අපේක්ෂාව සහ විචලනය

අපි අහඹු විචල්‍යයක් මැන බලමු එන්අවස්ථා, උදාහරණයක් ලෙස, අපි සුළං වේගය දස ගුණයක් මනිනු ලබන අතර සාමාන්ය අගය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ. බෙදාහැරීමේ කාර්යයට සාමාන්‍ය අගය සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද?

අපි කැට පෙරළමු විශාල සංඛ්යාවක්වරක්. එක් එක් විසිකිරීමක් සමඟම දාදු කැටය මත දිස්වන ලකුණු සංඛ්‍යාව අහඹු විචල්‍යයක් වන අතර 1 සිට 6 දක්වා ඕනෑම ස්වභාවික අගයක් ගත හැකිය. සියලුම දාදු කැට විසිකිරීම් සඳහා ගණනය කරන ලද පහත වැටුණු ලක්ෂ්‍යවල අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය ද අහඹු විචල්‍යයකි, නමුත් විශාල සඳහා එන්එය ඉතා නිශ්චිත අංකයකට නැඹුරු වේ - ගණිතමය අපේක්ෂාව එම් x. මේ අවස්ථාවේ දී එම් x = 3,5.

ඔබට මෙම අගය ලැබුණේ කෙසේද? ඉඩ දෙන්න එන්පරීක්ෂණ, ඔබට ලකුණු 1ක් ලැබුණු පසු, ඔබට ලකුණු 2ක් ලැබුණු පසු, යනාදී වශයෙන්. එහෙනම් කවද්ද එන්→ ∞ එක ලක්ෂ්‍යයක් පෙරළුණු ප්‍රතිඵල ගණන, ඒ හා සමානව, එහෙයින්

මාදිලිය 4.5. දාදු කැටය

අපි දැන් උපකල්පනය කරමු අපි බෙදාහැරීමේ නීතිය දන්නවා කියලා අහඹු විචල්යය x, එනම් අහඹු විචල්‍යය බව අපි දනිමු xඅගයන් ගත හැක x 1 , x 2 , ..., x kසම්භාවිතාවන් සමඟ පි 1 , පි 2 , ..., පී කේ.

අපේක්ෂිත අගය එම් xඅහඹු විචල්යය xසමාන:

පිළිතුර. 2,8.

ගණිතමය අපේක්ෂාව සෑම විටම අහඹු විචල්‍යයක සාධාරණ තක්සේරුවක් නොවේ. මේ අනුව, සාමාන්‍ය වැටුප ඇස්තමේන්තු කිරීම සඳහා, මධ්‍යස්ථ සංකල්පය භාවිතා කිරීම වඩාත් සාධාරණ ය, එනම්, මධ්‍යයට වඩා අඩු වැටුපක් ලබන පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාව සමපාත වන එවැනි අගයක්.

මධ්යස්ථඅහඹු විචල්‍යයක් අංකයක් ලෙස හැඳින්වේ x 1/2 එහෙමයි පි (x < x 1/2) = 1/2.

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සම්භාවිතාව පි 1 සසම්භාවී විචල්‍යය බව xකුඩා වනු ඇත x 1/2, සහ සම්භාවිතාව පි 2 සසම්භාවී විචල්‍යය බව xවඩා වැඩි වනු ඇත x 1/2 සමාන වන අතර 1/2 ට සමාන වේ. සියලුම බෙදාහැරීම් සඳහා මධ්‍යස්ථය අනන්‍යව තීරණය නොවේ.

අපි සසම්භාවී විචල්‍යය වෙත ආපසු යමු x, අගයන් ගත හැකි x 1 , x 2 , ..., x kසම්භාවිතාවන් සමඟ පි 1 , පි 2 , ..., පී කේ.

විචලනයඅහඹු විචල්යය xඑහි ගණිතමය අපේක්ෂාවෙන් අහඹු විචල්‍යයක වර්ග අපගමනයේ සාමාන්‍ය අගය හැඳින්වේ:

උදාහරණ 2

පෙර උදාහරණයේ කොන්දේසි යටතේ, අහඹු විචල්‍යයේ විචලනය සහ සම්මත අපගමනය ගණනය කරන්න x.

පිළිතුර. 0,16, 0,4.

ආකෘතිය 4.6. ඉලක්කයකට වෙඩි තැබීම

උදාහරණය 3

පළමු විසි කිරීමේදී දාදු කැටය මත දිස්වන ලකුණු සංඛ්‍යාවේ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය සොයන්න, මධ්‍ය, අපේක්ෂිත අගය, විචලනය සහ සම්මත අපගමනය.

ඕනෑම දාරයක් සමානව වැටීමට ඉඩ ඇත, එබැවින් බෙදා හැරීම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

සම්මත අපගමනයසාමාන්‍ය අගයෙන් අගයේ අපගමනය ඉතා විශාල බව දැකිය හැක.

ගණිතමය අපේක්ෂාවේ ගුණාංග:

• ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුවේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ඒවායේ ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ එකතුවට සමාන වේ:

උදාහරණය 4

දාදු කැට දෙකක් මත රෝල් කරන ලද ලක්ෂ්‍යවල එකතුව සහ ගුණිතයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයන්න.

උදාහරණ 3 හි අපි එක් ඝනකයක් සඳහා එය සොයා ගත්තෙමු එම් (x) = 3.5. ඉතින් කැට දෙකක් සඳහා

විසරණ ගුණාංග:

• ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුවේ විචලනය විචල්‍යයන්ගේ එකතුවට සමාන වේ:

Dx + වයි = Dx + Dy.

සඳහා ඉඩ දෙන්න එන්රෝල් කරන ලද දාදු කැට මත රෝල් කරයි වයිලකුණු. ඉන්පසු

මෙම ප්‍රතිඵලය ඩයිස් රෝල් සඳහා පමණක් නොවේ. බොහෝ අවස්ථා වලදී, එය ගණිතමය අපේක්ෂාව ආනුභවිකව මැනීමේ නිරවද්‍යතාවය තීරණය කරයි. වැඩිවන මිනුම් ප්‍රමාණයත් සමඟ බව පෙනේ එන්සාමාන්‍යය වටා අගයන් පැතිරීම, එනම් සම්මත අපගමනය සමානුපාතිකව අඩු වේ

සසම්භාවී විචල්‍යයක විචලනය මෙම සසම්භාවී විචල්‍යයේ වර්ගයාගේ ගණිතමය අපේක්ෂාවට පහත සම්බන්ධය මගින් සම්බන්ධ වේ:

මෙම සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තේම ගණිතමය අපේක්ෂාවන් සොයා ගනිමු. A-priory,

සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තේ ගණිතමය අපේක්ෂාව, ගණිතමය අපේක්ෂාවන්ගේ ගුණය අනුව, සමාන වේ

සම්මත අපගමනය

සම්මත අපගමනයවිචලනයේ වර්ගමූලයට සමාන වේ:
අධ්‍යයනය කරන ජනගහනයේ ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල පරිමාවක් සඳහා සම්මත අපගමනය තීරණය කිරීමේදී (n > 30), පහත සූත්‍ර භාවිතා වේ:

අදාළ තොරතුරු.

විචල්‍යයේ වර්ගමූලය මධ්‍යන්‍යයෙන් සම්මත අපගමනය ලෙස හැඳින්වේ, එය පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:

සම්මත අපගමන සූත්‍රයේ මූලික වීජීය පරිවර්තනයක් එය පහත ආකෘතියට ගෙන යයි:

මෙම සූත්රය බොහෝ විට ගණනය කිරීමේ ප්රායෝගිකව වඩාත් පහසු වේ.

සාමාන්‍ය රේඛීය අපගමනය මෙන් සම්මත අපගමනය, සාමාන්‍ය අගයක සාමාන්‍ය නිශ්චිත අගයන් ඒවායේ සාමාන්‍ය අගයෙන් කොපමණ ප්‍රමාණයක් අපගමනය වේද යන්න පෙන්වයි. සම්මත අපගමනය සෑම විටම මධ්‍යන්‍ය රේඛීය අපගමනයට වඩා වැඩිය. ඔවුන් අතර පහත සම්බන්ධතාවයක් ඇත:

මෙම අනුපාතය දැන ගැනීමෙන්, ඔබට නොදන්නා දේ තීරණය කිරීමට දන්නා දර්ශක භාවිතා කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, නමුත් (මම a ගණනය කරන්න සහ අනෙක් අතට. සම්මත අපගමනය ලක්ෂණයක විචල්‍යතාවයේ නිරපේක්ෂ ප්‍රමාණය මනිනු ලබන අතර ලක්ෂණයේ අගයන් (රූබල්, ටොන්, අවුරුදු, ආදිය) ලෙස එකම මිනුම් ඒකක වලින් ප්‍රකාශ වේ. එය විචලනය පිළිබඳ නිරපේක්ෂ මිනුමක් වේ.

සදහා විකල්ප සංඥා, උදාහරණයක් ලෙස සිටීම හෝ නොපැමිණීම උසස් අධ්යාපනය, රක්ෂණය, විසරණය සහ සම්මත අපගමන සූත්‍ර පහත පරිදි වේ:

එක් විශ්ව විද්‍යාල පීඨයක සිසුන්ගේ වයස අනුව බෙදා හැරීම සංලක්ෂිත විවික්ත ශ්‍රේණියක දත්ත අනුව සම්මත අපගමනය ගණනය කිරීම පෙන්වමු (වගුව 6.2).

වගුව 6.2.

සහායක ගණනය කිරීම් වල ප්රතිඵල වගුවේ 2-5 තීරු වල දක්වා ඇත. 6.2

ශිෂ්‍යයෙකුගේ සාමාන්‍ය වයස, අවුරුදු, බරිත අංක ගණිත මධ්‍යන්‍ය සූත්‍රය මගින් තීරණය වේ (තීරුව 2):

සාමාන්‍යයෙන් ශිෂ්‍යයාගේ තනි වයසේ වර්ග අපගමනය තීරු 3-4 හි අඩංගු වන අතර වර්ග අපගමනයන්හි නිෂ්පාදන සහ ඊට අනුරූප සංඛ්‍යාත 5 තීරුවේ අඩංගු වේ.

අපි සූත්‍රය (6.2) භාවිතා කරමින් සිසුන්ගේ වයස, අවුරුදු වල විචලනය සොයා ගනිමු:

එවිට o = l/3.43 1.85 * oda, i.e. ශිෂ්‍යයෙකුගේ වයසේ සෑම නිශ්චිත අගයක්ම සාමාන්‍යයෙන් අවුරුදු 1.85 කින් අපගමනය වේ.

විචලනයේ සංගුණකය

එහි නිරපේක්ෂ අගය තුළ, සම්මත අපගමනය රඳා පවතින්නේ ලක්ෂණයේ විචලනයේ මට්ටම මත පමණක් නොව, විකල්පවල නිරපේක්ෂ මට්ටම් සහ සාමාන්යය මත ය. එබැවින්, විචල්‍ය ශ්‍රේණිවල සම්මත අපගමනය විවිධ සාමාන්‍ය මට්ටම් සමඟ සෘජුවම සංසන්දනය කළ නොහැක. එවැනි සැසඳීමක් කිරීමට හැකි වන පරිදි, ඔබ සොයා ගත යුතුය විශිෂ්ඨ ගුරුත්වයගණිතමය සාමාන්‍යයේ සාමාන්‍ය අපගමනය (රේඛීය හෝ හතරැස්), ප්‍රතිශතයක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ, i.e. ගණනය කරන්න විචලනය පිළිබඳ සාපේක්ෂ පියවර.

විචලනයේ රේඛීය සංගුණකය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ

විචලනයේ සංගුණකය පහත සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:

විචල්‍ය සංගුණක වලදී, අධ්‍යයනය කරනු ලබන ලක්ෂණයේ විවිධ මිනුම් ඒකක හා සම්බන්ධ අසමසමතාවය පමණක් නොව, අංක ගණිත මාධ්‍යවල අගයෙහි වෙනස්කම් හේතුවෙන් පැන නගින අසමසමතාවය ද ඉවත් කරනු ලැබේ. මීට අමතරව, විචලනය පිළිබඳ දර්ශක ජනගහනයේ සමජාතීයතාවය සංලක්ෂිත වේ. විචලනයේ සංගුණකය 33% නොඉක්මවන නම් ජනගහනය සමජාතීය ලෙස සලකනු ලැබේ.

මේසයට අනුව. 6.2 සහ ඉහත ලබාගත් ගණනය කිරීමේ ප්‍රතිඵල අනුව, අපි සූත්‍රය (6.3) අනුව විචලනයේ සංගුණකය,% තීරණය කරමු:

විචලනයේ සංගුණකය 33% ඉක්මවන්නේ නම්, මෙය අධ්‍යයනය කරන ජනගහනයේ විෂමජාතීය බව පෙන්නුම් කරයි. අපගේ නඩුවේ ලබාගත් අගය පෙන්නුම් කරන්නේ වයස අනුව සිසුන්ගේ ජනගහනය සංයුතියේ සමජාතීය බවයි. මේ අනුව, විචල්‍ය දර්ශක සාමාන්‍යකරණය කිරීමේ වැදගත් කාර්යයක් වන්නේ සාමාන්‍යවල විශ්වසනීයත්වය තක්සේරු කිරීමයි. අඩුයි c1, a2 සහ V, ප්රතිඵලය වන සංසිද්ධි කට්ටලය වඩාත් සමජාතීය වන අතර ප්රතිඵලය වන සාමාන්යය වඩාත් විශ්වාසදායක වේ. ගණිතමය සංඛ්‍යාලේඛන මගින් සලකනු ලබන "ත්‍රී සිග්මා රීතියට" අනුව, සාමාන්‍යයෙන් බෙදා හරින ලද හෝ ඒවාට ආසන්න ශ්‍රේණිවල, අංක 3 ට නොඉක්මවන සංඛ්‍යාලේඛන වලින් අපගමනය 1000 න් 997 අවස්ථා වල සිදු වේ. මේ අනුව, දැන ගැනීම x සහ a, ඔබට විචල්‍ය මාලාව පිළිබඳ සාමාන්‍ය මූලික අදහසක් ලබා ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්යය නම් වැටුප්සමාගමේ සේවකයා රුබල් 25,000 ක් වූ අතර a යනු රූබල් 100 ට සමාන වේ, එවිට නිශ්චිතභාවයට ආසන්න සම්භාවිතාවක් සහිතව, සමාගමේ සේවකයින්ගේ වැටුප් පරාසය තුළ උච්චාවචනය වන බවට තර්ක කළ හැකිය (25,000 ± ± 3 x 100), i.e. රූබල් 24,700 සිට 25,300 දක්වා.

උපදෙස්

සමජාතීය ප්‍රමාණ සංලක්ෂිත සංඛ්‍යා කිහිපයක් තිබිය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, මිනුම්, කිරුම්, සංඛ්යාන නිරීක්ෂණ ආදියෙහි ප්රතිඵල. ඉදිරිපත් කරන ලද සියලුම ප්‍රමාණ එකම මිනුම භාවිතයෙන් මැනිය යුතුය. සම්මත අපගමනය සොයා ගැනීමට, පහත සඳහන් දේ කරන්න:

සියලුම සංඛ්‍යා වල අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය නිර්ණය කරන්න: සියලුම සංඛ්‍යා එකතු කර එකතුව බෙදන්න මුළුඅංක.

සංඛ්‍යාවල විසරණය (විසුරුම) නිර්ණය කරන්න: කලින් සොයාගත් අපගමනයන්හි වර්ග එකතු කර ලැබෙන එකතුව සංඛ්‍යා ගණනින් බෙදන්න.

සෙල්සියස් අංශක 34, 35, 36, 37, 38, 39 සහ 40 යන උෂ්ණත්වයන් සහිත වාට්ටුවේ රෝගීන් හත් දෙනෙක් සිටිති.

මධ්යන්යයෙන් සාමාන්ය අපගමනය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්:
"වාට්ටුවේ": (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

සාමාන්‍යයෙන් උෂ්ණත්ව අපගමනය (මෙම අවස්ථාවේදී, සාමාන්‍ය අගය): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස: -3, - 2, -1 , 0, 1, 2, 3 (ºС);

කලින් ලබාගත් සංඛ්‍යා එකතුව ඒවායේ අංකයෙන් බෙදන්න. නිවැරදි ගණනය කිරීම් සඳහා, කැල්ක්යුලේටරය භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය. බෙදීමේ ප්‍රතිඵලය එකතු කරන ලද සංඛ්‍යාවල අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය වේ.

ගණනය කිරීමේ සියලුම අදියර කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න, මන්ද එක් ගණනය කිරීමක පවා දෝෂයක් වැරදි අවසාන දර්ශකයකට තුඩු දෙනු ඇත. සෑම අදියරකදීම ඔබේ ගණනය කිරීම් පරීක්ෂා කරන්න. අංක ගණිත සාමාන්‍යයේ සාරාංශ සංඛ්‍යා වලට සමාන මීටරයක් ​​ඇත, එනම්, ඔබ සාමාන්‍ය පැමිණීම තීරණය කරන්නේ නම්, එවිට ඔබේ සියලු දර්ශක “පුද්ගලයා” වනු ඇත.

මෙම ගණනය කිරීමේ ක්රමය ගණිතමය හා සංඛ්යානමය ගණනය කිරීම්වලදී පමණක් භාවිතා වේ. ඉතින්, උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්යය අංක ගණිතමය අගයපරිගණක විද්‍යාවේ වෙනස් ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතමයක් ඇත. අංක ගණිත මධ්යන්යය ඉතා සාපේක්ෂ දර්ශකයකි. එය සිදුවීමක සම්භාවිතාව පෙන්නුම් කරයි, එයට ඇත්තේ එක් සාධකයක් හෝ දර්ශකයක් පමණි. වඩාත් ගැඹුරු විශ්ලේෂණයක් සඳහා, බොහෝ සාධක සැලකිල්ලට ගත යුතුය. මෙම කාර්යය සඳහා වඩාත් පොදු ප්රමාණ ගණනය කිරීම භාවිතා වේ.

ගණිතය සහ සංඛ්‍යානමය ගණනය කිරීම් වලදී බහුලව භාවිතා වන මධ්‍යම ප්‍රවණතාවයේ මිනුම් වලින් එකක් අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය වේ. අගයන් කිහිපයක් සඳහා අංක ගණිත සාමාන්‍යය සොයා ගැනීම ඉතා සරල ය, නමුත් සෑම කාර්යයකටම තමන්ගේම සූක්ෂ්මතා ඇත, ඒවා නිවැරදි ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම සඳහා දැන ගැනීමට අවශ්‍ය වේ.

සමාන අත්හදා බැලීම්වල ප්රමාණාත්මක ප්රතිඵල.

ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගන්නේ කෙසේද

සෘණ සංඛ්යා සමඟ වැඩ කිරීමේ විශේෂාංග

1. සම්මත ක්‍රමය භාවිතයෙන් සාමාන්‍ය ගණිත සාමාන්‍යය සොයා ගැනීම;
2. සෘණ සංඛ්යා වල ගණිත මධ්යන්යය සොයා ගැනීම.
3. ධන සංඛ්යා වල අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීම.

එක් එක් ක්‍රියාව සඳහා ප්‍රතිචාර ලියා ඇත්තේ කොමාවෙන් වෙන් කර ඇත.

ස්වභාවික හා දශම භාගය

සමඟ වැඩ කරන විට ස්වභාවික කොටස්ඒවා අරාවේ සංඛ්‍යා ගණනින් ගුණ කරන පොදු හරයකට අඩු කළ යුතුය. පිළිතුරේ සංඛ්‍යාංකය මුල් භාගික මූලද්‍රව්‍යවල දී ඇති සංඛ්‍යාවල එකතුව වනු ඇත.

විකිපීඩියාවෙන් ද්‍රව්‍ය - නිදහස් විශ්වකෝෂය

සම්මත අපගමනය(සමාන පද: සම්මත අපගමනය, සම්මත අපගමනය, වර්ග අපගමනය; අදාළ නියමයන්: සම්මත අපගමනය, සම්මත පැතිරීම) - සම්භාවිතා න්‍යාය සහ සංඛ්‍යාලේඛන වලදී එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවට සාපේක්ෂව අහඹු විචල්‍යයක අගයන් විසුරුවා හැරීමේ වඩාත් පොදු දර්ශකය වේ. සීමිත අගයන් සාම්පල සමඟ, ගණිතමය අපේක්ෂාව වෙනුවට, සාම්පල කට්ටලයේ අංක ගණිත මධ්යන්යය භාවිතා වේ.

මූලික තොරතුරු

සම්මත අපගමනය අහඹු විචල්‍යයේ ඒකක වලින් මනිනු ලබන අතර අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයේ සම්මත දෝෂය ගණනය කිරීමේදී, විශ්වාස අන්තරයන් ගොඩනඟන විට, සංඛ්‍යානමය වශයෙන් උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීමේදී, අහඹු විචල්‍යයන් අතර රේඛීය සම්බන්ධතාවය මැනීමේදී භාවිතා වේ. සසම්භාවී විචල්‍යයක විචල්‍යයේ වර්ගමූලය ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

සම්මත අපගමනය:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2).$

සම්මත අපගමනය(අහඹු විචල්‍යයක සම්මත අපගමනය ඇස්තමේන්තු කිරීම xඑහි විචලනය පිළිබඳ අපක්ෂපාතී තක්සේරුවක් මත පදනම්ව එහි ගණිතමය අපේක්ෂාවට සාපේක්ෂව) $s$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash දකුණ)^2);$

තුන් සිග්මා රීතිය

තුන් සිග්මා රීතිය ($3\backslash සිග්මා$) - සාමාන්‍යයෙන් බෙදා හරින අහඹු විචල්‍යයක සියලුම අගයන් පාහේ පරතරය තුළ පවතී $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. වඩාත් දැඩි ලෙස - ආසන්න වශයෙන් 0.9973 සම්භාවිතාවක් සහිතව, සාමාන්‍යයෙන් බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයක අගය නියමිත කාල පරතරය තුළ පවතී (එනම් අගය $\backslash bar(x)$සත්‍ය, සහ නියැදි සැකසීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලබාගෙන නොමැත).

සැබෑ වටිනාකම නම් $\backslash bar(x)$නොදනී, එවිට ඔබ භාවිතා නොකළ යුතුය $\backslash sigma$, ඒ s. මේ අනුව, තුනේ රීතියසිග්මා තුනේ නියමය බවට පරිවර්තනය වේ s .

සම්මත අපගමනය අගය අර්ථ නිරූපණය කිරීම

විශාල සම්මත අපගමන අගයක්, කුලකයේ සාමාන්‍ය අගය සමඟ ඉදිරිපත් කරන ලද කට්ටලයේ අගයන්හි වැඩි ව්‍යාප්තියක් පෙන්නුම් කරයි; කුඩා අගයක්, ඒ අනුව, කට්ටලයේ අගයන් සාමාන්ය අගය වටා කාණ්ඩගත කර ඇති බව පෙන්වයි.

උදාහරණයක් ලෙස, අපට අංක කට්ටල තුනක් ඇත: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) සහ (6, 6, 8, 8). කුලක තුනේම මධ්‍යන්‍ය අගයන් 7 ට සමාන වන අතර සම්මත අපගමනයන් පිළිවෙලින් 7, 5 සහ 1 ට සමාන වේ. අවසාන කට්ටලයට කුඩා සම්මත අපගමනයක් ඇත, මන්ද කුලකයේ ඇති අගයන් මධ්‍යන්‍ය අගය වටා කාණ්ඩගත කර ඇත; පළමු කට්ටලය වැඩිපුරම ඇත විශාල වැදගත්කමක්සම්මත අපගමනය - කට්ටලය තුළ ඇති අගයන් සාමාන්ය අගයෙන් බොහෝ සෙයින් වෙනස් වේ.

සාමාන්‍ය අර්ථයෙන් සම්මත අපගමනය අවිනිශ්චිතතාවයේ මිනුමක් ලෙස සැලකිය හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, භෞතික විද්‍යාවේදී, යම් ප්‍රමාණයක අනුක්‍රමික මිනුම් මාලාවක දෝෂය තීරණය කිරීමට සම්මත අපගමනය භාවිතා වේ. න්‍යාය මගින් පුරෝකථනය කරන ලද අගය හා සැසඳීමේ දී අධ්‍යයනයට ලක්වන සංසිද්ධියෙහි විශ්වසනීයත්වය තීරණය කිරීම සඳහා මෙම අගය ඉතා වැදගත් වේ: මිනුම්වල සාමාන්‍ය අගය න්‍යාය මගින් පුරෝකථනය කරන ලද අගයන්ට වඩා බෙහෙවින් වෙනස් නම් (විශාල සම්මත අපගමනය), එවිට ලබාගත් අගයන් හෝ ඒවා ලබා ගැනීමේ ක්‍රමය නැවත පරීක්ෂා කළ යුතුය.

ප්රායෝගික භාවිතය

ප්‍රායෝගිකව, සම්මත අපගමනය මඟින් කට්ටලයක අගයන් සාමාන්‍ය අගයට වඩා කොපමණ ප්‍රමාණයක් වෙනස් වේද යන්න තක්සේරු කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

ආර්ථික හා මූල්‍ය

කළඹ ප්‍රතිලාභයේ සම්මත අපගමනය $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$කළඹ අවදානම සමඟ හඳුනාගෙන ඇත.

දේශගුණය

එකම සාමාන්‍ය උපරිම දෛනික උෂ්ණත්වය සහිත නගර දෙකක් ඇතැයි සිතමු, නමුත් එකක් වෙරළ තීරයේ සහ අනෙක තැනිතලාවේ පිහිටා ඇත. වෙරළ තීරයේ පිහිටා ඇති නගරවල විවිධ උපරිම දිවා කාලයේ උෂ්ණත්වයන් ඇති බව දන්නා අතර එය රට අභ්‍යන්තරයේ පිහිටි නගරවලට වඩා අඩුය. එබැවින්, වෙරළබඩ නගරයක් සඳහා උපරිම දෛනික උෂ්ණත්වයේ සම්මත අපගමනය දෙවන නගරයට වඩා අඩු වනු ඇත, මෙම අගයේ සාමාන්‍ය අගය සමාන වුවද, ප්‍රායෝගිකව අදහස් කරන්නේ උපරිම වායු උෂ්ණත්වයේ සම්භාවිතාව වසරේ ඕනෑම දිනයක් සාමාන්‍ය අගයට වඩා වැඩි වනු ඇත, රට අභ්‍යන්තරයේ පිහිටි නගරයක් සඳහා ඉහළ අගයක් ගනී.

ක්රීඩාව

අපි හිතමු යම්කිසි පරාමිති මාලාවකට අනුව ඇගයීමට ලක්වන පාපන්දු කණ්ඩායම් කිහිපයක්, උදාහරණයක් ලෙස, ලබාගත් සහ ලබා දුන් ගෝල සංඛ්‍යාව, අවස්ථා ලබා ගැනීම යනාදිය බොහෝ දුරට මෙම කණ්ඩායමේ හොඳම කණ්ඩායමට ලැබෙනු ඇත. හොඳම අගයන්තවත් පරාමිතීන් අනුව. ඉදිරිපත් කරන ලද එක් එක් පරාමිතිය සඳහා කණ්ඩායමේ සම්මත අපගමනය කුඩා වන තරමට කණ්ඩායමේ ප්‍රති result ලය වඩාත් පුරෝකථනය කළ හැකිය; එවැනි කණ්ඩායම් සමතුලිත වේ. අනෙක් අතට, සමඟ කණ්ඩායම විශාල වටිනාකමක්සම්මත අපගමනය ප්‍රති result ලය පුරෝකථනය කිරීම දුෂ්කර ය, එය අසමතුලිතතාවයෙන් පැහැදිලි වේ, උදාහරණයක් ලෙස, ශක්තිමත් ආරක්ෂාව, නමුත් දුර්වල ප්රහාරයක් සමඟ.

කණ්ඩායම් පරාමිතීන්ගේ සම්මත අපගමනය භාවිතා කිරීමෙන් කණ්ඩායම් දෙකක් අතර තරඟයක ප්‍රති result ලය එක් මට්ටමකට හෝ වෙනත් මට්ටමකට පුරෝකථනය කිරීමට, ශක්තීන් තක්සේරු කිරීමට සහ දුර්වල පැතිවිධාන, සහ ඒ නිසා අරගලයේ තෝරාගත් ක්රම.

ද බලන්න

"මූල මධ්‍යන්‍ය චතුරස්‍ර අපගමනය" ලිපිය ගැන සමාලෝචනයක් ලියන්න

සාහිත්යය

• බොරොවිකොව් වී.සංඛ්යාලේඛන. පරිගණකයක දත්ත විශ්ලේෂණය කිරීමේ කලාව: වෘත්තිකයන් සඳහා / V. Borovikov. - ශාන්ත පීටර්ස්බර්ග්. : පීටර්, 2003. - 688 පි. - ISBN 5-272-00078-1..

සම්මත අපගමනය සංලක්ෂිත උපුටා ගැනීමකි

මෙම විචලනය ගණනය කිරීමේ අඩුපාඩුවක් ඇති බව සඳහන් කිරීම වටී - එය පක්ෂග්රාහී බව පෙනේ, i.e. එහි ගණිතමය අපේක්ෂාව සමාන නොවේ සැබෑ අර්ථයවිචලනයන්. මේ ගැන වැඩිදුර කියවන්න. ඒ අතරම, සෑම දෙයක්ම එතරම් නරක නැත. නියැදි ප්රමාණය වැඩි වන විට, එය තවමත් එහි න්යායික ප්රතිසමය වෙත ළඟා වේ, i.e. අසමමිතිකව අපක්ෂපාතී වේ. එබැවින්, විශාල සාම්පල ප්රමාණ සමඟ වැඩ කරන විට, ඔබට ඉහත සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය.

සංඥා භාෂාව වචන භාෂාවට පරිවර්තනය කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ. විචලනය අපගමනයන්හි සාමාන්‍ය වර්ග බව පෙනේ. එනම්, සාමාන්‍ය අගය පළමුව ගණනය කරනු ලැබේ, පසුව එක් එක් මුල් සහ සාමාන්‍ය අගය අතර වෙනස ගෙන, වර්ග කර, එකතු කර, පසුව ජනගහනයේ අගයන් ගණනින් බෙදනු ලැබේ. තනි අගයක් සහ සාමාන්‍යය අතර වෙනස අපගමනය මිනුම පිළිබිඹු කරයි. සියලුම අපගමනයන් තනිකරම බවට පත් වන පරිදි වර්ග කර ඇත ධනාත්මක සංඛ්යාසහ ඒවා සාරාංශ කිරීමේදී ධනාත්මක හා ඍණාත්මක අපගමනයන් අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් විනාශ වීම වැළැක්වීමට. ඉන්පසුව, වර්ග අපගමනය ලබා දී, අපි සරලව ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කරමු. සාමාන්ය - හතරැස් - අපගමනය. අපගමනය වර්ග කර ඇති අතර සාමාන්යය ගණනය කරනු ලැබේ. විසඳුම ඇත්තේ වචන තුනකින් පමණි.

කෙසේ වෙතත්, එහි පිරිසිදු ස්වරූපයෙන්, අංක ගණිත මධ්යන්යය හෝ දර්ශකය වැනි, විසරණය භාවිතා නොවේ. එය වෙනත් ආකාරයේ සංඛ්‍යාන විශ්ලේෂණ සඳහා අවශ්‍ය වන සහායක සහ අතරමැදි දර්ශකයකි. ඒකට සාමාන්‍ය මිනුම් ඒකකයක්වත් නැහැ. සූත්රය අනුව විනිශ්චය කිරීම, මෙය මුල් දත්තවල මිනුම් ඒකකයේ වර්ග වේ. බෝතලයක් නොමැතිව, ඔවුන් පවසන පරිදි, ඔබට එය හඳුනාගත නොහැක.

(මොඩියුලය 111)

විසරණය යථාර්තය කරා ගෙන ඒම සඳහා, එනම් එය වඩාත් ලෞකික අරමුණු සඳහා භාවිතා කිරීම සඳහා, අපි එයින් උපුටා ගනිමු වර්ගමුලය. එය ඊනියා හැරෙනවා සම්මත අපගමනය (RMS). "සම්මත අපගමනය" හෝ "සිග්මා" නම් ඇත (නම සිට ග්රීක අකුර) සම්මත අපගමන සූත්‍රය වන්නේ:

නියැදිය සඳහා මෙම දර්ශකය ලබා ගැනීම සඳහා, සූත්රය භාවිතා කරන්න:

විචලනය ලෙස, තරමක් වෙනස් ගණනය කිරීමේ විකල්පයක් ඇත. නමුත් නියැදිය වර්ධනය වන විට වෙනස අතුරුදහන් වේ.

සම්මත අපගමනය, පැහැදිලිවම, දත්ත විසුරුමේ මිනුම ද සංලක්ෂිත කරයි, නමුත් දැන් (විසරණය මෙන් නොව) එය මුල් දත්ත සමඟ සැසඳිය හැකිය, මන්ද ඒවාට එකම මිනුම් ඒකක ඇති බැවින් (මෙය ගණනය කිරීමේ සූත්‍රයෙන් පැහැදිලි වේ). නමුත් මෙම දර්ශකය එහි පිරිසිදු ස්වරූපයෙන් එතරම් තොරතුරු සපයන්නේ නැත, මන්ද එහි ව්‍යාකූල වන අතරමැදි ගණනය කිරීම් බොහොමයක් අඩංගු වේ (අපගමනය, වර්ග, එකතුව, සාමාන්‍යය, මූල). කෙසේ වෙතත්, එය දැනටමත් සම්මත අපගමනය සමඟ සෘජුවම වැඩ කිරීමට හැකි වන අතර, ගුණාංග නිසා මෙම දර්ශකයහොඳින් අධ්‍යයනය කර දන්නා. උදාහරණයක් ලෙස, මෙය තිබේ තුන් සිග්මා රීතිය, දත්තවල 1000 න් 997 අගයන් අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයේ ±3 සිග්මා තුළ ඇති බව ප්‍රකාශ කරයි. සම්මත අපගමනය, අවිනිශ්චිතතාවයේ මිනුමක් ලෙස, බොහෝ සංඛ්‍යානමය ගණනය කිරීම් වලට ද සම්බන්ධ වේ. එහි ආධාරයෙන්, විවිධ ඇස්තමේන්තු සහ අනාවැකි වල නිරවද්‍යතාවයේ මට්ටම තීරණය වේ. විචලනය ඉතා විශාල නම්, සම්මත අපගමනය ද විශාල වනු ඇත, එබැවින් පුරෝකථනය සාවද්‍ය වනු ඇත, එය ප්‍රකාශ කරනු ලැබේ, උදාහරණයක් ලෙස, ඉතා පුළුල් විශ්වාසනීය කාල පරාසයන් තුළ.

විචලනයේ සංගුණකය

සම්මත අපගමනය විසරණයේ මිනුම පිළිබඳ නිරපේක්ෂ තක්සේරුවක් ලබා දෙයි. එබැවින්, වටිනාකම් වලට සාපේක්ෂව පැතිරීම කොතරම් විශාලද යන්න තේරුම් ගැනීමට (එනම්, ඒවායේ පරිමාණය නොසලකා), සාපේක්ෂ දර්ශකයක් අවශ්ය වේ. මෙම දර්ශකය හැඳින්වේ විචලනයේ සංගුණකයසහ පහත සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කරනු ලැබේ:

විචලනයේ සංගුණකය ප්‍රතිශතයක් ලෙස මනිනු ලැබේ (100% කින් ගුණ කළහොත්). මෙම දර්ශකය භාවිතා කරමින්, ඒවායේ පරිමාණය සහ මිනුම් ඒකක නොසලකා ඔබට විවිධ සංසිද්ධි සංසන්දනය කළ හැකිය. මෙම කරුණසහ විචලනයේ සංගුණකය එතරම් ජනප්‍රිය කරයි.

සංඛ්‍යාලේඛනවලදී, විචල්‍ය සංගුණකයේ අගය 33% ට වඩා අඩු නම්, ජනගහනය සමජාතීය ලෙස සලකනු ලැබේ; එය 33% ට වඩා වැඩි නම්, එය විෂමජාතීය වේ. මට මෙතන කිසිම දෙයක් ගැන අදහස් දක්වන්න අමාරුයි. මෙය නිර්වචනය කළේ කවුරුන්ද සහ ඇයිදැයි මම නොදනිමි, නමුත් එය ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක් ලෙස සැලකේ.

වියළි න්‍යායෙන් මා රැගෙන ගොස් ඇති බවත් දෘශ්‍ය හා සංකේතාත්මක යමක් ගෙන ඒමට අවශ්‍ය බවත් මට හැඟේ. අනෙක් අතට, සියලුම විචල්‍ය දර්ශක දළ වශයෙන් එකම දේ විස්තර කරයි, ඒවා පමණක් වෙනස් ලෙස ගණනය කෙරේ. එබැවින්, විවිධ උදාහරණ පෙන්වීමට අපහසුය, දර්ශකවල අගයන් පමණක් වෙනස් විය හැකි නමුත් ඒවායේ සාරය නොවේ. එබැවින් එකම දත්ත කට්ටලයක් සඳහා විවිධ විචල්‍ය දර්ශකවල අගයන් වෙනස් වන ආකාරය සංසන්දනය කරමු. සාමාන්‍ය රේඛීය අපගමනය (සිට) ගණනය කිරීමේ උදාහරණය ගනිමු. මූලාශ්‍ර දත්ත මෙන්න:

සහ ඔබට මතක් කිරීමට කාලසටහනක්.

මෙම දත්ත භාවිතා කරමින්, අපි විවිධ වෙනස්කම් පිළිබඳ දර්ශක ගණනය කරමු.

සාමාන්‍ය අගය සාමාන්‍ය අංක ගණිත සාමාන්‍යය වේ.

විචලන පරාසය උපරිම සහ අවම අතර වෙනස වේ:

සාමාන්‍ය රේඛීය අපගමනය සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:

සම්මත අපගමනය:

වගුවක ගණනය කිරීම සාරාංශ කරමු.

දැකිය හැකි පරිදි, රේඛීය සාමාන්යය සහ සම්මත අපගමනය ලබා දෙයි සමාන අර්ථයන්දත්ත විචලනය පිළිබඳ උපාධිය. විචලනය සිග්මා වර්ග වේ, එබැවින් එය සැමවිටම සාපේක්ෂ වනු ඇත විශාල සංඛ්යාවක්, ඇත්ත වශයෙන්ම, කිසිවක් අදහස් නොවේ. විචලනයේ පරාසය යනු ආන්තික අගයන් අතර වෙනස වන අතර පරිමාවන් කථා කළ හැකිය.

අපි ප්රතිඵල කිහිපයක් සාරාංශ කරමු.

දර්ශකයක විචලනය ක්‍රියාවලියක හෝ සංසිද්ධියක විචල්‍යතාවය පිළිබිඹු කරයි. එහි උපාධිය දර්ශක කිහිපයක් භාවිතයෙන් මැනිය හැක.

1. විචලනයේ පරාසය - උපරිම සහ අවම අතර වෙනස. හැකි අගයන් පරාසය පිළිබිඹු කරයි.
2. සාමාන්‍ය රේඛීය අපගමනය - විශ්ලේෂණ කළ ජනගහනයේ සියලුම අගයන්හි නිරපේක්ෂ (මොඩියුල) අපගමනය සාමාන්‍ය අගයෙන් පිළිබිඹු කරයි.
3. විසරණය - අපගමනය සාමාන්ය වර්ග.
4. සම්මත අපගමනය යනු විසරණයේ මූලයයි (අපගමනයන්හි මධ්‍යන්‍ය වර්ග).
5. විචලනයේ සංගුණකය වඩාත් විශ්වීය දර්ශකය වන අතර, ඒවායේ පරිමාණය සහ මිනුම් ඒකක නොතකා, අගයන් විසුරුවා හැරීමේ මට්ටම පිළිබිඹු කරයි. විචලනයේ සංගුණකය ප්‍රතිශතයක් ලෙස මනිනු ලබන අතර විවිධ ක්‍රියාවලි සහ සංසිද්ධිවල විචලනය සංසන්දනය කිරීමට භාවිතා කළ හැක.

මේ අනුව, තුළ සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණයසංසිද්ධිවල සමජාතීයතාවය සහ ක්රියාවලීන්ගේ ස්ථාවරත්වය පිළිබිඹු කරන දර්ශක පද්ධතියක් ඇත. බොහෝ විට, විචල්ය දර්ශක ස්වාධීන අර්ථයක් නොමැති අතර ඒවා සඳහා භාවිතා වේ වැඩිදුර විශ්ලේෂණයදත්ත (විශ්වාස කාල පරතරයන් ගණනය කිරීම