இயற்கை மடக்கைகளுடன் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சில முறைகள்

மடக்கை சமன்பாடுஅறியப்படாத (x) மற்றும் அதனுடன் உள்ள வெளிப்பாடுகள் மடக்கை செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் இருக்கும் ஒரு சமன்பாடு ஆகும். தீர்வு மடக்கை சமன்பாடுகள்நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறீர்கள் என்று கருதுகிறது மற்றும் .
மடக்கை சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எளிமையான சமன்பாடு பதிவு a x = b, a மற்றும் b சில எண்கள், x என்பது தெரியவில்லை.
மடக்கை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது x = a b வழங்கப்பட்டுள்ளது: a > 0, a 1.

மடக்கைக்கு வெளியே x எங்காவது இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக log 2 x = x-2, அத்தகைய சமன்பாடு ஏற்கனவே கலப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் அதைத் தீர்க்க ஒரு சிறப்பு அணுகுமுறை தேவை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

மடக்கைக் குறியின் கீழ் எண்கள் மட்டுமே இருக்கும் சமன்பாட்டை நீங்கள் காணும்போது சிறந்த சந்தர்ப்பம், எடுத்துக்காட்டாக x+2 = பதிவு 2 2. இங்கே அதைத் தீர்க்க மடக்கைகளின் பண்புகளை அறிந்தால் போதும். ஆனால் அத்தகைய அதிர்ஷ்டம் அடிக்கடி நடக்காது, எனவே மிகவும் கடினமான விஷயங்களுக்கு தயாராகுங்கள்.

ஆனால் முதலில், எளிய சமன்பாடுகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம். அவற்றைத் தீர்க்க, மிக அதிகமாக இருப்பது விரும்பத்தக்கது பொதுவான சிந்தனைமடக்கை பற்றி.

எளிய மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

பதிவு 2 x = பதிவு 2 16 வகையின் சமன்பாடுகள் இதில் அடங்கும். மடக்கையின் அடையாளத்தைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் நாம் x = 16 ஐப் பெறுகிறோம் என்பதை நிர்வாணக் கண்ணால் காணலாம்.

மிகவும் சிக்கலான மடக்கைச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, இது பொதுவாக ஒரு சாதாரண இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு அல்லது ஒரு எளிய மடக்கை சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்குக் குறைக்கப்படுகிறது a x = b. எளிமையான சமன்பாடுகளில் இது ஒரு இயக்கத்தில் நிகழ்கிறது, அதனால்தான் அவை எளிமையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய வழிகளில் ஒன்று மடக்கைகளை கைவிடும் மேலே உள்ள முறை. கணிதத்தில், இந்த செயல்பாடு ஆற்றல் திறன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வகை செயல்பாட்டிற்கு சில விதிகள் அல்லது கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன:

• மடக்கைகள் அதே எண் அடிப்படைகளைக் கொண்டுள்ளன
• சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் உள்ள மடக்கைகள் இலவசம், அதாவது. எந்த குணகங்களும் அல்லது பிற பல்வேறு வகையான வெளிப்பாடுகளும் இல்லாமல்.

சமன்பாடு பதிவில் 2 x = 2log 2 (1 - x) ஆற்றல் பொருந்தாது - வலதுபுறத்தில் உள்ள குணகம் 2 அதை அனுமதிக்காது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், பதிவு 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) கட்டுப்பாடுகளில் ஒன்றையும் பூர்த்தி செய்யவில்லை - இடதுபுறத்தில் இரண்டு மடக்கைகள் உள்ளன. ஒன்று மட்டும் இருந்திருந்தால், அது முற்றிலும் வேறு விஷயம்!

பொதுவாக, சமன்பாட்டில் படிவம் இருந்தால் மட்டுமே மடக்கைகளை அகற்ற முடியும்:

log a (...) = log a (...)

முற்றிலும் எந்த வெளிப்பாடுகளையும் அடைப்புக்குறிக்குள் வைக்கலாம்; மடக்கைகளை நீக்கிய பிறகு, ஒரு எளிய சமன்பாடு இருக்கும் - நேரியல், இருபடி, அதிவேக, முதலியன, இதை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும் என்று நம்புகிறேன்.

மற்றொரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்:

பதிவு 3 (2x-5) = பதிவு 3 x

நாங்கள் ஆற்றலைப் பயன்படுத்துகிறோம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதிவு 3 (2x-1) = 2

மடக்கையின் வரையறையின் அடிப்படையில், அதாவது மடக்கை என்பது மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் இருக்கும் வெளிப்பாட்டைப் பெறுவதற்கு அடித்தளத்தை உயர்த்த வேண்டிய எண்ணாகும், அதாவது. (4x-1), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

மீண்டும் ஒரு அழகான பதில் கிடைத்தது. இங்கே நாம் மடக்கைகளை அகற்றாமல் செய்தோம், ஆனால் ஆற்றல் இங்கே பொருந்தும், ஏனென்றால் எந்த எண்ணிலிருந்தும் ஒரு மடக்கை உருவாக்க முடியும், மேலும் நமக்குத் தேவையானதைத் தான். மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் குறிப்பாக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் இந்த முறை மிகவும் உதவியாக இருக்கும்.

ஆற்றலைப் பயன்படுத்தி நமது மடக்கை சமன்பாடு பதிவு 3 (2x-1) = 2 ஐத் தீர்ப்போம்:

எண் 2 ஐ ஒரு மடக்கையாக கற்பனை செய்வோம், எடுத்துக்காட்டாக, இந்த பதிவு 3 9, ஏனெனில் 3 2 =9.

பின்னர் பதிவு 3 (2x-1) = பதிவு 3 9 மற்றும் மீண்டும் அதே சமன்பாடு 2x-1 = 9 கிடைக்கும். எல்லாம் தெளிவாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன்.

எனவே எளிமையான மடக்கை சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் பார்த்தோம், அவை உண்மையில் மிகவும் முக்கியமானவை, ஏனெனில் மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது, மிகவும் பயங்கரமான மற்றும் முறுக்கப்பட்டவை கூட, இறுதியில் எப்போதும் எளிமையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் இறங்குகின்றன.

நாங்கள் மேலே செய்த எல்லாவற்றிலும், ஒன்றை நாங்கள் தவறவிட்டோம் முக்கியமான புள்ளி, இது எதிர்காலத்தில் ஒரு தீர்க்கமான பாத்திரத்தை வகிக்கும். உண்மை என்னவென்றால், எந்த மடக்கை சமன்பாட்டிற்கும் தீர்வு, மிக அடிப்படையான ஒன்று கூட, இரண்டு சம பாகங்களைக் கொண்டுள்ளது. முதலாவது சமன்பாட்டின் தீர்வு, இரண்டாவது அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பில் (APV) செயல்படுகிறது. இதுதான் நாம் தேர்ச்சி பெற்ற முதல் பகுதி. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், ODZ எந்த வகையிலும் பதிலைப் பாதிக்காது, எனவே நாங்கள் அதைக் கருத்தில் கொள்ளவில்லை.

மற்றொரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்:

பதிவு 3 (x 2 -3) = பதிவு 3 (2x)

வெளிப்புறமாக, இந்த சமன்பாடு ஒரு அடிப்படை ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல, இது மிகவும் வெற்றிகரமாக தீர்க்கப்படும். ஆனால் அது அப்படியல்ல. இல்லை, நிச்சயமாக, நாங்கள் அதைத் தீர்ப்போம், ஆனால் பெரும்பாலும் தவறாக இருக்கலாம், ஏனென்றால் அதில் ஒரு சிறிய பதுங்கியிருந்து சி-கிரேடு மாணவர்கள் மற்றும் சிறந்த மாணவர்கள் இருவரும் உடனடியாக அதில் விழுவார்கள். இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

சமன்பாட்டின் வேர் அல்லது வேர்களின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அவற்றில் பல இருந்தால்:

பதிவு 3 (x 2 -3) = பதிவு 3 (2x)

நாங்கள் ஆற்றலைப் பயன்படுத்துகிறோம், அது இங்கே ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது. இதன் விளைவாக, நாங்கள் வழக்கமானதைப் பெறுகிறோம் இருபடி சமன்பாடு.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிதல்:

இது இரண்டு வேர்களாக மாறியது.

பதில்: 3 மற்றும் -1

முதல் பார்வையில் எல்லாம் சரியாக உள்ளது. ஆனால் முடிவை சரிபார்த்து, அதை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்.

x 1 = 3 இல் ஆரம்பிக்கலாம்:

பதிவு 3 6 = பதிவு 3 6

சரிபார்ப்பு வெற்றிகரமாக இருந்தது, இப்போது வரிசை x 2 = -1:

பதிவு 3 (-2) = பதிவு 3 (-2)

சரி, நிறுத்து! வெளியில் எல்லாம் சரியாக இருக்கிறது. ஒரு புள்ளி - மடக்கைகள் இருந்து எதிர்மறை எண்கள்இருக்க முடியாது! அதாவது x = -1 என்ற ரூட் நமது சமன்பாட்டைத் தீர்க்க ஏற்றதல்ல. எனவே சரியான பதில் 3 ஆக இருக்கும், நாங்கள் எழுதியது போல் 2 அல்ல.

இங்குதான் ODZ அதன் அபாயகரமான பாத்திரத்தை வகித்தது, அதை நாம் மறந்துவிட்டோம்.

ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பில் அனுமதிக்கப்பட்ட அல்லது அசல் உதாரணத்திற்கு அர்த்தமுள்ள x இன் மதிப்புகள் அடங்கும் என்பதை நினைவூட்டுகிறேன்.

ODZ இல்லாமல், எந்தவொரு சமன்பாட்டின் எந்தவொரு தீர்வும், முற்றிலும் சரியானது கூட, லாட்டரியாக மாறும் - 50/50.

ஒரு ஆரம்ப உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதில் நாம் எப்படி சிக்கிக்கொள்ளலாம்? ஆனால் துல்லியமாக ஆற்றலின் தருணத்தில். மடக்கைகள் மறைந்துவிட்டன, அவற்றுடன் அனைத்து கட்டுப்பாடுகளும்.

இந்த வழக்கில் என்ன செய்வது? மடக்கைகளை அகற்ற மறுக்கிறீர்களா? இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க முற்றிலும் மறுக்கிறீர்களா?

இல்லை, நாங்கள் ஒருவரிடமிருந்து உண்மையான ஹீரோக்கள் போல இருக்கிறோம் பிரபலமான பாடல், ஒரு மாற்றுப்பாதையில் செல்வோம்!

எந்த மடக்கை சமன்பாட்டையும் தீர்க்கத் தொடங்கும் முன், ODZ ஐ எழுதுவோம். ஆனால் அதன் பிறகு, எங்கள் சமன்பாட்டின் மூலம் உங்கள் இதயம் எதை வேண்டுமானாலும் செய்யலாம். பதிலைப் பெற்ற பிறகு, எங்கள் ODZ இல் சேர்க்கப்படாத அந்த வேர்களை வெளியேற்றி, இறுதி பதிப்பை எழுதுகிறோம்.

ODZ ஐ எவ்வாறு பதிவு செய்வது என்பதை இப்போது முடிவு செய்வோம். இதைச் செய்ய, அசல் சமன்பாட்டை கவனமாக ஆராய்ந்து, அதில் x ஆல் வகுத்தல், ரூட் கூட போன்ற சந்தேகத்திற்குரிய இடங்களைத் தேடுகிறோம். சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் வரை, x எதற்குச் சமம் என்று எங்களுக்குத் தெரியாது, ஆனால் x உள்ளன என்பதை நாங்கள் உறுதியாக அறிவோம், அவை மாற்றப்படும்போது 0 அல்லது பிரித்தெடுத்தல் மூலம் வகுக்கும். சதுர வேர்எதிர்மறை எண்ணில் இருந்து பதில் பதில் பொருத்தமானது அல்ல. எனவே, அத்தகைய x ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது, மீதமுள்ளவை ODZ ஆக இருக்கும்.

மீண்டும் அதே சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம்:

பதிவு 3 (x 2 -3) = பதிவு 3 (2x)

பதிவு 3 (x 2 -3) = பதிவு 3 (2x)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, 0 ஆல் வகுத்தல் இல்லை, சதுர வேர்களும் இல்லை, ஆனால் மடக்கையின் உடலில் x உடன் வெளிப்பாடுகள் உள்ளன. மடக்கைக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு எப்போதும் >0 ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதை உடனடியாக நினைவில் கொள்வோம். இந்த நிபந்தனையை ODZ வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

அந்த. நாங்கள் இன்னும் எதையும் தீர்க்கவில்லை, ஆனால் முழு சப்லோகரிதமிக் வெளிப்பாட்டிற்கும் ஒரு கட்டாய நிபந்தனையை நாங்கள் ஏற்கனவே எழுதியுள்ளோம். சுருள் பிரேஸ் என்பது இந்த நிபந்தனைகள் ஒரே நேரத்தில் உண்மையாக இருக்க வேண்டும் என்பதாகும்.

ODZ எழுதப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவமின்மை அமைப்பைத் தீர்ப்பதும் அவசியம், அதைத்தான் நாங்கள் செய்வோம். x > v3 என்ற பதிலைப் பெறுகிறோம். எந்த x நமக்குப் பொருந்தாது என்பது இப்போது உறுதியாகத் தெரியும். பின்னர் மடக்கை சமன்பாட்டைத் தீர்க்கத் தொடங்குகிறோம், அதைத்தான் மேலே செய்தோம்.

x 1 = 3 மற்றும் x 2 = -1 ஆகிய பதில்களைப் பெற்ற பிறகு, x1 = 3 மட்டுமே நமக்குப் பொருத்தமானது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது, மேலும் அதை இறுதிப் பதிலாக எழுதுகிறோம்.

எதிர்காலத்தில், பின்வருவனவற்றை நினைவில் கொள்வது மிகவும் முக்கியம்: எந்த மடக்கை சமன்பாட்டையும் 2 நிலைகளில் தீர்க்கிறோம். முதலாவது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது, இரண்டாவது ODZ நிலையைத் தீர்ப்பது. இரண்டு நிலைகளும் ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக செய்யப்படுகின்றன மற்றும் பதில் எழுதும் போது மட்டுமே ஒப்பிடப்படுகின்றன, அதாவது. தேவையற்ற அனைத்தையும் நிராகரித்து சரியான பதிலை எழுதுங்கள்.

பொருளை வலுப்படுத்த, வீடியோவைப் பார்க்க நாங்கள் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறோம்:

பதிவைத் தீர்ப்பதற்கான பிற எடுத்துக்காட்டுகளை வீடியோ காட்டுகிறது. சமன்பாடுகள் மற்றும் நடைமுறையில் இடைவெளி முறையைப் பயிற்சி செய்தல்.

இந்தக் கேள்விக்கு, மடக்கை சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, இப்பொழுது இத்துடன் நிறைவடைகிறது. பதிவு மூலம் ஏதாவது முடிவு செய்யப்பட்டால். சமன்பாடுகள் தெளிவாக இல்லை அல்லது புரிந்துகொள்ள முடியாததாக இருக்கும், உங்கள் கேள்விகளை கருத்துகளில் எழுதுங்கள்.

குறிப்பு: அகாடமி ஆஃப் சோஷியல் எஜுகேஷன் (ASE) புதிய மாணவர்களை ஏற்றுக்கொள்ள தயாராக உள்ளது.

கணிதத்தில் இறுதித் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு ஒரு முக்கியமான பகுதியை உள்ளடக்கியது - "மடக்கை". இந்தத் தலைப்பின் பணிகள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அவசியம் இருக்க வேண்டும். மடக்கை சமன்பாடுகள் பல பள்ளி மாணவர்களுக்கு சிரமங்களை ஏற்படுத்தியதாக கடந்த ஆண்டுகளின் அனுபவம் காட்டுகிறது. எனவே, பல்வேறு நிலைகளில் பயிற்சி பெற்ற மாணவர்கள் சரியான பதிலைக் கண்டுபிடித்து அவற்றை விரைவாகச் சமாளிப்பது எப்படி என்பதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

Shkolkovo கல்வி போர்ட்டலைப் பயன்படுத்தி சான்றிதழ் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெறுங்கள்!

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராகும் போது, ​​உயர்நிலைப் பள்ளி பட்டதாரிகள் தேவை நம்பகமான ஆதாரம், மிகவும் முழுமையான மற்றும் வழங்கும் சரியான தகவல்சோதனை சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க. இருப்பினும், ஒரு பாடப்புத்தகம் எப்போதும் கையில் இல்லை, மேலும் இணையத்தில் தேவையான விதிகள் மற்றும் சூத்திரங்களைத் தேடுவதற்கு அடிக்கடி நேரம் எடுக்கும்.

Shkolkovo கல்வி போர்டல் எந்த நேரத்திலும் எங்கும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராக உங்களை அனுமதிக்கிறது. எங்கள் வலைத்தளம் மடக்கைகள் மற்றும் ஒன்று மற்றும் பல அறியப்படாத தகவல்களை மீண்டும் மீண்டும் மற்றும் ஒருங்கிணைக்க மிகவும் வசதியான அணுகுமுறை வழங்குகிறது. எளிதான சமன்பாடுகளுடன் தொடங்கவும். நீங்கள் சிரமமின்றி அவற்றைச் சமாளித்தால், மிகவும் சிக்கலானவற்றுக்குச் செல்லுங்கள். குறிப்பிட்ட சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதில் உங்களுக்குச் சிக்கல் இருந்தால், அதை உங்களுக்குப் பிடித்தவற்றில் சேர்க்கலாம், எனவே நீங்கள் பின்னர் அதற்குத் திரும்பலாம்.

"கோட்பாட்டு உதவி" பகுதியைப் பார்த்து, பணியை முடிக்க தேவையான சூத்திரங்களை நீங்கள் காணலாம், சிறப்பு நிகழ்வுகள் மற்றும் நிலையான மடக்கை சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகளை மீண்டும் செய்யலாம். ஷ்கோல்கோவோ ஆசிரியர்கள் தேவையான அனைத்தையும் சேகரித்து, முறைப்படுத்தி, கோடிட்டுக் காட்டினார்கள் வெற்றிகரமாக முடித்தல்எளிய மற்றும் மிகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வடிவத்தில் உள்ள பொருட்கள்.

எந்தவொரு சிக்கலான பணிகளையும் எளிதில் சமாளிக்க, எங்கள் போர்ட்டலில் சில நிலையான மடக்கை சமன்பாடுகளின் தீர்வை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம். இதைச் செய்ய, "பட்டியல்கள்" பகுதிக்குச் செல்லவும். நாங்கள் முன்வைக்கிறோம் ஒரு பெரிய எண்ணிக்கைகணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் சுயவிவர நிலை சமன்பாடுகள் உட்பட எடுத்துக்காட்டுகள்.

ரஷ்யா முழுவதும் உள்ள பள்ளிகளைச் சேர்ந்த மாணவர்கள் எங்கள் போர்ட்டலைப் பயன்படுத்தலாம். வகுப்புகளைத் தொடங்க, கணினியில் பதிவுசெய்து சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கத் தொடங்கவும். முடிவுகளை ஒருங்கிணைக்க, தினமும் Shkolkovo வலைத்தளத்திற்குத் திரும்புமாறு நாங்கள் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறோம்.

இந்த வீடியோ மூலம் மடக்கை சமன்பாடுகள் பற்றிய ஒரு நீண்ட தொடர் பாடங்களைத் தொடங்குகிறேன். இப்போது உங்களுக்கு முன் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, அதன் அடிப்படையில் எளிமையான சிக்கல்களைத் தீர்க்க நாங்கள் கற்றுக்கொள்வோம், அவை அழைக்கப்படுகின்றன - புரோட்டோசோவா.

பதிவு 0.5 (3x - 1) = -3

பதிவு (x + 3) = 3 + 2 பதிவு 5

எளிமையான மடக்கை சமன்பாடு பின்வருமாறு என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

பதிவு a f(x) = b

இந்த வழக்கில், x என்ற மாறி வாதத்தின் உள்ளே மட்டுமே இருப்பது முக்கியம், அதாவது f (x) செயல்பாட்டில் மட்டுமே. மற்றும் எண்கள் a மற்றும் b வெறும் எண்கள், மற்றும் எந்த சந்தர்ப்பத்திலும் x மாறி கொண்டிருக்கும் செயல்பாடுகள் இல்லை.

அடிப்படை தீர்வு முறைகள்

அத்தகைய கட்டமைப்புகளை தீர்க்க பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, பள்ளியில் உள்ள பெரும்பாலான ஆசிரியர்கள் இந்த முறையை வழங்குகிறார்கள்: சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி f (x) செயல்பாட்டை உடனடியாக வெளிப்படுத்தவும். f ( x) = ஒரு பி . அதாவது, நீங்கள் எளிமையான கட்டுமானத்தைக் கண்டால், கூடுதல் செயல்கள் மற்றும் கட்டுமானங்கள் இல்லாமல் உடனடியாக தீர்வுக்கு செல்லலாம்.

ஆம், நிச்சயமாக, முடிவு சரியாக இருக்கும். இருப்பினும், இந்த ஃபார்முலாவில் உள்ள சிக்கல் பெரும்பாலான மாணவர்கள் புரியவில்லை, அது எங்கிருந்து வருகிறது, ஏன் a என்ற எழுத்தை b என்ற எழுத்தாக உயர்த்துகிறோம்.

இதன் விளைவாக, எடுத்துக்காட்டாக, இந்த கடிதங்கள் மாற்றப்படும்போது மிகவும் எரிச்சலூட்டும் தவறுகளை நான் அடிக்கடி பார்க்கிறேன். இந்த சூத்திரம் புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும் அல்லது நெரிசலாக இருக்க வேண்டும், மேலும் இரண்டாவது முறை மிகவும் பொருத்தமற்ற மற்றும் மிக முக்கியமான தருணங்களில் தவறுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது: தேர்வுகள், சோதனைகள் போன்றவை.

அதனால்தான் எனது அனைத்து மாணவர்களுக்கும் நிலையான பள்ளி சூத்திரத்தை கைவிட்டு, மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இரண்டாவது அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறேன், இது நீங்கள் பெயரிலிருந்து யூகித்தபடி அழைக்கப்படுகிறது. நியமன வடிவம்.

நியமன வடிவத்தின் யோசனை எளிமையானது. எங்கள் சிக்கலை மீண்டும் பார்ப்போம்: இடதுபுறத்தில் log a உள்ளது, மற்றும் a என்ற எழுத்தின் மூலம் நாம் ஒரு எண்ணைக் குறிக்கிறோம், எந்த வகையிலும் x மாறியைக் கொண்ட செயல்பாடு இல்லை. இதன் விளைவாக, இந்த கடிதம் மடக்கையின் அடிப்பகுதிக்கு பொருந்தும் அனைத்து கட்டுப்பாடுகளுக்கும் உட்பட்டது. அதாவது:

1 ≠ a > 0

மறுபுறம், அதே சமன்பாட்டிலிருந்து மடக்கை b எண்ணுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காண்கிறோம், மேலும் இந்த கடிதத்தில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் விதிக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் இது எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம் - நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை. இது அனைத்தும் f(x) செயல்பாடு எந்த மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதைப் பொறுத்தது.

எந்த எண்ணும் b ஐ ஒரு மடக்கையாகக் குறிப்பிடலாம் என்ற எங்கள் அற்புதமான விதியை இங்கே நினைவில் கொள்கிறோம், a இன் அடிமட்டத்திற்கு b இன் சக்திக்கு:

b = log a a b

இந்த சூத்திரத்தை எப்படி நினைவில் கொள்வது? ஆம், மிகவும் எளிமையானது. பின்வரும் கட்டுமானத்தை எழுதுவோம்:

b = b 1 = b log a a

நிச்சயமாக, இந்த விஷயத்தில் நாம் ஆரம்பத்தில் எழுதிய அனைத்து கட்டுப்பாடுகளும் எழுகின்றன. இப்போது மடக்கையின் அடிப்படைப் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, பெருக்கி b ஐ a இன் சக்தியாக அறிமுகப்படுத்துவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

b = b 1 = b log a a = log a a b

இதன் விளைவாக, அசல் சமன்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

அவ்வளவுதான். புதிய செயல்பாட்டில் இனி மடக்கை இல்லை மற்றும் நிலையான இயற்கணித நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

நிச்சயமாக, யாராவது இப்போது ஆட்சேபிப்பார்கள்: ஒருவித நியமன சூத்திரத்தை ஏன் கொண்டு வர வேண்டும், அசல் வடிவமைப்பிலிருந்து இறுதி சூத்திரத்திற்கு உடனடியாக செல்ல முடிந்தால், இரண்டு கூடுதல் தேவையற்ற படிகளை ஏன் செய்ய வேண்டும்? ஆம், இந்த சூத்திரம் எங்கிருந்து வருகிறது என்பதை பெரும்பாலான மாணவர்கள் புரிந்து கொள்ளாததால், அதன் விளைவாக, அதைப் பயன்படுத்தும்போது தவறாமல் தவறு செய்கிறார்கள்.

ஆனால் இந்த செயல்களின் வரிசை, மூன்று படிகளைக் கொண்டுள்ளது, இறுதி சூத்திரம் எங்கிருந்து வருகிறது என்பது உங்களுக்கு புரியவில்லை என்றாலும், அசல் மடக்கை சமன்பாட்டை தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. மூலம், இந்த நுழைவு நியமன சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

log a f (x) = log a a b

நியதி வடிவத்தின் வசதி என்னவென்றால், இன்று நாம் பரிசீலிக்கும் எளிமையானவை மட்டுமல்ல, மிகவும் பரந்த வகை மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இது பயன்படுத்தப்படலாம்.

தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இப்போது பார்க்கலாம் உண்மையான உதாரணங்கள். எனவே, முடிவு செய்வோம்:

பதிவு 0.5 (3x - 1) = -3

அதை இப்படி மாற்றி எழுதுவோம்:

பதிவு 0.5 (3x - 1) = பதிவு 0.5 0.5 -3

பல மாணவர்கள் அவசரத்தில் உள்ளனர் மற்றும் அசல் சிக்கலில் இருந்து எங்களுக்கு வந்த சக்திக்கு 0.5 என்ற எண்ணை உடனடியாக உயர்த்த முயற்சிக்கின்றனர். உண்மையில், இதுபோன்ற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் ஏற்கனவே நன்கு பயிற்சி பெற்றிருந்தால், நீங்கள் உடனடியாக இந்த நடவடிக்கையைச் செய்யலாம்.

இருப்பினும், நீங்கள் இப்போது இந்த தலைப்பைப் படிக்கத் தொடங்கினால், புண்படுத்தும் தவறுகளைத் தவிர்ப்பதற்காக எங்கும் அவசரப்படாமல் இருப்பது நல்லது. எனவே, எங்களுக்கு நியதி வடிவம் உள்ளது. எங்களிடம் உள்ளது:

3x - 1 = 0.5 -3

இது இனி மடக்கைச் சமன்பாடு அல்ல, ஆனால் x மாறியைப் பொறுத்தவரை நேரியல். அதைத் தீர்க்க, முதலில் −3 இன் சக்திக்கு 0.5 என்ற எண்ணைப் பார்ப்போம். 0.5 என்பது 1/2 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

அனைத்து தசமங்கள்மடக்கை சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்கும்போது சாதாரணமாக மாற்றவும்.

நாங்கள் மீண்டும் எழுதி பெறுகிறோம்:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

அவ்வளவுதான், விடை கிடைத்தது. முதல் பிரச்சனை தீர்ந்தது.

இரண்டாவது பணி

இரண்டாவது பணிக்கு செல்லலாம்:

நாம் பார்க்கிறபடி, இந்த சமன்பாடு இனி எளிமையானது அல்ல. இடதுபுறத்தில் வித்தியாசம் இருப்பதால், ஒரு தளத்திற்கு ஒரு மடக்கை கூட இல்லை.

எனவே, இந்த வேறுபாட்டை நாம் எப்படியாவது போக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், எல்லாம் மிகவும் எளிது. அடிப்படைகளை கூர்ந்து கவனிப்போம்: இடதுபுறத்தில் ரூட்டின் கீழ் எண் உள்ளது:

பொதுவான பரிந்துரை: அனைத்து மடக்கை சமன்பாடுகளிலும், ரேடிகல்களை அகற்ற முயற்சிக்கவும், அதாவது, வேர்கள் கொண்ட உள்ளீடுகளில் இருந்து மற்றும் ஆற்றல் செயல்பாடுகளுக்குச் செல்லவும், ஏனெனில் இந்த சக்திகளின் அடுக்குகள் மடக்கை அடையாளத்திலிருந்து எளிதாக வெளியே எடுக்கப்படுகின்றன. இறுதியில்இந்த குறியீடானது கணக்கீடுகளை கணிசமாக எளிதாக்குகிறது மற்றும் வேகப்படுத்துகிறது. அதை இப்படி எழுதுவோம்:

இப்போது நமக்கு நினைவிருக்கிறது அற்புதமான சொத்துமடக்கை: வாதத்திலிருந்தும், அடிப்படையிலிருந்தும் அதிகாரங்களைப் பெறலாம். அடிப்படை விஷயத்தில், பின்வருபவை நடக்கும்:

log a k b = 1/k loga b

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அடிப்படை சக்தியில் இருந்த எண் முன்னோக்கி கொண்டு வரப்பட்டு, அதே நேரத்தில் தலைகீழாக, அதாவது, அது ஒரு பரஸ்பர எண்ணாக மாறும். எங்கள் விஷயத்தில், அடிப்படை பட்டம் 1/2 ஆகும். எனவே, அதை 2/1 என்று எடுத்துக் கொள்ளலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

5 2 பதிவு 5 x - பதிவு 5 x = 18
10 பதிவு 5 x - பதிவு 5 x = 18

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: எந்த சூழ்நிலையிலும் இந்த படிநிலையில் மடக்கைகளை அகற்றக்கூடாது. 4-5 ஆம் வகுப்பு கணிதம் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரிசையை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: முதலில் பெருக்கல் செய்யப்படுகிறது, பின்னர் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல். இந்த வழக்கில், 10 உறுப்புகளிலிருந்து அதே உறுப்புகளில் ஒன்றைக் கழிக்கிறோம்:

9 பதிவு 5 x = 18
பதிவு 5 x = 2

இப்போது எங்கள் சமன்பாடு அது போல் தெரிகிறது. இது எளிமையான கட்டுமானமாகும், மேலும் நாங்கள் அதை நியமன வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம்:

பதிவு 5 x = பதிவு 5 5 2
x = 5 2
x = 25

அவ்வளவுதான். இரண்டாவது பிரச்சனை தீர்ந்தது.

மூன்றாவது உதாரணம்

மூன்றாவது பணிக்கு செல்லலாம்:

பதிவு (x + 3) = 3 + 2 பதிவு 5

பின்வரும் சூத்திரத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

பதிவு b = பதிவு 10 b

சில காரணங்களால் நீங்கள் log b என்ற குறிப்பால் குழப்பமடைந்தால், அனைத்து கணக்கீடுகளையும் செய்யும்போது நீங்கள் பதிவு 10 b ஐ எழுதலாம். மற்றவர்களைப் போலவே நீங்கள் தசம மடக்கைகளுடன் பணிபுரியலாம்: அதிகாரங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், lg 10 வடிவத்தில் எந்த எண்களையும் சேர்க்கவும்.

இந்த பண்புகளையே இப்போது சிக்கலைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்துவோம், ஏனெனில் இது எங்கள் பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் நாங்கள் எழுதியது மிகவும் எளிமையானது அல்ல.

முதலில், lg 5 க்கு முன்னால் உள்ள காரணி 2 ஐச் சேர்த்து, அடிப்படை 5 இன் சக்தியாக மாறும் என்பதை நினைவில் கொள்க. கூடுதலாக, இலவச சொல் 3 ஒரு மடக்கையாகவும் குறிப்பிடப்படலாம் - இது எங்கள் குறிப்பிலிருந்து கவனிக்க மிகவும் எளிதானது.

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்: எந்த எண்ணையும் அடிப்படை 10க்கு பதிவாகக் குறிப்பிடலாம்:

3 = பதிவு 10 10 3 = பதிவு 10 3

பெறப்பட்ட மாற்றங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அசல் சிக்கலை மீண்டும் எழுதுவோம்:

பதிவு (x - 3) = பதிவு 1000 + பதிவு 25
பதிவு (x - 3) = பதிவு 1000 25
பதிவு (x - 3) = பதிவு 25,000

நமக்கு முன் மீண்டும் ஒரு நியமன வடிவம் உள்ளது, மேலும் உருமாற்ற நிலைக்குச் செல்லாமல் அதைப் பெற்றோம், அதாவது எளிமையான மடக்கைச் சமன்பாடு எங்கும் தோன்றவில்லை.

பாடத்தின் ஆரம்பத்திலேயே இதைத்தான் பேசினேன். பெரும்பாலான பள்ளி ஆசிரியர்களால் வழங்கப்பட்ட நிலையான பள்ளி சூத்திரத்தை விட பரந்த அளவிலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க நியமன வடிவம் உங்களை அனுமதிக்கிறது.

அவ்வளவுதான், அடையாளத்தை ஒழிப்போம் தசம மடக்கை, மற்றும் நாம் ஒரு எளிய நேரியல் கட்டுமானத்தைப் பெறுகிறோம்:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

அனைத்து! பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

நோக்கம் பற்றிய குறிப்பு

இங்கே நான் கொண்டு வர விரும்புகிறேன் முக்கியமான குறிப்புவரையறையின் நோக்கம் குறித்து. நிச்சயமாக இப்போது மாணவர்களும் ஆசிரியர்களும் இருப்பார்கள்: "நாம் மடக்கைகளுடன் வெளிப்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​f (x) வாதம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்!" இது சம்பந்தமாக, ஒரு தர்க்கரீதியான கேள்வி எழுகிறது: நாம் ஏன் இந்த சமத்துவமின்மையை கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய எந்த பிரச்சனையிலும் திருப்திப்படுத்த வேண்டியதில்லை?

கவலைப்படாதே. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், கூடுதல் வேர்கள் தோன்றாது. இது மற்றொரு சிறந்த தந்திரமாகும், இது தீர்வை விரைவுபடுத்த உங்களை அனுமதிக்கிறது. சிக்கலில் x மாறி ஒரே இடத்தில் மட்டுமே நிகழ்கிறது (அல்லது மாறாக, ஒரு மடக்கையின் ஒரு ஒற்றை வாதத்தில்), மற்றும் எங்கள் விஷயத்தில் வேறு எங்கும் x மாறி தோன்றவில்லை என்றால், வரையறையின் டொமைனை எழுதுங்கள். தேவை இல்லை, ஏனெனில் அது தானாகவே செயல்படுத்தப்படும்.

நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும்: முதல் சமன்பாட்டில் 3x - 1 ஐப் பெற்றோம், அதாவது வாதம் 8 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இது தானாகவே 3x − 1 பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்.

அதே வெற்றியுடன் நாம் இரண்டாவது வழக்கில் x 5 2 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்று எழுதலாம், அதாவது அது நிச்சயமாக பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும். மூன்றாவது வழக்கில், x + 3 = 25,000, அதாவது, மீண்டும், வெளிப்படையாக பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நோக்கம் தானாகவே திருப்தி அடைகிறது, ஆனால் ஒரே ஒரு மடக்கையின் வாதத்தில் மட்டுமே x ஏற்பட்டால் மட்டுமே.

எளிமையான பிரச்சனைகளை தீர்க்க நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது அவ்வளவுதான். இந்த விதி மட்டும், உருமாற்ற விதிகளுடன் சேர்ந்து, மிகவும் பரந்த அளவிலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும்.

ஆனால் நேர்மையாக இருக்கட்டும்: இந்த நுட்பத்தை இறுதியாக புரிந்து கொள்ள, மடக்கை சமன்பாட்டின் நியமன வடிவத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை அறிய, ஒரு வீடியோ பாடத்தைப் பார்ப்பது மட்டும் போதாது. எனவே, இப்போதே, இந்த வீடியோ பாடத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ள சுயாதீன தீர்வுகளுக்கான விருப்பங்களைப் பதிவிறக்கி, இந்த இரண்டு சுயாதீனமான படைப்புகளில் ஒன்றையாவது தீர்க்கத் தொடங்குங்கள்.

இது உண்மையில் சில நிமிடங்கள் எடுக்கும். ஆனால் இந்த வீடியோ பாடத்தை நீங்கள் வெறுமனே பார்த்ததை விட இதுபோன்ற பயிற்சியின் விளைவு மிக அதிகமாக இருக்கும்.

மடக்கைச் சமன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்ள இந்தப் பாடம் உதவும் என்று நம்புகிறேன். நியமன படிவத்தைப் பயன்படுத்தவும், மடக்கைகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கவும் - மேலும் நீங்கள் எந்த பிரச்சனையும் பயப்பட மாட்டீர்கள். இன்றைக்கு என்னிடம் அவ்வளவுதான்.

வரையறையின் களத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

இப்போது மடக்கை செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தைப் பற்றி பேசலாம், மேலும் இது மடக்கை சமன்பாடுகளின் தீர்வை எவ்வாறு பாதிக்கிறது. படிவத்தின் கட்டுமானத்தைக் கவனியுங்கள்

பதிவு a f(x) = b

அத்தகைய வெளிப்பாடு எளிமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது - இது ஒரே ஒரு செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் a மற்றும் b எண்கள் வெறும் எண்கள், மற்றும் எந்த வகையிலும் x மாறியைப் பொறுத்தது. இது மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படும். நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

b = log a a b

இந்த சூத்திரம் மடக்கையின் முக்கிய பண்புகளில் ஒன்றாகும், மேலும் நமது அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றாக நாம் பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

இது ஒரு பழக்கமான சூத்திரம் பள்ளி பாடப்புத்தகங்கள். பல மாணவர்களுக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம்: அசல் வெளிப்பாட்டில் f (x) செயல்பாடு பதிவு அடையாளத்தின் கீழ் இருப்பதால், பின்வரும் கட்டுப்பாடுகள் அதற்கு விதிக்கப்பட்டுள்ளன:

f(x) > 0

எதிர்மறை எண்களின் மடக்கை இல்லாததால் இந்த வரம்பு பொருந்தும். எனவே, ஒருவேளை, இந்த வரம்பின் விளைவாக, பதில்களில் ஒரு சரிபார்ப்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட வேண்டுமா? ஒருவேளை அவை மூலத்தில் செருகப்பட வேண்டுமா?

இல்லை, எளிமையான மடக்கை சமன்பாடுகளில் கூடுதல் சரிபார்ப்பு தேவையற்றது. அதனால் தான். எங்கள் இறுதி சூத்திரத்தைப் பாருங்கள்:

f (x) = a b

உண்மை என்னவென்றால், எந்த வகையிலும் a எண் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் - இந்த தேவை மடக்கையால் விதிக்கப்படுகிறது. எண் a என்பது அடிப்படை. இந்த வழக்கில், எண் b மீது எந்த கட்டுப்பாடுகளும் விதிக்கப்படவில்லை. ஆனால் இது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனென்றால் நாம் எந்த பட்டத்தை உயர்த்தினாலும் நேர்மறை எண், வெளியீட்டில் இன்னும் நேர்மறை எண்ணைப் பெறுவோம். இதனால், தேவை f (x) > 0 தானாகவே பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.

பதிவு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள செயல்பாட்டின் டொமைனைச் சரிபார்க்கத் தகுதியானது. மிகவும் சிக்கலான கட்டமைப்புகள் இருக்கலாம், மேலும் தீர்வு செயல்பாட்டின் போது நீங்கள் நிச்சயமாக அவற்றைக் கண்காணிக்க வேண்டும். பார்க்கலாம்.

முதல் பணி:

முதல் படி: வலதுபுறத்தில் உள்ள பகுதியை மாற்றவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

மடக்கை அடையாளத்திலிருந்து விடுபட்டு வழக்கமான பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பெறப்பட்ட வேர்களில், இரண்டாவது வேர் என்பதால் முதல் ஒன்று மட்டுமே நமக்குப் பொருந்தும் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக. ஒரே பதில் எண் 9. அவ்வளவுதான், பிரச்சனை தீர்ந்தது. மடக்கை குறியின் கீழ் வெளிப்பாடு 0 ஐ விட அதிகமாக உள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த கூடுதல் சரிபார்ப்புகள் தேவையில்லை, ஏனெனில் அது 0 ஐ விட அதிகமாக இல்லை, ஆனால் சமன்பாட்டின் நிபந்தனையின் படி இது 2 க்கு சமம். எனவே, தேவை "பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது ” தானாகவே திருப்தி அடைகிறது.

இரண்டாவது பணிக்கு செல்லலாம்:

இங்கே எல்லாம் ஒன்றுதான். நாங்கள் கட்டுமானத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம், மூன்றை மாற்றுகிறோம்:

மடக்கை அறிகுறிகளை அகற்றி, பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

கட்டுப்பாடுகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு இருபுறமும் சதுரம் செய்து பெறுகிறோம்:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை பாகுபாடு மூலம் தீர்க்கிறோம்:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = −6

ஆனால் x = −6 நமக்குப் பொருந்தாது, ஏனெனில் இந்த எண்ணை நமது சமத்துவமின்மையில் மாற்றினால், நாம் பெறுவோம்:

−6 + 4 = −2 < 0

எங்கள் விஷயத்தில், அது 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் அல்லது தீவிர நிகழ்வுகளில் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் x = −1 நமக்கு பொருந்தும்:

−1 + 4 = 3 > 0

எங்கள் விஷயத்தில் ஒரே பதில் x = −1. அதுதான் தீர்வு. எங்கள் கணக்கீடுகளின் தொடக்கத்திற்குத் திரும்புவோம்.

எளிய மடக்கைச் சமன்பாடுகளில் ஒரு செயல்பாட்டின் கட்டுப்பாடுகளை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டியதில்லை என்பதே இந்தப் பாடத்திலிருந்து முக்கிய அம்சமாகும். ஏனெனில் தீர்வு செயல்பாட்டின் போது அனைத்து கட்டுப்பாடுகளும் தானாகவே திருப்தி அடையும்.

இருப்பினும், இது எந்த வகையிலும் சரிபார்ப்பதை நீங்கள் மறந்துவிட முடியாது என்று அர்த்தம். ஒரு மடக்கை சமன்பாட்டில் பணிபுரியும் செயல்பாட்டில், இது ஒரு பகுத்தறிவற்ற ஒன்றாக மாறக்கூடும், இது வலது பக்கத்திற்கான அதன் சொந்த கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் தேவைகளைக் கொண்டிருக்கும், இன்று நாம் இரண்டு வெவ்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளில் பார்த்தோம்.

இதுபோன்ற பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க தயங்காதீர்கள் மற்றும் வாதத்தில் ஒரு வேர் இருந்தால் குறிப்பாக கவனமாக இருங்கள்.

வெவ்வேறு தளங்களைக் கொண்ட மடக்கைச் சமன்பாடுகள்

மடக்கை சமன்பாடுகளை நாங்கள் தொடர்ந்து படித்து வருகிறோம், மேலும் சிக்கலான கட்டுமானங்களைத் தீர்ப்பது நாகரீகமான இரண்டு சுவாரஸ்யமான நுட்பங்களைப் பார்க்கிறோம். ஆனால் முதலில், எளிமையான சிக்கல்கள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்வோம்:

பதிவு a f(x) = b

இந்த உள்ளீட்டில், a மற்றும் b எண்கள், மற்றும் f (x) செயல்பாட்டில் x மாறி இருக்க வேண்டும், மேலும் அங்கு மட்டும், அதாவது x வாதத்தில் மட்டுமே இருக்க வேண்டும். அத்தகைய மடக்கை சமன்பாடுகளை நாம் நியமன வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி மாற்றுவோம். இதைச் செய்ய, கவனிக்கவும்

b = log a a b

மேலும், a b என்பது துல்லியமாக ஒரு வாதம். இந்த வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

log a f (x) = log a a b

இதைத்தான் நாம் அடைய முயற்சிக்கிறோம், இதனால் இடது மற்றும் வலது இரண்டையும் அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு மடக்கை உள்ளது. இந்த விஷயத்தில், அடையாளப்பூர்வமாகப் பேசினால், பதிவு அறிகுறிகளைக் கடக்கலாம், மேலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் நாம் வாதங்களை வெறுமனே சமன் செய்கிறோம் என்று கூறலாம்:

f (x) = a b

இதன் விளைவாக, தீர்க்க மிகவும் எளிதாக இருக்கும் ஒரு புதிய வெளிப்பாட்டைப் பெறுவோம். இந்த விதியை இன்று நம் பிரச்சனைகளுக்குப் பயன்படுத்துவோம்.

எனவே, முதல் வடிவமைப்பு:

முதலாவதாக, வலதுபுறத்தில் ஒரு பகுதி உள்ளது, அதன் வகுப்பின் பதிவு உள்ளது. இது போன்ற ஒரு வெளிப்பாட்டை நீங்கள் பார்க்கும்போது, ​​மடக்கைகளின் அற்புதமான பண்புகளை நினைவில் கொள்வது நல்லது:

ரஷ்ய மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டால், எந்த மடக்கையும் எந்த அடிப்படை c உடன் இரண்டு மடக்கைகளின் பங்காகக் குறிப்பிடப்படலாம். நிச்சயமாக 0< с ≠ 1.

எனவே: இந்த சூத்திரம் ஒரு அற்புதமானது சிறப்பு வழக்கு, c மாறி மாறிக்கு சமமாக இருக்கும்போது பி. இந்த வழக்கில், நாம் ஒரு கட்டுமானத்தைப் பெறுகிறோம்:

நமது சமன்பாட்டில் வலதுபுறத்தில் உள்ள அடையாளத்திலிருந்து நாம் பார்க்கும் கட்டுமானம் இதுதான். இந்த கட்டுமானத்தை log a b உடன் மாற்றுவோம், நாம் பெறுவது:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அசல் பணியுடன் ஒப்பிடுகையில், நாங்கள் வாதத்தையும் மடக்கையின் தளத்தையும் மாற்றினோம். அதற்கு பதிலாக, நாம் பின்னத்தை மாற்ற வேண்டியிருந்தது.

பின்வரும் விதியின்படி எந்த பட்டமும் அடிப்படையிலிருந்து பெறப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்வோம்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அடித்தளத்தின் சக்தியாக இருக்கும் குணகம் k, ஒரு தலைகீழ் பின்னமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அதை தலைகீழ் பின்னமாக வழங்குவோம்:

பகுதியளவு காரணியை முன்னால் விட முடியாது, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் இந்த குறியீட்டை ஒரு நியமன வடிவமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாது (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நியமன வடிவத்தில் இரண்டாவது மடக்கைக்கு முன் கூடுதல் காரணி இல்லை). எனவே, வாதத்தில் 1/4 என்ற பின்னத்தை சக்தியாகச் சேர்ப்போம்:

இப்போது நாம் வாதங்களை சமன் செய்கிறோம், அவற்றின் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை (எங்கள் அடிப்படைகள் உண்மையில் ஒரே மாதிரியானவை), மேலும் எழுதவும்:

x + 5 = 1

x = -4

அவ்வளவுதான். முதல் மடக்கை சமன்பாட்டிற்கு விடை கிடைத்தது. தயவு செய்து கவனிக்கவும்: அசல் சிக்கலில், மாறி x ஒரே ஒரு பதிவில் மட்டுமே தோன்றும், அது அதன் வாதத்தில் தோன்றும். எனவே, டொமைனைச் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் நமது எண் x = -4 தான் பதில்.

இப்போது இரண்டாவது வெளிப்பாட்டிற்கு செல்லலாம்:

பதிவு 56 = பதிவு 2 பதிவு 2 7 - 3log (x + 4)

இங்கே, வழக்கமான மடக்கைகளுக்கு கூடுதலாக, நாம் log f (x) உடன் வேலை செய்ய வேண்டும். அத்தகைய சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது? ஒரு ஆயத்தமில்லாத மாணவருக்கு இது ஒருவித கடினமான பணியாகத் தோன்றலாம், ஆனால் உண்மையில் எல்லாவற்றையும் ஒரு அடிப்படை வழியில் தீர்க்க முடியும்.

lg 2 log 2 7 என்ற சொல்லை உற்றுப் பாருங்கள். அதைப் பற்றி நாம் என்ன சொல்ல முடியும்? log மற்றும் lg இன் அடிப்படைகள் மற்றும் வாதங்கள் ஒரே மாதிரியானவை, மேலும் இது சில யோசனைகளைக் கொடுக்க வேண்டும். மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து அதிகாரங்கள் எவ்வாறு எடுக்கப்படுகின்றன என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவு கூர்வோம்:

log a b n = nlog a b

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வாதத்தில் b இன் சக்தி என்னவாக இருந்தது என்பது பதிவுக்கு முன்னால் ஒரு காரணியாகிறது. இந்த சூத்திரத்தை lg 2 log 2 7 என்ற வெளிப்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்துவோம். lg 2 க்கு பயப்பட வேண்டாம் - இது மிகவும் பொதுவான வெளிப்பாடு. நீங்கள் அதை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

வேறு எந்த மடக்கைக்கும் பொருந்தும் அனைத்து விதிகளும் அதற்கு செல்லுபடியாகும். குறிப்பாக, முன் உள்ள காரணியை வாதத்தின் அளவுடன் சேர்க்கலாம். அதை எழுதுவோம்:

பெரும்பாலும், மாணவர்கள் இந்த செயலை நேரடியாகப் பார்ப்பதில்லை, ஏனென்றால் ஒரு பதிவை மற்றொரு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளிடுவது நல்லதல்ல. உண்மையில், இதில் குற்றம் எதுவும் இல்லை. மேலும், ஒரு முக்கியமான விதியை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தால் கணக்கிட எளிதான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

இந்த சூத்திரத்தை ஒரு வரையறையாகவும் அதன் பண்புகளில் ஒன்றாகவும் கருதலாம். எவ்வாறாயினும், நீங்கள் மடக்கை சமன்பாட்டை மாற்றினால், எந்த எண்ணின் பதிவு பிரதிநிதித்துவத்தையும் நீங்கள் அறிவது போல் இந்த சூத்திரத்தையும் நீங்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும்.

நம் பணிக்குத் திரும்புவோம். சம அடையாளத்தின் வலதுபுறத்தில் உள்ள முதல் சொல் எல்ஜி 7 க்கு சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையைக் கருத்தில் கொண்டு அதை மீண்டும் எழுதுகிறோம். எங்களிடம் உள்ளது:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

lg 7 ஐ இடது பக்கம் நகர்த்துவோம், நாம் பெறுகிறோம்:

lg 56 - பதிவு 7 = -3lg (x + 4)

இடதுபுறத்தில் உள்ள வெளிப்பாடுகளை நாங்கள் கழிக்கிறோம், ஏனெனில் அவை ஒரே அடித்தளத்தைக் கொண்டுள்ளன:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

இப்போது நாம் பெற்ற சமன்பாட்டைக் கூர்ந்து கவனிப்போம். இது நடைமுறையில் நியதி வடிவம், ஆனால் வலதுபுறத்தில் ஒரு காரணி -3 உள்ளது. அதை சரியான lg வாதத்தில் சேர்ப்போம்:

பதிவு 8 = பதிவு (x + 4) -3

மடக்கை சமன்பாட்டின் நியமன வடிவம் நமக்கு முன் உள்ளது, எனவே நாம் எல்ஜி அறிகுறிகளைக் கடந்து வாதங்களை சமன் செய்கிறோம்:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

அவ்வளவுதான்! இரண்டாவது மடக்கை சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்த்தோம். இந்த வழக்கில், கூடுதல் சரிபார்ப்புகள் தேவையில்லை, ஏனெனில் அசல் சிக்கலில் x ஒரே ஒரு வாதத்தில் மட்டுமே இருந்தது.

மீண்டும் பட்டியலிடுகிறேன் முக்கிய புள்ளிகள்இந்த பாடம்.

மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட இந்தப் பக்கத்தில் உள்ள அனைத்து பாடங்களிலும் கற்பிக்கப்படும் முக்கிய சூத்திரம் நியமன வடிவம் ஆகும். பெரும்பாலான பள்ளி பாடப்புத்தகங்கள் இதுபோன்ற பிரச்சினைகளை வித்தியாசமாக தீர்க்க கற்றுக்கொடுக்கின்றன என்ற உண்மையால் பயப்பட வேண்டாம். இந்த கருவி மிகவும் திறம்பட செயல்படுகிறது மற்றும் எங்கள் பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் நாங்கள் படித்த எளியவற்றை விட மிகவும் பரந்த அளவிலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

கூடுதலாக, மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க அடிப்படை பண்புகளை அறிந்து கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். அதாவது:

1. ஒரு தளத்திற்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரம் மற்றும் நாம் பதிவை மாற்றும்போது சிறப்பு வழக்கு (இது முதல் சிக்கலில் எங்களுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருந்தது);
2. மடக்கை அடையாளத்திலிருந்து அதிகாரங்களைக் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்குமான சூத்திரம். இங்கே, பல மாணவர்கள் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள், மேலும் பட்டம் எடுத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதில் பதிவு f (x) இருக்கக்கூடும் என்பதைக் காணவில்லை. அதில் தவறில்லை. மற்றொன்றின் அடையாளத்தின்படி ஒரு பதிவை அறிமுகப்படுத்தலாம், அதே நேரத்தில் சிக்கலின் தீர்வை கணிசமாக எளிதாக்கலாம், இது இரண்டாவது வழக்கில் நாம் கவனிக்கிறோம்.

முடிவில், இந்த ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் வரையறையின் டொமைனைச் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்று நான் சேர்க்க விரும்புகிறேன், ஏனென்றால் எல்லா இடங்களிலும் மாறி x பதிவின் ஒரு அடையாளத்தில் மட்டுமே உள்ளது, அதே நேரத்தில் அதன் வாதத்திலும் உள்ளது. இதன் விளைவாக, நோக்கத்தின் அனைத்து தேவைகளும் தானாகவே பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன.

மாறி அடிப்படையில் சிக்கல்கள்

இன்று நாம் மடக்கைச் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், இது பல மாணவர்களுக்குத் தரமற்றதாகத் தோன்றும், முற்றிலும் தீர்க்க முடியாதது. இது பற்றிஎண்களின் அடிப்படையில் அல்ல, மாறாக மாறிகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையிலான வெளிப்பாடுகள் பற்றி. அத்தகைய கட்டுமானங்களை எங்கள் நிலையான நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி, அதாவது நியமன வடிவம் மூலம் தீர்ப்போம்.

முதலில், சாதாரண எண்களின் அடிப்படையில் எளிமையான சிக்கல்கள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்வோம். எனவே, எளிமையான கட்டுமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது

பதிவு a f(x) = b

இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்க்க, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

b = log a a b

நாங்கள் எங்கள் அசல் வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:

log a f (x) = log a a b

பின்னர் நாம் வாதங்களை சமன் செய்கிறோம், அதாவது எழுதுகிறோம்:

f (x) = a b

இதனால், பதிவு அடையாளத்தை அகற்றி, வழக்கமான சிக்கலை தீர்க்கிறோம். இந்த வழக்கில், கரைசலில் இருந்து பெறப்பட்ட வேர்கள் அசல் மடக்கை சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும். கூடுதலாக, இடது மற்றும் வலது இரண்டும் ஒரே மடக்கையில் ஒரே அடித்தளத்துடன் இருக்கும்போது ஒரு பதிவு துல்லியமாக நியமன வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இன்றைய டிசைன்களைக் குறைக்க முயற்சிப்போம் அப்படிப்பட்ட பதிவு. எனவே, போகலாம்.

முதல் பணி:

பதிவு x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

பதிவு x - 2 (x - 2) 1 உடன் 1 ஐ மாற்றவும். வாதத்தில் நாம் கவனிக்கும் அளவு உண்மையில் சம அடையாளத்தின் வலதுபுறத்தில் நிற்கும் எண் b ஆகும். எனவே, எங்கள் வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதிவு x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = பதிவு x - 2 (x - 2)

நாம் என்ன பார்க்கிறோம்? எங்களுக்கு முன் மடக்கை சமன்பாட்டின் நியமன வடிவம் உள்ளது, எனவே நாம் வாதங்களை பாதுகாப்பாக சமன் செய்யலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

ஆனால் தீர்வு அங்கு முடிவடையவில்லை, ஏனெனில் இந்த சமன்பாடு அசல் ஒன்றிற்கு சமமானதாக இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இதன் விளைவாக கட்டுமானமானது முழு எண் வரிசையில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் எங்கள் அசல் மடக்கைகள் எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்படவில்லை, எப்போதும் இல்லை.

எனவே, வரையறையின் களத்தை நாம் தனித்தனியாக எழுத வேண்டும். முடிகளை பிரிக்க வேண்டாம், முதலில் அனைத்து தேவைகளையும் எழுதுங்கள்:

முதலில், ஒவ்வொரு மடக்கையின் வாதமும் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

இரண்டாவதாக, அடிப்படை 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் 1 இலிருந்து வேறுபட்டது:

x - 2 ≠ 1

இதன் விளைவாக, நாங்கள் கணினியைப் பெறுகிறோம்:

ஆனால் பயப்பட வேண்டாம்: மடக்கை சமன்பாடுகளை செயலாக்கும் போது, ​​அத்தகைய அமைப்பு கணிசமாக எளிமைப்படுத்தப்படலாம்.

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்: ஒருபுறம், இருபடிச் சார்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், மறுபுறம், இந்த இருபடிச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட நேரியல் வெளிப்பாட்டிற்குச் சமன் செய்யப்படுகிறது, இது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

இந்த நிலையில், நமக்கு x - 2 > 0 தேவை எனில், 2x 2 - 13x + 18 > 0 ஆனது தானாகவே திருப்தி அடையும், எனவே, இருபடிச் செயல்பாட்டைக் கொண்ட சமத்துவமின்மையை நாம் பாதுகாப்பாகக் கடக்க முடியும். இதனால், எங்கள் அமைப்பில் உள்ள வெளிப்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மூன்றாகக் குறைக்கப்படும்.

நிச்சயமாக, நாம் கடந்து செல்ல முடியும் நேரியல் சமத்துவமின்மை, அதாவது, x - 2 > 0 ஐக் கடந்து 2x 2 - 13x + 18 > 0 எனக் கோரவும். ஆனால், எளிமையான நேரியல் சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது இருபடியை விட மிக வேகமாகவும் எளிதாகவும் இருக்கும் என்பதை நீங்கள் ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும். இந்த அமைப்பு அதே வேர்களைப் பெறுவோம்.

பொதுவாக, முடிந்தவரை கணக்கீடுகளை மேம்படுத்த முயற்சிக்கவும். மடக்கை சமன்பாடுகளின் விஷயத்தில், மிகவும் கடினமான ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் கடக்கவும்.

நமது கணினியை மீண்டும் எழுதுவோம்:

இங்கே மூன்று வெளிப்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது, அவற்றில் இரண்டு, உண்மையில், நாங்கள் ஏற்கனவே கையாண்டுள்ளோம். இருபடி சமன்பாட்டை தனித்தனியாக எழுதி அதைத் தீர்ப்போம்:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

நமக்கு முன் வழங்கப்பட்டது இருபடி முக்கோணம்எனவே, நாம் வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

இப்போது நாங்கள் எங்கள் கணினிக்குத் திரும்பி, x = 2 நமக்குப் பொருந்தாது என்பதைக் காண்கிறோம், ஏனெனில் x கண்டிப்பாக 2 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

ஆனால் x = 5 நமக்கு மிகவும் பொருத்தமானது: எண் 5 2 ஐ விட பெரியது, அதே நேரத்தில் 5 3 க்கு சமமாக இல்லை. எனவே, ஒரே தீர்வுஇந்த அமைப்பின் x = 5 ஆக இருக்கும்.

அவ்வளவுதான், ODZ ஐ கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது உட்பட சிக்கல் தீர்க்கப்படுகிறது. இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம். மேலும் சுவாரஸ்யமான மற்றும் தகவல் தரும் கணக்கீடுகள் இங்கே எங்களுக்கு காத்திருக்கின்றன:

முதல் படி: கடந்த முறை போலவே, இந்த முழு விஷயத்தையும் நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம். இதைச் செய்ய, எண் 9 ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம்:

ரூட் பேஸ் தொடாமல் விட்டுவிடலாம், ஆனால் வாதத்தை மாற்றுவது நல்லது. பகுத்தறிவு அடுக்குடன் மூலத்திலிருந்து சக்திக்கு மாறுவோம். எழுதுவோம்:

எங்கள் முழு பெரிய மடக்கை சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுத வேண்டாம், ஆனால் உடனடியாக வாதங்களை சமன் செய்க:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

புதிதாகக் குறைக்கப்பட்ட இருபடி முக்கோணம் நமக்கு முன், வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எழுதுவோம்:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = −1

எனவே, எங்களுக்கு வேர்கள் கிடைத்தன, ஆனால் அவை அசல் மடக்கை சமன்பாட்டிற்கு பொருந்தும் என்று யாரும் எங்களுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கவில்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பதிவு அறிகுறிகள் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கின்றன (இங்கே நாம் கணினியை எழுதியிருக்க வேண்டும், ஆனால் முழு கட்டமைப்பின் சிக்கலான தன்மை காரணமாக, வரையறையின் டொமைனை தனித்தனியாக கணக்கிட முடிவு செய்தேன்).

முதலில், வாதங்கள் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அதாவது:

இவை வரையறையின் நோக்கத்தால் விதிக்கப்பட்ட தேவைகள்.

கணினியின் முதல் இரண்டு வெளிப்பாடுகளை நாம் ஒருவருக்கொருவர் சமன் செய்வதால், அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றை நாம் கடக்க முடியும் என்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம். முதல் ஒன்றைக் கடந்து விடுவோம், ஏனெனில் இது இரண்டாவது ஒன்றை விட அச்சுறுத்தலாகத் தெரிகிறது.

கூடுதலாக, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான தீர்வு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க (சில எண்ணின் கனசதுரம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும், இந்த எண் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால்; இதேபோல், மூன்றாம் பட்டத்தின் மூலத்துடன் - இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் முற்றிலும் ஒத்தவை, எனவே நாம் அதை கடக்க முடியும்).

ஆனால் மூன்றாவது சமத்துவமின்மையால் இது வேலை செய்யாது. இரண்டு பகுதிகளையும் ஒரு கனசதுரமாக உயர்த்துவதன் மூலம் இடதுபுறத்தில் உள்ள தீவிர அடையாளத்தை அகற்றுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே பின்வரும் தேவைகளைப் பெறுகிறோம்:

− 2 ≠ x > −3

எங்கள் வேர்களில் எது: x 1 = -3 அல்லது x 2 = -1 இந்தத் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்கிறது? வெளிப்படையாக, x = −1 மட்டுமே, ஏனெனில் x = -3 முதல் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யாது (எங்கள் சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால்). எனவே, எங்கள் சிக்கலுக்குத் திரும்பும்போது, ​​ஒரு ரூட் கிடைக்கும்: x = -1. அவ்வளவுதான், பிரச்சனை தீர்ந்தது.

மீண்டும், இந்த பணியின் முக்கிய புள்ளிகள்:

1. நியதி வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி மடக்கைச் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தவும் தீர்க்கவும் தயங்க வேண்டாம். அத்தகைய குறிப்பை உருவாக்கும் மாணவர்கள், அசல் சிக்கலில் இருந்து நேரடியாக log a f (x) = b போன்ற கட்டுமானத்திற்குச் செல்வதற்குப் பதிலாக, கணக்கீடுகளின் இடைநிலைப் படிகளைத் தவிர்த்து, எங்காவது விரைந்து செல்பவர்களை விட மிகக் குறைவான பிழைகளையே செய்கிறார்கள்;
2. மடக்கையில் ஒரு மாறி அடிப்படை தோன்றியவுடன், சிக்கல் எளிமையானதாக நிறுத்தப்படும். எனவே, அதைத் தீர்க்கும்போது, ​​வரையறையின் களத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம்: வாதங்கள் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், மேலும் அடிப்படைகள் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் அவை 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது.

இறுதித் தேவைகள் வெவ்வேறு வழிகளில் இறுதிப் பதில்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வரையறையின் டொமைனுக்கான அனைத்து தேவைகளையும் கொண்ட ஒரு முழு அமைப்பையும் நீங்கள் தீர்க்கலாம். மறுபுறம், நீங்கள் முதலில் சிக்கலைத் தீர்க்கலாம், பின்னர் வரையறையின் களத்தை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம், தனித்தனியாக ஒரு அமைப்பின் வடிவத்தில் அதைச் செய்து, பெறப்பட்ட வேர்களுக்குப் பயன்படுத்துங்கள்.

ஒரு குறிப்பிட்ட மடக்கை சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது எந்த முறையை தேர்வு செய்வது என்பது உங்களுடையது. எப்படியிருந்தாலும், பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

சில வகையான மடக்கை சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், அவை பள்ளியில் கணித பாடங்களில் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படவில்லை, ஆனால் அவை எழுதுவதில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. போட்டி பணிகள், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு உட்பட.

1. மடக்கை முறை மூலம் தீர்க்கப்படும் சமன்பாடுகள்

அடிப்படை மற்றும் அடுக்கு இரண்டிலும் மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​மடக்கை முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதே நேரத்தில், அடுக்கு ஒரு மடக்கையைக் கொண்டிருந்தால், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் இந்த மடக்கையின் அடிப்பகுதிக்கு மடக்கை செய்யப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: x பதிவு 2 x+2 = 8.

தீர்வு.

சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களின் மடக்கையை அடிப்படை 2 க்கு எடுத்துக்கொள்வோம்.

பதிவு 2 (x பதிவு 2 x + 2) = பதிவு 2 8,

(பதிவு 2 x + 2) பதிவு 2 x = 3.

பதிவு 2 x = t.

பின்னர் (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t – 3 = 0.

D = 16. t 1 = 1; t 2 = -3.

எனவே பதிவு 2 x = 1 மற்றும் x 1 = 2 அல்லது பதிவு 2 x = -3 மற்றும் x 2 = 1/8

பதில்: 1/8; 2.

2. ஒரே மாதிரியான மடக்கை சமன்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 2.

சமன்பாடு பதிவு 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) பதிவு 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0 ஐ தீர்க்கவும்

தீர்வு.

சமன்பாட்டின் களம்

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

பதிவு 3 (x + 5) = 0 இல் x = -4. சரிபார்ப்பதன் மூலம் நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பு x இல்லை அசல் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும். எனவே, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பதிவு 2 3 (x + 5) மூலம் பிரிக்கலாம்.

பதிவு 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0 கிடைக்கும்.

பதிவு 3 (x 2 – 3x + 4) / பதிவு 3 (x + 5) = t. பின்னர் t 2 – 3 t + 2 = 0. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் 1; 2. அசல் மாறிக்கு திரும்பினால், இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்

ஆனால் மடக்கையின் இருப்பை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், நாம் மதிப்புகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் (0; 9]. இதன் பொருள் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாடு எடுக்கும் மிக உயர்ந்த மதிப்பு 2 க்கு x = 1. இப்போது y = 2 x-1 + 2 1-x செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். நாம் t = 2 x -1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், அது y = t + 1/t வடிவத்தை எடுக்கும், அங்கு t > 0. அத்தகைய நிலைமைகளின் கீழ், இது ஒரு தனித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது. முக்கியமான புள்ளி t = 1. இது குறைந்தபட்ச புள்ளி. Y வின் = 2. மேலும் இது x = 1 இல் அடையப்படுகிறது.

பரிசீலனையில் உள்ள செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் புள்ளியில் (1; 2) ஒருமுறை மட்டுமே வெட்ட முடியும் என்பது இப்போது தெளிவாகிறது. தீர்க்கப்படும் சமன்பாட்டின் ஒரே வேர் x = 1 என்று மாறிவிடும்.

பதில்: x = 1.

எடுத்துக்காட்டு 5. சமன்பாடு பதிவைத் தீர்க்கவும் 2 2 x + (x – 1) பதிவு 2 x = 6 – 2x

தீர்வு.

பதிவு 2 xக்கான இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம். பதிவு 2 x = t. பிறகு t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t 1 = -2; t 2 = 3 – x.

சமன்பாடு பதிவு 2 x = -2 அல்லது பதிவு 2 x = 3 – x ஐப் பெறுகிறோம்.

முதல் சமன்பாட்டின் வேர் x 1 = 1/4 ஆகும்.

2 x = 3 – x என்ற சமன்பாடு பதிவின் மூலத்தை தேர்வு மூலம் கண்டுபிடிப்போம். இது எண் 2. இந்த ரூட் தனித்துவமானது, ஏனெனில் y = log 2 x செயல்பாடு வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும் அதிகரித்து வருகிறது, மேலும் y = 3 - x செயல்பாடு குறைகிறது.

இரண்டு எண்களும் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது

பதில்:1/4; 2.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

உங்களுக்குத் தெரியும், வெளிப்பாடுகளை சக்திகளுடன் பெருக்கும்போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் எப்போதும் சேர்க்கப்படுகின்றன (a b *a c = a b+c). இந்த கணித விதி ஆர்க்கிமிடீஸால் பெறப்பட்டது, பின்னர், 8 ஆம் நூற்றாண்டில், விராசென் என்ற கணிதவியலாளர் முழு எண் அடுக்குகளின் அட்டவணையை உருவாக்கினார். அவர்கள் சேவை செய்தவர்கள் மேலும் திறப்புமடக்கைகள். இந்தச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், எளிமையான கூட்டல் மூலம் சிக்கலான பெருக்கத்தை எளிதாக்குவதற்கு அவசியமான இடங்களில் கிட்டத்தட்ட எங்கும் காணலாம். இந்தக் கட்டுரையைப் படிக்க நீங்கள் 10 நிமிடங்கள் செலவழித்தால், மடக்கைகள் என்றால் என்ன, அவற்றுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு விளக்குவோம். எளிமையான மற்றும் அணுகக்கூடிய மொழியில்.

கணிதத்தில் வரையறை

மடக்கை என்பது பின்வரும் படிவத்தின் வெளிப்பாடாகும்: log a b=c, அதாவது, எந்த எதிர்மில்லாத எண்ணின் மடக்கை (அதாவது, ஏதேனும் நேர்மறை) "b" அதன் அடிப்படையான "a" க்கு "c" சக்தியாகக் கருதப்படுகிறது. இறுதியில் "b" மதிப்பைப் பெறுவதற்கு "a" அடிப்படை உயர்த்தப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி மடக்கையை பகுப்பாய்வு செய்வோம், வெளிப்பாடு பதிவு 2 இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம் 8. பதிலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இது மிகவும் எளிமையானது, 2ல் இருந்து தேவையான சக்தி 8 வரை நீங்கள் ஒரு சக்தியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். உங்கள் தலையில் சில கணக்கீடுகளைச் செய்த பிறகு, நாங்கள் எண் 3 ஐப் பெறுகிறோம்! அது உண்மைதான், ஏனென்றால் 2-க்கு 3-ன் பலம் 8-ஆக பதில் அளிக்கிறது.

மடக்கைகளின் வகைகள்

பல மாணவர்கள் மற்றும் மாணவர்களுக்கு, இந்த தலைப்பு சிக்கலானதாகவும் புரிந்துகொள்ள முடியாததாகவும் தோன்றுகிறது, ஆனால் உண்மையில் மடக்கைகள் அவ்வளவு பயமாக இல்லை, முக்கிய விஷயம் அவற்றின் பொதுவான பொருளைப் புரிந்துகொள்வதும் அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் சில விதிகளை நினைவில் கொள்வதும் ஆகும். மடக்கை வெளிப்பாடுகளில் மூன்று தனித்தனி வகைகள் உள்ளன:

1. இயற்கை மடக்கை ln a, இங்கு அடிப்படையானது யூலர் எண்ணாகும் (e = 2.7).
2. தசம a, இங்கு அடிப்படை 10 ஆகும்.
3. எந்த எண்ணின் மடக்கை b க்கு அடிப்படை a>1.

அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு நிலையான வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன, இதில் எளிமைப்படுத்தல், குறைத்தல் மற்றும் மடக்கைத் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தி ஒற்றை மடக்கைக்கு அடுத்தடுத்த குறைப்பு ஆகியவை அடங்கும். மடக்கைகளின் சரியான மதிப்புகளைப் பெற, அவற்றைத் தீர்க்கும்போது அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் செயல்களின் வரிசையை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

விதிகள் மற்றும் சில கட்டுப்பாடுகள்

கணிதத்தில், பல விதிகள்-கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன, அவை ஒரு கொள்கையாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன, அதாவது அவை விவாதத்திற்கு உட்பட்டவை அல்ல, உண்மை. எடுத்துக்காட்டாக, எண்களை பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க இயலாது, மேலும் எதிர்மறை எண்களின் சம மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கவும் இயலாது. மடக்கைகளும் அவற்றின் சொந்த விதிகளைக் கொண்டுள்ளன, அதைத் தொடர்ந்து நீண்ட மற்றும் திறன் கொண்ட மடக்கை வெளிப்பாடுகளுடன் கூட எளிதாக வேலை செய்ய கற்றுக்கொள்ளலாம்:

• அடிப்படை "a" எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், மேலும் 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது, இல்லையெனில் வெளிப்பாடு அதன் அர்த்தத்தை இழக்கும், ஏனெனில் எந்த அளவிற்கு "1" மற்றும் "0" எப்போதும் அவற்றின் மதிப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும்;
• a > 0, a b >0 எனில், “c” பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எடுத்துக்காட்டாக, 10 x = 100 என்ற சமன்பாட்டிற்கான பதிலைக் கண்டறியும் பணி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இது மிகவும் எளிதானது, நீங்கள் 100 ஐப் பெறும் எண்ணை உயர்த்துவதன் மூலம் ஒரு சக்தியைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இது நிச்சயமாக 10 2 = 100

இப்போது இந்த வெளிப்பாட்டை மடக்கை வடிவத்தில் குறிப்பிடுவோம். நாம் பதிவு 10 100 = 2 ஐப் பெறுகிறோம். மடக்கைகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைப் பெறுவதற்கு மடக்கையின் அடிப்பகுதியை உள்ளிட வேண்டிய சக்தியைக் கண்டறிய அனைத்து செயல்களும் நடைமுறையில் ஒன்றிணைகின்றன.

அறியப்படாத பட்டத்தின் மதிப்பை துல்லியமாக தீர்மானிக்க, டிகிரி அட்டவணையுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். இது போல் தெரிகிறது:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நீங்கள் ஒரு தொழில்நுட்ப மனம் மற்றும் பெருக்கல் அட்டவணையின் அறிவு இருந்தால், சில அடுக்குகளை உள்ளுணர்வாக யூகிக்க முடியும். இருப்பினும் பெரிய மதிப்புகள்உங்களுக்கு டிகிரி அட்டவணை தேவைப்படும். சிக்கலானது பற்றி எதுவும் தெரியாதவர்கள் கூட இதைப் பயன்படுத்தலாம் கணித தலைப்புகள். இடது நெடுவரிசையில் எண்கள் உள்ளன (அடிப்படை a), எண்களின் மேல் வரிசையானது சக்தி c இன் மதிப்பாகும், அதில் எண் a உயர்த்தப்படுகிறது. குறுக்குவெட்டில், செல்கள் எண் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன, அவை பதில் (a c =b). எடுத்துக்காட்டாக, எண் 10 ஐக் கொண்ட முதல் கலத்தை எடுத்து அதை சதுரமாக எடுத்துக்கொள்வோம், நமது இரண்டு கலங்களின் குறுக்குவெட்டில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மதிப்பு 100 ஐப் பெறுகிறோம். எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது மற்றும் எளிதானது, மிகவும் உண்மையான மனிதநேயவாதி கூட புரிந்துகொள்வார்!

சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

சில நிபந்தனைகளின் கீழ் அடுக்கு என்பது மடக்கை என்று மாறிவிடும். எனவே, எந்த கணித எண் வெளிப்பாடுகளையும் மடக்கை சமத்துவமாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 3 4 =81 ஐ நான்கிற்கு சமமான 81 இன் அடிப்படை 3 மடக்கையாக எழுதலாம் (பதிவு 3 81 = 4). க்கு எதிர்மறை சக்திகள்விதிகள் ஒன்றே: 2 -5 = 1/32 அதை மடக்கையாக எழுதுகிறோம், பதிவு 2 (1/32) = -5 கிடைக்கும். கணிதத்தின் மிகவும் கவர்ச்சிகரமான பிரிவுகளில் ஒன்று "மடக்கை" என்ற தலைப்பு. கீழே உள்ள சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளைப் பார்ப்போம், அவற்றின் பண்புகளைப் படித்த உடனேயே. இப்போது ஏற்றத்தாழ்வுகள் எப்படி இருக்கும் மற்றும் சமன்பாடுகளிலிருந்து அவற்றை எவ்வாறு வேறுபடுத்துவது என்பதைப் பார்ப்போம்.

பின்வரும் படிவத்தின் வெளிப்பாடு கொடுக்கப்பட்டால்: பதிவு 2 (x-1) > 3 - அது மடக்கை சமத்துவமின்மை, அறியப்படாத மதிப்பு "x" மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் இருப்பதால். மேலும் வெளிப்பாட்டில் இரண்டு அளவுகள் ஒப்பிடப்படுகின்றன: அடிப்படை இரண்டிற்கு தேவையான எண்ணின் மடக்கை எண் மூன்றை விட அதிகமாக உள்ளது.

மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு இடையே உள்ள மிக முக்கியமான வேறுபாடு என்னவென்றால், மடக்கைகளுடன் கூடிய சமன்பாடுகள் (உதாரணமாக, மடக்கை 2 x = √9) ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குறிப்பிட்ட பதில்களைக் குறிக்கிறது. எண் மதிப்புகள், சமத்துவமின்மையை தீர்க்கும் போது, ​​அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பு மற்றும் இந்த செயல்பாட்டின் முறிவு புள்ளிகள் இரண்டும் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக, பதில் ஒரு சமன்பாட்டிற்கான பதிலில் உள்ளதைப் போல தனிப்பட்ட எண்களின் எளிய தொகுப்பு அல்ல, ஆனால் தொடர்ச்சியான தொடர் அல்லது எண்களின் தொகுப்பு.

மடக்கைகளைப் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்

மடக்கையின் மதிப்புகளைக் கண்டறியும் பழமையான பணிகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அதன் பண்புகள் அறியப்படாமல் இருக்கலாம். இருப்பினும், மடக்கை சமன்பாடுகள் அல்லது ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்று வரும்போது, ​​முதலில், மடக்கைகளின் அனைத்து அடிப்படை பண்புகளையும் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டு நடைமுறையில் செயல்படுத்துவது அவசியம். சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களை பின்னர் பார்ப்போம்;

1. முக்கிய அடையாளம் இது போல் தெரிகிறது: a logaB =B. a 0 ஐ விட அதிகமாகவும், ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லாமல் மற்றும் B பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவும் இருக்கும்போது மட்டுமே இது பொருந்தும்.
2. தயாரிப்பின் மடக்கை பின்வரும் சூத்திரத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. இந்த வழக்கில் முன்நிபந்தனைஎன்பது: d, s 1 மற்றும் s 2 > 0; a≠1. இந்த மடக்கைச் சூத்திரத்திற்கு நீங்கள் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் ஆதாரம் கொடுக்கலாம். a s 1 = f 1 ஐ பதிவு செய்து, a s 2 = f 2 ஐ பதிவு செய்யலாம், பின்னர் a f1 = s 1, a f2 = s 2. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (பண்புகள் டிகிரி ), பின்னர் வரையறையின்படி: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.
3. விகுதியின் மடக்கை இது போல் உள்ளது: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில் தேற்றம் எடுக்கிறது அடுத்த பார்வை: log a q b n = n/q log a b.

இந்த சூத்திரம் "மடக்கையின் பட்டத்தின் சொத்து" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது சாதாரண டிகிரிகளின் பண்புகளை ஒத்திருக்கிறது, மேலும் இது ஆச்சரியமல்ல, ஏனென்றால் எல்லா கணிதமும் இயற்கையான போஸ்டுலேட்டுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஆதாரத்தைப் பார்ப்போம்.

a b = t ஐ பதிவு செய்யலாம், அது t =b ஆக மாறும். இரண்டு பகுதிகளையும் சக்திக்கு உயர்த்தினால் m: a tn = b n ;

ஆனால் a tn = (a q) nt/q = b n ஆக இருப்பதால், a q b n = (n*t)/t ஐப் பதிவு செய்யவும், பின்னர் a q b n = n/q log a b ஐப் பதிவு செய்யவும். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சிக்கல்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கைகளில் மிகவும் பொதுவான வகை சிக்கல்கள் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். அவை கிட்டத்தட்ட எல்லா சிக்கல் புத்தகங்களிலும் காணப்படுகின்றன, மேலும் அவை கணிதத் தேர்வுகளின் அவசியமான பகுதியாகும். ஒரு பல்கலைக்கழகத்தில் நுழைய அல்லது கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற, இதுபோன்ற பணிகளை எவ்வாறு சரியாகத் தீர்ப்பது என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

துரதிர்ஷ்டவசமாக, தீர்க்க மற்றும் தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு திட்டமோ அல்லது திட்டமோ இல்லை அறியப்படாத மதிப்புமடக்கை என்று எதுவும் இல்லை, ஆனால் ஒவ்வொரு கணித சமத்துவமின்மை அல்லது மடக்கை சமன்பாட்டிற்கும் சில விதிகள் பயன்படுத்தப்படலாம். முதலில், வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்க முடியுமா அல்லது வழிவகுக்கும் என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் பொது தோற்றம். நீளமானவற்றை எளிதாக்குங்கள் மடக்கை வெளிப்பாடுகள்நீங்கள் அவற்றின் பண்புகளை சரியாகப் பயன்படுத்தினால் சாத்தியமாகும். அவற்றை விரைவில் அறிந்து கொள்வோம்.

மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​நம்மிடம் எந்த வகையான மடக்கை உள்ளது என்பதை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்: ஒரு எடுத்துக்காட்டு வெளிப்பாடு ஒரு இயற்கை மடக்கை அல்லது தசம ஒன்றைக் கொண்டிருக்கலாம்.

இங்கே உதாரணங்கள் ln100, ln1026. அடிப்படை 10 முறையே 100 மற்றும் 1026 க்கு சமமாக இருக்கும் சக்தியை அவர்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும் என்ற உண்மைக்கு அவற்றின் தீர்வு கொதிக்கிறது. இயற்கை மடக்கைகளின் தீர்வுகளுக்கு, நீங்கள் விண்ணப்பிக்க வேண்டும் மடக்கை அடையாளங்கள்அல்லது அவற்றின் பண்புகள். பல்வேறு வகையான மடக்கைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

மடக்கை சூத்திரங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது: எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளுடன்

எனவே, மடக்கைகளைப் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

1. ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்பு விரிவாக்கப்பட வேண்டிய பணிகளில் பயன்படுத்தப்படலாம் பெரும் முக்கியத்துவம்எண்கள் b எளிய காரணிகளாக. எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 4 + பதிவு 2 128 = பதிவு 2 (4*128) = பதிவு 2 512. பதில் 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மடக்கை சக்தியின் நான்காவது சொத்தை பயன்படுத்தி, வெளித்தோற்றத்தில் சிக்கலான மற்றும் தீர்க்க முடியாத வெளிப்பாட்டைத் தீர்க்க முடிந்தது. நீங்கள் அடித்தளத்தை காரணியாக்க வேண்டும், பின்னர் மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து அடுக்கு மதிப்புகளை எடுக்க வேண்டும்.

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இருந்து பணிகள்

மடக்கைகள் பெரும்பாலும் காணப்படுகின்றன நுழைவுத் தேர்வுகள், குறிப்பாக ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் நிறைய மடக்கைச் சிக்கல்கள் (அனைத்து பள்ளி பட்டதாரிகளுக்கும் மாநிலத் தேர்வு). பொதுவாக, இந்தப் பணிகள் பகுதி A இல் (தேர்வின் எளிதான சோதனைப் பகுதி) மட்டுமல்ல, பகுதி C (மிகவும் சிக்கலான மற்றும் மிகப்பெரிய பணிகள்) உள்ளன. தேர்வுக்கு "இயற்கை மடக்கைகள்" என்ற தலைப்பில் துல்லியமான மற்றும் சரியான அறிவு தேவை.

சிக்கல்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகள் அதிகாரிகளிடமிருந்து எடுக்கப்படுகின்றன ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு விருப்பங்கள். அத்தகைய பணிகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்.

கொடுக்கப்பட்ட பதிவு 2 (2x-1) = 4. தீர்வு:
வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம், அதை சிறிது லாக் 2 (2x-1) = 2 2 என்று எளிதாக்குவோம், மடக்கையின் வரையறையின்படி 2x-1 = 2 4, எனவே 2x = 17; x = 8.5.

• அனைத்து மடக்கைகளையும் ஒரே தளத்திற்குக் குறைப்பது சிறந்தது, இதனால் தீர்வு சிக்கலானதாகவும் குழப்பமாகவும் இருக்காது.
• மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் நேர்மறையாகக் குறிக்கப்படுகின்றன, எனவே, மடக்கைக் குறியின் கீழ் இருக்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டின் அடுக்கு மற்றும் அதன் அடித்தளத்தை ஒரு பெருக்கியாக எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​மடக்கையின் கீழ் மீதமுள்ள வெளிப்பாடு நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்.