ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாட்டின் மடக்கை. இயற்கை மடக்கை, செயல்பாடு ln x

மடக்கைகளை நாங்கள் தொடர்ந்து படிக்கிறோம். இந்த கட்டுரையில் நாம் பேசுவோம் மடக்கைகளை கணக்கிடுகிறது, இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது மடக்கை. முதலில் நாம் மடக்கைகளின் கணக்கீட்டை வரையறை மூலம் புரிந்துகொள்வோம். அடுத்து, மடக்கைகளின் மதிப்புகள் அவற்றின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு கண்டறியப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். இதற்குப் பிறகு, பிற மடக்கைகளின் ஆரம்பத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட மதிப்புகள் மூலம் மடக்கைகளை கணக்கிடுவதில் கவனம் செலுத்துவோம். இறுதியாக, மடக்கை அட்டவணைகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். முழுக் கோட்பாடும் விரிவான தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் வழங்கப்பட்டுள்ளது.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

வரையறையின்படி மடக்கைகளை கணக்கிடுதல்

எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், மிக விரைவாகவும் எளிதாகவும் செய்ய முடியும் வரையறை மூலம் மடக்கை கண்டறிதல். இந்த செயல்முறை எவ்வாறு நிகழ்கிறது என்பதை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

அதன் சாராம்சம் ஒரு சி வடிவத்தில் எண்ணை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதாகும், அதில் இருந்து, மடக்கையின் வரையறையின்படி, எண் c என்பது மடக்கையின் மதிப்பாகும். அதாவது, வரையறையின்படி, பின்வரும் சமத்துவங்களின் சங்கிலி மடக்கைக் கண்டறிவதற்கு ஒத்திருக்கிறது: log a b=log a a c =c.

எனவே, ஒரு மடக்கையை வரையறையின்படி கணக்கிடுவது c = b என்ற எண்ணைக் கண்டறிவதாகும், மேலும் c எண்ணே மடக்கையின் விரும்பிய மதிப்பாகும்.

முந்தைய பத்திகளில் உள்ள தகவலை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் மடக்கை அடித்தளத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட சக்தியால் கொடுக்கப்பட்டால், மடக்கை எதற்கு சமம் என்பதை நீங்கள் உடனடியாகக் குறிப்பிடலாம் - இது அடுக்குக்கு சமம். உதாரணங்களுக்கு தீர்வுகளை காண்போம்.

உதாரணமாக.

பதிவு 2 2 −3 ஐக் கண்டுபிடி, மேலும் e 5,3 எண்ணின் இயற்கை மடக்கையைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

மடக்கையின் வரையறை, பதிவு 2 2 −3 =−3 என்று உடனடியாகச் சொல்ல அனுமதிக்கிறது. உண்மையில், மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள எண் அடிப்படை 2 க்கு −3 சக்திக்கு சமம்.

இதேபோல், நாம் இரண்டாவது மடக்கைக் காண்கிறோம்: lne 5.3 =5.3.

பதில்:

பதிவு 2 2 −3 =−3 மற்றும் lne 5,3 =5,3.

மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள எண் b என்பது மடக்கையின் அடித்தளத்தின் சக்தியாகக் குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், a c வடிவத்தில் b எண்ணின் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டு வர முடியுமா என்பதை நீங்கள் கவனமாகப் பார்க்க வேண்டும். பெரும்பாலும் இந்த பிரதிநிதித்துவம் மிகவும் வெளிப்படையானது, குறிப்பாக மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் 1, அல்லது 2, அல்லது 3 இன் சக்திக்கு அடித்தளத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது, ​​...

உதாரணமாக.

மடக்கை பதிவு 5 25 மற்றும் .

தீர்வு.

25=5 2 என்பதை எளிதாகக் காணலாம், இது முதல் மடக்கை கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது: பதிவு 5 25=பதிவு 5 5 2 =2.

இரண்டாவது மடக்கை கணக்கிடுவதற்கு செல்லலாம். எண்ணை 7 இன் சக்தியாகக் குறிப்பிடலாம்: (தேவைப்பட்டால் பார்க்கவும்). எனவே, .

மூன்றாவது மடக்கையை மீண்டும் எழுதுவோம் பின்வரும் படிவம். இப்போது நீங்கள் அதை பார்க்க முடியும் , அதிலிருந்து நாம் முடிவு செய்கிறோம் . எனவே, மடக்கையின் வரையறையின்படி .

சுருக்கமாக, தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

பதில்:

பதிவு 5 25=2 , மற்றும் .

மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் போதுமான அளவு பெரியது இருக்கும் இயற்கை எண், பின்னர் அதை சிதைப்பது வலிக்காது முக்கிய காரணிகள். மடக்கையின் அடிப்பகுதியின் சில சக்தியாக அத்தகைய எண்ணைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த இது பெரும்பாலும் உதவுகிறது, எனவே இந்த மடக்கையை வரையறையின்படி கணக்கிடுங்கள்.

உதாரணமாக.

மடக்கையின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

மடக்கைகளின் சில பண்புகள் மடக்கைகளின் மதிப்பை உடனடியாகக் குறிப்பிட உங்களை அனுமதிக்கின்றன. இந்த பண்புகளில் ஒன்றின் மடக்கையின் பண்பு மற்றும் அடிப்படைக்கு சமமான எண்ணின் மடக்கையின் பண்பு ஆகியவை அடங்கும்: log 1 1=log a a 0 =0 மற்றும் log a =log a a 1 =1. அதாவது, மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு எண் 1 அல்லது மடக்கையின் அடிப்பகுதிக்கு சமமான எண் இருக்கும்போது, ​​இந்த நிகழ்வுகளில் மடக்கைகள் முறையே 0 மற்றும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும்.

உதாரணமாக.

மடக்கைகள் மற்றும் log10 எதற்கு சமம்?

தீர்வு.

முதல், மடக்கையின் வரையறையிலிருந்து அது பின்வருமாறு .

இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், மடக்கை குறியின் கீழ் உள்ள எண் 10 அதன் அடித்தளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே பத்தின் தசம மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது lg10=lg10 1 =1.

பதில்:

மற்றும் lg10=1.

வரையறையின்படி மடக்கைகளின் கணக்கீடு (முந்தைய பத்தியில் நாம் விவாதித்தது) சமத்துவ பதிவு a a p =p பயன்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது, இது மடக்கைகளின் பண்புகளில் ஒன்றாகும்.

நடைமுறையில், மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள எண் மற்றும் மடக்கையின் அடிப்பகுதி ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் சக்தியாக எளிதில் குறிப்பிடப்படும்போது, ​​சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது. , இது மடக்கைகளின் பண்புகளில் ஒன்றிற்கு ஒத்திருக்கிறது. இந்த சூத்திரத்தின் பயன்பாட்டை விளக்கும் மடக்கைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

மடக்கை கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

பதில்:

.

மேலே குறிப்பிடப்படாத மடக்கைகளின் பண்புகள் கணக்கீடுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஆனால் இதைப் பற்றி பின்வரும் பத்திகளில் பேசுவோம்.

மற்ற அறியப்பட்ட மடக்கைகள் மூலம் மடக்கைகளைக் கண்டறிதல்

இந்த பத்தியில் உள்ள தகவல், மடக்கைகளின் பண்புகளை கணக்கிடும்போது அவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கான தலைப்பைத் தொடர்கிறது. ஆனால் இங்கே முக்கிய வேறுபாடு என்னவென்றால், மடக்கைகளின் பண்புகள் அசல் மடக்கையை மற்றொரு மடக்கையின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அதன் மதிப்பு அறியப்படுகிறது. தெளிவுபடுத்த ஒரு உதாரணம் தருவோம். பதிவு 2 3≈1.584963 என்று நமக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சிறிய மாற்றத்தைச் செய்வதன் மூலம் பதிவு 2 6 ஐக் கண்டறியலாம்: பதிவு 2 6=பதிவு 2 (2 3)=பதிவு 2 2+பதிவு 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தினால் போதும். இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்டவற்றின் மூலம் அசல் மடக்கையைக் கணக்கிட, மடக்கைகளின் பண்புகளின் பரந்த ஆயுதக் களஞ்சியத்தைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் அவசியம்.

உதாரணமாக.

பதிவு 60 2=a மற்றும் பதிவு 60 5=b என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், 27 முதல் 60 வரையிலான மடக்கையைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.

எனவே நாம் பதிவு 60 27 ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டும். 27 = 3 3 , மற்றும் அசல் மடக்கை, சக்தியின் மடக்கையின் பண்பு காரணமாக, 3·log 60 3 என மீண்டும் எழுதப்படலாம்.

இப்போது அறியப்பட்ட மடக்கைகளின் அடிப்படையில் பதிவு 60 3 ஐ எவ்வாறு வெளிப்படுத்துவது என்று பார்ப்போம். அடிப்படைக்கு சமமான எண்ணின் மடக்கையின் பண்பு சமத்துவப் பதிவேடு 60 60=1ஐ எழுத அனுமதிக்கிறது. மறுபுறம், பதிவு 60 60=log60(2 2 3 5)= பதிவு 60 2 2 +பதிவு 60 3+பதிவு 60 5= 2·பதிவு 60 2+பதிவு 60 3+பதிவு 60 5 . இதனால், 2 பதிவு 60 2+பதிவு 60 3+பதிவு 60 5=1. எனவே, பதிவு 60 3=1−2·பதிவு 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

இறுதியாக, அசல் மடக்கை கணக்கிடுகிறோம்: பதிவு 60 27=3 பதிவு 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

பதில்:

பதிவு 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

தனித்தனியாக, படிவத்தின் மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தின் பொருளைக் குறிப்பிடுவது மதிப்பு. . எந்தவொரு தளத்துடனும் மடக்கைகளிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட தளத்துடன் மடக்கைகளுக்கு செல்ல இது உங்களை அனுமதிக்கிறது, அதன் மதிப்புகள் அறியப்படுகின்றன அல்லது அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க முடியும். வழக்கமாக, அசல் மடக்கையிலிருந்து, மாற்றம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அவை தளங்கள் 2, e அல்லது 10 இல் உள்ள மடக்கைகளுக்கு நகர்கின்றன, ஏனெனில் இந்த தளங்களுக்கு மடக்கைகளின் அட்டவணைகள் உள்ளன, அவை அவற்றின் மதிப்புகளை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுடன் கணக்கிட அனுமதிக்கின்றன. துல்லியம். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை அடுத்த பத்தியில் காண்போம்.

மடக்கை அட்டவணைகள் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாடுகள்

தோராயமான கணக்கீட்டிற்கு மடக்கை மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம் மடக்கை அட்டவணைகள். பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் அடிப்படை 2 மடக்கை அட்டவணை, இயற்கை மடக்கை அட்டவணை மற்றும் தசம மடக்கை அட்டவணை. தசம எண் அமைப்பில் பணிபுரியும் போது, ​​அடிப்படை பத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட மடக்கைகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது. அதன் உதவியுடன் மடக்கைகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறிய கற்றுக்கொள்வோம்.

வழங்கப்பட்ட அட்டவணை, 1,000 முதல் 9,999 வரையிலான எண்களின் தசம மடக்கைகளின் மதிப்புகளை (மூன்று தசம இடங்களுடன்) பத்தாயிரத்தில் ஒரு துல்லியத்துடன் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி ஒரு மடக்கையின் மதிப்பைக் கண்டறியும் கொள்கையை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். குறிப்பிட்ட உதாரணம்- அது அந்த வழியில் தெளிவாக உள்ளது. log1.256ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையின் இடது நெடுவரிசையில் 1.256 எண்ணின் முதல் இரண்டு இலக்கங்களைக் காண்கிறோம், அதாவது, 1.2 ஐக் காண்கிறோம் (இந்த எண் தெளிவுக்காக நீல நிறத்தில் வட்டமிடப்பட்டுள்ளது). எண் 1.256 (இலக்க 5) இன் மூன்றாவது இலக்கமானது இரட்டைக் கோட்டின் இடதுபுறத்தில் முதல் அல்லது கடைசி வரியில் காணப்படுகிறது (இந்த எண் சிவப்பு நிறத்தில் வட்டமிடப்பட்டுள்ளது). அசல் எண் 1.256 (இலக்க 6) இன் நான்காவது இலக்கமானது இரட்டைக் கோட்டின் வலதுபுறத்தில் முதல் அல்லது கடைசி வரியில் காணப்படுகிறது (இந்த எண் பச்சைக் கோடுடன் வட்டமிடப்பட்டுள்ளது). இப்போது குறிக்கப்பட்ட வரிசை மற்றும் குறிக்கப்பட்ட நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் மடக்கை அட்டவணையின் கலங்களில் உள்ள எண்களைக் காண்கிறோம் (இந்த எண்கள் முன்னிலைப்படுத்தப்படுகின்றன ஆரஞ்சு) குறிக்கப்பட்ட எண்களின் கூட்டுத்தொகை விரும்பிய மதிப்பைக் கொடுக்கும் தசம மடக்கைநான்காவது தசம இடத்திற்கு துல்லியமானது, அதாவது பதிவு1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

மேலே உள்ள அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, தசம புள்ளிக்குப் பிறகு மூன்று இலக்கங்களுக்கு மேல் உள்ள எண்களின் தசம மடக்கைகளின் மதிப்புகளையும், அதே போல் 1 முதல் 9.999 வரையிலான வரம்பிற்கு அப்பால் செல்லும் எண்களையும் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? ஆமாம் உன்னால் முடியும். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் காண்போம்.

lg102.76332 ஐ கணக்கிடுவோம். முதலில் நீங்கள் எழுத வேண்டும் உள்ள எண் நிலையான படிவம் : 102.76332=1.0276332·10 2. இதற்குப் பிறகு, மாண்டிசாவை மூன்றாவது தசம இடத்திற்கு வட்டமிட வேண்டும், நம்மிடம் உள்ளது 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, அசல் தசம மடக்கையானது விளைந்த எண்ணின் மடக்கைக்கு தோராயமாக சமமாக இருக்கும் போது, ​​அதாவது, நாம் log102.76332≈lg1.028·10 2ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம். இப்போது நாம் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. இறுதியாக, தசம மடக்கைகள் lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 அட்டவணையில் இருந்து மடக்கை lg1.028 இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இதன் விளைவாக, மடக்கை கணக்கிடுவதற்கான முழு செயல்முறையும் இதுபோல் தெரிகிறது: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

முடிவில், தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த மடக்கையின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடலாம் என்பது கவனிக்கத்தக்கது. இதைச் செய்ய, தசம மடக்கைகளுக்குச் செல்ல, அவற்றின் மதிப்புகளை அட்டவணையில் கண்டுபிடித்து, மீதமுள்ள கணக்கீடுகளைச் செய்ய, மாற்றம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் போதும்.

எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 3 ஐக் கணக்கிடுவோம். மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தின்படி, எங்களிடம் உள்ளது. தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையில் இருந்து log3≈0.4771 மற்றும் log2≈0.3010ஐக் காணலாம். இதனால், .

நூல் பட்டியல்.

• கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.
• குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).

மடக்கை வெளிப்பாடுகள், தீர்க்கும் எடுத்துக்காட்டுகள். இந்தக் கட்டுரையில் மடக்கைகளைத் தீர்ப்பது தொடர்பான சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். பணிகள் ஒரு வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியும் கேள்வியைக் கேட்கின்றன. மடக்கையின் கருத்து பல பணிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அதன் பொருளைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியமானது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வைப் பொறுத்தவரை, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​பயன்பாட்டு சிக்கல்களில் மற்றும் செயல்பாடுகளின் ஆய்வு தொடர்பான பணிகளில் மடக்கை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மடக்கையின் பொருளைப் புரிந்துகொள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்:

அடிப்படைகள் மடக்கை அடையாளம்:

எப்போதும் நினைவில் கொள்ள வேண்டிய மடக்கைகளின் பண்புகள்:

*பொருளின் மடக்கை தொகைக்கு சமம்காரணிகளின் மடக்கைகள்.

* * *

*ஒரு விகுதியின் மடக்கை (பிராக்ஷன்) காரணிகளின் மடக்கைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

* * *

*அதிவேகத்தின் மடக்கையானது அதிவேகத்தின் பெருக்கத்திற்கும் அதன் தளத்தின் மடக்கைக்கும் சமம்.

* * *

*புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுதல்

* * *

மேலும் பண்புகள்:

* * *

மடக்கைகளின் கணக்கீடு அடுக்குகளின் பண்புகளின் பயன்பாட்டுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது.

அவற்றில் சிலவற்றை பட்டியலிடுவோம்:

இந்த சொத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், எண் வகுப்பிற்கு மாற்றப்படும்போது மற்றும் அதற்கு நேர்மாறாக, அதிவேகத்தின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறுகிறது. உதாரணத்திற்கு:

இந்த சொத்திலிருந்து ஒரு தொடர்ச்சி:

* * *

ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் போது, ​​அடித்தளம் அப்படியே இருக்கும், ஆனால் அடுக்குகள் பெருக்கப்படுகின்றன.

* * *

நீங்கள் பார்த்தபடி, மடக்கையின் கருத்து எளிமையானது. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், உங்களுக்கு நல்ல பயிற்சி தேவை, இது உங்களுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட திறனை அளிக்கிறது. நிச்சயமாக, சூத்திரங்கள் பற்றிய அறிவு தேவை. அடிப்படை மடக்கைகளை மாற்றும் திறன் உருவாக்கப்படவில்லை என்றால், எளிய பணிகளைத் தீர்க்கும்போது நீங்கள் எளிதாக தவறு செய்யலாம்.

பயிற்சி, கணித பாடத்தில் இருந்து எளிமையான உதாரணங்களை முதலில் தீர்க்கவும், பின்னர் மிகவும் சிக்கலானவற்றுக்கு செல்லவும். எதிர்காலத்தில், "பயங்கரமான" மடக்கைகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நான் நிச்சயமாகக் காண்பிப்பேன், அவை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தோன்றாது, ஆனால் அவை ஆர்வமாக உள்ளன, அவற்றைத் தவறவிடாதீர்கள்!

அவ்வளவுதான்! அதிர்ஷ்டம் உங்களுக்கு உரித்தாகட்டும்!

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர் க்ருடிட்ஸ்கிக்

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி நீங்கள் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• எங்களால் சேகரிக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட தகவல்உங்களைத் தொடர்பு கொள்ளவும், உங்களுக்குத் தெரிவிக்கவும் எங்களை அனுமதிக்கிறது தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகள்.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால், சட்டத்தின்படி, நீதி நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பில் உள்ள அரசு நிறுவனங்களின் கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக அத்தகைய வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

எனவே, எங்களிடம் இரண்டு அதிகாரங்கள் உள்ளன. கீழே உள்ள எண்ணை நீங்கள் எடுத்தால், இந்த எண்ணைப் பெற நீங்கள் இரண்டை உயர்த்த வேண்டிய சக்தியை எளிதாகக் கண்டறியலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 16 ஐப் பெற, நீங்கள் இரண்டை நான்காவது சக்திக்கு உயர்த்த வேண்டும். 64 ஐப் பெற, நீங்கள் இரண்டை ஆறாவது சக்திக்கு உயர்த்த வேண்டும். இதை அட்டவணையில் இருந்து பார்க்கலாம்.

இப்போது - உண்மையில், மடக்கையின் வரையறை:

x இன் மடக்கையின் அடிப்படையானது x ஐப் பெறுவதற்கு a உயர்த்தப்பட வேண்டிய சக்தியாகும்.

பதவி: log a x = b, இங்கு a என்பது அடிப்படை, x என்பது வாதம், b என்பது மடக்கை உண்மையில் சமம்.

எடுத்துக்காட்டாக, 2 3 = 8 ⇒ பதிவு 2 8 = 3 (8 இன் அடிப்படை 2 மடக்கை மூன்று என்பதால் 2 3 = 8). அதே வெற்றிப் பதிவு 2 64 = 6, முதல் 2 6 = 64.

கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு ஒரு எண்ணின் மடக்கையைக் கண்டறியும் செயல்பாடு மடக்கைமயமாக்கல் எனப்படும். எனவே, எங்கள் அட்டவணையில் ஒரு புதிய வரியைச் சேர்ப்போம்:

துரதிர்ஷ்டவசமாக, எல்லா மடக்கைகளும் அவ்வளவு எளிதாகக் கணக்கிடப்படுவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 5 ஐக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும். எண் 5 அட்டவணையில் இல்லை, ஆனால் மடக்கை பிரிவில் எங்காவது இருக்கும் என்று தர்க்கம் கட்டளையிடுகிறது. ஏனெனில் 2 2< 5 < 2 3 , а чем அதிக பட்டம்இரண்டு, பெரிய எண்.

அத்தகைய எண்கள் பகுத்தறிவற்றது என்று அழைக்கப்படுகின்றன: தசம புள்ளிக்குப் பின் வரும் எண்களை முடிவிலியாக எழுதலாம், மேலும் அவை மீண்டும் மீண்டும் வராது. மடக்கை பகுத்தறிவற்றதாக மாறினால், அதை அப்படியே விட்டுவிடுவது நல்லது: பதிவு 2 5, பதிவு 3 8, பதிவு 5 100.

மடக்கை என்பது இரண்டு மாறிகள் (அடிப்படை மற்றும் வாதம்) கொண்ட வெளிப்பாடு என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டியது அவசியம். முதலில், அடிப்படை எங்கே, வாதம் எங்கே என்று பலர் குழப்புகிறார்கள். எரிச்சலூட்டும் தவறான புரிதல்களைத் தவிர்க்க, படத்தைப் பாருங்கள்:

எங்களுக்கு முன் ஒரு மடக்கையின் வரையறையைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: மடக்கை ஒரு சக்தி, ஒரு வாதத்தைப் பெறுவதற்கு அடித்தளம் கட்டப்பட வேண்டும். இது ஒரு சக்தியாக உயர்த்தப்பட்ட அடித்தளம் - இது படத்தில் சிவப்பு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அடிப்படை எப்போதும் கீழே உள்ளது என்று மாறிவிடும்! இந்த அற்புதமான விதியை எனது மாணவர்களுக்கு முதல் பாடத்திலேயே சொல்கிறேன் - குழப்பம் எதுவும் எழாது.

நாங்கள் வரையறையைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம் - மடக்கைகளை எவ்வாறு எண்ணுவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது மட்டுமே மீதமுள்ளது, அதாவது. "பதிவு" அடையாளத்தை அகற்றவும். தொடங்குவதற்கு, வரையறையிலிருந்து இரண்டு முக்கியமான உண்மைகள் பின்பற்றப்படுவதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்:

1. வாதமும் அடிப்படையும் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். இது ஒரு பகுத்தறிவு அடுக்கு மூலம் ஒரு பட்டத்தின் வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு, ஒரு மடக்கையின் வரையறை குறைக்கப்படுகிறது.
2. அடித்தளம் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டதாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் ஒன்று எந்த அளவிற்கு இருந்தாலும் ஒன்றாகவே இருக்கும். இதன் காரணமாக, "இரண்டைப் பெறுவதற்கு ஒருவர் எந்த சக்திக்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்" என்ற கேள்வி அர்த்தமற்றது. அப்படி ஒரு பட்டமும் இல்லை!

இத்தகைய கட்டுப்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பு(ODZ). மடக்கையின் ODZ இப்படித் தெரிகிறது: பதிவு a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

எண் b (மடக்கையின் மதிப்பு) மீது எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கை எதிர்மறையாக இருக்கலாம்: பதிவு 2 0.5 = −1, ஏனெனில் 0.5 = 2 -1.

இருப்பினும், இப்போது நாம் எண்ணியல் வெளிப்பாடுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்கிறோம், அங்கு மடக்கையின் VA ஐ அறிய வேண்டிய அவசியமில்லை. அனைத்து கட்டுப்பாடுகளும் ஏற்கனவே சிக்கல்களின் ஆசிரியர்களால் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டுள்ளன. ஆனால் மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் செயல்பாட்டுக்கு வரும்போது, ​​DL தேவைகள் கட்டாயமாகிவிடும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அடிப்படை மற்றும் வாதத்தில் மிகவும் வலுவான கட்டுமானங்கள் இருக்கலாம், அவை மேலே உள்ள கட்டுப்பாடுகளுக்கு அவசியமில்லை.

இப்போது கருத்தில் கொள்வோம் பொது திட்டம்மடக்கைகளை கணக்கிடுகிறது. இது மூன்று படிகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. அடிப்படை a மற்றும் வாதம் x ஐ ஒரு சக்தியாக குறைந்தபட்ச சாத்தியமான அடிப்படை ஒன்றை விட அதிகமாக வெளிப்படுத்தவும். வழியில், தசமங்களை அகற்றுவது நல்லது;
2. மாறி b க்கான சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: x = a b ;
3. இதன் விளைவாக வரும் எண் b விடையாக இருக்கும்.

அவ்வளவுதான்! மடக்கை பகுத்தறிவற்றதாக மாறினால், இது ஏற்கனவே முதல் படியில் தெரியும். அடிப்படை ஒன்றை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பது மிகவும் முக்கியமானது: இது பிழையின் வாய்ப்பைக் குறைக்கிறது மற்றும் கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. அதே போல தசமங்கள்: நீங்கள் உடனடியாக அவற்றை வழக்கமானதாக மாற்றினால், குறைவான பிழைகள் இருக்கும்.

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி இந்தத் திட்டம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

பணி. மடக்கையை கணக்கிடுக: பதிவு 5 25

1. அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை ஐந்தின் சக்தியாக கற்பனை செய்வோம்: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:
பதிவு 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது: 2.

பணி. மடக்கை கணக்கிடவும்:

பணி. மடக்கையை கணக்கிடுக: பதிவு 4 64

1. அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை இரண்டின் சக்தியாக கற்பனை செய்வோம்: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:
   பதிவு 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது: 3.

பணி. மடக்கை கணக்கிடுக: பதிவு 16 1

1. அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை இரண்டின் சக்தியாக கற்பனை செய்வோம்: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:
   பதிவு 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. நாங்கள் பதில் பெற்றோம்: 0.

பணி. மடக்கையை கணக்கிடுக: பதிவு 7 14

1. அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை ஏழு சக்தியாக கற்பனை செய்வோம்: 7 = 7 1 ; 7 1ல் இருந்து 14 ஐ ஏழின் சக்தியாகக் குறிப்பிட முடியாது< 14 < 7 2 ;
2. முந்தைய பத்தியில் இருந்து மடக்கை கணக்கிடப்படாது;
3. பதில் எந்த மாற்றமும் இல்லை: பதிவு 7 14.

கடைசி உதாரணத்தில் ஒரு சிறிய குறிப்பு. ஒரு எண் மற்றொரு எண்ணின் சரியான சக்தி அல்ல என்பதை நீங்கள் எப்படி உறுதியாகக் கூறலாம்? இது மிகவும் எளிமையானது - அதை முதன்மை காரணிகளாகக் கூறுங்கள். விரிவாக்கம் குறைந்தது இரண்டு வெவ்வேறு காரணிகளைக் கொண்டிருந்தால், எண் சரியான சக்தியாக இருக்காது.

பணி. எண்கள் சரியான சக்திகளா என்பதைக் கண்டறியவும்: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - சரியான பட்டம், ஏனெனில் ஒரே ஒரு பெருக்கி உள்ளது;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ஒரு சரியான சக்தி அல்ல, ஏனெனில் இரண்டு காரணிகள் உள்ளன: 3 மற்றும் 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - சரியான பட்டம்;
35 = 7 · 5 - மீண்டும் ஒரு சரியான சக்தி இல்லை;
14 = 7 · 2 - மீண்டும் ஒரு சரியான பட்டம் இல்லை;

நாமே என்பதையும் கவனிக்கிறோம் முதன்மை எண்கள்எப்போதும் தங்களைப் பற்றிய சரியான அளவுகள்.

தசம மடக்கை

சில மடக்கைகள் மிகவும் பொதுவானவை, அவை ஒரு சிறப்பு பெயரையும் சின்னத்தையும் கொண்டுள்ளன.

x இன் தசம மடக்கையானது அடிப்படை 10க்கான மடக்கை ஆகும், அதாவது. x எண்ணைப் பெற 10 என்ற எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய சக்தி. பதவி: lg x.

எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 10 = 1; பதிவு 100 = 2; lg 1000 = 3 - போன்றவை.

இனிமேல், "Find lg 0.01" போன்ற சொற்றொடர் ஒரு பாடப்புத்தகத்தில் தோன்றும் போது, ​​இது எழுத்துப்பிழை அல்ல என்பதை அறிந்து கொள்ளுங்கள். இது ஒரு தசம மடக்கை. இருப்பினும், இந்த குறியீட்டை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், நீங்கள் எப்போதும் அதை மீண்டும் எழுதலாம்:
பதிவு x = பதிவு 10 x

சாதாரண மடக்கைகளுக்கு உண்மையாக இருக்கும் அனைத்தும் தசம மடக்கைகளுக்கும் பொருந்தும்.

இயற்கை மடக்கை

அதன் சொந்த பதவியைக் கொண்ட மற்றொரு மடக்கை உள்ளது. சில வழிகளில், இது தசமத்தை விட முக்கியமானது. இது பற்றிஇயற்கை மடக்கை பற்றி.

இயற்கை மடக்கைவாதத்தின் x என்பது e இன் அடிப்படைக்கான மடக்கை ஆகும், அதாவது. x எண்ணைப் பெற e எண்ணை உயர்த்த வேண்டிய சக்தி. பதவி: ln x.

பலர் கேட்பார்கள்: இ எண் என்ன? இது ஒரு விகிதாசார எண், அதன் சரியான மதிப்புகண்டுபிடித்து பதிவு செய்ய இயலாது. நான் முதல் புள்ளிவிவரங்களை மட்டுமே தருகிறேன்:
இ = 2.718281828459...

இந்த எண் என்ன, அது ஏன் தேவைப்படுகிறது என்பதைப் பற்றி நாங்கள் விரிவாகப் பேச மாட்டோம். e என்பது இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படை என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:
ln x = பதிவு e x

இவ்வாறு ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - போன்றவை. மறுபுறம், ln 2 ஒரு விகிதாசார எண். பொதுவாக, எந்தப் பகுத்தறிவு எண்ணின் இயற்கை மடக்கையும் பகுத்தறிவற்றது. நிச்சயமாக, ஒற்றுமைக்கு தவிர: ln 1 = 0.

இயற்கை மடக்கைகளுக்கு, சாதாரண மடக்கைகளுக்கு உண்மையாக இருக்கும் அனைத்து விதிகளும் செல்லுபடியாகும்.

முக்கிய பண்புகள்.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள்

பதிவு6 4 + பதிவு6 9.

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம்.

மடக்கைகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? பின்வரும் விதிகளின்படி இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x >

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கை logax கொடுக்கலாம். பிறகு c > 0 மற்றும் c ≠ 1 போன்ற எந்த எண்ணுக்கும், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

மேலும் பார்க்க:

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

அடுக்கு 2.718281828. அடுக்குகளை நினைவில் கொள்ள, நீங்கள் விதியைப் படிக்கலாம்: அடுக்கு 2.7 க்கு சமம் மற்றும் லியோ நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டை விட இரண்டு முறை.

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

இந்த விதியை அறிந்தால், அடுக்குகளின் சரியான மதிப்பு மற்றும் லியோ டால்ஸ்டாயின் பிறந்த தேதி இரண்டையும் நீங்கள் அறிவீர்கள்.

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடுகிறோம்

2.

3.

4. எங்கே .

எடுத்துக்காட்டு 2. x என்றால் கண்டுபிடி

எடுத்துக்காட்டு 3. மடக்கைகளின் மதிப்பைக் கொடுக்கலாம்

பதிவு(x) என்றால் கணக்கிடவும்

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள், எந்த எண்களைப் போலவே, எல்லா வகையிலும் சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் மாற்றலாம். ஆனால் மடக்கைகள் சாதாரண எண்கள் அல்ல என்பதால், இங்கே விதிகள் உள்ளன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய பண்புகள்.

இந்த விதிகளை நீங்கள் நிச்சயமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - அவை இல்லாமல், ஒரு தீவிர மடக்கை சிக்கலையும் தீர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, அவற்றில் மிகக் குறைவு - நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நாளில் கற்றுக்கொள்ளலாம். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளைக் கவனியுங்கள்: லோகாக்ஸ் மற்றும் லோகே. பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், மேலும்:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

எனவே, மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு பகுதியின் மடக்கைக்கு சமம். குறிப்பு: முக்கிய தருணம்இங்கே - ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள். காரணங்கள் வேறுபட்டால், இந்த விதிகள் வேலை செய்யாது!

இந்த சூத்திரங்கள் கணக்கிட உதவும் மடக்கை வெளிப்பாடுஅதன் தனிப்பட்ட பாகங்கள் கணக்கிடப்படாவிட்டாலும் கூட ("மடக்கை என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள் மற்றும் பார்க்கவும்:

மடக்கைகள் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்டிருப்பதால், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log2 48 - log2 3.

அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, நாங்கள் வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log3 135 - log3 5.

மீண்டும் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பதிவு3 135 - பதிவு3 5 = பதிவு3 (135: 5) = பதிவு3 27 = 3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. இந்த உண்மையின் அடிப்படையில் பலர் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளனர் சோதனை தாள்கள். ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்கு பிரித்தெடுத்தல்

அதை கவனிப்பது எளிது கடைசி விதிமுதல் இரண்டைப் பின்பற்றுகிறது. ஆனால் எப்படியும் அதை நினைவில் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x > 0. மேலும் ஒன்று: எல்லா சூத்திரங்களையும் இடமிருந்து வலமாக மட்டுமல்லாமல், நேர்மாறாகவும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள். , அதாவது மடக்கை அடையாளத்திற்கு முன் உள்ள எண்களை மடக்கையிலேயே உள்ளிடலாம். இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log7 496.

முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வாதத்தின் பட்டத்தை அகற்றுவோம்:
பதிவு7 496 = 6 பதிவு7 49 = 6 2 = 12

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வகுப்பில் ஒரு மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதன் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள்: 16 = 24; 49 = 72. எங்களிடம் உள்ளது:

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? வரை கடைசி தருணம்நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம்.

மடக்கை சூத்திரங்கள். மடக்கை எடுத்துக்காட்டுகள் தீர்வுகள்.

அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

இப்போது முக்கிய பகுதியைப் பார்ப்போம். எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே எண் உள்ளது: log2 7. log2 7 ≠ 0 என்பதால், நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் - 2/4 வகுப்பில் இருக்கும். எண்கணித விதிகளின்படி, நான்கையும் எண்ணுக்கு மாற்றலாம், அதுதான் செய்யப்பட்டது. இதன் விளைவாக பதில் வந்தது: 2.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பற்றி பேசுகையில், அவை ஒரே அடிப்படைகளுடன் மட்டுமே செயல்படுகின்றன என்பதை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்தினேன். காரணங்கள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? அவை ஒரே எண்ணின் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது?

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன. அவற்றை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

மடக்கை logax கொடுக்கலாம். பிறகு c > 0 மற்றும் c ≠ 1 போன்ற எந்த எண்ணுக்கும், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

குறிப்பாக, c = x ஐ அமைத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்:

இரண்டாவது சூத்திரத்திலிருந்து, மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மாற்றலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முழு வெளிப்பாடும் "திரும்பியது", அதாவது. மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

இந்த சூத்திரங்கள் சாதாரண எண் வெளிப்பாடுகளில் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன. அவை எவ்வளவு வசதியானவை என்பதை தீர்மானிப்பதன் மூலம் மட்டுமே மதிப்பிட முடியும் மடக்கை சமன்பாடுகள்மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்.

இருப்பினும், ஒரு புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதைத் தவிர, தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகள் உள்ளன. இவற்றில் ஒன்றிரண்டு பார்ப்போம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log5 16 log2 25.

இரண்டு மடக்கைகளின் வாதங்களும் சரியான அதிகாரங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். குறிகாட்டிகளை வெளியே எடுப்போம்: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது தயாரிப்பு மாறாது என்பதால், நாங்கள் அமைதியாக நான்கு மற்றும் இரண்டைப் பெருக்கி, பின்னர் மடக்கைகளைக் கையாள்வோம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log9 100 lg 3.

முதல் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் துல்லியமான சக்திகள். இதை எழுதி குறிகாட்டிகளை அகற்றுவோம்:

இப்போது புதிய தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் தசம மடக்கையிலிருந்து விடுபடலாம்:

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பெரும்பாலும் தீர்வுச் செயல்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு மடக்கையாக எண்ணைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரங்கள் எங்களுக்கு உதவும்:

முதல் வழக்கில், எண் n என்பது வாதத்தில் அடுக்கு ஆகும். எண் n என்பது முற்றிலும் எதுவாகவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை மதிப்பு.

இரண்டாவது சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு பாராபிராஸ்டு வரையறை. அதுவே அழைக்கப்படுகிறது: .

உண்மையில், b என்ற எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தினால் என்ன நடக்கும், இந்த சக்திக்கு b என்ற எண் a எண்ணைக் கொடுக்கும்? அது சரி: முடிவு அதே எண் a. இந்தப் பத்தியை மீண்டும் கவனமாகப் படியுங்கள் - பலர் அதில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

ஒரு புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் சில சமயங்களில் சாத்தியமான ஒரே தீர்வு.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

log25 64 = log5 8 - மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்திலிருந்து சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரே அடிப்படையுடன் சக்திகளை பெருக்குவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்:

யாருக்காவது தெரியாவிட்டால், இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் உண்மையான பணியாகும் :)

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

முடிவில், பண்புகள் என்று அழைக்கப்பட முடியாத இரண்டு அடையாளங்களை நான் தருகிறேன் - மாறாக, அவை மடக்கையின் வரையறையின் விளைவுகள். அவர்கள் தொடர்ந்து சிக்கல்களில் தோன்றுகிறார்கள், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, "மேம்பட்ட" மாணவர்களுக்கு கூட சிக்கல்களை உருவாக்குகிறார்கள்.

1. லோகா = 1 ஆகும். ஒருமுறை மற்றும் அனைத்தையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அந்த தளத்தின் எந்த தளத்திற்கும் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்.
2. லோகா 1 = 0 ஆகும். அடிப்படை a எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் a0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

அவ்வளவுதான் சொத்துக்கள். அவற்றை நடைமுறைக்குக் கொண்டுவருவதைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்! பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள ஏமாற்று தாளைப் பதிவிறக்கம் செய்து, அதை அச்சிட்டு, சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும்.

மேலும் பார்க்க:

a அடிப்படையிலான b இன் மடக்கை வெளிப்பாட்டைக் குறிக்கிறது. மடக்கையைக் கணக்கிடுவது என்பது சமத்துவம் பூர்த்தி செய்யப்பட்ட ஒரு சக்தி x () ஐக் கண்டுபிடிப்பதாகும்

மடக்கையின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள் தொடர்பான அனைத்து சிக்கல்களும் எடுத்துக்காட்டுகளும் அவற்றின் அடிப்படையில் தீர்க்கப்படுவதால், மேலே உள்ள பண்புகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம். மீதமுள்ள கவர்ச்சியான பண்புகளை இந்த சூத்திரங்களுடன் கணித கையாளுதல்கள் மூலம் பெறலாம்

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைக் கணக்கிடும் போது (3.4) நீங்கள் அடிக்கடி சந்திப்பீர்கள். மீதமுள்ளவை சற்றே சிக்கலானவை, ஆனால் பல பணிகளில் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதற்கும் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் அவை இன்றியமையாதவை.

மடக்கைகளின் பொதுவான வழக்குகள்

சில பொதுவான மடக்கைகள் அடிப்படை பத்து, அதிவேக அல்லது இரண்டாக இருக்கும்.
பத்தின் அடிப்படையிலான மடக்கை பொதுவாக தசம மடக்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது வெறுமனே lg(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

பதிவில் அடிப்படைகள் எழுதப்படவில்லை என்பது பதிவின் மூலம் தெளிவாகிறது. உதாரணத்திற்கு

இயற்கை மடக்கை என்பது ஒரு மடக்கை ஆகும், அதன் அடிப்பகுதி ஒரு அடுக்கு (ln(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது).

அடுக்கு 2.718281828. அடுக்குகளை நினைவில் கொள்ள, நீங்கள் விதியைப் படிக்கலாம்: அடுக்கு 2.7 க்கு சமம் மற்றும் லியோ நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாய் பிறந்த ஆண்டை விட இரண்டு முறை. இந்த விதியை அறிந்தால், அடுக்குகளின் சரியான மதிப்பு மற்றும் லியோ டால்ஸ்டாயின் பிறந்த தேதி இரண்டையும் நீங்கள் அறிவீர்கள்.

மற்றும் அடிப்படை இரண்டின் மற்றொரு முக்கியமான மடக்கை குறிக்கப்படுகிறது

ஒரு செயல்பாட்டின் மடக்கையின் வழித்தோன்றல் மாறியால் வகுக்கப்படும் ஒன்றிற்கு சமம்

ஒருங்கிணைந்த அல்லது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் மடக்கை உறவால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

மடக்கைகள் மற்றும் மடக்கைகள் தொடர்பான பல்வேறு வகையான சிக்கல்களைத் தீர்க்க கொடுக்கப்பட்ட பொருள் போதுமானது. பொருளைப் புரிந்துகொள்ள உங்களுக்கு உதவ, நான் சில பொதுவான உதாரணங்களைத் தருகிறேன் பள்ளி பாடத்திட்டம்மற்றும் பல்கலைக்கழகங்கள்.

மடக்கைகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கை வெளிப்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்தி நாம் கணக்கிடுகிறோம்

2.
மடக்கைகளின் வேறுபாட்டின் பண்பு மூலம் நம்மிடம் உள்ளது

3.
பண்புகள் 3.5 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்

4. எங்கே .

தோற்றத்தால் சிக்கலான வெளிப்பாடுபல விதிகளைப் பயன்படுத்துவது எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது

மடக்கை மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்

எடுத்துக்காட்டு 2. x என்றால் கண்டுபிடி

தீர்வு. கணக்கீட்டிற்கு, நாங்கள் கடைசி கால 5 மற்றும் 13 பண்புகளுக்குப் பயன்படுத்துகிறோம்

பதிவில் போட்டு புலம்புகிறோம்

அடிப்படைகள் சமமாக இருப்பதால், வெளிப்பாடுகளை சமன் செய்கிறோம்

மடக்கைகள். முதல் நிலை.

மடக்கைகளின் மதிப்பைக் கொடுக்கலாம்

பதிவு(x) என்றால் கணக்கிடவும்

தீர்வு: அதன் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மூலம் மடக்கை எழுத மாறியின் மடக்கையை எடுத்துக் கொள்வோம்.

மடக்கைகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் பற்றிய நமது அறிமுகத்தின் ஆரம்பம் இது. கணக்கீடுகளைப் பயிற்சி செய்யுங்கள், உங்கள் நடைமுறை திறன்களை வளப்படுத்துங்கள் - மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நீங்கள் பெறும் அறிவு விரைவில் உங்களுக்குத் தேவைப்படும். அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகளைப் படித்த பிறகு, உங்கள் அறிவை மற்றொன்றுக்கு குறைவாகவே விரிவுபடுத்துவோம் முக்கியமான தலைப்புமடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகள்...

மடக்கைகளின் அடிப்படை பண்புகள்

மடக்கைகள், எந்த எண்களைப் போலவே, எல்லா வகையிலும் சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் மாற்றலாம். ஆனால் மடக்கைகள் சாதாரண எண்கள் அல்ல என்பதால், இங்கே விதிகள் உள்ளன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன முக்கிய பண்புகள்.

இந்த விதிகளை நீங்கள் நிச்சயமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - அவை இல்லாமல், ஒரு தீவிர மடக்கை சிக்கலையும் தீர்க்க முடியாது. கூடுதலாக, அவற்றில் மிகக் குறைவு - நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே நாளில் கற்றுக்கொள்ளலாம். எனவே ஆரம்பிக்கலாம்.

மடக்கைகளைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

ஒரே தளங்களைக் கொண்ட இரண்டு மடக்கைகளைக் கவனியுங்கள்: லோகாக்ஸ் மற்றும் லோகே. பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், மேலும்:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

எனவே, மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை உற்பத்தியின் மடக்கைக்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு பகுதியின் மடக்கைக்கு சமம். தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: இங்கே முக்கிய புள்ளி ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள். காரணங்கள் வேறுபட்டால், இந்த விதிகள் வேலை செய்யாது!

இந்த சூத்திரங்கள் மடக்கை வெளிப்பாட்டின் தனிப்பட்ட பகுதிகள் கருதப்படாவிட்டாலும் கணக்கிட உதவும் ("மடக்கை என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள் மற்றும் பார்க்கவும்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log6 4 + log6 9.

மடக்கைகள் ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்டிருப்பதால், கூட்டுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log2 48 - log2 3.

அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, நாங்கள் வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log3 135 - log3 5.

மீண்டும் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே எங்களிடம் உள்ளது:
பதிவு3 135 - பதிவு3 5 = பதிவு3 (135: 5) = பதிவு3 27 = 3.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் வெளிப்பாடுகள் "மோசமான" மடக்கைகளால் ஆனவை, அவை தனித்தனியாக கணக்கிடப்படவில்லை. ஆனால் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, முற்றிலும் சாதாரண எண்கள் பெறப்படுகின்றன. பல சோதனைகள் இந்த உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. ஆம், ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து தீவிரத்தன்மையிலும் (சில நேரங்களில் எந்த மாற்றமும் இல்லாமல்) சோதனை போன்ற வெளிப்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

மடக்கையிலிருந்து அடுக்கு பிரித்தெடுத்தல்

இப்போது பணியை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம். மடக்கையின் அடிப்படை அல்லது வாதம் ஒரு சக்தியாக இருந்தால் என்ன செய்வது? பின்வரும் விதிகளின்படி இந்த பட்டத்தின் அடுக்கு மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

கடைசி விதி முதல் இரண்டைப் பின்பற்றுவதைப் பார்ப்பது எளிது. ஆனால் எப்படியும் அதை நினைவில் கொள்வது நல்லது - சில சந்தர்ப்பங்களில் இது கணக்கீடுகளின் அளவைக் கணிசமாகக் குறைக்கும்.

நிச்சயமாக, மடக்கையின் ODZ கவனிக்கப்பட்டால் இந்த விதிகள் அனைத்தும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்: a > 0, a ≠ 1, x > 0. மேலும் ஒன்று: எல்லா சூத்திரங்களையும் இடமிருந்து வலமாக மட்டுமல்லாமல், நேர்மாறாகவும் பயன்படுத்த கற்றுக்கொள்ளுங்கள். , அதாவது மடக்கை அடையாளத்திற்கு முன் உள்ள எண்களை மடக்கையிலேயே உள்ளிடலாம்.

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

இதுவே பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log7 496.

முதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வாதத்தின் பட்டத்தை அகற்றுவோம்:
பதிவு7 496 = 6 பதிவு7 49 = 6 2 = 12

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வகுப்பில் ஒரு மடக்கை உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அதன் அடிப்படை மற்றும் வாதம் சரியான சக்திகள்: 16 = 24; 49 = 72. எங்களிடம் உள்ளது:

கடைசி உதாரணத்திற்கு சில தெளிவு தேவை என்று நினைக்கிறேன். மடக்கைகள் எங்கே போயின? கடைசி நிமிடம் வரை நாங்கள் வகுப்போடு மட்டுமே வேலை செய்கிறோம். அங்கு நிற்கும் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை சக்திகளின் வடிவத்தில் முன்வைத்து, அடுக்குகளை வெளியே எடுத்தோம் - எங்களுக்கு ஒரு "மூன்று-அடுக்கு" பின்னம் கிடைத்தது.

இப்போது முக்கிய பகுதியைப் பார்ப்போம். எண் மற்றும் வகுப்பில் ஒரே எண் உள்ளது: log2 7. log2 7 ≠ 0 என்பதால், நாம் பின்னத்தை குறைக்கலாம் - 2/4 வகுப்பில் இருக்கும். எண்கணித விதிகளின்படி, நான்கையும் எண்ணுக்கு மாற்றலாம், அதுதான் செய்யப்பட்டது. இதன் விளைவாக பதில் வந்தது: 2.

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாற்றம்

மடக்கைகளைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் பற்றி பேசுகையில், அவை ஒரே அடிப்படைகளுடன் மட்டுமே செயல்படுகின்றன என்பதை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்தினேன். காரணங்கள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? அவை ஒரே எண்ணின் சரியான சக்திகளாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது?

புதிய அடித்தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்கள் மீட்புக்கு வருகின்றன. அவற்றை ஒரு தேற்றத்தின் வடிவத்தில் உருவாக்குவோம்:

மடக்கை logax கொடுக்கலாம். பிறகு c > 0 மற்றும் c ≠ 1 போன்ற எந்த எண்ணுக்கும், சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

குறிப்பாக, c = x ஐ அமைத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்:

இரண்டாவது சூத்திரத்திலிருந்து, மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்தை மாற்றலாம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் முழு வெளிப்பாடும் "திரும்பியது", அதாவது. மடக்கை வகுப்பில் தோன்றும்.

இந்த சூத்திரங்கள் சாதாரண எண் வெளிப்பாடுகளில் அரிதாகவே காணப்படுகின்றன. மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும்போது மட்டுமே அவை எவ்வளவு வசதியானவை என்பதை மதிப்பீடு செய்ய முடியும்.

இருப்பினும், ஒரு புதிய அடித்தளத்திற்குச் செல்வதைத் தவிர, தீர்க்க முடியாத பிரச்சினைகள் உள்ளன. இவற்றில் ஒன்றிரண்டு பார்ப்போம்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log5 16 log2 25.

இரண்டு மடக்கைகளின் வாதங்களும் சரியான அதிகாரங்களைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள். குறிகாட்டிகளை வெளியே எடுப்போம்: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

இப்போது இரண்டாவது மடக்கை "தலைகீழ்" செய்வோம்:

காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது தயாரிப்பு மாறாது என்பதால், நாங்கள் அமைதியாக நான்கு மற்றும் இரண்டைப் பெருக்கி, பின்னர் மடக்கைகளைக் கையாள்வோம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்: log9 100 lg 3.

முதல் மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதம் துல்லியமான சக்திகள். இதை எழுதி குறிகாட்டிகளை அகற்றுவோம்:

இப்போது புதிய தளத்திற்குச் செல்வதன் மூலம் தசம மடக்கையிலிருந்து விடுபடலாம்:

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

பெரும்பாலும் தீர்வுச் செயல்பாட்டில், கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு மடக்கையாக எண்ணைக் குறிப்பிடுவது அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரங்கள் எங்களுக்கு உதவும்:

முதல் வழக்கில், எண் n என்பது வாதத்தில் அடுக்கு ஆகும். எண் n என்பது முற்றிலும் எதுவாகவும் இருக்கலாம், ஏனெனில் இது ஒரு மடக்கை மதிப்பு.

இரண்டாவது சூத்திரம் உண்மையில் ஒரு பாராபிராஸ்டு வரையறை. அதுவே அழைக்கப்படுகிறது: .

உண்மையில், b என்ற எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தினால் என்ன நடக்கும், இந்த சக்திக்கு b என்ற எண் a எண்ணைக் கொடுக்கும்? அது சரி: முடிவு அதே எண் a. இந்தப் பத்தியை மீண்டும் கவனமாகப் படியுங்கள் - பலர் அதில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

ஒரு புதிய தளத்திற்குச் செல்வதற்கான சூத்திரங்களைப் போலவே, அடிப்படை மடக்கை அடையாளம் சில சமயங்களில் சாத்தியமான ஒரே தீர்வு.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

log25 64 = log5 8 - மடக்கையின் அடிப்படை மற்றும் வாதத்திலிருந்து சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரே அடிப்படையுடன் சக்திகளை பெருக்குவதற்கான விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், நாம் பெறுகிறோம்:

யாருக்காவது தெரியாவிட்டால், இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் உண்மையான பணியாகும் :)

மடக்கை அலகு மற்றும் மடக்கை பூஜ்யம்

முடிவில், பண்புகள் என்று அழைக்கப்பட முடியாத இரண்டு அடையாளங்களை நான் தருகிறேன் - மாறாக, அவை மடக்கையின் வரையறையின் விளைவுகள். அவர்கள் தொடர்ந்து சிக்கல்களில் தோன்றுகிறார்கள், ஆச்சரியப்படும் விதமாக, "மேம்பட்ட" மாணவர்களுக்கு கூட சிக்கல்களை உருவாக்குகிறார்கள்.

1. லோகா = 1 ஆகும். ஒருமுறை மற்றும் அனைத்தையும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அந்த தளத்தின் எந்த தளத்திற்கும் மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்.
2. லோகா 1 = 0 ஆகும். அடிப்படை a எதுவும் இருக்கலாம், ஆனால் வாதத்தில் ஒன்று இருந்தால், மடக்கை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்! ஏனெனில் a0 = 1 என்பது வரையறையின் நேரடி விளைவு.

அவ்வளவுதான் சொத்துக்கள். அவற்றை நடைமுறைக்குக் கொண்டுவருவதைப் பயிற்சி செய்யுங்கள்! பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள ஏமாற்று தாளைப் பதிவிறக்கம் செய்து, அதை அச்சிட்டு, சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும்.