Ano ang kakaiba sa Escher Falls. Escher - Dutch graphic artist

Ang Matematika Art ng Moritz Escher Pebrero 28, 2014

Orihinal na kinuha mula sa imit_omsu sa The Mathematical Art ng Moritz Escher

"Binuksan ng mga matematiko ang pinto na humahantong sa isa pang mundo, ngunit sila mismo ay hindi naglakas-loob na pumasok sa mundong ito. Mas interesado sila sa landas na kinatatayuan ng pinto kaysa sa hardin sa likuran nito. "
(M.C. Escher)

Lithograph "Kamay na may mirror sphere", sariling larawan.

Si Maurits Cornelius Escher ay isang Dutch graphic artist na kilala sa bawat matematiko.
Ang mga balangkas ng mga gawa ni Escher ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang nakakatawang pag-unawa sa lohikal at plastik na kabalintunaan.
Kilala siya, una sa lahat, para sa mga gawaing kung saan ginamit niya ang iba't ibang mga konsepto ng matematika - mula sa limitasyon at sa strip ng Mobius hanggang sa geometry ng Lobachevsky.

Woodcut na "Pulang Ants."

Si Maurits Escher ay hindi nakatanggap ng isang espesyal na edukasyon sa matematika. Ngunit sa simula pa lang malikhaing karera interesado sa mga pag-aari ng kalawakan, pinag-aralan ang mga hindi inaasahang panig nito.

"Ties of Unity".

Si Escher ay madalas na nakikipag-usap sa mga kumbinasyon ng 2-D at 3-D na mundo.


Lithograph na "Mga Kamay ng Pagguhit".

Lithograph na "Reptiles".

Pagkiling.

Ang pag-tile ay ang paghahati ng isang eroplano sa magkatulad na mga numero. Upang pag-aralan ang mga nasabing pagkahati, tradisyonal na ginamit ang konsepto ng isang pangkat na mahusay na proporsyon. Isipin ang isang eroplano kung saan iginuhit ang ilang pag-tile. Ang eroplano ay maaaring paikutin sa paligid ng isang di-makatwirang axis at ilipat. Ang offset ay tinukoy ng offset vector, at ang pag-ikot ay tinukoy ng gitna at anggulo. Ang mga nasabing pagbabago ay tinatawag na paggalaw. Sinabi nila na ito o ang kilusang iyon ay mahusay na proporsyon, kung pagkatapos nito ang pag-tile ay pumasa sa sarili nito.

Isaalang-alang, halimbawa, isang eroplano, nahahati sa pantay na mga parisukat - isang walang katapusang sheet ng isang notebook sa isang cell sa lahat ng direksyon. Kung ang naturang eroplano ay pinaikot 90 degree (180, 270 o 360 degree) sa paligid ng gitna ng anumang square, ang pag-tile ay magbabago sa sarili nito. Nagbabago din ito sa sarili nito kapag inilipat ng isang vector na kahanay sa isa sa mga gilid ng mga parisukat. Ang haba ng vector ay dapat na isang maramihang mga bahagi ng parisukat.

Noong 1924 geometer George Polia (bago lumipat sa USA Gyorgy Polya) ay naglathala ng isang papel tungkol sa mga symmetry na grupo ng mga tilings, kung saan napatunayan niya ang isang kamangha-manghang katotohanan (kahit na natuklasan noong 1891 ng dalub-agbilang sa Rusya na si Evgraf Fedorov, at kalaunan ay ligtas na nakalimutan): mayroon lamang 17 mga pangkat na symmetries, na kasama ang mga paglilipat sa hindi bababa sa dalawa magkakaibang direksyon... Noong 1936, si Escher, interesado sa mga burloloy ng Moor (mula sa geometric point tingnan, pagpipilian sa pag-tile), basahin ang gawain ng Polia. Sa kabila ng katotohanang siya, sa kanyang sariling pagpasok, ay hindi naintindihan ang lahat ng matematika sa likod ng trabaho, naunawaan ni Escher ang geometric na kakanyahan nito. Bilang isang resulta, batay sa lahat ng 17 mga grupo, lumikha si Escher ng higit sa 40 mga gawa.

Mosaic.

Woodcut na "Araw at Gabi".

"Regular na paglalagay ng eroplano IV".

Woodcut na "Langit at Tubig".

Pagkiling. Ang pangkat ay isang bagay na simple, mga generator: sliding symmetry at parallel transfer. Ngunit ang mga paving tile ay kahanga-hanga. At sa pagsasama sa Mobius strip, iyon lang.


Woodcut na "Horsemen".

Ang isa pang pagkakaiba-iba sa tema ng isang patag at tatlong-dimensional na mundo at mga pagkiling.


Lithograph na "Magic Mirror".

Si Escher ay kaibigan ng pisisista na si Roger Penrose. Sa kanyang libreng oras mula sa pisika, si Penrose ay nakikibahagi sa paglutas ng mga puzzle sa matematika. Isang araw ay nakaisip siya ng ideyang ito: kung naisip mo ang isang pag-tile na binubuo ng higit sa isang pigura, magkakaiba ba ang pangkat ng mahusay na proporsyon mula sa inilarawan ng Polia? Bilang ito ay naging, ang sagot sa tanong na ito ay nasa apirmatibo - ganito ipinanganak ang mosaic ng Penrose. Noong 1980s, lumabas na nauugnay ito sa quasicrystals ( Nobel Prize sa kimika 2011).

Gayunpaman, si Escher ay walang oras (o marahil ay hindi nais) gamitin ang mosaic na ito sa kanyang trabaho. (Ngunit mayroong ganap na kamangha-manghang mosaic ni Penrose ng "Penrose Chickens," hindi sila iginuhit ni Escher.)

Lobachevsky eroplano.

Ang pang-lima sa listahan ng mga axioms sa "Mga Prinsipyo" ng Euclid sa muling pagtatayo ng Heiberg ay ang sumusunod na pahayag: kung ang isang tuwid na linya na tumatawid sa dalawang tuwid na linya ay bumubuo ng panloob na panig na mga anggulo na mas mababa sa dalawang tuwid na linya, kung gayon, nagpatuloy nang walang katiyakan, ang dalawang tuwid na ito ang mga linya ay magkikita sa gilid kung saan ang mga anggulo ay mas mababa sa dalawang tuwid na linya ... V kapanahon panitikan ginusto ang isang katumbas at mas matikas na pagbabalangkas: sa pamamagitan ng isang punto na hindi namamalagi sa isang tuwid na linya, mayroong isang tuwid na linya na kahilera sa naibigay na, at, saka, isa lamang. Ngunit kahit na sa pagbabalangkas na ito, ang axiom, hindi katulad ng natitirang postulate ni Euclid, ay mukhang mahirap at nakalilito - kaya't sa loob ng dalawang libong taon, sinubukan ng mga siyentista na mabawasan ang pahayag na ito mula sa natitirang mga axioms. Iyon ay, sa katunayan, gawing isang teorema ang isang postulate.

Noong ika-19 na siglo, sinubukan ng matematiko na si Nikolai Lobachevsky na gawin ito sa pamamagitan ng kontradiksyon: ipinapalagay niya na ang postulate ay hindi tama at sinubukan na makahanap ng isang kontradiksyon. Ngunit hindi siya natagpuan - at bilang isang resulta, nagtayo si Lobachevsky ng isang bagong geometry. Dito, sa pamamagitan ng isang punto na hindi namamalagi sa isang tuwid na linya, mayroong isang walang katapusang hanay ng iba't ibang mga tuwid na linya na hindi sumasalungat sa ibinigay. Ang Lobachevsky ay hindi ang unang natuklasan ang bagong geometry na ito. Ngunit siya ang una na naglakas-loob na ideklara siya sa publiko - kung saan, syempre, siya ay kinutya.

Ang posthumous pagkilala sa mga gawa ni Lobachevsky ay naganap, bukod sa iba pang mga bagay, salamat sa paglitaw ng mga modelo ng kanyang geometry - mga system ng mga bagay sa ordinaryong eroplanong Euclidean na nasiyahan ang lahat ng mga axioms ng Euclidean, maliban sa ikalimang postulate. Ang isa sa mga modelong ito ay iminungkahi ng dalubbilang at physicist na si Henri Poincaré noong 1882 - para sa mga pangangailangan ng pagganap at kumplikadong pagsusuri.

Hayaan na mayroong isang bilog, ang hangganan na tatawagin nating ganap. Ang mga "puntos" sa aming modelo ay ang panloob na mga puntos ng bilog. Ang papel na ginagampanan ng "tuwid na mga linya" ay nilalaro ng mga bilog o tuwid na linya patayo sa ganap (mas tiyak, ang kanilang mga arko na nahuhulog sa loob ng bilog). Ang katotohanan na para sa naturang "tuwid na mga linya" ang pang-limang postulate ay hindi natupad ay praktikal na halata. Ang katotohanan na ang natitirang mga postulate ay natupad para sa mga bagay na ito ay medyo hindi gaanong halata, subalit, ito ay gayon.

Ito ay lumabas na sa modelo ng Poincaré posible na matukoy ang distansya sa pagitan ng mga puntos. Upang makalkula ang haba, kinakailangan ang konsepto ng isang sukatang Riemannian. Ang mga katangian nito ay ang mga sumusunod: mas malapit ang pares ng mga puntos ng "tuwid na linya" sa ganap, mas malaki ang distansya sa pagitan nila. Gayundin, ang mga anggulo ay tinukoy sa pagitan ng "tuwid na mga linya" - ito ang mga anggulo sa pagitan ng mga tangents sa punto ng intersection ng "tuwid na mga linya".

Ngayon bumalik tayo sa mga tilings. Paano ang magiging hitsura nila kung nahahati sa parehong regular na mga polygon (iyon ay, mga polygon sa lahat pantay na panig at mga anggulo) na isang modelo ng Poincaré? Halimbawa, ang mga polygon ay dapat na mas maliit kung mas malapit sila sa ganap. Ang ideyang ito ay napagtanto ni Escher sa serye ng mga gawaing "Limit-circle". Gayunpaman, hindi ginamit ng Dutchman ang tamang mga paghati, ngunit ang kanilang mga mas simetriko na bersyon. Ang kaso kung saan ang kagandahan ay naging mas mahalaga kaysa sa katumpakan ng matematika.

Woodcut "Limit - Circle II".

Woodcut "Limit - Circle III".

Woodcut na "Langit at Impiyerno".

Imposibleng mga numero.

Nakaugalian na tawagan ang mga imposibleng numero ng mga espesyal na ilusyon sa optikal - tila sila ay isang imahe ng ilang tatlong-dimensional na bagay sa isang eroplano. Ngunit sa malapit na pagsusuri, ang mga kontradiksyong geometriko ay isiniwalat sa kanilang istraktura. Ang mga imposibleng numero ay kawili-wili hindi lamang para sa mga matematiko - nakikibahagi sila sa mga psychologist at espesyalista sa disenyo.

Ang lolo sa tuhod ng imposibleng mga numero ay ang tinatawag na Necker cube, isang pamilyar na imahe ng isang kubo sa isang eroplano. Iminungkahi ito ng Suweko na crystallographer na si Louis Necker noong 1832. Ang kakaibang uri ng imaheng ito ay maaari itong mabigyang kahulugan sa iba't ibang paraan... Halimbawa, ang sulok na minarkahan sa figure na ito na may isang pulang bilog ay maaaring maging pinakamalapit sa amin mula sa lahat ng mga sulok ng kubo, at, sa kabaligtaran, ang pinakamalayo.

Ang kauna-unahang tunay na imposibleng pigura na tulad nito ay nilikha ng isa pang siyentipikong Suweko, si Oskar Ruthersvard, noong 1930s. Sa partikular, nakaisip siya ng ideya ng pag-iipon ng isang tatsulok mula sa mga cube, na hindi maaaring magkaroon ng likas na katangian. Anuman ang Ruthersward, ang nabanggit na si Roger Penrose, kasama ang kanyang amang si Lionel Penrose, ay inilathala sa British Journal of Psychology ang isang akdang may pamagat na " Mga imposibleng bagay: Espesyal na uri mga ilusyon ng optikal"(1956). Sa loob nito, iminungkahi ng Penrose ang dalawang ganoong mga bagay - ang Penrose triangle (isang solidong bersyon ng pagtatayo ng mga cube ni Ruthersward) at ang hagdan ng Penrose. Pinangalanan nila Maurits Escher bilang inspirasyon para sa kanilang trabaho.

Ang parehong mga bagay - ang tatsulok at ang hagdanan - kalaunan ay lumitaw sa mga kuwadro na gawa ni Escher.

Lithograph "Kapamanggitan".

Lithograph na "Waterfall".

Lithograph na "Belvedere".

Lithograph na "Pag-akyat at Pagbaba".

Iba pang mga gawa na may kahulugan sa matematika:

Star polygon:

Woodcut na "Mga Bituin".

Lithograph na "Cubic division of space".

Lithograph na "Ripmed Surface".

Lithograph na "Tatlong Daigdig"

Ang ilusyonaryong likhang sining ay may isang tiyak na kagandahan. Ang mga ito ang tagumpay ng pinong sining sa katotohanan. Bakit nakakainteres ang mga ilusyon? Bakit maraming artista ang gumagamit ng mga ito sa kanilang sining? Marahil dahil hindi nila ipinapakita kung ano talaga ang iginuhit. Lahat ay nagmamarka ng lithograph "Talon" ni Maurits C. Escher... Ang tubig ay umiikot dito nang walang katapusan, pagkatapos ng pag-ikot ng gulong dumadaloy ito nang higit pa at bumalik sa panimulang punto. Kung ang naturang istraktura ay maaaring itayo, magkakaroon ng isang panghabang-buhay na makina ng paggalaw! Ngunit sa masusing pagsisiyasat sa pagpipinta, nakikita namin na niloloko tayo ng artista, at ang anumang pagtatangkang itayo ang istrakturang ito ay tiyak na mabibigo.

Mga Guhit na Isometric

Upang maiparating ang ilusyon ng three-dimensional reality, dalawang-dimensional na guhit (mga guhit sa isang patag na ibabaw) ang ginagamit. Karaniwan, ang panlilinlang ay binubuo sa paglalarawan ng mga pagpapakitang solidong pigura, na sinusubukan ng isang tao na kumatawan bilang mga three-dimensional na bagay alinsunod sa kanyang personal na karanasan.

Ang klasikal na pananaw ay mabisa sa paggaya ng katotohanan sa anyo ng isang "potograpiyang" imahe. Ang view na ito ay hindi kumpleto sa maraming mga kadahilanan. Pinipigilan nito kaming makita ang eksena mula sa iba't ibang mga pananaw, papalapit dito, o tingnan ang bagay mula sa lahat ng panig. Hindi ito nagbibigay sa amin ng epekto ng lalim na magkakaroon ng isang tunay na bagay. Ang epekto ng lalim ay nagmumula sa ang katunayan na ang aming mga mata ay tumingin sa isang bagay mula sa dalawang magkakaibang pananaw, at pinagsasama ito ng aming utak sa isang imahe. Ang isang patag na pagguhit ay kumakatawan sa isang eksena mula sa isang tiyak na pananaw lamang. Ang isang halimbawa ng gayong pagguhit ay magiging isang kunan ng larawan gamit ang isang maginoo na monocular camera.

Kapag ginagamit ang klase ng mga ilusyon na ito, ang pagguhit ay lilitaw sa unang tingin na maging isang normal na pananaw ng solidong katawan. Ngunit sa masusing pagsusuri, nakikita ang panloob na mga kontradiksyon ng naturang isang bagay. At nagiging malinaw na ang gayong bagay ay hindi maaaring umiiral sa katotohanan.

Ilusyon ng Penrose

Ang Escher Falls ay batay sa ilusyon ng Penrose, na kung minsan ay tinukoy bilang ilusyon imposibleng tatsulok... Ang ilusyon na ito ay inilalarawan dito sa pinakasimpleng form nito.

Tila nakikita namin ang tatlong mga bar ng isang parisukat na cross-section na konektado sa isang tatsulok. Kung takpan mo ang anumang sulok ng hugis na ito, makikita mo na ang lahat ng tatlong mga bar ay konektado nang tama. Ngunit kapag tinanggal mo ang iyong kamay mula sa saradong sulok, halata ang panlilinlang. Ang dalawang bar na sumasali sa sulok na ito ay hindi dapat maging malapit sa bawat isa.

Ang ilusyon ng Penrose ay gumagamit ng isang "maling pananaw". Ginagamit din ang maling pananaw sa isometric rendering. Minsan ang pananaw na ito ay tinatawag na Tsino (tala ng tagasalin: Tinawag ng Reutersvard na pananaw na Japanese). Ang ganitong paraan ng pagpipinta ay madalas na ginagamit sa Tsino sining... Sa pamamaraang ito ng pagguhit, hindi malinaw ang lalim ng pagguhit.

Sa mga guhit na isometric, ang lahat ng mga parallel na linya ay lilitaw na parallel, kahit na ang mga ito ay ikiling na may paggalang sa mga tagamasid. Ang isang bagay na ikiling ang layo mula sa manonood ay mukhang eksaktong kapareho ng kung ikiling ito patungo sa manonood sa parehong anggulo. Ang isang rektanggulo na baluktot sa kalahati (ang pigura ng Mach) ay malinaw na ipinapakita ang kalabuan na ito. Ang figure na ito ay maaaring tulad ng isang bukas na libro sa iyo, na parang tinitingnan mo ang mga pahina ng isang libro, o maaaring parang isang libro na binuksan sa iyo bilang isang nagbubuklod at tinitingnan mo ang pabalat ng isang libro. Ang figure na ito ay maaari ding lumitaw bilang dalawang parallelograms na nakahanay, ngunit napaka isang maliit na halaga ng makikita ng mga tao ang pigura na ito sa anyo ng mga parallelograms.

Ang pigura ni Thiery ay naglalarawan ng parehong dualitas

Isaalang-alang ang ilusyon sa hagdan ng Schroeder, isang "dalisay" na halimbawa ng pagiging malalim sa isometric na kalabuan. Ang figure na ito ay maaaring isipin bilang isang hagdanan na maaaring akyatin mula kanan hanggang kaliwa, o bilang isang ilalim na pagtingin ng hagdanan. Ang anumang pagtatangka na muling iposisyon ang mga linya ng pigura ay sisira sa ilusyon.

Ang simpleng pagguhit na ito ay kahawig ng isang linya ng mga cube, ipinakita mula sa labas at mula sa loob. Sa kabilang banda, ang pagguhit na ito ay kahawig ng isang linya ng mga cube na ipinakita mula sa itaas at ibaba. Ngunit napakahirap makita ang pagguhit na ito bilang isang hanay lamang ng mga parallelograms.

Ipinta natin ang ilang mga lugar na may itim. Ang mga black parallelograms ay maaaring magmukhang tinitingnan namin ang mga ito alinman mula sa ibaba o mula sa itaas. Subukan, kung maaari mo, upang makita ang larawang ito nang magkakaiba, na parang tinitingnan namin ang isang parallelogram mula sa ibaba, at sa iba pa mula sa itaas, pinapalitan ang mga ito. Karamihan sa mga tao ay hindi maaaring makilala ang larawang ito sa ganitong paraan. Bakit hindi namin magagawang makita ang larawan sa ganitong paraan? Nakita kong ito ang pinakamahirap sa mga simpleng ilusyon.

Ang ilustrasyon sa kanan ay gumagamit ng ilusyon ng isang imposibleng tatsulok sa isang istilong isometric. Ito ay isa sa mga pattern ng "hatch" na draft ng software ng AutoCAD (TM). Ang sample na ito tinawag na "Escher".

Ang isang isometric na guhit ng isang istraktura ng wire cube ay nagpapakita ng isometric kalabuan. Ang pigura na ito ay minsang tinatawag na Necker cube. Kung ang itim na punto ay nasa gitna ng isang gilid ng kubo, ang panig na iyon ay nasa harap o likod? Maaari mo ring isipin na ang punto ay malapit sa ibabang kanang sulok ng isang gilid, ngunit hindi mo pa rin masasabi kung ang panig na iyon ay nasa harap o hindi. Wala ka ring anumang kadahilanan upang ipalagay na ang punto ay nasa ibabaw ng kubo o sa loob nito, maaari rin itong nasa harap ng kubo at sa likuran nito, dahil wala kaming impormasyon tungkol sa mga aktwal na sukat ng punto.

Kung iniisip mo ang mga gilid ng isang kubo bilang mga kahoy na tabla, maaari kang makakuha ng mga hindi inaasahang resulta. Ginamit namin dito ang isang hindi siguradong koneksyon ng mga pahalang na piraso, na tatalakayin sa ibaba. Ang bersyon na ito ng pigura ay tinatawag na imposibleng kahon. Ito ang batayan para sa maraming mga katulad na ilusyon.

Ang isang imposibleng kahon ay hindi maaaring gawin mula sa kahoy. Ngunit nakikita natin dito ang isang litrato ng isang imposibleng kahon na gawa sa kahoy. Ito ay isang kasinungalingan. Ang isa sa mga drawer bar na lumilitaw na dumadaan sa likuran ng isa pa ay talagang dalawang magkakahiwalay na break bar, ang isa ay mas malapit at ang isa pa sa malayo sa crossing bar. Ang nasabing pigura ay makikita lamang mula sa solong punto paningin Kung titingnan namin ang isang tunay na istraktura, kung gayon sa tulong ng aming stereoscopic vision, makakakita kami ng isang trick, dahil kung saan imposible ang pigura. Kung binago namin ang aming pananaw, kung gayon ang trick na ito ay magiging mas kapansin-pansin. Iyon ang dahilan kung bakit, kapag nagpapakita ng mga imposibleng numero sa mga eksibisyon at sa mga museo, napipilitan kang tingnan ang mga ito sa pamamagitan ng isang maliit na butas na may isang mata.

Hindi siguradong koneksyon

Ano ang batay sa ilusyon na ito? Pagkakaiba-iba ba ito sa libro ni Mach?

Sa katunayan, ito ay isang kumbinasyon ng ilusyon ni Mach at hindi siguradong pagsali sa linya. Ang dalawang libro ay nagbabahagi ng isang karaniwang panggitnang ibabaw ng pigura. Ginagawa nitong hindi maliwanag ang ikiling ng takip ng libro.

Mga ilusyon ng posisyon

Ang ilusyon ng Poggendorf, o "tumawid na rektanggulo", ay nagpapaligaw sa amin kung alin sa mga linya A o B ang isang pagpapatuloy ng linya C. Ang isang hindi malinaw na sagot ay maaari lamang ibigay sa pamamagitan ng paglakip ng isang pinuno sa linya C at pagsubaybay kung alin sa mga linya ang sumabay dito .

Mga ilusyon ng form

Ang mga ilusyon ng form ay malapit na nauugnay sa mga ilusyon ng posisyon, ngunit dito ang mismong istraktura ng pagguhit ay pinipilit kaming baguhin ang aming paghuhusga tungkol sa geometric na form ng pagguhit. Sa halimbawa sa ibaba, ang mga maikling linya ng slanted ay nagbibigay ng ilusyon na ang dalawang pahalang na linya ay hubog. Sa katunayan, ang mga ito ay tuwid na mga parallel na linya.

Ang mga ilusyon na ito ay gumagamit ng kakayahan ng aming utak na iproseso ang nakikitang impormasyon, kabilang ang mga lilim na ibabaw. Ang isang hatch pattern ay maaaring maging napakapangibabaw na ang iba pang mga elemento ng pattern ay lilitaw na baluktot.

Ang isang klasikong halimbawa ay isang hanay ng mga concentric na bilog na may isang parisukat na naka-superimpose sa kanila. Bagaman ang mga gilid ng parisukat ay perpektong tuwid, lumilitaw na liko ito. Ang katotohanan na ang mga gilid ng parisukat ay tuwid ay maaaring ma-verify sa pamamagitan ng paglakip ng isang pinuno sa kanila. Karamihan sa mga ilusyon sa form ay batay sa epektong ito.

Ang sumusunod na halimbawa ay gumagana sa parehong prinsipyo. Bagaman ang parehong mga bilog ay pareho ang laki, ang isa sa kanila ay mukhang mas maliit kaysa sa isa pa. Ito ay isa sa maraming mga ilusyon sa laki.

Ang isang paliwanag para sa epektong ito ay matatagpuan sa aming pang-unawa sa pananaw sa mga larawan at kuwadro na gawa. V tunay na mundo nakikita natin na ang dalawang magkatulad na linya ay nagtatagpo habang dumarami ang distansya, kaya napansin natin na ang bilog na dumadampi sa mga linya ay mas malayo sa amin at samakatuwid ay dapat na mas malaki.

Kung ang mga bilog ay puno ng itim, ang mga bilog at mga lugar na nalilimitahan ng mga linya, kung gayon ang ilusyon ay magiging mahina.

Ang lapad ng labi at ang taas ng sumbrero ay pareho, bagaman hindi ito mukhang sa unang tingin. Subukang paikutin ang imahe ng 90 degree. Napanatili ba ang epekto? Ito ay isang ilusyon ng mga kamag-anak na sukat sa loob ng isang pagpipinta.

Hindi siguradong elipsis

Ang mga hilig na bilog ay inaasahang papunta sa eroplano ng mga ellipses, at ang mga ellipses na ito ay may malalim na hindi siguridad. Kung ang hugis (sa itaas) ay isang tagilid na bilog, kung gayon walang paraan upang malaman kung ang tuktok na arko ay mas malapit sa amin o mas malayo sa amin kaysa sa mas mababang arko.

Ang isang hindi siguradong koneksyon ng mga linya ay isang mahalagang elemento sa ilusyon ng isang hindi siguradong singsing:

Ambiguous Ring, © Donald E. Simanek, 1996.

Kung takpan mo ang kalahati ng larawan, kung gayon ang natitira ay magiging katulad ng kalahati ng isang regular na singsing.

Nang magkaroon ako ng ganitong pigura, naisip ko na maaaring ito ang orihinal na ilusyon. Ngunit kalaunan, nakakita ako ng isang ad na may logo ng korporasyong hibla-optiko, ang Canstar. Kahit na ang sagisag ng Canstar ay akin, maaari silang maiuri sa ilalim ng parehong klase ng ilusyon. Kaya, ako at ang korporasyon ay nakagawa nang nakapag-iisa sa bawat isa ang pigura ng imposibleng gulong. Sa palagay ko kung lumalim ka, malamang na mahahanap mo ang mga naunang halimbawa ng imposibleng gulong.

Walang katapusang hagdanan

Ang isa pa sa mga klasikong ilusyon ni Penrose ay ang imposibleng hagdanan. Siya ay madalas na itinatanghal bilang isang isometric na guhit (kahit na sa gawa ni Penrose). Ang aming bersyon ng walang hangganang hagdanan ay magkapareho sa bersyon ng hagdan ng Penrose (maliban sa crosshatching).

Maaari rin siyang mailarawan sa pananaw, tulad ng ginagawa sa lithograph ni M. K. Escher.

Ang panlilinlang sa "Ascent and Descent" lithograph ay itinayo sa isang bahagyang naiibang paraan. Inilagay ni Escher ang hagdanan sa bubong ng gusali at inilalarawan ang gusali sa ibaba sa isang paraan upang maiparating ang isang impression ng pananaw.

Inilarawan ng artista ang isang walang katapusang hagdanan na may anino. Tulad ng pagtatabing, isang anino ay maaaring sirain ang ilusyon. Ngunit inilagay ng artist ang ilaw na mapagkukunan sa isang lugar na ang anino ay mahusay na pinaghalong sa iba pang mga bahagi ng pagpipinta. Marahil ang anino ng hagdan ay isang ilusyon sa sarili.

Konklusyon

Ang ilang mga tao ay hindi lahat naintriga ng mga ilusyong larawan. "Maling larawan lamang ito," sabi nila. Ang ilang mga tao, marahil mas mababa sa 1% ng populasyon, ay hindi nakikita ang mga ito dahil ang kanilang talino ay hindi maaaring ibahin ang mga flat na larawan sa mga three-dimensional na imahe. Ang mga taong ito ay may posibilidad na magkaroon ng kahirapan sa pag-unawa ng mga teknikal na guhit at guhit ng 3-D na mga numero sa mga libro.

Maaaring makita ng iba na mayroong "isang bagay na mali" sa pagpipinta, ngunit hindi nila iisipin na magtanong kung paano nakuha ang panlilinlang. Ang mga taong ito ay hindi kailanman kailangang maunawaan kung paano gumagana ang kalikasan, hindi sila maaaring tumuon sa mga detalye para sa isang kakulangan ng pag-uusisa sa intelektuwal na elementarya.

Marahil ang pag-unawa sa mga visual na kabalintunaan ay isa sa mga palatandaan ng ganitong uri pagkamalikhain pagmamay-ari ng pinakamahusay na matematika, siyentipiko at artist. Kabilang sa mga gawa ni M.C. Escher (M.C. Escher) mayroong maraming mga pinta na ilusyon, pati na rin ang mga kumplikadong geometric na pintura, na maaaring maiugnay sa halip na "intelektwal mga laro sa matematika"kaysa sa sining. Gayunpaman, napahanga nila ang mga matematiko at syentista.

Sinasabing ang mga taong naninirahan sa ilang isla sa Pasipiko o malalim sa Amazon jungle, kung saan hindi pa sila nakakita ng litrato, ay hindi muna mauunawaan kung ano ang litrato kapag ipinakita. Ang pagbibigay kahulugan sa partikular na uri ng imaheng ito ay nakuha na kasanayan. Ang ilang mga tao ay natututo ng kasanayang ito nang mas mahusay, ang iba ay mas masahol pa.

Nagsimulang gumamit ang mga artista pananaw na geometriko sa kanyang mga gawa mas maaga kaysa sa pag-imbento ng pagkuha ng litrato. Ngunit hindi nila ito mapag-aralan nang walang tulong mula sa agham. Ang mga lente ay karaniwang magagamit lamang noong ika-14 na siglo. Sa oras na iyon, ginamit ito sa mga eksperimento na may mga nagdidilim na kamera. Ang isang malaking lens ay inilagay sa isang butas sa pader ng isang madilim na silid upang ang isang baligtad na imahe ay ipinakita sa tapat ng dingding. Ang pagdaragdag ng isang salamin ay naging posible upang maitapon ang imahe mula sa sahig hanggang sa kisame ng camera. Ang aparatong ito ay madalas na ginagamit ng mga artista na nag-eksperimento sa isang bagong "European" na istilo ng pananaw sa arte... Sa oras na iyon, ang matematika ay mayroon nang isang kumplikadong sapat na agham upang magbigay ng isang teoretikal na batayan para sa pananaw, at ang mga prinsipyong ito ng teoretikal ay na-publish sa mga libro para sa mga artista.

Sa pamamagitan lamang ng pagsubok na gumuhit ng mga ilusyong larawan sa iyong sarili maaari mong pahalagahan ang lahat ng mga subtleties na kinakailangan upang lumikha ng mga nasabing panlilinlang. Kadalasan ang likas na katangian ng ilusyon ay nagpapataw ng sarili nitong mga limitasyon, na ipinapataw ang "lohika" nito sa artist. Bilang isang resulta, ang paglikha ng isang pagpipinta ay naging isang labanan ng pagpapatawa ng artist na may kakaibang isang hindi lohikal na ilusyon.

Ngayon na tinalakay namin ang kakanyahan ng ilan sa mga ilusyon, maaari mong gamitin ang mga ito upang lumikha ng iyong sariling mga ilusyon, pati na rin pag-uriin ang anumang mga ilusyon na nakasalamuha mo. Makalipas ang ilang sandali magkakaroon ka malaking koleksyon ilusyon, at kakailanganin mong ipakita ang mga ito sa anumang paraan. Nagdisenyo ako ng isang case ng display ng baso para dito.

Showcase ng mga ilusyon. © Donald E. Simanek, 1996.

Maaari mong suriin ang tagpo ng mga linya sa pananaw at iba pang mga aspeto ng geometry ng pagguhit na ito. Sa pamamagitan ng pagsusuri ng mga nasabing larawan, at subukang iguhit ang mga ito, malalaman mo ang kakanyahan ng mga panlilinlang na ginamit sa larawan. Gumamit si MC Escher ng mga katulad na trick sa kanyang pagpipinta na "Belvedere" (sa ibaba).

Donald E. Simanek, Disyembre 1996. Isinalin mula sa Ingles

Si Maurits Cornelis Escher ay isang Dutch graphic artist na nakamit ang tagumpay sa kanyang haka-haka na mga lithograph, ukit sa kahoy at metal, at mga guhit para sa mga libro. selyo ng selyo, frescoes at tapiserya. Karamihan maliwanag na kinatawan imp-art (imahe ng imposibleng mga numero).

Si Maurits Escher ay ipinanganak sa Netherlands sa lungsod ng Louvander sa pamilya ng engineer na si George Arnold Escher at anak na babae ng Ministro na si Sarah Adriana Gleichmann-Escher. Si Maurits ang bunso at pang-apat na anak sa pamilya. Nang siya ay 5 taong gulang, ang buong pamilya ay lumipat sa Arnhem, kung saan siya dumaan karamihan ng ang kanyang kabataan. Sa panahon ng pagpasok sa mataas na paaralan, ang hinaharap na artista ay matagumpay na nabigo sa mga pagsusulit, kung saan siya ay ipinadala sa School of Architecture and Decorative Arts sa Haarlem. Pag pasok na bagong paaralan, Maurits Escher ay patuloy na bumuo Mga kasanayan sa malikhaing, kasama ang paraan, ipinapakita ang ilan sa mga guhit at linocuts sa kanyang guro na si Samuel Jesserne, na nagbigay inspirasyon sa kanya na magpatuloy sa pagtatrabaho sa dekorasyon na genre. Kasunod nito, inihayag ni Escher sa kanyang ama na nais niyang mag-aral pandekorasyon na sining at ang arkitekturang iyon ay hindi gaanong interes sa kanya.

Nang matapos ang kanyang pag-aaral, si Maurits Escher ay nagpunta upang maglakbay sa Italya, kung saan nakilala niya ang kanyang magiging asawa Gettu Wimker. Ang batang mag-asawa ay nanirahan sa Roma, kung saan sila nanirahan hanggang 1935. Sa oras na ito, regular na naglalakbay si Escher sa Italya at gumawa ng mga guhit at sketch. Marami sa kanila ang ginamit sa paglaon bilang batayan sa paglikha ng mga woodcuts.

Noong huling bahagi ng 1920s, si Escher ay naging tanyag sa Netherlands at ang katotohanang ito ay higit na naiimpluwensyahan ng mga magulang ng artista. Noong 1929, nagdaos siya ng limang eksibisyon sa Holland at Switzerland, na tumanggap ng medyo nakakagambalang pagsusuri mula sa mga kritiko. Sa panahong ito, ang mga kuwadro na gawa ni Escher ay unang tinawag na mekanikal at "lohikal". Noong 1931, binuksan ng artista ang pagtatapos ng mga woodcuts. Sa kasamaang palad, ang tagumpay ng artista ay hindi nagdala sa kanya malaking pera, at madalas siyang humingi sa kanyang ama para sa tulong sa pananalapi. Ang mga magulang sa buong buhay nila ay suportado si Maurits Escher sa lahat ng kanyang pagsisikap, kaya't nang namatay ang kanyang ama noong 1939 at ang kanyang ina makalipas ang isang taon, hindi naramdaman ni Escher ang pinakamahusay na posibleng paraan.

Noong 1946, ang artista ay naging interesado sa teknolohiya pag-print ng gravure, nailalarawan sa pamamagitan ng isang tiyak na kahirapan sa pagpapatupad. Para sa kadahilanang ito, hanggang 1951, si Escher ay gumawa lamang ng pitong mga impression sa mezzotinto na paraan at hindi na gumana sa diskarteng ito. Noong 1949, nag-organisa si Escher at dalawang iba pang mga artista ng isang malaking eksibisyon ng kanilang graphic works sa Rotterdam, pagkatapos ng isang serye ng mga publikasyon tungkol dito, naging kilala si Escher hindi lamang sa Europa, kundi pati na rin sa Estados Unidos. Patuloy siyang nagtatrabaho sa napiling pamamaraan, lumilikha ng higit pa at higit na bago at kung minsan hindi inaasahang mga gawa arte

Ang isa sa pinakapansin-pansin na gawa ni Escher ay ang Waterfall lithograph batay sa isang imposibleng tatsulok. Ginampanan ng talon ang papel ng isang panghabang-buhay na makina ng paggalaw, at ang mga tower ay tila pareho ang taas, bagaman ang isa sa kanila ay isang palapag na mas mababa sa isa pa. Dalawang kasunod na pag-ukit ni Escher na may imposibleng mga numero- Ang Belvedere at Going Down at Ascending ay nilikha sa pagitan ng 1958 at 1961. Kabilang sa mga nakakaaliw na akda ay nagsasama rin ng mga nakaukit na "Pataas at Pababa", "Relatibidad", "Metamorphoses I", "Metamorphoses II", "Metamorphoses III" (ang pinakamalaking trabaho - 48 metro), "Sky at Water" o "Reptiles" ...

Noong Hulyo 1969, nilikha ni Escher ang huling kahoy na pinutol na may pamagat na Mga Ahas. At noong Marso 27, 1972, namatay ang artista sa cancer sa bituka. Sa buong buhay niya, lumikha si Escher ng 448 lithographs, mga kopya at woodcuts at higit sa 2,000 magkakaibang mga guhit at sketch. Isa pa kagiliw-giliw na tampok ay si Escher, tulad ng marami sa kanyang dakilang mga hinalinhan (Michelangelo, Leonardo da Vinci, Durer at Holben), ay kaliwa.

Sa gawaing ito ni Escher, isang kabalintunaan ang inilalarawan - ang pagbagsak ng tubig ng isang talon ay nagdadala ng isang gulong na nagdidirekta ng tubig sa tuktok ng talon. Ang talon ay may istraktura ng "imposible" na tatsulok na Penrose: ang lithograph ay nilikha batay sa isang artikulo sa British Journal of Psychology.

Ang istraktura ay binubuo ng tatlong mga crossbars, inilalagay sa tuktok ng bawat isa sa tamang mga anggulo. Ang talon sa litograpya ay gumagana tulad ng isang panghabang-buhay na makina ng paggalaw. Nakasalalay sa paggalaw ng tingin, lumilitaw na halili na ang parehong mga tower ay pareho at ang tower sa kanan ay isang palapag na mas mababa kaysa sa kaliwang tower.

Sumulat ng isang pagsusuri sa artikulong "Waterfall (lithography)"

Mga Tala (i-edit)

Mga link

• Opisyal na site: (English)

Sipi mula sa Waterfall (lithograph)