कंप्यूटर विज्ञान में किसी वस्तु का गणितीय मॉडल। गणितीय मॉडल की मूल बातें

एक गणितीय मॉडल बनाने के लिए आपको चाहिए:

1. किसी वास्तविक वस्तु या प्रक्रिया का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करें;
2. इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों पर प्रकाश डाल सकेंगे;
3. चर परिभाषित करें, अर्थात पैरामीटर जिनके मान वस्तु की मुख्य विशेषताओं और गुणों को प्रभावित करते हैं;
4. तार्किक-गणितीय संबंधों (समीकरण, समानता, असमानता, तार्किक-गणितीय निर्माण) का उपयोग करके चर के मूल्यों पर किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के मूल गुणों की निर्भरता का वर्णन करें;
5. प्रतिबंधों, समीकरणों, समानताओं, असमानताओं, तार्किक और गणितीय निर्माणों का उपयोग करके किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के आंतरिक कनेक्शन को उजागर करें;
6. बाहरी कनेक्शनों की पहचान करें और प्रतिबंधों, समीकरणों, समानताओं, असमानताओं, तार्किक और गणितीय निर्माणों का उपयोग करके उनका वर्णन करें।

गणितीय मॉडलिंग में किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली का अध्ययन करने और उसका गणितीय विवरण तैयार करने के अलावा, इसमें यह भी शामिल है:

1. एक एल्गोरिथ्म का निर्माण जो किसी वस्तु, प्रक्रिया या सिस्टम के व्यवहार को मॉडल करता है;
2. कम्प्यूटेशनल और पूर्ण पैमाने के प्रयोगों के आधार पर मॉडल और वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली की पर्याप्तता की जाँच करना;
3. मॉडल समायोजन;
4. मॉडल का उपयोग करना।

अध्ययन के तहत प्रक्रियाओं और प्रणालियों का गणितीय विवरण इस पर निर्भर करता है:

1. एक वास्तविक प्रक्रिया या प्रणाली की प्रकृति और भौतिकी, रसायन विज्ञान, यांत्रिकी, थर्मोडायनामिक्स, हाइड्रोडायनामिक्स, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, प्लास्टिसिटी सिद्धांत, लोच सिद्धांत, आदि के नियमों के आधार पर संकलित की जाती है।
2. वास्तविक प्रक्रियाओं और प्रणालियों के अध्ययन और अनुसंधान की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता।

गणितीय मॉडल का निर्माण आमतौर पर विचाराधीन वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के सबसे सरल, सबसे कच्चे गणितीय मॉडल के निर्माण और विश्लेषण से शुरू होता है। भविष्य में, यदि आवश्यक हो, तो मॉडल को परिष्कृत किया जाता है और वस्तु के साथ इसके पत्राचार को और अधिक पूर्ण बनाया जाता है।

चलिए एक सरल उदाहरण लेते हैं. आपको सतह क्षेत्र निर्धारित करने की आवश्यकता है मेज़. आमतौर पर, यह इसकी लंबाई और चौड़ाई को मापकर और फिर परिणामी संख्याओं को गुणा करके किया जाता है। इस प्राथमिक प्रक्रिया का वास्तव में निम्नलिखित अर्थ है: एक वास्तविक वस्तु (तालिका की सतह) को एक अमूर्त गणितीय मॉडल - एक आयत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। तालिका की सतह की लंबाई और चौड़ाई को मापकर प्राप्त आयामों को आयत को सौंपा गया है, और ऐसे आयत का क्षेत्रफल लगभग तालिका का आवश्यक क्षेत्र माना जाता है। हालाँकि, डेस्क के लिए आयताकार मॉडल सबसे सरल, सबसे कच्चा मॉडल है। यदि आप समस्या के प्रति अधिक गंभीर दृष्टिकोण अपनाते हैं, तो तालिका का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए आयत मॉडल का उपयोग करने से पहले, इस मॉडल की जाँच की जानी चाहिए। जाँच निम्नानुसार की जा सकती है: तालिका के विपरीत पक्षों की लंबाई, साथ ही इसके विकर्णों की लंबाई को मापें और उनकी एक दूसरे से तुलना करें। यदि, सटीकता की आवश्यक डिग्री के साथ, विपरीत भुजाओं की लंबाई और विकर्णों की लंबाई जोड़े में बराबर हैं, तो तालिका की सतह को वास्तव में एक आयत माना जा सकता है। अन्यथा, आयत मॉडल को अस्वीकार करना होगा और उसे सामान्य चतुर्भुज मॉडल से बदलना होगा। सटीकता की उच्च आवश्यकता के साथ, मॉडल को और भी परिष्कृत करना आवश्यक हो सकता है, उदाहरण के लिए, तालिका के कोनों की गोलाई को ध्यान में रखना।

इसकी मदद से सरल उदाहरणयह दिखाया गया कि गणितीय मॉडल विशिष्ट रूप से वस्तु, प्रक्रिया या द्वारा निर्धारित नहीं होता है प्रणाली.

या (कल स्पष्ट किया जाएगा)

गणित हल करने के तरीके. मॉडल:

1, प्रकृति के नियमों पर आधारित मॉडल का निर्माण (विश्लेषणात्मक विधि)

2. सांख्यिकीय विधियों का उपयोग करने का औपचारिक तरीका। प्रसंस्करण और माप परिणाम (सांख्यिकीय दृष्टिकोण)

3. तत्वों (जटिल प्रणालियों) के मॉडल के आधार पर एक मॉडल का निर्माण

1, विश्लेषणात्मक - पर्याप्त अध्ययन के साथ प्रयोग करें। सामान्य पैटर्न ज्ञात है. मॉडल।

2. प्रयोग. जानकारी के अभाव में.

3. अनुकरण एम. - वस्तु के गुणों का अन्वेषण करता है। आम तौर पर।

गणितीय मॉडल के निर्माण का एक उदाहरण.

गणित का मॉडल- यह गणितीय प्रतिनिधित्ववास्तविकता।

गणित मॉडलिंगनिर्माण और अध्ययन की एक प्रक्रिया है गणितीय मॉडल.

गणित का उपयोग करने वाले सभी प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञान अनिवार्य रूप से गणितीय मॉडलिंग में लगे हुए हैं: वे किसी वस्तु को उसके गणितीय मॉडल से बदल देते हैं और फिर बाद का अध्ययन करते हैं। गणितीय मॉडल और वास्तविकता के बीच संबंध परिकल्पनाओं, आदर्शीकरणों और सरलीकरणों की एक श्रृंखला का उपयोग करके किया जाता है। गणितीय तरीकों का उपयोग करते हुए, एक नियम के रूप में, सार्थक मॉडलिंग के चरण में निर्मित एक आदर्श वस्तु का वर्णन किया जाता है।

मॉडलों की आवश्यकता क्यों है?

अक्सर किसी भी वस्तु का अध्ययन करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। कभी-कभी मूल स्वयं अनुपलब्ध होता है, या उसका उपयोग उचित नहीं होता है, या मूल को आकर्षित करना महंगा होता है। इन सभी समस्याओं को सिमुलेशन का उपयोग करके हल किया जा सकता है। में मॉडल एक निश्चित अर्थ मेंअध्ययनाधीन वस्तु को प्रतिस्थापित कर सकता है।

मॉडलों के सबसे सरल उदाहरण

§ एक तस्वीर को किसी व्यक्ति का मॉडल कहा जा सकता है. किसी इंसान को पहचानने के लिए उसकी तस्वीर देखना ही काफी है।

§ वास्तुकार ने एक नए आवासीय क्षेत्र का एक मॉडल बनाया। वह अपने हाथ के इशारे से किसी ऊंची इमारत को एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक ले जा सकता है। हकीकत में ऐसा संभव नहीं होगा.

मॉडल प्रकार

मॉडलों को विभाजित किया जा सकता है सामग्री"और उत्तम. उपरोक्त उदाहरण भौतिक मॉडल हैं। आदर्श मॉडलअक्सर एक प्रतीकात्मक रूप होता है। वास्तविक अवधारणाओं को कुछ संकेतों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिन्हें आसानी से कागज पर, कंप्यूटर मेमोरी आदि में दर्ज किया जा सकता है।

गणित मॉडलिंग

गणितीय मॉडलिंग प्रतीकात्मक मॉडलिंग के वर्ग से संबंधित है। इसके अलावा, मॉडल किसी भी गणितीय वस्तु से बनाए जा सकते हैं: संख्याएं, फ़ंक्शन, समीकरण इत्यादि।

एक गणितीय मॉडल का निर्माण

§ गणितीय मॉडल के निर्माण के कई चरणों को नोट किया जा सकता है:

1. समस्या को समझना, हमारे लिए सबसे महत्वपूर्ण गुणों, गुणों, मात्राओं और मापदंडों की पहचान करना।

2. अंकन का परिचय.

3. प्रतिबंधों की एक प्रणाली तैयार करना जिसे दर्ज किए गए मानों को पूरा करना होगा।

4. उन स्थितियों का निर्माण और रिकॉर्डिंग जो वांछित इष्टतम समाधान से संतुष्ट होनी चाहिए।

मॉडलिंग प्रक्रिया किसी मॉडल के निर्माण के साथ समाप्त नहीं होती है, बल्कि इसके साथ ही शुरू होती है। एक मॉडल संकलित करने के बाद, वे उत्तर खोजने और समस्या को हल करने के लिए एक विधि चुनते हैं। उत्तर मिल जाने के बाद उसकी वास्तविकता से तुलना की जाती है। और यह संभव है कि उत्तर संतोषजनक न हो, ऐसी स्थिति में मॉडल को संशोधित किया जाता है या यहां तक ​​कि एक पूरी तरह से अलग मॉडल चुना जाता है।

गणितीय मॉडल का उदाहरण

काम

उत्पादन संघ, जिसमें दो फर्नीचर कारखाने शामिल हैं, को अपने मशीन पार्क को अद्यतन करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, पहले फर्नीचर कारखाने को तीन मशीनों को बदलने की जरूरत है, और दूसरे को - सात को। दो मशीन टूल कारखानों में ऑर्डर दिए जा सकते हैं। पहला संयंत्र 6 से अधिक मशीनों का उत्पादन नहीं कर सकता है, और दूसरा संयंत्र एक ऑर्डर स्वीकार करेगा यदि उनमें से कम से कम तीन हों। आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि ऑर्डर कैसे दें।

उदाहरण 1.5.1.

मान लीजिए कि एक निश्चित आर्थिक क्षेत्र विशेष रूप से अपने लिए और केवल इस क्षेत्र की आबादी के लिए कई (एन) प्रकार के उत्पादों का उत्पादन करता है। यह माना जाता है कि तकनीकी प्रक्रिया पर काम किया गया है, और इन वस्तुओं के लिए जनसंख्या की मांग का अध्ययन किया गया है। उत्पाद उत्पादन की वार्षिक मात्रा निर्धारित करना आवश्यक है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इस मात्रा को अंतिम और औद्योगिक खपत दोनों प्रदान करनी चाहिए।

आइए इस समस्या का एक गणितीय मॉडल बनाएं। इसकी शर्तों के अनुसार, निम्नलिखित दिए गए हैं: उत्पादों के प्रकार, उनकी मांग और तकनीकी प्रक्रिया; आपको प्रत्येक प्रकार के उत्पाद का आउटपुट वॉल्यूम ज्ञात करना होगा।

आइए हम ज्ञात मात्राओं को निरूपित करें:

सी मैं-जनसंख्या की मांग मैंवें उत्पाद ( मैं=1,...,एन); ए आईजे- मात्रा मैंकिसी दी गई तकनीक का उपयोग करके जे वें उत्पाद की एक इकाई का उत्पादन करने के लिए वें उत्पाद की आवश्यकता होती है ( मैं=1,...,एन ; जे=1,...,एन);

एक्स मैं - आउटपुट वॉल्यूम मैं-वां उत्पाद ( मैं=1,...,एन); समग्रता साथ =(सी 1 ,..., सी एन ) मांग वेक्टर, संख्याएँ कहा जाता है ए आईजे- तकनीकी गुणांक, और समग्रता एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स एन ) - वेक्टर जारी करें।

समस्या की स्थिति के अनुसार, वेक्टर एक्स दो भागों में वितरित: अंतिम उपभोग के लिए (वेक्टर साथ ) और प्रजनन के लिए (वेक्टर एक्स-एस ). आइए वेक्टर के उस भाग की गणना करें एक्स जो प्रजनन में चला जाता है. उत्पादन के लिए हमारे पदनामों के अनुसार एक्स जेआपूर्ति किए गए जेवें उत्पाद की मात्रा ए आईजे · एक्स जेमात्रा मैं-वां उत्पाद.

फिर रकम ए मैं1 · एक्स 1 +...+ ए में · एक्स एनवह मान दिखाता है मैं-वां उत्पाद, जो संपूर्ण रिलीज़ के लिए आवश्यक है एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स एन ).

इसलिए, समानता संतुष्ट होनी चाहिए:

इस तर्क को सभी प्रकार के उत्पादों तक विस्तारित करते हुए, हम वांछित मॉडल पर पहुंचते हैं:

n रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करना एक्स 1 ,...,एक्स एनऔर आवश्यक रिलीज़ वेक्टर ढूंढें।

इस मॉडल को अधिक संक्षिप्त (वेक्टर) रूप में लिखने के लिए, हम निम्नलिखित संकेतन प्रस्तुत करते हैं:

वर्ग (
) -आव्यूह एप्रौद्योगिकी मैट्रिक्स कहा जाता है। यह जांचना आसान है कि हमारा मॉडल अब इस तरह लिखा जाएगा: x-s=आहया

(1.6)

हमें क्लासिक मॉडल प्राप्त हुआ" इनपुट आउटपुट ", जिसके लेखक प्रसिद्ध अमेरिकी अर्थशास्त्री वी. लियोन्टीव हैं।

उदाहरण 1.5.2.

तेल रिफाइनरी में तेल के दो ग्रेड होते हैं: ग्रेड ए 10 इकाइयों की मात्रा में, ग्रेड में- 15 इकाइयाँ। तेल को परिष्कृत करते समय, दो सामग्रियां प्राप्त होती हैं: गैसोलीन (हम निरूपित करते हैं बी) और ईंधन तेल ( एम). प्रसंस्करण प्रौद्योगिकी प्रक्रिया के लिए तीन विकल्प हैं:

मैं: एक इकाई ए+ 2 इकाइयाँ में 3 इकाइयाँ देता है। बी+ 2 इकाइयाँ एम

II: 2 इकाइयाँ। ए+ 1 इकाई में 1 यूनिट देता है. बी+ 5 इकाइयाँ एम

तृतीय: 2 यूनिट ए+ 2 इकाइयाँ में 1 यूनिट देता है. बी+ 2 इकाइयाँ एम

गैसोलीन की कीमत 10 डॉलर प्रति यूनिट है, ईंधन तेल की कीमत 1 डॉलर प्रति यूनिट है।

सबसे लाभप्रद संयोजन का निर्धारण करना आवश्यक है तकनीकी प्रक्रियाएंतेल की उपलब्ध मात्रा का प्रसंस्करण।

मॉडलिंग से पहले, आइए निम्नलिखित बिंदुओं को स्पष्ट करें। समस्या की स्थितियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि संयंत्र के लिए तकनीकी प्रक्रिया की "लाभप्रदता" को उसके तैयार उत्पादों (गैसोलीन और ईंधन तेल) की बिक्री से अधिकतम आय प्राप्त करने के अर्थ में समझा जाना चाहिए। इस संबंध में, यह स्पष्ट है कि संयंत्र की "पसंद (निर्माण) निर्णय" में यह निर्धारित करना शामिल है कि किस तकनीक को लागू करना है और कितनी बार। जाहिर है, ऐसे बहुत सारे संभावित विकल्प हैं।

आइए हम अज्ञात मात्राओं को निरूपित करें:

एक्स मैं- उपयोग की मात्रा मैंवें तकनीकी प्रक्रिया (मैं=1,2,3). अन्य मॉडल पैरामीटर (तेल भंडार, गैसोलीन और ईंधन तेल की कीमतें) ज्ञात.

अब एक बात विशिष्ट समाधानपौधा एक वेक्टर चुनने के लिए नीचे आता है एक्स =(एक्स 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) , जिसके लिए संयंत्र का राजस्व बराबर है (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) डॉलर। यहां, 32 डॉलर पहली तकनीकी प्रक्रिया के एक आवेदन से प्राप्त आय है ($10 3 इकाइयां)। बी+ 1 डॉलर ·2 इकाइयाँ। एम= $32). दूसरी और तीसरी तकनीकी प्रक्रियाओं के लिए क्रमशः गुणांक 15 और 12 का समान अर्थ है। तेल भंडार का लेखांकन निम्नलिखित स्थितियों की ओर ले जाता है:

विविधता के लिए ए:

विविधता के लिए में:,

जहां पहली असमानता गुणांक 1, 2, 2 में तकनीकी प्रक्रियाओं के एक बार के उपयोग के लिए ग्रेड ए तेल की खपत दर हैं मैं,द्वितीय,तृतीयक्रमश। दूसरी असमानता के गुणांक का ग्रेड बी तेल के लिए समान अर्थ है।

समग्र रूप से गणितीय मॉडल का रूप इस प्रकार है:

ऐसा वेक्टर खोजें एक्स = (एक्स 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) बढ़ाने के लिए

एफ(एक्स) =32х 1 +15x 2 +12x 3

निम्नलिखित शर्तों के अधीन:

इस प्रविष्टि का संक्षिप्त रूप है:

प्रतिबंधों के तहत

(1.7)

हमें तथाकथित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या मिली।

मॉडल (1.7.) एक नियतात्मक प्रकार (अच्छी तरह से परिभाषित तत्वों के साथ) के अनुकूलन मॉडल का एक उदाहरण है।

उदाहरण 1.5.3.

निवेशक को एक निश्चित लाभ प्राप्त करने के लिए स्टॉक, बांड और अन्य प्रतिभूतियों का सर्वोत्तम सेट निर्धारित करने की आवश्यकता होती है ताकि उन्हें एक निश्चित राशि में खरीदा जा सके। न्यूनतम जोखिमअपने आप के लिए। किसी सुरक्षा में निवेश किए गए प्रति डॉलर लाभ जे- प्रकार, दो संकेतकों द्वारा विशेषता: अपेक्षित लाभ और वास्तविक लाभ। एक निवेशक के लिए, यह वांछनीय है कि निवेश के प्रति डॉलर अपेक्षित लाभ पूरे सेट के लिए हो बहुमूल्य कागजातनिर्दिष्ट मान से कम नहीं बी.

ध्यान दें कि इस समस्या को सही ढंग से मॉडल करने के लिए, एक गणितज्ञ को प्रतिभूतियों के पोर्टफोलियो सिद्धांत के क्षेत्र में कुछ बुनियादी ज्ञान होना आवश्यक है।

आइए हम समस्या के ज्ञात मापदंडों को निरूपित करें:

एन- प्रतिभूतियों के प्रकार की संख्या; ए जे- जे-वें प्रकार की सुरक्षा से वास्तविक लाभ (यादृच्छिक संख्या); - अपेक्षित लाभ जे-वें प्रकार की सुरक्षा।

आइए हम अज्ञात मात्राओं को निरूपित करें :

य जे - प्रकार की प्रतिभूतियों की खरीद के लिए आवंटित धनराशि जे.

हमारे नोटेशन का उपयोग करते हुए, संपूर्ण निवेशित राशि को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है . मॉडल को सरल बनाने के लिए, हम नई मात्राएँ प्रस्तुत करते हैं

.

इस प्रकार, एक्स मैं- यह इस प्रकार की प्रतिभूतियों के अधिग्रहण के लिए आवंटित सभी निधियों का हिस्सा है जे.

यह स्पष्ट है कि

समस्या की स्थितियों से यह स्पष्ट है कि निवेशक का लक्ष्य न्यूनतम जोखिम के साथ एक निश्चित स्तर का लाभ प्राप्त करना है। संक्षेप में, जोखिम अपेक्षित लाभ से वास्तविक लाभ के विचलन का एक माप है। इसलिए, इसे प्रकार i और प्रकार j की प्रतिभूतियों के लिए मुनाफे के सहप्रसरण से पहचाना जा सकता है। यहाँ M गणितीय अपेक्षा का पदनाम है।

मूल समस्या का गणितीय मॉडल इस प्रकार है:

प्रतिबंधों के तहत

,
,
,
. (1.8)

हमने प्रतिभूति पोर्टफोलियो की संरचना को अनुकूलित करने के लिए प्रसिद्ध मार्कोविट्ज़ मॉडल प्राप्त किया है।

मॉडल (1.8.) स्टोकेस्टिक प्रकार (यादृच्छिकता के तत्वों के साथ) के अनुकूलन मॉडल का एक उदाहरण है।

उदाहरण 1.5.4.

एक व्यापार संगठन के आधार पर न्यूनतम वर्गीकरण उत्पादों में से एक के एन प्रकार होते हैं। किसी दिए गए उत्पाद का केवल एक ही प्रकार स्टोर में लाया जाना चाहिए। आपको उत्पाद का वह प्रकार चुनना होगा जो स्टोर में लाने के लिए उपयुक्त हो। यदि उत्पाद प्रकार जेमांग में होगी, स्टोर इसकी बिक्री से लाभ कमाएगा आर जे, यदि यह मांग में नहीं है - हानि क्यू जे .

मॉडलिंग से पहले हम कुछ मूलभूत बिंदुओं पर चर्चा करेंगे। इस समस्या में, निर्णय निर्माता (डीएम) स्टोर है। हालाँकि, परिणाम (अधिकतम लाभ) न केवल उसके निर्णय पर निर्भर करता है, बल्कि इस पर भी निर्भर करता है कि क्या आयातित उत्पाद मांग में होगा, अर्थात क्या इसे आबादी द्वारा खरीदा जाएगा (यह माना जाता है कि किसी कारण से स्टोर नहीं करता है) जनसंख्या की मांग का अध्ययन करने का अवसर है)। इसलिए, जनसंख्या को अपनी प्राथमिकताओं के अनुसार उत्पाद के प्रकार का चयन करते हुए दूसरे निर्णय निर्माता के रूप में माना जा सकता है। किसी स्टोर के लिए आबादी का सबसे खराब "निर्णय" है: "आयातित सामान मांग में नहीं हैं।" इसलिए, सभी संभावित स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, स्टोर को जनसंख्या को अपना "दुश्मन" (सशर्त रूप से) मानने की जरूरत है, विपरीत लक्ष्य का पीछा करते हुए - स्टोर के लाभ को कम करने के लिए।

इसलिए, दो प्रतिभागियों द्वारा विरोधी लक्ष्यों का पीछा करने से हमें निर्णय लेने में समस्या होती है। आइए हम स्पष्ट करें कि स्टोर बिक्री के लिए सामान के प्रकारों में से एक को चुनता है (इसमें कोई निर्णय विकल्प नहीं हैं), और जनसंख्या उस प्रकार के सामान में से एक को चुनती है जिसकी सबसे अधिक मांग है ( एनसमाधान विकल्प)।

गणितीय मॉडल संकलित करने के लिए, आइए एक तालिका बनाएं एनलाइनें और एनकॉलम (कुल एन 2 सेल) और सहमत हैं कि पंक्तियाँ स्टोर की पसंद के अनुरूप हैं, और कॉलम जनसंख्या की पसंद के अनुरूप हैं। फिर सेल (आई, जे)उस स्थिति से मेल खाता है जब स्टोर चुनता है मैंवें प्रकार का उत्पाद ( मैं-वीं पंक्ति), और जनसंख्या चुनती है जेवें प्रकार का उत्पाद ( जे-वां कॉलम)। प्रत्येक सेल में हम स्टोर के दृष्टिकोण से संबंधित स्थिति का संख्यात्मक मूल्यांकन (लाभ या हानि) लिखते हैं:

नंबर क्यू मैंस्टोर के नुकसान को दर्शाने के लिए माइनस के साथ लिखा गया; प्रत्येक स्थिति में, जनसंख्या का "लाभ" (सशर्त रूप से) स्टोर के "लाभ" के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है।

इस मॉडल का संक्षिप्त रूप है:

(1.9)

हमें तथाकथित मैट्रिक्स गेम मिला। मॉडल (1.9.) गेम निर्णय लेने वाले मॉडल का एक उदाहरण है।

सोवेटोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल (अव्य। मापांक - माप) मूल वस्तु के लिए एक स्थानापन्न वस्तु है, जो मूल के कुछ गुणों के अध्ययन को सुनिश्चित करता है।" (पृ. 6) "मॉडल ऑब्जेक्ट का उपयोग करके मूल ऑब्जेक्ट के सबसे महत्वपूर्ण गुणों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए एक ऑब्जेक्ट को दूसरे के साथ बदलना मॉडलिंग कहलाता है।" (पृ. 6) "गणितीय मॉडलिंग से हम किसी दिए गए वास्तविक वस्तु के साथ एक निश्चित गणितीय वस्तु, जिसे गणितीय मॉडल कहा जाता है, के साथ पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया को समझते हैं, और इस मॉडल का अध्ययन करते हैं, जो हमें वास्तविक की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है विचाराधीन वस्तु. गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु के अध्ययन के कार्यों और इस समस्या को हल करने की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है।

अंत में, गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा: "एक समीकरण एक विचार व्यक्त करता है».

मॉडल वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण प्रयुक्त गणितीय उपकरणों के वर्गीकरण पर आधारित होता है। अक्सर इसका निर्माण द्विभाजन के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विभाजन के लोकप्रिय सेटों में से एक:

और इसी तरह। प्रत्येक निर्मित मॉडल रैखिक या अरैखिक, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक है... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार: एक संबंध में केंद्रित (मापदंडों के संदर्भ में), दूसरे में - वितरित मॉडल, आदि।

वस्तु को प्रस्तुत करने के तरीके के अनुसार वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरण के साथ-साथ, मॉडल किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके में भिन्न होते हैं:

• संरचनात्मक या कार्यात्मक मॉडल

संरचनात्मक मॉडलकिसी वस्तु को उसकी अपनी संरचना और कार्यप्रणाली के साथ एक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत करना। कार्यात्मक मॉडलऐसे अभ्यावेदन का उपयोग न करें और केवल वस्तु के बाह्य रूप से अनुमानित व्यवहार (कार्यप्रणाली) को प्रतिबिंबित करें। उनकी चरम अभिव्यक्ति में, उन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "कहा जाता है" ग्रे बॉक्स».

सामग्री और औपचारिक मॉडल

लगभग सभी लेखक इस प्रक्रिया का वर्णन करते हैं गणितीय मॉडलिंग, इंगित करें कि पहले एक विशेष आदर्श संरचना का निर्माण किया जाता है, सामग्री मॉडल. यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इसे आदर्श वस्तु कहते हैं संकल्पनात्मक निदर्श , सट्टा मॉडलया प्रीमॉडल. इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण कहा जाता है औपचारिक मॉडलया किसी दिए गए सार्थक मॉडल (पूर्व-मॉडल) की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त एक गणितीय मॉडल। एक सार्थक मॉडल का निर्माण तैयार किए गए आदर्शीकरणों के एक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसे यांत्रिकी में, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर निकाय, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडियाइत्यादि रेडीमेड दे दो संरचनात्मक तत्वसार्थक मॉडलिंग के लिए. हालाँकि, ज्ञान के उन क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से पूर्ण औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं (भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान और अधिकांश अन्य क्षेत्रों में अत्याधुनिक), सार्थक मॉडल का निर्माण नाटकीय रूप से अधिक कठिन हो जाता है।

मॉडलों का सामग्री वर्गीकरण

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना एक बार और हमेशा के लिए सिद्ध नहीं की जा सकती। रिचर्ड फेनमैन ने इसे बहुत स्पष्ट रूप से तैयार किया:

“हमारे पास हमेशा किसी सिद्धांत को अस्वीकार करने का अवसर होता है, लेकिन ध्यान दें कि हम कभी भी यह साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। आइए मान लें कि आपने एक सफल परिकल्पना प्रस्तुत की है, गणना की है कि यह कहाँ ले जाती है, और पाया कि इसके सभी परिणामों की प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई है। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा मतलब यह है कि आप इसका खंडन करने में असफल रहे।”

यदि पहले प्रकार का मॉडल बनाया जाता है, तो इसका मतलब है कि इसे अस्थायी रूप से सत्य के रूप में स्वीकार किया जाता है और व्यक्ति अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालाँकि, यह शोध का कोई बिंदु नहीं हो सकता है, बल्कि केवल एक अस्थायी विराम हो सकता है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

प्रकार 2: घटनात्मक मॉडल (हम ऐसा व्यवहार करते हैं जैसे…)

एक घटनात्मक मॉडल में एक घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालाँकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त करने वाला नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा इसकी पर्याप्त पुष्टि नहीं की जा सकती है, या वस्तु के बारे में मौजूदा सिद्धांतों और संचित ज्ञान के साथ अच्छी तरह से फिट नहीं बैठता है। इसीलिए घटनात्मक मॉडलअस्थायी समाधान की स्थिति है. ऐसा माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रहनी चाहिए। उदाहरण के लिए, पीयरल्स में दूसरे प्रकार के रूप में कैलोरी मॉडल और प्राथमिक कणों का क्वार्क मॉडल शामिल है।

अनुसंधान में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है, और ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत घटनात्मक मॉडल की पुष्टि करते हैं और उन्हें एक परिकल्पना की स्थिति में बढ़ावा दिया जाता है। इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार के मॉडल-परिकल्पनाओं के साथ संघर्ष में आ सकता है, और उन्हें दूसरे प्रकार में अनुवादित किया जा सकता है। इस प्रकार, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे परिकल्पनाओं की श्रेणी में जा रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उभरा, लेकिन इतिहास के साथ यह पहला प्रकार बन गया। लेकिन ईथर मॉडल ने टाइप 1 से टाइप 2 तक अपना रास्ता बना लिया है, और अब विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण विभिन्न रूपों में आता है। पीयरल्स ने मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरणों की पहचान की है।

टाइप 3: सन्निकटन (हम किसी चीज़ को बहुत बड़ा या बहुत छोटा मानते हैं)

यदि ऐसे समीकरण बनाना संभव है जो अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर की मदद से भी हल किया जा सकता है। इस मामले में एक सामान्य तकनीक सन्निकटन (प्रकार 3 मॉडल) का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल. समीकरणों को रैखिक समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। एक मानक उदाहरण ओम का नियम है।

यहां टाइप 8 आता है, जो जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में व्यापक है।

टाइप 8: फ़ीचर प्रदर्शन (मुख्य बात संभावना की आंतरिक स्थिरता दिखाना है)

ये भी विचार प्रयोग हैंकाल्पनिक संस्थाओं के साथ जो यह प्रदर्शित कर रही हैं कल्पित घटनाबुनियादी सिद्धांतों के अनुरूप और आंतरिक रूप से सुसंगत। यह टाइप 7 के मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

इन प्रयोगों में से सबसे प्रसिद्ध प्रयोग लोबचेव्स्की की ज्यामिति है (लोबचेव्स्की ने इसे "काल्पनिक ज्यामिति" कहा था)। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक कंपन, ऑटोवेव्स आदि के औपचारिक गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। क्वांटम यांत्रिकी की असंगतता को प्रदर्शित करने के लिए आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास की कल्पना टाइप 7 मॉडल के रूप में की गई थी। पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह अंततः टाइप 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

उदाहरण

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक स्प्रिंग है, जो एक सिरे पर लगा हुआ है, और द्रव्यमान का एक द्रव्यमान, स्प्रिंग के मुक्त सिरे से जुड़ा हुआ है। हम मान लेंगे कि भार केवल स्प्रिंग अक्ष की दिशा में आगे बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए, गति रॉड के साथ होती है)। आइए इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाएं। हम सिस्टम की स्थिति का वर्णन भार के केंद्र से उसकी संतुलन स्थिति तक की दूरी के आधार पर करेंगे। आइए हम स्प्रिंग और लोड के उपयोग की परस्पर क्रिया का वर्णन करें हुक का नियम() और फिर इसे विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

जहां का अर्थ समय के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न है:।

परिणामी समीकरण विचाराधीन भौतिक प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन करता है। इस मॉडल को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण के अनुसार, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने कई धारणाएँ बनाईं (बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति, घर्षण की अनुपस्थिति, विचलन की लघुता आदि के बारे में), जो वास्तव में पूरी नहीं हो सकती हैं।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर टाइप 4 मॉडल होता है सरलीकरण("स्पष्टता के लिए हम कुछ विवरण छोड़ देंगे"), क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं (उदाहरण के लिए, अपव्यय) छोड़ दी गई हैं। कुछ अनुमान के अनुसार (मान लीजिए, जबकि संतुलन से भार का विचलन छोटा है, कम घर्षण के साथ, बहुत अधिक समय के लिए नहीं और कुछ अन्य शर्तों के अधीन है), ऐसा मॉडल एक वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का काफी अच्छी तरह से वर्णन करता है, क्योंकि छोड़े गए कारक हैं उसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। हालाँकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखकर मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। इससे प्रयोज्यता के व्यापक (हालांकि फिर से सीमित) दायरे के साथ एक नया मॉडल सामने आएगा।

हालाँकि, मॉडल को परिष्कृत करते समय, इसके गणितीय अनुसंधान की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार बना सकती है। अक्सर, एक सरल मॉडल अधिक जटिल (और, औपचारिक रूप से, "अधिक सही") की तुलना में वास्तविक प्रणाली की बेहतर और गहरी खोज की अनुमति देता है।

यदि हम हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडल को भौतिकी से दूर की वस्तुओं पर लागू करते हैं, तो इसकी मूल स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू करते समय, इसे संभवतः प्रकार 6 के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए समानता("आइए केवल कुछ विशेषताओं को ध्यान में रखें")।

कठोर और नरम मॉडल

हार्मोनिक ऑसिलेटर तथाकथित "हार्ड" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। इसकी प्रयोज्यता के मुद्दे को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि जिन कारकों की हमने उपेक्षा की है वे कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "नरम" मॉडल का अध्ययन करना आवश्यक है, जो "कठोर" के एक छोटे से गड़बड़ी से प्राप्त होता है। इसे, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

यहां कुछ फ़ंक्शन दिए गए हैं जो घर्षण बल या इसके खिंचाव की डिग्री पर स्प्रिंग कठोरता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रख सकते हैं - कुछ छोटे पैरामीटर। फ़ंक्शन का स्पष्ट रूप जिसमें हम हैं इस पलदिलचस्पी नहीं है। यदि हम यह साबित करते हैं कि नरम मॉडल का व्यवहार कठोर मॉडल के व्यवहार से मौलिक रूप से भिन्न नहीं है (स्पष्ट प्रकार के परेशान करने वाले कारकों की परवाह किए बिना, यदि वे काफी छोटे हैं), तो समस्या कठिन मॉडल का अध्ययन करने तक कम हो जाएगी। अन्यथा, कठोर मॉडल के अध्ययन से प्राप्त परिणामों के अनुप्रयोग के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के समीकरण का समाधान फॉर्म के कार्य हैं, अर्थात, एक स्थिर आयाम के साथ दोलन। क्या इससे यह पता चलता है कि एक वास्तविक थरथरानवाला एक स्थिर आयाम के साथ अनिश्चित काल तक दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण (हमेशा एक वास्तविक प्रणाली में मौजूद) के साथ एक प्रणाली पर विचार करने पर, हमें नम दोलन मिलते हैं। व्यवस्था का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि कोई प्रणाली छोटी-छोटी गड़बड़ियों के बावजूद अपना गुणात्मक व्यवहार बनाए रखती है, तो उसे संरचनात्मक रूप से स्थिर कहा जाता है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक संरचनात्मक रूप से अस्थिर (गैर-रफ) प्रणाली का एक उदाहरण है। हालाँकि, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय में प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडलों की बहुमुखी प्रतिभा

आमतौर पर सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल होते हैं महत्वपूर्ण संपत्ति बहुमुखी प्रतिभा: मौलिक रूप से भिन्न वास्तविक घटनाओं का वर्णन एक ही गणितीय मॉडल द्वारा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर न केवल स्प्रिंग पर भार के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का भी वर्णन करता है, जो अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति की होती हैं: पेंडुलम के छोटे दोलन, ए-आकार के बर्तन में तरल के स्तर में उतार-चढ़ाव , या एक ऑसिलेटरी सर्किट में वर्तमान ताकत में बदलाव। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करके, हम तुरंत इसके द्वारा वर्णित घटनाओं के एक पूरे वर्ग का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न खंडों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों की समरूपता है जिसने लुडविग वॉन बर्टलान्फ़ी को "सिस्टम का सामान्य सिद्धांत" बनाने के लिए प्रेरित किया।

गणितीय मॉडलिंग की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समस्याएं

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, आपको मॉडल की गई वस्तु का एक मूल आरेख तैयार करने की आवश्यकता है, इसे इस विज्ञान के आदर्शीकरण के ढांचे के भीतर पुन: पेश करें। इस प्रकार, एक ट्रेन कार विभिन्न सामग्रियों से प्लेटों और अधिक जटिल निकायों की एक प्रणाली में बदल जाती है, प्रत्येक सामग्री को इसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनत्व, लोचदार मॉड्यूल, मानक ताकत विशेषताओं) के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद समीकरण तैयार किए जाते हैं, और रास्ते में कुछ विवरणों को महत्वहीन मानकर खारिज कर दिया जाता है, गणना की जाती है, माप के साथ तुलना की जाती है, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, इत्यादि। हालाँकि, गणितीय मॉडलिंग तकनीकों को विकसित करने के लिए, इस प्रक्रिया को इसके मुख्य घटकों में विभाजित करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

सीधा कार्य: मॉडल की संरचना और उसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य वस्तु के बारे में उपयोगी ज्ञान निकालने के लिए मॉडल का अध्ययन करना है। पुल कितना स्थैतिक भार सहन करेगा? यह गतिशील भार पर कैसे प्रतिक्रिया करेगा (उदाहरण के लिए, सैनिकों की एक कंपनी के मार्च पर, या विभिन्न गति से ट्रेन के गुजरने पर), विमान कैसे काबू पाएगा ध्वनि अवरोधक्या यह स्पंदन से अलग हो जाएगा - ये प्रत्यक्ष समस्या के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही सीधी समस्या निर्धारित करने (सही प्रश्न पूछने) के लिए विशेष कौशल की आवश्यकता होती है। यदि सही प्रश्न नहीं पूछे गए, तो एक पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। तो, 1879 में, ग्रेट ब्रिटेन में ताई नदी पर एक धातु पुल ढह गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल का एक मॉडल बनाया, गणना की कि इसमें पेलोड की कार्रवाई के लिए 20 गुना सुरक्षा कारक है, लेकिन हवाओं के बारे में भूल गए उन स्थानों पर लगातार बह रही है। और डेढ़ साल बाद यह ढह गया।

सबसे सरल मामले में (उदाहरण के लिए, एक थरथरानवाला समीकरण), प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के स्पष्ट समाधान को कम करती है।

उलटी समस्या: कई संभावित मॉडल ज्ञात हैं, वस्तु के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल का चयन किया जाना चाहिए। अक्सर, मॉडल की संरचना ज्ञात होती है, और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त जानकारीइसमें अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा, या वस्तु के लिए आवश्यकताएं शामिल हो सकती हैं ( डिजाइन समस्या). व्युत्क्रम समस्या को हल करने की प्रक्रिया की परवाह किए बिना अतिरिक्त डेटा आ सकता है ( निष्क्रिय अवलोकन) या समाधान के दौरान विशेष रूप से नियोजित किसी प्रयोग का परिणाम हो ( सक्रिय निगरानी).

उपलब्ध डेटा के पूर्ण उपयोग के साथ एक व्युत्क्रम समस्या के उत्कृष्ट समाधान के पहले उदाहरणों में से एक आई. न्यूटन द्वारा प्रेक्षित नम दोलनों से घर्षण बलों के पुनर्निर्माण के लिए बनाई गई विधि थी।

एक अन्य उदाहरण गणितीय आँकड़े हैं। इस विज्ञान का कार्य बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के संभाव्य मॉडल बनाने के लिए अवलोकन और प्रयोगात्मक डेटा को रिकॉर्ड करने, वर्णन करने और विश्लेषण करने के तरीकों को विकसित करना है। वे। संभावित मॉडलों का सेट संभाव्य मॉडलों तक ही सीमित है। विशिष्ट कार्यों में, मॉडलों का सेट अधिक सीमित होता है।

कंप्यूटर सिमुलेशन सिस्टम

गणितीय मॉडलिंग का समर्थन करने के लिए, कंप्यूटर गणित प्रणालियाँ विकसित की गई हैं, उदाहरण के लिए, मेपल, मैथमैटिका, मैथकैड, मैटलैब, विज़सिम, आदि। वे आपको सरल और दोनों के औपचारिक और ब्लॉक मॉडल बनाने की अनुमति देते हैं। जटिल प्रक्रियाएँऔर उपकरण तथा सिमुलेशन के दौरान मॉडल पैरामीटरों को आसानी से बदलें। ब्लॉक मॉडलब्लॉकों (अक्सर ग्राफिक) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका सेट और कनेक्शन मॉडल आरेख द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

अतिरिक्त उदाहरण

माल्थस का मॉडल

विकास दर वर्तमान जनसंख्या आकार के समानुपाती होती है। इसे अवकल समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

जहां जन्म दर और मृत्यु दर के बीच अंतर से एक निश्चित पैरामीटर निर्धारित किया जाता है। इस समीकरण का हल एक घातांकीय फलन है। यदि जन्म दर मृत्यु दर () से अधिक हो जाती है, तो जनसंख्या का आकार अनिश्चित काल तक और बहुत तेज़ी से बढ़ता है। स्पष्ट है कि वास्तव में सीमित संसाधनों के कारण ऐसा नहीं हो सकता। जब एक निश्चित महत्वपूर्ण जनसंख्या आकार तक पहुँच जाता है, तो मॉडल पर्याप्त नहीं रह जाता है, क्योंकि यह सीमित संसाधनों को ध्यान में नहीं रखता है। माल्थस मॉडल का परिशोधन एक लॉजिस्टिक मॉडल हो सकता है, जिसे वर्हुल्स्ट अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

"संतुलन" जनसंख्या का आकार कहां है, जिस पर जन्म दर की सटीक क्षतिपूर्ति मृत्यु दर से होती है। ऐसे मॉडल में जनसंख्या का आकार एक संतुलन मूल्य की ओर जाता है, और यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर होता है।

शिकारी-शिकार प्रणाली

मान लीजिए कि एक निश्चित क्षेत्र में दो प्रकार के जानवर रहते हैं: खरगोश (पौधे खाने वाले) और लोमड़ी (खरगोश खाने वाले)। चलो खरगोशों की संख्या, लोमड़ियों की संख्या। लोमड़ियों द्वारा खरगोशों के खाने को ध्यान में रखने के लिए आवश्यक संशोधनों के साथ माल्थस मॉडल का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्रणाली पर पहुंचते हैं, जिसका नाम है मॉडल ट्रे - वोल्टेरा:

जब खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होती है तो इस प्रणाली में संतुलन की स्थिति होती है। इस अवस्था से विचलन के परिणामस्वरूप खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव होता है, जो एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के उतार-चढ़ाव के समान होता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर की तरह, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटा सा बदलाव (उदाहरण के लिए, खरगोशों के लिए आवश्यक सीमित संसाधनों को ध्यान में रखते हुए) व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन ला सकता है। उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति स्थिर हो सकती है, और संख्याओं में उतार-चढ़ाव समाप्त हो जाएगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन स्थिति से कोई भी छोटा विचलन विनाशकारी परिणामों को जन्म देगा, यहां तक ​​कि किसी एक प्रजाति के पूर्ण विलुप्त होने तक। वोल्टेरा-लोटका मॉडल इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि इनमें से कौन सा परिदृश्य साकार हो रहा है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

टिप्पणियाँ

1. "वास्तविकता का गणितीय प्रतिनिधित्व" (एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका)
2. नोविक आई. बी., साइबरनेटिक मॉडलिंग के दार्शनिक मुद्दों पर। एम., ज्ञान, 1964.
3. सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2
4. समरस्की ए.ए., मिखाइलोव ए.पी.गणित मॉडलिंग. विचार. तरीके. उदाहरण। - दूसरा संस्करण, रेव। - एम.: फ़िज़मैटलिट, 2001. - आईएसबीएन 5-9221-0120-एक्स
5. मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ
6. सेवोस्त्यानोव, ए.जी. तकनीकी प्रक्रियाओं की मॉडलिंग: पाठ्यपुस्तक / ए.जी. सेवोस्त्यानोव, पी.ए. सेवोस्त्यानोव। – एम.: प्रकाश और खाद्य उद्योग, 1984. - 344 पी।
7. विक्षनरी: गणितीय मॉडल
8. क्लिफ़्सनोट्स.कॉम। पृथ्वी विज्ञान शब्दावली. 20 सितम्बर 2010
9. मल्टीस्केल फेनोमेना, स्प्रिंगर, कॉम्प्लेक्सिटी सीरीज़, बर्लिन-हीडलबर्ग-न्यूयॉर्क, 2006 के लिए मॉडल रिडक्शन और मोटे-दाने वाले दृष्टिकोण। XII+562 पीपी। आईएसबीएन 3-540-35885-4
10. “एक सिद्धांत को रैखिक या गैर-रेखीय माना जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस प्रकार के गणितीय उपकरण - रैखिक या गैर-रेखीय - और यह किस प्रकार के रैखिक या गैर-रेखीय गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ...बाद वाले को नकारे बिना। एक आधुनिक भौतिक विज्ञानी, यदि उसे गैर-रैखिकता जैसी महत्वपूर्ण इकाई की परिभाषा को फिर से बनाना है, तो वह संभवतः अलग तरीके से कार्य करेगा, और, दो विपरीतताओं में से अधिक महत्वपूर्ण और व्यापक के रूप में गैर-रैखिकता को प्राथमिकता देते हुए, रैखिकता को "नहीं" के रूप में परिभाषित करेगा। अरैखिकता।" डेनिलोव यू. ए., अरेखीय गतिकी पर व्याख्यान। प्रारंभिक परिचय. श्रृंखला "सिनर्जेटिक्स: अतीत से भविष्य तक।" संस्करण 2. - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 208 पी। आईएसबीएन 5-484-00183-8
11. “सामान्य अंतर समीकरणों की एक सीमित संख्या द्वारा तैयार की गई गतिशील प्रणालियों को केंद्रित या बिंदु प्रणाली कहा जाता है। उन्हें एक परिमित-आयामी चरण स्थान का उपयोग करके वर्णित किया गया है और स्वतंत्रता की डिग्री की एक सीमित संख्या की विशेषता है। विभिन्न परिस्थितियों में एक ही प्रणाली को या तो संकेंद्रित या वितरित माना जा सकता है। वितरित प्रणालियों के गणितीय मॉडल आंशिक अंतर समीकरण, अभिन्न समीकरण या साधारण विलंब समीकरण हैं। एक वितरित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या अनंत है, और इसकी स्थिति निर्धारित करने के लिए अनंत संख्या में डेटा की आवश्यकता होती है। अनिश्चेंको वी.एस., डायनेमिक सिस्टम, सोरोस एजुकेशनल जर्नल, 1997, नंबर 11, पी। 77-84.
12. “सिस्टम एस में अध्ययन की जा रही प्रक्रियाओं की प्रकृति के आधार पर, सभी प्रकार के मॉडलिंग को नियतात्मक और स्टोकेस्टिक, स्थिर और गतिशील, असतत, निरंतर और असतत-निरंतर में विभाजित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडलिंग नियतात्मक प्रक्रियाओं को दर्शाता है, यानी ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें किसी भी यादृच्छिक प्रभाव की अनुपस्थिति मानी जाती है; स्टोकेस्टिक मॉडलिंग संभाव्य प्रक्रियाओं और घटनाओं को दर्शाता है। ... स्थैतिक मॉडलिंग किसी भी समय किसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने का कार्य करती है, और गतिशील मॉडलिंग समय के साथ किसी वस्तु के व्यवहार को दर्शाती है। असतत मॉडलिंग का उपयोग उन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिन्हें क्रमशः असतत माना जाता है, निरंतर मॉडलिंग हमें सिस्टम में निरंतर प्रक्रियाओं को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है, और असतत-निरंतर मॉडलिंग का उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जब वे असतत और निरंतर दोनों प्रक्रियाओं की उपस्थिति को उजागर करना चाहते हैं। ” सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए.आईएसबीएन 5-06-003860-2
13. आमतौर पर, एक गणितीय मॉडल मॉडल की गई वस्तु की संरचना (उपकरण), इस वस्तु के घटकों के गुणों और संबंधों को दर्शाता है जो अनुसंधान के उद्देश्यों के लिए आवश्यक हैं; ऐसे मॉडल को संरचनात्मक कहा जाता है। यदि मॉडल केवल यह दर्शाता है कि वस्तु कैसे कार्य करती है - उदाहरण के लिए, यह बाहरी प्रभावों पर कैसे प्रतिक्रिया करती है - तो इसे कार्यात्मक या, लाक्षणिक रूप से, एक ब्लैक बॉक्स कहा जाता है। संयुक्त मॉडल भी संभव हैं. मायश्किस ए.डी.आईएसबीएन 978-5-484-00953-4
14. "स्पष्ट है, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण प्रथम चरणगणितीय मॉडल का निर्माण या चयन करना, अनौपचारिक चर्चाओं के आधार पर, मॉडलिंग की जा रही वस्तु के बारे में यथासंभव स्पष्ट तस्वीर प्राप्त करना और उसके सार्थक मॉडल को परिष्कृत करना है। आपको इस स्तर पर समय और प्रयास को बर्बाद नहीं करना चाहिए, पूरे अध्ययन की सफलता काफी हद तक इस पर निर्भर करती है। ऐसा एक से अधिक बार हुआ है कि गणितीय समस्या को हल करने पर किया गया महत्वपूर्ण कार्य मामले के इस पक्ष पर अपर्याप्त ध्यान देने के कारण अप्रभावी या यहां तक ​​कि बर्बाद हो गया। मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ, पृ. 35.
15. « सिस्टम के वैचारिक मॉडल का विवरण.सिस्टम मॉडल के निर्माण के इस उपचरण में: ए) वैचारिक मॉडल एम को अमूर्त शब्दों और अवधारणाओं में वर्णित किया गया है; बी) मानक गणितीय योजनाओं का उपयोग करके मॉडल का विवरण दिया गया है; ग) परिकल्पनाओं और धारणाओं को अंततः स्वीकार कर लिया जाता है; घ) मॉडल का निर्माण करते समय वास्तविक प्रक्रियाओं का अनुमान लगाने के लिए प्रक्रिया का चुनाव उचित है। सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2, पृ. 93.
16. ब्लेखमैन आई.आई., मायश्किस ए.डी., पनोव्को एन.जी., अनुप्रयुक्त गणित: विषय, तर्क, दृष्टिकोण की विशेषताएं। यांत्रिकी से उदाहरण के साथ: ट्यूटोरियल. - तीसरा संस्करण, रेव। और अतिरिक्त - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 376 पी। आईएसबीएन 5-484-00163-3, अध्याय 2।

सोवेटोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल (अव्य। मापांक - माप) मूल वस्तु के लिए एक स्थानापन्न वस्तु है, जो मूल के कुछ गुणों के अध्ययन को सुनिश्चित करता है।" (पृ. 6) "मॉडल ऑब्जेक्ट का उपयोग करके मूल ऑब्जेक्ट के सबसे महत्वपूर्ण गुणों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए एक ऑब्जेक्ट को दूसरे के साथ बदलना मॉडलिंग कहलाता है।" (पृ. 6) "गणितीय मॉडलिंग से हम किसी दिए गए वास्तविक वस्तु के साथ एक निश्चित गणितीय वस्तु, जिसे गणितीय मॉडल कहा जाता है, के साथ पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया को समझते हैं, और इस मॉडल का अध्ययन करते हैं, जो हमें वास्तविक की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है विचाराधीन वस्तु. गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु के अध्ययन के कार्यों और इस समस्या को हल करने की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है।

अंत में, गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा: "एक समीकरण एक विचार व्यक्त करता है».

मॉडल वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण प्रयुक्त गणितीय उपकरणों के वर्गीकरण पर आधारित होता है। अक्सर इसका निर्माण द्विभाजन के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विभाजन के लोकप्रिय सेटों में से एक:

और इसी तरह। प्रत्येक निर्मित मॉडल रैखिक या गैर-रैखिक, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक है, ... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार भी संभव हैं: एक संबंध में केंद्रित (मापदंडों के संदर्भ में), दूसरे में वितरित, आदि।

वस्तु को प्रस्तुत करने के तरीके के अनुसार वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरण के साथ-साथ, मॉडल किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके में भिन्न होते हैं:

• संरचनात्मक या कार्यात्मक मॉडल

संरचनात्मक मॉडलकिसी वस्तु को उसकी अपनी संरचना और कार्यप्रणाली के साथ एक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत करना। कार्यात्मक मॉडलऐसे अभ्यावेदन का उपयोग न करें और केवल वस्तु के बाह्य रूप से अनुमानित व्यवहार (कार्यप्रणाली) को प्रतिबिंबित करें। उनकी चरम अभिव्यक्ति में, उन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "कहा जाता है" ग्रे बॉक्स».

सामग्री और औपचारिक मॉडल

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का वर्णन करने वाले लगभग सभी लेखक संकेत करते हैं कि पहले एक विशेष आदर्श संरचना का निर्माण किया जाता है, सामग्री मॉडल. यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इसे आदर्श वस्तु कहते हैं संकल्पनात्मक निदर्श , सट्टा मॉडलया प्रीमॉडल. इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण कहा जाता है औपचारिक मॉडलया किसी दिए गए सार्थक मॉडल (पूर्व-मॉडल) की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त एक गणितीय मॉडल। एक सार्थक मॉडल का निर्माण तैयार आदर्शीकरणों के एक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसे यांत्रिकी में, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर निकाय, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडिया इत्यादि सार्थक मॉडलिंग के लिए तैयार संरचनात्मक तत्व प्रदान करते हैं। हालाँकि, ज्ञान के उन क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से पूर्ण औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं (भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान और अधिकांश अन्य क्षेत्रों में अत्याधुनिक), सार्थक मॉडल का निर्माण नाटकीय रूप से अधिक कठिन हो जाता है।

मॉडलों का सामग्री वर्गीकरण

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना एक बार और हमेशा के लिए सिद्ध नहीं की जा सकती। रिचर्ड फेनमैन ने इसे बहुत स्पष्ट रूप से तैयार किया:

“हमारे पास हमेशा किसी सिद्धांत को अस्वीकार करने का अवसर होता है, लेकिन ध्यान दें कि हम कभी भी यह साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। आइए मान लें कि आपने एक सफल परिकल्पना प्रस्तुत की है, गणना की है कि यह कहाँ ले जाती है, और पाया कि इसके सभी परिणामों की प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई है। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा मतलब यह है कि आप इसका खंडन करने में असफल रहे।”

यदि पहले प्रकार का मॉडल बनाया जाता है, तो इसका मतलब है कि इसे अस्थायी रूप से सत्य के रूप में स्वीकार किया जाता है और व्यक्ति अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालाँकि, यह शोध का कोई बिंदु नहीं हो सकता है, बल्कि केवल एक अस्थायी विराम हो सकता है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

प्रकार 2: घटनात्मक मॉडल (हम ऐसा व्यवहार करते हैं जैसे…)

एक घटनात्मक मॉडल में एक घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालाँकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त करने वाला नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा इसकी पर्याप्त पुष्टि नहीं की जा सकती है, या वस्तु के बारे में मौजूदा सिद्धांतों और संचित ज्ञान के साथ अच्छी तरह से फिट नहीं बैठता है। इसलिए, घटनात्मक मॉडल को अस्थायी समाधान का दर्जा प्राप्त है। ऐसा माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रहनी चाहिए। उदाहरण के लिए, पीयरल्स में दूसरे प्रकार के रूप में कैलोरी मॉडल और प्राथमिक कणों का क्वार्क मॉडल शामिल है।

अनुसंधान में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है, और ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत घटनात्मक मॉडल की पुष्टि करते हैं और उन्हें एक परिकल्पना की स्थिति में बढ़ावा दिया जाता है। इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार के मॉडल-परिकल्पनाओं के साथ संघर्ष में आ सकता है, और उन्हें दूसरे प्रकार में अनुवादित किया जा सकता है। इस प्रकार, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे परिकल्पनाओं की श्रेणी में जा रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उभरा, लेकिन इतिहास के साथ यह पहला प्रकार बन गया। लेकिन ईथर मॉडल ने टाइप 1 से टाइप 2 तक अपना रास्ता बना लिया है, और अब विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण विभिन्न रूपों में आता है। पीयरल्स ने मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरणों की पहचान की है।

टाइप 3: सन्निकटन (हम किसी चीज़ को बहुत बड़ा या बहुत छोटा मानते हैं)

यदि ऐसे समीकरण बनाना संभव है जो अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर की मदद से भी हल किया जा सकता है। इस मामले में एक सामान्य तकनीक सन्निकटन (प्रकार 3 मॉडल) का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल. समीकरणों को रैखिक समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। एक मानक उदाहरण ओम का नियम है।

यहां टाइप 8 आता है, जो जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में व्यापक है।

टाइप 8: फ़ीचर प्रदर्शन (मुख्य बात संभावना की आंतरिक स्थिरता दिखाना है)

ये भी विचार प्रयोग हैंकाल्पनिक संस्थाओं के साथ जो यह प्रदर्शित कर रही हैं कल्पित घटनाबुनियादी सिद्धांतों के अनुरूप और आंतरिक रूप से सुसंगत। यह टाइप 7 के मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

इन प्रयोगों में से सबसे प्रसिद्ध प्रयोग लोबचेव्स्की की ज्यामिति है (लोबचेव्स्की ने इसे "काल्पनिक ज्यामिति" कहा था)। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक कंपन, ऑटोवेव्स आदि के औपचारिक गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। क्वांटम यांत्रिकी की असंगतता को प्रदर्शित करने के लिए आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास की कल्पना टाइप 7 मॉडल के रूप में की गई थी। पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह अंततः टाइप 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

उदाहरण

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक स्प्रिंग है, जो एक सिरे पर लगा हुआ है, और द्रव्यमान का एक द्रव्यमान, स्प्रिंग के मुक्त सिरे से जुड़ा हुआ है। हम मान लेंगे कि भार केवल स्प्रिंग अक्ष की दिशा में आगे बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए, गति रॉड के साथ होती है)। आइए इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाएं। हम सिस्टम की स्थिति का वर्णन भार के केंद्र से उसकी संतुलन स्थिति तक की दूरी के आधार पर करेंगे। आइए हम स्प्रिंग और लोड के उपयोग की परस्पर क्रिया का वर्णन करें हुक का नियम() और फिर इसे विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

जहां का अर्थ समय के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न है:।

परिणामी समीकरण विचाराधीन भौतिक प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन करता है। इस मॉडल को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण के अनुसार, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने कई धारणाएँ बनाईं (बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति, घर्षण की अनुपस्थिति, विचलन की लघुता आदि के बारे में), जो वास्तव में पूरी नहीं हो सकती हैं।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर टाइप 4 मॉडल होता है सरलीकरण("स्पष्टता के लिए हम कुछ विवरण छोड़ देंगे"), क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं (उदाहरण के लिए, अपव्यय) छोड़ दी गई हैं। कुछ अनुमान के अनुसार (मान लीजिए, जबकि संतुलन से भार का विचलन छोटा है, कम घर्षण के साथ, बहुत अधिक समय के लिए नहीं और कुछ अन्य शर्तों के अधीन है), ऐसा मॉडल एक वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का काफी अच्छी तरह से वर्णन करता है, क्योंकि छोड़े गए कारक हैं उसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। हालाँकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखकर मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। इससे प्रयोज्यता के व्यापक (हालांकि फिर से सीमित) दायरे के साथ एक नया मॉडल सामने आएगा।

हालाँकि, मॉडल को परिष्कृत करते समय, इसके गणितीय अनुसंधान की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार बना सकती है। अक्सर, एक सरल मॉडल अधिक जटिल (और, औपचारिक रूप से, "अधिक सही") की तुलना में वास्तविक प्रणाली की बेहतर और गहरी खोज की अनुमति देता है।

यदि हम हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडल को भौतिकी से दूर की वस्तुओं पर लागू करते हैं, तो इसकी मूल स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू करते समय, इसे संभवतः प्रकार 6 के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए समानता("आइए केवल कुछ विशेषताओं को ध्यान में रखें")।

कठोर और नरम मॉडल

हार्मोनिक ऑसिलेटर तथाकथित "हार्ड" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। इसकी प्रयोज्यता के मुद्दे को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि जिन कारकों की हमने उपेक्षा की है वे कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "नरम" मॉडल का अध्ययन करना आवश्यक है, जो "कठोर" के एक छोटे से गड़बड़ी से प्राप्त होता है। इसे, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

यहां कुछ फ़ंक्शन दिए गए हैं जो घर्षण बल या इसके खिंचाव की डिग्री पर स्प्रिंग कठोरता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रख सकते हैं - कुछ छोटे पैरामीटर। फिलहाल हमें फ़ंक्शन के स्पष्ट रूप में कोई दिलचस्पी नहीं है। यदि हम यह साबित करते हैं कि नरम मॉडल का व्यवहार कठोर मॉडल के व्यवहार से मौलिक रूप से भिन्न नहीं है (स्पष्ट प्रकार के परेशान करने वाले कारकों की परवाह किए बिना, यदि वे काफी छोटे हैं), तो समस्या कठिन मॉडल का अध्ययन करने तक कम हो जाएगी। अन्यथा, कठोर मॉडल के अध्ययन से प्राप्त परिणामों के अनुप्रयोग के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के समीकरण का समाधान फॉर्म के कार्य हैं, अर्थात, एक स्थिर आयाम के साथ दोलन। क्या इससे यह पता चलता है कि एक वास्तविक थरथरानवाला एक स्थिर आयाम के साथ अनिश्चित काल तक दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण (हमेशा एक वास्तविक प्रणाली में मौजूद) के साथ एक प्रणाली पर विचार करने पर, हमें नम दोलन मिलते हैं। व्यवस्था का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि कोई प्रणाली छोटी-छोटी गड़बड़ियों के बावजूद अपना गुणात्मक व्यवहार बनाए रखती है, तो उसे संरचनात्मक रूप से स्थिर कहा जाता है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक संरचनात्मक रूप से अस्थिर (गैर-रफ) प्रणाली का एक उदाहरण है। हालाँकि, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय में प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडलों की बहुमुखी प्रतिभा

सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल में आमतौर पर महत्वपूर्ण गुण होते हैं बहुमुखी प्रतिभा: मौलिक रूप से भिन्न वास्तविक घटनाओं का वर्णन एक ही गणितीय मॉडल द्वारा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर न केवल स्प्रिंग पर भार के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का भी वर्णन करता है, जो अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति की होती हैं: पेंडुलम के छोटे दोलन, ए-आकार के बर्तन में तरल के स्तर में उतार-चढ़ाव , या एक ऑसिलेटरी सर्किट में वर्तमान ताकत में बदलाव। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करके, हम तुरंत इसके द्वारा वर्णित घटनाओं के एक पूरे वर्ग का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न खंडों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों की समरूपता है जिसने लुडविग वॉन बर्टलान्फ़ी को "सिस्टम का सामान्य सिद्धांत" बनाने के लिए प्रेरित किया।

गणितीय मॉडलिंग की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समस्याएं

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, आपको मॉडल की गई वस्तु का एक मूल आरेख तैयार करने की आवश्यकता है, इसे इस विज्ञान के आदर्शीकरण के ढांचे के भीतर पुन: पेश करें। इस प्रकार, एक ट्रेन कार विभिन्न सामग्रियों से प्लेटों और अधिक जटिल निकायों की एक प्रणाली में बदल जाती है, प्रत्येक सामग्री को इसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनत्व, लोचदार मॉड्यूल, मानक ताकत विशेषताओं) के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद समीकरण तैयार किए जाते हैं, और रास्ते में कुछ विवरणों को महत्वहीन मानकर खारिज कर दिया जाता है, गणना की जाती है, माप के साथ तुलना की जाती है, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, इत्यादि। हालाँकि, गणितीय मॉडलिंग तकनीकों को विकसित करने के लिए, इस प्रक्रिया को इसके मुख्य घटकों में विभाजित करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

सीधा कार्य: मॉडल की संरचना और उसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य वस्तु के बारे में उपयोगी ज्ञान निकालने के लिए मॉडल का अध्ययन करना है। पुल कितना स्थैतिक भार सहन करेगा? यह गतिशील भार पर कैसे प्रतिक्रिया करेगा (उदाहरण के लिए, सैनिकों की एक कंपनी के मार्च पर, या विभिन्न गति से ट्रेन के गुजरने पर), विमान ध्वनि अवरोध को कैसे पार करेगा, क्या यह फड़फड़ाहट से अलग हो जाएगा - ये प्रत्यक्ष समस्या के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही सीधी समस्या निर्धारित करने (सही प्रश्न पूछने) के लिए विशेष कौशल की आवश्यकता होती है। यदि सही प्रश्न नहीं पूछे गए, तो एक पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। तो, 1879 में, ग्रेट ब्रिटेन में ताई नदी पर एक धातु पुल ढह गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल का एक मॉडल बनाया, गणना की कि इसमें पेलोड की कार्रवाई के लिए 20 गुना सुरक्षा कारक है, लेकिन हवाओं के बारे में भूल गए उन स्थानों पर लगातार बह रही है। और डेढ़ साल बाद यह ढह गया।

सबसे सरल मामले में (उदाहरण के लिए, एक थरथरानवाला समीकरण), प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के स्पष्ट समाधान को कम करती है।

उलटी समस्या: कई संभावित मॉडल ज्ञात हैं, वस्तु के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल का चयन किया जाना चाहिए। अक्सर, मॉडल की संरचना ज्ञात होती है, और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त जानकारी में अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा, या वस्तु के लिए आवश्यकताएं शामिल हो सकती हैं ( डिजाइन समस्या). व्युत्क्रम समस्या को हल करने की प्रक्रिया की परवाह किए बिना अतिरिक्त डेटा आ सकता है ( निष्क्रिय अवलोकन) या समाधान के दौरान विशेष रूप से नियोजित किसी प्रयोग का परिणाम हो ( सक्रिय निगरानी).

उपलब्ध डेटा के पूर्ण उपयोग के साथ एक व्युत्क्रम समस्या के उत्कृष्ट समाधान के पहले उदाहरणों में से एक आई. न्यूटन द्वारा प्रेक्षित नम दोलनों से घर्षण बलों के पुनर्निर्माण के लिए बनाई गई विधि थी।

एक अन्य उदाहरण गणितीय आँकड़े हैं। इस विज्ञान का कार्य बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के संभाव्य मॉडल बनाने के लिए अवलोकन और प्रयोगात्मक डेटा को रिकॉर्ड करने, वर्णन करने और विश्लेषण करने के तरीकों को विकसित करना है। वे। संभावित मॉडलों का सेट संभाव्य मॉडलों तक ही सीमित है। विशिष्ट कार्यों में, मॉडलों का सेट अधिक सीमित होता है।

कंप्यूटर सिमुलेशन सिस्टम

गणितीय मॉडलिंग का समर्थन करने के लिए, कंप्यूटर गणित प्रणालियाँ विकसित की गई हैं, उदाहरण के लिए, मेपल, मैथमेटिका, मैथकैड, मैटलैब, विस्सिम, आदि। वे आपको सरल और जटिल दोनों प्रक्रियाओं और उपकरणों के औपचारिक और ब्लॉक मॉडल बनाने की अनुमति देते हैं और प्रक्रिया के दौरान मॉडल मापदंडों को आसानी से बदलते हैं। मॉडलिंग. ब्लॉक मॉडलब्लॉकों (अक्सर ग्राफिक) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका सेट और कनेक्शन मॉडल आरेख द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

अतिरिक्त उदाहरण

माल्थस का मॉडल

विकास दर वर्तमान जनसंख्या आकार के समानुपाती होती है। इसे अवकल समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

जहां जन्म दर और मृत्यु दर के बीच अंतर से एक निश्चित पैरामीटर निर्धारित किया जाता है। इस समीकरण का हल एक घातांकीय फलन है। यदि जन्म दर मृत्यु दर () से अधिक हो जाती है, तो जनसंख्या का आकार अनिश्चित काल तक और बहुत तेज़ी से बढ़ता है। स्पष्ट है कि वास्तव में सीमित संसाधनों के कारण ऐसा नहीं हो सकता। जब एक निश्चित महत्वपूर्ण जनसंख्या आकार तक पहुँच जाता है, तो मॉडल पर्याप्त नहीं रह जाता है, क्योंकि यह सीमित संसाधनों को ध्यान में नहीं रखता है। माल्थस मॉडल का परिशोधन एक लॉजिस्टिक मॉडल हो सकता है, जिसे वर्हुल्स्ट अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

"संतुलन" जनसंख्या का आकार कहां है, जिस पर जन्म दर की सटीक क्षतिपूर्ति मृत्यु दर से होती है। ऐसे मॉडल में जनसंख्या का आकार एक संतुलन मूल्य की ओर जाता है, और यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर होता है।

शिकारी-शिकार प्रणाली

मान लीजिए कि एक निश्चित क्षेत्र में दो प्रकार के जानवर रहते हैं: खरगोश (पौधे खाने वाले) और लोमड़ी (खरगोश खाने वाले)। चलो खरगोशों की संख्या, लोमड़ियों की संख्या। लोमड़ियों द्वारा खरगोशों के खाने को ध्यान में रखने के लिए आवश्यक संशोधनों के साथ माल्थस मॉडल का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्रणाली पर पहुंचते हैं, जिसका नाम है मॉडल ट्रे - वोल्टेरा:

जब खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होती है तो इस प्रणाली में संतुलन की स्थिति होती है। इस अवस्था से विचलन के परिणामस्वरूप खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव होता है, जो एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के उतार-चढ़ाव के समान होता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर की तरह, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटा सा बदलाव (उदाहरण के लिए, खरगोशों के लिए आवश्यक सीमित संसाधनों को ध्यान में रखते हुए) व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन ला सकता है। उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति स्थिर हो सकती है, और संख्याओं में उतार-चढ़ाव समाप्त हो जाएगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन स्थिति से कोई भी छोटा विचलन विनाशकारी परिणामों को जन्म देगा, यहां तक ​​कि किसी एक प्रजाति के पूर्ण विलुप्त होने तक। वोल्टेरा-लोटका मॉडल इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि इनमें से कौन सा परिदृश्य साकार हो रहा है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

टिप्पणियाँ

1. "वास्तविकता का गणितीय प्रतिनिधित्व" (एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका)
2. नोविक आई. बी., साइबरनेटिक मॉडलिंग के दार्शनिक मुद्दों पर। एम., ज्ञान, 1964.
3. सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2
4. समरस्की ए.ए., मिखाइलोव ए.पी.गणित मॉडलिंग. विचार. तरीके. उदाहरण। - दूसरा संस्करण, रेव। - एम.: फ़िज़मैटलिट, 2001. - आईएसबीएन 5-9221-0120-एक्स
5. मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ
6. सेवोस्त्यानोव, ए.जी. तकनीकी प्रक्रियाओं की मॉडलिंग: पाठ्यपुस्तक / ए.जी. सेवोस्त्यानोव, पी.ए. सेवोस्त्यानोव। - एम.: प्रकाश और खाद्य उद्योग, 1984. - 344 पी।
7. विक्षनरी: गणितीय मॉडल
8. क्लिफ़्सनोट्स.कॉम। पृथ्वी विज्ञान शब्दावली. 20 सितम्बर 2010
9. मल्टीस्केल फेनोमेना, स्प्रिंगर, कॉम्प्लेक्सिटी सीरीज़, बर्लिन-हीडलबर्ग-न्यूयॉर्क, 2006 के लिए मॉडल रिडक्शन और मोटे-दाने वाले दृष्टिकोण। XII+562 पीपी। आईएसबीएन 3-540-35885-4
10. “एक सिद्धांत को रैखिक या गैर-रेखीय माना जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस प्रकार के गणितीय उपकरण - रैखिक या गैर-रेखीय - और यह किस प्रकार के रैखिक या गैर-रेखीय गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ...बाद वाले को नकारे बिना। एक आधुनिक भौतिक विज्ञानी, यदि उसे गैर-रैखिकता जैसी महत्वपूर्ण इकाई की परिभाषा को फिर से बनाना है, तो वह संभवतः अलग तरीके से कार्य करेगा, और, दो विपरीतताओं में से अधिक महत्वपूर्ण और व्यापक के रूप में गैर-रैखिकता को प्राथमिकता देते हुए, रैखिकता को "नहीं" के रूप में परिभाषित करेगा। अरैखिकता।" डेनिलोव यू. ए., अरेखीय गतिकी पर व्याख्यान। प्रारंभिक परिचय. श्रृंखला "सिनर्जेटिक्स: अतीत से भविष्य तक।" संस्करण 2. - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 208 पी। आईएसबीएन 5-484-00183-8
11. “सामान्य अंतर समीकरणों की एक सीमित संख्या द्वारा तैयार की गई गतिशील प्रणालियों को केंद्रित या बिंदु प्रणाली कहा जाता है। उन्हें एक परिमित-आयामी चरण स्थान का उपयोग करके वर्णित किया गया है और स्वतंत्रता की डिग्री की एक सीमित संख्या की विशेषता है। विभिन्न परिस्थितियों में एक ही प्रणाली को या तो संकेंद्रित या वितरित माना जा सकता है। वितरित प्रणालियों के गणितीय मॉडल आंशिक अंतर समीकरण, अभिन्न समीकरण या साधारण विलंब समीकरण हैं। एक वितरित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या अनंत है, और इसकी स्थिति निर्धारित करने के लिए अनंत संख्या में डेटा की आवश्यकता होती है। अनिश्चेंको वी.एस., डायनेमिक सिस्टम, सोरोस एजुकेशनल जर्नल, 1997, नंबर 11, पी। 77-84.
12. “सिस्टम एस में अध्ययन की जा रही प्रक्रियाओं की प्रकृति के आधार पर, सभी प्रकार के मॉडलिंग को नियतात्मक और स्टोकेस्टिक, स्थिर और गतिशील, असतत, निरंतर और असतत-निरंतर में विभाजित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडलिंग नियतात्मक प्रक्रियाओं को दर्शाता है, यानी ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें किसी भी यादृच्छिक प्रभाव की अनुपस्थिति मानी जाती है; स्टोकेस्टिक मॉडलिंग संभाव्य प्रक्रियाओं और घटनाओं को दर्शाता है। ... स्थैतिक मॉडलिंग किसी भी समय किसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने का कार्य करती है, और गतिशील मॉडलिंग समय के साथ किसी वस्तु के व्यवहार को दर्शाती है। असतत मॉडलिंग का उपयोग उन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिन्हें क्रमशः असतत माना जाता है, निरंतर मॉडलिंग हमें सिस्टम में निरंतर प्रक्रियाओं को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है, और असतत-निरंतर मॉडलिंग का उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जब वे असतत और निरंतर दोनों प्रक्रियाओं की उपस्थिति को उजागर करना चाहते हैं। ” सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए.आईएसबीएन 5-06-003860-2
13. आमतौर पर, एक गणितीय मॉडल मॉडल की गई वस्तु की संरचना (उपकरण), इस वस्तु के घटकों के गुणों और संबंधों को दर्शाता है जो अनुसंधान के उद्देश्यों के लिए आवश्यक हैं; ऐसे मॉडल को संरचनात्मक कहा जाता है। यदि मॉडल केवल यह दर्शाता है कि वस्तु कैसे कार्य करती है - उदाहरण के लिए, यह बाहरी प्रभावों पर कैसे प्रतिक्रिया करती है - तो इसे कार्यात्मक या, लाक्षणिक रूप से, एक ब्लैक बॉक्स कहा जाता है। संयुक्त मॉडल भी संभव हैं. मायश्किस ए.डी.आईएसबीएन 978-5-484-00953-4
14. “गणितीय मॉडल के निर्माण या चयन का स्पष्ट, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण प्रारंभिक चरण, अनौपचारिक चर्चाओं के आधार पर, मॉडलिंग की जा रही वस्तु के बारे में यथासंभव स्पष्ट तस्वीर प्राप्त करना और उसके सार्थक मॉडल को परिष्कृत करना है। आपको इस स्तर पर समय और प्रयास को बर्बाद नहीं करना चाहिए, पूरे अध्ययन की सफलता काफी हद तक इस पर निर्भर करती है। ऐसा एक से अधिक बार हुआ है कि गणितीय समस्या को हल करने पर किया गया महत्वपूर्ण कार्य मामले के इस पक्ष पर अपर्याप्त ध्यान देने के कारण अप्रभावी या यहां तक ​​कि बर्बाद हो गया। मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ, पृ. 35.
15. « सिस्टम के वैचारिक मॉडल का विवरण.सिस्टम मॉडल के निर्माण के इस उपचरण में: ए) वैचारिक मॉडल एम को अमूर्त शब्दों और अवधारणाओं में वर्णित किया गया है; बी) मानक गणितीय योजनाओं का उपयोग करके मॉडल का विवरण दिया गया है; ग) परिकल्पनाओं और धारणाओं को अंततः स्वीकार कर लिया जाता है; घ) मॉडल का निर्माण करते समय वास्तविक प्रक्रियाओं का अनुमान लगाने के लिए प्रक्रिया का चुनाव उचित है। सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2, पृ. 93.
16. ब्लेखमैन आई.आई., मायश्किस ए.डी., पनोव्को एन.जी., अनुप्रयुक्त गणित: विषय, तर्क, दृष्टिकोण की विशेषताएं। यांत्रिकी से उदाहरणों के साथ: पाठ्यपुस्तक। - तीसरा संस्करण, रेव। और अतिरिक्त - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 376 पी। आईएसबीएन 5-484-00163-3, अध्याय 2।

गणितीय मॉडल

गणित का मॉडल - अनुमानित ओपीमॉडलिंग ऑब्जेक्ट का अर्थ, का उपयोग करके व्यक्त किया गयागणितीय प्रतीकवाद का.

गणितीय मॉडल कई शताब्दियों पहले गणित के साथ-साथ सामने आए थे। कंप्यूटर के आगमन ने गणितीय मॉडलिंग के विकास को भारी प्रोत्साहन दिया। कंप्यूटर के उपयोग ने कई गणितीय मॉडलों का विश्लेषण करना और उन्हें व्यवहार में लागू करना संभव बना दिया है जो पहले विश्लेषणात्मक अनुसंधान के लिए उपयुक्त नहीं थे। गणितीय रूप से कंप्यूटर पर कार्यान्वित किया गयाआकाश मॉडलबुलाया कंप्यूटर गणितीय मॉडल, ए कंप्यूटर मॉडल का उपयोग करके लक्षित गणना करनाबुलाया कम्प्यूटेशनल प्रयोग.

कंप्यूटर गणितीय विज्ञान के चरणविभाजनचित्र में दिखाया गया है। पहलाअवस्था - मॉडलिंग लक्ष्यों को परिभाषित करना।ये लक्ष्य भिन्न हो सकते हैं:

1. एक विशिष्ट वस्तु कैसे काम करती है, उसकी संरचना क्या है, उसके मूल गुण, विकास और अंतःक्रिया के नियम क्या हैं, यह समझने के लिए एक मॉडल की आवश्यकता होती है
   बाहरी दुनिया के साथ (समझ);
2. किसी वस्तु (या प्रक्रिया) को प्रबंधित करना और निर्धारित करना सीखने के लिए एक मॉडल की आवश्यकता होती है सर्वोत्तम तरीकेदिए गए लक्ष्यों और मानदंडों के साथ प्रबंधन (प्रबंधन);
3. वस्तु (पूर्वानुमान) पर दिए गए तरीकों और प्रभाव के रूपों के कार्यान्वयन के प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष परिणामों की भविष्यवाणी करने के लिए मॉडल की आवश्यकता है।

एक पूरी तरह से अलग क्षेत्र से एक उदाहरण: व्यक्तियों की दो प्रजातियों की आबादी जो स्थिर संख्या के साथ शांतिपूर्वक सह-अस्तित्व में थी और एक सामान्य खाद्य आपूर्ति थी, "अचानक" उनकी संख्या में तेजी से बदलाव शुरू हो गया। और यहां गणितीय मॉडलिंग (कुछ हद तक विश्वसनीयता के साथ) कारण (या) स्थापित करने की अनुमति देती है कम से कमएक निश्चित परिकल्पना का खंडन करें)।

किसी वस्तु के प्रबंधन के लिए एक अवधारणा विकसित करना मॉडलिंग का एक और संभावित लक्ष्य है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि उड़ान सुरक्षित और आर्थिक रूप से सबसे अधिक लाभदायक है, मुझे कौन सा विमान उड़ान मोड चुनना चाहिए? सैकड़ों निर्माण कार्यों का शेड्यूल कैसे करें बड़ी वस्तुताकि यह जल्द से जल्द ख़त्म हो लघु अवधि? ऐसी कई समस्याएँ अर्थशास्त्रियों, डिज़ाइनरों और वैज्ञानिकों के सामने व्यवस्थित रूप से उत्पन्न होती हैं।

अंत में, किसी वस्तु पर कुछ प्रभावों के परिणामों की भविष्यवाणी करना सरल भौतिक प्रणालियों में अपेक्षाकृत सरल मामला हो सकता है, और जैविक, आर्थिक और सामाजिक प्रणालियों में - व्यवहार्यता के कगार पर बेहद जटिल हो सकता है। यदि किसी पतली छड़ में उसके घटक मिश्र धातु में परिवर्तन के कारण गर्मी वितरण के तरीके में परिवर्तन के बारे में प्रश्न का उत्तर देना अपेक्षाकृत आसान है, तो एक बड़े के निर्माण के पर्यावरणीय और जलवायु संबंधी परिणामों का पता लगाना (भविष्यवाणी करना) अपेक्षाकृत आसान है। पनबिजली स्टेशन या सामाजिक परिणामकर कानून में बदलाव अतुलनीय रूप से अधिक कठिन हैं। शायद यहाँ भी, गणितीय मॉडलिंग विधियाँ भविष्य में अधिक महत्वपूर्ण सहायता प्रदान करेंगी।

दूसरा चरण:मॉडल के इनपुट और आउटपुट मापदंडों का निर्धारण; आउटपुट पर उनके परिवर्तनों के प्रभाव के महत्व की डिग्री के अनुसार इनपुट मापदंडों का विभाजन। इस प्रक्रिया को रैंकिंग, या रैंक द्वारा पृथक्करण कहा जाता है (देखें)। "औपचारिकीकरणtion और मॉडलिंग").

तीसरा चरण:गणितीय मॉडल का निर्माण. इस स्तर पर, मॉडल के एक अमूर्त सूत्रीकरण से एक ऐसे सूत्रीकरण में संक्रमण होता है जिसमें एक विशिष्ट गणितीय प्रतिनिधित्व होता है। एक गणितीय मॉडल समीकरण, समीकरणों की प्रणाली, असमानताओं की प्रणाली, अंतर समीकरण या ऐसे समीकरणों की प्रणाली आदि है।

चौथा चरण:गणितीय मॉडल का अध्ययन करने के लिए एक विधि का चयन करना। अक्सर, संख्यात्मक तरीकों का उपयोग यहां किया जाता है, जो प्रोग्रामिंग के लिए उपयुक्त होते हैं। एक नियम के रूप में, एक ही समस्या को हल करने के लिए कई विधियाँ उपयुक्त होती हैं, जो सटीकता, स्थिरता आदि में भिन्न होती हैं। से सही चुनावविधि अक्सर संपूर्ण मॉडलिंग प्रक्रिया की सफलता पर निर्भर करती है।

पांचवां चरण:एक एल्गोरिदम विकसित करना, कंप्यूटर प्रोग्राम को संकलित करना और डीबग करना औपचारिक रूप से एक कठिन प्रक्रिया है। प्रोग्रामिंग भाषाओं में, कई पेशेवर गणितीय मॉडलिंग के लिए फोरट्रान को पसंद करते हैं: परंपराओं के कारण और कंपाइलरों की नायाब दक्षता (गणना कार्य के लिए) और इसमें लिखे गए विशाल, सावधानीपूर्वक डिबग किए गए और अनुकूलित पुस्तकालयों की उपलब्धता के कारण। मानक कार्यक्रमगणितीय तरीके. कार्य की प्रकृति और प्रोग्रामर के झुकाव के आधार पर पास्कल, बेसिक, सी जैसी भाषाएँ भी उपयोग में हैं।

छठा चरण:कार्यक्रम परीक्षण. प्रोग्राम के संचालन का परीक्षण पहले से ज्ञात उत्तर के साथ एक परीक्षण समस्या पर किया जाता है। यह केवल एक परीक्षण प्रक्रिया की शुरुआत है जिसका औपचारिक रूप से व्यापक तरीके से वर्णन करना कठिन है। आमतौर पर, परीक्षण तब समाप्त होता है जब उपयोगकर्ता, अपनी व्यावसायिक विशेषताओं के आधार पर, प्रोग्राम को सही मानता है।

सातवाँ चरण:वास्तविक कम्प्यूटेशनल प्रयोग, जिसके दौरान यह निर्धारित किया जाता है कि मॉडल किसी वास्तविक वस्तु (प्रक्रिया) से मेल खाता है या नहीं। मॉडल वास्तविक प्रक्रिया के लिए पर्याप्त रूप से पर्याप्त है यदि कंप्यूटर पर प्राप्त प्रक्रिया की कुछ विशेषताएं सटीकता की एक निश्चित डिग्री के साथ प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त विशेषताओं के साथ मेल खाती हैं। यदि मॉडल वास्तविक प्रक्रिया के अनुरूप नहीं है, तो हम पिछले चरणों में से एक पर लौट आते हैं।

गणितीय मॉडल का वर्गीकरण

गणितीय मॉडलों का वर्गीकरण विभिन्न सिद्धांतों पर आधारित हो सकता है। आप मॉडलों को विज्ञान की शाखाओं (भौतिकी, जीव विज्ञान, समाजशास्त्र, आदि में गणितीय मॉडल) के आधार पर वर्गीकृत कर सकते हैं। उपयोग किए गए गणितीय उपकरण के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है (साधारण अंतर समीकरणों, आंशिक अंतर समीकरणों, स्टोकेस्टिक तरीकों, असतत बीजगणितीय परिवर्तनों आदि के उपयोग के आधार पर मॉडल)। अंततः, पर आधारित सामान्य कार्यविभिन्न विज्ञानों में मॉडलिंग, गणितीय तंत्र की परवाह किए बिना, सबसे प्राकृतिक वर्गीकरण है:

• वर्णनात्मक (वर्णनात्मक) मॉडल;
• अनुकूलन मॉडल;
• बहुमानदंड मॉडल;
• खेल मॉडल.

आइये इसे उदाहरणों से समझाते हैं।

वर्णनात्मक (वर्णनात्मक) मॉडल. उदाहरण के लिए, किसी धूमकेतु के आक्रमण की गति का मॉडलिंग करना सौर परिवार, इसके उड़ान पथ, पृथ्वी से यह कितनी दूरी से गुजरेगा, आदि की भविष्यवाणी करने के उद्देश्य से बनाया गया है। इस मामले में, मॉडलिंग लक्ष्य प्रकृति में वर्णनात्मक हैं, क्योंकि धूमकेतु की गति को प्रभावित करने या इसमें कुछ भी बदलने का कोई तरीका नहीं है।

अनुकूलन मॉडलउन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है जो किसी दिए गए लक्ष्य को प्राप्त करने के प्रयास में प्रभावित हो सकती हैं। इस मामले में, मॉडल में एक या अधिक पैरामीटर शामिल होते हैं जिन्हें प्रभावित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी अन्न भंडार में थर्मल शासन को बदलते समय, आप एक ऐसे शासन को चुनने का लक्ष्य निर्धारित कर सकते हैं जो अधिकतम अनाज सुरक्षा प्राप्त करेगा, अर्थात। भंडारण प्रक्रिया को अनुकूलित करें।

बहुमानदंड मॉडल. किसी प्रक्रिया को एक साथ कई मापदंडों पर अनुकूलित करना अक्सर आवश्यक होता है, और लक्ष्य काफी विरोधाभासी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, भोजन की कीमतों और किसी व्यक्ति की भोजन की आवश्यकता को जानते हुए, लोगों के बड़े समूहों (सेना, बच्चों के ग्रीष्मकालीन शिविर, आदि) के लिए शारीरिक रूप से सही ढंग से और साथ ही, सस्ते में पोषण की व्यवस्था करना आवश्यक है। संभव। यह स्पष्ट है कि ये लक्ष्य बिल्कुल मेल नहीं खाते हैं, अर्थात्। मॉडलिंग करते समय, कई मानदंडों का उपयोग किया जाएगा, जिनके बीच संतुलन की तलाश की जानी चाहिए।

खेल मॉडलन केवल से संबंधित हो सकता है कंप्यूटर गेम, लेकिन बहुत गंभीर चीजों के लिए भी। उदाहरण के लिए, लड़ाई से पहले, एक कमांडर को, यदि विरोधी सेना के बारे में अधूरी जानकारी है, तो उसे एक योजना विकसित करनी होगी: दुश्मन की संभावित प्रतिक्रिया को ध्यान में रखते हुए, किस क्रम में कुछ इकाइयों को लड़ाई में शामिल किया जाए, आदि। आधुनिक गणित की एक विशेष शाखा है - गेम थ्योरी - जो अधूरी जानकारी की स्थिति में निर्णय लेने के तरीकों का अध्ययन करती है।

स्कूल के कंप्यूटर विज्ञान पाठ्यक्रम में, छात्रों को बुनियादी पाठ्यक्रम के हिस्से के रूप में कंप्यूटर गणितीय मॉडलिंग की प्रारंभिक समझ प्राप्त होती है। हाई स्कूल में, गणितीय मॉडलिंग का भौतिकी और गणित कक्षाओं के लिए सामान्य शिक्षा पाठ्यक्रम के साथ-साथ एक विशेष वैकल्पिक पाठ्यक्रम के हिस्से के रूप में गहराई से अध्ययन किया जा सकता है।

हाई स्कूल में कंप्यूटर गणितीय मॉडलिंग सिखाने के मुख्य रूप व्याख्यान, प्रयोगशाला और परीक्षण कक्षाएं हैं। आमतौर पर, प्रत्येक नए मॉडल को बनाने और उसका अध्ययन करने की तैयारी के काम में 3-4 पाठ लगते हैं। सामग्री की प्रस्तुति के दौरान, समस्याएं निर्धारित की जाती हैं जिन्हें भविष्य में छात्रों द्वारा स्वतंत्र रूप से हल किया जाना चाहिए, और उन्हें हल करने के तरीकों को सामान्य शब्दों में रेखांकित किया गया है। प्रश्न तैयार किए जाते हैं, जिनके उत्तर कार्यों को पूरा करते समय प्राप्त किए जाने चाहिए। सूचित अतिरिक्त साहित्य, जो आपको कार्यों को अधिक सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए सहायक जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देता है।

नई सामग्री का अध्ययन करते समय कक्षाओं के आयोजन का रूप आमतौर पर व्याख्यान होता है। अगले मॉडल की चर्चा पूरी करने के बाद छात्रउनके पास आगे के काम के लिए आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी और कार्यों का एक सेट है। किसी कार्य को पूरा करने की तैयारी में, छात्र एक उपयुक्त समाधान विधि चुनते हैं और कुछ प्रसिद्ध निजी समाधान का उपयोग करके विकसित कार्यक्रम का परीक्षण करते हैं। कार्यों को पूरा करते समय संभावित कठिनाइयों के मामले में, परामर्श दिया जाता है, और साहित्यिक स्रोतों में इन अनुभागों का अधिक विस्तार से अध्ययन करने का प्रस्ताव दिया जाता है।

कंप्यूटर मॉडलिंग सिखाने के व्यावहारिक भाग के लिए सबसे उपयुक्त प्रोजेक्ट विधि है। यह कार्य छात्र के लिए एक शैक्षिक परियोजना के रूप में तैयार किया गया है और मुख्य सहित कई पाठों में पूरा किया गया है संगठनात्मक स्वरूपइसमें कंप्यूटर प्रयोगशाला का काम शामिल है। शैक्षिक परियोजनाओं की पद्धति का उपयोग करके शिक्षण मॉडलिंग को लागू किया जा सकता है अलग - अलग स्तर. पहली परियोजना को पूरा करने की प्रक्रिया की एक समस्याग्रस्त प्रस्तुति है, जिसका नेतृत्व शिक्षक करता है। दूसरा एक शिक्षक के मार्गदर्शन में छात्रों द्वारा परियोजना का कार्यान्वयन है। तीसरा छात्रों के लिए स्वतंत्र रूप से एक शैक्षिक अनुसंधान परियोजना को पूरा करना है।

कार्य के परिणामों को संख्यात्मक रूप में, ग्राफ़ और आरेख के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यदि संभव हो, तो प्रक्रिया को कंप्यूटर स्क्रीन पर डायनामिक्स में प्रस्तुत किया जाता है। गणना पूरी होने और परिणाम प्राप्त होने पर, उनका विश्लेषण किया जाता है, सिद्धांत से ज्ञात तथ्यों की तुलना की जाती है, विश्वसनीयता की पुष्टि की जाती है और एक सार्थक व्याख्या की जाती है, जो बाद में एक लिखित रिपोर्ट में परिलक्षित होती है।

यदि परिणाम छात्र और शिक्षक को संतुष्ट करते हैं, तो कार्य गिनतापूरा हो गया है, और इसका अंतिम चरण एक रिपोर्ट की तैयारी है। रिपोर्ट में अध्ययन के तहत विषय पर संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी, समस्या का गणितीय सूत्रीकरण, एक समाधान एल्गोरिदम और उसका औचित्य, एक कंप्यूटर प्रोग्राम, कार्यक्रम के परिणाम, परिणामों और निष्कर्षों का विश्लेषण और संदर्भों की एक सूची शामिल है।

जब सभी रिपोर्ट संकलित हो जाती हैं, तो छात्र अपनी रिपोर्ट प्रस्तुत करते हैं लघु संदेशकिए गए कार्य के बारे में, उनके प्रोजेक्ट का बचाव करें। यह है प्रभावी रूपपरियोजना को कक्षा तक ले जाने वाले समूह की रिपोर्ट, जिसमें समस्या को स्थापित करना, एक औपचारिक मॉडल बनाना, मॉडल के साथ काम करने के तरीकों का चयन करना, कंप्यूटर पर मॉडल को लागू करना, तैयार मॉडल के साथ काम करना, परिणामों की व्याख्या करना, पूर्वानुमान लगाना शामिल है। नतीजतन, छात्रों को दो ग्रेड प्राप्त हो सकते हैं: पहला - परियोजना के विस्तार और इसकी रक्षा की सफलता के लिए, दूसरा - कार्यक्रम के लिए, इसके एल्गोरिदम, इंटरफ़ेस इत्यादि की इष्टतमता के लिए। सिद्धांत प्रश्नोत्तरी के दौरान छात्रों को ग्रेड भी प्राप्त होते हैं।

एक आवश्यक प्रश्न यह है कि गणितीय मॉडलिंग के लिए स्कूल कंप्यूटर विज्ञान पाठ्यक्रम में कौन से उपकरण का उपयोग किया जाए? मॉडलों का कंप्यूटर कार्यान्वयन किया जा सकता है:

• स्प्रेडशीट प्रोसेसर (आमतौर पर एमएस एक्सेल) का उपयोग करना;
• पारंपरिक प्रोग्रामिंग भाषाओं (पास्कल, बेसिक, आदि) के साथ-साथ उनके आधुनिक संस्करणों (डेल्फ़ी, विज़ुअल) में प्रोग्राम बनाकर
  आवेदन आदि के लिए बुनियादी);
• गणितीय समस्याओं (मैथकैड, आदि) को हल करने के लिए विशेष एप्लिकेशन पैकेजों का उपयोग करना।

बुनियादी विद्यालय स्तर पर, पहली विधि अधिक बेहतर प्रतीत होती है। हालाँकि, में हाई स्कूलजब प्रोग्रामिंग, मॉडलिंग के साथ-साथ, कंप्यूटर विज्ञान में एक प्रमुख विषय है, तो इसे मॉडलिंग टूल के रूप में उपयोग करना वांछनीय है। प्रोग्रामिंग प्रक्रिया के दौरान, गणितीय प्रक्रियाओं का विवरण छात्रों के लिए उपलब्ध हो जाता है; इसके अलावा, उन्हें बस उनमें महारत हासिल करने के लिए मजबूर किया जाता है, और यह गणितीय शिक्षा में भी योगदान देता है। जहां तक ​​विशेष सॉफ्टवेयर पैकेजों के उपयोग का सवाल है, यह अन्य उपकरणों के पूरक के रूप में एक विशेष कंप्यूटर विज्ञान पाठ्यक्रम में उपयुक्त है।

व्यायाम :

• प्रमुख अवधारणाओं का एक आरेख बनाएं।