Jika ayunan diterangkan mengikut hukum sinus. Ayunan

>>Getaran harmonik

§ 22 GETARAN HARMONIK

Mengetahui bagaimana pecutan dan koordinat badan berayun berkaitan antara satu sama lain, adalah mungkin, berdasarkan analisis matematik, untuk mencari pergantungan koordinat pada masa.

Pecutan ialah terbitan kedua bagi koordinat berkenaan dengan masa. Kelajuan serta-merta titik, seperti yang anda ketahui daripada kursus matematik, ialah terbitan koordinat titik berkenaan dengan masa. Pecutan titik ialah terbitan kelajuannya berkenaan dengan masa, atau terbitan kedua koordinat berkenaan dengan masa. Oleh itu, persamaan (3.4) boleh ditulis seperti berikut:

di mana x " - terbitan kedua bagi koordinat berkenaan dengan masa. Menurut persamaan (3.11), semasa ayunan bebas, koordinat x berubah dengan masa supaya terbitan kedua koordinat berkenaan dengan masa adalah berkadar terus dengan koordinat itu sendiri dan bertentangan dalam tanda.

Dari kursus matematik diketahui bahawa terbitan kedua sinus dan kosinus berkenaan dengan hujahnya adalah berkadar dengan fungsi itu sendiri, diambil daripada tanda bertentangan. Analisis matematik membuktikan bahawa tiada fungsi lain yang mempunyai sifat ini. Semua ini membolehkan anda dengan alasan yang baik menegaskan bahawa koordinat badan melakukan getaran percuma, berubah mengikut masa mengikut hukum sinus atau pasina. Rajah 3.6 menunjukkan perubahan dalam koordinat titik mengikut masa mengikut hukum kosinus.

Perubahan berkala dalam kuantiti fizik bergantung pada masa, berlaku mengikut hukum sinus atau kosinus, dipanggil ayunan harmonik.

Amplitud ayunan. Amplitud ayunan harmonik ialah modulus anjakan terbesar jasad daripada kedudukan keseimbangannya.

Amplitud mungkin mempunyai makna yang berbeza bergantung pada berapa banyak kita menganjakkan badan dari kedudukan keseimbangan pada saat awal masa, atau pada kelajuan yang diberikan kepada badan. Amplitud ditentukan oleh keadaan awal, atau lebih tepat lagi oleh tenaga yang diberikan kepada badan. Tetapi nilai maksimum modulus sinus dan modulus kosinus adalah sama dengan satu. Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan (3.11) tidak boleh dinyatakan hanya sebagai sinus atau kosinus. Ia hendaklah dalam bentuk hasil darab amplitud ayunan x m dengan sinus atau kosinus.

Penyelesaian persamaan yang menerangkan getaran bebas. Mari kita tulis penyelesaian kepada persamaan (3.11) dalam bentuk berikut:

dan terbitan kedua akan sama dengan:

Kami telah memperoleh persamaan (3.11). Akibatnya, fungsi (3.12) ialah penyelesaian kepada persamaan asal (3.11). Penyelesaian kepada persamaan ini juga akan menjadi fungsi

Graf koordinat badan lawan masa mengikut (3.14) ialah gelombang kosinus (lihat Rajah 3.6).

Tempoh dan kekerapan ayunan harmonik. Apabila berayun, pergerakan badan diulang secara berkala. Tempoh masa T semasa sistem melengkapkan satu kitaran lengkap ayunan dipanggil tempoh ayunan.

Mengetahui tempoh, anda boleh menentukan kekerapan ayunan, iaitu bilangan ayunan seunit masa, contohnya sesaat. Jika satu ayunan berlaku dalam masa T, maka bilangan ayunan sesaat

DALAM Sistem antarabangsa unit (SI) frekuensi ayunan adalah sama dengan satu jika satu ayunan berlaku sesaat. Unit frekuensi dipanggil hertz (disingkat: Hz) sebagai penghormatan kepada ahli fizik Jerman G. Hertz.

Bilangan ayunan dalam 2 s adalah sama dengan:

Kuantiti ialah kekerapan ayunan kitaran, atau bulatan. Jika dalam persamaan (3.14) masa t adalah sama dengan satu tempoh, maka T = 2. Oleh itu, jika pada masa t = 0 x = x m, maka pada masa t = T x = x m, iaitu melalui tempoh masa yang sama dengan satu tempoh, ayunan diulang.

Kekerapan getaran bebas ditentukan oleh frekuensi semula jadi sistem ayunan 1.

Kebergantungan frekuensi dan tempoh ayunan bebas pada sifat sistem. Kekerapan semula jadi getaran jasad yang dilekatkan pada spring, mengikut persamaan (3.13), adalah sama dengan:

Semakin besar kekakuan spring k, semakin besar ia, dan semakin kurang, semakin besar jisim badan m. Ini mudah difahami: spring yang kaku memberikan pecutan yang lebih besar kepada badan dan mengubah kelajuan badan dengan lebih pantas. Dan semakin besar badan, semakin perlahan ia mengubah kelajuan di bawah pengaruh daya. Tempoh ayunan ialah:

Mempunyai satu set mata air yang berlainan kekakuan dan jasad yang berlainan jisim, adalah mudah untuk mengesahkan daripada pengalaman bahawa formula (3.13) dan (3.18) menerangkan dengan betul sifat pergantungan dan T pada k dan m.

Sungguh mengagumkan bahawa tempoh ayunan jasad pada spring dan tempoh ayunan bandul pada sudut pesongan kecil tidak bergantung pada amplitud ayunan.

Modulus pekali perkadaran antara pecutan t dan sesaran x dalam persamaan (3.10), yang menerangkan ayunan bandul, adalah, seperti dalam persamaan (3.11), kuasa dua bagi frekuensi kitaran. Akibatnya, kekerapan semula jadi ayunan bandul matematik pada sudut sisihan kecil benang dari menegak bergantung pada panjang bandul dan pecutan graviti:

Formula ini pertama kali diperoleh dan diuji secara eksperimen oleh saintis Belanda G. Huygens, sezaman dengan I. Newton. Ia hanya sah untuk sudut kecil pesongan benang.

1 Selalunya dalam perkara berikut, untuk ringkasnya, kita hanya akan merujuk kepada kekerapan kitaran sebagai kekerapan. Anda boleh membezakan kekerapan kitaran daripada frekuensi biasa melalui tatatanda.

Tempoh ayunan bertambah dengan bertambahnya panjang bandul. Ia tidak bergantung kepada jisim bandul. Ini boleh disahkan dengan mudah secara eksperimen dengan pelbagai bandul. Kebergantungan tempoh ayunan pada pecutan graviti juga boleh dikesan. Semakin kecil g, semakin lama tempoh ayunan bandul dan, oleh itu, semakin perlahan jam bandul berjalan. Oleh itu, jam dengan bandul dalam bentuk pemberat pada sebatang joran akan ketinggalan hampir 3 s sehari jika ia diangkat dari tingkat bawah tanah ke tingkat atas Universiti Moscow (ketinggian 200 m). Dan ini hanya disebabkan oleh penurunan dalam pecutan jatuh bebas dengan ketinggian.

Kebergantungan tempoh ayunan bandul pada nilai g digunakan dalam amalan. Dengan mengukur tempoh ayunan, g boleh ditentukan dengan sangat tepat. Pecutan graviti berubah dengan latitud geografi. Tetapi walaupun pada latitud tertentu ia tidak sama di mana-mana. Lagipun, ketumpatan kerak bumi tidak sama di mana-mana. Di kawasan di mana batuan tumpat berlaku, pecutan g agak lebih besar. Ini diambil kira semasa mencari mineral.

Oleh itu, bijih besi mempunyai ketumpatan yang lebih tinggi berbanding dengan batu biasa. Pengukuran pecutan graviti berhampiran Kursk, yang dijalankan di bawah pimpinan Akademik A. A. Mikhailov, memungkinkan untuk menjelaskan lokasi bijih besi. Mereka pertama kali ditemui melalui pengukuran magnetik.

Sifat-sifat getaran mekanikal digunakan dalam peranti kebanyakan skala elektronik. Badan yang akan ditimbang diletakkan di atas pelantar yang di bawahnya dipasang spring tegar. Akibatnya, terdapat getaran mekanikal, kekerapannya diukur oleh penderia yang sepadan. Mikropemproses yang dikaitkan dengan sensor ini menukarkan frekuensi ayunan kepada jisim badan yang sedang ditimbang, kerana frekuensi ini bergantung kepada jisim.

Formula yang terhasil (3.18) dan (3.20) untuk tempoh ayunan menunjukkan bahawa tempoh ayunan harmonik bergantung pada parameter sistem (kekakuan spring, panjang benang, dll.)

Myakishev G. Ya., Fizik. darjah 11: pendidikan. untuk pendidikan am institusi: asas dan profil. peringkat / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; diedit oleh V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - ed. ke-17, disemak. dan tambahan - M.: Pendidikan, 2008. - 399 p.: sakit.

Senarai lengkap topik mengikut gred, pelan kalendar mengikut kurikulum sekolah dalam fizik dalam talian, bahan video fizik untuk gred 11 muat turun

Nilai kelajuan dan pecutan maksimum

Setelah menganalisis persamaan pergantungan v(t) dan a(t), kita boleh meneka bahawa kelajuan dan pecutan mengambil nilai maksimum dalam kes apabila faktor trigonometri adalah sama dengan 1 atau -1. Ditentukan oleh formula

Bagaimana untuk mendapatkan kebergantungan v(t) dan a(t)

7. Getaran percuma. Kelajuan, pecutan dan tenaga gerakan berayun. Penambahan getaran

Getaran percuma(atau getaran semula jadi) ialah ayunan sistem ayunan yang berlaku hanya disebabkan tenaga yang mula-mula diberikan (berpotensi atau kinetik) tanpa adanya pengaruh luar.

Tenaga potensi atau kinetik boleh diberikan, contohnya, dalam sistem mekanikal melalui anjakan awal atau halaju awal.

Jasad yang berayun bebas sentiasa berinteraksi dengan jasad lain dan bersama-sama dengannya membentuk satu sistem badan yang dipanggil sistem ayunan.

Sebagai contoh, spring, bola dan tiang menegak di mana hujung atas spring dipasang (lihat rajah di bawah) dimasukkan ke dalam sistem ayunan. Di sini bola meluncur bebas sepanjang tali (daya geseran boleh diabaikan). Jika anda menggerakkan bola ke kanan dan membiarkannya sendiri, ia akan berayun bebas di sekitar kedudukan keseimbangan (titik TENTANG) disebabkan oleh tindakan daya kenyal spring yang diarahkan ke arah kedudukan keseimbangan.

Kepada orang lain contoh klasik Sistem ayunan mekanikal ialah pendulum matematik (lihat rajah di bawah). Dalam kes ini, bola melakukan ayunan bebas di bawah pengaruh dua daya: graviti dan daya keanjalan benang (Bumi juga termasuk dalam sistem ayunan). Hasilnya diarahkan ke arah kedudukan keseimbangan.

Daya yang bertindak antara badan sistem ayunan dipanggil kuasa dalaman. Oleh kuasa luar dipanggil daya yang bertindak ke atas sistem dari badan di luarnya. Dari sudut pandangan ini, ayunan bebas boleh ditakrifkan sebagai ayunan dalam sistem di bawah pengaruh kuasa dalaman selepas sistem dibawa keluar daripada keseimbangan.

Syarat-syarat terjadinya getaran bebas ialah:

1) kemunculan dalam mereka daya yang mengembalikan sistem ke kedudukan keseimbangan yang stabil selepas ia dikeluarkan dari keadaan ini;

2) ketiadaan geseran dalam sistem.

Dinamik getaran bebas.

Getaran badan di bawah pengaruh daya kenyal. Persamaan gerakan berayun jasad di bawah tindakan daya kenyal F(lihat rajah) boleh diperolehi dengan mengambil kira hukum kedua Newton ( F = ma) dan hukum Hooke ( F kawalan= -kx), Di mana m ialah jisim bola, dan ialah pecutan yang diperoleh oleh bola di bawah tindakan daya kenyal, k- pekali kekakuan spring, X- anjakan badan dari kedudukan keseimbangan (kedua-dua persamaan ditulis dalam unjuran ke paksi mendatar Oh). Menyamakan sisi kanan persamaan ini dan mengambil kira bahawa pecutan A ialah terbitan kedua bagi koordinat X(anjakan), kita dapat:

.

Ini ialah persamaan pembezaan pergerakan jasad yang berayun di bawah tindakan daya kenyal: terbitan kedua koordinat berkenaan dengan masa (pecutan badan) adalah berkadar terus dengan koordinatnya, diambil dengan tanda bertentangan.

Ayunan bandul matematik. Untuk mendapatkan persamaan ayunan bandul matematik (angka), adalah perlu untuk mengembangkan daya graviti F T= mg kepada normal Fn(diarahkan sepanjang benang) dan tangen F τ(tangen kepada trajektori bola - bulatan) komponen. Komponen graviti biasa Fn dan daya kenyal benang Fynp secara total memberikan kepada pecutan sentripetal bandul, yang tidak menjejaskan magnitud kelajuan, tetapi hanya mengubah arahnya, dan komponen tangen F τ ialah daya yang mengembalikan bola ke kedudukan keseimbangannya dan menyebabkannya melakukan pergerakan berayun. Menggunakan, seperti dalam kes sebelumnya, hukum Newton untuk pecutan tangen ma τ = F τ dan diberikan itu F τ= -mg sinα, kita mendapatkan:

a τ= -g sinα,

Tanda tolak muncul kerana daya dan sudut sisihan daripada kedudukan keseimbangan α mempunyai tanda yang berlawanan. Untuk sudut pesongan kecil dosa α ≈ α. Pada gilirannya, α = s/l, Di mana s- arka O.A., saya- panjang benang. Mempertimbangkan itu dan τ= s", akhirnya kita dapat:

Bentuk persamaan adalah serupa dengan persamaan . Hanya di sini parameter sistem adalah panjang benang dan pecutan jatuh bebas, dan bukan kekakuan spring dan jisim bola; peranan koordinat dimainkan oleh panjang lengkok (iaitu, jarak yang dilalui, seperti dalam kes pertama).

Oleh itu, getaran bebas diterangkan oleh persamaan jenis yang sama (tertakluk kepada undang-undang yang sama) tanpa mengira sifat fizikal daya yang menyebabkan getaran ini.

Menyelesaikan persamaan dan merupakan fungsi bentuk:

x = xmcos ω 0t(atau x = xmdosa ω 0t).

Iaitu, koordinat jasad yang melakukan ayunan bebas berubah mengikut masa mengikut hukum kosinus atau sinus, dan, oleh itu, ayunan ini adalah harmonik:

Dalam Persamaan. x = xmcos ω 0t(atau x = xmdosa ω 0t), x m- amplitud getaran, ω 0 - kekerapan kitaran (bulatan) ayunan sendiri.

Kekerapan kitaran dan tempoh ayunan harmonik bebas ditentukan oleh sifat sistem. Oleh itu, untuk getaran badan yang dilekatkan pada spring, hubungan berikut adalah sah:

.

Semakin besar kekakuan spring atau semakin kecil jisim beban, semakin besar frekuensi semula jadi, yang disahkan sepenuhnya oleh pengalaman.

Untuk bandul matematik persamaan berikut dipenuhi:

.

Formula ini mula-mula diperoleh dan diuji secara eksperimen oleh saintis Belanda Huygens (seangkatan dengan Newton).

Tempoh ayunan bertambah dengan bertambahnya panjang bandul dan tidak bergantung pada jisimnya.

Perhatian khusus harus diberikan kepada fakta bahawa ayunan harmonik adalah berkala ketat (kerana ia mematuhi undang-undang sinus atau kosinus) dan walaupun untuk bandul matematik, yang merupakan idealisasi bandul sebenar (fizikal), hanya mungkin pada ayunan kecil. sudut. Jika sudut pesongan adalah besar, anjakan beban tidak akan berkadar dengan sudut pesongan (sinus sudut) dan pecutan tidak akan berkadar dengan anjakan.

Kelajuan dan pecutan badan yang berayun bebas juga akan mengalami ayunan harmonik. Mengambil terbitan masa bagi fungsi ( x = xmcos ω 0t(atau x = xmdosa ω 0t)), kami memperoleh ungkapan untuk kelajuan:

v = -v mdosa ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

di mana v m= ω 0 x m- amplitud halaju.

Ungkapan yang sama untuk pecutan A kita perolehi dengan membezakan ( v = -v mdosa ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

di mana a m= ω 2 0x m- amplitud pecutan. Oleh itu, amplitud kelajuan ayunan harmonik adalah berkadar dengan frekuensi, dan amplitud pecutan adalah berkadar dengan kuasa dua frekuensi ayunan.

GETARAN HARMONIK
Ayunan di mana perubahan dalam kuantiti fizik berlaku mengikut hukum kosinus atau sinus (hukum harmonik), dipanggil. getaran harmonik. Contohnya, dalam kes getaran harmonik mekanikal:. Dalam formula ini, ω ialah kekerapan ayunan, x m ialah amplitud ayunan, φ 0 dan φ 0 ' ialah fasa awal ayunan. Formula di atas berbeza dalam definisi fasa awal dan pada φ 0 ’ = φ 0 +π/2 bertepatan sepenuhnya.
ini bentuk paling ringkas ayunan berkala. Bentuk khusus fungsi (sinus atau kosinus) bergantung kepada kaedah mengeluarkan sistem daripada kedudukan keseimbangannya. Jika penyingkiran berlaku dengan tolakan (tenaga kinetik disampaikan), maka pada t = 0 anjakan x = 0, oleh itu, ia adalah lebih mudah untuk digunakan. dosa fungsi, meletakkan φ 0 '=0; apabila menyimpang daripada kedudukan keseimbangan (tenaga potensi dilaporkan) pada t = 0, sesaran x = x m, oleh itu, adalah lebih mudah untuk menggunakan fungsi cos dan φ 0 = 0.
Ungkapan di bawah tanda cos atau dosa dipanggil. fasa ayunan:. Fasa ayunan diukur dalam radian dan menentukan nilai sesaran (kuantiti berayun) dalam masa ini masa.
Amplitud ayunan hanya bergantung pada sisihan awal (tenaga awal yang diberikan kepada sistem ayunan).
Halaju dan pecutan semasa ayunan harmonik.
Mengikut takrifan kelajuan, kelajuan ialah terbitan bagi sesuatu kedudukan berkenaan dengan masa
Oleh itu, kita melihat bahawa kelajuan semasa gerakan ayunan harmonik juga berubah mengikut undang-undang harmonik, tetapi ayunan kelajuan mendahului ayunan anjakan fasa sebanyak π/2.
Nilai - kelajuan maksimum gerakan berayun (amplitud turun naik kelajuan).
Oleh itu, untuk kelajuan semasa ayunan harmonik kita ada: , dan untuk kes sifar fasa permulaan (lihat graf).
Menurut definisi pecutan, pecutan ialah terbitan kelajuan berkenaan dengan masa: ialah terbitan kedua bagi koordinat berkenaan dengan masa. Kemudian: . Pecutan semasa gerakan ayunan harmonik juga berubah mengikut hukum harmonik, tetapi ayunan pecutan mendahului ayunan kelajuan sebanyak π/2 dan ayunan sesaran sebanyak π (ayunan dikatakan berlaku.
dalam antifasa) Nilai - pecutan maksimum (amplitud turun naik pecutan). Oleh itu, untuk pecutan kita mempunyai: , dan untuk kes sifar fasa awal:
(lihat carta). Daripada analisis proses gerakan berayun, graf dan sepadan adalah jelas bahawa apabila jasad berayun melepasi kedudukan keseimbangan (anjakan adalah sifar), pecutan adalah sifar dan kelajuan badan adalah maksimum (jasad melepasi kedudukan keseimbangan dengan inersia), dan apabila nilai amplitud sesaran dicapai, kelajuan adalah sifar dan pecutan adalah maksimum dalam nilai mutlak (badan menukar arah pergerakannya).
Mari kita bandingkan ungkapan untuk sesaran dan pecutan semasa getaran harmonik: dan .
Anda boleh menulis: - iaitu terbitan kedua bagi sesaran adalah berkadar terus (dengan tanda bertentangan) dengan sesaran. Persamaan ini dipanggil persamaan getaran harmonik. Kebergantungan ini berlaku untuk sebarang ayunan harmonik, tanpa mengira sifatnya. Oleh kerana kita tidak pernah menggunakan parameter sistem ayunan tertentu, hanya frekuensi kitaran boleh bergantung padanya.
Selalunya mudah untuk menulis persamaan untuk getaran dalam bentuk: , dengan T ialah tempoh ayunan. Kemudian, jika masa dinyatakan dalam pecahan tempoh, pengiraan akan dipermudahkan. Sebagai contoh, jika kita perlu mencari anjakan selepas 1/8 tempoh, kita mendapat: . Sama untuk kelajuan dan pecutan.

Selalunya terdapat kes apabila sistem mengambil bahagian secara serentak dalam dua atau beberapa ayunan bebas antara satu sama lain. Dalam kes ini, gerakan ayunan kompleks terbentuk, yang dicipta dengan menindih (menambah) ayunan antara satu sama lain. Jelas sekali, kes penambahan ayunan boleh menjadi sangat pelbagai. Mereka bergantung bukan sahaja pada bilangan ayunan tambahan, tetapi juga pada parameter ayunan, pada frekuensi, fasa, amplitud, dan arahnya. Tidak mungkin untuk menyemak semua kemungkinan pelbagai kes penambahan ayunan, jadi kami akan mengehadkan diri kami untuk mempertimbangkan hanya contoh individu.
1. Penambahan ayunan satu arah. Mari tambah dua ayunan frekuensi yang sama, tetapi fasa dan amplitud yang berbeza.

(4.40)
Apabila ayunan bertindih antara satu sama lain


Mari kita perkenalkan parameter baru A dan j mengikut persamaan:

(4.42)
Sistem persamaan (4.42) mudah diselesaikan.

(4.43)

(4.44)
Oleh itu, untuk x kita akhirnya memperoleh persamaan

(4.45)
Jadi, hasil daripada penambahan ayunan satu arah dengan frekuensi yang sama, kita memperoleh ayunan harmonik (sinusoidal), amplitud dan fasa yang ditentukan oleh formula (4.43) dan (4.44).
Mari kita pertimbangkan kes khas di mana hubungan antara fasa dua ayunan tambahan adalah berbeza:


(4.46)
Sekarang mari kita tambahkan ayunan satu arah dengan amplitud yang sama, fasa yang sama, tetapi frekuensi yang berbeza.


(4.47)
Mari kita pertimbangkan kes apabila frekuensi berdekatan antara satu sama lain, iaitu w1~w2=w
Kemudian kita kira-kira akan menganggap bahawa (w1+w2)/2= w, dan (w2-w1)/2 ialah nilai yang kecil. Persamaan untuk ayunan yang terhasil akan kelihatan seperti:

(4.48)
Grafnya ditunjukkan dalam Rajah. 4.5 Ayunan ini dipanggil berdegup. Ia berlaku dengan frekuensi w, tetapi amplitudnya berayun dengan tempoh yang besar.

2. Penambahan dua ayunan yang saling berserenjang. Mari kita andaikan bahawa satu ayunan berlaku di sepanjang paksi-x, yang lain di sepanjang paksi-y. Pergerakan yang terhasil jelas terletak dalam satah xy.
1. Mari kita andaikan bahawa frekuensi dan fasa ayunan adalah sama, tetapi amplitud adalah berbeza.

(4.49)
Untuk mencari trajektori pergerakan yang terhasil, anda perlu menghapuskan masa daripada persamaan (4.49). Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk membahagikan satu persamaan dengan sebutan dengan yang lain, akibatnya kita dapat

(4.50)
Persamaan (4.50) menunjukkan bahawa dalam kes ini, penambahan ayunan membawa kepada ayunan dalam garis lurus, yang cerunnya ditentukan oleh nisbah amplitud.
2. Biarkan fasa ayunan tambahan berbeza antara satu sama lain dengan /2 dan persamaan mempunyai bentuk:

(4.51)
Untuk mencari trajektori pergerakan yang terhasil, tidak termasuk masa, anda perlu mengduakan persamaan (4.51), mula-mula membahagikannya kepada A1 dan A2, masing-masing, dan kemudian menambahnya. Persamaan trajektori akan mengambil bentuk:

(4.52)
Ini adalah persamaan elips. Ia boleh dibuktikan bahawa untuk mana-mana fasa awal dan mana-mana amplitud dua ayunan yang saling berserenjang ditambah dengan frekuensi yang sama, ayunan yang terhasil akan berlaku di sepanjang elips. Orientasinya akan bergantung pada fasa dan amplitud ayunan tambahan.
Jika ayunan tambahan mempunyai frekuensi yang berbeza, maka trajektori pergerakan yang terhasil ternyata sangat pelbagai. Hanya jika frekuensi ayunan dalam x dan y adalah gandaan antara satu sama lain, trajektori tertutup diperolehi. Pergerakan sedemikian boleh dikelaskan sebagai berkala. Dalam kes ini, trajektori pergerakan dipanggil angka Lissajous. Mari kita pertimbangkan salah satu angka Lissajous, yang diperoleh dengan menambahkan ayunan dengan nisbah frekuensi 1:2, dengan amplitud dan fasa yang sama pada permulaan pergerakan.

(4.53)
Getaran di sepanjang paksi-y berlaku dua kali lebih kerap daripada sepanjang paksi-x. Penambahan ayunan tersebut akan membawa kepada trajektori pergerakan dalam bentuk angka lapan (Rajah 4.7).

8. Ayunan terendam dan parameternya: pekali penurunan dan ayunan, masa kelonggaran

)Tempoh ayunan lembap:

T = (58)

Pada δ << ω o getaran tidak berbeza daripada yang harmonik: T = 2π/ ω o.

2) Amplitud ayunan terlembap dinyatakan dengan formula (119).

3) Pengurangan pengecilan, sama dengan nisbah dua amplitud getaran berturut-turut A(t) Dan A(t+T), mencirikan kadar penurunan amplitud sepanjang tempoh:

= e d T (59)

4) Penurunan redaman logaritma- logaritma semulajadi nisbah amplitud dua ayunan berturut-turut sepadan dengan momen masa yang berbeza dengan tempoh

q = ln = ln e d Т =dT(60)

Penurunan redaman logaritma ialah nilai malar untuk sistem ayunan tertentu.

5) Masa relaksasi adalah kebiasaan untuk memanggil tempoh masa ( t) di mana amplitud ayunan terlembap berkurangan sebanyak e kali:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

Daripada perbandingan ungkapan (60) dan (61) kita perolehi:

q= = , (62)

di mana N e - bilangan ayunan yang dilakukan semasa kelonggaran.

Jika pada masa itu t sistem melakukan Ν teragak-agak, kemudian t = Ν . Τ dan persamaan ayunan terlembap boleh diwakili sebagai:

S = A 0 e -d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Faktor kualiti sistem ayunan(Q) biasanya dipanggil kuantiti yang mencirikan kehilangan tenaga dalam sistem semasa tempoh ayunan:

Q= 2hlm , (63)

di mana W- jumlah tenaga sistem, ΔW- tenaga hilang dalam satu tempoh. Lebih sedikit tenaga yang dilesapkan, lebih besar faktor kualiti sistem. Pengiraan menunjukkan bahawa

Q = = pN e = = . (64)

Walau bagaimanapun, faktor kualiti adalah berkadar songsang dengan pengurangan pengecilan logaritma. Daripada formula (64) ia menunjukkan bahawa faktor kualiti adalah berkadar dengan bilangan ayunan N e dilakukan oleh sistem semasa relaksasi.

7) Tenaga keupayaan sistem pada masa t, boleh dinyatakan dalam bentuk tenaga keupayaan W 0 pada sisihan terbesar:

W = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Ia biasanya dianggap secara konvensional bahawa ayunan telah berhenti secara praktikal jika tenaganya telah berkurangan sebanyak 100 kali (amplitud telah menurun sebanyak 10 kali). Dari sini kita boleh mendapatkan ungkapan untuk mengira bilangan ayunan yang dilakukan oleh sistem:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Getaran paksa. Resonans. Ayunan aperiodik. Ayunan diri.

Untuk membolehkan sistem melakukan ayunan tanpa lembap, adalah perlu untuk mengimbangi kehilangan tenaga ayunan akibat geseran dari luar. Untuk memastikan tenaga ayunan sistem tidak berkurangan, daya biasanya diperkenalkan yang bertindak secara berkala pada sistem (kami akan memanggil daya sedemikian memaksa, dan ayunan dipaksa).

DEFINISI: terpaksa Ini adalah ayunan yang berlaku dalam sistem berayun di bawah pengaruh daya luaran yang berubah secara berkala.

Daya ini biasanya memainkan peranan ganda:

pertama, ia menggegarkan sistem dan memberikannya sejumlah tenaga;

kedua, ia secara berkala menambah kehilangan tenaga (penggunaan tenaga) untuk mengatasi daya rintangan dan geseran.

Biarkan kuasa penggerak berubah mengikut masa mengikut undang-undang:

.

Mari kita susun persamaan gerakan untuk sistem yang berayun di bawah pengaruh daya sedemikian. Kami menganggap bahawa sistem ini juga dipengaruhi oleh daya seakan-akan anjal dan daya rintangan medium (yang benar di bawah andaian ayunan kecil). Kemudian persamaan gerakan sistem akan kelihatan seperti:

Ataupun .

Setelah membuat penggantian , , – kekerapan semula jadi ayunan sistem, kita memperoleh persamaan pembezaan linear tak homogen 2 ke pesanan:

Daripada teori persamaan pembezaan diketahui bahawa penyelesaian umum bagi persamaan tak homogen adalah sama dengan hasil tambah penyelesaian umum persamaan homogen dan penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen.

Penyelesaian umum persamaan homogen diketahui:

,

di mana ; a 0 dan a– konst sewenang-wenangnya.

.

Menggunakan gambar rajah vektor, anda boleh mengesahkan bahawa andaian ini adalah benar, dan juga menentukan nilai " a"Dan" j”.

Amplitud ayunan ditentukan oleh ungkapan berikut:

.

Maksudnya " j”, iaitu magnitud ketinggalan fasa ayunan paksa daripada daya penggerak yang menentukannya, juga ditentukan daripada rajah vektor dan berjumlah:

.

Akhirnya, penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen akan mengambil bentuk:

(8.18)

Fungsi ini, digabungkan dengan

(8.19)

memberikan penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan tak homogen yang menerangkan kelakuan sistem di bawah ayunan paksa. Istilah (8.19) memainkan peranan penting dalam peringkat awal proses, semasa apa yang dipanggil penubuhan ayunan (Rajah 8.10). Dari masa ke masa, disebabkan oleh faktor eksponen, peranan sebutan kedua (8.19) semakin berkurangan, dan selepas masa yang mencukupi ia boleh diabaikan, mengekalkan hanya istilah (8.18) dalam penyelesaian.

Oleh itu, fungsi (8.18) menerangkan ayunan paksa keadaan mantap. Mereka mewakili ayunan harmonik dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi daya penggerak. Amplitud ayunan paksa adalah berkadar dengan amplitud daya penggerak. Untuk sistem ayunan tertentu (ditakrifkan oleh w 0 dan b), amplitud bergantung pada kekerapan daya penggerak. Ayunan paksa ketinggalan di belakang daya penggerak dalam fasa, dan magnitud lag "j" juga bergantung pada kekerapan daya penggerak.

Kebergantungan amplitud ayunan paksa pada frekuensi daya penggerak membawa kepada fakta bahawa pada frekuensi tertentu yang ditentukan untuk sistem tertentu, amplitud ayunan mencapai nilai maksimum. Sistem ayunan ternyata sangat responsif terhadap tindakan daya penggerak pada frekuensi ini. Fenomena ini dipanggil resonans, dan kekerapan yang sepadan ialah frekuensi resonans.

DEFINISI: fenomena di mana peningkatan mendadak dalam amplitud ayunan paksa diperhatikan dipanggil resonans.

Kekerapan resonans ditentukan daripada keadaan maksimum untuk amplitud ayunan paksa:

. (8.20)

Kemudian, menggantikan nilai ini ke dalam ungkapan untuk amplitud, kita dapat:

. (8.21)

Sekiranya tiada rintangan sederhana, amplitud ayunan pada resonans akan bertukar kepada infiniti; frekuensi resonans dalam keadaan yang sama (b=0) bertepatan dengan frekuensi semula jadi ayunan.

Kebergantungan amplitud ayunan paksa pada frekuensi daya penggerak (atau, apa yang sama, pada frekuensi ayunan) boleh diwakili secara grafik (Rajah 8.11). Lengkung individu sepadan dengan nilai "b" yang berbeza. Lebih kecil "b", lebih tinggi dan ke kanan maksimum lengkung ini terletak (lihat ungkapan untuk w res.). Dengan redaman yang sangat tinggi, resonans tidak diperhatikan - dengan peningkatan frekuensi, amplitud ayunan paksa berkurangan secara monoton (lengkung bawah dalam Rajah 8.11).

Set graf yang dibentangkan sepadan dengan nilai b yang berbeza dipanggil lengkung resonans.

Nota mengenai lengkung resonans:

sebagai w®0 cenderung, semua lengkung datang kepada nilai bukan sifar yang sama bersamaan dengan . Nilai ini mewakili anjakan daripada kedudukan keseimbangan yang diterima sistem di bawah pengaruh daya malar. F 0 .

kerana w®¥ semua lengkung secara asimptotik cenderung kepada sifar, kerana pada frekuensi tinggi, daya mengubah arahnya dengan cepat sehingga sistem tidak mempunyai masa untuk beralih dengan ketara daripada kedudukan keseimbangannya.

lebih kecil b, lebih banyak amplitud berhampiran resonans berubah dengan kekerapan, "lebih tajam" maksimum.

Fenomena resonans sering menjadi berguna, terutamanya dalam kejuruteraan akustik dan radio.

Ayunan diri- ayunan tidak lembap dalam sistem dinamik pelesapan dengan maklum balas tak linear, disokong oleh tenaga malar, iaitu tidak berkala pengaruh luar.

Ayunan sendiri berbeza daripada ayunan paksa kerana yang terakhir disebabkan berkala pengaruh luaran dan berlaku dengan kekerapan pengaruh ini, manakala kejadian ayunan diri dan kekerapannya ditentukan oleh sifat dalaman sistem ayunan sendiri itu sendiri.

Penggal ayunan diri diperkenalkan ke dalam terminologi Rusia oleh A. A. Andronov pada tahun 1928.

Contoh[

Contoh ayunan diri termasuk:

· ayunan tidak lembap bandul jam disebabkan oleh tindakan berterusan graviti berat lilitan;

getaran tali biola di bawah pengaruh busur yang bergerak seragam

· berlakunya arus ulang alik dalam litar multivibrator dan penjana elektronik lain pada voltan bekalan malar;

· ayunan lajur udara dalam paip organ, dengan bekalan udara yang seragam ke dalamnya. (lihat juga gelombang berdiri)

· getaran putaran gear jam tembaga dengan paksi keluli digantung daripada magnet dan dipintal (eksperimen Gamazkov) (tenaga kinetik roda, seperti dalam penjana unipolar, ditukar kepada tenaga potensi medan elektrik, tenaga keupayaan medan elektrik, seperti dalam motor unipolar, ditukar kepada tenaga kinetik roda dsb.)

tukul Maklakov

Tukul yang memukul menggunakan tenaga arus ulang alik dengan frekuensi berkali ganda lebih rendah daripada frekuensi arus dalam litar elektrik.

Gegelung L litar berayun diletakkan di atas meja (atau objek lain yang perlu dipukul). Satu tiub besi masuk dari bawah, hujung bawahnya adalah bahagian yang menarik dari tukul. Tiub mempunyai slot menegak untuk mengurangkan arus Foucault. Parameter litar berayun adalah sedemikian rupa sehingga frekuensi semula jadi ayunannya bertepatan dengan frekuensi arus dalam litar (contohnya, arus bandar ulang-alik, 50 hertz).

Selepas menghidupkan arus dan mewujudkan ayunan, resonans arus litar dan litar luaran diperhatikan, dan tiub besi ditarik ke dalam gegelung. Kearuhan gegelung meningkat, litar berayun keluar dari resonans, dan amplitud ayunan semasa dalam gegelung berkurangan. Oleh itu, tiub kembali ke kedudukan asalnya - di luar gegelung - di bawah pengaruh graviti. Kemudian ayunan semasa di dalam litar mula meningkat, dan resonans berlaku lagi: tiub sekali lagi ditarik ke dalam gegelung.

Tiub membuat ayunan diri, iaitu, pergerakan berkala ke atas dan ke bawah, dan pada masa yang sama mengetuk meja dengan kuat, seperti tukul. Tempoh ayunan diri mekanikal ini adalah berpuluh kali lebih lama daripada tempoh arus ulang alik yang menyokongnya.

Tukul itu dinamakan sempena M.I. Maklakov, pembantu kuliah di Institut Fizik dan Teknologi Moscow, yang mencadangkan dan menjalankan eksperimen sedemikian untuk menunjukkan ayunan diri.

Mekanisme ayunan sendiri

Rajah 1. Mekanisme ayunan sendiri

Ayunan sendiri boleh mempunyai sifat yang berbeza: mekanikal, haba, elektromagnet, kimia. Mekanisme untuk kejadian dan penyelenggaraan ayunan diri dalam sistem yang berbeza boleh berdasarkan undang-undang fizik atau kimia yang berbeza. Untuk penerangan kuantitatif yang tepat tentang ayunan diri sistem yang berbeza, radas matematik yang berbeza mungkin diperlukan. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk membayangkan gambar rajah yang biasa kepada semua sistem berayun sendiri yang secara kualitatif menerangkan mekanisme ini (Rajah 1).

Pada rajah: S- sumber impak malar (tidak berkala); R- pengawal tak linear yang menukarkan kesan malar kepada satu pembolehubah (contohnya, menjadi sekejap dalam masa), yang "berayun" pengayun V- elemen berayun sistem, dan ayunan pengayun melalui maklum balas B mengawal operasi pengawal selia R, bertanya fasa Dan kekerapan perbuatannya. Pelesapan (pelesapan tenaga) dalam sistem berayun sendiri dikompensasikan oleh kemasukan tenaga ke dalamnya dari sumber pengaruh yang berterusan, yang menyebabkan ayunan diri tidak padam.

nasi. 2 Gambar rajah mekanisme ratchet bagi jam bandul

Jika unsur ayunan sistem mampu sendiri ayunan yang dilembapkan(kononnya pengayun pelesapan harmonik), ayunan sendiri (dengan pelesapan dan input tenaga yang sama ke dalam sistem dalam tempoh tersebut) diwujudkan pada frekuensi yang hampir dengan bergema untuk pengayun ini, bentuknya menjadi hampir kepada harmonik, dan amplitud, dalam julat nilai tertentu, semakin besar magnitud pengaruh luaran yang berterusan.

Contoh sistem jenis ini ialah mekanisme ratchet bagi jam bandul, rajahnya ditunjukkan dalam Rajah. 2. Pada gandar roda ratchet A(yang dalam sistem ini menjalankan fungsi pengawal selia tak linear) terdapat momen daya yang berterusan M, dihantar melalui kereta api gear dari mata air utama atau dari berat. Apabila roda berputar A giginya memberikan impuls daya jangka pendek kepada bandul P(pengayun), kerana ayunannya tidak pudar. Kinematik mekanisme memainkan peranan maklum balas dalam sistem, menyegerakkan putaran roda dengan ayunan pendulum sedemikian rupa sehingga dalam tempoh penuh ayunan roda berputar melalui sudut yang sepadan dengan satu gigi.

Sistem berayun sendiri yang tidak mengandungi pengayun harmonik dipanggil kelonggaran. Getaran di dalamnya boleh sangat berbeza daripada yang harmonik, dan mempunyai bentuk segi empat tepat, segi tiga atau trapezoid. Amplitud dan tempoh ayunan diri kelonggaran ditentukan oleh nisbah magnitud hentaman malar dan ciri-ciri inersia dan pelesapan sistem.

nasi. 3 Loceng elektrik

Contoh paling mudah ayunan diri kelonggaran ialah pengendalian loceng elektrik, ditunjukkan dalam Rajah. 3. Sumber pendedahan berterusan (tidak berkala) di sini ialah bateri elektrik U; Peranan pengawal selia tak linear dilakukan oleh pencincang T, menutup dan membuka litar elektrik, akibatnya arus terputus-putus muncul di dalamnya; unsur berayun ialah medan magnet yang secara berkala teraruh dalam teras elektromagnet E, dan sauh A, bergerak di bawah pengaruh medan magnet berselang-seli. Ayunan angker mengaktifkan pemutus, yang membentuk maklum balas.

Inersia sistem ini ditentukan oleh dua kuantiti fizik yang berbeza: momen inersia angker A dan kearuhan belitan elektromagnet E. Peningkatan dalam mana-mana parameter ini membawa kepada peningkatan dalam tempoh ayunan diri.

Jika terdapat beberapa elemen dalam sistem yang berayun secara bebas antara satu sama lain dan pada masa yang sama mempengaruhi pengawal selia atau pengawal selia tak linear (yang mungkin juga terdapat beberapa), ayunan sendiri boleh mengambil sifat yang lebih kompleks, contohnya, aperiodik, atau huru-hara dinamik.

Dalam alam semula jadi dan teknologi

Ayunan sendiri mendasari banyak fenomena semula jadi:

· getaran daun tumbuhan di bawah pengaruh aliran udara yang seragam;

· pembentukan aliran bergelora pada keretakan sungai dan jeram;

· tindakan geyser biasa, dsb.

Prinsip pengendalian sejumlah besar pelbagai peranti dan peranti teknikal adalah berdasarkan ayunan sendiri, termasuk:

· pengendalian semua jenis jam, kedua-dua mekanikal dan elektrik;

· bunyi semua alat muzik tiupan dan bertali;

©2015-2019 tapak
Semua hak milik pengarangnya. Laman web ini tidak menuntut pengarang, tetapi menyediakan penggunaan percuma.
Tarikh penciptaan halaman: 2017-04-04

Pergerakan berayun- pergerakan berkala atau hampir berkala badan, koordinat, kelajuan dan pecutan yang pada selang masa yang sama mengambil kira-kira nilai yang sama.

Getaran mekanikal berlaku apabila, apabila jasad dialihkan dari kedudukan keseimbangan, daya muncul yang cenderung untuk mengembalikan jasad tersebut.

Sesaran x ialah sisihan badan daripada kedudukan keseimbangan.

Amplitud A ialah modul anjakan maksimum badan.

Tempoh ayunan T - masa satu ayunan:

Kekerapan ayunan

Bilangan ayunan yang dilakukan oleh badan per unit masa: Semasa ayunan, kelajuan dan pecutan berubah secara berkala. Dalam kedudukan keseimbangan, kelajuan adalah maksimum dan pecutan adalah sifar. Pada titik anjakan maksimum, pecutan mencapai maksimum dan kelajuan menjadi sifar.

JADUAL GETAR HARMONIK

Harmonik getaran yang berlaku mengikut hukum sinus atau kosinus dipanggil:

dengan x(t) ialah sesaran sistem pada masa t, A ialah amplitud, ω ialah kekerapan kitaran ayunan.

Jika anda merancang sisihan badan dari kedudukan keseimbangan sepanjang paksi menegak, dan masa sepanjang paksi mendatar, anda akan mendapat graf ayunan x = x(t) - pergantungan anjakan badan pada masa. Untuk ayunan harmonik percuma, ia adalah gelombang sinusoid atau kosinus. Rajah menunjukkan graf kebergantungan sesaran x, unjuran halaju V x dan pecutan a x pada masa.

Seperti yang dapat dilihat daripada graf, pada anjakan maksimum x, kelajuan V jasad berayun adalah sifar, pecutan a, dan oleh itu daya yang bertindak ke atas jasad itu, adalah maksimum dan diarahkan bertentangan dengan anjakan. Dalam kedudukan keseimbangan, anjakan dan pecutan menjadi sifar, dan kelajuan adalah maksimum. Unjuran pecutan sentiasa mempunyai tanda yang bertentangan dengan anjakan.

TENAGA GERAKAN BERGETAR

Jumlah tenaga mekanikal bagi jasad berayun adalah sama dengan jumlah tenaga kinetik dan potensinya dan, tanpa adanya geseran, kekal malar:

Pada masa apabila anjakan mencapai maksimum x = A, kelajuan, dan dengan itu tenaga kinetik, menjadi sifar.

Dalam kes ini, jumlah tenaga adalah sama dengan tenaga keupayaan:

Jumlah tenaga mekanikal bagi jasad berayun adalah berkadar dengan kuasa dua amplitud ayunannya.

Apabila sistem melepasi kedudukan keseimbangan, anjakan dan tenaga keupayaan adalah sifar: x = 0, E p = 0. Oleh itu, jumlah tenaga adalah sama dengan tenaga kinetik:

Jumlah tenaga mekanikal jasad berayun adalah berkadar dengan kuasa dua kelajuannya dalam kedudukan keseimbangan. Oleh itu:

PENDULUM MATEMATIK

1. Bandul matematik ialah titik material yang digantung pada benang tidak dapat dipanjangkan tanpa berat.

Dalam kedudukan keseimbangan, daya graviti diimbangi oleh ketegangan benang. Jika bandul terpesong dan dilepaskan, maka daya akan terhenti untuk mengimbangi satu sama lain, dan daya paduan akan timbul menghala ke arah kedudukan keseimbangan. Hukum kedua Newton:

Untuk ayunan kecil, apabila sesaran x jauh lebih kecil daripada l, titik bahan akan bergerak hampir sepanjang paksi x mendatar. Kemudian dari segi tiga MAB kita dapat:

Kerana sin a = x/l, maka unjuran daya R yang terhasil pada paksi x adalah sama dengan

Tanda tolak menunjukkan bahawa daya R sentiasa diarahkan bertentangan dengan sesaran x.

2. Jadi, semasa ayunan bandul matematik, dan juga semasa ayunan bandul spring, daya pemulihan adalah berkadar dengan anjakan dan diarahkan ke arah yang bertentangan.

Mari kita bandingkan ungkapan untuk daya pemulihan pendulum matematik dan spring:

Ia boleh dilihat bahawa mg/l adalah analog k. Menggantikan k dengan mg/l dalam formula untuk tempoh bandul spring

kita memperoleh formula untuk tempoh bandul matematik:

Tempoh ayunan kecil bandul matematik tidak bergantung pada amplitud.

Bandul matematik digunakan untuk mengukur masa dan menentukan pecutan graviti pada lokasi tertentu di permukaan bumi.

Ayunan bebas bandul matematik pada sudut pesongan kecil adalah harmonik. Ia berlaku disebabkan oleh daya paduan graviti dan daya tegangan benang, serta inersia beban. Hasil daripada daya ini ialah daya pemulihan.

Contoh. Tentukan pecutan akibat graviti pada planet di mana bandul 6.25 m panjang mempunyai tempoh ayunan bebas 3.14 s.

Tempoh ayunan bandul matematik bergantung pada panjang benang dan pecutan graviti:

Dengan mengkuadratkan kedua-dua belah kesamaan, kita mendapat:

Jawapan: pecutan graviti ialah 25 m/s 2 .

Tugas dan ujian mengenai topik "Topik 4. "Mekanik. Ayunan dan ombak."

• Gelombang melintang dan membujur. Panjang gelombang

  Pelajaran: 3 Tugasan: 9 Ujian: 1

• Bunyi ombak. Kelajuan bunyi - Getaran mekanikal dan gelombang. Bunyi darjah 9

Kami memeriksa beberapa sistem yang berbeza secara fizikal, dan memastikan persamaan gerakan dikurangkan kepada bentuk yang sama

Perbezaan antara sistem fizikal hanya muncul dalam takrifan kuantiti yang berbeza dan dalam deria fizikal yang berbeza bagi pembolehubah x: ini boleh menjadi koordinat, sudut, cas, arus, dll. Perhatikan bahawa dalam kes ini, seperti berikut dari struktur persamaan (1.18), kuantiti sentiasa mempunyai dimensi masa songsang.

Persamaan (1.18) menerangkan apa yang dipanggil getaran harmonik.

Persamaan getaran harmonik (1.18) ialah persamaan pembezaan linear tertib kedua (kerana ia mengandungi terbitan kedua pembolehubah x). Kelinearan persamaan bermaksud bahawa

jika beberapa fungsi x(t) ialah penyelesaian kepada persamaan ini, kemudian fungsinya Cx(t) juga akan menjadi penyelesaiannya ( C– pemalar sewenang-wenangnya);

jika fungsi x 1(t) Dan x 2(t) adalah penyelesaian kepada persamaan ini, kemudian jumlahnya x 1 (t) + x 2 (t) juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan yang sama.

Teorem matematik juga telah dibuktikan, mengikut mana persamaan tertib kedua mempunyai dua penyelesaian bebas. Semua penyelesaian lain, mengikut sifat lineariti, boleh diperolehi sebagai gabungan linearnya. Adalah mudah untuk mengesahkan dengan pembezaan langsung bahawa fungsi bebas dan memenuhi persamaan (1.18). Ini bermakna bahawa penyelesaian umum untuk persamaan ini mempunyai bentuk:

di mana C 1,C 2- pemalar sewenang-wenangnya. Penyelesaian ini boleh dibentangkan dalam bentuk lain. Mari masukkan nilai

dan tentukan sudut dengan hubungan:

Kemudian penyelesaian am (1.19) ditulis sebagai

Menurut formula trigonometri, ungkapan dalam kurungan adalah sama dengan

Kami akhirnya sampai penyelesaian umum persamaan getaran harmonik sebagai:

Nilai bukan negatif A dipanggil amplitud getaran, - fasa awal ayunan. Seluruh hujah kosinus - gabungan - dipanggil fasa ayunan.

Ungkapan (1.19) dan (1.23) adalah setara sepenuhnya, jadi kita boleh menggunakan mana-mana daripadanya, berdasarkan pertimbangan kesederhanaan. Kedua-dua penyelesaian adalah fungsi masa berkala. Sesungguhnya, sinus dan kosinus adalah berkala dengan noktah . Oleh itu, pelbagai keadaan sistem yang melakukan ayunan harmonik diulang selepas tempoh masa t*, di mana fasa ayunan menerima kenaikan yang merupakan gandaan daripada :

Ia berikutan itu

Sekurang-kurangnya masa ini

dipanggil tempoh ayunan (Rajah 1.8), dan - miliknya bulat (siklik) kekerapan.

nasi. 1.8.

Mereka juga menggunakan kekerapan turun naik

Sehubungan itu, kekerapan bulatan adalah sama dengan bilangan ayunan setiap detik

Jadi, jika sistem pada masa t dicirikan oleh nilai pembolehubah x(t), maka pembolehubah akan mempunyai nilai yang sama selepas tempoh masa (Rajah 1.9), iaitu

Makna yang sama secara semula jadi akan berulang dari semasa ke semasa 2T, ZT dan lain-lain.

nasi. 1.9. Tempoh ayunan

Penyelesaian umum termasuk dua pemalar arbitrari ( C 1, C 2 atau A, a), nilai yang mesti ditentukan oleh dua keadaan awal. Biasanya (walaupun tidak semestinya) peranan mereka dimainkan oleh nilai awal pembolehubah x(0) dan terbitannya.

Mari kita beri contoh. Biarkan penyelesaian (1.19) bagi persamaan ayunan harmonik menerangkan gerakan bandul spring. Nilai pemalar sewenang-wenangnya bergantung pada cara kita membawa bandul keluar dari keseimbangan. Sebagai contoh, kami menarik spring ke jauh dan melepaskan bola tanpa kelajuan awal. Dalam kes ini

Menggantikan t = 0 dalam (1.19), kita dapati nilai pemalar C 2

Oleh itu penyelesaiannya kelihatan seperti:

Kami mencari kelajuan beban dengan pembezaan berkenaan dengan masa

Berganti di sini t = 0, cari pemalar C 1:

Akhirnya

Membandingkan dengan (1.23), kita dapati bahawa ialah amplitud ayunan, dan fasa awalnya ialah sifar: .

Sekarang marilah kita tidak mengimbangi bandul dengan cara lain. Mari tekan beban supaya ia memperoleh kelajuan awal, tetapi praktikalnya tidak bergerak semasa impak. Kami kemudian mempunyai syarat awal yang lain:

penyelesaian kami kelihatan seperti

Kelajuan beban akan berubah mengikut undang-undang:

Mari kita gantikan di sini:

Sebarang pergerakan yang berulang secara berkala dipanggil berayun. Oleh itu, pergantungan koordinat dan kelajuan jasad pada masa semasa ayunan diterangkan oleh fungsi masa berkala. Dalam kursus fizik sekolah, getaran dipertimbangkan di mana kebergantungan dan halaju badan adalah fungsi trigonometri. , atau gabungannya, di mana terdapat nombor tertentu. Ayunan sedemikian dipanggil harmonik (fungsi Dan sering dipanggil fungsi harmonik). Untuk menyelesaikan masalah mengenai ayunan yang termasuk dalam program peperiksaan negeri bersatu dalam fizik, anda perlu mengetahui takrifan ciri-ciri utama gerakan berayun: amplitud, tempoh, kekerapan, kekerapan bulat (atau kitaran) dan fasa ayunan. Mari kita berikan takrifan ini dan sambungkan kuantiti yang disenaraikan dengan parameter pergantungan koordinat badan pada masa, yang dalam kes ayunan harmonik sentiasa boleh diwakili dalam bentuk

di mana , dan ialah beberapa nombor.

Amplitud ayunan ialah sisihan maksimum jasad berayun daripada kedudukan keseimbangannya. Oleh kerana nilai maksimum dan minimum kosinus dalam (11.1) adalah sama dengan ±1, amplitud ayunan badan yang berayun (11.1) adalah sama dengan . Tempoh ayunan ialah masa minimum selepas pergerakan badan diulang. Untuk pergantungan (11.1), tempoh boleh ditetapkan daripada pertimbangan berikut. Kosinus ialah fungsi berkala dengan kala. Oleh itu, pergerakan diulang sepenuhnya melalui nilai sedemikian yang . Dari sini kita dapat

Kekerapan ayunan bulat (atau kitaran) ialah bilangan ayunan yang dilakukan setiap unit masa. Daripada formula (11.3) kita membuat kesimpulan bahawa kekerapan bulatan ialah kuantiti daripada formula (11.1).

Fasa ayunan ialah hujah bagi fungsi trigonometri yang menerangkan pergantungan koordinat pada masa. Daripada formula (11.1) kita melihat bahawa fasa ayunan badan, pergerakan yang diterangkan oleh pergantungan (11.1), adalah sama dengan . Nilai fasa ayunan pada masa = 0 dipanggil fasa awal. Untuk pergantungan (11.1), fasa awal ayunan adalah sama dengan . Jelas sekali, fasa awal ayunan bergantung pada pilihan titik rujukan masa (momen = 0), yang sentiasa bersyarat. Dengan menukar asal masa, fasa awal ayunan sentiasa boleh "dibuat" sama dengan sifar, dan sinus dalam formula (11.1) boleh "ditukar" menjadi kosinus atau sebaliknya.

Program peperiksaan negeri bersatu juga termasuk pengetahuan tentang formula untuk kekerapan ayunan spring dan bandul matematik. Pendulum spring biasanya dipanggil badan yang boleh berayun pada permukaan mendatar licin di bawah tindakan spring, hujung kedua yang ditetapkan (rajah kiri). Bandul matematik ialah jasad yang besar, dimensinya boleh diabaikan, berayun pada benang yang panjang, tanpa berat dan tidak dapat dipanjangkan (angka kanan). Nama sistem ini, "bandul matematik," adalah disebabkan oleh fakta bahawa ia mewakili abstrak matematik model sebenar ( fizikal) bandul. Ia adalah perlu untuk mengingati formula untuk tempoh (atau kekerapan) ayunan spring dan bandul matematik. Untuk bandul spring

di manakah panjang benang, ialah pecutan graviti. Mari kita pertimbangkan aplikasi definisi dan undang-undang ini menggunakan contoh penyelesaian masalah.

Untuk mencari kekerapan kitaran ayunan beban dalam tugasan 11.1.1 Mari kita cari tempoh ayunan dahulu, dan kemudian gunakan formula (11.2). Oleh kerana 10 m 28 s ialah 628 s, dan pada masa ini beban berayun 100 kali, tempoh ayunan beban ialah 6.28 s. Oleh itu, kekerapan kitaran ayunan ialah 1 s -1 (jawapan 2 ). DALAM masalah 11.1.2 beban membuat 60 ayunan dalam 600 s, jadi kekerapan ayunan ialah 0.1 s -1 (jawapan 1 ).

Untuk memahami jarak yang akan dilalui beban dalam 2.5 tempoh ( masalah 11.1.3), mari ikuti pergerakan beliau. Selepas satu tempoh, beban akan kembali semula ke titik pesongan maksimum, melengkapkan ayunan lengkap. Oleh itu, pada masa ini, beban akan bergerak pada jarak yang sama dengan empat amplitud: ke kedudukan keseimbangan - satu amplitud, dari kedudukan keseimbangan ke titik sisihan maksimum ke arah lain - kedua, kembali ke kedudukan keseimbangan - ketiga, dari kedudukan keseimbangan ke titik permulaan - keempat. Semasa tempoh kedua, beban akan sekali lagi melalui empat amplitud, dan semasa baki separuh tempoh - dua amplitud. Oleh itu, jarak yang dilalui adalah bersamaan dengan sepuluh amplitud (jawapan 4 ).

Jumlah pergerakan badan ialah jarak dari titik permulaan ke titik akhir. Lebih 2.5 tempoh masuk tugasan 11.1.4 badan akan mempunyai masa untuk menyelesaikan dua ayunan penuh dan separuh penuh, i.e. akan berada pada sisihan maksimum, tetapi pada sisi lain kedudukan keseimbangan. Oleh itu, magnitud anjakan adalah sama dengan dua amplitud (jawapan 3 ).

Secara takrif, fasa ayunan ialah hujah bagi fungsi trigonometri yang menerangkan pergantungan koordinat jasad berayun pada masa. Oleh itu jawapan yang betul ialah masalah 11.1.5 - 3 .

Tempoh ialah masa ayunan lengkap. Ini bermakna pengembalian badan kembali ke titik yang sama dari mana badan mula bergerak tidak bermakna tempoh telah berlalu: badan mesti kembali ke titik yang sama dengan kelajuan yang sama. Sebagai contoh, jasad, setelah memulakan ayunan dari kedudukan keseimbangan, akan mempunyai masa untuk menyimpang dengan jumlah maksimum dalam satu arah, kembali ke belakang, menyimpang maksimum ke arah lain, dan kembali semula. Oleh itu, dalam tempoh itu badan akan mempunyai masa untuk menyimpang dengan jumlah maksimum dari kedudukan keseimbangan dua kali dan kembali semula. Akibatnya, laluan dari kedudukan keseimbangan ke titik sisihan maksimum ( masalah 11.1.6) badan menghabiskan satu perempat daripada tempoh (jawapan 3 ).

Ayunan harmonik ialah ayunan di mana pergantungan koordinat jasad berayun pada masa diterangkan oleh fungsi trigonometri (sinus atau kosinus) masa. DALAM tugasan 11.1.7 ini adalah fungsi dan , walaupun pada hakikatnya parameter yang disertakan di dalamnya ditetapkan sebagai 2 dan 2 . Fungsi tersebut ialah fungsi trigonometri bagi kuasa dua masa. Oleh itu, getaran hanya dalam kuantiti dan harmonik (jawapan 4 ).

Semasa getaran harmonik, kelajuan badan berubah mengikut undang-undang , di manakah amplitud ayunan kelajuan (titik rujukan masa dipilih supaya fasa awal ayunan adalah sama dengan sifar). Dari sini kita dapati pergantungan tenaga kinetik badan pada masa
(masalah 11.1.8). Dengan menggunakan lagi formula trigonometri yang terkenal, kami memperoleh

Daripada formula ini, tenaga kinetik jasad berubah semasa ayunan harmonik juga mengikut hukum harmonik, tetapi dengan kekerapan dua kali ganda (jawapan 2 ).

Di sebalik hubungan antara tenaga kinetik beban dan tenaga keupayaan spring ( masalah 11.1.9) mudah diikuti daripada pertimbangan berikut. Apabila jasad terpesong oleh jumlah maksimum dari kedudukan keseimbangan, kelajuan jasad adalah sifar, dan, oleh itu, tenaga potensi spring adalah lebih besar daripada tenaga kinetik beban. Sebaliknya, apabila badan melepasi kedudukan keseimbangan, tenaga potensi spring adalah sifar, dan oleh itu tenaga kinetik lebih besar daripada tenaga keupayaan. Oleh itu, antara laluan kedudukan keseimbangan dan pesongan maksimum, tenaga kinetik dan potensi dibandingkan sekali. Dan oleh kerana dalam satu tempoh badan melepasi empat kali dari kedudukan keseimbangan kepada pesongan atau belakang maksimum, maka dalam tempoh itu tenaga kinetik beban dan tenaga potensi spring dibandingkan antara satu sama lain empat kali (jawapan 2 ).

Amplitud turun naik kelajuan ( tugasan 11.1.10) paling mudah dicari menggunakan undang-undang pengekalan tenaga. Pada titik pesongan maksimum, tenaga sistem ayunan adalah sama dengan tenaga potensi spring. , di manakah pekali kekakuan spring, ialah amplitud getaran. Apabila melalui kedudukan keseimbangan, tenaga badan adalah sama dengan tenaga kinetik , di mana adalah jisim jasad, ialah kelajuan jasad apabila melalui kedudukan keseimbangan, yang merupakan kelajuan maksimum jasad semasa proses ayunan dan, oleh itu, mewakili amplitud ayunan kelajuan. Menyamakan tenaga ini, kami dapati

(jawapan 4 ).

Daripada formula (11.5) kita membuat kesimpulan ( masalah 11.2.2), bahawa tempohnya tidak bergantung pada jisim bandul matematik, dan dengan pertambahan panjang sebanyak 4 kali ganda, tempoh ayunan bertambah sebanyak 2 kali (jawapan 1 ).

Jam ialah proses berayun yang digunakan untuk mengukur selang masa ( masalah 11.2.3). Perkataan "jam sedang tergesa-gesa" bermakna tempoh proses ini kurang daripada yang sepatutnya. Oleh itu, untuk menjelaskan kemajuan jam ini, adalah perlu untuk meningkatkan tempoh proses. Menurut formula (11.5), untuk meningkatkan tempoh ayunan bandul matematik, perlu menambah panjangnya (jawapan 3 ).

Untuk mencari amplitud ayunan dalam masalah 11.2.4, adalah perlu untuk mewakili pergantungan koordinat badan pada masa dalam bentuk fungsi trigonometri tunggal. Untuk fungsi yang diberikan dalam keadaan, ini boleh dilakukan dengan memperkenalkan sudut tambahan. Mendarab dan membahagi fungsi ini dengan dan menggunakan formula untuk menambah fungsi trigonometri, kita dapat

di manakah sudut sedemikian . Daripada formula ini ia mengikuti bahawa amplitud ayunan badan adalah (jawapan 4 ).