കുക: -2 3 2 + 4 5 3

ക്ലാസ് ലെവലിന്റെ തയ്യാറെടുപ്പിന് അനുസൃതമായി ഞാൻ ടെസ്റ്റിലെ ടാസ്ക്കുകളുടെ എണ്ണം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കുള്ള പരിശോധനയുടെ താക്കോൽ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നു. മാനദണ്ഡം: പാസ് - പാസ് ഇല്ല.

III. വിദ്യാഭ്യാസപരവും പ്രായോഗികവുമായ ചുമതല (ഘട്ടം 3) + ഘട്ടം 4. (വിദ്യാർത്ഥികൾ തന്നെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ രൂപപ്പെടുത്തും)

കണക്കാക്കുക: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

ലളിതമാക്കുക: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 =?

1) ഉം 2 ഉം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, വിദ്യാർത്ഥികൾ ഒരു പരിഹാരം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, ഒരു അദ്ധ്യാപകൻ എന്ന നിലയിൽ ഞാൻ ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിക്കുമ്പോൾ ശക്തികൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗം കണ്ടെത്താൻ ക്ലാസ് സംഘടിപ്പിക്കുന്നു.

ടീച്ചർ: ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിക്കുമ്പോൾ ശക്തികൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗം കൊണ്ടുവരിക.

ക്ലസ്റ്ററിൽ ഒരു എൻട്രി ദൃശ്യമാകുന്നു:

പാഠത്തിന്റെ വിഷയം രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ശക്തികളുടെ ഗുണനം.

ടീച്ചർ: ഒരേ അടിത്തറയുള്ള അധികാരങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു നിയമം കൊണ്ടുവരിക.

ന്യായവാദം: ഡിവിഷൻ പരിശോധിക്കാൻ എന്ത് നടപടിയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്? a 5: a 3 = ? അതായത് a 2 a 3 = a 5

ഞാൻ ഡയഗ്രാമിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു - ഒരു ക്ലസ്റ്ററും എൻട്രിയിലേക്ക് ചേർക്കുകയും - .. വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ പാഠത്തിന്റെ വിഷയം കുറയ്ക്കുകയും ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ... ഡിഗ്രികളുടെ വിഭജനവും.

IV. അറിവിന്റെ പരിധികൾ വിദ്യാർത്ഥികളുമായി ആശയവിനിമയം നടത്തുന്നു (കുറഞ്ഞതും പരമാവധി).

ടീച്ചർ: ഇന്നത്തെ പാഠത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചുമതല, ഗുണനത്തിന്റെയും അധികാര വിഭജനത്തിന്റെയും സവിശേഷതകൾ ഒരേ അടിത്തറകളോടെ പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക എന്നതാണ്, കൂടാതെ പരമാവധി ചുമതല ഗുണനവും വിഭജനവും ഒരുമിച്ച് പ്രയോഗിക്കുക എന്നതാണ്.

ഞങ്ങൾ ബോർഡിൽ എഴുതുന്നു : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

വി. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഓർഗനൈസേഷൻ. (ഘട്ടം 5)

എ) പാഠപുസ്തകം അനുസരിച്ച്: നമ്പർ 403 (എ, സി, ഇ) വ്യത്യസ്ത പദങ്ങളുള്ള ടാസ്‌ക്കുകൾ

നമ്പർ 404 (a, d, f) സ്വതന്ത്ര ജോലി, പിന്നെ ഞാൻ ഒരു പരസ്പര പരിശോധന സംഘടിപ്പിച്ച് കീകൾ നൽകുന്നു.

b) m ന്റെ ഏത് മൂല്യത്തിന് തുല്യത സാധുവാണ്? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

അസൈൻമെന്റ്: വിഭജനത്തിന് സമാനമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ കൊണ്ടുവരിക.

സി) നമ്പർ 417 (എ), നമ്പർ 418 (എ) വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള കെണികൾ: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

VI. പഠിച്ച കാര്യങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കുക, ഡയഗ്നോസ്റ്റിക് ജോലികൾ നടത്തുക (ഇത് ഈ വിഷയം പഠിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നു, അല്ലാതെ അധ്യാപകനെയല്ല) (ഘട്ടം 6)

ഡയഗ്നോസ്റ്റിക് ജോലി.

ടെസ്റ്റ്(മാവിന്റെ പിൻഭാഗത്ത് കീകൾ വയ്ക്കുക).

ടാസ്‌ക് ഓപ്‌ഷനുകൾ: ക്വട്ടേഷൻ x 15 നെ ഒരു ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുക: x 3; ഒരു ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നം (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; ഏത് m എന്നതിന് തുല്യത a 16 a m = a 32 സാധുവാണ്? h 0: h 2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം h = 0.2 എന്നതിൽ കണ്ടെത്തുക; പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക (5 2 5 0) : 5 2 .

പാഠ സംഗ്രഹം. പ്രതിഫലനം.ഞാൻ ക്ലാസ്സിനെ രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കുന്നു.

ഗ്രൂപ്പ് I-ൽ ആർഗ്യുമെന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക: ബിരുദത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ അറിയുന്നതിന് അനുകൂലമായി, ഗ്രൂപ്പ് II - പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഇല്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പറയുന്ന ആർഗ്യുമെന്റുകൾ. ഞങ്ങൾ എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും ശ്രദ്ധിക്കുകയും നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുകയും ചെയ്യുന്നു. തുടർന്നുള്ള പാഠങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഡാറ്റ വാഗ്ദാനം ചെയ്യാനും "ഇത് വിശ്വാസത്തിന് അതീതമാണ്!"

ഒരു ശരാശരി വ്യക്തി അവരുടെ ജീവിതകാലത്ത് 32 10 2 കിലോ വെള്ളരി കഴിക്കുന്നു.

3.2 10 2 കിലോമീറ്റർ നോൺ-സ്റ്റോപ്പ് ഫ്ലൈറ്റ് നടത്താൻ ഈ കടന്നലിന് കഴിയും.

ഗ്ലാസ് പൊട്ടുമ്പോൾ, വിള്ളൽ മണിക്കൂറിൽ 5 10 3 കിലോമീറ്റർ വേഗതയിൽ വ്യാപിക്കുന്നു.

ഒരു തവള അതിന്റെ ജീവിതത്തിൽ 3 ടണ്ണിലധികം കൊതുകുകളെ ഭക്ഷിക്കുന്നു. ഡിഗ്രി ഉപയോഗിച്ച്, കിലോയിൽ എഴുതുക.

ഏറ്റവും സമൃദ്ധമായ സമുദ്ര മത്സ്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു - ചന്ദ്രൻ (മോള മോള), ഇത് ഒരു മുട്ടയിടുമ്പോൾ ഏകദേശം 1.3 മില്ലീമീറ്റർ വ്യാസമുള്ള 300,000,000 മുട്ടകൾ വരെ ഇടുന്നു. ഒരു പവർ ഉപയോഗിച്ച് ഈ നമ്പർ എഴുതുക.

VII. ഹോം വർക്ക്.

ചരിത്രപരമായ പരാമർശം. ഏത് സംഖ്യകളെയാണ് ഫെർമാറ്റ് നമ്പറുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.

പി.19. നമ്പർ 403, നമ്പർ 408, നമ്പർ 417

ഉപയോഗിച്ച പുസ്തകങ്ങൾ:

പാഠപുസ്തകം "ആൾജിബ്ര-7", രചയിതാക്കൾ യു.എൻ. മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി. Mindyuk et al.

ഏഴാം ഗ്രേഡിനുള്ള ഉപദേശപരമായ മെറ്റീരിയൽ, എൽ.വി. കുസ്നെറ്റ്സോവ, എൽ.ഐ. സ്വവിച്ച്, എസ്.ബി. സുവോറോവ്.

എൻസൈക്ലോപീഡിയ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്സ്.

മാസിക "Kvant".

ഡിഗ്രികളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ, ഫോർമുലേഷനുകൾ, തെളിവുകൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി നിർണ്ണയിച്ച ശേഷം, സംസാരിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ് ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ. ഈ ലേഖനത്തിൽ, സാധ്യമായ എല്ലാ എക്സ്പോണന്റുകളിലും സ്പർശിക്കുമ്പോൾ, ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ നൽകും. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളുടെയും തെളിവുകൾ നൽകും, കൂടാതെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടികൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുമെന്നും കാണിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, a n എന്നത് n ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ്, അവ ഓരോന്നും a ന് തുല്യമാണ്. ഈ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, കൂടാതെ ഉപയോഗിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ നേടാനും ന്യായീകരിക്കാനും കഴിയും സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ബിരുദത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ:

ഡിഗ്രിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് a m ·a n =a m+n, അതിന്റെ പൊതുവൽക്കരണം a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

ഒരു m:a n =a m−n ;

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ (a·b) n =a n ·b n, അതിന്റെ വിപുലീകരണം (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

ഘടകത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ഡിഗ്രി (a:b) n =a n:b n ;

ഒരു പവർ (a m) n =a m·n ആയി ഉയർത്തുന്നു, അതിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

ഡിഗ്രിയും പൂജ്യവുമായുള്ള താരതമ്യം:

a>0 ആണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് n>0;
a=0 ആണെങ്കിൽ, a n =0;
ഒരു 2·m >0 ആണെങ്കിൽ, ഒരു 2·m−1 n ആണെങ്കിൽ;
m-ഉം n-ഉം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ m>n, പിന്നെ 0m n, a>0-ന് അസമത്വം a m >a n ശരിയാണ്.

എല്ലാ രേഖാമൂലമുള്ള തുല്യതകളും ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കാം സമാനമായനിർദ്ദിഷ്ട വ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിധേയമായി, അവയുടെ വലത്, ഇടത് ഭാഗങ്ങൾ പരസ്പരം മാറ്റാവുന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, a m ·a n =a m+n ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഗുണം പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നുപലപ്പോഴും a m+n =a m ·a n എന്ന രൂപത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് അവ ഓരോന്നും വിശദമായി നോക്കാം.

ഒരേ ബേസുകളുള്ള രണ്ട് ശക്തികളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടിയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ബിരുദത്തിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത്: ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും a, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളായ m, n എന്നിവയ്ക്കും, a m ·a n =a m+n എന്ന തുല്യത ശരിയാണ്.

ബിരുദത്തിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a m ·a n രൂപത്തിന്റെ സമാന അടിത്തറകളുള്ള ശക്തികളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ഉൽപ്പന്നമായി എഴുതാം. . ഗുണനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ കാരണം, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഇങ്ങനെ എഴുതാം , കൂടാതെ ഈ ഉൽപ്പന്നം m+n എന്ന സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള a സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്, അതായത് m+n. ഇത് തെളിവ് പൂർത്തിയാക്കുന്നു.

ബിരുദത്തിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്ന ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് നൽകാം. നമുക്ക് ഡിഗ്രികളുടെ അതേ അടിസ്ഥാനങ്ങളായ 2 ഉം സ്വാഭാവിക ശക്തികൾ 2 ഉം 3 ഉം ഉള്ള ഡിഗ്രികൾ എടുക്കാം, ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സമത്വം 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 എഴുതാം. 2 2 · 2 3, 2 5 എന്നീ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കി അതിന്റെ സാധുത പരിശോധിക്കാം. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ നടത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ഉം 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 ഉം ഉണ്ട്, കാരണം നമുക്ക് തുല്യ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു, തുടർന്ന് തുല്യത 2 2 ·2 3 =2 5 ശരിയാണ്, അത് ബിരുദത്തിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു.

ഗുണനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ബിരുദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത്, ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളും സ്വാഭാവിക ഘാതകങ്ങളും ഉള്ള മൂന്നോ അതിലധികമോ ശക്തികളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാൻ കഴിയും. അതിനാൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഏത് k സംഖ്യയ്ക്കും n 1 , n 2 , ..., n k തുല്യത a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k എന്നത് ശരിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

നമുക്ക് ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് അധികാരങ്ങളുടെ അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടിയിലേക്ക് പോകാം - ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ള ഘടക ശക്തികളുടെ സ്വത്ത്: പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതൊരു റിയൽ സംഖ്യ aയ്ക്കും m>n എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന m, n എന്നീ അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും a m:a n =a m−n എന്ന തുല്യത ശരിയാണ്.

ഈ വസ്തുവിന്റെ തെളിവ് അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, രൂപീകരണത്തിലെ അധിക വ്യവസ്ഥകളുടെ അർത്ഥം നമുക്ക് ചർച്ച ചെയ്യാം. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് ഒഴിവാക്കുന്നതിന് a≠0 എന്ന വ്യവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്, കാരണം 0 n =0, വിഭജനത്തെക്കുറിച്ച് പരിചയപ്പെട്ടപ്പോൾ, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ സമ്മതിച്ചു. m>n എന്ന അവസ്ഥ അവതരിപ്പിച്ചത് സ്വാഭാവിക ഘാതകങ്ങൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് പോകാതിരിക്കാനാണ്. തീർച്ചയായും, m>n ഘാതാംഗത്തിന് ഒരു m−n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം അത് പൂജ്യമായിരിക്കും (m−n ന് സംഭവിക്കുന്നത്) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ (m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിൽ നിന്ന് a m−n ·a n =a m കൂടാതെ ഗുണനവും ഹരിക്കലും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൽ നിന്ന് m−n എന്നത് a m, n എന്നീ ശക്തികളുടെ ഒരു ഘടകമാണ്. അതേ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ.

ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. ഒരേ ബേസ് π ഉം പ്രകൃതിദത്തമായ 5 ഉം 2 ഉം ഉള്ള രണ്ട് ഡിഗ്രികൾ എടുക്കാം, തുല്യത π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 ഡിഗ്രിയുടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രോപ്പർട്ടിയുമായി യോജിക്കുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ഉൽപ്പന്ന ശക്തി സ്വത്ത്: ഏതെങ്കിലും രണ്ട് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ശക്തി n, a n, b n എന്നീ ശക്തികളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് (a·b) n =a n ·b n .

തീർച്ചയായും, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്കുണ്ട് . അവസാന ഭാഗംഗുണനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം , ഇത് a n · b n ന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: .

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി മൂന്നോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് വ്യാപിക്കുന്നു. അതായത്, k ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ഡിഗ്രി n ന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് കാണിക്കും. 7 ന്റെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള മൂന്ന് ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് നമുക്ക് ഉണ്ട്.

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്താണ് ഒരു ഘടകത്തിന്റെ സ്വത്ത്: യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ a, b, b≠0 മുതൽ സ്വാഭാവിക ശക്തി n വരെയുള്ള ഘടകഭാഗം a n, b n എന്നീ ശക്തികളുടെ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് (a:b) n =a n:b n.

മുമ്പത്തെ സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ച് തെളിവ് നടപ്പിലാക്കാം. അതിനാൽ (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (a:b) n ·b n =a n എന്നത് പിന്തുടരുന്നു (a:b) n എന്നത് ഡിവിഷൻ a n on bn.

ഒരു ഉദാഹരണമായി നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ പ്രോപ്പർട്ടി എഴുതാം: .

ഇനി നമുക്ക് ശബ്ദിക്കാം ഒരു ശക്തിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള സ്വത്ത്: ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും a, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ m, n എന്നിവയ്ക്കും, m-ന്റെ ശക്തി n-ന്റെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്, m·n എന്ന ഘാതം ഉള്ള സംഖ്യയുടെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് (a m) n =a m·n.

ഉദാഹരണത്തിന്, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

പവർ-ടു-ഡിഗ്രി സ്വത്തിന്റെ തെളിവ് ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വ ശൃംഖലയാണ്: .

പരിഗണിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഡിഗ്രി മുതൽ ഡിഗ്രി വരെ വിപുലീകരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, p, q, r, s എന്നീ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യത . കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി, നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

ഡിഗ്രികളെ ഒരു സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണന്റുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതിന്റെ സവിശേഷതകളിൽ ഇത് തുടരുന്നു.

പൂജ്യവും ശക്തിയും പ്രകൃതിദത്തമായ ഘാതം താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിന്റെ ഗുണം തെളിയിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ആദ്യം, ഏതെങ്കിലും a>0 എന്നതിന് ഒരു n >0 എന്ന് തെളിയിക്കാം.

ഗുണനത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. ഈ വസ്തുതയും ഗുണനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളും സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എത്ര പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളെയും ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലവും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും. സ്വാഭാവിക ഘാതം n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, n ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനമാണ്, അവ ഓരോന്നും a ന് തുല്യമാണ്. ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് ബേസിന് a n എന്നത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്ന് ഉറപ്പിക്കാൻ ഈ വാദങ്ങൾ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 ഒപ്പം .

a=0 ഉള്ള ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും n ന്റെ ഡിഗ്രി പൂജ്യമാണെന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്. തീർച്ചയായും, 0 n =0·0·…·0=0 . ഉദാഹരണത്തിന്, 0 3 =0, 0 762 =0.

ഡിഗ്രിയുടെ നെഗറ്റീവ് ബേസുകളിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം.

എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് കേസിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം, അതിനെ 2·m ആയി സൂചിപ്പിക്കാം, ഇവിടെ m എന്നത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. പിന്നെ . നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം അനുസരിച്ച്, a·a ഫോമിന്റെ ഓരോ ഉൽപ്പന്നവും a, a എന്നീ സംഖ്യകളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് ഇത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. അതിനാൽ, ഉൽപ്പന്നവും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും കൂടാതെ ഡിഗ്രി a 2·m. നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ഒപ്പം .

അവസാനമായി, അടിസ്ഥാനം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും ഘാതം ആകുമ്പോൾ ഒറ്റ സംഖ്യ 2 m−1 , പിന്നെ . എല്ലാ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും a·a പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്, ഈ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും പോസിറ്റീവ് ആണ്, ശേഷിക്കുന്ന നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് അതിന്റെ ഗുണനം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ കലാശിക്കുന്നു. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം (−5) 3 17 n n യഥാർത്ഥ അസമത്വങ്ങളുടെ ഇടത് വലത് വശങ്ങളുടെ ഗുണനമാണ് a അസമത്വങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ, a n n രൂപത്തിന്റെ തെളിയിക്കാവുന്ന അസമത്വവും ശരിയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം, അസമത്വങ്ങൾ 3 7 7 ഒപ്പം .

സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളുടെ ലിസ്റ്റുചെയ്ത ഗുണങ്ങളിൽ അവസാനത്തേത് തെളിയിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. നമുക്ക് അത് രൂപപ്പെടുത്താം. സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ളതും ഒരേ പോസിറ്റീവ് ബേസുകളുള്ളതുമായ രണ്ട് ശക്തികളിൽ ഒന്നിൽ താഴെയുള്ള ഘാതം ചെറുതായത് വലുതാണ്; പ്രകൃതിദത്തമായ ഘാതകങ്ങളും സമാന അടിത്തറകളുമുള്ള രണ്ട് ശക്തികളിൽ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ, ഘാതം വലുതായത് വലുതാണ്. നമുക്ക് ഈ വസ്തുവിന്റെ തെളിവിലേക്ക് പോകാം.

m>n, 0m n എന്നിവയ്ക്ക് അത് തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ a m - a n വ്യത്യാസം എഴുതി പൂജ്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു. റെക്കോർഡ് ചെയ്ത വ്യത്യാസം, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് ഒരു n എടുത്തതിന് ശേഷം, a n ·(a m−n−1) ഫോം എടുക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഗുണനമായി നെഗറ്റീവ് ആണ്. >0 കാരണം m>n എന്ന പ്രാരംഭ അവസ്ഥയാണ്, 0m−n ഏകത്വത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കുമ്പോൾ). അതിനാൽ, ഒരു m -a n m n, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്. ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഞങ്ങൾ ശരിയായ അസമത്വം നൽകുന്നു.

വസ്തുവിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം തെളിയിക്കാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. m>n, a>1 a m >a n എന്നിവ ശരിയാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് ഒരു n എടുത്തതിന് ശേഷമുള്ള a m -a n എന്ന വ്യത്യാസം a n ·(a m−n -1) ആയി മാറുന്നു. ഈ ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആണ്, കാരണം a>1-ന് ഡിഗ്രി a n ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ m−n -1 എന്ന വ്യത്യാസം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, കാരണം m−n>0 പ്രാരംഭ അവസ്ഥയും a>1-ന് ഡിഗ്രിയും ഒരു m−n ഒന്നിനെക്കാൾ വലുതാണ്. തൽഫലമായി, ഒരു m -a n >0 ഉം a m >a n ഉം ആണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി അസമത്വം 3 7 >3 2 കൊണ്ട് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളായതിനാൽ, പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും മുൻ ഖണ്ഡികയിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്‌തിരിക്കുന്നതും തെളിയിക്കപ്പെട്ടതുമായ സ്വാഭാവിക ഘാതങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണങ്ങളുമായി കൃത്യമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയും അതുപോലെ പൂജ്യം എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയും ഞങ്ങൾ നിർവചിച്ചു, സമത്വങ്ങളാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്ന സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും സാധുതയുള്ളതായി നിലനിൽക്കും. അതിനാൽ, ഈ ഗുണങ്ങളെല്ലാം പൂജ്യ ഘാതകങ്ങൾക്കും നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾക്കും സാധുതയുള്ളതാണ്, അതേസമയം, തീർച്ചയായും, ശക്തികളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

അതിനാൽ, യഥാർത്ഥവും പൂജ്യമല്ലാത്തതുമായ ഏത് സംഖ്യകൾക്കും a, b, കൂടാതെ m, n എന്നീ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയാണ്: പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ:

a m ·a n = a m+n ;
a m:a n =a m−n ;
(a·b) n =a n ·b n ;
(a:b) n =a n:b n ;
(a m) n = a m·n ;
n ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, a, b എന്നിവ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ a n n ഉം a -n >b -n ;
m ഉം n ഉം പൂർണ്ണസംഖ്യകളും m> n ആണെങ്കിൽ, 0m n നും a> 1 ന് അസമത്വവും a m >a n നിലനിർത്തുന്നു.

a=0 ആകുമ്പോൾ, a m, a n എന്നീ ശക്തികൾക്ക് അർത്ഥമുണ്ടാകുന്നത് m ഉം n ഉം പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാകുമ്പോൾ മാത്രമാണ്, അതായത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ. അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ എഴുതിയ പ്രോപ്പർട്ടികൾ a=0, m, n എന്നീ സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കുമ്പോൾ കേസുകൾക്കും സാധുതയുള്ളതാണ്.

ഈ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഓരോന്നും തെളിയിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സ്വാഭാവിക, പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ നിർവചനങ്ങളും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി. ഒരു ഉദാഹരണമായി, പവർ-ടു-പവർ പ്രോപ്പർട്ടി പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, p പൂജ്യമാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ എന്ന് കാണിക്കേണ്ടതുണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൂടാതെ q എന്നത് പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, തുടർന്ന് തുല്യതകൾ (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (-p)·q, (a p) -q =a p·(−q) ഒപ്പം ( a -p) -q =a (-p)·(−q) . നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം.

പോസിറ്റീവ് p, q എന്നിവയ്‌ക്ക്, സമത്വം (a p) q =a p·q മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. p=0 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് (a 0) q =1 q =1 ഉം a 0·q =a 0 =1 ഉം ഉണ്ട്, എവിടെ നിന്ന് (a 0) q =a 0·q. അതുപോലെ, q=0 ആണെങ്കിൽ, (a p) 0 =1, a p·0 =a 0 =1, എവിടെ നിന്ന് (a p) 0 =a p·0. p=0, q=0 എന്നിവയാണെങ്കിൽ, (a 0) 0 =1 0 =1, a 0·0 =a 0 =1, എവിടെ നിന്ന് (a 0) 0 =a 0·0.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ (a -p) q =a (-p)·q എന്ന് തെളിയിക്കുന്നു. ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ നിർവചനം പ്രകാരം . നമുക്കുള്ള അധികാരങ്ങളിലേക്കുള്ള ക്വോട്ടിയന്റുകളുടെ സ്വത്തനുസരിച്ച് . 1 p =1·1·…·1=1 മുതൽ , പിന്നെ . അവസാന പദപ്രയോഗം, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a −(p·q) ഫോമിന്റെ ശക്തിയാണ്, ഗുണനനിയമങ്ങൾ കാരണം, a (−p)·q എന്ന് എഴുതാം.

അതുപോലെ .

ഒപ്പം .

ഇതേ തത്വം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ബിരുദത്തിന്റെ മറ്റെല്ലാ ഗുണങ്ങളും തുല്യതയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാനാകും.

രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഗുണങ്ങളുടെ അവസാനത്തിൽ, അസമത്വത്തിന്റെ തെളിവിൽ ചിന്തിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, a -n >b -n, ഏത് നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും −n-നും a വ്യവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് a, b എന്നിവയ്ക്കും സാധുവാണ്. . ഇടതുപക്ഷവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നമുക്ക് എഴുതി രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം വലത് ഭാഗങ്ങൾഈ അസമത്വം: . വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം മുതൽ എ n n, അതിനാൽ, b n -a n >0 . a n, b n എന്നീ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനമായി a n · b n എന്ന ഉൽപ്പന്നവും പോസിറ്റീവ് ആണ്. അപ്പോൾ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ b n -a n, a n ·b n എന്നീ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഘടകമായി പോസിറ്റീവ് ആണ്. അതിനാൽ, എവിടെ നിന്ന് a −n >b -n , അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.

പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതകങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ അവസാന സ്വത്ത്, സ്വാഭാവിക ഘാതകങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ സമാനമായ സ്വത്ത് പോലെ തന്നെ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണഗണങ്ങൾ ഒരു ഇന്റിഗർ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയെ ഞങ്ങൾ നിർവചിച്ചു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികൾക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതാങ്കങ്ങളുള്ള പവറുകളുടെ അതേ ഗുണങ്ങളുണ്ട്. അതായത്:

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സ്വത്ത് a>0 എന്നതിനും, എങ്കിൽ പിന്നെ a≥0 എന്നതിനും;
ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ള ഘടക ശക്തികളുടെ സ്വത്ത് a>0 ന്;
ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്കുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സ്വത്ത് a>0, b>0 എന്നിവയ്‌ക്കും, if and, പിന്നെ a≥0, (അല്ലെങ്കിൽ) b≥0 എന്നിവയ്‌ക്കും;
ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്കുള്ള ഒരു ഘടകത്തിന്റെ സ്വത്ത് a>0, b>0 എന്നിവയ്‌ക്ക്, എങ്കിൽ , പിന്നെ a≥0, b>0 എന്നിവയ്‌ക്ക്;
ഡിഗ്രി മുതൽ ഡിഗ്രി വരെയുള്ള സ്വത്ത് a>0 എന്നതിനും, എങ്കിൽ പിന്നെ a≥0 എന്നതിനും;
തുല്യ യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുമായി പവർ താരതമ്യം ചെയ്യാനുള്ള സ്വത്ത്: ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് a, b, a 0 അസമത്വം a p p ശരിയാണ്, p p >b p ന്;
യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുമായും തുല്യ ബേസുകളുമായും ശക്തികളെ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള സ്വത്ത്: യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾക്ക് p, q, p>q 0p q, കൂടാതെ a>0 - അസമത്വം a p >a q.

ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണവിശേഷതകളുടെ തെളിവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ നിർവ്വചനം, nth ഡിഗ്രിയുടെ ഗണിത മൂലത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ, ഒരു പൂർണ്ണ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. നമുക്ക് തെളിവ് നൽകാം.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ നിർവചനം പ്രകാരം, തുടർന്ന് . ഗണിത മൂലത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വങ്ങൾ എഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് , അതിൽ നിന്ന്, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് , കൂടാതെ ലഭിച്ച ബിരുദത്തിന്റെ സൂചകം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: ഇത് തെളിവ് പൂർത്തിയാക്കുന്നു.

ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളുടെ രണ്ടാമത്തെ സ്വത്ത് തികച്ചും സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

ശേഷിക്കുന്ന തുല്യതകൾ സമാനമായ തത്ത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു:

അടുത്ത സ്വത്ത് തെളിയിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് a, b, a എന്നിവ തെളിയിക്കാം 0 അസമത്വം a p p ശരിയാണ്, p p >b p ന്. p എന്നത് m/n എന്ന് എഴുതാം, ഇവിടെ m എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n എന്നത് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമാണ്. ഈ കേസിൽ p 0 വ്യവസ്ഥകൾ യഥാക്രമം m 0 വ്യവസ്ഥകൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കും. m>0, am m എന്നിവയ്‌ക്ക്. ഈ അസമത്വത്തിൽ നിന്ന്, വേരുകളുടെ സ്വത്ത് പ്രകാരം, നമുക്ക് ഉണ്ട്, കൂടാതെ a, b എന്നിവ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളായതിനാൽ, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അസമത്വം, അതായത്, ഒരു p p ആയി വീണ്ടും എഴുതാം.

അതുപോലെ, m m >b m , എവിടെനിന്ന്, അതായത് a p >b p .

ലിസ്റ്റുചെയ്ത പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ അവസാനത്തെ തെളിയിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾക്ക് p, q, 0p q-ന് p>q, a>0 - അസമത്വം a p >a q എന്നിവ തെളിയിക്കാം. സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളും , m 1 ഉം m 2 ഉം പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിലും n എന്നത് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിലും, നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും p, q എന്നിവ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, p>q വ്യവസ്ഥ m 1 >m 2 എന്ന അവസ്ഥയുമായി പൊരുത്തപ്പെടും, ഇത് താരതമ്യ നിയമത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾകൂടെ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ. തുടർന്ന്, 0m 1 m 2 നും, a> 1 നും, അസമത്വം a m 1 >a m 2 നും, അതേ ബേസുകളുമായും പ്രകൃതിദത്ത ഘാതങ്ങളുമായും താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്ന സ്വഭാവം. വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങളിലുള്ള ഈ അസമത്വങ്ങൾ അതിനനുസരിച്ച് മാറ്റിയെഴുതാം ഒപ്പം . ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദത്തിന്റെ നിർവചനം അസമത്വങ്ങളിലേക്കും അതിനനുസരിച്ച് നീങ്ങാനും നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അന്തിമ നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു: p>q, 0p q എന്നിവയ്‌ക്ക്, a>0-ന് - അസമത്വം a p>a q .

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രീതിയിൽ നിന്ന്, അതിന് യുക്തിസഹമായ ഘാതകങ്ങളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. അതിനാൽ ഏതെങ്കിലും a>0, b>0, p, q എന്നീ അകാരണ സംഖ്യകൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയാണ് യുക്തിരഹിതമായ ഘാതങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ സവിശേഷതകൾ:

a p ·a q = a p+q ;
a p:a q =a p−q ;
(എ · ബി) പി = എ പി · ബി പി ;
(എ: ബി) പി = എ പി: ബി പി ;
(a p) q =a p·q ;
ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് a, b, a 0 അസമത്വം a p p ശരിയാണ്, p p >b p ന്;
യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾക്ക് p, q, 0p q-ന് p>q, a>0 - അസമത്വം a p >a q.

ഇതിൽ നിന്ന്, a>0 എന്നതിനുള്ള p, q എന്നീ യഥാർത്ഥ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികൾക്ക് ഒരേ ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം.

ബീജഗണിതം - പത്താം ക്ലാസ്. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠവും അവതരണവും: "ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു" അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും അവലോകനങ്ങളും നിർദ്ദേശങ്ങളും നൽകാൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും […]
"വിൽപ്പനക്കാരൻ - കൺസൾട്ടന്റ്" സ്ഥാനത്തിനായി ഒരു മത്സരം തുറന്നിരിക്കുന്നു: ഉത്തരവാദിത്തങ്ങൾ: വിൽപ്പന മൊബൈൽ ഫോണുകൾകൂടാതെ Beeline, Tele2, MTS വരിക്കാരുടെ താരിഫ് പ്ലാനുകളുടെയും സേവനങ്ങളുടെയും കണക്ഷൻ, Beeline, Tele2, MTS കൺസൾട്ടിംഗ് എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള മൊബൈൽ ആശയവിനിമയ സേവനത്തിനുള്ള ആക്സസറികൾ […]
സമാന്തരപൈഡ് ഫോർമുല 6 മുഖങ്ങളുള്ള ഒരു പോളിഹെഡ്രോണാണ് സമാന്തരപൈപ്പ്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു സമാന്തരരേഖയാണ്. ഒരു ക്യൂബോയിഡ് ഒരു സമാന്തര പൈപ്പ് ആണ്, അതിന്റെ ഓരോ മുഖവും ഒരു ദീർഘചതുരമാണ്. ഏത് സമാന്തരപൈപ്പിനെയും 3 സവിശേഷതകളാണ് […]
പ്രഭാഷണത്തിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളിൽ N, NN എന്നീ അക്ഷരവിന്യാസം എസ്.ജി. സെലിൻസ്‌കായ ഡിഡാക്‌റ്റിക് മെറ്റീരിയൽ സൈദ്ധാന്തിക വ്യായാമം 1. nn എന്നത് നാമവിശേഷണങ്ങളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നത് എപ്പോഴാണ്? 2. ഈ നിയമങ്ങളുടെ ഒഴിവാക്കലുകൾക്ക് പേര് നൽകുക. 3. വാക്കാലുള്ള നാമവിശേഷണത്തെ -n- എന്ന പ്രത്യയത്തിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വേർതിരിക്കാം
BRYANSK മേഖലയിലെ GOSTEKHNADZOR ന്റെ പരിശോധന സ്റ്റേറ്റ് ഡ്യൂട്ടി അടയ്ക്കുന്നതിനുള്ള രസീത് (ഡൗൺലോഡ്-12.2 kb) വ്യക്തികൾക്കുള്ള രജിസ്ട്രേഷനായുള്ള അപേക്ഷകൾ (ഡൗൺലോഡ്-12 kb) നിയമപരമായ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള രജിസ്ട്രേഷനായുള്ള അപേക്ഷകൾ (ഡൗൺലോഡ്-11.4 kb) ഒരു പുതിയ കാർ രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുമ്പോൾ. 1.അപേക്ഷ 2.പാസ്പോർട്ട് […]
സൊസൈറ്റി ഫോർ ദി പ്രൊട്ടക്ഷൻ ഓഫ് കൺസ്യൂമർ റൈറ്റ്‌സ് അസ്താന ഞങ്ങളുടെ വെബ്‌സൈറ്റിൽ ഈ ഡോക്യുമെന്റ് ആക്‌സസ് ചെയ്യുന്നതിനായി ഒരു പിൻ കോഡ് ലഭിക്കുന്നതിന്, GSM ഓപ്പറേറ്റർമാരുടെ (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) നമ്പർ സബ്‌സ്‌ക്രൈബർമാർക്ക് Zan എന്ന ടെക്‌സ്‌റ്റ് സഹിതം ഒരു SMS സന്ദേശം അയയ്‌ക്കുക നമ്പറിലേക്ക് ഒരു SMS അയയ്ക്കുന്നു, […]
ഫാമിലി എസ്റ്റേറ്റുകളിൽ ഒരു നിയമം സ്വീകരിക്കുക ആഗ്രഹിക്കുന്ന ഓരോ പൗരനും സൗജന്യ വിഹിതം സംബന്ധിച്ച് ഒരു ഫെഡറൽ നിയമം സ്വീകരിക്കുക റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻഅല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ വികസനത്തിനായി ഒരു പ്ലോട്ടിന്റെ പൗരന്മാരുടെ കുടുംബം ഫാമിലി എസ്റ്റേറ്റ്ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ: 1. പ്ലോട്ട് അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നത് […]
പിവോവ് വി.എം. ശാസ്ത്രത്തിന്റെ തത്വശാസ്ത്രവും രീതിശാസ്ത്രവും: ട്യൂട്ടോറിയൽമാസ്റ്റർമാർക്കും ബിരുദ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും വേണ്ടി Petrozavodsk: PetrSU പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ്, 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb ഈ പാഠപുസ്തകം മുതിർന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾ, മാസ്റ്റർമാർ, ബിരുദ വിദ്യാർത്ഥികൾ എന്നിവരെ ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണ്, […]

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ബിരുദം എന്ന ആശയം ബീജഗണിത ക്ലാസിലെ ഏഴാം ക്ലാസിൽ അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. തുടർന്ന്, ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനത്തിന്റെ മുഴുവൻ കോഴ്സിലുടനീളം, ഈ ആശയം അതിന്റെ വിവിധ രൂപങ്ങളിൽ സജീവമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഡിഗ്രികൾ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയമാണ്, മൂല്യങ്ങളുടെ ഓർമ്മപ്പെടുത്തലും കൃത്യമായും വേഗത്തിലും എണ്ണാനുള്ള കഴിവും ആവശ്യമാണ്. വേഗത്തിലും മികച്ചതിലും ഡിഗ്രികളുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ കൊണ്ടുവന്നു. വലിയ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും അവ സഹായിക്കുന്നു വലിയ ഉദാഹരണംഒരു പരിധി വരെ ഒരു സംഖ്യയിലേക്ക്. വളരെയധികം ഗുണങ്ങളൊന്നുമില്ല, അവയെല്ലാം ഓർമ്മിക്കാനും പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കാനും എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, ബിരുദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചും അവ പ്രയോഗിക്കുന്ന സ്ഥലങ്ങളെക്കുറിച്ചും ലേഖനം ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.

ബിരുദത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ

ഒരേ ബേസുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉൾപ്പെടെ, ഡിഗ്രികളുടെ 12 പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഞങ്ങൾ നോക്കും, കൂടാതെ ഓരോ പ്രോപ്പർട്ടിക്കും ഒരു ഉദാഹരണം നൽകും. ഈ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഓരോന്നും ഡിഗ്രികളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും, കൂടാതെ നിരവധി കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പിശകുകളിൽ നിന്ന് നിങ്ങളെ രക്ഷിക്കുകയും ചെയ്യും.

ഒന്നാം പ്രോപ്പർട്ടി.

പലരും പലപ്പോഴും ഈ പ്രോപ്പർട്ടിയെക്കുറിച്ച് മറക്കുകയും തെറ്റുകൾ വരുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു, പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ സ്വത്ത്.

മൂന്നാം സ്വത്ത്.

സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കാനാകൂ എന്നത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്; ഇത് ഒരു തുക ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കില്ല! ഇതും ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളും ഒരേ അടിത്തറയുള്ള അധികാരങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ ബാധകമാകൂ എന്ന് നാം മറക്കരുത്.

നാലാമത്തെ സ്വത്ത്.

ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ഒരു സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ, കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ചിഹ്നം ശരിയായി മാറ്റുന്നതിന് ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ഡിഗ്രി പരാൻതീസിസിൽ എടുക്കുന്നു.

വിഭജിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രവർത്തിക്കൂ, കുറയ്ക്കുമ്പോൾ അത് ബാധകമല്ല!

അഞ്ചാമത്തെ സ്വത്ത്.

ആറാമത്തെ സ്വത്ത്.

ഈ പ്രോപ്പർട്ടിയിലും പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ് മറു പുറം. ഒരു യൂണിറ്റ് ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ആ സംഖ്യ മൈനസ് പവറാണ്.

ഏഴാമത്തെ സ്വത്ത്.

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി തുകയ്ക്കും വ്യത്യാസത്തിനും ബാധകമല്ല! ഒരു പവറിലേക്ക് ഒരു തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം ഉയർത്തുന്നത് പവർ പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്നതിനേക്കാൾ ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എട്ടാമത്തെ സ്വത്ത്.

9-ാമത്തെ സ്വത്ത്.

ഒന്നിന് തുല്യമായ ന്യൂമറേറ്ററുള്ള ഏത് ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിനും ഈ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, ഫോർമുല ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കും, പവറിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ആശ്രയിച്ച് റൂട്ടിന്റെ ശക്തി മാത്രം മാറും.

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി പലപ്പോഴും വിപരീതമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ ഏതെങ്കിലും ശക്തിയുടെ മൂലത്തെ ഈ സംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഒന്നിന്റെ ശക്തിയെ റൂട്ടിന്റെ ശക്തി കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ. ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയാത്ത സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

പത്താമത്തെ സ്വത്ത്.

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രവർത്തിക്കുന്നത് മാത്രമല്ല സ്ക്വയർ റൂട്ട്രണ്ടാം ബിരുദവും. റൂട്ടിന്റെ അളവും ഈ റൂട്ട് ഉയർത്തിയ അളവും ഒത്തുവന്നാൽ, ഉത്തരം ഒരു സമൂലമായ പദപ്രയോഗമായിരിക്കും.

11-ാമത്തെ സ്വത്ത്.

വലിയ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ നിന്ന് സ്വയം രക്ഷിക്കാൻ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കൃത്യസമയത്ത് കാണാൻ കഴിയേണ്ടതുണ്ട്.

12-ാമത്തെ സ്വത്ത്.

ഈ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഓരോന്നും ടാസ്‌ക്കുകളിൽ ഒന്നിലധികം തവണ നിങ്ങളെ കാണും; ഇത് അതിന്റെ ശുദ്ധമായ രൂപത്തിൽ നൽകാം, അല്ലെങ്കിൽ ഇതിന് ചില പരിവർത്തനങ്ങളും മറ്റ് ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗവും ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം. അതുകൊണ്ട് വേണ്ടി ശരിയായ തീരുമാനംപ്രോപ്പർട്ടികൾ മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ പോരാ; നിങ്ങൾ മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്ര പരിജ്ഞാനം പരിശീലിക്കുകയും ഉൾപ്പെടുത്തുകയും വേണം.

ഡിഗ്രികളുടെ പ്രയോഗവും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും

ബീജഗണിതത്തിലും ജ്യാമിതിയിലും അവ സജീവമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ബിരുദങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക, പ്രധാനപ്പെട്ട സ്ഥാനമുണ്ട്. അവരുടെ സഹായത്തോടെ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മറ്റ് ശാഖകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും പലപ്പോഴും ശക്തികളാൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്. വലുതും ദൈർഘ്യമേറിയതുമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ശക്തികൾ സഹായിക്കുന്നു; പവറുകൾ ചുരുക്കാനും കണക്കാക്കാനും എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ കൂടെ പ്രവർത്തിക്കാൻ വലിയ ഡിഗ്രികളാൽ, അല്ലെങ്കിൽ ഡിഗ്രികൾക്കൊപ്പം വലിയ സംഖ്യകൾ, നിങ്ങൾ ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ മാത്രമല്ല, അടിസ്ഥാനങ്ങളുമായി സമർത്ഥമായി പ്രവർത്തിക്കുകയും നിങ്ങളുടെ ചുമതല എളുപ്പമാക്കുന്നതിന് അവയെ വിഘടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. സൗകര്യത്തിനായി, ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ സംഖ്യകളുടെ അർത്ഥവും നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. ഇത് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങളുടെ സമയം കുറയ്ക്കും, ദൈർഘ്യമേറിയ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ആവശ്യകത ഇല്ലാതാക്കും.

ലോഗരിതത്തിൽ ബിരുദം എന്ന ആശയം ഒരു പ്രത്യേക പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ലോഗരിതം, സാരാംശത്തിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയായതിനാൽ.

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ശക്തികളുടെ ഉപയോഗത്തിന്റെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണമാണ്. ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ അവയിൽ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല; അവ പ്രത്യേക നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി വിപുലീകരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിന്റെ ഓരോ സൂത്രവാക്യത്തിലും സ്ഥിരമായി ഡിഗ്രികൾ ഉണ്ട്.

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലും ഡിഗ്രികൾ സജീവമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. SI സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും അധികാരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഭാവിയിൽ, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ശക്തിയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൽ, സംഖ്യകളുടെ ധാരണയെ എണ്ണുന്നതിനും ലളിതമാക്കുന്നതിനുമുള്ള സൗകര്യത്തിനായി രണ്ടിന്റെ ശക്തികൾ സജീവമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അളവുകളുടെ യൂണിറ്റുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പ്രശ്നങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ, ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെന്നപോലെ, ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സംഭവിക്കുന്നത്.

ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലും ഡിഗ്രികൾ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, അവിടെ നിങ്ങൾ ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണങ്ങളുടെ ഉപയോഗം വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണുന്നുള്ളൂ, എന്നാൽ വിവിധ അളവുകളുടെയും ദൂരങ്ങളുടെയും നൊട്ടേഷൻ ചുരുക്കാൻ ഡിഗ്രികൾ തന്നെ സജീവമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഡിഗ്രികളും ഉപയോഗിക്കുന്നു സാധാരണ ജീവിതം, പ്രദേശങ്ങൾ, വോള്യങ്ങൾ, ദൂരങ്ങൾ എന്നിവ കണക്കാക്കുമ്പോൾ.

ഏത് ശാസ്ത്രമേഖലയിലും വളരെ വലുതും വളരെ ചെറുതുമായ അളവുകൾ രേഖപ്പെടുത്താൻ ഡിഗ്രികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ഡിഗ്രികളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഒരു പ്രത്യേക സ്ഥാനം കൃത്യമായി ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾഅസമത്വങ്ങളും. സ്കൂൾ കോഴ്സുകളിലും പരീക്ഷകളിലും ഈ ജോലികൾ വളരെ സാധാരണമാണ്. ബിരുദത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ പ്രയോഗിച്ച് അവയെല്ലാം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. അജ്ഞാതമായത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഡിഗ്രിയിൽ തന്നെ കാണപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും അറിയുന്നത്, അത്തരമൊരു സമവാക്യമോ അസമത്വമോ പരിഹരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

ആദ്യ നില

ബിരുദവും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളും. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

എന്തുകൊണ്ടാണ് ബിരുദങ്ങൾ ആവശ്യമായി വരുന്നത്? നിങ്ങൾക്ക് അവ എവിടെയാണ് വേണ്ടത്? അവ പഠിക്കാൻ നിങ്ങൾ എന്തിന് സമയമെടുക്കണം?

ബിരുദങ്ങൾ, അവ എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്, നിങ്ങളുടെ അറിവ് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കണം എന്നതിനെ കുറിച്ച് എല്ലാം പഠിക്കാൻ ദൈനംദിന ജീവിതംഈ ലേഖനം വായിക്കുക.

കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, ഡിഗ്രികളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് നിങ്ങളെ കൂടുതൽ അടുപ്പിക്കും വിജയകരമായ പൂർത്തീകരണം OGE അല്ലെങ്കിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയും നിങ്ങളുടെ സ്വപ്നങ്ങളുടെ സർവകലാശാലയിലേക്കുള്ള പ്രവേശനവും.

നമുക്ക് പോകാം... (നമുക്ക് പോകാം!)

പ്രധാന കുറിപ്പ്! ഫോർമുലകൾക്ക് പകരം gobbledygook കാണുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ കാഷെ മായ്‌ക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, CTRL+F5 (Windows-ൽ) അല്ലെങ്കിൽ Cmd+R (Mac-ൽ) അമർത്തുക.

ഫസ്റ്റ് ലെവൽ

സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം അല്ലെങ്കിൽ ഹരിക്കൽ എന്നിവ പോലെയുള്ള ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ.

ഇപ്പോൾ ഞാൻ എല്ലാം വിശദീകരിക്കും മനുഷ്യ ഭാഷവളരെ ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക. ഉദാഹരണങ്ങൾ പ്രാഥമികമാണ്, എന്നാൽ പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യങ്ങൾ വിശദീകരിക്കുക.

കൂട്ടിച്ചേർക്കലോടെ തുടങ്ങാം.

ഇവിടെ വിശദീകരിക്കാൻ ഒന്നുമില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം എല്ലാം അറിയാം: ഞങ്ങൾ എട്ട് പേരുണ്ട്. എല്ലാവരുടെയും കയ്യിൽ രണ്ടു കുപ്പി കോള. എത്ര കോളയുണ്ട്? അത് ശരിയാണ് - 16 കുപ്പികൾ.

ഇപ്പോൾ ഗുണനം.

കോളയുടെ അതേ ഉദാഹരണം വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം: . ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ തന്ത്രശാലികളും മടിയന്മാരുമാണ്. അവർ ആദ്യം ചില പാറ്റേണുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവയെ വേഗത്തിൽ "എണ്ണാൻ" ഒരു വഴി കണ്ടെത്തുക. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, എട്ടുപേരിൽ ഓരോരുത്തർക്കും ഒരേ എണ്ണം കോള കുപ്പികൾ ഉണ്ടെന്ന് അവർ ശ്രദ്ധിച്ചു, ഗുണനം എന്ന സാങ്കേതികത കണ്ടുപിടിച്ചു. സമ്മതിക്കുക, ഇത് എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

അതിനാൽ, വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും പിശകുകളില്ലാതെയും എണ്ണാൻ, നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഗുണന പട്ടിക. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം സാവധാനത്തിലും കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും തെറ്റുകളോടെയും ചെയ്യാൻ കഴിയും! പക്ഷേ…

ഗുണന പട്ടിക ഇതാ. ആവർത്തിച്ച്.

മറ്റൊന്ന്, കൂടുതൽ മനോഹരമായ ഒന്ന്:

മടിയന്മാരായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ മറ്റ് ഏത് സമർത്ഥമായ കൗണ്ടിംഗ് തന്ത്രങ്ങളാണ് കൊണ്ടുവന്നത്? വലത് - ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു.

ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ അഞ്ച് തവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, ആ സംഖ്യയെ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണമെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, . ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഓർക്കുന്നത് രണ്ട് മുതൽ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തി... അവർ അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ അവരുടെ തലയിൽ പരിഹരിക്കുന്നു - വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും തെറ്റുകളില്ലാതെയും.

നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് ഇത്രമാത്രം സംഖ്യകളുടെ ശക്തികളുടെ പട്ടികയിൽ നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത് ഓർക്കുക. എന്നെ വിശ്വസിക്കൂ, ഇത് നിങ്ങളുടെ ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കും.

വഴിയിൽ, എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇതിനെ രണ്ടാം ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കുന്നത്? സമചതുരം Samachathuramഅക്കങ്ങൾ, മൂന്നാമത്തേത് - ക്യൂബ്? എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? വളരെ നല്ല ചോദ്യം. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് സമചതുരവും സമചതുരവും ഉണ്ടായിരിക്കും.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #1

സംഖ്യയുടെ ചതുരം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ ശക്തി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഒരു മീറ്ററിൽ ഒരു മീറ്ററിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കുളം സങ്കൽപ്പിക്കുക. കുളം നിങ്ങളുടെ ഡാച്ചയിലാണ്. നല്ല ചൂടാണ്, എനിക്ക് നീന്താൻ ആഗ്രഹമുണ്ട്. പക്ഷേ... കുളത്തിന് അടിയില്ല! നിങ്ങൾ കുളത്തിന്റെ അടിഭാഗം ടൈലുകൾ കൊണ്ട് മൂടണം. നിങ്ങൾക്ക് എത്ര ടൈലുകൾ വേണം? ഇത് നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ കുളത്തിന്റെ അടിഭാഗം അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

കുളത്തിന്റെ അടിയിൽ മീറ്റർ ക്യൂബുകൾ ഉണ്ടെന്ന് വിരൽ ചൂണ്ടി നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം. ഒരു മീറ്ററിന് ഒരു മീറ്റർ ടൈലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കഷണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. ഇത് എളുപ്പമാണ് ... എന്നാൽ അത്തരം ടൈലുകൾ നിങ്ങൾ എവിടെയാണ് കണ്ടത്? ടൈൽ മിക്കവാറും സെന്റീമീറ്റർ ആയിരിക്കും. തുടർന്ന് "നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണി" നിങ്ങളെ പീഡിപ്പിക്കും. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വർദ്ധിപ്പിക്കണം. അതിനാൽ, കുളത്തിന്റെ അടിഭാഗത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് ഞങ്ങൾ ടൈലുകളും (കഷണങ്ങൾ) മറുവശത്തും ടൈലുകളും ഘടിപ്പിക്കും. ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് ടൈലുകൾ ലഭിക്കും ().

പൂൾ അടിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരേ സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചതായി നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ? എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? നമ്മൾ ഒരേ സംഖ്യയെ ഗുണിക്കുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ" ടെക്‌നിക് ഉപയോഗിക്കാം. (തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകൾ മാത്രമുള്ളപ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയെ ഗുണിക്കുകയോ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയോ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് അവയിൽ ധാരാളം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, കൂടാതെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിശകുകളും കുറവാണ്. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക്, ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്).
അതിനാൽ, മുപ്പത് മുതൽ രണ്ടാമത്തെ ശക്തി വരെ () ആയിരിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ മുപ്പത് സ്ക്വയർ ആകുമെന്ന് പറയാം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയെ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ചതുരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. തിരിച്ചും, നിങ്ങൾ ഒരു ചതുരം കാണുകയാണെങ്കിൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയാണ്. ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയുടെ ചിത്രമാണ് ചതുരം.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #2

നിങ്ങൾക്കായി ഇതാ ഒരു ടാസ്‌ക്: സംഖ്യയുടെ ചതുരം ഉപയോഗിച്ച് ചെസ്സ്ബോർഡിൽ എത്ര ചതുരങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് എണ്ണുക... സെല്ലുകളുടെ ഒരു വശത്തും മറുവശത്തും. അവയുടെ സംഖ്യ കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ എട്ടിനെ എട്ടായി ഗുണിക്കണം അല്ലെങ്കിൽ... ഒരു ചെസ്സ്ബോർഡ് ഒരു വശമുള്ള ഒരു ചതുരമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് എട്ട് വർഗ്ഗീകരിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് സെല്ലുകൾ ലഭിക്കും. () അപ്പോൾ?

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #3

ഇപ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തെ ശക്തി. അതേ കുളം. എന്നാൽ ഈ കുളത്തിലേക്ക് എത്ര വെള്ളം ഒഴിക്കണമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾ വോളിയം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. (വോളിയങ്ങളും ദ്രാവകങ്ങളും, വഴിയിൽ, അളക്കുന്നത് ക്യുബിക് മീറ്റർ. അപ്രതീക്ഷിതമായി, ശരിയല്ലേ?) ഒരു കുളം വരയ്ക്കുക: ഒരു മീറ്ററും ഒരു മീറ്ററിന്റെ ആഴവും അളക്കുന്ന അടിഭാഗം, ഒരു മീറ്ററിന് ഒരു മീറ്റർ അളക്കുന്ന എത്ര ക്യൂബുകൾ നിങ്ങളുടെ പൂളിൽ ചേരുമെന്ന് എണ്ണാൻ ശ്രമിക്കുക.

വിരൽ ചൂണ്ടി എണ്ണുക! ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്, നാല്...ഇരുപത്തിരണ്ട്, ഇരുപത്തിമൂന്ന്...എത്ര കിട്ടി? നഷ്ടപ്പെട്ടില്ലേ? നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണോ? അതിനാൽ! ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ നിന്ന് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കുക. അവർ മടിയന്മാരാണ്, അതിനാൽ കുളത്തിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ അതിന്റെ നീളവും വീതിയും ഉയരവും പരസ്പരം ഗുണിക്കണമെന്ന് അവർ ശ്രദ്ധിച്ചു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, കുളത്തിന്റെ അളവ് ക്യൂബുകൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കും ... എളുപ്പം, അല്ലേ?

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇതും ലളിതമാക്കിയാൽ എത്ര മടിയന്മാരും കൗശലക്കാരുമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ സങ്കൽപ്പിക്കുക. ഞങ്ങൾ എല്ലാം ഒരു പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി. നീളവും വീതിയും ഉയരവും തുല്യമാണെന്നും അതേ സംഖ്യയെ തന്നെ ഗുണിച്ചാൽ മതിയെന്നും അവർ ശ്രദ്ധിച്ചു... എന്താണ് ഇതിന്റെ അർത്ഥം? ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾക്ക് ബിരുദം പ്രയോജനപ്പെടുത്താം എന്നാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഒരിക്കൽ നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണിയത്, അവർ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൽ ചെയ്യുന്നു: മൂന്ന് ക്യൂബുകൾ തുല്യമാണ്. ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: .

അവശേഷിക്കുന്നത് അത്രമാത്രം ഡിഗ്രികളുടെ പട്ടിക ഓർക്കുക. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെപ്പോലെ മടിയനും തന്ത്രശാലിയുമാണ്. കഠിനാധ്വാനം ചെയ്യാനും തെറ്റുകൾ വരുത്താനും നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുന്നത് തുടരാം.

ശരി, ബിരുദങ്ങൾ കണ്ടുപിടിച്ചത് ഉപേക്ഷിക്കുന്നവരും തന്ത്രശാലികളുമായ ആളുകളാണെന്ന് ഒടുവിൽ നിങ്ങളെ ബോധ്യപ്പെടുത്താൻ ജീവിത പ്രശ്നങ്ങൾ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്‌നങ്ങൾ സൃഷ്‌ടിക്കാനല്ല, ജീവിതത്തിൽ നിന്നുള്ള കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി ഇതാ.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #4

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദശലക്ഷം റൂബിൾസ് ഉണ്ട്. ഓരോ വർഷത്തിന്റെയും തുടക്കത്തിൽ, നിങ്ങൾ സമ്പാദിക്കുന്ന ഓരോ ദശലക്ഷത്തിനും, നിങ്ങൾ മറ്റൊരു ദശലക്ഷം ഉണ്ടാക്കുന്നു. അതായത്, ഓരോ ദശലക്ഷത്തിനും ഓരോ വർഷത്തിന്റെയും തുടക്കത്തിൽ ഇരട്ടി വരും. വർഷങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര പണം ഉണ്ടാകും? നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഇരുന്നു, "നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുന്നു" എങ്കിൽ, നിങ്ങൾ വളരെ കഠിനാധ്വാനികളും ... വിഡ്ഢിയുമാണ്. എന്നാൽ മിക്കവാറും നിങ്ങൾ കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ ഉത്തരം നൽകും, കാരണം നിങ്ങൾ മിടുക്കനാണ്! അങ്ങനെ, ആദ്യ വർഷം - രണ്ടെണ്ണം രണ്ടായി ഗുണിച്ചു... രണ്ടാം വർഷം - സംഭവിച്ചത്, രണ്ടെണ്ണം കൂടി, മൂന്നാം വർഷത്തിൽ... നിർത്തുക! ഈ സംഖ്യയെ പലതവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചു. അതിനാൽ രണ്ട് മുതൽ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തി ഒരു ദശലക്ഷം ആണ്! ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മത്സരം ഉണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക, ഏറ്റവും വേഗത്തിൽ എണ്ണാൻ കഴിയുന്നയാൾക്ക് ഈ ദശലക്ഷക്കണക്കിന് ലഭിക്കും ... സംഖ്യകളുടെ ശക്തികൾ ഓർക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, അല്ലേ?

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #5

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദശലക്ഷം ഉണ്ട്. ഓരോ വർഷത്തിന്റെയും തുടക്കത്തിൽ, നിങ്ങൾ സമ്പാദിക്കുന്ന ഓരോ ദശലക്ഷത്തിനും, നിങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം കൂടി സമ്പാദിക്കുന്നു. ഗംഭീരം അല്ലേ? ഓരോ ദശലക്ഷവും മൂന്നിരട്ടിയാണ്. ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര പണം ലഭിക്കും? നമുക്ക് എണ്ണാം. ആദ്യ വർഷം - കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, തുടർന്ന് ഫലം മറ്റൊന്ന് കൊണ്ട്... ഇത് ഇതിനകം വിരസമാണ്, കാരണം നിങ്ങൾ ഇതിനകം എല്ലാം മനസ്സിലാക്കി: മൂന്ന് സ്വയം തവണ ഗുണിക്കുന്നു. അതിനാൽ നാലാമത്തെ ശക്തിക്ക് ഇത് ഒരു ദശലക്ഷത്തിന് തുല്യമാണ്. മൂന്ന് മുതൽ നാലാമത്തെ ശക്തി അല്ലെങ്കിൽ എന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കണം.

ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിലൂടെ നിങ്ങളുടെ ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കുമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഡിഗ്രികൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്തുചെയ്യാനാകുമെന്നും അവയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതെന്താണെന്നും നമുക്ക് കൂടുതൽ നോക്കാം.

നിബന്ധനകളും ആശയങ്ങളും... ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ

അതിനാൽ, ആദ്യം നമുക്ക് ആശയങ്ങൾ നിർവചിക്കാം. നീ എന്ത് ചിന്തിക്കുന്നു, എന്താണ് ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റ്? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് - ഇത് സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ "മുകളിൽ" ഉള്ള സംഖ്യയാണ്. ശാസ്ത്രീയമല്ല, വ്യക്തവും ഓർമിക്കാൻ എളുപ്പവുമാണ്...

ശരി, അതേ സമയം, എന്താണ് അത്തരമൊരു ബിരുദ അടിസ്ഥാനം? ഇതിലും ലളിതമാണ് - ഇത് ചുവടെ, അടിത്തറയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന സംഖ്യയാണ്.

നല്ല അളവിനുള്ള ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഇതാ.

നന്നായി പൊതുവായ കാഴ്ച, സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നതിനും നന്നായി ഓർമ്മിക്കുന്നതിനും വേണ്ടി... ഒരു ബേസ് "" ഉം ഒരു ഘാതം "" ഉം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം "ഡിഗ്രി" എന്ന് വായിക്കുകയും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:

സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി

നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഊഹിച്ചിരിക്കാം: കാരണം ഘാതം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. അതെ, പക്ഷേ അതെന്താണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ? പ്രാഥമികം! ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ എണ്ണുന്നതിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ: ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്... നമ്മൾ ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ എണ്ണുമ്പോൾ, “മൈനസ് അഞ്ച്,” “മൈനസ് ആറ്,” “മൈനസ് ഏഴ്” എന്ന് പറയില്ല. ഞങ്ങൾ പറയുന്നില്ല: "മൂന്നിലൊന്ന്", അല്ലെങ്കിൽ "സീറോ പോയിന്റ് അഞ്ച്". ഇവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളല്ല. ഇവ ഏതൊക്കെ നമ്പറുകളാണെന്നാണ് നിങ്ങൾ കരുതുന്നത്?

"മൈനസ് അഞ്ച്", "മൈനസ് ആറ്", "മൈനസ് ഏഴ്" തുടങ്ങിയ സംഖ്യകൾ പരാമർശിക്കുന്നു മുഴുവൻ സംഖ്യകൾ.പൊതുവേ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് വിപരീതമായ സംഖ്യകളും (അതായത്, ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്തത്), സംഖ്യയും ഉൾപ്പെടുന്നു. പൂജ്യം മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ് - അത് ഒന്നുമില്ലാത്ത സമയത്താണ്. നെഗറ്റീവ് ("മൈനസ്") സംഖ്യകൾ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? എന്നാൽ കടങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നതിനാണ് അവ പ്രധാനമായും കണ്ടുപിടിച്ചത്: നിങ്ങളുടെ ഫോണിൽ റൂബിളിൽ ബാലൻസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഓപ്പറേറ്റർ റൂബിളിന് കടപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളാണ്. അവ എങ്ങനെയാണ് ഉണ്ടായത്, നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? വളരെ ലളിതം. ആയിരക്കണക്കിന് വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്, നീളം, ഭാരം, വിസ്തീർണ്ണം മുതലായവ അളക്കാൻ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ഇല്ലെന്ന് നമ്മുടെ പൂർവ്വികർ കണ്ടെത്തി. അവർ കൂടെ വന്നു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ... രസകരമാണ്, അല്ലേ?

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുമുണ്ട്. ഈ സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? ചുരുക്കത്തിൽ, അനന്തമായി ദശാംശം. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് അതിന്റെ വ്യാസം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ ലഭിക്കും.

സംഗ്രഹം:

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ (അതായത്, പൂർണ്ണസംഖ്യയും പോസിറ്റീവും) ആയ ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ആശയം നമുക്ക് നിർവചിക്കാം.

ആദ്യ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന് തുല്യമാണ്:
ഒരു സംഖ്യയെ വർഗ്ഗീകരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അതിനെ സ്വയം ഗുണിക്കുക എന്നാണ്:
ഒരു സംഖ്യയെ ക്യൂബ് ചെയ്യുക എന്നതിനർത്ഥം അതിനെ മൂന്ന് തവണ ഗുണിക്കുക എന്നാണ്.

നിർവ്വചനം.ഒരു സംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക എന്നതിനർത്ഥം ആ സംഖ്യയെ അതിന്റെ തവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നാണ്.
.

ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഈ സ്വത്തുക്കൾ എവിടെ നിന്ന് വന്നു? ഞാൻ ഇപ്പോൾ കാണിച്ചുതരാം.

നമുക്ക് നോക്കാം: അതെന്താണ് ഒപ്പം ?

എ-പ്രിയറി:

ആകെ എത്ര ഗുണിതങ്ങൾ ഉണ്ട്?

ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഗുണിതങ്ങൾ ചേർത്തു, ഫലം മൾട്ടിപ്ലയറുകളാണ്.

എന്നാൽ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്, അതായത്: , അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.

ഉദാഹരണം: പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം:

ഉദാഹരണം:പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം:നമ്മുടെ ഭരണത്തിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് നിർബന്ധമായുംഒരേ കാരണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം!
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശക്തികളെ അടിത്തറയുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഇത് ഒരു പ്രത്യേക ഘടകമായി തുടരുന്നു:

അധികാരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് മാത്രം!

ഒരു സാഹചര്യത്തിലും നിങ്ങൾക്ക് അത് എഴുതാൻ കഴിയില്ല.

2. അത്രമാത്രം ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി

മുമ്പത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി പോലെ, നമുക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം:

പദപ്രയോഗം പലതവണ ഗുണിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, അതായത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇതാണ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി:

സാരാംശത്തിൽ, ഇതിനെ "ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് ഇൻഡിക്കേറ്റർ എടുക്കൽ" എന്ന് വിളിക്കാം. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് മൊത്തത്തിൽ ഒരിക്കലും ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല:

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം: എത്ര തവണ എഴുതാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിച്ചു?

എന്നാൽ ഇത് ശരിയല്ല, എല്ലാത്തിനുമുപരി.

നെഗറ്റീവ് അടിത്തറയുള്ള പവർ

ഈ ഘട്ടം വരെ, എക്സ്പോണന്റ് എന്തായിരിക്കണം എന്ന് മാത്രമേ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുള്ളൂ.

എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം എന്തായിരിക്കണം?

യുടെ അധികാരങ്ങളിൽ സ്വാഭാവിക സൂചകംഅടിസ്ഥാനം ആയിരിക്കാം ഏതെങ്കിലും നമ്പർ. തീർച്ചയായും, നമുക്ക് ഏത് സംഖ്യകളെയും പരസ്പരം ഗുണിക്കാം, അവ പോസിറ്റീവോ നെഗറ്റീവോ പോലും.

ഏത് അടയാളങ്ങൾക്ക് ("" അല്ലെങ്കിൽ "") പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ശക്തി ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം?

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ പോസിറ്റീവ് ആണോ നെഗറ്റീവ് ആണോ? എ? ? ആദ്യത്തേത് ഉപയോഗിച്ച്, എല്ലാം വ്യക്തമാണ്: നമ്മൾ എത്ര പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പരസ്പരം ഗുണിച്ചാലും ഫലം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് ആയവ കുറച്ചുകൂടി രസകരമാണ്. ആറാം ക്ലാസിലെ ലളിതമായ നിയമം ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു: "മൈനസിന് മൈനസ് പ്ലസ് നൽകുന്നു." അതായത്, അല്ലെങ്കിൽ. എന്നാൽ നമ്മൾ ഗുണിച്ചാൽ, അത് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് എന്ത് അടയാളമുണ്ടെന്ന് സ്വയം നിർണ്ണയിക്കുക:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ?

ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ: ആദ്യത്തെ നാല് ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു? ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനവും ഘാതം നോക്കുകയും ഉചിതമായ നിയമം പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ഉദാഹരണം 5) എല്ലാം തോന്നുന്നത്ര ഭയാനകമല്ല: എല്ലാത്തിനുമുപരി, അടിസ്ഥാനം തുല്യമാണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല - ബിരുദം തുല്യമാണ്, അതായത് ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ശരി, അടിസ്ഥാനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഒഴികെ. അടിസ്ഥാനം തുല്യമല്ല, അല്ലേ? വ്യക്തമായും ഇല്ല, മുതൽ (കാരണം).

ഉദാഹരണം 6) ഇനി അത്ര ലളിതമല്ല!

പരിശീലനത്തിനുള്ള 6 ഉദാഹരണങ്ങൾ

പരിഹാരത്തിന്റെ വിശകലനം 6 ഉദാഹരണങ്ങൾ

എട്ടാമത്തെ ശക്തിയെ നമ്മൾ അവഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മൾ ഇവിടെ എന്താണ് കാണുന്നത്? ഏഴാം ക്ലാസ്സിലെ പരിപാടി ഓർക്കാം. അപ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? ഇതാണ് ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിനുള്ള ഫോർമുല, അതായത് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം! നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കാം. ഇത് ന്യൂമറേറ്റർ ഘടകങ്ങളിലൊന്നായി കാണപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ എന്താണ് തെറ്റ്? വ്യവസ്ഥകളുടെ ക്രമം തെറ്റാണ്. അവ തിരിച്ചെടുത്താൽ, നിയമം ബാധകമാകും.

എന്നാൽ അത് എങ്ങനെ ചെയ്യണം? ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് മാറുന്നു: ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ഇരട്ട ബിരുദം ഇവിടെ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു.

മാന്ത്രികമായി നിബന്ധനകൾ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റി. ഈ "പ്രതിഭാസം" ഏത് പദപ്രയോഗത്തിനും തുല്യമായ അളവിൽ ബാധകമാണ്: നമുക്ക് പരാൻതീസിസിലെ അടയാളങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റാൻ കഴിയും.

എന്നാൽ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്: എല്ലാ അടയാളങ്ങളും ഒരേ സമയം മാറുന്നു!

നമുക്ക് ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

വീണ്ടും ഫോർമുല:

മുഴുവൻനമ്മൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെയും അവയുടെ വിപരീതങ്ങളെയും (അതായത്, "" ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം എടുത്തത്) സംഖ്യയെയും വിളിക്കുന്നു.

പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ, കൂടാതെ ഇത് സ്വാഭാവികത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല, അപ്പോൾ എല്ലാം മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ കൃത്യമായി കാണപ്പെടുന്നു.

ഇനി പുതിയ കേസുകൾ നോക്കാം. തുല്യമായ ഒരു സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്:

എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, നമുക്ക് സ്വയം ചോദിക്കാം: എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത്?

അടിസ്ഥാനം ഉപയോഗിച്ച് കുറച്ച് ഡിഗ്രി പരിഗണിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് എടുത്ത് ഗുണിക്കുക:

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചു, ഞങ്ങൾക്ക് അതേ കാര്യം ലഭിച്ചു - . ഒന്നും മാറാതിരിക്കാൻ ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം? അത് ശരിയാണ്, ഓൺ. അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

നമുക്ക് നിയമം ആവർത്തിക്കാം:

പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

എന്നാൽ പല നിയമങ്ങൾക്കും അപവാദങ്ങളുണ്ട്. ഇവിടെയും ഉണ്ട് - ഇതൊരു സംഖ്യയാണ് (അടിസ്ഥാനമായി).

ഒരു വശത്ത്, അത് ഏത് ഡിഗ്രിക്കും തുല്യമായിരിക്കണം - നിങ്ങൾ പൂജ്യത്തെ എത്രമാത്രം ഗുണിച്ചാലും നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കും, ഇത് വ്യക്തമാണ്. എന്നാൽ മറുവശത്ത്, പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും പോലെ, അത് തുല്യമായിരിക്കണം. അപ്പോൾ ഇതിൽ എത്രത്തോളം സത്യമുണ്ട്? ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇടപെടേണ്ടതില്ലെന്ന് തീരുമാനിക്കുകയും പൂജ്യം പൂജ്യത്തിലേക്ക് ഉയർത്താൻ വിസമ്മതിക്കുകയും ചെയ്തു. അതായത്, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ മാത്രമല്ല, പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താനും കഴിയില്ല.

നമുക്ക് നീങ്ങാം. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും സംഖ്യകൾക്കും പുറമേ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു. നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, കഴിഞ്ഞ തവണ പോലെ നമുക്ക് ചെയ്യാം: കുറച്ച് സാധാരണ സംഖ്യയെ അതേ ഒന്നുകൊണ്ട് ഗുണിക്കുക നെഗറ്റീവ് ബിരുദം:

ഇവിടെ നിന്ന് നിങ്ങൾ തിരയുന്നത് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നിയമം ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ഡിഗ്രിയിലേക്ക് നീട്ടാം:

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു നിയമം രൂപപ്പെടുത്താം:

നെഗറ്റീവ് പവർ ഉള്ള ഒരു സംഖ്യ, പോസിറ്റീവ് പവർ ഉള്ള അതേ സംഖ്യയുടെ വിപരീതമാണ്. എന്നാൽ അതേ സമയം അടിസ്ഥാനം ശൂന്യമാക്കാൻ കഴിയില്ല:(കാരണം നിങ്ങൾക്ക് വിഭജിക്കാൻ കഴിയില്ല).

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം:

I. കേസിൽ പദപ്രയോഗം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. എങ്കിൽ, പിന്നെ.

II. പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്: .

III. ഒരു നെഗറ്റീവ് പവർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ, പോസിറ്റീവ് പവറിലേക്കുള്ള അതേ സംഖ്യയുടെ വിപരീതമാണ്: .

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ:

ശരി, പതിവുപോലെ, സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ വിശകലനം:

എനിക്കറിയാം, എനിക്കറിയാം, അക്കങ്ങൾ ഭയാനകമാണ്, എന്നാൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിങ്ങൾ എന്തിനും തയ്യാറായിരിക്കണം! നിങ്ങൾക്ക് അവ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുക, പരീക്ഷയിൽ അവ എളുപ്പത്തിൽ നേരിടാൻ നിങ്ങൾ പഠിക്കും!

"അനുയോജ്യമായ" സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റ് ആയി വികസിപ്പിക്കുന്നത് തുടരാം.

ഇനി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ.ഏത് സംഖ്യകളെയാണ് യുക്തിസഹമെന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

ഉത്തരം: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന എല്ലാം, എവിടെ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, കൂടാതെ.

അത് എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ "ഫ്രാക്ഷണൽ ഡിഗ്രി", ഭിന്നസംഖ്യ പരിഗണിക്കുക:

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താം:

ഇനി നമുക്ക് നിയമം ഓർക്കാം "ഡിഗ്രി മുതൽ ഡിഗ്രി വരെ":

ലഭിക്കുന്നതിന് ഏത് സംഖ്യയെ പവറായി ഉയർത്തണം?

ഈ ഫോർമുലേഷൻ ആണ് ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: ഒരു സംഖ്യയുടെ () ആം ശക്തിയുടെ റൂട്ട് ഒരു പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

അതായത്, ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് th ശക്തിയുടെ റൂട്ട്: .

അത് മാറുന്നു. വ്യക്തമായും ഇത് പ്രത്യേക കേസ്വിപുലീകരിക്കാൻ കഴിയും: .

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ന്യൂമറേറ്റർ ചേർക്കുന്നു: അതെന്താണ്? പവർ-ടു-പവർ റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്:

എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ആയിരിക്കുമോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, എല്ലാ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒന്നുമില്ല!

നമുക്ക് നിയമം ഓർമ്മിക്കാം: ഇരട്ട ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഏതൊരു സംഖ്യയും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. അതായത്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ പോലും വേർതിരിച്ചെടുക്കുക അസാധ്യമാണ്!

ഇതിനർത്ഥം അത്തരം സംഖ്യകളെ ഇരട്ട ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്ക് ഉയർത്താൻ കഴിയില്ല, അതായത്, പദപ്രയോഗത്തിന് അർത്ഥമില്ല.

എക്സ്പ്രഷന്റെ കാര്യമോ?

എന്നാൽ ഇവിടെ ഒരു പ്രശ്നം ഉയർന്നുവരുന്നു.

സംഖ്യയെ മറ്റ്, കുറയ്ക്കാവുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ.

അത് നിലവിലുണ്ട്, പക്ഷേ നിലവിലില്ല, എന്നാൽ ഇവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത റെക്കോർഡുകൾ മാത്രമാണ്.

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: ഒരിക്കൽ, നിങ്ങൾക്ക് അത് എഴുതാം. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ സൂചകം വ്യത്യസ്തമായി എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും കുഴപ്പത്തിലാകും: (അതായത്, ഞങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലം ലഭിച്ചു!).

അത്തരം വിരോധാഭാസങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള പോസിറ്റീവ് ബേസ് എക്‌സ്‌പോണന്റ് മാത്രം.

അങ്ങനെയാണെങ്കില്:

- സ്വാഭാവിക സംഖ്യ;
- പൂർണ്ണസംഖ്യ;

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പദപ്രയോഗങ്ങളെ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന് യുക്തിസഹമായ ഘാതകങ്ങൾ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

പരിശീലനത്തിനുള്ള 5 ഉദാഹരണങ്ങൾ

പരിശീലനത്തിനുള്ള 5 ഉദാഹരണങ്ങളുടെ വിശകലനം

ശരി, ഇപ്പോൾ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഭാഗം വരുന്നു. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കും യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം.

ഇവിടെയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഗുണങ്ങളും തികച്ചും ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ബിരുദത്തിന് തുല്യമാണ്, ഒഴികെ

എല്ലാത്തിനുമുപരി, നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളാണ്, എവിടെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമാണ് (അതായത്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ യുക്തിസഹമായവ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്).

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ് പല തവണ ഗുണിച്ചാൽ;

...പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ- ഇത്, ഒരു തവണ സ്വയം ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്, അവർ ഇതുവരെ അത് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ തുടങ്ങിയിട്ടില്ല, അതിനർത്ഥം ആ സംഖ്യ ഇതുവരെ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നാണ് - അതിനാൽ ഫലം ഒരു നിശ്ചിത "ശൂന്യ സംഖ്യ" മാത്രമാണ്. , അതായത് ഒരു സംഖ്യ;

...നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ ബിരുദം- ഇത് ചില "റിവേഴ്സ് പ്രോസസ്" സംഭവിച്ചതുപോലെയാണ്, അതായത്, സംഖ്യ സ്വയം ഗുണിച്ചില്ല, മറിച്ച് വിഭജിക്കപ്പെട്ടു.

വഴിയിൽ, ശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, അതായത്, ഘാതം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ പോലുമല്ല.

എന്നാൽ സ്കൂളിൽ ഞങ്ങൾ അത്തരം ബുദ്ധിമുട്ടുകളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുന്നില്ല; ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ ഈ പുതിയ ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് അവസരം ലഭിക്കും.

നിങ്ങൾ എവിടെ പോകുമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്! (അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ :))

ഉദാഹരണത്തിന്:

സ്വയം തീരുമാനിക്കുക:

പരിഹാരങ്ങളുടെ വിശകലനം:

1. ഒരു പവർ ഒരു പവർ ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള സാധാരണ നിയമത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം:

ഇപ്പോൾ സൂചകം നോക്കുക. അവൻ നിങ്ങളെ ഒന്നും ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നില്ലേ? ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ സംക്ഷിപ്ത ഗുണനത്തിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ,

ഇത് മാറുന്നു:

ഉത്തരം: .

2. ഞങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിലെ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു: ഒന്നുകിൽ ദശാംശങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും സാധാരണമായവ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഉത്തരം: 16

3. പ്രത്യേകിച്ചൊന്നുമില്ല, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളുടെ സാധാരണ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

അഡ്വാൻസ്ഡ് ലെവൽ

ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കൽ

ഡിഗ്രി എന്നത് ഫോമിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്: , എവിടെ:

— ഡിഗ്രി അടിസ്ഥാനം;
- ഘാതം.

സ്വാഭാവിക സൂചകത്തോടുകൂടിയ ബിരുദം (n = 1, 2, 3,...)

ഒരു സംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക ശക്തിയായ n-ലേക്ക് ഉയർത്തുക എന്നതിനർത്ഥം സംഖ്യയെ അതിന്റെ തവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നാണ്.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം (0, ±1, ±2,...)

ഘാതം ആണെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യനമ്പർ:

നിർമ്മാണം പൂജ്യം ഡിഗ്രി വരെ:

പദപ്രയോഗം അനിശ്ചിതത്വമാണ്, കാരണം, ഒരു വശത്ത്, ഏത് അളവിലും ഇതാണ്, മറുവശത്ത്, ഡിഗ്രിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഇതാണ്.

ഘാതം ആണെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യനമ്പർ:

(കാരണം നിങ്ങൾക്ക് വിഭജിക്കാൻ കഴിയില്ല).

പൂജ്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കൽ കൂടി: പദപ്രയോഗം കേസിൽ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. എങ്കിൽ, പിന്നെ.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള പവർ

- സ്വാഭാവിക സംഖ്യ;
- പൂർണ്ണസംഖ്യ;

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം: ഈ പ്രോപ്പർട്ടികൾ എവിടെ നിന്നാണ് വന്നത്? നമുക്ക് അവ തെളിയിക്കാം.

നമുക്ക് നോക്കാം: എന്താണ്, എന്താണ്?

എ-പ്രിയറി:

അതിനാൽ, ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കും:

എന്നാൽ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഇത് ഒരു ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്, അതായത്:

ക്യു.ഇ.ഡി.

ഉദാഹരണം : പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം : .

ഉദാഹരണം : പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം : നമ്മുടെ ഭരണത്തിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് നിർബന്ധമായുംഒരേ കാരണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശക്തികളെ അടിത്തറയുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഇത് ഒരു പ്രത്യേക ഘടകമായി തുടരുന്നു:

മറ്റൊന്ന് പ്രധാന കുറിപ്പ്: ഈ നിയമം - അധികാരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് മാത്രം!

ഒരു സാഹചര്യത്തിലും നിങ്ങൾക്ക് അത് എഴുതാൻ കഴിയില്ല.

നമുക്ക് ഈ വർക്ക് ഇതുപോലെ പുനഃസംഘടിപ്പിക്കാം:

സാരാംശത്തിൽ, ഇതിനെ "ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് ഇൻഡിക്കേറ്റർ എടുക്കൽ" എന്ന് വിളിക്കാം. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് മൊത്തത്തിൽ ഒരിക്കലും ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല: !

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം: എത്ര തവണ എഴുതാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിച്ചു? എന്നാൽ ഇത് ശരിയല്ല, എല്ലാത്തിനുമുപരി.

നെഗറ്റീവ് അടിത്തറയുള്ള പവർ.

അത് എങ്ങനെയായിരിക്കണമെന്ന് മാത്രമാണ് ഞങ്ങൾ ഇത് വരെ ചർച്ച ചെയ്തത് സൂചികഡിഗ്രികൾ. എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം എന്തായിരിക്കണം? യുടെ അധികാരങ്ങളിൽ സ്വാഭാവികം സൂചകം അടിസ്ഥാനം ആയിരിക്കാം ഏതെങ്കിലും നമ്പർ .

തീർച്ചയായും, നമുക്ക് ഏത് സംഖ്യകളെയും പരസ്പരം ഗുണിക്കാം, അവ പോസിറ്റീവോ നെഗറ്റീവോ പോലും. ഏത് അടയാളങ്ങൾക്ക് ("" അല്ലെങ്കിൽ "") പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ശക്തി ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം?

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ പോസിറ്റീവ് ആണോ നെഗറ്റീവ് ആണോ? എ? ?

ആദ്യത്തേത് ഉപയോഗിച്ച്, എല്ലാം വ്യക്തമാണ്: നമ്മൾ എത്ര പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പരസ്പരം ഗുണിച്ചാലും ഫലം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് ആയവ കുറച്ചുകൂടി രസകരമാണ്. ആറാം ക്ലാസിലെ ലളിതമായ നിയമം ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു: "മൈനസിന് മൈനസ് പ്ലസ് നൽകുന്നു." അതായത്, അല്ലെങ്കിൽ. എന്നാൽ () കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും - .

അങ്ങനെ പരസ്യ അനന്തതയിൽ: ഓരോ തുടർന്നുള്ള ഗുണനത്തിലും ചിഹ്നം മാറും. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ രൂപപ്പെടുത്താം ലളിതമായ നിയമങ്ങൾ:

പോലുംബിരുദം, - നമ്പർ പോസിറ്റീവ്.
ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് വിചിത്രമായബിരുദം, - നമ്പർ നെഗറ്റീവ്.
പോസിറ്റീവ് നമ്പർഏത് അളവിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.
ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും പൂജ്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ? ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ആദ്യത്തെ നാല് ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു? ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനവും ഘാതം നോക്കുകയും ഉചിതമായ നിയമം പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 5) എല്ലാം തോന്നുന്നത്ര ഭയാനകമല്ല: എല്ലാത്തിനുമുപരി, അടിസ്ഥാനം തുല്യമാണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല - ബിരുദം തുല്യമാണ്, അതായത് ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. ശരി, അടിസ്ഥാനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഒഴികെ. അടിസ്ഥാനം തുല്യമല്ല, അല്ലേ? വ്യക്തമായും ഇല്ല, മുതൽ (കാരണം).

ഉദാഹരണം 6) ഇനി അത്ര ലളിതമല്ല. ഏതാണ് കുറവ് എന്ന് ഇവിടെ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്: അല്ലെങ്കിൽ? നമ്മൾ അത് ഓർക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് വ്യക്തമാകും, അതിനാൽ അടിസ്ഥാനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്. അതായത്, ഞങ്ങൾ നിയമം 2 പ്രയോഗിക്കുന്നു: ഫലം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

എല്ലാം പതിവുപോലെ - ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളുടെ നിർവചനം എഴുതുകയും അവയെ പരസ്പരം വിഭജിക്കുകയും ജോഡികളായി വിഭജിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

നിങ്ങൾ അത് വേർപെടുത്തുന്നതിന് മുമ്പ് അവസാന ഭരണം, നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം.

പദപ്രയോഗങ്ങൾ കണക്കാക്കുക:

പരിഹാരങ്ങൾ :

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കാം. ഇത് ന്യൂമറേറ്റർ ഘടകങ്ങളിലൊന്നായി കാണപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ എന്താണ് തെറ്റ്? വ്യവസ്ഥകളുടെ ക്രമം തെറ്റാണ്. അവ മറിച്ചാണെങ്കിൽ, ചട്ടം 3 ബാധകമാകും, പക്ഷേ എങ്ങനെ? ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് മാറുന്നു: ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ഇരട്ട ബിരുദം ഇവിടെ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ അതിനെ ഗുണിച്ചാൽ, ഒന്നും മാറില്ല, അല്ലേ? എന്നാൽ ഇപ്പോൾ ഇത് ഇതുപോലെ മാറുന്നു:

മാന്ത്രികമായി നിബന്ധനകൾ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റി. ഈ "പ്രതിഭാസം" ഏത് പദപ്രയോഗത്തിനും തുല്യമായ അളവിൽ ബാധകമാണ്: നമുക്ക് പരാൻതീസിസിലെ അടയാളങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റാൻ കഴിയും. എന്നാൽ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്: എല്ലാ അടയാളങ്ങളും ഒരേ സമയം മാറുന്നു!ഞങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടപ്പെടാത്ത ഒരു പോരായ്മ മാത്രം മാറ്റി പകരം വയ്ക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല!

നമുക്ക് ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

വീണ്ടും ഫോർമുല:

അതിനാൽ ഇപ്പോൾ അവസാന നിയമം:

ഞങ്ങൾ അത് എങ്ങനെ തെളിയിക്കും? തീർച്ചയായും, പതിവുപോലെ: ബിരുദം എന്ന ആശയം വികസിപ്പിക്കുകയും ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യാം:

ശരി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം. ആകെ എത്ര അക്ഷരങ്ങൾ ഉണ്ട്? ഗുണിതങ്ങളാൽ തവണ - ഇത് നിങ്ങളെ എന്താണ് ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നത്? ഇത് ഒരു ഓപ്പറേഷന്റെ നിർവചനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല ഗുണനം: അവിടെ ഗുണിതങ്ങൾ മാത്രമേ ഉണ്ടായിരുന്നുള്ളൂ. അതായത്, ഇത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്:

ഉദാഹരണം:

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

ശരാശരി തലത്തിനായുള്ള ഡിഗ്രികളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾക്ക് പുറമേ, യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രി വിശകലനം ചെയ്യും. ഇവിടെയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്, ഒഴികെ - എല്ലാത്തിനുമുപരി, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളാണ്, എവിടെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളും (അതായത് , അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ ഒഴികെ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്).

സ്വാഭാവിക, പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ തവണയും ഞങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത "ചിത്രം", "സാദൃശ്യം" അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ പരിചിതമായ പദങ്ങളിൽ വിവരണം സൃഷ്ടിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ് പല തവണ ഗുണിച്ചാൽ; പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരു സംഖ്യ, അത് പോലെ, ഒരു തവണ സ്വയം ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്, അവർ ഇതുവരെ അതിനെ ഗുണിക്കാൻ തുടങ്ങിയിട്ടില്ല, അതായത് ആ സംഖ്യ ഇതുവരെ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടില്ല - അതിനാൽ ഫലം ഒരു നിശ്ചിതമാണ് "ശൂന്യമായ നമ്പർ", അതായത് ഒരു നമ്പർ; ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ബിരുദം - ഇത് ചില “റിവേഴ്സ് പ്രോസസ്” സംഭവിച്ചതുപോലെയാണ്, അതായത്, സംഖ്യ സ്വയം ഗുണിച്ചില്ല, മറിച്ച് വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം സങ്കൽപ്പിക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് (ഒരു 4-ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസ് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ പ്രയാസമുള്ളതുപോലെ). അത് സാമാന്യം ശുദ്ധമാണ് ഗണിത വസ്തു, ഏത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ബിരുദം എന്ന ആശയം സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സ്ഥലത്തേക്കും വ്യാപിപ്പിക്കാൻ സൃഷ്ടിച്ചു.

വഴിയിൽ, ശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, അതായത്, ഘാതം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ പോലുമല്ല. എന്നാൽ സ്കൂളിൽ ഞങ്ങൾ അത്തരം ബുദ്ധിമുട്ടുകളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുന്നില്ല; ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ ഈ പുതിയ ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് അവസരം ലഭിക്കും.

യുക്തിരഹിതമായ ഒരു ഘാതം കണ്ടാൽ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യും? അത് ഇല്ലാതാക്കാൻ ഞങ്ങൾ പരമാവധി ശ്രമിക്കുന്നു! :)

ഉദാഹരണത്തിന്:

സ്വയം തീരുമാനിക്കുക:

ഉത്തരങ്ങൾ:

സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം നമുക്ക് ഓർക്കാം. ഉത്തരം: .
ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു: ഒന്നുകിൽ ദശാംശങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും സാധാരണമായവ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: .
പ്രത്യേകിച്ചൊന്നുമില്ല, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളുടെ സാധാരണ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

വിഭാഗത്തിന്റെ സംഗ്രഹവും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും

ഡിഗ്രിഫോമിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു: , എവിടെ:

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ (അതായത്, പൂർണ്ണസംഖ്യയും പോസിറ്റീവ്) ആയ ഘാതം.

യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള പവർ

ഡിഗ്രി, ഇതിന്റെ ഘാതം നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ സംഖ്യകളാണ്.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

അനന്തമായ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയോ മൂലമോ ആയ ഘാതം.

ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഡിഗ്രിയുടെ സവിശേഷതകൾ.

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി ഉയർത്തി പോലുംബിരുദം, - നമ്പർ പോസിറ്റീവ്.
നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി ഉയർത്തി വിചിത്രമായബിരുദം, - നമ്പർ നെഗറ്റീവ്.
ഏത് അളവിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.
പൂജ്യം ഏത് ശക്തിക്കും തുല്യമാണ്.
പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും തുല്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വാക്ക് ഉണ്ട്...

നിങ്ങൾക്ക് ലേഖനം എങ്ങനെ ഇഷ്ടപ്പെട്ടു? നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടപ്പെട്ടാലും ഇല്ലെങ്കിലും താഴെ കമന്റുകളിൽ എഴുതുക.

ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിങ്ങളുടെ അനുഭവത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങളോട് പറയുക.

ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യങ്ങളുണ്ടാകാം. അല്ലെങ്കിൽ നിർദ്ദേശങ്ങൾ.

അഭിപ്രായങ്ങളിൽ എഴുതുക.

നിങ്ങളുടെ പരീക്ഷകളിൽ ആശംസകൾ!

ഗുണന നിയമങ്ങൾ

ഡിവിഷൻ നിയമങ്ങൾ

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

അധികാരങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ശക്തികളെ ഗുണിക്കുക

ഡിഗ്രികളുടെ വിഭജനം

ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ബിരുദത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ

പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 1 അധികാരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം

പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 2 ഭാഗിക ബിരുദങ്ങൾ

പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 3 ഒരു ബിരുദം ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

ശക്തികളെ എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം

ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുക

ഈ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ സബ്സ്ക്രിപ്ഷൻ വഴി ലഭ്യമാണ്

1. അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ

2. സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസ്താവന 1

3. വിശദീകരണ ചുമതലകൾ

4. സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ് 1

5. സിദ്ധാന്തം 1 ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

6. സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുവൽക്കരണം 1

7. സിദ്ധാന്തം 1-ന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

8. സിദ്ധാന്തം 1 ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

9. സംഗ്രഹിക്കുന്നു

ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും

അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ

ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുപയോഗിച്ച് ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

സിദ്ധാന്തം 4-ന്റെ രൂപീകരണവും തെളിവും

സിദ്ധാന്തം 5-ന്റെ രൂപീകരണവും തെളിവും

വാക്കുകളിൽ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പ്രസ്താവന

സിദ്ധാന്തം 4 ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പൊതുവൽക്കരണം 4

സാമാന്യ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു 4

സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് തുടരുന്നു

കണക്കുകൂട്ടൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ

"അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗണിത പാഠം

I. നിലവിലുള്ള അറിവിന്റെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ വൈദഗ്ധ്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രകടനം സംഘടിപ്പിക്കുന്നു. (ഘട്ടം 1)

II. നിലവിലെ അനുഭവത്തിൽ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ പ്രാവീണ്യത്തിന്റെ സ്വയം വിലയിരുത്തലിന്റെ ഓർഗനൈസേഷൻ. (ഘട്ടം 2)

III. വിദ്യാഭ്യാസപരവും പ്രായോഗികവുമായ ചുമതല (ഘട്ടം 3) + ഘട്ടം 4. (വിദ്യാർത്ഥികൾ തന്നെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ രൂപപ്പെടുത്തും)

IV. അറിവിന്റെ പരിധികൾ വിദ്യാർത്ഥികളുമായി ആശയവിനിമയം നടത്തുന്നു (കുറഞ്ഞതും പരമാവധി).

വി. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഓർഗനൈസേഷൻ. (ഘട്ടം 5)

VII. ഹോം വർക്ക്.

ഡിഗ്രികളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ, ഫോർമുലേഷനുകൾ, തെളിവുകൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ.

സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതങ്ങളുള്ള ശക്തികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ബിരുദത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ

ഡിഗ്രികളുടെ പ്രയോഗവും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ബിരുദവും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളും. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

ഫസ്റ്റ് ലെവൽ

ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #1

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #2

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #3

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #4

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #5

നിബന്ധനകളും ആശയങ്ങളും... ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ

ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

നെഗറ്റീവ് അടിത്തറയുള്ള പവർ

പരിശീലനത്തിനുള്ള 6 ഉദാഹരണങ്ങൾ

പരിഹാരത്തിന്റെ വിശകലനം 6 ഉദാഹരണങ്ങൾ

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ:

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ വിശകലനം:

പരിശീലനത്തിനുള്ള 5 ഉദാഹരണങ്ങൾ

പരിശീലനത്തിനുള്ള 5 ഉദാഹരണങ്ങളുടെ വിശകലനം

സ്വയം തീരുമാനിക്കുക:

പരിഹാരങ്ങളുടെ വിശകലനം:

അഡ്വാൻസ്ഡ് ലെവൽ

ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കൽ

സ്വാഭാവിക സൂചകത്തോടുകൂടിയ ബിരുദം (n = 1, 2, 3,...)

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം (0, ±1, ±2,...)

യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള പവർ

ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

നെഗറ്റീവ് അടിത്തറയുള്ള പവർ.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

വിഭാഗത്തിന്റെ സംഗ്രഹവും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വാക്ക് ഉണ്ട്...

എഡിറ്ററുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്

പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 1
അധികാരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം

പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 2
ഭാഗിക ബിരുദങ്ങൾ

പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 3
ഒരു ബിരുദം ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു