Njia gani unajua kuamua uwezekano. Muda wa maisha kama thamani ya random.

Matukio yanayotokea kweli au katika mawazo yetu yanaweza kugawanywa katika makundi matatu. Hizi ni matukio ya kuaminika ambayo dhahiri kutokea, matukio yasiyowezekana na matukio ya random. Nadharia ya probabilities inachunguzwa na matukio ya random, i.e. Matukio ambayo yanaweza kutokea au hayatokea. Makala hii itawasilishwa fomu fupi. Nadharia ya uwezekano wa formula na mifano ya kutatua matatizo juu ya nadharia ya uwezekano ambayo itakuwa katika kazi 4 ya EGE katika hisabati (kiwango cha profile).

Kwa nini unahitaji nadharia ya uwezekano

Kwa kihistoria, haja ya kujifunza matatizo haya yaliondoka katika karne ya 17 kuhusiana na maendeleo na utaalamu wa kamari na kuonekana kwa casino. Ilikuwa jambo la kweli ambalo lilihitaji kujifunza na utafiti wake.

Mchezo wa kadi, mifupa, roulette iliunda hali wakati idadi yoyote ya mwisho ya matukio sawa inaweza kutokea. Kulikuwa na haja ya kutoa tathmini ya namba uwezekano wa tukio la tukio moja au nyingine.

Katika karne ya 20 ilikuwa ni kwamba sayansi hii inayoonekana yenye frivolous ina jukumu muhimu katika ujuzi wa michakato ya msingi inayotokea katika micrometer. Ilitengenezwa nadharia ya kisasa uwezekano.

Dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano

Kitu cha kujifunza nadharia ya uwezekano ni matukio na uwezekano wao. Ikiwa tukio hilo ni ngumu, linaweza kugawanywa katika vipengele rahisi ambavyo uwezekano ni rahisi kupata.

Jumla ya matukio A na B inaitwa tukio C, ambalo lina ukweli kwamba kuna tukio la A, au tukio au matukio A na kwa wakati huo huo.

Kazi ya matukio A na B inaitwa tukio kwa kuzingatia kwamba tukio hilo na tukio lilifanyika.

Matukio A na B inaitwa Incception kama hawawezi kutokea wakati huo huo.

Tukio A inaitwa haiwezekani ikiwa haiwezi kutokea. Tukio hili linaonyeshwa na ishara.

Tukio A inaitwa kuaminika ikiwa itakuwa dhahiri kutokea. Tukio hili linaonyeshwa na ishara.

Hebu kila tukio liweke kulingana na namba P (a). Nambari hii P (a) inaitwa uwezekano wa tukio A, ikiwa hali zifuatazo zinakutana na kufuata hii.

Kesi muhimu ni hali wakati kuna matokeo sawa ya msingi ya sauti, na matokeo ya kiholela yanaundwa na matukio A. Katika kesi hiyo, uwezekano unaweza kuingizwa na formula. Uwezekano uliowekwa kwa njia hii unaitwa uwezekano wa classic. Inaweza kuthibitishwa kuwa katika kesi hii mali 1-4 hufanywa.

Kazi juu ya nadharia ya probabilities ambayo hupatikana kwenye mtihani katika hisabati huhusishwa hasa na uwezekano wa classical. Kazi hizo zinaweza kuwa rahisi sana. Hasa rahisi ni changamoto juu ya nadharia ya uwezekano chaguzi za maandamano.. Ni rahisi kuhesabu idadi ya matokeo mazuri, moja kwa moja katika hali imeandikwa idadi ya matokeo yote.

Jibu linapatikana kwa formula.

Mfano wa kazi kutoka kwa neno la hisabati kuamua uwezekano

Juu ya meza uongo 20 pies - 5 na kabichi, 7 na apples na 8 na mchele. Marina anataka kuchukua pate. Je! Ni uwezekano gani kwamba itachukua pate na mchele?

Uamuzi.

Kwa jumla ya matokeo sawa ya msingi 20, yaani, Marina anaweza kuchukua pie yoyote ya 20. Lakini tunahitaji kufahamu uwezekano kwamba Marina atachukua piti na mchele, yaani, ambapo ni uchaguzi wa puppet na mchele. Ina maana kwamba tuna idadi ya matokeo mazuri (uchaguzi wa pies na mchele) tu 8. Kisha uwezekano utawekwa na formula:

Matukio ya kujitegemea, kinyume na ya kiholela

Hata hivyo B. fungua benki. Kazi ilianza kukutana na kazi ngumu zaidi. Kwa hiyo, makini na msomaji na masuala mengine yaliyojifunza katika nadharia ya probabilities.

Matukio A na B huitwa kujitegemea ikiwa uwezekano wa kila mmoja haukutegemea kama tukio lingine limetokea.

Tukio la B ni kwamba tukio hilo halifanyiki, i.e. Tukio la B ni kinyume na tukio A. Uwezekano wa tukio tofauti ni sawa na moja ya uwezekano wa tukio la moja kwa moja, i.e. .

Theorems ya kuongeza na kuzidisha probabilities, formula.

Kwa matukio ya kiholela A na uwezekano wa kiasi cha matukio haya sawa na jumla ya uwezekano wao bila uwezekano wa tukio lao la pamoja, i.e. .

Kwa matukio ya kujitegemea, A na katika uwezekano wa kazi ya matukio haya ni sawa na bidhaa za uwezekano wao, i.e. kwa kesi hii .

Taarifa mbili za mwisho zinaitwa Theorems ya kuongeza na kuzidisha uwezekano.

Sio daima kuhesabu idadi ya matokeo ni rahisi sana. Katika hali nyingine, ni muhimu kutumia formula ya combinatorics. Katika kesi hiyo, muhimu zaidi ni kuhesabu idadi ya matukio ambayo yanatimiza hali fulani. Wakati mwingine aina hii ya kuhesabu inaweza kuwa kazi za kujitegemea.

Ni njia ngapi ninaweza kukaa wanafunzi 6 kwenye maeneo 6 ya bure? Mwanafunzi wa kwanza atachukua viti 6. Kila moja ya chaguzi hizi inalingana na njia 5 za kufanyika kwa mwanafunzi wa pili. Kwa mwanafunzi wa tatu kuna maeneo 4 ya bure, kwa ajili ya nne - 3, kwa tano - 2, ya sita itachukua nafasi iliyobaki tu. Ili kupata idadi ya chaguzi zote, unahitaji kupata bidhaa ambayo imeonyeshwa na ishara ya 6! Na kusoma "6 factorial".

Kwa ujumla, jibu la swali hili linatoa formula kwa idadi ya vibali kutoka kwa vitu vya P katika kesi yetu.

Fikiria sasa kesi nyingine na wanafunzi wetu. Ni njia ngapi ninaweza kukaa wanafunzi 2 kwenye maeneo 6 ya bure? Mwanafunzi wa kwanza atachukua viti 6. Kila moja ya chaguzi hizi inalingana na njia 5 za kufanyika kwa mwanafunzi wa pili. Ili kupata idadi ya chaguzi zote, unahitaji kupata kazi.

Kwa ujumla, jibu la swali hili linatoa formula kwa idadi ya malazi kutoka kwa n vipengele na K Elements

Kwa upande wetu.

Na kesi ya mwisho. Kutoka kwa mfululizo huu. Ni njia ngapi unaweza kuchagua wanafunzi watatu kutoka 6? Mwanafunzi wa kwanza anaweza kuchaguliwa 6 kwa njia ya pili - 5 katika njia ya tatu - nne. Lakini kati ya chaguzi hizi, moja na moja ya wanafunzi hupatikana mara 6. Ili kupata idadi ya chaguzi zote, unahitaji kuhesabu thamani :. Kwa ujumla, jibu la swali hili linatoa formula kwa idadi ya mchanganyiko kutoka kwa vipengele na vipengele:

Kwa upande wetu.

Mifano ya kutatua matatizo kutoka kwa neno la hisabati kwa ufafanuzi wa uwezekano

Kazi 1. Kutoka kwenye mkusanyiko Ed. Yashchenko.

Katika sahani ya pies 30: 3 na nyama, 18 na kabichi na 9 na cherry. Sasha kwa random huchagua pate moja. Pata uwezekano kwamba utakuwa na cherry.

.

Jibu: 0.3.

Kazi 2. Kutoka kwenye mkusanyiko Ed. Yashchenko.

Katika kila kundi la balbu 1000 kwa wastani 20 kasoro. Pata uwezekano kwamba kwa random bulb mwanga kutoka chama itakuwa nzuri.

Suluhisho: Idadi ya taa nzuri 1000-20 \u003d 980. Kisha uwezekano kwamba ulemavu wa mwanga kutoka kwa chama utakuwa mzuri:

Jibu: 0.98.

Uwezekano wa kupima katika mwanafunzi wa hisabati u ni, kazi zaidi ya 9 kutatua kazi zaidi ya 9, sawa na 0.67. Uwezekano kwamba U. utatatua kwa usahihi kazi zaidi ya 8, sawa na 0.73. Pata uwezekano kwamba U. utatatua kwa usahihi kazi 9.

Ikiwa tunafikiri namba moja kwa moja na tunaona pointi 8 na 9, tutaona kwamba hali "W. Itakuwa kutatuliwa kwa usahihi kazi 9 "katika hali" W. Ni sahihi kutatua kazi zaidi ya 8, "lakini haifai kwa hali" W. Hakika kutatua kazi zaidi ya 9. "

Hata hivyo, hali "U. Hakika hakika kutatua kazi zaidi ya 9 "zilizomo katika" U. Hakika kutatua kazi zaidi ya 8. " Hivyo, ikiwa tunaashiria matukio: "W. Ni sahihi kutatua kazi 9 "- kwa njia ya A," W. Itatatua kwa usahihi kazi zaidi ya 8 "- kupitia B," W. Kwa hakika kutatua kazi zaidi ya 9 "kupitia C. Suluhisho itaonekana kama hii:

Jibu: 0.06.

Katika mtihani wa jiometri, shule ya shule hujibu swali moja kutoka kwenye orodha ya masuala ya uchunguzi. Uwezekano kwamba hii ni swali juu ya mada "trigonometry" ni 0.2. Uwezekano kwamba swali hili juu ya mada "Angles ya nje" ni 0.15. Maswali ambayo wakati huo huo hutaja mada haya mawili, hapana. Pata uwezekano kwamba mtihani wa mwanafunzi utapata swali kwenye moja ya mada haya mawili.

Hebu fikiria juu ya nini matukio yetu yanatolewa. Tunapewa matukio mawili yasiyo kamili. Hiyo ni, ama swali litataja mada "trigonometry" au kwa mada "Angles ya Nje". Kwa theorem ya uwezekano, uwezekano wa matukio yasiyokwisha kukamilika ni sawa na jumla ya uwezekano wa kila tukio, tunapaswa kupata jumla ya uwezekano wa matukio haya, yaani:

Jibu: 0.35.

Chumba kinaangazwa na taa na taa tatu. Uwezekano wa taa moja ya kuvunja wakati wa mwaka ni 0.29. Pata uwezekano kwamba wakati wa mwaka angalau taa moja itashindwa.

Fikiria matukio iwezekanavyo. Tuna balbu tatu za mwanga, ambayo kila mmoja anaweza kushinda au kupakua kwa kujitegemea ya bulbu nyingine yoyote ya mwanga. Hizi ni matukio ya kujitegemea.

Kisha tunafafanua chaguzi kwa matukio kama hayo. Tunakubali jina: - Nuru ya kuchoma, bulbu ya mwanga iliwaka. Na mara moja, tunahesabu uwezekano wa tukio. Kwa mfano, uwezekano wa tukio ambalo kuna matukio matatu ya kujitegemea "Bulb ya Mwanga", "Bulb ya Mwanga", "Bulb ya Mwanga": Ambapo uwezekano wa tukio hilo "Nuru ya mwanga" imehesabiwa kama uwezekano wa tukio kinyume na tukio "bulb mwanga", yaani:.

Kumbuka kuwa tuna matukio mazuri yasiyo kamili ya 7. Uwezekano wa matukio hayo ni sawa na kiasi cha uwezekano wa kila matukio :.

Jibu: 0,975608.

Unaweza kuangalia kazi nyingine katika picha hapa chini:

Kwa hiyo, tunaelewa kuwa nadharia ya uwezekano wa formula na mifano ya kutatua matatizo ambayo unaweza kukutana katika toleo la EGE linaweza kupatikana.

Haiwezekani kwamba watu wengi wanafikiri kama matukio yanaweza kuhesabiwa, ambayo kwa njia moja au nyingine ni random. Kuonyesha maneno rahisi, Inawezekana kujua ni upande gani wa mchemraba katika kuanguka wakati ujao. Ni swali hili kwamba wanasayansi wawili wakuu walipewa, ambayo ilikuwa na mwanzo wa sayansi kama nadharia ya uwezekano, uwezekano wa tukio ambalo linasoma sana.

Idadi.

Ikiwa unajaribu kufafanua dhana kama hiyo kama nadharia ya uwezekano, basi itakuwa yafuatayo: hii ni moja ya sehemu za hisabati, ambazo zinahusika katika utafiti wa matukio ya random. Wazi dhana hii Kwa kweli haitafunua kiini kote, kwa hiyo ni muhimu kuzingatia kwa undani zaidi.

Ningependa kuanza na waumbaji wa nadharia. Kama ilivyoelezwa hapo juu, kulikuwa na wawili wao, ilikuwa ni sawa kabisa ya kwanza kujaribu kutumia formula na mahesabu ya hisabati ili kuhesabu matokeo ya hii au tukio hilo. Kwa ujumla, primitives ya sayansi hii yalionyeshwa katika Zama za Kati. Wakati huo, wasomi tofauti na wanasayansi walijaribu kuchambua kamari, kama vile roulette, mifupa, na kadhalika, na hivyo kuanzisha mfano na uwiano wa asilimia ya hasara ya namba moja au nyingine. Foundation iliwekwa katika karne ya kumi na saba kwa usahihi wanasayansi waliotajwa hapo juu.

Mara ya kwanza, kazi zao hazikuweza kuhusishwa na mafanikio mazuri katika eneo hili, kwa sababu kila kitu walichofanya, hizi zilikuwa tu ukweli, na majaribio yalikuwa ya kuona, bila matumizi ya formula. Baada ya muda, iligeuka kufikia matokeo mazuri ambayo yalionekana kutokana na uchunguzi wa mfupa. Ilikuwa chombo hiki kilichosaidiwa kupata formula za kwanza wazi.

Watu wenye nia

Haiwezekani kutaja mtu kama Wakristo Guigens, katika mchakato wa kusoma mada ambayo huanza jina "nadharia ya uwezekano" (uwezekano wa tukio linafunikwa katika sayansi hii). Mtu huyu ni ya kuvutia sana. Yeye, pamoja na wanasayansi waliowasilishwa hapo juu, walijaribu kwa namna ya fomu za hisabati ili kuleta mfano wa matukio ya random. Inashangaza kwamba haikufanya pamoja na Pascal na shamba, yaani, kazi zake zote hazikuingiliana na akili hizi. Guigens inayotokana

Kuvutia ni ukweli kwamba kazi yake ilitoka muda mrefu kabla ya matokeo ya kazi za wavumbuzi, au tuseme miaka ishirini kabla. Miongoni mwa dhana zilizochaguliwa, maarufu sana aliwa:

• dhana ya uwezekano ni kama thamani ya nafasi;
• matarajio ya hisabati kwa kesi za wazi;
• theorems ya kuzidisha na kuongeza ya probabilities.

Pia, haiwezekani kukumbuka ambayo pia ilitoa mchango mkubwa katika utafiti wa tatizo. Kufanya yako mwenyewe, hakuna hata mmoja wa wale ambao hawana tegemezi juu ya vipimo, aliweza kuwasilisha ushahidi wa sheria idadi kubwa. Kwa upande mwingine, wanasayansi wa Poisson na Laplace, ambao walifanya kazi mwanzoni mwa karne ya kumi na tisa, waliweza kuthibitisha theorems ya awali. Kutoka wakati huu, nadharia ya uwezekano ilianza kutumia nadharia ya probabilities wakati wa uchunguzi. Chama cha kupitisha sayansi hii haikuweza kuwa wanasayansi wa Kirusi, au badala ya Markov, Chebyshev na Dyapunov. Wao, kulingana na kazi iliyofanywa na wasomi mkubwa, walipata kipengee hiki kama sehemu ya hisabati. Takwimu hizi zilifanya kazi tayari mwishoni mwa karne ya kumi na tisa, na kutokana na mchango wao, matukio hayo yalithibitishwa kama:

• sheria ya idadi kubwa;
• nadharia ya minyororo Markov;
• kikomo cha kikomo cha kati.

Kwa hiyo, pamoja na historia ya asili ya sayansi na kwa mtu mkuu ambaye aliwashawishi, kila kitu ni zaidi au kidogo wazi. Sasa ni wakati wa kutaja ukweli wote.

Dhana ya msingi.

Kabla ya sheria na theorems, ni muhimu kusoma dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano. Tukio hilo linachukua jukumu la msingi. Mada hii Pretty Volumetric, lakini bila yatakuwa na uwezo wa kujua kila kitu kingine.

Tukio hilo katika nadharia la uwezekano ni echo-totality ya matokeo ya uzoefu. Hakuna dhana ndogo sana za jambo hili. Kwa hiyo, mwanachuoni Lotman, akifanya kazi katika eneo hili, alizungumza kuwa katika kesi hii tunazungumza. Kuhusu kile "kilichotokea, ingawa haikuweza kutokea."

Matukio ya random (nadharia ya uwezekano huwapa kwao tahadhari maalum.) - Hii ni dhana ambayo ina maana kabisa jambo lolote linaloweza kutokea. Au, kinyume chake, script hii haiwezi kutokea wakati wa kufanya hali mbalimbali. Pia ni muhimu kujua kwamba unakamata kiasi kikubwa cha tukio la matukio ya matukio ya random. Nadharia ya uwezekano inaonyesha kwamba hali zote zinaweza kurudia daima. Ilikuwa ni mwenendo wao ulioitwa "uzoefu" au "mtihani".

Tukio la kuaminika ni jambo ambalo asilimia mia moja kitatokea katika mtihani huu. Kwa hiyo, tukio lisilowezekana ni jambo ambalo halitatokea.

Kuchanganya jozi ya hatua (hali ya hali ya hewa na kesi b) ni jambo ambalo linatokea wakati huo huo. Wao hujulikana kama ab.

Kiasi cha mvuke ya matukio A na B ni C, kwa maneno mengine, ikiwa angalau mmoja wao hutokea (A au B), basi itakuwa C. formula ya uzushi ulioelezwa umeandikwa kama: C \u003d A + V .

Matukio yasiyo kamili katika nadharia ya uwezekano yanamaanisha kwamba kesi mbili huzuia kila mmoja. Wakati huo huo, hawawezi kutokea kwa njia yoyote. Matukio ya pamoja katika nadharia ya uwezekano ni antipod yao. Hapa inaeleweka kwamba ikiwa kilichotokea, basi haizuia V.

Matukio ya kinyume (nadharia ya uwezekano huwaona kuwa ya kina sana) rahisi kwa kuelewa. Ni bora kukabiliana nao kwa kulinganisha. Wao ni sawa na matukio yasiyokwisha katika nadharia ya uwezekano. Lakini tofauti yao iko katika ukweli kwamba moja ya matukio mengi katika hali yoyote inapaswa kutokea.

Matukio sawa ni hatua hizo ambazo kurudia ni sawa. Ili kuwa wazi, unaweza kufikiria kutupwa kwa sarafu: kuanguka kwa moja ya pande zake ni sawa kupoteza mwingine.

Tukio la kupendeza ni rahisi kuzingatia juu ya mfano. Tuseme kuna sehemu na sehemu ya A. Ya kwanza ni kutupwa kwa mchemraba na ujio wa idadi isiyo ya kawaida, na pili ni kuonekana kwa namba tano kwenye mchemraba. Kisha inageuka kuwa B.

Matukio ya kujitegemea katika nadharia ya uwezekano yanapangwa tu na kesi mbili na zaidi na kuashiria uhuru wa hatua yoyote kutoka kwa nyingine. Kwa mfano, A ni kupoteza kukimbilia wakati wa kutupa sarafu, na katika kukodisha sarafu kutoka kwenye staha. Wao ni matukio ya kujitegemea katika nadharia ya uwezekano. Kwa hatua hii ikawa wazi.

Matukio ya tegemezi katika nadharia ya uwezekano pia inaruhusiwa tu kwa kuweka yao. Wanamaanisha utegemezi wa moja kutoka kwa mwingine, yaani, jambo hilo linaloweza kutokea tu ikiwa limetokea au, kinyume chake, halikutokea wakati ni hali kuu ya V.

Matokeo ya jaribio la random linalojumuisha sehemu moja ni matukio ya msingi. Nadharia ya uwezekano inaelezea kuwa hii ni jambo ambalo mara moja tu imekamilika.

Fomu za msingi.

Kwa hiyo, dhana za "tukio", "nadharia ya uwezekano" zilizingatiwa hapo juu, ufafanuzi wa muda mrefu wa sayansi hii pia ulitolewa. Sasa ni wakati wa kufahamu moja kwa moja na formula muhimu. Maneno haya yanathibitisha dhana zote kuu katika bidhaa hiyo ngumu kama nadharia ya uwezekano. Uwezekano wa tukio na hapa ina jukumu kubwa.

Ni bora kuanza na msingi na kabla ya kuendelea nao, ni muhimu kuzingatia ni nini.

Combinatorics ni hasa sehemu ya hisabati, ni kushiriki katika utafiti wa kiasi kikubwa cha integers, pamoja na vibali mbalimbali vya namba zote na vipengele vyao, data mbalimbali, nk, na kusababisha kuongezeka kwa idadi ya mchanganyiko. Mbali na nadharia ya uwezekano, sekta hii ni muhimu kwa takwimu, sayansi ya kompyuta na cryptography.

Kwa hiyo sasa unaweza kuhamia kwenye uwasilishaji wa kanuni wenyewe na ufafanuzi wao.

Ya kwanza ya haya itakuwa maneno kwa idadi ya vibali, inaonekana kama hii:

P_n \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \u003d n!

Equation hutumiwa tu ikiwa vipengele vinatofautiana tu kwa utaratibu wa mahali.

Sasa formula ya uwekaji itazingatiwa, inaonekana kama hii:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (n-m)!

Maneno haya hayatumiki tu kwa utaratibu wa kuwekwa kwa kipengele, lakini pia kwa utungaji wake.

Equation ya tatu kutoka kwa combinatorics, na mwisho, inaitwa formula kwa idadi ya mchanganyiko:

C_n ^ m \u003d n! : (N-m))! : m!

Mchanganyiko huitwa sampuli ambazo haziagizwa, kwa mtiririko huo, kwao na sheria hii inatumika.

Fomu ya kuchanganya imeweza kufikiri bila ugumu, sasa unaweza kwenda ufafanuzi wa classic wa probabilities. Inaonekana kama maneno haya kama ifuatavyo:

Katika formula hii, m ni idadi ya hali inayofaa kwa tukio A, na N ni idadi ya matokeo yote sawa na ya msingi.

Ipo idadi kubwa ya Maneno, kila kitu hakitazingatiwa katika makala hiyo, lakini muhimu zaidi ya kuwaathiriwa, kama vile uwezekano wa kiasi cha matukio:

P (A + B) \u003d P (a) + P (b) - Theorem hii kwa kuongeza tu matukio yasiyo kamili;

P (A + B) \u003d P (a) + P (B) - P (ab) - na hii imeunganishwa tu sambamba.

Uwezekano wa kazi ya matukio:

P (a ⋅ b) \u003d P (a) ⋅ P (b) - Theorem hii kwa matukio ya kujitegemea;

(P (A ⋅ B) \u003d P (a) ⋅ P (b | a); P (a) ⋅ P (A) ⋅ P (A) ⋅ P (A) ⋅ P (A)) - Na hii kwa tegemezi.

Inamaliza orodha ya matukio ya formula. Nadharia ya uwezekano inatuambia kuhusu theorembayes, ambayo inaonekana kama hii:

P (h_m | a) \u003d (P (h_m) P (a | h_m)): (σ_ (k \u003d 1) ^ n p (h_k) P (a | h_k)), m \u003d 1, ... n.

Katika formula hii h 1, h 2, ..., H n ni kikundi kamili hypotheses.

Mifano.

Ikiwa unachunguza kwa makini sehemu yoyote ya hisabati, haifanyi kazi bila mazoezi na ufumbuzi wa sampuli. Hivyo nadharia ya uwezekano: matukio, mifano hapa ni sehemu muhimu inayothibitisha mahesabu ya kisayansi.

Formula kwa idadi ya vibali

Tuseme, kuna kadi thelathini katika staha ya kadi, kuanzia kutoka kwa jina la jina. Swali la pili. Ni njia ngapi za kufanya staha ili kadi ziwe na moja na mbili hazipo karibu?

Kazi imewekwa, sasa hebu tuende kwa uamuzi wake. Kuanza, ni muhimu kuamua idadi ya vibali kutoka kwa vipengele thelathini, kwa hili tunafanya formula hapo juu, inageuka p_30 \u003d 30!.

Kulingana na kanuni hii, tutajifunza chaguzi ngapi za kufunga staha kwa njia tofauti, lakini tunahitaji kuondoa wale ambao kadi ya kwanza na ya pili itakuwa karibu. Ili kufanya hivyo, hebu tuanze na chaguo wakati wa kwanza ni juu ya pili. Inageuka kuwa kadi ya kwanza inaweza kuchukua maeneo ya ishirini na tisa - kutoka kwa wa kwanza hadi ishirini na tisa, na kadi ya pili kutoka kwa pili ya thelathini, inageuka mahali tu ishirini na tisa kwa kadi kadhaa. Kwa upande mwingine, wengine wanaweza kuchukua maeneo ya ishirini na nane, na kwa utaratibu wa random. Hiyo ni, kwa ajili ya vibali vya kadi ishirini na nane kuna chaguzi ishirini na nane P_28 \u003d 28!

Matokeo yake, inageuka kuwa ikiwa tunazingatia uamuzi wakati kadi ya kwanza iko juu ya pili, fursa za ziada zitatokea 29 ⋅ 28! \u003d 29!

Kutumia njia hiyo hiyo, unahitaji kuhesabu idadi ya chaguzi zilizopunguzwa kwa kesi wakati kadi ya kwanza iko chini ya pili. Inageuka pia 29 ⋅ 28! \u003d 29!

Inakufuata kutoka kwa hili kwamba chaguzi zisizohitajika 2 ⋅ 29!, Wakati mbinu muhimu za kukusanya staha 30! - 2 ⋅ 29!. Inabakia tu kuhesabu.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sasa unahitaji kuzidisha idadi zote kutoka kwa moja hadi ishirini na tisa, baada ya hapo mwisho wa kuzidisha yote kwa 28. Jibu linapatikana 2,4757335 ⋅ ⋅ 10〗 ^ 32

Suluhisho la mfano. Mfumo wa kuwekwa

Katika kazi hii, ni muhimu kujua njia ngapi kuna njia za kuweka kiasi cha kumi na tano kwenye rafu moja, lakini ilitoa kwamba kiasi kikubwa ni thelathini.

Katika tatizo hili, suluhisho ni rahisi zaidi kuliko ilivyokuwa hapo awali. Kutumia formula iliyojulikana tayari, ni muhimu kuhesabu idadi ya maeneo kutoka kwa kiasi cha thelathini hadi kumi na tano.

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 \u003d 202 843 204 931 727 360 000

Jibu, kwa mtiririko huo, litakuwa sawa na 202 843 204 931 727 360,000.

Sasa fanya kazi kidogo ngumu zaidi. Ni muhimu kujua njia ngapi za kuweka vitabu thelathini kwenye vitabu vya vitabu viwili, ikiwa ni pamoja na kwamba kiasi cha kumi na tano tu kinaweza kuwa kwenye rafu moja.

Kabla ya kuanza uamuzi, ningependa kufafanua kuwa baadhi ya kazi zinatatuliwa kwa njia kadhaa na katika hili kuna njia mbili, lakini fomu hiyo hiyo inatumiwa kwa wote wawili.

Katika kazi hii, unaweza kuchukua jibu kutoka kwa uliopita, kwa sababu huko tulihesabu mara ngapi unaweza kujaza rafu kwa vitabu kumi na tano kwa njia tofauti. Iligeuka a_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Tumia rafu ya pili kwa formula ya vibali, kwa sababu vitabu kumi na tano vinawekwa ndani yake, wakati kila kitu kinabaki kumi na tano. Tunatumia formula p_15 \u003d 15!.

Inageuka kuwa kwa kiasi kutakuwa na_30 ^ 15 ⋅ p_15 ya mbinu, lakini, kwa kuongeza, bidhaa za namba zote kutoka thelathini hadi kumi na sita zitaongezeka kwa idadi ya idadi kutoka kwa moja hadi kumi na tano, matokeo ya yote Hesabu kutoka moja hadi thelathini, yaani, jibu sawa 30!

Lakini kazi hii inaweza kutatuliwa kwa tofauti - rahisi. Kwa kufanya hivyo, unaweza kufikiria kwamba kuna rafu moja kwa vitabu thelathini. Wote huwekwa kwenye ndege hii, lakini kama hali inahitaji kwamba rafu iwe mbili, basi sisi ni moja ya muda mrefu katika nusu, inageuka mbili hadi kumi na tano. Kutoka hii inageuka kuwa chaguzi za mpangilio inaweza kuwa p_30 \u003d 30!.

Suluhisho la mfano. Formula kwa mchanganyiko.

Sasa chaguo la tatizo la tatu la combinatorics litazingatiwa. Ni muhimu kujua njia ngapi kuna kupanga vitabu kumi na tano, isipokuwa unahitaji kuchagua kutoka thelathini moja.

Ili kutatua, itakuwa, bila shaka, formula hutumiwa kwa idadi ya mchanganyiko. Inakuwa wazi kutokana na hali ambayo amri ya vitabu kumi na tano si muhimu. Kwa hiyo, awali unahitaji kujua idadi ya mchanganyiko kutoka kwa vitabu thelathini kwa kumi na tano.

C_30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15))! : kumi na tano! \u003d 155 117 520.

Ni hayo tu. Kutumia fomu hii wakati mfupi zaidi Iliwezekana kutatua kazi hiyo, jibu, kwa mtiririko huo, ni sawa na 155,117,520.

Suluhisho la mfano. Ufafanuzi wa uwezekano wa classical.

Kutumia formula iliyoonyeshwa hapo juu, unaweza kupata jibu katika kazi rahisi. Lakini hii itasaidia kuibua kuona na kufuatilia hatua.

Kazi inapewa kwamba kuna mipira kumi inayofanana kabisa katika urn. Kati ya hizi, nne njano na sita bluu. Mpira mmoja unachukuliwa kutoka kwa urn. Ni muhimu kujua uwezekano wa bluu.

Ili kutatua tatizo, unahitaji kuteua bLAGE BALL. Tukio A. Uzoefu huu unaweza kuwa na matokeo kumi, ambayo, kwa upande mwingine, msingi na usawa. Wakati huo huo, kati ya sita sita ni matukio mazuri A. Kuamua kwa formula:

P (a) \u003d 6: 10 \u003d 0.6

Kutumia formula hii, tulijifunza kwamba uwezekano wa kupata mpira wa bluu ni 0.6.

Suluhisho la mfano. Uwezekano wa kiasi cha matukio

Sasa chaguo litawasilishwa, ambalo linatatuliwa kwa kutumia formula ya uwezekano wa tukio la matukio. Kwa hiyo, hali hiyo inapewa kwamba kuna masanduku mawili, ya kwanza ni mipira nyeupe na tano nyeupe, na katika mipira ya pili ya kijivu na nane. Matokeo yake, kutoka kwenye sanduku la kwanza na la pili walichukua mmoja wao. Ni muhimu kujua nini nafasi ya ukweli kwamba mipira iliyochukuliwa itakuwa kijivu na nyeupe.

Ili kutatua kazi hii, unahitaji kuteua matukio.

• Kwa hiyo, na - alichukua mpira wa kijivu kutoka kwenye droo ya kwanza: P (a) \u003d 1/6.
• A '- alichukua mpira mweupe pia kutoka kwenye droo ya kwanza: P (a ") \u003d 5/6.
• B - kuondolewa mpira wa kijivu tayari kutoka sanduku la pili: P (B) \u003d 2/3.
• B '- alichukua mpira wa kijivu kutoka kwenye droo ya pili: P (B ") \u003d 1/3.

Chini ya hali ya kazi, ni muhimu kutokea moja ya matukio: AV 'au A'v. Kutumia formula, tunapata: P (ab ") \u003d 1/18, P (A" B) \u003d 10/18.

Sasa formula hutumiwa kuongezeka kwa uwezekano. Kisha, ili kujua jibu, unahitaji kutumia usawa wa kuongeza yao:

P \u003d P (ab "+ A" B) \u003d P (ab ") + P (A" B) \u003d 11/18.

Kwa hiyo, kwa kutumia formula, unaweza kutatua kazi hizo.

Matokeo.

Makala ina habari juu ya mada "nadharia ya uwezekano", uwezekano wa tukio ambalo linacheza jukumu muhimu.. Bila shaka, si kila kitu kilichozingatiwa, lakini kulingana na maandishi yaliyowasilishwa, unaweza kinadharia kujitambulisha na sehemu hii ya hisabati. Sayansi inayozingatiwa inaweza kuwa na manufaa si tu katika biashara ya kitaaluma, lakini pia maisha ya kila siku. Kwa hiyo, unaweza kuhesabu fursa yoyote kwa tukio lolote.

Katika maandiko pia yaliathiriwa tarehe ya Renal. Katika historia ya malezi ya nadharia ya uwezekano kama sayansi, na majina ya watu ambao kazi zao ziliwekeza ndani yake. Hii ndivyo udadisi wa kibinadamu uliongozwa na ukweli kwamba watu walijifunza kuhesabu hata matukio ya random. Mara tu walipokuwa na nia ya hili, na leo kila mtu tayari anajua kuhusu hilo. Na hakuna mtu atakayesema kuwa ni kusubiri kwa siku zijazo, nini uvumbuzi mwingine wa kipaji unaohusishwa na nadharia inayozingatiwa utafanyika. Lakini jambo moja linaweza kusema kwa hakika - utafiti juu ya doa sio thamani!

Wengi, walikutana na dhana ya "nadharia ya uwezekano," inaogopa, kufikiri kwamba hii ni kitu ambacho hawezi kushindwa, ngumu sana. Lakini kila kitu sio kweli kibaya. Leo tutazingatia dhana ya msingi ya kujifunza kutatua matatizo juu ya mifano maalum.

Sayansi

Ni nini kinachojifunza sehemu hiyo ya hisabati kama "nadharia ya uwezekano"? Inasema mifumo na maadili. Kwa mara ya kwanza swali hili, wanasayansi walikuwa na nia ya karne ya kumi na nane, wakati kamari ilijifunza. Dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano ni tukio. Hii ni ukweli wowote unaoelezwa na uzoefu au uchunguzi. Lakini ni nini uzoefu? Dhana nyingine ya msingi ya nadharia ya uwezekano. Ina maana kwamba muundo huu wa hali haukuundwa kwa bahati, lakini kwa lengo fulani. Kwa upande wa uchunguzi, hapa mtafiti mwenyewe hana kushiriki katika uzoefu, lakini tu kushuhudia matukio ya data, haathiri kile kinachotokea.

Matukio

Tulijifunza kwamba dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano ni tukio, lakini si kuchukuliwa kuwa uainishaji. Wote wamegawanywa katika makundi yafuatayo:

• Kuaminika.
• Haiwezekani.
• Random.

Bila kujali matukio ambayo yanazingatiwa au kuunda wakati wa uzoefu, wote wanakabiliwa na uainishaji huu. Tunatoa kila aina ya aina ili ujue tofauti.

Tukio la kuaminika

Hii ndiyo hali ambayo seti ya matukio ya lazima inafanywa. Ili kupungua vizuri ndani ya kiini, ni bora kuleta mifano. Fizikia na kemia, na uchumi, na hisabati ya juu ni chini ya sheria hii. Nadharia ya uwezekano ni pamoja na vile. dhana muhimu.kama tukio la kuaminika. Tunatoa mifano:

• Tunafanya kazi na kupata mshahara kwa namna ya mshahara.
• Kupitisha mitihani vizuri, ushindani ulifanyika, tunapokea tuzo kwa hili kwa namna ya kupokea taasisi ya elimu.
• Tumewekeza fedha katika benki, ikiwa ni lazima, tunawapeleka.

Matukio hayo yanaaminika. Ikiwa tumetimiza hali zote muhimu, basi tutaweza kupata matokeo yaliyotarajiwa.

Matukio yasiyowezekana

Sasa tunazingatia mambo ya nadharia ya uwezekano. Tunapendekeza kwenda kwenye maelezo ya aina ya pili ya tukio, yaani haiwezekani. Kuanza na wengi kanuni muhimu - Uwezekano wa tukio haiwezekani ni sifuri.

Kutoka kwa uundaji huu, haiwezekani kurudi wakati wa kutatua matatizo. Ili kuelezea, tunatoa mifano ya matukio hayo:

• Maji waliohifadhiwa katika joto pamoja na kumi (haiwezekani).
• Hakuna umeme hauathiri uzalishaji (pia haiwezekani, kama ilivyo katika mfano uliopita).

Mifano zaidi haipaswi kutolewa, kama ilivyoelezwa hapo juu kutafakari kiini cha jamii hii. Tukio lisilowezekana halitatokea kamwe wakati wowote.

Matukio ya Random.

Kujifunza vipengele vya nadharia ya uwezekano, tahadhari maalum inapaswa kulipwa kwa aina hii ya matukio. Ni wao kusoma sayansi hii. Kama matokeo ya uzoefu, kitu kinaweza kutokea au la. Aidha, mtihani unaweza kufanyika idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Mifano nzuri Inaweza kutumika:

• Sarafu ya sarafu ni uzoefu, au mtihani, kuanguka kwa tai ni tukio.
• Kuvuta mpira kwa upofu - mtihani, mpira mwekundu ulipatikana - hii ni tukio na kadhalika.

Mifano kama hiyo inaweza kuwa wingi usio na ukomo, lakini, kwa ujumla, kiini lazima iwe wazi. Kwa muhtasari na kuimarisha ujuzi uliopatikana kwenye matukio, meza hutolewa. Nadharia ya masomo ya uwezekano tu mtazamo wa mwisho wa wote waliowasilishwa.

Sheria

Nadharia ya uwezekano ni sayansi inayojifunza uwezo wa kuanguka tukio lolote. Kama wengine, ina sheria fulani. Ipo sheria zifuatazo Nadharia za uwezekano:

• Kuunganisha utaratibu wa vigezo vya random.
• Sheria ya idadi kubwa.

Wakati wa kuhesabu uwezekano wa tata, unaweza kutumia tata ya matukio rahisi ili kufikia matokeo rahisi na kwa haraka. Kumbuka kwamba sheria za nadharia ya uwezekano zinaonekana kwa urahisi kwa kutumia baadhi ya theorems. Tunatoa kuanza kujifunza sheria ya kwanza.

Kuunganisha vigezo vya random.

Kumbuka kuwa aina za kuunganisha ni kiasi fulani:

• Mlolongo wa vigezo vya random unahitajika kwa uwezekano.
• Karibu haiwezekani.
• R maana ya mraba-mraba.
• Usambazaji wa usambazaji.

Kwa hiyo, pamoja na majira ya joto, ni vigumu sana kuingia ndani ya kiini. Tunatoa ufafanuzi ambao utasaidia kutambua mada hii. Kuanza kwa mtazamo wa kwanza. Mlolongo huitwa. mara kwa mara kama uwezekanoIkiwa hali ifuatayo inazingatiwa: n huelekea infinity, nambari ambayo mlolongo unajitahidi, zaidi ya sifuri na inakaribia moja.

Nenda K. ijayo, Karibu pengine. Inasemekana kuwa mlolongo husababisha karibu pengine Kwa variable random kwa n, kujitahidi kwa infinity, na P, kujitahidi ukubwa takriban moja.

Aina ya pili ni kuunganisha ni rustic.. Unapotumia sk-convergence, utafiti wa michakato ya vector ya vector imepungua kwa utafiti wa michakato yao ya kuratibu ya random.

Aina ya mwisho ilibakia, hebu tuelewe kwa ufupi na kuhamia moja kwa moja kutatua kazi. Kuunganisha kwa usambazaji ina jina lingine - "dhaifu", kisha kuelezea kwa nini. Udhaifu dhaifu - Hizi ni ushirikiano wa kazi za usambazaji katika pointi zote za eneo la kazi ya usambazaji wa kikomo.

Hakikisha kutimiza ahadi: Convergence dhaifu hutofautiana na ukweli wote kwamba thamani ya random haielezei juu ya nafasi ya probabilistic. Hii inawezekana kwa sababu hali huundwa tu kutumia kazi za usambazaji.

Sheria ya idadi kubwa.

Wasaidizi bora katika ushahidi wa sheria hii itakuwa theorems ya nadharia ya uwezekano, kama vile:

• Chebyshev usawa.
• Chebyshev theorem.
• Generalized chebyshev theorem.
• Theorem ya Markov.

Ikiwa tunazingatia theorems hizi zote, basi suala hili linaweza kuchelewesha makumi kadhaa ya karatasi. Sisi pia tuna kazi kuu - hii ni matumizi ya nadharia ya uwezekano katika mazoezi. Tunakupa sasa hivi na kufanya hivyo. Lakini kabla ya hili, fikiria Axioms ya nadharia ya uwezekano, watakuwa wasaidizi kuu wakati wa kutatua matatizo.

Axioms.

Kutoka kwa kwanza tumekutana nao wakati walizungumza juu ya tukio lisilowezekana. Hebu tukumbuke: uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri. Mfano Tulileta mkali sana na kukumbukwa: theluji ikaanguka joto la hewa ya digrii thelathini Celsius.

Sauti ya pili kama ifuatavyo: tukio la kuaminika hutokea kwa uwezekano sawa na moja. Sasa tunaonyesha jinsi ya kuandika kwa msaada wa lugha ya hisabati: P (c) \u003d 1.

Tatu: tukio la random linaweza kutokea au la, lakini uwezo wa daima hutofautiana kutoka sifuri hadi moja. Kuliko thamani ya karibu Kwa moja, nafasi ni zaidi; Ikiwa thamani inakaribia sifuri, uwezekano ni mdogo sana. Tunaandika katika lugha ya hisabati: 0.<Р(С)<1.

Fikiria axiom ya mwisho, ya nne, ambayo inaonekana kama hii: uwezekano wa jumla ya matukio mawili ni sawa na jumla ya uwezekano wao. Tunaandika lugha ya hisabati: P (A + c) \u003d P (a) + P (b).

Asoms ya nadharia ya uwezekano ni sheria rahisi ambazo hazitakuwa vigumu kukumbuka. Hebu jaribu kutatua kazi fulani, kutegemea ujuzi uliopokea tayari.

Tiketi ya bahati nasibu.

Kuanza na, fikiria mfano rahisi - bahati nasibu. Fikiria kwamba umenunua tiketi moja ya bahati nasibu kwa bahati nzuri. Je, ni uwezekano gani kwamba utashinda angalau rubles ishirini? Tiketi elfu zinahusika katika mzunguko, moja ambayo ina tuzo katika rubles mia tano, rubles mia kumi, rubles hamsini na ishirini, na mia na tano. Kazi juu ya nadharia ya uwezekano ni msingi wa kutafuta fursa ya bahati nzuri. Sasa tutajitambua suluhisho juu ya kazi zilizowasilishwa.

Ikiwa sisi ni barua na tunaashiria winnings ya rubles mia tano, uwezekano wa kuanguka itakuwa sawa na 0.001. Tulipataje? Unahitaji tu kushiriki idadi ya tiketi ya "furaha" ili kushiriki idadi yao (katika kesi hii: 1/1000).

B ni winnings ya rubles mia, uwezekano utakuwa sawa na 0.01. Sasa tulifanya kanuni sawa na katika hatua ya zamani (10/1000)

C - Winnings ni sawa na rubles ishirini. Tunapata uwezekano, ni sawa na 0.05.

Wengine wa tiketi hawana nia yetu, kwa kuwa pool yao ya tuzo ni chini ya ilivyoelezwa katika hali hiyo. Tumia axiom ya nne: uwezekano wa kushinda angalau rubles ishirini ni P (a) + P (c) + P (c). Barua ya P inaelezewa na uwezekano wa asili ya tukio hili, tumewapata tayari katika vitendo vya awali. Inabakia tu kuweka data muhimu, tunapata 0.061 katika jibu. Hii ni namba na itakuwa jibu kwa swali la kazi.

Kadi ya Deck.

Kazi juu ya nadharia ya uwezekano ni ngumu zaidi, kwa mfano, kuchukua kazi zifuatazo. Kabla ya deck nje ya kadi thelathini na sita. Kazi yako ni kuondokana na ramani mbili kwa safu bila kuchochea stack, kadi ya kwanza na ya pili lazima iwe aces, suti haina chochote.

Kuanza na, tunaona uwezekano kwamba kadi ya kwanza itakuwa Ace, kwa hii kugawanyika nne kwa thelathini na sita. Imesimama kando. Kutoa kadi ya pili, itakuwa Ace na uwezekano wa tatu thelathini na tano. Uwezekano wa tukio la pili linategemea ramani tuliyovuta kwanza, tunashangaa, ilikuwa ni Ace au la. Inakufuata kutoka kwa hili kwamba tukio linategemea tukio A.

Hatua inayofuata tunayopata uwezekano wa utekelezaji wa wakati huo huo, yaani, kwa folding A na B. Kazi yao ni kama ifuatavyo: uwezekano wa tukio moja kuongezeka juu ya uwezekano wa masharti ya mwingine, ambayo sisi kuhesabu, kuchukua kwamba tukio la kwanza lilifanyika , yaani, sisi vunjwa kwanza kwa Ace.

Ili kuwa kila kitu wazi, tunatoa sifa kwa kipengele kama vile matukio. Inahesabiwa, kudhani kwamba tukio hilo lilitokea. Inahesabiwa kama ifuatavyo: P (v / a).

Hebu tuendelee suluhisho la tatizo letu: P (a * c) \u003d P (a) * P (katika / a) au p (a * c) \u003d P (c) * P (A / C). Uwezekano sawa (4/36) * ((3/35) / (4/36). Kuhesabu, mviringo hadi chini ya mia. Tuna: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.09. Uwezekano Kwamba sisi kupanua aces mbili mfululizo ni tisa mia. Thamani ni ndogo sana, inafuata kutoka hii kwamba uwezekano wa tukio ni ndogo sana.

Idadi iliyosahau.

Tunapendekeza kusambaza chaguzi kadhaa kwa kazi ambazo zinasoma nadharia ya uwezekano. Mifano ya kutatua baadhi yao tayari umeona katika makala hii, jaribu kutatua kazi zifuatazo: Mvulana alisahau tarakimu ya mwisho ya simu ya rafiki yake, lakini tangu simu ilikuwa muhimu sana, kisha ikaanza kuajiri kila kitu kwa upande wake . Tunahitaji kuhesabu uwezekano kwamba hautaita mara zaidi ya mara tatu. Tatizo la tatizo ni rahisi, kama sheria, sheria na axioms ya nadharia ya uwezekano hujulikana.

Kabla ya kutazama suluhisho, jaribu kutatua mwenyewe. Tunajua kwamba tarakimu ya mwisho inaweza kuwa kutoka sifuri hadi tisa, yaani, kuna maadili kumi tu. Uwezekano wa kuandika taka ni 1/10.

Kisha, tunahitaji kuzingatia chaguzi za asili ya tukio hilo, tuseme kwamba mvulana nadhani na mara moja alipata muhimu, uwezekano wa tukio hilo ni 1/10. Chaguo la pili: kengele ya kwanza ya kuingizwa, na pili kwa lengo. Tumia uwezekano wa tukio hilo: 9/10 Kuzidisha na 1/9, kwa sababu sisi pia kupata 1/10. Chaguo la tatu: wito wa kwanza na wa pili haukuwa kwenye anwani, tu kutoka kwa mvulana wa tatu alikwenda pale ambako alitaka. Tumia uwezekano wa tukio hilo: 9/10 Kuzidisha mnamo 8/9 na 1/8, tunapata 1/10 kama matokeo. Chaguzi nyingine chini ya hali ya kazi hazipendekezwa kwetu, tumebakia iliyopigwa na matokeo, kama matokeo tuna 3/10. Jibu: uwezekano kwamba mvulana ataita si zaidi ya mara tatu sawa na 0.3.

Kadi na idadi.

Kuna kadi tisa kabla yako, kila mmoja ameandikwa idadi kutoka kwa moja hadi tisa, namba hazirudia. Waliwekwa kwenye sanduku na kuchanganywa vizuri. Unahitaji kuhesabu uwezekano wa kuwa

• nambari hata itaanguka;
• tarakimu mbili.

Kabla ya kubadili suluhisho, tutazungumzia kuwa m ni idadi ya mafanikio, na n ni jumla ya chaguzi. Tunapata uwezekano kwamba idadi itakuwa hata. Si vigumu kuhesabu kwamba hata namba nne, itakuwa m yetu, kila kitu kinawezekana chaguzi tisa, yaani, m \u003d 9. Kisha uwezekano ni 0.44 au 4/9.

Tunazingatia kesi ya pili: idadi ya chaguzi kwa tisa, na hawezi kuwa na matokeo mafanikio wakati wote, yaani, m ni sifuri. Uwezekano kwamba kadi ya mviringo itakuwa na idadi ya tarakimu mbili, sawa sawa na sifuri.

Awali, kuwa tu mkutano wa habari na uchunguzi wa kimapenzi wa mchezo katika mfupa, nadharia ya uwezekano imekuwa sayansi imara. Wa kwanza ambaye alitoa mfumo wake wa hisabati alikuwa shamba na Pascal.

Kutoka kufikiri juu ya nadharia ya milele kwa uwezekano

Ubinafsi wawili ambao wanalazimishwa na formula nyingi za msingi, Blaise Pascal na Thomas Bayes, wanajulikana kama waumini wenye undani, huyo alikuwa kuhani wa Presbyterian. Inaonekana, tamaa ya wanasayansi hawa wawili kuthibitisha uongo wa maoni juu ya aina fulani ya bahati, kutoa bahati nzuri kwa wanyama wao wa kipenzi, alitoa msukumo wa utafiti katika eneo hili. Baada ya yote, kwa kweli, kamari yoyote na winnings yake na hasara ni symphony ya kanuni za hisabati.

Shukrani kwa mchungaji wa Azart, ambaye alikuwa sawa na mchezaji na mtu ambaye sio tofauti na sayansi, Pascal alilazimika kutafuta njia ya kuhesabu uwezekano. Utoaji ulikuwa na nia ya swali hilo: "Ni mara ngapi unapaswa kutupa mifupa miwili kwa jozi ili uwezekano wa kupata pointi 12 ulizidi 50%?". Swali la pili linapendezwa sana na Cavallar: "Jinsi ya kushiriki bet kati ya washiriki wa mchezo usiofunguliwa?" Bila shaka, Pascal alijibu kwa mafanikio kwa maswali mawili, ambayo yalikuwa msukumo wa kujihusisha kwa ajili ya maendeleo ya nadharia ya uwezekano. Kwa kushangaza, mtu wa mtu alibakia kujulikana katika sanaa, na sio katika vitabu.

Hapo awali, hakuna hisabati bado amefanya jitihada za kuhesabu uwezekano wa matukio, kwa kuwa iliaminika kuwa hii ni uamuzi wa gady tu. Blaise Pascal alitoa ufafanuzi wa kwanza wa uwezekano wa tukio hilo na kuonyesha kwamba hii ni takwimu maalum ambayo inaweza kuhesabiwa haki na njia za hisabati. Nadharia ya uwezekano imekuwa msingi wa takwimu na hutumiwa sana katika sayansi ya kisasa.

Ajali ni nini

Ikiwa tunazingatia mtihani ambao unaweza kurudia idadi isiyo na mwisho ya nyakati, basi unaweza kufafanua tukio la random. Hii ni moja ya matokeo yanayotarajiwa ya uzoefu.

Uzoefu ni utekelezaji wa vitendo halisi katika hali ya mara kwa mara.

Kufanya kazi na matokeo ya uzoefu, matukio ya kawaida yanaashiria kwa barua A, B, C, D, ...

Uwezekano wa tukio la random.

Ili uweze kuanza sehemu ya hisabati ya uwezekano, unahitaji kufafanua vipengele vyake vyote.

Uwezekano wa tukio hutamkwa kwa aina ya namba ya kiwango cha kuonekana kwa tukio fulani (A au B) kutokana na uzoefu. Uwezekano wa P (A) au P (b) unaonyeshwa.

Katika nadharia ya uwezekano, kutofautisha:

• kuaminika. Tukio hilo linathibitishwa kama matokeo ya jaribio P (ω) \u003d 1;
• haiwezekani Tukio haliwezi kutokea P (Ø) \u003d 0;
• random. Tukio liko kati ya kuaminika na haiwezekani, yaani, uwezekano wa kuonekana kwake inawezekana, lakini haujahakikishiwa (uwezekano wa tukio la random daima ni ndani ya 0≤P (a) ≤ 1).

Mahusiano kati ya matukio.

Fikiria wote sawa na jumla ya matukio ya A + B, wakati tukio hilo linahesabiwa katika utekelezaji wa angalau moja ya vipengele, A au B, au wote - A na V.

Kuhusiana na kila mmoja, matukio yanaweza kuwa:

• Usawa.
• Sambamba.
• Haiendani.
• Kinyume (kwa pamoja).
• Tegemezi.

Ikiwa matukio mawili yanaweza kutokea kwa uwezekano sawa, basi wao equilibrium..

Ikiwa kuonekana kwa tukio na haina kupunguza uwezekano wa kuonekana kwa tukio B, basi wao sambamba.

Ikiwa matukio A na B hayafanyike wakati huo huo katika uzoefu huo, wanaitwa inapatana na. Kutupa sarafu ni mfano mzuri: kuonekana kwa kukimbilia ni moja kwa moja kosa la tai.

Uwezekano wa kiasi cha matukio hayo yasiyolingana na uwezekano wa kila matukio:

P (A + C) \u003d P (a) + P (c)

Ikiwa mwanzo wa tukio moja hufanya kuwa haiwezekani kutokea nyingine, wanaitwa kinyume. Kisha mmoja wao ameteuliwa kama A, na mwingine - ā (soma kama "sio"). Kuonekana kwa tukio hilo kuna maana kwamba ā haikutokea. Matukio haya mawili yanaunda kundi kamili na jumla ya uwezekano sawa na 1.

Matukio ya tegemezi yana ushawishi wa pamoja, kupunguza au kuongeza uwezekano wa kila mmoja.

Mahusiano kati ya matukio. Mifano.

Mifano ni rahisi kuelewa kanuni za nadharia ya uwezekano na mchanganyiko wa matukio.

Uzoefu ambao utafanyika ni kuvuta mipira kutoka kwenye sanduku, na matokeo ya kila uzoefu ni matokeo ya msingi.

Tukio ni moja ya matokeo ya uwezekano wa uzoefu - mpira nyekundu, mpira wa bluu, mpira unao na namba sita, nk.

Nambari ya mtihani 1. Mipira 6 inahusishwa, tatu ambayo ni rangi ya rangi ya bluu, isiyo ya kawaida hutumiwa juu yao, na wengine watatu ni nyekundu na namba hata.

Nambari ya mtihani 2. 6 mipira ya bluu na namba kutoka moja hadi sita zinahusika.

Kulingana na mfano huu, unaweza kupiga picha:

• Tukio la kuaminika. In. №2 Tukio "Pata mpira wa bluu" ni wa kuaminika, kwa kuwa uwezekano wa kuonekana kwake ni sawa na 1, tangu mipira yote ya bluu na miss haiwezi kuwa. Ingawa tukio hilo "kupata mpira na namba 1" ni random.
• Tukio lisilowezekana. In. №1 Kwa mipira ya bluu na nyekundu Tukio "Pata mpira wa rangi ya zambarau" haiwezekani, kwa kuwa uwezekano wa kuonekana kwake ni 0.
• Matukio sawa. In. №1 Matukio "Pata mpira na namba 2" na "Pata mpira na namba 3" usawa, na matukio "Pata mpira na namba hata" na "Pata mpira na namba 2" ina uwezekano tofauti .
• Matukio yanayofaa. Mara mbili mfululizo kupata sita katika mchakato wa kutupa mfupa wa kucheza - haya ni matukio yanayofaa.
• Matukio yasiyolingana. Katika ISP sawa. №1 Matukio "Pata mpira mwekundu" na "kupata mpira na idadi isiyo ya kawaida" haiwezi kuunganishwa katika uzoefu huo.
• Matukio tofauti. Mfano wa kushangaza zaidi wa hii ni kutupa sarafu wakati tai ya kuvuta ni sawa na yasiyo ya uhamisho wa mto, na jumla ya uwezekano wao ni daima 1 (kundi kamili).
• Matukio ya tegemezi. Kwa hiyo, katika ISP. №1 Unaweza kuweka lengo la kuondoa puto nyekundu mara mbili mfululizo. Uchimbaji wake au haijulikani kwa mara ya kwanza huathiri uwezekano wa kuchimba mara ya pili.

Inaweza kuonekana kwamba tukio la kwanza linaathiri sana uwezekano wa pili (40% na 60%).

Mfumo wa uwezekano wa tukio.

Mpito kutoka kwa tafakari za gadetting kwa data halisi ni kutokana na mandhari ya kutafsiri kwenye ndege ya hisabati. Hiyo ni, hukumu kuhusu tukio la random kama "uwezekano mkubwa" au "uwezekano wa chini" unaweza kuhamishiwa data maalum ya nambari. Vifaa vile vinaruhusiwa kutathmini, kulinganisha na kuanzisha mahesabu ya ngumu zaidi.

Kutoka kwa mtazamo wa hesabu, ufafanuzi wa uwezekano wa tukio ni uwiano wa idadi ya matokeo mazuri ya msingi kwa kiasi cha matokeo yote yanayowezekana ya uzoefu wa tukio maalum. Inaonyeshwa na uwezekano wa P (a), ambapo r maana ya "probabilite", ambayo hutafsiriwa kutoka Kifaransa kama "uwezekano."

Kwa hiyo, tukio la uwezekano wa uwezekano:

Ambapo m ni idadi ya matokeo mazuri kwa tukio A, N - jumla ya matokeo yote iwezekanavyo kwa uzoefu huu. Katika kesi hiyo, uwezekano wa matukio daima ni uongo kati ya 0 na 1:

0 ≤ P (a) ≤ 1.

Hesabu ya uwezekano wa tukio. Mfano.

Chukua hotuba. №1 na mipira, ambayo hapo awali ilivyoelezwa: mipira 3 ya bluu na namba 1/3/5 na 3 nyekundu na namba 2/4/6.

Kulingana na mtihani huu, kazi kadhaa tofauti zinaweza kutazamwa:

• A - kupoteza bakuli nyekundu. Mipira nyekundu 3, na chaguzi za jumla 6. Hii ni mfano rahisi zaidi ambayo uwezekano wa tukio ni P (a) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• B - kupoteza kwa idadi hata. Kwa jumla hata namba 3 (2,4,6), na jumla ya aina ya aina ya uwezekano ni 6. Uwezekano wa tukio hili ni P (B) \u003d 3/6 \u003d 0.5.
• C ni kupoteza idadi kubwa zaidi ya 2. Chaguo cha jumla 4 (3,4,5,6) kutoka kwa jumla ya matokeo ya uwezekano wa 6. Uwezekano wa tukio na sawa na P (C) \u003d 4/6 \u003d 0.67 .

Kama inavyoonekana kutokana na mahesabu, tukio la C lina uwezekano mkubwa, kwa kuwa idadi ya matokeo mazuri ya uwezekano ni ya juu kuliko katika A na V.

Matukio yasiyo sahihi

Matukio hayo hayawezi kuonekana wakati huo huo katika uzoefu huo. Kama ilivyo №1 Haiwezekani wakati huo huo kufikia mpira wa bluu na nyekundu. Hiyo ni, unaweza kupata mpira wa bluu au nyekundu. Kwa njia ile ile katika mfupa, hata idadi na isiyo ya kawaida inaweza kuwa wakati huo huo.

Uwezekano wa matukio mawili unachukuliwa kama uwezekano wa jumla au kazi yao. Kiasi cha matukio hayo A + B inachukuliwa kuwa tukio hilo ambalo linajumuisha tukio la A au B, na kazi yao ni katika kuonekana kwa wote wawili. Kwa mfano, kuonekana kwa sita sita mara moja kwenye kando ya cubes mbili katika kutupa moja.

Jumla ya matukio kadhaa ni tukio linalohusisha kuibuka kwa angalau mmoja wao. Kazi ya matukio kadhaa ni muonekano wa pamoja nao wote.

Katika nadharia ya uwezekano, kama sheria, matumizi ya umoja "na" inaashiria kiasi, umoja "au" - kuzidisha. Formula na mifano itasaidia kuelewa mantiki ya kuongeza na kuzidisha katika nadharia ya uwezekano.

Uwezekano wa matukio yasiyokwisha

Ikiwa uwezekano wa matukio yasiyofaa yanazingatiwa, uwezekano wa kiasi cha matukio ni sawa na kuongeza ya uwezekano wao:

P (A + C) \u003d P (a) + P (c)

Kwa mfano: mimi kuhesabu uwezekano kwamba katika PC. Hapana 1 na mipira ya bluu na nyekundu, idadi ya 1 na 4. Hati sio katika hatua moja, lakini jumla ya probabilities ya vipengele vya msingi. Kwa hiyo, katika uzoefu huu tu mipira 6 au 6 ya matokeo yote iwezekanavyo. Nambari ambazo zinatimiza hali - 2 na 3. Uwezekano wa Kielelezo 2 ni 1/6, uwezekano wa takwimu 3 pia ni 1/6. Uwezekano kwamba tarakimu itaanguka kati ya 1 na 4 ni:

Uwezekano wa matukio yasiyolingana ya kikundi kamili ni sawa na 1.

Kwa hiyo, ikiwa katika jaribio la mchemraba, kuweka uwezekano wa kuanguka kwa namba zote, basi kama matokeo tunapata kitengo.

Pia ni kweli kwa matukio kinyume, kwa mfano, uzoefu na sarafu, ambapo upande mmoja ni tukio A, na nyingine ni tukio tofauti na, kama inavyojulikana,

P (a) + P (ā) \u003d 1

Uwezekano wa kazi ya matukio yasiyo ya maarufu

Kuzidisha uwezekano wa kutumia wakati wanapofikiria kuibuka kwa matukio mawili au zaidi yasiyo kamili katika uchunguzi mmoja. Uwezekano kwamba matukio A na B itaonekana wakati huo huo, sawa na bidhaa za uwezekano wao, au:

P (A * B) \u003d P (a) * P (b)

Kwa mfano, uwezekano kwamba katika ISP. №1 Kama matokeo ya majaribio mawili, mpira wa bluu utaonekana mara mbili, sawa na

Hiyo ni, uwezekano wa tukio la tukio, wakati, kama matokeo ya majaribio mawili na kuondolewa kwa mipira, mipira ya bluu tu itaondolewa, sawa na 25%. Ni rahisi sana kufanya majaribio ya kazi ya kazi hii na kuona kama ni kweli.

Matukio ya pamoja

Matukio yanazingatiwa kwa pamoja wakati kuonekana kwa mmoja wao inaweza kufanana na kuibuka kwa mwingine. Pamoja na ukweli kwamba wao ni pamoja, uwezekano wa matukio ya kujitegemea inachukuliwa. Kwa mfano, kutupa mifupa mawili ya kucheza inaweza kutoa matokeo wakati namba 6 iko kwenye wote wawili. Ingawa matukio yalihusishwa na kuonekana wakati huo huo, wao ni huru ya kila mmoja - moja tu ya sita, mfupa wa pili hawana ushawishi juu yake .

Uwezekano wa matukio ya pamoja unachukuliwa kama uwezekano wa jumla yao.

Uwezekano wa jumla ya matukio ya pamoja. Mfano.

Uwezekano wa kiasi cha matukio A na B, ambayo kuhusiana na viungo vya kila mmoja, sawa na jumla ya uwezekano wa tukio hilo kwa kupunguzwa kwa uwezekano wa kazi yao (yaani, utekelezaji wao wa pamoja):

P pamoja. (A + C) \u003d P (a) + P (B) - P (AV)

Tuseme kwamba uwezekano wa kuingia katika lengo na risasi moja ni 0.4. Kisha tukio hilo - kupiga lengo katika jaribio la kwanza, katika - kwa pili. Matukio haya ni pamoja, kwani inawezekana kwamba lengo linaweza kugongwa na kutoka kwa kwanza na kutoka risasi ya pili. Lakini matukio hayana tegemezi. Je! Ni uwezekano gani wa tukio la kushindwa kwa lengo kutoka kwa shots mbili (angalau moja)? Kwa mujibu wa formula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Jibu la swali ni kama ifuatavyo: "Uwezekano wa kuingia katika lengo kutoka kwa shots mbili ni 64%."

Fomu hii ya uwezekano wa tukio inaweza pia kutumika kwa matukio yasiyokwisha, ambapo uwezekano wa kuonekana kwa tukio p (AV) \u003d 0. Hii ina maana kwamba uwezekano wa matukio yasiyokwisha kunaweza kuchukuliwa kuwa kesi maalum ya formula iliyopendekezwa.

Uwezekano wa jiometri kwa uwazi

Kwa kushangaza, uwezekano wa kiasi cha matukio ya pamoja inaweza kuwakilishwa kama mikoa miwili A na B, ambayo inashirikiana pamoja. Kama inavyoonekana kutoka kwenye picha, eneo la ushirika wao ni sawa na eneo la jumla kwa dakika ya maeneo yao ya makutano. Maelezo haya ya kijiometri hufanya zaidi kueleweka yasiyo ya kawaida katika Fomu ya Kwanza ya Fomu. Kumbuka kuwa ufumbuzi wa kijiometri sio kawaida katika nadharia ya uwezekano.

Uamuzi wa uwezekano wa jumla ya kuweka (zaidi ya mbili) matukio ya pamoja ni mbaya sana. Ili kuhesabu, unahitaji kutumia formula ambazo hutolewa kwa kesi hizi.

Matukio ya tegemezi

Matukio ya tegemezi huitwa ikiwa chuki ya moja (a) ya wao huathiri uwezekano wa mwingine (b). Aidha, ushawishi wa matukio yote na makosa yake yanazingatiwa. Ingawa matukio huitwa tegemezi juu ya ufafanuzi, lakini moja tu ya (b) yanategemea. Uwezekano wa kawaida ulichaguliwa kama P (b) au uwezekano wa matukio ya kujitegemea. Katika kesi ya tegemezi, dhana mpya imeanzishwa - uwezekano wa masharti P (b), ambayo ni uwezekano wa tukio la tegemezi linalotolewa kuwa tukio hilo (hypothesis) lilitokea ambalo linategemea.

Lakini baada ya yote, tukio pia ni kwa bahati, hivyo pia ina nafasi ya kuwa unahitaji na inaweza kuzingatiwa katika mahesabu ya mahesabu. Kisha, mfano utaonyeshwa jinsi ya kufanya kazi na matukio ya tegemezi na hypothesis.

Mfano wa kuhesabu uwezekano wa matukio ya tegemezi

Mfano mzuri wa kuhesabu matukio ya tegemezi inaweza kuwa staha ya kawaida ya kadi.

Kwa mfano wa staha katika kadi 36, fikiria matukio ya tegemezi. Ni muhimu kuamua uwezekano kwamba kadi ya pili iliyotolewa kutoka kwenye staha itakuwa ngoma, ikiwa ni ya kwanza iliyotolewa:

1. Bubnovy.
2. Suti nyingine.

Ni dhahiri kwamba uwezekano wa tukio la pili linategemea kwanza A. Kwa hiyo, kama chaguo la kwanza ni kweli kwamba staha imekuwa kadi 1 (35) na 1 ngoma (8) chini, uwezekano wa tukio katika:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0.23.

Ikiwa chaguo la pili ni la haki, staha imekuwa kadi 35, na idadi ya Tambourine (9) bado imehifadhiwa, basi uwezekano wa tukio linalofuata:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Inaweza kuonekana kwamba ikiwa tukio hilo limekubaliwa katika ukweli kwamba kadi ya kwanza ni ngoma, basi uwezekano wa tukio hilo linapungua, na kinyume chake.

Kuzidisha matukio ya tegemezi

Kuongozwa na sura ya awali, tunakubali tukio la kwanza (a) kama ukweli, lakini ikiwa tunasema kwa asili, ina tabia ya random. Uwezekano wa tukio hili, yaani, uchimbaji wa ngoma kutoka kwenye staha ya kadi, ni sawa na:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4.

Kwa kuwa nadharia haipo yenyewe, lakini imeundwa kutumikia kwa madhumuni ya vitendo, ni sawa kutambua kwamba uwezekano wa bidhaa ya matukio ya tegemezi mara nyingi inahitajika.

Kwa mujibu wa theorem juu ya bidhaa ya uwezekano wa matukio ya tegemezi, uwezekano wa kuonekana kwa matukio ya tegemezi A na B ni sawa na uwezekano wa tukio moja A, kuongezeka kwa uwezekano wa masharti ya tukio katika (tegemezi a):

P (ab) \u003d p (a) * p a (b)

Kisha katika mfano na staha, uwezekano wa kuchimba kadi mbili na mahi ya ngoma ni:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571, au 5.7%

Na uwezekano wa kuchimba sio ngoma ya kwanza, na kisha ngoma ni sawa na:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19, au 19%

Inaweza kuonekana kuwa uwezekano wa kuonekana kwa tukio kwa zaidi, ikiwa ni kadi ya kwanza ya uchimbaji hutolewa kutoka kwa ngoma. Matokeo haya ni mantiki kabisa na yanaeleweka.

Uwezekano kamili wa tukio.

Wakati tatizo na uwezekano wa masharti inakuwa multifaceted, haiwezekani kuhesabu mbinu za kawaida. Wakati hypotheses ni zaidi ya mbili, yaani A1, A2, ..., na n, .. Kupunguza kikundi kamili cha matukio yaliyotolewa:

• P (i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• I ∩ j \u003d Ø, mimi ≠ J.
• Σ k k \u003d ω.

Kwa hiyo, formula ya uwezekano kamili wa tukio hilo katika kundi kamili la matukio ya random A1, A2, ..., na N ni:

Kuangalia katika siku zijazo

Uwezekano wa tukio la random ni muhimu sana katika maeneo mengi ya sayansi: uchumi, takwimu, fizikia, nk Kama michakato fulani haiwezi kuamua, kwa kuwa wao wenyewe wana asili ya uwezekano, njia maalum za kazi zinahitajika. Nadharia ya uwezekano wa tukio inaweza kutumika katika nyanja yoyote ya kiteknolojia kama njia ya kuamua uwezekano wa kosa au malfunction.

Inaweza kusema kuwa, kujifunza uwezekano, tunafanya hatua ya kinadharia katika siku zijazo kwa namna fulani ,iangalia kwa njia ya prism ya formula.

• Uwezekano ni shahada (kipimo cha jamaa, tathmini ya kiasi) uwezekano wa tukio la tukio fulani. Wakati misingi ya tukio fulani iwezekanavyo ilitokea kwa kweli, zaidi ya besi ya kinyume, tukio hili linaitwa uwezekano, vinginevyo uwezekano au wa ajabu. Faida ya misingi nzuri juu ya hasi, na kinyume chake, inaweza kuwa digrii tofauti, kama matokeo ambayo uwezekano (na incredibility) ni kubwa au chini. Kwa hiyo, uwezekano mara nyingi huhesabiwa kwa kiwango cha ubora, hasa katika hali ambapo tathmini ya kiasi kikubwa au isiyo sahihi ya kiasi haiwezekani au ngumu sana. Vipande mbalimbali vya "viwango" vya uwezekano vinawezekana.

  Uchunguzi wa uwezekano kutoka kwa mtazamo wa hisabati ni nidhamu maalum - nadharia ya uwezekano. Katika nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati, dhana ya uwezekano ni rasmi kama tabia ya namba ya tukio - kipimo cha uwezekano (au thamani yake) - kupima juu ya matukio mengi (subsets ya matukio ya msingi) ambayo inafanya maadili Kutoka

  (\\ Displaystyle 0)

  (\\ Splipstyle 1)

  Thamani

  (\\ Splipstyle 1)

  Inakubaliana na tukio la kuaminika. Tukio lisilowezekana lina uwezekano wa 0 (kinyume cha kusema kwa ujumla sio kweli). Ikiwa uwezekano wa matukio ni sawa.

  (\\ Displaystyle P)

  Kisha uwezekano wa uncongliance yake ni sawa.

  (\\ Displaystyle 1-P)

  Hasa, uwezekano

  (\\ Splipstyle 1/2)

  Inaonyesha uwezekano sawa wa tukio na kutambulisha tukio.

  Ufafanuzi wa uwezekano wa classical ni msingi wa dhana ya Equilibrium ya matokeo. Kama uwezekano, uwiano wa idadi ya matokeo, inayofaa kwa tukio hili, kwa jumla ya matokeo ya usawa. Kwa mfano, uwezekano wa "Eagle" au "kukimbilia" kuanguka wakati wa mkusanyiko wa sarafu ni 1/2, ikiwa ni kudhani kwamba tu uwezekano wa mbili hufanyika na ni sawa. Hii "ufafanuzi" wa classical ya uwezekano unaweza kuzalishwa katika kesi ya idadi isiyo na kipimo ya maadili iwezekanavyo - kwa mfano, kama tukio fulani linaweza kutokea kwa sawa na uwezekano wakati wowote (idadi ya pointi ni isiyo na kipimo) ya mdogo fulani Eneo la nafasi (ndege), uwezekano wa kutokea katika sehemu fulani za eneo hili lenye kuruhusiwa ni sawa na uwiano wa kiasi (eneo) la sehemu hii kwa kiasi (eneo) la eneo la kila kitu kinachowezekana.

  Ufafanuzi wa "ufafanuzi" wa uwezekano unahusishwa na mzunguko wa tukio la tukio linalotokana na ukweli kwamba kwa idadi kubwa ya vipimo, mzunguko unapaswa kujitahidi kwa kiwango cha lengo la uwezekano wa tukio hili. Katika uwasilishaji wa kisasa wa nadharia ya uwezekano, uwezekano wa kuamua axiomatically, kama kesi maalum ya nadharia ya abstract ya hatua zilizowekwa. Hata hivyo, kiungo kati ya kipimo cha abstract na uwezekano unaoonyesha kiwango cha nafasi ya kutokea tukio ni hasa mzunguko wa uchunguzi wake.

  Maelezo ya uwezekano wa wale au matukio mengine yalienea katika sayansi ya kisasa, hasa katika fizikia ya kiuchumi, fizikia ya macroscopic (thermodynamic), ambapo hata katika kesi ya maelezo ya classic dentinistic ya harakati ya chembe, maelezo ya dentinistic ya nzima Mfumo wa chembe sio iwezekanavyo na unafaa. Katika fizikia ya quantum, taratibu zilizoelezwa wenyewe zina asili ya uwezekano.