गणित का मॉडल गणितीय संबंधों की एक प्रणाली है - सूत्र, समीकरण, असमानताएं, आदि, जो किसी वस्तु या घटना के आवश्यक गुणों को दर्शाती हैं।

प्रत्येक प्राकृतिक घटना अपनी जटिलता में अनंत है. आइए हम इसे वी.एन. की पुस्तक से लिए गए एक उदाहरण से स्पष्ट करें। ट्रॉस्टनिकोव "मैन एंड इंफॉर्मेशन" (पब्लिशिंग हाउस "नौका", 1970)।

औसत व्यक्ति गणितीय समस्या इस प्रकार तैयार करता है: “एक पत्थर को 200 मीटर की ऊंचाई से गिरने में कितना समय लगेगा?”गणितज्ञ समस्या का अपना संस्करण कुछ इस तरह बनाना शुरू करेगा: "आइए मान लें कि पत्थर शून्य में गिरता है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 9.8 मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड है। फिर..."

- मुझे- "ग्राहक" कह सकता है, - मैं इस सरलीकरण से खुश नहीं हूँ. मैं जानना चाहता हूं कि एक पत्थर गिरने में कितना समय लगेगा वास्तविक स्थितियाँ, और किसी अस्तित्वहीन शून्य में नहीं।

- अच्छा,- गणितज्ञ सहमत होंगे। - आइए मान लें कि पत्थर का आकार और व्यास गोलाकार है... इसका व्यास लगभग कितना है?

- लगभग पाँच सेंटीमीटर. लेकिन यह बिल्कुल भी गोलाकार नहीं है, बल्कि आयताकार है।

- तब हम मान लेंगे कि वहइसका आकार दीर्घवृत्ताभ जैसा है धुरी शाफ्ट के साथ चार, तीन और तीन सेंटीमीटर और यहगिरता है ताकि अर्ध-प्रमुख अक्ष हर समय लंबवत रहे . आइए वायुदाब को बराबर मानें760 एमएमएचजी , यहाँ से हम वायु घनत्व ज्ञात करते हैं...

यदि "मानवीय" भाषा में समस्या प्रस्तुत करने वाला गणितज्ञ के विचार क्रम में और हस्तक्षेप नहीं करता है, तो गणितज्ञ कुछ समय बाद संख्यात्मक उत्तर देगा। लेकिन "उपभोक्ता" अभी भी आपत्ति कर सकता है: पत्थर वास्तव में बिल्कुल भी दीर्घवृत्ताकार नहीं है, उस स्थान पर और उस समय हवा का दबाव 760 मिमी एचजी के बराबर नहीं था, आदि। गणितज्ञ उसे क्या उत्तर देगा?

वह इसका जवाब देंगे सटीक समाधान वास्तविक समस्याबिल्कुल असंभव. इतना ही नहीं पत्थर का आकार, जो वायु प्रतिरोध को प्रभावित करता है, किसी गणितीय समीकरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता; उड़ान में इसका घूमना भी गणित के नियंत्रण से बाहर हैइसकी जटिलता के कारण. आगे, हवा एक समान नहीं है,चूंकि, यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, घनत्व में उतार-चढ़ाव में उतार-चढ़ाव उत्पन्न होता है। यदि हम और गहराई में जाएं तो हमें उस पर विचार करने की आवश्यकता है सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड पर कार्य करता है. यह इस प्रकार है कि एक पेंडुलम भी दीवार घड़ीअपनी गति से पत्थर का प्रक्षेप पथ बदल देता है।

संक्षेप में, यदि हम गंभीरता से किसी वस्तु के व्यवहार का सटीक अध्ययन करना चाहते हैं, तो हमें सबसे पहले ब्रह्मांड में अन्य सभी वस्तुओं की स्थिति और गति को जानना होगा। और यह, बिल्कुल। असंभव ।

सबसे प्रभावी ढंग से, एक गणितीय मॉडल को एक एल्गोरिदमिक मॉडल के रूप में कंप्यूटर पर लागू किया जा सकता है - एक तथाकथित "कम्प्यूटेशनल प्रयोग" (देखें [1], पैराग्राफ 26)।

बेशक, एक कम्प्यूटेशनल प्रयोग के परिणाम वास्तविकता के अनुरूप नहीं हो सकते हैं यदि मॉडल वास्तविकता के कुछ महत्वपूर्ण पहलुओं को ध्यान में नहीं रखता है।

इसलिए, किसी समस्या को हल करने के लिए गणितीय मॉडल बनाते समय, आपको यह करना होगा:

1. उन धारणाओं को उजागर करें जिन पर गणितीय मॉडल आधारित होगा;
2. निर्धारित करें कि प्रारंभिक डेटा और परिणाम क्या माने जाते हैं;
3. परिणामों को मूल डेटा से जोड़ने वाले गणितीय संबंध लिखें।

गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, ऐसे सूत्र ढूंढना हमेशा संभव नहीं होता है जो डेटा के माध्यम से वांछित मात्रा को स्पष्ट रूप से व्यक्त करते हैं। ऐसे मामलों में, सटीकता की अलग-अलग डिग्री के उत्तर प्रदान करने के लिए गणितीय तरीकों का उपयोग किया जाता है। किसी भी घटना का न केवल गणितीय मॉडलिंग है, बल्कि दृश्य-प्राकृतिक मॉडलिंग भी है, जो कंप्यूटर ग्राफिक्स का उपयोग करके इन घटनाओं को प्रदर्शित करके प्रदान किया जाता है, अर्थात। शोधकर्ता के सामने वास्तविक समय में फिल्माया गया एक प्रकार का "कंप्यूटर कार्टून" दिखाया जाता है। यहां विजिबिलिटी बहुत ज्यादा है.

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गणित का मॉडलबी वास्तविकता का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

गणित मॉडलिंग- गणितीय मॉडल के निर्माण और अध्ययन की प्रक्रिया।

गणितीय उपकरण का उपयोग करने वाले सभी प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञान अनिवार्य रूप से गणितीय मॉडलिंग में लगे हुए हैं: वे एक वास्तविक वस्तु को उसके गणितीय मॉडल से बदल देते हैं और फिर बाद का अध्ययन करते हैं।

परिभाषाएँ।

कोई परिभाषा नहीं दे सकती पूरे मेंवास्तविक जीवन की गणितीय मॉडलिंग गतिविधियों को कवर करें। इसके बावजूद, परिभाषाएँ उपयोगी हैं क्योंकि वे सबसे आवश्यक विशेषताओं को उजागर करने का प्रयास करती हैं।

ए.ए. ल्यपुनोव के अनुसार एक मॉडल की परिभाषा: मॉडलिंग किसी वस्तु का अप्रत्यक्ष व्यावहारिक या सैद्धांतिक अध्ययन है, जिसमें सीधे तौर पर उस वस्तु का अध्ययन नहीं किया जाता है जिसमें हमारी रुचि है, बल्कि कुछ सहायक कृत्रिम या प्राकृतिक प्रणाली का अध्ययन किया जाता है:

संज्ञेय वस्तु के साथ कुछ वस्तुनिष्ठ पत्राचार में स्थित;

कुछ मामलों में इसे प्रतिस्थापित करने में सक्षम;

जिसका अध्ययन करने पर अंततः प्रतिरूपित की जा रही वस्तु के बारे में जानकारी मिलती है।

सोवेटोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल मूल वस्तु के लिए एक स्थानापन्न वस्तु है, जो मूल के कुछ गुणों का अध्ययन प्रदान करता है।" "एक मॉडल ऑब्जेक्ट का उपयोग करके मूल ऑब्जेक्ट के सबसे महत्वपूर्ण गुणों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए एक ऑब्जेक्ट को दूसरे के साथ बदलना मॉडलिंग कहलाता है।" “गणितीय मॉडलिंग से हमारा तात्पर्य किसी दिए गए वास्तविक वस्तु और कुछ गणितीय वस्तु के बीच एक पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया है, जिसे गणितीय मॉडल कहा जाता है, और इस मॉडल का अध्ययन, जो हमें विचाराधीन वास्तविक वस्तु की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है। गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु के अध्ययन के कार्यों और इस समस्या को हल करने की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है।

समरस्की और मिखाइलोव के अनुसार, एक गणितीय मॉडल किसी वस्तु का "समकक्ष" होता है, जो गणितीय रूप में इसके सबसे महत्वपूर्ण गुणों को दर्शाता है: जिन कानूनों का यह पालन करता है, इसके घटक भागों में निहित कनेक्शन आदि। यह त्रिक में मौजूद है। मॉडल-एल्गोरिदम-प्रोग्राम” । ट्रायड "मॉडल-एल्गोरिदम-प्रोग्राम" बनाने के बाद, शोधकर्ता को एक सार्वभौमिक, लचीला और सस्ता उपकरण प्राप्त होता है, जिसे पहले डिबग किया जाता है और परीक्षण कम्प्यूटेशनल प्रयोगों में परीक्षण किया जाता है। मूल वस्तु के लिए त्रय की पर्याप्तता स्थापित होने के बाद, मॉडल के साथ विभिन्न और विस्तृत "प्रयोग" किए जाते हैं, जिससे वस्तु के सभी आवश्यक गुणात्मक और मात्रात्मक गुण और विशेषताएं मिलती हैं।

मायशकिस के मोनोग्राफ के अनुसार: “आइए सामान्य परिभाषा पर आगे बढ़ें। मान लीजिए कि हम किसी वास्तविक वस्तु के गुणों के कुछ सेट एस का पता लगाने जा रहे हैं

गणित का उपयोग करना. इसके लिए हम चुनते हैं „ गणितीय वस्तु" ए" - समीकरणों, या अंकगणितीय संबंधों की एक प्रणाली, या ज्यामितीय आकार, या दोनों का संयोजन, आदि, - जिसके अध्ययन से गणित के माध्यम से एस के गुणों के बारे में पूछे गए प्रश्नों का उत्तर मिलना चाहिए। इन शर्तों के तहत, ए" को सेट एस के सापेक्ष किसी वस्तु का गणितीय मॉडल कहा जाता है इसके गुणों के बारे में।"

सेवोस्त्यानोव ए.जी. के अनुसार: "एक गणितीय मॉडल गणितीय संबंधों, समीकरणों, असमानताओं आदि का एक सेट है जो अध्ययन की जा रही प्रक्रिया, वस्तु या प्रणाली में निहित बुनियादी पैटर्न का वर्णन करता है।"

कुछ हद तक कम सामान्य परिभाषाऑटोमेटा सिद्धांत से उधार लिया गया "इनपुट-आउटपुट-स्टेट" आदर्शीकरण पर आधारित एक गणितीय मॉडल विक्षनरी देता है: "एक प्रक्रिया, उपकरण या सैद्धांतिक विचार का एक अमूर्त गणितीय प्रतिनिधित्व; यह इनपुट, आउटपुट और आंतरिक स्थितियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर के एक सेट का उपयोग करता है, और उनकी बातचीत का वर्णन करने के लिए समीकरणों और असमानताओं का एक सेट का उपयोग करता है।

अंत में, गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा है: "एक समीकरण जो एक विचार व्यक्त करता है।"

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण.

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण प्रयुक्त के वर्गीकरण पर आधारित है गणितीय उपकरण. अक्सर इसका निर्माण द्विभाजन के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विभाजन के लोकप्रिय सेटों में से एक:

रैखिक या अरेखीय मॉडल; संकेन्द्रित या वितरित प्रणालियाँ; नियतिवादी या स्टोकेस्टिक; स्थिर या गतिशील; पृथक या निरंतर.

और इसी तरह। प्रत्येक निर्मित मॉडल रैखिक या अरैखिक, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक है... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार: एक संबंध में केंद्रित, दूसरे में वितरित, आदि।

वस्तु को प्रस्तुत करने के तरीके के अनुसार वर्गीकरण।

औपचारिक वर्गीकरण के साथ-साथ, मॉडल किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके में भिन्न होते हैं:

संरचनात्मक मॉडल किसी वस्तु को उसकी अपनी संरचना और कार्यप्रणाली के साथ एक प्रणाली के रूप में दर्शाते हैं। कार्यात्मक मॉडल ऐसे अभ्यावेदन का उपयोग नहीं करते हैं और केवल किसी वस्तु के बाहरी रूप से अनुमानित व्यवहार को दर्शाते हैं। अपनी चरम अभिव्यक्ति में इन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "ग्रे बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है।

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का वर्णन करने वाले लगभग सभी लेखक यह संकेत देते हैं कि सबसे पहले एक विशेष आदर्श संरचना, एक सार्थक मॉडल का निर्माण किया जाता है। यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इस आदर्श वस्तु को एक वैचारिक मॉडल, एक सट्टा मॉडल या एक पूर्व-मॉडल कहते हैं। इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण को औपचारिक मॉडल कहा जाता है या बस इस सार्थक मॉडल की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त गणितीय मॉडल कहा जाता है। एक सार्थक मॉडल का निर्माण तैयार किए गए आदर्शीकरणों के एक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसे यांत्रिकी में, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर निकाय, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडियाइत्यादि रेडीमेड दे दो संरचनात्मक तत्वसार्थक मॉडलिंग के लिए. हालाँकि, ज्ञान के उन क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से पूर्ण औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं, सार्थक मॉडल का निर्माण नाटकीय रूप से अधिक कठिन हो जाता है।

आर. पियरल्स का काम भौतिकी में और अधिक व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले गणितीय मॉडल का वर्गीकरण देता है प्राकृतिक विज्ञान. ए.एन. गोर्बन और आर.जी. खलेबोप्रोस की पुस्तक में, इस वर्गीकरण का विश्लेषण और विस्तार किया गया है। यह वर्गीकरण मुख्य रूप से एक सार्थक मॉडल के निर्माण के चरण पर केंद्रित है।

ये मॉडल "किसी घटना का एक अस्थायी विवरण प्रस्तुत करते हैं, और लेखक या तो इसकी संभावना पर विश्वास करता है या इसे सच भी मानता है।" आर. पियरल्स के अनुसार, उदाहरण के लिए, ये टॉलेमी और कोपर्निकन मॉडल, रदरफोर्ड परमाणु मॉडल और बिग बैंग मॉडल के अनुसार सौर मंडल का मॉडल हैं।

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना एक बार और हमेशा के लिए सिद्ध नहीं की जा सकती। रिचर्ड फेनमैन ने इसे बहुत स्पष्ट रूप से तैयार किया:

“हमारे पास हमेशा किसी सिद्धांत को अस्वीकार करने का अवसर होता है, लेकिन ध्यान दें कि हम कभी भी यह साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। आइए मान लें कि आपने एक सफल परिकल्पना प्रस्तुत की है, गणना की है कि यह कहाँ ले जाती है, और पाया कि इसके सभी परिणामों की प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई है। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा मतलब यह है कि आप इसका खंडन करने में असफल रहे।”

यदि पहले प्रकार का मॉडल बनाया जाता है, तो इसका मतलब है कि इसे अस्थायी रूप से सत्य के रूप में पहचाना जाता है और व्यक्ति अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालाँकि, यह शोध का कोई बिंदु नहीं हो सकता है, बल्कि केवल एक अस्थायी विराम हो सकता है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

एक घटनात्मक मॉडल में एक घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालाँकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त करने वाला नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा इसकी पर्याप्त पुष्टि नहीं की जा सकती है, या वस्तु के बारे में मौजूदा सिद्धांतों और संचित ज्ञान के साथ अच्छी तरह से फिट नहीं बैठता है। इसलिए, घटनात्मक मॉडल को अस्थायी समाधान का दर्जा प्राप्त है। ऐसा माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रहनी चाहिए। उदाहरण के लिए, पीयरल्स में दूसरे प्रकार के रूप में कैलोरी मॉडल और प्राथमिक कणों का क्वार्क मॉडल शामिल है।

अनुसंधान में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है; ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत घटनात्मक मॉडल की पुष्टि करते हैं और उन्हें उन्नत किया जाता है

परिकल्पना स्थिति. इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार के मॉडल-परिकल्पनाओं के साथ संघर्ष में आ सकता है, और उन्हें दूसरे प्रकार में अनुवादित किया जा सकता है। इस प्रकार, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे परिकल्पनाओं की श्रेणी में जा रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उभरा, लेकिन इतिहास के साथ यह पहला प्रकार बन गया। लेकिन ईथर मॉडल ने टाइप 1 से टाइप 2 तक अपना रास्ता बना लिया है, और अब विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण विभिन्न रूपों में आता है। पीयरल्स ने मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरणों की पहचान की है।

यदि ऐसे समीकरण बनाना संभव है जो अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर की मदद से भी हल किया जा सकता है। इस मामले में एक सामान्य तकनीक सन्निकटन का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल हैं। समीकरणों को रैखिक समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। एक मानक उदाहरण ओम का नियम है।

यदि हम पर्याप्त रूप से विरल गैसों का वर्णन करने के लिए आदर्श गैस मॉडल का उपयोग करते हैं, तो यह प्रकार 3 का एक मॉडल है। उच्च गैस घनत्व पर, गुणात्मक समझ और अनुमान के लिए आदर्श गैस के साथ एक सरल स्थिति की कल्पना करना भी उपयोगी है, लेकिन फिर यह है पहले से ही टाइप 4.

टाइप 4 मॉडल में, वे विवरण जो महत्वपूर्ण रूप से और हमेशा नियंत्रणीय रूप से परिणाम को प्रभावित नहीं कर सकते, हटा दिए जाते हैं। वही समीकरण प्रकार 3 या 4 मॉडल के रूप में काम कर सकते हैं, यह उस घटना पर निर्भर करता है जिसका अध्ययन करने के लिए मॉडल का उपयोग किया जाता है। इसलिए, यदि रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल का उपयोग अधिक जटिल मॉडल की अनुपस्थिति में किया जाता है, तो ये पहले से ही घटनात्मक रैखिक मॉडल हैं, और वे निम्न प्रकार 4 से संबंधित हैं।

उदाहरण: एक गैर-आदर्श गैस के लिए आदर्श गैस मॉडल का अनुप्रयोग, वैन डेर वाल्स अवस्था का समीकरण, ठोस अवस्था, तरल और परमाणु भौतिकी के अधिकांश मॉडल। सूक्ष्म विवरण से लेकर निकायों के गुणों तक का मार्ग बड़ी संख्या मेंकण, बहुत लंबे. कई विवरणों को त्यागना होगा। इससे टाइप 4 मॉडल बनते हैं।

अनुमानी मॉडल वास्तविकता के साथ केवल गुणात्मक समानता बरकरार रखता है और केवल "परिमाण के क्रम में" भविष्यवाणियां करता है। एक विशिष्ट उदाहरण गतिज सिद्धांत में माध्य मुक्त पथ सन्निकटन है। यह चिपचिपाहट, प्रसार और तापीय चालकता के गुणांकों के लिए सरल सूत्र प्रदान करता है, जो परिमाण के क्रम में वास्तविकता के अनुरूप होते हैं।

लेकिन एक नई भौतिकी का निर्माण करते समय, ऐसा मॉडल प्राप्त करना तुरंत संभव नहीं है जो वस्तु का कम से कम गुणात्मक विवरण देता हो - पांचवें प्रकार का मॉडल। इस मामले में, एक मॉडल का उपयोग अक्सर सादृश्य द्वारा किया जाता है, जो वास्तविकता को कम से कम कुछ विस्तार से दर्शाता है।

आर. पियरल्स परमाणु बलों की प्रकृति पर डब्ल्यू. हाइजेनबर्ग के पहले लेख में उपमाओं के उपयोग का इतिहास देते हैं। "यह न्यूट्रॉन की खोज के बाद हुआ, और यद्यपि डब्ल्यू. हाइजेनबर्ग ने स्वयं समझा कि नाभिक का वर्णन न्यूट्रॉन और प्रोटॉन से मिलकर करना संभव है, फिर भी वह इस विचार से छुटकारा नहीं पा सके कि न्यूट्रॉन अंततः एक प्रोटॉन से मिलकर बना होगा और एक इलेक्ट्रॉन. इस मामले में, न्यूट्रॉन-प्रोटॉन प्रणाली में परस्पर क्रिया और हाइड्रोजन परमाणु और प्रोटॉन की परस्पर क्रिया के बीच एक सादृश्य उत्पन्न हुआ। यह वह सादृश्य था जिसने उन्हें इस निष्कर्ष पर पहुँचाया कि न्यूट्रॉन और एक प्रोटॉन के बीच परस्पर क्रिया के विनिमय बल होने चाहिए, जो दो प्रोटॉन के बीच एक इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के कारण एच-एच प्रणाली में विनिमय बलों के समान हैं। ... बाद में, न्यूट्रॉन और प्रोटॉन के बीच परस्पर क्रिया की विनिमय शक्तियों का अस्तित्व फिर भी सिद्ध हो गया, हालाँकि वे पूरी तरह से समाप्त नहीं हुए थे

दो कणों के बीच परस्पर क्रिया... लेकिन, उसी सादृश्य का अनुसरण करते हुए, डब्लू. हाइजेनबर्ग इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि दो प्रोटॉन के बीच परस्पर क्रिया की कोई परमाणु शक्ति नहीं है और दो न्यूट्रॉन के बीच प्रतिकर्षण की परिकल्पना की गई है। ये दोनों बाद के निष्कर्ष हाल के अध्ययनों के साथ विरोधाभास में हैं।"

ए आइंस्टीन विचार प्रयोगों के महान उस्तादों में से एक थे। यहां उनका एक प्रयोग है. इसका आविष्कार उनकी युवावस्था में हुआ था और अंततः सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का निर्माण हुआ। मान लीजिए कि शास्त्रीय भौतिकी में हम प्रकाश तरंग के पीछे प्रकाश की गति से आगे बढ़ रहे हैं। हम एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को समय-समय पर अंतरिक्ष में और समय में बदलते हुए देखेंगे। मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार ऐसा नहीं हो सकता. इसलिए, युवा आइंस्टीन ने निष्कर्ष निकाला: या तो संदर्भ प्रणाली बदलने पर प्रकृति के नियम बदल जाते हैं, या प्रकाश की गति संदर्भ प्रणाली पर निर्भर नहीं होती है। उसने दूसरा चुना - और अधिक अच्छा विकल्प. एक अन्य प्रसिद्ध आइंस्टीन विचार प्रयोग आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास है।

यहां टाइप 8 आता है, जो जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में व्यापक है।

ये काल्पनिक संस्थाओं के साथ विचार प्रयोग भी हैं, जो दर्शाते हैं कि कथित घटना बुनियादी सिद्धांतों के अनुरूप है और आंतरिक रूप से सुसंगत है। यह टाइप 7 के मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

ऐसे सबसे प्रसिद्ध प्रयोगों में से एक लोबचेव्स्की ज्यामिति है। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक कंपन, ऑटोवेव्स आदि के औपचारिक गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। क्वांटम यांत्रिकी की असंगतता को प्रदर्शित करने के लिए आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास की कल्पना टाइप 7 मॉडल के रूप में की गई थी। पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह अंततः टाइप 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक सिरे पर एक स्प्रिंग लगा हुआ है और स्प्रिंग के मुक्त सिरे पर एक द्रव्यमान m जुड़ा हुआ है। हम मान लेंगे कि भार केवल स्प्रिंग अक्ष की दिशा में ही चल सकता है। आइए इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाएं। हम सिस्टम की स्थिति का वर्णन भार के केंद्र से उसकी संतुलन स्थिति तक की दूरी x द्वारा करेंगे। आइए हुक के नियम का उपयोग करके स्प्रिंग और भार की परस्पर क्रिया का वर्णन करें और फिर इसे विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

जहां का अर्थ समय के संबंध में x का दूसरा अवकलज है..

परिणामी समीकरण विचाराधीन भौतिक प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन करता है। इस मॉडल को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण के अनुसार, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने कई धारणाएँ बनाईं जो वास्तविकता में पूरी नहीं हो सकतीं।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर सरलीकरण का एक प्रकार 4 मॉडल है, क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं छोड़ दी जाती हैं। कुछ अनुमान के अनुसार, ऐसा मॉडल एक वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का काफी अच्छी तरह से वर्णन करता है

त्यागे गए कारकों का उसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। हालाँकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखकर मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। इससे व्यापक प्रयोज्यता वाला एक नया मॉडल सामने आएगा।

हालाँकि, मॉडल को परिष्कृत करते समय, इसके गणितीय अनुसंधान की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार बना सकती है। अक्सर, एक अधिक जटिल मॉडल की तुलना में एक सरल मॉडल किसी वास्तविक प्रणाली की बेहतर और गहन खोज की अनुमति देता है।

यदि हम हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडल को भौतिकी से दूर की वस्तुओं पर लागू करते हैं, तो इसकी मूल स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू करते समय, इसे संभवतः टाइप 6 सादृश्य के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए।

कठोर और नरम मॉडल।

हार्मोनिक ऑसिलेटर तथाकथित "हार्ड" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। इसकी प्रयोज्यता के मुद्दे को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि जिन कारकों की हमने उपेक्षा की है वे कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "नरम" मॉडल का अध्ययन करना आवश्यक है, जो "कठोर" के एक छोटे से गड़बड़ी से प्राप्त होता है। इसे, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

यहां एक निश्चित फ़ंक्शन है जो घर्षण बल या इसके खिंचाव की डिग्री पर स्प्रिंग कठोरता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रख सकता है, ε कुछ छोटा पैरामीटर है। फ़ंक्शन का स्पष्ट रूप f हमें में इस पलदिलचस्पी नहीं है। यदि हम यह साबित कर दें कि सॉफ्ट मॉडल का व्यवहार हार्ड मॉडल के व्यवहार से मौलिक रूप से भिन्न नहीं है, तो समस्या हार्ड मॉडल का अध्ययन करने तक कम हो जाएगी। अन्यथा, कठोर मॉडल के अध्ययन से प्राप्त परिणामों के अनुप्रयोग के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, हार्मोनिक ऑसिलेटर समीकरण का समाधान फॉर्म के कार्य हैं

अर्थात्, एक स्थिर आयाम के साथ दोलन। क्या इससे यह पता चलता है कि एक वास्तविक थरथरानवाला एक स्थिर आयाम के साथ अनिश्चित काल तक दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण वाले सिस्टम पर विचार करने पर, हमें नम दोलन मिलेंगे। व्यवस्था का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि कोई प्रणाली छोटी-छोटी गड़बड़ियों के बावजूद अपना गुणात्मक व्यवहार बनाए रखती है, तो उसे संरचनात्मक रूप से स्थिर कहा जाता है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक संरचनात्मक रूप से अस्थिर प्रणाली का एक उदाहरण है। हालाँकि, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय में प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडलों की बहुमुखी प्रतिभा.

आमतौर पर सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल होते हैं महत्वपूर्ण संपत्तिसार्वभौमिकता: मौलिक रूप से भिन्न वास्तविक घटनाओं को एक ही गणितीय मॉडल द्वारा वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर न केवल स्प्रिंग पर भार के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का भी वर्णन करता है, जो अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति की होती हैं: पेंडुलम के छोटे दोलन, यू-आकार के बर्तन में तरल के स्तर में उतार-चढ़ाव , या एक ऑसिलेटरी सर्किट में वर्तमान ताकत में बदलाव। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करके, हम तुरंत इसके द्वारा वर्णित घटनाओं के एक पूरे वर्ग का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न खंडों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों की समरूपता है जिसने लुडविग वॉन बर्टलान्फ़ी को "सिस्टम का सामान्य सिद्धांत" बनाने के लिए प्रेरित किया।

गणितीय मॉडलिंग की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समस्याएं

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, आपको मॉडल की गई वस्तु का एक मूल आरेख तैयार करने की आवश्यकता है, इसे इस विज्ञान के आदर्शीकरण के ढांचे के भीतर पुन: पेश करें। इस प्रकार, एक ट्रेन कार प्लेटों और अधिक जटिल प्रणाली में बदल जाती है

विभिन्न सामग्रियों से बने पिंडों में, प्रत्येक सामग्री को उसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद समीकरण तैयार किए जाते हैं, साथ ही कुछ विवरणों को महत्वहीन मानकर छोड़ दिया जाता है, गणना की जाती है, माप के साथ तुलना की जाती है, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, इत्यादि। हालाँकि, गणितीय मॉडलिंग तकनीकों को विकसित करने के लिए, इस प्रक्रिया को इसके मुख्य घटकों में विभाजित करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

प्रत्यक्ष कार्य: मॉडल की संरचना और उसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य मॉडल को निकालने के लिए उसका अध्ययन करना है उपयोगी ज्ञानवस्तु के बारे में. पुल कितना स्थैतिक भार सहन करेगा? यह गतिशील भार पर कैसे प्रतिक्रिया करेगा, विमान ध्वनि अवरोध को कैसे दूर करेगा, क्या यह स्पंदन से अलग हो जाएगा - ये प्रत्यक्ष समस्या के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही प्रत्यक्ष समस्या का निरूपण आवश्यक है विशेष कौशल. यदि सही प्रश्न नहीं पूछे गए, तो एक पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। इस प्रकार, 1879 में, ग्रेट ब्रिटेन में ताई नदी पर एक धातु पुल ढह गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल का एक मॉडल बनाया, पेलोड की कार्रवाई के लिए 20 गुना सुरक्षा मार्जिन की गणना की, लेकिन हवाओं के बारे में भूल गए उन स्थानों पर लगातार बह रही है। और डेढ़ साल बाद यह ढह गया।

में सबसे सरल मामले में, प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के स्पष्ट समाधान तक सीमित हो जाती है।

उलटा समस्या: कई संभावित मॉडल ज्ञात हैं; वस्तु के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल का चयन करना आवश्यक है। अक्सर, मॉडल की संरचना ज्ञात होती है, और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त जानकारी में अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा, या वस्तु के लिए आवश्यकताएं शामिल हो सकती हैं। अतिरिक्त डेटा व्युत्क्रम समस्या को हल करने की प्रक्रिया से स्वतंत्र रूप से आ सकता है या समाधान के दौरान विशेष रूप से नियोजित प्रयोग का परिणाम हो सकता है।

उपलब्ध डेटा के पूर्ण उपयोग के साथ एक व्युत्क्रम समस्या के उत्कृष्ट समाधान के पहले उदाहरणों में से एक आई. न्यूटन द्वारा प्रेक्षित नम दोलनों से घर्षण बलों के पुनर्निर्माण के लिए बनाई गई विधि थी।

में एक अन्य उदाहरण गणितीय आँकड़े हैं। इस विज्ञान का कार्य बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के संभाव्य मॉडल बनाने के लिए अवलोकन और प्रयोगात्मक डेटा को रिकॉर्ड करने, वर्णन करने और विश्लेषण करने के तरीकों को विकसित करना है। वे। संभावित मॉडलों का सेट संभाव्य मॉडलों तक ही सीमित है। विशिष्ट कार्यों में, मॉडलों का सेट अधिक सीमित होता है।

कंप्यूटर मॉडलिंग सिस्टम.

गणितीय मॉडलिंग का समर्थन करने के लिए, कंप्यूटर गणित प्रणालियाँ विकसित की गई हैं, उदाहरण के लिए, मेपल, मैथमेटिका, मैथकैड, मैटलैब, विज़सिम, आदि। वे आपको सरल और दोनों के औपचारिक और ब्लॉक मॉडल बनाने की अनुमति देते हैं। जटिल प्रक्रियाएँऔर उपकरण तथा सिमुलेशन के दौरान मॉडल पैरामीटरों को आसानी से बदलें। ब्लॉक मॉडल को ब्लॉक द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका सेट और कनेक्शन मॉडल आरेख द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

अतिरिक्त उदाहरण.

विकास दर वर्तमान जनसंख्या आकार के समानुपाती होती है। इसे अवकल समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

जहां α जन्म दर और मृत्यु दर के बीच अंतर से निर्धारित एक निश्चित पैरामीटर है। इस समीकरण का हल घातांकीय फलन x = x0 e है। यदि जन्म दर मृत्यु दर से अधिक हो जाती है, तो जनसंख्या का आकार अनिश्चित काल तक और बहुत तेज़ी से बढ़ता है। स्पष्ट है कि वास्तव में सीमाओं के कारण ऐसा नहीं हो सकता

संसाधन। जब एक निश्चित महत्वपूर्ण जनसंख्या आकार तक पहुँच जाता है, तो मॉडल पर्याप्त नहीं रह जाता है, क्योंकि यह सीमित संसाधनों को ध्यान में नहीं रखता है। माल्थस मॉडल का परिशोधन एक लॉजिस्टिक मॉडल हो सकता है, जिसे वर्हुल्स्ट अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

जहां xs "संतुलन" जनसंख्या का आकार है जिस पर जन्म दर की क्षतिपूर्ति मृत्यु दर से होती है। ऐसे मॉडल में जनसंख्या का आकार संतुलन मान xs की ओर प्रवृत्त होता है, और यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर होता है।

मान लीजिए कि एक निश्चित क्षेत्र में दो प्रकार के जानवर रहते हैं: खरगोश और लोमड़ी। माना कि खरगोशों की संख्या x है, लोमड़ियों की संख्या y है। लोमड़ियों द्वारा खरगोशों को खाने को ध्यान में रखते हुए आवश्यक संशोधनों के साथ माल्थस मॉडल का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्रणाली पर पहुंचते हैं, जिसे लोटका-वोल्टेरा मॉडल का नाम दिया गया है:

जब खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होती है तो इस प्रणाली में संतुलन की स्थिति होती है। इस अवस्था से विचलन से खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव होता है, जो एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के उतार-चढ़ाव के समान होता है। जैसा कि एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के मामले में, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटा सा बदलाव व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन ला सकता है। उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति स्थिर हो सकती है, और संख्याओं में उतार-चढ़ाव समाप्त हो जाएगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन स्थिति से कोई भी छोटा विचलन विनाशकारी परिणामों को जन्म देगा, यहां तक ​​कि किसी एक प्रजाति के पूर्ण विलुप्त होने तक। वोल्टेरा-लोटका मॉडल इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि इनमें से कौन सा परिदृश्य साकार हो रहा है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

प्रथम स्तर

OGE और एकीकृत राज्य परीक्षा (2019) के लिए गणितीय मॉडल

गणितीय मॉडल की अवधारणा

एक हवाई जहाज की कल्पना करें: पंख, धड़, पूंछ, यह सब एक साथ - एक वास्तविक विशाल, विशाल, संपूर्ण हवाई जहाज। या आप एक हवाई जहाज का मॉडल बना सकते हैं, छोटा, लेकिन बिल्कुल वास्तविक जीवन की तरह, वही पंख, आदि, लेकिन कॉम्पैक्ट। गणितीय मॉडल भी ऐसा ही है। एक पाठ्य समस्या है, बोझिल, आप इसे देख सकते हैं, पढ़ सकते हैं, लेकिन इसे ठीक से समझ नहीं पाते हैं, और इससे भी अधिक यह स्पष्ट नहीं है कि इसे कैसे हल किया जाए। यदि आप किसी बड़ी शब्द समस्या का एक छोटा सा मॉडल, गणितीय मॉडल बना लें तो क्या होगा? गणितीय का क्या अर्थ है? इसका मतलब है, गणितीय अंकन के नियमों और कानूनों का उपयोग करके, पाठ को संख्याओं और अंकगणितीय संकेतों का उपयोग करके तार्किक रूप से सही प्रतिनिधित्व में बदलना। इसलिए, गणितीय मॉडल गणितीय भाषा का उपयोग करके वास्तविक स्थिति का प्रतिनिधित्व है।

आइए कुछ सरल से शुरू करें: संख्या अधिक संख्यापर। हमें इसे शब्दों का उपयोग किए बिना, केवल गणित की भाषा में लिखने की आवश्यकता है। यदि इससे अधिक है तो परिणाम यह होता है कि यदि हम इसमें से घटा दें तो इन संख्याओं का अंतर समान ही रहेगा। वे। या। क्या आप बात समझ गए?

अब यह और अधिक कठिन है, अब एक पाठ होगा जिसे आपको गणितीय मॉडल के रूप में प्रस्तुत करने का प्रयास करना चाहिए, मैं इसे कैसे करूँगा यह अभी तक न पढ़ें, इसे स्वयं आज़माएँ! चार संख्याएँ हैं: , और। उत्पाद, उत्पाद से दोगुना बड़ा है.

क्या हुआ?

गणितीय मॉडल के रूप में यह इस प्रकार दिखेगा:

वे। उत्पाद दो से एक के रूप में संबंधित है, लेकिन इसे और सरल बनाया जा सकता है:

अच्छा, ठीक है, मुझे लगता है कि सरल उदाहरणों से आपको बात समझ में आ जाएगी। आइए संपूर्ण समस्याओं की ओर बढ़ते हैं जिनमें इन गणितीय मॉडलों को भी हल करने की आवश्यकता होती है! यहाँ चुनौती है.

व्यवहार में गणितीय मॉडल

समस्या 1

बारिश के बाद कुएं का जलस्तर बढ़ सकता है. लड़का कुएं में गिरने वाले छोटे कंकड़ के समय को मापता है और सूत्र का उपयोग करके पानी की दूरी की गणना करता है, जहां मीटर में दूरी है और सेकंड में गिरने का समय है। बारिश से पहले कंकड़ गिरने का समय s था. बारिश के बाद मापा समय को एस में बदलने के लिए जल स्तर कितना बढ़ना चाहिए? अपना उत्तर मीटर में व्यक्त करें।

हाय भगवान्! क्या सूत्र, कैसा कुआँ, क्या हो रहा है, क्या करना है? क्या मैंने आपका मन पढ़ा? आराम करें, इस प्रकार की समस्याओं में और भी भयानक स्थितियाँ होती हैं, मुख्य बात यह याद रखना है कि इस समस्या में आप सूत्रों और चर के बीच संबंधों में रुचि रखते हैं, और ज्यादातर मामलों में इसका क्या मतलब है यह बहुत महत्वपूर्ण नहीं है। आप यहां क्या उपयोगी देखते हैं? मैं इसे व्यक्तिगत रूप से देखता हूं। इन समस्याओं को हल करने का सिद्धांत निम्नलिखित है: आप सभी ज्ञात मात्राएँ लें और उन्हें प्रतिस्थापित करें।लेकिन, कभी-कभी आपको सोचने की ज़रूरत होती है!

मेरी पहली सलाह का पालन करते हुए, और ज्ञात सभी चीज़ों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

यह मैं ही था जिसने सेकंड के समय को प्रतिस्थापित किया और ऊंचाई का पता लगाया कि पत्थर बारिश से पहले उड़ गया था। अब हमें बारिश के बाद गिनती करने और अंतर ढूंढने की ज़रूरत है!

अब दूसरी सलाह सुनें और इसके बारे में सोचें, प्रश्न निर्दिष्ट करता है कि "बारिश के बाद मापा समय को एस में बदलने के लिए जल स्तर कितना बढ़ना चाहिए।" आपको तुरंत यह पता लगाने की आवश्यकता है कि बारिश के बाद जल स्तर बढ़ जाता है, जिसका अर्थ है कि पानी के स्तर पर पत्थर गिरने का समय कम हो जाता है, और यहां अलंकृत वाक्यांश "ताकि मापा गया समय बदल जाए" एक विशिष्ट अर्थ लेता है: गिरना समय बढ़ता नहीं है, बल्कि संकेतित सेकंड कम हो जाता है। इसका मतलब यह है कि बारिश के बाद फेंकने के मामले में, हमें शुरुआती समय सी से सी घटाने की जरूरत है, और हमें उस ऊंचाई का समीकरण मिलता है जो बारिश के बाद पत्थर उड़ जाएगा:

और अंत में, यह पता लगाने के लिए कि बारिश के बाद मापा समय को एस में बदलने के लिए पानी का स्तर कितना बढ़ना चाहिए, आपको बस पहली गिरावट की ऊंचाई से दूसरे को घटाना होगा!

हमें उत्तर मिलता है: प्रति मीटर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि इस बारे में ज्यादा चिंता न करें कि परिस्थितियों में इतना समझ से बाहर और कभी-कभी जटिल समीकरण कहां से आया और इसमें हर चीज का क्या मतलब है, इसके लिए मेरा शब्द लें, अधिकांश ये समीकरण भौतिकी से लिए गए हैं, और वहां जंगल बीजगणित से भी बदतर है। कभी-कभी मुझे ऐसा लगता है कि इन कार्यों का आविष्कार एकीकृत राज्य परीक्षा में छात्रों को जटिल सूत्रों और शर्तों की बहुतायत से डराने के लिए किया गया था, और ज्यादातर मामलों में उन्हें लगभग किसी भी ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। बस शर्त को ध्यान से पढ़ें और ज्ञात मात्राओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करें!

यहां एक और समस्या है, भौतिकी से नहीं, बल्कि दुनिया से आर्थिक सिद्धांत, हालाँकि गणित के अलावा अन्य विज्ञानों का ज्ञान यहाँ फिर से आवश्यक नहीं है।

समस्या 2

कीमत (हजार रूबल) पर एक एकाधिकार उद्यम के उत्पादों की मांग की मात्रा (प्रति माह इकाइयां) की निर्भरता सूत्र द्वारा दी गई है

महीने के लिए उद्यम का राजस्व (हजार रूबल में) सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है। उच्चतम मूल्य निर्धारित करें जिस पर मासिक राजस्व कम से कम हजार रूबल होगा। अपना उत्तर हजार रूबल में दें।

सोचो अब मैं क्या करूँगा? हाँ, हम जो जानते हैं उसे जोड़ना शुरू करेंगे, लेकिन, फिर भी, मुझे अभी भी थोड़ा सोचना होगा। चलिए अंत से चलते हैं, हमें यह पता लगाना होगा कि कौन सा है। तो, वहाँ है, यह किसी चीज़ के बराबर है, हम पाते हैं कि यह किसके बराबर है, और यह इसके बराबर है, इसलिए हम इसे लिखते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, मैं वास्तव में इन सभी मात्राओं के अर्थ के बारे में चिंता नहीं करता, मैं बस स्थितियों से देखता हूं कि क्या बराबर है, यही आपको करने की आवश्यकता है। चलिए समस्या पर वापस आते हैं, यह आपके पास पहले से ही है, लेकिन जैसा कि आप दो चर वाले एक समीकरण से याद करते हैं, आप उनमें से कोई भी नहीं ढूंढ सकते हैं, आपको क्या करना चाहिए? हाँ, हमारे पास अभी भी एक अप्रयुक्त टुकड़ा हालत में बचा हुआ है। अब, पहले से ही दो समीकरण और दो चर हैं, जिसका अर्थ है कि अब दोनों चर पाए जा सकते हैं - बढ़िया!

- क्या आप ऐसी प्रणाली का समाधान कर सकते हैं?

हम प्रतिस्थापन द्वारा हल करते हैं; यह पहले से ही व्यक्त है, तो आइए इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें और इसे सरल बनाएं।

हमें यह द्विघात समीकरण मिलता है: , हम हल करते हैं, जड़ें इस प्रकार हैं, . कार्य के लिए उच्चतम मूल्य खोजने की आवश्यकता है जिस पर सिस्टम बनाते समय हमने जिन सभी शर्तों को ध्यान में रखा था, वे पूरी होंगी। ओह, पता चला कि यही कीमत थी। बढ़िया, इसलिए हमने कीमतें ढूंढीं: और। सबसे ज़्यादा कीमत, आप बताओ? ठीक है, उनमें से सबसे बड़ा, जाहिर है, हम इसे प्रतिक्रिया में लिखते हैं। अच्छा, क्या यह कठिन है? मुझे नहीं लगता, और इसमें बहुत अधिक गहराई से जाने की कोई आवश्यकता नहीं है!

और यहाँ कुछ भयानक भौतिकी, या यों कहें कि एक और समस्या है:

समस्या 3

तारों के प्रभावी तापमान को निर्धारित करने के लिए, स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन कानून का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार, तारे की विकिरण शक्ति कहाँ है, एक स्थिरांक है, तारे का सतह क्षेत्र है, और तापमान है। यह ज्ञात है कि एक निश्चित तारे का सतह क्षेत्र बराबर होता है, और उसके विकिरण की शक्ति W के बराबर होती है। इस तारे का तापमान केल्विन डिग्री में ज्ञात कीजिए।

यह कैसे स्पष्ट है? हाँ, शर्त कहती है कि क्या बराबर है। पहले, मैंने सभी अज्ञात को एक ही बार में प्रतिस्थापित करने की सिफारिश की थी, लेकिन यहां पहले अज्ञात को व्यक्त करना बेहतर है। देखो यह कितना सरल है: एक सूत्र है और इसमें हम जानते हैं, और (यह ग्रीक अक्षर "सिग्मा" है। सामान्य तौर पर, भौतिक विज्ञानी प्यार करते हैं ग्रीक अक्षर, आदत डाल लो)। और तापमान अज्ञात है. आइए इसे एक सूत्र के रूप में व्यक्त करें। मुझे आशा है कि आप जानते हैं कि यह कैसे करना है? 9वीं कक्षा में राज्य परीक्षा परीक्षा के लिए ऐसे कार्य आमतौर पर दिए जाते हैं:

अब जो कुछ बचा है वह दाईं ओर अक्षरों के स्थान पर संख्याओं को प्रतिस्थापित करना और सरल बनाना है:

यहाँ उत्तर है: डिग्री केल्विन! और यह कितना भयानक कार्य था!

हम भौतिक विज्ञान की समस्याओं से परेशान रहते हैं।

समस्या 4

फेंकी गई गेंद की जमीन से ऊपर की ऊंचाई कानून के अनुसार बदलती है, जहां ऊंचाई मीटर में होती है और सेकंड में वह समय होता है जो फेंकने के क्षण से बीत चुका है। गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर कितने सेकंड रहेगी?

ये सभी समीकरण थे, लेकिन यहां हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि गेंद कम से कम तीन मीटर की ऊंचाई पर कितनी देर तक थी, जिसका अर्थ है ऊंचाई पर। हम क्या बनाएंगे? असमानता, बिल्कुल! हमारे पास एक फ़ंक्शन है जो बताता है कि गेंद कैसे उड़ती है, कहां - यह मीटर में बिल्कुल समान ऊंचाई है, हमें ऊंचाई की आवश्यकता है। मतलब

और अब आप बस असमानता को हल करें, मुख्य बात यह है कि जब आप असमानता के दोनों पक्षों से गुणा करते हैं तो सामने वाले ऋण से छुटकारा पाने के लिए असमानता के चिह्न को अधिक या बराबर से कम या बराबर में बदलना न भूलें।

ये जड़ें हैं, हम असमानता के लिए अंतराल बनाते हैं:

हम उस अंतराल में रुचि रखते हैं जहां ऋण चिह्न है, क्योंकि असमानता वहां नकारात्मक मान लेती है, यह दोनों समावेशी है। आइए अब अपने दिमाग को चालू करें और ध्यान से सोचें: असमानता के लिए हमने एक समीकरण का उपयोग किया जो गेंद की उड़ान का वर्णन करता है, यह किसी तरह एक परवलय के साथ उड़ती है, अर्थात। यह उड़ान भरता है, एक शिखर पर पहुंचता है और गिर जाता है, यह कैसे समझें कि यह कम से कम मीटर की ऊंचाई पर कितनी देर तक रहेगा? हमें 2 महत्वपूर्ण मोड़ मिले, अर्थात् वह क्षण जब वह मीटर से ऊपर उड़ता है और वह क्षण जब गिरते हुए, वह उसी निशान पर पहुंचता है, इन दो बिंदुओं को समय के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात। हम जानते हैं कि उड़ान के किस सेकंड में उसने हमारे रुचि के क्षेत्र में प्रवेश किया (मीटर से ऊपर) और किस सेकंड में उसने इसे छोड़ दिया (मीटर चिह्न से नीचे गिर गया)। वह इस क्षेत्र में कितने सेकंड था? यह तर्कसंगत है कि हम क्षेत्र छोड़ने का समय लें और उसमें से इस क्षेत्र में प्रवेश करने का समय घटा दें। तदनुसार:- वह इतने लंबे समय तक मीटर से ऊपर के क्षेत्र में था, यह उत्तर है।

आप भाग्यशाली हैं कि इस विषय पर अधिकांश उदाहरण भौतिकी समस्याओं की श्रेणी से लिए जा सकते हैं, इसलिए एक और पकड़ें, यह अंतिम है, इसलिए अपने आप को आगे बढ़ाएं, बस थोड़ा सा बचा है!

समस्या 5

एक निश्चित उपकरण के हीटिंग तत्व के लिए, ऑपरेटिंग समय पर तापमान की निर्भरता प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त की गई थी:

मिनटों में समय कहाँ है, . यह ज्ञात है कि यदि हीटिंग तत्व का तापमान अधिक है, तो उपकरण खराब हो सकता है, इसलिए इसे बंद कर देना चाहिए। जानिए कौन सा सबसे लंबा समयकाम शुरू करने के बाद आपको डिवाइस को बंद करना होगा। अपना उत्तर मिनटों में व्यक्त करें.

हम एक सुस्थापित योजना के अनुसार कार्य करते हैं, सबसे पहले हम वह सब कुछ लिखते हैं जो दिया गया है:

अब हम सूत्र लेते हैं और इसे उस तापमान मान के बराबर करते हैं जिस पर उपकरण को जितना संभव हो उतना गर्म किया जा सकता है जब तक कि वह जल न जाए, अर्थात:

अब हम अक्षरों के स्थान पर उन संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं जहाँ वे ज्ञात हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, डिवाइस के संचालन के दौरान तापमान का वर्णन किया गया है द्विघात समीकरण, जिसका अर्थ है कि यह एक परवलय के साथ वितरित है, अर्थात। उपकरण एक निश्चित तापमान तक गर्म होता है और फिर ठंडा हो जाता है। हमें उत्तर प्राप्त हुए और इसलिए, गर्म करने के मिनटों में तापमान महत्वपूर्ण के बराबर होता है, लेकिन मिनटों के बीच - यह सीमा से भी अधिक होता है!

इसका मतलब है कि आपको मिनटों के बाद डिवाइस को बंद करना होगा।

गणितीय मॉडल. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

अक्सर, गणितीय मॉडल का उपयोग भौतिकी में किया जाता है: आपको संभवतः दर्जनों भौतिक सूत्रों को याद करना पड़ता है। और सूत्र स्थिति का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

ओजीई और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में बिल्कुल इसी विषय पर कार्य होते हैं। एकीकृत राज्य परीक्षा (प्रोफ़ाइल) में यह कार्य संख्या 11 (पूर्व में बी12) है। OGE में - कार्य संख्या 20।

समाधान योजना स्पष्ट है:

1) शर्त के पाठ से उपयोगी जानकारी को "पृथक" करना आवश्यक है - भौतिकी की समस्याओं में हम "दिया" शब्द के तहत क्या लिखते हैं। यह उपयोगी जानकारीहैं:

• FORMULA
• ज्ञात भौतिक मात्राएँ।

अर्थात्, सूत्र का प्रत्येक अक्षर एक निश्चित संख्या से संबद्ध होना चाहिए।

2) सभी ज्ञात मात्राएँ लें और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें। अज्ञात मात्रा एक अक्षर के रूप में रहती है। अब आपको बस समीकरण (आमतौर पर काफी सरल) को हल करने की जरूरत है, और उत्तर तैयार है।

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किस लिए?

सफल के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना, बजट पर कॉलेज में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण रूप से, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए मना नहीं पाऊंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है वे उन लोगों की तुलना में कहीं अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। ये आँकड़े हैं.

लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने कई और अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिये...

एकीकृत राज्य परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंततः... अधिक खुश रहने के लिए क्या करना होगा?

इस विषय पर समस्याओं को हल करके अपना हाथ बढ़ाएं।

परीक्षा के दौरान आपसे थ्योरी के बारे में नहीं पूछा जाएगा।

आपको चाहिये होगा समय रहते समस्याओं का समाधान करें.

और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या आपके पास समय नहीं होगा।

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निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत पर मत रुकें।

"समझ गया" और "मैं हल कर सकता हूँ" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है.

समस्याएं ढूंढें और उनका समाधान करें!

सोवेटोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल (अव्य। मापांक - माप) मूल वस्तु के लिए एक स्थानापन्न वस्तु है, जो मूल के कुछ गुणों के अध्ययन को सुनिश्चित करता है।" (पृ. 6) "मॉडल ऑब्जेक्ट का उपयोग करके मूल ऑब्जेक्ट के सबसे महत्वपूर्ण गुणों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए एक ऑब्जेक्ट को दूसरे के साथ बदलना मॉडलिंग कहलाता है।" (पृ. 6) "गणितीय मॉडलिंग से हम किसी दिए गए वास्तविक वस्तु के साथ एक निश्चित गणितीय वस्तु, जिसे गणितीय मॉडल कहा जाता है, के साथ पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया को समझते हैं, और इस मॉडल का अध्ययन करते हैं, जो हमें वास्तविक की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है विचाराधीन वस्तु. गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु के अध्ययन के कार्यों और इस समस्या को हल करने की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है।

अंत में, गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा: "एक समीकरण एक विचार व्यक्त करता है।"

मॉडल वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण प्रयुक्त गणितीय उपकरणों के वर्गीकरण पर आधारित होता है। अक्सर इसका निर्माण द्विभाजन के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विभाजन के लोकप्रिय सेटों में से एक:

और इसी तरह। प्रत्येक निर्मित मॉडल रैखिक या गैर-रैखिक, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक है, ... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार भी संभव हैं: एक संबंध में केंद्रित (मापदंडों के संदर्भ में), दूसरे में वितरित, आदि।

वस्तु को प्रस्तुत करने के तरीके के अनुसार वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरण के साथ-साथ, मॉडल किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके में भिन्न होते हैं:

• संरचनात्मक या कार्यात्मक मॉडल

संरचनात्मक मॉडल किसी वस्तु को उसकी अपनी संरचना और कार्यप्रणाली के साथ एक प्रणाली के रूप में दर्शाते हैं। कार्यात्मक मॉडल ऐसे अभ्यावेदन का उपयोग नहीं करते हैं और किसी वस्तु के केवल बाहरी रूप से अनुमानित व्यवहार (कार्यप्रणाली) को प्रतिबिंबित करते हैं। अपनी चरम अभिव्यक्ति में इन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "ग्रे बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है।

सामग्री और औपचारिक मॉडल

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का वर्णन करने वाले लगभग सभी लेखक संकेत करते हैं कि पहले एक विशेष आदर्श संरचना का निर्माण किया जाता है, सामग्री मॉडल. यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इसे आदर्श वस्तु कहते हैं संकल्पनात्मक निदर्श , सट्टा मॉडलया प्रीमॉडल. इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण कहा जाता है औपचारिक मॉडलया किसी दिए गए सार्थक मॉडल (पूर्व-मॉडल) की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त एक गणितीय मॉडल। एक सार्थक मॉडल का निर्माण तैयार आदर्शीकरणों के एक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसे यांत्रिकी में, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर निकाय, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडिया इत्यादि सार्थक मॉडलिंग के लिए तैयार संरचनात्मक तत्व प्रदान करते हैं। हालाँकि, ज्ञान के उन क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से पूर्ण औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं (भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान और अधिकांश अन्य क्षेत्रों में अत्याधुनिक), सार्थक मॉडल का निर्माण नाटकीय रूप से अधिक कठिन हो जाता है।

मॉडलों का सामग्री वर्गीकरण

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना एक बार और हमेशा के लिए सिद्ध नहीं की जा सकती। रिचर्ड फेनमैन ने इसे बहुत स्पष्ट रूप से तैयार किया:

“हमारे पास हमेशा किसी सिद्धांत को अस्वीकार करने का अवसर होता है, लेकिन ध्यान दें कि हम कभी भी यह साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। आइए मान लें कि आपने एक सफल परिकल्पना प्रस्तुत की है, गणना की है कि यह कहाँ ले जाती है, और पाया कि इसके सभी परिणामों की प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई है। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा मतलब यह है कि आप इसका खंडन करने में असफल रहे।”

यदि पहले प्रकार का मॉडल बनाया जाता है, तो इसका मतलब है कि इसे अस्थायी रूप से सत्य के रूप में पहचाना जाता है और व्यक्ति अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालाँकि, यह शोध का कोई बिंदु नहीं हो सकता है, बल्कि केवल एक अस्थायी विराम हो सकता है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

प्रकार 2: घटनात्मक मॉडल (हम ऐसा व्यवहार करते हैं जैसे…)

एक घटनात्मक मॉडल में एक घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालाँकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त करने वाला नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा इसकी पर्याप्त पुष्टि नहीं की जा सकती है, या वस्तु के बारे में मौजूदा सिद्धांतों और संचित ज्ञान के साथ अच्छी तरह से फिट नहीं बैठता है। इसलिए, घटनात्मक मॉडल को अस्थायी समाधान का दर्जा प्राप्त है। ऐसा माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रहनी चाहिए। उदाहरण के लिए, पीयरल्स में दूसरे प्रकार के रूप में कैलोरी मॉडल और प्राथमिक कणों का क्वार्क मॉडल शामिल है।

अनुसंधान में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है, और ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत घटनात्मक मॉडल की पुष्टि करते हैं और उन्हें एक परिकल्पना की स्थिति में बढ़ावा दिया जाता है। इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार के मॉडल-परिकल्पनाओं के साथ संघर्ष में आ सकता है, और उन्हें दूसरे प्रकार में अनुवादित किया जा सकता है। इस प्रकार, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे परिकल्पनाओं की श्रेणी में जा रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उभरा, लेकिन इतिहास के साथ यह पहला प्रकार बन गया। लेकिन ईथर मॉडल ने टाइप 1 से टाइप 2 तक अपना रास्ता बना लिया है, और अब विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण विभिन्न रूपों में आता है। पीयरल्स ने मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरणों की पहचान की है।

टाइप 3: सन्निकटन (हम किसी चीज़ को बहुत बड़ा या बहुत छोटा मानते हैं)

यदि ऐसे समीकरण बनाना संभव है जो अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर की मदद से भी हल किया जा सकता है। इस मामले में एक सामान्य तकनीक सन्निकटन (प्रकार 3 मॉडल) का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल. समीकरणों को रैखिक समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। एक मानक उदाहरण ओम का नियम है।

यहां टाइप 8 आता है, जो जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में व्यापक है।

टाइप 8: फ़ीचर प्रदर्शन (मुख्य बात संभावना की आंतरिक स्थिरता दिखाना है)

ये काल्पनिक संस्थाओं के साथ विचार प्रयोग भी हैं, जो प्रदर्शित करते हैं कल्पित घटनाबुनियादी सिद्धांतों के अनुरूप और आंतरिक रूप से सुसंगत। यह टाइप 7 के मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

इन प्रयोगों में से सबसे प्रसिद्ध प्रयोग लोबचेव्स्की की ज्यामिति है (लोबचेव्स्की ने इसे "काल्पनिक ज्यामिति" कहा था)। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक कंपन, ऑटोवेव्स आदि के औपचारिक गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। क्वांटम यांत्रिकी की असंगतता को प्रदर्शित करने के लिए आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास की कल्पना टाइप 7 मॉडल के रूप में की गई थी। पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह अंततः टाइप 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

उदाहरण

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक छोर पर एक स्प्रिंग जुड़ा हुआ है और द्रव्यमान का एक द्रव्यमान है एमस्प्रिंग के मुक्त सिरे से जुड़ा हुआ। हम मान लेंगे कि भार केवल स्प्रिंग अक्ष की दिशा में आगे बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए, गति रॉड के साथ होती है)। आइए इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाएं। हम दूरी के आधार पर सिस्टम की स्थिति का वर्णन करेंगे एक्सभार के केंद्र से उसकी संतुलन स्थिति तक। आइए हम स्प्रिंग और लोड के उपयोग की परस्पर क्रिया का वर्णन करें हुक का नियम (एफ = − कएक्स ) और फिर इसे विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

जहां का मतलब दूसरा व्युत्पन्न है एक्ससमय तक: ।

परिणामी समीकरण विचाराधीन भौतिक प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन करता है। इस मॉडल को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण के अनुसार, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने (अनुपस्थिति के बारे में) कई धारणाएँ बनाईं बाहरी ताक़तें, घर्षण की अनुपस्थिति, छोटे विचलन, आदि), जो वास्तव में पूरा नहीं हो सकता है।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर टाइप 4 मॉडल होता है सरलीकरण("स्पष्टता के लिए हम कुछ विवरण छोड़ देंगे"), क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं (उदाहरण के लिए, अपव्यय) छोड़ दी गई हैं। कुछ अनुमान के अनुसार (मान लीजिए, जबकि संतुलन से भार का विचलन छोटा है, कम घर्षण के साथ, बहुत अधिक समय के लिए नहीं और कुछ अन्य शर्तों के अधीन है), ऐसा मॉडल एक वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का काफी अच्छी तरह से वर्णन करता है, क्योंकि छोड़े गए कारक हैं उसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। हालाँकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखकर मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। इससे प्रयोज्यता के व्यापक (हालांकि फिर से सीमित) दायरे के साथ एक नया मॉडल सामने आएगा।

हालाँकि, मॉडल को परिष्कृत करते समय, इसके गणितीय अनुसंधान की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार बना सकती है। अक्सर, एक सरल मॉडल अधिक जटिल (और, औपचारिक रूप से, "अधिक सही") की तुलना में वास्तविक प्रणाली की बेहतर और गहरी खोज की अनुमति देता है।

यदि हम हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडल को भौतिकी से दूर की वस्तुओं पर लागू करते हैं, तो इसकी मूल स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू करते समय, इसे संभवतः प्रकार 6 के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए समानता("आइए केवल कुछ विशेषताओं को ध्यान में रखें")।

कठोर और नरम मॉडल

हार्मोनिक ऑसिलेटर तथाकथित "हार्ड" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। इसकी प्रयोज्यता के मुद्दे को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि जिन कारकों की हमने उपेक्षा की है वे कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "नरम" मॉडल का अध्ययन करना आवश्यक है, जो "कठोर" के एक छोटे से गड़बड़ी से प्राप्त होता है। इसे, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

यहां कुछ फ़ंक्शन दिए गए हैं जो घर्षण बल या इसके खिंचाव की डिग्री पर स्प्रिंग कठोरता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रख सकते हैं - कुछ छोटे पैरामीटर। स्पष्ट कार्य प्रपत्र एफहमें फिलहाल कोई दिलचस्पी नहीं है. यदि हम यह साबित करते हैं कि नरम मॉडल का व्यवहार कठोर मॉडल के व्यवहार से मौलिक रूप से भिन्न नहीं है (स्पष्ट प्रकार के परेशान करने वाले कारकों की परवाह किए बिना, यदि वे काफी छोटे हैं), तो समस्या कठिन मॉडल का अध्ययन करने तक कम हो जाएगी। अन्यथा, कठोर मॉडल के अध्ययन से प्राप्त परिणामों के अनुप्रयोग के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के समीकरण का समाधान फॉर्म के कार्य हैं, अर्थात, एक स्थिर आयाम के साथ दोलन। क्या इससे यह पता चलता है कि एक वास्तविक थरथरानवाला एक स्थिर आयाम के साथ अनिश्चित काल तक दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण (हमेशा एक वास्तविक प्रणाली में मौजूद) के साथ एक प्रणाली पर विचार करने पर, हमें नम दोलन मिलते हैं। व्यवस्था का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि कोई प्रणाली छोटी-छोटी गड़बड़ियों के बावजूद अपना गुणात्मक व्यवहार बनाए रखती है, तो उसे संरचनात्मक रूप से स्थिर कहा जाता है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक संरचनात्मक रूप से अस्थिर (गैर-रफ) प्रणाली का एक उदाहरण है। हालाँकि, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय में प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडलों की बहुमुखी प्रतिभा

सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल में आमतौर पर महत्वपूर्ण गुण होते हैं बहुमुखी प्रतिभा: मौलिक रूप से भिन्न वास्तविक घटनाओं का वर्णन एक ही गणितीय मॉडल द्वारा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर न केवल स्प्रिंग पर भार के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का भी वर्णन करता है, जो अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति की होती हैं: एक पेंडुलम के छोटे दोलन, एक तरल के स्तर में उतार-चढ़ाव यू-आकार का बर्तन या ऑसिलेटरी सर्किट में वर्तमान ताकत में बदलाव। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करके, हम तुरंत इसके द्वारा वर्णित घटनाओं के एक पूरे वर्ग का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न खंडों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों की समरूपता है जिसने लुडविग वॉन बर्टलान्फ़ी को "सिस्टम का सामान्य सिद्धांत" बनाने के लिए प्रेरित किया।

गणितीय मॉडलिंग की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समस्याएं

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, आपको मॉडल की गई वस्तु का एक मूल आरेख तैयार करने की आवश्यकता है, इसे इस विज्ञान के आदर्शीकरण के ढांचे के भीतर पुन: पेश करें। इस प्रकार, एक ट्रेन कार विभिन्न सामग्रियों से प्लेटों और अधिक जटिल निकायों की एक प्रणाली में बदल जाती है, प्रत्येक सामग्री को इसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनत्व, लोचदार मॉड्यूल, मानक ताकत विशेषताओं) के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद समीकरण तैयार किए जाते हैं, और रास्ते में कुछ विवरणों को महत्वहीन मानकर खारिज कर दिया जाता है, गणना की जाती है, माप के साथ तुलना की जाती है, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, इत्यादि। हालाँकि, गणितीय मॉडलिंग तकनीकों को विकसित करने के लिए, इस प्रक्रिया को इसके मुख्य घटकों में विभाजित करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

सीधा कार्य: मॉडल की संरचना और उसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य वस्तु के बारे में उपयोगी ज्ञान निकालने के लिए मॉडल का अध्ययन करना है। पुल कितना स्थैतिक भार सहन करेगा? यह गतिशील भार पर कैसे प्रतिक्रिया करेगा (उदाहरण के लिए, सैनिकों की एक कंपनी के मार्च पर, या विभिन्न गति से ट्रेन के गुजरने पर), विमान ध्वनि अवरोध को कैसे पार करेगा, क्या यह फड़फड़ाहट से अलग हो जाएगा - ये प्रत्यक्ष समस्या के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही सीधी समस्या निर्धारित करने (सही प्रश्न पूछने) के लिए विशेष कौशल की आवश्यकता होती है। यदि सही प्रश्न नहीं पूछे गए, तो एक पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। तो, 1879 में, इंग्लैंड में ताई नदी पर एक धातु पुल ढह गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल का एक मॉडल बनाया, पेलोड की कार्रवाई के लिए 20 गुना सुरक्षा कारक की गणना की, लेकिन लगातार हवाओं के बारे में भूल गए उन जगहों पर उड़ना. और डेढ़ साल बाद यह ढह गया।

सबसे सरल मामले में (उदाहरण के लिए, एक थरथरानवाला समीकरण), प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के स्पष्ट समाधान को कम करती है।

उलटी समस्या: कई संभावित मॉडल ज्ञात हैं, वस्तु के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल का चयन किया जाना चाहिए। अक्सर, मॉडल की संरचना ज्ञात होती है, और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त जानकारी में अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा, या वस्तु के लिए आवश्यकताएं शामिल हो सकती हैं ( डिजाइन समस्या). व्युत्क्रम समस्या को हल करने की प्रक्रिया की परवाह किए बिना अतिरिक्त डेटा आ सकता है ( निष्क्रिय अवलोकन) या समाधान के दौरान विशेष रूप से नियोजित किसी प्रयोग का परिणाम हो ( सक्रिय निगरानी).

उपलब्ध डेटा के पूर्ण उपयोग के साथ एक व्युत्क्रम समस्या के उत्कृष्ट समाधान के पहले उदाहरणों में से एक आई. न्यूटन द्वारा प्रेक्षित नम दोलनों से घर्षण बलों के पुनर्निर्माण के लिए बनाई गई विधि थी।

अतिरिक्त उदाहरण

कहाँ एक्स एस- "संतुलन" जनसंख्या का आकार, जिस पर जन्म दर की क्षतिपूर्ति मृत्यु दर से होती है। ऐसे मॉडल में जनसंख्या का आकार एक संतुलन मूल्य की ओर प्रवृत्त होता है एक्स एस, और यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर है।

जब खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होती है तो इस प्रणाली में संतुलन की स्थिति होती है। इस अवस्था से विचलन के परिणामस्वरूप खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव होता है, जो एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के उतार-चढ़ाव के समान होता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर की तरह, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटा सा बदलाव (उदाहरण के लिए, खरगोशों के लिए आवश्यक सीमित संसाधनों को ध्यान में रखते हुए) व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन ला सकता है। उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति स्थिर हो सकती है, और संख्याओं में उतार-चढ़ाव समाप्त हो जाएगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन स्थिति से कोई भी छोटा विचलन विनाशकारी परिणामों को जन्म देगा, यहां तक ​​कि किसी एक प्रजाति के पूर्ण विलुप्त होने तक। वोल्टेरा-लोटका मॉडल इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि इनमें से कौन सा परिदृश्य साकार हो रहा है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

टिप्पणियाँ

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9. “एक सिद्धांत को रैखिक या गैर-रेखीय माना जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस प्रकार के गणितीय उपकरण - रैखिक या गैर-रेखीय - और यह किस प्रकार के रैखिक या गैर-रेखीय गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ...बाद वाले को नकारे बिना। एक आधुनिक भौतिक विज्ञानी, यदि उसे गैर-रैखिकता जैसी महत्वपूर्ण इकाई की परिभाषा को फिर से बनाना है, तो वह संभवतः अलग तरीके से कार्य करेगा, और, दो विपरीतताओं में से अधिक महत्वपूर्ण और व्यापक के रूप में गैर-रैखिकता को प्राथमिकता देते हुए, रैखिकता को "नहीं" के रूप में परिभाषित करेगा। अरैखिकता।" डेनिलोव यू. ए., अरेखीय गतिकी पर व्याख्यान। प्रारंभिक परिचय. श्रृंखला "सिनर्जेटिक्स: अतीत से भविष्य तक।" संस्करण 2. - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 208 पी। आईएसबीएन 5-484-00183-8
10. “सामान्य अंतर समीकरणों की एक सीमित संख्या द्वारा तैयार की गई गतिशील प्रणालियों को केंद्रित या बिंदु प्रणाली कहा जाता है। उन्हें एक परिमित-आयामी चरण स्थान का उपयोग करके वर्णित किया गया है और स्वतंत्रता की डिग्री की एक सीमित संख्या की विशेषता है। विभिन्न परिस्थितियों में एक ही प्रणाली को या तो संकेंद्रित या वितरित माना जा सकता है। वितरित प्रणालियों के गणितीय मॉडल आंशिक अंतर समीकरण, अभिन्न समीकरण या साधारण विलंब समीकरण हैं। एक वितरित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या अनंत है, और इसकी स्थिति निर्धारित करने के लिए अनंत संख्या में डेटा की आवश्यकता होती है। अनिश्चेंको वी.एस., डायनेमिक सिस्टम, सोरोस एजुकेशनल जर्नल, 1997, नंबर 11, पी। 77-84.
11. “सिस्टम एस में अध्ययन की जा रही प्रक्रियाओं की प्रकृति के आधार पर, सभी प्रकार के मॉडलिंग को नियतात्मक और स्टोकेस्टिक, स्थिर और गतिशील, असतत, निरंतर और असतत-निरंतर में विभाजित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडलिंग नियतात्मक प्रक्रियाओं को दर्शाता है, यानी ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें किसी भी यादृच्छिक प्रभाव की अनुपस्थिति मानी जाती है; स्टोकेस्टिक मॉडलिंग संभाव्य प्रक्रियाओं और घटनाओं को दर्शाता है। ... स्थैतिक मॉडलिंग किसी भी समय किसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने का कार्य करती है, और गतिशील मॉडलिंग समय के साथ किसी वस्तु के व्यवहार को दर्शाती है। असतत मॉडलिंग का उपयोग उन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिन्हें क्रमशः असतत माना जाता है, निरंतर मॉडलिंग हमें सिस्टम में निरंतर प्रक्रियाओं को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है, और असतत-निरंतर मॉडलिंग का उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जब वे असतत और निरंतर दोनों प्रक्रियाओं की उपस्थिति को उजागर करना चाहते हैं। ” सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2
12. आमतौर पर, एक गणितीय मॉडल मॉडल की गई वस्तु की संरचना (उपकरण), इस वस्तु के घटकों के गुणों और संबंधों को दर्शाता है जो अनुसंधान के उद्देश्यों के लिए आवश्यक हैं; ऐसे मॉडल को संरचनात्मक कहा जाता है। यदि मॉडल केवल यह दर्शाता है कि वस्तु कैसे कार्य करती है - उदाहरण के लिए, यह बाहरी प्रभावों पर कैसे प्रतिक्रिया करती है - तो इसे कार्यात्मक या, लाक्षणिक रूप से, एक ब्लैक बॉक्स कहा जाता है। संयुक्त मॉडल भी संभव हैं. मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ
13. “गणितीय मॉडल के निर्माण या चयन का स्पष्ट, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण प्रारंभिक चरण, अनौपचारिक चर्चाओं के आधार पर, मॉडलिंग की जा रही वस्तु के बारे में यथासंभव स्पष्ट तस्वीर प्राप्त करना और उसके सार्थक मॉडल को परिष्कृत करना है। आपको इस स्तर पर समय और प्रयास को बर्बाद नहीं करना चाहिए, पूरे अध्ययन की सफलता काफी हद तक इस पर निर्भर करती है। ऐसा एक से अधिक बार हुआ है कि गणितीय समस्या को हल करने पर किया गया महत्वपूर्ण कार्य मामले के इस पक्ष पर अपर्याप्त ध्यान देने के कारण अप्रभावी या यहां तक ​​कि बर्बाद हो गया। मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ, पृ. 35.
14. « सिस्टम के वैचारिक मॉडल का विवरण.सिस्टम मॉडल के निर्माण के इस उपचरण में: ए) वैचारिक मॉडल एम को अमूर्त शब्दों और अवधारणाओं में वर्णित किया गया है; बी) मानक गणितीय योजनाओं का उपयोग करके मॉडल का विवरण दिया गया है; ग) परिकल्पनाओं और धारणाओं को अंततः स्वीकार कर लिया जाता है; घ) मॉडल का निर्माण करते समय वास्तविक प्रक्रियाओं का अनुमान लगाने के लिए प्रक्रिया का चुनाव उचित है। सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2, पृ. 93.

मॉडल और सिमुलेशन की अवधारणा.

व्यापक अर्थ में मॉडल- यह किसी भी आयतन, प्रक्रिया या घटना की कोई छवि, मानसिक एनालॉग या स्थापित छवि, विवरण, आरेख, रेखांकन, मानचित्र आदि है, जिसका उपयोग उसके विकल्प या प्रतिनिधि के रूप में किया जाता है। वस्तु, प्रक्रिया या घटना को ही इस मॉडल का मूल कहा जाता है।

मोडलिंग - यह किसी वस्तु या वस्तुओं की प्रणाली का उनके मॉडल का निर्माण और अध्ययन करके अध्ययन है। यह विशेषताओं को निर्धारित करने या स्पष्ट करने और नवनिर्मित वस्तुओं के निर्माण के तरीकों को तर्कसंगत बनाने के लिए मॉडल का उपयोग है।

वैज्ञानिक अनुसंधान की कोई भी विधि मॉडलिंग के विचार पर आधारित होती है, जबकि सैद्धांतिक विधियां विभिन्न प्रकार के प्रतीकात्मक, अमूर्त मॉडल का उपयोग करती हैं, और प्रयोगात्मक विधियां विषय मॉडल का उपयोग करती हैं।

अनुसंधान के दौरान, एक जटिल वास्तविक घटना को कुछ सरलीकृत प्रतिलिपि या आरेख द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है; कभी-कभी ऐसी प्रतिलिपि अगली बैठक में वांछित घटना को याद रखने और पहचानने के लिए ही काम करती है। कभी-कभी निर्मित आरेख कुछ आवश्यक विशेषताओं को दर्शाता है, किसी घटना के तंत्र को समझने की अनुमति देता है, और इसके परिवर्तन की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है। विभिन्न मॉडल एक ही घटना के अनुरूप हो सकते हैं।

शोधकर्ता का कार्य घटना की प्रकृति और प्रक्रिया के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी करना है।

कभी-कभी, ऐसा होता है कि कोई वस्तु उपलब्ध होती है, लेकिन उसके साथ प्रयोग महंगे होते हैं या गंभीर पर्यावरणीय परिणाम पैदा करते हैं। ऐसी प्रक्रियाओं के बारे में ज्ञान मॉडलों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।

एक महत्वपूर्ण बात यह है कि विज्ञान की प्रकृति में किसी एक विशिष्ट घटना का अध्ययन नहीं, बल्कि संबंधित घटनाओं के एक विस्तृत वर्ग का अध्ययन शामिल है। यह कुछ सामान्य श्रेणीबद्ध कथनों को तैयार करने की आवश्यकता मानता है, जिन्हें कानून कहा जाता है। स्वाभाविक रूप से, इस तरह के फॉर्मूलेशन के साथ कई विवरणों की उपेक्षा की जाती है। किसी पैटर्न को अधिक स्पष्ट रूप से पहचानने के लिए, वे सचेत रूप से मोटेपन, आदर्शीकरण और स्केचनेस की ओर जाते हैं, अर्थात, वे स्वयं घटना का नहीं, बल्कि उसकी कमोबेश सटीक प्रतिलिपि या मॉडल का अध्ययन करते हैं। सभी कानून मॉडलों के बारे में कानून हैं, और इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि समय के साथ कुछ वैज्ञानिक सिद्धांतअनुपयुक्त माने जाते हैं. इससे विज्ञान का पतन नहीं होता, क्योंकि एक मॉडल को दूसरे मॉडल से बदल दिया गया है अधिक आधुनिक.

गणितीय मॉडल, निर्माण सामग्री और इन मॉडलों के उपकरण - गणितीय अवधारणाएँ विज्ञान में एक विशेष भूमिका निभाती हैं। वे हजारों वर्षों में संचित और सुधरे। आधुनिक गणित अनुसंधान के अत्यंत शक्तिशाली और सार्वभौमिक साधन प्रदान करता है। गणित में लगभग हर अवधारणा, संख्या की अवधारणा से शुरू होने वाली हर गणितीय वस्तु, एक गणितीय मॉडल है। अध्ययन की जा रही वस्तु या घटना के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, इसकी उन विशेषताओं, विशेषताओं और विवरणों की पहचान की जाती है, जिनमें एक ओर, कम या ज्यादा शामिल होते हैं पूरी जानकारीवस्तु के बारे में, और दूसरी ओर, वे गणितीय औपचारिकता की अनुमति देते हैं। गणितीय औपचारिकीकरण का अर्थ है कि किसी वस्तु की विशेषताएं और विवरण उपयुक्त पर्याप्त गणितीय अवधारणाओं से जुड़े हो सकते हैं: संख्याएं, कार्य, आव्यूह, इत्यादि। फिर अध्ययन के तहत वस्तु में उसके अलग-अलग हिस्सों और घटकों के बीच खोजे गए और ग्रहण किए गए कनेक्शन और संबंधों को गणितीय संबंधों का उपयोग करके लिखा जा सकता है: समानताएं, असमानताएं, समीकरण। परिणाम अध्ययन की जा रही प्रक्रिया या घटना का गणितीय विवरण है, यानी इसका गणितीय मॉडल।

गणितीय मॉडल का अध्ययन हमेशा अध्ययन की जा रही वस्तुओं पर कार्रवाई के कुछ नियमों से जुड़ा होता है। ये नियम कारणों और प्रभावों के बीच संबंधों को दर्शाते हैं।

गणितीय मॉडल का निर्माण किसी भी प्रणाली के अनुसंधान या डिजाइन का केंद्रीय चरण है। वस्तु का बाद का सारा विश्लेषण मॉडल की गुणवत्ता पर निर्भर करता है। मॉडल बनाना कोई औपचारिक प्रक्रिया नहीं है. यह दृढ़ता से शोधकर्ता, उसके अनुभव और स्वाद पर निर्भर करता है, और हमेशा कुछ प्रयोगात्मक सामग्री पर आधारित होता है। मॉडल पर्याप्त रूप से सटीक, पर्याप्त और उपयोग में सुविधाजनक होना चाहिए।

गणित मॉडलिंग.

गणितीय मॉडल का वर्गीकरण.

गणितीय मॉडल हो सकते हैंनियतिवादी और स्टोकेस्टिक .

पक्का नमूना और ऐसे मॉडल हैं जिनमें किसी वस्तु या घटना का वर्णन करने वाले चरों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है।

यह दृष्टिकोण वस्तुओं की कार्य प्रणाली के ज्ञान पर आधारित है। अक्सर मॉडल की जाने वाली वस्तु जटिल होती है और इसके तंत्र को समझना बहुत श्रमसाध्य और समय लेने वाला हो सकता है। इस मामले में, वे निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: वे मूल पर प्रयोग करते हैं, प्राप्त परिणामों को संसाधित करते हैं और, गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट के तंत्र और सिद्धांत में गहराई तक गए बिना, वर्णन करने वाले चर के बीच संबंध स्थापित करते हैं। जो वस्तु। इस मामले में आपको मिलता हैस्टोकेस्टिक नमूना . में स्टोकेस्टिक मॉडल में, चरों के बीच संबंध यादृच्छिक होता है, कभी-कभी यह मौलिक होता है। बड़ी संख्या में कारकों का प्रभाव, उनका संयोजन किसी वस्तु या घटना का वर्णन करने वाले चर के यादृच्छिक सेट की ओर ले जाता है। मोड की प्रकृति के अनुसार, मॉडल हैसांख्यिकीय और गतिशील.

सांख्यिकीयनमूनाइसमें समय के साथ मापदंडों में परिवर्तन को ध्यान में रखे बिना स्थिर स्थिति में मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट के मुख्य चर के बीच संबंधों का विवरण शामिल है।

में गतिशीलमॉडलएक मोड से दूसरे मोड में संक्रमण के दौरान मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट के मुख्य चर के बीच संबंधों का वर्णन किया गया है।

मॉडल हैं अलगऔर निरंतर, और मिश्रित प्रकार। में निरंतर चर एक निश्चित अंतराल से मान लेते हैंअलगचर पृथक मान लेते हैं।

रैखिक मॉडल- मॉडल का वर्णन करने वाले सभी कार्य और संबंध रैखिक रूप से चर और पर निर्भर करते हैंरैखिक नहींअन्यथा।

गणित मॉडलिंग.

आवश्यकताएं ,पी प्रस्तुत किया गया मॉडलों के लिए.

1. बहुमुखी प्रतिभा- किसी वास्तविक वस्तु के अध्ययन किए गए गुणों के मॉडल के प्रतिनिधित्व की पूर्णता को दर्शाता है।

1. पर्याप्तता किसी वस्तु के वांछित गुणों को किसी दिए गए त्रुटि से अधिक त्रुटि के साथ प्रतिबिंबित करने की क्षमता है।
2. सटीकता का आकलन किसी वास्तविक वस्तु की विशेषताओं के मूल्यों और मॉडलों का उपयोग करके प्राप्त इन विशेषताओं के मूल्यों के बीच समझौते की डिग्री से किया जाता है।
3. किफ़ायती - कंप्यूटर मेमोरी संसाधनों के व्यय और इसके कार्यान्वयन और संचालन के लिए समय द्वारा निर्धारित।

गणित मॉडलिंग.

मॉडलिंग के मुख्य चरण.

1. समस्या का विवरण.

विश्लेषण का उद्देश्य और इसे प्राप्त करने और विकसित करने का तरीका निर्धारित करना सामान्य कोशिशअध्ययनाधीन समस्या के लिए. इस स्तर पर, कार्य के सार की गहरी समझ की आवश्यकता है। कभी-कभी किसी समस्या को सही ढंग से सेट करना उसे हल करने से कम कठिन नहीं होता है। मंचन कोई औपचारिक प्रक्रिया नहीं है, सामान्य नियमनहीं।

2. सैद्धांतिक आधारों का अध्ययन करना और मूल वस्तु के बारे में जानकारी एकत्र करना।

इस स्तर पर, एक उपयुक्त सिद्धांत का चयन या विकास किया जाता है। यदि यह नहीं है, तो वस्तु का वर्णन करने वाले चरों के बीच कारण-और-प्रभाव संबंध स्थापित हो जाते हैं। इनपुट और आउटपुट डेटा निर्धारित किया जाता है, और सरलीकृत धारणाएँ बनाई जाती हैं।

3. औपचारिकीकरण.

इसमें प्रतीकों की एक प्रणाली चुनना और वस्तु के घटकों के बीच संबंधों को फॉर्म में लिखने के लिए उनका उपयोग करना शामिल है गणितीय अभिव्यक्तियाँ. समस्याओं का वह वर्ग स्थापित किया गया है जिसमें वस्तु के परिणामी गणितीय मॉडल को वर्गीकृत किया जा सकता है। इस स्तर पर कुछ मापदंडों के मान अभी तक निर्दिष्ट नहीं किए जा सकते हैं।

4. समाधान विधि का चयन करना।

इस स्तर पर, मॉडल के अंतिम पैरामीटर वस्तु की परिचालन स्थितियों को ध्यान में रखते हुए स्थापित किए जाते हैं। परिणामी गणितीय समस्या के लिए, एक समाधान विधि का चयन या विकास किया जाता है विशेष विधि. कोई विधि चुनते समय, उपयोगकर्ता के ज्ञान, उसकी प्राथमिकताओं और डेवलपर की प्राथमिकताओं को ध्यान में रखा जाता है।

5. मॉडल का कार्यान्वयन.

एक एल्गोरिदम विकसित करने के बाद, एक प्रोग्राम लिखा जाता है, जिसे डिबग किया जाता है, परीक्षण किया जाता है और वांछित समस्या का समाधान प्राप्त किया जाता है।

6. प्राप्त जानकारी का विश्लेषण.

प्राप्त और अपेक्षित समाधानों की तुलना की जाती है, और मॉडलिंग त्रुटि की निगरानी की जाती है।

7. वास्तविक वस्तु की पर्याप्तता की जाँच करना।

मॉडल से प्राप्त परिणामों की तुलना की जाती हैया तो वस्तु के बारे में उपलब्ध जानकारी के साथ, या एक प्रयोग किया जाता है और उसके परिणामों की तुलना गणना किए गए परिणामों से की जाती है।

मॉडलिंग प्रक्रिया पुनरावृत्तीय है. चरणों के असंतोषजनक परिणाम के मामले में 6. या 7. पहले के चरणों में से एक में वापसी की जाती है, जिससे असफल मॉडल का विकास हो सकता है। इस चरण और उसके बाद के सभी चरणों को परिष्कृत किया जाता है और मॉडल का ऐसा शोधन तब तक होता है जब तक स्वीकार्य परिणाम प्राप्त नहीं हो जाते।

गणितीय मॉडल गणित की भाषा में वास्तविक दुनिया की घटनाओं या वस्तुओं के किसी भी वर्ग का अनुमानित विवरण है। मॉडलिंग का मुख्य उद्देश्य इन वस्तुओं का पता लगाना और भविष्य के अवलोकनों के परिणामों की भविष्यवाणी करना है। हालाँकि, मॉडलिंग भी हमारे आस-पास की दुनिया को समझने का एक तरीका है, जिससे इसे नियंत्रित करना संभव हो जाता है।

गणितीय मॉडलिंग और संबंधित कंप्यूटर प्रयोग उन मामलों में अपरिहार्य हैं जहां एक या किसी अन्य कारण से पूर्ण पैमाने पर प्रयोग असंभव या कठिन है। उदाहरण के लिए, "क्या होता अगर..." की जाँच करने के लिए इतिहास में एक प्राकृतिक प्रयोग स्थापित करना असंभव है, किसी या किसी अन्य ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत की शुद्धता की जाँच करना असंभव है। प्लेग जैसी बीमारी के प्रसार पर प्रयोग करना, या इसके परिणामों का अध्ययन करने के लिए परमाणु विस्फोट करना संभव है, लेकिन उचित होने की संभावना नहीं है। हालाँकि, यह सब पहले अध्ययन की जा रही घटनाओं के गणितीय मॉडल बनाकर कंप्यूटर पर किया जा सकता है।

1.1.2 2. गणितीय मॉडलिंग के मुख्य चरण

1) मॉडल बिल्डिंग. इस स्तर पर, कुछ "गैर-गणितीय" वस्तु निर्दिष्ट की जाती है - एक प्राकृतिक घटना, डिजाइन, आर्थिक योजना, निर्माण प्रक्रियाआदि। इस मामले में, एक नियम के रूप में, स्थिति का स्पष्ट विवरण मुश्किल है।सबसे पहले, घटना की मुख्य विशेषताएं और गुणात्मक स्तर पर उनके बीच संबंध की पहचान की जाती है। फिर पाई गई गुणात्मक निर्भरता को गणित की भाषा में तैयार किया जाता है, यानी एक गणितीय मॉडल बनाया जाता है। यह मॉडलिंग का सबसे कठिन चरण है।

2) उस गणितीय समस्या को हल करना जिस तक मॉडल ले जाता है. इस स्तर पर, कंप्यूटर पर समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम और संख्यात्मक तरीकों के विकास पर बहुत ध्यान दिया जाता है, जिसकी मदद से परिणाम आवश्यक सटीकता के साथ और स्वीकार्य समय के भीतर पाया जा सकता है।

3) गणितीय मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या।गणित की भाषा में मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या क्षेत्र में स्वीकृत भाषा में की जाती है।

4) मॉडल की पर्याप्तता की जाँच करना।इस स्तर पर, यह निर्धारित किया जाता है कि प्रयोगात्मक परिणाम एक निश्चित सटीकता के भीतर मॉडल के सैद्धांतिक परिणामों से सहमत हैं या नहीं।

5) मॉडल का संशोधन.इस स्तर पर, या तो मॉडल को जटिल बनाया जाता है ताकि यह वास्तविकता के लिए अधिक पर्याप्त हो, या व्यावहारिक रूप से स्वीकार्य समाधान प्राप्त करने के लिए इसे सरल बनाया जाए।

1.1.3 3. मॉडल वर्गीकरण

मॉडलों को विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हल की जा रही समस्याओं की प्रकृति के अनुसार, मॉडलों को कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया जा सकता है। पहले मामले में, किसी घटना या वस्तु की विशेषता बताने वाली सभी मात्राएँ मात्रात्मक रूप से व्यक्त की जाती हैं। इसके अलावा, उनमें से कुछ को स्वतंत्र चर के रूप में माना जाता है, जबकि अन्य को इन मात्राओं के कार्य के रूप में माना जाता है। गणितीय मॉडल आमतौर पर समीकरणों की एक प्रणाली है अलग - अलग प्रकार(अंतर, बीजगणितीय, आदि), विचाराधीन मात्राओं के बीच मात्रात्मक संबंध स्थापित करना। दूसरे मामले में, मॉडल एक जटिल वस्तु की संरचना को दर्शाता है जिसमें अलग-अलग हिस्से होते हैं, जिनके बीच कुछ निश्चित संबंध होते हैं। आमतौर पर, ये कनेक्शन मापनीय नहीं हैं। ऐसे मॉडलों के निर्माण के लिए ग्राफ़ सिद्धांत का उपयोग करना सुविधाजनक है। ग्राफ़ एक गणितीय वस्तु है जो किसी समतल या अंतरिक्ष में बिंदुओं (शीर्षों) के एक समूह का प्रतिनिधित्व करता है, जिनमें से कुछ रेखाओं (किनारों) से जुड़े होते हैं।

प्रारंभिक डेटा और परिणामों की प्रकृति के आधार पर, भविष्यवाणी मॉडल को नियतात्मक और संभाव्य-सांख्यिकीय में विभाजित किया जा सकता है। पहले प्रकार के मॉडल निश्चित, स्पष्ट भविष्यवाणियाँ करते हैं। दूसरे प्रकार के मॉडल सांख्यिकीय जानकारी पर आधारित होते हैं, और उनकी सहायता से प्राप्त पूर्वानुमान प्रकृति में संभाव्य होते हैं।

गणितीय मॉडलिंग और सामान्य कम्प्यूटरीकरण या सिमुलेशन मॉडल

अब, जब देश में लगभग सार्वभौमिक कम्प्यूटरीकरण हो रहा है, हम विभिन्न व्यवसायों के विशेषज्ञों के बयान सुनते हैं: "यदि हम एक कंप्यूटर पेश करते हैं, तो सभी समस्याएं तुरंत हल हो जाएंगी।" यह दृष्टिकोण पूरी तरह से गलत है; कुछ प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल के बिना, कंप्यूटर स्वयं कुछ भी करने में सक्षम नहीं होंगे, और कोई केवल सार्वभौमिक कम्प्यूटरीकरण का सपना देख सकता है।

उपरोक्त के समर्थन में, हम गणितीय मॉडलिंग सहित मॉडलिंग की आवश्यकता को प्रमाणित करने का प्रयास करेंगे, और मानव अनुभूति और परिवर्तन में इसके लाभों को प्रकट करेंगे। बाहर की दुनिया, आइए मौजूदा कमियों की पहचान करें और सिमुलेशन मॉडलिंग की ओर बढ़ें, यानी। कंप्यूटर का उपयोग करके मॉडलिंग करना। लेकिन सब कुछ क्रम में है.

सबसे पहले, आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: मॉडल क्या है?

एक मॉडल एक भौतिक या मानसिक रूप से प्रस्तुत वस्तु है, जो अनुभूति (अध्ययन) की प्रक्रिया में मूल को प्रतिस्थापित करती है, कुछ विशिष्ट गुणों को संरक्षित करती है जो इस अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण हैं।

एक वास्तविक वस्तु की तुलना में एक अच्छी तरह से निर्मित मॉडल अनुसंधान के लिए अधिक सुलभ है। उदाहरण के लिए, शैक्षिक उद्देश्यों के लिए देश की अर्थव्यवस्था के साथ प्रयोग अस्वीकार्य हैं; एक मॉडल अपरिहार्य है।

जो कहा गया है उसका सारांश देते हुए, हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: मॉडल किस लिए हैं? के लिए

• समझें कि कोई वस्तु कैसे काम करती है (इसकी संरचना, गुण, विकास के नियम, बाहरी दुनिया के साथ बातचीत)।
• किसी वस्तु (प्रक्रिया) को प्रबंधित करना और निर्धारित करना सीखें सर्वोत्तम रणनीतियाँ
• वस्तु पर प्रभाव के परिणामों की भविष्यवाणी करें।

किसी भी मॉडल के बारे में क्या सकारात्मक है? यह आपको वस्तु के बारे में नया ज्ञान प्राप्त करने की अनुमति देता है, लेकिन, दुर्भाग्य से, यह कुछ हद तक अधूरा है।

नमूनागणितीय विधियों का उपयोग करके गणित की भाषा में तैयार किए गए मॉडल को गणितीय मॉडल कहा जाता है।

इसके निर्माण का प्रारंभिक बिंदु आमतौर पर कुछ समस्या है, उदाहरण के लिए आर्थिक। वर्णनात्मक और अनुकूलन गणितीय दोनों व्यापक हैं, विभिन्न लक्षण वर्णन करते हैं आर्थिक प्रक्रियाएँऔर घटनाएँ, उदाहरण के लिए:

• संसाधनों का आवंटन
• तर्कसंगत कटाई
• परिवहन
• उद्यमों का एकीकरण
• नेटवर्क योजना.

गणितीय मॉडल का निर्माण कैसे किया जाता है?

• सबसे पहले, अध्ययन का उद्देश्य और विषय तैयार किया जाता है।
• दूसरे, इस लक्ष्य के अनुरूप सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं पर प्रकाश डाला गया है।
• तीसरा, मॉडल के तत्वों के बीच संबंधों को मौखिक रूप से वर्णित किया गया है।
• इसके बाद, रिश्ते को औपचारिक रूप दिया जाता है।
• और गणितीय मॉडल का उपयोग करके गणना की जाती है और परिणामी समाधान का विश्लेषण किया जाता है।

इस एल्गोरिदम का उपयोग करके, आप किसी भी अनुकूलन समस्या को हल कर सकते हैं, जिसमें मल्टीक्राइटेरिया भी शामिल है, अर्थात। जिसमें एक नहीं, बल्कि कई लक्ष्यों का पीछा किया जाता है, जिनमें विरोधाभासी लक्ष्य भी शामिल हैं।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. कतारबद्धता सिद्धांत - कतारबद्धता की समस्या। दो कारकों को संतुलित करना आवश्यक है - सेवा उपकरणों को बनाए रखने की लागत और लाइन में रहने की लागत। मॉडल का औपचारिक विवरण तैयार करने के बाद, विश्लेषणात्मक और कम्प्यूटेशनल तरीकों का उपयोग करके गणना की जाती है। यदि मॉडल अच्छा है, तो इसकी मदद से मिले उत्तर मॉडलिंग प्रणाली के लिए पर्याप्त हैं; यदि यह खराब है, तो इसे सुधारना और प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। पर्याप्तता की कसौटी अभ्यास है.

बहुमानदंड वाले सहित अनुकूलन मॉडल में एक सामान्य संपत्ति होती है - एक लक्ष्य (या कई लक्ष्य) ज्ञात होते हैं, जिन्हें प्राप्त करने के लिए अक्सर जटिल प्रणालियों से निपटना पड़ता है, जहां यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने के बारे में नहीं है, बल्कि अध्ययन और भविष्यवाणी के बारे में है चयनित प्रबंधन रणनीतियों के आधार पर राज्य। और यहां हमें पिछली योजना को लागू करने में कठिनाइयों का सामना करना पड़ रहा है। वे इस प्रकार हैं:

• एक जटिल प्रणाली में तत्वों के बीच कई कनेक्शन होते हैं
• एक वास्तविक प्रणाली यादृच्छिक कारकों से प्रभावित होती है, उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से ध्यान में रखना असंभव है
• मॉडल के साथ मूल की तुलना करने की संभावना केवल शुरुआत में और गणितीय उपकरण का उपयोग करने के बाद ही मौजूद होती है, क्योंकि मध्यवर्ती परिणामों का वास्तविक प्रणाली में कोई एनालॉग नहीं हो सकता है।

जटिल प्रणालियों का अध्ययन करते समय उत्पन्न होने वाली सूचीबद्ध कठिनाइयों के संबंध में, अभ्यास के लिए एक अधिक लचीली पद्धति की आवश्यकता थी, और यह सामने आया - "सिमुजेशन मॉडलिंग"।

आमतौर पर, एक सिमुलेशन मॉडल को कंप्यूटर प्रोग्रामों के एक सेट के रूप में समझा जाता है जो व्यक्तिगत सिस्टम ब्लॉक के कामकाज और उनके बीच बातचीत के नियमों का वर्णन करता है। प्रयोग यादृच्छिक चरएक सिमुलेशन सिस्टम (कंप्यूटर पर) के साथ कई प्रयोग करना और बाद में प्राप्त परिणामों का सांख्यिकीय विश्लेषण करना आवश्यक बनाता है। सिमुलेशन मॉडल का उपयोग करने का एक बहुत ही सामान्य उदाहरण मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके कतारबद्ध समस्या को हल करना है।

इस प्रकार, सिमुलेशन प्रणाली के साथ काम करना कंप्यूटर पर किया गया एक प्रयोग है। फायदे क्या हैं?

- गणितीय मॉडल की तुलना में वास्तविक प्रणाली से अधिक निकटता;

-ब्लॉक सिद्धांत प्रत्येक ब्लॉक को समग्र प्रणाली में शामिल करने से पहले सत्यापित करना संभव बनाता है;

- अधिक जटिल प्रकृति की निर्भरता का उपयोग जिसे सरल गणितीय संबंधों द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।

सूचीबद्ध फायदे नुकसान निर्धारित करते हैं

- एक सिमुलेशन मॉडल बनाने में अधिक समय लगता है, यह अधिक कठिन और अधिक महंगा है;

- सिमुलेशन प्रणाली के साथ काम करने के लिए, आपके पास कक्षा के लिए उपयुक्त कंप्यूटर होना चाहिए;

- उपयोगकर्ता और सिमुलेशन मॉडल (इंटरफ़ेस) के बीच बातचीत बहुत जटिल, सुविधाजनक और प्रसिद्ध नहीं होनी चाहिए;

-सिमुलेशन मॉडल बनाने के लिए गणितीय मॉडलिंग की तुलना में वास्तविक प्रक्रिया के अधिक गहन अध्ययन की आवश्यकता होती है।

प्रश्न उठता है: क्या सिमुलेशन मॉडलिंग अनुकूलन विधियों की जगह ले सकती है? नहीं, लेकिन यह आसानी से उनका पूरक है। सिमुलेशन मॉडल एक प्रोग्राम है जो एक निश्चित एल्गोरिदम को लागू करता है, जिसके नियंत्रण को अनुकूलित करने के लिए पहले एक अनुकूलन समस्या का समाधान किया जाता है।

इसलिए, न तो कोई कंप्यूटर, न गणितीय मॉडल, न ही इसके अध्ययन के लिए कोई एल्गोरिदम अकेले पर्याप्त जटिल समस्या को हल कर सकता है। लेकिन साथ में वे उस शक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं जो हमें जानने की अनुमति देती है दुनिया, इसे मानव हित में प्रबंधित करें।

1.2 मॉडल वर्गीकरण