Trigonometristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. Trigonometriset yhtälöt

Koti / Pettävä vaimo

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

Meidän keräämä henkilökohtaisia tietoja antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

Tarvittaessa lain mukaisesti oikeudellista menettelyä, oikeuskäsittelyssä ja/tai Venäjän federaation julkisten pyyntöjen tai valtion virastojen pyyntöjen perusteella - henkilötietojesi paljastamiseen. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai viranomaisten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Trigonometriset yhtälöt eivät ole helppo aihe. Ne ovat liian erilaisia.) Esimerkiksi nämä:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = pinnasänky (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Jne...

Mutta näillä (ja kaikilla muilla) trigonometrisilla hirviöillä on kaksi yhteistä ja pakollista ominaisuutta. Ensinnäkin - et usko sitä - yhtälöissä on trigonometrisiä funktioita.) Toiseksi: kaikki lausekkeet, joissa on x, löytyvät näissä samoissa toiminnoissa. Ja vain siellä! Jos X näkyy jossain ulkopuolella, Esimerkiksi, sin2x + 3x = 3, tästä tulee jo yhtälö sekoitettu tyyppi. Tällaiset yhtälöt vaativat yksilöllistä lähestymistapaa. Emme ota niitä tässä huomioon.

Emme myöskään ratkaise pahoja yhtälöitä tällä oppitunnilla.) Tässä käsitellään yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt. Miksi? Kyllä, koska ratkaisu minkä tahansa trigonometriset yhtälöt koostuvat kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa paha yhtälö pelkistetään yksinkertaiseksi monien muunnosten avulla. Toisessa vaiheessa tämä yksinkertaisin yhtälö on ratkaistu. Ei toista reittiä.

Joten jos sinulla on ongelmia toisessa vaiheessa, ensimmäisessä vaiheessa ei ole paljon järkeä.)

Miltä alkeistrigonometriset yhtälöt näyttävät?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tässä A tarkoittaa mitä tahansa numeroa. Minkä tahansa.

Muuten, funktion sisällä ei välttämättä ole puhdasta X, vaan jonkinlainen lauseke, kuten:

cos(3x+π /3) = 1/2

jne. Tämä vaikeuttaa elämää, mutta ei vaikuta trigonometrisen yhtälön ratkaisumenetelmään.

Kuinka ratkaista trigonometriset yhtälöt?

Trigonometriset yhtälöt voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa: logiikan ja trigonometrisen ympyrän käyttö. Katsomme tätä polkua täällä. Toista tapaa - muistin ja kaavojen käyttöä - käsitellään seuraavassa oppitunnissa.

Ensimmäinen tapa on selkeä, luotettava ja vaikea unohtaa.) Se on hyvä ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, epäyhtälöitä ja kaikenlaisia hankalia epästandardeja esimerkkejä. Logiikka on vahvempi kuin muisti!)

Yhtälöiden ratkaiseminen trigonometrisen ympyrän avulla.

Mukana on alkeislogiikka ja kyky käyttää trigonometristä ympyrää. Etkö tiedä miten? Kuitenkin... Sinulla on vaikeuksia trigonometriassa...) Mutta sillä ei ole väliä. Katso oppitunteja "Trigonometrinen ympyrä...... Mikä se on?" ja "Kulmien mittaaminen trigonometrisellä ympyrällä". Siellä kaikki on yksinkertaista. Toisin kuin oppikirjoissa...)

Ai, tiedätkö!? Ja jopa hallinnut "Käytännön työskentelyn trigonometrisen ympyrän kanssa"!? Onnittelut. Tämä aihe on sinulle läheinen ja ymmärrettävä.) Erityisen ilahduttavaa on, että trigonometrinen ympyrä ei välitä minkä yhtälön ratkaiset. Sini, kosini, tangentti, kotangentti - kaikki on hänelle samaa. On vain yksi ratkaisuperiaate.

Otetaan siis mikä tahansa alkeistrigonometrinen yhtälö. Ainakin tämä:

cosx = 0,5

Meidän on löydettävä X. Jos puhumme ihmisen kieli, tarvitsee etsi kulma (x), jonka kosini on 0,5.

Miten käytimme piiriä aiemmin? Piirsimme siihen kulman. Asteina tai radiaaneina. Ja heti näin tämän kulman trigonometriset funktiot. Tehdään nyt päinvastoin. Piirretään ympyrään kosini, joka on 0,5 ja välittömästi katsotaan kulma. Jäljelle jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.) Kyllä, kyllä!

Piirrä ympyrä ja merkitse kosini, joka on yhtä suuri kuin 0,5. Tietysti kosiniakselilla. Kuten tämä:

Piirretään nyt kulma, jonka tämä kosini antaa meille. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletillasi) ja tulet näkemään juuri tämä nurkka X.

Minkä kulman kosini on 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Jotkut nauravat skeptisesti, kyllä... Kuten, kannattiko tehdä ympyrän, kun kaikki on jo selvää... Voit tietysti nauraa...) Mutta tosiasia on, että tämä on virheellinen vastaus. Tai pikemminkin riittämätön. Ympyrän asiantuntijat ymmärtävät, että tässä on joukko muita kulmia, jotka antavat myös kosinin 0,5.

Jos käännät liikkuvan puolen OA täysi kierros, piste A palaa alkuperäiseen asentoonsa. Samalla kosinilla, joka on 0,5. Nuo. kulma muuttuu 360° tai 2π radiaania ja kosini - ei. Uusi kulma 60° + 360° = 420° on myös ratkaisu yhtälöimme, koska

Tällaisia täydellisiä kierroksia voidaan tehdä ääretön määrä... Ja kaikki nämä uudet kulmat ovat ratkaisuja trigonometriseen yhtälöimme. Ja ne kaikki on kirjoitettava jotenkin vastauksena. Kaikki. Muuten päätöstä ei lasketa, kyllä...)

Matematiikka voi tehdä tämän yksinkertaisesti ja tyylikkäästi. Kirjoita yhteen lyhyeen vastaukseen ääretön joukko päätökset. Tältä se näyttää yhtälössämme:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Minä tulkitsen sen. Kirjoita silti mielekkäästi Se on mukavampaa kuin tyhmästi piirtää salaperäisiä kirjaimia, eikö?)

π /3 - Tämä on sama kulma kuin me näin ympyrässä ja päättänyt kosinitaulukon mukaan.

2π on yksi täydellinen vallankumous radiaaneissa.

n - tämä on kokonaisten lukumäärä, ts. koko rpm On selvää että n voi olla yhtä suuri kuin 0, ±1, ±2, ±3.... ja niin edelleen. Kuten lyhyt teksti osoittaa:

n ∈ Z

n kuuluu ( ∈ ) joukko kokonaislukuja ( Z ). Muuten, kirjeen sijaan n kirjaimia voi hyvin käyttää k, m, t jne.

Tämä merkintä tarkoittaa, että voit ottaa minkä tahansa kokonaisluvun n . Vähintään -3, vähintään 0, vähintään +55. Mitä ikinä haluatkaan. Jos korvaat tämän luvun vastauksessa, saat tietyn kulman, joka on varmasti ratkaisu ankaraan yhtälöimme.)

Tai toisin sanoen x = π /3 on äärettömän joukon ainoa juuri. Kaikkien muiden juurien saamiseksi riittää, että π /3:een lisätään mikä tahansa määrä täydellisiä kierroksia n ) radiaaneina. Nuo. 2πn radiaani.

Kaikki? Ei. Pidentän mielihyvää tarkoituksella. Muistaakseni paremmin.) Saimme vain osan yhtälömme vastauksista. Kirjoitan tämän ratkaisun ensimmäisen osan näin:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ei vain yksi juuri, vaan koko joukko juuria, jotka on kirjoitettu lyhyessä muodossa.

Mutta on myös kulmia, jotka antavat myös kosinin 0,5!

Palataan kuvaamme, josta kirjoitimme vastauksen. Tässä hän on:

Vie hiiri kuvan päälle ja me näemme toinen kulma tuo antaa myös kosinin 0,5. Mihin se mielestäsi vastaa? Kolmiot ovat samat... Kyllä! Hän yhtä suuri kuin kulma X , viivästyy vain negatiiviseen suuntaan. Tämä on kulma -X. Mutta olemme jo laskeneet x. π /3 tai 60°. Siksi voimme turvallisesti kirjoittaa:

x 2 = - π /3

No, tietysti lisäämme kaikki kulmat, jotka saadaan täydellä kierroksella:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki.) Trigonometrisellä ympyrällä me näin(joka tietysti ymmärtää)) Kaikki kulmat, jotka antavat kosinin 0,5. Ja kirjoitin nämä näkökulmat lyhyesti muistiin matemaattinen muoto. Vastaus johti kahteen äärettömään sarjaan juuria:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on oikea vastaus.

Toivoa, yleinen periaate trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi ympyrän käyttö on selvää. Merkitään kosini (sini, tangentti, kotangentti) annetusta yhtälöstä ympyrään, piirretään sitä vastaavat kulmat ja kirjoitetaan vastaus muistiin. Tietenkin meidän on selvitettävä, mitä kulmia olemme näin ympyrän päällä. Joskus se ei ole niin ilmeistä. Sanoin, että tässä tarvitaan logiikkaa.)

Katsotaanpa esimerkiksi toista trigonometristä yhtälöä:

Ota huomioon, että luku 0,5 ei ole ainoa mahdollinen luku yhtälöissä!) Minulle on vain mukavampaa kirjoittaa se kuin juuria ja murtolukuja.

Työskentelemme yleisen periaatteen mukaan. Piirrämme ympyrän, merkitsemme (siniakselille tietysti!) 0,5. Piirrämme kaikki tätä siniä vastaavat kulmat kerralla. Saamme tämän kuvan:

Käsitellään ensin kulmaa X ensimmäisellä neljänneksellä. Muistamme sinitaulukon ja määritämme tämän kulman arvon. Se on yksinkertainen asia:

x = π /6

Muistamme täydet käännökset ja kirjoitamme puhtaalla omallatunnolla muistiin ensimmäiset vastaussarjat:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Puolet työstä on tehty. Mutta nyt meidän on päätettävä toinen kulma... Se on hankalampaa kuin kosinusten käyttäminen, kyllä... Mutta logiikka pelastaa meidät! Kuinka määrittää toinen kulma x:n kautta? Kyllä helppoa! Kuvan kolmiot ovat samat ja punainen kulma X yhtä suuri kuin kulma X . Vain se lasketaan kulmasta π negatiiviseen suuntaan. Siksi se on punainen.) Ja vastausta varten tarvitsemme kulman oikein mitattuna positiivisesta puoliakselista OX, ts. 0 asteen kulmasta.

Viemme kursorin piirustuksen päälle ja näemme kaiken. Poistin ensimmäisen kulman, jotta en vaikeuttaisi kuvaa. Meitä kiinnostava kulma (piirretty vihreällä) on yhtä suuri:

π - x

X tiedämme tämän π /6 . Siksi toinen kulma on:

π - π /6 = 5π /6

Muistamme jälleen täyden kierroksen lisäämisen ja kirjoitamme toisen vastaussarjan:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Siinä kaikki. Täydellinen vastaus koostuu kahdesta juurisarjasta:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangentti- ja kotangenttiyhtälöt voidaan ratkaista helposti käyttämällä samaa yleisperiaatetta trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Jos tietysti osaat piirtää tangentin ja kotangentin trigonometriseen ympyrään.

Yllä olevissa esimerkeissä käytin sinin ja kosinin taulukkoarvoa: 0,5. Nuo. yksi niistä merkityksistä, jotka opiskelija tietää on pakko. Laajennamme nyt kykyjämme kaikki muut arvot. Päätä, niin päätä!)

Joten sanotaan, että meidän on ratkaistava tämä trigonometrinen yhtälö:

Sellainen kosiniarvo sisään lyhyet taulukot Ei. Jätämme kylmästi huomiotta tämän kauhean tosiasian. Piirrä ympyrä, merkitse 2/3 kosiniakselille ja piirrä vastaavat kulmat. Saamme tämän kuvan.

Katsotaanpa ensin ensimmäisen neljänneksen kulmaa. Jos vain tietäisimme, mikä x on yhtä suuri, kirjoittaisimme vastauksen heti ylös! Emme tiedä... Epäonnistuminen!? Rauhoittaa! Matematiikka ei jätä omaa kansaansa pulaan! Hän keksi kaarikosinukset tätä tapausta varten. En tiedä? Turhaan. Ota selvää, se on paljon helpompaa kuin luulet. Tässä linkissä ei ole yhtään hankalaa loitsua "käänteisestä". trigonometriset funktiot"Ei... Tämä on tarpeetonta tässä aiheessa.

Jos olet perillä, sano vain itsellesi: "X on kulma, jonka kosini on 2/3." Ja heti, puhtaasti kaarikosinin määritelmän perusteella, voimme kirjoittaa:

Muistamme lisäkierrokset ja kirjoitamme rauhallisesti ylös trigonometrisen yhtälömme juuret:

x 1 = kaari 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Toisen kulman toinen juurisarja kirjoitetaan lähes automaattisesti. Kaikki on sama, vain X (arccos 2/3) on miinuksella:

x 2 = - kaaret 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ja siinä se! Tämä on oikea vastaus. Jopa helpompaa kuin taulukkoarvoilla. Mitään ei tarvitse muistaa.) Muuten tarkkaavaisimmat huomaavat, että tämä kuva näyttää ratkaisun kaarikosinin kautta pohjimmiltaan ei eroa kuvasta yhtälölle cosx = 0,5.

Tarkalleen! Yleinen käytäntö Siksi se on yleistä! Piirsin tarkoituksella kaksi lähes identtistä kuvaa. Ympyrä näyttää meille kulman X kosinuksensa mukaan. Onko se taulukon kosini vai ei, on kaikille tuntematon. Millainen kulma tämä on, π /3 tai mikä kaarikosini on - se on meidän päätettävissämme.

Sama kappale sinin kanssa. Esimerkiksi:

Piirrä uudelleen ympyrä, merkitse sini yhtä suuri kuin 1/3, piirrä kulmat. Tämä on kuva, jonka saamme:

Ja taas kuva on melkein sama kuin yhtälössä sinx = 0,5. Aloitamme jälleen kulmasta ensimmäisellä neljänneksellä. Mikä on X, jos sen sini on 1/3? Ei ongelmaa!

Nyt on ensimmäinen juuripakkaus valmis:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Käsitellään toista kulmaa. Esimerkissä, jossa taulukon arvo oli 0,5, se oli yhtä suuri:

π - x

Sama tulee olemaan täälläkin! Vain x on erilainen, arcsin 1/3. Mitä sitten!? Voit kirjoittaa turvallisesti muistiin toisen juuripaketin:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tämä on täysin oikea vastaus. Vaikka se ei näytä kovin tutulta. Mutta asia on selvä, toivottavasti.)

Näin trigonometriset yhtälöt ratkaistaan ympyrän avulla. Tämä tie on selkeä ja ymmärrettävä. Hän säästää trigonometrisissa yhtälöissä juurien valinnalla tietyllä aikavälillä, trigonometrisissa epäyhtälöissä - ne ratkaistaan yleensä melkein aina ympyrässä. Lyhyesti sanottuna kaikissa tehtävissä, jotka ovat hieman vaikeampia kuin tavalliset.

Sovelletaanko tietoa käytännössä?)

Ratkaise trigonometriset yhtälöt:

Ensinnäkin yksinkertaisempaa, suoraan tästä oppitunnista.

Nyt se on monimutkaisempaa.

Vihje: tässä sinun täytyy ajatella ympyrää. Henkilökohtaisesti.)

Ja nyt ne ovat ulkoisesti yksinkertaisia... Niitä kutsutaan myös erikoistapauksiksi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: tässä sinun täytyy selvittää ympyrässä, missä on kaksi vastaussarjaa ja missä on yksi... Ja kuinka kirjoittaa yksi kahden vastaussarjan sijaan. Kyllä, jotta yhtäkään juurta ei menetetä äärettömästä luvusta!)

No, hyvin yksinkertaista):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Vihje: tässä sinun on tiedettävä, mitä arcsiini ja arkosiini ovat? Mikä on arctangentti, arkotangentti? Eniten yksinkertaiset määritelmät. Mutta sinun ei tarvitse muistaa taulukon arvoja!)

Vastaukset ovat tietysti sotkuisia):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Eikö kaikki suju? Tapahtuu. Lue oppitunti uudelleen. Vain harkiten(sellaista on vanhentunut sana...) Ja seuraa linkkejä. Päälinkit koskevat ympyrää. Ilman sitä trigonometria on kuin tien ylittämistä sidottuina. Joskus se toimii.)

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Edellyttää trigonometrian peruskaavojen tuntemusta - sinin ja kosinin neliöiden summaa, tangentin ilmaisua sinin ja kosinin kautta ja muita. Niille, jotka ovat unohtaneet ne tai eivät tiedä niitä, suosittelemme lukemaan artikkelin "".
Joten tiedämme trigonometriset peruskaavat, on aika käyttää niitä käytännössä. Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen klo oikea lähestymistapa- tarpeeksi jännittävää toimintaa, kuten esimerkiksi Rubikin kuution ratkaiseminen.

Itse nimen perusteella on selvää, että trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on trigonometrisen funktion merkin alla.
On olemassa niin sanottuja yksinkertaisimpia trigonometrisiä yhtälöitä. Tältä ne näyttävät: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Harkitsemme kuinka ratkaista tällaiset trigonometriset yhtälöt, käytämme selvyyden vuoksi jo tuttua trigonometristä ympyrää.

sinx = a

cos x = a

rusketus x = a

pinnasänky x = a

Mikä tahansa trigonometrinen yhtälö ratkaistaan kahdessa vaiheessa: pelkistämme yhtälön yksinkertaisimpaan muotoonsa ja ratkaisemme sen sitten yksinkertaisena trigonometrisenä yhtälönä.
On 7 päämenetelmää, joilla trigonometriset yhtälöt ratkaistaan.

Muuttujan substituutio ja korvausmenetelmä

Ratkaise yhtälö 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Pelkistyskaavojen avulla saamme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Korvaa cos(x + /6) y:llä yksinkertaistaaksesi ja saadaksesi tavallisen toisen asteen yhtälön:

2v 2 – 3v + 1 + 0

Joiden juuret ovat y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyt mennään päinvastaisessa järjestyksessä

Korvaamme y:n löydetyt arvot ja saamme kaksi vastausvaihtoehtoa:

Trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen tekijöiden jakamisen avulla

Kuinka ratkaista yhtälö sin x + cos x = 1?

Siirretään kaikki vasemmalle niin, että 0 jää oikealle:

sin x + cos x – 1 = 0

Käytämme yllä käsiteltyjä identiteettejä yhtälön yksinkertaistamiseksi:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Laitetaan tekijöihin:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saamme kaksi yhtälöä

Pelkistys homogeeniseksi yhtälöksi

Yhtälö on homogeeninen sinin ja kosinin suhteen, jos kaikki sen ehdot ovat suhteessa saman kulman saman potenssin siniin ja kosiniin. Homogeenisen yhtälön ratkaisemiseksi toimi seuraavasti:

a) siirtää kaikki jäsenensä vasemmalle puolelle;

b) poista kaikki yleiset tekijät suluista;

c) samastaa kaikki tekijät ja sulut nollaan;

d) suluissa saadaan alemman asteen homogeeninen yhtälö, joka puolestaan jaetaan korkeamman asteen siniksi tai kosiniksi;

e) ratkaise tuloksena oleva yhtälö tg:lle.

Ratkaise yhtälö 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Käytetään kaavaa sin 2 x + cos 2 x = 1 ja päästään eroon oikeasta avoimesta kahdesta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jaa cos x:llä:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Korvaa tan x y:llä ja saat toisen asteen yhtälön:

y 2 + 4y +3 = 0, jonka juuret ovat y 1 =1, y 2 = 3

Täältä löydämme kaksi ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön:

x 2 = arctan 3 + k

Yhtälöiden ratkaiseminen siirtymisen kautta puolikulmaan

Ratkaise yhtälö 3sin x – 5cos x = 7

Siirrytään kohtaan x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Siirretään kaikki vasemmalle:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jaa cos:lla (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

Apukulman esittely

Otetaan pohdittavaksi yhtälö muotoa: a sin x + b cos x = c,

missä a, b, c ovat mielivaltaisia kertoimia ja x on tuntematon.

Jaetaan yhtälön molemmat puolet:

Nyt yhtälön kertoimet mukaan trigonometriset kaavat niillä on ominaisuudet sin ja cos, nimittäin: niiden moduuli ei ole suurempi kuin 1 ja neliöiden summa = 1. Merkitään niitä vastaavasti cos ja sin, missä - tämä on ns. apukulma. Sitten yhtälö saa muodon:

cos * sin x + sin * cos x = C

tai sin(x + ) = C

Tämän yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön ratkaisu on

x = (-1) k * arcsin C - + k, missä

On huomattava, että merkinnät cos ja sin ovat keskenään vaihdettavissa.

Ratkaise yhtälö sin 3x – cos 3x = 1

Tämän yhtälön kertoimet ovat:

a = , b = -1, joten jaa molemmat puolet = 2:lla

Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen.

Minkä tahansa monimutkaisuuden trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen päättyy lopulta yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen. Ja tässä trigonometrinen ympyrä osoittautuu jälleen parhaaksi avustajaksi.

Muistetaanpa kosinin ja sinin määritelmät.

Kulman kosini on yksikköympyrän pisteen abskissa (eli koordinaatti akselilla), joka vastaa kiertoa tietyn kulman läpi.

Kulman sini on yksikköympyrän pisteen ordinaatta (eli akselin suuntainen koordinaatti), joka vastaa kiertoa tietyn kulman läpi.

Trigonometrisen ympyrän positiivinen liikesuunta on vastapäivään. Kierto 0 astetta (tai 0 radiaania) vastaa pistettä, jonka koordinaatit (1;0)

Käytämme näitä määritelmiä yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Ratkaise yhtälö

Tämä yhtälö täyttyy kaikilla kiertokulman arvoilla, jotka vastaavat ympyrän pisteitä, joiden ordinaatit ovat yhtä suuria kuin .

Merkitään piste ordinaatilla ordinaatta-akselille:

Piirrä x-akselin suuntainen vaakasuora viiva, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on ordinaatta. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia yksiköissä ja radiaaneissa:

Jos jätämme pisteen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti, kiertämme täyden ympyrän, niin pääsemme pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa radiaania kohti ja jolla on sama ordinaatta. Toisin sanoen tämä kiertokulma täyttää myös yhtälömme. Voimme tehdä niin monta "tyhjäkäyntiä" kuin haluamme palataen samaan pisteeseen, ja kaikki nämä kulma-arvot täyttävät yhtälömme. Tyhjäkäyntien lukumäärä merkitään kirjaimella (tai). Koska voimme tehdä nämä käännökset sekä positiiviseen että negatiiviseen suuntaan, (tai) voimme saada minkä tahansa kokonaisluvun.

Eli alkuperäisen yhtälön ensimmäisen ratkaisusarjan muoto on:

, , - joukko kokonaislukuja (1)

Vastaavasti toisella ratkaisusarjalla on muoto:

, Missä , . (2)

Kuten arvata saattaa, tämä ratkaisusarja perustuu ympyrän pisteeseen, joka vastaa kiertokulmaa .

Nämä kaksi ratkaisusarjaa voidaan yhdistää yhdeksi kohteeksi:

Jos otamme (eli jopa) tämän merkinnän, niin saamme ensimmäisen sarjan ratkaisuja.

Jos otamme (eli parittoman) tässä merkinnässä, saamme toisen sarjan ratkaisuja.

2. Ratkaistaan nyt yhtälö

Koska tämä on kulman läpi kiertämällä saadun yksikköympyrän pisteen abskissa, merkitsemme pisteen abskissalla akselille:

Piirrä pystysuora viiva, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa, kunnes se leikkaa ympyrän. Saamme kaksi pistettä, jotka makaavat ympyrällä ja joilla on abskissa. Nämä pisteet vastaavat kiertokulmia in ja radiaaneina. Muista, että myötäpäivään liikuttaessa saamme negatiivisen kiertokulman:

Kirjataan kaksi ratkaisusarjaa:

(Pääsemme haluttuun pisteeseen siirtymällä päätäydeltä ympyrältä, eli.

Yhdistetään nämä kaksi sarjaa yhdeksi merkinnäksi:

3. Ratkaise yhtälö

Tangenttiviiva kulkee yksikköympyrän pisteen, jonka koordinaatit (1,0) on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa

Merkitään siihen piste, jonka ordinaatit ovat yhtä suuret kuin 1 (etsiimme tangenttia, jonka kulmat on yhtä suuri kuin 1):

Yhdistetään tämä piste koordinaattien alkupisteeseen suoralla ja merkitään suoran leikkauspisteet yksikköympyrän kanssa. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet vastaavat kiertokulmia ja:

Koska yhtälömme täyttäviä kiertokulmia vastaavat pisteet sijaitsevat radiaanien etäisyydellä toisistaan, voimme kirjoittaa ratkaisun seuraavasti:

4. Ratkaise yhtälö

Kotangenttien viiva kulkee pisteen läpi, jonka yksikköympyrän koordinaatit ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa.

Merkitään piste abskissalla -1 kotangenttien riville:

Yhdistä tämä piste suoran alkupisteeseen ja jatka sitä, kunnes se leikkaa ympyrän. Tämä suora leikkaa ympyrän pisteissä, jotka vastaavat kiertokulmia in ja radiaaneja:

Koska nämä pisteet ovat erotettu toisistaan etäisyydellä yhtä suuri kuin , Sitten yhteinen päätös Voimme kirjoittaa tämän yhtälön seuraavasti:

Annetuissa esimerkeissä, jotka havainnollistavat yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisua, käytettiin trigonometristen funktioiden taulukkoarvoja.

Jos yhtälön oikealla puolella on ei-taulukkoarvo, korvaamme arvon yhtälön yleisellä ratkaisulla: