सोवेटोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल (अव्य। मापांक - माप) मूल वस्तु के लिए एक स्थानापन्न वस्तु है, जो मूल के कुछ गुणों के अध्ययन को सुनिश्चित करता है।" (पृ. 6) "मॉडल ऑब्जेक्ट का उपयोग करके मूल ऑब्जेक्ट के सबसे महत्वपूर्ण गुणों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए एक ऑब्जेक्ट को दूसरे के साथ बदलना मॉडलिंग कहलाता है।" (पृ. 6) “गणितीय मॉडलिंग द्वारा हम किसी दिए गए वास्तविक वस्तु के साथ पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया को समझेंगे गणितीय वस्तु, जिसे गणितीय मॉडल कहा जाता है, और इस मॉडल का अध्ययन, जो किसी को विचाराधीन वास्तविक वस्तु की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है। गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु के अध्ययन के कार्यों और इस समस्या को हल करने की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है।

अंत में, गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा: "एक समीकरण एक विचार व्यक्त करता है».

मॉडल वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण प्रयुक्त गणितीय उपकरणों के वर्गीकरण पर आधारित होता है। अक्सर इसका निर्माण द्विभाजन के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विभाजन के लोकप्रिय सेटों में से एक:

और इसी तरह। प्रत्येक निर्मित मॉडल रैखिक या गैर-रैखिक, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक है, ... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार भी संभव हैं: एक संबंध में केंद्रित (मापदंडों के संदर्भ में), दूसरे में वितरित, आदि।

वस्तु को प्रस्तुत करने के तरीके के अनुसार वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरण के साथ-साथ, मॉडल किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके में भिन्न होते हैं:

• संरचनात्मक या कार्यात्मक मॉडल

संरचनात्मक मॉडलकिसी वस्तु को उसकी अपनी संरचना और कार्यप्रणाली के साथ एक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत करना। कार्यात्मक मॉडलऐसे अभ्यावेदन का उपयोग न करें और केवल वस्तु के बाह्य रूप से अनुमानित व्यवहार (कार्यप्रणाली) को प्रतिबिंबित करें। उनकी चरम अभिव्यक्ति में, उन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "कहा जाता है" ग्रे बॉक्स».

सामग्री और औपचारिक मॉडल

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का वर्णन करने वाले लगभग सभी लेखक संकेत करते हैं कि पहले एक विशेष आदर्श संरचना का निर्माण किया जाता है, सामग्री मॉडल. यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इसे आदर्श वस्तु कहते हैं संकल्पनात्मक निदर्श , सट्टा मॉडलया प्रीमॉडल. इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण कहा जाता है औपचारिक मॉडलया किसी दिए गए सार्थक मॉडल (पूर्व-मॉडल) की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त एक गणितीय मॉडल। एक सार्थक मॉडल का निर्माण तैयार किए गए आदर्शीकरणों के एक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसे यांत्रिकी में, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर निकाय, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडियाइत्यादि रेडीमेड दे दो संरचनात्मक तत्वसार्थक मॉडलिंग के लिए. हालाँकि, ज्ञान के उन क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से पूर्ण औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं (भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान और अधिकांश अन्य क्षेत्रों में अत्याधुनिक), सार्थक मॉडल का निर्माण नाटकीय रूप से अधिक कठिन हो जाता है।

मॉडलों का सामग्री वर्गीकरण

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना एक बार और हमेशा के लिए सिद्ध नहीं की जा सकती। रिचर्ड फेनमैन ने इसे बहुत स्पष्ट रूप से तैयार किया:

“हमारे पास हमेशा किसी सिद्धांत को अस्वीकार करने का अवसर होता है, लेकिन ध्यान दें कि हम कभी भी यह साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। आइए मान लें कि आपने एक सफल परिकल्पना प्रस्तुत की है, गणना की है कि यह कहाँ ले जाती है, और पाया कि इसके सभी परिणामों की प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई है। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा मतलब यह है कि आप इसका खंडन करने में असफल रहे।”

यदि पहले प्रकार का मॉडल बनाया जाता है, तो इसका मतलब है कि इसे अस्थायी रूप से सत्य के रूप में स्वीकार किया जाता है और व्यक्ति अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालाँकि, यह शोध का कोई बिंदु नहीं हो सकता है, बल्कि केवल एक अस्थायी विराम हो सकता है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

प्रकार 2: घटनात्मक मॉडल (हम ऐसा व्यवहार करते हैं जैसे…)

एक घटनात्मक मॉडल में एक घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालाँकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त करने वाला नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा इसकी पर्याप्त पुष्टि नहीं की जा सकती है, या वस्तु के बारे में मौजूदा सिद्धांतों और संचित ज्ञान के साथ अच्छी तरह से फिट नहीं बैठता है। इसीलिए घटनात्मक मॉडलअस्थायी समाधान की स्थिति है. ऐसा माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रहनी चाहिए। उदाहरण के लिए, पीयरल्स में दूसरे प्रकार के रूप में कैलोरी मॉडल और प्राथमिक कणों का क्वार्क मॉडल शामिल है।

अनुसंधान में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है, और ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत घटनात्मक मॉडल की पुष्टि करते हैं और उन्हें एक परिकल्पना की स्थिति में बढ़ावा दिया जाता है। इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार के मॉडल-परिकल्पनाओं के साथ संघर्ष में आ सकता है, और उन्हें दूसरे प्रकार में अनुवादित किया जा सकता है। इस प्रकार, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे परिकल्पनाओं की श्रेणी में जा रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उभरा, लेकिन इतिहास के साथ यह पहला प्रकार बन गया। लेकिन ईथर मॉडल ने टाइप 1 से टाइप 2 तक अपना रास्ता बना लिया है, और अब विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण विभिन्न रूपों में आता है। पीयरल्स ने मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरणों की पहचान की है।

टाइप 3: सन्निकटन (हम किसी चीज़ को बहुत बड़ा या बहुत छोटा मानते हैं)

यदि ऐसे समीकरण बनाना संभव है जो अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर की मदद से भी हल किया जा सकता है। इस मामले में एक सामान्य तकनीक सन्निकटन (प्रकार 3 मॉडल) का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल. समीकरणों को रैखिक समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। एक मानक उदाहरण ओम का नियम है।

यहां टाइप 8 आता है, जो जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में व्यापक है।

टाइप 8: फ़ीचर प्रदर्शन (मुख्य बात संभावना की आंतरिक स्थिरता दिखाना है)

ये भी विचार प्रयोग हैंकाल्पनिक संस्थाओं के साथ जो यह प्रदर्शित कर रही हैं कल्पित घटनाबुनियादी सिद्धांतों के अनुरूप और आंतरिक रूप से सुसंगत। यह टाइप 7 के मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

इन प्रयोगों में से सबसे प्रसिद्ध प्रयोग लोबचेव्स्की की ज्यामिति है (लोबचेव्स्की ने इसे "काल्पनिक ज्यामिति" कहा था)। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक कंपन, ऑटोवेव्स आदि के औपचारिक गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। क्वांटम यांत्रिकी की असंगतता को प्रदर्शित करने के लिए आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास की कल्पना टाइप 7 मॉडल के रूप में की गई थी। पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह अंततः टाइप 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

उदाहरण

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक स्प्रिंग है, जो एक सिरे पर लगा हुआ है, और द्रव्यमान का एक द्रव्यमान, स्प्रिंग के मुक्त सिरे से जुड़ा हुआ है। हम मान लेंगे कि भार केवल स्प्रिंग अक्ष की दिशा में आगे बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए, गति रॉड के साथ होती है)। आइए इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाएं। हम सिस्टम की स्थिति का वर्णन भार के केंद्र से उसकी संतुलन स्थिति तक की दूरी के आधार पर करेंगे। आइए हम स्प्रिंग और लोड के उपयोग की परस्पर क्रिया का वर्णन करें हुक का नियम() और फिर इसे विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

जहां का अर्थ समय के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न है:।

परिणामी समीकरण विचाराधीन भौतिक प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन करता है। इस मॉडल को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण के अनुसार, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने (अनुपस्थिति के बारे में) कई धारणाएँ बनाईं बाहरी ताक़तें, घर्षण की अनुपस्थिति, छोटे विचलन, आदि), जो वास्तव में पूरा नहीं हो सकता है।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर टाइप 4 मॉडल होता है सरलीकरण("स्पष्टता के लिए हम कुछ विवरण छोड़ देंगे"), क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं (उदाहरण के लिए, अपव्यय) छोड़ दी गई हैं। कुछ अनुमान के अनुसार (मान लीजिए, जबकि संतुलन से भार का विचलन छोटा है, कम घर्षण के साथ, बहुत अधिक समय के लिए नहीं और कुछ अन्य शर्तों के अधीन है), ऐसा मॉडल एक वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का काफी अच्छी तरह से वर्णन करता है, क्योंकि छोड़े गए कारक हैं उसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। हालाँकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखकर मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। इससे प्रयोज्यता के व्यापक (हालांकि फिर से सीमित) दायरे के साथ एक नया मॉडल सामने आएगा।

हालाँकि, मॉडल को परिष्कृत करते समय, इसके गणितीय अनुसंधान की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार बना सकती है। अक्सर, एक सरल मॉडल अधिक जटिल (और, औपचारिक रूप से, "अधिक सही") की तुलना में वास्तविक प्रणाली की बेहतर और गहरी खोज की अनुमति देता है।

यदि हम हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडल को भौतिकी से दूर की वस्तुओं पर लागू करते हैं, तो इसकी मूल स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू करते समय, इसे संभवतः प्रकार 6 के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए समानता("आइए केवल कुछ विशेषताओं को ध्यान में रखें")।

कठोर और नरम मॉडल

हार्मोनिक ऑसिलेटर तथाकथित "हार्ड" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। इसकी प्रयोज्यता के मुद्दे को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि जिन कारकों की हमने उपेक्षा की है वे कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "नरम" मॉडल का अध्ययन करना आवश्यक है, जो "कठोर" के एक छोटे से गड़बड़ी से प्राप्त होता है। इसे, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

यहां कुछ फ़ंक्शन दिए गए हैं जो घर्षण बल या इसके खिंचाव की डिग्री पर स्प्रिंग कठोरता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रख सकते हैं - कुछ छोटे पैरामीटर। फिलहाल हमें फ़ंक्शन के स्पष्ट रूप में कोई दिलचस्पी नहीं है। यदि हम यह साबित करते हैं कि नरम मॉडल का व्यवहार कठोर मॉडल के व्यवहार से मौलिक रूप से भिन्न नहीं है (स्पष्ट प्रकार के परेशान करने वाले कारकों की परवाह किए बिना, यदि वे काफी छोटे हैं), तो समस्या कठिन मॉडल का अध्ययन करने तक कम हो जाएगी। अन्यथा, कठोर मॉडल के अध्ययन से प्राप्त परिणामों के अनुप्रयोग के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के समीकरण का समाधान फॉर्म के कार्य हैं, अर्थात, एक स्थिर आयाम के साथ दोलन। क्या इससे यह पता चलता है कि एक वास्तविक थरथरानवाला एक स्थिर आयाम के साथ अनिश्चित काल तक दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण (हमेशा एक वास्तविक प्रणाली में मौजूद) के साथ एक प्रणाली पर विचार करने पर, हमें नम दोलन मिलते हैं। व्यवस्था का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि कोई प्रणाली छोटी-छोटी गड़बड़ियों के बावजूद अपना गुणात्मक व्यवहार बनाए रखती है, तो उसे संरचनात्मक रूप से स्थिर कहा जाता है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक संरचनात्मक रूप से अस्थिर (गैर-रफ) प्रणाली का एक उदाहरण है। हालाँकि, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय में प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडलों की बहुमुखी प्रतिभा

आमतौर पर सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल होते हैं महत्वपूर्ण संपत्ति बहुमुखी प्रतिभा: मौलिक रूप से भिन्न वास्तविक घटनाओं का वर्णन एक ही गणितीय मॉडल द्वारा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर न केवल स्प्रिंग पर भार के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का भी वर्णन करता है, जो अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति की होती हैं: पेंडुलम के छोटे दोलन, ए-आकार के बर्तन में तरल के स्तर में उतार-चढ़ाव , या एक ऑसिलेटरी सर्किट में वर्तमान ताकत में बदलाव। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करके, हम तुरंत इसके द्वारा वर्णित घटनाओं के एक पूरे वर्ग का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न खंडों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों की समरूपता है जिसने लुडविग वॉन बर्टलान्फ़ी को "सिस्टम का सामान्य सिद्धांत" बनाने के लिए प्रेरित किया।

गणितीय मॉडलिंग की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समस्याएं

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, आपको मॉडल की गई वस्तु का एक मूल आरेख तैयार करने की आवश्यकता है, इसे इस विज्ञान के आदर्शीकरण के ढांचे के भीतर पुन: पेश करें। इस प्रकार, एक ट्रेन कार विभिन्न सामग्रियों से प्लेटों और अधिक जटिल निकायों की एक प्रणाली में बदल जाती है, प्रत्येक सामग्री को इसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनत्व, लोचदार मॉड्यूल, मानक ताकत विशेषताओं) के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद समीकरण तैयार किए जाते हैं, और रास्ते में कुछ विवरणों को महत्वहीन मानकर खारिज कर दिया जाता है, गणना की जाती है, माप के साथ तुलना की जाती है, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, इत्यादि। हालाँकि, गणितीय मॉडलिंग तकनीकों को विकसित करने के लिए, इस प्रक्रिया को इसके मुख्य घटकों में विभाजित करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

सीधा कार्य: मॉडल की संरचना और उसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य मॉडल को निकालने के लिए उसका अध्ययन करना है उपयोगी ज्ञानवस्तु के बारे में. पुल कितना स्थैतिक भार सहन करेगा? यह गतिशील भार पर कैसे प्रतिक्रिया करेगा (उदाहरण के लिए, सैनिकों की एक कंपनी के मार्च पर, या विभिन्न गति से ट्रेन के गुजरने पर), विमान कैसे काबू पाएगा ध्वनि अवरोधक्या यह स्पंदन से अलग हो जाएगा - ये प्रत्यक्ष समस्या के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही प्रत्यक्ष समस्या निर्धारित करने (सही प्रश्न पूछना) की आवश्यकता है विशेष कौशल. यदि सही प्रश्न नहीं पूछे गए, तो एक पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। तो, 1879 में, ग्रेट ब्रिटेन में ताई नदी पर एक धातु पुल ढह गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल का एक मॉडल बनाया, गणना की कि इसमें पेलोड की कार्रवाई के लिए 20 गुना सुरक्षा कारक है, लेकिन हवाओं के बारे में भूल गए उन स्थानों पर लगातार बह रही है। और डेढ़ साल बाद यह ढह गया।

सबसे सरल मामले में (उदाहरण के लिए, एक थरथरानवाला समीकरण), प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के स्पष्ट समाधान को कम करती है।

उलटी समस्या: कई संभावित मॉडल ज्ञात हैं, वस्तु के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल का चयन किया जाना चाहिए। अक्सर, मॉडल की संरचना ज्ञात होती है, और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त जानकारीइसमें अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा, या वस्तु के लिए आवश्यकताएं शामिल हो सकती हैं ( डिजाइन समस्या). व्युत्क्रम समस्या को हल करने की प्रक्रिया की परवाह किए बिना अतिरिक्त डेटा आ सकता है ( निष्क्रिय अवलोकन) या समाधान के दौरान विशेष रूप से नियोजित किसी प्रयोग का परिणाम हो ( सक्रिय निगरानी).

उपलब्ध डेटा के पूर्ण उपयोग के साथ एक व्युत्क्रम समस्या के उत्कृष्ट समाधान के पहले उदाहरणों में से एक आई. न्यूटन द्वारा प्रेक्षित नम दोलनों से घर्षण बलों के पुनर्निर्माण के लिए बनाई गई विधि थी।

एक अन्य उदाहरण गणितीय आँकड़े हैं। इस विज्ञान का कार्य बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के संभाव्य मॉडल बनाने के लिए अवलोकन और प्रयोगात्मक डेटा को रिकॉर्ड करने, वर्णन करने और विश्लेषण करने के तरीकों को विकसित करना है। वे। संभावित मॉडलों का सेट संभाव्य मॉडलों तक ही सीमित है। में विशिष्ट कार्योंकई मॉडल अधिक सीमित हैं।

कंप्यूटर सिमुलेशन सिस्टम

गणितीय मॉडलिंग का समर्थन करने के लिए, कंप्यूटर गणित प्रणालियाँ विकसित की गई हैं, उदाहरण के लिए, मेपल, मैथमैटिका, मैथकैड, मैटलैब, विज़सिम, आदि। वे आपको सरल और दोनों के औपचारिक और ब्लॉक मॉडल बनाने की अनुमति देते हैं। जटिल प्रक्रियाएँऔर उपकरण तथा सिमुलेशन के दौरान मॉडल पैरामीटरों को आसानी से बदलें। ब्लॉक मॉडलब्लॉकों (अक्सर ग्राफिक) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका सेट और कनेक्शन मॉडल आरेख द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

अतिरिक्त उदाहरण

माल्थस का मॉडल

विकास दर वर्तमान जनसंख्या आकार के समानुपाती होती है। इसे अवकल समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

जहां जन्म दर और मृत्यु दर के बीच अंतर से एक निश्चित पैरामीटर निर्धारित किया जाता है। इस समीकरण का हल एक घातांकीय फलन है। यदि जन्म दर मृत्यु दर () से अधिक हो जाती है, तो जनसंख्या का आकार अनिश्चित काल तक और बहुत तेज़ी से बढ़ता है। स्पष्ट है कि वास्तव में सीमित संसाधनों के कारण ऐसा नहीं हो सकता। जब एक निश्चित महत्वपूर्ण जनसंख्या आकार तक पहुँच जाता है, तो मॉडल पर्याप्त नहीं रह जाता है, क्योंकि यह सीमित संसाधनों को ध्यान में नहीं रखता है। माल्थस मॉडल का परिशोधन एक लॉजिस्टिक मॉडल हो सकता है, जिसे वर्हुल्स्ट अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

"संतुलन" जनसंख्या का आकार कहां है, जिस पर जन्म दर की सटीक क्षतिपूर्ति मृत्यु दर से होती है। ऐसे मॉडल में जनसंख्या का आकार एक संतुलन मूल्य की ओर जाता है, और यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर होता है।

शिकारी-शिकार प्रणाली

मान लीजिए कि एक निश्चित क्षेत्र में दो प्रकार के जानवर रहते हैं: खरगोश (पौधे खाने वाले) और लोमड़ी (खरगोश खाने वाले)। चलो खरगोशों की संख्या, लोमड़ियों की संख्या। लोमड़ियों द्वारा खरगोशों के खाने को ध्यान में रखने के लिए आवश्यक संशोधनों के साथ माल्थस मॉडल का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्रणाली पर पहुंचते हैं, जिसका नाम है मॉडल ट्रे - वोल्टेरा:

जब खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होती है तो इस प्रणाली में संतुलन की स्थिति होती है। इस अवस्था से विचलन के परिणामस्वरूप खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव होता है, जो एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के उतार-चढ़ाव के समान होता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर की तरह, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटा सा बदलाव (उदाहरण के लिए, खरगोशों के लिए आवश्यक सीमित संसाधनों को ध्यान में रखते हुए) व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन ला सकता है। उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति स्थिर हो सकती है, और संख्याओं में उतार-चढ़ाव समाप्त हो जाएगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन स्थिति से कोई भी छोटा विचलन विनाशकारी परिणामों को जन्म देगा, यहां तक ​​कि किसी एक प्रजाति के पूर्ण विलुप्त होने तक। वोल्टेरा-लोटका मॉडल इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि इनमें से कौन सा परिदृश्य साकार हो रहा है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

टिप्पणियाँ

1. "वास्तविकता का गणितीय प्रतिनिधित्व" (एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका)
2. नोविक आई. बी., साइबरनेटिक मॉडलिंग के दार्शनिक मुद्दों पर। एम., ज्ञान, 1964.
3. सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2
4. समरस्की ए.ए., मिखाइलोव ए.पी.गणित मॉडलिंग. विचार. तरीके. उदाहरण। - दूसरा संस्करण, रेव। - एम.: फ़िज़मैटलिट, 2001. - आईएसबीएन 5-9221-0120-एक्स
5. मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ
6. सेवोस्त्यानोव, ए.जी. मोडलिंग तकनीकी प्रक्रियाएं: पाठ्यपुस्तक / ए.जी. सेवोस्त्यानोव, पी.ए. सेवोस्त्यानोव। – एम.: प्रकाश और खाद्य उद्योग, 1984. - 344 पी।
7. विक्षनरी: गणितीय मॉडल
8. क्लिफ़्सनोट्स.कॉम। पृथ्वी विज्ञान शब्दावली. 20 सितम्बर 2010
9. मल्टीस्केल फेनोमेना, स्प्रिंगर, कॉम्प्लेक्सिटी सीरीज़, बर्लिन-हीडलबर्ग-न्यूयॉर्क, 2006 के लिए मॉडल रिडक्शन और मोटे-दाने वाले दृष्टिकोण। XII+562 पीपी। आईएसबीएन 3-540-35885-4
10. “एक सिद्धांत को रैखिक या गैर-रेखीय माना जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस प्रकार के गणितीय उपकरण - रैखिक या गैर-रेखीय - और यह किस प्रकार के रैखिक या गैर-रेखीय गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ...बाद वाले को नकारे बिना। एक आधुनिक भौतिक विज्ञानी, यदि उसे गैर-रैखिकता जैसी महत्वपूर्ण इकाई की परिभाषा को फिर से बनाना है, तो वह संभवतः अलग तरीके से कार्य करेगा, और, दो विपरीतताओं में से अधिक महत्वपूर्ण और व्यापक के रूप में गैर-रैखिकता को प्राथमिकता देते हुए, रैखिकता को "नहीं" के रूप में परिभाषित करेगा। अरैखिकता।" डेनिलोव यू. ए., अरेखीय गतिकी पर व्याख्यान। प्रारंभिक परिचय. श्रृंखला "सिनर्जेटिक्स: अतीत से भविष्य तक।" संस्करण 2. - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 208 पी। आईएसबीएन 5-484-00183-8
11. “सामान्य अंतर समीकरणों की एक सीमित संख्या द्वारा तैयार की गई गतिशील प्रणालियों को केंद्रित या बिंदु प्रणाली कहा जाता है। उन्हें एक परिमित-आयामी चरण स्थान का उपयोग करके वर्णित किया गया है और स्वतंत्रता की डिग्री की एक सीमित संख्या की विशेषता है। विभिन्न परिस्थितियों में एक ही प्रणाली को या तो संकेंद्रित या वितरित माना जा सकता है। वितरित प्रणालियों के गणितीय मॉडल आंशिक अंतर समीकरण, अभिन्न समीकरण या साधारण विलंब समीकरण हैं। एक वितरित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या अनंत है, और इसकी स्थिति निर्धारित करने के लिए अनंत संख्या में डेटा की आवश्यकता होती है। अनिश्चेंको वी.एस., डायनेमिक सिस्टम, सोरोस एजुकेशनल जर्नल, 1997, नंबर 11, पी। 77-84.
12. “सिस्टम एस में अध्ययन की जा रही प्रक्रियाओं की प्रकृति के आधार पर, सभी प्रकार के मॉडलिंग को नियतात्मक और स्टोकेस्टिक, स्थिर और गतिशील, असतत, निरंतर और असतत-निरंतर में विभाजित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडलिंग नियतात्मक प्रक्रियाओं को दर्शाता है, यानी ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें किसी भी यादृच्छिक प्रभाव की अनुपस्थिति मानी जाती है; स्टोकेस्टिक मॉडलिंग संभाव्य प्रक्रियाओं और घटनाओं को दर्शाता है। ... स्थैतिक मॉडलिंग किसी भी समय किसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने का कार्य करती है, और गतिशील मॉडलिंग समय के साथ किसी वस्तु के व्यवहार को दर्शाती है। असतत मॉडलिंग का उपयोग उन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिन्हें क्रमशः असतत माना जाता है, निरंतर मॉडलिंग हमें सिस्टम में निरंतर प्रक्रियाओं को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है, और असतत-निरंतर मॉडलिंग का उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जब वे असतत और निरंतर दोनों प्रक्रियाओं की उपस्थिति को उजागर करना चाहते हैं। ” सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए.आईएसबीएन 5-06-003860-2
13. आमतौर पर, एक गणितीय मॉडल मॉडल की गई वस्तु की संरचना (उपकरण), इस वस्तु के घटकों के गुणों और संबंधों को दर्शाता है जो अनुसंधान के उद्देश्यों के लिए आवश्यक हैं; ऐसे मॉडल को संरचनात्मक कहा जाता है। यदि मॉडल केवल यह दर्शाता है कि वस्तु कैसे कार्य करती है - उदाहरण के लिए, यह बाहरी प्रभावों पर कैसे प्रतिक्रिया करती है - तो इसे कार्यात्मक या, लाक्षणिक रूप से, एक ब्लैक बॉक्स कहा जाता है। संयुक्त मॉडल भी संभव हैं. मायश्किस ए.डी.आईएसबीएन 978-5-484-00953-4
14. “गणितीय मॉडल के निर्माण या चयन का स्पष्ट, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण प्रारंभिक चरण, अनौपचारिक चर्चाओं के आधार पर, मॉडलिंग की जा रही वस्तु के बारे में यथासंभव स्पष्ट तस्वीर प्राप्त करना और उसके सार्थक मॉडल को परिष्कृत करना है। आपको इस स्तर पर समय और प्रयास को बर्बाद नहीं करना चाहिए, पूरे अध्ययन की सफलता काफी हद तक इस पर निर्भर करती है। ऐसा एक से अधिक बार हुआ है कि गणितीय समस्या को हल करने पर किया गया महत्वपूर्ण कार्य मामले के इस पक्ष पर अपर्याप्त ध्यान देने के कारण अप्रभावी या यहां तक ​​कि बर्बाद हो गया। मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ, पृ. 35.
15. « सिस्टम के वैचारिक मॉडल का विवरण.सिस्टम मॉडल के निर्माण के इस उपचरण में: ए) वैचारिक मॉडल एम को अमूर्त शब्दों और अवधारणाओं में वर्णित किया गया है; बी) मानक गणितीय योजनाओं का उपयोग करके मॉडल का विवरण दिया गया है; ग) परिकल्पनाओं और धारणाओं को अंततः स्वीकार कर लिया जाता है; घ) मॉडल का निर्माण करते समय वास्तविक प्रक्रियाओं का अनुमान लगाने के लिए प्रक्रिया का चुनाव उचित है। सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2, पृ. 93.
16. ब्लेखमैन आई.आई., मायश्किस ए.डी., पनोव्को एन.जी., अनुप्रयुक्त गणित: विषय, तर्क, दृष्टिकोण की विशेषताएं। यांत्रिकी से उदाहरण के साथ: ट्यूटोरियल. - तीसरा संस्करण, रेव। और अतिरिक्त - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 376 पी। आईएसबीएन 5-484-00163-3, अध्याय 2।

किसी वस्तु के विकास की गतिशीलता, उसके तत्वों के संबंधों के आंतरिक सार और डिज़ाइन प्रक्रिया में विभिन्न अवस्थाओं का पता लगाना केवल उन मॉडलों की सहायता से संभव है जो गतिशील सादृश्य के सिद्धांत का उपयोग करते हैं, अर्थात गणितीय की सहायता से मॉडल।

गणित का मॉडलगणितीय संबंधों की एक प्रणाली है जो अध्ययन की जा रही प्रक्रिया या घटना का वर्णन करती है। गणितीय मॉडल को संकलित करने के लिए, आप किसी भी गणितीय साधन का उपयोग कर सकते हैं - सेट सिद्धांत, गणितीय तर्क, अंतर या अभिन्न समीकरणों की भाषा। गणितीय मॉडल संकलित करने की प्रक्रिया कहलाती है गणितीय मॉडलिंग. अन्य प्रकार के मॉडलों की तरह, एक गणितीय मॉडल एक समस्या को सरलीकृत रूप में प्रस्तुत करता है और केवल उन गुणों और पैटर्न का वर्णन करता है जो किसी दिए गए ऑब्जेक्ट या प्रक्रिया के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। गणितीय मॉडल बहुपक्षीय मात्रात्मक विश्लेषण की अनुमति देता है। प्रारंभिक डेटा, मानदंड और प्रतिबंधों को बदलकर, हर बार आप दी गई स्थितियों के लिए इष्टतम समाधान प्राप्त कर सकते हैं और खोज की आगे की दिशा निर्धारित कर सकते हैं।

गणितीय मॉडल के निर्माण के लिए उनके डेवलपर्स को औपचारिक तार्किक तरीकों के ज्ञान के अलावा, मुख्य विचारों और नियमों को सख्ती से तैयार करने के साथ-साथ पर्याप्त मात्रा में विश्वसनीय तथ्यात्मक पहचान करने के लिए अध्ययन की जा रही वस्तु का गहन विश्लेषण की आवश्यकता होती है। सांख्यिकीय और विनियामक डेटा.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वर्तमान में उपयोग किए जाने वाले सभी गणितीय मॉडल संबंधित हैं नियम के अनुसार. अनुदेशात्मक मॉडल विकसित करने का उद्देश्य समाधान खोजने की दिशा को इंगित करना है, जबकि विकास का उद्देश्य का वर्णनमॉडल वास्तविक मानवीय सोच प्रक्रियाओं का प्रतिबिंब हैं।

काफी व्यापक दृष्टिकोण है कि गणित की सहायता से अध्ययन की जा रही वस्तु या प्रक्रिया पर केवल कुछ संख्यात्मक डेटा प्राप्त करना संभव है। “बेशक, कई गणितीय विषयों का उद्देश्य अंतिम संख्यात्मक परिणाम प्राप्त करना है। लेकिन गणितीय तरीकों को केवल एक संख्या प्राप्त करने की समस्या तक सीमित करने का अर्थ है गणित को अंतहीन रूप से गरीब बनाना, उस शक्तिशाली हथियार की संभावना को कमजोर करना जो आज शोधकर्ताओं के हाथ में है...

एक या किसी अन्य निजी भाषा में लिखा गया गणितीय मॉडल (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण) प्रतिबिंबित करता है कुछ गुणवास्तविक भौतिक प्रक्रियाएँ। गणितीय मॉडल के विश्लेषण के परिणामस्वरूप, हम सबसे पहले, अध्ययन के तहत प्रक्रियाओं की विशेषताओं के बारे में गुणात्मक विचार प्राप्त करते हैं, पैटर्न स्थापित करते हैं जो क्रमिक राज्यों की गतिशील श्रृंखला निर्धारित करते हैं, और प्रक्रिया के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी करने का अवसर प्राप्त करते हैं। और इसकी मात्रात्मक विशेषताओं का निर्धारण करें।

गणितीय मॉडल का उपयोग कई प्रसिद्ध मॉडलिंग विधियों में किया जाता है। इनमें ऐसे मॉडलों का विकास शामिल है जो किसी वस्तु की स्थिर और गतिशील स्थिति, अनुकूलन मॉडल का वर्णन करते हैं।

गणितीय मॉडल का एक उदाहरण जो किसी वस्तु की स्थिर और गतिशील स्थिति का वर्णन करता है विभिन्न तरीकेपारंपरिक संरचनात्मक गणना. गणितीय संक्रियाओं (एल्गोरिदम) के अनुक्रम के रूप में प्रस्तुत गणना प्रक्रिया हमें यह कहने की अनुमति देती है कि एक निश्चित संरचना की गणना के लिए एक गणितीय मॉडल संकलित किया गया है।

में अनुकूलनमॉडल में तीन तत्व होते हैं:

स्वीकृत गुणवत्ता मानदंड को प्रतिबिंबित करने वाला उद्देश्यपूर्ण कार्य;

समायोज्य पैरामीटर;

लगाए गए प्रतिबंध.

इन सभी तत्वों को गणितीय रूप से समीकरणों, तार्किक स्थितियों आदि के रूप में वर्णित किया जाना चाहिए। अनुकूलन समस्या का समाधान निर्दिष्ट प्रतिबंधों का अनुपालन करते हुए उद्देश्य फ़ंक्शन का न्यूनतम (अधिकतम) मान खोजने की प्रक्रिया है। यदि उद्देश्य फ़ंक्शन अपने चरम मूल्य तक पहुँच जाता है तो समाधान परिणाम को इष्टतम माना जाता है।

अनुकूलन मॉडल का एक उदाहरण औद्योगिक भवनों के वैकल्पिक डिजाइन की विधि में "कनेक्शन लंबाई" मानदंड का गणितीय विवरण है।

उद्देश्य फ़ंक्शन सभी कार्यात्मक कनेक्शनों की कुल भारित लंबाई को दर्शाता है, जो न्यूनतम होना चाहिए:

तत्व के संबंध का भार मान कहां है;

- तत्वों के बीच कनेक्शन की लंबाई;

- रखे गए तत्वों की कुल संख्या.

चूँकि परिसर में रखे गए तत्वों का क्षेत्रफल डिज़ाइन समाधान के सभी वेरिएंट में समान है, इसलिए वेरिएंट एक दूसरे से केवल तत्वों के बीच अलग-अलग दूरी और एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान में भिन्न होते हैं। नतीजतन, इस मामले में समायोज्य पैरामीटर फर्श योजनाओं पर रखे गए तत्वों के निर्देशांक हैं।

तत्वों के स्थान पर (योजना पर पूर्व-निर्धारित स्थान पर, बाहरी परिधि पर, एक दूसरे के ऊपर, आदि) और कनेक्शन की लंबाई पर प्रतिबंध लगाया गया है (तत्वों के बीच कनेक्शन की लंबाई सख्ती से निर्दिष्ट है, न्यूनतम) या मूल्यों की अधिकतम सीमाएँ निर्दिष्ट हैं, परिवर्तन की सीमाएँ निर्दिष्ट मान हैं) औपचारिक रूप से लिखे गए हैं।

एक विकल्प को इष्टतम माना जाता है (इस मानदंड के अनुसार) यदि इस विकल्प के लिए गणना किए गए उद्देश्य फ़ंक्शन का मान न्यूनतम है।

विभिन्न प्रकार के गणितीय मॉडल - आर्थिक-गणितीय मॉडल- आर्थिक विशेषताओं और सिस्टम मापदंडों के बीच संबंध का एक मॉडल है।

आर्थिक-गणितीय मॉडल का एक उदाहरण औद्योगिक भवनों के वैकल्पिक डिजाइन की उपर्युक्त विधि में लागत मानदंड का गणितीय विवरण है। गणितीय सांख्यिकी विधियों के उपयोग के आधार पर प्राप्त गणितीय मॉडल एक मंजिला और बहुमंजिला औद्योगिक इमारतों के फ्रेम, नींव, मिट्टी के काम की लागत और उनकी लोड-असर संरचनाओं की ऊंचाई, अवधि और पिच की निर्भरता को दर्शाते हैं।

निर्णय लेने पर यादृच्छिक कारकों के प्रभाव को ध्यान में रखने की विधि के आधार पर, गणितीय मॉडल को नियतात्मक और संभाव्य में विभाजित किया गया है। नियतिवादीमॉडल सिस्टम संचालन की प्रक्रिया में यादृच्छिक कारकों के प्रभाव को ध्यान में नहीं रखता है और कामकाज पैटर्न के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व पर आधारित है। संभाव्य (स्टोकेस्टिक)मॉडल सिस्टम के संचालन के दौरान यादृच्छिक कारकों के प्रभाव को ध्यान में रखता है और सांख्यिकीय पर आधारित है, अर्थात। बड़े पैमाने पर घटनाओं का मात्रात्मक मूल्यांकन, विभिन्न वितरण कानूनों द्वारा वर्णित उनकी गैर-रैखिकता, गतिशीलता, यादृच्छिक गड़बड़ी को ध्यान में रखना संभव बनाता है।

उपरोक्त उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि गणितीय मॉडल जो मानदंड "कनेक्शन की लंबाई" का वर्णन करता है वह नियतात्मक मॉडल को संदर्भित करता है, और गणितीय मॉडल जो मानदंड "लागत" के समूह का वर्णन करता है वह संभाव्य मॉडल को संदर्भित करता है।

भाषाई, शब्दार्थ और सूचना मॉडल

गणितीय मॉडल के स्पष्ट लाभ हैं क्योंकि किसी समस्या के पहलुओं का परिमाणीकरण लक्ष्यों की प्राथमिकताओं की स्पष्ट तस्वीर प्रदान करता है। यह महत्वपूर्ण है कि एक विशेषज्ञ हमेशा प्रासंगिक संख्यात्मक डेटा प्रस्तुत करके किसी विशेष निर्णय को अपनाने को उचित ठहरा सकता है। हालाँकि, पूर्ण गणितीय विवरण परियोजना की गतिविधियोंअसंभव, इसलिए वास्तुशिल्प और निर्माण डिजाइन के प्रारंभिक चरण में हल की गई अधिकांश समस्याएं संबंधित हैं ख़राब ढंग से संरचित.

अर्ध-संरचित समस्याओं की एक विशेषता है मौखिक विवरणवे जिन मानदंडों का उपयोग करते हैं। प्राकृतिक भाषा में वर्णित मापदण्डों का परिचय (ऐसे मापदण्ड कहलाते हैं भाषाई), आपको इष्टतम डिज़ाइन समाधान खोजने के लिए कम जटिल तरीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है। ऐसे मानदंडों को देखते हुए, डिजाइनर लक्ष्यों की परिचित, निर्विवाद अभिव्यक्तियों के आधार पर निर्णय लेता है।

समस्या के सभी पहलुओं का एक सार्थक विवरण, एक ओर, इसे हल करने की प्रक्रिया में व्यवस्थितकरण का परिचय देता है, और दूसरी ओर, विशेषज्ञों के काम को बहुत सुविधाजनक बनाता है, जो गणित की प्रासंगिक शाखाओं का अध्ययन किए बिना, अपनी व्यावसायिक समस्याओं को अधिक हल कर सकते हैं। तर्कसंगत रूप से. चित्र में. 5.2 दिया गया है भाषाई मॉडल, बेकरी के लिए विभिन्न लेआउट विकल्पों में प्राकृतिक वेंटिलेशन के लिए स्थितियां बनाने की संभावनाओं का वर्णन करना।

सार्थक समस्या विवरण के अन्य लाभों में शामिल हैं:

किसी डिज़ाइन समाधान की प्रभावशीलता निर्धारित करने वाले सभी मानदंडों का वर्णन करने की क्षमता। साथ ही, यह महत्वपूर्ण है कि जटिल अवधारणाओं को विवरण में पेश किया जा सके और विशेषज्ञ के दृष्टिकोण के क्षेत्र में मात्रात्मक, मापने योग्य कारकों के साथ-साथ गुणात्मक, गैर-मापने योग्य कारकों को भी शामिल किया जाएगा। इस प्रकार, निर्णय लेने के समय, सभी व्यक्तिपरक और वस्तुनिष्ठ जानकारी का उपयोग किया जाएगा;

चावल। 5.2 भाषाई मॉडल के रूप में "वेंटिलेशन" मानदंड की सामग्री का विवरण

विशेषज्ञों द्वारा अपनाए गए फॉर्मूलेशन के आधार पर इस मानदंड के विकल्पों में लक्ष्य की उपलब्धि की डिग्री का स्पष्ट रूप से आकलन करने की क्षमता, जो प्राप्त जानकारी की विश्वसनीयता सुनिश्चित करती है;

किए गए निर्णयों के सभी परिणामों के अधूरे ज्ञान के साथ-साथ पूर्वानुमानित जानकारी से जुड़ी अनिश्चितता को ध्यान में रखने की क्षमता।

अध्ययन की वस्तु का वर्णन करने के लिए प्राकृतिक भाषा का उपयोग करने वाले मॉडल में सिमेंटिक मॉडल भी शामिल होते हैं।

सिमेंटिक मॉडल- किसी वस्तु का ऐसा प्रतिनिधित्व होता है जो वस्तु के विभिन्न घटकों, पहलुओं, गुणों के बीच अंतर्संबंध (निकटता) की डिग्री को दर्शाता है। अंतर्संबंध का अर्थ सापेक्ष स्थानिक व्यवस्था नहीं है, बल्कि अर्थ में संबंध है।

इस प्रकार, अर्थपूर्ण अर्थ में, प्राकृतिक रोशनी के गुणांक और पारदर्शी बाड़ के प्रकाश क्षेत्र के बीच का संबंध खिड़की के उद्घाटन और दीवार के आसन्न अंधे वर्गों के बीच के संबंध की तुलना में अधिक निकट प्रस्तुत किया जाएगा।

कनेक्टिविटी संबंधों का सेट दिखाता है कि किसी ऑब्जेक्ट में चयनित प्रत्येक तत्व और समग्र रूप से ऑब्जेक्ट क्या दर्शाता है। साथ ही, सिमेंटिक मॉडल किसी वस्तु में विभिन्न पहलुओं की कनेक्टिविटी की डिग्री के अलावा, अवधारणाओं की सामग्री को भी दर्शाता है। प्राथमिक मॉडल प्राकृतिक भाषा में व्यक्त अवधारणाएँ हैं।

सिमेंटिक मॉडल का निर्माण उन सिद्धांतों पर आधारित है जिनके अनुसार मॉडल के उपयोग के दौरान अवधारणाएं और कनेक्शन पूरे समय नहीं बदलते हैं; एक अवधारणा की सामग्री दूसरे में स्थानांतरित नहीं होती है; दो अवधारणाओं के बीच संबंधों में उनके संबंध में एक समान और गैर-उन्मुख बातचीत होती है।

प्रत्येक मॉडल विश्लेषण का उद्देश्य ऐसे मॉडल तत्वों का चयन करना है जिनमें समानता हो निश्चित गुणवत्ता. यह एक एल्गोरिदम के निर्माण के लिए आधार देता है जो केवल प्रत्यक्ष कनेक्शन को ध्यान में रखता है। किसी मॉडल को अप्रत्यक्ष ग्राफ़ में परिवर्तित करते समय, दो तत्वों के बीच एक पथ पाया जाता है जो प्रत्येक तत्व का केवल एक बार उपयोग करते हुए, एक तत्व से दूसरे तक की गति का पता लगाता है। जिस क्रम में तत्व प्रकट होते हैं उसे दो तत्वों का क्रम कहा जाता है। अनुक्रमों की लंबाई अलग-अलग हो सकती है. उनमें से सबसे छोटे को तत्व संबंध कहा जाता है। दो तत्वों का एक क्रम मौजूद होता है भले ही उनके बीच सीधा संबंध हो, लेकिन इस मामले में कोई संबंध नहीं है।

सिमेंटिक मॉडल के उदाहरण के रूप में, हम संचार कनेक्शन के साथ-साथ एक अपार्टमेंट के लेआउट का विवरण देते हैं। अवधारणा एक अपार्टमेंट का परिसर है। सीधे कनेक्शन का अर्थ है दो कमरों का कार्यात्मक कनेक्शन, उदाहरण के लिए एक दरवाजे से (तालिका 5.1 देखें)।

मॉडल को अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के रूप में बदलने से हमें तत्वों का अनुक्रम प्राप्त करने की अनुमति मिलती है (चित्र 5.3)।

तत्व 2 (बाथरूम) और तत्व 6 (पेंट्री) के बीच बने अनुक्रम के उदाहरण तालिका में दिए गए हैं। 5.2. जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, अनुक्रम 3 इन दो तत्वों के संबंध को दर्शाता है।

तालिका 5.1

अपार्टमेंट लेआउट का विवरण

चावल। 5.3 अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के रूप में नियोजन समाधान का विवरण

गणित का मॉडल गणितीय संबंधों की एक प्रणाली है - सूत्र, समीकरण, असमानताएं, आदि, जो किसी वस्तु या घटना के आवश्यक गुणों को दर्शाती हैं।

प्रत्येक प्राकृतिक घटना अपनी जटिलता में अनंत है. आइए हम इसे वी.एन. की पुस्तक से लिए गए एक उदाहरण से स्पष्ट करें। ट्रॉस्टनिकोव "मैन एंड इंफॉर्मेशन" (पब्लिशिंग हाउस "नौका", 1970)।

औसत व्यक्ति गणितीय समस्या इस प्रकार तैयार करता है: “एक पत्थर को 200 मीटर की ऊंचाई से गिरने में कितना समय लगेगा?”गणितज्ञ समस्या का अपना संस्करण कुछ इस तरह बनाना शुरू करेगा: "आइए मान लें कि पत्थर शून्य में गिरता है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 9.8 मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड है। फिर..."

- मुझे- "ग्राहक" कह सकता है, - मैं इस सरलीकरण से खुश नहीं हूँ. मैं जानना चाहता हूं कि एक पत्थर गिरने में कितना समय लगेगा वास्तविक स्थितियाँ, और किसी अस्तित्वहीन शून्य में नहीं।

- अच्छा,- गणितज्ञ सहमत होंगे। - आइए मान लें कि पत्थर का आकार और व्यास गोलाकार है... इसका व्यास लगभग कितना है?

- लगभग पाँच सेंटीमीटर. लेकिन यह बिल्कुल भी गोलाकार नहीं है, बल्कि आयताकार है।

- तब हम मान लेंगे कि वहइसका आकार दीर्घवृत्ताभ जैसा है धुरी शाफ्ट के साथ चार, तीन और तीन सेंटीमीटर और यहगिरता है ताकि अर्ध-प्रमुख अक्ष हर समय लंबवत रहे . आइए वायुदाब को बराबर मानें760 मिमी एचजी , यहाँ से हम वायु घनत्व ज्ञात करते हैं...

यदि "मानवीय" भाषा में समस्या प्रस्तुत करने वाला गणितज्ञ के विचार क्रम में और हस्तक्षेप नहीं करता है, तो गणितज्ञ कुछ समय बाद संख्यात्मक उत्तर देगा। लेकिन "उपभोक्ता" अभी भी आपत्ति कर सकता है: पत्थर वास्तव में बिल्कुल भी दीर्घवृत्ताकार नहीं है, उस स्थान पर और उस समय हवा का दबाव 760 मिमी एचजी के बराबर नहीं था, आदि। गणितज्ञ उसे क्या उत्तर देगा?

वह इसका जवाब देंगे सटीक समाधान वास्तविक समस्याबिल्कुल असंभव. इतना ही नहीं पत्थर का आकार, जो वायु प्रतिरोध को प्रभावित करता है, किसी गणितीय समीकरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता; उड़ान में इसका घूमना भी गणित के नियंत्रण से बाहर हैइसकी जटिलता के कारण. आगे, हवा एक समान नहीं है,चूंकि, यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, घनत्व में उतार-चढ़ाव में उतार-चढ़ाव उत्पन्न होता है। यदि हम और गहराई में जाएं तो हमें उस पर विचार करने की आवश्यकता है सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड पर कार्य करता है. यह एक पेंडुलम का भी अनुसरण करता है दीवार घड़ीअपनी गति से पत्थर का प्रक्षेप पथ बदल देता है।

संक्षेप में, यदि हम गंभीरता से किसी वस्तु के व्यवहार का सटीक अध्ययन करना चाहते हैं, तो हमें सबसे पहले ब्रह्मांड में अन्य सभी वस्तुओं की स्थिति और गति को जानना होगा। और यह, बिल्कुल। असंभव ।

सबसे प्रभावी ढंग से, एक गणितीय मॉडल को एक एल्गोरिदमिक मॉडल के रूप में कंप्यूटर पर लागू किया जा सकता है - एक तथाकथित "कम्प्यूटेशनल प्रयोग" (देखें [1], पैराग्राफ 26)।

बेशक, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के परिणाम वास्तविकता के अनुरूप नहीं हो सकते हैं यदि मॉडल वास्तविकता के कुछ महत्वपूर्ण पहलुओं को ध्यान में नहीं रखता है।

इसलिए, किसी समस्या को हल करने के लिए गणितीय मॉडल बनाते समय, आपको यह करना होगा:

1. उन धारणाओं को उजागर करें जिन पर गणितीय मॉडल आधारित होगा;
2. निर्धारित करें कि प्रारंभिक डेटा और परिणाम क्या माने जाते हैं;
3. परिणामों को मूल डेटा से जोड़ने वाले गणितीय संबंध लिखें।

गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, ऐसे सूत्र ढूंढना हमेशा संभव नहीं होता है जो डेटा के माध्यम से वांछित मात्रा को स्पष्ट रूप से व्यक्त करते हैं। ऐसे मामलों में, सटीकता की अलग-अलग डिग्री के उत्तर प्रदान करने के लिए गणितीय तरीकों का उपयोग किया जाता है। किसी भी घटना का न केवल गणितीय मॉडलिंग है, बल्कि दृश्य-प्राकृतिक मॉडलिंग भी है, जो कंप्यूटर ग्राफिक्स का उपयोग करके इन घटनाओं को प्रदर्शित करके प्रदान किया जाता है, अर्थात। शोधकर्ता के सामने वास्तविक समय में फिल्माया गया एक प्रकार का "कंप्यूटर कार्टून" दिखाया जाता है। यहां विजिबिलिटी बहुत ज्यादा है.

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प्रथम स्तर

OGE और एकीकृत राज्य परीक्षा (2019) के लिए गणितीय मॉडल

गणितीय मॉडल की अवधारणा

एक हवाई जहाज की कल्पना करें: पंख, धड़, पूंछ, यह सब एक साथ - एक वास्तविक विशाल, विशाल, संपूर्ण हवाई जहाज। या आप एक हवाई जहाज का मॉडल बना सकते हैं, छोटा, लेकिन बिल्कुल वास्तविक जीवन की तरह, वही पंख, आदि, लेकिन कॉम्पैक्ट। गणितीय मॉडल भी ऐसा ही है। एक पाठ्य समस्या है, बोझिल, आप इसे देख सकते हैं, पढ़ सकते हैं, लेकिन इसे ठीक से समझ नहीं पाते हैं, और इससे भी अधिक यह स्पष्ट नहीं है कि इसे कैसे हल किया जाए। यदि आप किसी बड़ी शब्द समस्या का एक छोटा सा मॉडल, गणितीय मॉडल बना लें तो क्या होगा? गणितीय का क्या अर्थ है? इसका मतलब है, गणितीय अंकन के नियमों और कानूनों का उपयोग करके, पाठ को संख्याओं और अंकगणितीय संकेतों का उपयोग करके तार्किक रूप से सही प्रतिनिधित्व में बदलना। इसलिए, गणितीय मॉडल गणितीय भाषा का उपयोग करके वास्तविक स्थिति का प्रतिनिधित्व है।

आइए कुछ सरल से शुरू करें: संख्या अधिक संख्यापर। हमें इसे शब्दों का उपयोग किए बिना, केवल गणित की भाषा में लिखने की आवश्यकता है। यदि इससे अधिक है तो परिणाम यह होता है कि यदि हम इसमें से घटा दें तो इन संख्याओं का अंतर समान ही रहेगा। वे। या। क्या आप बात समझ गए?

अब यह और अधिक कठिन है, अब एक पाठ होगा जिसे आपको गणितीय मॉडल के रूप में प्रस्तुत करने का प्रयास करना चाहिए, मैं इसे कैसे करूँगा यह अभी तक न पढ़ें, इसे स्वयं आज़माएँ! चार संख्याएँ हैं: , और। उत्पाद, उत्पाद से दोगुना बड़ा है.

क्या हुआ?

गणितीय मॉडल के रूप में यह इस प्रकार दिखेगा:

वे। उत्पाद दो से एक के रूप में संबंधित है, लेकिन इसे और सरल बनाया जा सकता है:

ठीक है, हम यहाँ चलते हैं सरल उदाहरणमुझे लगता है, आप बात समझ गए होंगे। आइए संपूर्ण समस्याओं की ओर बढ़ते हैं जिनमें इन गणितीय मॉडलों को भी हल करने की आवश्यकता होती है! यहाँ चुनौती है.

व्यवहार में गणितीय मॉडल

समस्या 1

बारिश के बाद कुएं का जलस्तर बढ़ सकता है. लड़का कुएं में गिरने वाले छोटे कंकड़ के समय को मापता है और सूत्र का उपयोग करके पानी की दूरी की गणना करता है, जहां मीटर में दूरी है और सेकंड में गिरने का समय है। बारिश से पहले कंकड़ गिरने का समय s था. बारिश के बाद मापा समय को एस में बदलने के लिए जल स्तर कितना बढ़ना चाहिए? अपना उत्तर मीटर में व्यक्त करें।

हाय भगवान्! क्या सूत्र, कैसा कुआँ, क्या हो रहा है, क्या करना है? क्या मैंने आपका मन पढ़ा? आराम करें, इस प्रकार की समस्याओं में और भी भयानक स्थितियाँ होती हैं, मुख्य बात यह याद रखना है कि इस समस्या में आप सूत्रों और चर के बीच संबंधों में रुचि रखते हैं, और ज्यादातर मामलों में इसका क्या मतलब है यह बहुत महत्वपूर्ण नहीं है। आप यहां क्या उपयोगी देखते हैं? मैं इसे व्यक्तिगत रूप से देखता हूं। इन समस्याओं को हल करने का सिद्धांत निम्नलिखित है: आप सभी ज्ञात मात्राएँ लें और उन्हें प्रतिस्थापित करें।लेकिन, कभी-कभी आपको सोचने की ज़रूरत होती है!

मेरी पहली सलाह का पालन करते हुए, और ज्ञात सभी चीज़ों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

यह मैं ही था जिसने सेकंड के समय को प्रतिस्थापित किया और ऊंचाई का पता लगाया कि पत्थर बारिश से पहले उड़ गया था। अब हमें बारिश के बाद गिनती करने और अंतर ढूंढने की ज़रूरत है!

अब दूसरी सलाह सुनें और इसके बारे में सोचें, प्रश्न निर्दिष्ट करता है कि "बारिश के बाद मापा समय को एस में बदलने के लिए जल स्तर कितना बढ़ना चाहिए।" आपको तुरंत यह पता लगाने की आवश्यकता है कि बारिश के बाद जल स्तर बढ़ जाता है, जिसका अर्थ है कि पानी के स्तर पर पत्थर गिरने का समय कम हो जाता है, और यहां अलंकृत वाक्यांश "ताकि मापा गया समय बदल जाए" एक विशिष्ट अर्थ लेता है: गिरना समय बढ़ता नहीं है, बल्कि संकेतित सेकंड कम हो जाता है। इसका मतलब यह है कि बारिश के बाद फेंकने के मामले में, हमें शुरुआती समय सी से सी घटाने की जरूरत है, और हमें उस ऊंचाई का समीकरण मिलता है जो बारिश के बाद पत्थर उड़ जाएगा:

और अंत में, यह पता लगाने के लिए कि बारिश के बाद मापा समय को एस में बदलने के लिए पानी का स्तर कितना बढ़ना चाहिए, आपको बस पहली गिरावट की ऊंचाई से दूसरे को घटाना होगा!

हमें उत्तर मिलता है: प्रति मीटर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि इस बारे में ज्यादा चिंता न करें कि परिस्थितियों में इतना समझ से बाहर और कभी-कभी जटिल समीकरण कहां से आया और इसमें हर चीज का क्या मतलब है, इसके लिए मेरा शब्द लें, अधिकांश ये समीकरण भौतिकी से लिए गए हैं, और वहां जंगल बीजगणित से भी बदतर है। कभी-कभी मुझे ऐसा लगता है कि इन कार्यों का आविष्कार एकीकृत राज्य परीक्षा में छात्रों को जटिल सूत्रों और शर्तों की बहुतायत से डराने के लिए किया गया था, और ज्यादातर मामलों में उन्हें लगभग किसी भी ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। बस शर्त को ध्यान से पढ़ें और ज्ञात मात्राओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करें!

यहां एक और समस्या है, भौतिकी से नहीं, बल्कि दुनिया से आर्थिक सिद्धांत, हालाँकि गणित के अलावा अन्य विज्ञानों का ज्ञान यहाँ फिर से आवश्यक नहीं है।

समस्या 2

कीमत (हजार रूबल) पर एक एकाधिकार उद्यम के उत्पादों की मांग की मात्रा (प्रति माह इकाइयां) की निर्भरता सूत्र द्वारा दी गई है

महीने के लिए उद्यम का राजस्व (हजार रूबल में) सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है। उच्चतम मूल्य निर्धारित करें जिस पर मासिक राजस्व कम से कम हजार रूबल होगा। अपना उत्तर हजार रूबल में दें।

सोचो अब मैं क्या करूँगा? हाँ, हम जो जानते हैं उसे जोड़ना शुरू करेंगे, लेकिन, फिर भी, मुझे अभी भी थोड़ा सोचना होगा। चलिए अंत से चलते हैं, हमें यह पता लगाना होगा कि कौन सा है। तो, वहाँ है, यह किसी चीज़ के बराबर है, हम पाते हैं कि यह किसके बराबर है, और यह इसके बराबर है, इसलिए हम इसे लिखते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, मैं वास्तव में इन सभी मात्राओं के अर्थ के बारे में चिंता नहीं करता, मैं बस स्थितियों से देखता हूं कि क्या बराबर है, यही आपको करने की आवश्यकता है। चलिए समस्या पर वापस आते हैं, यह आपके पास पहले से ही है, लेकिन जैसा कि आप दो चर वाले एक समीकरण से याद करते हैं, आप उनमें से कोई भी नहीं ढूंढ सकते हैं, आपको क्या करना चाहिए? हाँ, हमारे पास अभी भी एक अप्रयुक्त टुकड़ा हालत में बचा हुआ है। अब, पहले से ही दो समीकरण और दो चर हैं, जिसका अर्थ है कि अब दोनों चर पाए जा सकते हैं - बढ़िया!

- क्या आप ऐसी प्रणाली का समाधान कर सकते हैं?

हम प्रतिस्थापन द्वारा हल करते हैं; यह पहले से ही व्यक्त है, तो आइए इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें और इसे सरल बनाएं।

हमें यह द्विघात समीकरण मिलता है: , हम हल करते हैं, जड़ें इस प्रकार हैं, . कार्य के लिए उच्चतम मूल्य खोजने की आवश्यकता है जिस पर सिस्टम बनाते समय हमने जिन सभी शर्तों को ध्यान में रखा था, वे पूरी होंगी। ओह, पता चला कि यही कीमत थी। बढ़िया, इसलिए हमने कीमतें ढूंढीं: और। सबसे ज़्यादा कीमत, आप बताओ? ठीक है, उनमें से सबसे बड़ा, जाहिर है, हम इसे प्रतिक्रिया में लिखते हैं। अच्छा, क्या यह कठिन है? मुझे नहीं लगता, और इसमें बहुत अधिक गहराई से जाने की कोई आवश्यकता नहीं है!

और यहाँ कुछ भयानक भौतिकी, या यों कहें कि एक और समस्या है:

समस्या 3

तारों के प्रभावी तापमान को निर्धारित करने के लिए, स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन कानून का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार, तारे की विकिरण शक्ति कहाँ है, एक स्थिरांक है, तारे का सतह क्षेत्र है, और तापमान है। यह ज्ञात है कि एक निश्चित तारे का सतह क्षेत्र बराबर होता है, और उसके विकिरण की शक्ति W के बराबर होती है। इस तारे का तापमान केल्विन डिग्री में ज्ञात कीजिए।

यह कैसे स्पष्ट है? हाँ, शर्त कहती है कि क्या बराबर है। पहले, मैंने सभी अज्ञात को एक ही बार में प्रतिस्थापित करने की सिफारिश की थी, लेकिन यहां पहले अज्ञात को व्यक्त करना बेहतर है। देखो यह कितना सरल है: एक सूत्र है और इसमें हम जानते हैं, और (यह ग्रीक अक्षर "सिग्मा" है। सामान्य तौर पर, भौतिक विज्ञानी प्यार करते हैं ग्रीक अक्षर, आदत डाल लो)। और तापमान अज्ञात है. आइए इसे एक सूत्र के रूप में व्यक्त करें। मुझे आशा है कि आप जानते हैं कि यह कैसे करना है? 9वीं कक्षा में राज्य परीक्षा परीक्षा के लिए ऐसे कार्य आमतौर पर दिए जाते हैं:

अब जो कुछ बचा है वह दाईं ओर अक्षरों के स्थान पर संख्याओं को प्रतिस्थापित करना और सरल बनाना है:

यहाँ उत्तर है: डिग्री केल्विन! और यह कितना भयानक कार्य था!

हम भौतिक विज्ञान की समस्याओं से परेशान रहते हैं।

समस्या 4

फेंकी गई गेंद की जमीन से ऊपर की ऊंचाई कानून के अनुसार बदलती है, जहां ऊंचाई मीटर में होती है और सेकंड में वह समय होता है जो फेंकने के क्षण से बीत चुका है। गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर कितने सेकंड रहेगी?

ये सभी समीकरण थे, लेकिन यहां हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर कितनी देर तक थी, जिसका अर्थ है ऊंचाई पर। हम क्या बनाएंगे? असमानता, बिल्कुल! हमारे पास एक फ़ंक्शन है जो बताता है कि गेंद कैसे उड़ती है, कहां - यह मीटर में बिल्कुल समान ऊंचाई है, हमें ऊंचाई की आवश्यकता है। मतलब

और अब आप बस असमानता को हल करें, मुख्य बात यह है कि जब आप असमानता के दोनों पक्षों से गुणा करते हैं तो सामने वाले ऋण से छुटकारा पाने के लिए असमानता के चिह्न को अधिक या बराबर से कम या बराबर में बदलना न भूलें।

ये जड़ें हैं, हम असमानता के लिए अंतराल बनाते हैं:

हम उस अंतराल में रुचि रखते हैं जहां ऋण चिह्न है, क्योंकि असमानता वहां नकारात्मक मान लेती है, यह दोनों समावेशी है। आइए अब अपने दिमाग को चालू करें और ध्यान से सोचें: असमानता के लिए हमने एक समीकरण का उपयोग किया जो गेंद की उड़ान का वर्णन करता है, यह किसी तरह एक परवलय के साथ उड़ती है, अर्थात। यह उड़ान भरता है, एक शिखर पर पहुंचता है और गिर जाता है, यह कैसे समझें कि यह कम से कम मीटर की ऊंचाई पर कितनी देर तक रहेगा? हमें 2 महत्वपूर्ण मोड़ मिले, अर्थात् वह क्षण जब वह मीटर से ऊपर उड़ता है और वह क्षण जब गिरते हुए, वह उसी निशान पर पहुंचता है, इन दो बिंदुओं को समय के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात। हम जानते हैं कि उड़ान के किस सेकंड में उसने हमारे रुचि के क्षेत्र में प्रवेश किया (मीटर से ऊपर) और किस सेकंड में उसने इसे छोड़ दिया (मीटर चिह्न से नीचे गिर गया)। वह इस क्षेत्र में कितने सेकंड था? यह तर्कसंगत है कि हम क्षेत्र छोड़ने का समय लें और उसमें से इस क्षेत्र में प्रवेश करने का समय घटा दें। तदनुसार:- वह इतने लंबे समय तक मीटर से ऊपर के क्षेत्र में था, यह उत्तर है।

आप भाग्यशाली हैं कि इस विषय पर अधिकांश उदाहरण भौतिकी समस्याओं की श्रेणी से लिए जा सकते हैं, इसलिए एक और पकड़ें, यह अंतिम है, इसलिए अपने आप को आगे बढ़ाएं, बस थोड़ा सा बचा है!

समस्या 5

एक निश्चित उपकरण के हीटिंग तत्व के लिए, ऑपरेटिंग समय पर तापमान की निर्भरता प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त की गई थी:

मिनटों में समय कहाँ है, . यह ज्ञात है कि यदि हीटिंग तत्व का तापमान अधिक है, तो उपकरण खराब हो सकता है, इसलिए इसे बंद कर देना चाहिए। जानिए कौन सा सबसे लंबा समयकाम शुरू करने के बाद आपको डिवाइस को बंद करना होगा। अपना उत्तर मिनटों में व्यक्त करें.

हम एक सुस्थापित योजना के अनुसार कार्य करते हैं, सबसे पहले हम वह सब कुछ लिखते हैं जो दिया गया है:

अब हम सूत्र लेते हैं और इसे उस तापमान मान के बराबर करते हैं जिस पर उपकरण को जितना संभव हो उतना गर्म किया जा सकता है जब तक कि वह जल न जाए, अर्थात:

अब हम अक्षरों के स्थान पर उन संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं जहाँ वे ज्ञात हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, डिवाइस के संचालन के दौरान तापमान को एक द्विघात समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, जिसका अर्थ है कि यह एक परवलय के साथ वितरित किया जाता है, अर्थात। उपकरण एक निश्चित तापमान तक गर्म होता है और फिर ठंडा हो जाता है। हमें उत्तर प्राप्त हुए और इसलिए, गर्म करने के मिनटों में तापमान महत्वपूर्ण के बराबर होता है, लेकिन मिनटों के बीच - यह सीमा से भी अधिक होता है!

इसका मतलब है कि आपको मिनटों के बाद डिवाइस को बंद करना होगा।

गणितीय मॉडल. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

अक्सर, गणितीय मॉडल का उपयोग भौतिकी में किया जाता है: आपको शायद दर्जनों को याद रखना होगा भौतिक सूत्र. और सूत्र स्थिति का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

ओजीई और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में बिल्कुल इसी विषय पर कार्य होते हैं। एकीकृत राज्य परीक्षा (प्रोफ़ाइल) में यह कार्य संख्या 11 (पूर्व में बी12) है। OGE में - कार्य संख्या 20।

समाधान योजना स्पष्ट है:

1) शर्त के पाठ से उपयोगी जानकारी को "पृथक" करना आवश्यक है - भौतिकी की समस्याओं में हम "दिया" शब्द के तहत क्या लिखते हैं। यह उपयोगी जानकारीहैं:

• FORMULA
• ज्ञात भौतिक मात्राएँ।

अर्थात्, सूत्र का प्रत्येक अक्षर एक निश्चित संख्या से संबद्ध होना चाहिए।

2) सभी ज्ञात मात्राएँ लें और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें। अज्ञात मात्रा एक अक्षर के रूप में रहती है। अब आपको बस समीकरण (आमतौर पर काफी सरल) को हल करने की जरूरत है, और उत्तर तैयार है।

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

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सोवेटोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल (अव्य। मापांक - माप) मूल वस्तु के लिए एक स्थानापन्न वस्तु है, जो मूल के कुछ गुणों के अध्ययन को सुनिश्चित करता है।" (पृ. 6) "मॉडल ऑब्जेक्ट का उपयोग करके मूल ऑब्जेक्ट के सबसे महत्वपूर्ण गुणों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए एक ऑब्जेक्ट को दूसरे के साथ बदलना मॉडलिंग कहलाता है।" (पृ. 6) "गणितीय मॉडलिंग से हम किसी दिए गए वास्तविक वस्तु के साथ एक निश्चित गणितीय वस्तु, जिसे गणितीय मॉडल कहा जाता है, के साथ पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया को समझते हैं, और इस मॉडल का अध्ययन करते हैं, जो हमें वास्तविक की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है विचाराधीन वस्तु. गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु के अध्ययन के कार्यों और इस समस्या को हल करने की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है।

अंत में, गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा: "एक समीकरण एक विचार व्यक्त करता है।"

मॉडल वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण प्रयुक्त गणितीय उपकरणों के वर्गीकरण पर आधारित होता है। अक्सर इसका निर्माण द्विभाजन के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विभाजन के लोकप्रिय सेटों में से एक:

और इसी तरह। प्रत्येक निर्मित मॉडल रैखिक या गैर-रैखिक, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक है, ... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार भी संभव हैं: एक संबंध में केंद्रित (मापदंडों के संदर्भ में), दूसरे में वितरित, आदि।

वस्तु को प्रस्तुत करने के तरीके के अनुसार वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरण के साथ-साथ, मॉडल किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके में भिन्न होते हैं:

• संरचनात्मक या कार्यात्मक मॉडल

संरचनात्मक मॉडल किसी वस्तु को उसकी अपनी संरचना और कार्यप्रणाली के साथ एक प्रणाली के रूप में दर्शाते हैं। कार्यात्मक मॉडल ऐसे अभ्यावेदन का उपयोग नहीं करते हैं और किसी वस्तु के केवल बाहरी रूप से अनुमानित व्यवहार (कार्यप्रणाली) को प्रतिबिंबित करते हैं। अपनी चरम अभिव्यक्ति में इन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "ग्रे बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है।

सामग्री और औपचारिक मॉडल

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का वर्णन करने वाले लगभग सभी लेखक संकेत करते हैं कि पहले एक विशेष आदर्श संरचना का निर्माण किया जाता है, सामग्री मॉडल. यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इसे आदर्श वस्तु कहते हैं संकल्पनात्मक निदर्श , सट्टा मॉडलया प्रीमॉडल. इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण कहा जाता है औपचारिक मॉडलया किसी दिए गए सार्थक मॉडल (पूर्व-मॉडल) की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त एक गणितीय मॉडल। एक सार्थक मॉडल का निर्माण तैयार आदर्शीकरणों के एक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसे यांत्रिकी में, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर निकाय, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडिया इत्यादि सार्थक मॉडलिंग के लिए तैयार संरचनात्मक तत्व प्रदान करते हैं। हालाँकि, ज्ञान के उन क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से पूर्ण औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं (भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान और अधिकांश अन्य क्षेत्रों में अत्याधुनिक), सार्थक मॉडल का निर्माण नाटकीय रूप से अधिक कठिन हो जाता है।

मॉडलों का सामग्री वर्गीकरण

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना एक बार और हमेशा के लिए सिद्ध नहीं की जा सकती। रिचर्ड फेनमैन ने इसे बहुत स्पष्ट रूप से तैयार किया:

“हमारे पास हमेशा किसी सिद्धांत को अस्वीकार करने का अवसर होता है, लेकिन ध्यान दें कि हम कभी भी यह साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। आइए मान लें कि आपने एक सफल परिकल्पना प्रस्तुत की है, गणना की है कि यह कहाँ ले जाती है, और पाया कि इसके सभी परिणामों की प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई है। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा मतलब यह है कि आप इसका खंडन करने में असफल रहे।”

यदि पहले प्रकार का मॉडल बनाया जाता है, तो इसका मतलब है कि इसे अस्थायी रूप से सत्य के रूप में पहचाना जाता है और व्यक्ति अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालाँकि, यह शोध का कोई बिंदु नहीं हो सकता है, बल्कि केवल एक अस्थायी विराम हो सकता है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

प्रकार 2: घटनात्मक मॉडल (हम ऐसा व्यवहार करते हैं जैसे…)

एक घटनात्मक मॉडल में एक घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालाँकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त करने वाला नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा इसकी पर्याप्त पुष्टि नहीं की जा सकती है, या वस्तु के बारे में मौजूदा सिद्धांतों और संचित ज्ञान के साथ अच्छी तरह से फिट नहीं बैठता है। इसलिए, घटनात्मक मॉडल को अस्थायी समाधान का दर्जा प्राप्त है। ऐसा माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रहनी चाहिए। उदाहरण के लिए, पीयरल्स में दूसरे प्रकार के रूप में कैलोरी मॉडल और प्राथमिक कणों का क्वार्क मॉडल शामिल है।

अनुसंधान में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है, और ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत घटनात्मक मॉडल की पुष्टि करते हैं और उन्हें एक परिकल्पना की स्थिति में बढ़ावा दिया जाता है। इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार के मॉडल-परिकल्पनाओं के साथ संघर्ष में आ सकता है, और उन्हें दूसरे प्रकार में अनुवादित किया जा सकता है। इस प्रकार, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे परिकल्पनाओं की श्रेणी में जा रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उभरा, लेकिन इतिहास के साथ यह पहला प्रकार बन गया। लेकिन ईथर मॉडल ने टाइप 1 से टाइप 2 तक अपना रास्ता बना लिया है, और अब विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण विभिन्न रूपों में आता है। पीयरल्स ने मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरणों की पहचान की है।

टाइप 3: सन्निकटन (हम किसी चीज़ को बहुत बड़ा या बहुत छोटा मानते हैं)

यदि ऐसे समीकरण बनाना संभव है जो अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर की मदद से भी हल किया जा सकता है। इस मामले में एक सामान्य तकनीक सन्निकटन (प्रकार 3 मॉडल) का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल. समीकरणों को रैखिक समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। एक मानक उदाहरण ओम का नियम है।

यहां टाइप 8 आता है, जो जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में व्यापक है।

टाइप 8: फ़ीचर प्रदर्शन (मुख्य बात संभावना की आंतरिक स्थिरता दिखाना है)

ये काल्पनिक संस्थाओं के साथ विचार प्रयोग भी हैं, जो प्रदर्शित करते हैं कल्पित घटनाबुनियादी सिद्धांतों के अनुरूप और आंतरिक रूप से सुसंगत। यह टाइप 7 के मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

इन प्रयोगों में से सबसे प्रसिद्ध प्रयोग लोबचेव्स्की की ज्यामिति है (लोबचेव्स्की ने इसे "काल्पनिक ज्यामिति" कहा था)। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक कंपन, ऑटोवेव्स आदि के औपचारिक गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। क्वांटम यांत्रिकी की असंगतता को प्रदर्शित करने के लिए आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास की कल्पना टाइप 7 मॉडल के रूप में की गई थी। पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह अंततः टाइप 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

उदाहरण

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक छोर पर एक स्प्रिंग लगा हुआ है और द्रव्यमान का एक द्रव्यमान है एमस्प्रिंग के मुक्त सिरे से जुड़ा हुआ। हम मान लेंगे कि भार केवल स्प्रिंग अक्ष की दिशा में आगे बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए, गति रॉड के साथ होती है)। आइए इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाएं। हम दूरी के आधार पर सिस्टम की स्थिति का वर्णन करेंगे एक्सभार के केंद्र से उसकी संतुलन स्थिति तक। आइए हम स्प्रिंग और लोड के उपयोग की परस्पर क्रिया का वर्णन करें हुक का नियम (एफ = − कएक्स ) और फिर इसे विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

जहां का मतलब दूसरा व्युत्पन्न है एक्ससमय तक: ।

परिणामी समीकरण विचाराधीन भौतिक प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन करता है। इस मॉडल को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण के अनुसार, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने कई धारणाएँ बनाईं (बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति, घर्षण की अनुपस्थिति, विचलन की लघुता आदि के बारे में), जो वास्तव में पूरी नहीं हो सकती हैं।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर टाइप 4 मॉडल होता है सरलीकरण("स्पष्टता के लिए हम कुछ विवरण छोड़ देंगे"), क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं (उदाहरण के लिए, अपव्यय) छोड़ दी गई हैं। कुछ अनुमान के अनुसार (मान लीजिए, जबकि संतुलन से भार का विचलन छोटा है, कम घर्षण के साथ, बहुत अधिक समय के लिए नहीं और कुछ अन्य शर्तों के अधीन है), ऐसा मॉडल एक वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का काफी अच्छी तरह से वर्णन करता है, क्योंकि छोड़े गए कारक हैं उसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। हालाँकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखकर मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। इससे प्रयोज्यता के व्यापक (हालांकि फिर से सीमित) दायरे के साथ एक नया मॉडल सामने आएगा।

हालाँकि, मॉडल को परिष्कृत करते समय, इसके गणितीय अनुसंधान की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार बना सकती है। अक्सर, एक सरल मॉडल अधिक जटिल (और, औपचारिक रूप से, "अधिक सही") की तुलना में वास्तविक प्रणाली की बेहतर और गहरी खोज की अनुमति देता है।

यदि हम हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडल को भौतिकी से दूर की वस्तुओं पर लागू करते हैं, तो इसकी मूल स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू करते समय, इसे संभवतः प्रकार 6 के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए समानता("आइए केवल कुछ विशेषताओं को ध्यान में रखें")।

कठोर और नरम मॉडल

हार्मोनिक ऑसिलेटर तथाकथित "हार्ड" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। इसकी प्रयोज्यता के मुद्दे को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि जिन कारकों की हमने उपेक्षा की है वे कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "नरम" मॉडल का अध्ययन करना आवश्यक है, जो "कठोर" के एक छोटे से गड़बड़ी से प्राप्त होता है। इसे, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

यहां कुछ फ़ंक्शन दिए गए हैं जो घर्षण बल या इसके खिंचाव की डिग्री पर स्प्रिंग कठोरता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रख सकते हैं - कुछ छोटे पैरामीटर। स्पष्ट कार्य प्रपत्र एफहमें फिलहाल कोई दिलचस्पी नहीं है. यदि हम यह साबित करते हैं कि नरम मॉडल का व्यवहार कठोर मॉडल के व्यवहार से मौलिक रूप से भिन्न नहीं है (स्पष्ट प्रकार के परेशान करने वाले कारकों की परवाह किए बिना, यदि वे काफी छोटे हैं), तो समस्या कठिन मॉडल का अध्ययन करने तक कम हो जाएगी। अन्यथा, कठोर मॉडल के अध्ययन से प्राप्त परिणामों के अनुप्रयोग के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के समीकरण का समाधान फॉर्म के कार्य हैं, अर्थात, एक स्थिर आयाम के साथ दोलन। क्या इससे यह पता चलता है कि एक वास्तविक थरथरानवाला एक स्थिर आयाम के साथ अनिश्चित काल तक दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण (हमेशा एक वास्तविक प्रणाली में मौजूद) के साथ एक प्रणाली पर विचार करने पर, हमें नम दोलन मिलते हैं। व्यवस्था का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि कोई प्रणाली छोटी-छोटी गड़बड़ियों के बावजूद अपना गुणात्मक व्यवहार बनाए रखती है, तो उसे संरचनात्मक रूप से स्थिर कहा जाता है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक संरचनात्मक रूप से अस्थिर (गैर-रफ) प्रणाली का एक उदाहरण है। हालाँकि, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय में प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडलों की बहुमुखी प्रतिभा

सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल में आमतौर पर महत्वपूर्ण गुण होते हैं बहुमुखी प्रतिभा: मौलिक रूप से भिन्न वास्तविक घटनाओं का वर्णन एक ही गणितीय मॉडल द्वारा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर न केवल स्प्रिंग पर भार के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का भी वर्णन करता है, जो अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति की होती हैं: एक पेंडुलम के छोटे दोलन, एक तरल के स्तर में उतार-चढ़ाव यू-आकार का बर्तन या ऑसिलेटरी सर्किट में वर्तमान ताकत में बदलाव। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करके, हम तुरंत इसके द्वारा वर्णित घटनाओं के एक पूरे वर्ग का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न खंडों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों की समरूपता है जिसने लुडविग वॉन बर्टलान्फ़ी को "सिस्टम का सामान्य सिद्धांत" बनाने के लिए प्रेरित किया।

गणितीय मॉडलिंग की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समस्याएं

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, आपको मॉडल की गई वस्तु का एक मूल आरेख तैयार करने की आवश्यकता है, इसे इस विज्ञान के आदर्शीकरण के ढांचे के भीतर पुन: पेश करें। इस प्रकार, एक ट्रेन कार विभिन्न सामग्रियों से प्लेटों और अधिक जटिल निकायों की एक प्रणाली में बदल जाती है, प्रत्येक सामग्री को इसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनत्व, लोचदार मॉड्यूल, मानक ताकत विशेषताओं) के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद समीकरण तैयार किए जाते हैं, और रास्ते में कुछ विवरणों को महत्वहीन मानकर खारिज कर दिया जाता है, गणना की जाती है, माप के साथ तुलना की जाती है, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, इत्यादि। हालाँकि, गणितीय मॉडलिंग तकनीकों को विकसित करने के लिए, इस प्रक्रिया को इसके मुख्य घटकों में विभाजित करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

सीधा कार्य: मॉडल की संरचना और उसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य वस्तु के बारे में उपयोगी ज्ञान निकालने के लिए मॉडल का अध्ययन करना है। पुल कितना स्थैतिक भार सहन करेगा? यह गतिशील भार पर कैसे प्रतिक्रिया करेगा (उदाहरण के लिए, सैनिकों की एक कंपनी के मार्च पर, या विभिन्न गति से ट्रेन के गुजरने पर), विमान ध्वनि अवरोध को कैसे पार करेगा, क्या यह फड़फड़ाहट से अलग हो जाएगा - ये प्रत्यक्ष समस्या के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही सीधी समस्या निर्धारित करने (सही प्रश्न पूछने) के लिए विशेष कौशल की आवश्यकता होती है। यदि सही प्रश्न नहीं पूछे गए, तो एक पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। तो, 1879 में, इंग्लैंड में ताई नदी पर एक धातु पुल ढह गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल का एक मॉडल बनाया, पेलोड की कार्रवाई के लिए 20 गुना सुरक्षा कारक की गणना की, लेकिन लगातार हवाओं के बारे में भूल गए उन जगहों पर उड़ना. और डेढ़ साल बाद यह ढह गया।

सबसे सरल मामले में (उदाहरण के लिए, एक थरथरानवाला समीकरण), प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के स्पष्ट समाधान को कम करती है।

उलटी समस्या: कई संभावित मॉडल ज्ञात हैं, वस्तु के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल का चयन किया जाना चाहिए। अक्सर, मॉडल की संरचना ज्ञात होती है, और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त जानकारी में अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा, या वस्तु के लिए आवश्यकताएं शामिल हो सकती हैं ( डिजाइन समस्या). व्युत्क्रम समस्या को हल करने की प्रक्रिया की परवाह किए बिना अतिरिक्त डेटा आ सकता है ( निष्क्रिय अवलोकन) या समाधान के दौरान विशेष रूप से नियोजित किसी प्रयोग का परिणाम हो ( सक्रिय निगरानी).

उपलब्ध डेटा के पूर्ण उपयोग के साथ एक व्युत्क्रम समस्या के उत्कृष्ट समाधान के पहले उदाहरणों में से एक आई. न्यूटन द्वारा प्रेक्षित नम दोलनों से घर्षण बलों के पुनर्निर्माण के लिए बनाई गई विधि थी।

अतिरिक्त उदाहरण

कहाँ एक्स एस- "संतुलन" जनसंख्या का आकार, जिस पर जन्म दर की क्षतिपूर्ति मृत्यु दर से होती है। ऐसे मॉडल में जनसंख्या का आकार एक संतुलन मूल्य की ओर प्रवृत्त होता है एक्स एस, और यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर है।

जब खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होती है तो इस प्रणाली में संतुलन की स्थिति होती है। इस अवस्था से विचलन के परिणामस्वरूप खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव होता है, जो एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के उतार-चढ़ाव के समान होता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर की तरह, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटा सा बदलाव (उदाहरण के लिए, खरगोशों के लिए आवश्यक सीमित संसाधनों को ध्यान में रखते हुए) व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन ला सकता है। उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति स्थिर हो सकती है, और संख्याओं में उतार-चढ़ाव समाप्त हो जाएगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन स्थिति से कोई भी छोटा विचलन विनाशकारी परिणामों को जन्म देगा, यहां तक ​​कि किसी एक प्रजाति के पूर्ण विलुप्त होने तक। वोल्टेरा-लोटका मॉडल इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि इनमें से कौन सा परिदृश्य साकार हो रहा है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

टिप्पणियाँ

1. "वास्तविकता का गणितीय प्रतिनिधित्व" (एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका)
2. नोविक आई. बी., साइबरनेटिक मॉडलिंग के दार्शनिक मुद्दों पर। एम., ज्ञान, 1964.
3. सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2
4. समरस्की ए.ए., मिखाइलोव ए.पी.गणित मॉडलिंग. विचार. तरीके. उदाहरण। . - दूसरा संस्करण, संशोधित। - एम.: फ़िज़मैटलिट, 2001। - आईएसबीएन 5-9221-0120-एक्स
5. मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ
6. विक्षनरी: गणितीय मॉडल
7. क्लिफ़्सनोट्स
8. मल्टीस्केल फेनोमेना, स्प्रिंगर, कॉम्प्लेक्सिटी सीरीज़, बर्लिन-हीडलबर्ग-न्यूयॉर्क, 2006 के लिए मॉडल रिडक्शन और मोटे-दाने वाले दृष्टिकोण। XII+562 पीपी। आईएसबीएन 3-540-35885-4
9. “एक सिद्धांत को रैखिक या गैर-रेखीय माना जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस प्रकार के गणितीय उपकरण - रैखिक या गैर-रेखीय - और यह किस प्रकार के रैखिक या गैर-रेखीय गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ...बाद वाले को नकारे बिना। एक आधुनिक भौतिक विज्ञानी, यदि उसे गैर-रैखिकता जैसी महत्वपूर्ण इकाई की परिभाषा को फिर से बनाना है, तो वह संभवतः अलग तरीके से कार्य करेगा, और, दो विपरीतताओं में से अधिक महत्वपूर्ण और व्यापक के रूप में गैर-रैखिकता को प्राथमिकता देते हुए, रैखिकता को "नहीं" के रूप में परिभाषित करेगा। अरैखिकता।" डेनिलोव यू. ए., अरेखीय गतिकी पर व्याख्यान। प्रारंभिक परिचय. श्रृंखला "सिनर्जेटिक्स: अतीत से भविष्य तक।" संस्करण 2. - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 208 पी। आईएसबीएन 5-484-00183-8
10. “सामान्य अंतर समीकरणों की एक सीमित संख्या द्वारा तैयार की गई गतिशील प्रणालियों को केंद्रित या बिंदु प्रणाली कहा जाता है। उन्हें एक परिमित-आयामी चरण स्थान का उपयोग करके वर्णित किया गया है और स्वतंत्रता की डिग्री की एक सीमित संख्या की विशेषता है। विभिन्न परिस्थितियों में एक ही प्रणाली को या तो संकेंद्रित या वितरित माना जा सकता है। वितरित प्रणालियों के गणितीय मॉडल आंशिक अंतर समीकरण, अभिन्न समीकरण या साधारण विलंब समीकरण हैं। एक वितरित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या अनंत है, और इसकी स्थिति निर्धारित करने के लिए अनंत संख्या में डेटा की आवश्यकता होती है। अनिश्चेंको वी.एस., डायनेमिक सिस्टम, सोरोस एजुकेशनल जर्नल, 1997, नंबर 11, पी। 77-84.
11. “सिस्टम एस में अध्ययन की जा रही प्रक्रियाओं की प्रकृति के आधार पर, सभी प्रकार के मॉडलिंग को नियतात्मक और स्टोकेस्टिक, स्थिर और गतिशील, असतत, निरंतर और असतत-निरंतर में विभाजित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडलिंग नियतात्मक प्रक्रियाओं को दर्शाता है, यानी ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें किसी भी यादृच्छिक प्रभाव की अनुपस्थिति मानी जाती है; स्टोकेस्टिक मॉडलिंग संभाव्य प्रक्रियाओं और घटनाओं को दर्शाता है। ... स्थैतिक मॉडलिंग किसी भी समय किसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने का कार्य करती है, और गतिशील मॉडलिंग समय के साथ किसी वस्तु के व्यवहार को दर्शाती है। असतत मॉडलिंग का उपयोग उन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिन्हें क्रमशः असतत माना जाता है, निरंतर मॉडलिंग हमें सिस्टम में निरंतर प्रक्रियाओं को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है, और असतत-निरंतर मॉडलिंग का उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जब वे असतत और निरंतर दोनों प्रक्रियाओं की उपस्थिति को उजागर करना चाहते हैं। ” सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2
12. आमतौर पर, एक गणितीय मॉडल मॉडल की गई वस्तु की संरचना (उपकरण), इस वस्तु के घटकों के गुणों और संबंधों को दर्शाता है जो अनुसंधान के उद्देश्यों के लिए आवश्यक हैं; ऐसे मॉडल को संरचनात्मक कहा जाता है। यदि मॉडल केवल यह दर्शाता है कि वस्तु कैसे कार्य करती है - उदाहरण के लिए, यह बाहरी प्रभावों पर कैसे प्रतिक्रिया करती है - तो इसे कार्यात्मक या, लाक्षणिक रूप से, एक ब्लैक बॉक्स कहा जाता है। संयुक्त मॉडल भी संभव हैं. मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ
13. “गणितीय मॉडल के निर्माण या चयन का स्पष्ट, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण प्रारंभिक चरण, अनौपचारिक चर्चाओं के आधार पर, मॉडलिंग की जा रही वस्तु के बारे में यथासंभव स्पष्ट तस्वीर प्राप्त करना और उसके सार्थक मॉडल को परिष्कृत करना है। आपको इस स्तर पर समय और प्रयास को बर्बाद नहीं करना चाहिए, पूरे अध्ययन की सफलता काफी हद तक इस पर निर्भर करती है। ऐसा एक से अधिक बार हुआ है कि गणितीय समस्या को हल करने पर किया गया महत्वपूर्ण कार्य मामले के इस पक्ष पर अपर्याप्त ध्यान देने के कारण अप्रभावी या यहां तक ​​कि बर्बाद हो गया। मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ, पृ. 35.
14. « सिस्टम के वैचारिक मॉडल का विवरण.सिस्टम मॉडल के निर्माण के इस उपचरण में: ए) वैचारिक मॉडल एम को अमूर्त शब्दों और अवधारणाओं में वर्णित किया गया है; बी) मानक गणितीय योजनाओं का उपयोग करके मॉडल का विवरण दिया गया है; ग) परिकल्पनाओं और धारणाओं को अंततः स्वीकार कर लिया जाता है; घ) मॉडल का निर्माण करते समय वास्तविक प्रक्रियाओं का अनुमान लगाने के लिए प्रक्रिया का चुनाव उचित है। सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2, पृ. 93.