Lektura: “Mga paraan ng solusyon mga exponential equation».

1 . Exponential equation.

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi alam sa mga exponent ay tinatawag na exponential equation. Ang pinakasimple sa mga ito ay ang equation na ax = b, kung saan a > 0, a ≠ 1.

1) Sa b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Para sa b > 0, gamit ang monotonicity ng function at ang root theorem, ang equation ay may natatanging ugat. Upang mahanap ito, ang b ay dapat na kinakatawan sa anyong b = aс, аx = bс ó x = c o x = logab.

Ang mga exponential equation sa pamamagitan ng algebraic transformations ay humahantong sa mga karaniwang equation, na nalulutas gamit ang mga sumusunod na pamamaraan:

1) paraan ng pagbabawas sa isang base;

2) paraan ng pagtatasa;

3) graphic na paraan;

4) paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable;

5) paraan ng factorization;

6) nagpapahiwatig - mga equation ng kapangyarihan;

7) demonstrative na may parameter.

2 . Paraan ng pagbawas sa isang base.

Ang pamamaraan ay batay sa sumusunod na ari-arian degree: kung ang dalawang degree ay pantay at ang kanilang mga base ay pantay, kung gayon ang kanilang mga exponents ay pantay, iyon ay, dapat nating subukang bawasan ang equation sa anyo

Mga halimbawa. Lutasin ang equation:

1 . 3x = 81;

Isipin natin kanang bahagi equation sa anyong 81 = 34 at isulat ang equation na katumbas ng orihinal na 3 x = 34; x = 4. Sagot: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">at lumipat tayo sa equation para sa mga exponents na 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Tandaan na ang mga numerong 0.2, 0.04, √5 at 25 ay kumakatawan sa mga kapangyarihan ng 5. Samantalahin natin ito at baguhin ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

, kung saan ang 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, kung saan matatagpuan natin ang solusyon x = -1. Sagot: -1.

5. 3x = 5. Sa kahulugan ng logarithm, x = log35. Sagot: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Isulat muli natin ang equation sa anyong 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, ibig sabihin..png" width="181" height="49 src="> Samakatuwid x – 4 =0, x = 4. Sagot: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, isinusulat namin ang equation sa anyo na 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 pagkatapos 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, ibig sabihin, x+1 = 2, x =1. Sagot: 1.

Problema bangko No. 1.

Lutasin ang equation:

Pagsusulit Blg. 1.

Pagsusulit Blg. 2

3 Paraan ng pagsusuri.

Root theorem: kung ang function na f(x) ay tumaas (bumababa) sa interval I, ang numero a ay anumang halaga na kinuha ng f sa interval na ito, kung gayon ang equation na f(x) = a ay may iisang ugat sa interval I.

Kapag nilulutas ang mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng pagtatantya, ang teorama na ito at ang mga katangian ng monotonicity ng isang function ay ginagamit.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga equation: 1. 4x = 5 – x.

Solusyon. Isulat muli natin ang equation bilang 4x +x = 5.

1. kung x = 1, kung gayon ang 41+1 = 5, 5 = 5 ay totoo, na nangangahulugang 1 ang ugat ng equation.

Function f(x) = 4x – tumataas sa R, at g(x) = x – tumataas sa R ​​=> h(x)= f(x)+g(x) ay tumataas sa R, bilang kabuuan ng pagtaas ng function, kung gayon ang x = 1 ay ang tanging ugat ng equation na 4x = 5 – x. Sagot: 1.

2.

Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa anyo .

1. kung x = -1, kung gayon , 3 = 3 ay totoo, na nangangahulugang x = -1 ang ugat ng equation.

2. patunayan na siya lang.

3. Function f(x) = - bumababa sa R, at g(x) = - x – bumababa sa R=> h(x) = f(x)+g(x) – bumababa sa R, bilang kabuuan ng nagpapababa ng mga function. Nangangahulugan ito, sa pamamagitan ng root theorem, ang x = -1 ay ang tanging ugat ng equation. Sagot: -1.

Problema bangko No. 2. Lutasin ang equation

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable.

Ang pamamaraan ay inilarawan sa talata 2.1. Ang pagpapakilala ng isang bagong variable (pagpapalit) ay karaniwang isinasagawa pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo (pagpapasimple) ng mga tuntunin ng equation. Tingnan natin ang mga halimbawa.

Mga halimbawa. R Lutasin ang equation: 1. .

Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Solusyon. Isulat muli natin ang equation sa ibang paraan:

Italaga natin ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - hindi angkop.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - hindi makatwirang equation. Pansinin namin na

Ang solusyon sa equation ay x = 2.5 ≤ 4, na nangangahulugang 2.5 ang ugat ng equation. Sagot: 2.5.

Solusyon. Muli nating isulat ang equation sa anyo at hatiin ang magkabilang panig ng 56x+6 ≠ 0. Nakukuha natin ang equation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Ang mga ugat ng quadratic equation ay t1 = 1 at t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solusyon . Isulat muli natin ang equation sa anyo

at tandaan na ito ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree.

Hatiin ang equation sa pamamagitan ng 42x, nakukuha natin

Palitan natin ang https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Sagot: 0; 0.5.

Problema bangko No. 3. Lutasin ang equation

b)

G)

Pagsusulit Blg. 3 na may pagpipilian ng mga sagot. Pinakamababang antas.

Pagsusulit Blg. 4 na may pagpipilian ng mga sagot. Pangkalahatang antas.

5. Pamamaraan ng Factorization.

1. Lutasin ang equation: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , saan galing

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solusyon. Maglagay tayo ng 6x sa mga bracket sa kaliwang bahagi ng equation, at 2x sa kanang bahagi. Nakukuha namin ang equation na 6x(1+6) = 2x(1+2+4) o 6x = 2x.

Dahil 2x >0 para sa lahat ng x, maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 2x nang walang takot na mawala ang mga solusyon. Nakukuha namin ang 3x = 1ó x = 0.

3.

Solusyon. Lutasin natin ang equation gamit ang factorization method.

Piliin natin ang parisukat ng binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ang ugat ng equation.

Equation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Pagsusulit Blg. 6 Pangkalahatang antas.

6. Exponential – mga equation ng kapangyarihan.

Katabi ng mga exponential equation ang tinatawag na exponential-power equation, ibig sabihin, mga equation ng form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Kung alam na ang f(x)>0 at f(x) ≠ 1, kung gayon ang equation, tulad ng exponential, ay malulutas sa pamamagitan ng equating ng mga exponent g(x) = f(x).

Kung hindi ibinubukod ng kundisyon ang posibilidad ng f(x)=0 at f(x)=1, dapat nating isaalang-alang ang mga kasong ito kapag nilulutas ang isang exponential equation.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Solusyon. x2 +2x-8 – makatuwiran para sa anumang x, dahil ito ay isang polynomial, na nangangahulugang ang equation ay katumbas ng kabuuan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponential equation na may mga parameter.

1. Para sa anong mga halaga ng parameter p mayroon ang equation 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) tanging desisyon?

Solusyon. Ipakilala natin ang kapalit na 2x = t, t > 0, pagkatapos ang equation (1) ay magkakaroon ng anyong t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminant ng equation (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ang equation (1) ay may natatanging solusyon kung ang equation (2) ay may isang positibong ugat. Posible ito sa mga sumusunod na kaso.

1. Kung D = 0, ibig sabihin, p = 1, ang equation (2) ay nasa anyong t2 – 2t + 1 = 0, kaya t = 1, samakatuwid, ang equation (1) ay may natatanging solusyon x = 0.

2. Kung p1, pagkatapos ay 9(p – 1)2 > 0, ang equation (2) ay may dalawang magkaibang ugat t1 = p, t2 = 4p – 3. Ang mga kondisyon ng problema ay natutugunan ng isang set ng mga sistema

Ang pagpapalit ng t1 at t2 sa mga sistema, mayroon kami

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11)" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solusyon. Hayaan pagkatapos ang equation (3) ay kukuha ng anyong t2 – 6t – a = 0. (4)

Hanapin natin ang mga halaga ng parameter a kung saan kahit isang ugat ng equation (4) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

Ipakilala natin ang function f(t) = t2 – 6t – a. Posible ang mga sumusunod na kaso.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} quadratic trinomial f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Case 2. Ang equation (4) ay may kakaiba positibong desisyon, Kung

D = 0, kung a = – 9, ang equation (4) ay magkakaroon ng anyo (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kaso 3. Ang equation (4) ay may dalawang ugat, ngunit ang isa sa mga ito ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t > 0. Ito ay posible kung

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Kaya, para sa a 0, ang equation (4) ay may isang positibong ugat . Pagkatapos ang equation (3) ay may natatanging solusyon

Kapag a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

kung ang< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
kung a = – 9, kung gayon x = – 1;

kung a  0, kung gayon

Ihambing natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (1) at (3). Tandaan na kapag ang paglutas ng equation (1) ay binawasan sa isang quadratic equation, ang discriminant na kung saan ay isang perpektong parisukat; Kaya, ang mga ugat ng equation (2) ay agad na kinakalkula gamit ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, at pagkatapos ay ginawa ang mga konklusyon tungkol sa mga ugat na ito. Ang equation (3) ay nabawasan sa isang quadratic equation (4), ang discriminant na kung saan ay hindi isang perpektong square, samakatuwid, kapag nilutas ang equation (3), ipinapayong gumamit ng mga theorems sa lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic trinomial. at isang graphical na modelo. Tandaan na ang equation (4) ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem.

Lutasin natin ang mas kumplikadong mga equation.

Problema 3: Lutasin ang equation

Solusyon. ODZ: x1, x2.

Magpakilala tayo ng kapalit. Hayaan ang 2x = t, t > 0, pagkatapos bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo ang equation ay kukuha ng anyong t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Hanapin natin ang mga halaga ng a kung saan kahit isang ugat ng ang equation (*) ay nakakatugon sa kundisyon t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Sagot: kung a > – 13, a  11, a  5, kung gayon kung a – 13,

a = 11, a = 5, pagkatapos ay walang mga ugat.

Bibliograpiya.

1. Guzeev pundasyon ng teknolohiyang pang-edukasyon.

2. Teknolohiya ng Guzeev: mula sa pagtanggap hanggang sa pilosopiya.

M. “Direktor ng Paaralan” Blg. 4, 1996

3. Guzeev at mga pormang pang-organisasyon pagsasanay.

4. Guzeev at ang pagsasagawa ng integral na teknolohiyang pang-edukasyon.

M. “Public Education”, 2001

5. Guzeev mula sa mga anyo ng isang aralin - seminar.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1987 pp. 9 – 11.

6. Mga teknolohiyang pang-edukasyon ng Seleuko.

M. “Public Education”, 1998

7. Episheva mga mag-aaral na mag-aral ng matematika.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanova maghanda ng mga aralin - workshop.

Matematika sa paaralan No. 6, 1990 p. 37 – 40.

9. Modelo ng pagtuturo ng matematika ni Smirnov.

Matematika sa paaralan No. 1, 1997 p. 32 – 36.

10. Tarasenko paraan ng pag-aayos ng praktikal na gawain.

Matematika sa paaralan No. 1, 1993 p. 27 – 28.

11. Tungkol sa isa sa mga uri ng indibidwal na gawain.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1994, pp. 63 – 64.

12. Khazankin Mga malikhaing kasanayan mga mag-aaral.

Matematika sa paaralan Blg. 2, 1989 p. 10.

13. Scanavi. Publisher, 1997

14. at iba pa ang Algebra at ang simula ng pagsusuri. Mga materyales sa didactic Para sa

15. Mga gawain ng Krivonogov sa matematika.

M. "Una ng Setyembre", 2002

16. Cherkasov. Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at

pagpasok sa mga unibersidad. "A S T - press school", 2002

17. Zhevnyak para sa mga pumapasok sa mga unibersidad.

Minsk at Russian Federation "Repasuhin", 1996

18. Nakasulat D. Naghahanda kami para sa pagsusulit sa matematika. M. Rolf, 1999

19. atbp. Pag-aaral upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

M. "Intellect - Center", 2003

20. atbp. Mga materyales sa edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda para sa EGE.

M. "Intelligence - Center", 2003 at 2004.

21 at iba pa. Testing Center ng Ministry of Defense ng Russian Federation, 2002, 2003.

22. Goldberg equation. "Quantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Paano matagumpay na magturo ng matematika.

Mathematics, 1997 No. 3.

24 Okunev para sa aralin, mga bata! M. Edukasyon, 1988

25. Yakimanskaya - nakatuon sa pag-aaral sa paaralan.

26. Nagtatrabaho si Liimets sa klase. M. Kaalaman, 1975

Sa yugto ng paghahanda para sa huling pagsusulit, kailangang pagbutihin ng mga mag-aaral sa high school ang kanilang kaalaman sa paksang "Exponential Equation." Ang karanasan ng mga nakaraang taon ay nagpapahiwatig na ang gayong mga gawain ay nagdudulot ng ilang mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Samakatuwid, ang mga mag-aaral sa high school, anuman ang kanilang antas ng paghahanda, ay kailangang lubusang makabisado ang teorya, tandaan ang mga formula at maunawaan ang prinsipyo ng paglutas ng mga naturang equation. Ang pagkakaroon ng natutunan upang makayanan ang ganitong uri ng gawain, ang mga nagtapos ay makakaasa matataas na marka kapag pumasa sa Unified State Examination sa matematika.

Maghanda para sa pagsusulit sa pagsusulit kasama si Shkolkovo!

Kapag sinusuri ang mga materyal na kanilang sakop, maraming estudyante ang nahaharap sa problema sa paghahanap ng mga pormula na kailangan upang malutas ang mga equation. aklat-aralin sa paaralan ay hindi palaging nasa kamay, at ang pagpili ng kinakailangang impormasyon sa isang paksa sa Internet ay tumatagal ng mahabang panahon.

Iniimbitahan ng portal na pang-edukasyon ng Shkolkovo ang mga mag-aaral na gamitin ang aming base ng kaalaman. Nagpapatupad kami ng isang ganap na bagong paraan ng paghahanda para sa huling pagsubok. Sa pamamagitan ng pag-aaral sa aming website, matutukoy mo ang mga gaps sa kaalaman at mabibigyang-pansin ang mga gawaing nagdudulot ng pinakamahirap.

Ang mga guro ng Shkolkovo ay nakolekta, nag-systematize at ipinakita ang lahat ng kailangan para sa matagumpay na pagtatapos Pinag-isang State Exam material sa pinakasimple at pinaka-naa-access na anyo.

Ang mga pangunahing kahulugan at formula ay ipinakita sa seksyong "Theoretical background".

Upang mas maunawaan ang materyal, inirerekomenda namin na magsanay ka sa pagkumpleto ng mga takdang-aralin. Maingat na suriin ang mga halimbawa ng mga exponential equation na may mga solusyon na ipinakita sa pahinang ito upang maunawaan ang algorithm ng pagkalkula. Pagkatapos nito, magpatuloy upang magsagawa ng mga gawain sa seksyong "Mga Direktoryo". Maaari kang magsimula sa pinakamadaling gawain o dumiretso sa paglutas ng mga kumplikadong exponential equation na may ilang hindi alam o . Ang database ng mga pagsasanay sa aming website ay patuloy na pupunan at ina-update.

Ang mga halimbawang iyon na may mga tagapagpahiwatig na nagdulot sa iyo ng mga paghihirap ay maaaring idagdag sa "Mga Paborito". Sa ganitong paraan madali mong mahahanap ang mga ito at matalakay ang solusyon sa iyong guro.

Upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam, mag-aral sa portal ng Shkolkovo araw-araw!

Mga halimbawa:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Paano Lutasin ang mga Exponential Equation

Kapag nilulutas ang anumang exponential equation, sinisikap naming dalhin ito sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\), at pagkatapos ay gawin ang paglipat sa pagkakapantay-pantay ng mga exponent, iyon ay:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Halimbawa:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Mahalaga! Mula sa parehong lohika, dalawang kinakailangan para sa naturang paglipat ay sumusunod:
- numero sa kaliwa at kanan ay dapat na pareho;
- ang mga degree sa kaliwa at kanan ay dapat na "dalisay", ibig sabihin, hindi dapat magkaroon ng multiplications, divisions, etc.

Halimbawa:

Upang bawasan ang equation sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\) at ginagamit.

Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solusyon:

Unang antas

Exponential equation. Komprehensibong Gabay (2019)

Kamusta! Ngayon ay tatalakayin namin sa iyo kung paano lutasin ang mga equation na maaaring elementarya (at inaasahan kong pagkatapos basahin ang artikulong ito, halos lahat ng mga ito ay magiging para sa iyo), at ang mga karaniwang ibinibigay "para sa pagpuno". Nakatulog na yata sa wakas. Ngunit susubukan kong gawin ang lahat ng posible upang hindi ka na magkaroon ng problema kapag nahaharap sa ganitong uri ng mga equation. Hindi na ako magpapatalo, pero bubuksan ko na agad maliit na sikreto: mag-aaral tayo ngayon mga exponential equation.

Bago magpatuloy sa pagsusuri ng mga paraan upang malutas ang mga ito, agad kong ilalarawan para sa iyo ang isang hanay ng mga tanong (medyo maliit) na dapat mong ulitin bago magmadaling salakayin ang paksang ito. Kaya, upang makakuha ng pinakamahusay na resulta, Pakiusap, ulitin:

1. Mga Katangian at
2. Solusyon at mga equation

naulit? Kahanga-hanga! Kung gayon hindi magiging mahirap para sa iyo na mapansin na ang ugat ng equation ay isang numero. Naiintindihan mo ba kung paano ko ito ginawa? Totoo ba? Pagkatapos ay magpatuloy tayo. Ngayon sagutin mo ang aking tanong, ano ang katumbas ng ikatlong kapangyarihan? Tamang tama ka: . Anong kapangyarihan ng dalawa ang walo? Tama iyon - ang pangatlo! kasi. Kaya, ngayon subukan nating lutasin ang sumusunod na problema: Hayaan akong i-multiply ang numero sa sarili nito nang isang beses at makuha ang resulta. Ang tanong, ilang beses ba akong dumami sa sarili ko? Siyempre, maaari mong suriin ito nang direkta:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( ihanay)

Pagkatapos ay maaari mong tapusin na pinarami ko sa aking sarili ang mga beses. Paano mo pa ito masusuri? Narito kung paano: direkta sa pamamagitan ng kahulugan ng degree: . Ngunit, dapat mong aminin, kung tatanungin ko kung gaano karaming beses ang dalawa ay kailangang i-multiply sa kanyang sarili upang makakuha, sabihin, sasabihin mo sa akin: Hindi ko lolokohin ang aking sarili at paramihin ang sarili hanggang sa ako ay asul sa mukha. At siya ay magiging ganap na tama. Dahil paano mo kaya isulat nang maikli ang lahat ng mga hakbang(at ang kaiklian ay kapatid ng talento)

kung saan - pareho ang mga ito "mga oras", kapag dumami ka sa sarili mo.

Sa tingin ko, alam mo (at kung hindi mo alam, mapilit, napaka-apurahang ulitin ang mga degree!) na ang aking problema ay isusulat sa form:

Paano mo makatuwirang mahihinuha na:

Kaya, nang hindi napapansin, isinulat ko ang pinakasimpleng exponential equation:

At nahanap ko pa siya ugat. Hindi mo ba naisip na ang lahat ay ganap na walang halaga? Pareho lang talaga ang tingin ko. Narito ang isa pang halimbawa para sa iyo:

Ngunit ano ang gagawin? Pagkatapos ng lahat, hindi ito maaaring isulat bilang isang kapangyarihan ng isang (makatwirang) numero. Huwag tayong mawalan ng pag-asa at tandaan na ang parehong mga numerong ito ay perpektong ipinahayag sa pamamagitan ng kapangyarihan ng parehong numero. Alin? Kanan: . Pagkatapos ang orihinal na equation ay binago sa anyo:

Kung saan, gaya ng naintindihan mo na, . Huwag na nating ipagpaliban pa at isulat ito kahulugan:

Sa kaso natin: .

Ang mga equation na ito ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa anyo:

sinusundan ng paglutas ng equation

Sa katunayan, ginawa namin ito sa nakaraang halimbawa: nakuha namin ang sumusunod: At nalutas namin ang pinakasimpleng equation.

Parang walang complicated diba? Magsanay muna tayo sa mga pinakasimple mga halimbawa:

Muli nating nakikita na ang kanan at kaliwang bahagi ng equation ay kailangang katawanin bilang mga kapangyarihan ng isang numero. Totoo, nagawa na ito sa kaliwa, ngunit sa kanan ay may isang numero. Pero okay lang, kasi ang equation ko himala magiging ganito:

Ano ang kailangan kong gamitin dito? Anong tuntunin? Panuntunan ng "degrees within degrees" na nagbabasa:

Paano kung:

Bago sagutin ang tanong na ito, punan natin ang sumusunod na talahanayan:

Madali para sa atin na mapansin na ang mas kaunti, ang mas kaunting halaga, ngunit gayunpaman, ang lahat ng mga halagang ito ay mas malaki kaysa sa zero. AT MAGIGING GANYAN LAGI!!! Ang parehong ari-arian ay totoo PARA SA ANUMANG BATAYAN NA MAY ANUMANG INDICATOR!! (para sa anuman at). Kung gayon ano ang maaari nating tapusin tungkol sa equation? Narito kung ano ito: ito walang ugat! Tulad ng anumang equation ay walang mga ugat. Ngayon ay magsanay tayo at Lutasin natin ang mga simpleng halimbawa:

Suriin natin:

1. Dito walang hihingin sa iyo maliban sa kaalaman sa mga katangian ng mga degree (na, sa pamamagitan ng paraan, hiniling ko sa iyo na ulitin!) Bilang isang patakaran, ang lahat ay humahantong sa pinakamaliit na base: , . Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas ng sumusunod: Ang kailangan ko lang ay gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan: Kapag nagpaparami ng mga numero na may parehong mga base, ang mga kapangyarihan ay idinagdag, at kapag hinahati, ang mga ito ay ibinabawas. Pagkatapos ay makukuha ko: Buweno, ngayon na may malinis na budhi ay lilipat ako mula sa exponential equation patungo sa linear: \begin(align)
at 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
at 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. Sa pangalawang halimbawa, kailangan nating maging mas maingat: ang problema ay na sa kaliwang bahagi ay hindi natin maaaring katawanin ang parehong bilang bilang isang kapangyarihan. Sa kasong ito, minsan ito ay kapaki-pakinabang kumakatawan sa mga numero bilang isang produkto ng mga kapangyarihan na may iba't ibang mga base, ngunit ang parehong mga exponent:

Ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging ganito: Ano ang ibinigay nito sa amin? Narito kung ano: Ang mga numero na may iba't ibang mga base ngunit ang parehong mga exponent ay maaaring i-multiply.Sa kasong ito, ang mga base ay pinarami, ngunit ang tagapagpahiwatig ay hindi nagbabago:

Sa aking sitwasyon ito ay magbibigay:

\begin(align)
at 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
at 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
at ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
at ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Hindi masama, tama ba?

3. Hindi ko gusto ito kapag, hindi kinakailangan, mayroon akong dalawang termino sa isang bahagi ng equation at wala sa kabilang panig (kung minsan, siyempre, ito ay makatwiran, ngunit ngayon ay hindi ganoong kaso). Ililipat ko pakanan ang minus term:

Ngayon, tulad ng dati, isusulat ko ang lahat sa mga tuntunin ng kapangyarihan ng tatlo:

Idinaragdag ko ang mga degree sa kaliwa at kumuha ng katumbas na equation

Madali mong mahahanap ang ugat nito:

4. Gaya sa halimbawa tatlo, ang minus term ay may lugar sa kanang bahagi!

Sa aking kaliwa, halos lahat ay maayos, maliban sa ano? Oo, ang "wrong degree" ng dalawa ay bumabagabag sa akin. Ngunit madali kong maaayos ito sa pamamagitan ng pagsulat ng: . Eureka - sa kaliwa ang lahat ng mga base ay iba, ngunit ang lahat ng mga degree ay pareho! Paramihan tayo agad!

Narito muli, ang lahat ay malinaw: (kung hindi mo naiintindihan kung paano ko nakuha ang huling pagkakapantay-pantay, magpahinga ng isang minuto, huminga at basahin nang mabuti ang mga katangian ng degree. Sino ang nagsabi na maaari mong laktawan ang isang degree na may negatibong exponent? Well, narito ako tungkol sa parehong bagay na walang sinuman). Ngayon ay makakakuha ako ng:

\begin(align)
at ((2)^(4\kaliwa((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
at 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Narito ang ilang mga problema para sa iyo na magsanay, kung saan ibibigay ko lamang ang mga sagot (ngunit sa isang "halo-halong" form). Lutasin ang mga ito, suriin ang mga ito, at ikaw at ako ay magpapatuloy sa aming pananaliksik!

handa na? Mga sagot tulad ng mga ito:

1. kahit anong numero

Okay, okay, nagbibiro ako! Narito ang ilang sketch ng mga solusyon (ang ilan ay napakaikli!)

Hindi mo ba naisip na hindi nagkataon na ang isang fraction sa kaliwa ay "invert" ang isa? Magiging kasalanan kung hindi mo ito samantalahin:

Ang panuntunang ito ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga exponential equation, tandaan itong mabuti!

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging ganito:

Sa pamamagitan ng paglutas ng quadratic equation na ito, makukuha mo ang mga sumusunod na ugat:

2. Isa pang solusyon: paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng expression sa kaliwa (o kanan). Hatiin sa kung ano ang nasa kanan, pagkatapos ay makukuha ko:

Saan (bakit?!)

3. Ayoko nang ulitin, masyado nang "nguya" ang lahat.

4. katumbas ng isang quadratic equation, mga ugat

5. Kailangan mong gamitin ang formula na ibinigay sa unang problema, pagkatapos ay makukuha mo iyon:

Ang equation ay naging isang maliit na pagkakakilanlan na totoo para sa sinuman. Kung gayon ang sagot ay anumang tunay na numero.

Well, ngayon ay nagsanay ka na sa paglutas simpleng exponential equation. Ngayon gusto kong bigyan ka ng ilan mga halimbawa ng buhay, na tutulong sa iyo na maunawaan kung bakit kailangan ang mga ito sa prinsipyo. Dito ay magbibigay ako ng dalawang halimbawa. Ang isa sa mga ito ay pang-araw-araw, ngunit ang isa ay mas malamang na pang-agham sa halip na praktikal na interes.

Halimbawa 1 (mercantile) Hayaan kang magkaroon ng mga rubles, ngunit nais mong gawing rubles. Inaalok ka ng bangko na kunin ang perang ito mula sa iyo sa taunang rate na may buwanang capitalization ng interes (buwanang accrual). Ang tanong, ilang buwan ang kailangan mong magbukas ng deposito para maabot ang kinakailangang huling halaga? Isang makamundong gawain, hindi ba? Gayunpaman, ang solusyon nito ay nauugnay sa pagbuo ng kaukulang exponential equation: Hayaan - ang paunang halaga, - ang huling halaga, - rate ng interes bawat panahon, - ang bilang ng mga panahon. Pagkatapos:

Sa aming kaso (kung ang rate ay taunang, pagkatapos ito ay kinakalkula bawat buwan). Bakit ito hinati ng? Kung hindi mo alam ang sagot sa tanong na ito, tandaan ang paksang ""! Pagkatapos makuha namin ang equation na ito:

Ang exponential equation na ito ay malulutas lamang gamit ang isang calculator (its hitsura mga pahiwatig dito, at nangangailangan ito ng kaalaman sa logarithms, na makikilala natin sa ibang pagkakataon), na gagawin ko: ... Kaya, upang makatanggap ng isang milyon, kakailanganin nating magdeposito sa loob ng isang buwan ( hindi masyadong mabilis, tama?).

Halimbawa 2 (medyo siyentipiko). Sa kabila ng kanyang medyo "nakahiwalay" na saloobin, inirerekumenda ko na bigyang-pansin mo siya: siya ay regular na "nadudulas sa Unified State Examination!! (Ang problema ay kinuha mula sa "tunay" na bersyon) Sa panahon ng pagkabulok ng isang radioactive isotope, ang masa nito ay bumababa ayon sa batas, kung saan ang (mg) ay ang inisyal na masa ng isotope, (min.) ay ang oras na lumipas mula sa paunang sandali, (min.) ay ang kalahating buhay. Sa unang sandali ng oras, ang masa ng isotope ay mg. Ang kalahating buhay nito ay min. Pagkatapos ng ilang minuto magiging katumbas ng mg ang masa ng isotope? Okay lang: kinukuha at pinapalitan lang namin ang lahat ng data sa formula na iminungkahi sa amin:

Hatiin natin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng, "sa pag-asa" na sa kaliwa ay makakakuha tayo ng isang bagay na natutunaw:

Well, napakaswerte namin! Ito ay nasa kaliwa, pagkatapos ay lumipat tayo sa katumbas na equation:

Nasaan si min.

Tulad ng nakikita mo, ang mga exponential equation ay may tunay na mga aplikasyon sa pagsasanay. Ngayon gusto kong ipakita sa iyo ang isa pang (simple) na paraan upang malutas ang mga exponential equation, na batay sa pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket at pagkatapos ay pagpangkatin ang mga termino. Huwag kang matakot sa aking mga salita, nakita mo na ang pamamaraang ito noong ika-7 baitang noong nag-aral ka ng polynomial. Halimbawa, kung kailangan mong i-factor ang expression:

Magpangkat tayo: ang una at ikatlong termino, gayundin ang pangalawa at ikaapat. Malinaw na ang una at pangatlo ay ang pagkakaiba ng mga parisukat:

at ang pangalawa at ikaapat ay may karaniwang salik na tatlo:

Kung gayon ang orihinal na expression ay katumbas nito:

Kung saan makukuha ang karaniwang kadahilanan ay hindi na mahirap:

Kaya naman,

Ito ay halos kung ano ang gagawin natin kapag nilulutas ang mga exponential equation: hanapin ang "commonality" sa mga termino at alisin ito sa mga bracket, at pagkatapos - kahit anong mangyari, naniniwala ako na magiging masuwerte tayo =)) Halimbawa:

Sa kanan ay malayo sa pagiging isang kapangyarihan ng pito (nasuri ko!) At sa kaliwa - ito ay medyo mas mahusay, maaari mong, siyempre, "putulin" ang kadahilanan a mula sa pangalawa mula sa unang termino, at pagkatapos ay harapin sa kung ano ang nakuha mo, ngunit maging mas maingat tayo sa iyo. Hindi ko nais na harapin ang mga fraction na hindi maiiwasang mabuo kapag "pinipili" , kaya hindi ba dapat ko bang alisin ito? Kung gayon hindi ako magkakaroon ng anumang mga fraction: gaya ng sinasabi nila, ang mga lobo ay pinakain at ang mga tupa ay ligtas:

Kalkulahin ang expression sa mga bracket. Magically, magically, lumalabas na (nakakagulat, bagaman ano pa ang dapat nating asahan?).

Pagkatapos ay binabawasan namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng kadahilanang ito. Nakukuha namin ang: , mula sa.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa (medyo, talaga):

Anong problema! Wala tayong common ground dito! Hindi lubos na malinaw kung ano ang gagawin ngayon. Gawin natin ang ating makakaya: una, ilipat ang "fours" sa isang gilid, at ang "fives" sa isa pa:

Ngayon kunin natin ang "pangkalahatan" sa kaliwa at kanan:

Ano ngayon? Ano ang pakinabang ng gayong hangal na grupo? Sa unang sulyap ay hindi ito nakikita, ngunit tingnan natin nang mas malalim:

Buweno, ngayon ay titiyakin natin na sa kaliwa ay mayroon lamang tayong expression na c, at sa kanan - lahat ng iba pa. Paano natin ito gagawin? Ganito: Hatiin muna ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (para maalis natin ang exponent sa kanan), at pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig sa (para maalis natin ang numeric factor sa kaliwa). Sa wakas makuha namin:

Hindi kapani-paniwala! Sa kaliwa mayroon kaming isang expression, at sa kanan mayroon kaming isang simpleng expression. Pagkatapos ay agad naming hinuhusgahan iyon

Narito ang isa pang halimbawa para palakasin mo:

Ibibigay ko ang kanyang maikling solusyon (nang hindi iniistorbo ang aking sarili sa mga paliwanag), subukang maunawaan ang lahat ng "subtleties" ng solusyon sa iyong sarili.

Ngayon para sa pangwakas na pagsasama-sama ng materyal na sakop. Subukang lutasin ang mga sumusunod na problema sa iyong sarili. Magbibigay lang ako ng mga maikling rekomendasyon at tip para sa paglutas ng mga ito:

1. Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: Saan:
2. Ipakita natin ang unang expression sa anyo: , hatiin ang magkabilang panig at kunin iyon
3. , pagkatapos ay ang orihinal na equation ay binago sa anyo: Well, ngayon ay isang pahiwatig - hanapin kung saan mo at ako ay nalutas na ang equation na ito!
4. Isipin kung paano, kung paano, ah, mabuti, pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig, upang makuha mo ang pinakasimpleng exponential equation.
5. Ilabas ito sa mga bracket.
6. Ilabas ito sa mga bracket.

EXPONENTARY EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ipinapalagay ko na pagkatapos basahin ang unang artikulo, na pinag-uusapan ano ang mga exponential equation at kung paano lutasin ang mga ito, pinagkadalubhasaan mo ang kinakailangang minimum na kaalaman na kinakailangan upang malutas ang pinakasimpleng mga halimbawa.

Ngayon ay titingnan ko ang isa pang paraan para sa paglutas ng mga exponential equation, ito ay

"paraan ng pagpapakilala ng bagong variable" (o pagpapalit). Nilulutas niya ang karamihan sa mga "mahirap" na mga problema sa paksa ng mga exponential equation (at hindi lamang mga equation). Ang pamamaraang ito ay isa sa mga madalas na ginagamit sa pagsasanay. Una, inirerekomenda ko na maging pamilyar ka sa paksa.

Tulad ng naintindihan mo na mula sa pangalan, ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang ipakilala ang gayong pagbabago ng variable na ang iyong exponential equation ay mahimalang magbabago sa isa na madali mong malulutas. Ang natitira lang para sa iyo pagkatapos malutas ang napaka "pinasimpleng equation" na ito ay gumawa ng "reverse replacement": ibig sabihin, bumalik mula sa pinalitan sa pinalitan. Ilarawan natin ang sinabi natin sa isang napakasimpleng halimbawa:

Halimbawa 1:

Ang equation na ito ay nalutas gamit ang isang "simpleng pagpapalit," bilang mathematicians disparagingly tawag dito. Sa katunayan, ang kapalit dito ay ang pinaka-halata. Isa lang ang dapat makakita nito

Pagkatapos ang orihinal na equation ay magiging ganito:

Kung iisipin din natin kung paano, kung gayon ay ganap na malinaw kung ano ang kailangang palitan: siyempre, . Ano ang nagiging orihinal na equation? Narito kung ano:

Madali mong mahahanap ang mga ugat nito sa iyong sarili: . Ano ang dapat nating gawin ngayon? Oras na para bumalik sa orihinal na variable. Ano ang nakalimutan kong banggitin? Namely: kapag pinapalitan ang isang tiyak na antas ng isang bagong variable (iyon ay, kapag pinapalitan ang isang uri), ako ay magiging interesado sa positive roots lang! Ikaw mismo ay madaling makasagot kung bakit. Kaya, ikaw at ako ay hindi interesado, ngunit ang pangalawang ugat ay angkop para sa amin:

Saka saan galing.

Sagot:

Tulad ng makikita mo, sa nakaraang halimbawa, ang isang kapalit ay humihingi lamang ng aming mga kamay. Sa kasamaang palad, hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, huwag tayong dumiretso sa malungkot na bagay, ngunit magsanay tayo sa isa pang halimbawa na may medyo simpleng kapalit.

Halimbawa 2.

Malinaw na malamang na kailangan nating gumawa ng kapalit (ito ang pinakamaliit sa mga kapangyarihang kasama sa ating equation), ngunit bago magpakilala ng kapalit, ang ating equation ay kailangang "ihanda" para dito, katulad ng: , . Pagkatapos ay maaari mong palitan, bilang isang resulta nakukuha ko ang sumusunod na expression:

Oh horror: isang cubic equation na may ganap na kahila-hilakbot na mga formula para sa paglutas nito (well, nagsasalita sa pangkalahatang pananaw). Ngunit huwag tayong mawalan ng pag-asa kaagad, ngunit isipin natin kung ano ang dapat nating gawin. Imumungkahi ko ang pagdaraya: alam natin na para makakuha ng "maganda" na sagot, kailangan nating makuha ito sa anyo ng ilang kapangyarihan ng tatlo (bakit ganoon, eh?). Subukan nating hulaan ang hindi bababa sa isang ugat ng ating equation (magsisimula akong manghula gamit ang mga kapangyarihan ng tatlo).

Unang hula. Hindi ugat. Sayang at ah...

.
Ang kaliwang bahagi ay pantay.
kanang bahagi:!
kumain ka na! Nahulaan ang unang ugat. Ngayon ang mga bagay ay magiging mas madali!

Alam mo ba ang tungkol sa "sulok" na pamamaraan ng paghahati? Siyempre ginagawa mo, ginagamit mo ito kapag hinati mo ang isang numero sa isa pa. Ngunit kakaunti ang nakakaalam na ang parehong ay maaaring gawin sa mga polynomial. Mayroong isang kahanga-hangang teorama:

Paglalapat sa aking sitwasyon, ito ay nagsasabi sa akin na ito ay nahahati nang walang nalalabi sa. Paano isinasagawa ang paghahati? ganyan:

Tinitingnan ko kung aling monomial ang dapat kong i-multiply para makakuha ng Malinaw, kung gayon:

Ibinabawas ko ang nagresultang expression mula sa, nakukuha ko:

Ngayon, ano ang kailangan kong i-multiply para makuha? Ito ay malinaw na sa, pagkatapos ay makakakuha ako ng:

at muli ibawas ang nagresultang expression mula sa natitira:

Well, ang huling hakbang ay ang pag-multiply at ibawas mula sa natitirang expression:

Hurray, tapos na ang dibisyon! Ano ang naipon natin nang pribado? Sa sarili: .

Pagkatapos ay nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na polynomial:

Lutasin natin ang pangalawang equation:

Ito ay may mga ugat:

Pagkatapos ang orihinal na equation:

may tatlong ugat:

Siyempre, itatapon natin ang huling ugat, dahil ito mas mababa sa zero. At ang unang dalawa pagkatapos ng reverse replacement ay magbibigay sa atin ng dalawang ugat:

Sagot:..

Sa halimbawang ito, hindi ko nais na takutin ka sa halip, ang layunin ko ay ipakita na kahit na mayroon kaming isang medyo simpleng kapalit, gayunpaman ay humantong sa isang medyo kumplikadong equation, ang solusyon na nangangailangan ng ilang mga espesyal na kasanayan mula sa amin. Well, walang immune mula dito. Ngunit ang kapalit sa kasong ito ay medyo halata.

Narito ang isang halimbawa na may bahagyang hindi gaanong halatang kapalit:

Hindi malinaw kung ano ang dapat nating gawin: ang problema ay sa ating equation mayroong dalawang magkaibang base at ang isang base ay hindi makukuha mula sa isa sa pamamagitan ng pagtataas nito sa anumang (makatwirang, siyempre) kapangyarihan. Gayunpaman, ano ang nakikita natin? Ang parehong mga base ay naiiba lamang sa sign, at ang kanilang produkto ay ang pagkakaiba ng mga parisukat na katumbas ng isa:

Kahulugan:

Kaya, ang mga numero na ang mga base sa aming halimbawa ay conjugate.

Sa kasong ito, ang matalinong hakbang ay magiging i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa conjugate number.

Halimbawa, sa, pagkatapos ay ang kaliwang bahagi ng equation ay magiging katumbas ng, at ang kanan. Kung gagawa tayo ng pagpapalit, ang ating orihinal na equation ay magiging ganito:

ang mga ugat nito, kung gayon, at pag-alala niyan, nakukuha natin iyon.

Sagot: , .

Bilang isang tuntunin, ang paraan ng pagpapalit ay sapat upang malutas ang karamihan sa mga equation ng exponential na "paaralan". Ang mga sumusunod na gawain ay kinuha mula sa Unified State Examination C1 (tumaas na antas ng kahirapan). Mayroon ka nang sapat na literate upang malutas ang mga halimbawang ito sa iyong sarili. Ibibigay ko lang ang kinakailangang kapalit.

1. Lutasin ang equation:
2. Hanapin ang mga ugat ng equation:
3. Lutasin ang equation: . Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment:

At ngayon ilang maikling paliwanag at sagot:

1. Narito ito ay sapat na para sa amin na tandaan na... Kung gayon ang orihinal na equation ay magiging katumbas nito: Ang equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagpapalit Gawin ang karagdagang mga kalkulasyon sa iyong sarili. Sa huli, ang iyong gawain ay mababawasan sa paglutas ng mga simpleng problema sa trigonometriko (depende sa sine o cosine). Titingnan natin ang mga solusyon sa mga katulad na halimbawa sa ibang mga seksyon.
2. Dito maaari mo ring gawin nang walang pagpapalit: ilipat lamang ang subtrahend sa kanan at kumakatawan sa parehong mga base sa pamamagitan ng mga kapangyarihan ng dalawang: , at pagkatapos ay dumiretso sa quadratic equation.
3. Ang ikatlong equation ay nalutas din nang medyo pamantayan: isipin natin kung paano. Pagkatapos, pinapalitan, nakakakuha tayo ng isang parisukat na equation: pagkatapos,

   Alam mo na kung ano ang logarithm, di ba? Hindi? Pagkatapos basahin ang paksa nang mapilit!

   Ang unang ugat ay malinaw na hindi kabilang sa segment, ngunit ang pangalawa ay hindi malinaw! Ngunit malalaman natin ito sa lalong madaling panahon! Dahil, pagkatapos (ito ay isang pag-aari ng logarithm!) Paghambingin natin:

   Ibawas mula sa magkabilang panig, pagkatapos ay makuha namin:

   Ang kaliwang bahagi ay maaaring ilarawan bilang:

   i-multiply ang magkabilang panig sa pamamagitan ng:

   maaaring i-multiply sa, kung gayon

   Pagkatapos ay ihambing:

   Simula noon:

   Pagkatapos ang pangalawang ugat ay kabilang sa kinakailangang agwat

   Sagot:

Tulad ng nakikita mo, Ang pagpili ng mga ugat ng exponential equation ay nangangailangan ng medyo malalim na kaalaman sa mga katangian ng logarithms, kaya ipinapayo ko sa iyo na maging maingat hangga't maaari sa paglutas ng mga exponential equation. Tulad ng naiintindihan mo, sa matematika ang lahat ay magkakaugnay! Tulad ng sinabi ng aking guro sa matematika: "ang matematika, tulad ng kasaysayan, ay hindi mababasa nang magdamag."

Bilang isang tuntunin, lahat Ang kahirapan sa paglutas ng mga problema C1 ay tiyak ang pagpili ng mga ugat ng equation. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Malinaw na ang equation mismo ay nalutas nang simple. Sa pamamagitan ng paggawa ng pagpapalit, binabawasan namin ang aming orihinal na equation sa mga sumusunod:

Una, tingnan natin ang unang ugat. Paghambingin natin at: simula noon. (pag-aari logarithmic function, sa). Pagkatapos ay malinaw na ang unang ugat ay hindi kabilang sa aming pagitan. Ngayon ang pangalawang ugat: . Ito ay malinaw na (dahil ang function sa ay tumataas). Ito ay nananatiling ihambing at...

mula noon, pagkatapos, sa parehong oras. Sa ganitong paraan maaari akong "magmaneho ng peg" sa pagitan ng at. Ang peg na ito ay isang numero. Ang unang expression ay mas kaunti at ang pangalawa ay mas malaki. Pagkatapos ang pangalawang expression ay mas malaki kaysa sa una at ang ugat ay kabilang sa pagitan.

Sagot: .

Sa wakas, tingnan natin ang isa pang halimbawa ng isang equation kung saan ang pagpapalit ay medyo hindi pamantayan:

Magsimula tayo kaagad sa kung ano ang maaaring gawin, at kung ano - sa prinsipyo, ay maaaring gawin, ngunit mas mahusay na huwag gawin ito. Maaari mong isipin ang lahat sa pamamagitan ng kapangyarihan ng tatlo, dalawa at anim. Saan ito humahantong? Hindi ito hahantong sa anumang bagay: isang paghalu-halo ng mga degree, ang ilan sa mga ito ay medyo mahirap alisin. Ano ang kailangan? Tandaan natin na a At ano ang ibibigay nito sa atin? At ang katotohanan na maaari nating bawasan ang desisyon halimbawang ito Ang isang simpleng exponential equation ay sapat na upang malutas! Una, muling isulat natin ang ating equation bilang:

Ngayon, hatiin natin ang magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng:

Eureka! Ngayon ay maaari naming palitan, makuha namin:

Buweno, ngayon ay iyong pagkakataon na lutasin ang mga problema sa pagpapakita, at bibigyan ko lamang sila ng mga maikling komento upang hindi ka maligaw! Good luck!

1. Ang pinakamahirap! Napakahirap makakita ng kapalit dito! Ngunit gayunpaman, ang halimbawang ito ay maaaring ganap na malutas gamit pag-highlight ng isang kumpletong parisukat. Upang malutas ito, sapat na tandaan na:

Pagkatapos ay narito ang iyong kapalit:

(Pakitandaan na dito sa panahon ng ating pagpapalit ay hindi natin maaaring itapon ang negatibong ugat!!! Bakit sa palagay mo?)

Ngayon upang malutas ang halimbawa kailangan mo lamang lutasin ang dalawang equation:

Pareho silang maaaring malutas sa pamamagitan ng isang "karaniwang kapalit" (ngunit ang pangalawa sa isang halimbawa!)

2. Pansinin iyon at gumawa ng kapalit.

3. I-decompose ang bilang sa mga coprime factor at pasimplehin ang resultang expression.

4. Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng (o, kung gusto mo) at gawin ang pagpapalit o.

5. Pansinin na ang mga numero at ay conjugate.

EXPONENTARY EQUATIONS. ADVANCED LEVEL

Bilang karagdagan, tingnan natin ang isa pang paraan - paglutas ng mga exponential equation gamit ang logarithm method. Hindi ko masasabi na ang paglutas ng mga exponential equation gamit ang paraang ito ay napakapopular, ngunit sa ilang mga kaso ay maaari lamang itong humantong sa atin sa ang tamang desisyon ang ating equation. Ito ay kadalasang ginagamit upang malutas ang tinatawag na " halo-halong equation ": iyon ay, ang mga kung saan nagaganap ang mga function ng iba't ibang uri.

Halimbawa, isang equation ng form:

sa pangkalahatang kaso, ito ay malulutas lamang sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithms ng magkabilang panig (halimbawa, sa base), kung saan ang orihinal na equation ay magiging sumusunod:

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa:

Ito ay malinaw na ayon sa ODZ ng logarithmic function, kami ay interesado lamang. Gayunpaman, ito ay sumusunod hindi lamang mula sa ODZ ng logarithm, ngunit para sa isa pang dahilan. Sa tingin ko hindi magiging mahirap para sa iyo na hulaan kung alin ito.

Dalhin natin ang logarithm ng magkabilang panig ng ating equation sa base:

Tulad ng nakikita mo, ang pagkuha ng logarithm ng aming orihinal na equation ay mabilis na humantong sa amin sa tamang (at maganda!) na sagot. Magsanay tayo sa isa pang halimbawa:

Wala ring mali dito: dalhin natin ang logarithm ng magkabilang panig ng equation sa base, pagkatapos ay makukuha natin:

Gumawa tayo ng kapalit:

Gayunpaman, may napalampas kami! Napansin mo ba kung saan ako nagkamali? Pagkatapos ng lahat, pagkatapos:

na hindi nakakatugon sa kinakailangan (isipin kung saan ito nanggaling!)

Sagot:

Subukang isulat ang solusyon sa mga exponential equation sa ibaba:

Ngayon ihambing ang iyong desisyon dito:

1. I-logarithm natin ang magkabilang panig sa base, na isinasaalang-alang na:

(ang pangalawang ugat ay hindi angkop para sa amin dahil sa kapalit)

2. Logarithm sa base:

Ibahin natin ang resultang expression sa sumusunod na anyo:

EXPONENTARY EQUATIONS. MAIKLING PAGLALARAWAN AT MGA BATAYANG FORMULA

Exponential equation

Equation ng form:

tinawag ang pinakasimpleng exponential equation.

Mga katangian ng mga degree

Mga diskarte sa solusyon

• Pagbawas sa parehong batayan
• Pagbawas sa parehong exponent
• Pagpapalit ng variable
• Pagpapasimple ng expression at paglalapat ng isa sa itaas.

Paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga "napakarami...")

Anong nangyari exponential equation? Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila ay nasa mga tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga.

Nandyan ka lang pala mga halimbawa ng exponential equation:

3 x 2 x = 8 x+3

Tandaan! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - mga numero lamang. SA mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na iba't ibang mga expression na may X. Kung biglang lumitaw ang isang X sa equation sa isang lugar maliban sa isang indicator, halimbawa:

ito ay magiging isang equation halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas ng mga ito. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Dito natin haharapin paglutas ng mga exponential equation sa pinakadalisay nitong anyo.

Sa katunayan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi laging nalutas nang malinaw. Ngunit may mga ibang mga klase mga exponential equation na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri na ating isasaalang-alang.

Paglutas ng mga simpleng exponential equation.

Una, lutasin natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa:

Kahit na walang anumang mga teorya, sa simpleng pagpili ay malinaw na ang x = 2. Wala ng iba diba!? Walang ibang value ng X ang gumagana. Ngayon tingnan natin ang solusyon sa nakakalito na exponential equation na ito:

Ano'ng nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay itinapon lamang ang parehong mga base (triple). Ganap na itinapon. At, ang magandang balita ay, natamaan namin ang ulo!

Sa katunayan, kung sa isang exponential equation ay may kaliwa at kanan pareho mga numero sa anumang kapangyarihan, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at ang mga exponent ay maaaring ipantay. Pinapayagan ng matematika. Ito ay nananatiling upang malutas ang isang mas simpleng equation. Mahusay, tama?)

Gayunpaman, tandaan nating mabuti: Maaari mo lamang tanggalin ang mga base kapag ang mga batayang numero sa kaliwa at kanan ay nasa napakagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapitbahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation:

2 x +2 x+1 = 2 3, o

hindi matatanggal ang dalawa!

Buweno, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano lumipat mula sa masasamang exponential expression patungo sa mas simpleng mga equation.

"Iyon ang mga oras!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng gayong primitive na aralin sa mga pagsusulit at pagsusulit!?"

Kailangan kong pumayag. Walang sinuman. Ngunit ngayon alam mo na kung saan maglalayon kapag nilulutas ang mga nakakalito na halimbawa. Kinakailangang dalhin ito sa form kung saan ang parehong base number ay nasa kaliwa at sa kanan. Pagkatapos ang lahat ay magiging mas madali. Sa totoo lang, ito ay isang klasiko ng matematika. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binabago ito sa ninanais tayo isip. Ayon sa mga tuntunin ng matematika, siyempre.

Tingnan natin ang mga halimbawa na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimple. Tawagan natin sila simpleng exponential equation.

Paglutas ng mga simpleng exponential equation. Mga halimbawa.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ang mga pangunahing panuntunan ay mga aksyon na may mga antas. Kung walang kaalaman sa mga pagkilos na ito, walang gagana.

Sa mga aksyon na may mga antas, ang isa ay dapat magdagdag ng personal na pagmamasid at katalinuhan. Kailangan ba natin ng parehong base number? Kaya hinahanap namin ang mga ito sa halimbawa sa tahasang o naka-encrypt na anyo.

Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay?

Bigyan tayo ng isang halimbawa:

2 2x - 8 x+1 = 0

Ang unang matalas na tingin ay sa bakuran. Sila... Iba sila! Dalawa at walo. Ngunit masyado pang maaga para masiraan ng loob. Oras na para tandaan iyon

Ang dalawa at walo ay magkamag-anak sa degree.) Posibleng isulat:

8 x+1 = (2 3) x+1

Kung naaalala natin ang formula mula sa mga operasyon na may mga degree:

(a n) m = a nm ,

ito ay mahusay na gumagana:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Ang orihinal na halimbawa ay nagsimulang magmukhang ganito:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer kami 2 3 (x+1) sa kanan (walang kinansela ang elementarya na operasyon ng matematika!), nakukuha natin:

2 2x = 2 3(x+1)

Halos iyon lang. Pag-alis ng mga base:

Malutas namin ang halimaw na ito at makuha

Ito ang tamang sagot.

Sa halimbawang ito, nakatulong sa amin ang pag-alam sa kapangyarihan ng dalawa. Kami nakilala sa walo ay may naka-encrypt na dalawa. Ang diskarteng ito (encryption karaniwang batayan sa ilalim magkaibang numero) ay isang napaka-tanyag na pamamaraan sa mga exponential equation! Oo, at sa logarithms din. Dapat mong makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero. Napakahalaga nito para sa paglutas ng mga exponential equation.

Ang katotohanan ay ang pagtaas ng anumang numero sa anumang kapangyarihan ay hindi isang problema. Paramihin, kahit sa papel, at iyon na. Halimbawa, kahit sino ay maaaring magtaas ng 3 hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Gagana ang 243 kung alam mo ang multiplication table.) Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na hindi kinakailangan na itaas sa isang kapangyarihan, ngunit vice versa... Alamin, anong numero hanggang sa anong antas ay nakatago sa likod ng numerong 243, o, sabihin nating, 343... Walang calculator ang tutulong sa iyo dito.

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng ilang numero sa pamamagitan ng paningin, tama... Magsanay tayo?

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Mga sagot (sa gulo, siyempre!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kung titingnan mong mabuti ay makikita mo kakaibang katotohanan. Mayroong higit pang mga sagot kaysa sa mga gawain! Well, nangyayari ito... Halimbawa, 2 6, 4 3, 8 2 - 64 lang iyon.

Ipagpalagay natin na naitala mo ang impormasyon tungkol sa pagiging pamilyar sa mga numero.) Ipaalala ko rin sa iyo na upang malutas ang mga exponential equation ay ginagamit namin lahat stock ng kaalaman sa matematika. Kabilang ang mga mula sa junior at middle class. Hindi ka dumiretso sa high school, tama ba?)

Halimbawa, kapag nilulutas ang mga exponential equation, kadalasang nakakatulong ang paglalagay ng common factor sa mga bracket (hello to 7th grade!). Tingnan natin ang isang halimbawa:

3 2x+4 -11 9 x = 210

At muli, ang unang sulyap ay sa mga pundasyon! Magkaiba ang base ng mga degree... Tatlo at siyam. At gusto naming maging pareho sila. Well, sa kasong ito ang pagnanais ay ganap na natupad!) Dahil:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Gamit ang parehong mga patakaran para sa pagharap sa mga degree:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Iyan ay mahusay, maaari mong isulat ito:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Kaya, ano ang susunod!? Hindi mo maitatapon ang tatlo... Dead end?

Hindi talaga. Alalahanin ang pinaka-unibersal at makapangyarihang tuntunin sa pagpapasya lahat mga gawain sa matematika:

Kung hindi mo alam kung ano ang kailangan mo, gawin mo ang iyong makakaya!

Tingnan mo, gagana ang lahat).

Ano ang nasa exponential equation na ito Pwede gawin? Oo, sa kaliwang bahagi ito ay nagmamakaawa lamang na alisin sa mga bracket! Ang pangkalahatang multiplier ng 3 2x ay malinaw na nagpapahiwatig nito. Subukan natin, at pagkatapos ay makikita natin:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Ang halimbawa ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay!

Naaalala namin na upang maalis ang mga batayan kailangan namin ng isang purong antas, nang walang anumang mga coefficient. Ang numero 70 ay bumabagabag sa amin. Kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 70, nakukuha namin:

Oops! Ang lahat ay naging mas mahusay!

Ito ang huling sagot.

Ito ay nangyayari, gayunpaman, na ang pag-taxi sa parehong batayan ay posible, ngunit ang kanilang pag-aalis ay hindi posible. Nangyayari ito sa iba pang uri ng mga exponential equation. Kabisaduhin natin ang ganitong uri.

Pagpapalit ng variable sa paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Lutasin natin ang equation:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Una - gaya ng dati. Lumipat tayo sa isang base. Sa isang deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Nakukuha namin ang equation:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

At dito kami tumatambay. Mga nakaraang trick hindi gagana, gaano man kahirap tingnan. Kakailanganin nating maglabas ng isa pang makapangyarihan at unibersal na paraan mula sa ating arsenal. Ang tawag dito variable na kapalit.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakakagulat na simple. Sa halip na isang kumplikadong icon (sa aming kaso - 2 x) sumulat kami ng isa pa, mas simple (halimbawa - t). Ang gayong tila walang kahulugan na kapalit ay humahantong sa mga kamangha-manghang resulta!) Ang lahat ay nagiging malinaw at naiintindihan!

Kaya hayaan

Pagkatapos 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Sa aming equation pinapalitan namin ang lahat ng kapangyarihan ng x's ng t:

Buweno, nagliliwanag na ba sa iyo?) Quadratic equation Nakalimutan mo na ba? Ang paglutas sa pamamagitan ng discriminant, makukuha natin ang:

Ang pangunahing bagay dito ay hindi huminto, tulad ng nangyayari... Hindi pa ito ang sagot, kailangan natin ng x, hindi t. Balik tayo sa X's, i.e. gumagawa kami ng reverse replacement. Una para sa t 1:

Yan ay,

Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa mula sa t 2:

Hm... 2 x sa kaliwa, 1 sa kanan... Problema? Hindi talaga! Sapat na tandaan (mula sa mga operasyong may kapangyarihan, oo...) na ang isang yunit ay anuman numero sa zero na kapangyarihan. Anuman. Anuman ang kailangan, i-install namin ito. Kailangan natin ng dalawa. Ibig sabihin:

Ayan na ngayon. Mayroon kaming 2 ugat:

Ito ang sagot.

Sa paglutas ng mga exponential equation sa dulo minsan nauuwi ka sa isang uri ng awkward na ekspresyon. Uri:

Mula pito hanggang dalawa hanggang simpleng degree hindi gumagana. Hindi sila kamag-anak... Paano tayo? Maaaring may nalilito... Ngunit ang taong nagbasa sa site na ito ng paksang “Ano ang logarithm?” , tipid na ngumiti at isinulat ng mahigpit na kamay ang ganap na tamang sagot:

Hindi maaaring magkaroon ng ganoong sagot sa mga gawain "B" sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado. Mayroong isang tiyak na numero ay kinakailangan. Ngunit sa mga gawaing "C" ito ay madali.

Ang araling ito ay nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga pinakakaraniwang exponential equation. I-highlight natin ang mga pangunahing punto.

Praktikal na payo:

1. Una sa lahat, tinitingnan natin bakuran degrees. Iniisip namin kung posible bang gawin ang mga ito magkapareho. Subukan nating gawin ito sa pamamagitan ng aktibong paggamit mga aksyon na may mga antas. Huwag kalimutan na ang mga numerong walang x ay maaari ding ma-convert sa powers!

2. Sinusubukan naming dalhin ang exponential equation sa anyo kapag sa kaliwa at sa kanan ay mayroong pareho mga numero sa anumang kapangyarihan. Ginagamit namin mga aksyon na may mga antas At factorization. Kung ano ang mabibilang sa mga numero, binibilang natin.

3. Kung hindi gumana ang pangalawang tip, subukang gumamit ng variable replacement. Ang resulta ay maaaring isang equation na madaling malutas. Kadalasan - parisukat. O fractional, na binabawasan din sa parisukat.

4. Upang matagumpay na malutas ang mga exponential equation, kailangan mong malaman ang mga kapangyarihan ng ilang mga numero sa pamamagitan ng paningin.

Gaya ng nakasanayan, sa pagtatapos ng aralin ay inaanyayahan kang magdesisyon nang kaunti.) Mag-isa. Mula sa simple hanggang sa kumplikado.

Lutasin ang mga exponential equation:

Mas mahirap:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Hanapin ang produkto ng mga ugat:

2 3's + 2 x = 9

Nangyari?

Kung gayon ang pinaka-komplikadong halimbawa(nagpasya, gayunpaman, sa isip...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Ano ang mas kawili-wili? At narito ang isang masamang halimbawa para sa iyo. Medyo karapat-dapat sa tumaas na kahirapan. Hayaan akong magpahiwatig na sa halimbawang ito, ang nagliligtas sa iyo ay ang katalinuhan at ang pinaka-unibersal na panuntunan para sa paglutas ng lahat ng mga problema sa matematika.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Isang mas simpleng halimbawa, para sa pagpapahinga):

9 2 x - 4 3 x = 0

At para sa panghimagas. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oo Oo! Ito ay isang mixed type equation! Na hindi natin isinaalang-alang sa araling ito. Bakit isaalang-alang ang mga ito, kailangan nilang malutas!) Ang araling ito ay sapat na upang malutas ang equation. Well, kailangan mo ng talino sa paglikha... At nawa'y matulungan ka ng ikapitong baitang (ito ay isang pahiwatig!).

Mga sagot (magulo, pinaghihiwalay ng mga semicolon):

1; 2; 3; 4; walang mga solusyon; 2; -2; -5; 4; 0.

Ang lahat ba ay matagumpay? Malaki.

May problema? Walang problema! Ang Espesyal na Seksyon 555 ay nilulutas ang lahat ng mga exponential equation na may mga detalyadong paliwanag. Ano, bakit, at bakit. At, siyempre, mayroong karagdagang mahalagang impormasyon sa pagtatrabaho sa lahat ng uri ng mga exponential equation. Hindi lang ang mga ito.)

Isang huling nakakatuwang tanong na dapat isaalang-alang. Sa araling ito nagtrabaho kami sa mga exponential equation. Bakit hindi ako nag salita tungkol sa ODZ dito? Sa mga equation, ito ay isang napakahalagang bagay, sa pamamagitan ng paraan ...

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.