Mali isiyowezekana ni kitu kidogo sana. Mradi "Takwimu zisizowezekana"

Haiwezekani ni nini
hiyo haiwezi kuwepo...
au kutokea...

Kusudi la somo: maendeleo ya maono matatu-dimensional ya wanafunzi; uwezo wa kuelezea kutowezekana kwa kuwepo kwa takwimu fulani kutoka kwa mtazamo wa jiometri; maendeleo ya maslahi katika somo.

Vifaa: gazeti kulingana na nyenzo kutoka kwa tovuti " Ulimwengu usiowezekana" (Mtandao), zana za kuunda takwimu, takwimu za kijiometri, vielelezo vya takwimu zisizowezekana.

Wakati wa madarasa:

Utangulizi:
Katika historia, watu wamekutana na udanganyifu wa macho wa aina moja au nyingine. Inatosha kukumbuka mirage katika jangwa, udanganyifu ulioundwa na mwanga na kivuli, pamoja na harakati za jamaa. Mfano unaofuata unajulikana sana: mwezi unaoinuka kutoka kwenye upeo wa macho unaonekana mkubwa zaidi kuliko ulivyo juu angani. Haya yote ni matukio machache tu ya kuvutia ambayo hutokea katika asili. Wakati matukio haya, ambayo hudanganya macho na akili, yalipogunduliwa kwanza, yalianza kusisimua mawazo ya watu.

Tangu nyakati za zamani, udanganyifu wa macho umetumika kuongeza athari za kazi za sanaa au kuboresha mwonekano ubunifu wa usanifu. Wagiriki wa kale walitumia udanganyifu wa macho ili kukamilisha kuonekana kwa mahekalu yao makubwa. Wakati wa Zama za Kati, mtazamo uliobadilishwa wakati mwingine ulitumiwa katika uchoraji. Baadaye, udanganyifu mwingine mwingi ulitumiwa katika michoro. Miongoni mwao, pekee ya aina yake na aina mpya ya udanganyifu wa macho inajulikana kama "vitu visivyowezekana".

Moja ya ujuzi muhimu kwa watu wanaofanya kazi katika nyanja za kiufundi ni uwezo wa kuona vitu vya tatu-dimensional katika ndege mbili-dimensional. "Vitu visivyowezekana" hujengwa juu ya matumizi ya hila kwa mtazamo na kina ndani ya nafasi mbili-dimensional. Haiwezekani katika nafasi halisi ya tatu-dimensional, huathiri maono yetu kwa njia ya mtazamo uliohamishwa, uendeshaji wa kina na ndege, dalili za udanganyifu za macho, kutofautiana kwa mipango, kucheza kwa mwanga na kivuli, miunganisho isiyo wazi, kwa sababu ya mwelekeo usio sahihi na unaopingana na viunganisho, msimbo uliobadilishwa. pointi na nyinginezo "mbinu" ambazo msanii wa picha hukimbilia.

Matumizi ya makusudi ya vitu visivyowezekana katika kubuni yalianza nyakati za kale kabla ya ujio wa mtazamo wa classical. Wasanii walijaribu kutafuta suluhu mpya. Mfano ni taswira ya karne ya 15 ya Annunciation kwenye fresco ya Kanisa Kuu la St. Mary's katika jiji la Uholanzi la Breda. Mchoro huo unaonyesha Malaika Mkuu Gabrieli akimletea Mariamu habari za Mwanawe wa baadaye. Fresco imeundwa na matao mawili, yanayoungwa mkono kwa upande na nguzo tatu. Walakini, unapaswa kuzingatia safu ya kati. Tofauti na wengine, yeye hupotea nyuma ya jiko. Kwa mtazamo wa vitendo, msanii alitumia "haiwezekani" hii kama mbinu maalum ya kuzuia kugawa eneo katika nusu mbili.

Mfano wa upinde kama huo unaonyeshwa kwenye Mtini. 1

"Takwimu zisizowezekana"zimegawanywa katika vikundi 4. Wacha sasa tujaribu kuainisha takwimu kuu kutoka kwa kila kikundi. Kwa hivyo, ya kwanza:

Mwanafunzi 1:

Pembetatu ya kushangaza - tribar.

Nambari hii labda ni ya kwanza kuchapishwa kwa kuchapishwa. kitu kisichowezekana. Ilionekana mnamo 1958. Waandishi wake, baba na mwana Lionell na Roger Penrose, mtaalamu wa maumbile na mwanahisabati mtawalia, walifafanua kitu kama "muundo wa mstatili wa pande tatu." Pia iliitwa "tribar".

Amua ni nini kisichowezekana kijiometri.

(Kwa mtazamo wa kwanza, upau unaonekana kuwa taswira tu ya pembetatu iliyo sawa. Lakini pande zinazoungana juu ya picha zinaonekana kuwa za kawaida. Wakati huo huo, kingo za kushoto na kulia chini pia zinaonekana perpendicular. Ikiwa unatazama kila undani tofauti, inaonekana kweli, lakini kwa ujumla takwimu hii haiwezi kuwepo. Haijaharibika, lakini vipengele sahihi viliunganishwa vibaya wakati wa kuchora.)

Hapa kuna mifano zaidi ya takwimu zisizowezekana kulingana na tribar. Jaribu kuelezea kutowezekana kwao.

Utatu uliopinda mara tatu

Pembetatu ya cubes 12

Upau wa mabawa

Domino tatu

Mwanafunzi 2:

Ngazi zisizo na mwisho

Takwimu hii mara nyingi huitwa "Ngazi zisizo na mwisho", "ngazi za Milele" au "ngazi za Penrose" - baada ya muundaji wake. Pia inaitwa "njia inayoendelea kupanda na kushuka."

Nambari hii ilichapishwa kwa mara ya kwanza mnamo 1958. Staircase inaonekana mbele yetu, inaonekana inaongoza juu au chini, lakini wakati huo huo, mtu anayetembea kando yake hainuki au kuanguka. Baada ya kumaliza njia yake ya kuona, atajikuta mwanzoni mwa njia.

"Endless Staircase" ilitumiwa kwa mafanikio na msanii Maurits K. Escher, wakati huu katika lithograph yake "Ascent and Descend", iliyoundwa mwaka wa 1960.

Staircase na hatua nne au saba.

Uumbaji wa takwimu hii na idadi kubwa ya hatua ungeweza kuongozwa na rundo la walalaji wa kawaida wa reli. Unapokaribia kupanda ngazi hii, utakabiliwa na chaguo: ikiwa ni kupanda ngazi nne au saba.

Jaribu kueleza ni mali gani ambayo waumbaji wa staircase hii walitumia.

(Waumbaji wa staircase hii walichukua faida ya mistari inayofanana ili kuunda vipande vya mwisho vya vitalu vilivyowekwa sawa; baadhi ya vizuizi vinaonekana kupindishwa ili kutoshea udanganyifu).

Inashauriwa kuangalia takwimu moja zaidi. Hatua ya ukuta.

Mwanafunzi 3:

Kundi linalofuata la takwimu kwa pamoja linaitwa "Space Fork". Kwa takwimu hii tunaingia kwenye msingi sana na kiini cha haiwezekani. Hii inaweza kuwa darasa kubwa zaidi la vitu visivyowezekana.

Kitu hiki kisichowezekana chenye meno matatu (au mawili?) kilijulikana sana na wahandisi na wapenda mafumbo mnamo 1964. Chapisho la kwanza lililotolewa kwa takwimu isiyo ya kawaida lilionekana mnamo Desemba 1964. Mwandishi aliiita "Brace inayojumuisha vitu vitatu." Kutambua na kutatua (ikiwa inawezekana) kutofautiana katika aina hii mpya ya takwimu isiyoeleweka inahitaji mabadiliko ya kweli katika urekebishaji wa kuona. Kwa mtazamo wa vitendo, utaratibu huu wa ajabu wa trident au mabano hautumiki kabisa. Wengine huita tu "kosa la bahati mbaya." Mmoja wa wawakilishi wa tasnia ya anga alipendekeza kutumia mali zake katika ujenzi wa uma wa kubadilisha nafasi ya kati.

Mnara wenye nguzo nne pacha.

Mwanafunzi wa 4:

Kitu kingine kisichowezekana kilionekana mnamo 1966 huko Chicago kama matokeo ya majaribio ya asili ya mpiga picha Dk. Charles F. Cochran. Wapenzi wengi wa takwimu zisizowezekana wamejaribu na Sanduku la Crazy. Mwandishi hapo awali aliiita "Sanduku la Bure" na alisema kuwa "iliundwa kutuma vitu visivyowezekana kwa idadi kubwa."

"Sanduku la wazimu" ni sura ya mchemraba iliyogeuka ndani. Mtangulizi wa haraka wa Sanduku la Crazy alikuwa Sanduku lisilowezekana (na Escher), na mtangulizi wake kwa upande wake alikuwa Necker Cube.

Sio kitu kisichowezekana, lakini ni kielelezo ambacho parameta ya kina inaweza kutambulika kwa njia isiyoeleweka.

Mchemraba wa Necker ulielezewa kwa mara ya kwanza mnamo 1832 na mwandishi wa fuwele wa Uswizi Lewis A. Necker, ambaye aligundua kuwa fuwele wakati mwingine hubadilika sura unapoziangalia. Tunapoangalia mchemraba wa Necker, tunaona kwamba uso na dot iko mbele au nyuma, inaruka kutoka nafasi moja hadi nyingine.

Takwimu chache zaidi zisizowezekana.

Mwalimu:

Sasa jaribu kuunda takwimu isiyowezekana mwenyewe.

Somo linaisha kwa wanafunzi kujaribu kuchora takwimu isiyowezekana peke yao.

Takwimu zisizowezekana - aina maalum vitu katika sanaa nzuri. Kwa kawaida huitwa hivyo kwa sababu hawawezi kuwepo ndani ulimwengu halisi.

Kwa usahihi zaidi, takwimu zisizowezekana ni vitu vya kijiometri vilivyochorwa kwenye karatasi ambayo hutoa hisia ya makadirio ya kawaida ya kitu cha tatu-dimensional, hata hivyo, juu ya uchunguzi wa makini, utata katika viunganisho vya vipengele vya takwimu huonekana.

Takwimu zisizowezekana zimeainishwa kama darasa tofauti udanganyifu wa macho.

Ujenzi usiowezekana umejulikana tangu nyakati za kale. Wamepatikana katika icons tangu Zama za Kati. Msanii wa Uswidi anachukuliwa kuwa "baba" wa takwimu zisizowezekana Oscar Reutersvard aliyechora pembetatu isiyowezekana, iliyoundwa na cubes mnamo 1934.

Takwimu zisizowezekana zilijulikana kwa umma katika miaka ya 50 ya karne iliyopita, baada ya kuchapishwa kwa nakala ya Roger Penrose na Lionel Penrose, ambayo mbili zilielezewa. takwimu za msingi- pembetatu isiyowezekana (pia inaitwa pembetatuPenrose) na ngazi isiyo na mwisho. Nakala hii ilianguka mikononi mwa mtu maarufu msanii wa Uholanzi M.K. Escher, ambaye, akiongozwa na wazo la takwimu zisizowezekana, aliunda lithographs zake maarufu "Maporomoko ya maji", "Kupanda na Kushuka" na "Belvedere". Kumfuata, idadi kubwa ya wasanii ulimwenguni kote walianza kutumia takwimu zisizowezekana katika kazi zao. Maarufu zaidi kati yao ni Jos de Mey, Sandro del Pre, Ostvan Oros. Kazi za hawa, pamoja na wasanii wengine, zinatofautishwa katika mwelekeo tofauti sanaa za kuona - " imp-sanaa" .

Inaweza kuonekana kuwa takwimu zisizowezekana haziwezi kuwepo katika nafasi ya tatu-dimensional. Kuna njia fulani ambazo unaweza kuzaliana takwimu zisizowezekana katika ulimwengu wa kweli, ingawa zitaonekana kuwa haiwezekani kutoka kwa sehemu moja ya kutazama.

Takwimu maarufu zaidi zisizowezekana ni: pembetatu isiyowezekana, staircase isiyo na kipimo na trident isiyowezekana.

Makala kutoka kwa jarida la Sayansi na Maisha "Ukweli usiowezekana" pakua

Oscar Ruthersward(tahajia ya jina la kawaida katika fasihi ya lugha ya Kirusi; kwa usahihi zaidi Reuterswerd), ( 1 915 - 2002) ni msanii wa Uswidi aliyebobea katika kuonyesha takwimu zisizowezekana, yaani, zile zinazoweza kuonyeshwa, lakini haziwezi kuundwa. Moja ya takwimu zake alipokea maendeleo zaidi kama pembetatu ya Penrose.

Tangu 1964, profesa wa historia na nadharia ya sanaa katika Chuo Kikuu cha Lund.

Rutersvard aliathiriwa sana na masomo ya mhamiaji wa Kirusi, profesa katika Chuo cha Sanaa huko St. Petersburg, Mikhail Katz. Aliunda takwimu ya kwanza isiyowezekana, pembetatu isiyowezekana iliyofanywa kutoka kwa seti ya cubes, kwa ajali mwaka wa 1934. Kwa miaka mingi, baadaye alitoa takwimu zaidi ya 2,500 tofauti zisizowezekana. Zote zinafanywa kwa mtazamo sawa wa "Kijapani".

Mnamo 1980, serikali ya Uswidi ilitoa safu tatu mihuri ya posta na picha za msanii.

Utangulizi………………………………………………………………………………..2.

Sehemu kuu. Takwimu zisizowezekana ………………………………………………4

2.1. Historia ndogo……………………………………………………….4

2.2. Aina za takwimu zisizowezekana ……………………………………………….6

2.3. Oscar Ruthersward - baba wa mtu asiyewezekana ………………………..11

2.4. Takwimu zisizowezekana zinawezekana!……………………………………..13

2.5. Utumiaji wa takwimu zisizowezekana………………………………………14

Hitimisho…………………………………………………………………………………..15

Bibliografia………………………………………………………………16

Utangulizi

Kwa muda sasa nimekuwa nikipendezwa na takwimu ambazo kwa mtazamo wa kwanza zinaonekana kuwa za kawaida, lakini ukichunguza kwa karibu unaweza kuona kuwa kuna kitu kibaya nao. Nia kuu kwangu ilikuwa takwimu zinazojulikana ambazo haziwezekani, nikiangalia ni nani anapata hisia kwamba haziwezi kuwepo katika ulimwengu wa kweli. Nilitaka kujua zaidi kuwahusu.

"Ulimwengu wa Takwimu Isiyowezekana" ni mojawapo ya mada ya kuvutia zaidi, ambayo ilipata maendeleo yake ya haraka tu mwanzoni mwa karne ya ishirini. Walakini, mapema sana, wanasayansi na wanafalsafa wengi walishughulikia suala hili. Hata maumbo rahisi ya volumetric kama mchemraba, piramidi, parallelepiped inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa takwimu kadhaa ziko katika umbali tofauti kutoka kwa jicho la mwangalizi. Daima kuwe na mstari ambao picha za sehemu za kibinafsi zimeunganishwa kuwa picha kamili.

"Kielelezo kisichowezekana ni kitu chenye pande tatu kilichotengenezwa kwa karatasi ambacho hakiwezi kuwepo kwa ukweli, lakini ambacho, hata hivyo, kinaweza kuonekana kama picha ya pande mbili." Hii ni moja ya aina udanganyifu wa macho, takwimu ambayo kwa mtazamo wa kwanza inaonekana kuwa makadirio ya kitu cha kawaida cha tatu-dimensional, juu ya uchunguzi wa makini ambao uhusiano unaopingana wa vipengele vya takwimu huonekana. Udanganyifu huundwa kwa kutowezekana kwa kuwepo kwa takwimu hiyo katika nafasi ya tatu-dimensional.

Nilikabiliwa na swali: "Je, takwimu zisizowezekana zipo katika ulimwengu wa kweli?"

Malengo ya mradi:

1. Tafuta nini cha kufanyaak imeundwaTakwimu zisizo za kweli zinaonekana.

2. Tafuta maombitakwimu zisizowezekana.

Malengo ya mradi:

1. Jifunze fasihi juu ya mada "Takwimu zisizowezekana."

2 .Fanya uainishajitakwimu zisizowezekana.

3.PFikiria njia za kuunda takwimu zisizowezekana.

4.Haiwezekani kuundasura mpya.

Mada ya kazi yangu inafaa kwa sababu kuelewa vitendawili ni mojawapo ya ishara za aina hiyo uwezo wa ubunifu, ambayo inamilikiwa na wanahisabati bora, wanasayansi na wasanii. Kazi nyingi na vitu visivyo halisi zinaweza kuainishwa kama "za kiakili" michezo ya hisabati" Iga ulimwengu unaofanana Inawezekana tu kwa msaada wa fomula za hesabu; mtu hana uwezo wa kufikiria. Na takwimu zisizowezekana ni muhimu kwa maendeleo ya mawazo ya anga. Mtu bila kuchoka kiakili huunda karibu naye kitu ambacho kitakuwa rahisi na kinachoeleweka kwake. Hawezi hata kufikiria kwamba baadhi ya vitu vinavyomzunguka vinaweza kuwa “haviwezekani.” Kwa kweli, dunia ni moja, lakini inaweza kutazamwa kutoka pembe tofauti.

Haiwezekanitakwimu mpya

Historia kidogo

Takwimu zisizowezekana mara nyingi hupatikana katika michoro za kale, uchoraji na icons - katika baadhi ya matukio tuna makosa ya wazi katika uhamisho wa mtazamo, kwa wengine - na uharibifu wa makusudi kutokana na muundo wa kisanii.

Katika uchoraji wa zamani wa Kijapani na Kiajemi, vitu visivyowezekana ni sehemu muhimu ya mashariki mtindo wa kisanii, ambayo inatoa tu muhtasari wa jumla wa picha, maelezo ambayo mtazamaji "ana" kufikiria kwa kujitegemea, kwa mujibu wa mapendekezo yake. Hapa kuna shule mbele yetu. Kipaumbele chetu kinatolewa kwa muundo wa usanifu kwa nyuma, kutofautiana kwa kijiometri ambayo ni dhahiri. Inaweza kufasiriwa kama ukuta wa ndani wa chumba au ukuta wa nje wa jengo, lakini tafsiri hizi zote mbili sio sahihi, kwani tunashughulika na ndege ambayo ni ukuta wa nje na wa nje, ambayo ni, picha. inaonyesha kitu cha kawaida kisichowezekana.

Uchoraji na mtazamo uliopotoka unaweza kupatikana tayari mwanzoni mwa milenia ya kwanza. Katika miniature kutoka kwa kitabu cha Henry II, iliyoundwa kabla ya 1025 na kuhifadhiwa katika Bavaria maktaba ya serikali huko Munich, Madonna na Mtoto wamepakwa rangi. Uchoraji unaonyesha vault inayojumuisha nguzo tatu, na safu ya kati, kwa mujibu wa sheria za mtazamo, inapaswa kuwa iko mbele ya Madonna, lakini iko nyuma yake, ambayo inatoa uchoraji athari ya unreality.

Ainatakwimu zisizowezekana.

"Takwimu zisizowezekana" zimegawanywa katika vikundi 4. Kwa hivyo, ya kwanza:

Pembetatu ya kushangaza - tribar.

Takwimu hii labda ni kitu cha kwanza kisichowezekana kilichochapishwa kwa kuchapishwa. Ilionekana mnamo 1958. Waandishi wake, baba na mwana Lionell na Roger Penrose, mwanajenetiki na mwanahisabati mtawalia, walifafanua kitu hicho kama "muundo wa mstatili wa pande tatu." Pia iliitwa "tribar". Kwa mtazamo wa kwanza, upau unaonekana kuwa taswira tu ya pembetatu iliyo sawa. Lakini pande zinazoungana juu ya picha zinaonekana kuwa za kawaida. Wakati huo huo, kingo za kushoto na kulia chini pia zinaonekana perpendicular. Ikiwa unatazama kila undani tofauti, inaonekana kweli, lakini, kwa ujumla, takwimu hii haiwezi kuwepo. Haijaharibika, lakini vipengele sahihi viliunganishwa vibaya wakati wa kuchora.

Hapa kuna mifano zaidi ya takwimu zisizowezekana kulingana na tribar.

Ngazi zisizo na mwisho

Takwimu hii mara nyingi huitwa "Ngazi zisizo na mwisho", "ngazi za Milele" au "ngazi za Penrose" - baada ya muundaji wake. Pia inaitwa "njia ya kupanda na kushuka inayoendelea."

Nambari hii ilichapishwa kwa mara ya kwanza mnamo 1958. Staircase inaonekana mbele yetu, inaonekana inaongoza juu au chini, lakini wakati huo huo, mtu anayetembea kando yake hainuki au kuanguka. Baada ya kumaliza njia yake ya kuona, atajikuta mwanzoni mwa njia.

"Endless Staircase" ilitumiwa kwa mafanikio na msanii Maurits K. Escher, wakati huu katika lithograph yake "Ascent and Descend", iliyoundwa mwaka wa 1960.

Staircase na hatua nne au saba. Uumbaji wa takwimu hii na idadi kubwa ya hatua ungeweza kuongozwa na rundo la walalaji wa kawaida wa reli. Unapokaribia kupanda ngazi hii, utakabiliwa na chaguo: ikiwa ni kupanda ngazi nne au saba.

Waumbaji wa staircase hii walichukua faida ya mistari inayofanana ili kuunda vipande vya mwisho vya vitalu vilivyowekwa sawa; Baadhi ya vitalu vinaonekana kupindishwa ili kutoshea udanganyifu.

Uma wa nafasi.

Kundi linalofuata la takwimu kwa pamoja linaitwa "Space Fork". Kwa takwimu hii tunaingia kwenye msingi sana na kiini cha haiwezekani. Hii inaweza kuwa darasa kubwa zaidi la vitu visivyowezekana.

Kitu hiki kisichowezekana chenye meno matatu (au mawili?) kilijulikana sana na wahandisi na wapenda mafumbo mnamo 1964. Chapisho la kwanza lililotolewa kwa takwimu isiyo ya kawaida lilionekana mnamo Desemba 1964. Mwandishi aliiita "Brace inayojumuisha vipengele vitatu."

Kwa mtazamo wa vitendo, utaratibu huu wa ajabu wa trident au mabano hautumiki kabisa. Watu wengine huita tu "kosa la bahati mbaya." Mmoja wa wawakilishi wa tasnia ya anga alipendekeza kutumia mali zake katika ujenzi wa uma wa kubadilisha nafasi ya kati.

Masanduku yasiyowezekana

Kitu kingine kisichowezekana kilionekana mnamo 1966 huko Chicago kama matokeo ya majaribio ya asili ya mpiga picha Dk. Charles F. Cochran. Wapenzi wengi wa takwimu zisizowezekana wamejaribu "Sanduku la Crazy". Mwandishi hapo awali aliiita "Sanduku Huria" na akasema kwamba "iliundwa kutuma vitu visivyowezekana kwa idadi kubwa."

"Sanduku la wazimu" ni sura ya mchemraba iliyogeuka ndani. Mtangulizi wa haraka wa "Sanduku la Crazy" alikuwa "Sanduku lisilowezekana" (mwandishi Escher), na mtangulizi wake kwa upande wake alikuwa Necker Cube.

Sio kitu kisichowezekana, lakini ni kielelezo ambacho parameta ya kina inaweza kutambulika kwa njia isiyoeleweka.

Tunapoangalia mchemraba wa Necker, tunaona kwamba uso na dot iko mbele au nyuma, inaruka kutoka nafasi moja hadi nyingine.

Oscar Ruthersvard - baba wa takwimu isiyowezekana.

"Baba" wa takwimu zisizowezekana ni msanii wa Kiswidi Oscar Rutersvard. Msanii wa Uswidi Oscar Ruthersvard, mtaalam wa kuunda picha za takwimu zisizowezekana, alidai kwamba alikuwa na ufahamu duni wa hesabu, lakini, hata hivyo, aliinua sanaa yake hadi kiwango cha sayansi, na kuunda nadharia nzima ya kuunda takwimu zisizowezekana kulingana na idadi fulani ya hesabu. mifumo.

Aligawanya takwimu katika vikundi viwili kuu. Alimwita mmoja wao "takwimu za kweli zisizowezekana." Hizi ni picha mbili-dimensional za miili ya tatu-dimensional ambayo inaweza kuwa rangi na kivuli kwenye karatasi, lakini hawana kina monolithic na imara.

Aina nyingine ni takwimu mbaya zisizowezekana. Takwimu hizi haziwakilishi miili moja imara. Wao ni mchanganyiko wa mbili au zaidi takwimu. Haziwezi kupigwa rangi, wala mwanga na kivuli haziwezi kutumika kwao.

Kielelezo cha kweli kisichowezekana kina idadi fulani ya vipengele vinavyowezekana, wakati mtu mwenye shaka "hupoteza" idadi fulani ya vipengele ikiwa unafuata kwa macho yako.

Toleo moja la takwimu hizi zisizowezekana ni rahisi sana kufanya, na wengi wa wale ambao huchota kijiometri moja kwa moja

takwimu wakati wa kuzungumza kwenye simu, hii imefanywa zaidi ya mara moja. Unahitaji kuteka mistari mitano, sita au saba sambamba, kumaliza mistari hii kwa ncha tofauti kwa njia tofauti - na takwimu isiyowezekana iko tayari. Ikiwa, kwa mfano, unachora mistari mitano inayofanana, basi inaweza kuishia kama mihimili miwili upande mmoja na tatu kwa upande mwingine.

Katika takwimu tunaona chaguzi tatu kwa takwimu dubious haiwezekani. Kwa upande wa kushoto ni muundo wa boriti tatu-saba, iliyojengwa kutoka kwa mistari saba, ambayo mihimili mitatu hugeuka kuwa saba. Takwimu katikati, iliyojengwa kutoka kwa mistari mitatu, ambayo boriti moja inageuka kuwa mihimili miwili ya pande zote. Kielelezo cha kulia, kilichojengwa kutoka kwa mistari minne, ambayo mihimili miwili ya pande zote hugeuka kuwa mihimili miwili

Wakati wa maisha yake, Ruthersvard alichora takriban takwimu 2,500. Vitabu vya Ruthersvard vimechapishwa katika lugha nyingi, kutia ndani Kirusi.

Takwimu zisizowezekana zinawezekana!

Watu wengi wanaamini kwamba takwimu zisizowezekana haziwezekani na haziwezi kuundwa katika ulimwengu wa kweli. Lakini tunapaswa kukumbuka kwamba kuchora yoyote kwenye karatasi ni makadirio ya takwimu tatu-dimensional. Kwa hiyo, takwimu yoyote inayotolewa kwenye kipande cha karatasi lazima iwepo katika nafasi ya tatu-dimensional. Vitu visivyowezekana katika uchoraji ni makadirio ya vitu vyenye sura tatu, ambayo inamaanisha kuwa vitu vinaweza kupatikana kwa fomu. nyimbo za sanamu. Kuna njia nyingi za kuunda yao. Mojawapo ni matumizi ya mistari iliyopinda kama pande za pembetatu isiyowezekana. Sanamu iliyoundwa inaonekana haiwezekani tu kutoka pointi moja. Kuanzia wakati huu, pande zilizopindika zinaonekana sawa, na lengo litafikiwa - kitu halisi "kisichowezekana" kitaundwa.

Msanii wa Kirusi Anatoly Konenko, wa kisasa wetu, aligawanya takwimu zisizowezekana katika madarasa 2: baadhi yanaweza kuigwa katika hali halisi, wakati wengine hawawezi. Mifano ya takwimu zisizowezekana huitwa mifano ya Ames.

Nilitengeneza mfano wa Ames wa sanduku langu lisilowezekana. Nilichukua cubes arobaini na mbili na kuziunganisha pamoja ili kuunda mchemraba na sehemu ya ukingo haipo. Ninaona kwamba ili kuunda udanganyifu kamili, angle sahihi ya mtazamo na taa sahihi ni muhimu.

Nilisoma takwimu zisizowezekana kwa kutumia nadharia ya Euler na nikafikia hitimisho lifuatalo: Nadharia ya Euler, ambayo ni kweli kwa polihedron yoyote ya convex, ni ya uongo kwa takwimu zisizowezekana, lakini ni kweli kwa mifano yao ya Ames.

Ninaunda takwimu zangu zisizowezekana kwa kutumia ushauri wa O. Ruthersward. Nilichora mistari saba sambamba kwenye karatasi. Niliwaunganisha kutoka chini na mstari uliovunjika, na kutoka juu niliwapa sura ya parallelepipeds. Iangalie kwanza kutoka juu kisha kutoka chini. Unaweza kuja na idadi isiyo na kikomo ya takwimu kama hizo. Tazama Kiambatisho.

Utumiaji wa takwimu zisizowezekana

Takwimu zisizowezekana wakati mwingine hupata matumizi yasiyotarajiwa. Oscar Ruthersvard anazungumza katika kitabu chake "Omojliga figurer" kuhusu matumizi ya michoro ya sanaa ya imp kwa matibabu ya kisaikolojia. Anaandika kwamba picha za uchoraji, pamoja na vitendawili vyake, huamsha mshangao, kuzingatia umakini na hamu ya kufafanua. Mwanasaikolojia Roger Shepard alitumia wazo la trident kwa uchoraji wake wa tembo asiyewezekana.

Katika Uswidi, hutumiwa katika mazoezi ya meno: kwa kuangalia picha katika chumba cha kusubiri, wagonjwa wanapotoshwa na mawazo yasiyofaa mbele ya ofisi ya daktari wa meno.

Takwimu zisizowezekana ziliwahimiza wasanii kuunda harakati mpya kabisa katika uchoraji inayoitwa kutowezekana. Msanii wa Uholanzi Escher anachukuliwa kuwa asiyewezekana. Yeye ndiye mwandishi wa maandishi maarufu "Maporomoko ya Maji", "Kupanda na Kushuka" na "Belvedere". Msanii alitumia athari ya "staircase isiyo na mwisho" iliyogunduliwa na Rootesward.

Nje ya nchi, kwenye mitaa ya jiji, tunaweza kuona mifano ya usanifu wa takwimu zisizowezekana.

Matumizi maarufu zaidi ya takwimu zisizowezekana ni ndani utamaduni maarufu - nembo ya wasiwasi wa gari "Renault"

Wanahisabati wanadai kuwa majumba ambayo unaweza kwenda chini kwa ngazi zinazoelekea juu yanaweza kuwepo. Ili kufanya hivyo, unahitaji tu kujenga muundo kama huo sio kwa pande tatu, lakini, sema, katika nafasi ya nne-dimensional. Na katika ulimwengu wa kweli, ambayo teknolojia ya kisasa ya kompyuta inatufunulia, na sivyo unaweza kufanya. Hivi ndivyo mawazo ya mtu ambaye, mwanzoni mwa karne, aliamini kuwepo kwa ulimwengu usiowezekana yanafikiwa leo.

Hitimisho.

Takwimu zisizowezekana zinalazimisha akili zetu kwanza kuona kile ambacho haipaswi kuwa, kisha utafute jibu - ni nini kilifanywa vibaya, ni nini kiini cha siri cha kitendawili. Na wakati mwingine sio rahisi sana kupata jibu - limefichwa katika mtazamo wa macho, kisaikolojia na kimantiki wa michoro.

Maendeleo ya sayansi, hitaji la kufikiria kwa njia mpya, utaftaji wa uzuri - mahitaji haya yote maisha ya kisasa Wanatulazimisha kutafuta mbinu mpya zinazoweza kubadilisha fikra na mawazo ya anga.

Baada ya kusoma fasihi juu ya mada hiyo, niliweza kujibu swali "Je, kuna takwimu zisizowezekana katika ulimwengu wa kweli?" Niligundua kuwa haiwezekani inawezekana na takwimu zisizo za kweli zinaweza kufanywa kwa mikono yako mwenyewe. Niliunda kielelezo cha Ames cha "Impossible Cube" na nikajaribu nadharia ya Euler juu yake. Baada ya kuangalia njia za kujenga takwimu zisizowezekana, niliweza kuteka takwimu zangu zisizowezekana. Niliweza kuonyesha hivyo

Hitimisho1: Takwimu zote zisizowezekana zinaweza kuwepo katika ulimwengu wa kweli.

Hitimisho2: Nadharia ya Euler, kweli kwa polihedron yoyote mbonyeo, ni ya uongo kwa takwimu zisizowezekana, lakini ni kweli kwa mifano yao ya Ames.

Hitimisho 3: Kutakuwa na maeneo mengi zaidi ambayo takwimu zisizowezekana zitatumika.

Kwa hivyo, tunaweza kusema kwamba ulimwengu wa takwimu zisizowezekana ni za kuvutia sana na tofauti. Utafiti wa takwimu haiwezekani ina kabisa muhimu kutoka kwa mtazamo wa jiometri. Kazi hii inaweza kutumika katika madarasa ya hisabati kukuza mawazo ya anga ya wanafunzi. Kwa watu wa ubunifu Wale ambao wanakabiliwa na uvumbuzi, takwimu zisizowezekana ni aina ya lever ya kuunda kitu kipya na kisicho kawaida.

Bibliografia

Levitin Karl Kijiometri Rhapsody. – M.: Maarifa, 1984, -176 p.

Penrose L., Penrose R. Vitu visivyowezekana, Quantum, No. 5, 1971, p. 26

Reutersvard O. Takwimu zisizowezekana. – M.: Stroyizdat, 1990, 206 p.

Tkacheva M.V. Cube zinazozunguka. - M.: Bustard, 2002. - 168 p.

Takwimu zisizowezekana ni takwimu zilizoonyeshwa kwa mtazamo kwa namna ya kuonekana kwa mtazamo wa kwanza kuwa takwimu ya kawaida. Hata hivyo, juu ya uchunguzi wa karibu, mtazamaji anatambua kwamba takwimu hiyo haiwezi kuwepo katika nafasi ya tatu-dimensional. Escher alionyesha takwimu zisizowezekana katika picha zake maarufu za Belvedere (1958), Kupanda na Kushuka (1960) na Maporomoko ya Maji (1961). Mfano mmoja wa takwimu isiyowezekana ni mchoro wa msanii wa kisasa wa Hungaria István Orosz.

Istvan Oros "Njia za Njia" (1999). Uzazi wa engraving ya chuma. Mchoro unaonyesha madaraja ambayo hayawezi kuwepo katika nafasi ya tatu-dimensional. Kwa mfano, kuna tafakari katika maji ambayo haiwezi kuwa madaraja ya awali.

ukanda wa Mobius

Ukanda wa Möbius ni kitu chenye pande tatu ambacho kina upande mmoja tu. Aina hii ya tepi inaweza kufanywa kwa urahisi kutoka kwa kipande cha karatasi kwa kupotosha mwisho mmoja wa ukanda na kisha kuunganisha ncha zote mbili pamoja. Escher alionyesha ukanda wa Möbius katika Riders (1946), Ukanda wa Möbius II (Mchwa Mwekundu) (1963) na Knots (1965).

"Mafundo" - Maurits Cornelis Escher 1965

Baadaye, nyuso za chini za nishati zikawa msukumo kwa wasanii wengi wa hisabati. Brent Collins, hutumia vipande vya Möbius na nyuso za kiwango cha chini cha nishati, na vile vile aina zingine za michoro kwenye sanamu.

Mitazamo iliyopotoka na isiyo ya kawaida

Mifumo isiyo ya kawaida ya mtazamo iliyo na alama mbili au tatu za kutoweka pia ni mada inayopendwa na wasanii wengi. Hizi pia ni pamoja na uwanja unaohusiana - sanaa ya anamorphic. Escher alitumia mtazamo potofu katika kazi zake kadhaa, Juu na Chini (1947), Nyumba ya Ngazi (1951), na Matunzio ya Picha (1956). Dick Termes hutumia mtazamo wa pointi sita kuchora matukio kwenye tufe na polihedra, kama inavyoonyeshwa katika mfano hapa chini.

Masharti ya Dick "Cage kwa Mtu" (1978). Hii ni nyanja iliyochorwa ambayo iliundwa kwa kutumia mtazamo wa nukta sita. Inaonyesha muundo wa kijiometri kwa namna ya gridi ya taifa, kwa njia ambayo mazingira yanaonekana. Matawi matatu hupenya ndani ya ngome, na reptilia hutambaa kando yake. Wakati wengine wanachunguza ulimwengu, wengine wanajikuta wamefungiwa.

Neno anamorphic limeundwa kutoka kwa maneno mawili ya Kigiriki "ana" (tena) na morthe (umbo). Picha za anamorphic ni picha ambazo zimepotoshwa sana kwamba haiwezekani kuzifanya bila kioo maalum. Kioo hiki wakati mwingine huitwa anamorphoscope. Ikiwa unatazama kupitia anamorphoscope, picha "inaunda tena" kwenye picha inayotambulika. Wasanii wa Uropa wa Renaissance ya mapema walivutiwa na picha za kuchora za anamorphic, ambapo picha iliyoinuliwa ikawa ya kawaida tena ilipotazamwa kwa pembe. Mfano maarufu ni uchoraji wa Hans Holbein "The Ambassadors" (1533), ambao unaonyesha fuvu refu. Mchoro unaweza kuinamishwa juu ya ngazi ili watu wanaopanda ngazi watashtushwa na picha ya fuvu. Picha za anamorphic, ambazo zinahitaji vioo vya silinda kutazamwa, zilikuwa maarufu huko Uropa na Mashariki Karne za XVII-XVIII. Mara nyingi picha kama hizo zilibeba ujumbe wa maandamano ya kisiasa au zilikuwa na maudhui ya kuchukiza. Escher hakutumia vioo vya kawaida vya anamorphic katika kazi yake, hata hivyo, alitumia vioo vya spherical katika baadhi ya picha zake za uchoraji. Kazi yake maarufu katika mtindo huu ni "Mkono na Nyanja ya Kuakisi" (1935). Mfano hapa chini unaonyesha taswira ya asili ya anamorphic na Istvan Orosz.

Istvan Oros "Kisima" (1998). Uchoraji "Naam" ulichapishwa kutoka kwa kuchora chuma. Kazi hiyo iliundwa kwa miaka mia moja ya kuzaliwa kwa M.K. Escher. Escher aliandika juu ya safari za sanaa ya hisabati kuwa kama kutembea kwenye bustani nzuri ambayo hakuna kitu kinachorudiwa. Lango upande wa kushoto wa picha hutenganisha bustani ya hisabati ya Escher, iliyoko kwenye ubongo, kutoka kwa ulimwengu wa kimwili. Kioo kilichovunjika upande wa kulia wa mchoro kinaonyesha mtazamo wa mji mdogo wa Atrani kwenye Pwani ya Amalfi nchini Italia. Escher alipenda mahali hapo na aliishi huko kwa muda. Alionyesha jiji hili katika picha ya pili na ya tatu kutoka kwa safu ya Metamorphoses. Ikiwa utaweka kioo cha silinda mahali pa kisima, kama inavyoonyeshwa upande wa kulia, uso wa Escher utaonekana ndani yake, kana kwamba kwa uchawi.

Watu wengi wanaamini kwamba takwimu zisizowezekana haziwezekani na haziwezi kuundwa katika ulimwengu wa kweli. Hata hivyo, tunajua kutoka kwa kozi ya jiometri ya shule kwamba mchoro unaoonyeshwa kwenye karatasi ni makadirio ya takwimu ya tatu-dimensional kwenye ndege. Kwa hiyo, takwimu yoyote inayotolewa kwenye kipande cha karatasi lazima iwepo katika nafasi ya tatu-dimensional. Zaidi ya hayo, vitu vya tatu-dimensional, vinapoonyeshwa kwenye ndege, hutoa takwimu ya gorofa ya seti isiyo na kipimo. Vile vile hutumika kwa takwimu zisizowezekana.

Bila shaka, hakuna takwimu zisizowezekana zinaweza kuundwa kwa kutenda kwa mstari wa moja kwa moja. Kwa mfano, ikiwa unachukua vipande vitatu vya mbao vinavyofanana, huwezi kuchanganya ili kuunda pembetatu isiyowezekana. Walakini, wakati wa kuweka takwimu ya pande tatu kwenye ndege, mistari mingine inaweza kuwa isiyoonekana, kuingiliana, kuungana, nk. Kulingana na hili, tunaweza kuchukua baa tatu tofauti na kufanya pembetatu iliyoonyeshwa kwenye picha hapa chini (Mchoro 1). Picha hii iliundwa na mtangazaji maarufu wa kazi za M.K. Escher, mwandishi kiasi kikubwa vitabu vya Bruno Ernst. Washa mbele Katika picha tunaona takwimu ya pembetatu isiyowezekana. Kuna kioo nyuma, ambacho kinaonyesha takwimu sawa kutoka kwa mtazamo tofauti. Na tunaona kwamba kwa kweli takwimu ya pembetatu isiyowezekana sio kufungwa, lakini takwimu iliyo wazi. Na tu kutoka kwa hatua ambayo tunaona takwimu inaonekana kwamba bar ya wima ya takwimu inakwenda zaidi ya bar ya usawa, kwa sababu ambayo takwimu inaonekana haiwezekani. Ikiwa tulibadilisha angle ya kutazama kidogo, tutaona mara moja pengo katika takwimu, na itapoteza athari yake ya kutowezekana. Ukweli kwamba takwimu isiyowezekana inaonekana haiwezekani kutoka kwa mtazamo mmoja tu ni tabia ya takwimu zote zisizowezekana.

Mchele. 1. Picha ya pembetatu isiyowezekana na Bruno Ernst.

Kama ilivyoelezwa hapo juu, idadi ya takwimu zinazolingana na makadirio fulani haina kikomo, kwa hivyo mfano hapo juu sio njia pekee kujenga pembetatu isiyowezekana kwa ukweli. Msanii wa Ubelgiji Mathieu Hamaekers aliunda sanamu iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 2. Picha iliyo upande wa kushoto inaonyesha mtazamo wa mbele wa takwimu, na kuifanya ionekane kama pembetatu isiyowezekana, picha ya katikati inaonyesha takwimu sawa iliyozunguka 45 °, na picha ya kulia inaonyesha takwimu iliyozunguka 90 °.

Mchele. 2. Picha ya takwimu ya pembetatu isiyowezekana na Mathieu Hemakerz.

Kama unaweza kuona, katika takwimu hii hakuna mistari iliyonyooka, vitu vyote vya takwimu vimepindika kwa njia fulani. Walakini, kama ilivyo katika kesi iliyopita, athari ya kutowezekana inaonekana tu kwa pembe moja ya kutazama, wakati mistari yote iliyopindika inakadiriwa kuwa mistari iliyonyooka, na, ikiwa hauzingatii vivuli kadhaa, takwimu inaonekana haiwezekani.

Njia nyingine ya kuunda pembetatu isiyowezekana ilipendekezwa na msanii wa Kirusi na mtengenezaji Vyacheslav Koleichuk na kuchapishwa katika jarida la "Technical Aesthetics" No. 9 (1974). Kingo zote za muundo huu ni mistari iliyonyooka, na kingo zimepindika, ingawa curvature hii haionekani katika mtazamo wa mbele wa takwimu. Aliunda mfano kama huo wa pembetatu kutoka kwa kuni.

Mchele. 3. Mfano wa pembetatu isiyowezekana na Vyacheslav Koleichuk.

Mtindo huu baadaye uliundwa upya na Gershon Elber, mwanachama wa Idara ya Sayansi ya Kompyuta katika Taasisi ya Technion nchini Israel. Toleo lake (tazama Mchoro 4) liliundwa kwanza kwenye kompyuta na kisha kuundwa upya katika hali halisi kwa kutumia printer tatu-dimensional. Ikiwa tutabadilisha kidogo pembe ya kutazama ya pembetatu isiyowezekana, tutaona takwimu inayofanana na picha ya pili kwenye Mtini. 4.

Mchele. 4. Lahaja ya kuunda pembetatu isiyowezekana na Elber Gershon.

Inafaa kumbuka kwamba ikiwa sasa tungekuwa tunaangalia takwimu wenyewe, na sio kwenye picha zao, tungeona mara moja kwamba hakuna takwimu zilizowasilishwa haziwezekani, na ni siri gani ya kila mmoja wao. Hatungeweza kuona takwimu hizi kwa sababu tuna maono ya kistaarabu. Hiyo ni, macho yetu, iko umbali fulani kutoka kwa kila mmoja, huona kitu sawa kutoka kwa karibu, lakini bado ni tofauti, maoni, na ubongo wetu, baada ya kupokea picha mbili kutoka kwa macho yetu, unachanganya kuwa picha moja. Ilisemekana hapo awali kuwa kitu kisichowezekana kinaonekana kuwa haiwezekani tu kutoka kwa mtazamo mmoja, na kwa kuwa tunaona kitu kutoka kwa maoni mawili, tunaona mara moja hila kwa msaada ambao hii au kitu hicho kiliundwa.

Je, hii ina maana kwamba kwa kweli bado haiwezekani kuona kitu kisichowezekana? Hapana, unaweza. Ikiwa unafunga jicho moja na kuangalia takwimu, itaonekana kuwa haiwezekani. Kwa hiyo, katika makumbusho, wakati wa kuonyesha takwimu zisizowezekana, wageni wanalazimika kuwaangalia kupitia shimo ndogo kwenye ukuta kwa jicho moja.

Kuna njia nyingine ambayo unaweza kuona takwimu isiyowezekana, kwa macho yote mawili mara moja. Inajumuisha zifuatazo: ni muhimu kuunda takwimu kubwa na urefu wa jengo la ghorofa nyingi, weka kwenye nafasi pana na uitazame kwa umbali mrefu sana. Katika kesi hii, hata ukiangalia takwimu kwa macho yote mawili, utaona kuwa haiwezekani kwa sababu ya ukweli kwamba macho yako yote yatapata picha ambazo hazitofautiani na kila mmoja. Takwimu kama hiyo isiyowezekana iliundwa katika jiji la Australia la Perth.

Ingawa pembetatu isiyowezekana ni rahisi kuunda katika ulimwengu wa kweli, kuunda trident isiyowezekana katika nafasi ya pande tatu sio rahisi sana. Upekee wa takwimu hii ni uwepo wa mgongano kati ya uso wa mbele na wa nyuma wa takwimu, wakati vipengele vya mtu binafsi vya takwimu vinachanganya vizuri kwenye historia ambayo takwimu iko.

Mchele. 5. Kubuni ni sawa na trident isiyowezekana.

Taasisi ya Ocular Optics huko Aachen (Ujerumani) iliweza kutatua tatizo hili kwa kuunda ufungaji maalum. Kubuni ina sehemu mbili. Mbele kuna nguzo tatu za pande zote na wajenzi. Sehemu hii inaangazwa tu chini. Nyuma ya nguzo kuna kioo kinachoweza kupenyeza nusu na safu ya kutafakari iko mbele, yaani, mtazamaji haoni kilicho nyuma ya kioo, lakini huona tu kutafakari kwa nguzo ndani yake.

Mchele. 6. Mchoro wa usakinishaji unaozalisha tena trident isiyowezekana.