Pagpaparami ng mga ekspresyon ng titik. Mga literal na pagpapahayag

Ito ay kilala na sa matematika walang paraan upang gawin nang walang pagpapasimple ng mga expression. Ito ay kinakailangan para sa tama at mabilis na paglutas ng iba't ibang uri ng mga problema, pati na rin ang iba't ibang uri ng mga equation. Ang pagpapasimple na tinalakay dito ay nagpapahiwatig ng pagbawas sa bilang ng mga aksyon na kinakailangan upang makamit ang isang layunin. Bilang isang resulta, ang mga kalkulasyon ay kapansin-pansing pinasimple at ang oras ay nai-save nang malaki. Ngunit paano gawing simple ang pagpapahayag? Para dito, ginagamit ang mga itinatag na ugnayang pangmatematika, kadalasang tinatawag na mga formula, o mga batas, na nagpapahintulot sa mga expression na gawing mas maikli, at sa gayon ay pinapasimple ang mga kalkulasyon.

Hindi lihim na ngayon ay hindi mahirap gawing simple ang pagpapahayag online. Narito ang mga link sa ilan sa mga pinakasikat:

Gayunpaman, hindi ito posible sa bawat pagpapahayag. Samakatuwid, tingnan natin ang mas tradisyonal na mga pamamaraan.

Tinatanggal ang karaniwang divisor

Sa kaso kapag ang isang expression ay naglalaman ng mga monomial na may parehong mga kadahilanan, maaari mong mahanap ang kabuuan ng kanilang mga coefficient at pagkatapos ay i-multiply sa karaniwang kadahilanan para sa kanila. Ang operasyong ito ay tinatawag ding "pagtanggal ng karaniwang divisor". Patuloy na paggamit ang pamamaraang ito, minsan maaari mong makabuluhang pasimplehin ang expression. Pagkatapos ng lahat, ang algebra sa pangkalahatan, sa kabuuan, ay binuo sa pagpapangkat at muling pagsasaayos ng mga salik at divisors.

Ang pinakasimpleng mga formula para sa pinaikling multiplikasyon

Ang isa sa mga kahihinatnan ng naunang inilarawan na pamamaraan ay ang pinaikling mga formula ng pagpaparami. Paano gawing simple ang mga expression gamit ang mga ito mas malinaw ang, na hindi man lang naisaulo ang mga formula na ito sa pamamagitan ng puso, ngunit alam kung paano hinango ang mga ito, iyon ay, kung saan nanggaling ang mga ito, at, nang naaayon, ang kanilang katangiang pangmatematika. Sa prinsipyo, ang naunang pahayag ay nananatiling wasto sa lahat ng modernong matematika, mula sa unang baitang hanggang sa mas matataas na kurso ng mekanikal at matematikal na mga kasanayan. Pagkakaiba ng mga parisukat, parisukat ng pagkakaiba at kabuuan, kabuuan at pagkakaiba ng mga cube - lahat ng mga formula na ito ay malawakang ginagamit sa elementarya pati na rin sa mas mataas na matematika sa mga kaso kung saan kinakailangan na gawing simple ang expression upang malutas ang mga problema. Ang mga halimbawa ng naturang pagbabago ay madaling mahanap sa alinman aklat-aralin sa paaralan sa algebra, o, kahit na mas simple, sa kalawakan ng World Wide Web.

Mga ugat ng degree

Ang elementarya na matematika, kung titingnan mo ito sa kabuuan, ay walang maraming paraan upang gawing simple ang isang expression. Ang mga degree at operasyon sa kanila, bilang panuntunan, ay medyo madali para sa karamihan ng mga mag-aaral. Ngunit maraming mga modernong mag-aaral at mag-aaral ang may malaking kahirapan kapag kinakailangan upang gawing simple ang isang expression na may mga ugat. At ito ay ganap na walang batayan. Dahil ang matematikal na katangian ng mga ugat ay hindi naiiba sa likas na katangian ng parehong mga degree, kung saan, bilang isang panuntunan, mayroong mas kaunting mga paghihirap. Ito ay kilala na Kuwadrado na ugat ng isang numero, variable o expression ay walang iba kundi ang parehong numero, variable o expression sa kapangyarihan ng kalahati, ang cube root ay pareho sa kapangyarihan ng isang-ikatlo, at iba pa ayon sa sulat.

Pagpapasimple ng mga expression na may mga fraction

Tingnan din natin ang isang karaniwang halimbawa kung paano gawing simple ang isang expression na may mga fraction. Sa mga kaso kung saan ang mga expression ay natural na mga fraction, dapat mong ihiwalay ang common factor mula sa denominator at numerator, at pagkatapos ay bawasan ang fraction nito. Kapag ang mga monomial ay may magkaparehong mga salik na itinaas sa mga kapangyarihan, kinakailangan upang matiyak na ang mga kapangyarihan ay pantay-pantay kapag nagbubuod ng mga ito.

Pinapasimple ang mga pangunahing trigonometrikong expression

Ang namumukod-tangi para sa ilan ay ang pag-uusap tungkol sa kung paano pasimplehin ang isang trigonometric expression. Ang pinakamalawak na sangay ng trigonometrya ay marahil ang unang yugto kung saan ang mga mag-aaral ng matematika ay makakatagpo ng medyo abstract na mga konsepto, problema at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Mayroong kaukulang mga formula dito, ang una ay ang pangunahing trigonometric identity. Ang pagkakaroon ng sapat na isip sa matematika, maaari mong masubaybayan ang sistematikong derivation mula sa pagkakakilanlan na ito ng lahat ng mga pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan at mga formula, kabilang ang mga formula ng pagkakaiba at mga kabuuan ng mga argumento, doble, triple argumento, mga formula ng pagbabawas at marami pang iba. Siyempre, hindi dapat kalimutan ng isa dito ang pinakaunang mga pamamaraan, tulad ng pagdaragdag ng isang karaniwang kadahilanan, na ganap na ginagamit kasama ng mga bagong pamamaraan at formula.

Upang buod, bibigyan namin ang mambabasa ng ilang pangkalahatang payo:

• Ang mga polynomial ay dapat na factorized, iyon ay, sila ay dapat na kinakatawan sa anyo ng isang produkto ng isang tiyak na bilang ng mga kadahilanan - monomials at polynomials. Kung mayroong ganoong posibilidad, kailangang alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.
• Mas mainam na kabisaduhin ang lahat ng mga pinaikling formula ng pagpaparami nang walang pagbubukod. Hindi gaanong marami sa kanila, ngunit ang mga ito ang batayan para sa pagpapasimple ng mga expression sa matematika. Hindi rin natin dapat kalimutan ang tungkol sa paraan ng paghihiwalay ng mga perpektong parisukat sa mga trinomyal, na siyang kabaligtaran ng pagkilos sa isa sa mga pinaikling pormula ng pagpaparami.
• Ang lahat ng mga fraction na nasa expression ay dapat na bawasan nang madalas hangga't maaari. Gayunpaman, huwag kalimutan na ang mga multiplier lamang ang nabawasan. Kapag ang denominator at numerator ng algebraic fractions ay pinarami ng parehong numero, na iba sa zero, ang mga kahulugan ng mga fraction ay hindi nagbabago.
• Sa pangkalahatan, ang lahat ng mga expression ay maaaring mabago sa pamamagitan ng mga aksyon, o sa isang chain. Ang unang paraan ay mas lalong kanais-nais, dahil ang mga resulta ng mga intermediate na aksyon ay mas madaling ma-verify.
• Madalas sa mga mathematical expression na kailangan nating kunin ang mga ugat. Dapat tandaan na ang mga ugat ng kahit na mga kapangyarihan ay maaaring makuha lamang mula sa isang hindi negatibong numero o expression, at ang mga ugat ng kakaibang kapangyarihan ay maaaring makuha mula sa ganap na anumang mga expression o numero.

Umaasa kami na ang aming artikulo ay makakatulong sa iyo sa hinaharap na maunawaan ang mga mathematical formula at ituro sa iyo kung paano ilapat ang mga ito sa pagsasanay.

Tandaan 1

Ang isang Boolean function ay maaaring isulat gamit ang isang Boolean expression at pagkatapos ay maaaring ilipat sa isang logic circuit. Kinakailangang gawing simple ang mga lohikal na expression upang makuha ang pinakasimpleng (at samakatuwid ay mas mura) lohikal na circuit na posible. Sa katunayan, ang isang lohikal na pag-andar, isang lohikal na pagpapahayag at isang lohikal na circuit ay tatlong magkakaibang mga wika na nagsasalita tungkol sa isang nilalang.

Upang gawing simple ang paggamit ng mga lohikal na expression mga batas ng lohika ng algebra.

Ang ilang mga pagbabagong-anyo ay katulad ng mga pagbabagong-anyo ng mga formula sa klasikal na algebra (pag-aalis ng karaniwang salik sa mga bracket, gamit ang commutative at combinational na mga batas, atbp.), habang ang iba pang mga pagbabago ay batay sa mga katangian na wala sa mga operasyon ng classical algebra (gamit ang distributive batas para sa conjunction, mga batas ng pagsipsip, gluing, mga panuntunan ni de Morgan, atbp.).

Ang mga batas ng algebra ng lohika ay binuo para sa basic lohikal na operasyon- “HINDI” – inversion (negation), “AND” – conjunction (logical multiplication) at “OR” – disjunction (logical addition).

Ang batas ng double negation ay nangangahulugan na ang operasyon na "HINDI" ay nababaligtad: kung ilalapat mo ito ng dalawang beses, pagkatapos ay sa huli halaga ng boolean Hindi magbabago.

Ang batas ng ibinukod na gitna ay nagsasaad na ang anumang lohikal na pagpapahayag ay alinman sa totoo o mali (“walang pangatlo”). Samakatuwid, kung $A=1$, kung gayon ang $\bar(A)=0$ (at kabaliktaran), na nangangahulugan na ang pagsasama ng mga dami na ito ay palaging katumbas ng zero, at ang disjunction ay palaging katumbas ng isa.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Pasimplehin natin ang formula na ito:

Larawan 3.

Kasunod nito na $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Sagot: Naglalaro ng chess ang mga mag-aaral na $B$, $C$ at $D$, ngunit hindi naglalaro ang mag-aaral na $A$.

Kapag pinasimple ang mga lohikal na expression, maaari mong gawin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:

1. Palitan ang lahat ng "di-basic" na operasyon (katumbas, implikasyon, eksklusibong O, atbp.) ng kanilang mga expression sa pamamagitan ng mga pangunahing operasyon ng inversion, conjunction at disjunction.
2. Palawakin ang mga pagbabaligtad ng mga kumplikadong expression ayon sa mga panuntunan ni De Morgan sa paraang mananatili lamang ang mga pagpapatakbo ng negation para sa mga indibidwal na variable.
3. Pagkatapos ay pasimplehin ang expression gamit ang mga pambungad na bracket, paglalagay ng mga karaniwang salik sa labas ng mga bracket at iba pang mga batas ng lohikal na algebra.

Halimbawa 2

Dito, ang panuntunan ni De Morgan, ang batas sa pamamahagi, ang batas ng ibinukod na gitna, ang commutative na batas, ang batas ng pag-uulit, muli ang commutative na batas at ang batas ng pagsipsip ay sunud-sunod na ginagamit.

Kadalasan ang mga gawain ay nangangailangan ng isang pinasimpleng sagot. Bagama't tama ang parehong pinasimple at hindi pinasimple na mga sagot, maaaring ibaba ng iyong tagapagturo ang iyong marka kung hindi mo pasimplehin ang iyong sagot. Bukod dito, ang pinasimple na mathematical expression ay mas madaling gamitin. Samakatuwid, napakahalagang matutunang gawing simple ang mga expression.

Mga hakbang

Tamang pagkakasunud-sunod ng mga pagpapatakbo sa matematika

1. Tandaan ang tamang pagkakasunud-sunod para sa pagsasagawa ng mga operasyong matematikal. Kapag pinasimple pagpapahayag ng matematika Kinakailangang sundin ang isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga operasyon, dahil ang ilang mga operasyong matematikal ay nangunguna sa iba at dapat gawin muna (sa katunayan, ang hindi pagsunod sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay magdadala sa iyo sa maling resulta). Alalahanin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga operasyong matematikal: pagpapahayag sa panaklong, pagpaparami, pagpaparami, paghahati, pagdaragdag, pagbabawas.

   • Tandaan na ang pag-alam sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon ay magbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang karamihan sa mga simpleng expression, ngunit upang gawing simple ang isang polynomial (isang expression na may variable) kailangan mong malaman ang mga espesyal na trick (tingnan ang susunod na seksyon).

2. Magsimula sa pamamagitan ng paglutas ng expression sa panaklong. Sa matematika, ang mga panaklong ay nagpapahiwatig na ang expression sa loob ng mga ito ay dapat na suriin muna. Samakatuwid, kapag pinasimple ang anumang mathematical expression, magsimula sa pamamagitan ng paglutas ng expression na nakapaloob sa mga panaklong (hindi mahalaga kung anong mga operasyon ang kailangan mong gawin sa loob ng mga panaklong). Ngunit tandaan na kapag nagtatrabaho sa isang expression na nakapaloob sa mga bracket, dapat mong sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon, iyon ay, ang mga termino sa mga bracket ay unang pinarami, hinati, idinagdag, binabawasan, at iba pa.

   • Halimbawa, pasimplehin natin ang expression 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Dito tayo magsisimula sa mga expression sa mga bracket: 5 + 2 = 7 at 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Ang expression sa pangalawang pares ng mga panaklong ay pinasimple sa 5 dahil ang 4/2 ay dapat na hatiin muna (ayon sa tamang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon). Kung hindi mo susundin ang utos na ito, makakakuha ka ng maling sagot: 3 + 4 = 7 at 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Kung may isa pang pares ng panaklong sa mga panaklong, simulan ang pagpapasimple sa pamamagitan ng paglutas ng expression sa panloob na mga panaklong at pagkatapos ay magpatuloy sa paglutas ng expression sa mga panlabas na panaklong.

3. Exponentiate. Matapos malutas ang mga expression sa panaklong, lumipat sa exponentiation (tandaan na ang isang kapangyarihan ay may isang exponent at isang base). Itaas ang katumbas na expression (o numero) sa isang kapangyarihan at palitan ang resulta sa expression na ibinigay sa iyo.

   • Sa aming halimbawa, ang tanging expression (numero) sa kapangyarihan ay 3 2: 3 2 = 9. Sa expression na ibinigay sa iyo, palitan ang 3 2 ng 9 at makakakuha ka ng: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Paramihin. Tandaan na ang multiplication operation ay maaaring katawanin ng mga sumusunod na simbolo: "x", "∙" o "*". Ngunit kung walang mga simbolo sa pagitan ng numero at variable (halimbawa, 2x) o sa pagitan ng numero at numero sa panaklong (halimbawa, 4(7)), ito ay isa ring multiplication operation.

   • Sa aming halimbawa, mayroong dalawang pagpapatakbo ng pagpaparami: 2x (dalawang pinarami ng variable na “x”) at 4(7) (apat na pinarami ng pito). Hindi namin alam ang halaga ng x, kaya iiwan namin ang expression na 2x. 4(7) = 4 x 7 = 28. Ngayon ay maaari mong muling isulat ang ekspresyong ibinigay sa iyo tulad ng sumusunod: 2x + 28 + 9 - 5.

5. hatiin. Tandaan na ang operasyon ng paghahati ay maaaring katawanin ng mga sumusunod na simbolo: “/”, “÷” o “–” (maaari mong makita ang huling karakter na ito sa mga fraction). Halimbawa, ang 3/4 ay tatlo na hinati sa apat.

   • Sa aming halimbawa, wala nang operasyon ng paghahati, dahil hinati mo na ang 4 sa 2 (4/2) kapag nilulutas ang expression sa mga panaklong. Kaya maaari kang magpatuloy sa susunod na hakbang. Tandaan na ang karamihan sa mga expression ay hindi naglalaman ng lahat ng mga mathematical operations (ilan lamang sa mga ito).

6. Tiklupin. Kapag nagdadagdag ng mga termino ng isang expression, maaari kang magsimula sa termino sa pinakamalayong (sa kaliwa), o maaari mong idagdag ang mga terminong madaling magdagdag ng una. Halimbawa, sa expression na 49 + 29 + 51 +71, mas madaling magdagdag ng 49 + 51 = 100, pagkatapos ay 29 + 71 = 100 at sa wakas ay 100 + 100 = 200. Mas mahirap magdagdag ng ganito: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Sa aming halimbawa 2x + 28 + 9 + 5 mayroong dalawang pagpapatakbo ng karagdagan. Magsimula tayo sa pinakalabas (kaliwa) na termino: 2x + 28; hindi ka maaaring magdagdag ng 2x at 28 dahil hindi mo alam ang halaga ng variable na "x". Samakatuwid, magdagdag ng 28 + 9 = 37. Ngayon ang expression ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: 2x + 37 - 5.

7. Ibawas. Ito ang huling operasyon sa tamang pagkakasunud-sunod ng pagsasagawa ng mga mathematical operations. Sa yugtong ito maaari ka ring magdagdag mga negatibong numero o gawin ito sa yugto ng pagdaragdag ng mga miyembro - hindi ito makakaapekto sa huling resulta sa anumang paraan.

   • Sa aming halimbawa 2x + 37 - 5 mayroon lamang isang operasyon ng pagbabawas: 37 - 5 = 32.

8. Sa yugtong ito, pagkatapos gawin ang lahat ng mga operasyong matematikal, dapat kang makakuha ng pinasimple na expression. Ngunit kung ang expression na ibinigay sa iyo ay naglalaman ng isa o higit pang mga variable, pagkatapos ay tandaan na ang terminong may variable ay mananatiling tulad nito. Ang paglutas (hindi pagpapasimple) ng isang expression na may isang variable ay nagsasangkot ng paghahanap ng halaga ng variable na iyon. Minsan ang mga variable na expression ay maaaring gawing simple gamit mga espesyal na pamamaraan(tingnan ang susunod na seksyon).

   • Sa aming halimbawa, ang huling sagot ay 2x + 32. Hindi mo maaaring idagdag ang dalawang termino hangga't hindi mo nalalaman ang halaga ng variable na "x". Kapag nalaman mo na ang halaga ng variable, madali mong mapapasimple ang binomial na ito.

   Pinapasimple ang mga kumplikadong expression

   1. Pagdaragdag ng mga katulad na termino. Tandaan na maaari ka lamang magbawas at magdagdag ng mga katulad na termino, iyon ay, mga termino na may parehong variable at parehong exponent. Halimbawa, maaari kang magdagdag ng 7x at 5x, ngunit hindi ka maaaring magdagdag ng 7x at 5x 2 (dahil magkaiba ang mga exponent).

      • Nalalapat din ang panuntunang ito sa mga miyembrong may maraming variable. Halimbawa, maaari kang magdagdag ng 2xy 2 at -3xy 2 , ngunit hindi ka maaaring magdagdag ng 2xy 2 at -3x 2 y o 2xy 2 at -3y 2 .
      • Tingnan natin ang isang halimbawa: x 2 + 3x + 6 - 8x. Narito ang mga katulad na termino ay 3x at 8x, kaya maaari silang idagdag nang magkasama. Ganito ang hitsura ng isang pinasimpleng expression: x 2 - 5x + 6.

   2. Pasimplehin ang fraction ng numero. Sa naturang fraction, ang numerator at ang denominator ay naglalaman ng mga numero (walang variable). Ang isang fraction ng numero ay maaaring gawing simple sa maraming paraan. Una, hatiin lamang ang denominator sa numerator. Pangalawa, i-factor ang numerator at denominator at kanselahin ang mga katulad na salik (dahil ang paghahati ng isang numero sa sarili ay magbibigay sa iyo ng 1). Sa madaling salita, kung ang numerator at denominator ay may parehong salik, maaari mo itong i-drop at makakuha ng pinasimpleng fraction.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang fraction 36/60. Gamit ang isang calculator, hatiin ang 36 sa 60 upang makakuha ng 0.6. Ngunit maaari mong pasimplehin ang fraction na ito sa ibang paraan sa pamamagitan ng pag-factor ng numerator at denominator: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Dahil 6/6 = 1, ang pinasimple na fraction ay: 1 x 6/10 = 6/10. Ngunit ang fraction na ito ay maaari ding gawing simple: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Kung ang isang fraction ay naglalaman ng variable, maaari mong kanselahin ang mga katulad na salik sa variable. I-factor ang numerator at denominator at kanselahin ang mga katulad na salik, kahit na naglalaman ang mga ito ng variable (tandaan na ang mga katulad na salik dito ay maaaring naglalaman ng variable o hindi).

      • Tingnan natin ang isang halimbawa: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ang expression na ito ay maaaring isulat muli (factored) sa anyo: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Dahil ang terminong 3x ay nasa numerator at denominator, maaari mo itong kanselahin upang magbigay ng pinasimpleng expression: (x + 1)/(5 - x). Tingnan natin ang isa pang halimbawa: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Pakitandaan na hindi mo maaaring kanselahin ang anumang mga termino - ang magkatulad na mga kadahilanan lamang na naroroon sa parehong numerator at denominator ang kinansela. Halimbawa, sa expression (x(x + 2))/x, ang variable (factor) "x" ay nasa numerator at denominator, kaya ang "x" ay maaaring bawasan upang makakuha ng pinasimple na expression: (x + 2)/1 = x + 2. Gayunpaman, sa expression (x + 2)/x, ang variable na “x” ay hindi maaaring bawasan (dahil ang “x” ay hindi isang salik sa numerator).

   4. Buksan ang panaklong. Upang gawin ito, i-multiply ang termino sa labas ng mga bracket sa bawat termino sa mga bracket. Minsan nakakatulong itong gawing simple kumplikadong pagpapahayag. Nalalapat ito sa parehong mga miyembro na mga pangunahing numero, at sa mga miyembrong naglalaman ng variable.

      • Halimbawa, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, at 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Mangyaring tandaan na sa mga fractional na expression Hindi na kailangang buksan ang mga bracket kung ang parehong salik ay naroroon sa parehong numerator at denominator. Halimbawa, sa expression (3(x 2 + 8))/3x hindi na kailangang palawakin ang mga panaklong, dahil dito maaari mong kanselahin ang factor ng 3 at makuha ang pinasimple na expression (x 2 + 8)/x. Mas madaling gamitin ang expression na ito; kung palawakin mo ang mga panaklong, makukuha mo ang sumusunod na kumplikadong expression: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Mga salik na polynomial. Gamit ang pamamaraang ito, maaari mong gawing simple ang ilang mga expression at polynomial. Ang Factoring ay ang kabaligtaran na operasyon ng pagbubukas ng mga panaklong, iyon ay, ang isang expression ay isinulat bilang produkto ng dalawang expression, bawat isa ay nakapaloob sa mga panaklong. Sa ilang mga kaso, pinapayagan ka ng factoring na bawasan ang parehong expression. Sa mga espesyal na kaso (karaniwan ay may quadratic equation) ang factoring ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang equation.

      • Isaalang-alang ang expression na x 2 - 5x + 6. Ito ay naka-factor: (x - 3)(x - 2). Kaya, kung, halimbawa, ang expression ay ibinigay (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), maaari mo itong muling isulat bilang (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), bawasan ang expression (x - 2) at kumuha ng pinasimple na expression (x - 3)/2.
      • Ang factoring polynomials ay ginagamit upang malutas (hanapin ang mga ugat) equation (ang equation ay isang polynomial na katumbas ng 0). Halimbawa, isaalang-alang ang equation x 2 - 5x + 6 = 0. Sa pamamagitan ng factoring nito, makakakuha ka ng (x - 3)(x - 2) = 0. Dahil ang anumang expression na pinarami ng 0 ay katumbas ng 0, maaari nating isulat ito tulad ng ito : x - 3 = 0 at x - 2 = 0. Kaya, x = 3 at x = 2, ibig sabihin, natagpuan mo ang dalawang ugat ng equation na ibinigay sa iyo.

Ang anumang wika ay maaaring magpahayag ng parehong impormasyon sa iba't ibang salita at mga rebolusyon. Ang wikang matematika ay walang pagbubukod. Ngunit ang parehong expression ay maaaring katumbas na nakasulat sa iba't ibang paraan. At sa ilang mga sitwasyon, ang isa sa mga entry ay mas simple. Pag-uusapan natin ang tungkol sa pagpapasimple ng mga expression sa araling ito.

Ang mga tao ay nakikipag-usap iba't ibang wika. Para sa amin, ang isang mahalagang paghahambing ay ang pares na "Wikang Ruso - wikang matematika". Ang parehong impormasyon ay maaaring ipaalam sa iba't ibang wika. Ngunit, bukod dito, maaari itong bigkasin sa iba't ibang paraan sa isang wika.

Halimbawa: "Si Petya ay kaibigan ni Vasya", "Si Vasya ay kaibigan ni Petya", "Si Petya at Vasya ay magkaibigan". Iba ang sinabi, pero pareho lang. Mula sa alinman sa mga pariralang ito ay mauunawaan natin kung ano ang pinag-uusapan natin.

Tingnan natin ang pariralang ito: "Ang batang si Petya at ang batang si Vasya ay magkaibigan." Naiintindihan namin ang ibig naming sabihin pinag-uusapan natin. Gayunpaman, hindi namin gusto ang tunog ng pariralang ito. Hindi ba natin maaaring pasimplehin ito, sabihin ang parehong bagay, ngunit mas simple? "Boy and boy" - maaari mong sabihin nang isang beses: "Magkaibigan sina Petya at Vasya."

"Boys"... Hindi ba malinaw sa pangalan nila na hindi sila babae? Inalis namin ang "mga lalaki": "Magkaibigan sina Petya at Vasya." At ang salitang "kaibigan" ay maaaring mapalitan ng "mga kaibigan": "Si Petya at Vasya ay magkaibigan." Bilang resulta, ang una, mahaba, pangit na parirala ay pinalitan ng katumbas na pahayag na mas madaling sabihin at mas madaling maunawaan. Pinasimple namin ang pariralang ito. Ang pasimplehin ay nangangahulugang sabihin ito nang mas simple, ngunit hindi mawala o baluktutin ang kahulugan.

Sa wikang matematika, halos pareho ang nangyayari. Isa at iisang bagay ang masasabi, iba ang pagkakasulat. Ano ang ibig sabihin ng pasimplehin ang isang expression? Nangangahulugan ito na para sa orihinal na expression mayroong maraming mga katumbas na expression, iyon ay, ang mga iyon ay pareho ang ibig sabihin. At mula sa lahat ng iba't ibang ito dapat nating piliin ang pinakasimpleng, sa aming opinyon, o ang pinaka-angkop para sa aming karagdagang mga layunin.

Halimbawa, isaalang-alang ang numeric na expression . Ito ay magiging katumbas ng .

Katumbas din ito ng unang dalawa: .

Lumalabas na pinasimple namin ang aming mga expression at natagpuan ang pinakamaikling katumbas na expression.

Para sa mga numeric na expression, palaging kailangan mong gawin ang lahat at makuha ang katumbas na expression bilang isang solong numero.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng literal na pagpapahayag . Malinaw, ito ay magiging mas simple.

Kapag pinasimple ang mga literal na expression, kinakailangang gawin ang lahat ng posibleng aksyon.

Kailangan bang gawing simple ang isang expression? Hindi, kung minsan ay mas maginhawa para sa atin na magkaroon ng katumbas ngunit mas mahabang pagpasok.

Halimbawa: kailangan mong ibawas ang isang numero mula sa isang numero.

Posibleng kalkulahin, ngunit kung ang unang numero ay kinakatawan ng katumbas nitong notasyon: , kung gayon ang mga kalkulasyon ay magiging madalian: .

Iyon ay, ang isang pinasimple na expression ay hindi palaging kapaki-pakinabang para sa amin para sa karagdagang mga kalkulasyon.

Gayunpaman, kadalasan ay nahaharap tayo sa isang gawain na parang "pasimplehin ang expression."

Pasimplehin ang expression: .

Solusyon

1) Isagawa ang mga aksyon sa una at pangalawang bracket: .

2) Kalkulahin natin ang mga produkto: .

Malinaw, ang huling expression ay may mas simpleng anyo kaysa sa una. Pinasimple namin ito.

Upang gawing simple ang expression, dapat itong mapalitan ng katumbas (katumbas).

Upang matukoy ang katumbas na expression na kailangan mo:

1) isagawa ang lahat ng posibleng aksyon,

2) gamitin ang mga katangian ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati upang gawing simple ang mga kalkulasyon.

Mga katangian ng pagdaragdag at pagbabawas:

1. Commutative property ng karagdagan: ang muling pagsasaayos ng mga termino ay hindi nagbabago sa kabuuan.

2. Combinative property ng karagdagan: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlong numero sa unang numero.

3. Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan mula sa isang numero: upang ibawas ang isang kabuuan mula sa isang numero, maaari mong ibawas ang bawat termino nang hiwalay.

Mga katangian ng multiplikasyon at paghahati

1. Commutative property ng multiplication: ang muling pagsasaayos ng mga salik ay hindi nagbabago sa produkto.

2. Combinative property: upang i-multiply ang isang numero sa produkto ng dalawang numero, maaari mo muna itong i-multiply sa unang factor, at pagkatapos ay i-multiply ang resultang produkto sa pangalawang factor.

3. Distributive property ng multiplication: upang ma-multiply ang isang numero sa isang sum, kailangan mong i-multiply ito sa bawat term nang hiwalay.

Tingnan natin kung paano talaga namin ginagawa ang mga kalkulasyon ng kaisipan.

Kalkulahin:

Solusyon

1) Isipin natin kung paano

2) Isipin natin ang unang salik bilang kabuuan ng mga bit terms at gawin ang multiplikasyon:

3) maaari mong isipin kung paano at gawin ang pagpaparami:

4) Palitan ang unang salik ng katumbas na kabuuan:

Ang distributive law ay maaari ding gamitin sa reverse side: .

Sundin ang mga hakbang:

1) 2)

Solusyon

1) Para sa kaginhawahan, maaari mong gamitin ang batas sa pamamahagi, gamitin lamang ito sa kabaligtaran na direksyon - alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.

2) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket

Kinakailangang bumili ng linoleum para sa kusina at pasilyo. Lugar ng kusina - , pasilyo - . Mayroong tatlong uri ng mga linoleum: para sa, at rubles para sa. Magkano ang bawat halaga? tatlong uri linoleum? (Larawan 1)

kanin. 1. Ilustrasyon para sa pahayag ng problema

Solusyon

Paraan 1. Maaari mong hiwalay na malaman kung magkano ang pera na kakailanganin upang bumili ng linoleum para sa kusina, at pagkatapos ay ilagay ito sa pasilyo at idagdag ang mga resultang produkto.

Ang isang algebraic expression kung saan, kasama ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at multiplikasyon, ay gumagamit din ng paghahati sa mga expression ng titik, ay tinatawag na isang fractional algebraic expression. Ito ay, halimbawa, ang mga expression

Tinatawag namin ang isang algebraic fraction na isang algebraic expression na may anyo ng isang quotient ng dibisyon ng dalawang integer algebraic expression (halimbawa, monomials o polynomials). Ito ay, halimbawa, ang mga expression

Ang pangatlo sa mga expression).

Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga fractional algebraic expression ay kadalasang naglalayong kumatawan sa kanila sa anyo ng isang algebraic fraction. Upang mahanap ang common denominator, ginagamit ang factorization ng mga denominator ng mga fraction - mga termino upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kapag binabawasan ang mga algebraic fraction, ang mahigpit na pagkakakilanlan ng mga expression ay maaaring lumabag: kinakailangan upang ibukod ang mga halaga ng mga dami kung saan ang kadahilanan kung saan ang pagbawas ay ginawang zero.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng magkaparehong pagbabago ng mga fractional algebraic expression.

Halimbawa 1: Pasimplehin ang isang expression

Ang lahat ng mga termino ay maaaring bawasan sa isang karaniwang denominator (ito ay maginhawa upang baguhin ang sign sa denominator ng huling termino at ang sign sa harap nito):

Ang aming expression ay katumbas ng isa para sa lahat ng mga halaga maliban sa mga halagang ito; ito ay hindi natukoy at ang pagbabawas ng fraction ay ilegal).

Halimbawa 2. Ilarawan ang expression bilang isang algebraic fraction

Solusyon. Ang expression ay maaaring kunin bilang isang karaniwang denominator. Nahanap namin nang sunud-sunod:

Mga ehersisyo

1. Hanapin ang mga halaga ng mga algebraic na expression para sa tinukoy na mga halaga ng parameter:

2. I-factorize.