Jifanyie mwenyewe michoro ya maporomoko ya maji ya Escher. Maurits Escher - bwana wa udanganyifu wa macho

nyumbani / Saikolojia

Maurits Escher ni msanii bora wa picha wa Uholanzi anayejulikana ulimwenguni kote kwa kazi yake. Katikati, katika jumba la kumbukumbu, lililofunguliwa mnamo 2002, na jina lake "Escher in het Paleis", maonyesho ya kudumu ya kazi 130 na bwana yamefunguliwa. Je, unasema michoro inachosha? Labda ... labda hiyo inaweza kusema juu ya kazi ya wasanii wa picha, lakini si kuhusu Escher. Msanii anajulikana kwa maono yake yasiyo ya kawaida ya ulimwengu na kucheza na mantiki ya nafasi.

Nakshi nzuri za Escher, kwa kweli, zinaweza kutambuliwa kama picha ya mchoro nadharia ya uhusiano. Kazi zinazoonyesha takwimu zisizowezekana na kuzaliwa upya ni jambo la kustaajabisha, si kama kitu kingine chochote.

Maurits Escher alikuwa mtaalamu wa kweli wa mafumbo na uwongo wake wa macho unaonyesha mambo ambayo hayapo kabisa. Katika uchoraji wake, kila kitu kinabadilika, hutiririka vizuri kutoka kwa fomu moja hadi nyingine, ngazi hazina mwanzo na mwisho, na maji hutiririka juu. Mtu atashangaa - hii haiwezi kuwa! Jionee mwenyewe.
Uchoraji maarufu "Mchana na Usiku"

"Kupanda na kushuka", ambapo watu hupanda ngazi wakati wote ... au chini?

"Reptilia" - hapa mamba hugeuka kutoka kwa kuchorwa kuwa tatu-dimensional ...

"Kuchora mikono" - ambayo mikono miwili huvuta kila mmoja.

"Mkutano"

"Mkono na mpira wa kutafakari"

Lulu kuu ya makumbusho ni kazi ya mita 7 ya Escher - "Metamorphoses". Mchongo huu hukuruhusu kuona uhusiano kati ya umilele na ukomo, ambapo wakati na anga hukutana pamoja.

Makumbusho iko katika zamani ikulu ya majira ya baridi Malkia Emma ndiye mama mkubwa wa Malkia wa sasa Beatrix. Emma alinunua jumba hilo mnamo 1896 na aliishi huko hadi kifo chake mnamo Mei 1934. Katika kumbi mbili za makumbusho, ambayo huitwa "Vyumba vya Kifalme", samani na picha za Malkia Emma zimehifadhiwa, na kwenye mapazia kuna habari kuhusu mambo ya ndani ya jumba la nyakati hizo.

Kwenye ghorofa ya juu ya jumba la kumbukumbu kuna maonyesho ya maingiliano "Angalia kama Escher". Hii ni kweli Ulimwengu wa uchawi udanganyifu. Walimwengu huonekana na kutoweka katika mpira wa uchawi, kuta zinasonga na kubadilika, na watoto wanaonekana warefu kuliko wazazi wao. Mbele kidogo kuna sakafu isiyo ya kawaida, ambayo optically huanguka chini ya kila hatua, na katika mpira wa fedha unaweza kujiona kupitia macho ya Escher.

Mistari nyeupe iliyopindika, inayoingiliana, igawanye kila mmoja katika sehemu; kila mmoja ni sawa na urefu wa samaki - kutoka usio na ukomo hadi mkubwa, na tena - kutoka kwa ukubwa hadi usio na ukomo. Kila safu ni monochrome. Inapaswa kutumiwa na angalau rangi nne ili kufikia tofauti za toni za safu mlalo hizi. Kutoka kwa mtazamo wa kiteknolojia, bodi tano zinahitajika: moja kwa mambo nyeusi na nne kwa rangi. Ili kujaza mduara, kila ubao katika sura ya mduara wa mstatili unapaswa kuvutwa mara nne. kwa hivyo uchapishaji uliokamilika utahitaji 4x5=20 chapa. Hapa kuna moja ya aina mbili za nafasi ya "isiyo ya Euclidean" iliyoelezewa na mwanahisabati wa Ufaransa Poincaré. Ili kuelewa vipengele vya nafasi hii, fikiria kuwa wewe ni ndani ya picha yenyewe. Unapotoka katikati ya duara hadi mpaka wake, urefu wako utapungua kwa njia sawa na samaki katika picha hii kupungua. Kwa hivyo, njia ambayo utahitaji kwenda kwenye mpaka wa duara itaonekana kwako isiyo na mwisho. Kwa kweli, kuwa katika nafasi kama hiyo, kwa mtazamo wa kwanza, hautaona chochote kisicho cha kawaida ndani yake ikilinganishwa na nafasi ya kawaida ya Euclidean. Kwa mfano, kufikia mipaka ya nafasi ya Euclidean, unahitaji pia kupitia njia isiyo na kikomo. Walakini, ukiangalia kwa karibu, utaona tofauti kadhaa, kwa mfano, pembetatu zote zinazofanana zina kwenye nafasi hii ukubwa sawa, na hutaweza kuchora takwimu hapo na pembe nne za kulia zilizounganishwa na mistari iliyonyooka.

Maurits Cornelis Escher, msanii wa picha wa Uholanzi

Escher Maurits Cornelis(Maurits Cornelis Escher) (Juni 17, 1898, Leeuwarden, Uholanzi - Machi 27, 1972, Hilversum, Uholanzi) Msanii wa picha wa Uholanzi, alifanya vielelezo vya vitabu, mihuri na frescoes, tapestries zuliwa. Anajulikana haswa kwa maandishi yake ya dhana, michoro ya mbao na michoro ya chuma, ambayo alichunguza kwa ustadi mambo ya plastiki ya dhana ya kutokuwa na mwisho na ulinganifu, na vile vile sifa za mtazamo wa kisaikolojia wa vitu ngumu vya tatu-dimensional, nyingi. mwakilishi mkali sanaa ya imp. Escher alichagua kwa uangalifu kazi yake kama mchongaji, na sio kama mchoraji (katika mafuta). Kulingana na mtafiti wa kazi yake, Hans Locher, Escher alivutiwa na uwezekano wa kupata prints nyingi, ambazo zilitolewa na mbinu za picha, kwani tayari alikuwa ndani. umri mdogo nia ya uwezekano wa kurudia picha. Mojawapo ya vipengele bora zaidi vya kazi ya Escher ni taswira ya "metamorphoses", ambayo inaonekana katika aina mbalimbali katika kazi mbalimbali. Msanii anachunguza kwa undani mabadiliko ya taratibu kutoka kwa moja takwimu ya kijiometri kwa nyingine, kupitia mabadiliko madogo katika muhtasari. Kwa kuongeza, Escher alijenga mara kwa mara metamorphoses ambayo hutokea kwa viumbe hai (ndege hugeuka kuwa samaki, nk) na hata "huisha" vitu visivyo hai wakati wa metamorphosis, na kuwageuza kuwa viumbe hai. Escher alizalisha lithographs 448, chapa na michoro ya mbao na zaidi ya michoro na michoro 2,000. Kazi yake inaendelea kuvutia na kushangaza mamilioni ya watu duniani kote. V miaka iliyopita Afya ya Escher inashindwa na kwa kweli haifanyi kazi. Anafanyiwa upasuaji mara nyingi na hatimaye kufariki akiwa hospitalini kutokana na saratani ya utumbo mpana. Escher aliacha maandishi yake ya ajabu, uchoraji, michoro na wana watatu.

Tarehe kuu

1898 - Moritz Cornelis Escher alizaliwa mnamo Juni 17 huko Liverden (Uholanzi), mwana mdogo katika familia ya mhandisi wa majimaji G. A. Escher na Sarah Glichman.
1903 - Familia inahamia Arnhem.
1912-18 - Anaingia kwenye uwanja wa mazoezi na akafeli mitihani ya mwisho.
1919 - Kwa ombi la baba yake, Escher anaanza kusoma usanifu huko Haarlem, lakini baada ya miezi michache anahamia darasa la muundo wa picha chini ya Jeseran de Mesquite.
1921 - Safari ya kwanza kwenda Italia. Mchapishaji wa kwanza katika jarida la kazi "Maua ya Pasaka" (kukata kuni)
1922 - Wahitimu kutoka shule ya sanaa na kusafiri hadi Italia ya kati; hutengeneza michoro mingi. Mnamo Septemba, anatembelea Alhambra nchini Uhispania, akizingatia kuwa ya kuvutia zaidi, haswa maandishi yake makubwa ya "utata mkubwa na maana ya hisabati na kisanii."
1923 - Kusafiri kwenda Italia; hukutana na wake Mke mtarajiwa Jetta (Jetta Umiker). Maonyesho yake ya kwanza huko Siena.
1924 - Maonyesho ya kwanza huko The Hague, Uholanzi Juni 12 ameolewa na Yetta huko Viareggio; anahamia Roma.
1926 - Sana maonyesho yenye mafanikio huko Roma mnamo Mei. Baadaye, Escher ana maonyesho ya kudumu huko Uholanzi na haswa maoni chanya. Mnamo Juni 23, mtoto wao wa kwanza wa kiume Georg atazaliwa katika familia ya Escher. Katika miaka iliyofuata, Moritz Escher alisafiri mara kwa mara (kwa mfano, Tunisia), ikiwa ni pamoja na kwa miguu hadi Arbuzi; hufanya michoro mingi ya mazingira na usanifu.
1928 - Desemba 8, mwana Arthur alizaliwa.
1929 - lithograph ya kwanza "Mtazamo wa Goriano Sicoli", Arbuzzi
1931 - Mchoro wa kwanza wa mbao, lakini kimsingi ulikuwa ni matrix ya mbao ya kuchapisha mialiko ya maonyesho huko The Hague. Escher anakuwa mwanachama wa chama cha wasanii wa picha, baadaye kidogo - mwanachama wa studio ya Pulchi. Anaheshimika sana kama "mvumilivu, mtulivu, mchoraji baridi" na kazi yake inakosolewa kwa kuwa "mwenye akili sana".
1932 - Katika almanaka "XXIV Emblemata dat zijns zinnebeelden" michoro zake za mbao zimechapishwa.
1933 - Kitabu "The Terrible Adventures of Scholasticism" hakichapishwi na michoro ya Escher.
1934 - Kazi yake katika maonyesho ya prints za kisasa (uchapishaji) "Karne ya Maendeleo" huko Chicago inapata hakiki nzuri tu.
1935 - Sera ya ukandamizaji Italia ya Kifashisti inamlazimisha Escher kuhamia Uswizi.
1936 - Safari ya Uhispania, ambapo anajishughulisha tena na mapambo ya vigae vya Moorish (Alhambra). Kuzichora upya kunamhimiza Escher kuunda picha za kuchora ambazo hutumia mgawanyiko sahihi wa ndege.
1938 - Mnamo Machi 6, mwana mwingine, Jan, alizaliwa. Na Escher anazingatia "uchoraji wa ndani" na karibu kabisa huacha mchoro wa asili.
1939 - Kifo cha baba yake akiwa na umri wa miaka 96.
1940 - "M.C. Escher en zijn experimenten" imechapishwa. Mama yake anakufa.
1941 - Familia ya Escher inarudi katika nchi yao huko Uholanzi, huko Baarn (B╠rn)
1948 Escher anaanza kutoa mihadhara juu ya kazi yake pamoja na maandamano.
1954 - maonyesho makubwa ya Escher kwenye hafla ya Kongamano kubwa la Hisabati. Kufuatia yake - maonyesho katika Washington.
1955 - Aprili 30 hupokea tuzo kubwa ya kifalme.
1958 - "Regelmatige vlakverdeling" (Mgawanyiko sahihi wa ndege) imechapishwa.
1959 - "Grafik en Tekeningen" (Kazi za Graphic) imechapishwa
1960 - Maonyesho na mihadhara katika Kongamano la Crystallographic huko Cambridge, Massachusetts
1962 - Operesheni ya dharura, na kukaa kwa muda mrefu hospitalini.
1964 - Anaondoka kwenda Kanada kwa operesheni nyingine.
1965 - Tuzo la Sanaa la Hilversum. "Kipengele cha Ulinganifu" kimechapishwa (Vipengele vya ulinganifu vya michoro ya mara kwa mara ya Escher).
1967 - Tuzo la Malkia wa Pili.
1968 - Retrospective kubwa kwa heshima ya kumbukumbu ya miaka 70 huko The Hague. Mwishoni mwa mwaka, Yetta anarudi Uswizi.
1969 - Mnamo Julai, Escher anaunda "Nyoka" yake ya mwisho ya kuni.
1970 - Operesheni na tena kulazwa hospitalini kwa muda mrefu. Escher anahamia Rosa-Spier-Foundation Laaren katika nyumba ya kustaafu ya wasanii.
1971 - De werelden van M.C. Escher (Ulimwengu wa Escher) imechapishwa.
1972 - MS Escher alikufa katika Hospitali ya Kilutheri ya Hilversum.

Maporomoko ya maji. Lithography. 38 × 30 cm K: Lithographs 1961

Kazi hii ya Escher inaonyesha kitendawili - maji yanayoanguka ya maporomoko ya maji hudhibiti gurudumu linaloelekeza maji juu ya maporomoko ya maji. Maporomoko ya maji yana muundo wa "haiwezekani" pembetatu ya Penrose: lithograph iliundwa kulingana na makala katika British Journal of Psychology.

Ubunifu huu umeundwa na viunzi vitatu vilivyowekwa juu ya kila mmoja kwa pembe za kulia. Maporomoko ya maji kwenye lithograph hufanya kazi kama mashine ya mwendo wa kudumu. Kulingana na harakati ya jicho, inaonekana mbadala kwamba minara yote miwili ni sawa na kwamba mnara ulio upande wa kulia ni sakafu moja chini kuliko mnara wa kushoto.

Andika hakiki juu ya kifungu "Maporomoko ya maji (lithography)"

Vidokezo

Viungo

Tovuti rasmi: (Kiingereza)

Sehemu inayoonyesha Maporomoko ya Maji (lithograph)

- Hakuna; amri za vita zilitolewa.
Prince Andrei alikwenda kwenye mlango, ambao sauti zilisikika. Lakini alipokuwa karibu kufungua mlango, sauti ndani ya chumba hicho zilinyamaza, mlango ukafunguka kwa hiari yake, na Kutuzov, na pua yake ya maji kwenye uso wake uliojaa, alionekana kwenye kizingiti.
Prince Andrei alisimama moja kwa moja kinyume na Kutuzov; lakini kutokana na mwonekano wa jicho pekee la amiri jeshi mkuu, ilionekana wazi kuwa mawazo na kujali vilimtawala sana na kuonekana kana kwamba maono yake yamefichwa. Alimtazama moja kwa moja usoni msaidizi wake na hakumtambua.
- Kweli, umemaliza? akamgeukia Kozlovsky.
“Sekunde moja tu, Mheshimiwa.
Bagration, chini, na aina ya mashariki uso mgumu na usiohamishika, kavu, bado mzee, akatoka kwenda kwa amiri jeshi mkuu.
"Nina heshima ya kuonekana," Prince Andrei alirudia kwa sauti kubwa, akikabidhi bahasha.
"Ah, kutoka Vienna?" Sawa. Baada, baada!
Kutuzov alitoka na Bagration hadi kwenye ukumbi.
"Sawa, kwaheri, mkuu," alimwambia Bagration. “Kristo yu pamoja nawe. Nakubariki kwa mafanikio makubwa.
Uso wa Kutuzov ulipungua ghafla, na machozi yalionekana machoni pake. Alimvuta Bagration kwake kwa mkono wake wa kushoto, na kwa mkono wake wa kulia, ambao kulikuwa na pete, inaonekana alimvuka kwa ishara ya kawaida na kumpa shavu nono, badala yake Bagration akambusu shingoni.

Sanaa ya Hisabati ya Moritz Escher tarehe 28 Februari 2014

Asili imechukuliwa kutoka imit_omsu katika Sanaa ya Hisabati ya Moritz Escher

"Wataalamu wa hisabati walifungua mlango wa ulimwengu mwingine, lakini hawakuthubutu kuingia katika ulimwengu huu wenyewe. Wanavutiwa zaidi na njia ambayo mlango unasimama kuliko bustani zaidi yake.
(M.C. Escher)

Lithograph "Mkono na kioo nyanja", picha ya kibinafsi.

Maurits Cornelius Escher ni msanii wa picha wa Uholanzi anayejulikana kwa kila mwanahisabati.
Viwanja vya kazi za Escher vinaonyeshwa na ufahamu wa busara wa vitendawili vya kimantiki na vya plastiki.
Anajulikana, kwanza kabisa, kwa kazi zake ambazo alitumia dhana mbali mbali za hesabu - kutoka kikomo na ukanda wa Möbius hadi jiometri ya Lobachevsky.

Woodcut "Mchwa nyekundu".

Maurits Escher hakupokea elimu maalum ya hisabati. Lakini tangu mwanzo kazi ya ubunifu alikuwa na nia ya mali ya nafasi, alisoma pande zake zisizotarajiwa.

"Vifungo vya Umoja".

Mara nyingi Escher alijihusisha na mchanganyiko wa ulimwengu wa 2D na 3D.

Lithograph "Mikono ya Kuchora".

Lithograph "Reptiles".

Tessellations.

Kuweka tiles ni mgawanyiko wa ndege katika takwimu zinazofanana. Ili kusoma aina hii ya kizigeu, wazo la kikundi cha ulinganifu hutumiwa jadi. Hebu fikiria ndege ambayo tiles huchorwa. Ndege inaweza kuzungushwa karibu na mhimili wa kiholela na kubadilishwa. Kuhama kunafafanuliwa na vector ya kuhama, wakati mzunguko unafafanuliwa na kituo na angle. Mabadiliko kama haya huitwa harakati. Inasemekana kuwa hii au harakati hiyo ni ulinganifu ikiwa baada yake tiling hupita ndani yenyewe.

Fikiria, kwa mfano, ndege iliyogawanywa katika viwanja vinavyofanana - karatasi isiyo na mwisho ya pande zote ya daftari kwenye ngome. Ikiwa ndege kama hiyo inazungushwa na digrii 90 (digrii 180, 270 au 360) karibu na katikati ya mraba wowote, tiles itageuka yenyewe. Pia huingia ndani yenyewe wakati wa kubadilishwa na vector sambamba na moja ya pande za mraba. Urefu wa vekta lazima iwe nyingi ya upande wa mraba.

Mnamo 1924, geometer George Polia (kabla ya kuhamia Merika, Gyorgy Poya) alichapisha kazi juu ya vikundi vya ulinganifu wa tiles, ambayo alithibitisha ukweli wa kushangaza (ingawa tayari iligunduliwa mnamo 1891 na mtaalam wa hesabu wa Urusi Evgraf Fedorov, na baadaye kusahaulika kwa usalama. ): kuna ulinganifu wa vikundi 17 pekee unaojumuisha zamu katika angalau mbili maelekezo tofauti. Mnamo 1936, Escher, baada ya kupendezwa na mapambo ya Moorish (pamoja na hatua ya kijiometri mtazamo, lahaja ya kuweka tiles), soma kazi ya Polia. Licha ya ukweli kwamba yeye, kwa kukiri kwake mwenyewe, hakuelewa hesabu zote nyuma ya kazi hiyo, Escher alifanikiwa kukamata kiini chake cha kijiometri. Kama matokeo, kwa kuzingatia vikundi vyote 17, Escher aliunda kazi zaidi ya 40.

Musa.

Woodcut "Mchana na Usiku".

"Uwekaji wa tiles mara kwa mara wa ndege IV".

Woodcut "Anga na Maji".

Tessellations. Kikundi ni rahisi, cha kuzalisha: ulinganifu wa sliding na tafsiri sambamba. Lakini tiles za kuweka tiles ni nzuri sana. Na kwa kuchanganya na ukanda wa Möbius, ndivyo hivyo.

Mchoro wa mbao "Wapanda farasi".

Tofauti nyingine juu ya mada ya ulimwengu wa gorofa na 3D na tiles.

Lithograph "Kioo cha Uchawi".

Escher alikuwa rafiki wa mwanafizikia Roger Penrose. Katika wakati wake wa bure kutoka kwa fizikia, Penrose alikuwa akijishughulisha na kutatua mafumbo ya hesabu. Siku moja alikuja na wazo lifuatalo: ikiwa unafikiria tessellation inayojumuisha zaidi ya takwimu moja, je, kikundi chake cha ulinganifu kitatofautiana na wale walioelezwa na Polia? Kama ilivyotokea, jibu la swali hili liko katika uthibitisho - hii ndio jinsi mosaic ya Penrose ilizaliwa. Katika miaka ya 1980, ikawa wazi kuwa ilihusishwa na quasicrystals ( Tuzo la Nobel katika Kemia 2011).

Walakini, Escher hakuwa na wakati (au, labda, hakutaka) kutumia mosaic hii katika kazi yake. (Lakini kuna picha ya ajabu ya Penrose "Penrose Hens", haikupakwa rangi na Escher.)

Ndege ya Lobachevsky.

Ya tano katika orodha ya axioms katika "Elements" ya Euclid katika ujenzi wa Heiberg ni taarifa ifuatayo: ikiwa mstari unaovuka mistari miwili unaunda ndani pembe za upande mmoja chini ya mistari miwili, basi, kupanuliwa kwa muda usiojulikana, mistari hii miwili itakutana. upande ambao pembe ni chini ya mistari miwili. V fasihi ya kisasa pendelea uundaji sawa na wa kifahari zaidi: kwa njia ya hatua ambayo haina uongo kwenye mstari, hupita mstari unaofanana na uliopewa, na zaidi ya hayo, moja tu. Lakini hata katika uundaji huu, axiom, tofauti na maandishi mengine ya Euclid, inaonekana kuwa ngumu na ya kutatanisha - ndiyo sababu wanasayansi wamekuwa wakijaribu kupata taarifa hii kutoka kwa axioms zingine kwa miaka elfu mbili. Hiyo ni, kwa kweli, kugeuza postulate kuwa nadharia.

Katika karne ya 19, mwanahisabati Nikolai Lobachevsky alijaribu kufanya hivyo kwa kupingana: alidhani kwamba postulate ilikuwa na makosa na kujaribu kupata utata. Lakini haikupatikana - na kwa sababu hiyo, Lobachevsky aliunda jiometri mpya. Ndani yake, kupitia hatua ambayo haina uongo kwenye mstari, hupita idadi isiyo na kipimo ya mistari tofauti ambayo haiingiliani na ile iliyotolewa. Lobachevsky hakuwa wa kwanza kugundua jiometri hii mpya. Lakini alikuwa wa kwanza kuthubutu kutangaza hadharani - ambayo, bila shaka, alidhihakiwa.

Utambuzi wa baada ya kifo wa kazi ya Lobachevsky ulifanyika, kati ya mambo mengine, kutokana na kuonekana kwa mifano ya jiometri yake - mifumo ya vitu kwenye ndege ya kawaida ya Euclidean, ambayo ilikidhi axioms zote za Euclid, isipokuwa postulate ya tano. Mojawapo ya mifano hii ilipendekezwa na mwanahisabati na mwanafizikia Henri Poincaré mwaka wa 1882 kwa mahitaji ya uchambuzi wa kazi na ngumu.

Hebu kuwe na mduara ambao mpaka tunauita kabisa. "pointi" katika mfano wetu zitakuwa pointi za ndani za mduara. Jukumu la "mistari ya moja kwa moja" linachezwa na miduara au mistari ya moja kwa moja ya perpendicular kabisa (zaidi kwa usahihi, arcs zao zinazoanguka ndani ya mduara). Ukweli kwamba waraka wa tano haujatimizwa kwa "mistari iliyonyooka" ni dhahiri. Ukweli kwamba machapisho mengine yote yanatimizwa kwa vitu hivi ni dhahiri kidogo, hata hivyo, hii ni kweli.

Inatokea kwamba katika mfano wa Poincaré inawezekana kuamua umbali kati ya pointi. Ili kukokotoa urefu, dhana ya kipimo cha Riemannian inahitajika. Mali yake ni kama ifuatavyo: karibu na jozi ya pointi "moja kwa moja" kwa kabisa, umbali mkubwa kati yao. Pia kati ya "mistari ya moja kwa moja" pembe hufafanuliwa - hizi ni pembe kati ya tangents kwenye hatua ya makutano ya "mistari ya moja kwa moja".

Sasa hebu turudi kwenye tiles. Je, zitakuwaje ikiwa zimegawanywa katika poligoni za kawaida zinazofanana (hiyo ni, poligoni zenye zote pande sawa na pembe) tayari mfano wa Poincaré? Kwa mfano, poligoni zinapaswa kuwa ndogo kadri zinavyokaribia kabisa. Wazo hili liligunduliwa na Escher katika safu ya kazi "Kikomo cha Mzunguko". Walakini, Mholanzi hakutumia kizigeu sahihi, lakini matoleo yao ya ulinganifu zaidi. Kesi ambapo uzuri ulikuwa muhimu zaidi kuliko usahihi wa hisabati.

Woodcut "Kikomo - mduara II".

Woodcut "Kikomo - Circle III".

Woodcut "Mbingu na Kuzimu".

Takwimu zisizowezekana.

Ni kawaida kuita takwimu zisizowezekana kuwa udanganyifu maalum wa macho - zinaonekana kuwa picha ya kitu cha pande tatu kwenye ndege. Lakini juu ya uchunguzi wa karibu, utata wa kijiometri hupatikana katika muundo wao. Takwimu zisizowezekana ni za kuvutia sio tu kwa wanahisabati - pia zinasomwa na wanasaikolojia na wataalam wa kubuni.

Babu-babu wa takwimu zisizowezekana ni kinachojulikana mchemraba wa Necker, uwakilishi unaojulikana wa mchemraba kwenye ndege. Ilipendekezwa na mwandishi wa fuwele wa Uswidi Louis Necker mnamo 1832. Upekee wa picha hii ni kwamba inaweza kufasiriwa kwa njia tofauti. Kwa mfano, kona iliyoonyeshwa kwenye takwimu hii na mduara nyekundu inaweza kuwa karibu na sisi kutoka pembe zote za mchemraba, na, kinyume chake, mbali zaidi.

Takwimu za kwanza zisizowezekana kama hizo ziliundwa na mwanasayansi mwingine wa Uswidi, Oskar Ruthersvärd, katika miaka ya 1930. Hasa, alikuja na wazo la kukusanya pembetatu kutoka kwa cubes, ambayo haiwezi kuwepo kwa asili. Kwa kujitegemea Ruthersward, Roger Penrose aliyetajwa tayari, pamoja na baba yake Lionel Penrose, walichapisha karatasi katika Jarida la Briteni la Saikolojia inayoitwa " Vitu visivyowezekana: Aina maalum udanganyifu wa macho»(1956). Ndani yake, Penroses ilipendekeza vitu viwili vile - pembetatu ya Penrose (toleo thabiti la ujenzi wa cubes ya Ruthersward) na ngazi za Penrose. Walimtaja Maurits Escher kama msukumo wa kazi yao.

Vitu vyote viwili - pembetatu na ngazi - baadaye vilionekana kwenye uchoraji wa Escher.

Lithograph "Uhusiano".