गणितीय क्रम पार पाडण्याचा नियम. क्रिया करण्यासाठी प्रक्रिया, नियम, उदाहरणे

धड्याचा विषय: "ब्रॅकेटशिवाय आणि अभिव्यक्तींमध्ये क्रियांच्या अंमलबजावणीचा क्रम."

धड्याचा उद्देश: ब्रॅकेटशिवाय आणि कंसात असलेल्या अभिव्यक्तींमध्ये क्रियांच्या क्रमाबद्दल ज्ञान लागू करण्याची क्षमता एकत्रित करण्यासाठी परिस्थिती निर्माण करा भिन्न परिस्थिती, अभिव्यक्तीद्वारे समस्या सोडविण्याचे कौशल्य.

धड्याची उद्दिष्टे.

शैक्षणिक:

ब्रॅकेटशिवाय आणि अभिव्यक्तींमध्ये क्रिया करण्याच्या नियमांचे विद्यार्थ्यांचे ज्ञान एकत्रित करण्यासाठी; विशिष्ट अभिव्यक्तींची गणना करताना हे नियम वापरण्याची त्यांची क्षमता विकसित करा; संगणकीय कौशल्ये सुधारणे; गुणाकार आणि भागाकार सारणी प्रकरणे पुन्हा करा;

शैक्षणिक:

संगणकीय कौशल्ये विकसित करा, तार्किक विचार, लक्ष, स्मरणशक्ती, विद्यार्थ्यांची संज्ञानात्मक क्षमता,

संभाषण कौशल्य;

शैक्षणिक:

एकमेकांबद्दल सहिष्णु वृत्ती जोपासणे, परस्पर सहकार्य,

वर्गातील वर्तनाची संस्कृती, अचूकता, स्वातंत्र्य, गणितात रस निर्माण करणे.

तयार केलेला UUD:

नियामक UUD:

प्रस्तावित योजना, सूचनांनुसार कार्य करा;

यावर आधारित तुमची गृहीते पुढे करा शैक्षणिक साहित्य;

आत्म-नियंत्रण व्यायाम करा.

संज्ञानात्मक UUD:

क्रियांच्या क्रमाचे नियम जाणून घ्या:

त्यांची सामग्री स्पष्ट करण्यास सक्षम व्हा;

क्रियांच्या क्रमाचा नियम समजून घ्या;

अंमलबजावणी ऑर्डरच्या नियमांनुसार अभिव्यक्तींचे अर्थ शोधा;

शब्द समस्या वापरून क्रिया;

अभिव्यक्तीचा वापर करून समस्येचे निराकरण लिहा;

क्रियांच्या क्रमासाठी नियम लागू करा;

कामगिरी करताना प्राप्त ज्ञान लागू करण्यास सक्षम व्हा चाचणी कार्य.

संप्रेषण UUD:

इतरांचे भाषण ऐका आणि समजून घ्या;

पुरेशी पूर्णता आणि अचूकतेने आपले विचार व्यक्त करा;

भिन्न दृष्टिकोनाच्या शक्यतेस अनुमती द्या, संभाषणकर्त्याची स्थिती समजून घेण्याचा प्रयत्न करा;

वेगवेगळ्या सामग्रीच्या टीममध्ये काम करा (जोडपे, लहान गट, संपूर्ण वर्ग), चर्चेत सहभागी होणे, जोडीने काम करणे;

वैयक्तिक UUD:

क्रियाकलापाचा उद्देश आणि त्याचे परिणाम यांच्यात संबंध स्थापित करणे;

प्रत्येकासाठी वर्तनाचे सामान्य नियम निश्चित करा;

यशाच्या निकषावर आधारित स्व-मूल्यांकन करण्याची क्षमता व्यक्त करा शैक्षणिक क्रियाकलाप.

नियोजित परिणाम:

विषय:

क्रियांच्या क्रमाचे नियम जाणून घ्या.

त्यांची सामग्री स्पष्ट करण्यास सक्षम व्हा.

अभिव्यक्ती वापरून समस्या सोडविण्यास सक्षम व्हा.

वैयक्तिक:
शैक्षणिक क्रियाकलापांच्या यशाच्या निकषावर आधारित स्वयं-मूल्यांकन करण्यास सक्षम व्हा.

मेटाविषय:

शिक्षकाच्या मदतीने धड्यात ध्येय निश्चित करण्यात आणि तयार करण्यात सक्षम व्हा; धड्यातील क्रियांचा क्रम सांगा; एकत्रितपणे तयार केलेल्या योजनेनुसार कार्य करा; पुरेशा पूर्वलक्षी मूल्यांकनाच्या पातळीवर कारवाईच्या शुद्धतेचे मूल्यांकन करा; कार्याच्या अनुषंगाने आपल्या कृतीची योजना करा; कृती पूर्ण झाल्यानंतर त्याच्या मूल्यांकनाच्या आधारे आणि केलेल्या त्रुटींचे स्वरूप लक्षात घेऊन आवश्यक समायोजन करा; तुमचा अंदाज व्यक्त करा( नियामक UUD ).

आपले विचार तोंडी व्यक्त करण्यास सक्षम व्हा; इतरांचे भाषण ऐका आणि समजून घ्या; शाळेतील वर्तन आणि संप्रेषणाच्या नियमांवर संयुक्तपणे सहमत व्हा आणि त्यांचे अनुसरण करा ( संप्रेषणात्मक UUD ).

तुमची नॉलेज सिस्टीम नेव्हिगेट करण्यात सक्षम व्हा: शिक्षकाच्या मदतीने आधीपासून ज्ञात असलेल्या नवीन मधून वेगळे करा; नवीन ज्ञान मिळवा: पाठ्यपुस्तक वापरून प्रश्नांची उत्तरे शोधा, तुमचे जीवन अनुभवआणि वर्गात मिळालेली माहिती (संज्ञानात्मक UUD ).

वर्ग दरम्यान

1. संघटनात्मक क्षण.

जेणेकरून आपला धडा उजळ होईल,

आम्ही चांगले सामायिक करू.

तुम्ही तुमचे तळवे पसरवा,

तुझे प्रेम त्यांच्यात ठेवा,

आणि एकमेकांकडे हसतात.

तुमच्या नोकऱ्या घ्या.

आम्ही आमच्या वह्या उघडल्या, नंबर लिहून घेतला आणि वर्गाचे काम पूर्ण केले.

2. ज्ञान अद्यतनित करणे.

या धड्यात, आपल्याला अंकगणितीय क्रिया कंस शिवाय आणि त्याशिवाय अभिव्यक्तींमध्ये करण्याच्या क्रमावर तपशीलवारपणे पहावे लागेल.

मौखिक मोजणी.

गेम "योग्य उत्तर शोधा."

(प्रत्येक विद्यार्थ्याकडे संख्या असलेली एक शीट असते)

मी कार्ये वाचली, आणि तुम्ही, तुमच्या मनातील क्रिया पूर्ण केल्यावर, परिणामी परिणाम, म्हणजे, उत्तर ओलांडणे आवश्यक आहे.

मी एका संख्येचा विचार केला, त्यातून 80 वजा केले आणि 18 मिळाले. मी कोणत्या संख्येचा विचार केला? (98)

मी एका संख्येचा विचार केला, त्यात 12 जोडले आणि 70 मिळाले. मी कोणत्या क्रमांकाचा विचार केला? (58)

पहिली संज्ञा 90 आहे, दुसरी संज्ञा 12 आहे. बेरीज शोधा. (102)

तुमचे परिणाम एकत्र करा.

तुम्हाला कोणती भौमितिक आकृती मिळाली? (त्रिकोण)

तुम्हाला याबद्दल काय माहिती आहे ते आम्हाला सांगा भौमितिक आकृती. (3 बाजू, 3 शिरोबिंदू, 3 कोपरे आहेत)

आम्ही कार्डवर काम करणे सुरू ठेवतो.

100 आणि 22 संख्यांमधील फरक शोधा . (78)

उणे 99 आहे, सबट्राहेंड 19 आहे. फरक शोधा. (80).

संख्या 25 4 वेळा घ्या. (100)

त्रिकोणाच्या आत दुसरा त्रिकोण काढा, परिणाम कनेक्ट करा.

तुम्हाला किती त्रिकोण मिळाले? (5)

3. धड्याच्या विषयावर कार्य करा. अंकगणितीय क्रिया कोणत्या क्रमाने केल्या जातात त्यानुसार अभिव्यक्तीच्या मूल्यातील बदलाचे निरीक्षण करणे

जीवनात, आपण सतत काही ना काही कृती करतो: आपण चालतो, अभ्यास करतो, वाचतो, लिहितो, मोजतो, हसतो, भांडतो आणि शांतता प्रस्थापित करतो. आम्ही या क्रिया वेगवेगळ्या क्रमाने करतो. कधीकधी ते बदलले जाऊ शकतात, कधीकधी नाही. उदाहरणार्थ, सकाळी शाळेसाठी तयार होताना, आपण प्रथम व्यायाम करू शकता, नंतर आपले अंथरुण बनवू शकता किंवा त्याउलट. पण तुम्ही आधी शाळेत जाऊ शकत नाही आणि नंतर कपडे घालू शकत नाही.

गणितात हे करणे आवश्यक आहे का? अंकगणित ऑपरेशन्सएका विशिष्ट क्रमाने?

चला तपासूया

चला अभिव्यक्तींची तुलना करूया:
8-3+4 आणि 8-3+4

आपण पाहतो की दोन्ही अभिव्यक्ती अगदी समान आहेत.

चला एका अभिव्यक्तीमध्ये डावीकडून उजवीकडे आणि दुसऱ्यामध्ये उजवीकडून डावीकडे क्रिया करू. क्रियांचा क्रम दर्शविण्यासाठी तुम्ही संख्या वापरू शकता (चित्र 1).

तांदूळ. 1. प्रक्रिया

पहिल्या अभिव्यक्तीमध्ये, आपण प्रथम वजाबाकीची क्रिया करू आणि नंतर निकालात संख्या 4 जोडू.

दुसऱ्या अभिव्यक्तीमध्ये, आपण प्रथम बेरीजचे मूल्य शोधतो आणि नंतर परिणामी परिणाम 7 मधून 8 वजा करतो.

आपण पाहतो की वाक्प्रचारांचे अर्थ वेगळे आहेत.

चला निष्कर्ष काढूया: अंकगणितीय क्रिया ज्या क्रमाने केल्या जातात तो बदलता येत नाही.

कंस नसलेल्या अभिव्यक्तींमध्ये अंकगणितीय क्रियांचा क्रम

कंस शिवाय अभिव्यक्तीमध्ये अंकगणित क्रिया करण्यासाठी नियम जाणून घेऊ.

जर कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीमध्ये फक्त बेरीज आणि वजाबाकी किंवा फक्त गुणाकार आणि भागाकार समाविष्ट असेल, तर क्रिया ज्या क्रमाने लिहिल्या जातात त्या क्रमाने केल्या जातात.

चला सराव करू.

अभिव्यक्तीचा विचार करा

या अभिव्यक्तीमध्ये केवळ बेरीज आणि वजाबाकी क्रिया आहेत. या क्रिया म्हणतात पहिल्या टप्प्यातील क्रिया.

आम्ही डावीकडून उजवीकडे क्रमाने क्रिया करतो (चित्र 2).

तांदूळ. 2. प्रक्रिया

दुसरी अभिव्यक्ती विचारात घ्या

या अभिव्यक्तीमध्ये फक्त गुणाकार आणि भागाकार क्रिया आहेत - या दुसऱ्या टप्प्यातील क्रिया आहेत.

आम्ही डावीकडून उजवीकडे क्रमाने क्रिया करतो (चित्र 3).

तांदूळ. 3. प्रक्रिया

जर अभिव्यक्तीमध्ये केवळ बेरीज आणि वजाबाकीच नाही तर गुणाकार आणि भागाकार देखील असतील तर अंकगणित क्रिया कोणत्या क्रमाने केल्या जातात?

जर कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीमध्ये केवळ बेरीज आणि वजाबाकीची क्रियाच नाही तर गुणाकार आणि भागाकार किंवा या दोन्ही क्रियांचा समावेश असेल, तर प्रथम क्रमाने (डावीकडून उजवीकडे) गुणाकार आणि भागाकार करा आणि नंतर बेरीज आणि वजाबाकी करा.

चला अभिव्यक्ती पाहू.

असा विचार करूया. या अभिव्यक्तीमध्ये बेरीज आणि वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार या क्रिया असतात. आम्ही नियमानुसार वागतो. प्रथम, आम्ही क्रमाने (डावीकडून उजवीकडे) गुणाकार आणि भागाकार करतो आणि नंतर बेरीज आणि वजाबाकी करतो. चला क्रियांचा क्रम लावू.

चला अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजू.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

कंसासह अभिव्यक्तींमध्ये अंकगणित क्रियांचा क्रम

अभिव्यक्तीमध्ये कंस असल्यास अंकगणित क्रिया कोणत्या क्रमाने केल्या जातात?

अभिव्यक्तीमध्ये कंस असल्यास, कंसातील अभिव्यक्तींचे मूल्य प्रथम मूल्यमापन केले जाते.

चला अभिव्यक्ती पाहू.

30 + 6 * (13 - 9)

आपण पाहतो की या अभिव्यक्तीमध्ये कंसात एक क्रिया आहे, याचा अर्थ आपण ही क्रिया प्रथम करू, नंतर गुणाकार आणि क्रमाने जोडू. चला क्रियांचा क्रम लावू.

30 + 6 * (13 - 9)

चला अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजू.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

कंस शिवाय आणि सह अभिव्यक्तींमध्ये अंकगणित क्रिया करण्यासाठी नियम

अंकगणितीय क्रियांचा क्रम संख्यात्मक अभिव्यक्तीमध्ये योग्यरित्या स्थापित करण्याचे कारण कसे असावे?

गणना सुरू करण्यापूर्वी, तुम्हाला अभिव्यक्ती पाहण्याची आवश्यकता आहे (त्यात कंस आहेत की नाही, त्यात कोणत्या क्रिया आहेत ते शोधा) आणि त्यानंतरच पुढील क्रमाने क्रिया करा:

1. कंसात लिहिलेल्या क्रिया;

2. गुणाकार आणि भागाकार;

3. बेरीज आणि वजाबाकी.

आकृती आपल्याला हा साधा नियम लक्षात ठेवण्यास मदत करेल (चित्र 4).

तांदूळ. 4. प्रक्रिया

4. एकत्रीकरण शिकलेल्या नियमासाठी प्रशिक्षण कार्य पूर्ण करणे

चला सराव करू.

चला अभिव्यक्तींचा विचार करू, क्रियांचा क्रम स्थापित करू आणि गणना करू.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

आम्ही नियमानुसार काम करू. 43 - (20 - 7) +15 या अभिव्यक्तीमध्ये कंसातील ऑपरेशन्स, तसेच बेरीज आणि वजाबाकी ऑपरेशन्स असतात. चला एक कार्यपद्धती स्थापित करूया. पहिली क्रिया कंसात ऑपरेशन करणे आणि नंतर डावीकडून उजवीकडे, वजाबाकी आणि बेरीज करणे.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

32 + 9 * (19 - 16) या अभिव्यक्तीमध्ये कंसातील ऑपरेशन्स तसेच गुणाकार आणि बेरीज ऑपरेशन्स असतात. नियमानुसार, आम्ही प्रथम कंसात क्रिया करतो, नंतर गुणाकार (आम्ही वजाबाकीद्वारे मिळालेल्या निकालाने 9 क्रमांकाचा गुणाकार करतो) आणि बेरीज करतो.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

अभिव्यक्ती 2*9-18:3 मध्ये कंस नाहीत, परंतु गुणाकार, भागाकार आणि वजाबाकी क्रिया आहेत. आम्ही नियमानुसार वागतो. प्रथम, आपण डावीकडून उजवीकडे गुणाकार आणि भागाकार करतो आणि नंतर गुणाकाराने मिळालेल्या निकालातून भागाकारातून मिळालेला परिणाम वजा करतो. म्हणजेच पहिली क्रिया गुणाकार, दुसरी भागाकार, तिसरी वजाबाकी.

2*9-18:3=18-6=12

खालील अभिव्यक्तींमधील क्रियांचा क्रम योग्यरित्या परिभाषित केला आहे की नाही ते शोधूया.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

असा विचार करूया.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

या अभिव्यक्तीमध्ये कोणतेही कंस नाहीत, म्हणजे आपण प्रथम डावीकडून उजवीकडे गुणाकार किंवा भागाकार करतो, नंतर बेरीज किंवा वजाबाकी करतो. या अभिव्यक्तीमध्ये, पहिली क्रिया भागाकार आहे, दुसरी गुणाकार आहे. तिसरी क्रिया बेरीज असावी, चौथी - वजाबाकी. निष्कर्ष: प्रक्रिया योग्यरित्या निर्धारित केली आहे.

चला या अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधूया.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

चला बोलणे सुरू ठेवूया.

दुस-या अभिव्यक्तीमध्ये कंस असतात, म्हणजे आपण प्रथम कंसात क्रिया करतो, नंतर डावीकडून उजवीकडे गुणाकार किंवा भागाकार, बेरीज किंवा वजाबाकी करतो. आम्ही तपासतो: पहिली क्रिया कंसात आहे, दुसरी विभागणी आहे, तिसरी जोड आहे. निष्कर्ष: प्रक्रिया चुकीच्या पद्धतीने परिभाषित केली आहे. चला चुका दुरुस्त करू आणि अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधूया.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

या अभिव्यक्तीमध्ये कंस देखील असतात, याचा अर्थ आपण प्रथम कंसात क्रिया करतो, नंतर डावीकडून उजवीकडे गुणाकार किंवा भागाकार, बेरीज किंवा वजाबाकी. चला तपासूया: पहिली क्रिया कंसात आहे, दुसरी गुणाकार आहे, तिसरी वजाबाकी आहे. निष्कर्ष: प्रक्रिया चुकीच्या पद्धतीने परिभाषित केली आहे. चला चुका दुरुस्त करू आणि अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधूया.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

चला कार्य पूर्ण करूया.

शिकलेला नियम (चित्र 5) वापरून अभिव्यक्तीतील क्रियांचा क्रम लावू.

तांदूळ. 5. प्रक्रिया

आम्हाला संख्यात्मक मूल्ये दिसत नाहीत, म्हणून आम्ही अभिव्यक्तींचा अर्थ शोधू शकणार नाही, परंतु आम्ही शिकलो तो नियम लागू करण्याचा सराव करू.

आम्ही अल्गोरिदमनुसार कार्य करतो.

पहिल्या अभिव्यक्तीमध्ये कंस असतात, याचा अर्थ पहिली क्रिया कंसात असते. नंतर डावीकडून उजवीकडे गुणाकार आणि भागाकार, नंतर डावीकडून उजवीकडे वजाबाकी आणि बेरीज.

दुस-या अभिव्यक्तीमध्ये कंस देखील असतो, याचा अर्थ आपण कंसात पहिली क्रिया करतो. त्यानंतर, डावीकडून उजवीकडे, गुणाकार आणि भागाकार, त्यानंतर, वजाबाकी.

चला स्वतः तपासूया (चित्र 6).

तांदूळ. 6. प्रक्रिया

5. सारांश.

आज वर्गात आपण कंसात आणि कंसासह अभिव्यक्तींमध्ये क्रियांच्या क्रमाचा नियम शिकलो. कार्यांदरम्यान, त्यांनी निर्धारित केले की अभिव्यक्तीचा अर्थ अंकगणित ऑपरेशन्स ज्या क्रमाने केला जातो त्यावर अवलंबून असतो, अंकगणित ऑपरेशन्सचा क्रम कंस आणि कंस नसलेल्या अभिव्यक्तींमध्ये भिन्न आहे की नाही हे शोधून काढले, शिकलेले नियम लागू करण्याचा सराव केला, चुका शोधल्या आणि सुधारल्या. क्रियांचा क्रम ठरवताना केले.

मधील क्रियांच्या क्रमासाठी नियम जटिल अभिव्यक्ती 2 र्या इयत्तेत अभ्यास केला जातो, परंतु व्यावहारिकपणे त्यापैकी काही 1ल्या वर्गातील मुले वापरतात.

प्रथम, आम्ही कंस नसलेल्या अभिव्यक्तींमधील क्रियांच्या क्रमाचा नियम विचारात घेतो, जेव्हा संख्या केवळ बेरीज आणि वजाबाकी किंवा केवळ गुणाकार आणि भागाकार केल्या जातात. एकाच स्तरावरील दोन किंवा अधिक अंकगणितीय क्रिया असलेल्या अभिव्यक्ती सादर करण्याची आवश्यकता तेव्हा उद्भवते जेव्हा विद्यार्थी 10 च्या आत बेरीज आणि वजाबाकीच्या संगणकीय तंत्रांशी परिचित होतात, म्हणजे:

त्याचप्रमाणे: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

या अभिव्यक्तींचा अर्थ शोधण्यासाठी, शाळकरी मुले एका विशिष्ट क्रमाने केलेल्या वस्तुनिष्ठ क्रियांकडे वळतात, ते सहजपणे हे सत्य शिकतात की अंकगणित क्रिया (जोड आणि वजाबाकी) जे अभिव्यक्तींमध्ये होतात ते डावीकडून उजवीकडे क्रमाने केले जातात.

विद्यार्थ्यांना प्रथम "10 च्या आत बेरीज आणि वजाबाकी" या विषयातील बेरीज आणि वजाबाकी क्रिया आणि कंस असलेली संख्या अभिव्यक्ती भेटतील. जेव्हा मुलांना 1 ली इयत्तेत अशा अभिव्यक्तींचा सामना करावा लागतो, उदाहरणार्थ: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; द्वितीय श्रेणीमध्ये, उदाहरणार्थ: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, शिक्षक अशा वाक्प्रचार कसे वाचायचे आणि लिहायचे आणि त्यांचा अर्थ कसा शोधायचा हे दाखवतात (उदाहरणार्थ, 4*10:5 वाचा: 4 ला 10 ने गुणा आणि परिणामी परिणाम 5 वर विभाजित करा). जेव्हा ते 2ऱ्या वर्गात “ऑर्डर ऑफ ऍक्शन” या विषयाचा अभ्यास करतात, तेव्हा विद्यार्थी या प्रकारच्या अभिव्यक्तींचे अर्थ शोधू शकतात. वर कामाचा उद्देश या टप्प्यावर- विद्यार्थ्यांच्या व्यावहारिक कौशल्यांवर अवलंबून राहून, अशा अभिव्यक्तींमध्ये क्रिया करण्याच्या क्रमाकडे त्यांचे लक्ष वेधून घ्या आणि संबंधित नियम तयार करा. विद्यार्थी शिक्षकांनी निवडलेली उदाहरणे स्वतंत्रपणे सोडवतात आणि त्यांनी ती कोणत्या क्रमाने सादर केली हे स्पष्ट करतात; प्रत्येक उदाहरणातील क्रिया. मग ते स्वतः निष्कर्ष तयार करतात किंवा पाठ्यपुस्तकातून वाचतात: जर कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीमध्ये केवळ बेरीज आणि वजाबाकीच्या क्रिया (किंवा केवळ गुणाकार आणि भागाकाराच्या क्रिया) दर्शविल्या गेल्या असतील तर ते ज्या क्रमाने लिहिले आहेत त्या क्रमाने केले जातात. (म्हणजे डावीकडून उजवीकडे).

हे असूनही a+b+c, a+(b+c) आणि (a+b)+c फॉर्मच्या अभिव्यक्तींमध्ये कंसाची उपस्थिती जोडण्याच्या सहयोगी कायद्यामुळे क्रियांच्या क्रमावर परिणाम करत नाही. स्टेजला कंसातील क्रिया प्रथम केली जाते याकडे विद्यार्थ्यांना निर्देशित करणे अधिक उचित आहे. हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की a - (b + c) आणि a - (b - c) फॉर्मच्या अभिव्यक्तीसाठी असे सामान्यीकरण अस्वीकार्य आहे आणि विद्यार्थ्यांसाठी प्रारंभिक टप्पाविविध संख्यात्मक अभिव्यक्तींसाठी कंसाचे असाइनमेंट नेव्हिगेट करणे खूप कठीण होईल. बेरीज आणि वजाबाकी ऑपरेशन्स असलेल्या संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये कंसाचा वापर पुढे विकसित झाला आहे, जो संख्येमध्ये बेरीज, संख्या बेरीज, संख्येमधून बेरीज वजा करणे यासारख्या नियमांच्या अभ्यासाशी संबंधित आहे. बेरीज परंतु प्रथम कंस सादर करताना, विद्यार्थ्यांना प्रथम कंसातील क्रिया करण्यास निर्देशित करणे महत्त्वाचे आहे.

गणना करताना हा नियम पाळणे किती महत्त्वाचे आहे याकडे शिक्षक मुलांचे लक्ष वेधून घेतात, अन्यथा तुम्हाला चुकीची समानता मिळू शकते. उदाहरणार्थ, विद्यार्थी अभिव्यक्तींचे अर्थ कसे प्राप्त केले जातात हे स्पष्ट करतात: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2, ते का चुकीचे आहेत, या अभिव्यक्तींचा प्रत्यक्षात काय अर्थ आहे. त्याचप्रमाणे, ते फॉर्मच्या कंसासह अभिव्यक्तींमधील क्रियांच्या क्रमाचा अभ्यास करतात: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). विद्यार्थीही अशा अभिव्यक्तींशी परिचित आहेत आणि त्यांचा अर्थ वाचू, लिहू आणि मोजू शकतात. अशा अनेक अभिव्यक्तींमधील क्रियांचा क्रम स्पष्ट केल्यावर, मुले एक निष्कर्ष काढतात: कंसातील अभिव्यक्तींमध्ये, प्रथम क्रिया कंसात लिहिलेल्या संख्यांवर केली जाते. या अभिव्यक्तींचे परीक्षण केल्यास, हे दर्शविणे कठीण नाही की त्यातील क्रिया ज्या क्रमाने लिहिल्या जातात त्या क्रमाने केल्या जात नाहीत; त्यांच्या अंमलबजावणीचा वेगळा क्रम दर्शविण्यासाठी आणि कंस वापरले जातात.

कंस नसलेल्या अभिव्यक्तींमध्ये क्रियांच्या अंमलबजावणीच्या क्रमाचा नियम खालीलप्रमाणे आहे, जेव्हा त्यात पहिल्या आणि दुसऱ्या टप्प्यातील क्रिया असतात. कार्यपद्धतीचे नियम कराराद्वारे स्वीकारले जात असल्याने, शिक्षक ते मुलांपर्यंत पोहोचवतात किंवा विद्यार्थी ते पाठ्यपुस्तकातून शिकतात. विद्यार्थ्यांना सादर केलेले नियम समजून घेण्यासाठी, प्रशिक्षण व्यायामासह, ते त्यांच्या क्रियांच्या क्रमाच्या स्पष्टीकरणासह उदाहरणे सोडवतात. कृतींच्या क्रमाने त्रुटी स्पष्ट करण्याचे व्यायाम देखील प्रभावी आहेत. उदाहरणार्थ, उदाहरणांच्या दिलेल्या जोड्यांमधून, क्रियांच्या क्रमाच्या नियमांनुसार गणना केली गेली होती फक्त तेच लिहिण्याचा प्रस्ताव आहे:

त्रुटी समजावून सांगितल्यानंतर, आपण एक कार्य देऊ शकता: कंस वापरून, क्रियांचा क्रम बदला जेणेकरून अभिव्यक्तीचे निर्दिष्ट मूल्य असेल. उदाहरणार्थ, दिलेल्या अभिव्यक्तीपैकी पहिल्याचे मूल्य 10 च्या बरोबरीचे असण्यासाठी, तुम्हाला ते असे लिहावे लागेल: (20+30):5=10.

अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजण्याचे व्यायाम विशेषतः उपयोगी असतात जेव्हा विद्यार्थ्याला त्याने शिकलेले सर्व नियम लागू करावे लागतात. उदाहरणार्थ, 36:6+3*2 हा शब्द फलकावर किंवा नोटबुकमध्ये लिहिलेला आहे. विद्यार्थी त्याचे मूल्य मोजतात. त्यानंतर, शिक्षकांच्या सूचनेनुसार, मुले अभिव्यक्तीमधील क्रियांचा क्रम बदलण्यासाठी कंस वापरतात:

• 36:6+3-2
• 36:(6+3-2)
• 36:(6+3)-2
• (36:6+3)-2

एक मनोरंजक, परंतु अधिक कठीण, व्यायाम हा उलटा व्यायाम आहे: कंस ठेवणे जेणेकरून अभिव्यक्तीला दिलेले मूल्य असेल:

• 72-24:6+2=66
• 72-24:6+2=6
• 72-24:6+2=10
• 72-24:6+2=69

खालील व्यायाम देखील मनोरंजक आहेत:

• 1. कंसांची मांडणी करा जेणेकरून समानता खरी असतील:
• 25-17:4=2 3*6-4=6
• 24:8-2=4
• 2. तारकाऐवजी “+” किंवा “-” चिन्हे ठेवा जेणेकरून तुम्हाला योग्य समानता मिळेल:
• 38*3*7=34
• 38*3*7=28
• 38*3*7=42
• 38*3*7=48
• 3. तारकांऐवजी अंकगणित चिन्हे ठेवा जेणेकरून समानता सत्य असतील:
• 12*6*2=4
• 12*6*2=70
• 12*6*2=24
• 12*6*2=9
• 12*6*2=0

असे व्यायाम करून, विद्यार्थ्यांना खात्री पटते की कृतींचा क्रम बदलल्यास अभिव्यक्तीचा अर्थ बदलू शकतो.

क्रियांच्या क्रमाच्या नियमांवर प्रभुत्व मिळविण्यासाठी, ग्रेड 3 आणि 4 मध्ये वाढत्या जटिल अभिव्यक्ती समाविष्ट करणे आवश्यक आहे, ज्या मूल्यांची गणना करताना विद्यार्थ्याने प्रत्येक क्रियांच्या क्रमाचे दोन किंवा तीन नियम लागू केले आहेत. वेळ, उदाहरणार्थ:

• 90*8- (240+170)+190,
• 469148-148*9+(30 100 - 26909).

या प्रकरणात, संख्या निवडल्या पाहिजेत जेणेकरून ते कोणत्याही क्रमाने क्रिया करण्यास अनुमती देतात, जे शिकलेल्या नियमांच्या जाणीवपूर्वक वापरासाठी परिस्थिती निर्माण करतात.

जेव्हा आम्ही सोबत काम करतो विविध अभिव्यक्ती, संख्या, अक्षरे आणि व्हेरिएबल्ससह, आपल्याला कार्य करावे लागेल मोठ्या संख्येनेअंकगणित ऑपरेशन्स. जेव्हा आपण रूपांतरण करतो किंवा मूल्य मोजतो तेव्हा या क्रियांच्या योग्य क्रमाचे पालन करणे खूप महत्वाचे आहे. दुसऱ्या शब्दांत, अंकगणित ऑपरेशन्सचा स्वतःचा विशेष क्रम असतो.

Yandex.RTB R-A-339285-1

या लेखात आम्ही तुम्हाला सांगू की कोणती क्रिया प्रथम करावी आणि कोणती नंतर. प्रथम, काही पाहू साधे अभिव्यक्ती, ज्यामध्ये फक्त व्हेरिएबल्स आहेत किंवा संख्यात्मक मूल्ये, तसेच भागाकार, गुणाकार, वजाबाकी आणि बेरीज चिन्हे. मग कंसासह उदाहरणे घेऊ आणि त्यांची गणना कोणत्या क्रमाने करावी याचा विचार करू. तिसर्‍या भागात आपण मुळे, शक्ती आणि इतर कार्यांची चिन्हे समाविष्ट असलेल्या उदाहरणांमध्ये परिवर्तन आणि गणनांचा आवश्यक क्रम देऊ.

कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीच्या बाबतीत, क्रियांचा क्रम निःसंदिग्धपणे निर्धारित केला जातो:

1. सर्व क्रिया डावीकडून उजवीकडे केल्या जातात.
2. आपण प्रथम भागाकार आणि गुणाकार करतो आणि वजाबाकी आणि बेरीज दुसऱ्यांदा करतो.

या नियमांचा अर्थ समजून घेणे सोपे आहे. पारंपारिक डावीकडून उजवीकडे लेखन क्रम गणनेचा मूलभूत क्रम परिभाषित करतो आणि प्रथम गुणाकार किंवा भागाकार करण्याची आवश्यकता या क्रियांच्या अगदी साराद्वारे स्पष्ट केली जाते.

स्पष्टतेसाठी काही कार्ये घेऊ. आम्ही फक्त सर्वात सोपी संख्यात्मक अभिव्यक्ती वापरली जेणेकरून सर्व गणना मानसिकरित्या करता येईल. अशा प्रकारे आपण इच्छित ऑर्डर त्वरीत लक्षात ठेवू शकता आणि त्वरीत परिणाम तपासू शकता.

उदाहरण १

अट:ते किती असेल याची गणना करा 7 − 3 + 6 .

उपाय

आपल्या अभिव्यक्तीमध्ये कोणतेही कंस नाहीत, गुणाकार आणि भागाकार देखील नाही, म्हणून आम्ही सर्व क्रिया निर्दिष्ट क्रमाने करतो. प्रथम आपण सात मधून तीन वजा करतो, नंतर उर्वरित सहा जोडतो आणि दहा सह समाप्त करतो. येथे संपूर्ण समाधानाचा उतारा आहे:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

उत्तर: 7 − 3 + 6 = 10 .

उदाहरण २

अट:अभिव्यक्तीमध्ये गणना कोणत्या क्रमाने करावी? ६:२ ८:३?

उपाय

या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, आपण आधी तयार केलेला कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीसाठी नियम पुन्हा वाचू या. आमच्याकडे येथे फक्त गुणाकार आणि भागाकार आहेत, याचा अर्थ आम्ही गणनाचा लेखी क्रम ठेवतो आणि डावीकडून उजवीकडे अनुक्रमे मोजतो.

उत्तर:प्रथम आपण सहा भाग दोनने भागतो, निकालाला आठ ने गुणाकार करतो आणि परिणामी संख्या तीनने भागतो.

उदाहरण ३

अट: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 किती असेल याची गणना करा.

उपाय

प्रथम, क्रियांचा योग्य क्रम ठरवू या, कारण आपल्याकडे येथे सर्व मूलभूत प्रकारच्या अंकगणित क्रिया आहेत - बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार. पहिली गोष्ट म्हणजे भागाकार आणि गुणाकार. या क्रियांना एकमेकांपेक्षा प्राधान्य नाही, म्हणून आम्ही त्या उजवीकडून डावीकडे लेखी क्रमाने करतो. म्हणजेच, 30 मिळविण्यासाठी 5 चा 6 ने गुणाकार केला पाहिजे, नंतर 10 मिळवण्यासाठी 30 ला 3 ने भागले पाहिजे. त्यानंतर, 4 ला 2 ने भागा, हे 2 आहे. मूळ अभिव्यक्तीमध्ये सापडलेल्या मूल्यांची जागा घेऊ:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

येथे यापुढे भागाकार किंवा गुणाकार नाही, म्हणून आम्ही उर्वरित गणना क्रमाने करतो आणि उत्तर मिळते:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

उत्तर:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

जोपर्यंत क्रियांचा क्रम दृढपणे लक्षात ठेवला जात नाही, तोपर्यंत तुम्ही अंकगणितीय क्रियांच्या चिन्हांच्या वर अंक ठेवू शकता जे गणनेचा क्रम दर्शवितात. उदाहरणार्थ, वरील समस्येसाठी आपण असे लिहू शकतो:

आमच्याकडे असेल तर शाब्दिक अभिव्यक्ती, मग आपण त्यांच्याबरोबर असेच करतो: प्रथम आपण गुणाकार आणि भागाकार करतो, नंतर आपण जोडतो आणि वजा करतो.

पहिल्या आणि दुसऱ्या टप्प्यातील क्रिया काय आहेत?

काहीवेळा संदर्भ पुस्तकांमध्ये सर्व अंकगणित क्रिया पहिल्या आणि दुसऱ्या टप्प्यातील क्रियांमध्ये विभागल्या जातात. चला आवश्यक व्याख्या तयार करूया.

पहिल्या टप्प्यातील ऑपरेशन्समध्ये वजाबाकी आणि बेरीज समाविष्ट आहे, दुसरा - गुणाकार आणि भागाकार.

ही नावे जाणून घेतल्यास, आपण क्रियांच्या क्रमासंबंधी पूर्वी दिलेला नियम खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

व्याख्या २

कंस नसलेल्या अभिव्यक्तीमध्ये, तुम्ही प्रथम दुसऱ्या टप्प्याच्या क्रिया डावीकडून उजवीकडे, नंतर पहिल्या टप्प्याच्या क्रिया (त्याच दिशेने) केल्या पाहिजेत.

कंस सह अभिव्यक्ती मध्ये गणना क्रम

कंस हे स्वतःच एक चिन्ह आहेत जे आपल्याला कृतींचा इच्छित क्रम सांगते. या प्रकरणात योग्य नियमअसे लिहिले जाऊ शकते:

व्याख्या ३

जर अभिव्यक्तीमध्ये कंस असतील, तर पहिली पायरी म्हणजे त्यामध्ये ऑपरेशन करणे, त्यानंतर आपण गुणाकार आणि भागाकार करतो आणि नंतर डावीकडून उजवीकडे बेरीज आणि वजाबाकी करतो.

पॅरेंथेटिकल अभिव्यक्तीसाठी, ते मुख्य अभिव्यक्तीचा अविभाज्य भाग मानले जाऊ शकते. कंसात अभिव्यक्तीचे मूल्य मोजताना, आम्ही आम्हाला ज्ञात असलेली समान प्रक्रिया राखतो. उदाहरणासह आपली कल्पना स्पष्ट करू.

उदाहरण ४

अट:ते किती असेल याची गणना करा ५ + (७ − २ ३) (६ − ४) : २.

उपाय

या अभिव्यक्तीमध्ये कंस आहेत, म्हणून त्यांच्यापासून सुरुवात करूया. सर्व प्रथम, 7 − 2 · 3 किती असेल ते काढू. येथे आपल्याला 2 ने 3 ने गुणाकार करणे आणि 7 मधून निकाल वजा करणे आवश्यक आहे:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

आम्ही दुसऱ्या कंसात निकालाची गणना करतो. आमच्याकडे फक्त एकच क्रिया आहे: 6 − 4 = 2 .

आता आपल्याला परिणामी मूल्ये मूळ अभिव्यक्तीमध्ये बदलण्याची आवश्यकता आहे:

५ + (७ − २ ३) (६ − ४) : २ = ५ + १ २:२

चला गुणाकार आणि भागाकाराने सुरुवात करू, नंतर वजाबाकी करू आणि मिळवा:

५ + १ २ : २ = ५ + २ : २ = ५ + १ = ६

यावरून गणनेचा निष्कर्ष निघतो.

उत्तर: ५ + (७ − २ ३) (६ − ४) : २ = ६.

जर आमच्या स्थितीत काही कंस इतरांना संलग्न करतात अशा अभिव्यक्तीचा समावेश असल्यास घाबरू नका. आपल्याला फक्त कंसातील सर्व अभिव्यक्तींसाठी वरील नियम सातत्याने लागू करणे आवश्यक आहे. चला ही समस्या घेऊया.

उदाहरण 5

अट:ते किती असेल याची गणना करा ४ + (३ + १ + ४ (२ + ३)).

उपाय

आमच्याकडे कंसात कंस आहेत. आम्ही 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3) ने सुरुवात करतो, म्हणजे 2 + 3. 5 असेल. मूल्य अभिव्यक्तीमध्ये बदलणे आवश्यक आहे आणि 3 + 1 + 4 · 5 अशी गणना करणे आवश्यक आहे. आम्हाला आठवते की आम्हाला प्रथम गुणाकार करणे आवश्यक आहे आणि नंतर जोडणे आवश्यक आहे: ३ + १ + ४ ५ = ३ + १ + २० = २४. सापडलेल्या मूल्यांना मूळ अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आम्ही उत्तराची गणना करतो: 4 + 24 = 28 .

उत्तर: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

दुसऱ्या शब्दांत, कंसात कंस समाविष्ट असलेल्या अभिव्यक्तीच्या मूल्याची गणना करताना, आम्ही आतील कंसापासून सुरुवात करतो आणि बाहेरील कंसात काम करतो.

समजा आपल्याला (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 किती असेल ते शोधण्याची गरज आहे. आम्ही आतील कंसातील अभिव्यक्तीसह प्रारंभ करतो. 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 असल्याने, मूळ अभिव्यक्ती (4 + (4 + 1) − 1) − 1 असे लिहिता येते. आतील कंस पुन्हा पहात आहात: 4 + 1 = 5. अभिव्यक्तीकडे आलो आहोत (4 + 5 − 1) − 1 . आम्ही मोजतो 4 + 5 − 1 = 8 आणि परिणामी आम्हाला 8 - 1 फरक मिळतो, ज्याचा परिणाम 7 असेल.

पॉवर्स, रूट्स, लॉगरिदम आणि इतर फंक्शन्ससह एक्सप्रेशनमधील गणनाचा क्रम

जर आमच्या स्थितीमध्ये पदवी, मूळ, लॉगरिथम किंवा अभिव्यक्ती असेल त्रिकोणमितीय कार्य(sine, cosine, tangent आणि cotangent) किंवा इतर फंक्शन्स, नंतर सर्वप्रथम आपण फंक्शनची व्हॅल्यू काढतो. यानंतर, आम्ही मागील परिच्छेदांमध्ये निर्दिष्ट केलेल्या नियमांनुसार कार्य करतो. दुस-या शब्दात, कंसात बंद केलेल्या अभिव्यक्तीला फंक्शन्स समान महत्त्व देतात.

चला अशा गणनेचे उदाहरण पाहू.

उदाहरण 6

अट:किती आहे ते शोधा (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

उपाय

आपल्याकडे पदवीसह अभिव्यक्ती आहे, ज्याचे मूल्य प्रथम शोधले पाहिजे. आम्ही मोजतो: 6 2 = 36. आता परिणामाला अभिव्यक्तीमध्ये बदलू या, त्यानंतर ते फॉर्म (3 + 1) · 2 + 36: 3 −7 घेईल.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

उत्तर: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

अभिव्यक्तींच्या मूल्यांची गणना करण्यासाठी समर्पित एका स्वतंत्र लेखात, आम्ही इतर, अधिक प्रदान करतो जटिल उदाहरणेमुळे, अंश, इ. सह अभिव्यक्तींच्या बाबतीत गणना. आम्ही शिफारस करतो की तुम्ही ते स्वतःला परिचित करा.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

प्राथमिक शाळा संपत आहे, आणि लवकरच मूल गणिताच्या प्रगत जगात पाऊल टाकेल. मात्र या काळातच विद्यार्थ्याला विज्ञानाच्या अडचणींचा सामना करावा लागतो. एखादे साधे कार्य करताना, मुल गोंधळून जाते आणि हरवले जाते, जे शेवटी केलेल्या कामासाठी नकारात्मक चिन्ह ठरते. अशा समस्या टाळण्यासाठी, उदाहरणे सोडवताना, तुम्हाला ज्या क्रमाने उदाहरण सोडवायचे आहे त्या क्रमाने नेव्हिगेट करण्यात सक्षम असणे आवश्यक आहे. क्रिया चुकीच्या पद्धतीने वितरीत केल्यामुळे, मूल कार्य योग्यरित्या पूर्ण करत नाही. लेख कंसासह गणितीय गणनेची संपूर्ण श्रेणी असलेली उदाहरणे सोडवण्यासाठी मूलभूत नियम प्रकट करतो. गणितातील कार्यपद्धती 4थी इयत्तेचे नियम आणि उदाहरणे.

कार्य पूर्ण करण्यापूर्वी, आपल्या मुलाला तो करणार असलेल्या क्रियांची संख्या सांगा. तुम्हाला काही अडचण असल्यास, कृपया मदत करा.

ब्रॅकेटशिवाय उदाहरणे सोडवताना काही नियमांचे पालन करावे:

एखाद्या कार्यासाठी अनेक क्रिया करणे आवश्यक असल्यास, आपण प्रथम भागाकार किंवा गुणाकार करणे आवश्यक आहे, नंतर. पत्र पुढे जात असताना सर्व क्रिया केल्या जातात. अन्यथा, निर्णयाचा परिणाम योग्य होणार नाही.

उदाहरणामध्ये तुम्हाला कार्यान्वित करायचे असल्यास, आम्ही ते डावीकडून उजवीकडे क्रमाने करतो.

27-5+15=37 (उदाहरणे सोडवताना, आम्हाला नियमानुसार मार्गदर्शन केले जाते. प्रथम आम्ही वजाबाकी करतो, नंतर बेरीज).

तुमच्या मुलाला नेहमी केलेल्या कृतींची योजना आणि संख्या करायला शिकवा.

प्रत्येक सोडवलेल्या क्रियेची उत्तरे उदाहरणाच्या वर लिहिली आहेत. हे मुलासाठी क्रिया नॅव्हिगेट करणे खूप सोपे करेल.

चला दुसर्या पर्यायाचा विचार करूया जिथे क्रिया क्रमाने वितरित करणे आवश्यक आहे:

तुम्ही बघू शकता, सोडवताना, नियम पाळला जातो: प्रथम आम्ही उत्पादन शोधतो, नंतर आम्ही फरक शोधतो.

या साधी उदाहरणे, ज्याचे निराकरण करताना काळजी घेणे आवश्यक आहे. अनेक मुले जेव्हा एखादे कार्य पाहतात ज्यामध्ये केवळ गुणाकार आणि भागाकारच नाही तर कंस देखील असतात. ज्या विद्यार्थ्याला कृती करण्याची प्रक्रिया माहित नसते त्याला प्रश्न असतात जे त्याला कार्य पूर्ण करण्यापासून प्रतिबंधित करतात.

नियमात सांगितल्याप्रमाणे, प्रथम आपण उत्पादन किंवा भागफल शोधतो आणि नंतर सर्व काही. पण कंस आहेत! या प्रकरणात काय करावे?

कंसात उदाहरणे सोडवणे

चला एक विशिष्ट उदाहरण पाहू:

• हे कार्य करत असताना, आपण प्रथम कंसात बंद केलेल्या अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधतो.
• तुम्ही गुणाकाराने सुरुवात करावी, नंतर बेरीज करा.
• कंसातील अभिव्यक्ती सोडवल्यानंतर, आम्ही त्यांच्या बाहेरील क्रियांना पुढे जाऊ.
• प्रक्रियेच्या नियमांनुसार, पुढील पायरी गुणाकार आहे.
• अंतिम टप्पा असेल.

जसे आपण दृश्य उदाहरणात पाहू शकतो, सर्व क्रिया क्रमांकित आहेत. विषय अधिक मजबूत करण्यासाठी, तुमच्या मुलाला स्वतःहून अनेक उदाहरणे सोडवण्यासाठी आमंत्रित करा:

अभिव्यक्तीचे मूल्य ज्या क्रमाने मोजले पाहिजे ते आधीच व्यवस्थित केले गेले आहे. मुलाला फक्त थेट निर्णय अमलात आणावा लागेल.

चला कार्य क्लिष्ट करूया. मुलाला स्वतःच्या अभिव्यक्तींचा अर्थ शोधू द्या.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

तुमच्या मुलाला मसुदा स्वरूपात सर्व कामे सोडवायला शिकवा. या प्रकरणात, विद्यार्थ्याला दुरुस्त करण्याची संधी असेल योग्य निर्णयकिंवा डाग. IN कार्यपुस्तिकासुधारणांना परवानगी नाही. स्वतःची कामे पूर्ण करून मुले त्यांच्या चुका पाहतात.

पालकांनी, याउलट, चुकांकडे लक्ष दिले पाहिजे, मुलाला त्या समजून घेण्यास आणि सुधारण्यास मदत केली पाहिजे. तुम्ही विद्यार्थ्याच्या मेंदूवर मोठ्या प्रमाणावर कामांचा भार टाकू नये. अशा कृतींमुळे तुम्ही मुलाच्या ज्ञानाच्या इच्छेला परावृत्त कराल. प्रत्येक गोष्टीत प्रमाणाची भावना असली पाहिजे.

विश्रांती घे. मुलाला विचलित केले पाहिजे आणि वर्गातून विश्रांती घ्यावी. लक्षात ठेवण्याची मुख्य गोष्ट म्हणजे प्रत्येकाला गणिती मन नसते. कदाचित तुमचे मूल मोठे होऊन प्रसिद्ध तत्त्वज्ञ होईल.

समजा अकिलीस कासवापेक्षा दहापट वेगाने धावतो आणि त्याच्या मागे एक हजार पावले आहे. हे अंतर धावण्यासाठी अकिलीसला लागणाऱ्या वेळेत कासव त्याच दिशेने शंभर पावले रेंगाळते. जेव्हा अकिलीस शंभर पावले चालतो, तेव्हा कासव आणखी दहा पावले रेंगाळतो, वगैरे. प्रक्रिया अमर्यादपणे सुरू राहील, अकिलीस कासवाला कधीच पकडणार नाही.

हा तर्क त्यानंतरच्या सर्व पिढ्यांसाठी एक तार्किक धक्का बनला. अ‍ॅरिस्टॉटल, डायोजेनीस, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... या सर्वांनी झेनोचे अपोरिया या ना त्या मार्गाने मानले. धक्का इतका जोरदार होता की " ...सध्या चर्चा चालू आहे, या सामान्य मतवैज्ञानिक समुदायाला विरोधाभासाचे सार समजून घेण्यात अद्याप यश आलेले नाही... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नवीन भौतिक आणि तात्विक दृष्टिकोन या समस्येच्या अभ्यासात गुंतले होते; त्यापैकी एकही समस्येचे सर्वसाधारणपणे स्वीकारलेले समाधान ठरले नाही..."[विकिपीडिया, "झेनोज अपोरिया". प्रत्येकाला समजते की त्यांना फसवले जात आहे, परंतु फसवणुकीत काय समाविष्ट आहे हे कोणालाही समजत नाही.

गणिताच्या दृष्टिकोनातून, झेनोने त्याच्या अपोरियामध्ये प्रमाणापासून ते कडे संक्रमण स्पष्टपणे दाखवून दिले. हे संक्रमण कायमस्वरूपी ऐवजी अनुप्रयोग सूचित करते. माझ्या समजल्याप्रमाणे, मोजमापाची परिवर्तनीय एकके वापरण्यासाठीचे गणितीय उपकरण एकतर अद्याप विकसित झालेले नाही किंवा ते झेनोच्या अपोरियावर लागू झालेले नाही. आपले नेहमीचे तर्क लागू केल्याने आपण एका जाळ्यात अडकतो. आम्ही, विचारांच्या जडत्वामुळे, परस्पर मूल्यावर वेळेची स्थिर एकके लागू करतो. सह भौतिक बिंदूदृष्टीकोनातून, अकिलीस कासवाला पकडत असताना तो पूर्णपणे थांबेपर्यंत वेळ मंदावल्यासारखे दिसते. जर वेळ थांबला, तर अकिलीस यापुढे कासवाच्या पुढे जाऊ शकणार नाही.

जर आपण आपले नेहमीचे तर्कशास्त्र फिरवले तर सर्वकाही जागेवर येते. अकिलीस सतत वेगाने धावतो. त्याच्या मार्गाचा प्रत्येक पुढील विभाग मागीलपेक्षा दहापट लहान आहे. त्यानुसार, त्यावर मात करण्यासाठी लागणारा वेळ आधीच्या तुलनेत दहापट कमी आहे. जर आपण या परिस्थितीत “अनंत” ही संकल्पना लागू केली, तर “अकिलीस कासवाला अमर्यादपणे पकडेल” असे म्हणणे योग्य ठरेल.

हा तार्किक सापळा कसा टाळायचा? वेळेच्या स्थिर युनिट्समध्ये रहा आणि परस्पर युनिट्सवर स्विच करू नका. झेनोच्या भाषेत ते असे दिसते:

अकिलीसला हजार पावले चालवायला जेवढे वेळ लागेल, तेवढ्यात कासव त्याच दिशेने शंभर पावले रेंगाळेल. पुढच्या वेळेच्या मध्यांतरात पहिल्याच्या बरोबरीने, अकिलीस आणखी हजार पावले धावेल आणि कासव शंभर पावले रेंगाळेल. आता अकिलीस कासवाच्या आठशे पावले पुढे आहे.

हा दृष्टीकोन कोणत्याही तार्किक विरोधाभासांशिवाय वास्तविकतेचे पुरेसे वर्णन करतो. पण तसे नाही पूर्ण समाधानअडचणी. प्रकाशाच्या वेगाच्या अप्रतिरोध्यतेबद्दल आईन्स्टाईनचे विधान झेनोच्या ऍपोरिया “अकिलीस आणि कासव” सारखे आहे. या समस्येचा आपल्याला अजून अभ्यास, पुनर्विचार आणि सोडवायचा आहे. आणि उपाय अमर्यादपणे मोठ्या संख्येने नाही तर मोजमापाच्या युनिट्समध्ये शोधले पाहिजे.

झेनोची आणखी एक मनोरंजक एपोरिया उडत्या बाणाबद्दल सांगते:

उडणारा बाण गतिहीन असतो, कारण वेळेच्या प्रत्येक क्षणी तो विसाव्यात असतो आणि प्रत्येक क्षणी तो निवांत असतो, तो नेहमी विश्रांती घेत असतो.

या एपोरियामध्ये, तार्किक विरोधाभास अगदी सोप्या पद्धतीने दूर केला जातो - हे स्पष्ट करणे पुरेसे आहे की प्रत्येक क्षणी एक उडणारा बाण अवकाशातील वेगवेगळ्या बिंदूंवर विश्रांती घेतो, जो खरं तर गती आहे. येथे आणखी एक मुद्दा लक्षात घेणे आवश्यक आहे. रस्त्यावरील कारच्या एका छायाचित्रावरून त्याच्या हालचालीची वस्तुस्थिती किंवा त्यापासूनचे अंतर निश्चित करणे अशक्य आहे. कार फिरत आहे की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी, तुम्हाला एकाच बिंदूवरून वेगवेगळ्या वेळी काढलेली दोन छायाचित्रे आवश्यक आहेत, परंतु तुम्ही त्यांच्यापासूनचे अंतर निश्चित करू शकत नाही. कारचे अंतर निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला एका वेळी अंतराळातील वेगवेगळ्या बिंदूंमधून घेतलेली दोन छायाचित्रे आवश्यक आहेत, परंतु त्यामधून आपण हालचालीची वस्तुस्थिती निश्चित करू शकत नाही (अर्थात, आपल्याला अद्याप गणनासाठी अतिरिक्त डेटा आवश्यक आहे, त्रिकोणमिती आपल्याला मदत करेल. ). जे मला दाखवायचे आहे विशेष लक्ष, असे आहे की वेळेतील दोन बिंदू आणि अंतराळातील दोन बिंदू भिन्न गोष्टी आहेत ज्यांचा गोंधळ होऊ नये कारण ते संशोधनासाठी भिन्न संधी प्रदान करतात.

बुधवार, 4 जुलै 2018

सेट आणि मल्टीसेटमधील फरक विकिपीडियावर अतिशय चांगल्या प्रकारे वर्णन केले आहेत. बघूया.

तुम्ही बघू शकता, “संचामध्ये दोन एकसारखे घटक असू शकत नाहीत,” परंतु जर संचामध्ये एकसारखे घटक असतील, तर अशा संचाला “मल्टीसेट” म्हणतात. वाजवी माणसांना असे मूर्ख तर्क कधीच समजणार नाहीत. बोलणाऱ्या पोपट आणि प्रशिक्षित माकडांची ही पातळी आहे, ज्यांना “पूर्णपणे” या शब्दाची बुद्धी नसते. गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षक म्हणून काम करतात, त्यांच्या मूर्ख कल्पना आम्हाला सांगतात.

एकेकाळी हा पूल बांधणारे अभियंते पुलाची चाचणी घेत असताना पुलाखालच्या बोटीत होते. पूल कोसळला तर त्याच्या सृष्टीच्या ढिगाऱ्याखाली दबून सामान्य अभियंता मरण पावला. पूल भार सहन करू शकला तर, प्रतिभावान अभियंत्याने इतर पूल बांधले.

"माझ्या मनात आहे, मी घरात आहे" किंवा त्याऐवजी, "गणित अमूर्त संकल्पनांचा अभ्यास करतो" या वाक्यामागे गणितज्ञ कितीही दडले तरीही एक नाळ आहे जी त्यांना वास्तवाशी जोडते. ही नाळ म्हणजे पैसा. चला गणिताचा सेट सिद्धांत स्वतः गणितज्ञांना लागू करूया.

आम्ही गणिताचा चांगला अभ्यास केला आणि आता आम्ही पगार देऊन रोख रजिस्टरवर बसलो आहोत. म्हणून एक गणितज्ञ त्याच्या पैशासाठी आमच्याकडे येतो. आम्ही त्याच्यासाठी संपूर्ण रक्कम मोजतो आणि आमच्या टेबलवर वेगवेगळ्या ढिगाऱ्यांमध्ये ठेवतो, ज्यामध्ये आम्ही समान मूल्याची बिले ठेवतो. मग आम्ही प्रत्येक ढीगातून एक बिल घेतो आणि गणितज्ञांना त्याचा "गणितीय पगाराचा संच" देतो. आपण गणितज्ञांना समजावून सांगूया की त्याला उर्वरित बिले तेव्हाच मिळतील जेव्हा तो हे सिद्ध करेल की समान घटक नसलेला संच समान घटक असलेल्या संचाच्या बरोबरीचा नाही. इथूनच मजा सुरू होते.

सर्व प्रथम, प्रतिनिधींचे तर्क कार्य करेल: "हे इतरांना लागू केले जाऊ शकते, परंतु मला नाही!" मग ते आम्हाला खात्री देऊ लागतील की त्याच मूल्याच्या नोटा आहेत भिन्न संख्याबिले, याचा अर्थ ते एकसारखे घटक मानले जाऊ शकत नाहीत. ठीक आहे, चला नाण्यांमध्ये पगार मोजूया - नाण्यांवर कोणतीही संख्या नाही. येथे गणितज्ञ भौतिकशास्त्राची आठवण करू लागतील: वेगवेगळ्या नाण्यांमध्ये वेगवेगळ्या प्रमाणात घाण असते, प्रत्येक नाण्यांसाठी क्रिस्टल रचना आणि अणूंची व्यवस्था अद्वितीय असते...

आणि आता माझ्याकडे सर्वात जास्त आहे स्वारस्य विचारा: ज्या रेषा पलीकडे मल्टीसेटचे घटक संचाच्या घटकांमध्ये बदलतात आणि त्याउलट कुठे आहे? अशी ओळ अस्तित्त्वात नाही - सर्व काही शमनांनी ठरवले आहे, विज्ञान येथे खोटे बोलण्याच्या जवळ नाही.

इकडे पहा. आम्ही निवडतो फुटबॉल स्टेडियमत्याच फील्ड क्षेत्रासह. फील्डचे क्षेत्र समान आहेत - याचा अर्थ आमच्याकडे मल्टीसेट आहे. पण या एकाच स्टेडियमची नावे पाहिली तर अनेक मिळतात, कारण नावे वेगळी आहेत. जसे आपण पाहू शकता, घटकांचा समान संच एक संच आणि एक मल्टीसेट दोन्ही आहे. कोणते बरोबर आहे? आणि इथे गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट त्याच्या स्लीव्हमधून ट्रम्प्सचा एक्का काढतो आणि आम्हाला एकतर सेट किंवा मल्टीसेटबद्दल सांगू लागतो. कोणत्याही परिस्थितीत, तो आपल्याला पटवून देईल की तो बरोबर आहे.

आधुनिक शमन सेट सिद्धांतासह कसे कार्य करतात हे समजून घेण्यासाठी, त्यास वास्तविकतेशी जोडून, ​​एका प्रश्नाचे उत्तर देणे पुरेसे आहे: एका संचाचे घटक दुसर्‍या संचाच्या घटकांपेक्षा कसे वेगळे आहेत? मी तुम्हाला दाखवतो, "एकच संपूर्ण म्हणून कल्पनीय नाही" किंवा "एकल संपूर्ण म्हणून कल्पनीय नाही."

रविवार, 18 मार्च 2018

संख्येच्या अंकांची बेरीज म्हणजे डफसह शमनचे नृत्य, ज्याचा गणिताशी काहीही संबंध नाही. होय, गणिताच्या धड्यांमध्ये आपल्याला संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधण्यास आणि त्याचा वापर करण्यास शिकवले जाते, परंतु म्हणूनच ते शमन आहेत, त्यांच्या वंशजांना त्यांचे कौशल्य आणि शहाणपण शिकवण्यासाठी, अन्यथा शमन फक्त मरतील.

तुम्हाला पुरावा हवा आहे का? विकिपीडिया उघडा आणि "संख्येच्या अंकांची बेरीज" हे पृष्ठ शोधण्याचा प्रयत्न करा. ती अस्तित्वात नाही. कोणत्याही संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधण्यासाठी गणितात असे कोणतेही सूत्र नाही. शेवटी, संख्या ही ग्राफिक चिन्हे आहेत ज्याद्वारे आपण संख्या लिहितो आणि गणिताच्या भाषेत कार्य असे दिसते: "कोणत्याही संख्येचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या ग्राफिक चिन्हांची बेरीज शोधा." गणितज्ञ ही समस्या सोडवू शकत नाहीत, परंतु शमन हे सहजपणे करू शकतात.

संख्यांची बेरीज शोधण्यासाठी आपण काय आणि कसे करतो ते शोधू या दिलेला क्रमांक. आणि म्हणून, 12345 हा क्रमांक घेऊ या. या संख्येच्या अंकांची बेरीज शोधण्यासाठी काय करावे लागेल? चला क्रमाने सर्व चरणांचा विचार करूया.

1. कागदाच्या तुकड्यावर संख्या लिहा. आम्ही काय केले आहे? आम्ही संख्या ग्राफिकल संख्या चिन्हात रूपांतरित केली आहे. हे गणितीय ऑपरेशन नाही.

2. आम्ही एक परिणामी चित्र वैयक्तिक संख्या असलेल्या अनेक चित्रांमध्ये कापतो. चित्र कापणे ही गणिती क्रिया नाही.

3. वैयक्तिक ग्राफिक चिन्हे संख्यांमध्ये रूपांतरित करा. हे गणितीय ऑपरेशन नाही.

4. परिणामी संख्या जोडा. आता हे गणित आहे.

12345 या संख्येच्या अंकांची बेरीज 15 आहे. हे गणितज्ञ वापरत असलेल्या शमनांनी शिकवलेले "कटिंग आणि शिवणकाम" अभ्यासक्रम आहेत. पण एवढेच नाही.

गणिताच्या दृष्टिकोनातून, आपण कोणत्या संख्या प्रणालीमध्ये संख्या लिहितो हे महत्त्वाचे नाही. तर, मध्ये विविध प्रणालीकॅल्क्युलसमध्ये, एकाच संख्येच्या अंकांची बेरीज वेगळी असेल. गणितामध्ये, संख्या प्रणाली क्रमांकाच्या उजवीकडे सबस्क्रिप्ट म्हणून दर्शविली जाते. सह मोठ्या संख्येने 12345 मला माझे डोके फसवायचे नाही, बद्दलच्या लेखातील 26 क्रमांक पाहू या. ही संख्या बायनरी, ऑक्टल, डेसिमल आणि हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टममध्ये लिहू. आम्ही प्रत्येक पाऊल सूक्ष्मदर्शकाखाली पाहणार नाही; आम्ही ते आधीच केले आहे. चला निकाल पाहूया.

तुम्ही बघू शकता, वेगवेगळ्या संख्या प्रणालींमध्ये एकाच संख्येच्या अंकांची बेरीज वेगळी असते. या निकालाचा गणिताशी काहीही संबंध नाही. जर तुम्ही मीटर आणि सेंटीमीटरमध्ये आयताचे क्षेत्रफळ निर्धारित केले तर तुम्हाला पूर्णपणे भिन्न परिणाम मिळतील.

सर्व संख्या प्रणालींमध्ये शून्य एकसारखे दिसते आणि त्यात अंकांची बेरीज नसते. या वस्तुस्थितीच्या बाजूने हा आणखी एक युक्तिवाद आहे. गणितज्ञांसाठी प्रश्न: गणितात संख्या नसलेली गोष्ट कशी असते? काय, गणितज्ञांसाठी संख्यांशिवाय काहीही अस्तित्वात नाही? मी शमनसाठी याची परवानगी देऊ शकतो, परंतु शास्त्रज्ञांसाठी नाही. वास्तविकता केवळ आकड्यांबद्दल नाही.

मिळालेला निकाल हा पुरावा मानला पाहिजे की संख्या प्रणाली संख्यांच्या मोजमापाची एकके आहेत. शेवटी, आम्ही मोजमापाच्या वेगवेगळ्या युनिट्ससह संख्यांची तुलना करू शकत नाही. जर एकाच प्रमाणाच्या मापनाच्या भिन्न एककांसह समान क्रियांची तुलना केल्यानंतर भिन्न परिणाम मिळतात, तर याचा गणिताशी काहीही संबंध नाही.

खरे गणित म्हणजे काय? हे असे होते जेव्हा गणितीय ऑपरेशनचे परिणाम संख्येच्या आकारावर, मोजण्याचे एकक वापरले जाते आणि ही क्रिया कोण करते यावर अवलंबून नसते.

अरेरे! हे महिलांचे स्वच्छतागृह नाही का?
- तरूणी! ही एक प्रयोगशाळा आहे जी आत्म्यांच्या स्वर्गारोहणाच्या वेळी त्यांच्या अपवित्र पवित्रतेच्या अभ्यासासाठी आहे! हॅलो वर आणि बाण वर. आणखी कोणते शौचालय?

स्त्री... वरचा प्रभामंडल आणि खाली बाण नर आहेत.

डिझाईन कलेचे असे काम दिवसातून अनेक वेळा डोळ्यांसमोर तरळत असेल,

मग तुम्हाला तुमच्या कारमध्ये अचानक एक विचित्र चिन्ह दिसणे हे आश्चर्यकारक नाही:

व्यक्तिशः, मी लूप करणाऱ्या व्यक्तीमध्ये (एक चित्र) उणे चार अंश पाहण्याचा प्रयत्न करतो (अनेक चित्रांची रचना: एक वजा चिन्ह, क्रमांक चार, पदवीचे पद). आणि मला वाटत नाही की ही मुलगी मूर्ख आहे जिला भौतिकशास्त्र माहित नाही. तिच्याकडे फक्त ग्राफिक प्रतिमा पाहण्याचा एक मजबूत स्टिरिओटाइप आहे. आणि गणितज्ञ आपल्याला हे सर्व वेळ शिकवतात. येथे एक उदाहरण आहे.

1A "वजा चार अंश" किंवा "एक a" नाही. हे "पोपिंग मॅन" किंवा हेक्साडेसिमल नोटेशनमधील "सव्वीस" संख्या आहे. जे लोक या नंबर सिस्टममध्ये सतत काम करतात त्यांना आपोआप एक संख्या आणि एक अक्षर एक ग्राफिक चिन्ह म्हणून समजते.