कंप्यूटर विज्ञान में गणितीय मॉडल बनाने का क्या मतलब है? गणितीय मॉडल की मूल बातें

गणित का मॉडल गणितीय संबंधों की एक प्रणाली है - सूत्र, समीकरण, असमानताएं, आदि, प्रतिबिंबित आवश्यक गुणवस्तु या घटना.

प्रत्येक प्राकृतिक घटना अपनी जटिलता में अनंत है. आइए हम इसे वी.एन. की पुस्तक से लिए गए एक उदाहरण से स्पष्ट करें। ट्रॉस्टनिकोव "मैन एंड इंफॉर्मेशन" (पब्लिशिंग हाउस "नौका", 1970)।

औसत व्यक्ति गणितीय समस्या इस प्रकार तैयार करता है: “एक पत्थर को 200 मीटर की ऊंचाई से गिरने में कितना समय लगेगा?”गणितज्ञ समस्या का अपना संस्करण कुछ इस तरह बनाना शुरू करेगा: "आइए मान लें कि पत्थर शून्य में गिरता है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 9.8 मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड है। फिर..."

- मुझे- "ग्राहक" कह सकता है, - मैं इस सरलीकरण से खुश नहीं हूँ. मैं जानना चाहता हूं कि किसी पत्थर को वास्तविक परिस्थितियों में गिरने में कितना समय लगेगा, न कि किसी अस्तित्वहीन शून्य में।

- अच्छा,- गणितज्ञ सहमत होंगे। - आइए मान लें कि पत्थर का आकार और व्यास गोलाकार है... इसका व्यास लगभग कितना है?

- लगभग पाँच सेंटीमीटर. लेकिन यह बिल्कुल भी गोलाकार नहीं है, बल्कि आयताकार है।

- तब हम मान लेंगे कि वहइसका आकार दीर्घवृत्ताभ जैसा है धुरी शाफ्ट के साथ चार, तीन और तीन सेंटीमीटर और यहगिरता है ताकि अर्ध-प्रमुख अक्ष हर समय लंबवत रहे . आइए वायुदाब को बराबर मानें760 मिमी एचजी , यहाँ से हम वायु घनत्व ज्ञात करते हैं...

यदि "मानवीय" भाषा में समस्या प्रस्तुत करने वाला गणितज्ञ के विचार क्रम में और हस्तक्षेप नहीं करता है, तो गणितज्ञ कुछ समय बाद संख्यात्मक उत्तर देगा। लेकिन "उपभोक्ता" अभी भी आपत्ति कर सकता है: पत्थर वास्तव में बिल्कुल भी दीर्घवृत्ताकार नहीं है, उस स्थान पर और उस समय हवा का दबाव 760 मिमी एचजी के बराबर नहीं था, आदि। गणितज्ञ उसे क्या उत्तर देगा?

वह इसका जवाब देंगे किसी वास्तविक समस्या का सटीक समाधान आम तौर पर असंभव है. इतना ही नहीं पत्थर का आकार, जो वायु प्रतिरोध को प्रभावित करता है, किसी गणितीय समीकरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता; उड़ान में इसका घूमना भी गणित के नियंत्रण से बाहर हैइसकी जटिलता के कारण. आगे, हवा एक समान नहीं है,चूंकि, यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, घनत्व में उतार-चढ़ाव में उतार-चढ़ाव उत्पन्न होता है। यदि हम और गहराई में जाएं तो हमें उस पर विचार करने की आवश्यकता है सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड पर कार्य करता है. यह एक पेंडुलम का भी अनुसरण करता है दीवार घड़ीअपनी गति से पत्थर का प्रक्षेप पथ बदल देता है।

संक्षेप में, यदि हम गंभीरता से किसी वस्तु के व्यवहार का सटीक अध्ययन करना चाहते हैं, तो हमें सबसे पहले ब्रह्मांड में अन्य सभी वस्तुओं की स्थिति और गति को जानना होगा। और यह, बिल्कुल। असंभव ।

सबसे प्रभावी ढंग से, एक गणितीय मॉडल को एक एल्गोरिदमिक मॉडल के रूप में कंप्यूटर पर लागू किया जा सकता है - एक तथाकथित "कम्प्यूटेशनल प्रयोग" (देखें [1], पैराग्राफ 26)।

बेशक, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के परिणाम वास्तविकता के अनुरूप नहीं हो सकते हैं यदि मॉडल वास्तविकता के कुछ महत्वपूर्ण पहलुओं को ध्यान में नहीं रखता है।

इसलिए, किसी समस्या को हल करने के लिए गणितीय मॉडल बनाते समय, आपको यह करना होगा:

1. उन धारणाओं को उजागर करें जिन पर यह आधारित होगी गणित का मॉडल;
2. निर्धारित करें कि प्रारंभिक डेटा और परिणाम क्या माने जाते हैं;
3. परिणामों को मूल डेटा से जोड़ने वाले गणितीय संबंध लिखें।

गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, ऐसे सूत्र ढूंढना हमेशा संभव नहीं होता है जो डेटा के माध्यम से वांछित मात्रा को स्पष्ट रूप से व्यक्त करते हैं। ऐसे मामलों में, सटीकता की अलग-अलग डिग्री के उत्तर प्रदान करने के लिए गणितीय तरीकों का उपयोग किया जाता है। किसी भी घटना का न केवल गणितीय मॉडलिंग है, बल्कि दृश्य-प्राकृतिक मॉडलिंग भी है, जो कंप्यूटर ग्राफिक्स का उपयोग करके इन घटनाओं को प्रदर्शित करके प्रदान किया जाता है, अर्थात। शोधकर्ता के सामने वास्तविक समय में फिल्माया गया एक प्रकार का "कंप्यूटर कार्टून" दिखाया जाता है। यहां विजिबिलिटी बहुत ज्यादा है.

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गणितीय मॉडल - गणितीय अवधारणाओं की भाषा में ठोस वैज्ञानिक ज्ञान में अध्ययन की गई किसी घटना या प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व। इस मामले में, मॉडल की वास्तविक गणितीय विशेषताओं के अध्ययन के माध्यम से अध्ययन के तहत घटना के कई गुण प्राप्त होने की उम्मीद है। एम.एम. का निर्माण अक्सर अध्ययन की जा रही घटनाओं और प्रक्रियाओं के मात्रात्मक विश्लेषण की आवश्यकता से तय होता है, जिसके बिना, बदले में, उनके पाठ्यक्रम के बारे में प्रयोगात्मक रूप से सत्यापन योग्य भविष्यवाणियां करना असंभव है।

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया, एक नियम के रूप में, निम्नलिखित चरणों से गुजरती है। पहले चरण में, भविष्य के एम.एम. के मुख्य मापदंडों के बीच संबंध की पहचान की जाती है। हम मुख्य रूप से अध्ययन के तहत घटनाओं के गुणात्मक विश्लेषण और अनुसंधान की मुख्य वस्तुओं को जोड़ने वाले पैटर्न के निर्माण के बारे में बात कर रहे हैं। इस आधार पर, मात्रात्मक रूप से वर्णित की जा सकने वाली वस्तुओं की पहचान की जाती है। चरण एक काल्पनिक मॉडल के निर्माण के साथ समाप्त होता है, दूसरे शब्दों में, गणितीय अवधारणाओं की भाषा में मॉडल की मुख्य वस्तुओं के बीच संबंधों के बारे में गुणात्मक विचारों की रिकॉर्डिंग, जिसे मात्रात्मक रूप से चित्रित किया जा सकता है।

दूसरे चरण में, उन वास्तविक गणितीय समस्याओं का अध्ययन किया जाता है जिनकी ओर निर्मित काल्पनिक मॉडल ले जाता है। इस स्तर पर मुख्य बात मॉडल के गणितीय विश्लेषण के परिणामस्वरूप अनुभवजन्य रूप से सत्यापन योग्य सैद्धांतिक परिणाम (प्रत्यक्ष समस्या का समाधान) प्राप्त करना है। साथ ही, अक्सर ऐसे मामले भी आते हैं, जब एम.एम. का निर्माण और अध्ययन करने के लिए। ठोस वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में, एक ही गणितीय उपकरण का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण) और एक ही प्रकार की गणितीय समस्याएं उत्पन्न होती हैं, हालांकि प्रत्येक विशिष्ट मामले में बहुत गैर-तुच्छ होती हैं। इसके अलावा, इस स्तर पर, हाई-स्पीड कंप्यूटर (कंप्यूटर) का उपयोग बहुत महत्वपूर्ण हो जाता है, जो समस्याओं के अनुमानित समाधान प्राप्त करना संभव बनाता है, जो अक्सर शुद्ध गणित के ढांचे के भीतर असंभव होता है, पहले से दुर्गम सटीकता की डिग्री के साथ ( कंप्यूटर के उपयोग के बिना)।

तीसरे चरण में निर्मित काल्पनिक एम.एम. की पर्याप्तता की डिग्री की पहचान करने के लिए गतिविधियों की विशेषता है। वे घटनाएँ और प्रक्रियाएँ जिनका अध्ययन करने का इरादा था। अर्थात्, यदि मॉडल के सभी पैरामीटर निर्दिष्ट किए गए हैं, तो शोधकर्ता यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि अवलोकन सटीकता की सीमा के भीतर, उनके परिणाम किस हद तक मॉडल के सैद्धांतिक परिणामों के अनुरूप हैं। अवलोकन संबंधी सटीकता की सीमा से परे विचलन मॉडल की अपर्याप्तता को दर्शाता है। हालाँकि, अक्सर ऐसे मामले होते हैं, जब किसी मॉडल का निर्माण करते समय, उसके कई पैरामीटर बने रहते हैं

अनिश्चित. ऐसी समस्याएं जिनमें मॉडल की पैरामीट्रिक विशेषताओं को इस तरह से स्थापित किया जाता है कि सैद्धांतिक परिणाम, अवलोकन सटीकता की सीमा के भीतर, अनुभवजन्य परीक्षणों के परिणामों के साथ तुलनीय होते हैं, व्युत्क्रम समस्याएं कहलाती हैं।

चौथे चरण में, निर्मित काल्पनिक मॉडल की पर्याप्तता की डिग्री की पहचान और अध्ययन के तहत घटना पर नए प्रयोगात्मक डेटा के उद्भव को ध्यान में रखते हुए, मॉडल का बाद का विश्लेषण और संशोधन होता है। यहां लिया गया निर्णय लागू गणितीय उपकरणों की बिना शर्त अस्वीकृति से लेकर मौलिक रूप से नए वैज्ञानिक सिद्धांत के निर्माण की नींव के रूप में निर्मित मॉडल की स्वीकृति तक भिन्न होता है।

प्रथम एम.एम. प्राचीन विज्ञान में प्रकट हुआ। हाँ, मॉडलिंग के लिए सौर परिवारग्रीक गणितज्ञ और खगोलशास्त्री यूडोक्सस ने प्रत्येक ग्रह को चार गोले दिए, जिनकी गतिविधियों के संयोजन से एक दरियाई घोड़ा बनाया गया - ग्रह की देखी गई गति के समान एक गणितीय वक्र। हालाँकि, यह मॉडल ग्रहों की गति में देखी गई सभी विसंगतियों की व्याख्या नहीं कर सका, बाद में इसे पेर्गा के अपोलोनियस के एपिसाइक्लिक मॉडल द्वारा बदल दिया गया। अंतिम मॉडल का उपयोग हिप्पार्कस द्वारा अपने अध्ययन में किया गया था, और फिर, इसे कुछ संशोधन के अधीन, टॉलेमी द्वारा किया गया था। यह मॉडल, अपने पूर्ववर्तियों की तरह, इस विश्वास पर आधारित था कि ग्रह एक समान गोलाकार गति से गुजरते हैं, जिसके ओवरलैप ने स्पष्ट अनियमितताओं को समझाया। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कोपर्निकन मॉडल केवल गुणात्मक अर्थ में मौलिक रूप से नया था (लेकिन एम.एम. के रूप में नहीं)। और केवल केपलर ने टाइको ब्राहे की टिप्पणियों के आधार पर एक नया एम.एम. बनाया। सौर मंडल, यह साबित करता है कि ग्रह गोलाकार नहीं, बल्कि अण्डाकार कक्षाओं में चलते हैं।

वर्तमान में, सबसे पर्याप्त वे माने जाते हैं जिनका निर्माण यांत्रिक और भौतिक घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया गया है। एम.एम. की पर्याप्तता पर भौतिकी के बाहर, कुछ अपवादों को छोड़कर, कोई भी काफी सावधानी के साथ बोल सकता है। फिर भी, काल्पनिक प्रकृति को ठीक करना, और अक्सर एम.एम. की अपर्याप्तता। ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में, विज्ञान के विकास में उनकी भूमिका को कम नहीं आंका जाना चाहिए। अक्सर ऐसे मामले होते हैं जब ऐसे मॉडल भी जो पर्याप्त से बहुत दूर होते हैं, उन्होंने आगे के शोध को महत्वपूर्ण रूप से व्यवस्थित और प्रेरित किया है, साथ ही गलत निष्कर्ष भी दिए हैं जिनमें सच्चाई के अंश भी शामिल हैं जो इन मॉडलों को विकसित करने में खर्च किए गए प्रयासों को पूरी तरह से उचित ठहराते हैं।

साहित्य:

गणित मॉडलिंग. एम., 1979;

रुज़ाविन जी.आई. वैज्ञानिक ज्ञान का गणितीकरण। एम., 1984;

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दार्शनिक शब्दों का शब्दकोश. प्रोफेसर वी.जी. का वैज्ञानिक संस्करण कुज़नेत्सोवा। एम., इन्फ्रा-एम, 2007, पृ. 310-311.

लेक्चर नोट्स

रेट के अनुसार

"मशीनों और परिवहन प्रणालियों का गणितीय मॉडलिंग"

पाठ्यक्रम गणितीय मॉडलिंग, गणितीय मॉडल के प्रतिनिधित्व के रूप और सिद्धांत से संबंधित मुद्दों की जांच करता है। एक-आयामी अरेखीय प्रणालियों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों पर विचार किया जाता है। कंप्यूटर मॉडलिंग और कम्प्यूटेशनल प्रयोग के मुद्दे शामिल हैं। वैज्ञानिक या औद्योगिक प्रयोगों के परिणामस्वरूप प्राप्त डेटा को संसाधित करने के तरीकों पर विचार किया जाता है; विभिन्न प्रक्रियाओं का अनुसंधान, वस्तुओं, प्रक्रियाओं और प्रणालियों के व्यवहार में पैटर्न की पहचान करना। प्रायोगिक डेटा के प्रक्षेप और सन्निकटन के तरीकों पर विचार किया जाता है। कंप्यूटर मॉडलिंग और नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम के समाधान से संबंधित मुद्दों पर विचार किया जाता है। विशेष रूप से, संख्यात्मक एकीकरण के तरीकों और पहले, दूसरे और उच्च क्रम के सामान्य अंतर समीकरणों के समाधान पर विचार किया जाता है।

व्याख्यान: गणितीय मॉडलिंग। गणितीय मॉडल के प्रतिनिधित्व के रूप और सिद्धांत

व्याख्यान गणितीय मॉडलिंग के सामान्य मुद्दों पर चर्चा करता है। गणितीय मॉडलों का वर्गीकरण दिया गया है।

कंप्यूटर ने हमारे जीवन में मजबूती से प्रवेश कर लिया है, और व्यावहारिक रूप से ऐसा कोई क्षेत्र नहीं है मानवीय गतिविधि, जहां कंप्यूटर का उपयोग नहीं किया जाएगा। नई मशीनें बनाने और उन पर शोध करने की प्रक्रिया में अब कंप्यूटर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है तकनीकी प्रक्रियाएंऔर उनके इष्टतम विकल्पों की खोज कर रहे हैं; आर्थिक समस्याओं को हल करते समय, विभिन्न स्तरों पर योजना और उत्पादन प्रबंधन की समस्याओं को हल करते समय। रॉकेट प्रौद्योगिकी, विमान निर्माण, जहाज निर्माण, साथ ही बांधों, पुलों आदि के डिजाइन में बड़ी वस्तुओं का निर्माण कंप्यूटर के उपयोग के बिना आम तौर पर असंभव है।

लागू समस्याओं को हल करने में कंप्यूटर का उपयोग करने के लिए, सबसे पहले, लागू समस्या को औपचारिक गणितीय भाषा में "अनुवादित" किया जाना चाहिए, अर्थात। किसी वास्तविक वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के लिए उसका गणितीय मॉडल अवश्य बनाया जाना चाहिए।

"मॉडल" शब्द लैटिन मोडस (कॉपी, इमेज, आउटलाइन) से आया है। मॉडलिंग किसी ऑब्जेक्ट ए का किसी अन्य ऑब्जेक्ट बी के साथ प्रतिस्थापन है। प्रतिस्थापित ऑब्जेक्ट ए को मूल या मॉडलिंग ऑब्जेक्ट कहा जाता है, और प्रतिस्थापन बी को मॉडल कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक मॉडल मूल वस्तु का एक स्थानापन्न वस्तु है, जो मूल के कुछ गुणों का अध्ययन प्रदान करता है।

मॉडलिंग का उद्देश्य उन वस्तुओं के बारे में जानकारी प्राप्त करना, संसाधित करना, प्रस्तुत करना और उपयोग करना है जो एक दूसरे के साथ बातचीत करती हैं बाहरी वातावरण; और यहां मॉडल किसी वस्तु के गुणों और व्यवहार के पैटर्न को समझने के साधन के रूप में कार्य करता है।

मॉडलिंग का व्यापक रूप से मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से डिजाइन और प्रबंधन के क्षेत्रों में, जहां प्राप्त जानकारी के आधार पर प्रभावी निर्णय लेने की प्रक्रियाएं विशेष होती हैं।

एक मॉडल हमेशा एक विशिष्ट उद्देश्य के साथ बनाया जाता है, जो प्रभावित करता है कि किसी वस्तुनिष्ठ घटना के कौन से गुण महत्वपूर्ण हैं और कौन से नहीं। मॉडल एक प्रक्षेपण की तरह है वस्तुगत सच्चाईएक निश्चित कोण से. कभी-कभी, लक्ष्यों के आधार पर, आपको वस्तुनिष्ठ वास्तविकता के कई अनुमान मिल सकते हैं जो टकराव में आते हैं। यह, एक नियम के रूप में, जटिल प्रणालियों के लिए विशिष्ट है जिसमें प्रत्येक प्रक्षेपण अनावश्यक लोगों के सेट से एक विशिष्ट उद्देश्य के लिए आवश्यक चीज़ों का चयन करता है।

मॉडलिंग सिद्धांत विज्ञान की एक शाखा है जो मूल वस्तुओं को अन्य मॉडल वस्तुओं के साथ बदलने के आधार पर उनके गुणों का अध्ययन करने के तरीकों का अध्ययन करती है। मॉडलिंग का सिद्धांत समानता के सिद्धांत पर आधारित है। मॉडलिंग करते समय, पूर्ण समानता नहीं होती है और केवल यह सुनिश्चित करने का प्रयास किया जाता है कि मॉडल अध्ययन के तहत वस्तु के कामकाज के पहलू को पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से दर्शाता है। पूर्ण समानता तभी हो सकती है जब एक वस्तु को दूसरी बिल्कुल वैसी ही वस्तु से बदल दिया जाए।

सभी मॉडलों को दो वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. असली,

2. आदर्श.

बदले में, वास्तविक मॉडलों को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

1. पूर्ण पैमाने पर,

2. शारीरिक,

3. गणितीय.

आदर्श मॉडलमें विभाजित किया जा सकता है:

1. दृश्य,

2. प्रतिष्ठित,

3. गणितीय.

वास्तविक पूर्ण-स्तरीय मॉडल वास्तविक वस्तुएँ, प्रक्रियाएँ और प्रणालियाँ हैं जिन पर वैज्ञानिक, तकनीकी और औद्योगिक प्रयोग किए जाते हैं।

वास्तविक भौतिक मॉडल मॉडल, डमी हैं जो पुनरुत्पादन करते हैं भौतिक गुणमूल (गतिज, गतिशील, हाइड्रोलिक, थर्मल, विद्युत, प्रकाश मॉडल)।

वास्तविक गणितीय एनालॉग, संरचनात्मक, ज्यामितीय, ग्राफिक, डिजिटल और साइबरनेटिक मॉडल हैं।

आदर्श दृश्य मॉडल- ये आरेख, मानचित्र, चित्र, ग्राफ़, ग्राफ़, एनालॉग, संरचनात्मक और ज्यामितीय मॉडल हैं।

आदर्श संकेत मॉडल प्रतीक, वर्णमाला, प्रोग्रामिंग भाषाएं, क्रमबद्ध नोटेशन, टोपोलॉजिकल नोटेशन, नेटवर्क प्रतिनिधित्व हैं।

आदर्श गणितीय मॉडल विश्लेषणात्मक, कार्यात्मक, सिमुलेशन और संयुक्त मॉडल हैं।

उपरोक्त वर्गीकरण में, कुछ मॉडल हैं दोहरी व्याख्या(उदाहरण के लिए - एनालॉग)। पूर्ण पैमाने वाले मॉडलों को छोड़कर सभी मॉडलों को मानसिक मॉडलों के एक वर्ग में जोड़ा जा सकता है, क्योंकि वे एक उत्पाद हैं सामान्य सोचव्यक्ति।

आइए हम मॉडलिंग के सबसे सार्वभौमिक प्रकारों में से एक पर ध्यान दें - गणितीय, जो गणितीय संबंधों की एक प्रणाली के साथ सिम्युलेटेड भौतिक प्रक्रिया से मेल खाता है, जिसका समाधान हमें बिना बनाए किसी वस्तु के व्यवहार के बारे में प्रश्न का उत्तर प्राप्त करने की अनुमति देता है। भौतिक मॉडल, जो अक्सर महंगा और अप्रभावी साबित होता है।

गणितीय मॉडलिंग किसी वास्तविक वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली को गणितीय मॉडल से प्रतिस्थापित करके अध्ययन करने का एक साधन है जो कि अधिक सुविधाजनक है प्रायोगिक अनुसंधानकंप्यूटर का उपयोग करना।

गणितीय मॉडल वास्तविक वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों का एक अनुमानित प्रतिनिधित्व है, जो गणितीय शब्दों में व्यक्त किया जाता है और मूल की आवश्यक विशेषताओं को संरक्षित करता है। मात्रात्मक रूप में गणितीय मॉडल, तार्किक और गणितीय निर्माणों का उपयोग करते हुए, किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के मूल गुणों, उसके मापदंडों, आंतरिक और बाहरी कनेक्शन का वर्णन करते हैं।

सामान्य तौर पर, किसी वास्तविक वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के गणितीय मॉडल को कार्यात्मकताओं की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जाता है

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

जहां X इनपुट वेरिएबल्स का वेक्टर है, X= t,

Y - आउटपुट वेरिएबल्स का वेक्टर, Y= t,

जेड - बाहरी प्रभावों का वेक्टर, जेड= टी,

टी - समय समन्वय.

गणितीय मॉडल के निर्माण में कुछ प्रक्रियाओं और घटनाओं के बीच संबंध निर्धारित करना, एक गणितीय उपकरण बनाना शामिल है जो किसी विशेषज्ञ के लिए रुचि की भौतिक मात्राओं और प्रभावित करने वाले कारकों के बीच कुछ प्रक्रियाओं और घटनाओं के बीच संबंध को मात्रात्मक और गुणात्मक रूप से व्यक्त करने की अनुमति देता है। अंतिम परिणाम.

आमतौर पर उनकी संख्या इतनी अधिक होती है कि उनके पूरे सेट को मॉडल में पेश करना असंभव है। गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, शोध कार्य उन कारकों की पहचान करना और उन्हें विचार से बाहर करना है जो अंतिम परिणाम को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करते हैं (गणितीय मॉडल में आमतौर पर वास्तविकता की तुलना में काफी कम संख्या में कारक शामिल होते हैं)। प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर, अंतिम परिणाम को व्यक्त करने वाली मात्राओं और गणितीय मॉडल में पेश किए गए कारकों के बीच संबंध के बारे में परिकल्पनाएं सामने रखी जाती हैं। ऐसा संबंध अक्सर आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणालियों द्वारा व्यक्त किया जाता है (उदाहरण के लिए, ठोस, तरल और गैसों के यांत्रिकी की समस्याओं में, निस्पंदन का सिद्धांत, तापीय चालकता, इलेक्ट्रोस्टैटिक और इलेक्ट्रोडायनामिक क्षेत्रों का सिद्धांत)।

अंतिम लक्ष्ययह चरण एक गणितीय समस्या का सूत्रीकरण है, जिसका समाधान, आवश्यक सटीकता के साथ, विशेषज्ञ के हित के परिणामों को व्यक्त करता है।

गणितीय मॉडल के निरूपण का स्वरूप और सिद्धांत कई कारकों पर निर्भर करते हैं।

निर्माण के सिद्धांतों के आधार पर, गणितीय मॉडल को इसमें विभाजित किया गया है:

1. विश्लेषणात्मक;

2. अनुकरण.

विश्लेषणात्मक मॉडल में, वास्तविक वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों के कामकाज की प्रक्रियाओं को स्पष्ट कार्यात्मक निर्भरता के रूप में लिखा जाता है।

गणितीय समस्या के आधार पर विश्लेषणात्मक मॉडल को प्रकारों में विभाजित किया गया है:

1. समीकरण (बीजगणितीय, पारलौकिक, अवकल, अभिन्न),

2. सन्निकटन समस्याएँ (प्रक्षेप, एक्सट्रपलेशन, संख्यात्मक एकीकरण और विभेदन),

3. अनुकूलन समस्याएं,

4. स्टोकेस्टिक समस्याएं.

हालाँकि, जैसे-जैसे मॉडलिंग ऑब्जेक्ट अधिक जटिल होता जाता है, एक विश्लेषणात्मक मॉडल का निर्माण एक कठिन समस्या में बदल जाता है। फिर शोधकर्ता को सिमुलेशन मॉडलिंग का उपयोग करने के लिए मजबूर किया जाता है।

सिमुलेशन मॉडलिंग में, वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों की कार्यप्रणाली को एल्गोरिदम के एक सेट द्वारा वर्णित किया जाता है। एल्गोरिदम वास्तविक प्राथमिक घटनाओं का अनुकरण करते हैं जो समय के साथ अपनी तार्किक संरचना और अनुक्रम को संरक्षित करते हुए एक प्रक्रिया या प्रणाली बनाते हैं। सिमुलेशन मॉडलिंग, स्रोत डेटा से, समय के कुछ बिंदुओं पर किसी प्रक्रिया या सिस्टम की स्थिति के बारे में जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देता है, लेकिन यहां वस्तुओं, प्रक्रियाओं या सिस्टम के व्यवहार की भविष्यवाणी करना मुश्किल है। हम कह सकते हैं कि सिमुलेशन मॉडल गणितीय मॉडल के साथ कंप्यूटर-आधारित कम्प्यूटेशनल प्रयोग हैं जो वास्तविक वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों के व्यवहार की नकल करते हैं।

अध्ययन की जा रही वास्तविक प्रक्रियाओं और प्रणालियों की प्रकृति के आधार पर, गणितीय मॉडल हो सकते हैं:

1. नियतिवादी,

2. स्टोकेस्टिक।

नियतात्मक मॉडल में, यह माना जाता है कि कोई यादृच्छिक प्रभाव नहीं होते हैं, मॉडल के तत्व (चर, गणितीय कनेक्शन) काफी सटीक रूप से स्थापित होते हैं, और सिस्टम के व्यवहार को सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडल का निर्माण करते समय, बीजीय समीकरण, अभिन्न समीकरण और मैट्रिक्स बीजगणित का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

स्टोकेस्टिक मॉडल अध्ययन के तहत वस्तुओं और प्रणालियों में प्रक्रियाओं की यादृच्छिक प्रकृति को ध्यान में रखता है, जिसे संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के तरीकों द्वारा वर्णित किया गया है।

इनपुट जानकारी के प्रकार के आधार पर, मॉडलों को विभाजित किया गया है:

1. निरंतर,

2. असतत.

यदि जानकारी और पैरामीटर निरंतर हैं, और गणितीय कनेक्शन स्थिर हैं, तो मॉडल निरंतर है। और इसके विपरीत, यदि जानकारी और पैरामीटर अलग-अलग हैं, और कनेक्शन अस्थिर हैं, तो गणितीय मॉडल अलग है।

समय के साथ मॉडलों के व्यवहार के आधार पर, उन्हें इसमें विभाजित किया गया है:

1. स्थिर,

2. गतिशील.

स्थैतिक मॉडल किसी भी समय किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करते हैं। गतिशील मॉडल समय के साथ किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के व्यवहार को दर्शाते हैं।

गणितीय मॉडल और वास्तविक वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के बीच पत्राचार की डिग्री के आधार पर, गणितीय मॉडल को निम्न में विभाजित किया गया है:

1. समरूपी (आकार में समान),

2. समरूपी (आकार में भिन्न)।

एक मॉडल को आइसोमोर्फिक कहा जाता है यदि उसके और वास्तविक वस्तु, प्रक्रिया या सिस्टम के बीच तत्व-दर-तत्व पूर्ण पत्राचार होता है। होमोमोर्फिक - यदि केवल सबसे महत्वपूर्ण के बीच एक पत्राचार है अवयववस्तु और मॉडल.

भविष्य के लिए संक्षिप्त परिभाषाउपरोक्त वर्गीकरण में गणितीय मॉडल के प्रकार के लिए हम निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगे:

प्रथम पत्र:

डी - नियतिवादी,

सी - स्टोकेस्टिक।

दूसरा पत्र:

एन - निरंतर,

डी - असतत.

तीसरा अक्षर:

ए - विश्लेषणात्मक,

और - नकल.

1. यादृच्छिक प्रक्रियाओं का कोई प्रभाव नहीं है (अधिक सटीक रूप से, ध्यान में नहीं रखा गया है), अर्थात। नियतात्मक मॉडल (डी)।

2. सूचना और पैरामीटर निरंतर हैं, अर्थात। मॉडल - सतत (एन),

3. क्रैंक मैकेनिज्म मॉडल की कार्यप्रणाली को नॉनलाइनियर ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के रूप में वर्णित किया गया है, अर्थात। मॉडल - विश्लेषणात्मक (ए)

2. व्याख्यान: गणितीय मॉडल के निर्माण की विशेषताएं

व्याख्यान गणितीय मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया का वर्णन करता है। प्रक्रिया का एक मौखिक एल्गोरिदम दिया गया है.

लागू समस्याओं को हल करने में कंप्यूटर का उपयोग करने के लिए, सबसे पहले, लागू समस्या को औपचारिक गणितीय भाषा में "अनुवादित" किया जाना चाहिए, अर्थात। किसी वास्तविक वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के लिए उसका गणितीय मॉडल अवश्य बनाया जाना चाहिए।

मात्रात्मक रूप में गणितीय मॉडल, तार्किक और गणितीय निर्माणों का उपयोग करते हुए, किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के मूल गुणों, उसके मापदंडों, आंतरिक और बाहरी कनेक्शन का वर्णन करते हैं।

एक गणितीय मॉडल बनाने के लिए आपको चाहिए:

1. किसी वास्तविक वस्तु या प्रक्रिया का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करें;

2. इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों पर प्रकाश डालें;

3. चर परिभाषित करें, अर्थात पैरामीटर जिनके मान वस्तु की मुख्य विशेषताओं और गुणों को प्रभावित करते हैं;

4. तार्किक-गणितीय संबंधों (समीकरण, समानता, असमानता, तार्किक-गणितीय निर्माण) का उपयोग करके चर के मूल्यों पर किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के मूल गुणों की निर्भरता का वर्णन करें;

5. प्रतिबंधों, समीकरणों, समानताओं, असमानताओं, तार्किक और गणितीय निर्माणों का उपयोग करके किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के आंतरिक कनेक्शन को उजागर करें;

6. बाहरी संबंधों की पहचान करें और प्रतिबंधों, समीकरणों, समानताओं, असमानताओं, तार्किक और गणितीय निर्माणों का उपयोग करके उनका वर्णन करें।

गणितीय मॉडलिंग में किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली का अध्ययन करने और उसका गणितीय विवरण तैयार करने के अलावा, इसमें यह भी शामिल है:

1. एक एल्गोरिदम का निर्माण जो किसी वस्तु, प्रक्रिया या सिस्टम के व्यवहार को मॉडल करता है;

2. कम्प्यूटेशनल और पूर्ण पैमाने के प्रयोगों के आधार पर मॉडल और वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली की पर्याप्तता की जाँच करना;

3. मॉडल समायोजन;

4. मॉडल का उपयोग.

अध्ययन के तहत प्रक्रियाओं और प्रणालियों का गणितीय विवरण इस पर निर्भर करता है:

1. एक वास्तविक प्रक्रिया या प्रणाली की प्रकृति और भौतिकी, रसायन विज्ञान, यांत्रिकी, थर्मोडायनामिक्स, हाइड्रोडायनामिक्स, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, प्लास्टिसिटी सिद्धांत, लोच सिद्धांत आदि के नियमों के आधार पर संकलित की जाती है।

2. वास्तविक प्रक्रियाओं और प्रणालियों के अध्ययन और अनुसंधान की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता।

गणितीय मॉडल के चयन के चरण में, निम्नलिखित स्थापित किए जाते हैं: किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली की रैखिकता और गैर-रैखिकता, गतिशीलता या स्थिरता, स्थिरता या गैर-स्थिरता, साथ ही अध्ययन के तहत वस्तु या प्रक्रिया के नियतिवाद की डिग्री। पर गणितीय मॉडलिंगवस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों की विशिष्ट भौतिक प्रकृति से जानबूझकर ध्यान भटकाना और मुख्य रूप से, इन प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाली मात्राओं के बीच मात्रात्मक निर्भरता का अध्ययन करने पर ध्यान केंद्रित करना।

एक गणितीय मॉडल कभी भी विचाराधीन वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के समान नहीं होता है। सरलीकरण एवं आदर्शीकरण के आधार पर यह वस्तु का अनुमानित विवरण है। इसलिए, मॉडल के विश्लेषण से प्राप्त परिणाम अनुमानित हैं। उनकी सटीकता मॉडल और वस्तु के बीच पर्याप्तता (अनुपालन) की डिग्री से निर्धारित होती है।

गणितीय मॉडल का निर्माण आमतौर पर विचाराधीन वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के सबसे सरल, सबसे कच्चे गणितीय मॉडल के निर्माण और विश्लेषण से शुरू होता है। भविष्य में, यदि आवश्यक हो, तो मॉडल को परिष्कृत किया जाता है और वस्तु के साथ इसके पत्राचार को और अधिक पूर्ण बनाया जाता है।

चलिए एक सरल उदाहरण लेते हैं. आपको सतह क्षेत्र निर्धारित करने की आवश्यकता है मेज़. आमतौर पर, यह इसकी लंबाई और चौड़ाई को मापकर और फिर परिणामी संख्याओं को गुणा करके किया जाता है। इस प्राथमिक प्रक्रिया का वास्तव में निम्नलिखित अर्थ है: एक वास्तविक वस्तु (तालिका की सतह) को एक अमूर्त गणितीय मॉडल - एक आयत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। तालिका की सतह की लंबाई और चौड़ाई को मापकर प्राप्त आयामों को आयत को सौंपा गया है, और ऐसे आयत का क्षेत्रफल लगभग तालिका का आवश्यक क्षेत्र माना जाता है।

हालाँकि, डेस्क के लिए आयताकार मॉडल सबसे सरल, सबसे कच्चा मॉडल है। यदि आप समस्या के प्रति अधिक गंभीर दृष्टिकोण अपनाते हैं, तो तालिका का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए आयत मॉडल का उपयोग करने से पहले, इस मॉडल की जाँच करना आवश्यक है। जाँच निम्नानुसार की जा सकती है: तालिका के विपरीत पक्षों की लंबाई, साथ ही इसके विकर्णों की लंबाई को मापें और उनकी एक दूसरे से तुलना करें। यदि, सटीकता की आवश्यक डिग्री के साथ, विपरीत भुजाओं की लंबाई और विकर्णों की लंबाई जोड़े में बराबर हैं, तो तालिका की सतह को वास्तव में एक आयत माना जा सकता है। अन्यथा, आयत मॉडल को अस्वीकार करना होगा और उसे सामान्य चतुर्भुज मॉडल से बदलना होगा। सटीकता की उच्च आवश्यकता के साथ, मॉडल को और भी परिष्कृत करना आवश्यक हो सकता है, उदाहरण के लिए, तालिका के कोनों की गोलाई को ध्यान में रखना।

इसकी मदद से सरल उदाहरणयह दिखाया गया कि गणितीय मॉडल अध्ययन की जा रही वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है। उसी तालिका के लिए हम या तो एक आयताकार मॉडल, या एक सामान्य चतुर्भुज का अधिक जटिल मॉडल, या गोल कोनों वाला एक चतुर्भुज अपना सकते हैं। एक या दूसरे मॉडल का चुनाव सटीकता की आवश्यकता से निर्धारित होता है। बढ़ती सटीकता के साथ, अध्ययन की जा रही वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली की नई और नई विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए मॉडल को जटिल बनाना होगा।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें: क्रैंक तंत्र की गति का अध्ययन करना (चित्र 2.1)।

चावल। 2.1.

इस तंत्र के गतिज विश्लेषण के लिए सबसे पहले इसके गतिज मॉडल का निर्माण करना आवश्यक है। इसके लिए:

1. हम तंत्र को उसके गतिक आरेख से बदलते हैं, जहां सभी लिंक को कठोर कनेक्शन से बदल दिया जाता है;

2. इस आरेख का उपयोग करके, हम तंत्र की गति का समीकरण प्राप्त करते हैं;

3. उत्तरार्द्ध को विभेदित करने पर, हमें वेग और त्वरण के समीकरण प्राप्त होते हैं, जो पहले और दूसरे क्रम के अंतर समीकरण हैं।

आइए ये समीकरण लिखें:

जहां C 0 स्लाइडर C की सबसे दाहिनी स्थिति है:

आर - क्रैंक त्रिज्या एबी;

एल - कनेक्टिंग रॉड की लंबाई बीसी;

- क्रैंक रोटेशन कोण;

परिणामी ट्रान्सेंडैंटल समीकरण निम्नलिखित सरलीकरण मान्यताओं के आधार पर एक फ्लैट अक्षीय क्रैंक तंत्र की गति के गणितीय मॉडल का प्रतिनिधित्व करते हैं:

1. हमें पिंडों के तंत्र में शामिल द्रव्यमानों के संरचनात्मक रूपों और व्यवस्था में कोई दिलचस्पी नहीं थी, और हमने तंत्र के सभी पिंडों को सीधे खंडों से बदल दिया। वास्तव में, तंत्र की सभी कड़ियों में द्रव्यमान और एक जटिल आकार होता है। उदाहरण के लिए, एक कनेक्टिंग रॉड एक जटिल असेंबली है, जिसका आकार और आयाम, निश्चित रूप से, तंत्र की गति को प्रभावित करेगा;

2. विचाराधीन तंत्र की गति के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, हमने तंत्र में शामिल निकायों की लोच को भी ध्यान में नहीं रखा, अर्थात। सभी कड़ियों को अमूर्त बिल्कुल कठोर निकाय माना जाता था। वास्तव में, तंत्र में शामिल सभी निकाय लोचदार निकाय हैं। जब तंत्र चलता है, तो वे किसी तरह विकृत हो जाएंगे; वे विकसित भी हो सकते हैं लोचदार कंपन. निःसंदेह, यह सब तंत्र की गति को भी प्रभावित करेगा;

3. हमने लिंक की निर्माण त्रुटि, गतिक जोड़े ए, बी, सी आदि में अंतराल को ध्यान में नहीं रखा।

इस प्रकार, एक बार फिर इस बात पर ज़ोर देना ज़रूरी है कि किसी समस्या को हल करने के परिणामों की सटीकता की आवश्यकताएँ जितनी अधिक होंगी, गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय अध्ययन की जा रही वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली की विशेषताओं को ध्यान में रखने की आवश्यकता उतनी ही अधिक होगी। हालाँकि, समय रहते यहीं रुकना महत्वपूर्ण है, क्योंकि एक जटिल गणितीय मॉडल हल करने के लिए एक कठिन समस्या में बदल सकता है।

एक मॉडल सबसे आसानी से तब बनाया जाता है जब किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के व्यवहार और गुणों को निर्धारित करने वाले कानून अच्छी तरह से ज्ञात हों, और उनके अनुप्रयोग में व्यापक व्यावहारिक अनुभव हो।

अधिक एक कठिन परिस्थितितब होता है जब अध्ययन की जा रही वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के बारे में हमारा ज्ञान अपर्याप्त होता है। इस मामले में, गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, अतिरिक्त धारणाएँ बनाना आवश्यक होता है जो परिकल्पना की प्रकृति में होती हैं; ऐसे मॉडल को काल्पनिक कहा जाता है। ऐसे काल्पनिक मॉडल के अध्ययन के परिणामस्वरूप प्राप्त निष्कर्ष सशर्त हैं। निष्कर्षों को सत्यापित करने के लिए, कंप्यूटर पर मॉडल के अध्ययन के परिणामों की तुलना पूर्ण पैमाने के प्रयोग के परिणामों से करना आवश्यक है। इस प्रकार, विचाराधीन वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के अध्ययन के लिए एक निश्चित गणितीय मॉडल की प्रयोज्यता का प्रश्न गणितीय प्रश्न नहीं है और इसे गणितीय तरीकों से हल नहीं किया जा सकता है।

सत्य का मुख्य मानदंड प्रयोग है, शब्द के व्यापक अर्थ में अभ्यास।

व्यावहारिक समस्याओं में गणितीय मॉडल का निर्माण कार्य के सबसे जटिल और महत्वपूर्ण चरणों में से एक है। अनुभव से पता चलता है कि कई मामलों में सही मॉडल चुनने का मतलब समस्या को आधे से अधिक हल करना है। इस चरण की कठिनाई यह है कि इसमें गणितीय और विशेष ज्ञान के संयोजन की आवश्यकता होती है। इसलिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि लागू समस्याओं को हल करते समय, गणितज्ञों को वस्तु के बारे में विशेष ज्ञान हो, और उनके सहयोगियों, विशेषज्ञों के पास एक निश्चित गणितीय संस्कृति, उनके क्षेत्र में अनुसंधान अनुभव, कंप्यूटर और प्रोग्रामिंग का ज्ञान हो।

व्याख्यान 3. कंप्यूटर मॉडलिंग और कम्प्यूटेशनल प्रयोग। गणितीय मॉडलों को हल करना

वैज्ञानिक अनुसंधान की एक नई पद्धति के रूप में कंप्यूटर मॉडलिंग किस पर आधारित है:

1. अध्ययन की जा रही प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए गणितीय मॉडल बनाना;

2. उच्च गति (प्रति सेकंड लाखों ऑपरेशन) वाले नवीनतम कंप्यूटर का उपयोग करना और किसी व्यक्ति के साथ संवाद करने में सक्षम होना।

कंप्यूटर मॉडलिंग का सार इस प्रकार है: गणितीय मॉडल के आधार पर, कंप्यूटर का उपयोग करके कम्प्यूटेशनल प्रयोगों की एक श्रृंखला की जाती है, अर्थात। वस्तुओं या प्रक्रियाओं के गुणों का अध्ययन किया जाता है, उनके इष्टतम पैरामीटर और ऑपरेटिंग मोड पाए जाते हैं, और मॉडल को परिष्कृत किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक समीकरण होने से जो किसी विशेष प्रक्रिया के पाठ्यक्रम का वर्णन करता है, आप इसके गुणांक, प्रारंभिक और सीमा स्थितियों को बदल सकते हैं, और अध्ययन कर सकते हैं कि वस्तु कैसे व्यवहार करेगी। इसके अलावा, विभिन्न परिस्थितियों में किसी वस्तु के व्यवहार की भविष्यवाणी करना संभव है।

एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग आपको एक महंगे पूर्ण-स्तरीय प्रयोग को कंप्यूटर गणनाओं से बदलने की अनुमति देता है। यह आपको कम समय में और महत्वपूर्ण भौतिक लागत के बिना अनुसंधान करने की अनुमति देता है। बड़ी संख्या मेंइसके संचालन के विभिन्न तरीकों के लिए डिज़ाइन की गई वस्तु या प्रक्रिया के विकल्प, जो जटिल प्रणालियों के विकास और उत्पादन में उनके कार्यान्वयन के समय को काफी कम कर देते हैं।

वैज्ञानिक अनुसंधान की एक नई पद्धति के रूप में कंप्यूटर मॉडलिंग और कम्प्यूटेशनल प्रयोग गणितीय मॉडल के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण में सुधार करना संभव बनाता है, और गणितीय तरीकों का उपयोग करके गणितीय मॉडल को स्पष्ट और जटिल बनाने की अनुमति देता है। एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग करने के लिए सबसे आशाजनक हमारे समय की प्रमुख वैज्ञानिक, तकनीकी और सामाजिक-आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए इसका उपयोग है (परमाणु ऊर्जा संयंत्रों के लिए रिएक्टरों को डिजाइन करना, बांधों और पनबिजली स्टेशनों को डिजाइन करना, मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक ऊर्जा कन्वर्टर्स और अर्थशास्त्र के क्षेत्र में) - किसी उद्योग, क्षेत्र, देश आदि के लिए एक संतुलित योजना तैयार करना)।

कुछ प्रक्रियाओं में जहां एक प्राकृतिक प्रयोग मानव जीवन और स्वास्थ्य के लिए खतरनाक है, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग ही एकमात्र संभव है (थर्मोन्यूक्लियर फ्यूजन, अंतरिक्ष अन्वेषण, डिजाइन और रासायनिक और अन्य उद्योगों का अनुसंधान)।

गणितीय मॉडल और वास्तविक वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली की पर्याप्तता की जांच करने के लिए, कंप्यूटर अनुसंधान के परिणामों की तुलना प्रोटोटाइप पूर्ण-स्तरीय मॉडल पर एक प्रयोग के परिणामों से की जाती है। परीक्षण के परिणामों का उपयोग गणितीय मॉडल को समायोजित करने के लिए किया जाता है या निर्दिष्ट वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों के डिजाइन या अध्ययन के लिए निर्मित गणितीय मॉडल की प्रयोज्यता के प्रश्न का समाधान किया जाता है।

अंत में, हम एक बार फिर इस बात पर जोर देते हैं कि कंप्यूटर मॉडलिंग और कम्प्यूटेशनल प्रयोग गणितीय समस्या के समाधान के लिए "गैर-गणितीय" वस्तु के अध्ययन को कम करना संभव बनाते हैं। इससे इसका अध्ययन करने के लिए शक्तिशाली कंप्यूटिंग तकनीक के साथ संयोजन में एक अच्छी तरह से विकसित गणितीय उपकरण का उपयोग करने की संभावना खुल जाती है। कानूनों को समझने के लिए गणित और कंप्यूटर के उपयोग का यही आधार है। असली दुनियाऔर व्यवहार में उनका उपयोग।

वास्तविक वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों के व्यवहार को डिजाइन करने या अध्ययन करने की समस्याओं में, गणितीय मॉडल आमतौर पर अरेखीय होते हैं, क्योंकि उन्हें उनमें होने वाली वास्तविक भौतिक अरेखीय प्रक्रियाओं को प्रतिबिंबित करना चाहिए। इसके अलावा, इन प्रक्रियाओं के पैरामीटर (चर) भौतिक गैर-रेखीय कानूनों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं। इसलिए, वास्तविक वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों के व्यवहार को डिजाइन करने या अध्ययन करने की समस्याओं में, डीएनए जैसे गणितीय मॉडल का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

व्याख्यान 1 में दिए गए वर्गीकरण के अनुसार:

डी - मॉडल नियतात्मक है; यादृच्छिक प्रक्रियाओं का प्रभाव अनुपस्थित है (अधिक सटीक रूप से, इसे ध्यान में नहीं रखा जाता है)।

एन - निरंतर मॉडल, सूचना और पैरामीटर निरंतर हैं।

ए - विश्लेषणात्मक मॉडल, मॉडल की कार्यप्रणाली को समीकरणों (रैखिक, गैर-रेखीय, समीकरणों की प्रणाली, अंतर और अभिन्न समीकरण) के रूप में वर्णित किया गया है।

इसलिए, हमने विचाराधीन वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाया है, अर्थात। लागू समस्या को गणितीय के रूप में प्रस्तुत किया। इसके बाद, लागू समस्या को हल करने का दूसरा चरण शुरू होता है - तैयार गणितीय समस्या को हल करने के लिए एक विधि की खोज या विकास। यह विधि कंप्यूटर पर इसके कार्यान्वयन के लिए सुविधाजनक होनी चाहिए और समाधान की आवश्यक गुणवत्ता सुनिश्चित करनी चाहिए।

गणितीय समस्याओं को हल करने की सभी विधियों को 2 समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1. समस्याओं को हल करने के सटीक तरीके;

2. समस्याओं को हल करने की संख्यात्मक विधियाँ।

गणितीय समस्याओं को हल करने की सटीक विधियों में उत्तर सूत्रों के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, एक द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना:

या, उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न कार्यों की गणना:

या एक निश्चित अभिन्न की गणना:

हालाँकि, सूत्र में संख्याओं को परिमित दशमलव भिन्नों के रूप में प्रतिस्थापित करने पर भी हमें परिणाम के अनुमानित मान प्राप्त होते हैं।

व्यवहार में आने वाली अधिकांश समस्याओं के लिए, सटीक समाधान विधियाँ या तो अज्ञात हैं या बहुत बोझिल सूत्र प्रदान करती हैं। हालाँकि, वे हमेशा आवश्यक नहीं होते हैं। किसी लागू समस्या को व्यावहारिक रूप से हल माना जा सकता है यदि हम इसे सटीकता की आवश्यक डिग्री के साथ हल करने में सक्षम हैं।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, संख्यात्मक तरीकों का विकास किया गया है जिसमें जटिल गणितीय समस्याओं का समाधान बड़ी संख्या में सरल अंकगणितीय परिचालनों के अनुक्रमिक निष्पादन तक कम हो जाता है। संख्यात्मक विधियों का प्रत्यक्ष विकास कम्प्यूटेशनल गणित से संबंधित है।

संख्यात्मक विधि का एक उदाहरण अनुमानित एकीकरण के लिए आयतों की विधि है, जिसमें समाकलन के लिए प्रतिअवकलन की गणना की आवश्यकता नहीं होती है। अभिन्न के बजाय, अंतिम चतुर्भुज योग की गणना की जाती है:

x 1 =ए - एकीकरण की निचली सीमा;

x n+1 =b - एकीकरण की ऊपरी सीमा;

एन - खंडों की संख्या जिसमें एकीकरण अंतराल (ए, बी) विभाजित है;

- प्राथमिक खंड की लंबाई;

f(x i) - प्राथमिक एकीकरण खंडों के सिरों पर इंटीग्रैंड का मान।

कैसे बड़ी संख्या n खंड जिनमें एकीकरण अंतराल को विभाजित किया गया है, अनुमानित समाधान सत्य के जितना करीब होगा, यानी। परिणाम उतना ही अधिक सटीक होगा.

इस प्रकार, लागू समस्याओं में, सटीक समाधान विधियों का उपयोग करते समय और संख्यात्मक समाधान विधियों का उपयोग करते समय, गणना परिणाम अनुमानित होते हैं। केवल यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि त्रुटियाँ आवश्यक सटीकता के भीतर फिट हों।

गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके कंप्यूटर के आगमन से पहले भी लंबे समय से ज्ञात थे, लेकिन गणना की अत्यधिक जटिलता के कारण उनका उपयोग शायद ही कभी और केवल अपेक्षाकृत सरल मामलों में किया जाता था। संख्यात्मक विधियों का व्यापक उपयोग कंप्यूटर की बदौलत संभव हो सका है।

मॉडल और सिमुलेशन की अवधारणा.

व्यापक अर्थ में मॉडल- यह किसी भी मात्रा, प्रक्रिया या घटना की कोई छवि, मानसिक एनालॉग या स्थापित छवि, विवरण, आरेख, रेखांकन, मानचित्र आदि है, जिसका उपयोग उसके विकल्प या प्रतिनिधि के रूप में किया जाता है। वस्तु, प्रक्रिया या घटना को ही इस मॉडल का मूल कहा जाता है।

मोडलिंग - यह किसी वस्तु या वस्तुओं की प्रणाली का उनके मॉडल का निर्माण और अध्ययन करके अध्ययन है। यह विशेषताओं को निर्धारित करने या स्पष्ट करने और नवनिर्मित वस्तुओं के निर्माण के तरीकों को तर्कसंगत बनाने के लिए मॉडल का उपयोग है।

वैज्ञानिक अनुसंधान की कोई भी विधि मॉडलिंग के विचार पर आधारित होती है, जबकि सैद्धांतिक विधियां विभिन्न प्रकार के प्रतीकात्मक, अमूर्त मॉडल का उपयोग करती हैं, और प्रयोगात्मक विधियां विषय मॉडल का उपयोग करती हैं।

अनुसंधान के दौरान, एक जटिल वास्तविक घटना को कुछ सरलीकृत प्रतिलिपि या आरेख द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है; कभी-कभी ऐसी प्रतिलिपि अगली बैठक में वांछित घटना को याद रखने और पहचानने के लिए ही काम करती है। कभी-कभी निर्मित आरेख कुछ आवश्यक विशेषताओं को दर्शाता है, किसी घटना के तंत्र को समझने की अनुमति देता है, और इसके परिवर्तन की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है। विभिन्न मॉडल एक ही घटना के अनुरूप हो सकते हैं।

शोधकर्ता का कार्य घटना की प्रकृति और प्रक्रिया के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी करना है।

कभी-कभी, ऐसा होता है कि कोई वस्तु उपलब्ध होती है, लेकिन उसके साथ प्रयोग महंगे होते हैं या गंभीर पर्यावरणीय परिणाम पैदा करते हैं। ऐसी प्रक्रियाओं के बारे में ज्ञान मॉडलों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।

एक महत्वपूर्ण बात यह है कि विज्ञान की प्रकृति में एक से अधिक का अध्ययन शामिल है विशिष्ट घटना, लेकिन संबंधित घटनाओं का एक विस्तृत वर्ग। यह कुछ सामान्य श्रेणीबद्ध कथनों को तैयार करने की आवश्यकता मानता है, जिन्हें कानून कहा जाता है। स्वाभाविक रूप से, इस तरह के फॉर्मूलेशन के साथ कई विवरणों की उपेक्षा की जाती है। किसी पैटर्न को अधिक स्पष्ट रूप से पहचानने के लिए, वे सचेत रूप से मोटेपन, आदर्शीकरण और स्केचनेस की ओर जाते हैं, अर्थात, वे स्वयं घटना का अध्ययन नहीं करते हैं, बल्कि इसकी अधिक या कम सटीक प्रतिलिपि या मॉडल का अध्ययन करते हैं। सभी कानून मॉडलों के बारे में कानून हैं, और इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि समय के साथ कुछ वैज्ञानिक सिद्धांतअनुपयुक्त माने जाते हैं. इससे विज्ञान का पतन नहीं होता, क्योंकि एक मॉडल को दूसरे मॉडल से बदल दिया गया है अधिक आधुनिक.

गणितीय मॉडल विज्ञान में एक विशेष भूमिका निभाते हैं। निर्माण सामग्रीऔर इन मॉडलों के उपकरण गणितीय अवधारणाएँ हैं। वे हजारों वर्षों में संचित और सुधरे। आधुनिक गणित अनुसंधान के अत्यंत शक्तिशाली और सार्वभौमिक साधन प्रदान करता है। गणित की लगभग हर अवधारणा, हर गणितीय वस्तुसंख्या की अवधारणा से शुरू होकर, यह एक गणितीय मॉडल है। अध्ययन की जा रही वस्तु या घटना के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, इसकी उन विशेषताओं, विशेषताओं और विवरणों की पहचान की जाती है, जिनमें एक ओर, कम या ज्यादा शामिल होते हैं पूरी जानकारीवस्तु के बारे में, और दूसरी ओर, वे गणितीय औपचारिकता की अनुमति देते हैं। गणितीय औपचारिकीकरण का अर्थ है कि किसी वस्तु की विशेषताएं और विवरण उपयुक्त पर्याप्त गणितीय अवधारणाओं से जुड़े हो सकते हैं: संख्याएं, कार्य, आव्यूह, इत्यादि। फिर अध्ययन के तहत वस्तु में उसके अलग-अलग हिस्सों और घटकों के बीच खोजे गए और ग्रहण किए गए कनेक्शन और संबंधों को गणितीय संबंधों का उपयोग करके लिखा जा सकता है: समानताएं, असमानताएं, समीकरण। परिणाम अध्ययन की जा रही प्रक्रिया या घटना का गणितीय विवरण है, यानी इसका गणितीय मॉडल।

गणितीय मॉडल का अध्ययन हमेशा अध्ययन की जा रही वस्तुओं पर कार्रवाई के कुछ नियमों से जुड़ा होता है। ये नियम कारणों और प्रभावों के बीच संबंधों को दर्शाते हैं।

गणितीय मॉडल का निर्माण किसी भी प्रणाली के अनुसंधान या डिजाइन का केंद्रीय चरण है। वस्तु का बाद का सारा विश्लेषण मॉडल की गुणवत्ता पर निर्भर करता है। मॉडल बनाना कोई औपचारिक प्रक्रिया नहीं है. यह दृढ़ता से शोधकर्ता, उसके अनुभव और स्वाद पर निर्भर करता है, और हमेशा कुछ प्रयोगात्मक सामग्री पर आधारित होता है। मॉडल पर्याप्त रूप से सटीक, पर्याप्त और उपयोग में सुविधाजनक होना चाहिए।

गणित मॉडलिंग.

गणितीय मॉडल का वर्गीकरण.

गणितीय मॉडल हो सकते हैंनियतिवादी और स्टोकेस्टिक .

पक्का नमूना और ऐसे मॉडल हैं जिनमें किसी वस्तु या घटना का वर्णन करने वाले चरों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है।

यह दृष्टिकोण वस्तुओं की कार्य प्रणाली के ज्ञान पर आधारित है। अक्सर मॉडल की जाने वाली वस्तु जटिल होती है और इसके तंत्र को समझना बहुत श्रमसाध्य और समय लेने वाला हो सकता है। इस मामले में, वे निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: वे मूल पर प्रयोग करते हैं, प्राप्त परिणामों को संसाधित करते हैं और, गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट के तंत्र और सिद्धांत में गहराई तक गए बिना, वर्णन करने वाले चर के बीच संबंध स्थापित करते हैं। जो वस्तु। इस मामले में आपको मिलता हैस्टोकेस्टिक नमूना . में स्टोकेस्टिक मॉडल में, चरों के बीच संबंध यादृच्छिक होता है, कभी-कभी यह मौलिक होता है। बड़ी संख्या में कारकों का प्रभाव, उनका संयोजन किसी वस्तु या घटना का वर्णन करने वाले चर के यादृच्छिक सेट की ओर ले जाता है। मोड की प्रकृति के अनुसार, मॉडल हैसांख्यिकीय और गतिशील.

सांख्यिकीयनमूनाइसमें समय के साथ मापदंडों में परिवर्तन को ध्यान में रखे बिना स्थिर स्थिति में मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट के मुख्य चर के बीच संबंधों का विवरण शामिल है।

में गतिशीलमॉडलएक मोड से दूसरे मोड में संक्रमण के दौरान मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट के मुख्य चर के बीच संबंधों का वर्णन किया गया है।

मॉडल हैं अलगऔर निरंतर, और मिश्रित प्रकार। में निरंतर चर एक निश्चित अंतराल से मान लेते हैंअलगचर पृथक मान लेते हैं।

रैखिक मॉडल- मॉडल का वर्णन करने वाले सभी कार्य और संबंध रैखिक रूप से चर और पर निर्भर करते हैंरैखिक नहींअन्यथा।

गणित मॉडलिंग.

आवश्यकताएं ,पी प्रस्तुत किया गया मॉडलों के लिए.

1. बहुमुखी प्रतिभा- किसी वास्तविक वस्तु के अध्ययन किए गए गुणों के मॉडल के प्रतिनिधित्व की पूर्णता को दर्शाता है।

1. पर्याप्तता किसी वस्तु के वांछित गुणों को किसी दिए गए त्रुटि से अधिक त्रुटि के साथ प्रतिबिंबित करने की क्षमता है।
2. सटीकता का आकलन किसी वास्तविक वस्तु की विशेषताओं के मूल्यों और मॉडलों का उपयोग करके प्राप्त इन विशेषताओं के मूल्यों के बीच समझौते की डिग्री से किया जाता है।
3. किफ़ायती - कंप्यूटर मेमोरी संसाधनों के व्यय और इसके कार्यान्वयन और संचालन के लिए समय द्वारा निर्धारित।

गणित मॉडलिंग.

मॉडलिंग के मुख्य चरण.

1. समस्या का विवरण.

विश्लेषण का उद्देश्य और इसे प्राप्त करने और विकसित करने का तरीका निर्धारित करना सामान्य कोशिशअध्ययनाधीन समस्या के लिए. इस स्तर पर, कार्य के सार की गहरी समझ की आवश्यकता है। कभी-कभी किसी समस्या को सही ढंग से सेट करना उसे हल करने से कम कठिन नहीं होता है। मंचन कोई औपचारिक प्रक्रिया नहीं है, सामान्य नियमनहीं।

2. सैद्धांतिक आधारों का अध्ययन करना और मूल वस्तु के बारे में जानकारी एकत्र करना।

इस स्तर पर, एक उपयुक्त सिद्धांत का चयन या विकास किया जाता है। यदि यह नहीं है, तो वस्तु का वर्णन करने वाले चरों के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध स्थापित हो जाते हैं। इनपुट और आउटपुट डेटा निर्धारित किया जाता है, और सरलीकृत धारणाएँ बनाई जाती हैं।

3. औपचारिकीकरण.

इसमें प्रतीकों की एक प्रणाली चुनना और वस्तु के घटकों के बीच संबंधों को फॉर्म में लिखने के लिए उनका उपयोग करना शामिल है गणितीय अभिव्यक्तियाँ. समस्याओं का वह वर्ग स्थापित किया गया है जिसमें वस्तु के परिणामी गणितीय मॉडल को वर्गीकृत किया जा सकता है। इस स्तर पर कुछ मापदंडों के मान अभी तक निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं।

4. समाधान विधि का चयन करना।

इस स्तर पर, मॉडल के अंतिम पैरामीटर वस्तु की परिचालन स्थितियों को ध्यान में रखते हुए स्थापित किए जाते हैं। परिणामी गणितीय समस्या के लिए, एक समाधान विधि का चयन किया जाता है या एक विशेष विधि विकसित की जाती है। कोई विधि चुनते समय, उपयोगकर्ता के ज्ञान, उसकी प्राथमिकताओं और डेवलपर की प्राथमिकताओं को ध्यान में रखा जाता है।

5. मॉडल का कार्यान्वयन.

एक एल्गोरिदम विकसित करने के बाद, एक प्रोग्राम लिखा जाता है, जिसे डिबग किया जाता है, परीक्षण किया जाता है और वांछित समस्या का समाधान प्राप्त किया जाता है।

6. प्राप्त जानकारी का विश्लेषण.

प्राप्त और अपेक्षित समाधानों की तुलना की जाती है, और मॉडलिंग त्रुटि की निगरानी की जाती है।

7. वास्तविक वस्तु की पर्याप्तता की जाँच करना।

मॉडल से प्राप्त परिणामों की तुलना की जाती हैया तो वस्तु के बारे में उपलब्ध जानकारी के साथ, या एक प्रयोग किया जाता है और उसके परिणामों की तुलना गणना किए गए परिणामों से की जाती है।

मॉडलिंग प्रक्रिया पुनरावृत्तीय है. चरणों के असंतोषजनक परिणाम के मामले में 6. या 7. पहले के चरणों में से एक में वापसी की जाती है, जिससे असफल मॉडल का विकास हो सकता है। इस चरण और उसके बाद के सभी चरणों को परिष्कृत किया जाता है और मॉडल का ऐसा शोधन तब तक होता है जब तक स्वीकार्य परिणाम प्राप्त नहीं हो जाते।

गणितीय मॉडल गणित की भाषा में वास्तविक दुनिया की घटनाओं या वस्तुओं के किसी भी वर्ग का अनुमानित विवरण है। मॉडलिंग का मुख्य उद्देश्य इन वस्तुओं का पता लगाना और भविष्य के अवलोकनों के परिणामों की भविष्यवाणी करना है। हालाँकि, मॉडलिंग भी हमारे आस-पास की दुनिया को समझने का एक तरीका है, जिससे इसे नियंत्रित करना संभव हो जाता है।

गणितीय मॉडलिंग और संबंधित कंप्यूटर प्रयोग उन मामलों में अपरिहार्य हैं जहां एक या किसी अन्य कारण से पूर्ण पैमाने पर प्रयोग असंभव या कठिन है। उदाहरण के लिए, "क्या होता अगर..." की जाँच करने के लिए इतिहास में एक प्राकृतिक प्रयोग स्थापित करना असंभव है, किसी या किसी अन्य ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत की शुद्धता की जाँच करना असंभव है। सैद्धांतिक रूप से यह संभव है, लेकिन शायद ही उचित हो, प्लेग जैसी बीमारी के प्रसार के साथ प्रयोग करना, या कार्यान्वित करना परमाणु विस्फोटइसके परिणामों का अध्ययन करना। हालाँकि, यह सब पहले अध्ययन की जा रही घटनाओं के गणितीय मॉडल बनाकर कंप्यूटर पर किया जा सकता है।

1.1.2 2. गणितीय मॉडलिंग के मुख्य चरण

1) मॉडल बिल्डिंग. इस स्तर पर, कुछ "गैर-गणितीय" वस्तु निर्दिष्ट की जाती है - एक प्राकृतिक घटना, डिजाइन, आर्थिक योजना, निर्माण प्रक्रियाआदि। इस मामले में, एक नियम के रूप में, स्थिति का स्पष्ट विवरण मुश्किल है।सबसे पहले, घटना की मुख्य विशेषताएं और गुणात्मक स्तर पर उनके बीच संबंध की पहचान की जाती है। फिर पाई गई गुणात्मक निर्भरता को गणित की भाषा में तैयार किया जाता है, यानी एक गणितीय मॉडल बनाया जाता है। यह मॉडलिंग का सबसे कठिन चरण है।

2) उस गणितीय समस्या को हल करना जिस तक मॉडल ले जाता है. इस स्तर पर, कंप्यूटर पर समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम और संख्यात्मक तरीकों के विकास पर बहुत ध्यान दिया जाता है, जिसकी मदद से परिणाम आवश्यक सटीकता के साथ और स्वीकार्य समय के भीतर पाया जा सकता है।

3) गणितीय मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या।गणित की भाषा में मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या क्षेत्र में स्वीकृत भाषा में की जाती है।

4) मॉडल की पर्याप्तता की जाँच करना।इस स्तर पर, यह निर्धारित किया जाता है कि प्रयोगात्मक परिणाम एक निश्चित सटीकता के भीतर मॉडल के सैद्धांतिक परिणामों से सहमत हैं या नहीं।

5) मॉडल का संशोधन.इस स्तर पर, या तो मॉडल को जटिल बनाया जाता है ताकि यह वास्तविकता के लिए अधिक पर्याप्त हो, या व्यावहारिक रूप से स्वीकार्य समाधान प्राप्त करने के लिए इसे सरल बनाया जाए।

1.1.3 3. मॉडल वर्गीकरण

मॉडलों को विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हल की जा रही समस्याओं की प्रकृति के अनुसार, मॉडलों को कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया जा सकता है। पहले मामले में, किसी घटना या वस्तु की विशेषता बताने वाली सभी मात्राएँ मात्रात्मक रूप से व्यक्त की जाती हैं। इसके अलावा, उनमें से कुछ को स्वतंत्र चर के रूप में माना जाता है, जबकि अन्य को इन मात्राओं के कार्य के रूप में माना जाता है। गणितीय मॉडल आमतौर पर समीकरणों की एक प्रणाली है अलग - अलग प्रकार(अंतर, बीजगणितीय, आदि), विचाराधीन मात्राओं के बीच मात्रात्मक संबंध स्थापित करना। दूसरे मामले में, मॉडल एक जटिल वस्तु की संरचना को दर्शाता है जिसमें अलग-अलग हिस्से होते हैं, जिनके बीच कुछ निश्चित संबंध होते हैं। आमतौर पर, ये कनेक्शन मापनीय नहीं हैं। ऐसे मॉडलों के निर्माण के लिए ग्राफ़ सिद्धांत का उपयोग करना सुविधाजनक है। ग्राफ़ एक गणितीय वस्तु है जो किसी समतल या अंतरिक्ष में बिंदुओं (शीर्षों) के एक समूह का प्रतिनिधित्व करता है, जिनमें से कुछ रेखाओं (किनारों) से जुड़े होते हैं।

प्रारंभिक डेटा और परिणामों की प्रकृति के आधार पर, भविष्यवाणी मॉडल को नियतात्मक और संभाव्य-सांख्यिकीय में विभाजित किया जा सकता है। पहले प्रकार के मॉडल निश्चित, स्पष्ट भविष्यवाणियाँ करते हैं। दूसरे प्रकार के मॉडल सांख्यिकीय जानकारी पर आधारित होते हैं, और उनकी सहायता से प्राप्त पूर्वानुमान प्रकृति में संभाव्य होते हैं।

गणितीय मॉडलिंग और सामान्य कम्प्यूटरीकरण या सिमुलेशन मॉडल

अब, जब देश में लगभग सार्वभौमिक कम्प्यूटरीकरण हो रहा है, हम विभिन्न व्यवसायों के विशेषज्ञों के बयान सुनते हैं: "यदि हम एक कंप्यूटर पेश करते हैं, तो सभी समस्याएं तुरंत हल हो जाएंगी।" यह दृष्टिकोण पूरी तरह से गलत है; कंप्यूटर स्वयं, कुछ प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल के बिना, कुछ भी करने में सक्षम नहीं होंगे, और कोई केवल सार्वभौमिक कम्प्यूटरीकरण का सपना देख सकता है।

उपरोक्त के समर्थन में, हम गणितीय मॉडलिंग सहित मॉडलिंग की आवश्यकता को प्रमाणित करने का प्रयास करेंगे, और मानव अनुभूति और परिवर्तन में इसके लाभों को प्रकट करेंगे। बाहर की दुनिया, आइए मौजूदा कमियों की पहचान करें और सिमुलेशन मॉडलिंग की ओर बढ़ें, यानी। कंप्यूटर का उपयोग करके मॉडलिंग करना। लेकिन सब कुछ क्रम में है.

सबसे पहले, आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: मॉडल क्या है?

एक मॉडल एक भौतिक या मानसिक रूप से प्रस्तुत वस्तु है, जो अनुभूति (अध्ययन) की प्रक्रिया में मूल को प्रतिस्थापित करती है, कुछ विशिष्ट गुणों को संरक्षित करती है जो इस अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण हैं।

एक वास्तविक वस्तु की तुलना में एक अच्छी तरह से निर्मित मॉडल अनुसंधान के लिए अधिक सुलभ है। उदाहरण के लिए, शैक्षिक उद्देश्यों के लिए देश की अर्थव्यवस्था के साथ प्रयोग अस्वीकार्य हैं; एक मॉडल अपरिहार्य है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: मॉडल किस लिए हैं? के लिए

• समझें कि कोई वस्तु कैसे काम करती है (इसकी संरचना, गुण, विकास के नियम, बाहरी दुनिया के साथ बातचीत)।
• किसी वस्तु (प्रक्रिया) को प्रबंधित करना सीखें और सर्वोत्तम रणनीतियाँ निर्धारित करें
• वस्तु पर प्रभाव के परिणामों की भविष्यवाणी करें।

किसी भी मॉडल के बारे में क्या सकारात्मक है? यह आपको वस्तु के बारे में नया ज्ञान प्राप्त करने की अनुमति देता है, लेकिन, दुर्भाग्य से, यह कुछ हद तक अधूरा है।

नमूनागणितीय विधियों का उपयोग करके गणित की भाषा में तैयार किए गए मॉडल को गणितीय मॉडल कहा जाता है।

इसके निर्माण का प्रारंभिक बिंदु आमतौर पर कुछ समस्या है, उदाहरण के लिए आर्थिक। वर्णनात्मक और अनुकूलन गणितीय दोनों व्यापक हैं, विभिन्न लक्षण वर्णन करते हैं आर्थिक प्रक्रियाएँऔर घटनाएँ, उदाहरण के लिए:

• संसाधनों का आवंटन
• तर्कसंगत कटाई
• परिवहन
• उद्यमों का एकीकरण
• नेटवर्क योजना.

गणितीय मॉडल का निर्माण कैसे किया जाता है?

• सबसे पहले, अध्ययन का उद्देश्य और विषय तैयार किया जाता है।
• दूसरे, इस लक्ष्य के अनुरूप सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं पर प्रकाश डाला गया है।
• तीसरा, मॉडल के तत्वों के बीच संबंधों को मौखिक रूप से वर्णित किया गया है।
• इसके बाद, रिश्ते को औपचारिक रूप दिया जाता है।
• और गणितीय मॉडल का उपयोग करके गणना की जाती है और परिणामी समाधान का विश्लेषण किया जाता है।

इस एल्गोरिदम का उपयोग करके, आप किसी भी अनुकूलन समस्या को हल कर सकते हैं, जिसमें मल्टीक्राइटेरिया भी शामिल है, अर्थात। जिसमें एक नहीं, बल्कि कई लक्ष्यों का पीछा किया जाता है, जिनमें विरोधाभासी लक्ष्य भी शामिल हैं।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. कतारबद्धता सिद्धांत - कतारबद्धता की समस्या। दो कारकों को संतुलित करना आवश्यक है - सेवा उपकरणों को बनाए रखने की लागत और लाइन में रहने की लागत। मॉडल का औपचारिक विवरण तैयार करने के बाद, विश्लेषणात्मक और कम्प्यूटेशनल तरीकों का उपयोग करके गणना की जाती है। यदि मॉडल अच्छा है, तो इसकी मदद से मिले उत्तर मॉडलिंग प्रणाली के लिए पर्याप्त हैं; यदि यह खराब है, तो इसे सुधारना और प्रतिस्थापित करना होगा। पर्याप्तता की कसौटी अभ्यास है.

बहुमानदंड वाले सहित अनुकूलन मॉडल मौजूद हैं सामान्य संपत्ति- एक लक्ष्य (या कई लक्ष्य) ज्ञात हैं, जिन्हें प्राप्त करने के लिए अक्सर जटिल प्रणालियों से निपटना पड़ता है, जहां यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने के बारे में नहीं है, बल्कि चुनी गई नियंत्रण रणनीतियों के आधार पर राज्यों का अध्ययन और भविष्यवाणी करने के बारे में है। और यहां हमें पिछली योजना को लागू करने में कठिनाइयों का सामना करना पड़ रहा है। वे इस प्रकार हैं:

• एक जटिल प्रणाली में तत्वों के बीच कई कनेक्शन होते हैं
• एक वास्तविक प्रणाली यादृच्छिक कारकों से प्रभावित होती है, उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से ध्यान में रखना असंभव है
• मॉडल के साथ मूल की तुलना करने की संभावना केवल शुरुआत में और गणितीय उपकरण का उपयोग करने के बाद ही मौजूद होती है, क्योंकि मध्यवर्ती परिणामों का वास्तविक प्रणाली में कोई एनालॉग नहीं हो सकता है।

जटिल प्रणालियों का अध्ययन करते समय उत्पन्न होने वाली सूचीबद्ध कठिनाइयों के संबंध में, अभ्यास के लिए एक अधिक लचीली पद्धति की आवश्यकता थी, और यह सामने आया - "सिमुजेशन मॉडलिंग"।

आमतौर पर, एक सिमुलेशन मॉडल को कंप्यूटर प्रोग्रामों के एक सेट के रूप में समझा जाता है जो व्यक्तिगत सिस्टम ब्लॉक के कामकाज और उनके बीच बातचीत के नियमों का वर्णन करता है। प्रयोग यादृच्छिक चरएक सिमुलेशन सिस्टम (कंप्यूटर पर) के साथ कई प्रयोग करना और बाद में प्राप्त परिणामों का सांख्यिकीय विश्लेषण करना आवश्यक बनाता है। सिमुलेशन मॉडल का उपयोग करने का एक बहुत ही सामान्य उदाहरण मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके कतारबद्ध समस्या को हल करना है।

इस प्रकार, सिमुलेशन प्रणाली के साथ काम करना कंप्यूटर पर किया गया एक प्रयोग है। फायदे क्या हैं?

- गणितीय मॉडल की तुलना में वास्तविक प्रणाली से अधिक निकटता;

-ब्लॉक सिद्धांत प्रत्येक ब्लॉक को समग्र प्रणाली में शामिल करने से पहले सत्यापित करना संभव बनाता है;

- अधिक जटिल प्रकृति की निर्भरता का उपयोग जिसे सरल गणितीय संबंधों द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।

सूचीबद्ध फायदे नुकसान निर्धारित करते हैं

- एक सिमुलेशन मॉडल बनाने में अधिक समय लगता है, यह अधिक कठिन और अधिक महंगा है;

- सिमुलेशन प्रणाली के साथ काम करने के लिए, आपके पास कक्षा के लिए उपयुक्त कंप्यूटर होना चाहिए;

- उपयोगकर्ता और सिमुलेशन मॉडल (इंटरफ़ेस) के बीच बातचीत बहुत जटिल, सुविधाजनक और प्रसिद्ध नहीं होनी चाहिए;

-सिमुलेशन मॉडल बनाने के लिए गणितीय मॉडलिंग की तुलना में वास्तविक प्रक्रिया के अधिक गहन अध्ययन की आवश्यकता होती है।

प्रश्न उठता है: क्या सिमुलेशन मॉडलिंग अनुकूलन विधियों की जगह ले सकती है? नहीं, लेकिन यह आसानी से उनका पूरक है। सिमुलेशन मॉडल एक प्रोग्राम है जो एक निश्चित एल्गोरिदम को लागू करता है, जिसके नियंत्रण को अनुकूलित करने के लिए पहले एक अनुकूलन समस्या का समाधान किया जाता है।

इसलिए, न तो कोई कंप्यूटर, न गणितीय मॉडल, न ही इसके अध्ययन के लिए कोई एल्गोरिदम अकेले पर्याप्त जटिल समस्या को हल कर सकता है। लेकिन साथ में वे उस शक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं जो हमें जानने की अनुमति देती है दुनिया, इसे मानव हित में प्रबंधित करें।

1.2 मॉडल वर्गीकरण

इस लेख में, हम गणितीय मॉडल के उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। इसके अलावा, हम मॉडल बनाने के चरणों पर ध्यान देंगे और गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कुछ समस्याओं का विश्लेषण करेंगे।

हमारे पास एक और प्रश्न अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडल है, जिसके उदाहरणों की परिभाषा हम थोड़ी देर बाद देखेंगे। हम अपनी बातचीत "मॉडल" की अवधारणा से शुरू करने का प्रस्ताव करते हैं, संक्षेप में उनके वर्गीकरण पर विचार करते हैं और अपने मुख्य प्रश्नों पर आगे बढ़ते हैं।

"मॉडल" की अवधारणा

हम अक्सर "मॉडल" शब्द सुनते हैं। यह क्या है? इस शब्द की कई परिभाषाएँ हैं, यहाँ उनमें से केवल तीन हैं:

• एक विशिष्ट वस्तु जो जानकारी प्राप्त करने और संग्रहीत करने के लिए बनाई गई है, जो इस वस्तु के मूल के कुछ गुणों या विशेषताओं आदि को दर्शाती है (इस विशिष्ट वस्तु को विभिन्न रूपों में व्यक्त किया जा सकता है: मानसिक, संकेतों का उपयोग करके विवरण, और इसी तरह);
• एक मॉडल का अर्थ किसी विशिष्ट स्थिति, जीवन या प्रबंधन का प्रतिनिधित्व भी है;
• एक मॉडल किसी वस्तु की संक्षिप्त प्रतिलिपि हो सकता है (वे अधिक विस्तृत अध्ययन और विश्लेषण के लिए बनाए जाते हैं, क्योंकि मॉडल संरचना और संबंधों को दर्शाता है)।

पहले कही गई हर बात के आधार पर, हम एक छोटा सा निष्कर्ष निकाल सकते हैं: मॉडल आपको एक जटिल प्रणाली या वस्तु का विस्तार से अध्ययन करने की अनुमति देता है।

सभी मॉडलों को कई विशेषताओं के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

• उपयोग के क्षेत्र द्वारा (शैक्षिक, प्रयोगात्मक, वैज्ञानिक और तकनीकी, गेमिंग, सिमुलेशन);
• गतिशीलता द्वारा (स्थिर और गतिशील);
• ज्ञान की शाखा द्वारा (भौतिक, रासायनिक, भौगोलिक, ऐतिहासिक, समाजशास्त्रीय, आर्थिक, गणितीय);
• प्रस्तुति की विधि द्वारा (सामग्री और सूचनात्मक)।

सूचना मॉडल, बदले में, प्रतीकात्मक और मौखिक में विभाजित हैं। और प्रतीकात्मक वाले - कंप्यूटर और गैर-कंप्यूटर वाले में। अब आगे बढ़ते हैं विस्तृत विचारगणितीय मॉडल के उदाहरण.

गणित का मॉडल

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, एक गणितीय मॉडल विशेष गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके किसी वस्तु या घटना की किसी भी विशेषता को दर्शाता है। आसपास की दुनिया के पैटर्न को अपनी विशिष्ट भाषा में मॉडल करने के लिए गणित की आवश्यकता होती है।

गणितीय मॉडलिंग की पद्धति की उत्पत्ति काफी समय पहले, हजारों साल पहले, इस विज्ञान के आगमन के साथ ही हुई थी। हालाँकि, इस मॉडलिंग पद्धति के विकास को प्रोत्साहन कंप्यूटर (इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर) के उद्भव से मिला।

अब चलिए वर्गीकरण की ओर बढ़ते हैं। इसे कुछ संकेतों के अनुसार भी किया जा सकता है। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

हम रुकने और नवीनतम वर्गीकरण पर करीब से नज़र डालने का प्रस्ताव करते हैं, क्योंकि यह मॉडलिंग के सामान्य पैटर्न और बनाए जा रहे मॉडलों के लक्ष्यों को दर्शाता है।

वर्णनात्मक मॉडल

इस अध्याय में, हम वर्णनात्मक गणितीय मॉडल पर अधिक विस्तार से ध्यान देने का प्रस्ताव करते हैं। सब कुछ बिल्कुल स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दिया जाएगा.

आइए इस तथ्य से शुरू करें कि इस प्रकार को वर्णनात्मक कहा जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि हम केवल गणना और पूर्वानुमान करते हैं, लेकिन किसी भी तरह से घटना के परिणाम को प्रभावित नहीं कर सकते हैं।

वर्णनात्मक गणितीय मॉडल का एक उल्लेखनीय उदाहरण हमारे सौर मंडल के विस्तार पर आक्रमण करने वाले धूमकेतु के उड़ान पथ, गति और पृथ्वी से दूरी की गणना है। यह मॉडल वर्णनात्मक है, क्योंकि प्राप्त सभी परिणाम हमें केवल किसी खतरे से आगाह कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, हम घटना के नतीजे को प्रभावित नहीं कर सकते। हालाँकि, प्राप्त गणनाओं के आधार पर, पृथ्वी पर जीवन को संरक्षित करने के लिए कोई भी उपाय करना संभव है।

अनुकूलन मॉडल

अब हम आर्थिक और गणितीय मॉडल के बारे में थोड़ी बात करेंगे, जिनके उदाहरण विभिन्न मौजूदा स्थितियों के रूप में काम कर सकते हैं। इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो कुछ शर्तों के तहत सही उत्तर खोजने में मदद करते हैं। उनके पास निश्चित रूप से कुछ पैरामीटर हैं. इसे पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, आइए कृषि क्षेत्र से एक उदाहरण देखें।

हमारे पास अन्न भंडार है, लेकिन अनाज बहुत जल्दी खराब हो जाता है। इस मामले में, हमें सही तापमान की स्थिति चुनने और भंडारण प्रक्रिया को अनुकूलित करने की आवश्यकता है।

इस प्रकार, हम "अनुकूलन मॉडल" की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। में गणितीय समझयह समीकरणों (रैखिक और गैर दोनों) की एक प्रणाली है, जिसका समाधान किसी विशिष्ट आर्थिक स्थिति में इष्टतम समाधान खोजने में मदद करता है। हमने गणितीय मॉडल (अनुकूलन) का एक उदाहरण देखा, लेकिन मैं जोड़ना चाहूंगा: यह प्रकार अत्यधिक समस्याओं के वर्ग से संबंधित है, वे आर्थिक प्रणाली के कामकाज का वर्णन करने में मदद करते हैं।

आइए एक और बारीकियों पर ध्यान दें: मॉडल पहन सकते हैं अलग चरित्र(नीचे दी गई तालिका देखें)।

बहुमानदंड मॉडल

अब हम आपको बहुमानदंड अनुकूलन के गणितीय मॉडल के बारे में थोड़ी बात करने के लिए आमंत्रित करते हैं। इससे पहले, हमने किसी एक मानदंड के अनुसार किसी प्रक्रिया को अनुकूलित करने के लिए गणितीय मॉडल का एक उदाहरण दिया था, लेकिन यदि उनमें से कई हों तो क्या होगा?

बहु-मापदंड कार्य का एक उल्लेखनीय उदाहरण लोगों के बड़े समूहों के लिए उचित, स्वस्थ और साथ ही किफायती पोषण का संगठन है। ऐसे कार्य अक्सर सेना, स्कूल कैंटीन, ग्रीष्मकालीन शिविरों, अस्पतालों आदि में सामने आते हैं।

इस कार्य में हमें क्या मापदंड दिए गए हैं?

1. पोषण स्वस्थ होना चाहिए.
2. भोजन का खर्च न्यूनतम होना चाहिए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये लक्ष्य बिल्कुल भी मेल नहीं खाते हैं। इसका मतलब यह है कि किसी समस्या को हल करते समय, एक इष्टतम समाधान, दो मानदंडों के बीच संतुलन की तलाश करना आवश्यक है।

खेल मॉडल

गेम मॉडल के बारे में बात करते समय, "गेम थ्योरी" की अवधारणा को समझना आवश्यक है। सीधे शब्दों में कहें तो ये मॉडल वास्तविक संघर्षों के गणितीय मॉडल को दर्शाते हैं। आपको बस इसे समझना होगा, इसके विपरीत वास्तविक संघर्ष, खेल गणितीय मॉडल के अपने विशिष्ट नियम हैं।

अब हम गेम थ्योरी से न्यूनतम जानकारी प्रदान करेंगे जो आपको समझने में मदद करेगी खेल मॉडल. और इसलिए, मॉडल में आवश्यक रूप से पार्टियाँ (दो या अधिक) शामिल होती हैं, जिन्हें आमतौर पर खिलाड़ी कहा जाता है।

सभी मॉडलों में कुछ विशेषताएं होती हैं।

गेम मॉडल को युग्मित या एकाधिक किया जा सकता है। यदि हमारे पास दो विषय हैं, तो संघर्ष युग्मित है; यदि अधिक हैं, तो यह एकाधिक है। आप एक विरोधी खेल को भी अलग कर सकते हैं, इसे शून्य-राशि वाला खेल भी कहा जाता है। यह एक ऐसा मॉडल है जिसमें एक प्रतिभागी का लाभ दूसरे के नुकसान के बराबर होता है।

सिमुलेशन मॉडल

इस अनुभाग में हम सिमुलेशन गणितीय मॉडल पर ध्यान देंगे। कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• सूक्ष्मजीव जनसंख्या गतिशीलता का मॉडल;
• आणविक गति का मॉडल, इत्यादि।

इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो वास्तविक प्रक्रियाओं के यथासंभव करीब हैं। द्वारा सब मिलाकर, वे प्रकृति में किसी अभिव्यक्ति की नकल करते हैं। पहले मामले में, उदाहरण के लिए, हम एक कॉलोनी में चींटियों की संख्या की गतिशीलता का अनुकरण कर सकते हैं। साथ ही, आप प्रत्येक व्यक्ति के भाग्य का निरीक्षण कर सकते हैं। इस मामले में, गणितीय विवरण का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है; लिखित स्थितियाँ अधिक बार मौजूद होती हैं:

• पाँच दिनों के बाद मादा अंडे देती है;
• बीस दिनों के बाद चींटी मर जाती है, इत्यादि।

इस प्रकार, उनका उपयोग एक बड़ी प्रणाली का वर्णन करने के लिए किया जाता है। गणितीय निष्कर्ष प्राप्त सांख्यिकीय डेटा का प्रसंस्करण है।

आवश्यकताएं

यह जानना बहुत महत्वपूर्ण है कि इस प्रकार के मॉडल की कुछ आवश्यकताएँ हैं, जिनमें नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध चीज़ें भी शामिल हैं।

मॉडलिंग चरण

कुल मिलाकर, गणितीय मॉडलिंग को आमतौर पर चार चरणों में विभाजित किया जाता है।

1. मॉडल के हिस्सों को जोड़ने वाले कानूनों का निर्माण।
2. गणितीय समस्याओं का अध्ययन.
3. व्यावहारिक और सैद्धांतिक परिणामों के संयोग का निर्धारण।
4. मॉडल का विश्लेषण और आधुनिकीकरण।

आर्थिक और गणितीय मॉडल

इस अनुभाग में हम इस मुद्दे पर संक्षेप में प्रकाश डालेंगे। कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• मांस उत्पादों के उत्पादन के लिए एक उत्पादन कार्यक्रम का गठन जो अधिकतम उत्पादन लाभ सुनिश्चित करता है;
• किसी फ़र्निचर फ़ैक्टरी में उत्पादित मेज़ों और कुर्सियों की इष्टतम मात्रा की गणना करके संगठन के लाभ को अधिकतम करना, इत्यादि।

आर्थिक-गणितीय मॉडल आर्थिक अमूर्तता को प्रदर्शित करता है, जिसे गणितीय शब्दों और प्रतीकों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

कंप्यूटर गणितीय मॉडल

कंप्यूटर गणितीय मॉडल के उदाहरण हैं:

• फ़्लोचार्ट, आरेख, तालिकाओं आदि का उपयोग करके हाइड्रोलिक समस्याएं;
• ठोस यांत्रिकी पर समस्याएँ, इत्यादि।

एक कंप्यूटर मॉडल किसी वस्तु या सिस्टम की एक छवि है, जिसे इस रूप में प्रस्तुत किया गया है:

• टेबल;
• ब्लॉक आरेख;
• आरेख;
• ग्राफ़िक्स, इत्यादि.

इसके अलावा, यह मॉडल सिस्टम की संरचना और अंतर्संबंधों को दर्शाता है।

एक आर्थिक और गणितीय मॉडल का निर्माण

हम पहले ही बात कर चुके हैं कि आर्थिक-गणितीय मॉडल क्या है। समस्या को हल करने का एक उदाहरण अभी माना जाएगा। हमें वर्गीकरण में बदलाव के साथ बढ़ते मुनाफे के लिए रिजर्व की पहचान करने के लिए उत्पादन कार्यक्रम का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

हम समस्या पर पूरी तरह विचार नहीं करेंगे, बल्कि केवल एक आर्थिक और गणितीय मॉडल बनाएंगे। हमारे कार्य की कसौटी लाभ अधिकतमीकरण है। फिर फ़ंक्शन का रूप है: А=р1*х1+р2*х2..., अधिकतम की ओर रुझान। इस मॉडल में, p प्रति यूनिट लाभ है और x उत्पादित इकाइयों की संख्या है। अगला, निर्मित मॉडल के आधार पर, गणना करना और सारांशित करना आवश्यक है।

एक सरल गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण

काम।मछुआरा निम्नलिखित कैच लेकर लौटा:

• 8 मछलियाँ - उत्तरी समुद्र के निवासी;
• पकड़ी गई मछली का 20% दक्षिणी समुद्र के निवासी हैं;
• स्थानीय नदी से एक भी मछली नहीं मिली।

उसने दुकान से कितनी मछलियाँ खरीदीं?

तो, इस समस्या का गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण इस तरह दिखता है। हम नामित करते हैं कुलएक्स के लिए मछली स्थिति के अनुसार, दक्षिणी अक्षांशों में रहने वाली मछलियों की संख्या 0.2x है। अब हम सभी उपलब्ध जानकारी को जोड़ते हैं और समस्या का गणितीय मॉडल प्राप्त करते हैं: x=0.2x+8. हम समीकरण को हल करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं मुख्य प्रश्न: उसने एक दुकान से 10 मछलियाँ खरीदीं।