അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം. അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം സൃഷ്ടിക്കുന്നു

സൂപ്പർവൈസർ

ഗണിത അധ്യാപകൻ

1.ആമുഖം……………………………………………………………….3

2. ചരിത്രപശ്ചാത്തലം …………………………………………..4

3. പ്രധാന ഭാഗം ……………………………………………………………….7

4. പെൻറോസ് ത്രികോണത്തിന്റെ അസാധ്യതയുടെ തെളിവ്......9

5. നിഗമനങ്ങൾ ……………………………………………………………………………………

6. സാഹിത്യം…………………………………………………… 12

പ്രസക്തി:ഒന്ന് മുതൽ ഹൈസ്കൂൾ വരെ പഠിച്ച ഒരു വിഷയമാണ് ഗണിതം. പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും താൽപ്പര്യമില്ലാത്തതും അനാവശ്യവുമാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പാഠപുസ്തകത്തിന്റെ പേജുകൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, വായിക്കുക കൂടുതൽ വായനയ്ക്ക്, ഗണിതശാസ്ത്ര സോഫിസങ്ങളും വിരോധാഭാസങ്ങളും, അപ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആശയം മാറും, കൂടാതെ സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ പഠിക്കുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ പഠിക്കാനുള്ള ആഗ്രഹം ഉണ്ടാകും.

ജോലിയുടെ ലക്ഷ്യം:

അസാധ്യമായ കണക്കുകളുടെ അസ്തിത്വം ചക്രവാളങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുകയും സ്പേഷ്യൽ ഭാവന വികസിപ്പിക്കുകയും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ മാത്രമല്ല, കലാകാരന്മാരും ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ചുമതലകൾ :

1. ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സാഹിത്യം പഠിക്കുക.

2. അസാധ്യമായ കണക്കുകൾ പരിഗണിക്കുക, അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു മാതൃക ഉണ്ടാക്കുക, അത് തെളിയിക്കുക അസാധ്യമായ ത്രികോണംവിമാനത്തിൽ നിലവിലില്ല.

3. അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വികസനം ഉണ്ടാക്കുക.

4. ദൃശ്യകലകളിൽ അസാധ്യമായ ത്രികോണത്തിന്റെ ഉപയോഗത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ആമുഖം

ചരിത്രപരമായി, ഗണിതശാസ്ത്രം കളിച്ചു പ്രധാന പങ്ക്ദൃശ്യകലകളിൽ, പ്രത്യേകിച്ച് പെർസ്പെക്റ്റീവ് പെയിന്റിംഗിൽ, പരന്ന ക്യാൻവാസിലോ കടലാസിലോ ത്രിമാന ദൃശ്യം യാഥാർത്ഥ്യബോധത്തോടെ ചിത്രീകരിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. ആധുനിക കാഴ്ചപ്പാടുകൾ അനുസരിച്ച്, ഗണിതവും കലഅച്ചടക്കങ്ങൾ പരസ്പരം വളരെ അകലെയാണ്, ആദ്യത്തേത് വിശകലനപരമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് വൈകാരികമാണ്. മിക്ക ജോലികളിലും ഗണിതത്തിന് വ്യക്തമായ ഒരു പങ്കുമില്ല സമകാലീനമായ കല, കൂടാതെ, വാസ്തവത്തിൽ, പല കലാകാരന്മാരും അപൂർവ്വമായി അല്ലെങ്കിൽ ഒരിക്കലും കാഴ്ചപ്പാട് ഉപയോഗിക്കാറില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്ന നിരവധി കലാകാരന്മാരുണ്ട്. ദൃശ്യകലയിലെ നിരവധി സുപ്രധാന വ്യക്തികൾ ഈ വ്യക്തികൾക്ക് വഴിയൊരുക്കി.

പൊതുവേ, അസാധ്യമായ രൂപങ്ങൾ, മോബിയസ് സ്ട്രിപ്പുകൾ, വക്രീകരണം അല്ലെങ്കിൽ അസാധാരണമായ വീക്ഷണ സംവിധാനങ്ങൾ, ഫ്രാക്റ്റലുകൾ എന്നിങ്ങനെ ഗണിതശാസ്ത്ര കലയിൽ വിവിധ തീമുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് നിയമങ്ങളോ നിയന്ത്രണങ്ങളോ ഇല്ല.

അസാധ്യമായ കണക്കുകളുടെ ചരിത്രം

അസാധ്യമായ കണക്കുകൾ - ചില തരംക്രമരഹിതമായ സമുച്ചയത്തിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പതിവ് ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഗണിത വിരോധാഭാസങ്ങൾ. "അസാധ്യമായ വസ്തുക്കൾ" എന്ന പദത്തിന്റെ ഒരു നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്താൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിച്ചാൽ, അത് ഒരുപക്ഷേ ഇതുപോലെയായിരിക്കും - ശാരീരികമായി സാധ്യമായ കണക്കുകൾ അസാധ്യമായ രൂപത്തിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ നിർവചനങ്ങൾ വരച്ച് അവ നോക്കുന്നത് കൂടുതൽ മനോഹരമാണ്.

സ്പേഷ്യൽ നിർമ്മാണത്തിലെ പിശകുകൾ ആയിരം വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് പോലും കലാകാരന്മാർ നേരിട്ടിരുന്നു. എന്നാൽ 1934-ൽ വരച്ച സ്വീഡിഷ് കലാകാരനായ ഓസ്കാർ റോയിട്ടേഴ്‌സ്വാർഡ് അസാധ്യമായ വസ്തുക്കളെ നിർമ്മിക്കുകയും വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്ത ആദ്യത്തെയാളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഒമ്പത് ക്യൂബുകൾ അടങ്ങുന്ന ആദ്യത്തെ അസാധ്യമായ ത്രികോണം.

Routersvaerd ന്റെ ത്രികോണം

റോയിട്ടേഴ്സിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രനായ ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ റോജർ പെൻറോസ് അസാധ്യമായ ത്രികോണം വീണ്ടും കണ്ടെത്തുകയും 1958-ൽ ഒരു ബ്രിട്ടീഷ് സൈക്കോളജി ജേണലിൽ അതിന്റെ ചിത്രം പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തു. മിഥ്യാധാരണ "തെറ്റായ കാഴ്ചപ്പാട്" ഉപയോഗിക്കുന്നു. ചിലപ്പോൾ ഈ വീക്ഷണത്തെ ചൈനീസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം ഡ്രോയിംഗിന്റെ ആഴം “അവ്യക്തമാണ്” ആയിരിക്കുമ്പോൾ സമാനമായ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് രീതി പലപ്പോഴും ചൈനീസ് കലാകാരന്മാരുടെ സൃഷ്ടികളിൽ കാണപ്പെടുന്നു.

എഷർ വെള്ളച്ചാട്ടം

1961-ൽ അസാധ്യമായ പെൻറോസ് ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് പ്രചോദനം ഉൾക്കൊണ്ട് ഡച്ചുകാരനായ എം.എസ്ഷർ പ്രശസ്തമായ ലിത്തോഗ്രാഫ് "വെള്ളച്ചാട്ടം" സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിലെ വെള്ളം അനന്തമായി ഒഴുകുന്നു, ജലചക്രത്തിന് ശേഷം അത് കൂടുതൽ കടന്നുപോകുകയും ആരംഭ പോയിന്റിൽ തിരികെ അവസാനിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായി, ഇത് ഒരു ശാശ്വത ചലന യന്ത്രത്തിന്റെ ചിത്രമാണ്, എന്നാൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഈ ഘടന നിർമ്മിക്കാനുള്ള ഏതൊരു ശ്രമവും പരാജയപ്പെടും.

അസാധ്യമായ കണക്കുകളുടെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം "മോസ്കോ" എന്ന ഡ്രോയിംഗിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അത് മോസ്കോ മെട്രോയുടെ അസാധാരണമായ ഒരു ഡയഗ്രം ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ആദ്യം നമ്മൾ ചിത്രത്തെ മൊത്തത്തിൽ കാണുന്നു, പക്ഷേ ഓരോ വരികളും നമ്മുടെ നോട്ടത്തിലൂടെ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, അവയുടെ നിലനിൽപ്പിന്റെ അസാധ്യതയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ബോധ്യമാകും.

« മോസ്കോ", ഗ്രാഫിക്സ് (മഷി, പെൻസിൽ), 50x70 സെ.മീ, 2003.

"മൂന്ന് ഒച്ചുകൾ" ഡ്രോയിംഗ് രണ്ടാമത്തെ പ്രശസ്തമായ അസാധ്യമായ വ്യക്തിയുടെ പാരമ്പര്യം തുടരുന്നു - അസാധ്യമായ ക്യൂബ് (ബോക്സ്).

"മൂന്ന് ഒച്ചുകൾ" അസാധ്യമായ ക്യൂബ്

തികച്ചും ഗൗരവതരമല്ലാത്ത "IQ" (ഇന്റലിജൻസ് ക്വോട്ടന്റ്) ഡ്രോയിംഗിൽ വിവിധ വസ്തുക്കളുടെ സംയോജനവും കാണാം. രസകരമെന്നു പറയട്ടെ, ചില ആളുകൾക്ക് അസാധ്യമായ വസ്തുക്കളെ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയില്ല, കാരണം അവരുടെ മനസ്സിന് ത്രിമാന വസ്തുക്കളുള്ള ഫ്ലാറ്റ് ചിത്രങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയില്ല.

ദൃശ്യ വിരോധാഭാസങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് അത്തരത്തിലുള്ള മുഖമുദ്രകളിലൊന്നാണെന്ന് ഡൊണാൾഡ് സിമാനെക് അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു. സൃഷ്ടിപരമായ സാധ്യത, മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ, ശാസ്ത്രജ്ഞർ, കലാകാരന്മാർ എന്നിവരുടെ ഉടമസ്ഥതയിലുള്ളത്. വിരോധാഭാസ വസ്തുക്കളുള്ള പല കൃതികളും "ബൗദ്ധിക" എന്ന് വർഗ്ഗീകരിക്കാം. ഗണിത ഗെയിമുകൾ». ആധുനിക ശാസ്ത്രംലോകത്തിന്റെ 7-ഡൈമൻഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ 26-ഡൈമൻഷണൽ മോഡലിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു. അനുകരിക്കുക സമാനമായ ലോകംഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ; ഒരു വ്യക്തിക്ക് അത് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഇവിടെയാണ് അസാധ്യമായ കണക്കുകൾ പ്രസക്തമാകുന്നത്.

മൂന്നാമത്തെ ജനപ്രിയ അസാധ്യമായ ചിത്രം പെൻറോസ് സൃഷ്ടിച്ച അവിശ്വസനീയമായ ഗോവണിയാണ്. നിങ്ങൾ തുടർച്ചയായി ഒന്നുകിൽ കയറും (എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ) അല്ലെങ്കിൽ ഇറങ്ങും (ഘടികാരദിശയിൽ). പെൻറോസ് മോഡൽ അടിസ്ഥാനമായി പ്രശസ്തമായ പെയിന്റിംഗ് M. Escher "മുകളിലേക്കും താഴേക്കും" അവിശ്വസനീയമായ പെൻറോസ് സ്റ്റെയർകേസ്

അസാധ്യമായ ത്രിശൂലം

"ഡെവിൾസ് ഫോർക്ക്"

നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയാത്ത മറ്റൊരു കൂട്ടം വസ്തുക്കളുണ്ട്. ക്ലാസിക് ചിത്രംഅസാധ്യമായ ത്രിശൂലമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ "പിശാചിന്റെ നാൽക്കവല". നിങ്ങൾ ചിത്രം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മൂന്ന് പല്ലുകൾ ക്രമേണ ഒരൊറ്റ അടിത്തറയിൽ രണ്ടായി മാറുന്നത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും, ഇത് ഒരു സംഘട്ടനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. മുകളിലും താഴെയുമുള്ള പല്ലുകളുടെ എണ്ണം ഞങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുകയും വസ്തു അസാധ്യമാണെന്ന നിഗമനത്തിലെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. കൈകൊണ്ട് അടച്ചാൽ മുകളിലെ ഭാഗംത്രിശൂലം, അപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു യഥാർത്ഥ ചിത്രം കാണും - മൂന്ന് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പല്ലുകൾ. ത്രിശൂലത്തിന്റെ താഴത്തെ ഭാഗം അടച്ചാൽ, നമുക്ക് യഥാർത്ഥ ചിത്രവും കാണാം - രണ്ട് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പല്ലുകൾ. പക്ഷേ, മുഴുവൻ രൂപവും മൊത്തത്തിൽ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മൂന്ന് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പല്ലുകൾ ക്രമേണ രണ്ട് ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവയായി മാറുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

അതിനാൽ, ഈ ഡ്രോയിംഗിന്റെ മുൻഭാഗവും പശ്ചാത്തലവും വൈരുദ്ധ്യത്തിലാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. അതായത്, യഥാർത്ഥത്തിൽ എന്താണ് ഉണ്ടായിരുന്നത് മുൻഭാഗംപിന്നിലേക്ക് പോകുന്നു, പുറകോട്ട് (മധ്യ പല്ല്) മുന്നോട്ട് വരുന്നു. മുൻഭാഗത്തിന്റെയും പശ്ചാത്തലത്തിന്റെയും മാറ്റത്തിന് പുറമേ, ഈ ഡ്രോയിംഗിൽ മറ്റൊരു ഫലമുണ്ട് - ത്രിശൂലത്തിന്റെ മുകൾ ഭാഗത്തിന്റെ പരന്ന അറ്റങ്ങൾ അടിയിൽ വൃത്താകൃതിയിലാകുന്നു.

പ്രധാന ഭാഗം.

ത്രികോണം- അടുത്തുള്ള 3 ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു ചിത്രം, ഈ ഭാഗങ്ങളുടെ അസ്വീകാര്യമായ കണക്ഷനുകളിലൂടെ, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി അസാധ്യമായ ഒരു ഘടനയുടെ മിഥ്യ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഈ മൂന്ന്-ബീം ഘടനയെ വ്യത്യസ്തമായി വിളിക്കുന്നു സമചതുരം Samachathuram പെൻറോസുകൾ

ഈ മിഥ്യാധാരണയ്ക്ക് പിന്നിലെ ഗ്രാഫിക് തത്വം ഒരു മനശാസ്ത്രജ്ഞനും അദ്ദേഹത്തിന്റെ മകൻ റോജറും, ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനുമാണ്. പെൻറുസോവ് സ്ക്വയർ 3 പരസ്പരം ലംബമായ ദിശകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന 3 സ്ക്വയർ ബാറുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു; ഓരോന്നും വലത് കോണിൽ അടുത്തതിലേക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, ഇതെല്ലാം ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. പെൻറോസ് സ്ക്വയറിന്റെ ഈ ഐസോമെട്രിക് പ്രൊജക്ഷൻ എങ്ങനെ വരയ്ക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ലളിതമായ പാചകക്കുറിപ്പ് ഇതാ:

· ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ വശങ്ങളിൽ സമാന്തരമായ വരികളിലൂടെ ട്രിം ചെയ്യുക;

· ട്രിം ചെയ്ത ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ വശങ്ങളിലേക്ക് സമാന്തരമായി വരയ്ക്കുക;

· കോണുകൾ വീണ്ടും ട്രിം ചെയ്യുക;

· വീണ്ടും ഉള്ളിൽ സമാന്തരങ്ങൾ വരയ്ക്കുക;

· സാധ്യമായ രണ്ട് ക്യൂബുകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു മൂലയിൽ സങ്കൽപ്പിക്കുക;

· എൽ ആകൃതിയിലുള്ള "കാര്യം" ഉപയോഗിച്ച് ഇത് തുടരുക;

· ഈ ഡിസൈൻ ഒരു സർക്കിളിൽ പ്രവർത്തിപ്പിക്കുക.

· ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ക്യൂബ് തിരഞ്ഞെടുത്തിരുന്നെങ്കിൽ, ചതുരം മറ്റൊരു ദിശയിൽ "വളച്ചൊടിക്കപ്പെട്ടു" .

അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വികസനം.

ഇൻഫ്ലക്ഷൻ ലൈൻ

കട്ട് ലൈൻ

അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ ഏതാണ്? കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഏത് ഘടകങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഇത് നമുക്ക് തോന്നുന്നത് (കൃത്യമായി തോന്നുന്നു!) നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്? ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മൂലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഡിസൈൻ, വലത് കോണുകളിൽ സമാനമായ രണ്ട് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ബാറുകൾ ബന്ധിപ്പിച്ച് ഇത് ലഭിക്കും. അത്തരം മൂന്ന് കോണുകൾ ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ ആറ് കഷണങ്ങൾ ബാറുകൾ. ഈ കോണുകൾ ഒരു നിശ്ചിത രീതിയിൽ പരസ്പരം "ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കണം", അങ്ങനെ അവ ഒരു അടഞ്ഞ ശൃംഖലയായി മാറുന്നു. സംഭവിക്കുന്നത് അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണമാണ്.

തിരശ്ചീന തലത്തിൽ ആദ്യ മൂലയിൽ വയ്ക്കുക. ഞങ്ങൾ അതിലേക്ക് രണ്ടാമത്തെ മൂല അറ്റാച്ചുചെയ്യും, അതിന്റെ അരികുകളിൽ ഒന്ന് മുകളിലേക്ക് നയിക്കും. അവസാനമായി, ഈ രണ്ടാമത്തെ കോണിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഒരു മൂന്നാം മൂല അറ്റാച്ചുചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ അതിന്റെ അഗ്രം യഥാർത്ഥ തിരശ്ചീന തലത്തിന് സമാന്തരമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആദ്യത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും കോണുകളുടെ രണ്ട് അറ്റങ്ങൾ സമാന്തരവും നേരെ നയിക്കും വ്യത്യസ്ത വശങ്ങൾ.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ബഹിരാകാശത്തെ വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന് ചിത്രം നോക്കാൻ ശ്രമിക്കാം (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു യഥാർത്ഥ വയർ മോഡൽ ഉണ്ടാക്കുക). ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന്, മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന്, മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് എങ്ങനെയിരിക്കുമെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക... നിരീക്ഷണ പോയിന്റ് മാറുമ്പോൾ (അല്ലെങ്കിൽ - ഇത് തന്നെയാണ് - ഘടന ബഹിരാകാശത്ത് തിരിക്കുമ്പോൾ), രണ്ട് “അവസാനം” എന്ന് തോന്നും. ഞങ്ങളുടെ കോണുകളുടെ അറ്റങ്ങൾ പരസ്പരം ആപേക്ഷികമായി നീങ്ങുന്നു. അവർ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സ്ഥാനം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല (തീർച്ചയായും, അടുത്തുള്ള മൂലയ്ക്ക് ദൈർഘ്യമേറിയതിനേക്കാൾ കട്ടിയുള്ളതായി തോന്നും).

എന്നാൽ വാരിയെല്ലുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കോണുകളിൽ നിന്ന് നമ്മുടെ ഘടന വീക്ഷിക്കുന്ന പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ വളരെ കുറവാണെങ്കിൽ, രണ്ട് വാരിയെല്ലുകൾക്കും നമുക്ക് ഒരേ കനം ഉണ്ടായിരിക്കും, ഈ രണ്ട് വാരിയെല്ലുകളും യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു തുടർച്ചയാണെന്ന ആശയം ഉയരും. പരസ്പരം.

വഴിയിൽ, നമ്മൾ ഒരേസമയം കണ്ണാടിയിലെ ഘടനയുടെ ഡിസ്പ്ലേ നോക്കിയാൽ, അവിടെ ഒരു ക്ലോസ്ഡ് സർക്യൂട്ട് കാണില്ല.

തിരഞ്ഞെടുത്ത നിരീക്ഷണ പോയിന്റിൽ നിന്ന്, സംഭവിച്ച അത്ഭുതം നമ്മുടെ സ്വന്തം കണ്ണുകളാൽ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു: മൂന്ന് കോണുകളുടെ ഒരു അടഞ്ഞ ശൃംഖലയുണ്ട്. ഈ മിഥ്യാധാരണ (വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് ഒരു മിഥ്യയാണ്!) തകരാതിരിക്കാൻ നിരീക്ഷണ പോയിന്റ് മാറ്റരുത്. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വസ്തു വരയ്ക്കാം അല്ലെങ്കിൽ കണ്ടെത്തിയ സ്ഥലത്ത് ഒരു ക്യാമറ ലെൻസ് സ്ഥാപിക്കുകയും അസാധ്യമായ ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഫോട്ടോ എടുക്കുകയും ചെയ്യാം.

പെൻറോസുകളാണ് ഈ പ്രതിഭാസത്തിൽ ആദ്യം താൽപ്പര്യം പ്രകടിപ്പിച്ചത്. ത്രിമാന സ്ഥലവും ത്രിമാന വസ്തുക്കളും ഒരു ദ്വിമാന തലത്തിലേക്ക് (അതായത്, ഡിസൈൻ) മാപ്പ് ചെയ്യുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന സാധ്യതകൾ അവർ പ്രയോജനപ്പെടുത്തി, ഡിസൈനിലെ ചില അനിശ്ചിതത്വങ്ങളിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ആകർഷിച്ചു - മൂന്ന് കോണുകളുടെ തുറന്ന ഘടന ആകാം. ഒരു ക്ലോസ്ഡ് സർക്യൂട്ട് ആയി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഒരു ലളിതമായ മോഡൽ വയർ മുതൽ എളുപ്പത്തിൽ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് തത്വത്തിൽ നിരീക്ഷിച്ച ഫലത്തെ വിശദീകരിക്കുന്നു. ഒരു നേരായ വയർ എടുത്ത് മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക. തുടർന്ന് പുറം ഭാഗങ്ങൾ വളയ്ക്കുക, അങ്ങനെ അവ മധ്യഭാഗവുമായി ഒരു വലത് കോണായി മാറുന്നു, കൂടാതെ 900 കൊണ്ട് പരസ്പരം ആപേക്ഷികമായി തിരിക്കുക. ഇപ്പോൾ ഈ കണക്ക് തിരിഞ്ഞ് ഒറ്റ കണ്ണുകൊണ്ട് കാണുക. ചില സ്ഥാനത്ത്, ഇത് ഒരു അടഞ്ഞ വയർ കഷണത്തിൽ നിന്നാണ് രൂപപ്പെട്ടതെന്ന് തോന്നും. ടേബിൾ ലാമ്പ് ഓണാക്കുന്നതിലൂടെ, മേശപ്പുറത്ത് വീഴുന്ന നിഴൽ നിങ്ങൾക്ക് നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയും, അത് ബഹിരാകാശത്ത് ചിത്രത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക സ്ഥലത്ത് ഒരു ത്രികോണമായി മാറുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഡിസൈൻ സവിശേഷത മറ്റൊരു സാഹചര്യത്തിൽ നിരീക്ഷിക്കാവുന്നതാണ്. വയർ കൊണ്ട് ഒരു മോതിരം ഉണ്ടാക്കി അത് വിവിധ ദിശകളിലേക്ക് വിരിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സിലിണ്ടർ സർപ്പിളത്തിന്റെ ഒരു വളവ് ലഭിക്കും. ഈ ലൂപ്പ്, തീർച്ചയായും, തുറന്നിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അടച്ച ലൈൻ ലഭിക്കും.

ഒരു വിമാനത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷനിൽ നിന്ന്, ഒരു ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന്, ഒരു ത്രിമാന രൂപം അവ്യക്തമായി പുനർനിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ബോധ്യപ്പെട്ടു. അതായത്, പ്രൊജക്ഷനിൽ "അസാധ്യമായ ത്രികോണം" സൃഷ്ടിക്കുന്ന ചില അവ്യക്തത, അടിവരയിടൽ എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

പെൻറോസുകളുടെ "അസാധ്യമായ ത്രികോണം", മറ്റ് പല ഒപ്റ്റിക്കൽ മിഥ്യാധാരണകളും പോലെ, ലോജിക്കൽ വിരോധാഭാസങ്ങൾക്കും വാക്യങ്ങൾക്കും തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും.

പെൻറോസ് ത്രികോണത്തിന്റെ അസാധ്യതയുടെ തെളിവ്

ഒരു വിമാനത്തിലെ ത്രിമാന വസ്തുക്കളുടെ ദ്വിമാന ചിത്രത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ഈ ഡിസ്പ്ലേയുടെ സവിശേഷതകൾ അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി.

അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം നിലവിലില്ലെന്ന് തെളിയിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, കാരണം അതിന്റെ ഓരോ കോണുകളും ശരിയാണ്, കൂടാതെ അവയുടെ ആകെത്തുക 1800-ന് പകരം 2700 ആണ്.

മാത്രമല്ല, 900-ൽ താഴെയുള്ള കോണുകളിൽ നിന്ന് ഒരുമിച്ച് ഒട്ടിച്ചിരിക്കുന്ന അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽപ്പോലും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം നിലവിലില്ലെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.

നിരവധി ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന മറ്റൊരു ത്രികോണം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായി ക്രമീകരിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കൃത്യമായി ഒരേ ത്രികോണം ലഭിക്കും, പക്ഷേ ഒരു ചെറിയ പിഴവോടെ. ഒരു ചതുരം കാണില്ല. ഇത് എങ്ങനെ സാധിക്കും? അതോ ഇപ്പോഴും ഒരു മിഥ്യയാണോ?

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="അസാധ്യമായ ത്രികോണം" width="298" height="161">!}

ധാരണ എന്ന പ്രതിഭാസം ഉപയോഗിക്കുന്നു

അസാധ്യതയുടെ പ്രഭാവം വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ എന്തെങ്കിലും വഴിയുണ്ടോ? ചില വസ്തുക്കൾ മറ്റുള്ളവയേക്കാൾ "അസാധ്യം" ആണോ? ഇവിടെ മനുഷ്യ ധാരണയുടെ പ്രത്യേകതകൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. താഴെ ഇടത് കോണിൽ നിന്ന് കണ്ണ് ഒരു വസ്തുവിനെ (ചിത്രം) പരിശോധിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നുവെന്ന് മനഃശാസ്ത്രജ്ഞർ കണ്ടെത്തി, തുടർന്ന് നോട്ടം വലത്തോട്ട് മധ്യഭാഗത്തേക്ക് സ്ലൈഡുചെയ്യുകയും ചിത്രത്തിന്റെ താഴെ വലത് കോണിലേക്ക് വീഴുകയും ചെയ്യുന്നു. നമ്മുടെ പൂർവ്വികർ, ഒരു ശത്രുവിനെ കണ്ടുമുട്ടുമ്പോൾ, ഏറ്റവും അപകടകരമായത് ആദ്യം നോക്കിയതാണ് ഈ പാതയ്ക്ക് കാരണം. വലംകൈ, എന്നിട്ട് നോട്ടം ഇടത്തോട്ട്, മുഖത്തേക്കും രൂപത്തിലേക്കും നീങ്ങി. അങ്ങനെ, കലാപരമായ ധാരണചിത്രത്തിന്റെ ഘടന എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. ഈ സവിശേഷത മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ ടേപ്പ്സ്ട്രികളുടെ നിർമ്മാണത്തിൽ വ്യക്തമായി പ്രകടമായിരുന്നു: അവയുടെ രൂപകൽപ്പനയായിരുന്നു പ്രതിബിംബംഒറിജിനൽ, കൂടാതെ ടേപ്പസ്ട്രികളും ഒറിജിനലുകളും നിർമ്മിച്ച ഇംപ്രഷൻ വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഉപയോഗിച്ച് സൃഷ്ടികൾ സൃഷ്ടിക്കുമ്പോൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി വിജയകരമായി ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും അസാധ്യമായ വസ്തുക്കൾ, "അസാധ്യതയുടെ ഡിഗ്രി" കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു. കമ്പ്യൂട്ടർ ടെക്നോളജി ഉപയോഗിച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ നിരവധി കറക്കിയ പെയിന്റിംഗുകളിൽ നിന്നോ (ഒരുപക്ഷേ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കാം) രസകരമായ കോമ്പോസിഷനുകൾ നേടാനുള്ള സാധ്യതയും ഉണ്ട്. വിവിധ തരംസമമിതികൾ) ഒന്ന് മറ്റൊന്നുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, കാഴ്ചക്കാരിൽ വസ്തുവിന്റെ വ്യത്യസ്തമായ മതിപ്പും ഡിസൈനിന്റെ സത്തയെക്കുറിച്ച് ആഴത്തിലുള്ള ധാരണയും സൃഷ്ടിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ചില കോണുകളിൽ ലളിതമായ ഒരു സംവിധാനം ഉപയോഗിച്ച് കറങ്ങുന്ന (നിരന്തരമോ ഞെട്ടലോടെയോ) ഒന്നിൽ നിന്ന്.

ഈ ദിശയെ ബഹുഭുജം (ബഹുഭുജം) എന്ന് വിളിക്കാം. ചിത്രീകരണങ്ങൾ പരസ്പരം ആപേക്ഷികമായി തിരിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. കോമ്പോസിഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൃഷ്ടിച്ചു: പേപ്പറിലെ ഒരു ഡ്രോയിംഗ്, മഷിയിലും പെൻസിലിലും നിർമ്മിച്ചത്, സ്കാൻ ചെയ്യുകയും ഡിജിറ്റൽ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയും ഗ്രാഫിക്സ് എഡിറ്ററിൽ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുകയും ചെയ്തു. ഒരു ക്രമം ശ്രദ്ധിക്കാവുന്നതാണ് - തിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിന് യഥാർത്ഥ ചിത്രത്തേക്കാൾ വലിയ "അസാധ്യതയുടെ ഡിഗ്രി" ഉണ്ട്. ഇത് എളുപ്പത്തിൽ വിശദീകരിക്കാം: കലാകാരൻ, ജോലിയുടെ പ്രക്രിയയിൽ, "ശരിയായ" ഇമേജ് സൃഷ്ടിക്കാൻ ഉപബോധമനസ്സോടെ ശ്രമിക്കുന്നു.

ഉപസംഹാരം

വിവിധ ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപങ്ങളുടെയും നിയമങ്ങളുടെയും ഉപയോഗം മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ മാത്രം ഒതുങ്ങുന്നില്ല. നൽകിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ കണക്കുകളും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പഠിക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ ലേഖനത്തിൽ പരാമർശിക്കാത്ത മറ്റുള്ളവരെ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ജ്യാമിതീയ ശരീരങ്ങൾഅല്ലെങ്കിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങളുടെ ദൃശ്യ വ്യാഖ്യാനം.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഫൈൻ ആർട്‌സ് ഇന്ന് അഭിവൃദ്ധി പ്രാപിക്കുന്നു, കൂടാതെ നിരവധി കലാകാരന്മാർ എഷറിന്റെ ശൈലിയിലും സ്വന്തം ശൈലിയിലും പെയിന്റിംഗുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഈ കലാകാരന്മാർ ശിൽപം, പരന്നതും ത്രിമാനവുമായ പ്രതലങ്ങളിൽ പെയിന്റിംഗ്, ലിത്തോഗ്രാഫി എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ മാധ്യമങ്ങളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്. ഗണിതശാസ്ത്ര കലയിലെ ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ വിഷയങ്ങൾ പോളിഹെഡ്ര, അസാധ്യമായ കണക്കുകൾ, മൊബിയസ് സ്ട്രിപ്പുകൾ, വികലമായ വീക്ഷണ സംവിധാനങ്ങൾ, ഫ്രാക്റ്റലുകൾ എന്നിവയായി തുടരുന്നു.

നിഗമനങ്ങൾ:

1. അതിനാൽ, അസാധ്യമായ കണക്കുകൾ പരിഗണിക്കുന്നത് നമ്മുടെ സ്പേഷ്യൽ ഭാവനയെ വികസിപ്പിക്കുന്നു, വിമാനത്തിൽ നിന്ന് ത്രിമാന സ്ഥലത്തേക്ക് "പുറത്തിറങ്ങാൻ" ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു, ഇത് സ്റ്റീരിയോമെട്രിയുടെ പഠനത്തിന് സഹായിക്കും.

2. അസാധ്യമായ കണക്കുകളുടെ മാതൃകകൾ ഒരു വിമാനത്തിൽ പ്രൊജക്ഷനുകൾ പരിഗണിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

3. ഗണിതശാസ്ത്ര സോഫിസങ്ങളും വിരോധാഭാസങ്ങളും പരിഗണിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ താൽപ്പര്യം ജനിപ്പിക്കുന്നു.

ഈ ജോലി നിർവഹിക്കുമ്പോൾ

1. അസാദ്ധ്യമായ കണക്കുകൾ എങ്ങനെ, എപ്പോൾ, എവിടെ, ആർക്കാണ് ആദ്യം പരിഗണിക്കപ്പെട്ടത്, അത്തരം നിരവധി രൂപങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ മനസ്സിലാക്കി, കലാകാരന്മാർ ഈ കണക്കുകൾ ചിത്രീകരിക്കാൻ നിരന്തരം ശ്രമിക്കുന്നു.

2. എന്റെ അച്ഛനോടൊപ്പം, ഞാൻ അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു മാതൃക ഉണ്ടാക്കി, ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് അതിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ പരിശോധിച്ചു, ഈ രൂപത്തിന്റെ വിരോധാഭാസം കണ്ടു.

3. ഈ രൂപങ്ങൾ ചിത്രീകരിക്കുന്ന കലാകാരന്മാരുടെ പുനർനിർമ്മാണങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു

4. എന്റെ സഹപാഠികൾക്ക് എന്റെ ഗവേഷണത്തിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു.

ഭാവിയിൽ, ഞാൻ നേടിയ അറിവ് ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കും, മറ്റ് വിരോധാഭാസങ്ങൾ ഉണ്ടോ എന്ന് എനിക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു?

സാഹിത്യം

1. സ്ഥാനാർത്ഥി സാങ്കേതിക ശാസ്ത്രംഡി.രാക്കോവ് അസാധ്യമായ കണക്കുകളുടെ ചരിത്രം

2. റൂട്ട്സ്വാർഡ് ഒ. അസാധ്യമായ കണക്കുകൾ.- എം.: സ്ട്രോയിസ്ദാറ്റ്, 1990.

3. V. Alekseev Illusions-ന്റെ വെബ്സൈറ്റ് · 7 അഭിപ്രായങ്ങൾ

4. ജെ. തിമോത്തി അൻറാച്ച്. - അതിശയകരമായ കണക്കുകൾ.
(AST പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് LLC, Astrel Publishing House LLC, 2002, 168 പേജ്.)

5. . - ഗ്രാഫിക് ആർട്ട്സ്.
(ആർട്ട്-റോഡ്നിക്, 2001)

6. ഡഗ്ലസ് ഹോഫ്സ്റ്റാഡർ. - ഗോഡൽ, എഷർ, ബാച്ച്: ഈ അനന്തമായ മാല. (പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് "ബഖ്രഖ്-എം", 2001)

7. A. Konenko - അസാധ്യമായ കണക്കുകളുടെ രഹസ്യങ്ങൾ
(ഓംസ്ക്: ലെവ്ഷ, 199)

ഇന്ന് ഞാൻ "കട്ട്" എന്ന പേരിൽ ഒരു പുതിയ വിഭാഗം തുറക്കുകയാണ്, അവിടെ ഞാൻ ഡ്രോയിംഗുകൾ, ടെംപ്ലേറ്റുകൾ, അതുപോലെ ഒപ്റ്റിക്കൽ മിഥ്യാധാരണകൾക്കുള്ള പാറ്റേണുകൾ എന്നിവ പോസ്റ്റ് ചെയ്യും. ഇന്ന് നമ്മൾ പേപ്പറിൽ നിന്ന് അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കും. നമുക്ക് അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക കോണിൽ നിന്ന് കാണുന്ന ഒരു മാതൃക സൃഷ്ടിക്കും.

1. ഡൗൺലോഡ് ചെയ്ത് പ്രിന്റ് ചെയ്യുക
2. ചിത്രത്തിലെ നിർദ്ദേശങ്ങൾ പാലിക്കുക

അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം എങ്ങനെ ശരിയായി പരിഗണിക്കാം?

അതിനാൽ, മിഥ്യാധാരണ ഒരു ക്യൂബിന്റെ അവ്യക്തമായ ഡ്രോയിംഗിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഐസോമെട്രിക് പ്രൊജക്ഷൻ. അപ്പോൾ ഈ ഓറിയന്റേഷനിൽ കാഴ്ചക്കാരനോട് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള കോണുകളും കാഴ്ചക്കാരനിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും അകലെയുള്ള കോണും ഒത്തുചേരും. ഇതിനർത്ഥം, ക്യൂബിന്റെ ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള അരികിലൂടെയും രണ്ട് താഴത്തെ അറ്റങ്ങളിലൂടെയും ഞങ്ങൾ തിരികെ പോകുമ്പോൾ പാത യഥാർത്ഥത്തിൽ വിദൂര കോണിൽ അവസാനിക്കുന്ന ആരംഭ പോയിന്റ്.

ഈ അസാധ്യമായ പെൻറോസ് ത്രികോണം

അത്തരമൊരു പ്രദേശത്ത് ചിത്രകലമനുഷ്യന്റെ ചർമ്മം വരയ്ക്കുന്നത് പോലെ, ഇന്നത്തെ ഏറ്റവും പുതിയ പ്രവണത ഒപ്റ്റിക്കൽ ഇല്യൂഷൻ രൂപങ്ങളാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും പെൻറോസ് ത്രികോണം അല്ലെങ്കിൽ ട്രൈബാർ, ഇതിനെ അസാധ്യം എന്നും വിളിക്കുന്നു. സ്വീഡിഷ് ചിത്രകാരൻ ഓസ്കാർ റോയിട്ടേഴ്‌സ്വാർഡ് ആണ് ഈ രൂപം ആദ്യമായി കണ്ടെത്തിയത്, അല്ലെങ്കിൽ കണ്ടുപിടിച്ചത്, അദ്ദേഹം 1935-ന്റെ തുടക്കത്തിൽ ഒരു കൂട്ടം ക്യൂബുകളുടെ രൂപത്തിൽ ലോകത്തിന് മുന്നിൽ അവതരിപ്പിച്ചു. പിന്നീട്, നമ്മുടെ നൂറ്റാണ്ടിന്റെ 80-കളിൽ, ട്രൈബാർ പാറ്റേൺ ആയിരുന്നു. ഒരു തപാൽ സ്റ്റാമ്പിൽ സ്വീഡനിൽ അച്ചടിച്ചു.

എന്നിരുന്നാലും, ഒപ്റ്റിക്കൽ മിഥ്യാധാരണകളുടെ വിഭാഗത്തിൽ പെടുന്ന അസാധ്യമായ പെൻറോസ് ത്രികോണത്തിന്റെ ചിത്രം 1958-ൽ ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ റോജർ പെൻറോസിന്റെ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിന് ശേഷം വ്യാപകമായി അറിയപ്പെട്ടു. അസാധ്യമായ കണക്കുകൾ, ബ്രിട്ടീഷ് ജേണൽ ഓഫ് സൈക്കോളജിയിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ഈ പോസ്റ്റിൽ നിന്ന് പ്രചോദനം ഉൾക്കൊണ്ട്, പ്രശസ്ത ചിത്രകാരൻഹോളണ്ടിൽ നിന്ന്, മൗറിറ്റ്സ് എഷർ 1961-ൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ കൃതികളിലൊന്നായ "വെള്ളച്ചാട്ടം" സൃഷ്ടിച്ചു.

ഒപ്റ്റിക്കൽ മിഥ്യ

ചിത്രകലയിലെ ഒപ്റ്റിക്കൽ മിഥ്യാധാരണകൾ ദൃശ്യ ഭ്രമംധാരണ യഥാർത്ഥ ചിത്രം, കലാകാരൻ സൃഷ്ടിച്ചത്ഒരു വിമാനത്തിലെ വരികളുടെ ഒരു പ്രത്യേക ക്രമീകരണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കാഴ്ചക്കാരൻ ചിത്രത്തിന്റെ കോണുകളുടെ വലുപ്പം അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം തെറ്റായി കണക്കാക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ജെസ്റ്റാൾട്ട് തെറാപ്പി പോലുള്ള മനഃശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഉപവിഭാഗങ്ങളുടെ പഠന വിഷയമായി ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. എഷറിന് പുറമേ, മറ്റൊരു വ്യക്തിക്ക് ഒപ്റ്റിക്കൽ മിഥ്യാധാരണകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു വലിയ കലാകാരൻ- ലോകമെമ്പാടും പ്രശസ്തമായ എൽ സാൽവഡോർഡാലി. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിനിവേശത്തിന്റെ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു ചിത്രമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, "ആനകളിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്ന ഹംസങ്ങൾ" എന്ന പെയിന്റിംഗ്.

മുകളിലുള്ള ത്രികോണവും ബാധകമാണ് ഒപ്റ്റിക്കൽ മിഥ്യാധാരണകൾ, കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അവരുടെ ഭാഗത്തെ അസാധ്യമായ കണക്കുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് നോക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന വികാരം കൊണ്ടാണ് അവയെ അങ്ങനെ വിളിക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ ലോകംഅത് കേവലം അസാധ്യമാണ്.

മിഥ്യാധാരണകളുടെ പ്രയോഗം

അവരുടെ അദ്വിതീയ രൂപത്തിന് നന്ദി, മിഥ്യാധാരണയുള്ള വസ്തുക്കൾ കലാകാരന്മാരും ടാറ്റൂ ആർട്ടിസ്റ്റുകളും മാത്രമല്ല ശ്രദ്ധാകേന്ദ്രമാണ് - നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം കൈകൊണ്ടോ പ്രൊഫഷണലുകളുടെ സഹായത്തോടെയോ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിന് ഒരു കമ്പനി ലോഗോയായി പ്രവർത്തിക്കാനും കഴിയും. മിഥ്യാധാരണ രൂപങ്ങളുടെ ഈ ഉപയോഗത്തിന്റെ മികച്ച ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഡീഡിലെ സൈക്കഡെലിക് നാടോടി ബാൻഡിന്റെ ലോഗോ ഉൾപ്പെടുന്നു, ഇത് അസാധ്യമായ ഒരു ക്യൂബാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ചിപ്പ് നിർമ്മാതാക്കളായ ഡിജിലന്റ് ഇങ്കിന്റെ ബ്രാൻഡ്, ഇത് ഒരു ക്ലാസിക് പെൻറോസ് ത്രികോണ ചിത്രമാണ്.

പ്രൊഫഷണലുകളിലേക്ക് തിരിയാതെ തന്നെ നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം ലോഗോ ഉണ്ടാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിർദ്ദേശങ്ങൾ പാലിക്കുക, തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പേപ്പറിലോ ടാബ്‌ലെറ്റിലോ ലളിതമായ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം അല്ലെങ്കിൽ നിർമ്മിക്കാം. ത്രിമാന ചിത്രം. ഇത് ഒരു അടയാളമായി സ്ഥാപിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ ഔട്ട്ഡോർ പരസ്യംനിങ്ങളുടെ സ്റ്റോർ.

ഇത് സ്വയം എങ്ങനെ ചെയ്യാം

അഡോബ് ഇല്ലസ്‌ട്രേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ട്രൈബാർ എങ്ങനെ വരയ്ക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ:

1. ആദ്യം നിങ്ങൾ ദീർഘചതുരം ടൂൾ ഉപയോഗിച്ച് 3 ചതുരങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കണം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം വ്യൂ മെനുവിലേക്ക് പോയി സ്മാർട്ട് ഗൈഡുകൾ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
2. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ എല്ലാം തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഒബ്ജക്റ്റ് മെനുവിലേക്ക് പോകേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ട്രാൻസ്ഫോം ചെയ്ത് ഓരോന്നിനും ട്രാൻസ്ഫോം തുറക്കുക, അവിടെ സ്കെയിൽ വിൻഡോയിൽ നിങ്ങൾ മൂല്യം വെർട്ടിക്കൽ സ്കെയിൽ = 86.6% നൽകി ശരി ക്ലിക്കുചെയ്യുക.
3. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഓരോ മുഖത്തിനും അതിന്റേതായ ഭ്രമണകോണം സജ്ജീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വിൻഡോയിലേക്ക് പോയി ട്രാൻസ്ഫോം തുറക്കുക. അവിടെ, ആദ്യം ബെവലിന്റെ (ഷിയർ) മൂല്യം നൽകുക, തുടർന്ന് റൊട്ടേഷൻ (റൊട്ടേറ്റ്): ക്യൂബിന്റെ മുകളിലെ ഉപരിതലം ഷിയർ +30 °, തിരിക്കുക -30 °; വലത് ഉപരിതലം - ഷിയർ + 30 °, തിരിക്കുക + 30 °; ഇടത് ഉപരിതലം - ഷിയർ -30°, തിരിക്കുക -30°.
4. ഇപ്പോൾ, സ്മാർട്ട് ഗൈഡ്സ് ലൈനുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾ ക്യൂബിന്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും ഒരുമിച്ച് ഡോക്ക് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്: ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു വശത്തിന്റെ മൂലയിൽ മൗസ് ഹുക്ക് ചെയ്യുകയും മറ്റൊന്നിലേക്ക് വലിക്കുകയും വേണം.
5. ഈ ഘട്ടത്തിൽ, നിങ്ങൾ ക്യൂബ് 30 ° കൊണ്ട് തിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒബ്ജക്റ്റിലേക്ക് പോകുക, ട്രാൻസ്ഫോം, റൊട്ടേറ്റ് എന്നിവ തിരഞ്ഞെടുക്കുക, അവിടെ 30 ° ആംഗിൾ മൂല്യം നൽകി ശരി ക്ലിക്കുചെയ്യുക.
6. ഒരു ട്രൈബാർ ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് 6 ക്യൂബുകൾ ആവശ്യമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾ ക്യൂബ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് Alt, Shift എന്നിവ അമർത്തി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒബ്‌ജക്റ്റ് തിരശ്ചീന ദിശയിൽ നീട്ടി മൗസ് ഉപയോഗിച്ച് വശത്തേക്ക് വലിച്ചിടുക. തിരഞ്ഞെടുക്കൽ നീക്കം ചെയ്യാതെ, CMD + D 6 തവണ അമർത്തുക. നമുക്ക് 6 ക്യൂബുകൾ ലഭിക്കും.
7. അവസാന ക്യൂബിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തത് ഉപേക്ഷിച്ച്, എന്റർ അമർത്തുക, മൂവ് വിൻഡോയിൽ ആംഗിൾ മൂല്യം 240° ആയി മാറ്റുക, തുടർന്ന് പകർത്തുക അമർത്തുക. നിങ്ങൾക്ക് 6 കോപ്പികൾ ലഭിക്കുന്നതുവരെ CMD + D വീണ്ടും അമർത്തുക.
8. ഇപ്പോൾ എല്ലാം ആവർത്തിക്കുക: വീണ്ടും എന്റർ അമർത്തുക, അവസാന ക്യൂബ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക, ആംഗിൾ 120° ആയി മാത്രം സജ്ജമാക്കി 5 പകർപ്പുകൾ മാത്രം ഉണ്ടാക്കുക.
9. സെലക്ഷൻ ടൂൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾ ആകൃതിയുടെ മുകളിലെ ഉപരിതലം തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട് (അത് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് അത് വീണ്ടും വർണ്ണിക്കാം), മെനു തുറക്കുക ഒബ്ജക്റ്റ് - ക്രമീകരിക്കുക - പിന്നിലേക്ക് അയയ്ക്കുക. ഇപ്പോൾ മുകളിലെ ക്യൂബിന്റെ പെയിന്റ് ചെയ്ത ഉപരിതലം തിരഞ്ഞെടുക്കുക, ഒബ്ജക്റ്റ് - ക്രമീകരിക്കുക - ഫ്രണ്ടിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക.

പെൻറോസ് ഭ്രമം പൂർത്തിയായി. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് നിങ്ങളുടെ സോഷ്യൽ മീഡിയ പേജിലോ ബ്ലോഗിലോ പോസ്റ്റുചെയ്യാം അല്ലെങ്കിൽ ബിസിനസ്സിനായി ഉപയോഗിക്കാം.

ആശംസകൾ, ബ്ലോഗ് സൈറ്റിന്റെ പ്രിയ വായനക്കാർ. Rustam Zakirov സമ്പർക്കത്തിലാണ്, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് മറ്റൊരു ലേഖനം ഉണ്ട്, ഒരു പെൻറോസ് ത്രികോണം എങ്ങനെ വരയ്ക്കാം എന്നതാണ് വിഷയം. അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുന്നത് എത്ര എളുപ്പവും ലളിതവുമാണെന്ന് ഇന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ കാണിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് ഡ്രോയിംഗുകൾ ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കും, ഒന്ന് പതിവ്, രണ്ടാമത്തേത് യഥാർത്ഥ 3D ഡ്രോയിംഗ് ആയിരിക്കും. ഇതെല്ലാം അതിശയകരമാംവിധം ലളിതമായിരിക്കും. ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ 3D ഡ്രോയിംഗ് നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. ഇത് മറ്റെവിടെയെങ്കിലും നിങ്ങൾക്ക് കാണിക്കുമെന്ന് എനിക്ക് സംശയമുണ്ട്, അതിനാൽ ലേഖനം അവസാനം വരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഡ്രോയിംഗുകൾക്കായി, എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്: ഒരു കടലാസ് ലളിതമായ പെൻസിലുകൾ(വെയിലത്ത് ഒരു "ഇടത്തരം", "മറ്റൊരു മൃദു") കൂടാതെ നിരവധി നിറമുള്ള പെൻസിലുകൾ അല്ലെങ്കിൽ മാർക്കറുകൾ.

3D ഡ്രോയിംഗുകൾ എങ്ങനെ എളുപ്പത്തിൽ വരയ്ക്കാം.

ഇന്റർനെറ്റിൽ ഞാൻ കണ്ടെത്തിയ ഈ സാധാരണ ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് അസാധ്യമായ ഈ ത്രികോണം ഞാൻ പുറത്തെടുത്തു. ഇതാ അവൾ.

എന്നിട്ട് കുറച്ച് മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ഞാൻ അത് സഹായത്തോടെ 3D ആക്കി മാറ്റി . ഇതുവഴി നിങ്ങൾക്ക് ഏത് ചിത്രവും 3D ആക്കി മാറ്റാനാകും. നിങ്ങൾക്കും ഇതേ രീതിയിൽ പഠിക്കണമെങ്കിൽ, ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.

ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ഡ്രോയിംഗിലേക്ക് പോകുന്നു.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പാറ്റേൺ വരയ്ക്കുക.

ഘട്ടം 1. ഞങ്ങൾ മോണിറ്റർ സ്ക്രീനിൽ നിന്ന് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ കടലാസ് എടുത്ത് മോണിറ്റർ സ്‌ക്രീനിലെ ത്രികോണത്തിന് നേരെ ചാരി, അത് വിവർത്തനം ചെയ്യുക.

നമ്മുടെ ത്രികോണം ഒട്ടും സങ്കീർണ്ണമല്ലാത്തതിനാൽ, അതിന്റെ എല്ലാ കോണുകളിലും പ്രധാന പോയിന്റുകൾ മാത്രം വെച്ചാൽ മതി.

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഒറിജിനൽ നോക്കുകയും ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് ഈ പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എനിക്ക് ഇതുപോലെ കിട്ടി.

ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണം എല്ലാം തയ്യാറാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഇതുപോലെ ഉപേക്ഷിക്കാം, പക്ഷേ നമുക്ക് ഇത് കുറച്ച് കൂടി അലങ്കരിക്കാം. നിറമുള്ള പെൻസിലുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഞാൻ ഇത് ചെയ്തത്. ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണം പൂർണ്ണമായും അലങ്കരിച്ച ശേഷം, ലളിതമായ മൃദുവായ പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അതിനെ പൂർണ്ണമായും രൂപരേഖയിലാക്കുന്നു.

ഈ സമയത്ത്, ഞങ്ങളുടെ സാധാരണ പെൻറോസ് ത്രികോണം പൂർണ്ണമായും തയ്യാറാണ്, ഞങ്ങൾ അതേ ത്രികോണത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ 3D ഡ്രോയിംഗ് വരയ്ക്കുക.

ഘട്ടം 1. ഞങ്ങൾ വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

ഒരു സാധാരണ പാറ്റേൺ ഉള്ള അതേ സ്കീം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു. ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു റെഡിമെയ്ഡ് ത്രികോണം നൽകുന്നു, ഇതിനകം 3D ഫോർമാറ്റിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. അവൻ ഇതാ.

നിങ്ങൾ അത് വിവർത്തനം ചെയ്യുക. ഒരു സാധാരണ പാറ്റേൺ പോലെ ഞങ്ങൾ എല്ലാം ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങൾ പേപ്പർ ഷീറ്റ് എടുത്ത് മോണിറ്റർ സ്‌ക്രീനിലേക്ക് ചായുക, പേപ്പർ ഷീറ്റ് തിളങ്ങുന്നു, പൂർത്തിയാക്കിയ 3D ഡ്രോയിംഗ് നിങ്ങളുടെ പേപ്പറിലേക്ക് മാറ്റുക.

ഇതാണ് എനിക്ക് സംഭവിച്ചത്.

ത്രികോണത്തിന്റെ വലിപ്പം കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങളുടെ മോണിറ്ററിന്റെ സ്കെയിൽ മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്. Ctrl കീ അമർത്തിപ്പിടിച്ച് മൗസ് വീൽ ചുരുട്ടുക.

ഞങ്ങളുടെ 3D ഡ്രോയിംഗ് ഇതിനകം തയ്യാറാണെന്ന് നമുക്ക് സുരക്ഷിതമായി പറയാൻ കഴിയും. എനിക്ക് ഏകദേശം 3 മിനിറ്റ് എടുത്തു. തത്വത്തിൽ, നമുക്ക് ഇവിടെ സുരക്ഷിതമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ നമ്മുടെ ത്രികോണം കുറച്ചുകൂടി അലങ്കരിക്കാം.

പുറമേ അറിയപ്പെടുന്ന അസാധ്യമായ ത്രികോണംഒപ്പം ഗോത്രവർഗ്ഗം.

കഥ

1958-ൽ ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ റോജർ പെൻറോസിന്റെ ബ്രിട്ടീഷ് ജേണൽ ഓഫ് സൈക്കോളജിയിൽ അസാധ്യമായ കണക്കുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതിനുശേഷം ഈ കണക്ക് വ്യാപകമായി അറിയപ്പെട്ടു. ഈ ലേഖനത്തിൽ, അസാധ്യമായ ത്രികോണം അതിന്റെ ഏറ്റവും പൊതുവായ രൂപത്തിൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു - ഇൻ മൂന്നിന്റെ രൂപംവലത് കോണുകളിൽ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ബീമുകൾ. ഈ ലേഖനം സ്വാധീനിച്ചു ഡച്ച് കലാകാരൻമൗറിറ്റ്സ് എഷർ തന്റെ പ്രശസ്തമായ ലിത്തോഗ്രാഫുകളിൽ ഒന്ന് "വെള്ളച്ചാട്ടം" സൃഷ്ടിച്ചു.

ശിൽപങ്ങൾ

അലൂമിനിയം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച അസാധ്യമായ ത്രികോണത്തിന്റെ 13 മീറ്റർ ശിൽപം 1999 ൽ പെർത്തിൽ (ഓസ്ട്രേലിയ) സ്ഥാപിച്ചു.

ഡച്ച്‌ഷെസ് ടെക്നിക്മ്യൂസിയം ബെർലിൻ ഫെബ്രുവരി 2008 0004.JPG

വ്യൂപോയിന്റ് മാറ്റുമ്പോൾ അതേ ശിൽപം

മറ്റ് കണക്കുകൾ

സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പെൻറോസ് ത്രികോണത്തിന്റെ അനലോഗുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണെങ്കിലും, അവയിൽ നിന്നുള്ള വിഷ്വൽ ഇഫക്റ്റ് അത്ര ശ്രദ്ധേയമല്ല. വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച്, വസ്തു വളഞ്ഞതോ വളച്ചൊടിച്ചതോ ആയി കാണപ്പെടുന്നു.

ഇതും കാണുക

• മൂന്ന് മുയലുകൾ (ഇംഗ്ലീഷ്) മൂന്ന് മുയലുകൾ )

"പെൻറോസ് ട്രയാംഗിൾ" എന്ന ലേഖനത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു അവലോകനം എഴുതുക

പെൻറോസ് ട്രയാംഗിളിനെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഒരു ഉദ്ധരണി