piramidanın əsası və ona paralel olan kəsikdən əmələ gələn çoxüzlüdür. Kəsilmiş piramidanın üstü kəsilmiş bir piramida olduğunu söyləyə bilərik. Bu rəqəm bir çox unikal xüsusiyyətlərə malikdir:

• Piramidanın yan üzləri trapezoidlərdir;
• Düzgün kəsilmiş piramidanın yan kənarları eyni uzunluqdadır və eyni bucaq altında bazaya meyllidir;
• Əsaslar oxşar çoxbucaqlıdır;
• Müntəzəm kəsilmiş piramidada üzlər sahəsi bərabər olan eyni ikitərəfli trapezoidlərdir. Onlar da bir açı ilə bazaya meyllidirlər.

Kəsilmiş piramidanın yanal səthinin düsturu onun tərəflərinin sahələrinin cəmidir:

Kəsilmiş piramidanın tərəfləri trapesiya olduğundan, parametrləri hesablamaq üçün düsturdan istifadə etməli olacaqsınız. trapesiya sahəsi. Müntəzəm bir kəsilmiş piramida üçün sahənin hesablanması üçün fərqli bir düstur tətbiq edə bilərsiniz. Onun bütün tərəfləri, üzləri və bünövrədəki bucaqları bərabər olduğundan, əsasın və apothemin perimetrlərini tətbiq etmək, həmçinin bazadakı bucaq vasitəsilə sahəni çıxarmaq mümkündür.

Müntəzəm kəsilmiş piramidada şərtlərə uyğun olaraq apotem (yan tərəfin hündürlüyü) və bünövrənin tərəflərinin uzunluqları verilmişdirsə, onda sahəni perimetrlərin cəminin yarım hasili ilə hesablamaq olar. əsaslar və apotem:

Kəsilmiş piramidanın yanal səth sahəsinin hesablanması nümunəsinə baxaq.
Müntəzəm beşbucaqlı piramida verilir. Apotem l= 5 sm, böyük bazada kənarın uzunluğu a= 6 sm, kənar isə daha kiçik bazadadır b= 4 sm Kəsilmiş piramidanın sahəsini hesablayın.

Əvvəlcə təməllərin perimetrlərini tapaq. Bizə beşbucaqlı piramida verildiyi üçün əsasların beşbucaqlı olduğunu başa düşürük. Bu o deməkdir ki, əsasların beş eyni tərəfi olan bir fiqur var. Daha böyük bazanın perimetrini tapaq:

Eyni şəkildə kiçik bazanın perimetrini tapırıq:

İndi adi bir kəsilmiş piramidanın sahəsini hesablaya bilərik. Verilənləri düsturla əvəz edin:

Beləliklə, perimetrlər və apotem vasitəsilə müntəzəm kəsilmiş piramidanın sahəsini hesabladıq.

Yanal səth sahəsini hesablamaq üçün başqa bir yol müntəzəm piramida, bu formuladır bazadakı açılar və bu əsasların sahəsi vasitəsilə.

Nümunə hesablamaya baxaq. Xatırlayırıq ki, bu düstur yalnız adi kəsilmiş piramidaya aiddir.

Daimi dördbucaqlı piramida verilsin. Alt bazanın kənarı a = 6 sm, yuxarı əsasın kənarı b = 4 sm.Bazada ikihedral bucaq β = 60 ° -dir. Düzgün kəsilmiş piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.

Əvvəlcə bazaların sahəsini hesablayaq. Piramida nizamlı olduğundan, əsasların bütün kənarları bir-birinə bərabərdir. Baza dördbucaqlı olduğunu nəzərə alsaq, hesablamanın lazım olacağını başa düşürük meydanın sahəsi. Bu, enin və uzunluğun məhsuludur, lakin kvadrat olduqda bu dəyərlər eynidır. Daha böyük bazanın sahəsini tapaq:


İndi yanal səth sahəsini hesablamaq üçün tapılan dəyərlərdən istifadə edirik.

Bir neçə sadə düsturları bilməklə, müxtəlif dəyərlərdən istifadə edərək kəsilmiş piramidanın yanal trapesiyasının sahəsini asanlıqla hesabladıq.

piramida. Kəsilmiş piramida

piramidaçoxbucaqlıdır, üzlərindən biri çoxbucaqlıdır ( əsas ) və bütün digər üzlər ümumi təpəsi olan üçbucaqlardır ( yan üzlər ) (Şəkil 15). Piramida adlanır düzgün , əgər onun əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və piramidanın yuxarı hissəsi bünövrənin mərkəzinə proqnozlaşdırılıbsa (şək. 16). Bütün kənarları bərabər olan üçbucaqlı piramida adlanır tetraedr .

Yanal qabırğa piramidanın yan üzünün bazaya aid olmayan tərəfidir Hündürlük piramida onun yuxarısından baza müstəvisinə qədər olan məsafədir. Hamısı yan qabırğalar müntəzəm piramidanın bir-birinə bərabərdir, bütün yan üzləri bərabərdir ikitərəfli üçbucaqlar. Təpədən çəkilmiş nizamlı piramidanın yan üzünün hündürlüyü deyilir apotem . Diaqonal bölmə eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi ilə piramidanın kəsişməsi adlanır.

Yan səth sahəsi piramida bütün yanal üzlərin sahələrinin cəmidir. Ümumi səth sahəsi bütün yan üzlərin və əsasın sahələrinin cəmi adlanır.

Teoremlər

1. Əgər piramidada bütün yanal kənarlar eyni dərəcədə əsas müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın ətrafa çəkilmiş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

2. Əgər piramidanın bütün yan kənarları bərabər uzunluğa malikdirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya yaxın ətrafa çəkilmiş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

3. Əgər piramidanın bütün üzləri təməl müstəvisinə bərabər meyllidirsə, o zaman piramidanın yuxarı hissəsi bazaya həkk olunmuş dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir.

İxtiyari bir piramidanın həcmini hesablamaq üçün düzgün düstur:

Harada V- həcm;

S bazası- baza sahəsi;

H- piramidanın hündürlüyü.

Adi bir piramida üçün aşağıdakı düsturlar düzgündür:

Harada səh- baza perimetri;

h a- apotem;

H- hündürlük;

S dolu

S tərəfi

S bazası- baza sahəsi;

V- müntəzəm piramidanın həcmi.

Kəsilmiş piramida piramidanın baza ilə piramidanın bazasına paralel kəsici müstəvi arasında qapalı hissəsi adlanır (şək. 17). Daimi kəsilmiş piramida müntəzəm piramidanın baza ilə piramidanın bazasına paralel kəsici müstəvi arasında qapalı hissəsi adlanır.

Səbəblər kəsilmiş piramida - oxşar çoxbucaqlılar. Yan üzlər - trapezoidlər. Hündürlük kəsilmiş piramidanın əsasları arasındakı məsafədir. Diaqonal kəsilmiş piramida eyni üzdə yatmayan təpələrini birləşdirən seqmentdir. Diaqonal bölmə eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi ilə kəsilmiş piramidanın kəsimidir.

Kəsilmiş piramida üçün aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:

(4)

Harada S 1 , S 2 – yuxarı və aşağı əsasların sahələri;

S dolu- ümumi səth sahəsi;

S tərəfi- yanal səth sahəsi;

H- hündürlük;

V– kəsilmiş piramidanın həcmi.

Müntəzəm kəsilmiş piramida üçün düstur düzgündür:

Harada səh 1 , səh 2 – əsasların perimetrləri;

h a– müntəzəm kəsilmiş piramidanın apothemi.

Misal 1. Müntəzəm üçbucaqlı piramidada təməldəki dihedral bucaq 60º-dir. Yan kənarın baza müstəvisinə meyl bucağının tangensini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 18).

Piramida nizamlıdır, yəni bazada bərabərtərəfli üçbucaq var və bütün yan üzlər bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır. Bazadakı dihedral bucaq piramidanın yan üzünün təməl müstəvisinə meyl bucağıdır. Xətti bucaq bucaqdır a iki perpendikulyar arasında: və s. Piramidanın yuxarı hissəsi üçbucağın mərkəzinə (dairənin mərkəzi və üçbucağın yazılı dairəsi) proqnozlaşdırılır. ABC). Yan kənarın meyl açısı (məsələn S.B.) kənarın özü ilə təməl müstəvisinə proyeksiyası arasındakı bucaqdır. Qabırğa üçün S.B. bu bucaq bucaq olacaq SBD. Tangensi tapmaq üçün ayaqları bilmək lazımdır BELƏ Kİ Və O.B.. Seqmentin uzunluğuna icazə verin BD 3-ə bərabərdir A. Nöqtə HAQQINDA xətt seqmenti BD hissələrə bölünür: və Biz tapırıq BELƏ Kİ: Biz tapırıq:

Cavab:

Misal 2. Düzgün kəsilmişin həcmini tapın dördbucaqlı piramida, əgər onun əsaslarının diaqonalları sm və sm-ə bərabərdirsə və hündürlüyü 4 sm-dir.

Həll. Kəsilmiş piramidanın həcmini tapmaq üçün (4) düsturundan istifadə edirik. Bazaların sahəsini tapmaq üçün onların diaqonallarını bilməklə əsas kvadratların tərəflərini tapmaq lazımdır. Əsasların tərəfləri müvafiq olaraq 2 sm və 8 sm-ə bərabərdir.Bu, əsasların sahələri deməkdir və Bütün məlumatları düsturda əvəz edərək, kəsilmiş piramidanın həcmini hesablayırıq:

Cavab: 112 sm 3.

Misal 3.Əsaslarının tərəfləri 10 sm və 4 sm, piramidanın hündürlüyü 2 sm olan müntəzəm üçbucaqlı kəsikli piramidanın yan üzünün sahəsini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 19).

Bu piramidanın yan üzü ikitərəfli trapesiyadır. Trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün baza və hündürlüyü bilmək lazımdır. Əsaslar şərtə uyğun verilir, yalnız hündürlüyü naməlum qalır. Onu haradan tapacağıq A 1 E bir nöqtədən perpendikulyar A 1 alt baza müstəvisində, A 1 D-dən perpendikulyar A başına 1 AC. A 1 E= 2 sm, çünki bu piramidanın hündürlüyüdür. Tapmaq DEÜst görünüşü göstərən əlavə bir rəsm çəkək (şək. 20). Nöqtə HAQQINDA– yuxarı və aşağı əsasların mərkəzlərinin proyeksiyası. bəri (bax. Şəkil 20) və Digər tərəfdən tamam– dairəyə yazılmış radius və OM- dairədə yazılmış radius:

MK = DE.

-dən Pifaqor teoreminə görə

Yan üz sahəsi:

Cavab:

Misal 4. Piramidanın təməlində əsasları ikitərəfli trapesiya yerləşir A Və b (a> b). Hər bir yan üz piramidanın təməlinin müstəvisinə bərabər bir bucaq meydana gətirir j. Piramidanın ümumi səth sahəsini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 21). Piramidanın ümumi səth sahəsi SABCD trapezoidin sahələrinin və sahəsinin cəminə bərabərdir A B C D.

Gəlin belə bir ifadədən istifadə edək ki, əgər piramidanın bütün üzləri təməl müstəvisinə bərabər meyllidirsə, onda təpə bazaya yazılmış dairənin mərkəzinə proyeksiya edilir. Nöqtə HAQQINDA– təpə proyeksiyası S piramidanın təməlində. Üçbucaq SODüçbucağın ortoqonal proyeksiyasıdır CSD baza müstəvisinə. Müstəvi fiqurun ortoqonal proyeksiyasının sahəsinə dair teoremdən istifadə edərək əldə edirik:

Eynilə o deməkdir Beləliklə, problem trapezoidin sahəsini tapmaq üçün azaldı A B C D. Gəlin trapesiya çəkək A B C D ayrıca (şək. 22). Nöqtə HAQQINDA– trapesiyaya daxil edilmiş dairənin mərkəzi.

Dairə trapesiyaya yazıla bildiyi üçün, o zaman və ya Pifaqor teoremindən bizdə

Bu dərsdə biz kəsilmiş piramidaya baxacağıq, müntəzəm kəsilmiş piramida ilə tanış olacaq və onların xassələrini öyrənəcəyik.

Nümunədən istifadə edərək n-bucaqlı piramida anlayışını xatırlayaq üçbucaqlı piramida. ABC üçbucağı verilmişdir. Üçbucağın müstəvisindən kənarda, üçbucağın təpələri ilə əlaqəli P nöqtəsi alınır. Yaranan çoxüzlü səth piramida adlanır (şək. 1).

düyü. 1. Üçbucaqlı piramida

Piramidanın bünövrəsinin müstəvisinə paralel olan müstəvi ilə piramidanı kəsək. Bu müstəvilər arasında alınan fiqur kəsilmiş piramida adlanır (şək. 2).

düyü. 2. Kəsilmiş piramida

Əsas elementlər:

Üst baza;

ABC alt bazası;

Yan üz;

PH orijinal piramidanın hündürlüyüdürsə, o zaman kəsilmiş piramidanın hündürlüyüdür.

Kəsilmiş piramidanın xüsusiyyətləri onun qurulması üsulundan, yəni əsasların müstəvilərinin paralelliyindən yaranır:

Kəsilmiş piramidanın bütün yan üzləri trapesiya şəklindədir. Məsələn, kənarı nəzərdən keçirin. Paralel müstəvilərin xassəsinə malikdir (təyyarələr paralel olduğundan, onlar orijinal AVR piramidasının yan üzünü paralel düz xətlər boyunca kəsirlər), lakin eyni zamanda paralel deyillər. Aydındır ki, dördbucaqlı, kəsilmiş piramidanın bütün yan üzləri kimi trapesiyadır.

Əsasların nisbəti bütün trapezoidlər üçün eynidır:

Bizdə eyni oxşarlıq əmsalı olan bir neçə cüt oxşar üçbucaq var. Məsələn, üçbucaqlar və RAB təyyarələrin paralelliyi və oxşarlıq əmsalı ilə oxşardır:

Eyni zamanda, üçbucaqlar və RVS oxşarlıq əmsalı ilə oxşardır:

Aydındır ki, oxşar üçbucağın hər üç cütü üçün oxşarlıq əmsalları bərabərdir, ona görə də əsasların nisbəti bütün trapezoidlər üçün eynidir.

Müntəzəm kəsilmiş piramida bazaya paralel bir müstəvi ilə müntəzəm piramidanın kəsilməsi ilə əldə edilən kəsilmiş piramidadır (şəkil 3).

düyü. 3. Daimi kəsilmiş piramida

Tərif.

Piramidanın əsası düzgün n-bucaqlıdırsa və təpəsi bu n-bucaqlının mərkəzinə proyeksiya edilirsə, ona müntəzəm deyilir.

Bu halda, piramidanın təməlində bir kvadrat var və üstü onun diaqonallarının kəsişmə nöqtəsində proqnozlaşdırılır. Yaranan müntəzəm dördbucaqlı kəsikli piramida ABCD daha aşağı bazaya və yuxarı əsasa malikdir. Orijinal piramidanın hündürlüyü RO, kəsilmiş piramidadır (şək. 4).

düyü. 4. Daimi dördbucaqlı kəsilmiş piramida

Tərif.

Kəsilmiş piramidanın hündürlüyü bir bazanın istənilən nöqtəsindən ikinci bazanın müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyardır.

İlkin piramidanın apotemi RM (M AB-nin ortasıdır), kəsilmiş piramidanın apotemidir (şək. 4).

Tərif.

Kəsilmiş piramidanın apotemi istənilən yan üzün hündürlüyüdür.

Aydındır ki, kəsilmiş piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabərdir, yəni yan üzləri bərabər ikitərəfli trapesiyalardır.

Müntəzəm kəsilmiş piramidanın yanal səthinin sahəsi əsasların və apotemlərin perimetrlərinin cəminin yarısının məhsuluna bərabərdir.

Sübut (müntəzəm dördbucaqlı kəsilmiş piramida üçün - şək. 4):

Beləliklə, sübut etməliyik:

Buradakı yan səthin sahəsi yan üzlərin - trapezoidlərin sahələrinin cəmindən ibarət olacaqdır. Trapezoidlər eyni olduğundan, bizdə:

Kvadrat isosceles trapezoidəsasların və hündürlüyün cəminin yarısının hasilidir, apotem trapezoidin hündürlüyüdür. Bizdə:

Q.E.D.

n-bucaqlı piramida üçün:

Burada n piramidanın yan üzlərinin sayı, a və b trapezoidin əsaslarıdır və apotemdir.

Düzgün kəsilmiş dördbucaqlı piramidanın əsasının tərəfləri bərabər 3 sm və 9 sm, hündürlüyü - 4 sm Yan səthin sahəsini tapın.

düyü. 5. Problem 1 üçün illüstrasiya

Həll. Şərti təsvir edək:

Sual verən: , ,

O nöqtəsi vasitəsilə aşağı əsasın iki tərəfinə paralel MN düz xətti çəkirik və eyni şəkildə nöqtədən də düz xətt çəkirik (şək. 6). Kəsilmiş piramidanın əsaslarındakı kvadratlar və konstruksiyalar paralel olduğundan yan üzlərə bərabər olan trapesiya alırıq. Üstəlik, onun tərəfi yan üzlərin yuxarı və aşağı kənarlarının orta nöqtələrindən keçəcək və kəsilmiş piramidanın apothemi olacaqdır.

düyü. 6. Əlavə konstruksiyalar

Yaranan trapesiyanı nəzərdən keçirək (şək. 6). Bu trapezoiddə yuxarı baza, alt baza və hündürlük məlumdur. Verilmiş kəsilmiş piramidanın apotemi olan tərəfi tapmaq lazımdır. MN-ə perpendikulyar çəkək. Nöqtədən perpendikulyar NQ-ni aşağı salırıq. Daha böyük bazanın üç santimetrlik seqmentlərə bölündüyünü görürük (). Düzgün üçbucağı nəzərdən keçirək, içindəki ayaqları məlumdur, bu Misir üçbucağıdır, Pifaqor teoremindən istifadə edərək hipotenuzun uzunluğunu təyin edirik: 5 sm.

İndi piramidanın yan səthinin sahəsini təyin etmək üçün bütün elementlər var:

Piramida bazaya paralel bir müstəvi ilə kəsişir. Üçbucaqlı piramida nümunəsindən istifadə edərək, piramidanın yan kənarlarının və hündürlüyünün bu müstəvi ilə mütənasib hissələrə bölündüyünü sübut edin.

Sübut. Gəlin təsvir edək:

düyü. 7. Problem 2 üçün illüstrasiya

RABC piramidası verilmişdir. PO - piramidanın hündürlüyü. Piramida bir təyyarə ilə kəsilir, kəsilmiş bir piramida alınır və. Nöqtə - RO hündürlüyünün kəsilmiş piramidanın təməlinin müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsi. Sübut etmək lazımdır:

Həllin açarı paralel müstəvilərin mülkiyyətidir. İki paralel təyyarə istənilən üçüncü müstəvini elə kəsir ki, kəsişmə xətləri paralel olsun. Buradan: . Müvafiq xətlərin paralelliyi dörd cüt oxşar üçbucağın mövcudluğunu nəzərdə tutur:

Üçbucaqların oxşarlığından müvafiq tərəflərin mütənasibliyi əmələ gəlir. Əhəmiyyətli Xüsusiyyət Bu üçbucaqların oxşarlıq əmsallarının eyni olmasıdır:

Q.E.D.

Bazasının hündürlüyü və tərəfi olan müntəzəm üçbucaqlı RABC piramidası ABC bazasına paralel PH hündürlüyünün ortasından keçən müstəvi ilə parçalanır. Nəticədə kəsilmiş piramidanın yanal səth sahəsini tapın.

Həll. Gəlin təsvir edək:

düyü. 8. Problem 3 üçün illüstrasiya

DİA - müntəzəm üçbucaq, H bu üçbucağın mərkəzidir (yazılı və dairəvi dairələrin mərkəzi). RM verilmiş piramidanın apothemidir. - kəsilmiş piramidanın apothemi. Paralel müstəvilərin xassəsinə görə (iki paralel müstəvi istənilən üçüncü müstəvini elə kəsir ki, kəsişmə xətləri paralel olsun) bizdə bərabər oxşarlıq əmsalı olan bir neçə cüt oxşar üçbucaq var. Xüsusilə, əlaqələrlə maraqlanırıq:

NM-i tapaq. Bu, bazaya yazılmış bir dairənin radiusudur; biz müvafiq düsturu bilirik:

İndidən düz üçbucaq Pifaqor teoremindən istifadə edərək RNM, orijinal piramidanın RM - apothemini tapırıq:

İlkin nisbətdən:

İndi biz kəsilmiş piramidanın yan səthinin sahəsini tapmaq üçün bütün elementləri bilirik:

Beləliklə, biz kəsilmiş piramida və müntəzəm kəsilmiş piramida anlayışları ilə tanış olduq, əsas təriflər verdik, xassələrini araşdırdıq və yanal səthin sahəsinə dair teoremi sübut etdik. Növbəti dərs problemin həllinə yönəldiləcək.

Biblioqrafiya

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Həndəsə. 10-11-ci siniflər: tələbələr üçün dərslik təhsil müəssisələri(əsas və profil səviyyələri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-ci nəşr, rev. və əlavə - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: xəstə.
2. Sharygin I. F. Həndəsə. 10-11 sinif: Ümumi təhsil üçün dərslik təhsil müəssisələri/ Sharygin İ.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvaliç. Həndəsə. 10-cu sinif: Riyaziyyatı dərindən və ixtisaslaşdırılmış ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvaliç. - 6-cı nəşr, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: xəstə.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

Ev tapşırığı