गणितीय मॉडल क्या है?

गणितीय मॉडल की अवधारणा.

गणितीय मॉडल एक बहुत ही सरल अवधारणा है। और बहुत महत्वपूर्ण है. यह गणितीय मॉडल हैं जो गणित और वास्तविक जीवन को जोड़ते हैं।

बोला जा रहा है सरल भाषा में, गणितीय मॉडल किसी भी स्थिति का गणितीय विवरण है।बस इतना ही। मॉडल आदिम हो सकता है, या यह अति जटिल हो सकता है। स्थिति जो भी हो, मॉडल ऐसा ही है।)

किसी में (मैं दोहराता हूं - मेँ कोई!) ऐसे मामले में जहां आपको कुछ गिनने और गणना करने की आवश्यकता है - हम गणितीय मॉडलिंग में लगे हुए हैं। भले ही हमें इस पर संदेह न हो।)

पी = 2 सीबी + 3 सीएम

यह प्रविष्टि हमारी खरीदारी की लागत का गणितीय मॉडल होगी। मॉडल पैकेजिंग के रंग, समाप्ति तिथि, कैशियर की विनम्रता आदि को ध्यान में नहीं रखता है। इसीलिए वह नमूना,वास्तविक खरीदारी नहीं. लेकिन खर्च, यानी. हमें क्या चाहिये- हम निश्चित रूप से पता लगा लेंगे। यदि मॉडल सही है, तो अवश्य।

यह कल्पना करना उपयोगी है कि गणितीय मॉडल क्या है, लेकिन यह पर्याप्त नहीं है। सबसे महत्वपूर्ण बात इन मॉडलों को बनाने में सक्षम होना है।

समस्या का गणितीय मॉडल तैयार करना (निर्माण)।

गणितीय मॉडल बनाने का अर्थ है समस्या की स्थितियों का अनुवाद करना गणितीय रूप. वे। शब्दों को समीकरण, सूत्र, असमानता आदि में बदलें। इसके अलावा, इसे इस प्रकार रूपांतरित करें कि यह गणित सख्ती से मेल खाए मूललेख. अन्यथा, हम किसी अन्य अज्ञात समस्या के गणितीय मॉडल के साथ समाप्त हो जाएंगे।)

अधिक विशेष रूप से, आपको चाहिए

संसार में असंख्य कार्य हैं। इसलिए, स्पष्ट प्रस्ताव दें चरण दर चरण निर्देशएक गणितीय मॉडल तैयार करने पर कोईकार्य असंभव हैं.

लेकिन तीन मुख्य बिंदु हैं जिन पर आपको ध्यान देने की आवश्यकता है।

1. किसी भी समस्या में पाठ शामिल होता है, अजीब तरह से पर्याप्त है।) इस पाठ में, एक नियम के रूप में, शामिल है स्पष्ट, खुली जानकारी.संख्याएँ, मान, आदि।

2. कोई भी समस्या हो छुपी हुई जानकारी.यह एक ऐसा पाठ है जो आपके दिमाग में अतिरिक्त ज्ञान रखता है। उनके बिना कोई रास्ता नहीं है. इसके अलावा, गणितीय जानकारी अक्सर पीछे छिपी होती है सरल शब्दों मेंऔर... ध्यान भटक जाता है।

3. कोई भी कार्य अवश्य देना चाहिए डेटा का एक दूसरे से कनेक्शन.यह कनेक्शन दिया जा सकता है स्पष्ट पाठ में(कुछ कुछ के बराबर होता है), या शायद सरल शब्दों के पीछे छिपा हुआ है। लेकिन सरल और स्पष्ट तथ्यों को अक्सर नजरअंदाज कर दिया जाता है। और मॉडल किसी भी तरह से संकलित नहीं है.

मैं तुरंत कहूंगा: इन तीन बिंदुओं को लागू करने के लिए, आपको समस्या को कई बार (और ध्यान से!) पढ़ना होगा। सामान्य बात.

और अब - उदाहरण.

आइए एक साधारण समस्या से शुरुआत करें:

पेत्रोविच मछली पकड़ने से लौटा और गर्व से अपनी पकड़ी मछली परिवार को भेंट की। करीब से जांच करने पर, यह पता चला कि 8 मछलियाँ उत्तरी समुद्र से आई थीं, सभी मछलियों में से 20% दक्षिणी समुद्र से आई थीं, और एक भी मछलियाँ उस स्थानीय नदी से नहीं आई थीं जहाँ पेत्रोविच मछली पकड़ रहा था। पेत्रोविच ने सीफ़ूड स्टोर से कितनी मछलियाँ खरीदीं?

इन सभी शब्दों को किसी प्रकार के समीकरण में बदलने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए आपको आवश्यकता है, मैं दोहराता हूँ, समस्या के सभी डेटा के बीच गणितीय संबंध स्थापित करें।

कहां से शुरू करें? सबसे पहले, आइए कार्य से सारा डेटा निकालें। आइए क्रम से शुरू करें:

आइए पहले बिंदु पर ध्यान दें।

यहाँ कौन सा है? मुखरगणितीय जानकारी? 8 मछलियाँ और 20%। बहुत ज़्यादा नहीं, लेकिन हमें बहुत ज़्यादा की ज़रूरत नहीं है।)

आइए दूसरे बिंदु पर ध्यान दें.

की तलाश में छिपा हुआजानकारी। यह यहाँ है। ये शब्द हैं: "सभी मछलियों का 20%"। यहां आपको यह समझने की आवश्यकता है कि प्रतिशत क्या हैं और उनकी गणना कैसे की जाती है। अन्यथा, समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। यह बिल्कुल यही है अतिरिक्त जानकारी, जो आपके दिमाग में होना चाहिए।

वहाँ भी है गणितीयऐसी जानकारी जो पूरी तरह से अदृश्य है. यह कार्य प्रश्न: "मैंने कितनी मछलियाँ खरीदीं..."ये भी एक संख्या है. और इसके बिना कोई मॉडल नहीं बनेगा. इसलिए, आइए इस संख्या को अक्षर से निरूपित करें "एक्स"।हम अभी तक नहीं जानते कि x किसके बराबर है, लेकिन यह पदनाम हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा। एक्स के लिए क्या लेना है और इसे कैसे संभालना है, इसके बारे में अधिक विवरण गणित में समस्याओं को कैसे हल करें पाठ में लिखा गया है। आइए इसे तुरंत लिखें:

एक्स टुकड़े - कुलमछली

हमारी समस्या में, दक्षिणी मछली को प्रतिशत के रूप में दिया गया है। हमें उन्हें टुकड़ों में बदलने की जरूरत है.' किस लिए? तो फिर किसमें कोईमॉडल की समस्या तैयार की जानी चाहिए एक ही प्रकार की मात्रा में.टुकड़े-टुकड़े - तो सब कुछ टुकड़ों में है। यदि घंटे और मिनट दिए जाएं, तो हम हर चीज़ को एक चीज़ में बदल देते हैं - या तो केवल घंटे, या केवल मिनट। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह क्या है. यह महत्वपूर्ण है कि सभी मान एक ही प्रकार के थे.

चलिए सूचना प्रकटीकरण पर वापस आते हैं। जो कोई नहीं जानता कि प्रतिशत क्या है, वह कभी भी इसका खुलासा नहीं करेगा, हाँ... लेकिन जो कोई भी जानता है वह तुरंत कहेगा कि यहाँ प्रतिशत मछलियों की कुल संख्या पर आधारित है। और हम यह संख्या नहीं जानते. कुछ भी काम नहीं करेगा!

यह अकारण नहीं है कि हम मछलियों की कुल संख्या (टुकड़ों में!) लिखते हैं "एक्स"नामित. दक्षिणी मछलियों की संख्या गिनना संभव नहीं होगा, लेकिन हम उन्हें लिख सकते हैं? इस कदर:

0.2 x टुकड़े - दक्षिणी समुद्र से मछलियों की संख्या।

अब हमने टास्क से सारी जानकारी डाउनलोड कर ली है। स्पष्ट और छिपा हुआ दोनों।

आइए तीसरे बिंदु पर ध्यान दें.

की तलाश में गणितीय संबंधकार्य डेटा के बीच. यह कनेक्शन इतना सरल है कि कई लोग इस पर ध्यान नहीं देते... ऐसा अक्सर होता है। यहां एकत्र किए गए डेटा को एक ढेर में लिखना और देखना उपयोगी है कि क्या है।

हमारे पास क्या है? खाओ 8 टुकड़ेउत्तरी मछली, 0.2 x टुकड़े- दक्षिणी मछली और एक्स मछली- कुल राशि। क्या इस डेटा को किसी तरह एक साथ जोड़ना संभव है? हाँ आसान! मछलियों की कुल संख्या के बराबर होती हैदक्षिणी और उत्तरी का योग! खैर, किसने सोचा होगा...) तो हम इसे लिखते हैं:

x = 8 + 0.2x

ये है समीकरण हमारी समस्या का गणितीय मॉडल।

कृपया ध्यान दें कि इस समस्या में हमें कुछ भी मोड़ने के लिए नहीं कहा जाता!यह हम स्वयं थे, हमारे दिमाग से, जिसने महसूस किया कि दक्षिणी और उत्तरी मछलियों का योग हमें कुल संख्या देगा। बात इतनी स्पष्ट है कि उस पर ध्यान ही नहीं जाता। लेकिन इस प्रमाण के बिना गणितीय मॉडल नहीं बनाया जा सकता। इस कदर।

अब आप इस समीकरण को हल करने के लिए गणित की पूरी शक्ति का उपयोग कर सकते हैं)। ठीक इसी कारण से गणितीय मॉडल संकलित किया गया था। हम इस रैखिक समीकरण को हल करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।

उत्तर: एक्स=10

आइए एक अन्य समस्या का गणितीय मॉडल बनाएं:

उन्होंने पेट्रोविच से पूछा: "क्या आपके पास बहुत पैसा है?" पेत्रोविच रोने लगा और जवाब दिया: "हाँ, बस थोड़ा सा। अगर मैं सारे पैसे का आधा और बाकी का आधा खर्च कर दूं, तो मेरे पास केवल एक बैग पैसे बचेगा..." पेत्रोविच के पास कितना पैसा है ?

हम फिर से बिंदु दर बिंदु काम करते हैं।

1. हम स्पष्ट जानकारी की तलाश में हैं। आपको यह तुरंत नहीं मिलेगा! स्पष्ट जानकारी है एकपैसे का बैग। कुछ अन्य हिस्से भी हैं... ठीक है, हम उस पर दूसरे बिंदु में गौर करेंगे।

2. हम छिपी हुई जानकारी की तलाश कर रहे हैं। ये आधे हैं. क्या? बहुत स्पष्ट नहीं. हम आगे देख रहे हैं. एक और प्रश्न है: "पेत्रोविच के पास कितना पैसा है?"आइए हम धन की राशि को अक्षर से निरूपित करें "एक्स":

एक्स- सब पैसे

और फिर से हमने समस्या पढ़ी। पेट्रोविच को पहले से ही पता है एक्सधन। यहीं पर आधे हिस्से काम करेंगे! हम लिखते हैं:

0.5 एक्स- सारे पैसे का आधा.

शेष भी आधा होगा, अर्थात्। 0.5 एक्स.और आधे का आधा भाग इस प्रकार लिखा जा सकता है:

0.5 0.5 x = 0.25x-शेष का आधा.

अब सारी छुपी जानकारी सामने आ गई है और दर्ज हो गई है.

3. हम रिकॉर्ड किए गए डेटा के बीच संबंध ढूंढ रहे हैं। यहां आप पेत्रोविच की पीड़ा को आसानी से पढ़ सकते हैं और इसे गणितीय रूप से लिख सकते हैं):

अगर मैं सारे पैसे का आधा हिस्सा खर्च कर दूं...

आइए इस प्रक्रिया को रिकॉर्ड करें। सब पैसे - एक्स।आधा - 0.5 एक्स. खर्च करना छीन लेना है। वाक्यांश रिकॉर्डिंग में बदल जाता है:

एक्स - 0.5 एक्स

हाँ आधा बाकी...

आइए शेष का आधा भाग घटाएँ:

एक्स - 0.5 एक्स - 0.25x

तब मेरे पास पैसों का केवल एक थैला बचेगा...

और यहाँ हमें समानता मिली है! सभी घटावों के बाद, पैसे का एक थैला बचता है:

एक्स - 0.5 एक्स - 0.25x = 1

यहाँ यह है, एक गणितीय मॉडल! यह फिर से एक रैखिक समीकरण है, हम इसे हल करते हैं, हमें मिलता है:

विचारार्थ प्रश्न. चार क्या है? रूबल, डॉलर, युआन? और हमारे गणितीय मॉडल में पैसा किन इकाइयों में लिखा जाता है? थैलों में!यानी चार थैलापेत्रोविच से पैसा. भी ठीक।)

निस्संदेह, कार्य प्राथमिक हैं। यह विशेष रूप से गणितीय मॉडल तैयार करने के सार को समझने के लिए है। कुछ कार्यों में बहुत अधिक डेटा हो सकता है, जिसे खोना आसान हो सकता है। ऐसा अक्सर तथाकथित में होता है। योग्यता कार्य. कैसे बाहर निकालना है गणितीय सामग्रीउदाहरणों के साथ दिखाए गए शब्दों और संख्याओं के समूह से

एक और नोट. क्लासिक में स्कूल के कार्य(पाइप पूल भरते हैं, नावें कहीं तैर रही हैं, आदि) सभी डेटा, एक नियम के रूप में, बहुत सावधानी से चुने जाते हैं। दो नियम हैं:
- समस्या को हल करने के लिए उसमें पर्याप्त जानकारी है,
- किसी समस्या में कोई अनावश्यक जानकारी नहीं है.

यह एक संकेत है. यदि गणितीय मॉडल में कुछ मूल्य अप्रयुक्त छोड़ दिया गया है, तो सोचें कि क्या कोई त्रुटि है। यदि पर्याप्त डेटा नहीं है, तो सबसे अधिक संभावना है कि सभी छिपी हुई जानकारी की पहचान और रिकॉर्ड नहीं किया गया है।

योग्यता-संबंधी और जीवन के अन्य कार्यों में इन नियमों का कड़ाई से पालन नहीं किया जाता है। कोई सुराग नहीं। लेकिन ऐसी समस्याओं का समाधान भी किया जा सकता है. यदि, निश्चित रूप से, आप क्लासिक पर अभ्यास करते हैं।)

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गणित का मॉडल गणितीय संबंधों की एक प्रणाली है - सूत्र, समीकरण, असमानताएं, आदि, प्रतिबिंबित आवश्यक गुणवस्तु या घटना.

प्रत्येक प्राकृतिक घटना अपनी जटिलता में अनंत है. आइए हम इसे वी.एन. की पुस्तक से लिए गए एक उदाहरण से स्पष्ट करें। ट्रॉस्टनिकोव "मैन एंड इंफॉर्मेशन" (पब्लिशिंग हाउस "नौका", 1970)।

औसत व्यक्ति गणितीय समस्या इस प्रकार तैयार करता है: “एक पत्थर को 200 मीटर की ऊंचाई से गिरने में कितना समय लगेगा?”गणितज्ञ समस्या का अपना संस्करण कुछ इस तरह बनाना शुरू करेगा: "आइए मान लें कि पत्थर शून्य में गिरता है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 9.8 मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड है। फिर..."

- मुझे- "ग्राहक" कह सकता है, - मैं इस सरलीकरण से खुश नहीं हूँ. मैं जानना चाहता हूं कि एक पत्थर गिरने में कितना समय लगेगा वास्तविक स्थितियाँ, और किसी अस्तित्वहीन शून्य में नहीं।

- अच्छा,- गणितज्ञ सहमत होंगे। - आइए मान लें कि पत्थर का आकार और व्यास गोलाकार है... इसका व्यास लगभग कितना है?

- लगभग पाँच सेंटीमीटर. लेकिन यह बिल्कुल भी गोलाकार नहीं है, बल्कि आयताकार है।

- तब हम मान लेंगे कि वहइसका आकार दीर्घवृत्ताभ जैसा है धुरी शाफ्ट के साथ चार, तीन और तीन सेंटीमीटर और यहगिरता है ताकि अर्ध-प्रमुख अक्ष हर समय लंबवत रहे . आइए वायुदाब को बराबर मानें760 मिमी एचजी , यहाँ से हम वायु घनत्व ज्ञात करते हैं...

यदि "मानवीय" भाषा में समस्या प्रस्तुत करने वाला गणितज्ञ की विचार प्रक्रिया में और हस्तक्षेप नहीं करता है, तो गणितज्ञ कुछ समय बाद संख्यात्मक उत्तर देगा। लेकिन "उपभोक्ता" अभी भी आपत्ति कर सकता है: पत्थर वास्तव में बिल्कुल भी दीर्घवृत्ताकार नहीं है, उस स्थान पर और उस क्षण हवा का दबाव 760 मिमी एचजी के बराबर नहीं था, आदि। गणितज्ञ उसे क्या उत्तर देगा?

वह इसका जवाब देंगे सटीक समाधान वास्तविक समस्याबिल्कुल असंभव. इतना ही नहीं पत्थर का आकार, जो वायु प्रतिरोध को प्रभावित करता है, किसी गणितीय समीकरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता; उड़ान में इसका घूमना भी गणित के नियंत्रण से बाहर हैइसकी जटिलता के कारण. आगे, हवा एक समान नहीं है,चूंकि, यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, घनत्व में उतार-चढ़ाव में उतार-चढ़ाव उत्पन्न होता है। यदि हम और गहराई में जाएं तो हमें उस पर विचार करने की आवश्यकता है सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड पर कार्य करता है. यह एक पेंडुलम का भी अनुसरण करता है दीवार घड़ीअपनी गति से पत्थर का प्रक्षेप पथ बदल देता है।

संक्षेप में, यदि हम गंभीरता से किसी वस्तु के व्यवहार का सटीक अध्ययन करना चाहते हैं, तो हमें सबसे पहले ब्रह्मांड में अन्य सभी वस्तुओं की स्थिति और गति को जानना होगा। और यह, बिल्कुल। असंभव ।

सबसे प्रभावी ढंग से, एक गणितीय मॉडल को एक एल्गोरिदमिक मॉडल के रूप में कंप्यूटर पर लागू किया जा सकता है - एक तथाकथित "कम्प्यूटेशनल प्रयोग" (देखें [1], पैराग्राफ 26)।

बेशक, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के परिणाम वास्तविकता के अनुरूप नहीं हो सकते हैं यदि मॉडल वास्तविकता के कुछ महत्वपूर्ण पहलुओं को ध्यान में नहीं रखता है।

इसलिए, किसी समस्या को हल करने के लिए गणितीय मॉडल बनाते समय, आपको यह करना होगा:

1. उन धारणाओं को उजागर करें जिन पर गणितीय मॉडल आधारित होगा;
2. निर्धारित करें कि प्रारंभिक डेटा और परिणाम क्या माने जाते हैं;
3. परिणामों को मूल डेटा से जोड़ने वाले गणितीय संबंध लिखें।

निर्माण करते समय गणितीय मॉडलडेटा के माध्यम से वांछित मात्राओं को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने वाले सूत्र ढूंढना हमेशा संभव नहीं होता है। ऐसे मामलों में, सटीकता की अलग-अलग डिग्री के उत्तर प्रदान करने के लिए गणितीय तरीकों का उपयोग किया जाता है। किसी भी घटना का न केवल गणितीय मॉडलिंग है, बल्कि दृश्य-प्राकृतिक मॉडलिंग भी है, जो कंप्यूटर ग्राफिक्स का उपयोग करके इन घटनाओं को प्रदर्शित करके प्रदान किया जाता है, अर्थात। शोधकर्ता के सामने वास्तविक समय में फिल्माया गया एक प्रकार का "कंप्यूटर कार्टून" दिखाया जाता है। यहां विजिबिलिटी बहुत ज्यादा है.

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उदाहरण 1.5.1.

मान लीजिए कि एक निश्चित आर्थिक क्षेत्र विशेष रूप से अपने लिए और केवल इस क्षेत्र की आबादी के लिए कई (एन) प्रकार के उत्पादों का उत्पादन करता है। यह माना जाता है कि तकनीकी प्रक्रिया पर काम किया गया है, और इन वस्तुओं के लिए जनसंख्या की मांग का अध्ययन किया गया है। उत्पाद उत्पादन की वार्षिक मात्रा निर्धारित करना आवश्यक है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इस मात्रा को अंतिम और औद्योगिक खपत दोनों प्रदान करनी चाहिए।

आइए इस समस्या का एक गणितीय मॉडल बनाएं। इसकी शर्तों के अनुसार, निम्नलिखित दिए गए हैं: उत्पादों के प्रकार, उनकी मांग और तकनीकी प्रक्रिया; आपको प्रत्येक प्रकार के उत्पाद का आउटपुट वॉल्यूम ज्ञात करना होगा।

आइए हम ज्ञात मात्राओं को निरूपित करें:

सी मैं-जनसंख्या की मांग मैंवें उत्पाद ( मैं=1,...,एन); ए आईजे- मात्रा मैंकिसी दी गई तकनीक का उपयोग करके जे वें उत्पाद की एक इकाई का उत्पादन करने के लिए वें उत्पाद की आवश्यकता होती है ( मैं=1,...,एन ; जे=1,...,एन);

एक्स मैं - आउटपुट वॉल्यूम मैं-वां उत्पाद ( मैं=1,...,एन); समग्रता साथ =(सी 1 ,..., सी एन ) मांग वेक्टर, संख्याएँ कहा जाता है ए आईजे- तकनीकी गुणांक, और समग्रता एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स एन ) - वेक्टर जारी करें।

समस्या की स्थिति के अनुसार, वेक्टर एक्स दो भागों में वितरित: अंतिम उपभोग के लिए (वेक्टर साथ ) और प्रजनन के लिए (वेक्टर एक्स-एस ). आइए वेक्टर के उस भाग की गणना करें एक्स जो प्रजनन में चला जाता है. उत्पादन के लिए हमारे पदनामों के अनुसार एक्स जेआपूर्ति किए गए जेवें उत्पाद की मात्रा ए आईजे · एक्स जेमात्रा मैं-वां उत्पाद.

फिर रकम ए मैं1 · एक्स 1 +...+ ए में · एक्स एनवह मान दिखाता है मैं-वां उत्पाद, जो संपूर्ण रिलीज़ के लिए आवश्यक है एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स एन ).

इसलिए, समानता संतुष्ट होनी चाहिए:

इस तर्क को सभी प्रकार के उत्पादों तक विस्तारित करते हुए, हम वांछित मॉडल पर पहुंचते हैं:

n रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करना एक्स 1 ,...,एक्स एनऔर आवश्यक रिलीज़ वेक्टर ढूंढें।

इस मॉडल को अधिक संक्षिप्त (वेक्टर) रूप में लिखने के लिए, हम निम्नलिखित संकेतन प्रस्तुत करते हैं:

वर्ग (
) -आव्यूह एप्रौद्योगिकी मैट्रिक्स कहा जाता है। यह जांचना आसान है कि हमारा मॉडल अब इस तरह लिखा जाएगा: x-s=आहया

(1.6)

हमें क्लासिक मॉडल प्राप्त हुआ" इनपुट आउटपुट ", जिसके लेखक प्रसिद्ध अमेरिकी अर्थशास्त्री वी. लियोन्टीव हैं।

उदाहरण 1.5.2.

तेल रिफाइनरी में तेल के दो ग्रेड होते हैं: ग्रेड ए 10 इकाइयों की मात्रा में, ग्रेड में- 15 इकाइयाँ। तेल को परिष्कृत करते समय, दो सामग्रियां प्राप्त होती हैं: गैसोलीन (हम निरूपित करते हैं बी) और ईंधन तेल ( एम). प्रसंस्करण प्रौद्योगिकी प्रक्रिया के लिए तीन विकल्प हैं:

मैं: एक इकाई ए+ 2 इकाइयाँ में 3 इकाइयाँ देता है। बी+ 2 इकाइयाँ एम

II: 2 इकाइयाँ। ए+ 1 इकाई में 1 यूनिट देता है. बी+ 5 इकाइयाँ एम

तृतीय: 2 यूनिट ए+ 2 इकाइयाँ में 1 यूनिट देता है. बी+ 2 इकाइयाँ एम

गैसोलीन की कीमत 10 डॉलर प्रति यूनिट है, ईंधन तेल की कीमत 1 डॉलर प्रति यूनिट है।

तेल की उपलब्ध मात्रा के प्रसंस्करण के लिए तकनीकी प्रक्रियाओं का सबसे लाभप्रद संयोजन निर्धारित करना आवश्यक है।

मॉडलिंग से पहले, आइए निम्नलिखित बिंदुओं को स्पष्ट करें। समस्या की स्थितियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि संयंत्र के लिए तकनीकी प्रक्रिया की "लाभप्रदता" को उसके तैयार उत्पादों (गैसोलीन और ईंधन तेल) की बिक्री से अधिकतम आय प्राप्त करने के अर्थ में समझा जाना चाहिए। इस संबंध में, यह स्पष्ट है कि संयंत्र की "पसंद (निर्माण) निर्णय" में यह निर्धारित करना शामिल है कि किस तकनीक को लागू करना है और कितनी बार। जाहिर है, ऐसे बहुत सारे संभावित विकल्प हैं।

आइए हम अज्ञात मात्राओं को निरूपित करें:

एक्स मैं- उपयोग की मात्रा मैंवें तकनीकी प्रक्रिया (मैं=1,2,3). अन्य मॉडल पैरामीटर (तेल भंडार, गैसोलीन और ईंधन तेल की कीमतें) ज्ञात.

अब एक बात विशिष्ट समाधानपौधा एक वेक्टर चुनने के लिए नीचे आता है एक्स =(एक्स 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) , जिसके लिए संयंत्र का राजस्व बराबर है (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) डॉलर। यहां, 32 डॉलर पहली तकनीकी प्रक्रिया के एक आवेदन से प्राप्त आय है ($10 3 इकाइयां)। बी+ 1 डॉलर ·2 इकाइयाँ। एम= $32). दूसरी और तीसरी तकनीकी प्रक्रियाओं के लिए क्रमशः गुणांक 15 और 12 का समान अर्थ है। तेल भंडार का लेखांकन निम्नलिखित स्थितियों की ओर ले जाता है:

विविधता के लिए ए:

विविधता के लिए में:,

जहां पहली असमानता गुणांक 1, 2, 2 में तकनीकी प्रक्रियाओं के एक बार के उपयोग के लिए ग्रेड ए तेल की खपत दर हैं मैं,द्वितीय,तृतीयक्रमश। दूसरी असमानता के गुणांक का ग्रेड बी तेल के लिए समान अर्थ है।

समग्र रूप से गणितीय मॉडल का रूप इस प्रकार है:

ऐसा वेक्टर खोजें एक्स = (एक्स 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) बढ़ाने के लिए

एफ(एक्स) =32х 1 +15x 2 +12x 3

निम्नलिखित शर्तों के अधीन:

इस प्रविष्टि का संक्षिप्त रूप है:

प्रतिबंधों के तहत

(1.7)

हमें तथाकथित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या मिली।

मॉडल (1.7.) एक नियतात्मक प्रकार (अच्छी तरह से परिभाषित तत्वों के साथ) के अनुकूलन मॉडल का एक उदाहरण है।

उदाहरण 1.5.3.

निवेशक को एक निश्चित लाभ प्राप्त करने के लिए स्टॉक, बांड और अन्य प्रतिभूतियों का सर्वोत्तम सेट निर्धारित करने की आवश्यकता होती है ताकि उन्हें एक निश्चित राशि में खरीदा जा सके। न्यूनतम जोखिमअपने आप के लिए। किसी सुरक्षा में निवेश किए गए प्रति डॉलर लाभ जे- प्रकार, दो संकेतकों द्वारा विशेषता: अपेक्षित लाभ और वास्तविक लाभ। एक निवेशक के लिए, यह वांछनीय है कि निवेश के प्रति डॉलर अपेक्षित लाभ पूरे सेट के लिए हो मूल्यवान कागजातनिर्दिष्ट मान से कम नहीं बी.

ध्यान दें कि इस समस्या को सही ढंग से मॉडल करने के लिए, एक गणितज्ञ को प्रतिभूतियों के पोर्टफोलियो सिद्धांत के क्षेत्र में कुछ बुनियादी ज्ञान होना आवश्यक है।

आइए हम समस्या के ज्ञात मापदंडों को निरूपित करें:

एन- प्रतिभूतियों के प्रकार की संख्या; ए जे- जे-वें प्रकार की सुरक्षा से वास्तविक लाभ (यादृच्छिक संख्या); - अपेक्षित लाभ जे-वें प्रकार की सुरक्षा।

आइए हम अज्ञात मात्राओं को निरूपित करें :

य जे - प्रकार की प्रतिभूतियों की खरीद के लिए आवंटित धनराशि जे.

हमारे नोटेशन का उपयोग करते हुए, संपूर्ण निवेशित राशि को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है . मॉडल को सरल बनाने के लिए, हम नई मात्राएँ प्रस्तुत करते हैं

.

इस प्रकार, एक्स मैं- यह इस प्रकार की प्रतिभूतियों के अधिग्रहण के लिए आवंटित सभी निधियों का हिस्सा है जे.

यह स्पष्ट है कि

समस्या की स्थितियों से यह स्पष्ट है कि निवेशक का लक्ष्य न्यूनतम जोखिम के साथ एक निश्चित स्तर का लाभ प्राप्त करना है। संक्षेप में, जोखिम अपेक्षित लाभ से वास्तविक लाभ के विचलन का एक माप है। इसलिए, इसे प्रकार i और प्रकार j की प्रतिभूतियों के लिए मुनाफे के सहप्रसरण से पहचाना जा सकता है। यहाँ M गणितीय अपेक्षा का पदनाम है।

मूल समस्या का गणितीय मॉडल इस प्रकार है:

प्रतिबंधों के तहत

,
,
,
. (1.8)

हमने प्रतिभूति पोर्टफोलियो की संरचना को अनुकूलित करने के लिए प्रसिद्ध मार्कोविट्ज़ मॉडल प्राप्त किया है।

मॉडल (1.8.) स्टोकेस्टिक प्रकार (यादृच्छिकता के तत्वों के साथ) के अनुकूलन मॉडल का एक उदाहरण है।

उदाहरण 1.5.4.

एक व्यापार संगठन के आधार पर न्यूनतम वर्गीकरण उत्पादों में से एक के एन प्रकार होते हैं। किसी दिए गए उत्पाद का केवल एक ही प्रकार स्टोर में लाया जाना चाहिए। आपको उत्पाद का वह प्रकार चुनना होगा जो स्टोर में लाने के लिए उपयुक्त हो। यदि उत्पाद प्रकार जेमांग में होगी, स्टोर इसकी बिक्री से लाभ कमाएगा आर जे, यदि यह मांग में नहीं है - हानि क्यू जे .

मॉडलिंग से पहले हम कुछ मूलभूत बिंदुओं पर चर्चा करेंगे। इस समस्या में, निर्णय निर्माता (डीएम) स्टोर है। हालाँकि, परिणाम (अधिकतम लाभ) न केवल उसके निर्णय पर निर्भर करता है, बल्कि इस पर भी निर्भर करता है कि क्या आयातित उत्पाद मांग में होगा, अर्थात क्या इसे आबादी द्वारा खरीदा जाएगा (यह माना जाता है कि किसी कारण से स्टोर नहीं करता है) जनसंख्या की मांग का अध्ययन करने का अवसर है)। इसलिए, जनसंख्या को अपनी प्राथमिकताओं के अनुसार उत्पाद के प्रकार का चयन करते हुए दूसरे निर्णय निर्माता के रूप में माना जा सकता है। किसी स्टोर के लिए आबादी का सबसे खराब "निर्णय" है: "आयातित सामान मांग में नहीं हैं।" इसलिए, सभी संभावित स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, स्टोर को जनसंख्या को अपना "दुश्मन" (सशर्त रूप से) मानने की जरूरत है, विपरीत लक्ष्य का पीछा करते हुए - स्टोर के लाभ को कम करने के लिए।

इसलिए, दो प्रतिभागियों द्वारा विरोधी लक्ष्यों का पीछा करने से हमें निर्णय लेने में समस्या होती है। आइए हम स्पष्ट करें कि स्टोर बिक्री के लिए सामान के प्रकारों में से एक को चुनता है (इसमें कोई निर्णय विकल्प नहीं हैं), और जनसंख्या उस प्रकार के सामान में से एक को चुनती है जिसकी सबसे अधिक मांग है ( एनसमाधान विकल्प)।

गणितीय मॉडल संकलित करने के लिए, आइए एक तालिका बनाएं एनलाइनें और एनकॉलम (कुल एन 2 सेल) और सहमत हैं कि पंक्तियाँ स्टोर की पसंद के अनुरूप हैं, और कॉलम जनसंख्या की पसंद के अनुरूप हैं। फिर सेल (आई, जे)उस स्थिति से मेल खाता है जब स्टोर चुनता है मैंवें प्रकार का उत्पाद ( मैं-वीं पंक्ति), और जनसंख्या चुनती है जेवें प्रकार का उत्पाद ( जे-वां कॉलम)। प्रत्येक सेल में हम स्टोर के दृष्टिकोण से संबंधित स्थिति का संख्यात्मक मूल्यांकन (लाभ या हानि) लिखते हैं:

नंबर क्यू मैंस्टोर के नुकसान को दर्शाने के लिए माइनस के साथ लिखा गया; प्रत्येक स्थिति में, जनसंख्या का "लाभ" (सशर्त रूप से) स्टोर के "लाभ" के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है।

इस मॉडल का संक्षिप्त रूप है:

(1.9)

हमें तथाकथित मैट्रिक्स गेम मिला। मॉडल (1.9.) गेम निर्णय लेने वाले मॉडल का एक उदाहरण है।

एक गणितीय मॉडल बनाने के लिए आपको चाहिए:

1. किसी वास्तविक वस्तु या प्रक्रिया का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करें;
2. इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों पर प्रकाश डाल सकेंगे;
3. चर परिभाषित करें, अर्थात पैरामीटर जिनके मान वस्तु की मुख्य विशेषताओं और गुणों को प्रभावित करते हैं;
4. तार्किक-गणितीय संबंधों (समीकरण, समानता, असमानता, तार्किक-गणितीय निर्माण) का उपयोग करके चर के मूल्यों पर किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के मूल गुणों की निर्भरता का वर्णन करें;
5. प्रतिबंधों, समीकरणों, समानताओं, असमानताओं, तार्किक और गणितीय निर्माणों का उपयोग करके किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के आंतरिक कनेक्शन को उजागर करें;
6. बाहरी कनेक्शनों की पहचान करें और प्रतिबंधों, समीकरणों, समानताओं, असमानताओं, तार्किक और गणितीय निर्माणों का उपयोग करके उनका वर्णन करें।

गणित मॉडलिंगकिसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली का अध्ययन करने और उनका गणितीय विवरण तैयार करने के अलावा, इसमें यह भी शामिल है:

1. एक एल्गोरिथ्म का निर्माण जो किसी वस्तु, प्रक्रिया या सिस्टम के व्यवहार को मॉडल करता है;
2. कम्प्यूटेशनल और पूर्ण पैमाने के प्रयोगों के आधार पर मॉडल और वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली की पर्याप्तता की जाँच करना;
3. मॉडल समायोजन;
4. मॉडल का उपयोग करना।

अध्ययन के तहत प्रक्रियाओं और प्रणालियों का गणितीय विवरण इस पर निर्भर करता है:

1. एक वास्तविक प्रक्रिया या प्रणाली की प्रकृति और भौतिकी, रसायन विज्ञान, यांत्रिकी, थर्मोडायनामिक्स, हाइड्रोडायनामिक्स, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, प्लास्टिसिटी सिद्धांत, लोच सिद्धांत, आदि के नियमों के आधार पर संकलित की जाती है।
2. वास्तविक प्रक्रियाओं और प्रणालियों के अध्ययन और अनुसंधान की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता।

गणितीय मॉडल का निर्माण आमतौर पर विचाराधीन वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के सबसे सरल, सबसे कच्चे गणितीय मॉडल के निर्माण और विश्लेषण से शुरू होता है। भविष्य में, यदि आवश्यक हो, तो मॉडल को परिष्कृत किया जाता है और वस्तु के साथ इसके पत्राचार को और अधिक पूर्ण बनाया जाता है।

चलिए एक सरल उदाहरण लेते हैं. आपको सतह क्षेत्र निर्धारित करने की आवश्यकता है मेज़. आमतौर पर, यह इसकी लंबाई और चौड़ाई को मापकर और फिर परिणामी संख्याओं को गुणा करके किया जाता है। इस प्राथमिक प्रक्रिया का वास्तव में निम्नलिखित अर्थ है: एक वास्तविक वस्तु (तालिका की सतह) को एक अमूर्त गणितीय मॉडल - एक आयत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। तालिका की सतह की लंबाई और चौड़ाई को मापकर प्राप्त आयामों को आयत को सौंपा गया है, और ऐसे आयत का क्षेत्रफल लगभग तालिका का आवश्यक क्षेत्र माना जाता है। हालाँकि, डेस्क के लिए आयताकार मॉडल सबसे सरल, सबसे कच्चा मॉडल है। यदि आप समस्या के प्रति अधिक गंभीर दृष्टिकोण अपनाते हैं, तो तालिका का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए आयत मॉडल का उपयोग करने से पहले, इस मॉडल की जाँच करना आवश्यक है। जाँच निम्नानुसार की जा सकती है: तालिका के विपरीत पक्षों की लंबाई, साथ ही इसके विकर्णों की लंबाई को मापें और उनकी एक दूसरे से तुलना करें। यदि, सटीकता की आवश्यक डिग्री के साथ, विपरीत भुजाओं की लंबाई और विकर्णों की लंबाई जोड़े में बराबर हैं, तो तालिका की सतह को वास्तव में एक आयत माना जा सकता है। अन्यथा, आयत मॉडल को अस्वीकार करना होगा और उसके स्थान पर चतुर्भुज मॉडल लाना होगा सामान्य रूप से देखें. सटीकता की उच्च आवश्यकता के साथ, मॉडल को और भी परिष्कृत करना आवश्यक हो सकता है, उदाहरण के लिए, तालिका के कोनों की गोलाई को ध्यान में रखना।

इस सरल उदाहरण का उपयोग करके, यह दिखाया गया कि गणितीय मॉडल वस्तु, प्रक्रिया या द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है प्रणाली.

या (कल स्पष्ट किया जाएगा)

गणित हल करने के तरीके. मॉडल:

1, प्रकृति के नियमों पर आधारित मॉडल का निर्माण (विश्लेषणात्मक विधि)

2. सांख्यिकीय विधियों का उपयोग करने का औपचारिक तरीका। प्रसंस्करण और माप परिणाम (सांख्यिकीय दृष्टिकोण)

3. तत्वों (जटिल प्रणालियों) के मॉडल के आधार पर एक मॉडल का निर्माण

1, विश्लेषणात्मक - पर्याप्त अध्ययन के साथ प्रयोग करें। सामान्य पैटर्न ज्ञात है. मॉडल।

2. प्रयोग. जानकारी के अभाव में.

3. अनुकरण एम. - वस्तु के गुणों का अन्वेषण करता है। आम तौर पर।

गणितीय मॉडल के निर्माण का एक उदाहरण.

गणित का मॉडल- यह गणितीय प्रतिनिधित्ववास्तविकता।

गणित मॉडलिंगगणितीय मॉडल के निर्माण और अध्ययन की प्रक्रिया है।

गणित का उपयोग करने वाले सभी प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञान अनिवार्य रूप से गणितीय मॉडलिंग में लगे हुए हैं: वे किसी वस्तु को उसके गणितीय मॉडल से बदल देते हैं और फिर बाद का अध्ययन करते हैं। गणितीय मॉडल और वास्तविकता के बीच संबंध परिकल्पनाओं, आदर्शीकरणों और सरलीकरणों की एक श्रृंखला का उपयोग करके किया जाता है। गणितीय तरीकों का उपयोग करते हुए, एक नियम के रूप में, सार्थक मॉडलिंग के चरण में निर्मित एक आदर्श वस्तु का वर्णन किया जाता है।

मॉडलों की आवश्यकता क्यों है?

अक्सर किसी भी वस्तु का अध्ययन करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। कभी-कभी मूल स्वयं अनुपलब्ध होता है, या उसका उपयोग उचित नहीं होता है, या मूल को आकर्षित करना महंगा होता है। इन सभी समस्याओं को सिमुलेशन का उपयोग करके हल किया जा सकता है। में मॉडल एक निश्चित अर्थ मेंअध्ययनाधीन वस्तु को प्रतिस्थापित कर सकता है।

मॉडलों के सबसे सरल उदाहरण

§ एक तस्वीर को किसी व्यक्ति का मॉडल कहा जा सकता है. किसी इंसान को पहचानने के लिए उसकी तस्वीर देखना ही काफी है।

§ वास्तुकार ने एक नए आवासीय क्षेत्र का एक मॉडल बनाया। वह अपने हाथ के इशारे से किसी ऊंची इमारत को एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक ले जा सकता है। हकीकत में ऐसा संभव नहीं होगा.

मॉडल प्रकार

मॉडलों को विभाजित किया जा सकता है सामग्री"और उत्तम. उपरोक्त उदाहरण भौतिक मॉडल हैं। आदर्श मॉडलअक्सर एक प्रतीकात्मक रूप होता है। वास्तविक अवधारणाओं को कुछ संकेतों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिन्हें आसानी से कागज पर, कंप्यूटर मेमोरी आदि में दर्ज किया जा सकता है।

गणित मॉडलिंग

गणितीय मॉडलिंग प्रतीकात्मक मॉडलिंग के वर्ग से संबंधित है। इसके अलावा, मॉडल किसी भी गणितीय वस्तु से बनाए जा सकते हैं: संख्याएं, फ़ंक्शन, समीकरण इत्यादि।

एक गणितीय मॉडल का निर्माण

§ गणितीय मॉडल के निर्माण के कई चरणों को नोट किया जा सकता है:

1. समस्या को समझना, हमारे लिए सबसे महत्वपूर्ण गुणों, गुणों, मात्राओं और मापदंडों की पहचान करना।

2. अंकन का परिचय.

3. प्रतिबंधों की एक प्रणाली तैयार करना जिसे दर्ज किए गए मानों को पूरा करना होगा।

4. उन स्थितियों का निर्माण और रिकॉर्डिंग जो वांछित इष्टतम समाधान से संतुष्ट होनी चाहिए।

मॉडलिंग प्रक्रिया किसी मॉडल के निर्माण के साथ समाप्त नहीं होती है, बल्कि इसके साथ ही शुरू होती है। एक मॉडल संकलित करने के बाद, वे उत्तर खोजने और समस्या को हल करने के लिए एक विधि चुनते हैं। उत्तर मिल जाने के बाद उसकी वास्तविकता से तुलना की जाती है। और यह संभव है कि उत्तर संतोषजनक न हो, ऐसी स्थिति में मॉडल को संशोधित किया जाता है या यहां तक ​​कि एक पूरी तरह से अलग मॉडल चुना जाता है।

गणितीय मॉडल का उदाहरण

काम

उत्पादन संघ, जिसमें दो फर्नीचर कारखाने शामिल हैं, को अपने मशीन पार्क को अद्यतन करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, पहले फर्नीचर कारखाने को तीन मशीनों को बदलने की जरूरत है, और दूसरे को - सात को। दो मशीन टूल कारखानों में ऑर्डर दिए जा सकते हैं। पहला संयंत्र 6 से अधिक मशीनों का उत्पादन नहीं कर सकता है, और दूसरा संयंत्र एक ऑर्डर स्वीकार करेगा यदि उनमें से कम से कम तीन हों। आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि ऑर्डर कैसे दें।

प्रथम स्तर

OGE और एकीकृत राज्य परीक्षा (2019) के लिए गणितीय मॉडल

गणितीय मॉडल की अवधारणा

एक हवाई जहाज की कल्पना करें: पंख, धड़, पूंछ, यह सब एक साथ - एक वास्तविक विशाल, विशाल, संपूर्ण हवाई जहाज। या आप एक हवाई जहाज का मॉडल बना सकते हैं, छोटा, लेकिन बिल्कुल वास्तविक जीवन की तरह, वही पंख, आदि, लेकिन कॉम्पैक्ट। गणितीय मॉडल भी ऐसा ही है। एक पाठ्य समस्या है, बोझिल, आप इसे देख सकते हैं, पढ़ सकते हैं, लेकिन इसे ठीक से समझ नहीं पाते हैं, और इससे भी अधिक यह स्पष्ट नहीं है कि इसे कैसे हल किया जाए। यदि आप किसी बड़ी शब्द समस्या का एक छोटा सा मॉडल, गणितीय मॉडल बना लें तो क्या होगा? गणितीय का क्या अर्थ है? इसका मतलब है, गणितीय अंकन के नियमों और कानूनों का उपयोग करके, पाठ को संख्याओं और अंकगणितीय संकेतों का उपयोग करके तार्किक रूप से सही प्रतिनिधित्व में बदलना। इसलिए, गणितीय मॉडल गणितीय भाषा का उपयोग करके वास्तविक स्थिति का प्रतिनिधित्व है।

आइए कुछ सरल से शुरू करें: संख्या अधिक संख्यापर। हमें इसे शब्दों का उपयोग किए बिना, केवल गणित की भाषा में लिखने की आवश्यकता है। यदि इससे अधिक है तो परिणाम यह होता है कि यदि हम इसमें से घटा दें तो इन संख्याओं का अंतर समान ही रहेगा। वे। या। क्या आप बात समझ गए?

अब यह और अधिक कठिन है, अब एक पाठ होगा जिसे आपको गणितीय मॉडल के रूप में प्रस्तुत करने का प्रयास करना चाहिए, मैं इसे कैसे करूँगा यह अभी तक न पढ़ें, इसे स्वयं आज़माएँ! चार संख्याएँ हैं: , और। उत्पाद, उत्पाद से दोगुना बड़ा है.

क्या हुआ?

गणितीय मॉडल के रूप में यह इस प्रकार दिखेगा:

वे। उत्पाद दो से एक के रूप में संबंधित है, लेकिन इसे और सरल बनाया जा सकता है:

अच्छा, ठीक है, मुझे लगता है कि सरल उदाहरणों से आपको बात समझ में आ जाएगी। आइए संपूर्ण समस्याओं की ओर बढ़ते हैं जिनमें इन गणितीय मॉडलों को भी हल करने की आवश्यकता होती है! यहाँ चुनौती है.

व्यवहार में गणितीय मॉडल

समस्या 1

बारिश के बाद कुएं का जलस्तर बढ़ सकता है. लड़का कुएं में गिरने वाले छोटे कंकड़ के समय को मापता है और सूत्र का उपयोग करके पानी की दूरी की गणना करता है, जहां मीटर में दूरी है और सेकंड में गिरने का समय है। बारिश से पहले कंकड़ गिरने का समय s था. बारिश के बाद मापा समय को एस में बदलने के लिए जल स्तर कितना बढ़ना चाहिए? अपना उत्तर मीटर में व्यक्त करें।

हाय भगवान्! क्या सूत्र, कैसा कुआँ, क्या हो रहा है, क्या करना है? क्या मैंने आपका मन पढ़ा? आराम करें, इस प्रकार की समस्याओं में और भी भयानक स्थितियाँ होती हैं, मुख्य बात यह याद रखना है कि इस समस्या में आप सूत्रों और चर के बीच संबंधों में रुचि रखते हैं, और ज्यादातर मामलों में इसका क्या मतलब है यह बहुत महत्वपूर्ण नहीं है। आप यहां क्या उपयोगी देखते हैं? मैं इसे व्यक्तिगत रूप से देखता हूं। इन समस्याओं को हल करने का सिद्धांत निम्नलिखित है: आप सभी ज्ञात मात्राएँ लें और उन्हें प्रतिस्थापित करें।लेकिन, कभी-कभी आपको सोचने की ज़रूरत होती है!

मेरी पहली सलाह का पालन करते हुए, और ज्ञात सभी चीज़ों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

यह मैं ही था जिसने सेकंड के समय को प्रतिस्थापित किया और ऊंचाई का पता लगाया कि पत्थर बारिश से पहले उड़ गया था। अब हमें बारिश के बाद गिनती करने और अंतर ढूंढने की ज़रूरत है!

अब दूसरी सलाह सुनें और इसके बारे में सोचें, प्रश्न निर्दिष्ट करता है कि "बारिश के बाद मापा समय को एस में बदलने के लिए जल स्तर कितना बढ़ना चाहिए।" आपको तुरंत यह पता लगाने की आवश्यकता है कि बारिश के बाद जल स्तर बढ़ जाता है, जिसका अर्थ है कि पानी के स्तर पर पत्थर गिरने का समय कम हो जाता है, और यहां अलंकृत वाक्यांश "ताकि मापा गया समय बदल जाए" एक विशिष्ट अर्थ लेता है: गिरना समय बढ़ता नहीं है, बल्कि संकेतित सेकंड कम हो जाता है। इसका मतलब यह है कि बारिश के बाद फेंकने के मामले में, हमें शुरुआती समय सी से सी घटाने की जरूरत है, और हमें उस ऊंचाई का समीकरण मिलता है जो बारिश के बाद पत्थर उड़ जाएगा:

और अंत में, यह पता लगाने के लिए कि बारिश के बाद मापा समय को एस में बदलने के लिए पानी का स्तर कितना बढ़ना चाहिए, आपको बस पहली गिरावट की ऊंचाई से दूसरे को घटाना होगा!

हमें उत्तर मिलता है: प्रति मीटर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि इस बारे में ज्यादा चिंता न करें कि परिस्थितियों में इतना समझ से बाहर और कभी-कभी जटिल समीकरण कहां से आया और इसमें हर चीज का क्या मतलब है, इसके लिए मेरा शब्द लें, अधिकांश ये समीकरण भौतिकी से लिए गए हैं, और वहां जंगल बीजगणित से भी बदतर है। कभी-कभी मुझे ऐसा लगता है कि इन कार्यों का आविष्कार एकीकृत राज्य परीक्षा में छात्रों को जटिल सूत्रों और शर्तों की बहुतायत से डराने के लिए किया गया था, और ज्यादातर मामलों में उन्हें लगभग किसी भी ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। बस शर्त को ध्यान से पढ़ें और ज्ञात मात्राओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करें!

यहां एक और समस्या है, भौतिकी से नहीं, बल्कि दुनिया से आर्थिक सिद्धांत, हालाँकि गणित के अलावा अन्य विज्ञानों का ज्ञान यहाँ फिर से आवश्यक नहीं है।

समस्या 2

कीमत (हजार रूबल) पर एक एकाधिकार उद्यम के उत्पादों की मांग की मात्रा (प्रति माह इकाइयां) की निर्भरता सूत्र द्वारा दी गई है

महीने के लिए उद्यम का राजस्व (हजार रूबल में) सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है। उच्चतम मूल्य निर्धारित करें जिस पर मासिक राजस्व कम से कम हजार रूबल होगा। अपना उत्तर हजार रूबल में दें।

सोचो अब मैं क्या करूँगा? हाँ, हम जो जानते हैं उसे जोड़ना शुरू करेंगे, लेकिन, फिर भी, मुझे अभी भी थोड़ा सोचना होगा। चलिए अंत से चलते हैं, हमें यह पता लगाना होगा कि कौन सा है। तो, वहाँ है, यह किसी चीज़ के बराबर है, हम पाते हैं कि यह किसके बराबर है, और यह इसके बराबर है, इसलिए हम इसे लिखते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, मैं वास्तव में इन सभी मात्राओं के अर्थ के बारे में चिंता नहीं करता, मैं बस स्थितियों से देखता हूं कि क्या बराबर है, यही आपको करने की आवश्यकता है। चलिए समस्या पर वापस आते हैं, यह आपके पास पहले से ही है, लेकिन जैसा कि आप दो चर वाले एक समीकरण से याद करते हैं, आप उनमें से कोई भी नहीं ढूंढ सकते हैं, आपको क्या करना चाहिए? हाँ, हमारे पास अभी भी एक अप्रयुक्त टुकड़ा हालत में बचा हुआ है। अब, पहले से ही दो समीकरण और दो चर हैं, जिसका अर्थ है कि अब दोनों चर पाए जा सकते हैं - बढ़िया!

- क्या आप ऐसी प्रणाली का समाधान कर सकते हैं?

हम प्रतिस्थापन द्वारा हल करते हैं; यह पहले से ही व्यक्त है, तो आइए इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें और इसे सरल बनाएं।

हमें यह द्विघात समीकरण मिलता है: , हम हल करते हैं, जड़ें इस प्रकार हैं, . कार्य के लिए उच्चतम मूल्य खोजने की आवश्यकता है जिस पर सिस्टम बनाते समय हमने जिन सभी शर्तों को ध्यान में रखा था, वे पूरी होंगी। ओह, पता चला कि यही कीमत थी। बढ़िया, इसलिए हमने कीमतें ढूंढीं: और। सबसे ज़्यादा कीमत, आप बताओ? ठीक है, उनमें से सबसे बड़ा, जाहिर है, हम इसे प्रतिक्रिया में लिखते हैं। अच्छा, क्या यह कठिन है? मुझे नहीं लगता, और इसमें बहुत अधिक गहराई से जाने की कोई आवश्यकता नहीं है!

और यहाँ कुछ भयानक भौतिकी, या यों कहें कि एक और समस्या है:

समस्या 3

तारों के प्रभावी तापमान को निर्धारित करने के लिए, स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन कानून का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार, तारे की विकिरण शक्ति कहाँ है, एक स्थिरांक है, तारे का सतह क्षेत्र है, और तापमान है। यह ज्ञात है कि एक निश्चित तारे का सतह क्षेत्र बराबर होता है, और उसके विकिरण की शक्ति W के बराबर होती है। इस तारे का तापमान केल्विन डिग्री में ज्ञात कीजिए।

यह कैसे स्पष्ट है? हाँ, शर्त कहती है कि क्या बराबर है। पहले, मैंने सभी अज्ञात को एक ही बार में प्रतिस्थापित करने की सिफारिश की थी, लेकिन यहां पहले अज्ञात को व्यक्त करना बेहतर है। देखो यह कितना सरल है: एक सूत्र है और इसमें हम जानते हैं, और (यह ग्रीक अक्षर "सिग्मा" है। सामान्य तौर पर, भौतिक विज्ञानी प्यार करते हैं ग्रीक अक्षर, आदत डाल लो)। और तापमान अज्ञात है. आइए इसे एक सूत्र के रूप में व्यक्त करें। मुझे आशा है कि आप जानते हैं कि यह कैसे करना है? 9वीं कक्षा में राज्य परीक्षा परीक्षा के लिए ऐसे कार्य आमतौर पर दिए जाते हैं:

अब जो कुछ बचा है वह दाईं ओर अक्षरों के स्थान पर संख्याओं को प्रतिस्थापित करना और सरल बनाना है:

यहाँ उत्तर है: डिग्री केल्विन! और यह कितना भयानक कार्य था!

हम भौतिक विज्ञान की समस्याओं से परेशान रहते हैं।

समस्या 4

फेंकी गई गेंद की जमीन से ऊपर की ऊंचाई कानून के अनुसार बदलती है, जहां ऊंचाई मीटर में होती है और सेकंड में वह समय होता है जो फेंकने के क्षण से बीत चुका है। गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर कितने सेकंड रहेगी?

ये सभी समीकरण थे, लेकिन यहां हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर कितनी देर तक थी, जिसका अर्थ है ऊंचाई पर। हम क्या बनाएंगे? असमानता, बिल्कुल! हमारे पास एक फ़ंक्शन है जो बताता है कि गेंद कैसे उड़ती है, कहां - यह मीटर में बिल्कुल समान ऊंचाई है, हमें ऊंचाई की आवश्यकता है। मतलब

और अब आप बस असमानता को हल करें, मुख्य बात यह है कि जब आप असमानता के दोनों पक्षों से गुणा करते हैं तो सामने वाले ऋण से छुटकारा पाने के लिए असमानता के चिह्न को अधिक या बराबर से कम या बराबर में बदलना न भूलें।

ये जड़ें हैं, हम असमानता के लिए अंतराल बनाते हैं:

हम उस अंतराल में रुचि रखते हैं जहां ऋण चिह्न है, क्योंकि असमानता वहां नकारात्मक मान लेती है, यह दोनों समावेशी है। आइए अब अपने दिमाग को चालू करें और ध्यान से सोचें: असमानता के लिए हमने एक समीकरण का उपयोग किया जो गेंद की उड़ान का वर्णन करता है, यह किसी तरह एक परवलय के साथ उड़ती है, अर्थात। यह उड़ान भरता है, एक शिखर पर पहुंचता है और गिर जाता है, यह कैसे समझें कि यह कम से कम मीटर की ऊंचाई पर कितनी देर तक रहेगा? हमें 2 महत्वपूर्ण मोड़ मिले, अर्थात् वह क्षण जब वह मीटर से ऊपर उड़ता है और वह क्षण जब गिरते हुए, वह उसी निशान पर पहुंचता है, इन दो बिंदुओं को समय के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात। हम जानते हैं कि उड़ान के किस सेकंड में उसने हमारे रुचि के क्षेत्र में प्रवेश किया (मीटर से ऊपर) और किस सेकंड में उसने इसे छोड़ दिया (मीटर चिह्न से नीचे गिर गया)। वह इस क्षेत्र में कितने सेकंड था? यह तर्कसंगत है कि हम क्षेत्र छोड़ने का समय लें और उसमें से इस क्षेत्र में प्रवेश करने का समय घटा दें। तदनुसार:- वह इतने लंबे समय तक मीटर से ऊपर के क्षेत्र में था, यह उत्तर है।

आप भाग्यशाली हैं कि इस विषय पर अधिकांश उदाहरण भौतिकी समस्याओं की श्रेणी से लिए जा सकते हैं, इसलिए एक और पकड़ें, यह अंतिम है, इसलिए अपने आप को आगे बढ़ाएं, बस थोड़ा सा बचा है!

समस्या 5

एक निश्चित उपकरण के हीटिंग तत्व के लिए, ऑपरेटिंग समय पर तापमान की निर्भरता प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त की गई थी:

मिनटों में समय कहाँ है, . यह ज्ञात है कि यदि हीटिंग तत्व का तापमान अधिक है, तो उपकरण खराब हो सकता है, इसलिए इसे बंद कर देना चाहिए। जानिए कौन सा सबसे लंबा समयकाम शुरू करने के बाद आपको डिवाइस को बंद करना होगा। अपना उत्तर मिनटों में व्यक्त करें.

हम एक सुस्थापित योजना के अनुसार कार्य करते हैं, सबसे पहले हम वह सब कुछ लिखते हैं जो दिया गया है:

अब हम सूत्र लेते हैं और इसे उस तापमान मान के बराबर करते हैं जिस पर उपकरण को जितना संभव हो उतना गर्म किया जा सकता है जब तक कि वह जल न जाए, अर्थात:

अब हम अक्षरों के स्थान पर उन संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं जहाँ वे ज्ञात हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, डिवाइस के संचालन के दौरान तापमान का वर्णन किया गया है द्विघात समीकरण, जिसका अर्थ है कि यह एक परवलय के साथ वितरित है, अर्थात। उपकरण एक निश्चित तापमान तक गर्म होता है और फिर ठंडा हो जाता है। हमें उत्तर प्राप्त हुए और इसलिए, गर्म करने के मिनटों में तापमान महत्वपूर्ण के बराबर होता है, लेकिन मिनटों के बीच - यह सीमा से भी अधिक होता है!

इसका मतलब है कि आपको मिनटों के बाद डिवाइस को बंद करना होगा।

गणितीय मॉडल. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

अक्सर, गणितीय मॉडल का उपयोग भौतिकी में किया जाता है: आपको शायद दर्जनों को याद रखना होगा भौतिक सूत्र. और सूत्र स्थिति का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

ओजीई और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में बिल्कुल इसी विषय पर कार्य होते हैं। एकीकृत राज्य परीक्षा (प्रोफ़ाइल) में यह कार्य संख्या 11 (पूर्व में बी12) है। OGE में - कार्य संख्या 20।

समाधान योजना स्पष्ट है:

1) शर्त के पाठ से उपयोगी जानकारी को "पृथक" करना आवश्यक है - भौतिकी की समस्याओं में हम "दिया" शब्द के तहत क्या लिखते हैं। यह उपयोगी जानकारीहैं:

• FORMULA
• ज्ञात भौतिक मात्राएँ।

अर्थात्, सूत्र का प्रत्येक अक्षर एक निश्चित संख्या से संबद्ध होना चाहिए।

2) सभी ज्ञात मात्राएँ लें और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें। अज्ञात मात्रा एक अक्षर के रूप में रहती है। अब आपको बस समीकरण (आमतौर पर काफी सरल) को हल करने की जरूरत है, और उत्तर तैयार है।

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किस लिए?

के लिए सफल समापनएकीकृत राज्य परीक्षा, बजट पर कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए मना नहीं पाऊंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा...

जिन लोगों को प्राप्त हुआ एक अच्छी शिक्षा, उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाएं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया। ये आँकड़े हैं.

लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने कई और अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिये...

एकीकृत राज्य परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंततः... अधिक खुश रहने के लिए क्या करना होगा?

इस विषय पर समस्याओं को हल करके अपना हाथ बढ़ाएं।

परीक्षा के दौरान आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।

आपको चाहिये होगा समय रहते समस्याओं का समाधान करें.

और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या आपके पास समय नहीं होगा।

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