மடக்கையிலிருந்து விடுபடுதல். மடக்கை சமன்பாடுகள்

வீடு / முன்னாள்

எளிமையானதை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இன்று கற்றுக்கொள்வோம் மடக்கை சமன்பாடுகள், பூர்வாங்க மாற்றங்கள் மற்றும் ரூட் தேர்வு தேவையில்லை. ஆனால் அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நீங்கள் கற்றுக்கொண்டால், அது மிகவும் எளிதாக இருக்கும்.

எளிமையான மடக்கை சமன்பாடு என்பது log a f (x) = b என்ற வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், இதில் a, b என்பது எண்கள் (a > 0, a ≠ 1), f (x) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு ஆகும்.

அனைத்து மடக்கை சமன்பாடுகளின் ஒரு தனித்துவமான அம்சம் மடக்கை குறியின் கீழ் x மாறி இருப்பது. சிக்கலில் ஆரம்பத்தில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இதுவாக இருந்தால், அது எளிமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு எந்த மடக்கை சமன்பாடுகளும் சிறப்பு மாற்றங்களால் எளிமையானதாக குறைக்கப்படுகின்றன ("மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்" பார்க்கவும்). இருப்பினும், பல நுணுக்கங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்: கூடுதல் வேர்கள் எழலாம், எனவே சிக்கலான மடக்கை சமன்பாடுகள் தனித்தனியாகக் கருதப்படும்.

அத்தகைய சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது? சம அடையாளத்தின் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணை இடதுபுறத்தில் அதே தளத்தில் மடக்கையுடன் மாற்றினால் போதும். பின்னர் நீங்கள் மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து விடுபடலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

எங்களுக்கு வழக்கமான சமன்பாடு கிடைத்தது. அதன் வேர்கள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

பட்டங்களை எடுப்பது

பெரும்பாலும், மடக்கை சமன்பாடுகள், வெளிப்புறமாக சிக்கலானதாகவும் அச்சுறுத்தலாகவும் தோன்றும், சிக்கலான சூத்திரங்களை உள்ளடக்கியதாக இல்லாமல் ஓரிரு வரிகளில் தீர்க்கப்படுகின்றன. இன்று நாம் இதுபோன்ற சிக்கல்களைப் பார்ப்போம், அங்கு உங்களுக்குத் தேவையானது சூத்திரத்தை நியமன வடிவத்திற்கு கவனமாகக் குறைப்பது மற்றும் மடக்கைகளின் வரையறையின் டொமைனைத் தேடும்போது குழப்பமடையக்கூடாது.

இன்று, நீங்கள் தலைப்பிலிருந்து யூகித்தபடி, நியமன வடிவத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மடக்கைச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்போம். இந்த வீடியோ பாடத்தின் முக்கிய "தந்திரம்" டிகிரிகளுடன் வேலை செய்யும், அல்லது மாறாக, அடிப்படை மற்றும் வாதத்திலிருந்து பட்டத்தை கழிப்பதாகும். விதியைப் பார்ப்போம்:

இதேபோல், நீங்கள் அடித்தளத்திலிருந்து பட்டத்தைப் பெறலாம்:

நாம் பார்க்கிறபடி, மடக்கையின் வாதத்திலிருந்து பட்டத்தை அகற்றும்போது, முன்னால் ஒரு கூடுதல் காரணி இருந்தால், அடித்தளத்திலிருந்து பட்டத்தை அகற்றும்போது, ஒரு பெருக்கி மட்டுமல்ல, தலைகீழ் காரணியும் கிடைக்கும். இதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

இறுதியாக, மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயம். இந்த சூத்திரங்களை இணைக்கலாம், பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

நிச்சயமாக, இந்த மாற்றங்களைச் செய்யும்போது, வரையறையின் நோக்கத்தின் சாத்தியமான விரிவாக்கத்துடன் தொடர்புடைய சில ஆபத்துகள் உள்ளன அல்லது அதற்கு மாறாக, வரையறையின் நோக்கத்தின் சுருக்கம். நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும்:

பதிவு 3 x 2 = 2 ∙ பதிவு 3 x

முதல் வழக்கில் x 0 ஐத் தவிர வேறு எந்த எண்ணாகவும் இருக்க முடியும் என்றால், அதாவது x ≠ 0 தேவை, இரண்டாவது வழக்கில் நாம் x இல் திருப்தி அடைகிறோம், அவை சமமாக இல்லை, ஆனால் கண்டிப்பாக 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும், ஏனெனில் டொமைன் மடக்கையின் வரையறை என்னவென்றால், வாதம் கண்டிப்பாக 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். எனவே, 8-9 வகுப்பு இயற்கணிதம் பாடத்திலிருந்து ஒரு அற்புதமான சூத்திரத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

அதாவது, நமது சூத்திரத்தை பின்வருமாறு எழுத வேண்டும்:

பதிவு 3 x 2 = 2 ∙ பதிவு 3 |x |

பின்னர் வரையறையின் நோக்கம் குறுகலாக இருக்காது.

இருப்பினும், இன்றைய வீடியோ டுடோரியலில் சதுரங்கள் இருக்காது. எங்கள் பணிகளைப் பார்த்தால், வேர்கள் மட்டுமே தெரியும். எனவே, இந்த விதியை நாங்கள் பயன்படுத்த மாட்டோம், ஆனால் நீங்கள் அதை இன்னும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும், எனவே சரியான நேரத்தில், ஒரு வாதத்தில் அல்லது மடக்கையின் அடிப்பகுதியில் ஒரு இருபடி செயல்பாட்டைக் காணும்போது, இந்த விதியை நீங்கள் நினைவில் வைத்துக் கொள்வீர்கள். சரியான மாற்றங்கள்.

எனவே முதல் சமன்பாடு:

இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, சூத்திரத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு சொற்களையும் கவனமாகப் பார்க்க நான் முன்மொழிகிறேன்.

முதல் வார்த்தையை ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்குடன் ஒரு சக்தியாக மீண்டும் எழுதுவோம்:

நாம் இரண்டாவது வார்த்தையைப் பார்க்கிறோம்: பதிவு 3 (1 - x). இங்கே எதுவும் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, எல்லாம் ஏற்கனவே இங்கே மாற்றப்பட்டுள்ளது.

இறுதியாக, 0, 5. முந்தைய பாடங்களில் நான் கூறியது போல், மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் சூத்திரங்களைத் தீர்க்கும் போது, தசம பின்னங்களிலிருந்து சாதாரணமானவற்றிற்கு நகர்த்துவதை நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன். இதை செய்வோம்:

0,5 = 5/10 = 1/2

இதன் விளைவாக வரும் விதிமுறைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு எங்கள் அசல் சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுவோம்:

பதிவு 3 (1 - x ) = 1

இப்போது நியமன வடிவத்திற்கு செல்லலாம்:

பதிவு 3 (1 - x ) = பதிவு 3 3

வாதங்களை சமன் செய்வதன் மூலம் மடக்கை அடையாளத்தை அகற்றுவோம்:

1 - x = 3

−x = 2

x = -2

அவ்வளவுதான், சமன்பாட்டை தீர்த்துவிட்டோம். இருப்பினும், அதை இன்னும் பாதுகாப்பாக விளையாடுவோம் மற்றும் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, அசல் சூத்திரத்திற்குச் சென்று பார்க்கவும்:

1 - x > 0

−x > -1

எக்ஸ்< 1

எங்கள் ரூட் x = −2 இந்தத் தேவையைப் பூர்த்தி செய்கிறது, எனவே x = -2 என்பது அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும். இப்போது நாம் கண்டிப்பான, தெளிவான நியாயத்தைப் பெற்றுள்ளோம். அவ்வளவுதான், பிரச்சனை தீர்ந்தது.

இரண்டாவது பணிக்கு செல்லலாம்:

ஒவ்வொரு சொல்லையும் தனித்தனியாகப் பார்ப்போம்.

முதல் ஒன்றை எழுதுவோம்:

முதல் பதவிக் காலத்தை மாற்றியுள்ளோம். நாங்கள் இரண்டாவது காலத்துடன் வேலை செய்கிறோம்:

இறுதியாக, சம அடையாளத்தின் வலதுபுறத்தில் இருக்கும் கடைசி சொல்:

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்தில் உள்ள சொற்களுக்குப் பதிலாக விளைந்த வெளிப்பாடுகளை மாற்றுகிறோம்:

பதிவு 3 x = 1

நியமன வடிவத்திற்கு செல்லலாம்:

பதிவு 3 x = பதிவு 3 3

மடக்கை அடையாளத்தை அகற்றி, வாதங்களை சமன் செய்து, நாம் பெறுகிறோம்:

x = 3

மீண்டும், பாதுகாப்பான பக்கத்தில் இருக்க, அசல் சமன்பாட்டிற்கு திரும்பிச் சென்று பார்க்கலாம். அசல் சூத்திரத்தில், மாறி x வாதத்தில் மட்டுமே உள்ளது, எனவே,

x > 0

இரண்டாவது மடக்கையில், x ரூட்டின் கீழ் உள்ளது, ஆனால் மீண்டும் வாதத்தில், எனவே, ரூட் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது, தீவிர வெளிப்பாடு 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். நாம் நமது ரூட் x = 3 ஐப் பார்க்கிறோம். வெளிப்படையாக, அது இந்த தேவையை பூர்த்தி செய்கிறது. எனவே, x = 3 என்பது அசல் மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும். அவ்வளவுதான், பிரச்சனை தீர்ந்தது.

இன்றைய வீடியோ டுடோரியலில் இரண்டு முக்கிய குறிப்புகள் உள்ளன:

1) மடக்கைகளை மாற்ற பயப்பட வேண்டாம், குறிப்பாக, எங்கள் அடிப்படை சூத்திரத்தை நினைவில் வைத்துக் கொண்டு, மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து சக்திகளை எடுக்க பயப்பட வேண்டாம்: ஒரு வாதத்திலிருந்து ஒரு சக்தியை அகற்றும்போது, அது மாற்றங்கள் இல்லாமல் வெறுமனே எடுக்கப்படுகிறது. ஒரு பெருக்கியாகவும், அடித்தளத்திலிருந்து ஒரு சக்தியை அகற்றும் போது, இந்த சக்தி தலைகீழாக மாறும்.

2) இரண்டாவது புள்ளி நியமன வடிவத்துடன் தொடர்புடையது. மடக்கை சமன்பாடு சூத்திரத்தின் மாற்றத்தின் முடிவில் நாங்கள் நியமன வடிவத்திற்கு மாறினோம். பின்வரும் சூத்திரத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

a = பதிவு b b a

நிச்சயமாக, "எந்த எண் b" என்ற வெளிப்பாட்டின் மூலம், மடக்கையின் அடிப்படையில் விதிக்கப்பட்ட தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் எண்களைக் குறிக்கிறேன், அதாவது.

1 ≠ b > 0

அத்தகைய b, மற்றும் அடிப்படையை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிந்திருப்பதால், இந்தத் தேவை தானாகவே பூர்த்தி செய்யப்படும். ஆனால் அத்தகைய b - இந்த தேவையை பூர்த்தி செய்யும் - இந்த மாற்றம் செய்யப்படலாம், மேலும் மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து விடுபடக்கூடிய ஒரு நியமன வடிவத்தைப் பெறுவோம்.

வரையறை மற்றும் கூடுதல் வேர்களின் டொமைனை விரிவுபடுத்துதல்

மடக்கை சமன்பாடுகளை மாற்றும் செயல்பாட்டில், வரையறையின் டொமைனின் மறைமுகமான விரிவாக்கம் ஏற்படலாம். பெரும்பாலும் மாணவர்கள் இதை கவனிக்க மாட்டார்கள், இது தவறுகளுக்கும் தவறான பதில்களுக்கும் வழிவகுக்கிறது.

எளிமையான வடிவமைப்புகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம். எளிமையான மடக்கைச் சமன்பாடு பின்வருமாறு:

பதிவு a f (x) = b

ஒரு மடக்கையின் ஒரே ஒரு வாதத்தில் x உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அத்தகைய சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது? நாங்கள் நியமன வடிவத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். இதைச் செய்ய, b = log a a b என்ற எண்ணைக் கற்பனை செய்து பாருங்கள், எங்கள் சமன்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:

log a f (x) = log a a b

இந்த நுழைவு நியமன வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இன்றைய பாடத்தில் மட்டுமல்ல, எந்தவொரு சுயாதீனமான மற்றும் சோதனை வேலையிலும் நீங்கள் சந்திக்கும் எந்த மடக்கை சமன்பாட்டையும் குறைக்க வேண்டும்.

நியதி வடிவத்தை எவ்வாறு அடைவது மற்றும் என்ன நுட்பங்களைப் பயன்படுத்துவது என்பது நடைமுறையின் விஷயம். புரிந்து கொள்ள வேண்டிய முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், நீங்கள் அத்தகைய பதிவைப் பெற்றவுடன், சிக்கலைத் தீர்க்கலாம். ஏனென்றால் அடுத்த படி எழுதுவது:

f (x) = a b

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மடக்கை அடையாளத்தை அகற்றி, வாதங்களை சமன் செய்கிறோம்.

ஏன் இந்த பேச்சு எல்லாம்? உண்மை என்னவென்றால், நியமன வடிவம் எளிமையான சிக்கல்களுக்கு மட்டுமல்ல, மற்றவர்களுக்கும் பொருந்தும். குறிப்பாக, இன்று நாம் முடிவு செய்வோம். பார்க்கலாம்.

முதல் பணி:

இந்த சமன்பாட்டில் என்ன பிரச்சனை? உண்மை என்னவென்றால், செயல்பாடு ஒரே நேரத்தில் இரண்டு மடக்கைகளில் உள்ளது. ஒரு மடக்கை மற்றொரு மடக்கைக் கழிப்பதன் மூலம் சிக்கலை மிக எளிமையானதாகக் குறைக்கலாம். ஆனால் வரையறை பகுதியில் சிக்கல்கள் எழுகின்றன: கூடுதல் வேர்கள் தோன்றலாம். எனவே மடக்கைகளில் ஒன்றை வலது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

இந்த நுழைவு நியமன வடிவத்திற்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. ஆனால் இன்னும் ஒரு நுணுக்கம் உள்ளது: நியமன வடிவத்தில், வாதங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். இடதுபுறத்தில் அடிப்படை 3 இல் மடக்கையும், வலதுபுறத்தில் அடிப்படை 1/3 இல் உள்ளது. இந்த அடிப்படைகளை ஒரே எண்ணில் கொண்டு வர வேண்டும் என்பது அவருக்குத் தெரியும். உதாரணமாக, எதிர்மறை சக்திகள் என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம்:

பின்னர் பதிவிற்கு வெளியே உள்ள “−1” அடுக்குகளை பெருக்கியாகப் பயன்படுத்துவோம்:

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: அடிவாரத்தில் இருந்த பட்டம் புரட்டப்பட்டு பின்னமாக மாறும். வெவ்வேறு அடிப்படைகளை அகற்றுவதன் மூலம் ஏறக்குறைய நியதிக் குறியீட்டைப் பெற்றோம், ஆனால் அதற்கு ஈடாக வலதுபுறத்தில் “−1” என்ற காரணியைப் பெற்றோம். இந்த காரணியை ஒரு சக்தியாக மாற்றுவதன் மூலம் வாதத்தில் காரணிப்படுத்துவோம்:

நிச்சயமாக, நியமன வடிவத்தைப் பெற்ற பிறகு, மடக்கையின் அடையாளத்தை தைரியமாக கடந்து, வாதங்களை சமன் செய்கிறோம். அதே நேரத்தில், “−1” சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்டால், பின்னம் வெறுமனே புரட்டப்படுகிறது - ஒரு விகிதம் பெறப்படுகிறது என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்.

விகிதாச்சாரத்தின் அடிப்படைச் சொத்தைப் பயன்படுத்தி அதை குறுக்காகப் பெருக்குவோம்:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 = 0

நமக்கு முன்னால் என்ன இருக்கிறது இருபடி சமன்பாடு, எனவே வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்க்கிறோம்:

(x - 8)(x - 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

அவ்வளவுதான். சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டதாக நினைக்கிறீர்களா? இல்லை! அத்தகைய தீர்வுக்கு நாம் 0 புள்ளிகளைப் பெறுவோம், ஏனெனில் அசல் சமன்பாட்டில் x மாறியுடன் இரண்டு மடக்கைகள் உள்ளன. எனவே, வரையறையின் களத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம்.

இங்குதான் வேடிக்கை தொடங்குகிறது. பெரும்பாலான மாணவர்கள் குழப்பமடைந்துள்ளனர்: மடக்கையின் வரையறையின் களம் என்ன? நிச்சயமாக, அனைத்து வாதங்களும் (எங்களிடம் இரண்டு உள்ளன) பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்:

(x - 4)/(3x - 4) > 0

(x - 5)/(2x - 1) > 0

இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒவ்வொன்றும் தீர்க்கப்பட வேண்டும், ஒரு நேர் கோட்டில் குறிக்கப்பட்டு, வெட்டப்பட்டு, குறுக்குவெட்டில் எந்த வேர்கள் உள்ளன என்பதைப் பார்க்க வேண்டும்.

நான் நேர்மையாக இருப்பேன்: இந்த நுட்பத்திற்கு இருப்பதற்கான உரிமை உள்ளது, அது நம்பகமானது, மேலும் நீங்கள் சரியான பதிலைப் பெறுவீர்கள், ஆனால் அதில் பல தேவையற்ற படிகள் உள்ளன. எனவே எங்கள் தீர்வை மீண்டும் பார்க்கலாம்: நோக்கத்தை சரியாக எங்கு பயன்படுத்த வேண்டும்? வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கூடுதல் வேர்கள் எப்போது தோன்றும் என்பதை நீங்கள் தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

ஆரம்பத்தில் எங்களிடம் இரண்டு மடக்கைகள் இருந்தன. பின்னர் அவற்றில் ஒன்றை வலதுபுறமாக நகர்த்தினோம், ஆனால் இது வரையறை பகுதியை பாதிக்கவில்லை.
பின்னர் நாம் அடித்தளத்திலிருந்து சக்தியை அகற்றுகிறோம், ஆனால் இன்னும் இரண்டு மடக்கைகள் உள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு மாறி x உள்ளது.
இறுதியாக, பதிவின் அறிகுறிகளைக் கடந்து, உன்னதமான பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

கடைசி கட்டத்தில்தான் வரையறையின் நோக்கம் விரிவடைகிறது! நாம் ஒரு பின்னம்-பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிற்குச் சென்றவுடன், பதிவு அறிகுறிகளை அகற்றி, மாறி x க்கான தேவைகள் வியத்தகு முறையில் மாறியது!

இதன் விளைவாக, வரையறையின் களத்தை தீர்வின் ஆரம்பத்தில் அல்ல, ஆனால் குறிப்பிடப்பட்ட கட்டத்தில் மட்டுமே - வாதங்களை நேரடியாக சமன்படுத்துவதற்கு முன் கருதலாம்.

இங்குதான் தேர்வுமுறைக்கான வாய்ப்பு உள்ளது. ஒருபுறம், இரண்டு வாதங்களும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். மறுபுறம், இந்த வாதங்களை நாங்கள் மேலும் சமன் செய்கிறோம். எனவே, அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நேர்மறையாக இருந்தால், இரண்டாவது நேர்மறையானதாக இருக்கும்!

எனவே இரண்டு சமத்துவமின்மைகளை ஒரே நேரத்தில் நிறைவேற்றுவது மிகையானது என்று மாறிவிடும். இந்த பின்னங்களில் ஒன்றை மட்டும் கருத்தில் கொண்டால் போதும். எந்த ஒன்று? எளிமையான ஒன்று. எடுத்துக்காட்டாக, வலது புறப் பகுதியைப் பார்ப்போம்:

(x - 5)/(2x - 1) > 0

இது ஒரு பொதுவான பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மை, நாங்கள் அதை இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம்:

அடையாளங்களை எவ்வாறு வைப்பது? நம் எல்லா வேர்களையும் விட வெளிப்படையாக இருக்கும் ஒரு எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, 1 பில்லியன் மற்றும் அதன் பின்னத்தை நாங்கள் மாற்றுகிறோம். நாம் பெறுகிறோம் நேர்மறை எண், அதாவது x = 5 என்ற மூலத்தின் வலதுபுறத்தில் ஒரு கூட்டல் குறி இருக்கும்.

பின்னர் அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன, ஏனென்றால் எங்கும் கூட பெருக்கத்தின் வேர்கள் இல்லை. செயல்பாடு நேர்மறையாக இருக்கும் இடைவெளிகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். எனவே, x ∈ (−∞; -1/2)∪(5; +∞).

இப்போது பதில்களை நினைவில் கொள்வோம்: x = 8 மற்றும் x = 2. கண்டிப்பாகச் சொன்னால், இவை இன்னும் பதில்கள் அல்ல, ஆனால் பதிலுக்கான வேட்பாளர்கள் மட்டுமே. குறிப்பிடப்பட்ட தொகுப்பைச் சேர்ந்தது எது? நிச்சயமாக, x = 8. ஆனால் x = 2 அதன் வரையறையின் அடிப்படையில் நமக்குப் பொருந்தாது.

மொத்தத்தில், முதல் மடக்கை சமன்பாட்டிற்கான பதில் x = 8 ஆக இருக்கும். இப்போது நாம் ஒரு திறமையான, நன்கு நிறுவப்பட்ட தீர்வைப் பெற்றுள்ளோம், வரையறையின் களத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம்:

பதிவு 5 (x - 9) = பதிவு 0.5 4 - பதிவு 5 (x - 5) + 3

சமன்பாட்டில் ஒரு தசம பின்னம் இருந்தால், நீங்கள் அதை அகற்ற வேண்டும் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், 0.5 ஐ ஒரு பொதுவான பின்னமாக மீண்டும் எழுதுவோம். இந்த தளத்தைக் கொண்ட மடக்கை எளிதில் கணக்கிடப்படுவதை நாங்கள் உடனடியாக கவனிக்கிறோம்:

இது மிக முக்கியமான தருணம்! அடிப்படை மற்றும் வாதம் இரண்டிலும் டிகிரிகளை வைத்திருக்கும் போது, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த டிகிரிகளின் குறிகாட்டிகளைப் பெறலாம்:

நமது அசல் மடக்கைச் சமன்பாட்டிற்குச் சென்று மீண்டும் எழுதுவோம்:

பதிவு 5 (x - 9) = 1 - பதிவு 5 (x - 5)

நியமன வடிவத்திற்கு மிகவும் நெருக்கமான வடிவமைப்பைப் பெற்றோம். இருப்பினும், சம அடையாளத்தின் வலதுபுறத்தில் உள்ள விதிமுறைகள் மற்றும் கழித்தல் அடையாளத்தால் நாம் குழப்பமடைகிறோம். அடிப்படை 5க்கு மடக்கையாக ஒன்றைக் குறிப்பிடுவோம்:

பதிவு 5 (x - 9) = பதிவு 5 5 1 - பதிவு 5 (x - 5)

வலதுபுறத்தில் உள்ள மடக்கைகளைக் கழிக்கவும் (இந்த வழக்கில் அவற்றின் வாதங்கள் பிரிக்கப்படுகின்றன):

பதிவு 5 (x - 9) = பதிவு 5 5/(x - 5)

அற்புதம். எனவே எங்களுக்கு நியதி வடிவம் கிடைத்தது! நாங்கள் பதிவு அறிகுறிகளைக் கடந்து வாதங்களை சமன் செய்கிறோம்:

(x - 9)/1 = 5/(x - 5)

இது குறுக்கு வழியில் பெருக்குவதன் மூலம் எளிதில் தீர்க்கக்கூடிய விகிதமாகும்:

(x - 9)(x - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x 2 - 14x + 40 = 0

வெளிப்படையாக, எங்களிடம் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு உள்ளது. வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இதை எளிதாக தீர்க்கலாம்:

(x - 10)(x - 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

எங்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் கிடைத்தன. ஆனால் இவை இறுதி பதில்கள் அல்ல, ஆனால் வேட்பாளர்கள் மட்டுமே, ஏனெனில் மடக்கை சமன்பாட்டிற்கு வரையறையின் களத்தையும் சரிபார்க்க வேண்டும்.

நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: எப்போது தேட வேண்டிய அவசியமில்லை ஒவ்வொருவாதங்கள் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும். x - 9 அல்லது 5/(x - 5) - பூஜ்ஜியத்தை விட ஒரு வாதம் அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்று கோரினால் போதும். முதல் வாதத்தைக் கவனியுங்கள்:

x - 9 > 0

x > 9

வெளிப்படையாக, x = 10 மட்டுமே இந்த தேவையை பூர்த்தி செய்கிறது. முழுப் பிரச்சனையும் தீர்ந்தது.

மீண்டும், இன்றைய பாடத்தின் முக்கிய எண்ணங்கள்:

மாறி x பல மடக்கைகளில் தோன்றியவுடன், சமன்பாடு அடிப்படையாக இருப்பதை நிறுத்துகிறது, மேலும் அதற்கான வரையறையின் டொமைனைக் கணக்கிட வேண்டும். இல்லையெனில், பதில்களில் கூடுதல் வேர்களை எளிதாக எழுதலாம்.
சமத்துவமின்மையை உடனடியாக அல்ல, ஆனால் பதிவு அறிகுறிகளை அகற்றும் தருணத்தில் சரியாக எழுதினால், டொமைனுடன் பணிபுரிவது கணிசமாக எளிதாக்கப்படும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வாதங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்போது, அவற்றில் ஒன்று மட்டும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

நிச்சயமாக, சமத்துவமின்மையை உருவாக்க எந்த வாதத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை நாமே தேர்வு செய்கிறோம், எனவே எளிமையான ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது தர்க்கரீதியானது. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டாவது சமன்பாட்டில், பகுதியளவு பகுத்தறிவு இரண்டாவது வாதத்திற்கு மாறாக, வாதத்தை (x - 9) தேர்ந்தெடுத்தோம். ஒப்புக்கொள்கிறேன், சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது 5/(x - 5) > 0 ஐ விட மிகவும் எளிதானது. விளைவு ஒரே மாதிரியாக இருந்தாலும்.

இந்த கருத்து ODZ க்கான தேடலை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது, ஆனால் கவனமாக இருங்கள்: வாதங்கள் துல்லியமாக இருந்தால் மட்டுமே நீங்கள் இரண்டிற்கு பதிலாக ஒரு சமத்துவமின்மையை பயன்படுத்த முடியும். ஒன்றுக்கொன்று சமமாக உள்ளன!

நிச்சயமாக, இப்போது யாராவது கேட்பார்கள்: வித்தியாசமாக என்ன நடக்கிறது? ஆமாம் சில சமயம். எடுத்துக்காட்டாக, படியிலேயே, ஒரு மாறியைக் கொண்ட இரண்டு வாதங்களைப் பெருக்கும்போது, தேவையற்ற வேர்கள் தோன்றும் அபாயம் உள்ளது.

நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும்: முதலில் ஒவ்வொரு வாதங்களும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் பெருக்கலுக்குப் பிறகு அவற்றின் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால் போதும். இதன் விளைவாக, இந்த பின்னங்கள் ஒவ்வொன்றும் எதிர்மறையாக இருக்கும் சந்தர்ப்பம் தவறிவிட்டது.

எனவே, நீங்கள் சிக்கலான மடக்கை சமன்பாடுகளைப் புரிந்து கொள்ளத் தொடங்கினால், எந்தச் சூழ்நிலையிலும் x மாறியைக் கொண்ட மடக்கைகளைப் பெருக்க வேண்டாம் - இது பெரும்பாலும் தேவையற்ற வேர்களின் தோற்றத்திற்கு வழிவகுக்கும். ஒன்றைச் செய்வது நல்லது கூடுதல் படி, நியமன வடிவத்தை உருவாக்க, ஒரு சொல்லை மறுபக்கத்திற்கு நகர்த்தவும்.

சரி, அத்தகைய மடக்கைகளைப் பெருக்காமல் உங்களால் செய்ய முடியாவிட்டால் என்ன செய்வது, அடுத்த வீடியோ பாடத்தில் விவாதிப்போம்.

சமன்பாட்டில் உள்ள சக்திகள் பற்றி மீண்டும் ஒருமுறை

இன்று நாம் மடக்கை சமன்பாடுகள் அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, மடக்கைகளின் வாதங்கள் மற்றும் தளங்களில் இருந்து அதிகாரங்களை அகற்றுவது தொடர்பான ஒரு வழுக்கும் தலைப்பை ஆராய்வோம்.

சம அதிகாரங்களை அகற்றுவது பற்றி பேசுவோம் என்று கூட நான் கூறுவேன், ஏனென்றால் உண்மையான மடக்கை சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது பெரும்பாலான சிரமங்கள் எழுகின்றன.

நியமன வடிவத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம். log a f (x) = b என்ற படிவத்தின் சமன்பாடு நம்மிடம் உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்த வழக்கில், b = log a a b சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி b எண்ணை மீண்டும் எழுதுகிறோம். இது பின்வருவனவற்றை மாற்றுகிறது:

log a f (x) = log a a b

பின்னர் நாம் வாதங்களை சமன் செய்கிறோம்:

f (x) = a b

இறுதி சூத்திரம் நியமன வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. முதல் பார்வையில் எவ்வளவு சிக்கலான மற்றும் பயங்கரமானதாக தோன்றினாலும், எந்த மடக்கை சமன்பாட்டையும் குறைக்க முயற்சிக்கிறார்கள்.

எனவே முயற்சி செய்யலாம். முதல் பணியுடன் தொடங்குவோம்:

பூர்வாங்க குறிப்பு: நான் சொன்னது போல், எல்லாம் தசமங்கள்மடக்கை சமன்பாட்டில் அதை சாதாரணமாக மாற்றுவது நல்லது:

0,5 = 5/10 = 1/2

இந்த உண்மையைக் கருத்தில் கொண்டு நமது சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம். 1/1000 மற்றும் 100 இரண்டும் பத்தின் சக்திகள் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், பின்னர் அவை எங்கிருந்தாலும் அதிகாரங்களை எடுத்துக் கொள்வோம்: வாதங்களிலிருந்தும் மடக்கைகளின் அடிப்படையிலிருந்தும் கூட:

இங்கே பல மாணவர்களுக்கு ஒரு கேள்வி உள்ளது: "வலதுபுறத்தில் உள்ள தொகுதி எங்கிருந்து வந்தது?" உண்மையில், ஏன் வெறுமனே (x - 1) எழுதக்கூடாது? நிச்சயமாக, இப்போது நாம் (x - 1) எழுதுவோம், ஆனால் வரையறையின் டொமைனை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அத்தகைய குறிப்பிற்கான உரிமையை நமக்கு வழங்குகிறது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, மற்றொரு மடக்கை ஏற்கனவே (x - 1) கொண்டுள்ளது, மேலும் இந்த வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

ஆனால் மடக்கையின் அடிப்பகுதியில் இருந்து சதுரத்தை அகற்றும்போது, அடிப்படையில் தொகுதியை சரியாக விட்டுவிட வேண்டும். ஏன் என்பதை விளக்குகிறேன்.

உண்மை என்னவென்றால், ஒரு கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், ஒரு பட்டம் எடுப்பது ரூட் எடுப்பதற்கு சமம். குறிப்பாக, நாம் வெளிப்பாட்டின் (x - 1) 2 ஐ ஸ்கொயர் செய்யும் போது, நாம் முக்கியமாக இரண்டாவது மூலத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம். ஆனால் வர்க்கமூலம் ஒரு மாடுலஸ் தவிர வேறில்லை. சரியாக தொகுதி, ஏனெனில் x − 1 என்ற வெளிப்பாடு எதிர்மறையாக இருந்தாலும், ஸ்கொயர் செய்யும்போது, “மைனஸ்” எரிந்துவிடும். ரூட் மேலும் பிரித்தெடுத்தல் நமக்கு நேர்மறை எண்ணைக் கொடுக்கும் - எந்த குறையும் இல்லாமல்.

பொதுவாக, புண்படுத்தும் தவறுகளைத் தவிர்க்க, ஒருமுறை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

அதே சக்திக்கு உயர்த்தப்படும் எந்தச் செயல்பாட்டின் சம சக்தியின் மூலமும் செயல்பாட்டிற்குச் சமம் அல்ல, ஆனால் அதன் மாடுலஸுக்கு:

நமது மடக்கை சமன்பாட்டிற்கு வருவோம். தொகுதியைப் பற்றி பேசுகையில், அதை வலியின்றி அகற்றலாம் என்று நான் வாதிட்டேன். இது உண்மைதான். இப்போது நான் ஏன் விளக்குகிறேன். கண்டிப்பாகச் சொன்னால், நாங்கள் இரண்டு விருப்பங்களைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டியிருந்தது:

x − 1 > 0 ⇒ |x - 1| = x - 1
x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

இந்த விருப்பங்கள் ஒவ்வொன்றும் கவனிக்கப்பட வேண்டும். ஆனால் ஒரு கேட்ச் உள்ளது: அசல் சூத்திரத்தில் ஏற்கனவே எந்த மாடுலஸ் இல்லாமல் செயல்பாடு (x - 1) உள்ளது. மடக்கைகளின் வரையறையின் டொமைனைப் பின்பற்றி, x − 1 > 0 என்று உடனடியாக எழுத எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது.

தீர்வுச் செயல்பாட்டில் நாம் செய்யும் எந்தத் தொகுதிகள் மற்றும் பிற மாற்றங்கள் இருந்தாலும் இந்தத் தேவை பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும். எனவே, இரண்டாவது விருப்பத்தை கருத்தில் கொள்வதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை - அது ஒருபோதும் எழாது. இந்த சமத்துவமின்மையின் கிளையைத் தீர்க்கும்போது சில எண்களைப் பெற்றாலும், அவை இன்னும் இறுதிப் பதிலில் சேர்க்கப்படாது.

இப்போது நாம் மடக்கை சமன்பாட்டின் நியதி வடிவத்திலிருந்து ஒரு படி தொலைவில் இருக்கிறோம். அலகு பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

1 = பதிவு x - 1 (x - 1) 1

கூடுதலாக, வலதுபுறத்தில் உள்ள காரணி −4 ஐ வாதத்தில் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

பதிவு x - 1 10 −4 = பதிவு x - 1 (x - 1)

மடக்கைச் சமன்பாட்டின் நியதி வடிவம் நமக்கு முன் உள்ளது. மடக்கை அடையாளத்தை நாங்கள் அகற்றுகிறோம்:

10 -4 = x - 1

ஆனால் அடிப்படை ஒரு செயல்பாடாக இருந்ததால் (மேலும் ஒரு முதன்மை எண் அல்ல), மேலும் இந்த செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவும் ஒன்றுக்கு சமமாகவும் இருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக அமைப்பு இருக்கும்:

தேவை x − 1 > 0 தானாகவே பூர்த்தி செய்யப்படுவதால் (எல்லாவற்றுக்கும் மேலாக, x - 1 = 10 -4), ஏற்றத்தாழ்வுகளில் ஒன்றை எங்கள் கணினியில் இருந்து நீக்கலாம். x - 1 = 0.0001 என்பதால், இரண்டாவது நிபந்தனையையும் கடக்க முடியும்< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

மடக்கையின் வரையறையின் டொமைனின் அனைத்து தேவைகளையும் தானாகவே பூர்த்தி செய்யும் ஒரே ரூட் இதுதான் (இருப்பினும், எங்கள் பிரச்சினையின் நிலைமைகளில் வெளிப்படையாக பூர்த்தி செய்யப்பட்ட அனைத்து தேவைகளும் நீக்கப்பட்டன).

எனவே இரண்டாவது சமன்பாடு:

3 பதிவு 3 x x = 2 பதிவு 9 x x 2

இந்தச் சமன்பாடு முந்தைய சமன்பாட்டிலிருந்து எப்படி வேறுபட்டது? மடக்கைகளின் அடிப்படைகள் - 3x மற்றும் 9x - ஒன்றுக்கொன்று இயற்கையான சக்திகள் அல்ல. எனவே, முந்தைய தீர்வில் நாம் பயன்படுத்திய மாற்றம் சாத்தியமில்லை.

பட்டங்களையாவது ஒழிப்போம். எங்கள் விஷயத்தில், ஒரே பட்டம் இரண்டாவது வாதத்தில் உள்ளது:

3 பதிவு 3 x x = 2 ∙ 2 பதிவு 9 x |x |

இருப்பினும், மாடுலஸ் அடையாளத்தை அகற்றலாம், ஏனென்றால் x மாறியும் அடிவாரத்தில் உள்ளது, அதாவது. x > 0 ⇒ |x| = x. நமது மடக்கை சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:

3 பதிவு 3 x x = 4 பதிவு 9 x x

வாதங்கள் ஒரே மாதிரியான மடக்கைகளை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம், ஆனால் அடிப்படைகள் வேறுபட்டவை. அடுத்து என்ன செய்வது? இங்கே பல விருப்பங்கள் உள்ளன, ஆனால் அவற்றில் இரண்டை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், அவை மிகவும் தர்க்கரீதியானவை, மிக முக்கியமாக, இவை பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு விரைவான மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய நுட்பங்கள்.

முதல் விருப்பத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே பரிசீலித்துள்ளோம்: எந்தவொரு தெளிவற்ற சூழ்நிலையிலும், மாறி அடிப்படையிலான மடக்கைகளை சில நிலையான தளத்திற்கு மாற்றவும். உதாரணமாக, ஒரு டியூஸுக்கு. மாற்றம் சூத்திரம் எளிது:

நிச்சயமாக, மாறி c இன் பங்கு ஒரு சாதாரண எண்ணாக இருக்க வேண்டும்: 1 ≠ c > 0. நம் விஷயத்தில் c = 2. இப்போது நமக்கு முன் ஒரு சாதாரண பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடு உள்ளது. இடதுபுறத்தில் உள்ள அனைத்து கூறுகளையும் நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

வெளிப்படையாக, பதிவு 2 x காரணியை அகற்றுவது நல்லது, ஏனெனில் இது முதல் மற்றும் இரண்டாவது பின்னங்களில் உள்ளது.

பதிவு 2 x = 0;

3 பதிவு 2 9x = 4 பதிவு 2 3x

ஒவ்வொரு பதிவையும் இரண்டு சொற்களாக உடைக்கிறோம்:

பதிவு 2 9x = பதிவு 2 9 + பதிவு 2 x = 2 பதிவு 2 3 + பதிவு 2 x;

பதிவு 2 3x = பதிவு 2 3 + பதிவு 2 x

இந்த உண்மைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் மீண்டும் எழுதுவோம்:

3 (2 பதிவு 2 3 + பதிவு 2 x ) = 4 (பதிவு 2 3 + பதிவு 2 x )

6 பதிவு 2 3 + 3 பதிவு 2 x = 4 பதிவு 2 3 + 4 பதிவு 2 x

2 பதிவு 2 3 = பதிவு 2 x

இப்போது எஞ்சியிருப்பது மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் இரண்டை உள்ளிடுவதுதான் (அது ஒரு சக்தியாக மாறும்: 3 2 = 9):

பதிவு 2 9 = பதிவு 2 x

எங்களுக்கு முன் உன்னதமான நியமன வடிவம், மடக்கை அடையாளத்தை அகற்றி, பெறுகிறோம்:

எதிர்பார்த்தபடி, இந்த ரூட் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக மாறியது. வரையறையின் டொமைனைச் சரிபார்க்க இது உள்ளது. காரணங்களைப் பார்ப்போம்:

ஆனால் ரூட் x = 9 இந்த தேவைகளை பூர்த்தி செய்கிறது. எனவே, இதுவே இறுதி முடிவு.

இந்த தீர்வின் முடிவு எளிதானது: நீண்ட கணக்கீடுகளுக்கு பயப்பட வேண்டாம்! ஆரம்பத்தில் நாங்கள் ஒரு புதிய தளத்தை சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுத்தோம் - இது செயல்முறையை கணிசமாக சிக்கலாக்கியது.

ஆனால் கேள்வி எழுகிறது: என்ன அடிப்படை உகந்த? இதைப் பற்றி நான் இரண்டாவது முறையில் பேசுவேன்.

நமது அசல் சமன்பாட்டிற்கு வருவோம்:

3 பதிவு 3x x = 2 பதிவு 9x x 2

3 பதிவு 3x x = 2 ∙ 2 பதிவு 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 பதிவு 3 x x = 4 பதிவு 9 x x

இப்போது கொஞ்சம் யோசிப்போம்: எந்த எண் அல்லது செயல்பாடு உகந்த அடிப்படையாக இருக்கும்? என்பது வெளிப்படையானது சிறந்த விருப்பம் c = x இருக்கும் - வாதங்களில் ஏற்கனவே உள்ளவை. இந்த வழக்கில், log a b = log c b /log c a என்ற சூத்திரம் படிவத்தை எடுக்கும்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வெளிப்பாடு வெறுமனே தலைகீழாக உள்ளது. இந்த வழக்கில், வாதமும் அடிப்படையும் இடங்களை மாற்றுகின்றன.

இந்த சூத்திரம் மிகவும் பயனுள்ளது மற்றும் சிக்கலான மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும் போது ஒரு மிக மோசமான ஆபத்து உள்ளது. அடிப்படைக்கு பதிலாக x மாறியை மாற்றினால், முன்பு கவனிக்கப்படாத கட்டுப்பாடுகள் விதிக்கப்படும்:

அசல் சமன்பாட்டில் அத்தகைய வரம்பு இல்லை. எனவே, x = 1 ஆக இருக்கும் போது தனித்தனியாக வழக்கை சரிபார்க்க வேண்டும். இந்த மதிப்பை நமது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

3 பதிவு 3 1 = 4 பதிவு 9 1

சரியான எண் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம். எனவே x = 1 என்பது ஒரு வேர். தீர்வின் ஆரம்பத்திலேயே முந்தைய முறையில் அதே வேரைக் கண்டறிந்தோம்.

ஆனால் இப்போது நாம் இதைப் பற்றி தனியாகப் பார்த்தோம் சிறப்பு வழக்கு, x ≠ 1 என்று நாங்கள் பாதுகாப்பாகக் கருதுகிறோம். பின்னர் எங்கள் மடக்கைச் சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படும்:

3 பதிவு x 9x = 4 பதிவு x 3x

முன்பு இருந்த அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு மடக்கைகளையும் விரிவுபடுத்துகிறோம். பதிவு x x = 1 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்:

3 (பதிவு x 9 + பதிவு x x ) = 4 (பதிவு x 3 + பதிவு x x )

3 பதிவு x 9 + 3 = 4 பதிவு x 3 + 4

3 பதிவு x 3 2 - 4 பதிவு x 3 = 4 - 3

2 பதிவு x 3 = 1

எனவே நாங்கள் நியமன வடிவத்திற்கு வந்தோம்:

பதிவு x 9 = பதிவு x x 1

x=9

இரண்டாவது ரூட் கிடைத்தது. இது x ≠ 1 தேவையை பூர்த்தி செய்கிறது. எனவே, x = 9 உடன் x = 1 என்பது இறுதி விடையாகும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கணக்கீடுகளின் அளவு சற்று குறைந்துள்ளது. ஆனால் உண்மையான மடக்கை சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, படிகளின் எண்ணிக்கை மிகவும் குறைவாக இருக்கும், ஏனெனில் நீங்கள் ஒவ்வொரு படியையும் இவ்வளவு விரிவாக விவரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

இன்றைய பாடத்தின் முக்கிய விதி பின்வருமாறு: சிக்கலில் சம அளவு இருந்தால், அதே பட்டத்தின் வேர் பிரித்தெடுக்கப்பட்டால், வெளியீடு ஒரு மாடுலஸாக இருக்கும். இருப்பினும், மடக்கைகளின் வரையறையின் டொமைனில் நீங்கள் கவனம் செலுத்தினால், இந்த தொகுதி நீக்கப்படலாம்.

ஆனால் கவனமாக இருங்கள்: இந்த பாடத்திற்குப் பிறகு, பெரும்பாலான மாணவர்கள் எல்லாவற்றையும் புரிந்துகொள்கிறார்கள் என்று நினைக்கிறார்கள். ஆனால் முடிவு செய்யும் போது உண்மையான பிரச்சனைகள்அவர்கள் முழு தருக்க சங்கிலியை மீண்டும் உருவாக்க முடியாது. இதன் விளைவாக, சமன்பாடு தேவையற்ற வேர்களைப் பெறுகிறது, மேலும் பதில் தவறானதாக மாறிவிடும்.

முக்கிய பண்புகள்.

logax + logay = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள்

பதிவு6 4 + பதிவு6 9.

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம்.

மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு பின்வரும் விதிகளின்படி மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x >

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கை logax கொடுக்கலாம். பிறகு c > 0 மற்றும் c ≠ 1 போன்ற எந்த எண்ணுக்கும், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

மேலும் பார்க்க:

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

அடுக்கு 2.718281828. அடுக்குகளை நினைவில் கொள்ள, நீங்கள் விதியைப் படிக்கலாம்: அடுக்கு 2.7 க்கு சமம் மற்றும் லியோ நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டை விட இரண்டு முறை.

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

இந்த விதியை அறிந்தால், நீங்கள் அறிவீர்கள் மற்றும் சரியான மதிப்புகண்காட்சியாளர்கள், மற்றும் லியோ டால்ஸ்டாயின் பிறந்த தேதி.

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடுகிறோம்

4. எங்கே .

எடுத்துக்காட்டு 2. x என்றால் கண்டுபிடி

எடுத்துக்காட்டு 3. மடக்கைகளின் மதிப்பைக் கொடுக்கலாம்

பதிவு(x) என்றால் கணக்கிடவும்

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள், எந்த எண்களைப் போலவே, எல்லா வகையிலும் சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் மாற்றலாம். ஆனால் மடக்கைகள் சாதாரண எண்கள் அல்ல என்பதால், இங்கே விதிகள் உள்ளன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய பண்புகள்.

இந்த விதிகளை நீங்கள் நிச்சயமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - அவை இல்லாமல், ஒரு தீவிர மடக்கை சிக்கலையும் தீர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, அவற்றில் மிகக் குறைவு - நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நாளில் கற்றுக்கொள்ளலாம். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளைக் கவனியுங்கள்: லோகாக்ஸ் மற்றும் லோகே. பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், மேலும்:

logax + logay = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

எனவே, மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு பகுதியின் மடக்கைக்கு சமம். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இங்கே முக்கிய புள்ளி ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள். காரணங்கள் வேறுபட்டால், இந்த விதிகள் வேலை செய்யாது!

இந்த சூத்திரங்கள் மடக்கை வெளிப்பாட்டின் தனிப்பட்ட பகுதிகள் கருதப்படாவிட்டாலும் கணக்கிட உதவும் ("மடக்கை என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள் மற்றும் பார்க்கவும்:

மடக்கைகள் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்டிருப்பதால், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log2 48 - log2 3.

அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, நாங்கள் வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log3 135 - log3 5.

மீண்டும் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பதிவு3 135 - பதிவு3 5 = பதிவு3 (135: 5) = பதிவு3 27 = 3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. பலர் இந்த உண்மையின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளனர் சோதனை தாள்கள். ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

அதை கவனிப்பது எளிது கடைசி விதிமுதல் இரண்டைப் பின்பற்றுகிறது. ஆனால் எப்படியும் அதை நினைவில் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x > 0. மேலும் ஒன்று: எல்லா சூத்திரங்களையும் இடமிருந்து வலமாக மட்டுமல்லாமல், நேர்மாறாகவும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள். , அதாவது மடக்கை அடையாளத்திற்கு முன் உள்ள எண்களை மடக்கையிலேயே உள்ளிடலாம். இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log7 496.

முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வாதத்தின் பட்டத்தை அகற்றுவோம்:
பதிவு7 496 = 6 பதிவு7 49 = 6 2 = 12

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வகுப்பில் ஒரு மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதன் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள்: 16 = 24; 49 = 72. எங்களிடம் உள்ளது:

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? வரை கடைசி தருணம்நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம்.

மடக்கை சூத்திரங்கள். மடக்கை எடுத்துக்காட்டுகள் தீர்வுகள்.

அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

இப்போது முக்கிய பகுதியைப் பார்ப்போம். எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே எண் உள்ளது: log2 7. log2 7 ≠ 0 என்பதால், நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் - 2/4 வகுப்பில் இருக்கும். எண்கணித விதிகளின்படி, நான்கையும் எண்ணுக்கு மாற்றலாம், அதுதான் செய்யப்பட்டது. இதன் விளைவாக பதில் வந்தது: 2.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பற்றி பேசுகையில், அவை ஒரே அடிப்படைகளுடன் மட்டுமே செயல்படுகின்றன என்பதை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்தினேன். காரணங்கள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? அவை ஒரே எண்ணின் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது?

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன. அவற்றை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

குறிப்பாக, c = x ஐ அமைத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்:

இரண்டாவது சூத்திரத்திலிருந்து, மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மாற்றலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முழு வெளிப்பாடும் "திரும்பியது", அதாவது. மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

இந்த சூத்திரங்கள் சாதாரண எண் வெளிப்பாடுகளில் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன. மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும்போது மட்டுமே அவை எவ்வளவு வசதியானவை என்பதை மதிப்பீடு செய்ய முடியும்.

இருப்பினும், ஒரு புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதைத் தவிர, தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகள் உள்ளன. இவற்றில் ஒன்றிரண்டு பார்ப்போம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log5 16 log2 25.

இரண்டு மடக்கைகளின் வாதங்களும் சரியான அதிகாரங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். குறிகாட்டிகளை வெளியே எடுப்போம்: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது தயாரிப்பு மாறாது என்பதால், நாங்கள் அமைதியாக நான்கு மற்றும் இரண்டைப் பெருக்கி, பின்னர் மடக்கைகளைக் கையாள்வோம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log9 100 lg 3.

முதல் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் துல்லியமான சக்திகள். இதை எழுதி குறிகாட்டிகளை அகற்றுவோம்:

இப்போது விடுபடலாம் தசம மடக்கை, புதிய தளத்திற்கு நகரும்:

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பெரும்பாலும் தீர்வுச் செயல்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு மடக்கையாக எண்ணைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரங்கள் எங்களுக்கு உதவும்:

முதல் வழக்கில், n என்பது வாதத்தில் அடுக்கு ஆகும். எண் n என்பது முற்றிலும் எதுவாகவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை மதிப்பு.

இரண்டாவது சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு பாராபிராஸ்டு வரையறை. அதுவே அழைக்கப்படுகிறது: .

உண்மையில், b என்ற எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தினால் என்ன நடக்கும், இந்த சக்திக்கு b என்ற எண் a எண்ணைக் கொடுக்கும்? அது சரி: முடிவு அதே எண் a. இந்தப் பத்தியை மீண்டும் கவனமாகப் படியுங்கள் - பலர் அதில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, முக்கியமானது மடக்கை அடையாளம்சில நேரங்களில் அது மட்டுமே சாத்தியமான தீர்வு.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

log25 64 = log5 8 - மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்திலிருந்து சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரே அடிப்படையுடன் சக்திகளை பெருக்குவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்:

யாருக்காவது தெரியாவிட்டால், இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் உண்மையான பணியாகும் :)

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

முடிவில், பண்புகள் என்று அழைக்கப்பட முடியாத இரண்டு அடையாளங்களை நான் தருகிறேன் - மாறாக, அவை மடக்கையின் வரையறையின் விளைவுகள். அவர்கள் தொடர்ந்து சிக்கல்களில் தோன்றுகிறார்கள், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, "மேம்பட்ட" மாணவர்களுக்கு கூட சிக்கல்களை உருவாக்குகிறார்கள்.

லோகா = 1 ஆகும். ஒருமுறை மற்றும் அனைத்தையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அந்த தளத்தின் எந்த தளத்திற்கும் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்.
லோகா 1 = 0 ஆகும். அடிப்படை a எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் a0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

அவ்வளவுதான் சொத்துக்கள். அவற்றை நடைமுறைக்குக் கொண்டுவருவதைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்! பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள ஏமாற்று தாளைப் பதிவிறக்கம் செய்து, அதை அச்சிட்டு, சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும்.

மேலும் பார்க்க:

a அடிப்படையிலான b இன் மடக்கை வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கிறது. மடக்கையைக் கணக்கிடுவது என்பது சமத்துவம் பூர்த்தி செய்யப்பட்ட ஒரு சக்தி x () ஐக் கண்டுபிடிப்பதாகும்

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள் தொடர்பான அனைத்து சிக்கல்களும் எடுத்துக்காட்டுகளும் அவற்றின் அடிப்படையில் தீர்க்கப்படுவதால், மேலே உள்ள பண்புகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம். மீதமுள்ள அயல்நாட்டு பண்புகளை இந்த சூத்திரங்களுடன் கணித கையாளுதல்கள் மூலம் பெறலாம்

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைக் கணக்கிடும் போது (3.4) நீங்கள் அடிக்கடி சந்திப்பீர்கள். மீதமுள்ளவை சற்றே சிக்கலானவை, ஆனால் பல பணிகளில் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதற்கும் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் அவை இன்றியமையாதவை.

மடக்கைகளின் பொதுவான வழக்குகள்

மிகவும் பொதுவான மடக்கைகளில் சில அடிப்படை பத்து, அதிவேக அல்லது இரண்டுக்கு சமமாக இருக்கும்.
பத்தின் அடிப்படையிலான மடக்கை பொதுவாக தசம மடக்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது வெறுமனே lg(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

பதிவில் அடிப்படைகள் எழுதப்படவில்லை என்பது பதிவின் மூலம் தெளிவாகிறது. உதாரணத்திற்கு

இயற்கை மடக்கை என்பது ஒரு மடக்கை ஆகும், அதன் அடிப்பகுதி ஒரு அடுக்கு (ln(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது).

அடுக்கு 2.718281828. அடுக்குகளை நினைவில் கொள்ள, நீங்கள் விதியைப் படிக்கலாம்: அடுக்கு 2.7 க்கு சமம் மற்றும் லியோ நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டை விட இரண்டு முறை. இந்த விதியை அறிந்தால், அடுக்குகளின் சரியான மதிப்பு மற்றும் லியோ டால்ஸ்டாயின் பிறந்த தேதி இரண்டையும் நீங்கள் அறிவீர்கள்.

மற்றும் அடிப்படை இரண்டின் மற்றொரு முக்கியமான மடக்கை குறிக்கப்படுகிறது

ஒரு செயல்பாட்டின் மடக்கையின் வழித்தோன்றல் மாறியால் வகுக்கப்படும் ஒன்றிற்கு சமம்

ஒருங்கிணைந்த அல்லது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் மடக்கை உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

மடக்கைகள் மற்றும் மடக்கைகள் தொடர்பான பல்வேறு வகையான சிக்கல்களைத் தீர்க்க கொடுக்கப்பட்ட பொருள் போதுமானது. பொருளைப் புரிந்துகொள்ள உங்களுக்கு உதவ, நான் சில பொதுவான உதாரணங்களைத் தருகிறேன் பள்ளி பாடத்திட்டம்மற்றும் பல்கலைக்கழகங்கள்.

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடுகிறோம்

2.
மடக்கைகளின் வேறுபாட்டின் பண்பு மூலம் நம்மிடம் உள்ளது

3.
பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்

4. எங்கே .

தோற்றத்தால் சிக்கலான வெளிப்பாடுபல விதிகளைப் பயன்படுத்துவது எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது

மடக்கை மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 2. x என்றால் கண்டுபிடி

தீர்வு. கணக்கீட்டிற்கு, நாங்கள் கடைசி கால 5 மற்றும் 13 பண்புகளுக்குப் பயன்படுத்துகிறோம்

பதிவில் போட்டு புலம்புகிறோம்

அடிப்படைகள் சமமாக இருப்பதால், வெளிப்பாடுகளை சமன் செய்கிறோம்

மடக்கைகள். முதல் நிலை.

மடக்கைகளின் மதிப்பைக் கொடுக்கலாம்

பதிவு(x) என்றால் கணக்கிடவும்

தீர்வு: அதன் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மூலம் மடக்கை எழுத மாறியின் மடக்கையை எடுத்துக் கொள்வோம்.

மடக்கைகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் பற்றிய நமது அறிமுகத்தின் ஆரம்பம் இதுவே. கணக்கீடுகளைப் பயிற்சி செய்யுங்கள், உங்கள் நடைமுறை திறன்களை வளப்படுத்துங்கள் - மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நீங்கள் பெறும் அறிவு விரைவில் உங்களுக்குத் தேவைப்படும். அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகளைப் படித்த பிறகு, உங்கள் அறிவை மற்றொன்றுக்கு விரிவுபடுத்துவோம் முக்கியமான தலைப்புமடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகள்...

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

logax + logay = loga(x y);
logax - logay = loga (x: y).

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log6 4 + log6 9.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log2 48 - log2 3.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log3 135 - log3 5.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. பல சோதனைகள் இந்த உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம். மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? பின்வரும் விதிகளின்படி இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

கடைசி விதி முதல் இரண்டைப் பின்பற்றுவதைப் பார்ப்பது எளிது. ஆனால் எப்படியும் அதை நினைவில் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log7 496.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? கடைசி நிமிடம் வரை நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம். நாங்கள் அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

குறிப்பாக, c = x ஐ அமைத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log5 16 log2 25.

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log9 100 lg 3.

இப்போது புதிய தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் தசம மடக்கையிலிருந்து விடுபடலாம்:

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

ஒரு புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் சில சமயங்களில் சாத்தியமான ஒரே தீர்வு.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

லோகா = 1 ஆகும். ஒருமுறை மற்றும் அனைத்தையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அந்த தளத்தின் எந்த தளத்திற்கும் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்.
லோகா 1 = 0 ஆகும். அடிப்படை a எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் a0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

எங்களால் சேகரிக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட தகவல்உங்களைத் தொடர்பு கொள்ளவும், உங்களுக்குத் தெரிவிக்கவும் எங்களை அனுமதிக்கிறது தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகள்.
அவ்வப்போது, முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

தேவைப்பட்டால், சட்டத்தின்படி, நீதி நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பில் உள்ள அரசு நிறுவனங்களின் கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

மடக்கை சமன்பாடுகள். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி B யிலிருந்து சிக்கல்களைத் தொடர்ந்து பரிசீலித்து வருகிறோம். "", "" கட்டுரைகளில் சில சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளை நாங்கள் ஏற்கனவே ஆய்வு செய்துள்ளோம். இந்தக் கட்டுரையில் மடக்கை சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இதுபோன்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது சிக்கலான மாற்றங்கள் எதுவும் இருக்காது என்று நான் இப்போதே கூறுவேன். அவர்கள் எளிமையானவர்கள்.

மடக்கையின் பண்புகளை அறிய, அடிப்படை மடக்கை அடையாளத்தை அறிந்து புரிந்து கொண்டால் போதும். அதைத் தீர்த்த பிறகு, நீங்கள் ஒரு சரிபார்ப்பைச் செய்ய வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க - இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும் மற்றும் கணக்கிடவும், இறுதியில் நீங்கள் சரியான சமத்துவத்தைப் பெற வேண்டும்.

வரையறை:

ஒரு எண்ணின் மடக்கையானது அடிப்படை bக்கு அடுக்கு ஆகும்,a பெறுவதற்கு b உயர்த்தப்பட வேண்டும்.

உதாரணத்திற்கு:

பதிவு 3 9 = 2, 3 2 = 9 என்பதால்

மடக்கைகளின் பண்புகள்:

மடக்கைகளின் சிறப்பு வழக்குகள்:

பிரச்சனைகளை தீர்ப்போம். முதல் எடுத்துக்காட்டில் நாம் ஒரு சோதனை செய்வோம். எதிர்காலத்தில், அதை நீங்களே சரிபார்க்கவும்.

சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறியவும்: பதிவு 3 (4–x) = 4

log b a = x b x = a என்பதால், பின்னர்

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

தேர்வு:

பதிவு 3 (4–(–77)) = 4

பதிவு 3 81 = 4

3 4 = 81 சரி.

பதில்: – 77

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறியவும்: பதிவு 2 (4 - x) = 7

சமன்பாடு பதிவு 5 இன் மூலத்தைக் கண்டறியவும்(4 + x) = 2

நாங்கள் அடிப்படை மடக்கை அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

log a b = x b x = a என்பதால், பின்னர்

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

தேர்வு:

பதிவு 5 (4 + 21) = 2

பதிவு 5 25 = 2

5 2 = 25 சரி.

பதில்: 21

சமன்பாடு பதிவு 3 (14 – x) = பதிவு 3 5 இன் மூலத்தைக் கண்டறியவும்.

நிகழும் அடுத்த சொத்து, அதன் பொருள் இதுதான்: சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் ஒரே தளத்துடன் மடக்கைகள் இருந்தால், மடக்கைகளின் அறிகுறிகளின் கீழ் வெளிப்பாடுகளை சமன் செய்யலாம்.

14 – x = 5

x=9

ஒரு சோதனை செய்யுங்கள்.

பதில்: 9

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

சமன்பாடு பதிவு 5 (5 – x) = பதிவு 5 3 இன் மூலத்தைக் கண்டறியவும்.

சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறியவும்: பதிவு 4 (x + 3) = பதிவு 4 (4x - 15).

பதிவு c a = log c b என்றால், a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

ஒரு சோதனை செய்யுங்கள்.

பதில்: 6

சமன்பாடு பதிவின் மூலத்தைக் கண்டறியவும் 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

ஒரு சோதனை செய்யுங்கள்.

ஒரு சிறிய கூடுதலாக - சொத்து இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது

டிகிரி ().

பதில்: – 51

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறியவும்: பதிவு 1/7 (7 – x) = – 2

சமன்பாடு பதிவு 2 (4 - x) = 2 பதிவு 2 5 இன் மூலத்தைக் கண்டறியவும்.

மாற்றுவோம் வலது பக்கம். சொத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

log a b m = m∙log a b

பதிவு 2 (4 – x) = பதிவு 2 5 2

பதிவு c a = log c b என்றால், a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

ஒரு சோதனை செய்யுங்கள்.

பதில்: – 21

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறியவும்: பதிவு 5 (5 – x) = 2 பதிவு 5 3

சமன்பாடு பதிவு 5 (x 2 + 4x) = பதிவு 5 (x 2 + 11) ஐ தீர்க்கவும்

பதிவு c a = log c b என்றால், a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2.75

ஒரு சோதனை செய்யுங்கள்.

பதில்: 2.75

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

சமன்பாடு பதிவு 5 (x 2 + x) = பதிவு 5 (x 2 + 10) இன் மூலத்தைக் கண்டறியவும்.

சமன்பாடு பதிவு 2 (2 - x) = பதிவு 2 (2 - 3x) +1 ஐ தீர்க்கவும்.

உடன் தேவை வலது பக்கம்சமன்பாடுகள் படிவத்தின் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகின்றன:

பதிவு 2 (......)

நாங்கள் 1ஐ அடிப்படை 2 மடக்கையாகக் குறிப்பிடுகிறோம்:

1 = பதிவு 2 2

பதிவு c (ab) = log c a + log c b

பதிவு 2 (2 – x) = பதிவு 2 (2 – 3x) + பதிவு 2 2

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதிவு 2 (2 – x) = பதிவு 2 2 (2 – 3x)

பதிவு c a = log c b என்றால், a = b, பின்னர்

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0.4

ஒரு சோதனை செய்யுங்கள்.

பதில்: 0.4

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்: அடுத்து நீங்கள் இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும். மூலம்,

வேர்கள் 6 மற்றும் - 4 ஆகும்.

ரூட் "-4" ஒரு தீர்வு அல்ல, ஏனெனில் மடக்கையின் அடிப்பகுதி பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், மேலும் "– 4 "அது சமம்" – 5". தீர்வு ரூட் 6 ஆகும்.ஒரு சோதனை செய்யுங்கள்.

பதில்: 6.

ஆர் நீங்களே சாப்பிடுங்கள்:

சமன்பாடு பதிவைத் தீர்க்கவும் x –5 49 = 2. சமன்பாட்டில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ரூட் இருந்தால், சிறிய ஒன்றைக் கொண்டு பதிலளிக்கவும்.

நீங்கள் பார்த்தபடி, மடக்கை சமன்பாடுகளுடன் சிக்கலான மாற்றங்கள் எதுவும் இல்லைஇல்லை. மடக்கையின் பண்புகளை அறிந்து அவற்றைப் பயன்படுத்த முடிந்தால் போதும். IN ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு சிக்கல்கள்மாற்றம் தொடர்பானது மடக்கை வெளிப்பாடுகள், மிகவும் தீவிரமான மாற்றங்கள் செய்யப்படுகின்றன மற்றும் ஆழமான தீர்வு திறன்கள் தேவை. அத்தகைய உதாரணங்களைப் பார்ப்போம், அவற்றைத் தவறவிடாதீர்கள்!நான் உங்கள் வெற்றிக்காக வாழ்த்துகின்றேன்!!!

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர் க்ருடிட்ஸ்கிக்.

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி என்னிடம் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

இந்த வீடியோ மூலம் மடக்கை சமன்பாடுகள் பற்றிய ஒரு நீண்ட தொடர் பாடங்களைத் தொடங்குகிறேன். இப்போது உங்களுக்கு முன் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, அதன் அடிப்படையில் எளிமையான சிக்கல்களைத் தீர்க்க நாங்கள் கற்றுக்கொள்வோம், அவை அழைக்கப்படுகின்றன - புரோட்டோசோவா.

பதிவு 0.5 (3x - 1) = -3

பதிவு (x + 3) = 3 + 2 பதிவு 5

எளிமையான மடக்கை சமன்பாடு பின்வருமாறு என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

பதிவு a f(x) = b

இந்த வழக்கில், x என்ற மாறி வாதத்தின் உள்ளே மட்டுமே இருப்பது முக்கியம், அதாவது f (x) செயல்பாட்டில் மட்டுமே. மற்றும் எண்கள் a மற்றும் b வெறும் எண்கள், மற்றும் எந்த சந்தர்ப்பத்திலும் x மாறி கொண்டிருக்கும் செயல்பாடுகள் இல்லை.

அடிப்படை தீர்வு முறைகள்

அத்தகைய கட்டமைப்புகளை தீர்க்க பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, பள்ளியில் உள்ள பெரும்பாலான ஆசிரியர்கள் இந்த முறையை வழங்குகிறார்கள்: சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி f (x) செயல்பாட்டை உடனடியாக வெளிப்படுத்தவும். f ( x ) = ஒரு பி . அதாவது, நீங்கள் எளிமையான கட்டுமானத்தைக் கண்டால், கூடுதல் செயல்கள் மற்றும் கட்டுமானங்கள் இல்லாமல் உடனடியாக தீர்வுக்கு செல்லலாம்.

ஆம், நிச்சயமாக, முடிவு சரியாக இருக்கும். இருப்பினும், இந்த ஃபார்முலாவில் உள்ள சிக்கல் பெரும்பாலான மாணவர்கள் புரியவில்லை, அது எங்கிருந்து வருகிறது, ஏன் a என்ற எழுத்தை b என்ற எழுத்தாக உயர்த்துகிறோம்.

இதன் விளைவாக, எடுத்துக்காட்டாக, இந்த கடிதங்கள் மாற்றப்படும்போது மிகவும் எரிச்சலூட்டும் தவறுகளை நான் அடிக்கடி பார்க்கிறேன். இந்த சூத்திரம் புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும் அல்லது நெரிசலாக இருக்க வேண்டும், மேலும் இரண்டாவது முறை மிகவும் பொருத்தமற்ற மற்றும் மிக முக்கியமான தருணங்களில் தவறுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது: தேர்வுகள், சோதனைகள் போன்றவை.

அதனால்தான் எனது அனைத்து மாணவர்களுக்கும் நிலையான பள்ளி சூத்திரத்தை கைவிட்டு, மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இரண்டாவது அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறேன், இது நீங்கள் பெயரிலிருந்து யூகித்தபடி அழைக்கப்படுகிறது. நியமன வடிவம்.

நியமன வடிவத்தின் யோசனை எளிமையானது. எங்கள் சிக்கலை மீண்டும் பார்ப்போம்: இடதுபுறத்தில் log a உள்ளது, மற்றும் a என்ற எழுத்தின் மூலம் நாம் ஒரு எண்ணைக் குறிக்கிறோம், எந்த வகையிலும் x மாறியைக் கொண்ட செயல்பாடு இல்லை. இதன் விளைவாக, இந்த கடிதம் மடக்கையின் அடிப்படையில் விதிக்கப்படும் அனைத்து கட்டுப்பாடுகளுக்கும் உட்பட்டது. அதாவது:

1 ≠ a > 0

மறுபுறம், அதே சமன்பாட்டிலிருந்து மடக்கை b எண்ணுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காண்கிறோம், மேலும் இந்த கடிதத்தில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் விதிக்கப்படவில்லை, ஏனெனில் இது எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம் - நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை. இது அனைத்தும் f(x) செயல்பாடு எந்த மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பதைப் பொறுத்தது.

எந்த எண்ணும் b ஐ ஒரு மடக்கையாகக் குறிப்பிடலாம் என்ற எங்கள் அற்புதமான விதியை இங்கே நினைவில் கொள்கிறோம், a இன் அடிமட்டத்திற்கு b இன் சக்திக்கு:

b = log a a b

இந்த சூத்திரத்தை எப்படி நினைவில் கொள்வது? ஆம், மிகவும் எளிமையானது. பின்வரும் கட்டுமானத்தை எழுதுவோம்:

b = b 1 = b log a a

நிச்சயமாக, இந்த விஷயத்தில் நாம் ஆரம்பத்தில் எழுதிய அனைத்து கட்டுப்பாடுகளும் எழுகின்றன. இப்போது மடக்கையின் அடிப்படைப் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, பெருக்கி b ஐ a இன் சக்தியாக அறிமுகப்படுத்துவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

b = b 1 = b log a a = log a a b

இதன் விளைவாக, அசல் சமன்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

அவ்வளவுதான். புதிய செயல்பாட்டில் இனி மடக்கை இல்லை மற்றும் நிலையான இயற்கணித நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும்.

நிச்சயமாக, யாராவது இப்போது ஆட்சேபிப்பார்கள்: ஒருவித நியமன சூத்திரத்தை ஏன் கொண்டு வர வேண்டும், அசல் வடிவமைப்பிலிருந்து இறுதி சூத்திரத்திற்கு உடனடியாக செல்ல முடிந்தால், இரண்டு கூடுதல் தேவையற்ற படிகளை ஏன் செய்ய வேண்டும்? ஆம், இந்த சூத்திரம் எங்கிருந்து வருகிறது என்பதை பெரும்பாலான மாணவர்கள் புரிந்து கொள்ளாததால், அதன் விளைவாக, அதைப் பயன்படுத்தும்போது தவறாமல் தவறு செய்கிறார்கள்.

ஆனால் இந்த செயல்களின் வரிசை, மூன்று படிகளைக் கொண்டுள்ளது, இறுதி சூத்திரம் எங்கிருந்து வருகிறது என்பது உங்களுக்கு புரியவில்லை என்றாலும், அசல் மடக்கை சமன்பாட்டை தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. மூலம், இந்த நுழைவு நியமன சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது:

log a f (x) = log a a b

நியதி வடிவத்தின் வசதி என்னவென்றால், இது மிகவும் பரந்த வகை மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது, மேலும் இன்று நாம் கருத்தில் கொள்ளும் எளிமையானவை மட்டுமல்ல.

தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இப்போது பார்க்கலாம் உண்மையான உதாரணங்கள். எனவே, முடிவு செய்வோம்:

பதிவு 0.5 (3x - 1) = -3

அதை இப்படி மாற்றி எழுதுவோம்:

பதிவு 0.5 (3x - 1) = பதிவு 0.5 0.5 -3

பல மாணவர்கள் அவசரத்தில் உள்ளனர் மற்றும் அசல் சிக்கலில் இருந்து எங்களுக்கு வந்த சக்திக்கு 0.5 என்ற எண்ணை உடனடியாக உயர்த்த முயற்சிக்கின்றனர். உண்மையில், இதுபோன்ற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் ஏற்கனவே நன்கு பயிற்சி பெற்றிருந்தால், நீங்கள் உடனடியாக இந்தப் படியைச் செய்யலாம்.

இருப்பினும், நீங்கள் இப்போது இந்த தலைப்பைப் படிக்கத் தொடங்கினால், புண்படுத்தும் தவறுகளைத் தவிர்ப்பதற்காக எங்கும் அவசரப்படாமல் இருப்பது நல்லது. எனவே, எங்களுக்கு நியமன வடிவம் உள்ளது. எங்களிடம் உள்ளது:

3x - 1 = 0.5 -3

இது இனி மடக்கைச் சமன்பாடு அல்ல, ஆனால் x மாறியைப் பொறுத்தவரை நேரியல். அதைத் தீர்க்க, முதலில் −3 இன் சக்திக்கு 0.5 என்ற எண்ணைப் பார்ப்போம். 0.5 என்பது 1/2 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

மடக்கை சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது அனைத்து தசம பின்னங்களையும் பொதுவான பின்னங்களாக மாற்றவும்.

நாங்கள் மீண்டும் எழுதி பெறுகிறோம்:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

அவ்வளவுதான், விடை கிடைத்தது. முதல் பிரச்சனை தீர்ந்தது.

இரண்டாவது பணி

இரண்டாவது பணிக்கு செல்லலாம்:

நாம் பார்க்கிறபடி, இந்த சமன்பாடு இனி எளிமையானது அல்ல. இடதுபுறத்தில் வித்தியாசம் இருப்பதால், ஒரு தளத்திற்கு ஒரு மடக்கை கூட இல்லை.

எனவே, இந்த வேறுபாட்டை நாம் எப்படியாவது போக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், எல்லாம் மிகவும் எளிது. அடிப்படைகளை கூர்ந்து கவனிப்போம்: இடதுபுறத்தில் ரூட்டின் கீழ் எண் உள்ளது:

பொதுவான பரிந்துரை: அனைத்து மடக்கை சமன்பாடுகளிலும், ரேடிகல்களை அகற்ற முயற்சிக்கவும், அதாவது, வேர்களைக் கொண்ட உள்ளீடுகளில் இருந்து மற்றும் ஆற்றல் செயல்பாடுகளுக்குச் செல்லவும், ஏனெனில் இந்த சக்திகளின் அடுக்குகள் மடக்கை அடையாளத்திலிருந்து எளிதாக எடுக்கப்படுகின்றன. இறுதியில்இந்த குறியீடானது கணக்கீடுகளை கணிசமாக எளிதாக்குகிறது மற்றும் வேகப்படுத்துகிறது. அதை இப்படி எழுதுவோம்:

இப்போது நமக்கு நினைவிருக்கிறது அற்புதமான சொத்துமடக்கை: அதிகாரங்களை வாதத்திலிருந்தும், அடித்தளத்திலிருந்தும் பெறலாம். அடிப்படை விஷயத்தில், பின்வருபவை நடக்கும்:

log a k b = 1/k loga b

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அடிப்படை சக்தியில் இருந்த எண் முன்னோக்கி கொண்டு வரப்பட்டு, அதே நேரத்தில் தலைகீழாக, அதாவது, அது ஒரு பரஸ்பர எண்ணாக மாறும். எங்கள் விஷயத்தில், அடிப்படை பட்டம் 1/2 ஆக இருந்தது. எனவே, அதை 2/1 ஆக எடுத்துக் கொள்ளலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

5 2 பதிவு 5 x - பதிவு 5 x = 18
10 பதிவு 5 x - பதிவு 5 x = 18

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: எந்த சூழ்நிலையிலும் இந்த படிநிலையில் மடக்கைகளை அகற்றக்கூடாது. 4-5 ஆம் வகுப்பு கணிதம் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரிசையை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: முதலில் பெருக்கல் செய்யப்படுகிறது, பின்னர் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல். இந்த வழக்கில், 10 உறுப்புகளிலிருந்து அதே உறுப்புகளில் ஒன்றைக் கழிக்கிறோம்:

9 பதிவு 5 x = 18
பதிவு 5 x = 2

இப்போது நமது சமன்பாடு அது போல் தெரிகிறது. இது எளிமையான கட்டுமானமாகும், மேலும் நாங்கள் அதை நியமன வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம்:

பதிவு 5 x = பதிவு 5 5 2
x = 5 2
x = 25

அவ்வளவுதான். இரண்டாவது பிரச்சனை தீர்ந்தது.

மூன்றாவது உதாரணம்

மூன்றாவது பணிக்கு செல்லலாம்:

பதிவு (x + 3) = 3 + 2 பதிவு 5

பின்வரும் சூத்திரத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

பதிவு b = பதிவு 10 b

சில காரணங்களால் நீங்கள் log b என்ற குறிப்பால் குழப்பமடைந்தால், அனைத்து கணக்கீடுகளையும் செய்யும்போது நீங்கள் பதிவு 10 b ஐ எழுதலாம். மற்றவர்களைப் போலவே நீங்கள் தசம மடக்கைகளுடன் பணிபுரியலாம்: அதிகாரங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், lg 10 வடிவத்தில் எந்த எண்களையும் சேர்க்கவும்.

இந்த பண்புகளையே இப்போது சிக்கலைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்துவோம், ஏனெனில் இது எங்கள் பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் நாங்கள் எழுதியது மிகவும் எளிமையானது அல்ல.

முதலாவதாக, lg 5 க்கு முன்னால் உள்ள காரணி 2 ஐச் சேர்த்து, அடிப்படை 5 இன் சக்தியாக மாறும் என்பதை நினைவில் கொள்க. கூடுதலாக, இலவச சொல் 3 ஐ மடக்கையாகவும் குறிப்பிடலாம் - இது எங்கள் குறிப்பிலிருந்து கவனிக்க மிகவும் எளிதானது.

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்: எந்த எண்ணையும் அடிப்படை 10க்கு பதிவாகக் குறிப்பிடலாம்:

3 = பதிவு 10 10 3 = பதிவு 10 3

பெறப்பட்ட மாற்றங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அசல் சிக்கலை மீண்டும் எழுதுவோம்:

பதிவு (x - 3) = பதிவு 1000 + பதிவு 25
பதிவு (x - 3) = பதிவு 1000 25
பதிவு (x - 3) = பதிவு 25,000

எங்களுக்கு முன் மீண்டும் ஒரு நியதி வடிவம் உள்ளது, மேலும் உருமாற்ற நிலை வழியாக செல்லாமல் அதைப் பெற்றோம், அதாவது எளிமையான மடக்கைச் சமன்பாடு எங்கும் தோன்றவில்லை.

பாடத்தின் ஆரம்பத்திலேயே இதைத்தான் பேசினேன். பெரும்பாலான பள்ளி ஆசிரியர்கள் வழங்கும் நிலையான பள்ளி சூத்திரத்தை விட பரந்த அளவிலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க நியமன வடிவம் உங்களை அனுமதிக்கிறது.

சரி, அவ்வளவுதான், தசம மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து விடுபடுகிறோம், மேலும் எளிய நேரியல் கட்டுமானத்தைப் பெறுகிறோம்:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

அனைத்து! பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

நோக்கம் பற்றிய குறிப்பு

இங்கே நான் கொண்டு வர விரும்புகிறேன் முக்கியமான குறிப்புவரையறையின் நோக்கம் பற்றி. நிச்சயமாக இப்போது மாணவர்களும் ஆசிரியர்களும் இருப்பார்கள்: "நாம் மடக்கைகளுடன் வெளிப்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, f (x) வாதம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்!" இது சம்பந்தமாக, ஒரு தர்க்கரீதியான கேள்வி எழுகிறது: கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எந்தவொரு பிரச்சனையிலும் இந்த சமத்துவமின்மையை நாம் ஏன் தேவைப்படுத்தவில்லை?

கவலைப்படாதே. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், கூடுதல் வேர்கள் தோன்றாது. இது மற்றொரு சிறந்த தந்திரமாகும், இது தீர்வை விரைவுபடுத்த உங்களை அனுமதிக்கிறது. சிக்கலில் x மாறி ஒரே இடத்தில் மட்டுமே ஏற்பட்டால் (அல்லது மாறாக, ஒரு மடக்கையின் ஒரு ஒற்றை வாதத்தில்), வேறு எங்கும் நம் விஷயத்தில் மாறி x தோன்றவில்லை என்றால், வரையறையின் டொமைனை எழுதுங்கள். தேவை இல்லை, ஏனெனில் அது தானாகவே செயல்படுத்தப்படும்.

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்: முதல் சமன்பாட்டில் 3x - 1, அதாவது வாதம் 8 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். இது தானாகவே 3x − 1 பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும் என்று அர்த்தம்.

அதே வெற்றியுடன் நாம் இரண்டாவது வழக்கில் x 5 2 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்று எழுதலாம், அதாவது அது நிச்சயமாக பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும். மூன்றாவது வழக்கில், x + 3 = 25,000, அதாவது, மீண்டும், வெளிப்படையாக பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நோக்கம் தானாகவே திருப்தி அடைகிறது, ஆனால் ஒரே ஒரு மடக்கையின் வாதத்தில் மட்டுமே x ஏற்பட்டால் மட்டுமே.

எளிமையான பிரச்சனைகளை தீர்க்க நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது அவ்வளவுதான். இந்த விதி மட்டும், உருமாற்ற விதிகளுடன் சேர்ந்து, மிகவும் பரந்த அளவிலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும்.

ஆனால் நேர்மையாக இருக்கட்டும்: இந்த நுட்பத்தை இறுதியாக புரிந்து கொள்ள, மடக்கை சமன்பாட்டின் நியமன வடிவத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதை அறிய, ஒரு வீடியோ பாடத்தைப் பார்ப்பது மட்டும் போதாது. எனவே, இப்போதே, இந்த வீடியோ பாடத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ள சுயாதீன தீர்வுகளுக்கான விருப்பங்களைப் பதிவிறக்கி, இந்த இரண்டு சுயாதீனமான படைப்புகளில் ஒன்றையாவது தீர்க்கத் தொடங்குங்கள்.

இது உண்மையில் சில நிமிடங்கள் எடுக்கும். ஆனால் இந்த வீடியோ பாடத்தை நீங்கள் வெறுமனே பார்த்ததை விட இதுபோன்ற பயிற்சியின் விளைவு மிக அதிகமாக இருக்கும்.

மடக்கைச் சமன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்ள இந்தப் பாடம் உதவும் என்று நம்புகிறேன். நியமன படிவத்தைப் பயன்படுத்தவும், மடக்கைகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கவும் - மேலும் நீங்கள் எந்த பிரச்சனையும் பயப்பட மாட்டீர்கள். இன்றைக்கு என்னிடம் அவ்வளவுதான்.

வரையறையின் களத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

இப்போது மடக்கை செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தைப் பற்றி பேசலாம், மேலும் இது மடக்கை சமன்பாடுகளின் தீர்வை எவ்வாறு பாதிக்கிறது. படிவத்தின் கட்டுமானத்தைக் கவனியுங்கள்

பதிவு a f (x) = b

அத்தகைய வெளிப்பாடு எளிமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது - இது ஒரே ஒரு செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் a மற்றும் b எண்கள் வெறும் எண்கள், மற்றும் எந்த வகையிலும் x மாறியைப் பொறுத்தது. இது மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படும். நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

b = log a a b

இந்த சூத்திரம் மடக்கையின் முக்கிய பண்புகளில் ஒன்றாகும், மேலும் நமது அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றாக நாம் பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

இது ஒரு பழக்கமான சூத்திரம் பள்ளி பாடப்புத்தகங்கள். பல மாணவர்களுக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம்: அசல் வெளிப்பாட்டில் f (x) செயல்பாடு பதிவு அடையாளத்தின் கீழ் இருப்பதால், பின்வரும் கட்டுப்பாடுகள் அதற்கு விதிக்கப்பட்டுள்ளன:

f(x) > 0

மடக்கை என்பதால் இந்த வரம்பு பொருந்தும் எதிர்மறை எண்கள்இல்லை. எனவே, ஒருவேளை, இந்த வரம்பின் விளைவாக, பதில்களில் ஒரு சரிபார்ப்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட வேண்டுமா? ஒருவேளை அவை மூலத்தில் செருகப்பட வேண்டுமா?

இல்லை, எளிமையான மடக்கை சமன்பாடுகளில் கூடுதல் சரிபார்ப்பு தேவையற்றது. அதனால் தான். எங்கள் இறுதி சூத்திரத்தைப் பாருங்கள்:

f (x) = a b

உண்மை என்னவென்றால், a எண் எந்த வகையிலும் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும் - இந்த தேவை மடக்கையால் விதிக்கப்படுகிறது. எண் a என்பது அடிப்படை. இந்த வழக்கில், எண் b மீது எந்த கட்டுப்பாடுகளும் விதிக்கப்படவில்லை. ஆனால் இது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனென்றால் நாம் எந்த சக்திக்கு நேர்மறை எண்ணை உயர்த்தினாலும், வெளியீட்டில் நேர்மறை எண்ணைப் பெறுவோம். இதனால், தேவை f (x) > 0 தானாகவே பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது.

பதிவு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள செயல்பாட்டின் டொமைனைச் சரிபார்க்கத் தகுதியானது. மிகவும் சிக்கலான கட்டமைப்புகள் இருக்கலாம், மேலும் தீர்வு செயல்பாட்டின் போது நீங்கள் நிச்சயமாக அவற்றைக் கண்காணிக்க வேண்டும். பார்க்கலாம்.

முதல் பணி:

முதல் படி: வலதுபுறத்தில் உள்ள பகுதியை மாற்றவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

மடக்கை அடையாளத்திலிருந்து விடுபட்டு வழக்கமான பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பெறப்பட்ட வேர்களில், இரண்டாவது வேர் என்பதால் முதல் ஒன்று மட்டுமே நமக்குப் பொருந்தும் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக. ஒரே பதில் எண் 9. அவ்வளவுதான், பிரச்சனை தீர்ந்தது. மடக்கை குறியின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு 0 ஐ விட அதிகமாக உள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த கூடுதல் சோதனைகள் தேவையில்லை, ஏனெனில் அது 0 ஐ விட அதிகமாக இல்லை, ஆனால் சமன்பாட்டின் நிபந்தனையின் படி இது 2 க்கு சமம். எனவே, தேவை "பூஜ்ஜியத்தை விட பெரியது ” தானாகவே திருப்தி அடைகிறது.

இரண்டாவது பணிக்கு செல்லலாம்:

இங்கே எல்லாம் ஒன்றுதான். நாங்கள் கட்டுமானத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம், மூன்றை மாற்றுகிறோம்:

மடக்கை அறிகுறிகளை அகற்றி, பகுத்தறிவற்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

கட்டுப்பாடுகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு இருபுறமும் சதுரம் செய்து பெறுகிறோம்:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை பாகுபாடு மூலம் தீர்க்கிறோம்:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = −6

ஆனால் x = −6 நமக்குப் பொருந்தாது, ஏனெனில் இந்த எண்ணை நமது சமத்துவமின்மையில் மாற்றினால், நாம் பெறுவோம்:

−6 + 4 = −2 < 0

எங்கள் விஷயத்தில், அது 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் அல்லது தீவிர நிகழ்வுகளில் சமமாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் x = −1 நமக்கு பொருந்தும்:

−1 + 4 = 3 > 0

எங்கள் விஷயத்தில் ஒரே பதில் x = −1. அதுதான் தீர்வு. எங்கள் கணக்கீடுகளின் தொடக்கத்திற்குத் திரும்புவோம்.

எளிய மடக்கைச் சமன்பாடுகளில் ஒரு செயல்பாட்டின் கட்டுப்பாடுகளை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டியதில்லை என்பதே இந்தப் பாடத்திலிருந்து முக்கிய அம்சமாகும். ஏனெனில் தீர்வு செயல்பாட்டின் போது அனைத்து கட்டுப்பாடுகளும் தானாகவே திருப்தி அடையும்.

இருப்பினும், இது எந்த வகையிலும் சரிபார்ப்பதை நீங்கள் மறந்துவிட முடியாது என்று அர்த்தம். மடக்கை சமன்பாட்டில் பணிபுரியும் செயல்பாட்டில், இது ஒரு பகுத்தறிவற்ற ஒன்றாக மாறக்கூடும், இது வலது பக்கத்திற்கான அதன் சொந்த கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் தேவைகளைக் கொண்டிருக்கும், இன்று நாம் இரண்டு வெவ்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளில் பார்த்தோம்.

அத்தகைய பிரச்சனைகளை தீர்க்க தயங்காதீர்கள் மற்றும் வாதத்தில் ஒரு வேர் இருந்தால் குறிப்பாக கவனமாக இருங்கள்.

வெவ்வேறு தளங்களைக் கொண்ட மடக்கைச் சமன்பாடுகள்

மடக்கை சமன்பாடுகளை நாங்கள் தொடர்ந்து படித்து வருகிறோம், மேலும் சிக்கலான கட்டுமானங்களைத் தீர்ப்பது நாகரீகமான இரண்டு சுவாரஸ்யமான நுட்பங்களைப் பார்க்கிறோம். ஆனால் முதலில், எளிமையான சிக்கல்கள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்வோம்:

பதிவு a f (x) = b

இந்த உள்ளீட்டில், a மற்றும் b எண்கள், மற்றும் f (x) செயல்பாட்டில் x மாறி இருக்க வேண்டும், மேலும் அங்கு மட்டும், அதாவது x வாதத்தில் மட்டுமே இருக்க வேண்டும். அத்தகைய மடக்கை சமன்பாடுகளை நாம் நியமன வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி மாற்றுவோம். இதைச் செய்ய, கவனிக்கவும்

b = log a a b

மேலும், a b என்பது துல்லியமாக ஒரு வாதம். இந்த வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

log a f (x) = log a a b

இதைத்தான் நாம் அடைய முயற்சிக்கிறோம், இதனால் இடது மற்றும் வலது இரண்டையும் அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு மடக்கை உள்ளது. இந்த விஷயத்தில், அடையாளப்பூர்வமாகப் பேசினால், பதிவு அறிகுறிகளைக் கடக்கலாம், மேலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் நாம் வாதங்களை வெறுமனே சமன் செய்கிறோம் என்று கூறலாம்:

f (x) = a b

இதன் விளைவாக, தீர்க்க மிகவும் எளிதாக இருக்கும் ஒரு புதிய வெளிப்பாட்டைப் பெறுவோம். இந்த விதியை இன்று நம் பிரச்சனைகளுக்குப் பயன்படுத்துவோம்.

எனவே, முதல் வடிவமைப்பு:

முதலாவதாக, வலதுபுறத்தில் ஒரு பகுதி உள்ளது, அதன் வகுப்பின் பதிவு உள்ளது. இது போன்ற ஒரு வெளிப்பாட்டை நீங்கள் பார்க்கும்போது, மடக்கைகளின் அற்புதமான பண்புகளை நினைவில் கொள்வது நல்லது:

ரஷ்ய மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டால், எந்த மடக்கையும் எந்த அடிப்படை c உடன் இரண்டு மடக்கைகளின் பங்காகக் குறிப்பிடப்படலாம். நிச்சயமாக 0< с ≠ 1.

எனவே: இந்த சூத்திரத்தில் ஒரு அற்புதமான சிறப்பு வழக்கு உள்ளது, c மாறி மாறிக்கு சமமாக இருக்கும் போது பி. இந்த வழக்கில், நாம் ஒரு கட்டுமானத்தைப் பெறுகிறோம்:

நமது சமன்பாட்டில் வலதுபுறத்தில் உள்ள அடையாளத்திலிருந்து நாம் பார்க்கும் கட்டுமானம் இதுதான். இந்த கட்டுமானத்தை log a b உடன் மாற்றுவோம், நாம் பெறுவது:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அசல் பணியுடன் ஒப்பிடுகையில், நாங்கள் வாதத்தையும் மடக்கையின் தளத்தையும் மாற்றினோம். அதற்கு பதிலாக, நாம் பின்னத்தை மாற்ற வேண்டியிருந்தது.

பின்வரும் விதியின்படி எந்த பட்டமும் அடிப்படையிலிருந்து பெறப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்வோம்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அடித்தளத்தின் சக்தியாக இருக்கும் குணகம் k, ஒரு தலைகீழ் பின்னமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. அதை தலைகீழ் பின்னமாக வழங்குவோம்:

பகுதியளவு காரணியை முன்னால் விட முடியாது, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் இந்த குறியீட்டை ஒரு நியமன வடிவமாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாது (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நியமன வடிவத்தில் இரண்டாவது மடக்கைக்கு முன் கூடுதல் காரணி இல்லை). எனவே, வாதத்தில் 1/4 என்ற பின்னத்தை ஒரு சக்தியாகச் சேர்ப்போம்:

இப்போது நாம் வாதங்களை சமன் செய்கிறோம், அதன் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை (எங்கள் அடிப்படைகள் உண்மையில் ஒரே மாதிரியானவை), மேலும் எழுதவும்:

x + 5 = 1

x = -4

அவ்வளவுதான். முதல் மடக்கை சமன்பாட்டிற்கு விடை கிடைத்தது. தயவு செய்து கவனிக்கவும்: அசல் சிக்கலில், x மாறி ஒரே ஒரு பதிவில் மட்டுமே தோன்றும், அது அதன் வாதத்தில் தோன்றும். எனவே, டொமைனைச் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் நமது எண் x = -4 தான் பதில்.

இப்போது இரண்டாவது வெளிப்பாட்டிற்கு செல்லலாம்:

பதிவு 56 = பதிவு 2 பதிவு 2 7 - 3log (x + 4)

இங்கே, வழக்கமான மடக்கைகளுக்கு கூடுதலாக, நாம் log f (x) உடன் வேலை செய்ய வேண்டும். அத்தகைய சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது? ஒரு ஆயத்தமில்லாத மாணவருக்கு இது ஒருவித கடினமான பணியாகத் தோன்றலாம், ஆனால் உண்மையில் எல்லாவற்றையும் ஒரு அடிப்படை வழியில் தீர்க்க முடியும்.

lg 2 log 2 7 என்ற சொல்லை உற்றுப் பாருங்கள். அதைப் பற்றி நாம் என்ன சொல்ல முடியும்? log மற்றும் lg இன் அடிப்படைகள் மற்றும் வாதங்கள் ஒரே மாதிரியானவை, மேலும் இது சில யோசனைகளைக் கொடுக்க வேண்டும். மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து அதிகாரங்கள் எவ்வாறு எடுக்கப்படுகின்றன என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவு கூர்வோம்:

log a b n = nlog a b

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வாதத்தில் b இன் சக்தி என்னவாக இருந்தது என்பது பதிவுக்கு முன்னால் ஒரு காரணியாகிறது. இந்த சூத்திரத்தை lg 2 log 2 7 என்ற வெளிப்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்துவோம். lg 2 க்கு பயப்பட வேண்டாம் - இது மிகவும் பொதுவான வெளிப்பாடு. நீங்கள் அதை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

வேறு எந்த மடக்கைக்கும் பொருந்தும் அனைத்து விதிகளும் அதற்கு செல்லுபடியாகும். குறிப்பாக, முன் உள்ள காரணியை வாதத்தின் அளவுடன் சேர்க்கலாம். அதை எழுதுவோம்:

பெரும்பாலும், மாணவர்கள் இந்த செயலை நேரடியாகப் பார்ப்பதில்லை, ஏனென்றால் ஒரு பதிவை மற்றொரு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளிடுவது நல்லதல்ல. உண்மையில், இதில் குற்றம் எதுவும் இல்லை. மேலும், ஒரு முக்கியமான விதியை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தால் கணக்கிட எளிதான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

இந்த சூத்திரத்தை ஒரு வரையறையாகவும் அதன் பண்புகளில் ஒன்றாகவும் கருதலாம். எவ்வாறாயினும், நீங்கள் மடக்கை சமன்பாட்டை மாற்றினால், எந்த எண்ணின் பதிவு பிரதிநிதித்துவம் உங்களுக்குத் தெரியும் என்பதைப் போலவே இந்த சூத்திரத்தையும் நீங்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும்.

நம் பணிக்குத் திரும்புவோம். சம அடையாளத்தின் வலதுபுறத்தில் உள்ள முதல் சொல் எல்ஜி 7 க்கு சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையைக் கருத்தில் கொண்டு அதை மீண்டும் எழுதுகிறோம். எங்களிடம் உள்ளது:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

lg 7 ஐ இடது பக்கம் நகர்த்துவோம், நாம் பெறுகிறோம்:

lg 56 - பதிவு 7 = -3lg (x + 4)

இடதுபுறத்தில் உள்ள வெளிப்பாடுகளை நாங்கள் கழிக்கிறோம், ஏனெனில் அவை ஒரே அடித்தளத்தைக் கொண்டுள்ளன:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

இப்போது நாம் பெற்ற சமன்பாட்டைக் கூர்ந்து கவனிப்போம். இது நடைமுறையில் நியதி வடிவம், ஆனால் வலதுபுறத்தில் ஒரு காரணி -3 உள்ளது. அதை சரியான lg வாதத்தில் சேர்ப்போம்:

பதிவு 8 = பதிவு (x + 4) -3

மடக்கை சமன்பாட்டின் நியமன வடிவம் நமக்கு முன் உள்ளது, எனவே நாம் எல்ஜி அறிகுறிகளைக் கடந்து வாதங்களை சமன் செய்கிறோம்:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

அவ்வளவுதான்! இரண்டாவது மடக்கை சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்த்தோம். இந்த வழக்கில், கூடுதல் சரிபார்ப்புகள் தேவையில்லை, ஏனெனில் அசல் சிக்கலில் x ஒரே ஒரு வாதத்தில் மட்டுமே இருந்தது.

மீண்டும் பட்டியலிடுகிறேன் முக்கிய புள்ளிகள்இந்த பாடம்.

மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட இந்தப் பக்கத்தில் உள்ள அனைத்து பாடங்களிலும் கற்பிக்கப்படும் முக்கிய சூத்திரம் நியமன வடிவம் ஆகும். பெரும்பாலான பள்ளி பாடப்புத்தகங்கள் இதுபோன்ற பிரச்சினைகளை வித்தியாசமாக தீர்க்க கற்றுக்கொடுக்கின்றன என்ற உண்மையால் பயப்பட வேண்டாம். இந்த கருவி மிகவும் திறம்பட செயல்படுகிறது மற்றும் எங்கள் பாடத்தின் ஆரம்பத்தில் நாங்கள் படித்த எளியவற்றை விட மிகவும் பரந்த அளவிலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

கூடுதலாக, மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க அடிப்படை பண்புகளை அறிந்து கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். அதாவது:

ஒரு தளத்திற்கு நகர்த்துவதற்கான சூத்திரம் மற்றும் நாம் பதிவை மாற்றும் போது சிறப்பு வழக்கு (இது முதல் சிக்கலில் எங்களுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருந்தது);
மடக்கை அடையாளத்திலிருந்து அதிகாரங்களைக் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்குமான சூத்திரம். இங்கே, பல மாணவர்கள் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள், மேலும் பட்டம் எடுத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதில் பதிவு f (x) இருக்கக்கூடும் என்பதைக் காணவில்லை. அதில் தவறில்லை. ஒரு பதிவை மற்றொன்றின் அடையாளத்தின்படி நாம் அறிமுகப்படுத்தலாம், அதே நேரத்தில் சிக்கலின் தீர்வை கணிசமாக எளிதாக்கலாம், இது இரண்டாவது வழக்கில் நாம் கவனிக்கிறோம்.

முடிவில், இந்த ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் வரையறையின் டொமைனைச் சரிபார்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்று நான் சேர்க்க விரும்புகிறேன், ஏனென்றால் எல்லா இடங்களிலும் மாறி x பதிவின் ஒரு அடையாளத்தில் மட்டுமே உள்ளது, அதே நேரத்தில் அதன் வாதத்திலும் உள்ளது. இதன் விளைவாக, நோக்கத்தின் அனைத்து தேவைகளும் தானாகவே பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன.

மாறி அடிப்படை சிக்கல்கள்

இன்று நாம் மடக்கைச் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், இது பல மாணவர்களுக்குத் தரமற்றதாகத் தோன்றும், முற்றிலும் தீர்க்க முடியாதது. இது பற்றிஎண்களின் அடிப்படையில் அல்ல, மாறாக மாறிகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையிலான வெளிப்பாடுகள் பற்றி. அத்தகைய கட்டுமானங்களை எங்கள் நிலையான நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி, அதாவது நியமன வடிவம் மூலம் தீர்ப்போம்.

முதலில், சாதாரண எண்களின் அடிப்படையில் எளிமையான சிக்கல்கள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்வோம். எனவே, எளிமையான கட்டுமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது

பதிவு a f (x) = b

இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்க்க, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

b = log a a b

நாங்கள் எங்கள் அசல் வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:

log a f (x) = log a a b

பின்னர் நாம் வாதங்களை சமன் செய்கிறோம், அதாவது எழுதுகிறோம்:

f (x) = a b

இதனால், பதிவு அடையாளத்திலிருந்து விடுபட்டு வழக்கமான சிக்கலை தீர்க்கிறோம். இந்த வழக்கில், கரைசலில் இருந்து பெறப்பட்ட வேர்கள் அசல் மடக்கை சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும். கூடுதலாக, இடது மற்றும் வலது இரண்டும் ஒரே தளத்துடன் ஒரே மடக்கையில் இருக்கும்போது ஒரு பதிவு துல்லியமாக நியமன வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இன்றைய டிசைன்களைக் குறைக்க முயற்சிப்போம் அப்படிப்பட்ட பதிவு. எனவே, போகலாம்.

முதல் பணி:

பதிவு x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

பதிவு x - 2 (x - 2) 1 உடன் 1 ஐ மாற்றவும். வாதத்தில் நாம் கவனிக்கும் அளவு உண்மையில் சம அடையாளத்தின் வலதுபுறத்தில் நிற்கும் எண் b ஆகும். எனவே, எங்கள் வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதிவு x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = பதிவு x - 2 (x - 2)

நாம் என்ன பார்க்கிறோம்? மடக்கை சமன்பாட்டின் நியமன வடிவம் நமக்கு முன் உள்ளது, எனவே நாம் வாதங்களை பாதுகாப்பாக சமன் செய்யலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

ஆனால் தீர்வு அங்கு முடிவடையவில்லை, ஏனெனில் இந்த சமன்பாடு அசல் ஒன்றிற்கு சமமானதாக இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இதன் விளைவாக கட்டுமானமானது முழு எண் வரிசையில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் எங்கள் அசல் மடக்கைகள் எல்லா இடங்களிலும் வரையறுக்கப்படவில்லை, எப்போதும் இல்லை.

எனவே, வரையறையின் களத்தை நாம் தனித்தனியாக எழுத வேண்டும். முடிகளை பிரிக்க வேண்டாம், முதலில் அனைத்து தேவைகளையும் எழுதுங்கள்:

முதலில், ஒவ்வொரு மடக்கையின் வாதமும் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

இரண்டாவதாக, அடிப்படை 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் 1 இலிருந்து வேறுபட்டது:

x - 2 ≠ 1

இதன் விளைவாக, நாங்கள் கணினியைப் பெறுகிறோம்:

ஆனால் பயப்பட வேண்டாம்: மடக்கை சமன்பாடுகளை செயலாக்கும் போது, அத்தகைய அமைப்பு கணிசமாக எளிமைப்படுத்தப்படலாம்.

நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும்: ஒருபுறம், இருபடிச் செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், மறுபுறம், இந்த இருபடிச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட நேரியல் வெளிப்பாட்டிற்கு சமம், இது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

இந்த நிலையில், நமக்கு x - 2 > 0 தேவை எனில், 2x 2 - 13x + 18 > 0 ஆனது தானாகவே திருப்தி அடையும், எனவே, இருபடிச் செயல்பாட்டைக் கொண்ட சமத்துவமின்மையை நாம் பாதுகாப்பாகக் கடக்க முடியும். இதனால், எங்கள் அமைப்பில் உள்ள வெளிப்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மூன்றாகக் குறைக்கப்படும்.

நிச்சயமாக, நாமும் கடந்து செல்ல முடியும் நேரியல் சமத்துவமின்மை, அதாவது, x - 2 > 0 ஐக் கடந்து 2x 2 - 13x + 18 > 0 எனக் கோரவும். ஆனால், எளிமையான நேரியல் சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது இருபடியை விட மிக வேகமாகவும் எளிதாகவும் இருக்கும் என்பதை நீங்கள் ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும். இந்த அமைப்பு அதே வேர்களைப் பெறுவோம்.

பொதுவாக, முடிந்தவரை கணக்கீடுகளை மேம்படுத்த முயற்சிக்கவும். மடக்கை சமன்பாடுகளின் விஷயத்தில், மிகவும் கடினமான ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் கடக்கவும்.

நமது கணினியை மீண்டும் எழுதுவோம்:

இங்கே மூன்று வெளிப்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது, அவற்றில் இரண்டு, உண்மையில், நாங்கள் ஏற்கனவே கையாண்டுள்ளோம். இருபடி சமன்பாட்டை தனித்தனியாக எழுதி அதைத் தீர்ப்போம்:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

நமக்கு முன் வழங்கப்பட்டது இருபடி முக்கோணம்எனவே, நாம் வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

இப்போது நாங்கள் எங்கள் கணினிக்குத் திரும்பி, x = 2 நமக்குப் பொருந்தாது என்பதைக் காண்கிறோம், ஏனெனில் x கண்டிப்பாக 2 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

ஆனால் x = 5 நமக்கு மிகவும் பொருத்தமானது: எண் 5 2 ஐ விட பெரியது, அதே நேரத்தில் 5 3 க்கு சமமாக இல்லை. எனவே, ஒரே தீர்வுஇந்த அமைப்பின் x = 5 ஆக இருக்கும்.

அவ்வளவுதான், ODZ ஐ கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது உட்பட சிக்கல் தீர்க்கப்படுகிறது. இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம். மேலும் சுவாரஸ்யமான மற்றும் தகவல் தரும் கணக்கீடுகள் இங்கே எங்களுக்கு காத்திருக்கின்றன:

முதல் படி: கடந்த முறை போலவே, இந்த முழு விஷயத்தையும் நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம். இதைச் செய்ய, எண் 9 ஐ பின்வருமாறு எழுதலாம்:

நீங்கள் வேருடன் அடித்தளத்தைத் தொட வேண்டியதில்லை, ஆனால் வாதத்தை மாற்றுவது நல்லது. பகுத்தறிவு அடுக்குடன் மூலத்திலிருந்து சக்திக்கு மாறுவோம். எழுதுவோம்:

எங்கள் முழு பெரிய மடக்கை சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுத வேண்டாம், ஆனால் உடனடியாக வாதங்களை சமன் செய்க:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

நமக்கு முன் புதிதாக குறைக்கப்பட்ட இருபடி முக்கோணம், வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எழுதுவோம்:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

எனவே, எங்களுக்கு வேர்கள் கிடைத்தன, ஆனால் அவை அசல் மடக்கை சமன்பாட்டிற்கு பொருந்தும் என்று யாரும் எங்களுக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கவில்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பதிவு அறிகுறிகள் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கின்றன (இங்கே நாம் கணினியை எழுதியிருக்க வேண்டும், ஆனால் முழு கட்டமைப்பின் சிக்கலான தன்மை காரணமாக, வரையறையின் டொமைனை தனித்தனியாக கணக்கிட முடிவு செய்தேன்).

முதலில், வாதங்கள் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அதாவது:

இவை வரையறையின் நோக்கத்தால் விதிக்கப்பட்ட தேவைகள்.

கணினியின் முதல் இரண்டு வெளிப்பாடுகளை ஒருவருக்கொருவர் சமன் செய்வதால், அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றை நாம் கடக்க முடியும் என்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம். முதல் ஒன்றைக் கடந்து விடுவோம், ஏனெனில் இது இரண்டாவது ஒன்றை விட அச்சுறுத்தலாகத் தெரிகிறது.

கூடுதலாக, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான தீர்வு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க (சில எண்ணின் கனசதுரம் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும், இந்த எண் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால்; இதேபோல், மூன்றாம் பட்டத்தின் மூலத்துடன் - இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகள் முற்றிலும் ஒத்தவை, எனவே நாம் அதை கடக்க முடியும்).

ஆனால் மூன்றாவது சமத்துவமின்மையால் இது வேலை செய்யாது. இரண்டு பகுதிகளையும் ஒரு கனசதுரமாக உயர்த்துவதன் மூலம் இடதுபுறத்தில் உள்ள தீவிர அடையாளத்தை அகற்றுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே பின்வரும் தேவைகளைப் பெறுகிறோம்:

− 2 ≠ x > −3

எங்கள் வேர்களில் எது: x 1 = -3 அல்லது x 2 = -1 இந்தத் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்கிறது? வெளிப்படையாக, x = −1 மட்டுமே, ஏனெனில் x = -3 முதல் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யாது (எங்கள் சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால்). எனவே, எங்கள் சிக்கலுக்குத் திரும்பும்போது, ஒரு ரூட் கிடைக்கும்: x = -1. அவ்வளவுதான், பிரச்சனை தீர்ந்தது.

மீண்டும், இந்த பணியின் முக்கிய புள்ளிகள்:

நியமன வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி மடக்கைச் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தவும் தீர்க்கவும் தயங்க வேண்டாம். அத்தகைய குறிப்பை உருவாக்கும் மாணவர்கள், அசல் சிக்கலில் இருந்து நேரடியாக log a f (x) = b போன்ற கட்டுமானத்திற்குச் செல்வதை விட, கணக்கீடுகளின் இடைநிலைப் படிகளைத் தவிர்த்து, எங்காவது விரைந்து செல்வதை விட மிகக் குறைவான பிழைகளையே செய்கிறார்கள்;
மடக்கையில் ஒரு மாறி அடிப்படை தோன்றியவுடன், சிக்கல் எளிமையானதாக இருக்காது. எனவே, அதைத் தீர்க்கும் போது, வரையறையின் களத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம்: வாதங்கள் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், மேலும் அடிப்படைகள் 0 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் அவை 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது.

இறுதித் தேவைகள் வெவ்வேறு வழிகளில் இறுதிப் பதில்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வரையறையின் டொமைனுக்கான அனைத்து தேவைகளையும் கொண்ட ஒரு முழு அமைப்பையும் நீங்கள் தீர்க்கலாம். மறுபுறம், நீங்கள் முதலில் சிக்கலைத் தீர்க்கலாம், பின்னர் வரையறையின் டொமைனை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம், தனித்தனியாக ஒரு அமைப்பின் வடிவத்தில் அதைச் செய்து, பெறப்பட்ட வேர்களுக்குப் பயன்படுத்துங்கள்.

ஒரு குறிப்பிட்ட மடக்கைச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது எந்த முறையைத் தேர்ந்தெடுப்பது என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். எப்படியிருந்தாலும், பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

பட்டங்களை எடுப்பது

வரையறை மற்றும் கூடுதல் வேர்களின் டொமைனை விரிவுபடுத்துதல்

சமன்பாட்டில் உள்ள சக்திகள் பற்றி மீண்டும் ஒருமுறை

மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

மடக்கை சூத்திரங்கள். மடக்கை எடுத்துக்காட்டுகள் தீர்வுகள்.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளின் பொதுவான வழக்குகள்

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

மடக்கை மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்

மடக்கைகள். முதல் நிலை.

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

மடக்கையிலிருந்து அடுக்குகளை பிரித்தெடுத்தல்

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

அடிப்படை தீர்வு முறைகள்

தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இரண்டாவது பணி

மூன்றாவது உதாரணம்

நோக்கம் பற்றிய குறிப்பு

வரையறையின் களத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

வெவ்வேறு தளங்களைக் கொண்ட மடக்கைச் சமன்பாடுகள்

மாறி அடிப்படை சிக்கல்கள்

ஆசிரியர் தேர்வு