กฎสำหรับการดำเนินการตามลำดับทางคณิตศาสตร์ ขั้นตอนการดำเนินการ กฎ ตัวอย่าง

หัวข้อบทเรียน: "ลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่ไม่มีเครื่องหมายวงเล็บและวงเล็บเหลี่ยม"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: สร้างเงื่อนไขสำหรับการรวมความสามารถในการประยุกต์ความรู้เกี่ยวกับลำดับของการกระทำในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บและมีวงเล็บเข้า สถานการณ์ที่แตกต่างกันทักษะในการแก้ปัญหาด้วยการแสดงออก

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

เกี่ยวกับการศึกษา:

เพื่อรวบรวมความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับกฎสำหรับการดำเนินการในสำนวนที่ไม่มีและมีวงเล็บ พัฒนาความสามารถในการใช้กฎเหล่านี้เมื่อคำนวณนิพจน์เฉพาะ พัฒนาทักษะการใช้คอมพิวเตอร์ ทำซ้ำกรณีตารางของการคูณและการหาร

เกี่ยวกับการศึกษา:

พัฒนาทักษะการใช้คอมพิวเตอร์ การคิดอย่างมีตรรกะความสนใจ ความจำ ความสามารถทางปัญญาของนักเรียน

ความสามารถในการสื่อสาร;

เกี่ยวกับการศึกษา:

ปลูกฝังทัศนคติที่เอื้อเฟื้อต่อกัน ความร่วมมือซึ่งกันและกัน

วัฒนธรรมพฤติกรรมในห้องเรียน ความถูกต้อง ความเป็นอิสระ เพื่อปลูกฝังความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์

UUD ที่จัดตั้งขึ้น:

UUD ตามข้อบังคับ:

ทำงานตามแผนคำแนะนำที่เสนอ

หยิบยกสมมติฐานของคุณตาม สื่อการศึกษา;

ออกกำลังกายการควบคุมตนเอง

UUD ความรู้ความเข้าใจ:

รู้กฎลำดับของการกระทำ:

สามารถอธิบายเนื้อหาได้

เข้าใจกฎลำดับของการกระทำ

ค้นหาความหมายของสำนวนตามกฎของคำสั่งดำเนินการ

การกระทำโดยใช้ปัญหาคำ

เขียนวิธีแก้ไขปัญหาโดยใช้นิพจน์

ใช้กฎสำหรับลำดับการกระทำ

สามารถประยุกต์ความรู้ที่ได้รับมาปฏิบัติได้ ทดสอบงาน.

UUD การสื่อสาร:

ฟังและเข้าใจคำพูดของผู้อื่น

แสดงความคิดของคุณด้วยความครบถ้วนและถูกต้องเพียงพอ

อนุญาตให้มีมุมมองที่แตกต่างกันมุ่งมั่นที่จะเข้าใจตำแหน่งของคู่สนทนา

ทำงานในทีมที่มีเนื้อหาต่างกัน (คู่รัก กลุ่มเล็ก ๆทั้งชั้นเรียน) เข้าร่วมการอภิปราย ทำงานเป็นคู่

UUD ส่วนตัว:

สร้างการเชื่อมโยงระหว่างวัตถุประสงค์ของกิจกรรมและผลลัพธ์

กำหนดกฎเกณฑ์พฤติกรรมทั่วไปสำหรับทุกคน

แสดงความสามารถในการประเมินตนเองตามเกณฑ์ความสำเร็จ กิจกรรมการศึกษา.

ผลลัพธ์ที่วางแผนไว้:

เรื่อง:

รู้กฎสำหรับลำดับการกระทำ

สามารถอธิบายเนื้อหาได้

สามารถแก้ปัญหาโดยใช้สำนวนได้

ส่วนตัว:
สามารถประเมินตนเองตามเกณฑ์ความสำเร็จของกิจกรรมการศึกษาได้

เมตาหัวข้อ:

สามารถกำหนดและกำหนดเป้าหมายในบทเรียนด้วยความช่วยเหลือจากครู ออกเสียงลำดับการกระทำในบทเรียน ทำงานตามแผนที่วางไว้ร่วมกัน ประเมินความถูกต้องของการดำเนินการในระดับการประเมินย้อนหลังที่เพียงพอ วางแผนการดำเนินการของคุณให้สอดคล้องกับงาน ทำการปรับเปลี่ยนที่จำเป็นในการดำเนินการหลังจากเสร็จสิ้นตามการประเมินและคำนึงถึงลักษณะของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น แสดงการเดาของคุณ ( UUD ตามข้อบังคับ ).

สามารถแสดงความคิดของคุณด้วยวาจา ฟังและเข้าใจคำพูดของผู้อื่น ร่วมกันตกลงกฎเกณฑ์ความประพฤติและการสื่อสารที่โรงเรียนและปฏิบัติตาม ( UUD การสื่อสาร ).

สามารถนำทางระบบความรู้ของคุณ: แยกความแตกต่างใหม่จากความรู้แล้วด้วยความช่วยเหลือจากครู รับความรู้ใหม่: ค้นหาคำตอบสำหรับคำถามโดยใช้ตำราเรียนของคุณ ประสบการณ์ชีวิตและข้อมูลที่ได้รับในชั้นเรียน (UUD ความรู้ความเข้าใจ ).

ในระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

เพื่อให้บทเรียนของเราสดใสยิ่งขึ้น

เราจะแบ่งปันสิ่งดีๆ

คุณเหยียดฝ่ามือออก

ใส่ความรักของคุณไว้ในนั้น

และยิ้มให้กัน

รับงานของคุณ

เราเปิดสมุดบันทึก จดตัวเลข และทำงานของชั้นเรียนให้เสร็จ

2. การอัพเดตความรู้

ในบทนี้ เราจะต้องดูรายละเอียดเกี่ยวกับลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ที่ไม่มีและด้วยวงเล็บ

การนับวาจา

เกม "ค้นหาคำตอบที่ถูกต้อง"

(นักเรียนแต่ละคนมีแผ่นที่มีตัวเลข)

ฉันอ่านงานแล้วและเมื่อคุณทำการกระทำในใจเสร็จแล้วคุณจะต้องขีดฆ่าผลลัพธ์ที่ได้นั่นคือคำตอบ

ฉันนึกถึงตัวเลข ลบ 80 แล้วได้ 18 ฉันนึกถึงเลขอะไร? (98)

ฉันคิดเลขบวก 12 ก็ได้ 70 ฉันนึกถึงเลขอะไร? (58)

เทอมแรกคือ 90 เทอมที่สองคือ 12 จงหาผลรวม (102)

รวมผลลัพธ์ของคุณ

คุณได้รูปทรงเรขาคณิตอะไร? (สามเหลี่ยม)

บอกเราว่าคุณรู้อะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้ รูปทรงเรขาคณิต. (มี 3 ด้าน 3 จุดยอด 3 มุม)

เรายังคงทำงานกับการ์ดต่อไป

ค้นหาความแตกต่างระหว่างตัวเลข 100 และ 22 . (78)

เครื่องหมายต่ำสุดคือ 99 เครื่องหมายล่างคือ 19 ค้นหาผลต่าง (80).

เอาเลข 25 4 ครั้ง (100)

วาดรูปสามเหลี่ยมอีกอันภายในสามเหลี่ยมเพื่อเชื่อมต่อผลลัพธ์

คุณได้สามเหลี่ยมกี่อัน? (5)

3. ทำงานในหัวข้อของบทเรียน การสังเกตการเปลี่ยนแปลงค่าของนิพจน์ขึ้นอยู่กับลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ในชีวิตเราทำการกระทำบางอย่างอยู่ตลอดเวลา: เราเดิน, ศึกษา, อ่าน, เขียน, นับ, ยิ้ม, ทะเลาะวิวาทและสร้างสันติภาพ เราดำเนินการเหล่านี้ตามลำดับที่แตกต่างกัน บางทีก็สลับกันได้ บางทีก็สลับไม่ได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อเตรียมตัวไปโรงเรียนในตอนเช้า คุณสามารถออกกำลังกายก่อน จากนั้นจึงจัดเตียง หรือในทางกลับกัน แต่คุณไม่สามารถไปโรงเรียนก่อนแล้วจึงสวมเสื้อผ้า

จำเป็นต้องทำเช่นนี้ในวิชาคณิตศาสตร์หรือไม่? การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามลำดับใช่ไหม?

มาตรวจสอบกัน

ลองเปรียบเทียบนิพจน์:
8-3+4 และ 8-3+4

เราเห็นว่าทั้งสองสำนวนเหมือนกันทุกประการ

มาดำเนินการในสำนวนหนึ่งจากซ้ายไปขวาและอีกสำนวนจากขวาไปซ้าย คุณสามารถใช้ตัวเลขเพื่อระบุลำดับของการกระทำ (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ขั้นตอน

ในนิพจน์แรก เราจะดำเนินการลบก่อนแล้วจึงบวกเลข 4 เข้ากับผลลัพธ์

ในนิพจน์ที่สอง อันดับแรกเราจะหาค่าของผลรวม แล้วลบผลลัพธ์ผลลัพธ์ 7 ออกจาก 8

เราจะเห็นว่าความหมายของสำนวนต่างกัน

สรุป: ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้.

ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ

มาเรียนรู้กฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บกันดีกว่า

หากนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บมีเพียงการบวกและการลบหรือการคูณและการหารเท่านั้น การดำเนินการจะดำเนินการตามลำดับที่เขียน

มาฝึกกันเถอะ

พิจารณาการแสดงออก

นิพจน์นี้ประกอบด้วยการดำเนินการบวกและการลบเท่านั้น การกระทำเหล่านี้เรียกว่า การกระทำในระยะแรก.

เราดำเนินการจากซ้ายไปขวาตามลำดับ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ขั้นตอน

พิจารณานิพจน์ที่สอง

นิพจน์นี้มีเพียงการดำเนินการคูณและการหาร - นี่คือการกระทำของขั้นที่สอง

เราดำเนินการจากซ้ายไปขวาตามลำดับ (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. ขั้นตอน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการตามลำดับใดหากนิพจน์ไม่เพียงประกอบด้วยการบวกและการลบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการคูณและการหารด้วย?

ถ้านิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บไม่เพียงแต่รวมการดำเนินการของการบวกและการลบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการคูณและการหาร หรือทั้งสองการดำเนินการเหล่านี้ ให้ดำเนินการตามลำดับ (จากซ้ายไปขวา) การคูณและการหาร จากนั้นจึงบวกและลบ

มาดูการแสดงออกกัน

ลองคิดแบบนี้ นิพจน์นี้ประกอบด้วยการดำเนินการของการบวกและการลบ การคูณและการหาร เราปฏิบัติตามกฎ ขั้นแรก เราดำเนินการคูณและหารตามลำดับ (จากซ้ายไปขวา) จากนั้นจึงบวกและลบ มาจัดลำดับการดำเนินการกัน

ลองคำนวณค่าของนิพจน์กัน

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ที่มีวงเล็บ

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการตามลำดับใดหากมีวงเล็บในนิพจน์?

หากนิพจน์มีวงเล็บ ค่าของนิพจน์ในวงเล็บจะถูกประเมินก่อน

มาดูการแสดงออกกัน

30 + 6 * (13 - 9)

เราจะเห็นว่าในนิพจน์นี้มีการกระทำในวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าเราจะดำเนินการนี้ก่อน จากนั้นจึงคูณและบวกตามลำดับ มาจัดลำดับการดำเนินการกัน

30 + 6 * (13 - 9)

ลองคำนวณค่าของนิพจน์กัน

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

กฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในนิพจน์ที่ไม่มีเครื่องหมายวงเล็บและวงเล็บ

เหตุผลประการหนึ่งควรสร้างลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างถูกต้องในนิพจน์ตัวเลขได้อย่างไร

ก่อนที่จะเริ่มการคำนวณ คุณต้องดูนิพจน์ (ค้นหาว่ามีวงเล็บหรือไม่ มีการดำเนินการใดบ้าง) จากนั้นจึงดำเนินการตามลำดับต่อไปนี้:

1. การกระทำที่เขียนในวงเล็บ

2. การคูณและการหาร

3. การบวกและการลบ

แผนภาพจะช่วยให้คุณจำกฎง่ายๆนี้ (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. ขั้นตอน

4. การรวมบัญชี เสร็จสิ้นภารกิจการฝึกอบรมสำหรับกฎที่เรียนรู้

มาฝึกกันเถอะ

พิจารณานิพจน์ กำหนดลำดับของการกระทำ และทำการคำนวณ

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

เราจะปฏิบัติตามกฎ นิพจน์ 43 - (20 - 7) +15 มีการดำเนินการในวงเล็บ เช่นเดียวกับการดำเนินการบวกและการลบ เรามาสร้างขั้นตอนกัน การดำเนินการแรกคือดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นจึงลบและบวกตามลำดับจากซ้ายไปขวา

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

นิพจน์ 32 + 9 * (19 - 16) มีการดำเนินการในวงเล็บ เช่นเดียวกับการดำเนินการคูณและการบวก ตามกฎก่อนอื่นเราจะดำเนินการในวงเล็บก่อนแล้วจึงคูณ (เราคูณตัวเลข 9 ด้วยผลลัพธ์ที่ได้จากการลบ) และการบวก

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

ในนิพจน์ 2*9-18:3 ไม่มีวงเล็บ แต่มีการคูณ การหาร และการลบ เราปฏิบัติตามกฎ ขั้นแรก ทำการคูณและหารจากซ้ายไปขวา แล้วลบผลลัพธ์ที่ได้จากการหารออกจากผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณ นั่นคือ การกระทำแรกคือการคูณ การกระทำที่สองคือการหาร การกระทำที่สามคือการลบ

2*9-18:3=18-6=12

มาดูกันว่าลำดับของการกระทำในนิพจน์ต่อไปนี้ถูกกำหนดไว้ถูกต้องหรือไม่

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

ลองคิดแบบนี้

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

ไม่มีวงเล็บในนิพจน์นี้ ซึ่งหมายความว่าเราต้องคูณหรือหารจากซ้ายไปขวาก่อน จากนั้นจึงบวกหรือลบ ในนิพจน์นี้ การกระทำแรกคือการหาร การกระทำที่สองคือการคูณ การกระทำที่สามควรเป็นการบวก การกระทำที่สี่ - การลบ สรุป: มีการกำหนดขั้นตอนอย่างถูกต้อง

ลองหาค่าของนิพจน์นี้กัน

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

มาพูดคุยกันต่อครับ

นิพจน์ที่สองประกอบด้วยวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าอันดับแรกเราจะดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นจึงคูณหรือหารบวกหรือลบจากซ้ายไปขวา เราตรวจสอบ: การกระทำแรกอยู่ในวงเล็บ การกระทำที่สองคือการหาร การกระทำที่สามคือการบวก สรุป: มีการกำหนดขั้นตอนไม่ถูกต้อง มาแก้ไขข้อผิดพลาดและค้นหาค่าของนิพจน์กัน

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

นิพจน์นี้ยังมีวงเล็บด้วย ซึ่งหมายความว่าอันดับแรกเราจะดำเนินการในวงเล็บ จากนั้นจึงคูณหรือหารบวกหรือลบจากซ้ายไปขวา ลองตรวจสอบดู: การกระทำแรกอยู่ในวงเล็บ การกระทำที่สองคือการคูณ การกระทำที่สามคือการลบ สรุป: มีการกำหนดขั้นตอนไม่ถูกต้อง มาแก้ไขข้อผิดพลาดและค้นหาค่าของนิพจน์กันดีกว่า

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

มาทำภารกิจให้เสร็จกันเถอะ

มาจัดเรียงลำดับของการกระทำในนิพจน์โดยใช้กฎที่เรียนรู้ (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. ขั้นตอน

เราไม่เห็นค่าตัวเลข ดังนั้นเราจึงไม่สามารถค้นหาความหมายของสำนวนได้ แต่เราจะฝึกใช้กฎที่เราได้เรียนรู้มา

เราดำเนินการตามอัลกอริทึม

นิพจน์แรกมีวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการแรกอยู่ในวงเล็บ จากนั้นจากซ้ายไปขวาการคูณและการหาร จากซ้ายไปขวาการลบและการบวก

นิพจน์ที่สองยังมีวงเล็บด้วย ซึ่งหมายความว่าเราทำการดำเนินการแรกในวงเล็บ หลังจากนั้นจากซ้ายไปขวาการคูณและการหารหลังจากนั้นการลบ

มาตรวจสอบตัวเราเองกันดีกว่า (รูปที่ 6)

ข้าว. 6. ขั้นตอน

5. สรุป.

วันนี้ในชั้นเรียน เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับกฎสำหรับลำดับการกระทำในสำนวนที่ไม่มีและแบบมีวงเล็บ ในระหว่างภารกิจ พวกเขาพิจารณาว่าความหมายของนิพจน์นั้นขึ้นอยู่กับลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์หรือไม่ พบว่าลำดับของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์แตกต่างกันในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บและมีวงเล็บเหลี่ยมหรือไม่ ฝึกฝนการใช้กฎที่เรียนรู้ ค้นหาและแก้ไขข้อผิดพลาด เกิดขึ้นเมื่อกำหนดลำดับของการกระทำ

กฎสำหรับลำดับการดำเนินการใน การแสดงออกที่ซับซ้อนกำลังศึกษาอยู่ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 แต่ในทางปฏิบัติแล้วบางส่วนเป็นของเด็กๆ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1

อันดับแรก เราจะพิจารณากฎเกี่ยวกับลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ เมื่อตัวเลขดำเนินการเพียงบวกและลบเท่านั้น หรือเฉพาะการคูณและการหารเท่านั้น ความจำเป็นในการแนะนำนิพจน์ที่มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไปในระดับเดียวกันเกิดขึ้นเมื่อนักเรียนคุ้นเคยกับเทคนิคการคำนวณของการบวกและการลบภายใน 10 กล่าวคือ:

ในทำนองเดียวกัน: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2

เนื่องจากเพื่อค้นหาความหมายของสำนวนเหล่านี้ เด็กนักเรียนจึงหันไปใช้การกระทำที่เป็นกลางซึ่งดำเนินการตามลำดับที่แน่นอน พวกเขาจึงเรียนรู้ได้อย่างง่ายดายว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (การบวกและการลบ) ที่เกิดขึ้นในนิพจน์จะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา

ก่อนอื่นนักเรียนจะได้พบกับนิพจน์ตัวเลขที่มีการดำเนินการบวกและการลบและวงเล็บในหัวข้อ "การบวกและการลบภายใน 10" เมื่อเด็กพบสำนวนดังกล่าวในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 เช่น 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 เช่น 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3 ครูสาธิตวิธีการอ่านและเขียนสำนวนดังกล่าวและวิธีการค้นหาความหมาย (เช่น 4*10:5 อ่าน: 4 คูณ 10 และ หารผลลัพธ์ผลลัพธ์ที่ 5) เมื่อศึกษาหัวข้อ "ลำดับของการกระทำ" ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 นักเรียนจะสามารถค้นหาความหมายของสำนวนประเภทนี้ได้ วัตถุประสงค์ของการทำงานเกี่ยวกับ ที่เวทีนี้- ขึ้นอยู่กับทักษะการปฏิบัติของนักเรียน ดึงความสนใจไปที่ลำดับการดำเนินการในสำนวนดังกล่าวและกำหนดกฎที่เกี่ยวข้อง นักเรียนแก้ตัวอย่างที่ครูเลือกอย่างอิสระและอธิบายตามลำดับที่พวกเขาทำ การกระทำในแต่ละตัวอย่าง จากนั้นพวกเขาก็กำหนดข้อสรุปด้วยตนเองหรืออ่านจากตำราเรียน: หากระบุเฉพาะการกระทำของการบวกและการลบ (หรือเฉพาะการกระทำของการคูณและการหาร) ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บก็จะดำเนินการตามลำดับที่เขียน (เช่นจากซ้ายไปขวา)

แม้ว่าในนิพจน์ในรูปแบบ a+b+c, a+(b+c) และ (a+b)+c การมีอยู่ของวงเล็บไม่ส่งผลกระทบต่อลำดับของการกระทำเนื่องจากกฎการเชื่อมโยงของการบวก ณ ที่นี้ ขั้นตอน แนะนำให้นักเรียนกำหนดทิศทางของนักเรียนให้ดำเนินการในวงเล็บก่อน นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าสำหรับการแสดงออกของรูปแบบ a - (b + c) และ a - (b - c) ลักษณะทั่วไปดังกล่าวเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้และสำหรับนักเรียน ชั้นต้นการกำหนดวงเล็บสำหรับนิพจน์ตัวเลขต่างๆ จะค่อนข้างยาก การใช้วงเล็บในนิพจน์ตัวเลขที่มีการดำเนินการบวกและการลบได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมซึ่งเกี่ยวข้องกับการศึกษากฎเช่นการบวกกับตัวเลข, ตัวเลขเป็นผลรวม, การลบผลรวมจากตัวเลขและตัวเลขจาก ผลรวม แต่เมื่อแนะนำวงเล็บครั้งแรก สิ่งสำคัญคือต้องแนะนำให้นักเรียนดำเนินการในวงเล็บก่อน

ครูดึงความสนใจของเด็ก ๆ ว่าการปฏิบัติตามกฎนี้มีความสำคัญเพียงใดในการคำนวณ ไม่เช่นนั้นคุณอาจได้รับความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น นักเรียนอธิบายว่าได้รับความหมายของนิพจน์ได้อย่างไร: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2 เหตุใดจึงไม่ถูกต้อง จริงๆ แล้วนิพจน์เหล่านี้มีความหมายอย่างไร ในทำนองเดียวกัน พวกเขาศึกษาลำดับของการกระทำในนิพจน์ด้วยวงเล็บในรูปแบบ: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5) นักเรียนยังคุ้นเคยกับสำนวนดังกล่าวและสามารถอ่าน เขียน และคำนวณความหมายได้ เมื่ออธิบายลำดับของการกระทำในสำนวนต่าง ๆ แล้ว เด็ก ๆ จะต้องสรุป: ในสำนวนที่มีวงเล็บเหลี่ยม การกระทำแรกจะดำเนินการกับตัวเลขที่เขียนในวงเล็บ จากการตรวจสอบสำนวนเหล่านี้ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงให้เห็นว่าการกระทำในสำนวนเหล่านี้ไม่ได้ดำเนินการตามลำดับที่เขียน เพื่อแสดงลำดับการดำเนินการที่แตกต่างกัน และใช้วงเล็บ

ข้อมูลต่อไปนี้จะแนะนำกฎสำหรับลำดับการดำเนินการในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ เมื่อมีการดำเนินการของระยะที่หนึ่งและสอง เนื่องจากกฎขั้นตอนเป็นที่ยอมรับโดยข้อตกลง ครูจึงสื่อสารกับเด็กๆ หรือนักเรียนเรียนรู้จากหนังสือเรียน เพื่อให้นักเรียนเข้าใจกฎที่แนะนำพร้อมกับแบบฝึกหัดการฝึกอบรม พวกเขาจึงรวมการแก้ตัวอย่างพร้อมคำอธิบายลำดับการกระทำของพวกเขา แบบฝึกหัดในการอธิบายข้อผิดพลาดตามลำดับการกระทำก็มีประสิทธิภาพเช่นกัน ตัวอย่างเช่นจากตัวอย่างที่ให้มาเสนอให้เขียนเฉพาะตัวอย่างที่ทำการคำนวณตามกฎของลำดับการกระทำ:

หลังจากอธิบายข้อผิดพลาดแล้ว คุณสามารถมอบหมายงานได้: ใช้วงเล็บเปลี่ยนลำดับการดำเนินการเพื่อให้นิพจน์มีค่าที่ระบุ ตัวอย่างเช่น เพื่อให้นิพจน์แรกที่กำหนดมีค่าเท่ากับ 10 คุณต้องเขียนดังนี้: (20+30):5=10

แบบฝึกหัดการคำนวณค่าของนิพจน์มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อนักเรียนต้องใช้กฎทั้งหมดที่เขาได้เรียนรู้ ตัวอย่างเช่น สำนวน 36:6+3*2 เขียนไว้บนกระดานหรือในสมุดบันทึก นักเรียนคำนวณมูลค่าของมัน จากนั้น ตามคำแนะนำของครู เด็ก ๆ จะใช้วงเล็บเพื่อเปลี่ยนลำดับการกระทำในนิพจน์:

• 36:6+3-2
• 36:(6+3-2)
• 36:(6+3)-2
• (36:6+3)-2

แบบฝึกหัดที่น่าสนใจ แต่ยากกว่าคือแบบฝึกหัดย้อนกลับ: วางวงเล็บเพื่อให้นิพจน์มีค่าที่กำหนด:

• 72-24:6+2=66
• 72-24:6+2=6
• 72-24:6+2=10
• 72-24:6+2=69

แบบฝึกหัดต่อไปนี้ก็น่าสนใจเช่นกัน:

• 1. จัดเรียงวงเล็บเพื่อให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:
• 25-17:4=2 3*6-4=6
• 24:8-2=4
• 2. วางเครื่องหมาย “+” หรือ “-” แทนเครื่องหมายดอกจันเพื่อให้คุณได้ค่าที่เท่ากันที่ถูกต้อง:
• 38*3*7=34
• 38*3*7=28
• 38*3*7=42
• 38*3*7=48
• 3. วางเครื่องหมายเลขคณิตแทนเครื่องหมายดอกจันเพื่อให้ค่าเท่ากันเป็นจริง:
• 12*6*2=4
• 12*6*2=70
• 12*6*2=24
• 12*6*2=9
• 12*6*2=0

โดยการทำแบบฝึกหัดดังกล่าว นักเรียนจะเชื่อมั่นว่าความหมายของสำนวนสามารถเปลี่ยนแปลงได้หากลำดับของการกระทำเปลี่ยนไป

เพื่อให้เชี่ยวชาญกฎของลำดับการกระทำ จำเป็นในเกรด 3 และ 4 ที่จะรวมนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อคำนวณค่าที่นักเรียนจะใช้ไม่ใช่หนึ่งกฎ แต่มีกฎสองหรือสามข้อของลำดับการกระทำแต่ละรายการ เวลา เช่น:

• 90*8- (240+170)+190,
• 469148-148*9+(30 100 - 26909).

ในกรณีนี้ ควรเลือกตัวเลขเพื่อให้สามารถดำเนินการในลำดับใดก็ได้ ซึ่งสร้างเงื่อนไขสำหรับการประยุกต์ใช้กฎที่เรียนรู้อย่างมีสติ

เมื่อเราทำงานร่วมกับ สำนวนต่างๆรวมทั้งตัวเลข ตัวอักษร และตัวแปรต่างๆ ที่เราต้องทำ จำนวนมากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เมื่อเราทำการแปลงหรือคำนวณมูลค่า สิ่งสำคัญมากคือต้องปฏิบัติตามลำดับที่ถูกต้องของการกระทำเหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มีลำดับการดำเนินการพิเศษของตนเอง

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ในบทความนี้เราจะบอกคุณว่าการกระทำใดควรทำก่อนและควรทำสิ่งใดหลังจากนั้น ก่อนอื่นเรามาดูกันก่อน สำนวนง่ายๆซึ่งมีเพียงตัวแปรหรือ ค่าตัวเลขเช่นเดียวกับเครื่องหมายการหาร การคูณ การลบ และการบวก จากนั้นลองยกตัวอย่างด้วยวงเล็บแล้วพิจารณาว่าควรคำนวณตามลำดับใด ในส่วนที่สาม เราจะให้ลำดับที่จำเป็นของการแปลงและการคำนวณในตัวอย่างเหล่านั้นซึ่งรวมถึงสัญญาณของราก พลัง และฟังก์ชันอื่นๆ

ในกรณีของนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ ลำดับของการกระทำจะถูกกำหนดอย่างชัดเจน:

1. การกระทำทั้งหมดจะดำเนินการจากซ้ายไปขวา
2. เราทำการหารและการคูณก่อน และการลบและการบวกอย่างที่สอง

ความหมายของกฎเหล่านี้ง่ายต่อการเข้าใจ ลำดับการเขียนจากซ้ายไปขวาแบบดั้งเดิมจะกำหนดลำดับพื้นฐานของการคำนวณ และความจำเป็นในการคูณหรือหารก่อนนั้นอธิบายได้จากสาระสำคัญของการดำเนินการเหล่านี้

เรามาทำงานบางอย่างเพื่อความชัดเจนกันดีกว่า เราใช้เฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ง่ายที่สุดเพื่อให้การคำนวณทั้งหมดสามารถทำได้ทางจิตใจ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถจดจำลำดับที่ต้องการได้อย่างรวดเร็วและตรวจสอบผลลัพธ์ได้อย่างรวดเร็ว

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 7 − 3 + 6 .

สารละลาย

ไม่มีวงเล็บในนิพจน์ของเรา และไม่มีการคูณและการหารด้วย ดังนั้นเราจึงดำเนินการทั้งหมดตามลำดับที่ระบุ ก่อนอื่นเราลบสามออกจากเจ็ด แล้วบวกหกเข้ากับเศษที่เหลือและจบลงด้วยสิบ นี่คือบันทึกของโซลูชันทั้งหมด:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

คำตอบ: 7 − 3 + 6 = 10 .

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:การคำนวณควรทำตามลำดับใดในนิพจน์? 6:2 8:3?

สารละลาย

เพื่อตอบคำถามนี้ เรามาอ่านกฎสำหรับนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บที่เรากำหนดไว้ก่อนหน้านี้อีกครั้ง เรามีเพียงการคูณและการหารตรงนี้ ซึ่งหมายความว่าเราเก็บลำดับการคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษรและนับตามลำดับจากซ้ายไปขวา

คำตอบ:ขั้นแรกเราหารหกด้วยสอง คูณผลลัพธ์ด้วยแปด และหารตัวเลขผลลัพธ์ด้วยสาม

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะเท่ากับ 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2

สารละลาย

ขั้นแรก เรามากำหนดลำดับการดำเนินการที่ถูกต้อง เนื่องจากเรามีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ประเภทพื้นฐานทั้งหมดที่นี่ - การบวก ลบ การคูณ การหาร สิ่งแรกที่เราต้องทำคือหารและคูณ การกระทำเหล่านี้ไม่มีลำดับความสำคัญซึ่งกันและกัน ดังนั้นเราจึงดำเนินการตามลำดับลายลักษณ์อักษรจากขวาไปซ้าย นั่นคือ 5 ต้องคูณด้วย 6 จึงจะได้ 30 จากนั้น 30 หารด้วย 3 จึงได้ 10 หลังจากนั้นหาร 4 ด้วย 2 นี่คือ 2 แทนที่ค่าที่พบลงในนิพจน์ดั้งเดิม:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

ไม่มีการหารหรือการคูณอีกต่อไปแล้ว ดังนั้นเราจึงคำนวณที่เหลือตามลำดับและรับคำตอบ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

คำตอบ:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

จนกว่าจะจดจำลำดับของการดำเนินการได้อย่างแม่นยำ คุณสามารถใส่ตัวเลขไว้เหนือเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อระบุลำดับของการคำนวณ ตัวอย่างเช่น สำหรับปัญหาข้างต้น เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

ถ้าเรามี การแสดงออกตามตัวอักษรจากนั้นเราก็ทำแบบเดียวกันกับพวกมัน ขั้นแรกเราคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบ

การดำเนินการระยะที่หนึ่งและสองคืออะไร?

บางครั้งในหนังสืออ้างอิง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะแบ่งออกเป็นการดำเนินการของขั้นที่หนึ่งและขั้นที่สอง ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่จำเป็น

การดำเนินการในระยะแรก ได้แก่ การลบและการบวก ขั้นที่สองคือการคูณและการหาร

เมื่อรู้ชื่อเหล่านี้แล้ว เราก็สามารถเขียนกฎที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับลำดับการกระทำได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 2

ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ คุณต้องดำเนินการของขั้นตอนที่สองในทิศทางจากซ้ายไปขวาก่อน จากนั้นจึงดำเนินการของขั้นตอนแรก (ในทิศทางเดียวกัน)

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีวงเล็บ

วงเล็บเป็นสัญญาณที่บอกเราถึงลำดับการกระทำที่ต้องการ ในกรณีนี้ กฎที่ถูกต้องสามารถเขียนได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 3

หากมีวงเล็บในนิพจน์ ขั้นตอนแรกคือดำเนินการในวงเล็บ หลังจากนั้นเราจะคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบจากซ้ายไปขวา

สำหรับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บนั้นถือได้ว่าเป็นส่วนสำคัญของนิพจน์หลัก เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ในวงเล็บ เราจะคงขั้นตอนเดิมที่เรารู้จักไว้ เรามาแสดงแนวคิดของเราด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

สารละลาย

มีวงเล็บอยู่ในนิพจน์นี้ เรามาเริ่มกันที่วงเล็บกันก่อน ก่อนอื่น ลองคำนวณว่า 7 − 2 · 3 จะเป็นเท่าใด ที่นี่เราต้องคูณ 2 ด้วย 3 และลบผลลัพธ์ออกจาก 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

เราคำนวณผลลัพธ์ในวงเล็บที่สอง ที่นั่นเรามีการกระทำเดียวเท่านั้น: 6 − 4 = 2 .

ตอนนี้เราต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในนิพจน์ดั้งเดิม:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

เริ่มต้นด้วยการคูณและการหาร จากนั้นทำการลบและรับ:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

นี่เป็นการสรุปการคำนวณ

คำตอบ: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

อย่าตกใจหากเงื่อนไขของเรามีนิพจน์ที่มีวงเล็บบางอันล้อมรอบเครื่องหมายอื่น เราจำเป็นต้องใช้กฎข้างต้นกับนิพจน์ทั้งหมดในวงเล็บอย่างสม่ำเสมอ เรามาเอาปัญหานี้กัน

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

สารละลาย

เรามีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ เราเริ่มต้นด้วย 3 + 1 + 4 · (2 ​​​​+ 3) คือ 2 + 3 มันจะเป็น 5 ค่าจะต้องถูกแทนที่ในนิพจน์และคำนวณว่า 3 + 1 + 4 · 5 เราจำได้ว่าก่อนอื่นเราต้องคูณแล้วบวก: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. แทนที่ค่าที่พบลงในนิพจน์ดั้งเดิมเราจะคำนวณคำตอบ: 4 + 24 = 28 .

คำตอบ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่มีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ เราจะเริ่มต้นด้วยวงเล็บด้านในและดำเนินการไปจนถึงวงเล็บด้านนอก

สมมติว่าเราต้องหาว่า (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 จะเป็นเท่าใด เราเริ่มต้นด้วยนิพจน์ในวงเล็บด้านใน เนื่องจาก 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 นิพจน์เดิมสามารถเขียนเป็น (4 + (4 + 1) − 1) − 1 มองอีกครั้งที่วงเล็บด้านใน: 4 + 1 = 5 เรามาถึงการแสดงออก (4 + 5 − 1) − 1 . เรานับ 4 + 5 − 1 = 8 และผลที่ได้คือผลต่าง 8 - 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 7

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีกำลัง ราก ลอการิทึม และฟังก์ชันอื่นๆ

หากเงื่อนไขของเรามีนิพจน์ที่มีดีกรี รูต ลอการิทึม หรือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์) หรือฟังก์ชันอื่นๆ ก่อนอื่นเราต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันนั้น หลังจากนั้นเราดำเนินการตามกฎที่ระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันมีความสำคัญเท่ากันกับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ

ลองดูตัวอย่างการคำนวณดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:หาว่าเท่าไหร่ (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

สารละลาย

เรามีนิพจน์ที่มีดีกรีซึ่งจะต้องค้นหาค่าก่อน เรานับ: 6 2 = 36 ทีนี้ลองแทนที่ผลลัพธ์เป็นนิพจน์ หลังจากนั้นจะอยู่ในรูปแบบ (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 - 7 = 13

คำตอบ: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

ในบทความแยกต่างหากเกี่ยวกับการคำนวณค่าของนิพจน์เราได้จัดเตรียมสิ่งอื่นเพิ่มเติมไว้ ตัวอย่างที่ซับซ้อนการคำนวณในกรณีของนิพจน์ที่มีราก องศา ฯลฯ เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับมัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

โรงเรียนประถมศึกษากำลังจะสิ้นสุดลง และในไม่ช้า เด็กก็จะก้าวเข้าสู่โลกแห่งคณิตศาสตร์ขั้นสูง แต่แล้วในช่วงเวลานี้ นักเรียนต้องเผชิญกับความยากลำบากของวิทยาศาสตร์ เมื่อทำงานง่ายๆ เด็กจะสับสนและหลงทาง ซึ่งท้ายที่สุดแล้วนำไปสู่ผลเสียต่องานที่ทำเสร็จแล้ว เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาดังกล่าว เมื่อแก้ไขตัวอย่าง คุณจะต้องสามารถนำทางไปตามลำดับที่คุณต้องการแก้ไขตัวอย่างได้ การกระจายการกระทำไม่ถูกต้อง เด็กทำงานไม่ถูกต้อง บทความนี้เปิดเผยกฎพื้นฐานสำหรับการแก้ไขตัวอย่างที่มีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดรวมถึงวงเล็บด้วย ขั้นตอนในวิชาคณิตศาสตร์ กฎและตัวอย่างชั้นประถมศึกษาปีที่ 4

ก่อนที่จะทำงานให้เสร็จ ขอให้ลูกของคุณนับการกระทำที่เขาจะทำ หากคุณมีปัญหาใด ๆ โปรดช่วย

กฎบางประการที่ต้องปฏิบัติตามเมื่อแก้ไขตัวอย่างที่ไม่มีวงเล็บ:

หากงานนั้นต้องดำเนินการหลายอย่าง คุณต้องดำเนินการหารหรือคูณก่อน จากนั้นจึง การดำเนินการทั้งหมดจะดำเนินการเมื่อจดหมายดำเนินไป มิฉะนั้นผลการตัดสินจะไม่ถูกต้อง

หากในตัวอย่างคุณจำเป็นต้องดำเนินการ เราจะดำเนินการตามลำดับจากซ้ายไปขวา

27-5+15=37 (เมื่อแก้ไขตัวอย่าง เราจะปฏิบัติตามกฎ ขั้นแรกให้ทำการลบแล้วจึงบวก)

สอนลูกของคุณให้วางแผนและนับจำนวนการกระทำที่ทำอยู่เสมอ

คำตอบของการกระทำที่แก้ไขแล้วแต่ละรายการจะถูกเขียนไว้เหนือตัวอย่าง สิ่งนี้จะทำให้เด็กสามารถนำทางการกระทำได้ง่ายขึ้นมาก

ลองพิจารณาอีกทางเลือกหนึ่งซึ่งจำเป็นต้องกระจายการดำเนินการตามลำดับ:

อย่างที่คุณเห็น เมื่อทำการแก้ไข กฎจะถูกปฏิบัติตาม: อันดับแรกเรามองหาผลิตภัณฑ์ จากนั้นเราจะมองหาความแตกต่าง

นี้ ตัวอย่างง่ายๆเมื่อจะแก้ไขสิ่งใดก็ต้องได้รับการดูแลเอาใจใส่ เด็กหลายคนตกตะลึงเมื่อเห็นงานที่ไม่เพียงแต่การคูณและการหารเท่านั้น แต่ยังมีวงเล็บด้วย นักเรียนที่ไม่ทราบขั้นตอนในการดำเนินการมีคำถามที่ทำให้ไม่สามารถทำงานให้สำเร็จได้

ตามที่ระบุไว้ในกฎ อันดับแรกเราจะหาผลคูณหรือผลหาร จากนั้นจึงหาอย่างอื่นทั้งหมด แต่มีวงเล็บ! จะทำอย่างไรในกรณีนี้?

การแก้ตัวอย่างด้วยวงเล็บ

ลองดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง:

• เมื่อดำเนินการงานนี้ ก่อนอื่นเราจะค้นหาค่าของนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ
• คุณควรเริ่มด้วยการคูณแล้วบวก
• หลังจากแก้ไขนิพจน์ในวงเล็บแล้ว เราจะดำเนินการภายนอกต่อ
• ตามกฎขั้นตอน ขั้นตอนต่อไปคือการคูณ
• ขั้นตอนสุดท้ายจะเป็น

ดังที่เราเห็นในตัวอย่างภาพ การกระทำทั้งหมดจะถูกกำหนดหมายเลขไว้ เพื่อเน้นย้ำหัวข้อนี้ ให้เชิญบุตรหลานของคุณแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างด้วยตนเอง:

ลำดับที่ควรคำนวณค่าของนิพจน์ได้ถูกจัดเรียงไว้แล้ว เด็กจะต้องดำเนินการตัดสินใจโดยตรงเท่านั้น

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น ให้เด็กค้นพบความหมายของสำนวนด้วยตัวเอง

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

สอนลูกของคุณให้แก้ไขงานทั้งหมดในรูปแบบร่าง ในกรณีนี้นักศึกษาจะมีโอกาสแก้ไขได้ การตัดสินใจที่ถูกต้องหรือรอยเปื้อน ใน สมุดงานไม่อนุญาตให้มีการแก้ไข เมื่อทำงานให้เสร็จด้วยตัวเอง เด็ก ๆ จะมองเห็นข้อผิดพลาดของตนเอง

ในทางกลับกัน ผู้ปกครองควรใส่ใจกับข้อผิดพลาด ช่วยให้เด็กเข้าใจและแก้ไขข้อผิดพลาด คุณไม่ควรทำให้สมองของนักเรียนทำงานหนักเกินไปกับงานจำนวนมาก ด้วยการกระทำเช่นนี้ คุณจะกีดกันความปรารถนาของเด็กที่จะมีความรู้ ควรมีความรู้สึกเป็นสัดส่วนในทุกสิ่ง

หยุดพัก. เด็กควรเสียสมาธิและพักการเรียน สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือไม่ใช่ทุกคนที่มีจิตใจทางคณิตศาสตร์ บางทีลูกของคุณอาจจะเติบโตขึ้นมาเป็นนักปรัชญาที่มีชื่อเสียง

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ...การสนทนายังคงดำเนินต่อไป ณ ปัจจุบันนี้ มาที่ ความคิดเห็นทั่วไปชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่ประสบความสำเร็จในการทำความเข้าใจแก่นแท้ของความขัดแย้ง... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต แนวทางทางกายภาพและปรัชญาใหม่ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ กับ จุดทางกายภาพจากมุมมอง ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในจังหวะที่อคิลลีสไล่ตามเต่าทัน หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลิสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่มันไม่ใช่ โซลูชั่นที่สมบูรณ์ปัญหา. คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนไหว เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งอยู่ทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว ต้องสังเกตอีกประเด็นหนึ่งที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านั้นคุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการจะชี้ให้เห็น ความสนใจเป็นพิเศษคือจุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเนื่องจากให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ความแตกต่างระหว่างชุดและหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.

ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ขอให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์ดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งมาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาก็จะเริ่มยืนยันกับเราว่ามีธนบัตรสกุลเดียวกัน ตัวเลขที่แตกต่างกันตั๋วเงินซึ่งหมายความว่าไม่สามารถถือเป็นองค์ประกอบที่เหมือนกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีมากที่สุด สนใจสอบถาม: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีเส้นดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูนี่. เราเลือก สนามฟุตบอลด้วยพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้ค้นหาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลาน ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรในคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถทำได้ง่ายๆ

เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและทำอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลข หมายเลขที่กำหนด. เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดรูปภาพผลลัพธ์หนึ่งรูปภาพออกเป็นหลายรูปภาพที่มีตัวเลขแต่ละตัว การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการให้เป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" ที่สอนโดยหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นใน ระบบที่แตกต่างกันในแคลคูลัส ผลรวมของตัวเลขที่มีจำนวนเท่ากันจะต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข กับ จำนวนมาก 12345 ฉันไม่อยากหลอกตัวเอง มาดูหมายเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ แต่เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดแล้ว เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำแบบเดียวกันโดยใช้หน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว ก็ไม่เกี่ยวอะไรกับคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยการวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้

โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?

หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย

หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน

จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้เป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติที่ชัดเจนในการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ