Logaritmien ominaisuuksia ja esimerkkejä niiden ratkaisuista. Kattava opas (2019)

Logaritmeja, kuten kaikkia lukuja, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan pääominaisuudet.

Sinun on ehdottomasti tiedettävä nämä säännöt - ilman niitä ei voida ratkaista yhtä vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - voit oppia kaiken yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien lisääminen ja vähentäminen

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: log a x ja kirjaudu a y. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. Hirsi a x+ loki a y= loki a (x · y);
2. Hirsi a x− loki a y= loki a (x : y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi ja erotus on yhtä suuri kuin osamäärän logaritmi. Huomautus: avainhetki täällä - identtiset perusteet. Jos syyt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritminen lauseke vaikka sen yksittäisiä osia ei lasketa (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Tukki 6 4 + loki 6 9.

Koska logaritmeilla on samat kantakannat, käytämme summakaavaa:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 2 48 − log 2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 3 135 − log 3 5.

Perusteet ovat taas samat, joten meillä on:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei lasketa erikseen. Mutta muunnosten jälkeen saadaan täysin normaaleja lukuja. Monet rakentuvat tälle tosiasialle koepaperit. Kyllä, kokeen kaltaisia ​​ilmaisuja tarjotaan täysin vakavissaan (joskus käytännössä ilman muutoksia) Unified State Examinationissa.

Eksponentin erottaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kanta tai argumentti on potenssi? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Se on helppo huomata viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODZ:tä noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja vielä yksi asia: opettele soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin, ts. Voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 7 49 6 .

Päätetään eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että nimittäjä sisältää logaritmin, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki vaatii hieman selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Siihen asti viimeinen hetki työskentelemme vain nimittäjän kanssa. Esitimme siellä seisovan logaritmin perusteen ja argumentin potenssien muodossa ja poistimme eksponentit - saimme "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittaja ja nimittäjä sisältävät saman luvun: log 2 7. Koska log 2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä on tehty. Tuloksena oli vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos syyt ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uudelle perustalle siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilkaamme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmiloki annettu a x. Siis mille tahansa numerolle c sellasta c> 0 ja c≠ 1, yhtäläisyys on totta:

[Kuvan kuvateksti]

Varsinkin jos laitamme c = x, saamme:

[Kuvan kuvateksti]

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa, mutta tässä tapauksessa koko lauseke ”käännetään”, ts. logaritmi näkyy nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. On mahdollista arvioida, kuinka käteviä ne ovat, vain päättämällä logaritmiset yhtälöt ja eriarvoisuudet.

On kuitenkin ongelmia, joita ei voida ratkaista millään muulla kuin siirtymällä uudelle säätiölle. Katsotaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 5 16 log 2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkat potenssit. Otetaan indikaattorit pois: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Nyt "käännetään" toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden uudelleenjärjestelyssä, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten käsiteltiin logaritmeja.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjoitetaan tämä muistiin ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on tarpeen esittää luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa seuraavat kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa numero n siitä tulee argumentin tason indikaattori. Määrä n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmiarvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan: perus logaritminen identiteetti.

Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos numero b nostaa niin suureksi, että numero b tähän potenssiin antaa numeron a? Aivan oikein: saat saman numeron a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset juuttuvat siihen.

Kuten uuteen kantaan siirtymisen kaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:

[Kuvan kuvateksti]

Huomaa, että log 25 64 = log 5 8 - yksinkertaisesti otti neliön logaritmin kantasta ja argumentista. Ottaen huomioon säännöt tehojen kertomisesta samalla perustalla, saamme:

Jos joku ei tiedä, niin tämä oli oikea tehtävä Unified State Exaista :)

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita tuskin voi kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin ne ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Ne esiintyvät jatkuvasti ongelmissa ja yllättäen aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. Hirsi a a= 1 on logaritminen yksikkö. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a juuri tästä perustasta on yhtä suuri kuin yksi.
2. Hirsi a 1 = 0 on logaritminen nolla. Pohja a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti sisältää yhden, logaritmi on nolla! Koska a 0 = 1 on suora seuraus määritelmästä.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Yksi primitiivisen tason algebran elementeistä on logaritmi. Nimi tulee kohteesta Kreikan kieli sanasta "numero" tai "teho" ja tarkoittaa sitä, missä määrin kannassa olevaa numeroa on nostettava lopullisen luvun löytämiseksi.

Logaritmien tyypit

• log a b – luvun b logaritmi kantaan a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – desimaalilogaritmi (logaritmi kantaan 10, a = 10);
• ln b – luonnollinen logaritmi (logaritmi kantaan e, a = e).

Kuinka ratkaista logaritmit?

B:n logaritmi kantaan a on eksponentti, joka vaatii b:n nostamisen kantaan a. Saatu tulos lausutaan näin: "logaritmi b:stä kantaan a." Ratkaisu logaritmisihin ongelmiin on, että sinun on määritettävä annettu potenssi numeroina määritetyistä luvuista. On olemassa joitakin perussääntöjä logaritmin määrittämiseen tai ratkaisemiseen sekä itse merkinnän muuntamiseen. Niiden avulla ratkaistaan ​​logaritmiset yhtälöt, löydetään derivaatat, ratkaistaan ​​integraalit ja suoritetaan monia muita operaatioita. Pohjimmiltaan ratkaisu logaritmiin itsessään on sen yksinkertaistettu merkintä. Alla on peruskaavat ja ominaisuudet:

Kaikille a ; a > 0; a ≠ 1 ja mille tahansa x:lle; y > 0.

• a log a b = b – logaritminen perusidentiteetti
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , kun k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – uuteen kantaan siirtymisen kaava
• log a x = 1/log x a

Kuinka ratkaista logaritmit - vaiheittaiset ohjeet ratkaisemiseen

• Kirjoita ensin vaadittu yhtälö.

Huomaa: jos peruslogaritmi on 10, merkintää lyhennetään, jolloin tuloksena on desimaalilogaritmi. Jos se kannattaa luonnollinen luku e, kirjoitamme sen muistiin vähentäen sen luonnolliseen logaritmiin. Tämä tarkoittaa, että kaikkien logaritmien tulos on potenssi, johon perusluku nostetaan luvun b saamiseksi.

Suoraan ratkaisu on tämän asteen laskemisessa. Ennen lausekkeen ratkaisemista logaritmilla se on yksinkertaistettava säännön mukaan eli kaavoilla. Löydät tärkeimmät identiteetit palaamalla artikkelissa hieman taaksepäin.

Kun lisäät ja vähennät logaritmeja, joissa on kaksi eri lukua, mutta joilla on sama kanta, korvaa yksi logaritmi lukujen b ja c tulolla tai jaolla. Tässä tapauksessa voit käyttää kaavaa siirtyäksesi toiseen tukikohtaan (katso yllä).

Jos käytät lausekkeita logaritmin yksinkertaistamiseen, on otettava huomioon joitain rajoituksia. Ja se on: logaritmin a kanta on vain positiivinen luku, mutta ei yhtä suuri kuin yksi. Numeron b, kuten a, on oltava suurempi kuin nolla.

Joissakin tapauksissa et voi laskea logaritmia numeerisesti yksinkertaistamalla lauseketta. Tapahtuu, että sellaisessa lausekkeessa ei ole järkeä, koska monet potenssit ovat irrationaalisia lukuja. Jätä tässä tilanteessa luvun potenssi logaritmiksi.

Mikä on logaritmi?

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mikä on logaritmi? Kuinka ratkaista logaritmit? Nämä kysymykset hämmentävät monia valmistuneita. Perinteisesti logaritmien aihetta pidetään monimutkaisena, käsittämättömänä ja pelottavana. Erityisesti yhtälöt logaritmilla.

Tämä ei todellakaan ole totta. Ehdottomasti! Etkö usko minua? Hieno. Nyt vain 10–20 minuutissa:

1. Ymmärrät mikä on logaritmi.

2. Opi ratkaisemaan koko luokka eksponentiaaliyhtälöt. Vaikka et ole kuullut niistä mitään.

3. Opi laskemaan yksinkertaisia ​​logaritmeja.

Lisäksi tätä varten sinun tarvitsee vain tietää kertotaulukko ja kuinka nostaa luku potenssiin...

Minusta tuntuu, että sinulla on epäilyksiä... No, okei, merkitse aika! Mennä!

Ratkaise ensin tämä yhtälö päässäsi:

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Jatkamme logaritmien tutkimista. Tässä artikkelissa puhumme logaritmien laskeminen, tätä prosessia kutsutaan logaritmi. Ensin ymmärrämme logaritmien laskennan määritelmän mukaan. Katsotaan seuraavaksi, kuinka logaritmien arvot löydetään niiden ominaisuuksien avulla. Tämän jälkeen keskitymme logaritmien laskemiseen muiden logaritmien alun perin määritettyjen arvojen kautta. Lopuksi opetellaan käyttämään logaritmitaulukoita. Koko teoria sisältää esimerkkejä yksityiskohtaisine ratkaisuineen.

Sivulla navigointi.

Logaritmien laskeminen määritelmän mukaan

Yksinkertaisimmissa tapauksissa on mahdollista suorittaa melko nopeasti ja helposti logaritmin löytäminen määritelmän mukaan. Katsotaanpa tarkemmin, kuinka tämä prosessi tapahtuu.

Sen ydin on esittää lukua b muodossa a c, josta logaritmin määritelmän mukaan luku c on logaritmin arvo. Eli määritelmän mukaan seuraava yhtälöketju vastaa logaritmin löytämistä: log a b=log a a c =c.

Joten logaritmin laskeminen määritelmän mukaan tarkoittaa sellaisen luvun c löytämistä, että a c = b, ja itse luku c on logaritmin haluttu arvo.

Kun otetaan huomioon edellisten kappaleiden tiedot, kun logaritmimerkin alla oleva luku annetaan logaritmikannan tietyllä potenssilla, voit välittömästi osoittaa, mikä logaritmi on yhtä suuri - se on yhtä suuri kuin eksponentti. Näytämme ratkaisuja esimerkkeihin.

Esimerkki.

Etsi log 2 2 −3 ja laske myös luvun e 5,3 luonnollinen logaritmi.

Ratkaisu.

Logaritmin määritelmän avulla voimme heti sanoa, että log 2 2 −3 =−3. Todellakin, logaritmimerkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin kanta 2 potenssiin −3.

Samalla tavalla löydämme toisen logaritmin: lne 5.3 =5.3.

Vastaus:

log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3.

Jos logaritmin merkin alla olevaa lukua b ei ole määritetty logaritmin kantaluvun potenssiksi, sinun on tarkasteltava huolellisesti, onko mahdollista saada luku b esitys muodossa a c . Usein tämä esitys on melko ilmeinen, varsinkin kun logaritmimerkin alla oleva luku on yhtä suuri kuin kanta luvun 1, 2 tai 3 potenssiin ...

Esimerkki.

Laske logaritmit log 5 25 , ja .

Ratkaisu.

On helppo nähdä, että 25=5 2, jolloin voit laskea ensimmäisen logaritmin: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Siirrytään toisen logaritmin laskemiseen. Luku voidaan esittää 7:n potenssina: (katso tarvittaessa). Siten, .

Kirjoitetaan kolmas logaritmi sisään seuraavalla lomakkeella. Nyt voit nähdä sen , josta päättelemme sen . Siksi logaritmin määritelmän mukaan .

Lyhyesti, ratkaisu voitaisiin kirjoittaa seuraavasti: .

Vastaus:

log 5 25=2 , Ja .

Kun logaritmimerkin alla on riittävän suuri luonnollinen luku, sitä ei haittaa laajentaa päätekijät. Usein se auttaa esittämään sellaisen luvun jonkin logaritmin kantapään potenssina, ja siksi laskea tämä logaritmi määritelmän mukaan.

Esimerkki.

Etsi logaritmin arvo.

Ratkaisu.

Joidenkin logaritmien ominaisuuksien avulla voit määrittää logaritmien arvon välittömästi. Näitä ominaisuuksia ovat ykkösen logaritmin ominaisuus ja kantaa vastaavan luvun logaritmin ominaisuus: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1. Eli kun logaritmin etumerkin alla on luku 1 tai luku a, joka on yhtä suuri kuin logaritmin kanta, niin näissä tapauksissa logaritmit ovat vastaavasti 0 ja 1.

Esimerkki.

Mitä ovat logaritmit ja log10?

Ratkaisu.

Koska , niin logaritmin määritelmästä seuraa .

Toisessa esimerkissä logaritmimerkin alla oleva luku 10 on sama kuin sen kanta, joten kymmenen desimaalilogaritmi on yhtä suuri kuin yksi, eli lg10=lg10 1 =1.

Vastaus:

JA lg10=1.

Huomaa, että logaritmien laskeminen määritelmän mukaan (jota käsittelimme edellisessä kappaleessa) edellyttää yhtälön loga a a p =p käyttöä, joka on yksi logaritmien ominaisuuksista.

Käytännössä, kun logaritmin merkin alla oleva luku ja logaritmin kanta esitetään helposti tietyn luvun potenssina, on erittäin kätevää käyttää kaavaa , joka vastaa yhtä logaritmien ominaisuuksista. Katsotaanpa esimerkkiä logaritmin löytämisestä, joka kuvaa tämän kaavan käyttöä.

Esimerkki.

Laske logaritmi.

Ratkaisu.

Vastaus:

.

Laskelmissa käytetään myös logaritmien ominaisuuksia, joita ei ole mainittu yllä, mutta puhumme tästä seuraavissa kappaleissa.

Logaritmien etsiminen muiden tunnettujen logaritmien avulla

Tämän kappaleen tiedot jatkavat aihetta logaritmien ominaisuuksien käytöstä niiden laskennassa. Mutta tässä suurin ero on se, että logaritmien ominaisuuksia käytetään ilmaisemaan alkuperäinen logaritmi toisella logaritmilla, jonka arvo tunnetaan. Otetaan esimerkki selvennykseksi. Oletetaan, että tiedämme, että log 2 3≈1.584963, niin voimme löytää esimerkiksi log 2 6 tekemällä pienen muunnoksen logaritmin ominaisuuksilla: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yllä olevassa esimerkissä meille riitti käyttää tuotteen logaritmin ominaisuutta. Kuitenkin paljon useammin on tarpeen käyttää laajempaa logaritmien ominaisuuksien arsenaalia, jotta voidaan laskea alkuperäinen logaritmi annettujen kautta.

Esimerkki.

Laske logaritmi luvusta 27 kantaan 60, jos tiedät, että log 60 2=a ja log 60 5=b.

Ratkaisu.

Joten meidän on löydettävä loki 60 27 . On helppo nähdä, että 27 = 3 3 , ja alkuperäinen logaritmi voidaan potenssin logaritmin ominaisuuden vuoksi kirjoittaa uudelleen muotoon 3·log 60 3 .

Katsotaan nyt kuinka ilmaista log 60 3 tunnetuilla logaritmeilla. Kanta-arvoa vastaavan luvun logaritmin ominaisuus mahdollistaa yhtälön logaritmisen kirjoittamisen 60 60=1. Toisaalta log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Täten, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Siten, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Lopuksi lasketaan alkuperäinen logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

Vastaus:

log 60 27=3·(1–2·a-b)=3–6·a-3·b.

Erikseen on syytä mainita kaavan merkitys siirtymiseksi muodon logaritmin uuteen kantaan . Sen avulla voit siirtyä logaritmeista millä tahansa kantalla logaritmeihin, joilla on tietty kanta, joiden arvot ovat tiedossa tai ne on mahdollista löytää. Yleensä alkuperäisestä logaritmista siirtymäkaavaa käyttäen ne siirtyvät logaritmeihin jossakin kannassa 2, e tai 10, koska näille kamille on logaritmitaulukot, joiden avulla niiden arvot voidaan laskea tietyllä tavalla. tarkkuus. Seuraavassa kappaleessa näytämme, kuinka tämä tehdään.

Logaritmitaulukot ja niiden käyttötarkoitukset

Likimääräiseen logaritmiarvojen laskemiseen voidaan käyttää logaritmitaulukot. Yleisimmin käytetty 2 peruslogaritmitaulukko, luonnollinen logaritmitaulukko ja desimaalilogaritmitaulukko. Desimaalilukujärjestelmässä työskennellessä on kätevää käyttää kymmeneen kantaan perustuvaa logaritmitaulukkoa. Sen avulla opimme löytämään logaritmien arvot.

Esitetyn taulukon avulla voit löytää lukujen desimaalilogaritmien arvot välillä 1 000 - 9 999 (kolmen desimaalin tarkkuudella) kymmenen tuhannesosan tarkkuudella. Analysoimme logaritmin arvon löytämisen periaatetta desimaalilogaritmien taulukon avulla konkreettinen esimerkki– se on selkeämpi näin. Etsitään log1.256.

Desimaalilogaritmien taulukon vasemmasta sarakkeesta löydämme luvun 1,256 kaksi ensimmäistä numeroa, eli löydämme 1,2 (tämä luku on ympyröity sinisellä selvyyden vuoksi). Numeron 1.256 kolmas numero (numero 5) löytyy ensimmäiseltä tai viimeiseltä riviltä kaksoisrivin vasemmalla puolella (tämä numero on ympyröity punaisella). Alkuperäisen luvun 1.256 neljäs numero (numero 6) löytyy ensimmäiseltä tai viimeiseltä riviltä kaksoisrivin oikealla puolella (tämä numero on ympyröity vihreällä viivalla). Nyt löydämme numerot logaritmitaulukon soluista merkityn rivin ja merkittyjen sarakkeiden leikkauspisteestä (nämä numerot on korostettu oranssi). Merkittyjen lukujen summa antaa desimaalilogaritmin halutun arvon neljännen desimaalin tarkkuudella, eli log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Onko yllä olevan taulukon avulla mahdollista löytää desimaalilogaritmien arvot numeroista, joissa on enemmän kuin kolme numeroa desimaalipilkun jälkeen, sekä niiden, jotka ylittävät alueen 1 - 9,999? Kyllä sinä voit. Näytämme esimerkin avulla, miten tämä tehdään.

Lasketaan lg102.76332. Ensin sinun täytyy kirjoittaa numero sisään vakiomuotoinen : 102.76332=1.0276332·10 2. Tämän jälkeen mantissa tulee pyöristää kolmanteen desimaaliin 1,0276332 10 2 ≈ 1,028 10 2, kun taas alkuperäinen desimaalilogaritmi on suunnilleen yhtä suuri kuin tuloksena olevan luvun logaritmi, eli otamme log102.76332≈lg1.028·10 2. Käytämme nyt logaritmin ominaisuuksia: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lopuksi löydämme desimaalilogaritmien taulukosta logaritmin lg1.028 arvon lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Tämän seurauksena koko logaritmin laskentaprosessi näyttää tältä: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Lopuksi on syytä huomata, että käyttämällä desimaalilogaritmien taulukkoa voit laskea minkä tahansa logaritmin likimääräisen arvon. Tätä varten riittää, että käytät siirtymäkaavaa siirtyäksesi desimaalilogaritmiin, löytääksesi niiden arvot taulukosta ja suorittaaksesi loput laskelmat.

Lasketaan esimerkiksi log 2 3 . Uuteen logaritmin kantaan siirtymisen kaavan mukaan meillä on . Desimaalilogaritmien taulukosta löytyy log3≈0,4771 ja log2≈0,3010. Täten, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra ja analyysin alkua: Oppikirja yleiskoulujen luokille 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin tuleville).

Esitetään logaritmin perusominaisuudet, logaritmigraafi, määritelmäalue, arvojoukko, peruskaavat, kasvaminen ja pieneneminen. Tarkastellaan logaritmin derivaatan löytämistä. Sekä integraali, potenssisarjan laajennus ja esitys kompleksilukujen avulla.

Logaritmin määritelmä

Logaritmi kantaluvulla a on y:n funktio (x) = log a x, käänteinen eksponentiaalifunktiolle, jonka kanta on a: x (y) = a y.

Desimaalilogaritmi on logaritmi luvun kantaan 10 : log x ≡ log 10 x.

Luonnollinen logaritmi on logaritmi e:n kantaan: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Logaritmin kuvaaja saadaan eksponentiaalisen funktion kuvaajasta peilikuva suhteessa suoraan y = x. Vasemmalla ovat funktion y kuvaajat (x) = log a x neljälle arvolle logaritmikannat: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 ja a = 1/8 . Kaavio osoittaa, että kun a > 1 logaritmi kasvaa monotonisesti. Kun x kasvaa, kasvu hidastuu merkittävästi. klo 0 < a < 1 logaritmi pienenee monotonisesti.

Logaritmin ominaisuudet

Toimialue, arvojoukko, kasvava, laskeva

Logaritmi on monotoninen funktio, joten sillä ei ole ääriarvoja. Logaritmin pääominaisuudet on esitetty taulukossa.

Yksityiset arvot

Logaritmia kantaan 10 kutsutaan desimaalilogaritmi ja se on merkitty seuraavasti:

Logaritmi kantaan e nimeltään luonnollinen logaritmi :

Logaritmien peruskaavat

Käänteisfunktion määritelmästä johtuvat logaritmin ominaisuudet:

Logaritmien pääominaisuus ja sen seuraukset

Peruskorvauskaava

Logaritmi on logaritmin ottamisen matemaattinen operaatio. Logaritmeja otettaessa tekijöiden tulot muunnetaan termien summiksi.

Tehostaminen on logaritmin käänteinen matemaattinen operaatio. Potentioimisen aikana tietty emäs nostetaan ekspressioasteeseen, jolla tehostaminen suoritetaan. Tässä tapauksessa termien summat muunnetaan tekijöiden tuloiksi.

Todistus logaritmien peruskaavoista

Logaritmiin liittyvät kaavat seuraavat eksponenttifunktioiden kaavoista ja käänteisfunktion määritelmästä.

Harkitse eksponentiaalisen funktion ominaisuutta
.
Sitten
.
Sovelletaan eksponentiaalisen funktion ominaisuutta
:
.

Todistetaan peruskorvauskaava.
;
.
Olettaen, että c = b, meillä on:

Käänteinen funktio

Logaritmin käänteisarvo kantaan a on eksponenttifunktio, jonka eksponentti a.

Jos sitten

Jos sitten

Logaritmin derivaatta

Johdannainen moduulin x logaritmista:
.
N:nnen kertaluvun johdannainen:
.
Johtamiskaavat >>>

Logaritmin derivaatan löytämiseksi se on vähennettävä kantaan e.
;
.

Integraali

Logaritmin integraali lasketaan integroimalla osilla: .
Niin,

Kompleksilukuja käyttävät lausekkeet

Harkitse kompleksilukufunktiota z:
.
Ilmaistaan ​​kompleksiluku z moduulin kautta r ja argumentti φ :
.
Sitten logaritmin ominaisuuksia käyttämällä meillä on:
.
Tai

Argumentti kuitenkin φ ei ole yksiselitteisesti määritelty. Jos laitat
, jossa n on kokonaisluku,
silloin se on sama numero eri n.

Siksi logaritmi kompleksisen muuttujan funktiona ei ole yksiarvoinen funktio.

Power-sarjan laajennus

Kun laajennus tapahtuu:

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.