Kagamitan:

• kompyuter,
• multimedia projector,
• screen,
• Annex 1(PowerPoint slide presentation) “Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation”
• Appendix 2(Paglutas ng isang equation tulad ng "Tatlong magkakaibang mga base ng kapangyarihan" sa Word)
• Appendix 3(handout sa Word para sa Praktikal na trabaho).
• Appendix 4(handout sa Word para sa takdang-aralin).

Sa panahon ng mga klase

• mensahe ng paksa ng aralin (nakasulat sa pisara),
• ang pangangailangan para sa isang pangkalahatang aralin sa mga baitang 10-11:

Ang yugto ng paghahanda ng mga mag-aaral para sa aktibong pag-aaral

Pag-uulit

Kahulugan.

Ang exponential equation ay isang equation na naglalaman ng variable na may exponent (mga sagot ng mag-aaral).

Tala ng guro. Ang mga exponential equation ay nabibilang sa klase ng transendental equation. Ang hindi mabigkas na pangalan na ito ay nagpapahiwatig na ang mga naturang equation, sa pangkalahatan, ay hindi malulutas sa anyo ng mga formula.

Ang mga ito ay malulutas lamang nang humigit-kumulang sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan sa mga computer. Ngunit ano ang tungkol sa mga gawain sa pagsusulit? Ang trick ay na ang tagasuri ay nag-frame ng problema sa paraang nagbibigay-daan ito para sa isang analytical na solusyon. Sa madaling salita, maaari kang (at dapat!) magsagawa ng magkatulad na pagbabagong-anyo na nagpapababa sa exponential equation na ito sa pinakasimpleng exponential equation. Ang pinakasimpleng equation na ito ay tinatawag na: ang pinakasimpleng exponential equation. Ito ay nireresolba sa pamamagitan ng logarithm.

Ang sitwasyon sa paglutas ng isang exponential equation ay nakapagpapaalaala sa paglalakbay sa isang labyrinth, na espesyal na imbento ng may-akda ng problema. Mula sa napaka-pangkalahatang mga argumentong ito ay sinusunod ang napakaespesipikong mga rekomendasyon.

1. Hindi lamang aktibong alam ang lahat ng mga exponential na pagkakakilanlan, ngunit hanapin din ang mga hanay ng mga variable na halaga kung saan tinukoy ang mga pagkakakilanlan na ito, upang kapag ginagamit ang mga pagkakakilanlan na ito ay hindi ka nakakakuha ng mga hindi kinakailangang ugat, at higit pa rito, huwag mawalan ng mga solusyon sa equation.

2. Aktibong alamin ang lahat ng exponential identity.

3. Malinaw, nang detalyado at walang mga pagkakamali, magsagawa ng mga pagbabagong matematikal ng mga equation (maglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, magdala ng mga fraction sa isang common denominator, atbp.). Ito ay tinatawag na mathematical culture. Kasabay nito, ang mga kalkulasyon mismo ay dapat gawin nang awtomatiko sa pamamagitan ng kamay, at dapat isipin ng ulo ang pangkalahatang gabay na thread ng solusyon. Ang mga pagbabago ay dapat gawin nang maingat at detalyado hangga't maaari. Ito lang ang magagarantiya ng tama, walang error na desisyon. At tandaan: ang isang maliit na error sa aritmetika ay maaaring lumikha lamang ng isang transendental na equation na, sa prinsipyo, ay hindi malulutas nang analytical. Naligaw ka na pala at tumama sa pader ng labirint.

4. Alamin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema (iyon ay, alamin ang lahat ng mga landas sa pamamagitan ng solusyon maze). Upang mag-navigate nang tama sa bawat yugto, kakailanganin mong (sinasadya o intuitively!):

• tukuyin uri ng equation;
• tandaan ang kaukulang uri paraan ng solusyon mga gawain.

Ang yugto ng generalization at systematization ng pinag-aralan na materyal.

Ang guro, kasama ang mga mag-aaral na gumagamit ng isang computer, ay nagsasagawa ng isang pagsusuri ng lahat ng mga uri ng mga exponential equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, nag-compile. pangkalahatang pamamaraan. (Ginamit na pagsasanay programa sa kompyuter L.Ya. Borevsky "Mathematics Course - 2000", ang may-akda ng PowerPoint presentation ay T.N. Kuptsova.)

kanin. 1. Ang figure ay nagpapakita ng pangkalahatang diagram ng lahat ng uri ng exponential equation.

Tulad ng makikita mula sa diagram na ito, ang diskarte para sa paglutas ng mga exponential equation ay upang bawasan ang ibinigay na exponential equation sa equation, una sa lahat, na may parehong mga base ng degree , at pagkatapos – at na may parehong mga tagapagpahiwatig ng antas.

Kapag nakatanggap ka ng equation na may parehong mga base at exponents, papalitan mo ang exponent na ito ng bagong variable at kumuha ng simpleng algebraic equation (karaniwan ay fractional-rational o quadratic) na may kinalaman sa bagong variable na ito.

Nang malutas ang equation na ito at gumawa ng reverse substitution, magkakaroon ka ng isang set ng mga simpleng exponential equation na maaaring malutas sa pangkalahatang pananaw gamit ang logarithm.

Ang mga equation na kung saan ang mga produkto lamang ng (partial) na kapangyarihan ang nakikitang kakaiba. Gamit ang mga exponential identity, posibleng bawasan agad ang mga equation na ito sa isang base, lalo na, sa pinakasimpleng exponential equation.

Tingnan natin kung paano lutasin ang isang exponential equation na may tatlong magkakaibang base.

(Kung ang guro ay may programa sa computer na pang-edukasyon ni L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", pagkatapos ay natural na nagtatrabaho kami sa disk, kung hindi, maaari kang gumawa ng isang printout ng ganitong uri ng equation mula dito para sa bawat desk, ipinakita sa ibaba.)

kanin. 2. Magplano para sa paglutas ng equation.

kanin. 3. Simulan ang paglutas ng equation

kanin. 4. Tapusin ang paglutas ng equation.

Gumagawa ng praktikal na gawain

Tukuyin ang uri ng equation at lutasin ito.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Pagbubuod ng aralin

Pagmamarka para sa aralin.

Pagtatapos ng aralin

Para sa guro

Magsanay ng scheme ng sagot.

Pagsasanay: mula sa listahan ng mga equation, piliin ang mga equation ng tinukoy na uri (ipasok ang sagot na numero sa talahanayan):

1. Tatlong magkakaibang degree base
2. Dalawang magkaibang base - iba't ibang mga tagapagpahiwatig degrees
3. Mga base ng kapangyarihan - kapangyarihan ng isang numero
4. Parehong base - iba't ibang exponent
5. Ang parehong mga base ng mga degree - ang parehong mga tagapagpahiwatig ng mga degree
6. Produkto ng mga kapangyarihan
7. Dalawang magkaibang degree base - ang parehong mga tagapagpahiwatig
8. Ang pinakasimpleng exponential equation

1. (produkto ng kapangyarihan)

2. (parehong base – magkaibang exponents)

Lecture: "Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation."

1 . Exponential equation.

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa mga exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan a > 0, a ≠ 1.

1) Sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may kakaibang ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan sa anyong b = aс, аx = bс ó x = c o x = logab.

Ang mga exponential equation sa pamamagitan ng algebraic transformations ay humahantong sa mga karaniwang equation, na nalulutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:

1) paraan ng pagbabawas sa isang base;

2) paraan ng pagtatasa;

3) graphic na paraan;

4) paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;

5) paraan ng factorization;

6) nagpapakilala - mga equation ng kapangyarihan;

7) demonstrative na may parameter.

2 . Paraan ng pagbabawas sa isang base.

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na ari-arian degrees: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponent ay pantay, ibig sabihin, kailangan nating subukang bawasan ang equation sa anyo

Mga halimbawa. Lutasin ang equation:

1 . 3x = 81;

Katawanin natin ang kanang bahagi ng equation sa anyong 81 = 34 at isulat ang equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">at lumipat tayo sa equation para sa mga exponents na 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 Sagot: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5 at 25 ay kumakatawan sa mga kapangyarihan ng 5. Samantalahin natin ito at baguhin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

, kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.

5. 3x = 5. Sa kahulugan ng logarithm, x = log35. Sagot: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Isulat muli natin ang equation sa anyong 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, ibig sabihin..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x – 4 =0, x = 4. Sagot: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyo na 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 pagkatapos ay 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, ibig sabihin, x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.

Problema bangko No. 1.

Lutasin ang equation:

Pagsusulit Blg. 1.

Pagsusulit Blg. 2

3 Paraan ng pagsusuri.

Root theorem: kung ang function na f(x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f(x) = a ay may iisang ugat sa interval I.

Kapag nilulutas ang mga equation gamit ang pamamaraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng function ay ginagamit.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga equation: 1. 4x = 5 – x.

Solusyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x +x = 5.

1. kung x = 1, kung gayon ang 41+1 = 5, 5 = 5 ay totoo, na nangangahulugang 1 ang ugat ng equation.

Function f(x) = 4x – tumataas sa R, at g(x) = x – tumataas sa R ​​=> h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R, bilang kabuuan ng pagtaas ng function, kung gayon ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.

2.

Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa anyo .

1. kung x = -1, kung gayon , 3 = 3 ay totoo, na nangangahulugang x = -1 ang ugat ng equation.

2. patunayan na siya lang.

3. Function f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x – bumababa sa R=> h(x) = f(x)+g(x) – bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Ibig sabihin, ayon sa root theorem, x = -1 ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.

Problema bangko No. 2. Lutasin ang equation

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable.

Ang pamamaraan ay inilarawan sa talata 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Tingnan natin ang mga halimbawa.

Mga halimbawa. R Lutasin ang equation: 1. .

Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan:

Italaga natin ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - hindi makatwirang equation. Pansinin namin na

Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, na nangangahulugang 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.

Solusyon. Muli nating isulat ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Ang mga ugat ng quadratic equation ay t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solusyon . Isulat muli natin ang equation sa anyo

at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.

Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin

Palitan natin ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Sagot: 0; 0.5.

Problema bangko No. 3. Lutasin ang equation

b)

G)

Pagsusulit Blg. 3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.

Pagsusulit Blg. 4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.

5. Pamamaraan ng Factorization.

1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , saan galing

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solusyon. Maglagay tayo ng 6x sa mga bracket sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.

Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.

3.

Solusyon. Lutasin natin ang equation gamit ang factorization method.

Piliin natin ang parisukat ng binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ang ugat ng equation.

Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Pagsusulit Blg. 6 Pangkalahatang antas.

6. Exponential – mga equation ng kapangyarihan.

Katabi ng mga exponential equation ang tinatawag na exponential-power equation, ibig sabihin, mga equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).

Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, kailangan nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang isang exponential equation.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Solusyon. x2 +2x-8 – may katuturan para sa anumang x, dahil ito ay isang polynomial, na nangangahulugang ang equation ay katumbas ng kabuuan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponential equation na may mga parameter.

1. Para sa anong mga halaga ng parameter p mayroon ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) tanging desisyon?

Solusyon. Ipakilala natin ang kapalit na 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay magkakaroon ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminant ng equation (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.

1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay magkakaroon ng anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.

2. Kung p1, pagkatapos ay 9(p – 1)2 > 0, kung gayon ang equation (2) ay may dalawang magkaibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang mga kondisyon ng problema ay natutugunan ng isang hanay ng mga sistema

Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11)" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solusyon. Hayaan pagkatapos ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)

Hanapin natin ang mga halaga ng parameter a kung saan kahit isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} quadratic trinomial f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Case 2. Ang equation (4) ay may kakaiba positibong desisyon, Kung

D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng form (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Kaya, para sa a 0, ang equation (4) ay may isang positibong ugat . Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon

Kapag a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

kung ang< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;

kung a  0, kung gayon

Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag ang paglutas ng equation (1) ay binawasan sa isang quadratic equation, ang discriminant na kung saan ay isang perpektong parisukat; Kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay nabawasan sa isang quadratic equation (4), ang discriminant na kung saan ay hindi isang perpektong square, samakatuwid, kapag nilutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic trinomial at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem.

Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.

Problema 3: Lutasin ang equation

Solusyon. ODZ: x1, x2.

Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo ang equation ay kukuha ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin natin ang mga halaga ng a kung saan kahit isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Sagot: kung a > – 13, a  11, a  5, kung gayon kung a – 13,

a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.

Bibliograpiya.

1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.

2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.

M. “Direktor ng Paaralan” Blg. 4, 1996

3. Guzeev at mga pormang pang-organisasyon pagsasanay.

4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.

M. “Public Education”, 2001

5. Guzeev mula sa mga anyo ng isang aralin - seminar.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987 pp. 9 – 11.

6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Seleuko.

M. “Public Education”, 1998

7. Episheva mga mag-aaral na mag-aral ng matematika.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanova maghanda ng mga aralin - workshop.

Matematika sa paaralan No. 6, 1990 p. 37 – 40.

9. Modelo ng pagtuturo ng matematika ni Smirnov.

Matematika sa paaralan No. 1, 1997 p. 32 – 36.

10. Tarasenko na mga paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.

Matematika sa paaralan No. 1, 1993 p. 27 – 28.

11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1994, pp. 63 – 64.

12. Khazankin Mga malikhaing kasanayan mga mag-aaral.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1989 p. 10.

13. Scanavi. Publisher, 1997

14. at iba pa. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Mga materyales sa didactic Para sa

15. Mga gawain sa Krivonogov sa matematika.

M. "Una ng Setyembre", 2002

16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at

pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002

17. Zhevnyak para sa mga pumapasok sa mga unibersidad.

Minsk at Russian Federation "Repasuhin", 1996

18. Nakasulat D. Naghahanda kami para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999

19. atbp. Pag-aaral upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

M. "Intellect - Center", 2003

20. atbp. Mga materyales sa edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda para sa EGE.

M. "Intelligence - Center", 2003 at 2004.

21 at iba pa. Mga opsyon sa CMM. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003.

22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.

Mathematics, 1997 No. 3.

24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Edukasyon, 1988

25. Yakimanskaya - nakatuon sa pag-aaral sa paaralan.

26. Nagtatrabaho si Liimets sa klase. M. Kaalaman, 1975

Pumunta sa youtube channel ng aming website upang manatiling napapanahon sa lahat ng mga bagong aralin sa video.

Una, tandaan natin ang mga pangunahing pormula ng mga kapangyarihan at ang kanilang mga katangian.

Produkto ng isang numero a nangyayari sa sarili ng n beses, maaari nating isulat ang expression na ito bilang a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = isang nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Power o exponential equation– ito ay mga equation kung saan ang mga variable ay nasa kapangyarihan (o mga exponent), at ang base ay isang numero.

Mga halimbawa ng exponential equation:

SA sa halimbawang ito ang numero 6 ay ang base, ito ay palaging nasa ibaba, at ang variable x antas o tagapagpahiwatig.

Magbigay tayo ng higit pang mga halimbawa ng mga exponential equation.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Ngayon tingnan natin kung paano nalutas ang mga exponential equation?

Kumuha tayo ng isang simpleng equation:

2 x = 2 3

Ang halimbawang ito ay maaaring malutas kahit na sa iyong ulo. Makikita na x=3. Pagkatapos ng lahat, upang ang kaliwa at kanang bahagi ay pantay, kailangan mong palitan ang x ng numero 3.
Ngayon tingnan natin kung paano gawing pormal ang desisyong ito:

2 x = 2 3
x = 3

Upang malutas ang gayong equation, inalis namin magkatulad na batayan(iyon ay, dalawahan) at isinulat kung ano ang natitira, ito ay mga degree. Nakuha namin ang sagot na hinahanap namin.

Ngayon ay ibubuod natin ang ating desisyon.

Algorithm para sa paglutas ng exponential equation:
1. Kailangang suriin pareho kung ang equation ay may mga batayan sa kanan at kaliwa. Kung ang mga dahilan ay hindi pareho, naghahanap kami ng mga pagpipilian upang malutas ang halimbawang ito.
2. Matapos maging pareho ang mga base, itumbas degrees at lutasin ang nagresultang bagong equation.

Ngayon tingnan natin ang ilang halimbawa:

Magsimula tayo sa isang bagay na simple.

Ang mga base sa kaliwa at kanang bahagi ay katumbas ng numero 2, na nangangahulugang maaari nating itapon ang base at ipantay ang kanilang mga degree.

x+2=4 Ang pinakasimpleng equation ay nakuha.
x=4 – 2
x=2
Sagot: x=2

Sa sumusunod na halimbawa makikita mo na ang mga base ay magkaiba: 3 at 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Una, ilipat ang siyam sa kanang bahagi, nakukuha namin:

Ngayon ay kailangan mong gawin ang parehong mga base. Alam natin na 9=3 2. Gamitin natin ang power formula (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Nakukuha natin ang 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 ngayon ay makikita mo na sa kaliwa at kanang bahagi ang mga base ay pareho at katumbas ng tatlo, na nangangahulugang maaari nating itapon ang mga ito at ipantay ang mga degree.

3x=2x+16 nakukuha natin ang pinakasimpleng equation
3x - 2x=16
x=16
Sagot: x=16.

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Una sa lahat, tinitingnan natin ang mga base, base dalawa at apat. At kailangan natin silang maging pareho. Binabago namin ang apat gamit ang formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

At gumagamit din kami ng isang formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Idagdag sa equation:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Ngunit ang ibang mga numero 10 at 24 ay nakakaabala sa atin. Ano ang gagawin sa kanila? Kung titingnan mong mabuti makikita mo na sa kaliwang bahagi mayroon tayong 2 2x na paulit-ulit, narito ang sagot - maaari tayong maglagay ng 2 2x sa mga bracket:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Kalkulahin natin ang expression sa mga bracket:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Hinahati namin ang buong equation sa 6:

Isipin natin 4=2 2:

2 2x = 2 2 base ay pareho, itinatapon namin ang mga ito at tinutumbasan ang mga degree.
Ang 2x = 2 ay ang pinakasimpleng equation. Hatiin ito sa 2 at makuha natin
x = 1
Sagot: x = 1.

Lutasin natin ang equation:

9 x – 12*3 x +27= 0

Ibahin natin:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Nakukuha namin ang equation:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Ang aming mga base ay pareho, katumbas ng tatlo. Sa halimbawang ito, makikita mo na ang unang tatlo ay may degree na dalawang beses (2x) kaysa sa pangalawa (x lang). Sa kasong ito, maaari mong malutas paraan ng pagpapalit. Pinapalitan namin ang numero ng pinakamaliit na antas:

Pagkatapos 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Pinapalitan namin ang lahat ng x na kapangyarihan sa equation ng t:

t 2 - 12t+27 = 0
Kumuha kami ng isang quadratic equation. Paglutas sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha natin ang:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Pagbabalik sa variable x.

Kunin ang t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Yan ay,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa mula sa t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Sagot: x 1 = 2; x 2 = 1.

Sa website maaari kang magtanong ng anumang mga katanungan na maaaring mayroon ka sa seksyong HELP DECIDE, tiyak na sasagutin ka namin.

Sumali sa grupo

Paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)

Anong nangyari exponential equation? Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila ay nasa mga tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga.

Nandyan ka lang pala mga halimbawa ng exponential equation:

3 x 2 x = 8 x+3

Tandaan! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - mga numero lamang. SA mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na iba't ibang mga expression na may X. Kung biglang lumitaw ang isang X sa equation sa isang lugar maliban sa isang indicator, halimbawa:

ito ay magiging isang equation halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas ng mga ito. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Dito natin haharapin paglutas ng mga exponential equation sa pinakadalisay nitong anyo.

Sa katunayan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi palaging nalutas nang malinaw. Ngunit may mga ibang mga klase mga exponential equation na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri na ating isasaalang-alang.

Paglutas ng mga simpleng exponential equation.

Una, lutasin natin ang isang bagay na napaka-basic. Halimbawa:

Kahit na walang anumang mga teorya, sa simpleng pagpili ay malinaw na ang x = 2. Wala na, diba!? Walang ibang value ng X ang gumagana. Ngayon tingnan natin ang solusyon sa nakakalito na exponential equation na ito:

Ano'ng nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay itinapon lamang ang parehong mga base (triple). Ganap na itinapon. At, ang magandang balita ay, natamaan namin ang ulo!

Sa katunayan, kung sa isang exponential equation ay may kaliwa at kanan pareho mga numero sa anumang kapangyarihan, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at ang mga exponent ay maaaring ipantay. Pinapayagan ng matematika. Ito ay nananatiling upang malutas ang isang mas simpleng equation. Mahusay, tama?)

Gayunpaman, tandaan nating mabuti: Maaari mo lamang alisin ang mga base kapag ang mga batayang numero sa kaliwa at kanan ay nasa napakagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapitbahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation:

2 x +2 x+1 = 2 3, o

hindi matatanggal ang dalawa!

Buweno, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano lumipat mula sa masasamang exponential expression patungo sa mas simpleng mga equation.

"Iyon ang mga oras!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng gayong primitive na aralin sa mga pagsusulit at pagsusulit!?"

Kailangan kong pumayag. Walang sinuman. Ngunit ngayon alam mo na kung saan maglalayon kapag nilulutas ang mga nakakalito na halimbawa. Dapat itong dalhin sa form kung saan ang parehong base number ay nasa kaliwa at kanan. Pagkatapos ang lahat ay magiging mas madali. Sa totoo lang, ito ay isang klasiko ng matematika. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binabago ito sa ninanais sa amin isip. Ayon sa mga patakaran ng matematika, siyempre.

Tingnan natin ang mga halimbawa na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimple. Tawagan natin sila simpleng exponential equation.

Paglutas ng mga simpleng exponential equation. Mga halimbawa.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ang mga pangunahing panuntunan ay mga aksyon na may mga antas. Kung walang kaalaman sa mga pagkilos na ito, walang gagana.

Sa mga pagkilos na may mga antas, dapat magdagdag ng personal na pagmamasid at katalinuhan. Kailangan ba natin ng parehong base number? Kaya hinahanap namin ang mga ito sa halimbawa sa tahasang o naka-encrypt na anyo.

Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay?

Bigyan tayo ng isang halimbawa:

2 2x - 8 x+1 = 0

Ang unang matalas na tingin ay sa bakuran. Sila... Iba sila! Dalawa at walo. Ngunit masyado pang maaga para mawalan ng pag-asa. Oras na para tandaan iyon

Ang dalawa at walo ay magkamag-anak sa degree.) Posibleng isulat:

8 x+1 = (2 3) x+1

Kung naaalala natin ang formula mula sa mga operasyon na may mga degree:

(a n) m = a nm ,

ito ay mahusay na gumagana:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Ang orihinal na halimbawa ay nagsimulang magmukhang ganito:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer kami 2 3 (x+1) sa kanan (walang kinansela ang elementarya na operasyon ng matematika!), nakukuha natin:

2 2x = 2 3(x+1)

Halos iyon lang. Pag-alis ng mga base:

Malutas namin ang halimaw na ito at makuha

Ito ang tamang sagot.

Sa halimbawang ito, nakatulong sa amin ang pag-alam sa kapangyarihan ng dalawa. Kami nakilala sa walo ay may naka-encrypt na dalawa. Ang diskarteng ito (encryption karaniwang batayan sa ilalim magkaibang numero) ay isang napaka-tanyag na pamamaraan sa mga exponential equation! Oo, at sa logarithms din. Kailangan mong makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero. Napakahalaga nito para sa paglutas ng mga exponential equation.

Ang katotohanan ay ang pagtaas ng anumang numero sa anumang kapangyarihan ay hindi isang problema. Paramihin, kahit sa papel, at iyon na. Halimbawa, kahit sino ay maaaring magtaas ng 3 hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Gagana ang 243 kung alam mo ang multiplication table.) Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na hindi kinakailangan na itaas sa isang kapangyarihan, ngunit vice versa... Alamin anong numero hanggang sa anong antas ay nakatago sa likod ng numerong 243, o, sabihin nating, 343... Walang calculator ang tutulong sa iyo dito.

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng ilang numero sa pamamagitan ng paningin, tama... Magsanay tayo?

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Mga sagot (sa gulo, siyempre!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kung titingnan mong mabuti ay makikita mo kakaibang katotohanan. Mayroong higit pang mga sagot kaysa sa mga gawain! Well, nangyayari ito... Halimbawa, 2 6, 4 3, 8 2 - 64 lang iyon.

Ipagpalagay natin na itinala mo ang impormasyon tungkol sa pagiging pamilyar sa mga numero.) Ipaalala ko rin sa iyo na para malutas ang mga exponential equation ay ginagamit namin lahat stock ng kaalaman sa matematika. Kabilang ang mga mula sa junior at middle class. Hindi ka dumiretso sa high school, tama?)

Halimbawa, kapag nilulutas ang mga exponential equation, kadalasang nakakatulong ang paglalagay ng common factor sa mga bracket (hello to 7th grade!). Tingnan natin ang isang halimbawa:

3 2x+4 -11 9 x = 210

At muli, ang unang sulyap ay sa mga pundasyon! Magkaiba ang base ng mga degree... Tatlo at siyam. Ngunit gusto naming maging pareho sila. Well, sa kasong ito ang pagnanais ay ganap na natupad!) Dahil:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Gamit ang parehong mga patakaran para sa pagharap sa mga degree:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Iyan ay mahusay, maaari mong isulat ito:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Kaya, ano ang susunod!? Hindi mo maitatapon ang tatlo... Dead end?

Hindi talaga. Alalahanin ang pinaka-unibersal at makapangyarihang tuntunin sa pagpapasya lahat mga gawain sa matematika:

Kung hindi mo alam kung ano ang kailangan mo, gawin mo ang iyong makakaya!

Tingnan mo, gagana ang lahat).

Ano ang nasa exponential equation na ito Pwede gawin? Oo, sa kaliwang bahagi ito ay nagmamakaawa lamang na alisin sa mga bracket! Ang pangkalahatang multiplier ng 3 2x ay malinaw na nagpapahiwatig nito. Subukan natin, at pagkatapos ay makikita natin:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Ang halimbawa ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay!

Naaalala namin na upang maalis ang mga batayan kailangan namin ng isang purong antas, nang walang anumang mga coefficient. Ang numero 70 ay nakakaabala sa amin. Kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 70, nakukuha namin:

Oops! Ang lahat ay naging mas mahusay!

Ito ang huling sagot.

Ito ay nangyayari, gayunpaman, na ang pag-taxi sa parehong batayan ay nakakamit, ngunit ang kanilang pag-aalis ay hindi posible. Nangyayari ito sa iba pang uri ng mga exponential equation. Kabisaduhin natin ang ganitong uri.

Pagpapalit ng variable sa paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Lutasin natin ang equation:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Una - gaya ng dati. Lumipat tayo sa isang base. Sa isang deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Nakukuha namin ang equation:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

At dito kami tumatambay. Mga nakaraang trick hindi gagana, gaano man kahirap tingnan. Kakailanganin nating maglabas ng isa pang makapangyarihan at unibersal na paraan mula sa ating arsenal. Ang tawag dito variable na kapalit.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakakagulat na simple. Sa halip na isang kumplikadong icon (sa aming kaso - 2 x) sumulat kami ng isa pa, mas simple (halimbawa - t). Ang gayong tila walang kahulugan na kapalit ay humahantong sa mga kamangha-manghang resulta!) Ang lahat ay nagiging malinaw at naiintindihan!

Kaya hayaan

Pagkatapos 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Sa aming equation pinapalitan namin ang lahat ng kapangyarihan ng x's ng t:

Buweno, nagising ka na ba?) Quadratic equation Nakalimutan mo na ba? Paglutas sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha natin ang:

Ang pangunahing bagay dito ay hindi huminto, gaya ng nangyayari... Hindi pa ito ang sagot, kailangan natin ng x, hindi t. Bumalik tayo sa X's, i.e. gumagawa kami ng reverse replacement. Una para sa t 1:

Yan ay,

Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa mula sa t 2:

Hm... 2 x sa kaliwa, 1 sa kanan... Problema? Hindi talaga! Ito ay sapat na tandaan (mula sa mga operasyon na may mga kapangyarihan, oo...) na ang isang yunit ay anuman numero sa zero na kapangyarihan. Anuman. Anuman ang kailangan, i-install namin ito. Kailangan natin ng dalawa. Ibig sabihin:

Ayan na ngayon. Mayroon kaming 2 ugat:

Ito ang sagot.

Sa paglutas ng mga exponential equation sa dulo kung minsan nauuwi ka sa isang uri ng awkward na ekspresyon. Uri:

Mula pito hanggang dalawa hanggang simpleng degree hindi gumagana. Hindi sila kamag-anak... Paano tayo? Maaaring may nalilito... Ngunit ang taong nagbasa sa site na ito ng paksang "Ano ang logarithm?" , ngumiti lang ng tipid at isinulat ng mahigpit na kamay ang ganap na tamang sagot:

Hindi maaaring magkaroon ng ganoong sagot sa mga gawain na "B" sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado. Mayroong isang tiyak na numero ay kinakailangan. Ngunit sa mga gawaing "C" ito ay madali.

Ang araling ito ay nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga pinakakaraniwang exponential equation. I-highlight natin ang mga pangunahing punto.

Praktikal na payo:

1. Una sa lahat, tinitingnan natin bakuran degrees. Iniisip namin kung posible bang gawin ang mga ito magkapareho. Subukan nating gawin ito sa pamamagitan ng aktibong paggamit mga aksyon na may mga antas. Huwag kalimutan na ang mga numerong walang x ay maaari ding ma-convert sa powers!

2. Sinusubukan naming dalhin ang exponential equation sa form kapag sa kaliwa at sa kanan ay mayroong pareho mga numero sa anumang kapangyarihan. Ginagamit namin mga aksyon na may mga antas At factorization. Kung ano ang mabibilang sa mga numero, binibilang natin.

3. Kung hindi gumana ang pangalawang tip, subukang gumamit ng variable replacement. Ang resulta ay maaaring isang equation na madaling malutas. Kadalasan - parisukat. O fractional, na binabawasan din sa parisukat.

4. Upang matagumpay na malutas ang mga exponential equation, kailangan mong malaman ang mga kapangyarihan ng ilang mga numero sa pamamagitan ng paningin.

Gaya ng nakasanayan, sa pagtatapos ng aralin ay inaanyayahan kang magdesisyon nang kaunti.) Mag-isa. Mula sa simple hanggang sa kumplikado.

Lutasin ang mga exponential equation:

Mas mahirap:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Hanapin ang produkto ng mga ugat:

2 3's + 2 x = 9

Nangyari?

Kung gayon ang pinaka kumplikadong halimbawa(nagpasya, gayunpaman, sa isip...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Ano ang mas kawili-wili? At narito ang isang masamang halimbawa para sa iyo. Medyo nakatutukso para sa tumaas na kahirapan. Hayaan akong magpahiwatig na sa halimbawang ito, ang nagliligtas sa iyo ay ang katalinuhan at ang pinaka-unibersal na tuntunin para sa paglutas ng lahat ng mga problema sa matematika.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Isang mas simpleng halimbawa, para sa pagpapahinga):

9 2 x - 4 3 x = 0

At para sa panghimagas. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oo Oo! Ito ay isang mixed type equation! Na hindi natin isinaalang-alang sa araling ito. Bakit isaalang-alang ang mga ito, kailangan nilang malutas!) Ang araling ito ay sapat na upang malutas ang equation. Well, kailangan mo ng talino sa paglikha... At nawa'y matulungan ka ng ikapitong baitang (ito ay isang pahiwatig!).

Mga sagot (magulo, pinaghihiwalay ng mga semicolon):

1; 2; 3; 4; walang mga solusyon; 2; -2; -5; 4; 0.

Ang lahat ba ay matagumpay? Malaki.

May problema? Walang problema! Ang Espesyal na Seksyon 555 ay nilulutas ang lahat ng mga exponential equation na may mga detalyadong paliwanag. Ano, bakit, at bakit. At, siyempre, mayroong karagdagang mahalagang impormasyon sa pagtatrabaho sa lahat ng uri ng mga exponential equation. Hindi lang ang mga ito.)

Isang huling nakakatuwang tanong na dapat isaalang-alang. Sa araling ito nagtrabaho kami sa mga exponential equation. Bakit hindi ako nag salita tungkol sa ODZ dito? Sa mga equation, ito ay isang napakahalagang bagay, sa pamamagitan ng paraan...

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Sa yugto ng paghahanda para sa huling pagsusulit, kailangang pagbutihin ng mga mag-aaral sa high school ang kanilang kaalaman sa paksang "Exponential Equation." Ang karanasan ng mga nakaraang taon ay nagpapahiwatig na ang gayong mga gawain ay nagdudulot ng ilang mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Samakatuwid, ang mga mag-aaral sa high school, anuman ang kanilang antas ng paghahanda, ay kailangang lubusang makabisado ang teorya, tandaan ang mga formula at maunawaan ang prinsipyo ng paglutas ng mga naturang equation. Ang pagkakaroon ng natutunan upang makayanan ang ganitong uri ng gawain, ang mga nagtapos ay makakaasa matataas na marka kapag pumasa sa Unified State Examination sa matematika.

Maghanda para sa pagsusulit sa pagsusulit kasama si Shkolkovo!

Kapag sinusuri ang mga materyal na kanilang sakop, maraming estudyante ang nahaharap sa problema sa paghahanap ng mga pormula na kailangan upang malutas ang mga equation. aklat-aralin sa paaralan ay hindi palaging nasa kamay, at ang pagpili ng kinakailangang impormasyon sa isang paksa sa Internet ay tumatagal ng mahabang panahon.

Iniimbitahan ng portal na pang-edukasyon ng Shkolkovo ang mga mag-aaral na gamitin ang aming base ng kaalaman. Nagpapatupad kami ng isang ganap na bagong paraan ng paghahanda para sa huling pagsubok. Sa pamamagitan ng pag-aaral sa aming website, matutukoy mo ang mga gaps sa kaalaman at mabibigyang-pansin ang mga gawaing nagdudulot ng pinakamahirap.

Ang mga guro ng Shkolkovo ay nakolekta, nag-systematize at ipinakita ang lahat ng kailangan para sa matagumpay na pagtatapos Pinag-isang State Exam material sa pinakasimple at pinakanaa-access na anyo.

Ang mga pangunahing kahulugan at formula ay ipinakita sa seksyong "Theoretical background".

Upang mas maunawaan ang materyal, inirerekomenda namin na magsanay ka sa pagkumpleto ng mga takdang-aralin. Maingat na suriin ang mga halimbawa ng mga exponential equation na may mga solusyon na ipinakita sa pahinang ito upang maunawaan ang algorithm ng pagkalkula. Pagkatapos nito, magpatuloy upang magsagawa ng mga gawain sa seksyong "Mga Direktoryo". Maaari kang magsimula sa pinakamadaling gawain o dumiretso sa paglutas ng mga kumplikadong exponential equation na may ilang hindi alam o . Ang database ng mga pagsasanay sa aming website ay patuloy na pupunan at ina-update.

Ang mga halimbawang iyon na may mga tagapagpahiwatig na nagdulot sa iyo ng mga paghihirap ay maaaring idagdag sa "Mga Paborito". Sa ganitong paraan madali mong mahahanap ang mga ito at matalakay ang solusyon sa iyong guro.

Upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam, mag-aral sa portal ng Shkolkovo araw-araw!