Persamaan kuasa dan ungkapan bagaimana untuk menyelesaikan. Kuliah: “Kaedah untuk menyelesaikan persamaan eksponen

Rumah / Psikologi

Dalam artikel ini anda akan berkenalan dengan semua jenis persamaan eksponen dan algoritma untuk menyelesaikannya, belajar mengenali jenisnya persamaan eksponen, yang anda perlu selesaikan, dan gunakan kaedah yang sesuai untuk menyelesaikannya. Penyelesaian terperinci contoh persamaan eksponen Anda boleh menonton setiap jenis dalam VIDEO PELAJARAN yang sepadan.

Persamaan eksponen ialah persamaan di mana yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen.

Sebelum anda mula menyelesaikan persamaan eksponen, adalah berguna untuk melakukan beberapa perkara tindakan awal , yang boleh memudahkan proses menyelesaikannya dengan ketara. Ini adalah langkah-langkahnya:

1. Bahagikan semua asas kuasa kepada faktor perdana.

2. Kemukakan akar sebagai ijazah.

3. Mengemukakan pecahan perpuluhan sebagai pecahan biasa.

4. Tulis nombor bercampur sebagai pecahan tak wajar.

Anda akan menyedari faedah tindakan ini dalam proses menyelesaikan persamaan.

Mari kita lihat jenis utama persamaan eksponen dan algoritma untuk menyelesaikannya.

1. Persamaan bentuk

Persamaan ini bersamaan dengan persamaan

Tonton penyelesaian kepada persamaan dalam VIDEO TUTORIAL ini jenis ini.

2. Persamaan bentuk

Dalam persamaan jenis ini:

b) pekali untuk yang tidak diketahui dalam eksponen adalah sama.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, anda perlu memfaktorkan faktor terkecil.

Contoh penyelesaian persamaan jenis ini:

tonton VIDEO TUTORIAL.

3. Persamaan bentuk

Persamaan jenis ini berbeza dalam hal itu

a) semua darjah mempunyai asas yang sama

b) pekali bagi yang tidak diketahui dalam eksponen adalah berbeza.

Persamaan jenis ini diselesaikan menggunakan perubahan pembolehubah. Sebelum memperkenalkan penggantian, adalah dinasihatkan untuk menyingkirkan istilah percuma dalam eksponen. (, , dll)

Tonton VIDEO TUTORIAL untuk menyelesaikan jenis persamaan ini:

4. Persamaan homogen baik hati

Ciri-ciri tersendiri persamaan homogen:

a) semua monomial mempunyai darjah yang sama,

b) sebutan bebas ialah sifar,

c) persamaan mengandungi kuasa dengan dua asas yang berbeza.

Persamaan homogen diselesaikan menggunakan algoritma yang serupa.

Untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan (boleh dibahagikan dengan atau dengan)

Perhatian! Apabila membahagikan sisi kanan dan kiri persamaan dengan ungkapan yang mengandungi yang tidak diketahui, anda boleh kehilangan punca. Oleh itu, adalah perlu untuk menyemak sama ada punca-punca ungkapan yang kita bahagikan kedua-dua belah persamaan adalah punca-punca persamaan asal.

Dalam kes kita, kerana ungkapan itu bukan sifar untuk sebarang nilai yang tidak diketahui, kita boleh membahagikannya tanpa rasa takut. Mari bahagikan bahagian kiri persamaan dengan istilah ungkapan ini dengan sebutan. Kami mendapat:

Mari kita kurangkan pengangka dan penyebut bagi pecahan kedua dan ketiga:

Mari perkenalkan pengganti:

Selain itu title="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Kami dapat persamaan kuadratik:

Mari selesaikan persamaan kuadratik, cari nilai yang memenuhi syarat title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Tonton VIDEO TUTORIAL penyelesaian terperinci persamaan homogen:

5. Persamaan bentuk

Apabila menyelesaikan persamaan ini, kami akan meneruskan daripada fakta bahawa title="f(x)>0">!}

Kesamaan awal dipenuhi dalam dua kes:

1. Jika, kerana 1 kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan 1,

2. Jika dua syarat dipenuhi:

Title="delim(lbrace)(matriks(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Tonton VIDEO TUTORIAL untuk penyelesaian terperinci kepada persamaan

Persamaan eksponen. Seperti yang anda ketahui, Peperiksaan Negeri Bersepadu merangkumi persamaan mudah. Kami telah mempertimbangkan beberapa - ini adalah logaritma, trigonometri, rasional. Berikut ialah persamaan eksponen.

Dalam artikel baru-baru ini kami bekerja dengan ungkapan eksponen, ia akan berguna. Persamaan itu sendiri diselesaikan dengan mudah dan cepat. Anda hanya perlu mengetahui sifat eksponen dan... Mengenai iniselanjutnya.

Mari kita senaraikan sifat eksponen:

Kuasa sifar mana-mana nombor adalah sama dengan satu.

Akibat daripada harta ini:

Sedikit lagi teori.

Persamaan eksponen ialah persamaan yang mengandungi pembolehubah dalam eksponen, iaitu, ia adalah persamaan bentuk:

f(x) ungkapan yang mengandungi pembolehubah

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan eksponen

1. Hasil daripada penjelmaan, persamaan boleh dikurangkan kepada bentuk:

Kemudian kami menggunakan harta:

2. Setelah mendapat persamaan bentuk a f (x) = b menggunakan definisi logaritma, kita dapat:

3. Hasil daripada penjelmaan, anda boleh mendapatkan persamaan bentuk:

Logaritma digunakan:

Nyatakan dan cari x.

Dalam tugasan Pilihan Peperiksaan Negeri Bersatu Ia akan mencukupi untuk menggunakan kaedah pertama.

Iaitu, adalah perlu untuk mewakili sisi kiri dan kanan dalam bentuk kuasa dengan asas yang sama, dan kemudian kita menyamakan eksponen dan menyelesaikan persamaan linear biasa.

Pertimbangkan persamaan:

Cari punca persamaan 4 1–2x = 64.

Ia adalah perlu untuk memastikan bahawa di sebelah kiri dan bahagian yang betul terdapat ungkapan demonstratif dengan satu asas. Kita boleh mewakili 64 sebagai 4 kepada kuasa 3. Kita dapat:

4 1–2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Peperiksaan:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Jawapan: –1

Cari punca bagi persamaan 3 x–18 = 1/9.

Adalah diketahui bahawa

Jadi 3 x-18 = 3 -2

Asasnya adalah sama, kita boleh menyamakan penunjuk:

x – 18 = – 2

x = 16

Peperiksaan:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Jawapan: 16

Cari punca persamaan:

Mari kita wakili pecahan 1/64 sebagai satu perempat kepada kuasa ketiga:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Peperiksaan:

Jawapan: 11

Cari punca persamaan:

Mari kita bayangkan 1/3 sebagai 3 –1, dan 9 sebagai 3 kuasa dua, kita dapat:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Sekarang kita boleh menyamakan penunjuk:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Peperiksaan:

Jawapan: 5

26654. Cari punca persamaan:

Penyelesaian:

Jawapan: 8.75

Sememangnya, walau setinggi mana pun kita naikkan nombor positif a, kita tidak boleh mendapatkan nombor negatif dalam apa cara sekalipun.

Sebarang persamaan eksponen selepas penjelmaan yang sesuai dikurangkan kepada menyelesaikan satu atau lebih persamaan mudah.Dalam bahagian ini kita juga akan melihat untuk menyelesaikan beberapa persamaan, jangan ketinggalan!Itu sahaja. Semoga berjaya kepada anda!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

Persamaan eksponen ialah persamaan yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen. Persamaan eksponen termudah mempunyai bentuk: a x = a b, di mana a> 0, a 1, x tidak diketahui.

Sifat utama kuasa yang mengubah persamaan eksponen: a>0, b>0.

Apabila menyelesaikan persamaan eksponen, mereka juga menggunakan sifat-sifat berikut fungsi eksponen: y = a x, a > 0, a1:

Untuk mewakili nombor sebagai kuasa, gunakan asas identiti logaritma: b = , a > 0, a1, b > 0.

Masalah dan ujian mengenai topik "Persamaan Eksponen"

Persamaan eksponen
Pelajaran: 4 Tugasan: 21 Ujian: 1
Persamaan eksponen - Topik Penting kerana mengulang Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik
Tugasan: 14
Sistem persamaan eksponen dan logaritma - Demonstratif dan fungsi logaritma darjah 11
Pelajaran: 1 Tugasan: 15 Ujian: 1
§2.1. Menyelesaikan persamaan eksponen
Pelajaran: 1 Tugasan: 27
§7 Persamaan eksponen dan logaritma dan ketaksamaan - Bahagian 5. Fungsi eksponen dan logaritma, gred 10
Pelajaran: 1 Tugasan: 17

Untuk berjaya menyelesaikan persamaan eksponen, anda mesti mengetahui sifat asas kuasa, sifat fungsi eksponen, dan identiti logaritma asas.

Apabila menyelesaikan persamaan eksponen, dua kaedah utama digunakan:

peralihan daripada persamaan a f(x) = a g(x) kepada persamaan f(x) = g(x);
pengenalan baris baru.

Contoh.

1. Persamaan dikurangkan kepada yang paling mudah. Mereka diselesaikan dengan mengurangkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa dengan asas yang sama.

3 x = 9 x – 2.

Penyelesaian:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Jawapan: 4.

2. Persamaan diselesaikan dengan mengambil faktor sepunya daripada kurungan.

Penyelesaian:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Jawapan: 3.

3. Persamaan diselesaikan menggunakan perubahan pembolehubah.

Penyelesaian:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Kami menandakan 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Persamaan tidak mempunyai penyelesaian, kerana 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Jawapan: log 2 3.

4. Persamaan yang mengandungi kuasa dengan dua asas yang berbeza (tidak boleh dikurangkan antara satu sama lain).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Jawapan: 2.

5. Persamaan yang homogen berkenaan dengan a x dan b x.

Pandangan umum: .

9 x + 4 x = 2.5 × 6 x.

Penyelesaian:

3 2x – 2.5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
Mari kita nyatakan (3/2) x = y.
y 2 – 2.5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Jawapan: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Apakah persamaan eksponen? Contoh.

Jadi, persamaan eksponen... Pameran unik baharu dalam pameran umum kami tentang pelbagai jenis persamaan!) Seperti yang hampir selalu berlaku, kata kunci mana-mana istilah matematik baharu ialah kata sifat sepadan yang mencirikannya. Jadi di sini. Kata kunci dalam istilah "persamaan eksponen" ialah perkataan "indikatif". Apakah maksudnya? Perkataan ini bermaksud yang tidak diketahui (x) terletak dari segi mana-mana darjah. Dan hanya di sana! Ini amat penting.

Sebagai contoh, persamaan mudah ini:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Atau bahkan raksasa ini:

2 sin x = 0.5

Sila beri perhatian kepada satu perkara dengan segera perkara penting: V sebab darjah (bawah) - nombor sahaja. Tetapi dalam penunjuk darjah (di atas) - pelbagai jenis ungkapan dengan X. Sama sekali.) Segala-galanya daripada persamaan tertentu bergantung. Jika, secara tiba-tiba, x muncul di tempat lain dalam persamaan, sebagai tambahan kepada penunjuk (katakan, 3 x = 18 + x 2), maka persamaan sedemikian sudah menjadi persamaan jenis campuran . Persamaan sedemikian tidak mempunyai peraturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Oleh itu, kami tidak akan mempertimbangkan mereka dalam pelajaran ini. Untuk menggembirakan pelajar.) Di sini kita akan mempertimbangkan hanya persamaan eksponen dalam bentuk "tulen" mereka.

Secara umumnya, tidak semua dan tidak selalu walaupun persamaan eksponen tulen boleh diselesaikan dengan jelas. Tetapi di antara semua jenis persamaan eksponen yang kaya ada jenis tertentu, yang boleh dan harus diselesaikan. Jenis persamaan inilah yang akan kita pertimbangkan. Dan kami pasti akan menyelesaikan contoh-contohnya.) Jadi mari kita selesa dan pergi! Seperti dalam "penembak" komputer, perjalanan kami akan berlaku melalui tahap.) Dari asas kepada mudah, dari mudah kepada sederhana dan dari sederhana kepada kompleks. Sepanjang perjalanan, tahap rahsia juga akan menanti anda - teknik dan kaedah untuk menyelesaikan contoh bukan standard. Yang paling anda tidak baca buku teks sekolah... Nah, pada akhirnya, sudah tentu, bos terakhir menanti anda dalam bentuk kerja rumah.)

Tahap 0. Apakah persamaan eksponen termudah? Menyelesaikan persamaan eksponen mudah.

Mula-mula, mari kita lihat beberapa perkara asas yang jujur. Anda mesti bermula di suatu tempat, bukan? Sebagai contoh, persamaan ini:

2 x = 2 2

Walaupun tanpa sebarang teori, mengikut logik mudah dan akal fikiran Sudah jelas bahawa x = 2. Tidak ada cara lain, bukan? Tiada makna X lain yang sesuai... Dan sekarang mari kita alihkan perhatian kita kepada rekod keputusan persamaan eksponen yang keren ini:

2 x = 2 2

X = 2

Apa yang berlaku kepada kita? Dan perkara berikut berlaku. Kami sebenarnya mengambilnya dan... hanya membuang pangkalan yang sama (dua)! Dibuang sepenuhnya. Dan, berita baiknya ialah, kami mendapat perhatian!

Ya, memang, jika dalam persamaan eksponen terdapat kiri dan kanan serupa nombor dalam sebarang kuasa, maka nombor ini boleh dibuang dan hanya menyamakan eksponen. Matematik membenarkan.) Dan kemudian anda boleh bekerja secara berasingan dengan penunjuk dan menyelesaikan persamaan yang lebih mudah. Hebat kan?

Di sini kita pergi idea utama penyelesaian kepada mana-mana (ya, betul-betul mana-mana!) persamaan eksponen: menggunakan penjelmaan yang sama, adalah perlu untuk memastikan bahawa sisi kiri dan kanan persamaan adalah serupa nombor asas dalam pelbagai kuasa. Dan kemudian anda boleh mengalih keluar pangkalan yang sama dengan selamat dan menyamakan eksponen. Dan bekerja dengan persamaan yang lebih mudah.

Sekarang mari kita ingat peraturan besi: adalah mungkin untuk membuang asas yang sama jika dan hanya jika nombor di sebelah kiri dan kanan persamaan mempunyai nombor asas dalam pengasingan yang indah.

Apakah maksudnya, dalam pengasingan yang indah? Ini bermakna tanpa sebarang jiran dan pekali. Biar saya terangkan.

Sebagai contoh, dalam Pers.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Tiga tidak boleh dikeluarkan! kenapa? Kerana di sebelah kiri kita mempunyai bukan sahaja tiga kesepian untuk ijazah, tetapi kerja 3·3 x-5 . Tiga tambahan mengganggu: pekali, anda faham.)

Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai persamaan

5 3 x = 5 2 x +5 x

Di sini juga, semua pangkalan adalah sama - lima. Tetapi di sebelah kanan kita tidak mempunyai satu kuasa lima: terdapat sejumlah kuasa!

Ringkasnya, kita mempunyai hak untuk membuang asas yang sama hanya apabila persamaan eksponen kita kelihatan seperti ini dan hanya seperti ini:

af (x) = a g (x)

Persamaan eksponen jenis ini dipanggil yang paling mudah. Atau secara saintifik, berkanun . Dan tidak kira apa persamaan berbelit yang ada di hadapan kita, kita akan, satu cara atau yang lain, mengurangkannya kepada bentuk yang paling mudah (kanonik) ini dengan tepat. Atau, dalam beberapa kes, untuk keseluruhan persamaan jenis ini. Kemudian persamaan termudah kita boleh ditulis sebagai pandangan umum tulis semula seperti ini:

F(x) = g(x)

Itu sahaja. Ini akan menjadi penukaran yang setara. Dalam kes ini, f(x) dan g(x) boleh menjadi sebarang ungkapan dengan x. apapun.

Mungkin pelajar yang sangat ingin tahu akan tertanya-tanya: mengapa di bumi kita dengan mudah dan mudah membuang asas yang sama di kiri dan kanan dan menyamakan eksponen? Intuisi adalah gerak hati, tetapi bagaimana jika, dalam beberapa persamaan dan atas sebab tertentu, pendekatan ini ternyata tidak betul? Adakah sentiasa sah untuk membuang alasan yang sama? Malangnya, untuk jawapan matematik yang ketat untuk ini soalan yang menarik anda perlu menyelam dengan agak mendalam dan serius teori umum tingkah laku peranti dan fungsi. Dan sedikit lebih khusus - dalam fenomena itu monotoni yang ketat. Khususnya, monotoni yang ketat fungsi eksponeny= a x. Oleh kerana fungsi eksponen dan sifatnya yang mendasari penyelesaian persamaan eksponen, ya.) Jawapan terperinci untuk soalan ini akan diberikan dalam pelajaran khas berasingan yang didedikasikan untuk menyelesaikan persamaan bukan standard yang kompleks menggunakan kemonotonan fungsi yang berbeza.)

Menjelaskan perkara ini secara terperinci sekarang hanya akan memeranjatkan minda pelajar biasa dan menakutkannya lebih awal dengan teori yang kering dan berat. Saya tidak akan melakukan ini.) Kerana utama kami pada masa ini tugas - belajar menyelesaikan persamaan eksponen! Yang paling mudah! Oleh itu, jangan bimbang dan berani membuang alasan yang sama. ini boleh, ambil kata saya untuk itu!) Dan kemudian kita selesaikan persamaan setara f(x) = g(x). Sebagai peraturan, lebih mudah daripada eksponen asal.

Sudah tentu, diandaikan bahawa orang sudah tahu cara menyelesaikan sekurang-kurangnya , dan persamaan, tanpa x dalam eksponen.) Bagi mereka yang masih tidak tahu caranya, jangan ragu untuk menutup halaman ini, ikuti pautan yang berkaitan dan isikan jurang lama. Jika tidak, anda akan mengalami masa yang sukar, ya...

Saya tidak bercakap tentang persamaan yang tidak rasional, trigonometri dan lain-lain yang kejam yang juga boleh muncul dalam proses menghapuskan asas. Tetapi jangan risau, kami tidak akan mempertimbangkan kekejaman langsung dari segi darjah buat masa ini: ia terlalu awal. Kami akan melatih hanya pada persamaan yang paling mudah.)

Sekarang mari kita lihat persamaan yang memerlukan beberapa usaha tambahan untuk mengurangkannya kepada yang paling mudah. Demi kecemerlangan, mari kita panggil mereka persamaan eksponen mudah. Jadi mari kita bergerak ke peringkat seterusnya!

Tahap 1. Persamaan eksponen mudah. Jom kenali ijazah! Penunjuk semulajadi.

Peraturan utama dalam menyelesaikan sebarang persamaan eksponen ialah peraturan untuk berurusan dengan ijazah. Tanpa pengetahuan dan kemahiran ini tiada apa yang akan berhasil. Aduhai. Jadi, jika ada masalah dengan ijazah, mula-mula anda dialu-alukan. Di samping itu, kita juga akan memerlukan . Transformasi ini (dua daripadanya!) adalah asas untuk menyelesaikan semua persamaan matematik secara umum. Dan bukan sahaja yang demonstratif. Jadi, sesiapa yang terlupa, lihat juga pautan: Saya tidak meletakkannya di sana sahaja.

Tetapi operasi dengan kuasa dan transformasi identiti sahaja tidak mencukupi. Pemerhatian peribadi dan kepintaran juga diperlukan. Kita perlukan alasan yang sama, bukan? Oleh itu, kami meneliti contoh dan mencarinya dalam bentuk yang jelas atau menyamar!

Sebagai contoh, persamaan ini:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Tengok dulu alasan. Mereka... berbeza! Tiga dan dua puluh tujuh. Tetapi terlalu awal untuk panik dan putus asa. Sudah tiba masanya untuk mengingati itu

27 = 3 3

Nombor 3 dan 27 adalah saudara mengikut darjah! Dan yang rapat.) Oleh itu, kita ada setiap hak tuliskan:

27 x +2 = (3 3) x+2

Sekarang mari kita sambungkan pengetahuan kita tentang tindakan dengan darjah(dan saya memberi amaran kepada anda!). Terdapat formula yang sangat berguna di sana:

(a m) n = a mn

Jika anda kini melaksanakannya, ia akan berjaya:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Contoh asal kini kelihatan seperti ini:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Hebat, asas darjah telah mendatar. Itu yang kami mahukan. Separuh pertempuran telah selesai.) Sekarang kita melancarkan transformasi identiti asas - gerakkan 3 3(x +2) ke kanan. Tiada siapa yang membatalkan operasi asas matematik, ya.) Kami mendapat:

3 2 x = 3 3(x +2)

Apakah yang diberikan oleh persamaan jenis ini kepada kita? Dan hakikat bahawa sekarang persamaan kita dikurangkan kepada bentuk kanonik: di kiri dan kanan terdapat nombor yang sama (tiga) dalam kuasa. Lebih-lebih lagi, kedua-duanya berada dalam pengasingan yang indah. Jangan ragu untuk mengeluarkan tiga kali ganda dan dapatkan:

2x = 3(x+2)

Kami menyelesaikan ini dan mendapatkan:

X = -6

Itu sahaja. Ini adalah jawapan yang betul.)

Sekarang mari kita fikirkan penyelesaiannya. Apa yang menyelamatkan kita dalam contoh ini? Pengetahuan tentang kuasa tiga menyelamatkan kami. Bagaimana sebenarnya? Kami dikenalpasti nombor 27 mengandungi tiga yang disulitkan! Silap mata ini (penyulitan asas yang sama di bawah nombor yang berbeza) adalah salah satu yang paling popular dalam persamaan eksponen! Melainkan ia yang paling popular. Ya, dan dengan cara yang sama, dengan cara itu. Inilah sebabnya mengapa pemerhatian dan keupayaan untuk mengenali kuasa nombor lain dalam nombor adalah sangat penting dalam persamaan eksponen!

Nasihat praktikal:

Anda perlu mengetahui kuasa nombor popular. Di muka!

Sudah tentu, sesiapa sahaja boleh menaikkan dua kepada kuasa ketujuh atau tiga kepada kuasa kelima. Bukan dalam fikiran saya, tetapi sekurang-kurangnya dalam draf. Tetapi dalam persamaan eksponen, lebih kerap adalah perlu untuk tidak menaikkan kepada kuasa, tetapi, sebaliknya, untuk mengetahui nombor dan kuasa apa yang tersembunyi di sebalik nombor itu, katakan, 128 atau 243. Dan ini lebih rumit. daripada menaikkan mudah, anda akan bersetuju. Rasakan perbezaannya, seperti yang mereka katakan!

Memandangkan keupayaan untuk mengenali darjah secara peribadi akan berguna bukan sahaja pada peringkat ini, tetapi juga pada peringkat seterusnya, berikut adalah tugas kecil untuk anda:

Tentukan kuasa dan nombor apa nombor itu:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Jawapan (secara rawak, sudah tentu):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ya, ya! Jangan terkejut bahawa terdapat lebih banyak jawapan daripada tugas. Contohnya, 2 8, 4 4 dan 16 2 semuanya 256.

Tahap 2. Persamaan eksponen mudah. Mari kita kenali darjah! Penunjuk negatif dan pecahan.

Pada peringkat ini kita sudah menggunakan pengetahuan tentang ijazah sepenuhnya. Iaitu, kita terlibat dalam perkara ini proses yang mengujakan eksponen negatif dan pecahan! Ya, ya! Kita perlu meningkatkan kuasa kita, bukan?

Sebagai contoh, persamaan yang mengerikan ini:

Sekali lagi, pandangan pertama adalah pada asas. Sebabnya berbeza! Dan kali ini mereka tidak jauh sama antara satu sama lain! 5 dan 0.04... Dan untuk menghapuskan asas, asas yang sama diperlukan... Apa yang perlu dilakukan?

Tidak mengapa! Sebenarnya, semuanya adalah sama, cuma sambungan antara lima dan 0.04 tidak kelihatan secara visual. Bagaimana kita boleh keluar? Mari kita beralih kepada nombor 0.04 sebagai pecahan biasa! Dan kemudian, anda lihat, semuanya akan berjalan lancar.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wah! Ternyata 0.04 ialah 1/25! Nah, siapa sangka!)

Jadi bagaimana? Adakah kini lebih mudah untuk melihat kaitan antara nombor 5 dan 1/25? itu sahaja...

Dan kini mengikut peraturan tindakan dengan darjah dengan penunjuk negatif Anda boleh menulis dengan tangan yang stabil:

itu hebat. Jadi kami sampai ke pangkalan yang sama - lima. Sekarang kita gantikan nombor yang menyusahkan 0.04 dalam persamaan dengan 5 -2 dan dapatkan:

Sekali lagi, mengikut peraturan operasi dengan darjah, kita kini boleh menulis:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan anda (sekiranya sesiapa tidak tahu) bahawa peraturan asas untuk berurusan dengan ijazah adalah sah untuk mana-mana penunjuk! Termasuk untuk yang negatif.) Jadi, sila ambil dan darabkan penunjuk (-2) dan (x-1) mengikut peraturan yang sesuai. Persamaan kami menjadi lebih baik dan lebih baik:

Semua! Selain daripada berlima yang kesepian, tiada apa-apa lagi dalam kuasa di kiri dan kanan. Persamaan dikurangkan kepada bentuk kanonik. Dan kemudian - sepanjang trek knurled. Kami mengeluarkan lima dan menyamakan penunjuk:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Contohnya hampir selesai. Yang tinggal hanyalah matematik sekolah menengah rendah - buka (betul!) kurungan dan kumpulkan segala-galanya di sebelah kiri:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Kami menyelesaikannya dan mendapatkan dua punca:

x 1 = 1; x 2 = 3

Itu sahaja.)

Sekarang mari kita fikirkan semula. DALAM dalam contoh ini kami sekali lagi terpaksa mengenali nombor yang sama kepada darjah yang berbeza! Iaitu, untuk melihat lima yang disulitkan dalam nombor 0.04. Dan kali ini - masuk darjah negatif! Bagaimana kami melakukan ini? Terus sahaja - tidak mungkin. Tetapi selepas peralihan dari perpuluhan 0.04 kepada pecahan biasa 1/25 dan itu sahaja! Dan kemudian keseluruhan keputusan berjalan seperti jam.)

Oleh itu, satu lagi nasihat praktikal hijau.

Jika persamaan eksponen mengandungi pecahan perpuluhan, maka kita beralih daripada pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa. DALAM pecahan biasa Lebih mudah untuk mengenali kuasa banyak nombor popular! Selepas pengiktirafan, kita beralih daripada pecahan kepada kuasa dengan eksponen negatif.

Perlu diingat bahawa helah ini berlaku sangat, sangat kerap dalam persamaan eksponen! Tetapi orang itu tidak berada dalam subjek. Dia melihat, sebagai contoh, pada nombor 32 dan 0.125 dan menjadi kecewa. Tanpa dia sedar, ini adalah satu dan deuce yang sama, hanya dalam darjah yang berbeza...Tetapi anda sudah pun mengenai topik!)

Selesaikan persamaan:

Dalam! Ia kelihatan seperti seram senyap... Namun, penampilan adalah menipu. Ini adalah persamaan eksponen yang paling mudah, walaupun ia menakutkan penampilan. Dan sekarang saya akan menunjukkannya kepada anda.)

Pertama, mari kita lihat semua nombor dalam asas dan pekali. Mereka, tentu saja, berbeza, ya. Tetapi kami tetap akan mengambil risiko dan cuba membuatnya serupa! Mari cuba sampai ke nombor yang sama dalam kuasa yang berbeza. Lebih-lebih lagi, sebaik-baiknya, bilangannya adalah sekecil mungkin. Jadi, mari kita mulakan penyahkodan!

Nah, dengan keempat-empat semuanya jelas - ia adalah 2 2. Jadi, itu sudah sesuatu.)

Dengan pecahan 0.25 - ia masih tidak jelas. Perlu semak. Mari gunakan nasihat praktikal - beralih daripada pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa:

0,25 = 25/100 = 1/4

Jauh lebih baik sudah. Kerana sekarang jelas kelihatan bahawa 1/4 adalah 2 -2. Hebat, dan nombor 0.25 juga serupa dengan dua.)

Setakat ini baik. Tetapi bilangan yang paling teruk kekal - punca kuasa dua daripada dua! Apa yang perlu dilakukan dengan lada ini? Bolehkah ia juga diwakili sebagai kuasa dua? Dan siapa tahu...

Baiklah, mari selami khazanah ilmu kita tentang ijazah sekali lagi! Kali ini kami menambah pengetahuan kami tentang akar. Dari kursus gred 9, anda dan saya sepatutnya mengetahui bahawa mana-mana akar, jika dikehendaki, sentiasa boleh ditukar menjadi ijazah dengan penunjuk pecahan.

seperti ini:

Dalam kes kami:

Wah! Ternyata punca kuasa dua bagi dua ialah 2 1/2. Itu sahaja!

itu hebat! Semua nombor kami yang menyusahkan sebenarnya ternyata menjadi dua yang disulitkan.) Saya tidak membantah, di suatu tempat yang disulitkan dengan sangat canggih. Tetapi kami juga meningkatkan profesionalisme kami dalam menyelesaikan sifir sedemikian! Dan kemudian semuanya sudah jelas. Dalam persamaan kami, kami menggantikan nombor 4, 0.25 dan punca dua dengan kuasa dua:

Semua! Asas semua darjah dalam contoh menjadi sama - dua. Dan kini tindakan standard dengan darjah digunakan:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Untuk sebelah kiri anda mendapat:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Untuk sebelah kanan ia akan menjadi:

Dan sekarang persamaan jahat kita kelihatan seperti ini:

Bagi mereka yang tidak mengetahui dengan tepat bagaimana persamaan ini terhasil, maka persoalannya di sini bukanlah mengenai persamaan eksponen. Persoalannya ialah tentang tindakan dengan darjah. Saya meminta anda mengulanginya dengan segera kepada mereka yang mempunyai masalah!

Inilah garisan penamat! Bentuk kanonik persamaan eksponen telah diperoleh! Jadi bagaimana? Adakah saya telah meyakinkan anda bahawa semuanya tidak begitu menakutkan? ;) Kami mengeluarkan kedua-duanya dan menyamakan penunjuk:

Yang tinggal hanyalah menyelesaikan persamaan linear ini. Bagaimana? Dengan bantuan transformasi yang sama, sudah tentu.) Tentukan perkara yang sedang berlaku! Darab kedua-dua belah dengan dua (untuk mengeluarkan pecahan 3/2), gerakkan istilah dengan X ke kiri, tanpa X ke kanan, bawa yang serupa, kira - dan anda akan gembira!

Segala-galanya sepatutnya menjadi indah:

X=4

Sekarang mari kita fikirkan penyelesaiannya sekali lagi. Dalam contoh ini, kami dibantu oleh peralihan daripada punca kuasa dua Kepada darjah dengan eksponen 1/2. Lebih-lebih lagi, hanya transformasi licik itu membantu kami mencapai pangkalan yang sama (dua) di mana-mana, yang menyelamatkan keadaan! Dan, jika bukan kerana itu, maka kita akan mempunyai setiap peluang untuk membeku selama-lamanya dan tidak pernah menghadapi contoh ini, ya...

Oleh itu, kami tidak mengabaikan nasihat praktikal berikut:

Jika persamaan eksponen mengandungi punca, maka kita beralih daripada punca kepada kuasa dengan eksponen pecahan. Selalunya hanya transformasi sedemikian menjelaskan keadaan selanjutnya.

Sudah tentu, kuasa negatif dan pecahan sudah jauh lebih kompleks daripada kuasa semula jadi. Sekurang-kurangnya dari sudut pandangan persepsi visual dan, terutamanya, pengiktirafan dari kanan ke kiri!

Adalah jelas bahawa secara langsung menaikkan, sebagai contoh, dua kepada kuasa -3 atau empat kepada kuasa -3/2 tidak begitu. masalah besar. Bagi mereka yang tahu.)

Tetapi pergi, sebagai contoh, segera menyedarinya

0,125 = 2 -3

Ataupun

Di sini, hanya amalan dan pengalaman yang kaya peraturan, ya. Dan, sudah tentu, idea yang jelas, Apakah darjah negatif dan pecahan? Dan juga - nasihat praktikal! Ya, ya, mereka yang sama hijau.) Saya berharap mereka masih akan membantu anda menavigasi dengan lebih baik pelbagai jenis darjah dan meningkatkan peluang anda untuk berjaya dengan ketara! Jadi jangan kita abaikan mereka. Saya tidak sia-sia hijau Saya menulis kadang-kadang.)

Tetapi jika anda mengenali antara satu sama lain walaupun dengan kuasa eksotik seperti negatif dan pecahan, maka keupayaan anda dalam menyelesaikan persamaan eksponen akan berkembang dengan sangat besar, dan anda akan dapat mengendalikan hampir semua jenis persamaan eksponen. Nah, jika tidak ada, maka 80 peratus daripada semua persamaan eksponen - pasti! Ya, ya, saya tidak bergurau!

Jadi, bahagian pertama kita untuk membiasakan diri dengan persamaan eksponen telah sampai ke penghujungnya. kesimpulan logik. Dan, sebagai senaman perantaraan, saya secara tradisinya mencadangkan melakukan sedikit refleksi diri.)

Tugasan 1.

Supaya kata-kata saya tentang mentafsir kuasa negatif dan pecahan tidak menjadi sia-sia, saya cadangkan bermain permainan kecil!

Ungkapkan nombor sebagai kuasa dua:

Jawapan (bercelaru):

Adakah ia berkesan? Hebat! Kemudian kami melakukan misi pertempuran - kami menyelesaikan persamaan eksponen yang paling mudah dan paling mudah!

Tugasan 2.

Selesaikan persamaan (semua jawapan adalah kucar-kacir!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Jawapan:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Adakah ia berkesan? Sesungguhnya, ia lebih mudah!

Kemudian kami menyelesaikan permainan seterusnya:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

Jawapan:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Dan contoh ini tinggal satu lagi? Hebat! Anda sedang berkembang! Kemudian berikut adalah beberapa lagi contoh untuk anda snek:

Jawapan:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Dan adakah ini diputuskan? Nah, hormat! Saya menanggalkan topi saya.) Jadi, pelajaran itu tidak sia-sia, dan peringkat kemasukan menyelesaikan persamaan eksponen boleh dianggap berjaya dikuasai. Tahap seterusnya dan persamaan yang lebih kompleks berada di hadapan! Dan teknik dan pendekatan baru. Dan contoh bukan standard. Dan kejutan baru.) Semua ini dalam pelajaran seterusnya!

Adakah sesuatu yang tidak kena? Ini bermakna bahawa kemungkinan besar masalah adalah dalam . Atau dalam. Atau kedua-duanya sekali. Saya tidak berdaya di sini. saya boleh masuk sekali lagi Saya hanya boleh mencadangkan satu perkara - jangan malas dan ikuti pautan.)

Akan diteruskan.)

peralatan:

komputer,
projektor multimedia,
skrin,
Lampiran 1(Pembentangan slaid PowerPoint) "Kaedah untuk menyelesaikan persamaan eksponen"
Lampiran 2(Menyelesaikan persamaan seperti "Tiga asas kuasa yang berbeza" dalam Word)
Lampiran 3(edaran dalam Word untuk kerja amali).
Lampiran 4(edaran dalam Word untuk kerja rumah).

Kemajuan pelajaran

1. Peringkat organisasi

mesej topik pelajaran (ditulis di papan tulis),
keperluan untuk pelajaran am dalam gred 10-11:

Peringkat menyediakan pelajar untuk pembelajaran aktif

Pengulangan

Definisi.

Persamaan eksponen ialah persamaan yang mengandungi pembolehubah dengan eksponen (jawapan pelajar).

Nota guru. Persamaan eksponen tergolong dalam kelas persamaan transendental. Nama yang tidak boleh disebut ini menunjukkan bahawa persamaan sedemikian, secara amnya, tidak boleh diselesaikan dalam bentuk formula.

Ia hanya boleh diselesaikan lebih kurang dengan kaedah berangka pada komputer. Tetapi bagaimana dengan tugas peperiksaan? Caranya ialah pemeriksa membingkai masalah dengan cara yang membolehkan penyelesaian analitikal. Dalam erti kata lain, anda boleh (dan harus!) melakukan transformasi yang sama yang mengurangkan persamaan eksponen ini kepada persamaan eksponen termudah. Persamaan termudah ini dipanggil: persamaan eksponen termudah. Ia sedang diselesaikan dengan logaritma.

Situasi dengan menyelesaikan persamaan eksponen adalah mengingatkan perjalanan melalui labirin, yang dicipta khas oleh pengarang masalah. Daripada hujah-hujah yang sangat umum ini ikuti saranan yang sangat khusus.

Untuk berjaya menyelesaikan persamaan eksponen anda mesti:

1. Bukan sahaja mengetahui secara aktif semua identiti eksponen, tetapi juga mencari set nilai pembolehubah di mana identiti ini ditakrifkan, supaya apabila menggunakan identiti ini anda tidak memperoleh akar yang tidak perlu, dan lebih-lebih lagi, tidak kehilangan penyelesaian kepada persamaan.

2. Mengetahui secara aktif semua identiti eksponen.

3. Jelas sekali, secara terperinci dan tanpa kesilapan, laksanakan transformasi matematik persamaan (memindahkan istilah dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain, tidak lupa menukar tanda, membawa pecahan kepada penyebut biasa, dsb.). Ini dipanggil budaya matematik. Pada masa yang sama, pengiraan sendiri harus dilakukan secara automatik dengan tangan, dan kepala harus memikirkan benang panduan umum penyelesaian. Transformasi mesti dibuat dengan teliti dan terperinci yang mungkin. Hanya ini akan menjamin keputusan yang betul dan bebas ralat. Dan ingat: ralat aritmetik kecil hanya boleh mencipta persamaan transendental yang, pada dasarnya, tidak boleh diselesaikan secara analitikal. Ternyata anda telah hilang arah dan telah melanggar dinding labirin.

4. Mengetahui kaedah untuk menyelesaikan masalah (iaitu, mengetahui semua laluan melalui maze penyelesaian). Untuk menavigasi dengan betul pada setiap peringkat, anda perlu (sedar atau intuitif!):

tentukan jenis persamaan;
ingat jenis yang sepadan kaedah penyelesaian tugasan.

Peringkat generalisasi dan sistematisasi bahan yang dipelajari.

Guru, bersama-sama dengan pelajar menggunakan komputer, menjalankan kajian semula semua jenis persamaan eksponen dan kaedah untuk menyelesaikannya, menyusun skim umum. (Latihan terpakai program komputer L.Ya. Borevsky "Kursus Matematik - 2000", pengarang persembahan PowerPoint ialah T.N. Kuptsova.)

nasi. 1. Rajah menunjukkan gambar rajah umum semua jenis persamaan eksponen.

Seperti yang dapat dilihat daripada rajah ini, strategi untuk menyelesaikan persamaan eksponen adalah untuk mengurangkan persamaan eksponen yang diberikan kepada persamaan, pertama sekali, dengan asas darjah yang sama , dan kemudian – dan dengan penunjuk darjah yang sama.

Setelah menerima persamaan dengan asas dan eksponen yang sama, anda menggantikan eksponen ini dengan pembolehubah baharu dan dapatkan persamaan algebra mudah (biasanya pecahan-rasional atau kuadratik) berkenaan dengan pembolehubah baharu ini.

Setelah menyelesaikan persamaan ini dan membuat penggantian terbalik, anda akan mendapat satu set persamaan eksponen mudah yang boleh diselesaikan dalam bentuk umum menggunakan logaritma.

Persamaan di mana hanya produk kuasa (separa) didapati menonjol. Menggunakan identiti eksponen, adalah mungkin untuk mengurangkan persamaan ini dengan segera kepada satu asas, khususnya, kepada persamaan eksponen yang paling mudah.

Mari kita lihat cara menyelesaikan persamaan eksponen dengan tiga asas yang berbeza.

(Jika guru mempunyai program komputer pengajaran oleh L.Ya. Borevsky "Kursus Matematik - 2000", maka secara semula jadi kami bekerja dengan cakera, jika tidak, anda boleh membuat cetakan persamaan jenis ini daripadanya untuk setiap meja, dibentangkan di bawah.)