Ano ang ibig sabihin ng pagbuo ng mathematical model sa computer science. Mga pangunahing kaalaman sa mga modelo ng matematika

Matematikal na modelo ay isang sistema ng mga mathematical na relasyon - mga formula, equation, hindi pagkakapantay-pantay, atbp., na sumasalamin mahahalagang katangian bagay o phenomenon.

Ang bawat natural na kababalaghan ay walang hanggan sa pagiging kumplikado nito. Ilarawan natin ito sa isang halimbawang kinuha mula sa aklat ni V.N. Trostnikov "Tao at Impormasyon" (Publishing House "Nauka", 1970).

Ang karaniwang tao ay bumubuo ng problema sa matematika tulad ng sumusunod: "Gaano katagal bago mahulog ang isang bato mula sa taas na 200 metro?" Ang mathematician ay magsisimulang lumikha ng kanyang sariling bersyon ng problema tulad nito: "Ipagpalagay natin na ang bato ay nahuhulog sa walang laman at ang acceleration dahil sa gravity ay 9.8 meters per second per second. Then..."

- Hayaan mo ako- masasabi ng "customer", - Hindi ako masaya sa pagpapasimpleng ito. Gusto kong malaman nang eksakto kung gaano katagal ang isang bato upang mahulog sa totoong mga kondisyon, at hindi sa isang hindi umiiral na walang bisa.

- mabuti,- sasang-ayon ang mathematician. - Ipagpalagay natin na ang bato ay may spherical na hugis at diameter... Ano ang diameter nito?

- Mga limang sentimetro. Ngunit hindi ito spherical sa lahat, ngunit pahaba.

- Pagkatapos ay ipagpalagay natin na siyaay may hugis ng isang ellipsoid na may mga axle shaft na apat, tatlo at tatlong sentimetro at na itobumagsak upang ang semi-major axis ay mananatiling patayo sa lahat ng oras . Kunin natin ang presyon ng hangin upang maging katumbas760 mm Hg , mula dito makikita natin ang density ng hangin...

Kung ang nagdulot ng problema sa wikang "tao" ay hindi na makagambala sa tren ng pag-iisip ng matematiko, kung gayon ang huli ay magbibigay ng numerical na sagot pagkalipas ng ilang panahon. Ngunit ang "consumer" ay maaari pa ring tumutol: ang bato ay sa katunayan ay hindi ellipsoidal, ang presyon ng hangin sa lugar na iyon at sa sandaling iyon ay hindi katumbas ng 760 mm Hg, atbp. Ano ang isasagot sa kanya ng mathematician?

Sasagutin niya yan ang isang eksaktong solusyon sa isang tunay na problema ay karaniwang imposible. Hindi lang iyon hugis bato, na nakakaapekto sa resistensya ng hangin, hindi maaaring ilarawan ng anumang mathematical equation; ang pag-ikot nito sa paglipad ay lampas din sa kontrol ng matematika dahil sa pagiging kumplikado nito. Dagdag pa, ang hangin ay hindi homogenous, dahil, bilang isang resulta ng pagkilos ng mga random na kadahilanan, ang mga pagbabagu-bago sa pagbabagu-bago ng density ay lumitaw dito. Kung palalimin pa natin, kailangan nating isaalang-alang iyon Ayon sa batas ng unibersal na grabitasyon, ang bawat katawan ay kumikilos sa bawat iba pang katawan. Ito ay sumusunod na kahit isang pendulum orasan sa dingding nagbabago ang tilapon ng bato sa paggalaw nito.

Sa madaling salita, kung seryoso nating nais na tumpak na pag-aralan ang pag-uugali ng anumang bagay, kailangan muna nating malaman ang lokasyon at bilis ng lahat ng iba pang mga bagay sa Uniberso. At ito, siyempre. imposible .

Ang pinaka-epektibo, ang isang modelo ng matematika ay maaaring ipatupad sa isang computer sa anyo ng isang algorithmic na modelo - isang tinatawag na "computational experiment" (tingnan ang [1], talata 26).

Siyempre, ang mga resulta ng isang eksperimento sa computational ay maaaring hindi tumutugma sa katotohanan kung ang modelo ay hindi isinasaalang-alang ang ilang mahahalagang aspeto ng katotohanan.

Kaya, kapag lumilikha ng isang modelo ng matematika upang malutas ang isang problema, kailangan mong:

1. i-highlight ang mga pagpapalagay kung saan ito pagbabatayan matematikal na modelo;
2. tukuyin kung ano ang itinuturing na paunang data at mga resulta;
3. isulat ang mga mathematical na relasyon na nag-uugnay sa mga resulta sa orihinal na data.

Kapag gumagawa ng mga modelo ng matematika, hindi laging posible na makahanap ng mga formula na malinaw na nagpapahayag ng nais na dami sa pamamagitan ng data. Sa ganitong mga kaso, ang mga pamamaraan ng matematika ay ginagamit upang magbigay ng mga sagot na may iba't ibang antas ng katumpakan. Mayroong hindi lamang mathematical modeling ng anumang phenomenon, kundi pati na rin ang visual-natural na pagmomodelo, na ibinibigay sa pamamagitan ng pagpapakita ng mga phenomena na ito gamit ang computer graphics, i.e. Isang uri ng "computer cartoon" ang ipinapakita sa harap ng mananaliksik, na kinukunan ng real time. Napakataas ng visibility dito.

Iba pang mga entry

06/10/2016. 8.3. Ano ang mga pangunahing yugto ng proseso ng pagbuo ng software? 8.4. Paano kontrolin ang teksto ng isang programa bago ito ilabas sa computer?

8.3. Ano ang mga pangunahing yugto ng proseso ng pagbuo ng software? Ang proseso ng pagbuo ng programa ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng sumusunod na formula: Ang pagkakaroon ng mga error sa isang bagong binuo na programa ay medyo normal...

06/10/2016. 8.5. Bakit kailangan ang pag-debug at pagsubok? 8.6. Ano ang debugging? 8.7. Ano ang pagsubok at pagsubok? 8.8. Ano ang dapat na data ng pagsubok? 8.9. Ano ang mga yugto ng proseso ng pagsubok?

8.5. Bakit kailangan ang pag-debug at pagsubok? Ang pag-debug sa isang program ay ang proseso ng paghahanap at pag-aalis ng mga error sa isang programa, na isinasagawa batay sa mga resulta ng pagpapatakbo nito sa isang computer. Pagsubok…

06/10/2016. 8.10. Ano ang mga karaniwang error sa programming? 8.11. Ang kawalan ba ng mga error sa syntax ay katibayan na tama ang programa? 8.12. Anong mga pagkakamali ang hindi nakita ng tagasalin? 8.13. Ano ang suporta ng programa?

8.10. Ano ang mga karaniwang mga pagkakamali programming? Ang mga pagkakamali ay maaaring gawin sa lahat ng mga yugto ng paglutas ng isang problema - mula sa pagbabalangkas nito hanggang sa pagpapatupad nito. Ang mga uri ng mga pagkakamali at kaukulang mga halimbawa ay ibinigay...

MATHEMATICAL MODEL - isang representasyon ng isang phenomenon o prosesong pinag-aralan sa kongkretong kaalamang siyentipiko sa wika ng mga konseptong matematika. Sa kasong ito, ang isang bilang ng mga katangian ng hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan ay inaasahang makukuha sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga aktwal na katangian ng matematika ng modelo. Konstruksyon ng M.m. ay kadalasang idinidikta ng pangangailangang magkaroon ng quantitative analysis ng mga phenomena at prosesong pinag-aaralan, kung wala ito, imposibleng gumawa ng mga hulang mapapatunayan sa eksperimento tungkol sa kanilang kurso.

Ang proseso ng pagmomolde ng matematika, bilang panuntunan, ay dumadaan sa mga sumusunod na yugto. Sa unang yugto, ang mga koneksyon sa pagitan ng mga pangunahing parameter ng hinaharap na M.m. ay natukoy. Pangunahing pinag-uusapan natin ang isang pagsusuri ng husay ng mga phenomena na pinag-aaralan at ang pagbabalangkas ng mga pattern na nagkokonekta sa mga pangunahing bagay ng pananaliksik. Sa batayan na ito, natukoy ang mga bagay na maaaring ilarawan sa dami. Ang yugto ay nagtatapos sa pagbuo ng isang hypothetical na modelo, sa madaling salita, pagtatala sa wika ng mga konsepto ng matematika ng mga ideya ng husay tungkol sa mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing bagay ng modelo, na maaaring mailalarawan sa dami.

Sa ikalawang yugto, pinag-aaralan ang aktwal na mga problema sa matematika kung saan pinangungunahan ng binuong hypothetical na modelo. Ang pangunahing bagay sa yugtong ito ay upang makakuha ng empirically verifiable theoretical na mga kahihinatnan (solusyon ng direktang problema) bilang isang resulta ng mathematical analysis ng modelo. Kasabay nito, madalas na may mga kaso kung kailan, upang mabuo at mapag-aralan ang M.m. sa iba't ibang lugar ng kongkretong kaalamang pang-agham, ang parehong mathematical apparatus ay ginagamit (halimbawa, differential equation) at ang mga problema sa matematika ng parehong uri ay lumitaw, bagama't napaka non-trivial sa bawat partikular na kaso. Bilang karagdagan, sa yugtong ito, ang paggamit ng mga high-speed na computer (mga computer) ay nagiging napakahalaga, na ginagawang posible upang makakuha ng tinatayang mga solusyon sa mga problema, kadalasang imposible sa loob ng balangkas ng purong matematika, na may antas ng katumpakan na dati ay hindi naa-access ( nang hindi gumagamit ng computer).

Ang ikatlong yugto ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga aktibidad upang matukoy ang antas ng kasapatan ng itinayong hypothetical M.M. yaong mga phenomena at proseso kung saan nilayon itong pag-aralan. Lalo na, kung ang lahat ng mga parameter ng modelo ay tinukoy, sinusubukan ng mga mananaliksik na malaman kung hanggang saan, sa loob ng mga limitasyon ng katumpakan ng pagmamasid, ang kanilang mga resulta ay naaayon sa mga teoretikal na kahihinatnan ng modelo. Ang mga paglihis na lampas sa mga limitasyon ng katumpakan ng pagmamasid ay nagpapahiwatig ng kakulangan ng modelo. Gayunpaman, madalas na may mga kaso kung kailan, kapag gumagawa ng isang modelo, nananatili ang isang bilang ng mga parameter nito

hindi sigurado. Ang mga problema kung saan ang mga parametric na katangian ng modelo ay itinatag sa paraang ang mga teoretikal na kahihinatnan ay maihahambing, sa loob ng mga limitasyon ng katumpakan ng pagmamasid, na may mga resulta ng mga empirikal na pagsubok ay tinatawag na kabaligtaran na mga problema.

Sa ika-apat na yugto, isinasaalang-alang ang pagkakakilanlan ng antas ng kasapatan ng itinayong hypothetical na modelo at ang paglitaw ng mga bagong pang-eksperimentong data sa mga phenomena na pinag-aaralan, ang kasunod na pagsusuri at pagbabago ng modelo ay nangyayari. Dito nag-iiba ang desisyong ginawa mula sa walang pasubali na pagtanggi sa mga inilapat na kasangkapang pangmatematika hanggang sa pagtanggap sa itinayong modelo bilang pundasyon para sa pagbuo ng isang panimula na bagong siyentipikong teorya.

Unang M.m. lumitaw sa sinaunang agham. Oo, para sa pagmomodelo solar system Ang Greek mathematician at astronomer na si Eudoxus ay nagbigay sa bawat planeta ng apat na sphere, ang kumbinasyon ng mga paggalaw nito ay lumikha ng isang hippopede - isang mathematical curve na katulad ng naobserbahang paggalaw ng planeta. Dahil, gayunpaman, hindi maipaliwanag ng modelong ito ang lahat ng naobserbahang anomalya sa paggalaw ng mga planeta, kalaunan ay pinalitan ito ng epicyclic na modelo ng Apollonius ng Perga. Ang huling modelo ay ginamit sa kanyang pag-aaral ni Hipparchus, at pagkatapos, sa pagkakaroon ng ilang pagbabago, ni Ptolemy. Ang modelong ito, tulad ng mga nauna nito, ay nakabatay sa paniniwala na ang mga planeta ay sumasailalim sa pare-parehong pabilog na mga galaw, na ang magkakapatong ay nagpapaliwanag ng mga maliwanag na iregularidad. Dapat pansinin na ang modelo ng Copernican ay panimula bago lamang sa isang husay na kahulugan (ngunit hindi bilang isang M.M.). At tanging si Kepler, batay sa mga obserbasyon ni Tycho Brahe, ang nagtayo ng bagong M.M. Solar system, na nagpapatunay na ang mga planeta ay hindi gumagalaw sa pabilog, ngunit sa mga elliptical orbit.

Sa kasalukuyan, ang mga pinaka-sapat ay itinuturing na mga itinayo upang ilarawan ang mekanikal at pisikal na mga phenomena. Sa kasapatan ng M.m. sa labas ng pisika ang isa ay maaaring magsalita, na may ilang mga eksepsiyon, nang may sapat na pag-iingat. Gayunpaman, ang pag-aayos ng hypothetical na kalikasan, at madalas na simpleng kakulangan ng M.m. sa iba't ibang larangan ng kaalaman, hindi dapat maliitin ang kanilang papel sa pagpapaunlad ng agham. Kadalasan ay may mga kaso na kahit na ang mga modelong malayo sa sapat ay lubos na nag-organisa at nagpasigla ng karagdagang pananaliksik, kasama ng mga maling konklusyon na naglalaman din ng mga butil ng katotohanan na ganap na nagbibigay-katwiran sa mga pagsisikap na ginugol sa pagbuo ng mga modelong ito.

Panitikan:

Pagmomodelo sa matematika. M., 1979;

Ruzavin G.I. Mathematization ng siyentipikong kaalaman. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Differential equation sa ekolohiya: makasaysayang at metodolohikal na pagmuni-muni // Mga tanong sa kasaysayan ng natural na agham at teknolohiya. 1997. Blg. 3.

Diksyunaryo ng mga terminong pilosopikal. Siyentipikong edisyon ni Propesor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.

MGA TALA NG LECTURE

Ayon sa rate

"Pagmomodelo ng matematika ng mga makina at sistema ng transportasyon"

Sinusuri ng kurso ang mga isyu na may kaugnayan sa pagmomodelo ng matematika, ang anyo at prinsipyo ng representasyon ng mga modelong matematika. Ang mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga one-dimensional na nonlinear system ay isinasaalang-alang. Sinasaklaw ang mga isyu sa pagmomodelo ng computer at eksperimento sa computational. Ang mga pamamaraan para sa pagproseso ng data na nakuha bilang isang resulta ng mga pang-agham o pang-industriyang mga eksperimento ay isinasaalang-alang; pananaliksik ng iba't ibang proseso, pagtukoy ng mga pattern sa pag-uugali ng mga bagay, proseso at sistema. Isinasaalang-alang ang mga paraan ng interpolation at approximation ng experimental data. Isinasaalang-alang ang mga isyung nauugnay sa pagmomodelo ng computer at solusyon ng mga nonlinear dynamic na system. Sa partikular, ang mga pamamaraan ng pagsasama ng numero at solusyon ng mga ordinaryong equation ng kaugalian ng una, pangalawa at mas mataas na mga order ay isinasaalang-alang.

Lecture: Pagmomodelo ng matematika. Form at mga prinsipyo ng representasyon ng mga modelo ng matematika

Tinatalakay ng panayam ang mga pangkalahatang isyu ng pagmomolde ng matematika. Ang isang pag-uuri ng mga modelo ng matematika ay ibinigay.

Ang computer ay matatag na pumasok sa ating buhay, at halos walang ganoong lugar aktibidad ng tao, kung saan hindi gagamit ng computer. Ang mga kompyuter ay malawak na ginagamit ngayon sa proseso ng paglikha at pagsasaliksik ng mga bagong makina, bago teknolohikal na proseso at paghahanap para sa kanilang pinakamainam na mga pagpipilian; kapag nilulutas ang mga problema sa ekonomiya, kapag nilutas ang mga problema ng pagpaplano at pamamahala ng produksyon sa iba't ibang antas. Ang paglikha ng malalaking bagay sa rocketry, paggawa ng sasakyang panghimpapawid, paggawa ng mga barko, pati na rin ang disenyo ng mga dam, tulay, atbp. ay karaniwang imposible nang walang paggamit ng mga computer.

Upang gumamit ng isang computer sa paglutas ng mga inilapat na problema, una sa lahat, ang inilapat na problema ay dapat na "isalin" sa isang pormal na wikang matematika, i.e. para sa isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang modelong pangmatematika nito ay dapat mabuo.

Ang salitang "Model" ay nagmula sa Latin na modus (kopya, larawan, balangkas). Ang pagmomodelo ay ang pagpapalit ng ilang bagay A sa isa pang bagay na B. Ang pinalitang bagay na A ay tinatawag na orihinal o bagay na pangmomodelo, at ang kapalit na B ay tinatawag na modelo. Sa madaling salita, ang isang modelo ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal.

Ang layunin ng pagmomodelo ay upang makakuha, magproseso, magpakita at gumamit ng impormasyon tungkol sa mga bagay na nakikipag-ugnayan sa isa't isa at panlabas na kapaligiran; at ang modelo dito ay gumaganap bilang isang paraan ng pag-unawa sa mga katangian at pattern ng pag-uugali ng isang bagay.

Ang pagmomodelo ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao, lalo na sa larangan ng disenyo at pamamahala, kung saan espesyal ang mga proseso ng paggawa ng mga epektibong desisyon batay sa impormasyong natanggap.

Ang isang modelo ay palaging binuo na may isang tiyak na layunin, na nakakaimpluwensya kung aling mga katangian ng isang layunin na kababalaghan ang makabuluhan at alin ang hindi. Ang modelo ay parang projection layunin na katotohanan mula sa isang tiyak na anggulo. Minsan, depende sa mga layunin, maaari kang makakuha ng isang bilang ng mga projection ng layunin na katotohanan na sumasalungat. Karaniwan ito, bilang panuntunan, para sa mga kumplikadong sistema kung saan pinipili ng bawat projection kung ano ang mahalaga para sa isang partikular na layunin mula sa isang hanay ng mga hindi mahalaga.

Ang teorya ng pagmomodelo ay isang sangay ng agham na nag-aaral ng mga paraan upang pag-aralan ang mga katangian ng orihinal na mga bagay batay sa pagpapalit sa kanila ng iba pang mga modelong bagay. Ang teorya ng pagmomolde ay batay sa teorya ng pagkakatulad. Kapag nagmomodelo, ang ganap na pagkakatulad ay hindi nagaganap at nagsusumikap lamang na tiyakin na ang modelo ay sapat na sumasalamin sa aspeto ng paggana ng bagay sa ilalim ng pag-aaral. Ang ganap na pagkakatulad ay maaari lamang mangyari kapag ang isang bagay ay pinalitan ng isa pang eksaktong kapareho.

Ang lahat ng mga modelo ay maaaring nahahati sa dalawang klase:

1. tunay,

2. mainam.

Sa turn, ang mga tunay na modelo ay maaaring nahahati sa:

1. buong sukat,

2. pisikal,

3. matematikal.

Mga ideal na modelo maaaring nahahati sa:

1. visual,

2. iconic,

3. matematikal.

Ang mga tunay na full-scale na modelo ay mga tunay na bagay, proseso at sistema kung saan isinasagawa ang mga eksperimentong pang-agham, teknikal at pang-industriya.

Ang mga tunay na pisikal na modelo ay mga modelo, mga dummies na nagpaparami pisikal na katangian mga orihinal (kinematic, dynamic, hydraulic, thermal, electrical, lighting models).

Ang mga tunay na mathematical ay mga analog, structural, geometric, graphic, digital at cybernetic na mga modelo.

Tamang-tama mga visual na modelo- ito ay mga diagram, mapa, drawing, graph, graph, analogues, structural at geometric na mga modelo.

Ang mga ideal na modelo ng sign ay mga simbolo, alpabeto, programming language, ordered notation, topological notation, network representation.

Ang mga ideal na modelo ng matematika ay analytical, functional, simulation, at pinagsamang mga modelo.

Sa pag-uuri sa itaas, ang ilang mga modelo ay may dobleng interpretasyon(halimbawa - analog). Ang lahat ng mga modelo, maliban sa mga full-scale, ay maaaring pagsamahin sa isang klase ng mga modelo ng kaisipan, dahil sila ay isang produkto abstract na pag-iisip tao.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga pinaka-unibersal na uri ng pagmomolde - matematika, na tumutugma sa simulate na pisikal na proseso sa isang sistema ng mga relasyon sa matematika, ang solusyon na nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng sagot sa tanong tungkol sa pag-uugali ng isang bagay nang hindi lumilikha. pisikal na modelo, na kadalasang lumalabas na mahal at hindi epektibo.

Ang pagmomodelo ng matematika ay isang paraan ng pag-aaral ng isang tunay na bagay, proseso o sistema sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila ng isang modelong matematikal na mas maginhawa para sa eksperimental na pananaliksik gamit ang computer.

Ang modelong matematikal ay isang tinatayang representasyon ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, na ipinahayag sa mga terminong pangmatematika at pinapanatili ang mahahalagang katangian ng orihinal. Ang mga modelo ng matematika sa quantitative form, gamit ang lohikal at mathematical na mga konstruksyon, ay naglalarawan ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema, mga parameter nito, panloob at panlabas na mga koneksyon.

Sa pangkalahatan, ang isang matematikal na modelo ng isang tunay na bagay, proseso o sistema ay kinakatawan bilang isang sistema ng mga paggana

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kung saan ang X ay ang vector ng mga variable ng input, X= t,

Y - vector ng mga variable ng output, Y= t,

Z - vector ng mga panlabas na impluwensya, Z= t,

t - time coordinate.

Ang pagbuo ng isang modelo ng matematika ay binubuo ng pagtukoy ng mga koneksyon sa pagitan ng ilang mga proseso at phenomena, paglikha ng isang mathematical apparatus na nagbibigay-daan sa isa na maipahayag sa dami at qualitatively ang relasyon sa pagitan ng ilang mga proseso at phenomena, sa pagitan ng pisikal na dami ng interes sa isang espesyalista, at mga salik na nakakaimpluwensya. huling resulta.

Kadalasan ay napakarami sa kanila na imposibleng ipakilala ang kanilang buong hanay sa modelo. Kapag gumagawa ng modelong matematikal, ang gawain ng pananaliksik ay tukuyin at ibukod mula sa pagsasaalang-alang na mga salik na hindi gaanong nakakaapekto sa panghuling resulta (karaniwang may kasamang mas maliit na bilang ng mga kadahilanan ang isang modelong matematika kaysa sa katotohanan). Batay sa pang-eksperimentong data, inilalagay ang mga hypotheses tungkol sa kaugnayan sa pagitan ng mga dami na nagpapahayag ng huling resulta at ang mga salik na ipinakilala sa modelong matematika. Ang ganitong koneksyon ay madalas na ipinahayag ng mga sistema ng mga partial differential equation (halimbawa, sa mga problema ng mekanika ng mga solido, likido at gas, ang teorya ng pagsasala, thermal conductivity, ang teorya ng electrostatic at electrodynamic field).

Ang pangwakas na layunin Ang yugtong ito ay ang pagbabalangkas ng isang problema sa matematika, ang solusyon kung saan, na may kinakailangang katumpakan, ay nagpapahayag ng mga resulta ng interes sa espesyalista.

Ang anyo at mga prinsipyo ng representasyon ng isang mathematical model ay nakasalalay sa maraming salik.

Batay sa mga prinsipyo ng konstruksiyon, ang mga modelo ng matematika ay nahahati sa:

1. analitikal;

2. panggagaya.

Sa analytical na mga modelo, ang mga proseso ng paggana ng mga tunay na bagay, proseso o sistema ay nakasulat sa anyo ng mga tahasang functional dependencies.

Ang analytical model ay nahahati sa mga uri depende sa matematikal na problema:

1. mga equation (algebraic, transendental, differential, integral),

2. mga problema sa approximation (interpolation, extrapolation, numerical integration at differentiation),

3. mga problema sa pag-optimize,

4. stochastic na mga problema.

Gayunpaman, habang nagiging mas kumplikado ang object ng pagmomodelo, ang pagbuo ng isang analytical na modelo ay nagiging isang mahirap na problema. Pagkatapos ang mananaliksik ay napipilitang gumamit ng simulation modeling.

Sa simulation modeling, ang paggana ng mga bagay, proseso o system ay inilalarawan ng isang hanay ng mga algorithm. Ginagaya ng mga algorithm ang totoong elementarya na phenomena na bumubuo sa isang proseso o sistema habang pinapanatili ang kanilang lohikal na istraktura at pagkakasunud-sunod sa paglipas ng panahon. Ang simulation modeling ay nagbibigay-daan, mula sa source data, na makakuha ng impormasyon tungkol sa mga estado ng isang proseso o system sa ilang partikular na oras, ngunit ang paghula sa gawi ng mga bagay, proseso o system ay mahirap dito. Masasabi nating ang mga modelo ng simulation ay mga eksperimento sa computational na nakabatay sa computer na may mga modelong matematikal na ginagaya ang pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o system.

Depende sa likas na katangian ng mga tunay na proseso at sistemang pinag-aaralan, ang mga modelo ng matematika ay maaaring:

1. deterministiko,

2. stochastic.

Sa mga deterministikong modelo, ipinapalagay na walang mga random na impluwensya, ang mga elemento ng modelo (mga variable, mga koneksyon sa matematika) ay medyo tumpak na naitatag, at ang pag-uugali ng system ay maaaring tumpak na matukoy. Kapag gumagawa ng mga deterministikong modelo, ang mga algebraic equation, integral equation, at matrix algebra ay kadalasang ginagamit.

Isinasaalang-alang ng stochastic na modelo ang random na kalikasan ng mga proseso sa mga bagay at system na pinag-aaralan, na inilalarawan ng mga pamamaraan ng probability theory at mathematical statistics.

Batay sa uri ng impormasyon sa pag-input, ang mga modelo ay nahahati sa:

1. tuloy-tuloy,

2. discrete.

Kung ang impormasyon at mga parameter ay tuluy-tuloy, at ang mga koneksyon sa matematika ay matatag, kung gayon ang modelo ay tuloy-tuloy. At kabaligtaran, kung ang impormasyon at mga parameter ay discrete, at ang mga koneksyon ay hindi matatag, kung gayon ang mathematical model ay discrete.

Batay sa pag-uugali ng mga modelo sa paglipas ng panahon, nahahati sila sa:

1. static,

2. dinamiko.

Inilalarawan ng mga static na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o sistema sa anumang punto ng oras. Sinasalamin ng mga dynamic na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o system sa paglipas ng panahon.

Batay sa antas ng pagsusulatan sa pagitan ng isang modelo ng matematika at isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelo ng matematika ay nahahati sa:

1. isomorphic (magkapareho sa hugis),

2. homomorphic (iba ang hugis).

Ang isang modelo ay tinatawag na isomorphic kung mayroong kumpletong pagsusulatan sa bawat elemento sa pagitan nito at isang tunay na bagay, proseso o sistema. Homomorphic - kung mayroong isang pagsusulatan lamang sa pagitan ng pinakamahalaga mga bahagi bagay at modelo.

Sa hinaharap para sa maikling kahulugan uri ng modelo ng matematika sa pag-uuri sa itaas ay gagamitin namin ang sumusunod na notasyon:

Unang titik:

D - deterministiko,

C - stochastic.

Pangalawang sulat:

N - tuloy-tuloy,

D - discrete.

ikatlong titik:

A - analitikal,

At - imitasyon.

1. Walang (mas tiyak, hindi isinasaalang-alang) ang impluwensya ng mga random na proseso, i.e. deterministikong modelo (D).

2. Ang impormasyon at mga parameter ay tuloy-tuloy, ibig sabihin. modelo - tuloy-tuloy (N),

3. Ang paggana ng modelo ng mekanismo ng crank ay inilarawan sa anyo ng mga nonlinear transcendental equation, i.e. modelo - analytical (A)

2. Lecture: Mga tampok ng pagbuo ng mga modelo ng matematika

Inilalarawan ng panayam ang proseso ng pagbuo ng isang modelo ng matematika. Ang isang pandiwang algorithm ng proseso ay ibinigay.

Upang gumamit ng isang computer sa paglutas ng mga inilapat na problema, una sa lahat, ang inilapat na problema ay dapat na "isalin" sa isang pormal na wikang matematika, i.e. para sa isang tunay na bagay, proseso o sistema, ang modelong pangmatematika nito ay dapat mabuo.

Ang mga modelo ng matematika sa quantitative form, gamit ang lohikal at mathematical na mga konstruksyon, ay naglalarawan ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema, mga parameter nito, panloob at panlabas na mga koneksyon.

Upang makabuo ng isang mathematical model kailangan mo:

1. maingat na pag-aralan ang isang tunay na bagay o proseso;

2. i-highlight ang pinakamahalagang katangian at katangian nito;

3. tukuyin ang mga variable, i.e. mga parameter na ang mga halaga ay nakakaapekto sa mga pangunahing tampok at katangian ng bagay;

4. ilarawan ang pag-asa ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema sa mga halaga ng mga variable gamit ang lohikal-matematikong relasyon (mga equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal-mathematical na mga konstruksyon);

5. i-highlight ang mga panloob na koneksyon ng isang bagay, proseso o sistema gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon;

6. tukuyin ang mga panlabas na koneksyon at ilarawan ang mga ito gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon.

Ang pagmomodelo ng matematika, bilang karagdagan sa pag-aaral ng isang bagay, proseso o sistema at pagguhit ng isang paglalarawan sa matematika nito, ay kinabibilangan din ng:

1. pagbuo ng isang algorithm na nagmomodelo ng gawi ng isang bagay, proseso o sistema;

2. pagsuri sa kasapatan ng modelo at ng bagay, proseso o sistema batay sa computational at full-scale na mga eksperimento;

3. pagsasaayos ng modelo;

4. paggamit ng modelo.

Ang matematikal na paglalarawan ng mga proseso at sistemang pinag-aaralan ay nakasalalay sa:

1. ang kalikasan ng isang tunay na proseso o sistema at pinagsama-sama batay sa mga batas ng pisika, kimika, mekanika, thermodynamics, hydrodynamics, electrical engineering, plasticity theory, elasticity theory, atbp.

2. ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng pag-aaral at pagsasaliksik ng mga tunay na proseso at sistema.

Sa yugto ng pagpili ng isang modelo ng matematika, ang mga sumusunod ay itinatag: linearity at nonlinearity ng isang bagay, proseso o sistema, dynamism o staticity, stationarity o nonstationarity, pati na rin ang antas ng determinism ng object o proseso na pinag-aaralan. Sa pagmomodelo ng matematika sinasadyang makagambala sa partikular na pisikal na katangian ng mga bagay, proseso o sistema at, pangunahin, tumuon sa pag-aaral ng quantitative dependencies sa pagitan ng mga dami na naglalarawan sa mga prosesong ito.

Ang isang modelo ng matematika ay hindi kailanman ganap na magkapareho sa bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Batay sa pagpapasimple at ideyalisasyon, ito ay isang tinatayang paglalarawan ng bagay. Samakatuwid, ang mga resulta na nakuha mula sa pagsusuri ng modelo ay tinatayang. Ang kanilang katumpakan ay tinutukoy ng antas ng kasapatan (pagsunod) sa pagitan ng modelo at ng bagay.

Ang pagbuo ng isang mathematical model ay karaniwang nagsisimula sa pagbuo at pagsusuri ng pinakasimple, pinaka-krudong mathematical model ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Sa hinaharap, kung kinakailangan, ang modelo ay pino at ang pagkakaugnay nito sa bagay ay gagawing mas kumpleto.

Kumuha tayo ng isang simpleng halimbawa. Kailangan mong matukoy ang ibabaw na lugar mesa. Karaniwan, ginagawa ito sa pamamagitan ng pagsukat ng haba at lapad nito, at pagkatapos ay pagpaparami ng mga resultang numero. Ang elementarya na pamamaraan na ito ay talagang nangangahulugan ng sumusunod: ang isang tunay na bagay (ibabaw ng talahanayan) ay pinalitan ng isang abstract na modelo ng matematika - isang parihaba. Ang mga sukat na nakuha sa pamamagitan ng pagsukat ng haba at lapad ng ibabaw ng talahanayan ay itinalaga sa parihaba, at ang lugar ng naturang parihaba ay tinatayang kinuha bilang kinakailangang lugar ng talahanayan.

Gayunpaman, ang rectangle model para sa isang desk ay ang pinakasimpleng, pinaka-krudong modelo. Kung gumawa ka ng isang mas seryosong diskarte sa problema, bago gumamit ng isang rektanggulo na modelo upang matukoy ang lugar ng talahanayan, ang modelong ito ay kailangang suriin. Maaaring isagawa ang mga pagsusuri tulad ng sumusunod: sukatin ang mga haba ng magkabilang panig ng talahanayan, pati na rin ang mga haba ng mga diagonal nito at ihambing ang mga ito sa bawat isa. Kung, na may kinakailangang antas ng katumpakan, ang mga haba ng magkabilang panig at ang mga haba ng mga dayagonal ay magkapareho sa mga pares, kung gayon ang ibabaw ng talahanayan ay talagang maituturing na isang rektanggulo. Kung hindi, ang rectangle model ay kailangang tanggihan at palitan ng isang pangkalahatang quadrilateral na modelo. Sa isang mas mataas na kinakailangan para sa katumpakan, maaaring kinakailangan upang pinuhin pa ang modelo, halimbawa, upang isaalang-alang ang pag-ikot ng mga sulok ng talahanayan.

Sa tulong nito simpleng halimbawa ipinakita na ang modelo ng matematika ay hindi natatanging tinutukoy ng bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan. Para sa parehong talahanayan maaari naming gamitin ang alinman sa isang parihaba na modelo, o isang mas kumplikadong modelo ng isang pangkalahatang may apat na gilid, o isang may apat na gilid na may mga bilugan na sulok. Ang pagpili ng isang modelo o iba ay tinutukoy ng pangangailangan ng katumpakan. Sa pagtaas ng katumpakan, ang modelo ay kailangang maging kumplikado, na isinasaalang-alang ang mga bago at bagong tampok ng bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa: pag-aaral ng paggalaw ng mekanismo ng crank (Larawan 2.1).

kanin. 2.1.

Para sa kinematic analysis ng mekanismong ito, una sa lahat, kinakailangan na bumuo ng kinematic na modelo nito. Para dito:

1. Pinapalitan namin ang mekanismo ng kinematic diagram nito, kung saan ang lahat ng mga link ay pinalitan ng mga matibay na koneksyon;

2. Gamit ang diagram na ito, nakukuha namin ang equation ng paggalaw ng mekanismo;

3. Ang pagkakaiba sa huli, nakukuha natin ang mga equation ng velocities at acceleration, na mga differential equation ng 1st at 2nd order.

Isulat natin ang mga equation na ito:

kung saan ang C 0 ay ang matinding kanang posisyon ng slider C:

r – crank radius AB;

l – haba ng connecting rod BC;

– anggulo ng pag-ikot ng pihitan;

Ang mga resultang transendental na equation ay kumakatawan sa isang mathematical na modelo ng paggalaw ng isang flat axial crank mechanism, batay sa mga sumusunod na nagpapasimpleng pagpapalagay:

1. hindi kami interesado sa mga istrukturang anyo at pagsasaayos ng masa na kasama sa mekanismo ng mga katawan, at pinalitan namin ang lahat ng mga katawan ng mekanismo ng mga tuwid na bahagi. Sa katunayan, ang lahat ng mga link ng mekanismo ay may masa at medyo kumplikadong hugis. Halimbawa, ang isang connecting rod ay isang kumplikadong pagpupulong, ang hugis at sukat nito, siyempre, ay makakaapekto sa paggalaw ng mekanismo;

2. kapag nagtatayo ng isang modelo ng matematika ng paggalaw ng mekanismong isinasaalang-alang, hindi rin namin isinasaalang-alang ang pagkalastiko ng mga katawan na kasama sa mekanismo, i.e. ang lahat ng mga link ay itinuturing na abstract ganap na mahigpit na katawan. Sa katotohanan, ang lahat ng mga katawan na kasama sa mekanismo ay nababanat na mga katawan. Kapag gumagalaw ang mekanismo, kahit papaano ay magiging deformed sila; maaari pa nga silang umunlad nababanat na vibrations. Ang lahat ng ito, siyempre, ay makakaapekto rin sa paggalaw ng mekanismo;

3. hindi namin isinasaalang-alang ang error sa pagmamanupaktura ng mga link, ang mga puwang sa mga kinematic na pares A, B, C, atbp.

Kaya, mahalagang bigyang-diin muli na kung mas mataas ang mga kinakailangan para sa katumpakan ng mga resulta ng paglutas ng isang problema, mas malaki ang pangangailangan na isaalang-alang ang mga tampok ng bagay, proseso o sistema na pinag-aaralan kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika. Gayunpaman, mahalagang huminto dito sa oras, dahil ang isang kumplikadong modelo ng matematika ay maaaring maging isang mahirap na problema upang malutas.

Ang isang modelo ay pinakamadaling mabuo kapag ang mga batas na tumutukoy sa pag-uugali at mga katangian ng isang bagay, proseso o sistema ay kilala, at mayroong malawak na praktikal na karanasan sa kanilang aplikasyon.

Higit pa isang mahirap na sitwasyon nangyayari kapag ang ating kaalaman tungkol sa bagay, proseso o sistemang pinag-aaralan ay hindi sapat. Sa kasong ito, kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika, kinakailangan na gumawa ng mga karagdagang pagpapalagay na nasa likas na katangian ng mga hypotheses; ang gayong modelo ay tinatawag na hypothetical. Ang mga konklusyon na nakuha bilang resulta ng pag-aaral ng naturang hypothetical na modelo ay may kondisyon. Upang mapatunayan ang mga konklusyon, kinakailangan upang ihambing ang mga resulta ng pag-aaral ng modelo sa isang computer sa mga resulta ng isang buong sukat na eksperimento. Kaya, ang tanong ng applicability ng isang partikular na modelo ng matematika sa pag-aaral ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang ay hindi isang tanong sa matematika at hindi malulutas ng mga pamamaraan ng matematika.

Ang pangunahing criterion ng katotohanan ay eksperimento, pagsasanay sa pinakamalawak na kahulugan ng salita.

Ang pagtatayo ng isang modelo ng matematika sa mga inilapat na problema ay isa sa pinakamasalimuot at mahalagang yugto ng trabaho. Ipinapakita ng karanasan na sa maraming mga kaso ang pagpili ng tamang modelo ay nangangahulugan ng paglutas ng problema sa pamamagitan ng higit sa kalahati. Ang kahirapan ng yugtong ito ay nangangailangan ito ng kumbinasyon ng matematika at espesyal na kaalaman. Samakatuwid, napakahalaga na kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, ang mga mathematician ay may espesyal na kaalaman tungkol sa bagay, at ang kanilang mga kasosyo, mga espesyalista, ay may isang tiyak na kultura ng matematika, karanasan sa pananaliksik sa kanilang larangan, kaalaman sa mga computer at programming.

Lecture 3. Computer modeling at computational experiment. Paglutas ng mga modelo ng matematika

Ang pagmomodelo ng computer bilang isang bagong paraan ng siyentipikong pananaliksik ay batay sa:

1. pagbuo ng mga modelo ng matematika upang ilarawan ang mga prosesong pinag-aaralan;

2. gamit ang pinakabagong mga computer na may mataas na bilis (milyong operasyon bawat segundo) at may kakayahang magsagawa ng pakikipag-usap sa isang tao.

Ang kakanyahan ng pagmomodelo ng computer ay ang mga sumusunod: batay sa isang modelo ng matematika, ang isang serye ng mga eksperimento sa computational ay isinasagawa gamit ang isang computer, i.e. ang mga katangian ng mga bagay o proseso ay pinag-aaralan, ang kanilang pinakamainam na mga parameter at operating mode ay matatagpuan, at ang modelo ay pino. Halimbawa, ang pagkakaroon ng isang equation na naglalarawan sa kurso ng isang partikular na proseso, maaari mong baguhin ang mga coefficient nito, mga kondisyon sa simula at hangganan, at pag-aralan kung paano kikilos ang bagay. Bukod dito, posible na mahulaan ang pag-uugali ng isang bagay sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon.

Nagbibigay-daan sa iyo ang isang computational experiment na palitan ang isang mamahaling full-scale na eksperimento ng mga kalkulasyon sa computer. Pinapayagan ka nitong magsagawa ng pananaliksik sa maikling panahon at walang makabuluhang gastos sa materyal. Malaking numero mga pagpipilian para sa dinisenyo na bagay o proseso para sa iba't ibang mga mode ng operasyon nito, na makabuluhang binabawasan ang oras ng pag-unlad ng mga kumplikadong sistema at ang kanilang pagpapatupad sa produksyon.

Ang computer modeling at computational experiment bilang isang bagong paraan ng siyentipikong pananaliksik ay ginagawang posible na mapabuti ang mathematical apparatus na ginagamit sa pagbuo ng mga mathematical models, at nagbibigay-daan, gamit ang mathematical method, na linawin at gawing kumplikado ang mga mathematical models. Ang pinaka-promising para sa pagsasagawa ng computational experiment ay ang paggamit nito para sa paglutas ng mga pangunahing problemang pang-agham, teknikal at sosyo-ekonomiko sa ating panahon (pagdidisenyo ng mga reactor para sa mga nuclear power plant, pagdidisenyo ng mga dam at hydroelectric power station, magnetohydrodynamic energy converters, at sa larangan ng ekonomiya. - pagbubuo ng balanseng plano para sa isang industriya, rehiyon, para sa bansa, atbp.).

Sa ilang mga proseso kung saan ang isang natural na eksperimento ay mapanganib sa buhay at kalusugan ng tao, isang computational na eksperimento ang tanging posible (thermonuclear fusion, space exploration, disenyo at pananaliksik ng kemikal at iba pang mga industriya).

Upang suriin ang kasapatan ng modelo ng matematika at ang tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga resulta ng pananaliksik sa computer ay inihambing sa mga resulta ng isang eksperimento sa isang prototype na full-scale na modelo. Ang mga resulta ng pagsubok ay ginagamit upang ayusin ang matematikal na modelo o ang tanong ng pagiging angkop ng itinayong modelo ng matematika sa disenyo o pag-aaral ng mga tinukoy na bagay, proseso o sistema ay nalutas.

Sa konklusyon, muli naming binibigyang-diin na ginagawang posible ng pagmomodelo ng computer at eksperimento sa computational na bawasan ang pag-aaral ng isang bagay na "di-matematika" sa solusyon ng isang problemang matematikal. Binubuksan nito ang posibilidad ng paggamit ng isang mahusay na binuo na kasangkapang pangmatematika kasama ng malakas na teknolohiya sa pag-compute upang pag-aralan ito. Ito ang batayan ng paggamit ng matematika at kompyuter upang maunawaan ang mga batas. tunay na mundo at ang kanilang paggamit sa pagsasanay.

Sa mga problema sa pagdidisenyo o pag-aaral ng pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelo ng matematika ay karaniwang hindi linear, dahil dapat ipakita ng mga ito ang tunay na pisikal na mga prosesong hindi linear na nagaganap sa kanila. Bukod dito, ang mga parameter (mga variable) ng mga prosesong ito ay magkakaugnay ng mga pisikal na nonlinear na batas. Samakatuwid, sa mga problema sa pagdidisenyo o pag-aaral ng pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o sistema, ang mga modelong matematikal gaya ng DNA ay kadalasang ginagamit.

Ayon sa klasipikasyon na ibinigay sa lecture 1:

D - ang modelo ay deterministiko; ang impluwensya ng mga random na proseso ay wala (mas tiyak, hindi ito isinasaalang-alang).

N – tuloy-tuloy na modelo, impormasyon at mga parameter ay tuloy-tuloy.

A - analytical model, ang paggana ng modelo ay inilarawan sa anyo ng mga equation (linear, nonlinear, system of equation, differential at integral equation).

Kaya, nagtayo kami ng isang modelo ng matematika ng bagay, proseso o sistema na isinasaalang-alang, i.e. ipinakita ang inilapat na problema bilang isang matematikal. Pagkatapos nito, magsisimula ang ikalawang yugto ng paglutas ng inilapat na problema - ang paghahanap o pagbuo ng isang pamamaraan para sa paglutas ng nabuong problema sa matematika. Ang pamamaraan ay dapat na maginhawa para sa pagpapatupad nito sa isang computer at tiyakin ang kinakailangang kalidad ng solusyon.

Ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika ay maaaring nahahati sa 2 grupo:

1. eksaktong pamamaraan para sa paglutas ng mga problema;

2. numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema.

Sa eksaktong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika, ang sagot ay maaaring makuha sa anyo ng mga formula.

Halimbawa, ang pagkalkula ng mga ugat ng isang quadratic equation:

o, halimbawa, pagkalkula ng mga derivative function:

o pagkalkula ng isang tiyak na integral:

Gayunpaman, sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numero sa formula bilang mga finite decimal fraction, nakakakuha pa rin kami ng mga tinatayang halaga ng resulta.

Para sa karamihan ng mga problemang nakatagpo sa pagsasanay, ang mga eksaktong paraan ng solusyon ay hindi alam o nagbibigay ng napakahirap na mga formula. Gayunpaman, hindi sila palaging kinakailangan. Ang isang inilapat na problema ay maaaring ituring na praktikal na nalutas kung kaya nating lutasin ito nang may kinakailangang antas ng katumpakan.

Upang malutas ang mga naturang problema, ang mga pamamaraang pang-numero ay binuo kung saan ang solusyon ng mga kumplikadong problema sa matematika ay nabawasan sa sunud-sunod na pagpapatupad ng isang malaking bilang ng mga simpleng operasyon ng aritmetika. Ang direktang pagbuo ng mga numerical na pamamaraan ay nabibilang sa computational mathematics.

Ang isang halimbawa ng isang numerical na paraan ay ang paraan ng mga parihaba para sa tinatayang pagsasama, na hindi nangangailangan ng pagkalkula ng antiderivative para sa integrand. Sa halip na integral, kinakalkula ang panghuling kabuuan ng quadrature:

x 1 =a – mas mababang limitasyon ng pagsasama;

x n+1 =b – itaas na limitasyon ng pagsasama;

n – bilang ng mga segment kung saan nahahati ang integration interval (a,b);

– haba ng isang elementarya na segment;

f(x i) – ang halaga ng integrand sa mga dulo ng elementary integration segment.

Paano mas malaking bilang n mga segment kung saan nahahati ang integration interval, mas malapit ang tinatayang solusyon sa totoo, i.e. mas tumpak ang resulta.

Kaya, sa mga inilapat na problema, kapwa kapag gumagamit ng eksaktong mga pamamaraan ng solusyon at kapag gumagamit ng mga pamamaraan ng numerical na solusyon, ang mga resulta ng pagkalkula ay tinatayang. Mahalaga lamang na matiyak na ang mga error ay magkasya sa loob ng kinakailangang katumpakan.

Ang mga numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa matematika ay kilala sa mahabang panahon, kahit na bago ang pagdating ng mga computer, ngunit bihirang ginagamit ang mga ito at sa medyo simpleng mga kaso lamang dahil sa matinding pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon. Ang malawakang paggamit ng mga numerical na pamamaraan ay naging posible salamat sa mga computer.

Ang konsepto ng modelo at simulation.

Modelo sa malawak na kahulugan- ito ay anumang imahe, mental analogue o itinatag na imahe, paglalarawan, diagram, drawing, mapa, atbp. ng anumang volume, proseso o phenomenon, na ginamit bilang kapalit o kinatawan nito. Ang bagay, proseso o phenomenon mismo ay tinatawag na orihinal ng modelong ito.

Pagmomodelo - ito ay ang pag-aaral ng anumang bagay o sistema ng mga bagay sa pamamagitan ng pagbuo at pag-aaral ng kanilang mga modelo. Ito ay ang paggamit ng mga modelo upang matukoy o linawin ang mga katangian at bigyang-katwiran ang mga pamamaraan ng pagbuo ng mga bagong gawang bagay.

Ang anumang paraan ng siyentipikong pananaliksik ay batay sa ideya ng pagmomodelo, habang ang mga teoretikal na pamamaraan ay gumagamit ng iba't ibang uri ng simbolikong, abstract na mga modelo, at mga eksperimentong pamamaraan ay gumagamit ng mga modelo ng paksa.

Sa panahon ng pananaliksik, ang isang kumplikadong tunay na kababalaghan ay pinapalitan ng ilang pinasimpleng kopya o diagram; kung minsan ang gayong kopya ay nagsisilbi lamang upang matandaan at makilala ang nais na kababalaghan sa susunod na pagpupulong. Minsan ang itinayong diagram ay sumasalamin sa ilang mahahalagang katangian, nagbibigay-daan sa isa na maunawaan ang mekanismo ng isang kababalaghan, at ginagawang posible na mahulaan ang pagbabago nito. Ang iba't ibang mga modelo ay maaaring tumutugma sa parehong kababalaghan.

Ang gawain ng mananaliksik ay hulaan ang likas na katangian ng kababalaghan at ang takbo ng proseso.

Minsan, nangyayari na ang isang bagay ay magagamit, ngunit ang mga eksperimento dito ay mahal o humantong sa malubhang kahihinatnan sa kapaligiran. Ang kaalaman tungkol sa mga naturang proseso ay nakukuha gamit ang mga modelo.

Ang isang mahalagang punto ay ang mismong kalikasan ng agham ay nagsasangkot ng pag-aaral ng higit sa isa tiyak na kababalaghan, ngunit isang malawak na uri ng mga kaugnay na phenomena. Ipinapalagay nito ang pangangailangang bumalangkas ng ilang pangkalahatang kategoryang pahayag, na tinatawag na mga batas. Naturally, sa gayong pormulasyon maraming mga detalye ang napapabayaan. Upang mas malinaw na makilala ang isang pattern, sinasadya nilang pumunta para sa coarsening, idealization, at sketchiness, iyon ay, hindi nila pinag-aaralan ang phenomenon mismo, ngunit isang mas o mas kaunting eksaktong kopya o modelo nito. Ang lahat ng mga batas ay mga batas tungkol sa mga modelo, at samakatuwid ay hindi nakakagulat na sa paglipas ng panahon ang ilan mga teoryang siyentipiko ay itinuturing na hindi angkop. Hindi ito humahantong sa pagbagsak ng agham, dahil ang isang modelo ay pinalitan ng isa pa mas makabago.

Ang mga modelo ng matematika ay may espesyal na papel sa agham. materyales sa pagtatayo at ang mga kasangkapan ng mga modelong ito ay mga konseptong matematikal. Sila ay naipon at napabuti sa loob ng libu-libong taon. Ang modernong matematika ay nagbibigay ng napakalakas at unibersal na paraan ng pananaliksik. Halos lahat ng konsepto sa matematika, bawat bagay sa matematika, simula sa konsepto ng numero, ay isang mathematical model. Kapag bumubuo ng isang matematikal na modelo ng bagay o kababalaghan na pinag-aaralan, ang mga tampok, tampok at detalye nito ay natukoy na, sa isang banda, naglalaman ng higit pa o mas kaunti. buong impormasyon tungkol sa bagay, at sa kabilang banda, pinapayagan nila ang mathematical formalization. Ang mathematical formalization ay nangangahulugan na ang mga katangian at detalye ng isang bagay ay maaaring iugnay sa angkop na mga konseptong matematikal: mga numero, function, matrice, at iba pa. Pagkatapos ang mga koneksyon at relasyon na natuklasan at ipinapalagay sa bagay na pinag-aaralan sa pagitan ng mga indibidwal na bahagi at mga bahagi nito ay maaaring isulat gamit ang mga ugnayang matematikal: pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, mga equation. Ang resulta ay isang mathematical na paglalarawan ng proseso o phenomenon na pinag-aaralan, iyon ay, ang mathematical model nito.

Ang pag-aaral ng isang modelo ng matematika ay palaging nauugnay sa ilang mga patakaran ng pagkilos sa mga bagay na pinag-aaralan. Ang mga panuntunang ito ay sumasalamin sa mga ugnayan sa pagitan ng mga sanhi at epekto.

Ang pagbuo ng isang modelo ng matematika ay ang sentral na yugto ng pananaliksik o disenyo ng anumang sistema. Ang lahat ng kasunod na pagsusuri ng bagay ay nakasalalay sa kalidad ng modelo. Ang pagbuo ng isang modelo ay hindi isang pormal na pamamaraan. Ito ay lubos na nakadepende sa mananaliksik, sa kanyang karanasan at panlasa, at palaging nakabatay sa ilang eksperimentong materyal. Ang modelo ay dapat na sapat na tumpak, sapat at maginhawang gamitin.

Pagmomodelo sa matematika.

Pag-uuri ng mga modelo ng matematika.

Ang mga modelo ng matematika ay maaaringdeterministiko At stochastic .

Magpasya modelo at mga modelo kung saan ang isang isa-sa-isang pagsusulatan ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o phenomenon.

Ang diskarte na ito ay batay sa kaalaman sa mekanismo ng paggana ng mga bagay. Kadalasan ang bagay na na-modelo ay kumplikado at ang pag-decipher ng mekanismo nito ay maaaring maging napakahirap sa paggawa at pag-ubos ng oras. Sa kasong ito, nagpapatuloy sila sa mga sumusunod: nagsasagawa sila ng mga eksperimento sa orihinal, pinoproseso ang mga resulta na nakuha at, nang hindi sinasaliksik ang mekanismo at teorya ng modelong bagay gamit ang mga pamamaraan ng matematikal na istatistika at teorya ng posibilidad, nagtatatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ang bagay. Sa kasong ito makakakuha kastochastic modelo . SA stochastic modelo, ang relasyon sa pagitan ng mga variable ay random, kung minsan ito ay pangunahing. Ang impluwensya ng isang malaking bilang ng mga kadahilanan, ang kanilang kumbinasyon ay humahantong sa isang random na hanay ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o kababalaghan. Ayon sa likas na katangian ng mga mode, ang modelo ayistatistika At pabago-bago.

Istatistikamodelomay kasamang paglalarawan ng mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng namodelong bagay sa isang steady state nang hindi isinasaalang-alang ang mga pagbabago sa mga parameter sa paglipas ng panahon.

SA pabago-bagomga modeloang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng modelong bagay sa panahon ng paglipat mula sa isang mode patungo sa isa pa ay inilarawan.

May mga modelo discrete At tuloy-tuloy, at magkakahalo uri. SA tuloy-tuloy ang mga variable ay kumukuha ng mga halaga mula sa isang tiyak na agwat, sadiscreteang mga variable ay kumukuha ng mga nakahiwalay na halaga.

Mga linear na modelo- lahat ng mga function at relasyon na naglalarawan sa modelo ay linearly depende sa mga variable athindi linearkung hindi.

Pagmomodelo sa matematika.

Mga kinakailangan ,p iniharap sa mga modelo.

1. Kagalingan sa maraming bagay- nailalarawan ang pagkakumpleto ng representasyon ng modelo ng mga pinag-aralan na katangian ng isang tunay na bagay.

1. Ang kasapatan ay ang kakayahang ipakita ang mga nais na katangian ng isang bagay na may error na hindi mas mataas kaysa sa isang ibinigay.
2. Ang katumpakan ay tinasa ng antas ng kasunduan sa pagitan ng mga halaga ng mga katangian ng isang tunay na bagay at ang mga halaga ng mga katangiang ito na nakuha gamit ang mga modelo.
3. Matipid - tinutukoy ng paggasta ng mga mapagkukunan ng memorya ng computer at oras para sa pagpapatupad at pagpapatakbo nito.

Pagmomodelo sa matematika.

Mga pangunahing yugto ng pagmomolde.

1. Paglalahad ng suliranin.

Pagtukoy sa layunin ng pagsusuri at ang paraan upang makamit at mapaunlad ito karaniwang diskarte sa suliraning pinag-aaralan. Sa yugtong ito, kinakailangan ang malalim na pag-unawa sa kakanyahan ng gawain. Minsan, ang pagtatakda ng isang problema nang tama ay hindi mas mahirap kaysa sa paglutas nito. Ang pagtatanghal ay hindi isang pormal na proseso, pangkalahatang tuntunin Hindi.

2. Pag-aaral ng mga teoretikal na pundasyon at pagkolekta ng impormasyon tungkol sa orihinal na bagay.

Sa yugtong ito, pinipili o binuo ang isang angkop na teorya. Kung wala ito, ang sanhi-at-bunga na mga relasyon ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan sa bagay. Tinutukoy ang data ng input at output, at ginagawa ang pagpapasimple ng mga pagpapalagay.

3. Pormalisasyon.

Binubuo ito sa pagpili ng isang sistema ng mga simbolo at paggamit ng mga ito upang isulat ang mga ugnayan sa pagitan ng mga bahagi ng bagay sa anyo. mga pagpapahayag ng matematika. Ang klase ng mga problema kung saan ang resultang mathematical model ng object ay maaaring ma-classify. Ang mga halaga ng ilang mga parameter ay maaaring hindi pa tinukoy sa yugtong ito.

4. Pagpili ng paraan ng solusyon.

Sa yugtong ito, ang mga huling parameter ng mga modelo ay itinatag na isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng pagpapatakbo ng bagay. Para sa nagresultang problema sa matematika, isang paraan ng solusyon ang napili o isang espesyal na paraan ang binuo. Kapag pumipili ng isang paraan, ang kaalaman ng gumagamit, ang kanyang mga kagustuhan, at ang mga kagustuhan ng developer ay isinasaalang-alang.

5. Pagpapatupad ng modelo.

Ang pagkakaroon ng pagbuo ng isang algorithm, ang isang programa ay nakasulat, na kung saan ay na-debug, nasubok, at isang solusyon sa nais na problema ay nakuha.

6. Pagsusuri ng impormasyong natanggap.

Ang nakuha at inaasahang solusyon ay inihahambing, at ang error sa pagmomodelo ay sinusubaybayan.

7. Sinusuri ang kasapatan ng tunay na bagay.

Ang mga resulta na nakuha mula sa modelo ay inihambingalinman sa magagamit na impormasyon tungkol sa bagay, o isang eksperimento ang isinasagawa at ang mga resulta nito ay inihambing sa mga kinakalkula.

Ang proseso ng pagmomolde ay umuulit. Sa kaso ng hindi kasiya-siyang resulta ng mga yugto 6. o 7. ang isang pagbabalik ay ginawa sa isa sa mga naunang yugto, na maaaring humantong sa pagbuo ng isang hindi matagumpay na modelo. Ang yugtong ito at ang lahat ng kasunod ay pinino at ang gayong pagpipino ng modelo ay nangyayari hanggang sa makuha ang mga katanggap-tanggap na resulta.

Ang isang modelo ng matematika ay isang tinatayang paglalarawan ng anumang klase ng mga phenomena o mga bagay ng totoong mundo sa wika ng matematika. Ang pangunahing layunin ng pagmomodelo ay upang galugarin ang mga bagay na ito at hulaan ang mga resulta ng mga obserbasyon sa hinaharap. Gayunpaman, ang pagmomodelo ay isa ring paraan ng pag-unawa sa mundo sa paligid natin, na ginagawang posible na kontrolin ito.

Ang pagmomodelo ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong sukat na eksperimento para sa isang kadahilanan o iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng natural na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "kung ano ang mangyayari kung..." Imposibleng suriin ang kawastuhan ng isa o isa pang teorya ng kosmolohiya. Posible sa prinsipyo, ngunit halos hindi makatwiran, na mag-eksperimento sa pagkalat ng isang sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng pagsabog ng nuklear upang pag-aralan ang mga kahihinatnan nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer sa pamamagitan ng unang pagbuo ng mga modelo ng matematika ng mga phenomena na pinag-aaralan.

1.1.2 2. Mga pangunahing yugto ng pagmomolde ng matematika

1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang ilang bagay na "di-matematika" ay tinukoy - isang natural na kababalaghan, disenyo, plano sa ekonomiya, proseso ng pagmamanupaktura atbp. Sa kasong ito, bilang isang panuntunan, ang isang malinaw na paglalarawan ng sitwasyon ay mahirap. Una, ang mga pangunahing tampok ng kababalaghan at ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay ay nakilala. Pagkatapos ang nahanap na qualitative dependencies ay binuo sa wika ng matematika, iyon ay, isang mathematical model ang binuo. Ito ang pinakamahirap na yugto ng pagmomodelo.

2) Paglutas ng problemang pangmatematika kung saan pinangungunahan ng modelo. Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang katumpakan at sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras.

3) Interpretasyon ng mga nakuhang kahihinatnan mula sa mathematical model.Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinatanggap sa larangan.

4) Sinusuri ang kasapatan ng modelo.Sa yugtong ito, natutukoy kung ang mga eksperimentong resulta ay sumasang-ayon sa mga teoretikal na kahihinatnan ng modelo sa loob ng isang tiyak na katumpakan.

5) Pagbabago ng modelo.Sa yugtong ito, alinman sa modelo ay kumplikado upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o ito ay pinasimple upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.

1.1.3 3. Pag-uuri ng modelo

Maaaring uriin ang mga modelo ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problemang nilulutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa functional at structural. Sa unang kaso, ang lahat ng mga dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag sa dami. Bukod dito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga independiyenteng variable, habang ang iba ay itinuturing na mga function ng mga dami na ito. Ang modelo ng matematika ay karaniwang isang sistema ng mga equation iba't ibang uri(differential, algebraic, atbp.), na nagtatatag ng mga quantitative na relasyon sa pagitan ng mga dami na isinasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay nagpapakilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay na binubuo ng mga indibidwal na bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga koneksyon na ito ay hindi nasusukat. Upang makabuo ng gayong mga modelo, maginhawang gumamit ng teorya ng graph. Ang graph ay isang mathematical object na kumakatawan sa isang set ng mga punto (vertices) sa isang eroplano o sa kalawakan, na ang ilan ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).

Batay sa likas na katangian ng paunang data at mga resulta, ang mga modelo ng hula ay maaaring hatiin sa deterministic at probabilistic-statistical. Ang mga modelo ng unang uri ay gumagawa ng tiyak, hindi malabo na mga hula. Ang mga modelo ng pangalawang uri ay batay sa istatistikal na impormasyon, at ang mga hula na nakuha sa kanilang tulong ay probabilistic sa kalikasan.

MATHEMATICAL MODELING AT PANGKALAHATANG COMPUTERIZATION O SIMULATION MODELS

Ngayon, kapag ang halos unibersal na computerization ay nagaganap sa bansa, naririnig namin ang mga pahayag mula sa mga espesyalista sa iba't ibang mga propesyon: "Kung magpakilala kami ng isang computer, kung gayon ang lahat ng mga problema ay malulutas kaagad." Ang pananaw na ito ay ganap na hindi tama; ang mga computer mismo, nang walang mga modelo ng matematika ng ilang mga proseso, ay hindi makakagawa ng anuman, at maaari lamang mangarap ng unibersal na kompyuterisasyon.

Bilang suporta sa itaas, susubukan naming patunayan ang pangangailangan para sa pagmomodelo, kabilang ang matematikal na pagmomodelo, at ihayag ang mga pakinabang nito sa katalusan at pagbabago ng tao. labas ng mundo, kilalanin natin ang mga kasalukuyang pagkukulang at pumunta... sa simulation modeling, i.e. pagmomodelo gamit ang computer. Ngunit lahat ay nasa ayos.

Una sa lahat, sagutin natin ang tanong: ano ang modelo?

Ang modelo ay isang materyal o bagay na kinakatawan ng pag-iisip, na sa proseso ng cognition (pag-aaral) ay pinapalitan ang orihinal, pinapanatili ang ilang tipikal na katangian na mahalaga para sa pag-aaral na ito.

Ang isang mahusay na binuo na modelo ay mas naa-access para sa pananaliksik kaysa sa isang tunay na bagay. Halimbawa, ang mga eksperimento sa ekonomiya ng bansa para sa mga layuning pang-edukasyon ay hindi katanggap-tanggap; ang isang modelo ay kailangang-kailangan.

Sa pagbubuod ng sinabi, masasagot natin ang tanong: para saan ang mga modelo? Nang sa gayon

• maunawaan kung paano gumagana ang isang bagay (ang istraktura nito, mga katangian, mga batas ng pag-unlad, pakikipag-ugnayan sa labas ng mundo).
• matutong pamahalaan ang isang bagay (proseso) at tukuyin ang pinakamahusay na mga diskarte
• hulaan ang mga kahihinatnan ng epekto sa bagay.

Ano ang positibo sa anumang modelo? Pinapayagan ka nitong makakuha ng bagong kaalaman tungkol sa bagay, ngunit, sa kasamaang-palad, ito ay hindi kumpleto sa isang antas o iba pa.

Modelona nabuo sa wika ng matematika gamit ang mga pamamaraang matematikal ay tinatawag na modelong matematikal.

Ang panimulang punto para sa pagtatayo nito ay karaniwang ilang problema, halimbawa isang pang-ekonomiya. Ang parehong descriptive at optimization na mathematical ay laganap, na nagpapakilala sa iba't-ibang mga prosesong pang-ekonomiya at phenomena, halimbawa:

• paglalaan ng mapagkukunan
• makatwirang pagputol
• transportasyon
• pagsasama-sama ng mga negosyo
• pagpaplano ng network.

Paano nabuo ang isang modelo ng matematika?

• Una, ang layunin at paksa ng pag-aaral ay nabuo.
• Pangalawa, ang pinakamahalagang katangian na naaayon sa layuning ito ay naka-highlight.
• Pangatlo, ang mga ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng modelo ay inilarawan sa salita.
• Susunod, ang relasyon ay pormal na.
• At ang isang pagkalkula ay ginawa gamit ang isang mathematical model at ang resultang solusyon ay pinag-aaralan.

Gamit ang algorithm na ito, maaari mong lutasin ang anumang problema sa pag-optimize, kabilang ang multicriteria, i.e. isa kung saan hindi isa, ngunit maraming mga layunin ang hinahabol, kabilang ang mga kontradiksyon.

Magbigay tayo ng halimbawa. Teorya ng queuing - ang problema ng pagpila. Kinakailangang balansehin ang dalawang salik - ang halaga ng pagpapanatili ng mga kagamitan sa serbisyo at ang halaga ng pananatili sa linya. Ang pagkakaroon ng pagbuo ng isang pormal na paglalarawan ng modelo, ang mga kalkulasyon ay ginawa gamit ang analytical at computational na mga pamamaraan. Kung ang modelo ay mabuti, kung gayon ang mga sagot na natagpuan sa tulong nito ay sapat sa sistema ng pagmomolde; kung ito ay masama, dapat itong pagbutihin at palitan. Ang criterion ng kasapatan ay pagsasanay.

Ang mga modelo ng pag-optimize, kabilang ang mga multicriteria, ay mayroon pangkalahatang pag-aari– isang layunin (o ilang layunin) ay kilala, upang makamit kung alin ang madalas na humarap sa mga kumplikadong sistema, kung saan ito ay hindi gaanong tungkol sa paglutas ng mga problema sa pag-optimize, ngunit tungkol sa pag-aaral at paghula ng mga estado depende sa napiling mga diskarte sa kontrol. At dito tayo ay nahaharap sa mga kahirapan sa pagpapatupad ng nakaraang plano. Ang mga ito ay ang mga sumusunod:

• ang isang kumplikadong sistema ay naglalaman ng maraming koneksyon sa pagitan ng mga elemento
• ang isang tunay na sistema ay naiimpluwensyahan ng mga random na kadahilanan, ang pagsasaalang-alang sa mga ito nang analytical ay imposible
• ang posibilidad ng paghahambing ng orihinal sa modelo ay umiiral lamang sa simula at pagkatapos gamitin ang mathematical apparatus, dahil Ang mga intermediate na resulta ay maaaring walang mga analogue sa totoong sistema.

Kaugnay ng nakalistang mga paghihirap na lumitaw kapag nag-aaral ng mga kumplikadong sistema, ang pagsasanay ay nangangailangan ng isang mas nababaluktot na pamamaraan, at ito ay lumitaw - "Pagmomodelo ng simujation".

Karaniwan, ang modelo ng simulation ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga programa sa computer na naglalarawan sa paggana ng mga indibidwal na bloke ng system at ang mga patakaran ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga ito. Paggamit mga random na variable ginagawang kinakailangan upang magsagawa ng maraming mga eksperimento sa isang simulation system (sa isang computer) at kasunod na istatistikal na pagsusuri ng mga resultang nakuha. Ang isang napaka-karaniwang halimbawa ng paggamit ng mga modelo ng simulation ay ang paglutas ng problema sa pagpila gamit ang MONTE CARLO method.

Kaya, ang pagtatrabaho sa isang simulation system ay isang eksperimento na isinasagawa sa isang computer. Ano ang mga pakinabang?

– Mas malapit sa tunay na sistema kaysa sa mga modelo ng matematika;

– Ginagawang posible ng prinsipyo ng block na i-verify ang bawat bloke bago ito isama sa pangkalahatang sistema;

–Ang paggamit ng mga dependency ng isang mas kumplikadong kalikasan na hindi maaaring ilarawan sa pamamagitan ng simpleng mga relasyon sa matematika.

Tinutukoy ng mga nakalistang pakinabang ang mga disadvantages

– mas matagal, mas mahirap at mas mahal ang pagbuo ng modelo ng simulation;

– upang gumana sa simulation system, kailangan mong magkaroon ng isang computer na angkop para sa klase;

– ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng user at ng simulation model (interface) ay hindi dapat masyadong kumplikado, maginhawa at kilala;

-Ang pagbuo ng modelo ng simulation ay nangangailangan ng mas malalim na pag-aaral ng tunay na proseso kaysa sa mathematical modeling.

Ang tanong ay lumitaw: maaari bang palitan ng simulation modeling ang mga pamamaraan ng pag-optimize? Hindi, ngunit ito ay maginhawang umakma sa kanila. Ang modelo ng simulation ay isang programa na nagpapatupad ng isang partikular na algorithm, upang i-optimize ang kontrol kung saan unang nalutas ang isang problema sa pag-optimize.

Kaya, alinman sa isang computer, o isang modelo ng matematika, o isang algorithm para sa pag-aaral lamang nito ay hindi makakalutas ng isang sapat na kumplikadong problema. Ngunit magkasama silang kumakatawan sa kapangyarihan na nagpapahintulot sa amin na malaman ang mundo, pamahalaan ito sa interes ng tao.

1.2 Pag-uuri ng modelo

Sa artikulong ito, nag-aalok kami ng mga halimbawa ng mga modelo ng matematika. Bilang karagdagan, bibigyan namin ng pansin ang mga yugto ng paglikha ng mga modelo at pag-aralan ang ilang mga problema na nauugnay sa pagmomodelo ng matematika.

Ang isa pang tanong na mayroon tayo ay ang mga modelo ng matematika sa ekonomiya, mga halimbawa kung saan titingnan natin ang kahulugan sa ibang pagkakataon. Iminumungkahi naming simulan ang aming pag-uusap sa mismong konsepto ng "modelo", sa madaling sabi isaalang-alang ang kanilang pag-uuri at magpatuloy sa aming mga pangunahing katanungan.

Ang konsepto ng "modelo"

Madalas nating marinig ang salitang "modelo". Ano ito? Ang terminong ito ay may maraming kahulugan, narito ang tatlo lamang sa mga ito:

• isang tiyak na bagay na nilikha upang tumanggap at mag-imbak ng impormasyon, na sumasalamin sa ilang mga katangian o katangian, at iba pa, ng orihinal ng bagay na ito (ang partikular na bagay na ito ay maaaring ipahayag sa iba't ibang anyo: mental, paglalarawan gamit ang mga palatandaan, at iba pa);
• Ang isang modelo ay nangangahulugan din ng isang representasyon ng isang partikular na sitwasyon, buhay o pamamahala;
• ang isang modelo ay maaaring isang pinababang kopya ng isang bagay (ginawa sila para sa mas detalyadong pag-aaral at pagsusuri, dahil ang modelo ay sumasalamin sa istraktura at mga relasyon).

Batay sa lahat ng sinabi nang mas maaga, maaari tayong gumuhit ng isang maliit na konklusyon: pinapayagan ka ng modelo na pag-aralan ang isang kumplikadong sistema o bagay nang detalyado.

Ang lahat ng mga modelo ay maaaring maiuri ayon sa ilang mga katangian:

• sa pamamagitan ng lugar ng paggamit (pang-edukasyon, pang-eksperimento, pang-agham at teknikal, paglalaro, simulation);
• sa pamamagitan ng dinamika (static at dynamic);
• ayon sa sangay ng kaalaman (pisikal, kemikal, heograpikal, historikal, sosyolohikal, pang-ekonomiya, matematika);
• sa pamamagitan ng paraan ng pagtatanghal (materyal at impormasyon).

Ang mga modelo ng impormasyon, sa turn, ay nahahati sa symbolic at verbal. At mga simboliko - sa mga computer at hindi computer. Ngayon ay lumipat tayo sa detalyadong pagsasaalang-alang mga halimbawa ng modelo ng matematika.

Matematikal na modelo

Tulad ng maaari mong hulaan, ang isang mathematical model ay sumasalamin sa anumang mga tampok ng isang bagay o phenomenon gamit ang mga espesyal na simbolo ng matematika. Ang matematika ay kailangan upang maimodelo ang mga pattern ng nakapaligid na mundo sa sarili nitong partikular na wika.

Ang pamamaraan ng pagmomolde ng matematika ay nagmula medyo matagal na ang nakalipas, libu-libong taon na ang nakalilipas, kasama ang pagdating ng agham na ito. Gayunpaman, ang impetus para sa pagbuo ng paraan ng pagmomolde na ito ay ibinigay sa pamamagitan ng paglitaw ng mga computer (electronic computer).

Ngayon ay lumipat tayo sa pag-uuri. Maaari rin itong isagawa ayon sa ilang mga palatandaan. Ang mga ito ay ipinakita sa talahanayan sa ibaba.

Iminumungkahi naming ihinto at tingnan nang mabuti ang pinakabagong pag-uuri, dahil sinasalamin nito ang mga pangkalahatang pattern ng pagmomodelo at ang mga layunin ng mga modelong ginagawa.

Mga deskriptibong modelo

Sa kabanatang ito, ipinapanukala naming pag-isipan nang mas detalyado ang mga deskriptibong modelo ng matematika. Upang gawing napakalinaw ang lahat, isang halimbawa ang ibibigay.

Magsimula tayo sa katotohanan na ang ganitong uri ay maaaring tawaging naglalarawan. Ito ay dahil sa ang katunayan na gumagawa lamang kami ng mga kalkulasyon at mga pagtataya, ngunit hindi sa anumang paraan makakaimpluwensya sa kinalabasan ng kaganapan.

Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng isang mapaglarawang modelo ng matematika ay ang pagkalkula ng landas ng paglipad, bilis, at distansya mula sa Earth ng isang kometa na sumalakay sa kalawakan ng ating solar system. Ang modelong ito ay naglalarawan, dahil ang lahat ng mga resulta na nakuha ay maaari lamang magbigay ng babala sa amin ng anumang panganib. Sa kasamaang palad, hindi namin maimpluwensyahan ang kinalabasan ng kaganapan. Gayunpaman, batay sa mga kalkulasyon na nakuha, posible na gumawa ng anumang mga hakbang upang mapanatili ang buhay sa Earth.

Mga modelo ng pag-optimize

Ngayon ay magsasalita tayo ng kaunti tungkol sa mga modelong pang-ekonomiya at matematika, ang mga halimbawa nito ay maaaring magsilbi bilang iba't ibang kasalukuyang mga sitwasyon. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga modelo na makakatulong sa paghahanap ng tamang sagot sa ilalim ng ilang mga kundisyon. Tiyak na mayroon silang ilang mga parameter. Upang maging ganap itong malinaw, tingnan natin ang isang halimbawa mula sa sektor ng agrikultura.

Mayroon kaming kamalig, ngunit ang butil ay napakabilis na nasisira. Sa kasong ito, kailangan nating piliin ang tamang mga kondisyon ng temperatura at i-optimize ang proseso ng imbakan.

Kaya, maaari nating tukuyin ang konsepto ng "modelo ng pag-optimize". SA kahulugan ng matematika ito ay isang sistema ng mga equation (parehong linear at hindi), ang solusyon nito ay nakakatulong upang mahanap ang pinakamainam na solusyon sa isang partikular na sitwasyong pang-ekonomiya. Tumingin kami sa isang halimbawa ng isang modelo ng matematika (pag-optimize), ngunit nais kong idagdag: ang ganitong uri ay kabilang sa klase ng matinding mga problema, tinutulungan nilang ilarawan ang paggana ng sistemang pang-ekonomiya.

Tandaan natin ang isa pang nuance: maaaring magsuot ang mga modelo magkaibang karakter(tingnan ang talahanayan sa ibaba).

Mga modelo ng multicriteria

Ngayon inaanyayahan ka naming pag-usapan nang kaunti ang tungkol sa modelo ng matematika ng multicriteria optimization. Bago ito, nagbigay kami ng isang halimbawa ng isang modelo ng matematika para sa pag-optimize ng isang proseso ayon sa alinmang criterion, ngunit paano kung marami sa kanila?

Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng isang multi-criteria na gawain ay ang organisasyon ng wasto, malusog at kasabay na matipid na nutrisyon para sa malalaking grupo ng mga tao. Ang ganitong mga gawain ay madalas na nakatagpo sa hukbo, mga kantina ng paaralan, mga kampo ng tag-init, mga ospital, at iba pa.

Anong pamantayan ang ibinigay sa atin sa gawaing ito?

1. Ang nutrisyon ay dapat na malusog.
2. Ang mga gastos sa pagkain ay dapat na minimal.

Tulad ng nakikita mo, ang mga layuning ito ay hindi nagtutugma sa lahat. Nangangahulugan ito na kapag nilulutas ang isang problema, kinakailangang maghanap ng pinakamainam na solusyon, isang balanse sa pagitan ng dalawang pamantayan.

Mga modelo ng laro

Kapag pinag-uusapan ang mga modelo ng laro, kinakailangang maunawaan ang konsepto ng "teorya ng laro". Sa madaling salita, ang mga modelong ito ay sumasalamin sa mga modelo ng matematika ng mga tunay na salungatan. Kailangan mo lang intindihin yun, unlike tunay na tunggalian, ang modelo ng matematika ng laro ay may sariling mga tiyak na panuntunan.

Ngayon ay magbibigay kami ng isang minimum na impormasyon mula sa teorya ng laro na makakatulong sa iyong maunawaan kung ano modelo ng laro. At kaya, ang modelo ay kinakailangang naglalaman ng mga partido (dalawa o higit pa), na karaniwang tinatawag na mga manlalaro.

Ang lahat ng mga modelo ay may ilang mga katangian.

Ang modelo ng laro ay maaaring ipares o maramihan. Kung mayroon kaming dalawang paksa, pagkatapos ay ang salungatan ay ipinares; kung marami pa, ito ay maramihang. Maaari mo ring makilala ang isang antagonistic na laro, ito ay tinatawag ding zero-sum game. Ito ay isang modelo kung saan ang pakinabang ng isa sa mga kalahok ay katumbas ng pagkawala ng isa pa.

Mga modelo ng simulation

Sa seksyong ito ay bibigyan natin ng pansin ang simulation mathematical models. Ang mga halimbawa ng mga gawain ay kinabibilangan ng:

• modelo ng dynamics ng populasyon ng microorganism;
• modelo ng molecular movement, at iba pa.

Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang mga modelo na mas malapit hangga't maaari sa mga totoong proseso. Sa pamamagitan ng sa pangkalahatan, ginagaya nila ang ilang pagpapakita sa kalikasan. Sa unang kaso, halimbawa, maaari nating gayahin ang dynamics ng bilang ng mga langgam sa isang kolonya. Kasabay nito, maaari mong obserbahan ang kapalaran ng bawat indibidwal na indibidwal. Sa kasong ito, ang isang matematikal na paglalarawan ay bihirang ginagamit; ang mga nakasulat na kondisyon ay mas madalas na naroroon:

• pagkatapos ng limang araw ang babae ay nangingitlog;
• pagkaraan ng dalawampung araw ay namatay ang langgam, at iba pa.

Kaya, ginagamit ang mga ito upang ilarawan ang isang malaking sistema. Ang konklusyon sa matematika ay ang pagproseso ng nakuhang istatistikal na datos.

Mga kinakailangan

Napakahalagang malaman na ang ganitong uri ng modelo ay may ilang mga kinakailangan, kabilang ang mga nakalista sa talahanayan sa ibaba.

Mga yugto ng pagmomodelo

Sa kabuuan, ang mathematical modeling ay karaniwang nahahati sa apat na yugto.

1. Pagbubuo ng mga batas na nag-uugnay sa mga bahagi ng modelo.
2. Pag-aaral ng mga problema sa matematika.
3. Pagtukoy sa pagkakataon ng praktikal at teoretikal na mga resulta.
4. Pagsusuri at modernisasyon ng modelo.

Modelong pang-ekonomiya at matematika

Sa seksyong ito, maikli nating i-highlight ang isyu. Kabilang sa mga halimbawa ng mga gawain ang:

• pagbuo ng isang programa sa produksyon para sa produksyon ng mga produktong karne na nagsisiguro ng pinakamataas na kita sa produksyon;
• pag-maximize ng tubo ng organisasyon sa pamamagitan ng pagkalkula ng pinakamainam na dami ng mga mesa at upuan na ginawa sa isang pabrika ng muwebles, at iba pa.

Ang modelong pang-ekonomiya-matematika ay nagpapakita ng abstraction ng ekonomiya, na ipinahayag gamit ang mga termino at simbolo ng matematika.

Modelo ng matematika sa computer

Ang mga halimbawa ng isang computer mathematical model ay:

• mga problema sa haydroliko gamit ang mga flowchart, diagram, talahanayan, atbp.;
• mga problema sa solidong mekanika, at iba pa.

Ang modelo ng computer ay isang imahe ng isang bagay o sistema, na ipinakita sa anyo:

• mga talahanayan;
• block diagram;
• mga diagram;
• graphics, at iba pa.

Bukod dito, ang modelong ito ay sumasalamin sa istraktura at mga pagkakaugnay ng system.

Pagbuo ng isang modelong pang-ekonomiya at matematika

Napag-usapan na natin kung ano ang modelong pang-ekonomiya-matematika. Ang isang halimbawa ng paglutas ng problema ay isasaalang-alang ngayon. Kailangan nating pag-aralan ang programa ng produksyon upang matukoy ang isang reserba para sa pagtaas ng kita na may pagbabago sa assortment.

Hindi namin ganap na isasaalang-alang ang problema, ngunit bubuo lamang ng modelong pang-ekonomiya at matematika. Ang pamantayan ng aming gawain ay ang pag-maximize ng kita. Pagkatapos ang function ay may form: А=р1*х1+р2*х2..., tending to the maximum. Sa modelong ito, ang p ay ang tubo sa bawat yunit at x ay ang bilang ng mga yunit na ginawa. Susunod, batay sa itinayong modelo, kinakailangan na gumawa ng mga kalkulasyon at buod.

Isang halimbawa ng pagbuo ng isang simpleng modelo ng matematika

Gawain. Bumalik ang mangingisda dala ang sumusunod na huli:

• 8 isda - mga naninirahan sa hilagang dagat;
• 20% ng huli ay mga naninirahan sa katimugang dagat;
• Wala ni isang isda ang natagpuan mula sa lokal na ilog.

Ilang isda ang nabili niya sa tindahan?

Kaya, ang isang halimbawa ng pagbuo ng isang matematikal na modelo ng problemang ito ay ganito ang hitsura. Nagtalaga kami kabuuan isda para sa x. Kasunod ng kundisyon, 0.2x ang bilang ng mga isda na naninirahan sa southern latitude. Ngayon pinagsasama namin ang lahat ng magagamit na impormasyon at kumuha ng modelong matematikal ng problema: x=0.2x+8. Lutasin namin ang equation at makuha ang sagot sa pangunahing tanong: Bumili siya ng 10 isda sa isang tindahan.