மடக்கைகளை குறைக்க முடியுமா? மடக்கையின் வரையறை, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் கோரிக்கையைச் சமர்ப்பிக்கும்போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• எங்களால் சேகரிக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட தகவல்உங்களைத் தொடர்பு கொள்ளவும், உங்களுக்குத் தெரிவிக்கவும் எங்களை அனுமதிக்கிறது தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகள்.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால், சட்டத்தின்படி, நீதி நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பில் உள்ள அரசு நிறுவனங்களின் கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

அதன் வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு. அதனால் எண்ணின் மடக்கை பிஅடிப்படையில் ஏஒரு எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய அடுக்கு என வரையறுக்கப்படுகிறது அஎண் பெற பி(மொகரிதம் நேர்மறை எண்களுக்கு மட்டுமே உள்ளது).

இந்த சூத்திரத்திலிருந்து கணக்கீடு பின்வருமாறு x=log a b, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்குச் சமம் a x =b.உதாரணத்திற்கு, பதிவு 2 8 = 3ஏனெனில் 8 = 2 3 . மடக்கையின் உருவாக்கம் அதை நியாயப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறது b=a c, பின்னர் எண்ணின் மடக்கை பிஅடிப்படையில் அசமம் உடன். மடக்கைகளின் தலைப்பு ஒரு எண்ணின் சக்திகள் என்ற தலைப்புடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது என்பதும் தெளிவாகிறது.

மடக்கைகளுடன், எந்த எண்களைப் போலவே, நீங்கள் செய்யலாம் கூட்டல், கழித்தல் செயல்பாடுகள்மற்றும் சாத்தியமான எல்லா வழிகளிலும் மாற்றவும். ஆனால் மடக்கைகள் முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் அல்ல என்ற உண்மையின் காரணமாக, அவற்றின் சொந்த சிறப்பு விதிகள் இங்கே பொருந்தும், அவை அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய பண்புகள்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்.

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளை எடுத்துக் கொள்வோம்: ஒரு x பதிவுமற்றும் பதிவு a y. பின்னர் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளைச் செய்ய முடியும்:

பதிவு a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

பதிவு a(எக்ஸ் 1 . எக்ஸ் 2 . எக்ஸ் 3 ... x கே) = ஒரு x பதிவு 1 + ஒரு x பதிவு 2 + ஒரு x பதிவு 3 + ... + பதிவு a x k.

இருந்து மடக்கை அளவுகோல் தேற்றம்மடக்கையின் மேலும் ஒரு சொத்தை பெறலாம். பதிவு செய்வது பொது அறிவு அ 1= 0, எனவே

பதிவு அ 1 /பி=பதிவு அ 1 - பதிவு ஒரு b= - பதிவு ஒரு b.

இதன் பொருள் சமத்துவம் உள்ளது:

log a 1 / b = - log a b.

இரண்டு பரஸ்பர எண்களின் மடக்கைகள்அதே காரணத்திற்காக, அடையாளத்தால் மட்டுமே ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடும். அதனால்:

பதிவு 3 9= - பதிவு 3 1 / 9 ; பதிவு 5 1 / 125 = -log 5 125.

a (a>0, a என்பது 1க்கு சமமாக இல்லை) நேர்மறை எண்ணின் மடக்கை ஒரு c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

நேர்மறை எண்ணின் மடக்கை வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். கூடுதலாக, மடக்கையின் அடிப்படை இருக்க வேண்டும் நேர்மறை எண், 1 க்கு சமமாக இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, நாம் சதுரம் -2 எனில், நாம் எண் 4 ஐப் பெறுகிறோம், ஆனால் இது 4 இன் அடிப்படை -2 க்கான மடக்கை 2 க்கு சமம் என்று அர்த்தமல்ல.

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

இந்த சூத்திரத்தின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களின் வரையறையின் நோக்கம் வேறுபட்டது என்பது முக்கியம். இடது பக்கம் b>0, a>0 மற்றும் a ≠ 1 க்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. வலது பக்கம் எந்த b க்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் a ஐ சார்ந்து இருக்காது. எனவே, சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது அடிப்படை மடக்கை "அடையாளம்" பயன்பாடு OD இல் மாற்றத்திற்கு வழிவகுக்கும்.

மடக்கையின் வரையறையின் இரண்டு வெளிப்படையான விளைவுகள்

உண்மையில், எண்ணை முதல் சக்தியாக உயர்த்தும்போது, ​​அதே எண்ணைப் பெறுகிறோம், அதை பூஜ்ஜிய சக்திக்கு உயர்த்தும்போது, ​​​​ஒன்று கிடைக்கும்.

பொருளின் மடக்கை மற்றும் விகுதியின் மடக்கை

பதிவு a b c = log a b - log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

தீர்க்கும் போது இந்த சூத்திரங்களை சிந்திக்காமல் பயன்படுத்துவதற்கு எதிராக பள்ளி மாணவர்களை எச்சரிக்க விரும்புகிறேன் மடக்கை சமன்பாடுகள்மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். "இடமிருந்து வலமாக" அவற்றைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​ODZ சுருங்குகிறது, மேலும் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிலிருந்து தயாரிப்பு அல்லது பகுதியின் மடக்கைக்கு நகரும் போது, ​​ODZ விரிவடைகிறது.

உண்மையில், வெளிப்பாடு பதிவு a (f (x) g (x)) இரண்டு நிகழ்வுகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது: இரண்டு செயல்பாடுகளும் கண்டிப்பாக நேர்மறையாக இருக்கும் போது அல்லது f(x) மற்றும் g(x) இரண்டும் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும் போது.

இந்த வெளிப்பாட்டை சம் லாக் a f (x) + log a g (x) ஆக மாற்றினால், f(x)>0 மற்றும் g(x)>0 என்ற விஷயத்தில் மட்டுமே நம்மை கட்டுப்படுத்திக் கொள்ள வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருக்கிறோம். ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பில் சுருக்கம் உள்ளது, மேலும் இது திட்டவட்டமாக ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது, ஏனெனில் இது தீர்வுகளை இழக்க வழிவகுக்கும். சூத்திரம் (6) க்கும் இதே போன்ற சிக்கல் உள்ளது.

மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து பட்டம் எடுக்கப்படலாம்

மீண்டும் நான் துல்லியத்திற்காக அழைக்க விரும்புகிறேன். பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்:

பதிவு a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

சமத்துவத்தின் இடது பக்கம் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர f(x) இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் தெளிவாக வரையறுக்கப்படுகிறது. வலது பக்கம் f(x)>0க்கு மட்டுமே! மடக்கைக்கு வெளியே பட்டம் எடுப்பதன் மூலம், மீண்டும் ODZ ஐ சுருக்குகிறோம். தலைகீழ் செயல்முறை ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பின் விரிவாக்கத்திற்கு வழிவகுக்கிறது. இந்த கருத்துக்கள் அனைத்தும் அதிகாரம் 2 க்கு மட்டுமல்ல, எந்த சம சக்திக்கும் பொருந்தும்.

புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரம்

உருமாற்றத்தின் போது ODZ மாறாத அரிதான நிகழ்வு. நீங்கள் அடிப்படை c ஐ புத்திசாலித்தனமாக தேர்வு செய்திருந்தால் (நேர்மறை மற்றும் 1 க்கு சமமாக இல்லை), புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரம் முற்றிலும் பாதுகாப்பானது.

புதிய அடிப்படை c ஆக b எண்ணைத் தேர்வுசெய்தால், நமக்கு முக்கியமான ஒன்று கிடைக்கும் சிறப்பு வழக்குசூத்திரங்கள் (8):

பதிவு a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

மடக்கைகளுடன் கூடிய சில எளிய எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. கணக்கிடவும்: log2 + log50.
தீர்வு. log2 + log50 = log100 = 2. மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை (5) மற்றும் தசம மடக்கையின் வரையறையைப் பயன்படுத்தினோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2. கணக்கிடவும்: lg125/lg5.
தீர்வு. log125/log5 = பதிவு 5 125 = 3. புதிய தளத்திற்கு (8) நகர்த்துவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம்.

மடக்கைகள் தொடர்பான சூத்திரங்களின் அட்டவணை

274. குறிப்புகள்.

A)நீங்கள் மதிப்பீடு செய்ய விரும்பும் வெளிப்பாடு இருந்தால் தொகைஅல்லது வேறுபாடுஎண்கள், பின்னர் அவை அட்டவணைகளின் உதவியின்றி கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும் சாதாரண கூடுதலாகஅல்லது கழித்தல் மூலம். உதாரணத்திற்கு:

பதிவு (35 +7.24) 5 = 5 பதிவு (35 + 7.24) = 5 பதிவு 42.24.

b)மடக்கை வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு செய்வது என்பதை அறிந்தால், கொடுக்கப்பட்ட மடக்கை முடிவைப் பயன்படுத்தி, இந்த முடிவு பெறப்பட்ட வெளிப்பாட்டைக் கண்டறியலாம்; அப்படியென்றால்

பதிவு எக்ஸ்=பதிவு அ+பதிவு பி- 3 பதிவு உடன்,

பின்னர் புரிந்துகொள்வது எளிது

V)மடக்கை அட்டவணைகளின் கட்டமைப்பைக் கருத்தில் கொள்வதற்கு முன், சில பண்புகளைக் குறிப்பிடுவோம் தசம மடக்கைகள், அதாவது எண் 10 அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டவை (அத்தகைய மடக்கைகள் மட்டுமே கணக்கீடுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன).

அத்தியாயம் இரண்டு.

தசம மடக்கைகளின் பண்புகள்.

275 . ஏ) 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, முதலியன, பின்னர் பதிவு 10 = 1, பதிவு 100 = 2, பதிவு 1000 = 3, பதிவு 10000 = 4, மற்றும் பல.

பொருள் ஒன்று மற்றும் பூஜ்ஜியங்களால் குறிக்கப்படும் ஒரு முழு எண்ணின் மடக்கை என்பது எண்ணின் பிரதிநிதித்துவத்தில் பூஜ்ஜியங்கள் உள்ள பலவற்றைக் கொண்ட நேர்மறை முழு எண் ஆகும்.

இதனால்: பதிவு 100,000 = 5, பதிவு 1000 000 = 6 , முதலியன

பி) ஏனெனில்

பதிவு 0.1 = -l; பதிவு 0.01 = - 2; பதிவு 0.001 == -3; பதிவு 0.0001 = - 4,முதலியன

பொருள் மடக்கை தசம, முந்தைய பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட ஒரு அலகால் குறிப்பிடப்படுகிறது, இது 0 முழு எண்கள் உட்பட பின்னத்தின் பிரதிநிதித்துவத்தில் பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளதைப் போலவே எதிர்மறையான முழு எண்ணையும் கொண்டுள்ளது.

இதனால்: பதிவு 0.00001= - 5, பதிவு 0.000001 = -6,முதலியன

V)உதாரணமாக, ஒன்று மற்றும் பூஜ்ஜியங்களால் குறிப்பிடப்படாத ஒரு முழு எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம். 35, அல்லது ஒரு பின்னம் கொண்ட முழு எண், எடுத்துக்காட்டாக. 10.7. அத்தகைய எண்ணின் மடக்கை முழு எண்ணாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் 10 ஐ முழு எண் அடுக்கு (நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை) கொண்ட சக்தியாக உயர்த்தினால், பூஜ்ஜியங்களுடன் 1 ஐப் பெறுகிறோம் (1ஐத் தொடர்ந்து அல்லது அதற்கு முந்தையது). அத்தகைய எண்ணின் மடக்கை சில பின்னம் என்று இப்போது வைத்துக்கொள்வோம் அ / பி . அப்போது நமக்கு சமத்துவம் கிடைக்கும்

ஆனால் இந்த சமத்துவங்கள் சாத்தியமற்றது 10ஏ பூஜ்ஜியங்களுடன் 1வி உள்ளன, அதேசமயம் டிகிரி 35பி மற்றும் 10,7பி எந்த அளவிலும் பி 1 ஐத் தொடர்ந்து பூஜ்ஜியங்களைக் கொடுக்க முடியாது. நாம் அனுமதிக்க முடியாது என்பதே இதன் பொருள் பதிவு 35மற்றும் பதிவு 10.7பின்னங்களுக்கு சமமாக இருந்தன. ஆனால் பண்புகளில் இருந்து மடக்கை செயல்பாடுநாம் அறிவோம் () ஒவ்வொரு நேர்மறை எண்ணிற்கும் ஒரு மடக்கை உள்ளது; இதன் விளைவாக, 35 மற்றும் 10.7 எண்கள் ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த மடக்கையைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இது ஒரு முழு எண் அல்லது பின்ன எண்களாக இருக்க முடியாது என்பதால், இது ஒரு விகிதமுறா எண்ணாகும், எனவே, எண்கள் மூலம் சரியாக வெளிப்படுத்த முடியாது. பகுத்தறிவற்ற மடக்கைகள் பொதுவாக பல தசம இடங்களுடன் ஒரு தசம பின்னமாக வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த பின்னத்தின் முழு எண் (அது "0 முழு எண்களாக இருந்தாலும்") அழைக்கப்படுகிறது பண்பு, மற்றும் பகுதியளவு பகுதி மடக்கையின் மாண்டிசா ஆகும். உதாரணமாக, ஒரு மடக்கை இருந்தால் 1,5441 , பின்னர் அதன் பண்பு சமம் 1 , மற்றும் மாண்டிசா உள்ளது 0,5441 .

ஜி)உதாரணமாக, சில முழு எண் அல்லது கலப்பு எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம். 623 அல்லது 623,57 . அத்தகைய எண்ணின் மடக்கை ஒரு குணாதிசயம் மற்றும் ஒரு மாண்டிசா ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. தசம மடக்கைகள் அந்த வசதியைக் கொண்டுள்ளன என்று மாறிவிடும் அவற்றின் குணாதிசயங்களை நாம் எப்போதும் ஒரு வகை எண் மூலம் கண்டறியலாம் . இதைச் செய்ய, கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணில் எத்தனை இலக்கங்கள் உள்ளன, அல்லது இந்த இலக்கங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒரு கலப்பு எண்ணின் முழுப் பகுதியில் உள்ளன 3 . எனவே, எண்கள் ஒவ்வொன்றும் 623 மற்றும் 623,57 100க்கு மேல் ஆனால் 1000க்கும் குறைவானது; இதன் பொருள் அவை ஒவ்வொன்றின் மடக்கை அதிகமாக உள்ளது பதிவு 100, அதாவது மேலும் 2 , ஆனால் குறைவாக பதிவு 1000, அதாவது குறைவாக 3 (பெரிய எண்ணிலும் பெரிய மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்). எனவே, பதிவு 623 = 2,..., மற்றும் பதிவு 623.57 = 2,... (புள்ளிகள் தெரியாத மன்டிசாக்களுக்கு பதிலாக).

இதைப் போலவே நாம் காண்கிறோம்:

பொதுவாக கொடுக்கப்பட்ட முழு எண் எண் அல்லது கொடுக்கப்பட்ட கலப்பு எண்ணின் முழு எண் பகுதியாக இருக்கட்டும் மீ எண்கள் சிறிய முழு எண் கொண்டதால் மீ எண்கள், ஆம் 1 உடன் மீ - 1 இறுதியில் பூஜ்ஜியங்கள், பின்னர் (இந்த எண்ணைக் குறிக்கும் என்) நாம் ஏற்றத்தாழ்வுகளை எழுதலாம்:

எனவே

மீ - 1 < log N < மீ ,

பதிவு N = ( மீ- 1) + நேர்மறை பின்னம்.

எனவே பண்பு logN = மீ - 1 .

என்பதை இந்த வழியில் பார்க்கிறோம் ஒரு முழு எண் அல்லது கலப்பு எண்ணின் மடக்கையின் குணாதிசயமானது எண்ணின் முழு எண் பகுதியிலுள்ள எண்கள் ஒன்றைக் கழித்தல் போன்ற பல நேர்மறை அலகுகளைக் கொண்டுள்ளது.

இதைக் கவனித்த பிறகு, நாம் நேரடியாக எழுதலாம்:

பதிவு 7.205 = 0,...; பதிவு 83 = 1,...; பதிவு 720.4 = 2,...மற்றும் பல.

இ)பல தசம பின்னங்களை சிறியதாக எடுத்துக் கொள்வோம் 1 (அதாவது இருப்பது 0 முழு): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, மற்றும் பல.

இவ்வாறு, இந்த மடக்கைகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு அலகால் வேறுபடும் இரண்டு எதிர்மறை முழு எண்களுக்கு இடையில் உள்ளன; எனவே அவை ஒவ்வொன்றும் சில நேர்மறை பின்னத்தால் அதிகரிக்கப்பட்ட இந்த எதிர்மறை எண்களில் சிறியதாக இருக்கும். உதாரணத்திற்கு, log0.0056= -3 + நேர்மறை பின்னம். இந்த பின்னம் 0.7482 என்று வைத்துக் கொள்வோம். பின்னர் இதன் பொருள்:

பதிவு 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518).

போன்ற தொகைகள் - 3 + 0,7482 , எதிர்மறை முழு எண் மற்றும் நேர்மறை தசமப் பகுதியைக் கொண்ட, மடக்கைக் கணக்கீடுகளில் பின்வருமாறு சுருக்கமாக எழுத ஒப்புக்கொண்டோம்: 3 ,7482 (இந்த எண் கூறுகிறது: 3 கழித்தல், 7482 பத்தாயிரத்தில் ஒரு பங்கு.), அதாவது, இந்த குணாதிசயத்துடன் மட்டுமே தொடர்புடையது என்பதைக் காட்டுவதற்காக அவர்கள் குணாதிசயத்தின் மீது ஒரு கழித்தல் அடையாளத்தை வைத்துள்ளனர், மேலும் இது நேர்மறையாக இருக்கும் மாண்டிசாவுடன் அல்ல. எனவே, மேலே உள்ள அட்டவணையில் இருந்து அது தெளிவாகிறது

பதிவு 0.35 == 1 ,....; பதிவு 0.07 = 2,....; பதிவு 0.0008 = 4 ,....

விடுங்கள் . ஒரு தசம பின்னம் உள்ளது, அதில் முதல் முன் குறிப்பிடத்தக்க உருவம் α செலவுகள் மீ பூஜ்ஜியங்கள், 0 முழு எண்கள் உட்பட. அப்போதுதான் தெரியும்

- மீ < log A < - (மீ- 1).

இரண்டு முழு எண்களிலிருந்து:- மீ மற்றும் - (மீ- 1) குறைவாக உள்ளது - மீ , அந்த

பதிவு A = - மீ+ நேர்மறை பின்னம்,

எனவே பண்பு பதிவு A = - மீ (ஒரு நேர்மறை மாண்டிசாவுடன்).

இதனால், 1 க்கும் குறைவான தசம பின்னத்தின் மடக்கையின் சிறப்பியல்பு, பூஜ்ஜிய முழு எண்கள் உட்பட, முதல் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கத்திற்கு முன் தசம பின்னத்தின் படத்தில் பூஜ்ஜியங்கள் இருப்பதால் பல எதிர்மறையானவைகள் உள்ளன; அத்தகைய மடக்கையின் மாண்டிசா நேர்மறையானது.

இ)சில எண்ணை பெருக்குவோம் என்(முழு எண் அல்லது பின்னம் - அது முக்கியமில்லை) 10 ஆல், 100 ஆல் 1000..., பொதுவாக பூஜ்ஜியங்களுடன் 1 ஆல். இது எப்படி மாறுகிறது என்று பார்ப்போம் பதிவு என். தயாரிப்பின் மடக்கை என்பதால் தொகைக்கு சமம்காரணிகளின் மடக்கைகள், பின்னர்

பதிவு (N 10) = பதிவு N + பதிவு 10 = பதிவு N + 1;

பதிவு (N 100) = பதிவு N + பதிவு 100 = பதிவு N + 2;

பதிவு(N 1000) = பதிவு N + பதிவு 1000 = பதிவு N + 3;முதலியன

எப்போது பதிவு என்நாம் சில முழு எண்ணைச் சேர்க்கிறோம், பின்னர் இந்த எண்ணை எப்போதும் குணாதிசயத்தில் சேர்க்கலாம், மாண்டிசாவில் அல்ல.

எனவே, பதிவு N = 2.7804 என்றால், 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801, முதலியன;

அல்லது பதிவு N = 3.5649 என்றால், 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, முதலியன.

ஒரு எண்ணை 10, 100, 1000,..., பொதுவாக பூஜ்ஜியங்களுடன் 1 ஆல் பெருக்கும்போது, ​​மடக்கையின் மாண்டிசா மாறாது, மேலும் காரணியில் பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளதைப் போல பண்பு பல அலகுகளால் அதிகரிக்கிறது. .

இதேபோல், வகுக்கும் மடக்கை இல்லாமல் ஈவுத்தொகையின் மடக்கைக்கு சமம் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பெறுகிறோம்:

பதிவு N / 10 = பதிவு N- பதிவு 10 = பதிவு N -1;

பதிவு N / 100 = பதிவு N- பதிவு 100 = பதிவு N -2;

பதிவு N / 1000 = பதிவு N- பதிவு 1000 = பதிவு N -3;மற்றும் பல.

மடக்கையிலிருந்து ஒரு முழு எண்ணைக் கழிக்கும்போது, ​​இந்த முழு எண்ணை எப்போதும் குணாதிசயத்திலிருந்து கழித்து, மாண்டிசாவை மாறாமல் விட்டுவிட நாம் ஒப்புக்கொண்டால், பின் நாம் கூறலாம்:

பூஜ்ஜியங்களுடன் ஒரு எண்ணை 1 ஆல் வகுத்தால் மடக்கையின் மாண்டிசா மாறாது, ஆனால் வகுப்பியில் பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளதைப் போல குணாதிசயம் பல அலகுகளால் குறைகிறது.

276. விளைவுகள்.சொத்திலிருந்து ( இ) பின்வரும் இரண்டு தொடர்புகளைக் கழிக்க முடியும்:

A) தசம எண்ணின் மடக்கை ஒரு தசம புள்ளிக்கு நகர்த்தப்படும் போது மாறாது , ஒரு தசம புள்ளியை நகர்த்துவது 10, 100, 1000, போன்றவற்றால் பெருக்க அல்லது வகுப்பதற்குச் சமம். இவ்வாறு, எண்களின் மடக்கைகள்:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

குணாதிசயங்களில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன, ஆனால் மாண்டிசாக்களில் இல்லை (அனைத்து மாண்டிசாக்களும் நேர்மறையாக இருந்தால்).

b) ஒரே குறிப்பிடத்தக்க பகுதியைக் கொண்ட, ஆனால் பூஜ்ஜியங்களை முடிப்பதன் மூலம் மட்டுமே வேறுபடும் எண்களின் மாண்டிசாக்கள் ஒரே மாதிரியானவை: எனவே, எண்களின் மடக்கைகள்: 23, 230, 2300, 23,000 பண்புகளில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன.

கருத்து. தசம மடக்கைகளின் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பண்புகளிலிருந்து, அட்டவணைகளின் உதவியின்றி ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு தசமப் பகுதியின் மடக்கையின் பண்புகளை நாம் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பது தெளிவாகிறது (இது தசம மடக்கைகளின் சிறந்த வசதி); இதன் விளைவாக, மடக்கை அட்டவணையில் ஒரே ஒரு மாண்டிசா மட்டுமே வைக்கப்பட்டுள்ளது; கூடுதலாக, பின்னங்களின் மடக்கைகளைக் கண்டறிவது முழு எண்களின் மடக்கைகளைக் கண்டறிவதாகக் குறைக்கப்படுவதால் (ஒரு பின்னத்தின் மடக்கை = வகுப்பின் மடக்கை இல்லாமல் எண்ணின் மடக்கை), முழு எண்களின் மடக்கைகளின் மாண்டிசாக்கள் அட்டவணையில் வைக்கப்பட்டுள்ளன.

அத்தியாயம் மூன்று.

நான்கு இலக்க அட்டவணைகளின் வடிவமைப்பு மற்றும் பயன்பாடு.

277. மடக்கைகளின் அமைப்புகள்.மடக்கைகளின் அமைப்பு என்பது ஒரே அடித்தளத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான முழு எண்களுக்குக் கணக்கிடப்படும் மடக்கைகளின் தொகுப்பாகும். இரண்டு அமைப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: சாதாரண அல்லது தசம மடக்கைகளின் அமைப்பு, இதில் எண் அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. 10 , மற்றும் இயற்கை மடக்கைகள் என்று அழைக்கப்படும் அமைப்பு, இதில் ஒரு விகிதமுறா எண் அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது (கணிதத்தின் பிற கிளைகளில் தெளிவாக இருக்கும் சில காரணங்களுக்காக) 2,7182818 ... கணக்கீடுகளுக்கு, தசம மடக்கைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது போன்ற மடக்கைகளின் பண்புகளை பட்டியலிடும்போது நாம் சுட்டிக்காட்டிய வசதியின் காரணமாக.

இயற்கை மடக்கைகள்ஸ்காட்டிஷ் கணிதவியலாளரான மடக்கையின் கண்டுபிடிப்பாளரின் பெயரால் Neperovs என்றும் அழைக்கப்படுகிறது நேப்பரா(1550-1617), மற்றும் தசம மடக்கைகள் - பிரிக்ஸ் பேராசிரியரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது பிரிக்கா(நேப்பியரின் சமகாலத்தவர் மற்றும் நண்பர்), இந்த மடக்கைகளின் அட்டவணைகளை முதலில் தொகுத்தவர்.

278. எதிர்மறை மடக்கையை அதன் மாண்டிசா நேர்மறையாகவும், தலைகீழ் மாற்றமாகவும் மாற்றுதல். 1க்கும் குறைவான எண்களின் மடக்கைகள் எதிர்மறையாக இருப்பதைப் பார்த்தோம். இதன் பொருள் அவை எதிர்மறை பண்பு மற்றும் எதிர்மறை மாண்டிசாவைக் கொண்டிருக்கின்றன. இத்தகைய மடக்கைகள் எப்பொழுதும் மாற்றப்படலாம், அதனால் அவற்றின் மாண்டிசா நேர்மறையாக இருக்கும், ஆனால் பண்பு எதிர்மறையாகவே உள்ளது. இதைச் செய்ய, மாண்டிசாவுக்கு நேர்மறை ஒன்றையும், குணாதிசயத்திற்கு எதிர்மறையான ஒன்றையும் சேர்த்தால் போதும் (நிச்சயமாக, மடக்கையின் மதிப்பை மாற்றாது).

உதாரணமாக, எங்களிடம் ஒரு மடக்கை இருந்தால் - 2,0873 , நீங்கள் எழுதலாம்:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

அல்லது சுருக்கமாக:

மாறாக, எதிர்மறையான பண்பு மற்றும் நேர்மறை மாண்டிசாவைக் கொண்ட எந்த மடக்கையையும் எதிர்மறையாக மாற்றலாம். இதைச் செய்ய, நேர்மறை மாண்டிசாவுக்கு எதிர்மறையான ஒன்றையும், எதிர்மறை பண்புக்கு நேர்மறை ஒன்றையும் சேர்த்தால் போதும்: எனவே, நீங்கள் எழுதலாம்:

279. நான்கு இலக்க அட்டவணைகளின் விளக்கம்.பெரும்பாலான நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்க்க, நான்கு இலக்க அட்டவணைகள் போதுமானதாக இருக்கும், அதன் கையாளுதல் மிகவும் எளிமையானது. இந்த அட்டவணைகள் (மேலே உள்ள கல்வெட்டு "மடக்கைகள்") இந்த புத்தகத்தின் முடிவில் வைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் அவற்றில் ஒரு சிறிய பகுதி (ஏற்பாடுகளை விளக்குவதற்கு) இந்தப் பக்கத்தில் அச்சிடப்பட்டுள்ளது

மடக்கைகள்.

அனைத்து முழு எண்களின் மடக்கைகள் 1 முன் 9999 உள்ளடக்கியது, நான்கு தசம இடங்களுக்கு கணக்கிடப்பட்டது, இந்த இடங்களில் கடைசியாக அதிகரித்தது 1 5வது தசம இடம் 5 அல்லது 5க்கு மேல் இருக்கும் எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும்; எனவே, 4-இலக்க அட்டவணைகள் தோராயமான மாண்டிசாக்களைக் கொடுக்கின்றன 1 / 2 பத்தாயிரத்தில் ஒரு பங்கு (குறைபாடு அல்லது அதிகப்படியானது).

தசம மடக்கைகளின் பண்புகளின் அடிப்படையில் ஒரு முழு எண் அல்லது ஒரு தசமப் பகுதியின் மடக்கையை நாம் நேரடியாக வகைப்படுத்த முடியும் என்பதால், அட்டவணையில் இருந்து மாண்டிசாக்களை மட்டுமே எடுக்க வேண்டும்; அதே நேரத்தில், கமா இன் நிலை என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் தசம எண், அதே போல் எண்ணின் முடிவில் உள்ள பூஜ்ஜியங்களின் எண்ணிக்கை, மாண்டிசாவின் மதிப்பில் எந்த விளைவையும் ஏற்படுத்தாது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணுக்கு மன்டிசாவைக் கண்டறியும் போது, ​​இந்த எண்ணில் உள்ள கமாவையும், அதன் முடிவில் இருக்கும் பூஜ்ஜியங்களையும் நிராகரித்து, அதன் பிறகு உருவாக்கப்பட்ட முழு எண்ணின் மன்டிசாவைக் கண்டறியவும். பின்வரும் வழக்குகள் ஏற்படலாம்.

1) ஒரு முழு எண் 3 இலக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது.எடுத்துக்காட்டாக, 536 என்ற எண்ணின் மடக்கையின் மாண்டிசாவைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த எண்ணின் முதல் இரண்டு இலக்கங்கள், அதாவது 53, இடதுபுறத்தில் உள்ள முதல் செங்குத்து நெடுவரிசையில் உள்ள அட்டவணையில் காணப்படுகின்றன (அட்டவணையைப் பார்க்கவும்). 53 என்ற எண்ணைக் கண்டறிந்த பிறகு, மேலே வைக்கப்பட்டுள்ள 0, 1, 2, 3,... 9 எண்களில் ஒன்றின் வழியாகச் செல்லும் செங்குத்து நெடுவரிசையுடன் இந்தக் கோடு வெட்டும் வரை கிடைமட்டக் கோட்டுடன் வலதுபுறமாக நகர்த்துகிறோம். கீழே) அட்டவணையின், கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் 3-வது இலக்கம், அதாவது எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் எண் 6. சந்திப்பில் 536 என்ற எண்ணின் மடக்கையைச் சேர்ந்த மன்டிசா 7292 (அதாவது 0.7292) கிடைக்கும். , 508 என்ற எண்ணுக்கு மன்டிசா 0.7059, 500 என்ற எண்ணுக்கு 0.6990 போன்றவற்றைக் காணலாம்.

2) ஒரு முழு எண் 2 அல்லது 1 இலக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது.பின்னர் இந்த எண்ணுக்கு ஒன்று அல்லது இரண்டு பூஜ்ஜியங்களை மனதளவில் ஒதுக்கி, இவ்வாறு உருவாக்கப்பட்ட மூன்று இலக்க எண்ணுக்கான மாண்டிசாவைக் கண்டறியவும். எடுத்துக்காட்டாக, 51 என்ற எண்ணில் ஒரு பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்க்கிறோம், அதில் இருந்து 510 ஐப் பெற்று, மன்டிசா 7070 ஐக் கண்டுபிடிக்கிறோம்; எண் 5 க்கு நாம் 2 பூஜ்ஜியங்களை ஒதுக்குகிறோம் மற்றும் மன்டிசா 6990 போன்றவற்றைக் கண்டுபிடிக்கிறோம்.

3) ஒரு முழு எண் 4 இலக்கங்களில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் பதிவு 5436 இன் மன்டிசாவைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பின்னர் முதலில் அட்டவணையில், இந்த எண்ணின் முதல் 3 இலக்கங்களால் குறிக்கப்படும் எண்ணுக்கான மன்டிசாவைக் காணலாம், அதாவது 543 க்கு (இந்த மாண்டிசா 7348 ஆக இருக்கும்) ; கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மன்டிசாவிலிருந்து கிடைமட்ட கோட்டுடன் வலதுபுறமாக நகர்கிறோம் (உள்ளே வலது பக்கம்தடிமனான செங்குத்து கோட்டின் பின்னால் அமைந்துள்ள அட்டவணை) எண்களின் வழியாக செல்லும் செங்குத்து நெடுவரிசையுடன் வெட்டும் வரை: 1, 2 3,... 9, அட்டவணையின் இந்த பகுதியின் மேல் (மற்றும் கீழே) நிற்கிறது, இது இந்த எண்களின் 4 வது இலக்கம், அதாவது எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் எண் 6. குறுக்குவெட்டில் நாம் திருத்தம் (எண் 5) ஐக் காண்கிறோம், இது 5436 என்ற எண்ணின் மன்டிசாவைப் பெற 7348 இன் மன்டிசாவுக்கு மனதளவில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்; இந்த வழியில் நாம் மன்டிசா 0.7353 ஐப் பெறுகிறோம்.

4) ஒரு முழு எண் 5 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இலக்கங்களுடன் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.முதல் 4 ஐத் தவிர அனைத்து இலக்கங்களையும் நிராகரித்து, தோராயமான நான்கு இலக்க எண்ணை எடுத்து, இந்த எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை அந்த எண்ணில் 1 ஆல் அதிகரிக்கிறோம். எண்ணின் நிராகரிக்கப்பட்ட 5 வது இலக்கம் 5 அல்லது 5 ஐ விட அதிகமாக இருந்தால், 57842 க்கு பதிலாக 5784 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம், 30257 க்கு பதிலாக 3026 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம், 583263 க்கு பதிலாக 5833 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம். இந்த வட்டமான நான்கு இலக்க எண்ணுக்கு, இப்போது விளக்கியபடி மாண்டிசாவைக் காண்கிறோம்.

இந்த வழிமுறைகளால் வழிநடத்தப்பட்டு, எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் எண்களின் மடக்கைகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

முதலாவதாக, இப்போதைக்கு அட்டவணைகளுக்குத் திரும்பாமல், குணாதிசயங்களை மட்டுமே கீழே வைப்போம், மாண்டிசாக்களுக்கு இடமளிப்போம், அதை நாங்கள் எழுதுவோம்:

பதிவு 36.5 = 1,.... பதிவு 0.00345 = 3,....

பதிவு 804.7 = 2,.... பதிவு 7.2634 = 0,....

பதிவு 0.26 = 1,.... பதிவு 3456.86 = 3,....

பதிவு 36.5 = 1.5623; பதிவு 0.00345 = 3.5378;

பதிவு 804.7 = 2.9057; பதிவு 7.2634 = 0.8611;

பதிவு 0.26 = 1.4150; பதிவு 3456.86 = 3.5387.

280. குறிப்பு. சில நான்கு இலக்க அட்டவணைகளில் (உதாரணமாக, அட்டவணைகளில் V. Lorchenko மற்றும் N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) இந்த எண்ணின் 4வது இலக்கத்திற்கான திருத்தங்கள் வைக்கப்படவில்லை. அத்தகைய அட்டவணைகளைக் கையாளும் போது, ​​ஒரு எளிய கணக்கீட்டைப் பயன்படுத்தி இந்த திருத்தங்களைக் கண்டறிய வேண்டும், இது பின்வரும் உண்மையின் அடிப்படையில் செய்யப்படலாம்: எண்கள் 100 ஐத் தாண்டியிருந்தால் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான வேறுபாடுகள் 1 க்கும் குறைவாக இருந்தால், அது ஒரு முக்கிய பிழை இல்லாமல் என்று கொள்ளலாம் மடக்கைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் தொடர்புடைய எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளுக்கு விகிதாசாரமாகும் . எடுத்துக்காட்டாக, 5367 என்ற எண்ணுடன் தொடர்புடைய மாண்டிசாவை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த மன்டிசா, நிச்சயமாக, 536.7 என்ற எண்ணைப் போன்றது. 536 என்ற எண்ணுக்கான அட்டவணையில் மன்டிசா 7292 ஐக் காண்கிறோம். இந்த மன்டிசாவை வலதுபுறத்தில் உள்ள மன்டிசா 7300 உடன் ஒப்பிட்டு, 537 என்ற எண்ணுக்கு ஒத்ததாக, 536 என்ற எண் 1 ஆல் அதிகரித்தால், அதன் மன்டிசா 8 பத்தால் அதிகரிக்கும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். -ஆயிரத்தில் ஒரு பங்கு (8 என்று அழைக்கப்படுகிறது அட்டவணை வேறுபாடுஇரண்டு அருகிலுள்ள மாண்டிசாக்களுக்கு இடையில்); எண் 536 0.7 ஆக அதிகரித்தால், அதன் மாண்டிசா 8 பத்தாயிரத்தில் அல்ல, ஆனால் சில சிறிய எண்ணிக்கையால் அதிகரிக்கும். எக்ஸ் பத்தாயிரத்தில் ஒரு பங்கு, இது அனுமான விகிதாச்சாரத்தின் படி, விகிதாச்சாரத்தை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

எக்ஸ் :8 = 0.7:1; எங்கே எக்ஸ் = 8 07 = 5,6,

இது 6 பத்தாயிரத்தில் வட்டமானது. இதன் பொருள் 536.7 என்ற எண்ணுக்கான மன்டிசா (எனவே 5367 என்ற எண்ணுக்கு) இருக்கும்: 7292 + 6 = 7298.

அட்டவணையில் இரண்டு அடுத்தடுத்த எண்களைப் பயன்படுத்தி இடைநிலை எண்ணைக் கண்டறிவது அழைக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க இடைச்செருகல்.இங்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ள இடைச்செருகல் அழைக்கப்படுகிறது விகிதாசார, மடக்கையின் மாற்றம் எண்ணின் மாற்றத்திற்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்ற அனுமானத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இது நேரியல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை செயல்பாட்டின் மாற்றம் ஒரு நேர் கோட்டால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது என்று கருதுகிறது.

281. தோராயமான மடக்கையின் பிழை வரம்பு.மடக்கை தேடப்படும் எண் சரியான எண்ணாக இருந்தால், 4-இலக்க அட்டவணையில் காணப்படும் அதன் மடக்கையின் பிழையின் வரம்பு, நாம் கூறியது போல், எடுத்துக்கொள்ளலாம். 1 / 2 பத்தாயிரத்தில் ஒரு பங்கு. இந்த எண் துல்லியமாக இல்லாவிட்டால், இந்த பிழை வரம்பில், எண்ணின் துல்லியமின்மையின் விளைவாக ஏற்படும் மற்றொரு பிழையின் வரம்பையும் சேர்க்க வேண்டும். அத்தகைய வரம்பை தயாரிப்பாக எடுத்துக்கொள்ளலாம் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது (இந்த ஆதாரத்தை நாங்கள் தவிர்க்கிறோம்).

அ(ஈ +1) பத்தாயிரம்.,

இதில் ஏ மிகவும் துல்லியமற்ற எண்ணுக்கான பிழையின் விளிம்பு என்று கருதி அதன் முழு எண் பகுதி 3 இலக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது,ஏ ஈ கொடுக்கப்பட்ட துல்லியமற்ற எண் இருக்கும் இரண்டு தொடர்ச்சியான மூன்று இலக்க எண்களுடன் தொடர்புடைய மாண்டிசாக்களின் அட்டவணை வேறுபாடு. இவ்வாறு, மடக்கையின் இறுதிப் பிழையின் வரம்பு பின்னர் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படும்:

1 / 2 + அ(ஈ +1) பத்தாயிரம்

உதாரணமாக. பதிவைக் கண்டுபிடி π , எடுக்கும் π தோராயமான எண் 3.14, சரியானது 1 / 2 நூறாவது.

3.14 என்ற எண்ணில் 3 வது இலக்கத்திற்குப் பிறகு கமாவை நகர்த்துவதன் மூலம், இடதுபுறத்தில் இருந்து எண்ணினால், மூன்று இலக்க எண் 314 ஐப் பெறுகிறோம். 1 / 2 அலகுகள்; இதன் பொருள் துல்லியமற்ற எண்ணுக்கான பிழையின் விளிம்பு, அதாவது, கடிதத்தால் நாம் எதைக் குறிப்பிட்டோம் ஏ , அங்கு உள்ளது 1 / 2 அட்டவணையில் இருந்து நாம் காணலாம்:

பதிவு 3.14 = 0.4969.

அட்டவணை வேறுபாடு ஈ 314 மற்றும் 315 எண்களின் மாண்டிசாக்களுக்கு இடையில் 14 க்கு சமம், எனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மடக்கையின் பிழை குறைவாக இருக்கும்

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 பத்தாயிரம்.

மடக்கை 0.4969 குறைபாடு உள்ளதா அல்லது அதிகமாக உள்ளதா என்பது பற்றி எங்களுக்குத் தெரியாததால், சரியான மடக்கைக்கு மட்டுமே உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும். π 0.4969 - 0.0008 மற்றும் 0.4969 + 0.0008 இடையே உள்ளது, அதாவது 0.4961< log π < 0,4977.

282. கொடுக்கப்பட்ட மடக்கையைப் பயன்படுத்தி எண்ணைக் கண்டறியவும். கொடுக்கப்பட்ட மடக்கையைப் பயன்படுத்தி எண்ணைக் கண்டறிய, அதே அட்டவணைகள் கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் மாண்டிசாக்களைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தலாம்; ஆனால் ஆன்டிலோகரிதம்கள் என்று அழைக்கப்படும் மற்ற அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது, அதாவது, இந்த மாண்டிசாக்களுடன் தொடர்புடைய எண்கள். மேலே உள்ள கல்வெட்டு மூலம் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இந்த அட்டவணைகள், மடக்கைகளின் அட்டவணைகளுக்குப் பிறகு இந்த புத்தகத்தின் முடிவில் வைக்கப்பட்டுள்ளன (விளக்கத்திற்காக).

உங்களுக்கு 4-இலக்க மன்டிசா 2863 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் (பண்புக்கு நாங்கள் கவனம் செலுத்தவில்லை) மற்றும் நீங்கள் தொடர்புடைய முழு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பின்னர், ஆன்டிலோகரிதம்களின் அட்டவணைகள் இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட எண்ணுக்கான மன்டிசாவைக் கண்டுபிடிக்க முன்னர் விளக்கப்பட்டதைப் போலவே அவற்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதாவது: இடதுபுறத்தில் உள்ள முதல் நெடுவரிசையில் மன்டிசாவின் முதல் 2 இலக்கங்களைக் காண்கிறோம். மன்டிசாவின் 3 வது இலக்கத்திலிருந்து வரும் செங்குத்து நெடுவரிசையுடன் வெட்டும் வரை இந்த எண்களிலிருந்து கிடைமட்ட கோட்டுடன் வலதுபுறமாக நகர்கிறோம், இது மேல் வரியில் (அல்லது கீழே) பார்க்கப்பட வேண்டும். சந்திப்பில், நான்கு இலக்க எண் 1932 ஐக் காண்கிறோம், இது மாண்டிசா 286 உடன் தொடர்புடையது. பின்னர் இந்த எண்ணிலிருந்து கிடைமட்டக் கோடு வழியாக வலப்புறம் 4 வது இலக்கத்தில் இருந்து வரும் செங்குத்து நெடுவரிசையுடன் வெட்டும் வரை நகர்த்த வேண்டும். அங்கு வைக்கப்பட்டுள்ள 1, 2 எண்களில் மேலே (அல்லது கீழ்) காணப்படும் , 3,... 9. குறுக்குவெட்டில் நாம் திருத்தம் 1 ஐக் காண்கிறோம், அதை (மனதில்) வரிசையாகக் கண்டறிந்த 1032 என்ற எண்ணுக்குப் பயன்படுத்த வேண்டும். mantissa 2863 உடன் தொடர்புடைய எண்ணைப் பெற.

எனவே, எண் 1933 ஆக இருக்கும். இதற்குப் பிறகு, குணாதிசயத்திற்கு கவனம் செலுத்துவதன் மூலம், நீங்கள் 1933 என்ற எண்ணில் சரியான இடத்தில் ஆக்கிரமிப்பை வைக்க வேண்டும். உதாரணத்திற்கு:

என்றால் பதிவு எக்ஸ் = 3.2863, பின்னர் எக்ஸ் = 1933,

„ பதிவு x = 1,2863, „ எக்ஸ் = 19,33,

, பதிவு எக்ஸ் = 0,2&63, „ எக்ஸ் = 1,933,

„ பதிவு எக்ஸ் = 2 ,2863, „ எக்ஸ் = 0,01933

இதோ மேலும் உதாரணங்கள்:

பதிவு எக்ஸ் = 0,2287, எக்ஸ் = 1,693,

பதிவு எக்ஸ் = 1 ,7635, எக்ஸ் = 0,5801,

பதிவு எக்ஸ் = 3,5029, எக்ஸ் = 3184,

பதிவு எக்ஸ் = 2 ,0436, எக்ஸ் = 0,01106.

மன்டிசாவில் 5 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இலக்கங்கள் இருந்தால், முதல் 4 இலக்கங்களை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்வோம், மீதமுள்ளவற்றை நிராகரிப்போம் (மற்றும் 5 வது இலக்கத்தில் ஐந்து அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவை இருந்தால் 4 வது இலக்கத்தை 1 ஆல் அதிகரிக்கும்). எடுத்துக்காட்டாக, mantissa 35478 க்கு பதிலாக 3548 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம், 47562 க்கு பதிலாக 4756 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

283. குறிப்பு.மாண்டிசாவின் 4 வது மற்றும் அடுத்தடுத்த இலக்கங்களுக்கான திருத்தம் இடைக்கணிப்பு மூலம் கண்டறியப்படலாம். எனவே, மன்டிசா 84357 ஆக இருந்தால், மன்டிசா 843 உடன் தொடர்புடைய 6966 என்ற எண்ணைக் கண்டறிந்த பிறகு, நாம் மேலும் பின்வருமாறு காரணம் கூறலாம்: மாண்டிசா 1 (ஆயிரத்தில்) அதிகரித்தால், அதாவது, அது 844 ஐ உருவாக்குகிறது, பின்னர் எண் அட்டவணையில் இருந்து பார்க்க முடியும், 16 அலகுகள் அதிகரிக்கும்; மாண்டிசா 1 (ஆயிரத்தில்) அல்ல, ஆனால் 0.57 (ஆயிரத்தில்) அதிகரித்தால், எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும். எக்ஸ் அலகுகள், மற்றும் எக்ஸ் விகிதாச்சாரத்தை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

எக்ஸ் : 16 = 0.57: 1, எங்கிருந்து x = 16 0,57 = 9,12.

அதாவது, தேவையான எண் 6966+ 9.12 = 6975.12 அல்லது (நான்கு இலக்கங்களுக்கு மட்டுமே) 6975 ஆக இருக்கும்.

284. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்ணின் பிழை வரம்பு.கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்ணில் இடதுபுறத்தில் இருந்து 3 வது இலக்கத்திற்குப் பிறகு கமா இருந்தால், அதாவது மடக்கையின் பண்பு 2 ஆக இருக்கும்போது, ​​​​தொகையை பிழை வரம்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

எங்கே ஏ எண் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மடக்கையின் பிழை வரம்பு (பத்தாயிரத்தில் வெளிப்படுத்தப்பட்டது), மற்றும் ஈ - கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண் இருக்கும் இரண்டு மூன்று இலக்க தொடர்ச்சியான எண்களின் மாண்டிசாக்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு (இடதுபுறத்தில் இருந்து 3 வது இலக்கத்திற்குப் பிறகு கமாவுடன்). குணாதிசயம் 2 அல்ல, வேறு சிலவாக இருந்தால், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்ணில் கமாவை இடது அல்லது வலது பக்கம் நகர்த்த வேண்டும், அதாவது, எண்ணை 10 இன் சில சக்தியால் வகுக்கவும் அல்லது பெருக்கவும். இந்த வழக்கில், பிழை முடிவு 10ன் அதே சக்தியால் வகுக்கப்படும் அல்லது பெருக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கையைப் பயன்படுத்தி எண்ணைத் தேடுகிறோம் 1,5950 , இது 3 பத்தாயிரத்தில் துல்லியமாக அறியப்படுகிறது; அப்போது என்று அர்த்தம் ஏ = 3 . எதிர் மடக்கைகளின் அட்டவணையில் இருந்து காணப்படும் இந்த மடக்கைக்கு தொடர்புடைய எண் 39,36 . இடதுபுறத்தில் இருந்து 3 வது இலக்கத்திற்குப் பிறகு கமாவை நகர்த்தினால், எங்களிடம் எண் உள்ளது 393,6 , இடையே கொண்டது 393 மற்றும் 394 . மடக்கைகளின் அட்டவணையில் இருந்து இந்த இரண்டு எண்களுடன் தொடர்புடைய மாண்டிசாக்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு 11 பத்தாயிரம்; பொருள் ஈ = 11 . 393.6 என்ற எண்ணின் பிழை குறைவாக இருக்கும்

இது எண்ணில் பிழை என்று அர்த்தம் 39,36 குறைவாக இருக்கும் 0,05 .

285. எதிர்மறை குணாதிசயங்களைக் கொண்ட மடக்கைகளின் செயல்பாடுகள்.மடக்கைகளைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது எந்த சிரமத்தையும் ஏற்படுத்தாது, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து காணலாம்:

மடக்கையை நேர்மறை எண்ணால் பெருக்குவதில் சிரமம் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக:

கடைசி எடுத்துக்காட்டில், நேர்மறை மாண்டிசா தனித்தனியாக 34 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது எதிர்மறை பண்பு 34 இல்.

எதிர்மறை குணாதிசயம் மற்றும் நேர்மறை மாண்டிசாவின் மடக்கை எதிர்மறை எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், இரண்டு வழிகளில் தொடரவும்: கொடுக்கப்பட்ட மடக்கை முதலில் எதிர்மறையாக மாற்றப்படும், அல்லது மாண்டிசா மற்றும் பண்பு தனித்தனியாக பெருக்கப்பட்டு முடிவுகள் ஒன்றாக இணைக்கப்படும், எடுத்துக்காட்டாக. :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

பிரிக்கும்போது, ​​​​இரண்டு வழக்குகள் ஏற்படலாம்: 1) எதிர்மறை பண்பு பிரிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் 2) வகுத்தால் வகுபடாது. முதல் வழக்கில், பண்பு மற்றும் மாண்டிசா தனித்தனியாக பிரிக்கப்படுகின்றன:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

இரண்டாவது வழக்கில், பல எதிர்மறை அலகுகள் குணாதிசயத்துடன் சேர்க்கப்படுகின்றன, இதன் விளைவாக வரும் எண் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது; மாண்டிசாவில் அதே எண்ணிக்கையிலான நேர்மறை அலகுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

இந்த மாற்றம் மனதில் செய்யப்பட வேண்டும், எனவே செயல் பின்வருமாறு:

286. கழிக்கப்பட்ட மடக்கைகளை விதிமுறைகளுடன் மாற்றுதல்.சிலவற்றைக் கணக்கிடும்போது சிக்கலான வெளிப்பாடுமடக்கைகளைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் சில மடக்கைகளைச் சேர்க்க வேண்டும், மற்றவற்றைக் கழிக்க வேண்டும்; இந்த வழக்கில், செயல்களைச் செய்வதற்கான வழக்கமான வழியில், அவை தனித்தனியாக சேர்க்கப்பட்ட மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து, பின்னர் கழித்தவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து, முதல் தொகையிலிருந்து இரண்டாவது கழிக்கப்படும். உதாரணமாக, எங்களிடம் இருந்தால்:

பதிவு எக்ஸ் = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

செயல்களின் வழக்கமான செயல்படுத்தல் இப்படி இருக்கும்:

இருப்பினும், கழிப்பதைக் கூட்டுதலுடன் மாற்றுவது சாத்தியமாகும். அதனால்:

இப்போது நீங்கள் கணக்கீட்டை பின்வருமாறு ஏற்பாடு செய்யலாம்:

287. கணக்கீடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 1. வெளிப்பாடு மதிப்பீடு:

என்றால் A = 0.8216, B = 0.04826, C = 0.005127மற்றும் D = 7.246.

இந்த வெளிப்பாட்டின் மடக்கையை எடுத்துக் கொள்வோம்:

பதிவு எக்ஸ்= 1/3 பதிவு A + 4 பதிவு B - 3 பதிவு C - 1/3 பதிவு D

இப்போது, ​​தேவையற்ற நேர இழப்பைத் தவிர்க்கவும், பிழைகள் ஏற்படுவதற்கான சாத்தியக்கூறுகளைக் குறைக்கவும், முதலில் அனைத்து கணக்கீடுகளையும் இப்போதைக்கு செயல்படுத்தாமல் ஒழுங்கமைப்போம், எனவே, அட்டவணைகளைக் குறிப்பிடாமல்:

இதற்குப் பிறகு, நாங்கள் அட்டவணைகளை எடுத்து மீதமுள்ள இலவச இடைவெளிகளில் மடக்கைகளை வைக்கிறோம்:

பிழை வரம்பு.முதலில், எண்ணின் பிழை வரம்பை கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ் 1 = 194,5 , சமமாக:

எனவே, முதலில் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஏ , அதாவது, தோராயமான மடக்கையின் பிழை வரம்பு, பத்தாயிரத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த எண்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம் ஏ, பி, சிமற்றும் டிஅனைத்தும் துல்லியமானவை. தனிப்பட்ட மடக்கைகளில் உள்ள பிழைகள் பின்வருமாறு இருக்கும் (பத்தாயிரத்தில்):

வி logA.......... 1 / 2

வி 1/3 பதிவு ஏ......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 1.9146 இன் 3 மடக்கைகளால் வகுக்கும் போது, ​​அதன் 5 வது இலக்கத்தை நிராகரிப்பதன் மூலம் நாம் குறிப்பை வட்டமிட்டோம், எனவே, இன்னும் சிறிய பிழையைச் செய்தோம் 1 / 2 பத்தாயிரமாவது).

இப்போது மடக்கையின் பிழை வரம்பைக் காண்கிறோம்:

ஏ = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (பத்தாயிரத்தில் ஒரு பங்கு).

மேலும் வரையறுப்போம் ஈ . ஏனெனில் எக்ஸ் 1 = 194,5 , பின்னர் 2 தொடர்ச்சியான முழு எண்கள் இடையே இருக்கும் எக்ஸ் 1 விருப்பம் 194 மற்றும் 195 . அட்டவணை வேறுபாடு ஈ இந்த எண்களுடன் தொடர்புடைய மாண்டிசாக்களுக்கு இடையில் சமம் 22 . அதாவது எண்ணின் பிழை வரம்பு எக்ஸ் 1 அங்கு உள்ளது:

ஏனெனில் எக்ஸ் = எக்ஸ் 1 : 10, பின்னர் எண்ணில் பிழை வரம்பு எக்ஸ் சமம் 0,3:10 = 0,03 . இவ்வாறு, நாங்கள் கண்டுபிடித்த எண் 19,45 க்கும் குறைவான துல்லியமான எண்ணிலிருந்து வேறுபடுகிறது 0,03 . எங்கள் தோராயமானது குறைபாடுடன் காணப்பட்டதா அல்லது அதிகப்படியானதா என்பது எங்களுக்குத் தெரியாததால், நாங்கள் உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும்.

19,45 + 0,03 > எக்ஸ் > 19,45 - 0,03 , அதாவது

19,48 > எக்ஸ் > 19,42 ,

எனவே, நாம் ஏற்றுக்கொண்டால் எக்ஸ் =19,4 , பின்னர் 0.1 வரையிலான துல்லியத்துடன் ஒரு குறைபாடுடன் தோராயமான மதிப்பீட்டைப் பெறுவோம்.

உதாரணம் 2.கணக்கிடு:

எக்ஸ் = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

எதிர்மறை எண்களுக்கு மடக்கைகள் இல்லை என்பதால், முதலில் நாம் கண்டுபிடிக்கலாம்:

எக்ஸ்" = (2,31) 3 5 √72

சிதைவு மூலம்:

பதிவு எக்ஸ்"= 3 பதிவு 2.31 + 1 / 5 பதிவு72.

கணக்கீட்டிற்குப் பிறகு அது மாறிவிடும்:

எக்ஸ்" = 28,99 ;

எனவே,

எக்ஸ் = - 28,99 .

எடுத்துக்காட்டு 3. கணக்கிடு:

மூலத்தின் அடையாளம் c u m m a ஆக இருப்பதால், தொடர்ச்சியான மடக்கையை இங்கு பயன்படுத்த முடியாது. IN இதே போன்ற வழக்குகள்பகுதிகளால் சூத்திரத்தை கணக்கிடுங்கள்.

முதலில் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் என் = 5 √8 , பிறகு என் 1 = 4 √3 ; பின்னர் எளிய கூட்டல் மூலம் தீர்மானிக்கிறோம் என்+ என் 1 , இறுதியாக நாம் கணக்கிடுகிறோம் 3 √என்+ என் 1 ; அது மாறிவிடும்:

N=1.514, என் 1 = 1,316 ; என்+ என் 1 = 2,830 .

பதிவு எக்ஸ்= பதிவு 3 √ 2,830 = 1 / 3 பதிவு 2.830 = 0,1506 ;

எக்ஸ் = 1,415 .

அத்தியாயம் நான்கு.

அதிவேக மற்றும் மடக்கை சமன்பாடுகள்.

288. அதிவேக சமன்பாடுகள் என்பது, அறியப்படாதவை அதிவேகத்தில் சேர்க்கப்படும், மற்றும் மடக்கை- அடையாளத்தின் கீழ் தெரியாதவர்கள் நுழைகிறார்கள் பதிவு. இத்தகைய சமன்பாடுகள் சிறப்பு நிகழ்வுகளில் மட்டுமே தீர்க்கப்படும், மேலும் ஒருவர் மடக்கைகளின் பண்புகளை நம்பியிருக்க வேண்டும் மற்றும் எண்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் மடக்கைகள் சமமாக இருக்கும், மாறாக, மடக்கைகள் சமமாக இருந்தால், தொடர்புடையவை எண்கள் சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: 2 எக்ஸ் = 1024 .

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் மடக்கை செய்வோம்:

உதாரணம் 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: அ 2x - அ எக்ஸ் = 1 . போடுவது அ எக்ஸ் = மணிக்கு , நாம் பெறுகிறோம் இருபடி சமன்பாடு:

ஒய் 2 - மணிக்கு - 1 = 0 ,

ஏனெனில் 1-√5 < 0 , கடைசி சமன்பாடு சாத்தியமற்றது (செயல்பாடு அ எக்ஸ் எப்போதும் ஒரு நேர்மறை எண் உள்ளது), மற்றும் முதல் கொடுக்கிறது:

எடுத்துக்காட்டு 3.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

பதிவு( a + x) + பதிவு ( b + x) = பதிவு ( c + x) .

சமன்பாட்டை இப்படி எழுதலாம்:

பதிவு [( a + x) (b + x)] = பதிவு ( c + x) .

மடக்கைகளின் சமத்துவத்திலிருந்து எண்கள் சமம் என்று முடிவு செய்கிறோம்:

(a + x) (b + x) = c + x .

இது ஒரு இருபடி சமன்பாடு, இதன் தீர்வு கடினம் அல்ல.

அத்தியாயம் ஐந்து.

கூட்டு வட்டி, கால கொடுப்பனவுகள் மற்றும் கால கொடுப்பனவுகள்.

289. கூட்டு வட்டியின் அடிப்படை பிரச்சனை.மூலதனம் எவ்வளவு மாறும்? ஏ ரூபிள், மணிக்கு வளர்ச்சி கொடுக்கப்பட்ட ஆர் கூட்டு வட்டி, பிறகு டி ஆண்டுகள் ( டி - முழு)?

“வட்டி மீதான வட்டி” என்று சொல்லப்படுவதைக் கணக்கில் கொண்டால், அதாவது, மூலதனத்தின் மீதான வட்டித் தொகையை ஒவ்வொரு ஆண்டும் இறுதியில் மூலதனத்தில் சேர்த்தால், கூட்டு வட்டியில் மூலதனம் செலுத்தப்படுகிறது என்கிறார்கள். அது அடுத்தடுத்த ஆண்டுகளில் ஆர்வத்துடன்.

மூலதனத்தின் ஒவ்வொரு ரூபிள் கொடுக்கப்பட்டது ஆர் %, ஒரு வருடத்திற்குள் லாபம் தரும் ப / 100 ரூபிள், எனவே, 1 வருடத்தில் ஒவ்வொரு ரூபிள் மூலதனமும் மாறும் 1 + ப / 100 ரூபிள் (உதாரணமாக, மூலதனம் கொடுக்கப்பட்டால் 5 %, பின்னர் ஒரு வருடத்தில் அதன் ஒவ்வொரு ரூபிளும் மாறும் 1 + 5 / 100 , அதாவது இல் 1,05 ரூபிள்).

சுருக்கத்திற்கு, பின்னத்தைக் குறிக்கிறது ப / 100 ஒரு கடிதத்துடன், எடுத்துக்காட்டாக, ஆர் , ஒரு வருடத்தில் ஒவ்வொரு ரூபிள் மூலதனமும் மாறும் என்று சொல்லலாம் 1 + ஆர் ரூபிள்; எனவே, ஏ ரூபிள் 1 வருடத்தில் திருப்பித் தரப்படும் ஏ (1 + ஆர் ) தேய்க்கவும். மற்றொரு வருடம் கழித்து, அதாவது வளர்ச்சியின் தொடக்கத்திலிருந்து 2 ஆண்டுகள், இவற்றின் ஒவ்வொரு ரூபிள் ஏ (1 + ஆர் ) தேய்க்கவும். மீண்டும் தொடர்பு கொள்வார் 1 + ஆர் தேய்க்க.; இதன் பொருள் அனைத்து மூலதனமும் மாறும் ஏ (1 + ஆர் ) 2 தேய்க்க. அதே வழியில் மூன்று ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு மூலதனம் இருக்கும் என்பதைக் காண்கிறோம் ஏ (1 + ஆர் ) 3 , நான்கு ஆண்டுகளில் அது இருக்கும் ஏ (1 + ஆர் ) 4 ,... பொதுவாக மூலம் டி ஆண்டுகள் என்றால் டி ஒரு முழு எண், அது மாறும் ஏ (1 + ஆர் ) டிதேய்க்க. இவ்வாறு, குறிக்கும் ஏஇறுதி மூலதனம், பின்வரும் கூட்டு வட்டி சூத்திரம் எங்களிடம் இருக்கும்:

ஏ = ஏ (1 + ஆர் ) டிஎங்கே ஆர் = ப / 100 .

உதாரணமாக.விடுங்கள் அ =2,300 ரூபிள். ப = 4, டி=20 ஆண்டுகள்; பின்னர் சூத்திரம் கொடுக்கிறது:

ஆர் = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2,300 (1.04) 20.

கணக்கெடுக்க ஏ, நாங்கள் மடக்கைகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

பதிவு அ = பதிவு 2 300 + 20 பதிவு 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.

A = 5031ரூபிள்.

கருத்து.இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம் செய்ய வேண்டியிருந்தது பதிவு 1.04மூலம் பெருக்கவும் 20 . எண் இருந்து 0,0170 தோராயமான மதிப்பு உள்ளது பதிவு 1.04அது வரை 1 / 2 பத்தாயிரத்தில் பங்கு, பின்னர் இந்த எண்ணின் பெருக்கல் 20 அது வரை மட்டுமே கண்டிப்பாக இருக்கும் 1 / 2 20, அதாவது 10 பத்தாயிரத்தில் = 1 ஆயிரம் வரை. எனவே மொத்தத்தில் 3,7017 பத்தாயிரத்தின் எண்ணிக்கைக்கு மட்டுமல்ல, ஆயிரத்தில் ஒரு பங்கிற்கும் நாம் உறுதியளிக்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் அதிக துல்லியத்தைப் பெற, எண்ணுக்கு இது சிறந்தது 1 + ஆர் மடக்கைகளை 4-இலக்கங்கள் அல்ல, ஆனால் கொண்டு அதிக எண்ணிக்கையிலானஎண்கள், எ.கா. 7-இலக்கங்கள். இந்த நோக்கத்திற்காக, மிகவும் பொதுவான மதிப்புகளுக்கு 7-இலக்க மடக்கைகள் எழுதப்பட்ட ஒரு சிறிய அட்டவணையை இங்கே வழங்குகிறோம். ஆர் .

290. முக்கிய பணி அவசர பணம்.யாரோ எடுத்தார்கள் ஏ ரூபிள் ஒன்றுக்கு ஆர் % கடனைத் திருப்பிச் செலுத்துவதற்கான நிபந்தனையுடன், அதற்கான வட்டியுடன் சேர்த்து டி வருடங்கள், ஒவ்வொரு வருடத்தின் முடிவிலும் அதே தொகையை செலுத்த வேண்டும். இந்தத் தொகை என்னவாக இருக்க வேண்டும்?

தொகை எக்ஸ் , அத்தகைய நிபந்தனைகளின் கீழ் ஆண்டுதோறும் செலுத்தப்படும், அவசர கட்டணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மீண்டும் கடிதத்தால் குறிப்போம் ஆர் 1 ரப்பில் இருந்து வருடாந்திர வட்டி பணம்., அதாவது எண் ப / 100 . பின்னர் முதல் ஆண்டு இறுதிக்குள் கடன் ஏ வரை அதிகரிக்கிறது ஏ (1 + ஆர் ), அடிப்படை கட்டணம் எக்ஸ் அதற்கு ரூபிள் செலவாகும் ஏ (1 + ஆர் )-எக்ஸ் .

இரண்டாவது ஆண்டின் முடிவில், இந்த தொகையின் ஒவ்வொரு ரூபிளும் மீண்டும் மாறும் 1 + ஆர் ரூபிள், எனவே கடன் இருக்கும் [ ஏ (1 + ஆர் )-எக்ஸ் ](1 + ஆர் ) = ஏ (1 + ஆர் ) 2 - எக்ஸ் (1 + ஆர் ), மற்றும் பணம் செலுத்துவதற்கு எக்ஸ் ரூபிள் இருக்கும்: ஏ (1 + ஆர் ) 2 - எக்ஸ் (1 + ஆர் ) - எக்ஸ் . அதே போல 3ம் ஆண்டு முடிவதற்குள் கடனை அடைத்து விடுவோம்

ஏ (1 + ஆர் ) 3 - எக்ஸ் (1 + ஆர் ) 2 - எக்ஸ் (1 + ஆர் ) - எக்ஸ் ,

மற்றும் பொதுவாக மற்றும் இறுதியில் டி ஆண்டு அது இருக்கும்:

ஏ (1 + ஆர் ) டி - எக்ஸ் (1 + ஆர் ) t -1 - எக்ஸ் (1 + ஆர் ) t -2 ... - எக்ஸ் (1 + ஆர் ) - எக்ஸ் , அல்லது

ஏ (1 + ஆர் ) டி - எக்ஸ் [ 1 + (1 + ஆர் ) + (1 + ஆர் ) 2 + ...+ (1 + ஆர் ) t -2 + (1 + ஆர் ) t -1 ]

அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது வடிவியல் முன்னேற்றம்; இது முதல் உறுப்பினரைக் கொண்டுள்ளது 1 , கடந்த ( 1 + ஆர் ) t -1, மற்றும் வகுத்தல் ( 1 + ஆர் ) ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (பிரிவு 10 அத்தியாயம் 3 § 249) நாம் கண்டுபிடிப்போம்:

மற்றும் அதன் பிறகு கடன் அளவு டி -வது கட்டணம் இருக்கும்:

பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி, கடன் முடிவில் உள்ளது டி -ஆம் ஆண்டு சமமாக இருக்க வேண்டும் 0 ; அதனால்தான்:

எங்கே

இதைக் கணக்கிடும் போது அவசர கட்டண சூத்திரங்கள்மடக்கைகளைப் பயன்படுத்தி முதலில் துணை எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என் = (1 + ஆர் ) டிமடக்கை மூலம்: பதிவு N= டிபதிவு(1+ ஆர்) ; கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என், அதிலிருந்து 1ஐ கழித்தால், சூத்திரத்தின் வகுப்பினைப் பெறுவோம் எக்ஸ், அதன் பிறகு நாம் இரண்டாம் மடக்கை மூலம் கண்டுபிடிக்கிறோம்:

பதிவு எக்ஸ்=பதிவு அ+ பதிவு N + பதிவு r - பதிவு (N - 1).

291. கால பங்களிப்புகளுக்கான முக்கிய பணி.ஒவ்வொரு வருடத்தின் தொடக்கத்திலும் ஒருவர் அதே தொகையை வங்கியில் டெபாசிட் செய்கிறார். ஏ தேய்க்க. இந்த பங்களிப்புகளிலிருந்து என்ன மூலதனம் உருவாகும் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும் டி வங்கி செலுத்தினால் வருடங்கள் ஆர் கூட்டு வட்டி.

நியமித்தது ஆர் 1 ரூபிள் இருந்து வருடாந்திர வட்டி பணம், அதாவது. ப / 100 , நாங்கள் இப்படி நியாயப்படுத்துகிறோம்: முதல் ஆண்டின் இறுதியில் மூலதனம் இருக்கும் ஏ (1 + ஆர் );

2 ஆம் ஆண்டின் தொடக்கத்தில் இந்தத் தொகை சேர்க்கப்படும் ஏ ரூபிள்; இதன் பொருள் இந்த நேரத்தில் மூலதனம் இருக்கும் ஏ (1 + ஆர் ) + அ . 2ம் ஆண்டு இறுதிக்குள் அவர் இருப்பார் ஏ (1 + ஆர் ) 2 + ஏ (1 + ஆர் );

3 ஆம் ஆண்டின் தொடக்கத்தில் அது மீண்டும் நுழைந்தது ஏ ரூபிள்; இதன் பொருள் இந்த நேரத்தில் மூலதனம் இருக்கும் ஏ (1 + ஆர் ) 2 + ஏ (1 + ஆர் ) + ஏ ; 3 ஆம் தேதியின் முடிவில் அவர் இருப்பார் ஏ (1 + ஆர் ) 3 + ஏ (1 + ஆர் ) 2 + ஏ (1 + ஆர் ) இந்த வாதங்களை மேலும் தொடர்ந்தால், இறுதியில் அதைக் காண்கிறோம் டி ஆண்டு தேவையான மூலதனம் ஏவிருப்பம்:

ஒவ்வொரு வருடத்தின் தொடக்கத்திலும் செய்யப்படும் கால பங்களிப்புகளுக்கான சூத்திரம் இதுவாகும்.

அதே சூத்திரத்தை பின்வரும் காரணத்தால் பெறலாம்: முன்பணம் ஏ வங்கியில் இருக்கும்போது ரூபிள் டி ஆண்டுகள், கூட்டு வட்டி சூத்திரத்தின் படி, மாறும் ஏ (1 + ஆர் ) டிதேய்க்க. இரண்டாவது தவணை, ஒரு வருடம் குறைவாக வங்கியில் இருப்பது, அதாவது. டி - 1 வயது, தொடர்பு ஏ (1 + ஆர் ) t- 1தேய்க்க. அதேபோல், மூன்றாம் தவணையும் கொடுக்கும் ஏ (1 + ஆர் ) t-2முதலியன, இறுதியாக கடைசி தவணை, வங்கியில் 1 வருடம் மட்டுமே இருந்ததால், செல்லும் ஏ (1 + ஆர் ) தேய்க்கவும். இதன் பொருள் இறுதி மூலதனம் ஏதேய்க்க. விருப்பம்:

ஏ= ஏ (1 + ஆர் ) டி + ஏ (1 + ஆர் ) t- 1 + ஏ (1 + ஆர் ) t-2 + . . . + ஏ (1 + ஆர் ),

இது, எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பிறகு, மேலே காணப்படும் சூத்திரத்தை அளிக்கிறது.

இந்த சூத்திரத்தின் மடக்கைகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடும் போது, ​​அவசரக் கொடுப்பனவுகளுக்கான சூத்திரத்தைக் கணக்கிடும்போது அதே வழியில் நீங்கள் தொடர வேண்டும், அதாவது, முதலில் N = எண்ணைக் கண்டறியவும். 1 + ஆர் ) டிஅதன் மடக்கை மூலம்: பதிவு N= டிபதிவு(1 + ஆர் ), பின்னர் எண் N- 1பின்னர் சூத்திரத்தின் மடக்கையை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

பதிவு A = பதிவு அ+log(1+ ஆர்) + பதிவு (N - 1) - 1ogஆர்

கருத்து.ஒரு அவசர பங்களிப்பு என்றால் ஏ தேய்க்க. ஆரம்பத்தில் அல்ல, ஆனால் ஒவ்வொரு வருடத்தின் முடிவிலும் செய்யப்பட்டது (உதாரணமாக, அவசர கட்டணம் செலுத்தப்படுகிறது எக்ஸ் கடனை அடைக்க), பின்னர், முந்தையதைப் போலவே நியாயப்படுத்தினால், இறுதியில் அதைக் காண்கிறோம் டி ஆண்டு தேவையான மூலதனம் ஏ"தேய்க்க. இருக்கும் (கடைசி தவணை உட்பட ஏ தேய்த்தல்., வட்டி தாங்கவில்லை):

ஏ"= ஏ (1 + ஆர் ) t- 1 + ஏ (1 + ஆர் ) t-2 + . . . + ஏ (1 + ஆர் ) + ஏ

இது சமம்:

அதாவது ஏ"முடிவடைகிறது ( 1 + ஆர் ) மடங்கு குறைவு ஏ, இது எதிர்பார்க்கப்பட்டது, மூலதனத்தின் ஒவ்வொரு ரூபிள் இருந்து ஏ"மூலதனத்தின் தொடர்புடைய ரூபிளை விட ஒரு வருடம் குறைவாக வங்கியில் உள்ளது ஏ.

1. மடக்கை குறியின் கீழ் எதிர்மறை எண்கள் உள்ளதா அல்லது ஒன்று உள்ளதா என சரிபார்க்கவும். இந்த முறைபடிவத்தின் வெளிப்பாடுகளுக்கு பொருந்தும் பதிவு b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). இருப்பினும், சில சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு இது பொருந்தாது:

   • மடக்கை எதிர்மறை எண்எந்த அடிப்படையிலும் தீர்மானிக்கப்படவில்லை (உதாரணமாக, பதிவு ⁡ (− 3) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\log(-3))அல்லது பதிவு 4 ⁡ (− 5) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\log _(4)(-5))) இந்த வழக்கில், "தீர்வு இல்லை" என்று எழுதுங்கள்.
   • எந்த அடிப்படைக்கும் பூஜ்ஜியத்தின் மடக்கையும் வரையறுக்கப்படவில்லை. பிடிபட்டால் ln ⁡ (0) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ln(0)), "தீர்வு இல்லை" என்று எழுதுங்கள்.
   • எந்த தளத்திற்கும் ஒன்றின் மடக்கை ( பதிவு ⁡ (1) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\log(1))) எப்போதும் பூஜ்ஜியமாகும், ஏனெனில் x 0 = 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​x^(0)=1)அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் எக்ஸ். இந்த மடக்கைக்கு பதிலாக 1 ஐ எழுதவும், கீழே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்.
   • மடக்கைகள் வெவ்வேறு தளங்களைக் கொண்டிருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\ displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), மற்றும் முழு எண்களாகக் குறைக்கப்படவில்லை, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை கைமுறையாகக் கண்டறிய முடியாது.

2. வெளிப்பாட்டை ஒரு மடக்கைக்கு மாற்றவும்.மேலே உள்ள சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு வெளிப்பாடு பொருந்தவில்லை என்றால், அதை ஒற்றை மடக்கையாக வெளிப்படுத்தலாம். இதற்கு பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: பதிவு b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\ displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ பதிவு_(a)(x)).

   • எடுத்துக்காட்டு 1: வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள் பதிவு ⁡ 16 பதிவு ⁡ 2 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\frac (\log (16))(\log (2)))).
     முதலில், மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாட்டை ஒற்றை மடக்கையாகக் குறிப்பிடுவோம்: பதிவு ⁡ 16 பதிவு ⁡ 2 = பதிவு 2 ⁡ (16) (\ டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • மடக்கையின் "அடிப்படையை மாற்றுவதற்கான" இந்த சூத்திரம் மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகளிலிருந்து பெறப்பட்டது.

3. முடிந்தால், வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை கைமுறையாக மதிப்பீடு செய்யவும்.கண்டுபிடிக்க பதிவு a ⁡ (x) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\log _(a)(x)), வெளிப்பாட்டை கற்பனை செய்து பாருங்கள் " ஒரு? = x (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​a^(?)=x)", அதாவது, உங்களை நீங்களே கேட்டுக்கொள்ளுங்கள் அடுத்த கேள்வி: "எந்த சக்திக்கு நாம் உயர்த்த வேண்டும் அ, பெற எக்ஸ்?. இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க ஒரு கால்குலேட்டர் தேவைப்படலாம், ஆனால் நீங்கள் அதிர்ஷ்டசாலி என்றால், நீங்கள் அதை கையால் கண்டுபிடிக்கலாம்.

   • எடுத்துக்காட்டு 1 (தொடரும்): இவ்வாறு மீண்டும் எழுதவும் 2? = 16 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​2^(?)=16). "?" அடையாளத்தின் இடத்தில் எந்த எண் நிற்க வேண்டும் என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சோதனை மற்றும் பிழை மூலம் இதைச் செய்யலாம்:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​2^(4)=8*2=16)
     எனவே, நாம் தேடும் எண் 4: பதிவு 2 ⁡ (16) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\log _(2)(16)) = 4 .

4. உங்களால் எளிதாக்க முடியாவிட்டால் மடக்கை வடிவில் உங்கள் பதிலை விடுங்கள்.பல மடக்கைகளை கையால் கணக்கிடுவது மிகவும் கடினம். இந்த வழக்கில், துல்லியமான பதிலைப் பெற, உங்களுக்கு ஒரு கால்குலேட்டர் தேவைப்படும். இருப்பினும், நீங்கள் வகுப்பில் ஒரு சிக்கலைத் தீர்க்கிறீர்கள் என்றால், ஆசிரியர் பெரும்பாலும் மடக்கை வடிவில் உள்ள பதிலில் திருப்தி அடைவார். கீழே விவாதிக்கப்பட்ட முறை மிகவும் சிக்கலான உதாரணத்தை தீர்க்க பயன்படுத்தப்படுகிறது:

   • உதாரணம் 2: என்ன சமம் பதிவு 3 ⁡ (58) பதிவு 3 ⁡ (7) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • இந்த வெளிப்பாட்டை ஒரு மடக்கைக்கு மாற்றுவோம்: பதிவு 3 ⁡ (58) பதிவு 3 ⁡ (7) = பதிவு 7 ⁡ (58) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ பதிவு_(7)(58)). இரண்டு மடக்கைகளுக்கும் பொதுவான அடிப்படை 3 மறைந்துவிடும் என்பதை நினைவில் கொள்க; இது எந்த காரணத்திற்காகவும் உண்மை.
   • வடிவத்தில் வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம் 7? = 58 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​7^(?)=58)மற்றும் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​7^(3)=49*7=343)
     58 இந்த இரண்டு எண்களுக்கும் இடையில் இருப்பதால், அது முழு எண்ணாக வெளிப்படுத்தப்படவில்லை.
   • பதிலை மடக்கை வடிவத்தில் விடுகிறோம்: பதிவு 7 ⁡ (58) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\log _(7)(58)).