Modelo ng matematika ng isang bagay sa agham ng computer. Mga pangunahing kaalaman sa mga modelo ng matematika

bahay / diborsyo

Upang makabuo ng isang mathematical model kailangan mo:

maingat na pag-aralan ang isang tunay na bagay o proseso;
i-highlight ang pinakamahalagang katangian at katangian nito;
tukuyin ang mga variable, i.e. mga parameter na ang mga halaga ay nakakaapekto sa mga pangunahing tampok at katangian ng bagay;
ilarawan ang pag-asa ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema sa mga halaga ng mga variable gamit ang lohikal-matematikong relasyon (mga equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal-matematika na mga konstruksyon);
i-highlight ang mga panloob na koneksyon ng isang bagay, proseso o sistema gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon;
tukuyin ang mga panlabas na koneksyon at ilarawan ang mga ito gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon.

Ang pagmomodelo ng matematika, bilang karagdagan sa pag-aaral ng isang bagay, proseso o sistema at pagguhit ng isang paglalarawan sa matematika nito, ay kinabibilangan din ng:

pagbuo ng algorithm na nagmomodelo ng gawi ng isang bagay, proseso o system;
pagsuri sa kasapatan ng modelo at ng bagay, proseso o sistema batay sa computational at full-scale na mga eksperimento;
pagsasaayos ng modelo;
gamit ang modelo.

Ang matematikal na paglalarawan ng mga proseso at sistemang pinag-aaralan ay nakasalalay sa:

ang likas na katangian ng isang tunay na proseso o sistema at pinagsama-sama batay sa mga batas ng pisika, kimika, mechanics, thermodynamics, hydrodynamics, electrical engineering, plasticity theory, elasticity theory, atbp.
ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng pag-aaral at pagsasaliksik ng mga tunay na proseso at sistema.

Ang pagbuo ng isang mathematical model ay karaniwang nagsisimula sa pagbuo at pagsusuri ng pinakasimple, pinaka-krudong mathematical model ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Sa hinaharap, kung kinakailangan, ang modelo ay pino at ang pagkakaugnay nito sa bagay ay gagawing mas kumpleto.

Kumuha tayo ng isang simpleng halimbawa. Kailangan mong matukoy ang ibabaw na lugar mesa. Karaniwan, ginagawa ito sa pamamagitan ng pagsukat ng haba at lapad nito, at pagkatapos ay pagpaparami ng mga resultang numero. Ang elementarya na pamamaraan na ito ay talagang nangangahulugan ng sumusunod: ang isang tunay na bagay (ibabaw ng talahanayan) ay pinalitan ng isang abstract na modelo ng matematika - isang parihaba. Ang mga sukat na nakuha sa pamamagitan ng pagsukat ng haba at lapad ng ibabaw ng talahanayan ay itinalaga sa parihaba, at ang lugar ng naturang parihaba ay tinatayang kinuha bilang kinakailangang lugar ng talahanayan. Gayunpaman, ang rectangle model para sa isang desk ay ang pinakasimpleng, pinaka-krudong modelo. Kung gumawa ka ng isang mas seryosong diskarte sa problema, bago gumamit ng isang rektanggulo na modelo upang matukoy ang lugar ng talahanayan, ang modelong ito ay kailangang suriin. Maaaring isagawa ang mga pagsusuri tulad ng sumusunod: sukatin ang mga haba ng magkabilang panig ng talahanayan, pati na rin ang mga haba ng mga diagonal nito at ihambing ang mga ito sa bawat isa. Kung, na may kinakailangang antas ng katumpakan, ang mga haba ng magkabilang panig at ang mga haba ng mga dayagonal ay magkapareho sa mga pares, kung gayon ang ibabaw ng talahanayan ay talagang maituturing na isang rektanggulo. Kung hindi, ang rectangle model ay kailangang tanggihan at palitan ng isang pangkalahatang quadrilateral na modelo. Sa isang mas mataas na kinakailangan para sa katumpakan, maaaring kinakailangan upang pinuhin pa ang modelo, halimbawa, upang isaalang-alang ang pag-ikot ng mga sulok ng talahanayan.

Sa tulong nito simpleng halimbawa ipinakita na ang modelo ng matematika ay hindi natatanging tinutukoy ng bagay, proseso o sistema.

O (maglilinaw bukas)

Mga paraan upang malutas ang matematika. Mga modelo:

1, Konstruksyon ng isang modelo batay sa mga batas ng kalikasan (paraan ng pagsusuri)

2. Ang pormal na paraan gamit ang mga istatistikal na pamamaraan. Pagproseso at mga resulta ng pagsukat (statistical approach)

3. Pagbuo ng isang modelo batay sa isang modelo ng mga elemento (mga kumplikadong sistema)

1, Analytical - gamitin nang may sapat na pag-aaral. Ang pangkalahatang pattern ay kilala. Mga modelo.

2. eksperimento. Sa kawalan ng impormasyon.

3. Imitasyon m. - ginagalugad ang mga katangian ng bagay. Sa pangkalahatan.

Isang halimbawa ng pagbuo ng isang mathematical model.

Matematikal na modelo- Ito representasyong matematikal katotohanan.

Pagmomodelo sa matematika ay isang proseso ng pagbuo at pag-aaral mga modelo ng matematika.

Ang lahat ng natural at panlipunang agham na gumagamit ng matematika ay mahalagang nakikibahagi sa pagmomodelo ng matematika: pinapalitan nila ang isang bagay ng modelong matematika nito at pagkatapos ay pinag-aaralan ang huli. Ang koneksyon sa pagitan ng isang matematikal na modelo at katotohanan ay isinasagawa gamit ang isang hanay ng mga hypotheses, idealization at pagpapagaan. Gamit ang mga pamamaraan ng matematika, bilang panuntunan, ang isang perpektong bagay na binuo sa yugto ng makabuluhang pagmomolde ay inilarawan.

Bakit kailangan ang mga modelo?

Kadalasan, kapag nag-aaral ng anumang bagay, ang mga paghihirap ay lumitaw. Ang orihinal mismo ay minsan ay hindi magagamit, o ang paggamit nito ay hindi ipinapayong, o ang pag-akit sa orihinal ay mahal. Ang lahat ng mga problemang ito ay maaaring malutas gamit ang simulation. Model sa sa isang tiyak na kahulugan maaaring palitan ang bagay na pinag-aaralan.

Ang pinakasimpleng mga halimbawa ng mga modelo

§ Ang isang litrato ay maaaring tawaging modelo ng isang tao. Upang makilala ang isang tao, sapat na upang makita ang kanyang larawan.

§ Ang arkitekto ay lumikha ng isang modelo ng isang bagong residential area. Maaari niyang ilipat ang isang mataas na gusali mula sa isang bahagi patungo sa isa pa sa pamamagitan ng paggalaw ng kanyang kamay. Sa katotohanan, hindi ito magiging posible.

Mga uri ng modelo

Ang mga modelo ay maaaring nahahati sa materyal" At perpekto. ang mga halimbawa sa itaas ay mga materyal na modelo. Mga ideal na modelo kadalasan ay may simbolikong anyo. Ang mga tunay na konsepto ay pinapalitan ng ilang mga palatandaan, na madaling maitala sa papel, sa memorya ng computer, atbp.

Pagmomodelo sa matematika

Ang pagmomodelo ng matematika ay kabilang sa klase ng simbolikong pagmomolde. Bukod dito, ang mga modelo ay maaaring malikha mula sa anumang mga bagay sa matematika: mga numero, function, equation, atbp.

Pagbuo ng isang modelo ng matematika

§ Ang ilang mga yugto ng pagbuo ng isang modelo ng matematika ay maaaring mapansin:

1. Pag-unawa sa problema, pagtukoy sa pinakamahalagang katangian, katangian, dami at parameter para sa atin.

2. Pagpapakilala ng notasyon.

3. Pagguhit ng isang sistema ng mga paghihigpit na dapat matugunan ng mga ipinasok na halaga.

4. Pagbubuo at pagtatala ng mga kondisyon na dapat matugunan ng nais na pinakamainam na solusyon.

Ang proseso ng pagmomodelo ay hindi nagtatapos sa paglikha ng isang modelo, ngunit nagsisimula lamang dito. Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang isang modelo, pumili sila ng isang paraan para sa paghahanap ng sagot at paglutas ng problema. pagkatapos mahanap ang sagot, ito ay inihambing sa katotohanan. At posible na ang sagot ay hindi kasiya-siya, kung saan ang modelo ay binago o kahit isang ganap na naiibang modelo ang napili.

Halimbawa ng isang modelo ng matematika

Gawain

Samahan ng Produksyon, na kinabibilangan ng dalawang pabrika ng muwebles, ay kailangang i-update ang machine park nito. Bukod dito, ang unang pabrika ng muwebles ay kailangang palitan ang tatlong makina, at ang pangalawa - pito. Ang mga order ay maaaring ilagay sa dalawang pabrika ng machine tool. Ang unang halaman ay maaaring gumawa ng hindi hihigit sa 6 na makina, at ang pangalawang halaman ay tatanggap ng isang order kung mayroong hindi bababa sa tatlo sa kanila. Kailangan mong matukoy kung paano maglagay ng mga order.

Halimbawa 1.5.1.

Hayaang gumawa ang isang partikular na rehiyong pang-ekonomiya ng ilang (n) uri ng mga produkto na eksklusibo sa sarili nito at para lamang sa populasyon ng rehiyong ito. Ipinapalagay na ang teknolohikal na proseso ay nagawa, at ang pangangailangan ng populasyon para sa mga kalakal na ito ay pinag-aralan. Kinakailangan upang matukoy ang taunang dami ng output ng produkto, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang dami na ito ay dapat magbigay ng parehong pangwakas at pang-industriya na pagkonsumo.

Gumawa tayo ng mathematical model ng problemang ito. Ayon sa mga kondisyon nito, ang mga sumusunod ay ibinibigay: mga uri ng mga produkto, demand para sa kanila at ang teknolohikal na proseso; kailangan mong hanapin ang dami ng output ng bawat uri ng produkto.

Tukuyin natin ang mga kilalang dami:

c i– pangangailangan ng populasyon para sa i ika-produkto ( i=1,...,n); a ij- dami i ika-produktong kinakailangan upang makabuo ng isang yunit ng ika-isang produkto gamit ang isang ibinigay na teknolohiya ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

X i - dami ng output i-ika-produkto ( i=1,...,n); kabuuan Sa =(c 1 ,..., c n ) tinatawag na demand vector, mga numero a ij– mga teknolohikal na koepisyent, at ang kabuuan X =(X 1 ,..., X n ) - release vector.

Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang vector X ipinamahagi sa dalawang bahagi: para sa panghuling pagkonsumo (vector Sa ) at para sa pagpaparami (vector x-s ). Kalkulahin natin ang bahaging iyon ng vector X na napupunta sa pagpaparami. Ayon sa aming mga pagtatalaga para sa produksyon X j dami ng ibinibigay na produkto a ij · X j dami i-ika-produkto.

Tapos ang dami a i1 · X 1 +...+ a sa · X n nagpapakita ng halagang iyon i-th na produkto, na kailangan para sa buong release X =(X 1 ,..., X n ).

Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan:

Ang pagpapalawak ng pangangatwiran na ito sa lahat ng uri ng produkto, nakarating kami sa gustong modelo:

Paglutas ng sistemang ito ng n linear equation para sa X 1 ,...,X n at hanapin ang kinakailangang release vector.

Upang maisulat ang modelong ito sa isang mas compact (vector) na anyo, ipinakilala namin ang sumusunod na notasyon:

parisukat (
) -matrix A tinatawag na matrix ng teknolohiya. Madaling suriin kung ang aming modelo ay isusulat na ngayon ng ganito: x-s=Ah o

(1.6)

Natanggap namin ang klasikong modelo " Input - Output ", ang may-akda kung saan ay ang sikat na Amerikanong ekonomista na si V. Leontiev.

Halimbawa 1.5.2.

Ang oil refinery ay may dalawang grado ng langis: grade A sa halagang 10 units, grade SA- 15 mga yunit. Kapag pinipino ang langis, dalawang materyales ang nakuha: gasolina (tinutukoy namin B) at langis ng gasolina ( M). Mayroong tatlong mga opsyon para sa proseso ng teknolohiya sa pagpoproseso:

ako: 1 yunit A+ 2 unit SA nagbibigay ng 3 yunit. B+ 2 unit M

II: 2 yunit. A+ 1 unit SA nagbibigay ng 1 unit. B+ 5 mga yunit M

III: 2 yunit A+ 2 unit SA nagbibigay ng 1 unit. B+ 2 unit M

Ang presyo ng gasolina ay $10 kada yunit, ang gasolina ay $1 kada yunit.

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang pinaka-kapaki-pakinabang na kumbinasyon teknolohikal na proseso pagproseso ng magagamit na dami ng langis.

Bago magmodelo, linawin natin ang mga sumusunod na punto. Mula sa mga kondisyon ng problema, sinusunod nito na ang "kakayahang kumita" ng proseso ng teknolohikal para sa halaman ay dapat na maunawaan sa kahulugan ng pagkuha ng maximum na kita mula sa pagbebenta ng mga natapos na produkto nito (gasolina at langis ng gasolina). Kaugnay nito, malinaw na ang "pagpili (paggawa) ng desisyon" ng halaman ay binubuo sa pagtukoy kung aling teknolohiya ang ilalapat at kung gaano karaming beses. Malinaw, mayroong napakaraming mga posibleng pagpipilian.

Tukuyin natin ang hindi kilalang dami:

X i– dami ng gamit i ika teknolohikal na proseso (i=1,2,3). Iba pang mga parameter ng modelo (mga reserbang langis, presyo ng gasolina at gasolina) kilala.

Ngayon isang bagay tiyak na solusyon ang halaman ay bumaba sa pagpili ng isang vector X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , kung saan ang kita ng planta ay katumbas ng (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Dito, 32 dolyar ang natanggap na kita mula sa isang aplikasyon ng unang teknolohikal na proseso ($10 3 yunit. B+ 1 dolyar · 2 unit. M= $32). Ang mga coefficient 15 at 12 para sa pangalawa at pangatlong teknolohikal na proseso, ayon sa pagkakabanggit, ay may katulad na kahulugan. Ang accounting para sa mga reserba ng langis ay humahantong sa mga sumusunod na kondisyon:

para sa iba't-ibang A:

para sa iba't-ibang SA:,

kung saan sa unang inequality coefficients 1, 2, 2 ay ang mga rate ng pagkonsumo ng grade A na langis para sa isang beses na paggamit ng mga teknolohikal na proseso ako,II,III ayon sa pagkakabanggit. Ang mga coefficient ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay may katulad na kahulugan para sa grade B na langis.

Ang modelo ng matematika sa kabuuan ay may anyo:

Maghanap ng isang vector x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) upang i-maximize

f(x) =32х 1 +15x 2 +12x 3

napapailalim sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang pinaikling anyo ng entry na ito ay:

sa ilalim ng mga paghihigpit

(1.7)

Nakuha namin ang tinatawag na linear programming problem.

Ang modelo (1.7.) ay isang halimbawa ng modelo ng pag-optimize ng isang deterministikong uri (na may mahusay na tinukoy na mga elemento).

Halimbawa 1.5.3.

Kailangang matukoy ng mamumuhunan ang pinakamahusay na hanay ng mga stock, mga bono at iba pang mga mahalagang papel upang bilhin ang mga ito para sa isang tiyak na halaga upang makakuha ng isang tiyak na tubo na may minimal na panganib para sa sarili ko. Kita sa bawat dolyar na namuhunan sa isang seguridad j- uri, na nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang tagapagpahiwatig: inaasahang kita at aktwal na kita. Para sa isang mamumuhunan, ito ay kanais-nais na ang inaasahang tubo sa bawat dolyar ng pamumuhunan ay para sa buong hanay mahahalagang papel hindi mas mababa sa tinukoy na halaga b.

Tandaan na para ma-modelo nang tama ang problemang ito, ang isang mathematician ay kinakailangang magkaroon ng ilang pangunahing kaalaman sa larangan ng portfolio theory ng mga securities.

Tukuyin natin ang mga kilalang parameter ng problema:

n– bilang ng mga uri ng mga securities; A j– aktwal na tubo (random na numero) mula sa ika-j na uri ng seguridad; – inaasahang tubo mula sa j-ang uri ng seguridad.

Tukuyin natin ang hindi kilalang dami :

y j - mga pondong inilalaan para sa pagbili ng mga securities ng uri j.

Gamit ang aming notasyon, ang buong halagang namuhunan ay ipinahayag bilang . Upang gawing simple ang modelo, ipinakilala namin ang mga bagong dami

kaya, X i- ito ang bahagi ng lahat ng mga pondo na inilaan para sa pagkuha ng mga mahalagang papel ng uri j.

Malinaw na iyon

Mula sa mga kondisyon ng problema ay malinaw na ang layunin ng mamumuhunan ay upang makamit ang isang tiyak na antas ng kita na may kaunting panganib. Sa esensya, ang panganib ay isang sukatan ng paglihis ng aktwal na kita mula sa inaasahan. Samakatuwid, maaari itong makilala sa covariance ng mga kita para sa mga securities ng type i at type j. Narito ang M ay ang pagtatalaga ng inaasahan sa matematika.

Ang modelo ng matematika ng orihinal na problema ay may anyo:

sa ilalim ng mga paghihigpit

,
,
,
. (1.8)

Nakuha namin ang kilalang modelo ng Markowitz para sa pag-optimize ng istraktura ng isang portfolio ng mga seguridad.

Ang modelo (1.8.) ay isang halimbawa ng modelo ng pag-optimize ng stochastic na uri (na may mga elemento ng randomness).

Halimbawa 1.5.4.

Sa batayan ng isang organisasyong pangkalakalan mayroong mga n uri ng isa sa pinakamababang uri ng produkto. Isang uri lamang ng isang partikular na produkto ang dapat dalhin sa tindahan. Kailangan mong piliin ang uri ng produkto na angkop na dalhin sa tindahan. Kung ang uri ng produkto j ay in demand, ang tindahan ay kikita sa pagbebenta nito R j, kung ito ay hindi in demand - isang pagkawala q j .

Bago ang pagmomodelo, tatalakayin natin ang ilang pangunahing mga punto. Sa problemang ito, ang gumagawa ng desisyon (DM) ay ang tindahan. Gayunpaman, ang kinalabasan (maximum na kita) ay nakasalalay hindi lamang sa kanyang desisyon, kundi pati na rin sa kung ang imported na produkto ay in demand, iyon ay, kung ito ay bibilhin ng populasyon (ito ay ipinapalagay na sa ilang kadahilanan ang tindahan ay hindi magkaroon ng pagkakataong pag-aralan ang pangangailangan ng populasyon ). Samakatuwid, ang populasyon ay maaaring isaalang-alang bilang pangalawang tagagawa ng desisyon, pagpili ng uri ng produkto ayon sa kanilang mga kagustuhan. Ang pinakamasamang "desisyon" ng populasyon para sa isang tindahan ay: "ang mga imported na kalakal ay hindi in demand." Kaya, upang isaalang-alang ang lahat ng posibleng sitwasyon, kailangang isaalang-alang ng tindahan ang populasyon bilang "kaaway" nito (kondisyon), na hinahabol ang kabaligtaran na layunin - upang mabawasan ang kita ng tindahan.

Kaya, mayroon kaming problema sa paggawa ng desisyon sa dalawang kalahok na naghahabol ng magkasalungat na layunin. Linawin natin na ang tindahan ay pipili ng isa sa mga uri ng mga kalakal na ibinebenta (may mga opsyon sa pagpapasya), at ang populasyon ay pipili ng isa sa mga uri ng mga kalakal na higit na hinihiling ( n mga pagpipilian sa solusyon).

Para mag-compile ng mathematical model, gumuhit tayo ng table na may n mga linya at n mga hanay (kabuuan n 2 mga cell) at sumang-ayon na ang mga hilera ay tumutugma sa pagpili ng tindahan, at ang mga haligi sa pagpili ng populasyon. Tapos yung cell (i, j) tumutugma sa sitwasyon kung kailan pinili ng tindahan i ang uri ng produkto ( i-ika-linya), at pinipili ng populasyon j ang uri ng produkto ( j- ika-kolumna). Sa bawat cell nagsusulat kami ng isang numerical na pagtatasa (kita o pagkawala) ng kaukulang sitwasyon mula sa punto ng view ng tindahan:

Numero q i nakasulat na may minus upang ipakita ang pagkawala ng tindahan; sa bawat sitwasyon, ang "kita" ng populasyon (kondisyon) ay katumbas ng "kita" ng tindahan, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Ang isang pinaikling anyo ng modelong ito ay:

(1.9)

Nakuha namin ang tinatawag na matrix game. Ang modelo (1.9.) ay isang halimbawa ng mga modelo sa paggawa ng desisyon sa laro.

Ayon sa aklat-aralin nina Sovetov at Yakovlev: "ang isang modelo (lat. modulus - sukat) ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagsisiguro sa pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay gamit ang isang modelong bagay ay tinatawag na pagmomodelo." (p. 6) “Sa pamamagitan ng matematikal na pagmomodelo ay nauunawaan natin ang proseso ng pagtatatag ng isang sulat sa isang naibigay na tunay na bagay na may isang tiyak na bagay sa matematika, na tinatawag na isang modelong matematikal, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa atin na makuha ang mga katangian ng tunay bagay na isinasaalang-alang. Ang uri ng mathematical model ay nakasalalay pareho sa likas na katangian ng tunay na bagay at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Panghuli, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya».

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng mga kasangkapang pangmatematika na ginamit. Kadalasan ay itinayo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, isa sa mga sikat na hanay ng mga dichotomies:

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o nonlinear, deterministic o stochastic,... Naturally, halo-halong uri: sa isang aspeto puro (sa mga tuntunin ng mga parameter), sa isa pa - ipinamamahagi na mga modelo, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay nagkakaiba sa paraan ng pagkatawan ng mga ito sa isang bagay:

Mga istruktura o functional na modelo

Mga istrukturang modelo kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling istraktura at mekanismo ng paggana. Mga functional na modelo huwag gumamit ng gayong mga representasyon at sumasalamin lamang sa panlabas na perceived na pag-uugali (paggana) ng bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinatawag din silang mga modelong "itim na kahon". Posible rin ang mga pinagsamang uri ng mga modelo, na kung minsan ay tinatawag na " kulay abong kahon».

Nilalaman at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda ay naglalarawan sa proseso pagmomolde ng matematika, ipahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong istraktura ay binuo, modelo ng nilalaman. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito modelong konseptwal , speculative na modelo o premodel. Sa kasong ito, ang pangwakas na konstruksyon ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o simpleng modelong matematikal na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng isang ibinigay na makabuluhang modelo (pre-model). Ang pagbuo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring gawin gamit ang isang hanay ng mga yari na ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga perpektong bukal, matibay na katawan, perpektong pendulum, nababanat na media atbp. magbigay ng handa mga elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya (ang cutting edge ng physics, biology, economics, sociology, psychology, at karamihan sa iba pang larangan), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay nagiging mas mahirap.

Pag-uuri ng nilalaman ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong binalangkas ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may pagkakataon na pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng matagumpay na hypothesis, kinakalkula kung saan ito humahantong, at nalaman na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lang ito na nabigo kang pabulaanan ito.”

Kung ang isang modelo ng unang uri ay binuo, ito ay nangangahulugan na ito ay pansamantalang tinatanggap bilang katotohanan at ang isa ay maaaring tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging punto sa pananaliksik, ngunit pansamantalang paghinto lamang: ang status ng isang modelo ng unang uri ay maaari lamang pansamantala.

Uri 2: Phenomenological na modelo (umasal kami na parang…)

Ang isang phenomenological model ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng isang phenomenon. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi angkop sa mga umiiral na teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. kaya lang mga modelong phenomenological may katayuan ng mga pansamantalang solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ang paghahanap para sa "tunay na mekanismo" ay dapat magpatuloy. Kasama sa Peierls, halimbawa, ang caloric na modelo at ang quark na modelo ng elementarya na mga particle bilang pangalawang uri.

Ang papel ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, at maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay ng mga phenomenological na modelo at sila ay na-promote sa katayuan ng isang hypothesis. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo-hypotheses ng unang uri, at maaari silang isalin sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting lumilipat sa kategorya ng mga hypotheses; Ang atomismo sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa takbo ng kasaysayan ito ang naging unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay gumawa ng kanilang paraan mula sa uri 1 hanggang sa uri 2, at ngayon ay nasa labas ng agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit ang pagpapasimple ay dumating sa iba't ibang anyo. Tinutukoy ni Peierls ang tatlong uri ng pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Pagtataya (itinuturing namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa sistemang pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na maaari silang malutas kahit na sa tulong ng isang computer. Ang isang karaniwang pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga pagtatantya (uri ng 3 mga modelo). Sa kanila mga linear na modelo ng pagtugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang isang karaniwang halimbawa ay ang batas ng Ohm.

Narito ang Uri 8, na laganap sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng Tampok (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Ito rin ay mga eksperimento sa pag-iisip na may mga haka-haka na entity na nagpapakita nito dapat na phenomenon pare-pareho sa mga pangunahing prinsipyo at panloob na pare-pareho. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng uri 7, na nagpapakita ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag sa mga eksperimentong ito ay ang geometry ni Lobachevsky (tinawag ito ni Lobachevsky na "imaginary geometry"). Ang isa pang halimbawa ay ang mass production ng mga pormal na kinetic na modelo ng chemical at biological vibrations, autowaves, atbp. Ang Einstein-Podolsky-Rosen na kabalintunaan ay naisip bilang isang type 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng quantum mechanics. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa kalaunan ay naging isang type 8 na modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng quantum teleportation ng impormasyon.

Halimbawa

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring, na naayos sa isang dulo, at isang mass ng mass, na nakakabit sa libreng dulo ng spring. Ipagpalagay namin na ang pagkarga ay maaari lamang lumipat sa direksyon ng spring axis (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa kahabaan ng baras). Bumuo tayo ng mathematical model ng system na ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya mula sa gitna ng load hanggang sa posisyon ng equilibrium nito. Ilarawan natin ang interaksyon ng spring at ang load gamit Batas ni Hooke() at pagkatapos ay gamitin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang differential equation:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng may paggalang sa oras: .

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang modelong ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagtatayo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay (tungkol sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, kawalan ng alitan, ang liit ng mga paglihis, atbp.), Na sa katotohanan ay maaaring hindi matugunan.

Kaugnay ng katotohanan, ito ay kadalasang isang uri ng 4 na modelo pagpapasimple("aalisin namin ang ilang mga detalye para sa kalinawan"), dahil ang ilang mahahalagang pangkalahatang tampok (halimbawa, pagwawaldas) ay tinanggal. Sa ilang pagtatantya (sabihin, habang ang paglihis ng load mula sa equilibrium ay maliit, na may mababang friction, para sa hindi masyadong maraming oras at napapailalim sa ilang iba pang mga kundisyon), ang gayong modelo ay naglalarawan ng isang tunay na mekanikal na sistema, dahil ang mga itinapon na mga kadahilanan ay may. isang hindi gaanong epekto sa pag-uugali nito. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo, na may mas malawak (bagama't muli ay limitado) na saklaw ng pagkakalapat.

Gayunpaman, kapag pinipino ang modelo, ang pagiging kumplikado ng mathematical na pananaliksik nito ay maaaring tumaas nang malaki at gawing halos walang silbi ang modelo. Kadalasan, ang isang mas simpleng modelo ay nagbibigay-daan para sa mas mahusay at mas malalim na paggalugad ng isang tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado (at, pormal na, "mas tama").

Kung ilalapat natin ang modelo ng harmonic oscillator sa mga bagay na malayo sa physics, maaaring iba ang substantive status nito. Halimbawa, kapag inilalapat ang modelong ito sa mga biyolohikal na populasyon, malamang na maiuri ito bilang uri 6 pagkakatulad("isaalang-alang lamang natin ang ilang mga tampok").

Matigas at malambot na mga modelo

Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng tinatawag na "hard" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na idealization ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng pagiging angkop nito, kailangang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga salik na napabayaan natin. Sa madaling salita, kinakailangang pag-aralan ang "malambot" na modelo, na nakuha sa pamamagitan ng isang maliit na kaguluhan ng "matigas" na isa. Maaari itong ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng sumusunod na equation:

Narito ang ilang function na maaaring isaalang-alang ang friction force o ang dependence ng spring stiffness coefficient sa antas ng pag-stretch nito - ilang maliit na parameter. Ang tahasang anyo ng function na nasa atin sa sandaling ito Hindi interesado. Kung patunayan natin na ang pag-uugali ng malambot na modelo ay hindi pangunahing naiiba sa pag-uugali ng matigas na isa (anuman ang tahasang uri ng mga nakababagabag na salik, kung ang mga ito ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahirap na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha mula sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa equation ng isang harmonic oscillator ay mga function ng form , iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na osileytor ay mag-oscilllate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil isinasaalang-alang ang isang sistema na may arbitraryong maliit na alitan (palaging naroroon sa isang tunay na sistema), nakakakuha tayo ng mga damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Kung ang isang sistema ay nagpapanatili ng kanyang husay na pag-uugali sa ilalim ng maliliit na kaguluhan, ito ay sinasabing matatag sa istruktura. Ang isang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang hindi matatag na sistema (hindi magaspang) na istruktura. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang mga proseso sa mga limitadong yugto ng panahon.

Versatility ng mga modelo

Karaniwang mayroon ang pinakamahalagang modelo ng matematika mahalagang ari-arian kagalingan sa maraming bagay: Ang pangunahing magkakaibang totoong phenomena ay maaaring ilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa, inilalarawan ng isang harmonic oscillator hindi lamang ang pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, kadalasan ng isang ganap na naiibang kalikasan: maliit na oscillations ng isang pendulum, mga pagbabago sa antas ng isang likido sa isang hugis-A na sisidlan. , o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, sa pamamagitan ng pag-aaral ng isang modelo ng matematika, agad naming pinag-aaralan ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang bahagi ng kaalamang siyentipiko na nagbigay inspirasyon kay Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Theory of Systems".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomodelo ng matematika. Una, kailangan mong makabuo ng isang pangunahing diagram ng modelong bagay, kopyahin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalisasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan mula sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay tinukoy bilang karaniwang mekanikal na idealization nito (density, elastic moduli, standard na mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan ang mga equation ay iginuhit, at kasama ang paraan. ang ilang mga detalye ay itinatapon bilang hindi mahalaga , ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, upang bumuo ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing bahagi nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay upang magsagawa ng pag-aaral ng modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang matitiis ng tulay? Ano ang magiging reaksyon nito sa isang dinamikong pagkarga (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa pagpasa ng isang tren sa iba't ibang bilis), paano malalampasan ang eroplano harang sa tunog kung ito ay babagsak sa flutter - ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang problema. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung hindi tatanungin ang mga tamang tanong, maaaring gumuho ang isang tulay, kahit na nakagawa na ng magandang modelo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879, isang metal na tulay sa kabila ng River Tay ang gumuho sa Great Britain, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito upang magkaroon ng 20-tiklop na kadahilanan sa kaligtasan para sa pagkilos ng kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa hangin. patuloy na umiihip sa mga lugar na iyon. At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa), ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baliktad na problema: maraming posibleng mga modelo ang kilala, ang isang partikular na modelo ay dapat mapili batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala, at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. karagdagang impormasyon maaaring binubuo ng karagdagang empirical data, o mga kinakailangan para sa bagay ( problema sa disenyo). Maaaring dumating ang karagdagang data anuman ang proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( pasibong pagmamasid) o maging resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa panahon ng solusyon ( aktibong pagsubaybay).

Isa sa mga unang halimbawa ng isang mahusay na solusyon sa isang baligtad na problema na may ganap na paggamit ng magagamit na data ay ang paraan na binuo ni I. Newton para sa muling pagtatayo ng mga puwersa ng friction mula sa naobserbahang damped oscillations.

Ang isa pang halimbawa ay ang mga istatistika ng matematika. Ang gawain ng agham na ito ay bumuo ng mga pamamaraan para sa pagtatala, paglalarawan at pagsusuri ng obserbasyonal at pang-eksperimentong data upang makabuo ng mga probabilistikong modelo ng mass random phenomena. Yung. ang hanay ng mga posibleng modelo ay limitado sa mga probabilistikong modelo. Sa mga partikular na gawain, mas limitado ang hanay ng mga modelo.

Mga sistema ng simulation ng computer

Upang suportahan ang pagmomodelo ng matematika, binuo ang mga sistema ng matematika sa computer, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp. Nagbibigay-daan sa iyo ang mga ito na lumikha ng pormal at harang na mga modelo ng parehong simple at kumplikadong proseso at mga device at madaling baguhin ang mga parameter ng modelo sa panahon ng simulation. I-block ang mga modelo ay kinakatawan ng mga bloke (madalas na graphic), ang hanay at koneksyon kung saan ay tinukoy ng diagram ng modelo.

Karagdagang mga halimbawa

Modelo ni Malthus

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilalarawan ito ng differential equation

kung saan ang isang tiyak na parameter ay tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng rate ng kapanganakan at rate ng kamatayan. Ang solusyon sa equation na ito ay isang exponential function. Kung ang rate ng kapanganakan ay lumampas sa rate ng pagkamatay (), ang laki ng populasyon ay tumataas nang walang katiyakan at napakabilis. Malinaw na sa katotohanan ay hindi ito maaaring mangyari dahil sa limitadong mapagkukunan. Kapag naabot ang isang partikular na kritikal na laki ng populasyon, ang modelo ay titigil na maging sapat, dahil hindi nito isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan. Ang isang pagpipino ng modelo ng Malthus ay maaaring isang logistic na modelo, na inilalarawan ng Verhulst differential equation

kung saan ang laki ng populasyon ng "equilibrium", kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may posibilidad sa isang equilibrium na halaga , at ang gawi na ito ay structurally stable.

Sistema ng predator-prey

Sabihin nating dalawang uri ng hayop ang nakatira sa isang partikular na lugar: kuneho (kumakain ng mga halaman) at fox (kumakain ng mga kuneho). Hayaan ang bilang ng mga kuneho, ang bilang ng mga fox. Gamit ang modelo ng Malthus na may mga kinakailangang susog upang isaalang-alang ang pagkain ng mga kuneho ng mga fox, nakarating kami sa sumusunod na sistema, pinangalanan mga modelo Mga tray - Volterra:

Ang sistemang ito ay may equilibrium state kapag pare-pareho ang bilang ng mga rabbits at fox. Ang paglihis mula sa estadong ito ay nagreresulta sa mga pagbabago sa mga bilang ng mga kuneho at mga fox, katulad ng mga pagbabago ng isang harmonic oscillator. Tulad ng harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istruktura: ang isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mapagkukunan na kinakailangan ng mga kuneho) ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa husay sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng balanse ay maaaring maging matatag, at ang mga pagbabago sa mga numero ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay hahantong sa mga sakuna na kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Hindi sinasagot ng modelong Volterra-Lotka ang tanong kung alin sa mga senaryo na ito ang naisasakatuparan: kailangan ng karagdagang pananaliksik dito.

Mga Tala

"Isang mathematical na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Sa mga isyung pilosopikal ng cybernetic modeling. M., Kaalaman, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng mga system: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pagmomodelo sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. - 2nd ed., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Pagmomodelo ng mga teknolohikal na proseso: aklat-aralin / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Liwanag at industriya ng pagkain, 1984. - 344 p.
Wiktionary: modelo ng matematika
CliffsNotes.com. Glossary ng Earth Science. 20 Set 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"Ang isang teorya ay itinuturing na linear o nonlinear depende sa kung anong uri ng mathematical apparatus - linear o nonlinear - at kung anong uri ng linear o nonlinear mathematical na modelo ang ginagamit nito. ...nang hindi tinatanggihan ang huli. Ang isang modernong pisiko, kung kailangan niyang muling likhain ang kahulugan ng isang mahalagang entidad bilang nonlinearity, ay malamang na kumilos nang iba, at, na nagbibigay ng kagustuhan sa nonlinearity bilang mas mahalaga at laganap sa dalawang magkasalungat, ay tutukuyin ang linearity bilang "hindi nonlinearity.” Danilov Yu. A., Mga lektura sa nonlinear dynamics. Panimula sa elementarya. Serye "Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap." Edisyon 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
"Ang mga dynamic na sistema na na-modelo ng isang may hangganang bilang ng mga ordinaryong differential equation ay tinatawag na concentrated o point system. Ang mga ito ay inilarawan gamit ang isang may hangganan-dimensional na bahagi ng espasyo at nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon ay maaaring ituring na puro o distributed. Ang mga modelo ng matematika ng mga distributed system ay mga partial differential equation, integral equation, o ordinaryong delay equation. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang distributed system ay walang hanggan, at isang walang katapusang bilang ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito." Anishchenko V. S., Dynamic na sistema, Soros educational journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
"Depende sa likas na katangian ng mga prosesong pinag-aaralan sa system S, lahat ng uri ng pagmomodelo ay maaaring hatiin sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, continuous at discrete-continuous. Ang deterministic modeling ay sumasalamin sa mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang random na impluwensya ay ipinapalagay; Ang stochastic modeling ay naglalarawan ng mga probabilistikong proseso at kaganapan. ... Ang static na pagmomodelo ay nagsisilbing ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto ng oras, at ang dynamic na pagmomodelo ay nagpapakita ng pag-uugali ng isang bagay sa paglipas ng panahon. Ginagamit ang discrete modeling upang ilarawan ang mga prosesong ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang tuluy-tuloy na pagmomodelo ay nagbibigay-daan sa amin na ipakita ang tuluy-tuloy na mga proseso sa mga system, at ang discrete-continuous modeling ay ginagamit para sa mga kaso kung kailan gusto nilang i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuloy-tuloy na mga proseso. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Karaniwan, ang isang matematikal na modelo ay sumasalamin sa istruktura (aparato) ng modelong bagay, ang mga katangian at relasyon ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga layunin ng pananaliksik; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag na paraan, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
"Malinaw, ngunit ang pinakamahalaga Unang yugto Ang pagbuo o pagpili ng modelong matematikal ay pagkuha ng malinaw na larawan hangga't maaari tungkol sa bagay na ginagaya at pagpino sa makabuluhang modelo nito, batay sa mga impormal na talakayan. Hindi ka dapat maglaan ng oras at pagsisikap sa yugtong ito; ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Nangyari ito nang higit sa isang beses na ang makabuluhang gawaing ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o nasayang pa nga dahil sa hindi sapat na atensyon sa bahaging ito ng usapin.” Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Paglalarawan ng konseptwal na modelo ng system. Sa substage na ito ng pagbuo ng system model: a) ang konseptwal na modelo M ay inilalarawan sa abstract na mga termino at konsepto; b) isang paglalarawan ng modelo ay ibinibigay gamit ang mga karaniwang mathematical scheme; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinatanggap; d) ang pagpili ng pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso kapag ang pagbuo ng isang modelo ay makatwiran." Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng mga system: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Applied mathematics: Paksa, lohika, mga tampok ng mga diskarte. Sa mga halimbawa mula sa mekanika: Pagtuturo. - 3rd ed., rev. at karagdagang - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Kabanata 2.

Panghuli, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya».

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o nonlinear, deterministic o stochastic, ... Natural, ang mga halo-halong uri ay posible rin: puro sa isang paggalang (sa mga tuntunin ng mga parameter), ibinahagi sa isa pa, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay nagkakaiba sa paraan ng pagkatawan ng mga ito sa isang bagay:

Mga istruktura o functional na modelo

Nilalaman at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong istraktura ay binuo, modelo ng nilalaman. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito modelong konseptwal , speculative na modelo o premodel. Sa kasong ito, ang pangwakas na konstruksyon ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o simpleng modelong matematikal na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng isang ibinigay na makabuluhang modelo (pre-model). Ang pagtatayo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring gawin gamit ang isang hanay ng mga nakahandang ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga ideal na bukal, matibay na katawan, perpektong pendulum, nababanat na media, atbp. ay nagbibigay ng mga nakahandang elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya (ang cutting edge ng physics, biology, economics, sociology, psychology, at karamihan sa iba pang larangan), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay nagiging mas mahirap.

Pag-uuri ng nilalaman ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong binalangkas ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may pagkakataon na pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng matagumpay na hypothesis, kinakalkula kung saan ito humahantong, at nalaman na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lang ito na nabigo kang pabulaanan ito.”

Uri 2: Phenomenological na modelo (umasal kami na parang…)

Ang isang phenomenological model ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng isang phenomenon. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi angkop sa mga umiiral na teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga phenomenological na modelo ay may katayuan ng mga pansamantalang solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ang paghahanap para sa "tunay na mekanismo" ay dapat magpatuloy. Kasama sa Peierls, halimbawa, ang caloric na modelo at ang quark na modelo ng elementarya na mga particle bilang pangalawang uri.

Uri 3: Pagtataya (itinuturing namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Narito ang Uri 8, na laganap sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng Tampok (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Halimbawa

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng may paggalang sa oras: .

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang modelong ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Matigas at malambot na mga modelo

Narito ang ilang function na maaaring isaalang-alang ang friction force o ang dependence ng spring stiffness coefficient sa antas ng pag-stretch nito - ilang maliit na parameter. Hindi kami interesado sa tahasang anyo ng function sa ngayon. Kung patunayan natin na ang pag-uugali ng malambot na modelo ay hindi pangunahing naiiba sa pag-uugali ng matigas na isa (anuman ang tahasang uri ng mga nakababagabag na salik, kung ang mga ito ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahirap na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha mula sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa equation ng isang harmonic oscillator ay mga function ng form , iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na osileytor ay mag-oscilllate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil isinasaalang-alang ang isang sistema na may arbitraryong maliit na alitan (palaging naroroon sa isang tunay na sistema), nakakakuha tayo ng mga damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Versatility ng mga modelo

Ang pinakamahalagang modelo ng matematika ay karaniwang may mahalagang katangian kagalingan sa maraming bagay: Ang pangunahing magkakaibang totoong phenomena ay maaaring ilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa, inilalarawan ng isang harmonic oscillator hindi lamang ang pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, kadalasan ng isang ganap na naiibang kalikasan: maliit na oscillations ng isang pendulum, mga pagbabago sa antas ng isang likido sa isang hugis-A na sisidlan. , o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, sa pamamagitan ng pag-aaral ng isang modelo ng matematika, agad naming pinag-aaralan ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang bahagi ng kaalamang siyentipiko na nagbigay inspirasyon kay Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Theory of Systems".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay upang magsagawa ng pag-aaral ng modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang matitiis ng tulay? Paano ito magiging reaksyon sa isang dynamic na pagkarga (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa pagpasa ng isang tren sa iba't ibang bilis), kung paano malalampasan ng eroplano ang sound barrier, kung ito ay mahuhulog mula sa flutter - ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang problema. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung hindi tatanungin ang mga tamang tanong, maaaring gumuho ang isang tulay, kahit na nakagawa na ng magandang modelo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879, isang metal na tulay sa kabila ng River Tay ang gumuho sa Great Britain, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito upang magkaroon ng 20-tiklop na kadahilanan sa kaligtasan para sa pagkilos ng kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa hangin. patuloy na umiihip sa mga lugar na iyon. At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa), ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baliktad na problema: maraming posibleng mga modelo ang kilala, ang isang partikular na modelo ay dapat mapili batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala, at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring binubuo ng karagdagang empirical na data, o mga kinakailangan para sa bagay ( problema sa disenyo). Maaaring dumating ang karagdagang data anuman ang proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( pasibong pagmamasid) o maging resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa panahon ng solusyon ( aktibong pagsubaybay).

Mga sistema ng simulation ng computer

Upang suportahan ang mathematical modeling, binuo ang mga computer mathematics system, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp. Nagbibigay-daan sila sa iyo na lumikha ng pormal at harangan ang mga modelo ng parehong simple at kumplikadong mga proseso at device at madaling baguhin ang mga parameter ng modelo habang pagmomodelo. I-block ang mga modelo ay kinakatawan ng mga bloke (madalas na graphic), ang hanay at koneksyon kung saan ay tinukoy ng diagram ng modelo.

Karagdagang mga halimbawa

Modelo ni Malthus

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilalarawan ito ng differential equation

Sistema ng predator-prey

Mga Tala

"Isang mathematical na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Sa mga isyung pilosopikal ng cybernetic modeling. M., Kaalaman, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng mga system: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pagmomodelo sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. - 2nd ed., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Pagmomodelo ng mga teknolohikal na proseso: aklat-aralin / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Ilaw at industriya ng pagkain, 1984. - 344 p.
Wiktionary: modelo ng matematika
CliffsNotes.com. Glossary ng Earth Science. 20 Set 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"Ang isang teorya ay itinuturing na linear o nonlinear depende sa kung anong uri ng mathematical apparatus - linear o nonlinear - at kung anong uri ng linear o nonlinear mathematical na modelo ang ginagamit nito. ...nang hindi tinatanggihan ang huli. Ang isang modernong pisiko, kung kailangan niyang muling likhain ang kahulugan ng isang mahalagang entidad bilang nonlinearity, ay malamang na kumilos nang iba, at, na nagbibigay ng kagustuhan sa nonlinearity bilang mas mahalaga at laganap sa dalawang magkasalungat, ay tutukuyin ang linearity bilang "hindi nonlinearity.” Danilov Yu. A., Mga lektura sa nonlinear dynamics. Panimula sa elementarya. Serye "Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap." Edisyon 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
"Ang mga dynamic na sistema na na-modelo ng isang may hangganang bilang ng mga ordinaryong differential equation ay tinatawag na concentrated o point system. Ang mga ito ay inilarawan gamit ang isang may hangganan-dimensional na bahagi ng espasyo at nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon ay maaaring ituring na puro o distributed. Ang mga modelo ng matematika ng mga distributed system ay mga partial differential equation, integral equation, o ordinaryong delay equation. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang distributed system ay walang hanggan, at isang walang katapusang bilang ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito." Anishchenko V. S., Dynamic na sistema, Soros educational journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
"Depende sa likas na katangian ng mga prosesong pinag-aaralan sa system S, lahat ng uri ng pagmomodelo ay maaaring hatiin sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, continuous at discrete-continuous. Ang deterministic modeling ay sumasalamin sa mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang random na impluwensya ay ipinapalagay; Ang stochastic modeling ay naglalarawan ng mga probabilistikong proseso at kaganapan. ... Ang static na pagmomodelo ay nagsisilbing ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto ng oras, at ang dynamic na pagmomodelo ay nagpapakita ng pag-uugali ng isang bagay sa paglipas ng panahon. Ginagamit ang discrete modeling upang ilarawan ang mga prosesong ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang tuluy-tuloy na pagmomodelo ay nagbibigay-daan sa amin na ipakita ang tuluy-tuloy na mga proseso sa mga system, at ang discrete-continuous modeling ay ginagamit para sa mga kaso kung kailan gusto nilang i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuloy-tuloy na mga proseso. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Karaniwan, ang isang matematikal na modelo ay sumasalamin sa istruktura (aparato) ng modelong bagay, ang mga katangian at relasyon ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga layunin ng pananaliksik; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag na paraan, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
"Ang malinaw, ngunit pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay ang pagkuha ng malinaw na larawan hangga't maaari tungkol sa bagay na ginagaya at pagpino sa makabuluhang modelo nito, batay sa mga impormal na talakayan. Hindi ka dapat maglaan ng oras at pagsisikap sa yugtong ito; ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Nangyari ito nang higit sa isang beses na ang makabuluhang gawaing ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o nasayang pa nga dahil sa hindi sapat na atensyon sa bahaging ito ng usapin.” Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Paglalarawan ng konseptwal na modelo ng system. Sa substage na ito ng pagbuo ng system model: a) ang konseptwal na modelo M ay inilalarawan sa abstract na mga termino at konsepto; b) isang paglalarawan ng modelo ay ibinibigay gamit ang mga karaniwang mathematical scheme; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinatanggap; d) ang pagpili ng pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso kapag ang pagbuo ng isang modelo ay makatwiran." Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng mga system: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Applied mathematics: Paksa, lohika, mga tampok ng mga diskarte. May mga halimbawa mula sa mekanika: Textbook. - 3rd ed., rev. at karagdagang - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Kabanata 2.

Mga modelo ng matematika

Matematikal na modelo - tinatayang opiang kahulugan ng object ng pagmomodelo, ipinahayag gamitng simbolismo sa matematika.

Lumitaw ang mga modelo ng matematika kasama ng matematika maraming siglo na ang nakalilipas. Ang pagdating ng mga kompyuter ay nagbigay ng malaking impetus sa pagbuo ng mathematical modelling. Ang paggamit ng mga computer ay naging posible upang pag-aralan at ilapat sa pagsasanay ang maraming mga modelo ng matematika na dati ay hindi pumapayag sa analytical na pananaliksik. Ipinatupad sa isang computer sa matematikamodelo ng langit tinawag modelo ng matematika sa computer, A pagsasagawa ng mga naka-target na kalkulasyon gamit ang isang modelo ng computer tinawag eksperimento sa computational.

Mga yugto ng computer mathematical sciencedibisyon ay ipinapakita sa figure. Unayugto - pagtukoy ng mga layunin sa pagmomolde. Maaaring magkaiba ang mga layuning ito:

kailangan ang isang modelo upang maunawaan kung paano gumagana ang isang partikular na bagay, kung ano ang istraktura nito, mga pangunahing katangian nito, mga batas ng pag-unlad at pakikipag-ugnayan
sa labas ng mundo (pag-unawa);
kailangan ang isang modelo upang matutunan kung paano kontrolin ang isang bagay (o proseso) at matukoy ang pinakamahusay na mga paraan pamamahala na may ibinigay na mga layunin at pamantayan (pamamahala);
ang modelo ay kinakailangan upang mahulaan ang direkta at hindi direktang kahihinatnan ng pagpapatupad ng mga ibinigay na pamamaraan at anyo ng impluwensya sa bagay (pagtataya).

Ipaliwanag natin nang may mga halimbawa. Hayaang ang object ng pag-aaral ay ang pakikipag-ugnayan ng daloy ng likido o gas sa isang katawan na isang balakid sa daloy na ito. Ipinapakita ng karanasan na ang puwersa ng paglaban na dumaloy sa bahagi ng katawan ay tumataas sa pagtaas ng bilis ng daloy, ngunit sa ilang sapat na mataas na bilis ay biglang bumababa ang puwersang ito upang muling tumaas nang may karagdagang pagtaas sa bilis. Ano ang sanhi ng pagbaba ng puwersa ng paglaban? Ang pagmomodelo ng matematika ay nagpapahintulot sa amin na makakuha ng isang malinaw na sagot: sa sandali ng isang biglaang pagbaba ng paglaban, ang mga vortex na nabuo sa daloy ng likido o gas sa likod ng naka-streamline na katawan ay nagsisimulang humiwalay dito at dinadala ng daloy.

Isang halimbawa mula sa isang ganap na magkakaibang lugar: ang mga populasyon ng dalawang species ng mga indibidwal na mapayapang nabuhay nang may matatag na mga numero at may karaniwang suplay ng pagkain, "biglang" nagsimulang baguhin ang kanilang mga numero nang husto. At dito pinapayagan ng pagmomolde ng matematika (na may isang tiyak na antas ng pagiging maaasahan) upang maitatag ang dahilan (o kahit na pabulaanan ang isang tiyak na hypothesis).

Ang pagbuo ng isang konsepto para sa pamamahala ng isang bagay ay isa pang posibleng layunin ng pagmomodelo. Aling mode ng paglipad ng sasakyang panghimpapawid ang dapat kong piliin upang matiyak na ang paglipad ay ligtas at pinaka-matipid na kita? Paano Mag-iskedyul ng Daan-daang Trabaho sa Konstruksyon malaking bagay upang matapos ito sa lalong madaling panahon panandalian? Maraming gayong mga problema ang sistematikong lumitaw sa harap ng mga ekonomista, taga-disenyo, at mga siyentipiko.

Sa wakas, ang paghula sa mga kahihinatnan ng ilang mga epekto sa isang bagay ay maaaring maging isang medyo simpleng bagay sa mga simpleng pisikal na sistema, at lubhang kumplikado - sa gilid ng pagiging posible - sa biological, pang-ekonomiya, at panlipunang mga sistema. Kung medyo madaling sagutin ang tanong tungkol sa mga pagbabago sa mode ng pamamahagi ng init sa isang manipis na baras dahil sa mga pagbabago sa bumubuo ng haluang metal nito, kung gayon medyo madaling masubaybayan (hulaan) ang kapaligiran at klimatiko na mga kahihinatnan ng pagtatayo ng isang malaking hydroelectric power station o panlipunang kahihinatnan ang mga pagbabago sa batas sa buwis ay hindi maihahambing na mas mahirap. Marahil dito, masyadong, ang mga pamamaraan sa pagmomolde ng matematika ay magbibigay ng mas makabuluhang tulong sa hinaharap.

Ikalawang yugto: pagpapasiya ng mga parameter ng input at output ng modelo; paghahati ng mga parameter ng input ayon sa antas ng kahalagahan ng impluwensya ng kanilang mga pagbabago sa output. Ang prosesong ito ay tinatawag na ranggo, o paghihiwalay ayon sa ranggo (tingnan. "Pagpormaltion at pagmomodelo").

Ikatlong yugto: pagbuo ng isang mathematical model. Sa yugtong ito, mayroong isang paglipat mula sa isang abstract na pagbabalangkas ng modelo sa isang pagbabalangkas na may isang tiyak na representasyon sa matematika. Ang isang mathematical model ay mga equation, mga sistema ng mga equation, mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, mga differential equation o mga sistema ng mga naturang equation, atbp.

Ikaapat na yugto: pagpili ng isang paraan para sa pag-aaral ng isang modelo ng matematika. Kadalasan, ang mga numerical na pamamaraan ay ginagamit dito, na nagpapahiram ng kanilang mga sarili sa programming. Bilang isang patakaran, maraming mga pamamaraan ang angkop para sa paglutas ng parehong problema, naiiba sa katumpakan, katatagan, atbp. Mula sa Ang tamang desisyon Ang pamamaraan ay kadalasang nakasalalay sa tagumpay ng buong proseso ng pagmomolde.

Ikalimang yugto: Ang pagbuo ng isang algorithm, pag-compile at pag-debug ng isang computer program ay isang mahirap na proseso na gawing pormal. Sa mga programming language, maraming mga propesyonal ang mas gusto ang FORTRAN para sa pagmomodelo ng matematika: kapwa dahil sa mga tradisyon at dahil sa hindi maunahang kahusayan ng mga compiler (para sa gawaing pagkalkula) at ang pagkakaroon ng malaki, maingat na pag-debug at na-optimize na mga aklatan na nakasulat dito karaniwang mga programa mga pamamaraan sa matematika. Ang mga wika tulad ng PASCAL, BASIC, C ay ginagamit din, depende sa likas na katangian ng gawain at mga hilig ng programmer.

Ika-anim na yugto: pagsubok ng programa. Ang pagpapatakbo ng programa ay nasubok sa isang pagsubok na problema na may dating alam na sagot. Ito ay simula pa lamang ng isang pagsubok na pamamaraan na mahirap ilarawan sa pormal na komprehensibong paraan. Karaniwan, nagtatapos ang pagsubok kapag ang gumagamit, batay sa kanyang mga propesyonal na katangian, ay isinasaalang-alang na tama ang programa.

Ikapitong yugto: ang aktwal na eksperimento sa computational, kung saan natutukoy kung ang modelo ay tumutugma sa isang tunay na bagay (proseso). Ang modelo ay sapat na sapat sa tunay na proseso kung ang ilang mga katangian ng proseso na nakuha sa isang computer ay nag-tutugma sa mga eksperimentong nakuha na mga katangian na may isang tiyak na antas ng katumpakan. Kung ang modelo ay hindi tumutugma sa tunay na proseso, bumalik kami sa isa sa mga nakaraang yugto.

Pag-uuri ng mga modelo ng matematika

Ang pag-uuri ng mga modelo ng matematika ay maaaring batay sa iba't ibang mga prinsipyo. Maaari mong uriin ang mga modelo ayon sa mga sangay ng agham (mga modelo ng matematika sa pisika, biology, sosyolohiya, atbp.). Maaaring uriin ayon sa mathematical apparatus na ginamit (mga modelo batay sa paggamit ng mga ordinaryong differential equation, partial differential equation, stochastic method, discrete algebraic transformations, atbp.). Sa wakas, batay sa karaniwang gawain pagmomodelo sa iba't ibang agham, anuman ang mathematical apparatus, ang pinaka natural na pag-uuri ay:

descriptive (descriptive) na mga modelo;
mga modelo ng pag-optimize;
mga modelo ng multicriteria;
mga modelo ng laro.

Ipaliwanag natin ito sa mga halimbawa.

Descriptive (descriptive) na mga modelo. Halimbawa, ang pagmomodelo ng paggalaw ng isang kometa na sumalakay solar system, ay ginawa para sa layunin ng paghula sa landas ng paglipad nito, ang distansya kung saan ito dadaan mula sa Earth, atbp. Sa kasong ito, ang mga layunin sa pagmomolde ay likas na mapaglarawan, dahil walang paraan upang maimpluwensyahan ang paggalaw ng kometa o baguhin ang anumang bagay dito.

Mga modelo ng pag-optimize ay ginagamit upang ilarawan ang mga prosesong maaaring maimpluwensyahan sa pagtatangkang makamit ang isang partikular na layunin. Sa kasong ito, kasama sa modelo ang isa o higit pang mga parameter na maaaring maimpluwensyahan. Halimbawa, kapag binabago ang thermal rehimen sa isang kamalig, maaari mong itakda ang layunin ng pagpili ng isang rehimen na makakamit ang maximum na kaligtasan ng butil, i.e. i-optimize ang proseso ng imbakan.

Mga modelo ng multicriteria. Kadalasan ay kinakailangan upang i-optimize ang isang proseso kasama ang ilang mga parameter nang sabay-sabay, at ang mga layunin ay maaaring magkasalungat. Halimbawa, ang pag-alam sa mga presyo ng pagkain at pangangailangan ng isang tao para sa pagkain, kinakailangan upang ayusin ang nutrisyon para sa malalaking grupo ng mga tao (sa hukbo, kampo ng tag-init ng mga bata, atbp.) nang tama sa physiological at, sa parehong oras, kasing mura ng maaari. Malinaw na ang mga layuning ito ay hindi nagtutugma sa lahat, i.e. Kapag nagmomodelo, maraming pamantayan ang gagamitin, kung saan dapat maghanap ng balanse.

Mga modelo ng laro maaaring nauugnay hindi lamang sa mga laro sa Kompyuter, ngunit pati na rin sa mga seryosong bagay. Halimbawa, bago ang isang labanan, ang isang komandante, kung mayroong hindi kumpletong impormasyon tungkol sa kalabang hukbo, ay dapat bumuo ng isang plano: sa anong pagkakasunud-sunod upang ipakilala ang ilang mga yunit sa labanan, atbp., na isinasaalang-alang ang posibleng reaksyon ng kaaway. Mayroong isang espesyal na sangay ng modernong matematika - teorya ng laro - na nag-aaral ng mga paraan ng paggawa ng desisyon sa ilalim ng mga kondisyon ng hindi kumpletong impormasyon.

Sa kursong computer science ng paaralan, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng paunang pag-unawa sa computer mathematical modelling bilang bahagi ng pangunahing kurso. Sa mataas na paaralan, ang pagmomolde ng matematika ay maaaring pag-aralan nang malalim sa isang pangkalahatang kurso sa edukasyon para sa mga klase sa pisika at matematika, gayundin bilang bahagi ng isang espesyal na elective na kurso.

Ang mga pangunahing anyo ng pagtuturo ng computer mathematical modeling sa mataas na paaralan ay mga lektura, laboratoryo at mga klase sa pagsubok. Karaniwan, ang gawain ng paglikha at paghahanda upang pag-aralan ang bawat bagong modelo ay tumatagal ng 3-4 na mga aralin. Sa panahon ng pagtatanghal ng materyal, ang mga problema ay itinakda na dapat malutas ng mga mag-aaral nang nakapag-iisa sa hinaharap, at ang mga paraan upang malutas ang mga ito ay binalangkas sa mga pangkalahatang tuntunin. Ang mga tanong ay nabuo, ang mga sagot na dapat makuha kapag nakumpleto ang mga gawain. Ipinahiwatig karagdagang panitikan, na nagpapahintulot sa iyo na makakuha ng pantulong na impormasyon para sa mas matagumpay na pagkumpleto ng mga gawain.

Ang anyo ng organisasyon ng mga klase kapag nag-aaral ng bagong materyal ay karaniwang isang panayam. Matapos makumpleto ang talakayan ng susunod na modelo mga mag-aaral mayroon sa kanilang pagtatapon ng kinakailangang teoretikal na impormasyon at isang hanay ng mga gawain para sa karagdagang trabaho. Bilang paghahanda sa pagkumpleto ng isang gawain, pumili ang mga mag-aaral ng angkop na paraan ng solusyon at subukan ang binuong programa gamit ang ilang kilalang pribadong solusyon. Sa kaso ng medyo posibleng mga paghihirap kapag kinukumpleto ang mga gawain, ibinibigay ang konsultasyon, at isang panukala ang ginawa upang pag-aralan ang mga seksyong ito nang mas detalyado sa mga mapagkukunang pampanitikan.

Ang pinakaangkop para sa praktikal na bahagi ng pagtuturo ng pagmomodelo ng computer ay ang pamamaraan ng proyekto. Ang gawain ay binuo para sa mag-aaral sa anyo ng isang proyektong pang-edukasyon at nakumpleto sa ilang mga aralin, kasama ang pangunahing porma ng organisasyon Kabilang dito ang computer laboratory work. Ang pagtuturo ng pagmomolde gamit ang pamamaraan ng mga proyektong pang-edukasyon ay maaaring ipatupad sa iba't ibang antas. Ang una ay isang problemadong pagtatanghal ng proseso ng pagkumpleto ng proyekto, na pinamumunuan ng guro. Ang pangalawa ay ang pagpapatupad ng proyekto ng mga mag-aaral sa ilalim ng gabay ng isang guro. Ang ikatlo ay para sa mga mag-aaral na independiyenteng kumpletuhin ang isang proyekto sa pananaliksik na pang-edukasyon.

Ang mga resulta ng trabaho ay dapat ipakita sa numerical form, sa anyo ng mga graph at diagram. Kung maaari, ang proseso ay ipinakita sa screen ng computer sa dinamika. Sa pagkumpleto ng mga kalkulasyon at pagtanggap ng mga resulta, sinusuri ang mga ito, kumpara sa mga kilalang katotohanan mula sa teorya, nakumpirma ang pagiging maaasahan at isang makabuluhang interpretasyon ay isinasagawa, na kasunod na makikita sa isang nakasulat na ulat.

Kung ang mga resulta ay nagbibigay-kasiyahan sa mag-aaral at guro, pagkatapos ay ang trabaho binibilang natapos, at ang huling yugto nito ay ang paghahanda ng isang ulat. Kasama sa ulat ang maikling teoretikal na impormasyon sa paksang pinag-aaralan, isang mathematical formulation ng problema, isang solusyon sa algorithm at katwiran nito, isang computer program, ang mga resulta ng programa, pagsusuri ng mga resulta at konklusyon, at isang listahan ng mga sanggunian.

Kapag naipon na ang lahat ng ulat, ilalahad ng mga mag-aaral ang kanilang maikling mensahe tungkol sa gawaing ginawa, ipagtanggol ang kanilang proyekto. Ito ay mabisang anyo ulat ng pangkat na nagsasagawa ng proyekto sa klase, kabilang ang pagtatakda ng problema, pagbuo ng isang pormal na modelo, pagpili ng mga pamamaraan para sa pagtatrabaho sa modelo, pagpapatupad ng modelo sa isang computer, pagtatrabaho sa tapos na modelo, pagbibigay-kahulugan sa mga resulta, pagtataya. Bilang isang resulta, ang mga mag-aaral ay maaaring makatanggap ng dalawang grado: ang una - para sa pagpapaliwanag ng proyekto at ang tagumpay ng pagtatanggol nito, ang pangalawa - para sa programa, ang pinakamainam ng algorithm, interface, atbp. Ang mga mag-aaral ay tumatanggap din ng mga marka sa panahon ng mga pagsusulit sa teorya.

Ang isang mahalagang tanong ay kung anong mga tool ang gagamitin sa kursong computer science ng paaralan para sa pagmomodelo ng matematika? Ang pagpapatupad ng computer ng mga modelo ay maaaring isagawa:

gamit ang isang spreadsheet processor (karaniwan ay MS Excel);
sa pamamagitan ng paglikha ng mga programa sa tradisyonal na mga wika ng programming (Pascal, BASIC, atbp.), pati na rin sa kanilang mga modernong bersyon (Delphi, Visual
Basic para sa Application, atbp.);
gamit ang mga espesyal na pakete ng aplikasyon para sa paglutas ng mga problema sa matematika (MathCAD, atbp.).

Sa pangunahing antas ng paaralan, ang unang paraan ay tila mas kanais-nais. Gayunpaman, sa mataas na paaralan Kapag ang programming, kasama ang pagmomodelo, ay isang pangunahing paksa sa computer science, ito ay kanais-nais na gamitin ito bilang isang tool sa pagmomodelo. Sa panahon ng proseso ng programming, ang mga detalye ng mga pamamaraan sa matematika ay magagamit sa mga mag-aaral; Bukod dito, napipilitan lamang silang makabisado ang mga ito, at ito ay nag-aambag din sa edukasyon sa matematika. Tulad ng para sa paggamit ng mga espesyal na pakete ng software, ito ay angkop sa isang dalubhasang kurso sa agham sa computer bilang karagdagan sa iba pang mga tool.

Mag-ehersisyo :

Gumawa ng diagram ng mga pangunahing konsepto.

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Nilalaman at pormal na mga modelo

Pag-uuri ng nilalaman ng mga modelo

Uri 2: Phenomenological na modelo (umasal kami na parang…)

Uri 3: Pagtataya (itinuturing namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Uri 8: Pagpapakita ng Tampok (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Halimbawa

Matigas at malambot na mga modelo

Versatility ng mga modelo

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Mga sistema ng simulation ng computer

Karagdagang mga halimbawa

Modelo ni Malthus

Sistema ng predator-prey

Mga Tala

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Nilalaman at pormal na mga modelo

Pag-uuri ng nilalaman ng mga modelo

Uri 2: Phenomenological na modelo (umasal kami na parang…)

Uri 3: Pagtataya (itinuturing namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Uri 8: Pagpapakita ng Tampok (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Halimbawa

Matigas at malambot na mga modelo

Versatility ng mga modelo

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Mga sistema ng simulation ng computer

Karagdagang mga halimbawa

Modelo ni Malthus

Sistema ng predator-prey

Mga Tala

Pinili ng Editor