mkakati wa mchezo wa nadharia mchanganyiko

Mikakati mchanganyiko

Ikiwa katika mchezo wa matrix hakuna hatua ya tandiko katika mikakati safi, basi bei ya juu na ya chini ya mchezo hupatikana. Zinaonyesha kuwa mchezaji 1 hatapokea ushindi unaozidi bei ya juu ya mchezo na kwamba mchezaji 1 ana uhakika wa ushindi ambao si chini ya bei ya chini ya mchezo.

Mbinu mchanganyiko ya mchezaji ni seti kamili ya mikakati yake safi yenye marudio mengi ya mchezo chini ya masharti sawa na uwezekano fulani. Wacha tufanye muhtasari wa kile ambacho kimesemwa na kuorodhesha masharti ya matumizi. mikakati mchanganyiko:

• * Cheza bila sehemu ya tandiko;
• * wachezaji hutumia mchanganyiko wa nasibu wa mikakati safi na uwezekano fulani;
• * mchezo unarudiwa mara nyingi katika hali sawa;
• * katika kila hatua, hakuna mchezaji anayefahamishwa kuhusu uchaguzi wa mkakati na mchezaji mwingine;
• * wastani wa matokeo ya mchezo unaruhusiwa.

Dokezo lifuatalo la mikakati mchanganyiko hutumiwa.

Kwa mchezaji 1, mkakati mchanganyiko unaojumuisha utumiaji wa mikakati safi A 1, A 2, ..., A m yenye uwezekano unaolingana p 1, p 2, ..., p m.

Kwa mchezaji 2

q j ni uwezekano wa kutumia mkakati safi B j.

Katika kesi wakati р i = 1, kwa mchezaji 1 tuna mkakati safi

Mikakati safi ya mchezaji ndiyo matukio pekee yanayoweza kutofautiana. Katika mchezo wa tumbo, kujua matrix A (inatumika kwa mchezaji 1 na mchezaji 2), inaweza kuamuliwa kwa vekta zilizopewa na wastani wa malipo ( thamani inayotarajiwa athari) ya mchezaji 1:

wapi na ni vekta;

p i na q i ni vipengele vya vekta.

Kwa kutumia mikakati yake iliyochanganywa, mchezaji 1 anatafuta kuongeza wastani wa malipo yake, na mchezaji 2 - kuleta athari hii kwa thamani ya chini iwezekanavyo. Mchezaji 1 anatafuta kufikia

Mchezaji 2 anahakikisha kuwa hali hiyo imefikiwa

Hebu pia tuonyeshe vectors sambamba na mikakati bora ya mchanganyiko wa wachezaji 1 na 2, i.e. vekta vile na ambayo usawa

Bei ya mchezo ni wastani wa malipo ya mchezaji 1 wakati wachezaji wote wawili wanatumia mbinu mchanganyiko. Kwa hivyo, suluhisho la mchezo wa matrix ni:

• - mkakati mzuri wa mchanganyiko wa mchezaji 1;
• - mkakati mzuri wa mchanganyiko wa mchezaji 2;

Bei ya mchezo.

Mikakati iliyochanganywa itakuwa bora (na) ikiwa itaunda sehemu ya tandiko kwa kazi i.e.

Kuna nadharia ya msingi ya michezo ya hisabati.

Kwa mchezo wa tumbo na matrix yoyote A, idadi

kuwepo na ni sawa kwa kila mmoja: = =.

Ikumbukwe kwamba wakati wa kuchagua mikakati bora, mchezaji 1 atahakikishiwa malipo ya wastani kila wakati, sio chini ya bei ya mchezo, kwa mkakati wowote uliowekwa wa mchezaji 2 (na, kinyume chake, kwa mchezaji 2). Mikakati amilifu ya wachezaji 1 na 2 ni mikakati ambayo ni sehemu ya mikakati mseto mwafaka ya wachezaji husika walio na uwezekano usio na kipimo. Hii ina maana kwamba utunzi wa mikakati bora iliyochanganywa ya wachezaji inaweza isijumuishe mikakati yao yote ya kipaumbele iliyobainishwa.

Kusuluhisha mchezo kunamaanisha kupata bei ya mchezo na mikakati mwafaka. Tunaanza uzingatiaji wetu wa mbinu za kutafuta mbinu mchanganyiko bora za michezo ya matrix na mchezo rahisi zaidi ilivyoelezwa na matrix 22. Michezo ya sehemu ya tandiko haitazingatiwa haswa. Ikiwa hatua ya saddle inapatikana, basi hii ina maana kwamba kuna mikakati isiyo na faida ambayo inapaswa kuachwa. Kwa kukosekana kwa sehemu ya tandiko, mikakati miwili iliyochanganywa inaweza kupatikana. Kama ilivyoonyeshwa, mikakati hii mchanganyiko imeandikwa kama hii:

Kwa hivyo, kuna matrix ya malipo

a 11 p 1 + a 21 p 2 =; (1.16)

a 12 p 1 + a 22 p 2 =; (1.17)

p 1 + p 2 = 1. (1.18)

a 11 p 1 + a 21 (1 - p 1) = a 12 p 1 + a 22 (1 - p 1); (1.19)

a 11 p 1 + a 21 - a 21 p 1 = a 12 p 1 + a 22 - a 22 p 1, (1.20)

tunapata wapi maadili bora na:

Kujua na, tunapata:

Baada ya kuhesabu, tunapata na:

a 11 q 1 + a 12 q 2 =; q 1 + q 2 = 1; (1.24)

a 11 q 1 + a 12 (1 - q 1) =. (1.25)

kwa 11 kwa 12. (1.26)

Tatizo linatatuliwa, kwani vectors na bei ya mchezo hupatikana. Kuwa na matrix ya malipo A, inawezekana kutatua tatizo kwa picha. Kwa njia hii, algorithm ya suluhisho ni rahisi sana (Mchoro 2.1).

• 1. Sehemu ya urefu wa kitengo imepangwa pamoja na mhimili wa abscissa.
• 2. Kuratibu ni ushindi wa mkakati A1.
• 3. Kwenye mstari sambamba na mhimili wa kuratibu, katika hatua ya 1, ushindi huwekwa pamoja na mkakati wa 2.
• 4. Mwisho wa makundi huteuliwa kwa 11 -b 11, 12 -b 21, 22 -b 22, 21 -b 12 na mistari miwili ya moja kwa moja b 11 b 12 na b 21 b 22 hutolewa.
• 5. Mpangilio wa hatua ya makutano na imedhamiriwa. Ni sawa. Abscissa ya uhakika c ni sawa na p 2 (p 1 = 1 - p 2).

Mchele. 1.1.

Njia hii ina eneo pana la matumizi. Hii inatokana na mali ya pamoja michezo mn, ambayo inajumuisha ukweli kwamba katika mchezo wowote mn kila mchezaji ana mkakati mseto mojawapo ambapo idadi ya mikakati safi haizidi dakika (m, n). Kutoka kwa kipengele hiki, mtu anaweza kupata matokeo yanayojulikana: katika mchezo wowote wa 2n na m2, kila mkakati bora una angalau mikakati miwili inayotumika. Kwa hiyo, mchezo wowote wa 2n na m2 unaweza kupunguzwa hadi mchezo wa 22. Kwa hiyo, michezo 2n na m2 inaweza kutatuliwa kwa graphically. Ikiwa matriki ya mchezo wenye kikomo ina mwelekeo wa mn, ambapo m> 2 na n> 2, basi upangaji wa mstari unatumiwa kubainisha mikakati bora zaidi iliyochanganywa.

5. NADHARIA YA MICHEZO NA SULUHU ZA TAKWIMU

5.1. Mchezo wa matrix ya sifuri-jumla

Mfano wa kiuchumi na hisabati unafanywa katika hali zifuatazo:

Hakika;

Kutokuwa na uhakika.

Kuiga katika suala la uhakika inachukua upatikanaji wa data zote muhimu za awali za kawaida (muundo wa matrix, upangaji wa mtandao na usimamizi).

Kuiga hatarini inafanywa na kutokuwa na uhakika wa stochastic, wakati maadili ya baadhi ya data ya awali ni ya nasibu na sheria za usambazaji wa uwezekano wa vigezo hivi vya random zinajulikana (uchambuzi wa urejeshaji, nadharia ya foleni).

Kuiga mbele ya kutokuwa na uhakika inalingana na kutokuwepo kabisa data muhimu kwa hii (nadharia ya mchezo).

Mifano ya hisabati ya kufanya maamuzi bora katika hali za migogoro hujengwa katika hali ya kutokuwa na uhakika.

Katika nadharia ya mchezo, dhana zifuatazo za kimsingi hutumiwa:

Mkakati;

Kazi ya kushinda.

Kwa kozi tutaita uchaguzi na utekelezaji na mchezaji wa moja ya vitendo vinavyotolewa na sheria za mchezo.

Mkakati ni teknolojia ya kuchagua hatua kwa kila hatua, kulingana na hali ya sasa.

Kushinda kazi hutumika kuamua kiasi cha malipo ya mchezaji aliyepoteza kwa aliyeshinda.

Katika mchezo wa matrix, kazi ya malipo inawakilishwa kama matrix ya malipo :

iko wapi kiasi cha malipo kwa mchezaji I, ambaye alichagua kuhama, kutoka kwa mchezaji II, aliyechagua kuhama.

Katika mchezo wa jozi kama hiyo, maadili ya kazi za malipo ya wachezaji wote wawili katika kila hali ni sawa kwa ukubwa na kinyume kwa ishara, i.e. na mchezo huu unaitwa jumla ya sifuri .

Mchakato wa "kucheza mchezo wa matrix" unawakilishwa kama ifuatavyo:

Matrix ya malipo imewekwa;

Mchezaji I, kwa kujitegemea na mchezaji II, anachagua moja ya safu za matrix hii, kwa mfano, th;

Mchezaji II, bila kujali mchezaji mimi, anachagua moja ya nguzo za matrix hii, kwa mfano, - th;

Kipengele cha matrix huamua ni kiasi gani cha mchezaji nitapokea kutoka kwa mchezaji II. Bila shaka, kama, basi inakuja kuhusu hasara halisi ya mchezaji I.

Mchezo wa jozi pinzani wenye matrix ya malipo utaitwa mchezo.

Mfano

Fikiria mchezo.

Matrix ya malipo imewekwa:

.

Ruhusu mchezaji I, bila ya mchezaji II, achague safu mlalo ya 3 ya matrix hii, na mchezaji II, bila mchezaji wa I, achague safu wima ya 2 ya tumbo hili:

Kisha mchezaji nitapokea vitengo 9 kutoka kwa mchezaji II.

5.2. Mbinu safi kabisa katika mchezo wa matrix

Mkakati bora ni mkakati wa mchezaji I ili asipunguze faida yake kwa chaguo lolote la mkakati wa mchezaji II, na mkakati wa mchezaji wa II ili asiongeze hasara yake kwa chaguo lolote la mkakati wa mchezaji I.

Akichagua safu mlalo ya mfululizo wa malipo kuwa hatua yake, mchezaji I anajihakikishia malipo ya angalau thamani katika hali mbaya zaidi, mchezaji wa II anapojaribu kupunguza thamani hii. Kwa hivyo, mchezaji nitachagua safu kama hiyo ambayo itampatia ushindi wa juu:

.

Mchezaji II anabishana kwa njia sawa na anaweza kupata hasara ndogo:

.

Kukosekana kwa usawa ni kweli kila wakati:

Kiasi kinaitwa bei ya chini michezo .

Kiasi kinaitwa bei ya juu ya mchezo .

Mikakati bora inaitwa safi ikiwa wanakidhi usawa:

,

.

Kiasi kinaitwa bei safi ya mchezo , kama .

Mikakati na fomu safi mojawapo sehemu ya tandiko matrix ya malipo.

Kwa sehemu ya kitanda, masharti yafuatayo yanafikiwa:

yaani, kipengele ni ndogo zaidi katika safu na kubwa zaidi katika safu.

Kwa hivyo, ikiwa matrix ya malipo ina sehemu ya tandiko basi unaweza kupata mikakati safi kabisa wachezaji.

Mbinu safi ya mchezaji Ninaweza kuwakilishwa na seti iliyopangwa ya nambari (vekta) ambamo nambari zote ni sawa na sifuri, isipokuwa nambari iliyo katika nafasi ya th, ambayo ni sawa na moja.

Mbinu safi ya mchezaji II inaweza kuwakilishwa na seti iliyopangwa ya nambari (vekta) ambamo nambari zote ni sawa na sifuri, isipokuwa nambari iliyo katika nafasi ya th, ambayo ni sawa na moja.

Mfano

.

Kwa kuchagua safu mlalo yoyote ya matrix ya malipo kama hatua yake, mchezaji I anajihakikishia malipo ya hali mbaya zaidi ya angalau thamani katika safu iliyoonyeshwa na:

Kwa hivyo, mchezaji Nitachagua safu mlalo ya 2 ya matrix ya malipo, ambayo humpa malipo ya juu bila kujali hoja ya mchezaji II, ambaye atajaribu kupunguza thamani hii:

Mchezaji II anafikiria vivyo hivyo na kuchagua safu ya 1 kama hoja yake:

Kwa hivyo, kuna sehemu ya tandiko la matrix ya malipo:

inayolingana na mkakati bora kabisa wa mchezaji I na wa mchezaji wa II, ambapo mchezaji mimi hapunguzi faida yake kwa mabadiliko yoyote ya mkakati wa mchezaji wa pili na mchezaji wa II hakuongezi hasara yake kwa mabadiliko yoyote ya mkakati na mchezaji I.

5.3. Mbinu mchanganyiko bora katika mchezo wa matrix

Ikiwa matrix ya malipo haina sehemu ya tandiko, basi ni ujinga kwa mchezaji yeyote kutumia mbinu moja safi. Ni faida zaidi kutumia "mchanganyiko unaowezekana" mikakati safi. Halafu, mikakati iliyochanganywa tayari imedhamiriwa kuwa bora.

Mkakati mchanganyiko ya mchezaji ina sifa ya usambazaji wa uwezekano wa tukio la nasibu linalojumuisha uchaguzi wa hoja na mchezaji huyu.

Mkakati mchanganyiko wa mchezaji I ni seti ya nambari zilizoamriwa (vekta) ambayo inakidhi masharti mawili:

1) kwa, i.e., uwezekano wa kuchagua kila safu ya matrix ya malipo sio hasi;

2), yaani, chaguo la kila safu mlalo ya mkusanyiko wa malipo katika jumla inawakilisha kundi kamili matukio.

Mbinu mchanganyiko ya Mchezaji II ni seti ya nambari zilizopangwa (vekta) kukidhi masharti:

Kiasi cha malipo kwa mchezaji I, ambaye amechagua mkakati mseto

kutoka kwa mchezaji II ambaye alichagua mkakati mchanganyiko

,

inawakilisha wastani

.

Mojawapo inayoitwa mikakati mchanganyiko

na ,

ikiwa kwa mikakati yoyote ya kiholela iliyochanganywa na hali imeridhika:

yaani, chini ya mkakati bora uliochanganywa, malipo ya mchezaji I ndiyo makubwa zaidi, na hasara ya mchezaji II ndiyo ndogo zaidi.

Ikiwa hakuna sehemu ya tandiko kwenye tumbo la malipo, basi

,

yaani, kuna tofauti chanya ( tofauti isiyotengwa )

- ³ 0,

na wachezaji wanahitaji kutafuta fursa za ziada ili kupata sehemu kubwa ya tofauti hii kwa niaba yao kwa ujasiri.

Mfano

Fikiria mchezo unaotolewa na matrix ya malipo:

.

Amua ikiwa kuna sehemu ya tandiko:

, .

Inabadilika kuwa hakuna sehemu ya tandiko kwenye matrix ya malipo na tofauti ambayo haijatengwa ni sawa na:

.

5.4. Kupata Mikakati Bora Mchanganyiko

kwa michezo 2 × 2

Uamuzi wa mikakati bora iliyochanganywa ya matrix ya malipo katika mwelekeo unafanywa na njia ya kupata alama bora za kazi ya vigeu viwili.

Wacha uwezekano wa mchezaji ninayechagua safu mlalo ya kwanza ya matrix ya malipo

ni sawa. Kisha uwezekano wa kuchagua safu ya pili ni.

Acha uwezekano wa mchezaji II kuchagua safu ya kwanza ni sawa na. Kisha uwezekano wa kuchagua safu ya pili ni.

Kiasi cha malipo kwa mchezaji I kwa mchezaji II ni sawa na:

Thamani iliyokithiri ya faida ya mchezaji I na kupoteza kwa mchezaji II inalingana na masharti:

;

.

Kwa hivyo, mikakati iliyochanganywa ya wachezaji I na II ni, mtawaliwa, sawa:

5.5. Suluhisho la kijiometri la michezo 2 ×n

Kwa kuongezeka kwa kipimo cha matrix ya malipo kutoka hadi, haiwezekani tena kupunguza uamuzi wa mikakati bora iliyochanganywa ili kupata utendakazi bora zaidi wa vigeu viwili. Hata hivyo, kutokana na kwamba mmoja wa wachezaji ana mikakati miwili tu, ufumbuzi wa kijiometri unaweza kutumika.

Hatua kuu za kupata suluhisho la mchezo ni kama ifuatavyo.

Hebu tuanzishe mfumo wa kuratibu kwenye ndege. Chora sehemu kwenye mhimili. Chora perpendiculars kutoka mwisho wa kushoto na kulia wa sehemu hii.

Miisho ya kushoto na kulia ya sehemu ya kitengo inalingana na mikakati miwili na inapatikana kwa mchezaji I. Kwenye perpendiculars zilizotolewa tutaahirisha ushindi wa mchezaji huyu. Kwa mfano, kwa matrix ya malipo

malipo hayo ya mchezaji mimi wakati wa kuchagua mkakati itakuwa na, na wakati wa kuchagua mkakati itakuwa na.

Hebu tuunganishe kwa sehemu za mstari wa moja kwa moja pointi za malipo za mchezaji I zinazolingana na mikakati ya mchezaji II. Kisha mstari uliovunjika ulioundwa, unaofunga grafu kutoka chini, unafafanua mpaka wa chini wa malipo ya mchezaji I.

Tafuta mkakati bora uliochanganywa wa mchezaji I

,

ambayo inalingana na hatua kwenye mpaka wa chini wa malipo ya mchezaji I aliye na kiwango cha juu cha kuratibu.

Kumbuka kuwa katika mfano unaozingatiwa, kwa kutumia mikakati miwili pekee na inayolingana na mistari iliyonyooka inayokatiza katika sehemu iliyopatikana kwenye mpaka wa chini wa malipo ya mchezaji wa I, mchezaji wa II anaweza kumzuia mchezaji wa I kupata malipo makubwa zaidi.

Kwa hivyo, mchezo umepunguzwa kuwa mchezo na mkakati bora mchanganyiko wa mchezaji II katika mfano unaozingatiwa utakuwa

,

ambapo uwezekano unapatikana kwa njia sawa na katika mchezo:

5.6. Suluhisho la mchezom× n

Ikiwa mchezo wa matrix hauna suluhu katika mikakati safi (yaani, hakuna sehemu ya tandiko) na, kwa sababu ya ukubwa mkubwa wa matrix ya malipo, hauwezi kutatuliwa kwa njia ya picha, kisha kupata suluhisho, tumia. njia ya programu ya mstari .

Acha matrix ya malipo ya kipimo itolewe:

.

Uwezekano lazima upatikane , ni mchezaji gani lazima nichague miondoko yake ili mkakati huu mseto umhakikishie malipo ya angalau ukubwa, bila kujali chaguo la miondoko ya mchezaji wa II.

Kwa kila hatua iliyochaguliwa na mchezaji II, malipo ya mchezaji wa I yanaamuliwa na vitegemezi:

Tunagawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa na kuanzisha nukuu mpya:

Usawa

Itachukua fomu:

Kwa kuwa mchezaji ninayetafuta kuongeza malipo, ni lazima ulinganifu upunguzwe. Halafu shida ya upangaji wa laini kwa mchezaji ninachukua fomu:

na vikwazo

Vile vile, shida ya mchezaji II imeundwa kama mbili:

na vikwazo

Kutatua shida kwa kutumia njia rahisi, tunapata:

,

5.7. Vipengele vya kutatua michezo ya matrix

Kabla ya kutatua shida ya kupata mikakati bora, hali mbili zinapaswa kuangaliwa:

Je, inawezekana kurahisisha matrix ya malipo;

Je, matrix ya malipo ina sehemu ya tandiko.

Fikiria uwezekano wa kurahisisha matrix ya malipo:

Kutokana na ukweli kwamba mchezaji ninayetafuta kupata ushindi mkubwa zaidi, basi unaweza kuvuka mstari wa th kutoka kwa matrix ya malipo, kwani hatawahi kutumia hoja hii ikiwa uhusiano ufuatao umeridhika na safu nyingine yoyote:

Vile vile, kujitahidi kupata hasara ndogo zaidi, mchezaji wa II hatawahi kuchagua safu wima ya ith katika mkusanyiko wa malipo kama hatua, na safu wima hii inaweza kukatwa ikiwa uhusiano ufuatao utashikamana na safu wima nyingine yoyote:

Wengi suluhisho rahisi mchezo ni uwepo katika matrix ya malipo iliyorahisishwa ya sehemu ya tandiko ambayo inakidhi masharti yafuatayo (kwa ufafanuzi):

Mfano

Matrix ya malipo hutolewa:

.

Urahisishaji wa matrix ya malipo:

Sehemu ya tandiko:

5.8. Kucheza na asili

Tofauti na matatizo ya nadharia ya mchezo katika matatizo ya nadharia maamuzi ya takwimu hali isiyo na uhakika haina rangi ya migogoro inayopingana na inategemea ukweli wa lengo, ambao kawaida huitwa "asili" .

Katika michezo ya matrix na asili, mchezaji II huchezwa na seti ya sababu zisizo na uhakika zinazoathiri ufanisi wa maamuzi yaliyofanywa.

Michezo ya tumbo yenye asili hutofautiana na michezo ya kawaida ya tumbo tu kwa kuwa, wakati wa kuchagua mkakati bora, mchezaji Siwezi tena kuongozwa na ukweli kwamba mchezaji II atajaribu kupunguza hasara yake. Kwa hiyo, pamoja na matrix ya malipo, tunaanzisha matrix ya hatari :

iko wapi thamani ya hatari ya mchezaji I wakati wa kutumia hoja chini ya hali sawa na tofauti kati ya malipo ambayo mchezaji huyo ningepokea ikiwa alijua kwamba hali hiyo itaanzishwa, i.e. , na ushindi ambao atapokea, bila kujua wakati wa kuchagua hoja ambayo hali itaanzishwa.

Kwa hivyo, matrix ya malipo inabadilishwa bila shaka kuwa matrix ya hatari, na ubadilishaji wa kinyume ni wa utata.

Mfano

Matrix ya malipo:

.

Matrix ya Hatari:

Inawezekana kauli mbili za shida kuhusu kuchagua suluhisho katika mchezo wa matrix na asili :

Kuongeza ushindi wako;

Kupunguza hatari.

Shida ya kufanya maamuzi inaweza kutolewa kwa moja ya masharti mawili:

- hatarini wakati kazi ya usambazaji wa uwezekano wa mikakati ya asili inajulikana, kwa mfano, thamani ya nasibu ya tukio la kila moja ya hali maalum za kiuchumi zinazofikiriwa;

- mbele ya kutokuwa na uhakika wakati utendakazi wa usambazaji wa uwezekano kama huo haujulikani.

5.9. Kutatua matatizo ya nadharia ya maamuzi ya takwimu

hatarini

Wakati wa kufanya maamuzi chini ya hali ya hatari, mchezaji najua uwezekano mwanzo wa hali ya asili.

Kisha ni vyema kwa mchezaji I kuchagua mkakati ambao ushindi wa wastani kwa kila mstari, upeo :

.

Wakati wa kutatua shida hii na tumbo la hatari, tunapata suluhisho sawa linalolingana na hatari ya chini ya wastani :

.

5.10. Kutatua matatizo ya nadharia ya maamuzi ya takwimu

mbele ya kutokuwa na uhakika

Wakati wa kufanya maamuzi chini ya hali ya kutokuwa na uhakika, unaweza kutumia zifuatazo vigezo :

Kigezo cha Maximin cha Wald;

Kigezo hatari ndogo Sevija;

Kigezo cha kukata tamaa ni matumaini ya Hurwitz;

Kanuni ya Laplace ya msingi wa kutosha.

Fikiria Mtihani wa maximin wa Wald .

Mchezo wa asili unachezwa kama vile na adui mkali anayekubalika, yaani, mbinu ya kurudisha bima inafanywa kutoka kwa hali ya kukata tamaa sana kwa matrix ya malipo:

.

Fikiria Kigezo cha hatari cha chini kabisa .

Njia sawa na ile ya awali kutoka kwa nafasi ya kukata tamaa kali kwa tumbo la hatari:

.

Fikiria kigezo cha kukata tamaa - matumaini ya Hurwitz .

Fursa inatolewa ili isiongozwe na tamaa iliyokithiri au matumaini makubwa:

ni wapi kiwango cha tamaa;

kwa - matumaini makubwa,

saa - tamaa kali.

Fikiria Kanuni ya Laplace ya msingi wa kutosha .

Inaaminika kuwa hali zote za asili zinawezekana kwa usawa:

,

.

Hitimisho kwenye sehemu ya tano

Wachezaji wawili hushiriki katika mchezo wa matrix, na kazi ya malipo, ambayo hutumika kubainisha kiasi cha malipo ya mchezaji aliyeshindwa kwa mshindi, inawakilishwa katika mfumo wa matrix ya malipo. Ilikubaliwa kuwa mchezaji Ninayechagua mojawapo ya safu mlalo za matrix ya malipo kama hatua, na mchezaji wa II achague mojawapo ya safu wima zake. Halafu, kwenye makutano ya safu mlalo na safu iliyochaguliwa ya matrix hii, kuna thamani ya nambari ya malipo kwa mchezaji I kutoka kwa mchezaji II (ikiwa thamani hii ni chanya, basi mchezaji nilishinda kweli, na ikiwa ni hasi, basi mchezaji. II kimsingi alishinda).

Ikiwa kuna sehemu ya tandiko kwenye matrix ya malipo, basi wachezaji wana mikakati safi kabisa, i.e., kushinda, kila mmoja wao lazima arudie hatua yake moja bora. Ikiwa hakuna sehemu ya tandiko, basi ili kushinda, kila mmoja wao lazima atumie mkakati mzuri wa mchanganyiko, ambayo ni, tumia mchanganyiko wa hatua, ambayo kila moja lazima ifanyike kwa uwezekano mkubwa.

Utafutaji wa mikakati bora iliyochanganywa ya michezo 2 × 2 hufanywa kwa kukokotoa uwezekano mojawapo kwa kutumia fomula zinazojulikana. Kupitia ufumbuzi wa kijiometri Kwa michezo 2 × n, ufafanuzi wa mikakati bora iliyochanganywa ndani yake hupunguzwa hadi kupata mbinu mchanganyiko bora za michezo 2 × 2. Ili kusuluhisha michezo ya m × n, mbinu ya upangaji ya mstari hutumiwa kupata mikakati iliyochanganywa ndani yake.

Baadhi ya hesabu za malipo hujikopesha katika kurahisisha, kwa sababu hiyo ukubwa wao hupunguzwa kwa kuondoa safu mlalo na safu wima zinazolingana na hatua zisizotarajiwa.

Iwapo mchezaji II ni seti ya vipengele visivyo na uhakika vinavyotegemea uhalisia halisi na hawana upakaji rangi wa migogoro pinzani, basi mchezo kama huo unaitwa mchezo wa asili, na matatizo ya nadharia ya maamuzi ya takwimu hutumiwa kutatua. Kisha, pamoja na matrix ya malipo, matrix ya hatari inaletwa na taarifa mbili za tatizo la kuchagua suluhisho katika mchezo wa tumbo na asili zinawezekana: kuongeza malipo na kupunguza hatari.

Suluhisho la shida katika nadharia ya maamuzi ya takwimu chini ya hali ya hatari inaonyesha kuwa inashauriwa kwa mchezaji I kuchagua mkakati ambao thamani ya wastani (matarajio ya hisabati) ya malipo yaliyochukuliwa juu ya safu ya matrix ya malipo ni ya juu zaidi, au (ambayo ni sawa) thamani ya wastani (matarajio ya hisabati) ya hatari , iliyochukuliwa na safu mlalo ya matrix ya hatari, ni ndogo. Wakati wa kufanya maamuzi chini ya hali ya kutokuwa na uhakika, tumia vigezo vifuatavyo: Kigezo cha juu cha Wald, kigezo kidogo cha hatari cha Sevidge, kigezo cha matumaini-matumaini cha Hurwitz, kanuni ya Laplace ya msingi usiotosha.

Maswali ya kujipima

Je, dhana za kimsingi za nadharia ya mchezo zinafafanuliwaje: hoja, mkakati na utendakazi wa malipo?

Je, kipengele cha malipo kinawakilishwa vipi katika mchezo wa matrix?

Kwa nini mchezo wa matrix unaitwa zero sum?

Mchakato wa kucheza mchezo wa matrix unawakilishwa vipi?

Mchezo gani unaitwa mchezo wa m × n?

Je, ni mkakati gani mwafaka wa mchezo wa matrix?

Je, ni mkakati gani mwafaka wa mchezo wa matrix unaoitwa pure?

Je, sehemu ya tandiko ya matrix ya malipo ina maana gani?

Je, ni mkakati gani mwafaka wa mchezo wa matrix unaoitwa mchanganyiko?

Je, mkakati mseto wa mchezaji unaonekanaje?

Je, ni kiasi gani cha malipo kwa Mchezaji wa Kwanza kutoka kwa Mchezaji II aliyechagua mbinu mseto?

Ni mikakati gani iliyochanganywa inayoitwa bora?

Tofauti ambayo haijatengwa inamaanisha nini?

Je, ni njia gani inatumika kupata mikakati iliyochanganywa ya michezo 2 × 2?

Mikakati bora iliyochanganywa ya michezo 2 × n inapatikana vipi?

Je, ni njia gani inatumika kupata mbinu mchanganyiko bora za michezo ya m × n?

Je, ni vipengele vipi vya kutatua michezo ya matrix?

Je, kurahisisha matrix ya malipo kunamaanisha nini na inaweza kufanywa chini ya hali gani?

Je, ni mchezo gani wa matrix ambao ni rahisi kuamua wakati matrix ya malipo ina au haina sehemu ya tandiko?

Ni matatizo gani katika nadharia ya mchezo yanahusiana na matatizo katika nadharia ya maamuzi ya takwimu?

Je! Matrix ya Malipo Inabadilishwaje kuwa Matrix ya Hatari?

Je, ni michanganyiko gani miwili ya tatizo la kuchagua suluhu inayowezekana katika mchezo wa matrix na asili?

Je, ni kwa masharti gani mawili matatizo ya kufanya maamuzi yanaweza kuwekwa katika mchezo wa matrix na asili?

Je, ni mkakati gani unaofaa kwa mchezaji I kuchagua wakati wa kutatua tatizo la nadharia ya maamuzi ya takwimu chini ya hali ya hatari?

Ni vigezo gani vya uamuzi vinaweza kutumika wakati wa kutatua matatizo ya nadharia ya maamuzi ya takwimu chini ya hali ya kutokuwa na uhakika?

Mifano ya kutatua matatizo

1. Matrix ya malipo inaonyesha kiasi cha faida ya biashara wakati inauza aina tofauti bidhaa (safu) kulingana na mahitaji ya kutosha (safu). Inahitajika kuamua mkakati mzuri wa biashara kwa utengenezaji wa bidhaa za aina anuwai na kiwango cha juu kinacholingana (kwa wastani) mapato kutoka kwa uuzaji wao.

Wacha tuonyeshe matrix uliyopewa na tutambulishe anuwai. Pia tutatumia matrix (vector). Kisha na, i.e.

Matrix ya kinyume imehesabiwa:

Thamani zinapatikana:

.

Uwezekano umehesabiwa:

Mapato ya wastani kutoka kwa mauzo imedhamiriwa:

.

2. Kampuni "Mfamasia" ni mtengenezaji wa dawa na bidhaa za matibabu katika kanda. Inajulikana kuwa kilele cha mahitaji ya dawa fulani huanguka kipindi cha majira ya joto(madawa ya kikundi cha moyo na mishipa, analgesics), kwa wengine - kwa vuli na vipindi vya spring (anti-infectious, antitussive).

Gharama za ubadilishaji 1. vitengo bidhaa za Septemba-Oktoba zilikuwa: kwa kundi la kwanza (dawa za moyo na mishipa na analgesics) - rubles 20; katika kundi la pili (kupambana na kuambukiza, dawa za antitussive) - 15 rubles.

Kulingana na uchunguzi kwa kadhaa miaka ya hivi karibuni huduma ya uuzaji ya kampuni iligundua kuwa inaweza kuuza katika kipindi cha miezi miwili inayozingatiwa katika hali ya hewa ya joto 3050 conv. vitengo bidhaa za kundi la kwanza na 1100 conv. vitengo bidhaa za kundi la pili; katika hali ya hewa ya baridi - 1525 conv. vitengo bidhaa za kundi la kwanza na 3690 conv. vitengo kundi la pili.

Kuhusiana na mabadiliko yanayowezekana ya hali ya hewa, kazi inafanywa - kuamua mkakati wa kampuni katika utengenezaji wa bidhaa ambazo hutoa mapato ya juu kutoka kwa mauzo kwa bei ya mauzo ya rubles 40. kwa ubadilishaji 1. vitengo bidhaa za kikundi cha kwanza na rubles 30. - kundi la pili.

SULUHISHO. Kampuni ina mikakati miwili:

hali ya hewa itakuwa joto mwaka huu;

Hali ya hewa itakuwa baridi.

Ikiwa kampuni inachukua mkakati na kwa kweli kutakuwa na hali ya hewa ya joto (mkakati wa asili), basi pato (vitengo 3050 vya kawaida vya kundi la kwanza la dawa na vitengo 1100 vya kawaida vya kundi la pili) vitauzwa kikamilifu na mapato yatakuwa.

3050 × (40-20) + 1100 × (30-15) = 77500 p.

Katika hali ya hewa ya baridi (mkakati wa asili), dawa za kundi la pili zitauzwa kwa ukamilifu, na kundi la kwanza tu kwa kiasi cha 1525 conv. vitengo na baadhi ya dawa zitabaki kuwa hazijatekelezwa. Mapato yatakuwa

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) -20 × () = 16500 p.

Vile vile, ikiwa fomu inachukua mkakati na hali ya hewa ni baridi, basi mapato yatakuwa

1525 × (40-20) + 3690 × (30-15) = 85850 p.

Katika hali ya hewa ya joto, mapato yatakuwa

1525 × (40-20) + 1100 × (30-15) - () × 15 = 8150 p.

Kwa kuzingatia kampuni na hali ya hewa kama wachezaji wawili, tunapata matrix ya malipo

,

Bei ya mchezo iko katika anuwai

Inaweza kuonekana kutoka kwa matrix ya malipo kwamba, chini ya hali zote, mapato ya kampuni yatakuwa angalau rubles 16,500, lakini ikiwa hali ya hewa inafanana na mkakati uliochaguliwa, basi mapato ya kampuni yanaweza kuwa rubles 77,500.

Wacha tupate suluhisho la mchezo.

Wacha tuonyeshe uwezekano wa kampuni kutumia mkakati kupitia, mkakati kupitia, na. Kutatua mchezo graphically kwa mbinu, sisi kupata , wakati bei ya mchezo ni p.

Mpango bora wa uzalishaji wa dawa utakuwa

Kwa hivyo, ni vyema kwa kampuni kuzalisha wakati wa Septemba na Oktoba 2379 conv. vitengo dawa za kundi la kwanza na 2239.6 conv. vitengo dawa za kundi la pili, basi katika hali ya hewa yoyote atapata mapato ya angalau 46986 rubles.

Katika hali ya kutokuwa na uhakika, ikiwa haiwezekani kwa kampuni kutumia mkakati mchanganyiko (mikataba na mashirika mengine), kuamua mkakati bora wa kampuni, tunatumia vigezo vifuatavyo:

Kigezo cha Walde:

Kigezo cha Hurwitz: kwa uhakika, tutakubali, basi kwa mkakati wa kampuni

kwa mkakati

ni vyema kwa kampuni kutumia mkakati.

Kigezo cha kishenzi. Kipengele cha juu katika safu ya kwanza ni 77500, katika safu ya pili ni 85850.

Vipengele vya matrix ya hatari hupatikana kutoka kwa usemi

,

wapi,,

Matrix ya hatari ina fomu

,

ni vyema kutumia mkakati au.

Kwa hiyo, ni vyema kwa kampuni kutumia mkakati au.

Kumbuka kwamba kila moja ya vigezo vinavyozingatiwa haviwezi kuchukuliwa kuwa vya kuridhisha kabisa chaguo la mwisho maamuzi, hata hivyo, uchambuzi wao wa pamoja hukuruhusu kuwakilisha kwa uwazi zaidi matokeo ya kufanya maamuzi fulani ya usimamizi.

Kwa usambazaji unaojulikana wa uwezekano kwa hali mbalimbali za asili, kigezo cha kufanya uamuzi ni matarajio ya juu ya hisabati ya malipo.

Ifahamike kwa shida inayozingatiwa kuwa uwezekano wa hali ya hewa ya joto na baridi ni sawa na sawa na 0.5, basi mkakati bora wa kampuni umedhamiriwa kama ifuatavyo.

Inashauriwa kwa kampuni kutumia mkakati au.

Kazi za kujisomea

1. Biashara inaweza kuzalisha aina tatu za bidhaa (A, B na C), huku ikipata faida ambayo inategemea mahitaji. Mahitaji, kwa upande wake, yanaweza kuchukua moja ya majimbo manne (I, II, III na IV). Katika matrix ifuatayo, vipengele vinaonyesha faida ambayo biashara itapokea wakati wa kuzalisha bidhaa ya -th na -th hali ya mahitaji:

Katika hali ya jumla, V * ≠ V * - hakuna hatua ya tandiko. Hakuna suluhisho bora katika mikakati safi pia. Hata hivyo, ikiwa tutapanua dhana ya mkakati madhubuti kwa kuanzisha dhana ya mkakati mseto, basi tunaweza kutekeleza algoriti ya kutafuta suluhu mojawapo kwa tatizo la mchezo ambalo halijabainishwa kikamilifu. Katika hali kama hiyo, inapendekezwa kutumia mbinu ya kitakwimu (ya uwezekano) ili kupata suluhu mojawapo kwa mchezo wa kinzani. Kwa kila mchezaji, pamoja na seti fulani ya mikakati inayowezekana kwake, vekta isiyojulikana ya uwezekano (masafa ya jamaa) huletwa, ambayo mkakati mmoja au mwingine unapaswa kutumika.

Tunaashiria vekta ya uwezekano (masafa jamaa) ya uchaguzi wa mikakati iliyotolewa ya mchezaji A kama ifuatavyo:
P = (p 1, p 2, ..., p m),
ambapo p i ≥ 0, p 1 + p 2 +… + p m = 1. Thamani p i inaitwa uwezekano (mzunguko wa jamaa) wa kutumia mkakati A i.

Vivyo hivyo, kwa mchezaji B, vekta isiyojulikana ya uwezekano (masafa ya jamaa) huletwa kama ifuatavyo:
Q = (q 1, q 2, ..., q n),
ambapo q j ≥ 0, q 1 + q 2 +… + q n = 1. Kiasi q j inaitwa uwezekano (mzunguko wa jamaa) wa kutumia mkakati B j. Seti (mchanganyiko) wa mikakati safi A 1, A 2, ... A m na B 1, B 2, ... B n pamoja na vekta za uwezekano wa kuchagua kila mmoja wao huitwa. mikakati mchanganyiko.

Nadharia kuu katika nadharia ya michezo pinzani yenye kikomo ni Nadharia ya Von Neumann: kila mchezo wa tumbo wenye kikomo una, kwa angalau, suluhisho moja bora, ikiwezekana kati ya mikakati mchanganyiko.
Inafuata kutokana na nadharia hii kwamba mchezo ambao haujabainishwa kikamilifu una angalau suluhu moja bora katika mikakati mchanganyiko. Katika michezo kama hii, suluhisho litakuwa jozi ya mikakati mchanganyiko P * na Q *, ili kwamba ikiwa mmoja wa wachezaji atafuata mkakati wake bora, basi sio faida kwa mchezaji mwingine kukengeuka kutoka kwa mkakati wake bora.
Wastani wa malipo ya mchezaji A huamuliwa na matarajio ya hisabati:

Ikiwa uwezekano (marudio ya jamaa) ya kutumia mkakati sio ya kawaida, basi mkakati kama huo unaitwa hai.

Mikakati P *, Q * inaitwa mchanganyiko bora mikakati ikiwa M A (P, Q *) ≤ M A (P *, Q *) ≤ M A (P *, Q) (1)
Katika kesi hii, M A (P *, Q *) inaitwa kwa gharama mchezo na inaonyeshwa na V (V * ≤ V ≤ V *). Ya kwanza ya ukosefu wa usawa (1) ina maana hiyo kupotoka kwa mchezaji A kutoka kwa mkakati wake bora mchanganyiko mradi tu mchezaji B atafuata mkakati wake mchanganyiko, husababisha kupungua kwa malipo ya wastani mchezaji A. Ya pili ya ukosefu wa usawa ina maana kwamba kupotoka kwa mchezaji B kutoka kwa mkakati wake bora uliochanganywa mradi mchezaji A atafuata mkakati wake bora mchanganyiko, inasababisha kuongezeka kwa hasara ya wastani ya mchezaji B.

Kwa ujumla, kazi kama hizo zinatatuliwa kwa mafanikio na kihesabu hiki.

Mfano.

1. Angalia ikiwa matrix ya malipo ina sehemu ya tandiko... Ikiwa ndio, basi tunaandika suluhisho la mchezo kwa mikakati safi.

Tunadhania kwamba mchezaji ninayemchagua mbinu yake ili kupata malipo yake ya juu zaidi, na mchezaji wa II anachagua mkakati wake ili kupunguza malipo ya mchezaji wa I.

Tunapata malipo yaliyohakikishwa yanayobainishwa na bei ya chini ya mchezo a = max (a i) = 2, ambayo inaonyesha upeo wa juu wa mkakati safi A1.
Bei ya juu ya mchezo ni b = min (bj) = 7. Hii inaonyesha kukosekana kwa sehemu ya tandiko, kwani ≠ b, basi bei ya mchezo iko katika safu 2 ≤ y ≤ 7. Pata suluhisho la mchezo katika mikakati mchanganyiko. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba wachezaji hawawezi kutangaza mikakati yao safi kwa adui: wanapaswa kuficha matendo yao. Mchezo unaweza kutatuliwa kwa kuruhusu wachezaji kuchagua mikakati yao nasibu(changanya mikakati safi).

2. Kuangalia matrix ya malipo kwa safu mlalo kuu na safu wima kuu.
Hakuna safu mlalo na safu wima kuu katika mkusanyiko wa malipo.

3. Tafuta suluhu la mchezo katika mikakati mchanganyiko.
Hebu tuandike mfumo wa equations.
Kwa mchezaji I
4p 1 + 7p 2 + 2p 3 = y
7p 1 + 3p 2 + p 3 = y
2p 1 + 2p 2 + 8p 3 = y
p 1 + p 2 + p 3 = 1

Kwa mchezaji II
4q 1 + 7q 2 + 2q 3 = y
7q 1 + 3q 2 + 2q 3 = y
2q 1 + q 2 + 8q 3 = y
q 1 + q 2 + q 3 = 1

Kutatua mifumo hii kwa njia ya Gauss, tunapata:

y = 4 1/34
p 1 = 29/68 (uwezekano wa kutumia mkakati wa 1).
p 2 = 4/17 (uwezekano wa kutumia mkakati wa 2).
p 3 = 23/68 (uwezekano wa kutumia mkakati wa 3).

Mbinu mchanganyiko bora ya mchezaji I: P = (29/68; 4/17; 23/68)
q 1 = 6/17 (uwezekano wa kutumia mkakati wa 1).
q 2 = 9/34 (uwezekano wa kutumia mkakati wa 2).
q 3 = 13/34 (uwezekano wa kutumia mkakati wa 3).

Mbinu mchanganyiko bora ya mchezaji II: Q = (6/17; 9/34; 13/34)
Bei ya mchezo: y = 4 1/34

Ikiwa mchezo hauna sehemu ya tandiko, basi matatizo hutokea katika kubainisha thamani ya mchezo na mikakati mwafaka ya wachezaji. Fikiria, kwa mfano, mchezo:

Katika mchezo huu, na. Kwa hivyo, mchezaji wa kwanza anaweza kujihakikishia ushindi sawa na 4, na wa pili anaweza kupunguza upotezaji wake 5. Eneo kati na ni, kama ilivyo, sare na kila mchezaji anaweza kujaribu kuboresha matokeo yake kwa gharama ya eneo hili. . Nini basi mikakati bora ya wachezaji inapaswa kuwa?

Iwapo kila mchezaji atatumia mkakati (wa) uliowekwa alama ya nyota, basi faida ya mchezaji wa kwanza na kupoteza wa pili itakuwa 5. Hii ni mbaya kwa mchezaji wa pili, kwa kuwa wa kwanza atashinda zaidi kuliko anaweza kuhakikisha. mwenyewe. Hata hivyo, ikiwa mchezaji wa pili atafichua kwa namna fulani nia ya mchezaji wa kwanza kuhusu nia ya kutumia mkakati huo, basi anaweza kutumia mkakati huo na kupunguza faida ya wa kwanza hadi 4. Ni kweli, ikiwa mchezaji wa kwanza atafichua nia ya pili kutumia mkakati, kisha kutumia mkakati, ataongeza faida yake hadi 6 Hivyo, hali hutokea wakati kila mchezaji lazima afiche mkakati anaoenda kuutumia. Hata hivyo, unafanyaje hili? Baada ya yote, ikiwa mchezo unachezwa mara nyingi na mchezaji wa pili anatumia mkakati huo kila wakati, basi mchezaji wa kwanza atagundua nia ya wa pili hivi karibuni na, baada ya kutumia mkakati huo, atakuwa na malipo ya ziada. Ni wazi, mchezaji wa pili lazima abadilishe mkakati katika kila mchezo mpya, lakini lazima afanye hivi kwa njia ambayo wa kwanza asidhani ni mkakati gani atatumia katika kila kesi.

Kwa utaratibu wa uteuzi wa nasibu, ushindi na hasara za wachezaji zitakuwa vigezo random... Matokeo ya mchezo katika kesi hii yanaweza kukadiriwa na upotezaji wa wastani wa mchezaji wa pili. Hebu turudi kwenye mfano. Kwa hivyo, ikiwa mchezaji wa pili anatumia mkakati na nasibu na uwezekano 0.5; 0.5, basi kwa mkakati wa mchezaji wa kwanza, thamani ya wastani ya hasara yake itakuwa:

na kwa mkakati wa mchezaji wa kwanza

Kwa hivyo, mchezaji wa pili anaweza kupunguza upotezaji wake wa wastani hadi 4.5 bila kujali mkakati unaotumiwa na mchezaji wa kwanza.

Kwa hivyo, katika idadi ya matukio inageuka kuwa ni vyema sio kuelezea mkakati mapema, lakini kuchagua moja au nyingine kwa random, kwa kutumia utaratibu fulani wa uchaguzi wa random. Mkakati wa msingi wa uteuzi wa nasibu unaitwa mkakati mchanganyiko, tofauti na mikakati iliyoainishwa, ambayo inaitwa mikakati safi.

Wacha tutoe ufafanuzi wa kina zaidi wa mikakati safi na mchanganyiko.

Acha kuwe na mchezo bila sehemu ya tandiko:

Hebu tuashiria mara kwa mara matumizi ya mkakati safi wa mchezaji wa kwanza kupitia, (uwezekano wa kutumia mkakati wa i-th). Vile vile, tunaashiria mara kwa mara ya kutumia mkakati safi wa mchezaji wa pili kwa, (uwezekano wa kutumia mkakati wa j-th). Kwa mchezo wa hatua ya tandiko, kuna suluhisho safi la mkakati. Kwa mchezo wa hatua ya tandiko, kuna suluhisho katika mikakati mchanganyiko, ambayo ni, wakati uchaguzi wa mkakati unategemea uwezekano. Kisha

Mikakati mingi safi ya mchezaji wa 1;

Mikakati mingi iliyochanganywa ya mchezaji wa 1;

Mikakati mingi safi ya mchezaji wa 2;

Mikakati mingi iliyochanganywa ya wachezaji wa pili.

Fikiria mfano: wacha tufanye mchezo

Mchezaji wa pili anachagua uwezekano ... Wacha tukadirie wastani wa hasara ya mchezaji wa pili anapotumia mikakati na, ipasavyo.

Tofautisha kati ya mikakati safi na mchanganyiko. Mkakati safi
mchezaji wa kwanza (mkakati safi
mchezaji wa pili) ni hatua inayowezekana ya mchezaji wa kwanza (wa pili), aliyechaguliwa na yeye na uwezekano sawa na 1.

Ikiwa mchezaji wa kwanza ana mikakati ya m, na wa pili ana mikakati n, basi kwa jozi yoyote ya mikakati ya mchezaji wa kwanza na wa pili, mikakati safi inaweza kuwakilishwa kama vekta za kitengo. Kwa mfano, kwa jozi ya mikakati
,
mikakati safi ya mchezaji wa kwanza na wa pili itaandikwa kama:
,
... Kwa jozi ya mikakati ,mikakati safi inaweza kuandikwa kama:

,

.

Nadharia: Katika mchezo wa matrix, bei ya chini ya mchezo wa wavu haizidi bei ya juu ya mchezo wa wavu, i.e.
.

Ufafanuzi: Ikiwa kwa mikakati safi ,wachezaji A na B, kwa mtiririko huo, usawa
, kisha jozi ya mikakati safi ( ,) inaitwa sehemu ya tandiko la mchezo wa matrix, kipengele matriki kwenye makutano ya safu mlalo ya i-th na safu wima ya j-th ni sehemu ya tandiko la matrix ya malipo, na nambari.
- bei safi ya mchezo.

Mfano: Tafuta bei za chini na za juu, tambua uwepo wa sehemu za tandiko za mchezo wa matrix

.

Wacha tuamue bei ya chini na ya juu ya mchezo:,,
.

Katika kesi hii, tuna sehemu moja ya tandiko (A 1; B 2), na kipengele cha tandiko ni 5. Kipengele hiki ni kidogo zaidi katika safu ya 1 na kubwa zaidi katika safu ya 2. Kupotoka kwa mchezaji A kutoka kwa mkakati wa juu wa A1 husababisha kupungua kwa faida yake, na kupotoka kwa mchezaji B kutoka kwa mkakati wa kiwango cha chini cha B 2 husababisha kuongezeka kwa hasara yake. Kwa maneno mengine, ikiwa mchezo wa matrix una kipengele cha tandiko, basi mikakati bora kwa wachezaji ni mikakati yao ya kiwango cha chini zaidi. Na mikakati hii safi, ambayo huunda sehemu ya tandiko na kuchagua kipengele cha tandiko 12 = 5 kwenye matrix ya mchezo, ni mikakati safi kabisa. na wachezaji A na B, kwa mtiririko huo.

Ikiwa mchezo wa matrix hauna sehemu ya tandiko, basi suluhisho la mchezo linakuwa gumu. Katika michezo hii
... Matumizi ya mikakati ya minimax katika michezo hiyo inaongoza kwa ukweli kwamba kwa kila mmoja wa wachezaji malipo hayazidi , na hasara sio kidogo ... Kwa kila mchezaji, swali linatokea la kuongeza ushindi (kupunguza hasara). Suluhisho linapatikana kwa kutumia mbinu mchanganyiko.

Ufafanuzi: Mkakati mchanganyiko wa mchezaji wa kwanza (wa pili) ni vekta
, wapi
na
(
, wapi
na
).

Vekta p (q) inaashiria uwezekano wa mkakati wa i-th pure kutumiwa na mchezaji wa kwanza (mkakati wa j-th pure na mchezaji wa pili).

Kwa kuwa wachezaji huchagua mikakati yao safi bila mpangilio na bila kutegemeana, mchezo huwa na mhusika nasibu na kiasi cha faida (hasara) huwa nasibu. Katika kesi hii, faida ya wastani (hasara) - matarajio ya hisabati - ni kazi ya mikakati mchanganyiko p, q:

.

Ufafanuzi: Chaguo za kukokotoa f (p, q) huitwa kazi ya malipo ya mchezo na matrix
.

Ufafanuzi: Mkakati
,
inaitwa bora ikiwa kwa mikakati ya kiholela
,
hali imeridhika

Utumiaji wa mikakati bora iliyochanganywa katika mchezo humpa mchezaji wa kwanza malipo ambayo si chini ya wakati anapotumia mbinu nyingine yoyote p; mchezaji wa pili ana hasara, si zaidi ya kama anatumia mkakati mwingine wowote q.

Mchanganyiko wa mikakati bora na bei za mchezo huunda suluhisho la mchezo.