Sifat persamaan eksponen. Apakah persamaan eksponen dan cara menyelesaikannya

Syarahan: “Kaedah penyelesaian persamaan eksponen».

1 . Persamaan eksponen.

Persamaan yang mengandungi tidak diketahui dalam eksponen dipanggil persamaan eksponen. Yang paling mudah ialah persamaan ax = b, di mana a > 0, a ≠ 1.

1) Pada b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Untuk b > 0, menggunakan kemonotonan fungsi dan teorem punca, persamaan mempunyai punca yang unik. Untuk mencarinya, b mesti diwakili dalam bentuk b = aс, аx = bс ó x = c atau x = logab.

Persamaan eksponen dengan transformasi algebra membawa kepada persamaan piawai, yang diselesaikan menggunakan kaedah berikut:

1) kaedah pengurangan kepada satu asas;

2) kaedah penilaian;

3) kaedah grafik;

4) kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu;

5) kaedah pemfaktoran;

6) petunjuk - persamaan kuasa;

7) demonstratif dengan parameter.

2 . Kaedah pengurangan kepada satu asas.

Kaedah adalah berdasarkan harta berikut darjah: jika dua darjah adalah sama dan asasnya adalah sama, maka eksponennya adalah sama, iaitu, kita mesti cuba mengurangkan persamaan kepada bentuk

Contoh. Selesaikan persamaan:

1 . 3x = 81;

Cuba kita bayangkan sebelah kanan persamaan dalam bentuk 81 = 34 dan tulis persamaan yang setara dengan 3 x = 34 asal; x = 4. Jawapan: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">dan mari kita beralih kepada persamaan untuk eksponen 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Ambil perhatian bahawa nombor 0.2, 0.04, √5 dan 25 mewakili kuasa 5. Mari kita manfaatkan ini dan ubah persamaan asal seperti berikut:

, dari mana 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, dari mana kita dapati penyelesaian x = -1. Jawapan: -1.

5. 3x = 5. Mengikut takrifan logaritma, x = log35. Jawapan: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Maka x – 4 =0, x = 4. Jawapan: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Dengan menggunakan sifat kuasa, kita tulis persamaan dalam bentuk 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 kemudian 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, iaitu x+1 = 2, x =1. Jawapan: 1.

Bank bermasalah No 1.

Selesaikan persamaan:

Ujian No 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) tiada akar
	1) 7;1 2) tiada akar 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Ujian No. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) tiada akar 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Kaedah penilaian.

Teorem akar: jika fungsi f(x) bertambah (berkurang) pada selang I, nombor a ialah sebarang nilai yang diambil oleh f pada selang ini, maka persamaan f(x) = a mempunyai punca tunggal pada selang I.

Apabila menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah anggaran, teorem ini dan sifat monotonisitas fungsi digunakan.

Contoh. Selesaikan persamaan: 1. 4x = 5 – x.

Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan sebagai 4x +x = 5.

1. jika x = 1, maka 41+1 = 5, 5 = 5 adalah benar, yang bermaksud 1 ialah punca persamaan.

Fungsi f(x) = 4x – bertambah pada R, dan g(x) = x – bertambah pada R => h(x)= f(x)+g(x) meningkat pada R, sebagai hasil tambah fungsi, maka x = 1 ialah punca tunggal bagi persamaan 4x = 5 – x. Jawapan: 1.

Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk .

1. jika x = -1, maka , 3 = 3 adalah benar, yang bermaksud x = -1 ialah punca persamaan.

2. membuktikan bahawa dia seorang sahaja.

3. Fungsi f(x) = - berkurang pada R, dan g(x) = - x – berkurang pada R=> h(x) = f(x)+g(x) – berkurang pada R, sebagai hasil tambah fungsi menurun. Ini bermakna, mengikut teorem punca, x = -1 ialah satu-satunya punca persamaan. Jawapan: -1.

Bank bermasalah No 2. Selesaikan persamaan

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu.

Kaedah ini diterangkan dalam perenggan 2.1. Pengenalan pembolehubah baru (penggantian) biasanya dilakukan selepas penjelmaan (pemudahan) istilah persamaan. Mari lihat contoh.

Contoh. R Selesaikan persamaan: 1. .

Mari kita tulis semula persamaan secara berbeza: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan secara berbeza:

Mari kita tentukan https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - tidak sesuai.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - persamaan tidak rasional. Kami ambil perhatian bahawa

Penyelesaian kepada persamaan ialah x = 2.5 ≤ 4, yang bermaksud 2.5 ialah punca persamaan. Jawapan: 2.5.

Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk dan bahagikan kedua-dua belah dengan 56x+6 ≠ 0. Kami mendapat persamaan

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" lebar="118" tinggi="56">

Punca-punca persamaan kuadratik ialah t1 = 1 dan t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Penyelesaian . Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk

dan ambil perhatian bahawa ia adalah persamaan homogen darjah kedua.

Bahagikan persamaan dengan 42x, kita dapat

Mari ganti https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Jawapan: 0; 0.5.

Bank bermasalah No 3. Selesaikan persamaan

Ujian No 3 dengan pilihan jawapan. Tahap minimum.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) tiada akar 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) tiada akar 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Ujian No 4 dengan pilihan jawapan. Peringkat am.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) tiada akar

5. Kaedah pemfaktoran.

1. Selesaikan persamaan: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Penyelesaian..png" width="169" height="69"> , dari mana

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Penyelesaian. Mari letakkan 6x daripada kurungan di sebelah kiri persamaan, dan 2x di sebelah kanan. Kami mendapat persamaan 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Oleh kerana 2x >0 untuk semua x, kita boleh membahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan 2x tanpa rasa takut kehilangan penyelesaian. Kami mendapat 3x = 1ó x = 0.

Penyelesaian. Mari kita selesaikan persamaan menggunakan kaedah pemfaktoran.

Mari kita pilih kuasa dua binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ialah punca persamaan.

Persamaan x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Ujian No 6 Peringkat umum.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponen – persamaan kuasa.

Bersebelahan dengan persamaan eksponen adalah apa yang dipanggil persamaan kuasa eksponen, iaitu, persamaan bentuk (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jika diketahui bahawa f(x)>0 dan f(x) ≠ 1, maka persamaan, seperti eksponen, diselesaikan dengan menyamakan eksponen g(x) = f(x).

Jika keadaan tidak mengecualikan kemungkinan f(x)=0 dan f(x)=1, maka kita perlu mempertimbangkan kes-kes ini apabila menyelesaikan persamaan eksponen.

1..png" width="182" height="116 src=">

Penyelesaian. x2 +2x-8 – masuk akal untuk mana-mana x, kerana ia adalah polinomial, yang bermaksud persamaan adalah bersamaan dengan jumlah keseluruhan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Persamaan eksponen dengan parameter.

1. Untuk apakah nilai parameter p persamaan 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) mempunyai satu-satunya penyelesaian?

Penyelesaian. Mari kita perkenalkan penggantian 2x = t, t > 0, maka persamaan (1) akan mengambil bentuk t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminasi persamaan (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Persamaan (1) mempunyai penyelesaian unik jika persamaan (2) mempunyai satu punca positif. Ini adalah mungkin dalam kes berikut.

1. Jika D = 0, iaitu, p = 1, maka persamaan (2) akan berbentuk t2 – 2t + 1 = 0, maka t = 1, oleh itu, persamaan (1) mempunyai penyelesaian unik x = 0.

2. Jika p1, maka 9(p – 1)2 > 0, maka persamaan (2) mempunyai dua punca berbeza t1 = p, t2 = 4p – 3. Keadaan masalah dipenuhi oleh satu set sistem

Menggantikan t1 dan t2 ke dalam sistem, kita ada

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Penyelesaian. biarlah maka persamaan (3) akan berbentuk t2 – 6t – a = 0. (4)

Mari kita cari nilai-nilai parameter a yang mana sekurang-kurangnya satu punca persamaan (4) memenuhi syarat t > 0.

Mari kita perkenalkan fungsi f(t) = t2 – 6t – a. Kes berikut adalah mungkin.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinomial kuadratik f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kes 2. Persamaan (4) mempunyai keunikan keputusan positif, Jika

D = 0, jika a = – 9, maka persamaan (4) akan berbentuk (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kes 3. Persamaan (4) mempunyai dua punca, tetapi satu daripadanya tidak memenuhi ketaksamaan t > 0. Ini mungkin jika

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Oleh itu, untuk a 0, persamaan (4) mempunyai punca positif tunggal . Kemudian persamaan (3) mempunyai penyelesaian yang unik

Apabila a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jika a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jika a = – 9, maka x = – 1;

jika a  0, maka

Mari kita bandingkan kaedah untuk menyelesaikan persamaan (1) dan (3). Ambil perhatian bahawa apabila menyelesaikan persamaan (1) telah dikurangkan kepada persamaan kuadratik, yang diskriminasinya ialah kuasa dua sempurna; Oleh itu, punca-punca persamaan (2) segera dikira menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, dan kemudian kesimpulan dibuat mengenai punca-punca ini. Persamaan (3) telah dikurangkan kepada persamaan kuadratik (4), yang diskriminasinya bukan kuasa dua sempurna, oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan (3), adalah dinasihatkan untuk menggunakan teorem pada lokasi punca trinomial kuadratik. dan model grafik. Perhatikan bahawa persamaan (4) boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta.

Mari kita selesaikan persamaan yang lebih kompleks.

Masalah 3: Selesaikan persamaan

Penyelesaian. ODZ: x1, x2.

Mari perkenalkan pengganti. Biarkan 2x = t, t > 0, maka hasil daripada penjelmaan persamaan akan berbentuk t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Mari kita cari nilai-nilai a yang mana sekurang-kurangnya satu punca persamaan (*) memenuhi syarat t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Jawapan: jika a > – 13, a  11, a  5, maka jika a – 13,

a = 11, a = 5, maka tiada punca.

Senarai sastera terpakai.

1. Guzeev asas teknologi pendidikan.

2. Teknologi Guzeev: dari penerimaan kepada falsafah.

M. “Pengarah Sekolah” No. 4, 1996

3. Guzeev dan bentuk organisasi latihan.

4. Guzeev dan amalan teknologi pendidikan integral.

M. “Pendidikan Awam”, 2001

5. Guzeev dari bentuk pelajaran - seminar.

Matematik di sekolah No. 2, 1987 ms 9 – 11.

6. Teknologi pendidikan Seleuko.

M. “Pendidikan Awam”, 1998

7. Episheva pelajar sekolah untuk belajar matematik.

M. "Pencerahan", 1990

8. Ivanova menyediakan pelajaran - bengkel.

Matematik di sekolah Bil 6, 1990 p. 37 – 40.

9. Model pengajaran matematik Smirnov.

Matematik di sekolah Bil 1, 1997 hlm. 32 – 36.

10. Tarasenko cara menganjurkan kerja amali.

Matematik di sekolah Bil 1, 1993 hlm. 27 – 28.

11. Mengenai salah satu jenis kerja individu.

Matematik di sekolah No. 2, 1994, ms 63 – 64.

12. Khazankin kreativiti warga sekolah.

Matematik di sekolah Bil 2, 1989 hlm. 10.

13. Scanavi. Penerbit, 1997

14. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis. Bahan didaktik Untuk

15. Tugas Krivonogov dalam matematik.

M. “Pertama September”, 2002

16. Cherkasov. Buku panduan untuk pelajar sekolah menengah dan

memasuki universiti. "A S T - sekolah akhbar", 2002

17. Zhevnyak bagi mereka yang memasuki universiti.

Minsk dan Persekutuan Rusia "Semakan", 1996

18. Bertulis D. Kami sedang membuat persediaan untuk peperiksaan dalam mata pelajaran matematik. M. Rolf, 1999

19. dsb. Belajar menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

M. "Akal - Pusat", 2003

20. dsb. Bahan pendidikan dan latihan untuk persediaan EGE.

M. "Intelligence - Center", 2003 dan 2004.

21 dan lain-lain pilihan CMM. Pusat Ujian Kementerian Pertahanan Persekutuan Rusia, 2002, 2003.

22. Persamaan Goldberg. "Kuantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Bagaimana untuk berjaya mengajar matematik.

Matematik, 1997 No. 3.

24 Okunev untuk pelajaran, anak-anak! M. Pendidikan, 1988

25. Yakimanskaya - pembelajaran berorientasikan di sekolah.

26. Liimets bekerja di dalam kelas. M. Pengetahuan, 1975

Pada peringkat persediaan untuk ujian akhir, pelajar sekolah menengah perlu meningkatkan pengetahuan mereka mengenai topik "Persamaan Eksponen." Pengalaman tahun-tahun lepas menunjukkan bahawa tugas-tugas sedemikian menyebabkan kesukaran tertentu untuk pelajar sekolah. Oleh itu, pelajar sekolah menengah, tanpa mengira tahap persediaan mereka, perlu menguasai teori dengan teliti, mengingati formula dan memahami prinsip menyelesaikan persamaan tersebut. Setelah belajar untuk menangani jenis tugas ini, graduan akan dapat bergantung padanya markah tinggi apabila lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.

Bersedia untuk ujian peperiksaan dengan Shkolkovo!

Apabila menyemak bahan yang telah dipelajari, ramai pelajar berhadapan dengan masalah mencari formula yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku teks sekolah tidak selalu tersedia, dan memilih maklumat yang diperlukan mengenai topik di Internet mengambil masa yang lama.

Portal pendidikan Shkolkovo menjemput pelajar untuk menggunakan pangkalan pengetahuan kami. Kami sedang melaksanakan kaedah yang sama sekali baru untuk persediaan untuk ujian akhir. Dengan belajar di laman web kami, anda akan dapat mengenal pasti jurang dalam pengetahuan dan memberi perhatian kepada tugas-tugas yang paling sukar.

Guru Shkolkovo mengumpul, menyusun dan membentangkan semua yang diperlukan berjaya disiapkan Bahan Peperiksaan Negeri Bersatu dalam bentuk yang paling mudah dan boleh diakses.

Takrif dan formula asas dibentangkan dalam bahagian "Latar belakang teori".

Untuk lebih memahami bahan, kami mengesyorkan agar anda berlatih menyelesaikan tugasan. Semak dengan teliti contoh persamaan eksponen dengan penyelesaian yang dibentangkan pada halaman ini untuk memahami algoritma pengiraan. Selepas itu, teruskan untuk melaksanakan tugas dalam bahagian "Direktori". Anda boleh mulakan dengan tugas yang paling mudah atau pergi terus ke menyelesaikan persamaan eksponen kompleks dengan beberapa yang tidak diketahui atau . Pangkalan data latihan di laman web kami sentiasa ditambah dan dikemas kini.

Contoh-contoh dengan penunjuk yang menyebabkan anda mengalami kesukaran boleh ditambahkan pada "Kegemaran". Dengan cara ini anda boleh mencari mereka dengan cepat dan membincangkan penyelesaiannya dengan guru anda.

Untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, belajar di portal Shkolkovo setiap hari!

Contoh:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen

Apabila menyelesaikan sebarang persamaan eksponen, kami berusaha untuk membawanya ke bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\), dan kemudian membuat peralihan kepada kesamaan eksponen, iaitu:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Contohnya:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Penting! Dari logik yang sama, dua keperluan untuk peralihan sedemikian mengikuti:
- nombor dalam kiri dan kanan hendaklah sama;
- darjah di kiri dan kanan mestilah "tulen", iaitu, tidak sepatutnya berlaku pendaraban, pembahagian, dsb.

Contohnya:

Untuk mengurangkan persamaan kepada bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\) dan digunakan.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponen \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Penyelesaian:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Kita tahu bahawa \(27 = 3^3\). Dengan mengambil kira ini, kami mengubah persamaan.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Dengan sifat punca \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) kita memperolehi bahawa \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Seterusnya, menggunakan sifat darjah \((a^b)^c=a^(bc)\), kita memperoleh \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Kita juga tahu bahawa \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Menggunakan ini ke sebelah kiri, kita dapat: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).

\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Sekarang ingat bahawa: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Formula ini juga boleh digunakan dalam sisi terbalik: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Kemudian \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

Menggunakan sifat \((a^b)^c=a^(bc)\) ke sebelah kanan, kita memperoleh: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)

Dan kini pangkalan kami adalah sama dan tidak ada pekali yang mengganggu, dsb. Jadi kita boleh membuat peralihan.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponen \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Penyelesaian:

\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)		Kami sekali lagi menggunakan sifat kuasa \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) dalam arah yang bertentangan.
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\)		Sekarang ingat bahawa \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\)		Menggunakan sifat darjah, kami mengubah: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		Kami melihat dengan teliti pada persamaan dan melihat bahawa penggantian \(t=2^x\) mencadangkan dirinya sendiri.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Walau bagaimanapun, kami telah menemui nilai \(t\), dan kami memerlukan \(x\). Kami kembali ke X, membuat penggantian terbalik.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Mari kita ubah persamaan kedua menggunakan sifat kuasa negatif...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		... dan kami membuat keputusan sehingga jawapannya.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Jawab : \(-1; 1\).

Persoalannya kekal - bagaimana untuk memahami bila menggunakan kaedah yang mana? Ini datang dengan pengalaman. Sehingga anda telah menyelesaikannya, gunakan pengesyoran am untuk menyelesaikannya tugasan yang kompleks- "Jika anda tidak tahu apa yang perlu dilakukan, lakukan apa yang anda boleh." Iaitu, cari bagaimana anda boleh mengubah persamaan pada dasarnya, dan cuba lakukannya - bagaimana jika apa yang berlaku? Perkara utama ialah membuat hanya transformasi berasaskan matematik.

Persamaan eksponen tanpa penyelesaian

Mari kita lihat dua lagi situasi yang sering mengelirukan pelajar:
- nombor positif kepada kuasa yang sama dengan sifar, sebagai contoh, \(2^x=0\);
- nombor positif kepada kuasa adalah sama dengan nombor negatif, sebagai contoh, \(2^x=-4\).

Mari cuba selesaikan dengan kekerasan. Jika x ialah nombor positif, maka apabila x bertambah, keseluruhan kuasa \(2^x\) hanya akan meningkat:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Juga oleh. X negatif kekal. Mengingati harta \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), kita semak:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Walaupun bilangannya menjadi lebih kecil dengan setiap langkah, ia tidak akan mencapai sifar. Jadi tahap negatif tidak menyelamatkan kami. Kami sampai pada kesimpulan yang logik:

Nombor positif ke mana-mana tahap akan kekal sebagai nombor positif.

Oleh itu, kedua-dua persamaan di atas tidak mempunyai penyelesaian.

Persamaan eksponen dengan asas yang berbeza

Dalam amalan, kadangkala kita menghadapi persamaan eksponen dengan asas berbeza yang tidak boleh dikurangkan antara satu sama lain, dan pada masa yang sama dengan eksponen yang sama. Ia kelihatan seperti ini: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), dengan \(a\) dan \(b\) ialah nombor positif.

Contohnya:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Persamaan sedemikian boleh diselesaikan dengan mudah dengan membahagikan dengan mana-mana sisi persamaan (biasanya dibahagikan dengan bahagian kanan, iaitu, dengan \(b^(f(x))\). Anda boleh membahagi dengan cara ini kerana nombor positif adalah positif kepada mana-mana kuasa (iaitu, kita tidak membahagi dengan sifar).

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Contoh . Selesaikan persamaan eksponen \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Penyelesaian:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Di sini kita tidak akan dapat mengubah lima menjadi tiga, begitu juga sebaliknya (mengikut sekurang-kurangnya, tanpa menggunakan). Ini bermakna kita tidak boleh datang ke bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Walau bagaimanapun, penunjuk adalah sama. Mari bahagikan persamaan dengan sebelah kanan, iaitu, dengan \(3^(x+7)\) (kita boleh melakukan ini kerana kita tahu bahawa tiga tidak akan menjadi sifar pada sebarang darjah).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Sekarang ingat sifat \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) dan gunakannya di sebelah kiri dalam arah yang bertentangan. Di sebelah kanan, kita hanya mengurangkan pecahan.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Nampaknya keadaan tidak menjadi lebih baik. Tetapi ingat satu lagi sifat kuasa: \(a^0=1\), dengan kata lain: "sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan \(1\)." Sebaliknya juga benar: "satu boleh diwakili sebagai sebarang nombor kepada kuasa sifar." Mari kita manfaatkan ini dengan menjadikan tapak di sebelah kanan sama seperti di sebelah kiri.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila! Mari kita singkirkan asas.
		Kami sedang menulis jawapan.

Jawab : \(-7\).

Kadangkala "kesamaan" eksponen tidak jelas, tetapi penggunaan mahir sifat eksponen menyelesaikan isu ini.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponen \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Penyelesaian:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Persamaan kelihatan sangat menyedihkan... Bukan sahaja asas tidak boleh dikurangkan kepada nombor yang sama (tujuh sama sekali tidak akan sama dengan \(\frac(1)(3)\)), tetapi juga eksponen adalah berbeza. .. Walau bagaimanapun, mari kita gunakan deuce eksponen kiri.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Mengingati sifat \((a^b)^c=a^(b·c)\) , kita ubah dari kiri: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Sekarang, mengingati sifat darjah negatif \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), kita ubah dari kanan: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Haleluya! Penunjuk adalah sama! Bertindak mengikut skema yang sudah biasa kepada kita, kita selesaikan sebelum jawapannya.

Jawab : \(2\).

Tahap kemasukan

Persamaan eksponen. Panduan Komprehensif (2019)

helo! Hari ini kita akan membincangkan dengan anda bagaimana untuk menyelesaikan persamaan yang boleh menjadi sama ada asas (dan saya harap selepas membaca artikel ini, hampir semuanya akan begitu untuk anda), dan yang biasanya diberikan "untuk pengisian". Rupa-rupanya akhirnya tertidur. Tetapi saya akan cuba melakukan segala yang mungkin supaya sekarang anda tidak menghadapi masalah apabila berhadapan dengan persamaan jenis ini. Saya tidak akan berdebar-debar lagi, tetapi saya akan segera membukanya rahsia kecil: hari ini kita akan belajar persamaan eksponen.

Sebelum beralih kepada menganalisis cara untuk menyelesaikannya, saya akan segera menggariskan untuk anda pelbagai soalan (agak kecil) yang perlu anda ulangi sebelum tergesa-gesa untuk menyerang topik ini. Jadi, untuk mendapatkan hasil terbaik, Tolong, ulangi:

Hartanah dan
Penyelesaian dan persamaan

berulang? Hebat! Maka tidaklah sukar untuk anda perhatikan bahawa punca persamaan ialah nombor. Adakah anda faham betul-betul bagaimana saya melakukannya? Adakah ia benar? Kemudian mari kita teruskan. Sekarang jawab soalan saya, apakah yang sama dengan kuasa ketiga? Anda betul sekali: . Apakah kuasa dua adalah lapan? Betul - yang ketiga! Kerana. Nah, sekarang mari cuba selesaikan masalah berikut: Biar saya darabkan nombor itu dengan sendirinya sekali dan dapatkan hasilnya. Persoalannya, berapa kali saya mendarab dengan diri saya sendiri? Anda sudah tentu boleh menyemak ini secara langsung:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( sejajar)

Kemudian anda boleh membuat kesimpulan bahawa saya mendarab dengan diri saya sendiri kali. Bagaimana lagi anda boleh menyemak ini? Begini caranya: secara langsung mengikut definisi darjah: . Tetapi, anda mesti mengakui, jika saya bertanya berapa kali dua perlu didarab dengan sendirinya untuk mendapatkan, katakan, anda akan memberitahu saya: Saya tidak akan menipu diri sendiri dan membiak dengan sendirinya sehingga saya menjadi biru di muka. Dan dia pasti betul. Kerana bagaimana anda boleh tulis semua langkah secara ringkas(dan singkatnya adalah kakak kepada bakat)

di mana - ini adalah yang sama "masa", apabila anda membiak dengan sendirinya.

Saya fikir anda tahu (dan jika anda tidak tahu, segera, ulangi darjah dengan segera!) bahawa masalah saya akan ditulis dalam bentuk:

Bagaimanakah anda boleh membuat kesimpulan yang munasabah bahawa:

Jadi, tanpa disedari, saya menulis yang paling mudah persamaan eksponen:

Dan saya juga menemuinya akar. Tidakkah anda fikir semuanya adalah remeh? Saya fikir betul-betul sama. Berikut ialah satu lagi contoh untuk anda:

Tetapi apa yang perlu dilakukan? Lagipun, ia tidak boleh ditulis sebagai kuasa nombor (munasabah). Jangan putus asa dan ambil perhatian bahawa kedua-dua nombor ini dinyatakan dengan sempurna melalui kuasa nombor yang sama. yang mana satu? Kanan: . Kemudian persamaan asal diubah kepada bentuk:

Di mana, seperti yang anda sudah faham, . Jangan berlengah lagi dan tuliskannya takrifan:

Dalam kes kami: .

Persamaan ini diselesaikan dengan mengurangkannya kepada bentuk:

diikuti dengan menyelesaikan persamaan

Malah, dalam contoh sebelumnya kami melakukan perkara itu: kami mendapat yang berikut: Dan kami menyelesaikan persamaan yang paling mudah.

Nampak tak rumit kan? Jom amalkan yang paling mudah dulu contoh:

Kita sekali lagi melihat bahawa bahagian kanan dan kiri persamaan perlu diwakili sebagai kuasa satu nombor. Benar, di sebelah kiri ini telah dilakukan, tetapi di sebelah kanan terdapat nombor. Tetapi tidak mengapa, kerana persamaan saya adalah secara ajaib akan berubah menjadi ini:

Apa yang saya perlu gunakan di sini? peraturan apa? Peraturan "darjah dalam darjah" yang berbunyi:

Bagaimana jika:

Sebelum menjawab soalan ini, mari kita isi jadual berikut:

Adalah mudah untuk kita menyedari bahawa semakin kurang, semakin kurang nilai, tetapi bagaimanapun, semua nilai ini lebih besar daripada sifar. DAN IA AKAN SENTIASA BEGITU!!! Harta yang sama adalah benar UNTUK APA-APA ASAS DENGAN MANA-MANA INDIKATOR!! (untuk mana-mana dan). Kemudian apa yang boleh kita simpulkan tentang persamaan itu? Inilah dia: ia tidak mempunyai akar! Sama seperti mana-mana persamaan tidak mempunyai punca. Sekarang mari kita berlatih dan Mari kita selesaikan contoh mudah:

Mari semak:

1. Di sini tiada apa yang diperlukan daripada anda kecuali pengetahuan tentang sifat-sifat darjah (yang, dengan cara itu, saya minta anda ulangi!) Sebagai peraturan, segala-galanya membawa kepada asas terkecil: , . Kemudian persamaan asal akan bersamaan dengan yang berikut: Apa yang saya perlukan ialah menggunakan sifat kuasa: Apabila mendarab nombor dengan asas yang sama, kuasa ditambah, dan apabila membahagi, ia ditolak. Kemudian saya akan mendapat: Nah, sekarang dengan hati nurani yang bersih saya akan beralih dari persamaan eksponen kepada persamaan linear: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. Dalam contoh kedua, kita perlu lebih berhati-hati: masalahnya ialah di sebelah kiri kita tidak mungkin mewakili nombor yang sama dengan kuasa. Dalam kes ini kadangkala berguna mewakili nombor sebagai hasil darab kuasa dengan asas yang berbeza, tetapi eksponen yang sama:

Bahagian kiri persamaan akan kelihatan seperti: Apakah yang diberikan oleh ini kepada kita? Inilah yang: Nombor dengan asas yang berbeza tetapi eksponen yang sama boleh didarab.Dalam kes ini, asas didarabkan, tetapi penunjuk tidak berubah:

Dalam keadaan saya ini akan memberi:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Tidak buruk, bukan?

3. Saya tidak suka apabila, secara tidak perlu, saya mempunyai dua istilah pada satu sisi persamaan dan tidak ada pada yang lain (kadang-kadang, sudah tentu, ini wajar, tetapi sekarang bukan kes sedemikian). Saya akan mengalihkan istilah tolak ke kanan:

Sekarang, seperti sebelum ini, saya akan menulis segala-galanya dari segi kuasa tiga:

Saya menambah darjah di sebelah kiri dan mendapat persamaan yang setara

Anda boleh mencari akarnya dengan mudah:

4. Seperti contoh tiga, istilah tolak mempunyai tempat di sebelah kanan!

Di sebelah kiri saya, hampir semuanya baik-baik saja, kecuali untuk apa? Ya, "darjah yang salah" kedua-duanya mengganggu saya. Tetapi saya boleh membetulkannya dengan mudah dengan menulis: . Eureka - di sebelah kiri semua pangkalan adalah berbeza, tetapi semua darjah adalah sama! Jom perbanyakkan segera!

Di sini sekali lagi, semuanya jelas: (jika anda tidak faham bagaimana saya secara ajaib mendapat kesamaan terakhir, berehat sebentar, tarik nafas dan baca sifat-sifat ijazah sekali lagi dengan teliti. Siapa kata anda boleh melangkau a ijazah dengan eksponen negatif Nah, di sini saya tentang perkara yang sama seperti tiada siapa). Sekarang saya akan mendapat:

\begin(align)
& ((2)^(4\kiri((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Berikut adalah beberapa masalah untuk anda berlatih, yang mana saya hanya akan memberikan jawapan (tetapi dalam bentuk "campuran"). Selesaikan mereka, semak mereka, dan anda dan saya akan meneruskan penyelidikan kami!

sedia? Jawapan seperti ini:

sebarang nombor

Okay, okay, saya bergurau! Berikut adalah beberapa lakaran penyelesaian (ada yang sangat ringkas!)

Tidakkah anda fikir ia bukan kebetulan bahawa satu pecahan di sebelah kiri adalah satu lagi "terbalik"? Adalah berdosa jika tidak mengambil kesempatan daripada ini:

Peraturan ini sangat kerap digunakan semasa menyelesaikan persamaan eksponen, ingat dengan baik!

Kemudian persamaan asal akan menjadi seperti ini:

Dengan menyelesaikan persamaan kuadratik ini, anda akan mendapat punca berikut:

2. Penyelesaian lain: membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan ungkapan di sebelah kiri (atau kanan). Bahagikan dengan apa yang di sebelah kanan, maka saya dapat:

Di mana (mengapa?!)

3. Saya tidak mahu mengulangi diri saya sendiri, semuanya telah "dikunyah" begitu banyak.

4. bersamaan dengan persamaan kuadratik, punca

5. Anda perlu menggunakan formula yang diberikan dalam masalah pertama, maka anda akan mendapat:

Persamaan telah bertukar menjadi identiti remeh yang benar untuk mana-mana. Maka jawapannya ialah sebarang nombor nyata.

Nah, sekarang anda telah berlatih menyelesaikan persamaan eksponen mudah. Sekarang saya ingin memberi anda sedikit contoh kehidupan, yang akan membantu anda memahami mengapa ia diperlukan pada dasarnya. Di sini saya akan memberikan dua contoh. Salah satu daripadanya adalah setiap hari, tetapi yang lain lebih cenderung untuk kepentingan saintifik dan bukannya praktikal.

Contoh 1 (merkantil) Biarkan anda mempunyai rubel, tetapi anda mahu mengubahnya menjadi rubel. Bank menawarkan anda untuk mengambil wang ini daripada anda pada kadar tahunan dengan permodalan bulanan faedah (akruan bulanan). Persoalannya, berapa bulan anda perlu membuka deposit untuk mencapai jumlah akhir yang diperlukan? Agak tugas biasa, bukan? Walau bagaimanapun, penyelesaiannya dikaitkan dengan pembinaan persamaan eksponen yang sepadan: Biarkan - jumlah awal, - jumlah akhir, - kadar faedah setiap tempoh, - bilangan tempoh. Kemudian:

Dalam kes kami (jika kadar tahunan, maka ia dikira setiap bulan). Mengapa ia dibahagikan dengan? Jika anda tidak tahu jawapan kepada soalan ini, ingat topik ""! Kemudian kita mendapat persamaan ini:

Persamaan eksponen ini hanya boleh diselesaikan menggunakan kalkulator (nya penampilan petunjuk tentang ini, dan ini memerlukan pengetahuan tentang logaritma, yang akan kita kenali sedikit kemudian), yang akan saya lakukan: ... Oleh itu, untuk menerima satu juta, kita perlu membuat deposit selama sebulan ( bukan cepat sangat kan?).

Contoh 2 (agak saintifik). Walaupun dia "pengasingan" tertentu, saya mengesyorkan agar anda memberi perhatian kepadanya: dia kerap "tergelincir ke Peperiksaan Negeri Bersatu!! (masalah diambil daripada versi “sebenar”) Semasa pereputan isotop radioaktif, jisimnya berkurangan mengikut undang-undang, di mana (mg) ialah jisim awal isotop, (min.) ialah masa berlalu dari momen awal, (min.) ialah separuh hayat. Pada saat awal masa, jisim isotop ialah mg. Separuh hayatnya ialah min. Selepas berapa minit jisim isotop akan sama dengan mg? Tidak mengapa: kami hanya mengambil dan menggantikan semua data ke dalam formula yang dicadangkan kepada kami:

Mari bahagikan kedua-dua bahagian dengan, "dengan harapan" bahawa di sebelah kiri kita akan mendapat sesuatu yang mudah dihadam:

Nah, kami sangat bertuah! Ia berada di sebelah kiri, kemudian mari kita beralih kepada persamaan yang setara:

Di mana min.

Seperti yang anda lihat, persamaan eksponen mempunyai aplikasi yang sangat nyata dalam amalan. Sekarang saya ingin menunjukkan kepada anda satu lagi cara (mudah) untuk menyelesaikan persamaan eksponen, yang berdasarkan mengambil faktor sepunya daripada kurungan dan kemudian mengumpulkan istilah. Jangan takut dengan kata-kata saya, anda telah menemui kaedah ini dalam darjah 7 semasa anda belajar polinomial. Sebagai contoh, jika anda perlu memfaktorkan ungkapan:

Mari berkumpul: penggal pertama dan ketiga, serta penggal kedua dan keempat. Adalah jelas bahawa yang pertama dan ketiga ialah perbezaan segi empat sama:

dan yang kedua dan keempat mempunyai faktor sepunya tiga:

Kemudian ungkapan asal adalah bersamaan dengan ini:

Di mana untuk mendapatkan faktor sepunya tidak lagi sukar:

Oleh itu,

Ini kira-kira apa yang akan kita lakukan apabila menyelesaikan persamaan eksponen: cari "kesamaan" di antara istilah dan keluarkannya daripada kurungan, dan kemudian - apa pun yang mungkin, saya percaya bahawa kita akan bertuah =)) Contohnya:

Di sebelah kanan adalah jauh daripada kuasa tujuh (saya periksa!) Dan di sebelah kiri - ia lebih baik sedikit, anda boleh, sudah tentu, "memotong" faktor a daripada yang kedua dari penggal pertama, dan kemudian berurusan dengan apa yang anda dapat, tetapi biarlah lebih berhemah dengan anda. Saya tidak mahu berurusan dengan pecahan yang pasti terbentuk apabila "memilih" , jadi tidakkah saya lebih suka mengeluarkannya? Kemudian saya tidak akan mempunyai sebarang pecahan: seperti yang mereka katakan, serigala diberi makan dan kambing biri-biri selamat:

Kirakan ungkapan dalam kurungan. Secara ajaib, secara ajaib, ternyata itu (mengejutkan, walaupun apa lagi yang harus kita harapkan?).

Kemudian kita kurangkan kedua-dua belah persamaan dengan faktor ini. Kami mendapat: , daripada.

Berikut ialah contoh yang lebih rumit (agak-agak, betul-betul):

Apa masalahnya! Kami tidak mempunyai satu titik persamaan di sini! Ia tidak sepenuhnya jelas apa yang perlu dilakukan sekarang. Mari kita lakukan apa yang kita boleh: pertama, gerakkan "empat" ke satu sisi, dan "lima" ke sisi yang lain:

Sekarang mari kita keluarkan "umum" di kiri dan kanan:

Jadi apa sekarang? Apa faedahnya kumpulan bodoh seperti itu? Pada pandangan pertama ia tidak kelihatan sama sekali, tetapi mari kita lihat lebih mendalam:

Nah, sekarang kita akan pastikan bahawa di sebelah kiri kita hanya mempunyai ungkapan c, dan di sebelah kanan - segala-galanya. Bagaimana kita melakukan ini? Begini caranya: Bahagikan kedua-dua belah persamaan terlebih dahulu dengan (supaya kita menyingkirkan eksponen di sebelah kanan), dan kemudian bahagikan kedua-dua belah dengan (supaya kita menyingkirkan faktor berangka di sebelah kiri). Akhirnya kita dapat:

Luar biasa! Di sebelah kiri kita mempunyai ungkapan, dan di sebelah kanan kita mempunyai ungkapan mudah. Kemudian kami segera membuat kesimpulan bahawa

Berikut ialah satu lagi contoh untuk anda perkukuhkan:

Saya akan memberikan penyelesaian ringkasnya (tanpa mengganggu saya sendiri dengan penjelasan), cuba memahami semua "kehalusan" penyelesaian itu sendiri.

Sekarang untuk penyatuan akhir bahan yang dilindungi. Cuba selesaikan sendiri masalah berikut. Saya hanya akan memberikan cadangan ringkas dan petua untuk menyelesaikannya:

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan: Di mana:
Mari kita kemukakan ungkapan pertama dalam bentuk: , bahagikan kedua-dua belah dan dapatkannya
, maka persamaan asal ditukar kepada bentuk: Nah, sekarang petunjuk - cari di mana anda dan saya telah menyelesaikan persamaan ini!
Bayangkan bagaimana, bagaimana, ah, baik, kemudian bahagikan kedua-dua belah dengan, supaya anda mendapat persamaan eksponen yang paling mudah.
Bawa ia keluar dari kurungan.
Bawa ia keluar dari kurungan.

PERSAMAAN EXPONENTARY. PERINGKAT TENGAH

Saya menganggap bahawa selepas membaca artikel pertama, yang bercakap tentang apakah persamaan eksponen dan cara menyelesaikannya, anda telah menguasai pengetahuan minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan contoh yang paling mudah.

Sekarang saya akan melihat kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan eksponen, ini adalah

"kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu" (atau penggantian). Dia menyelesaikan masalah yang paling "sukar" mengenai topik persamaan eksponen (dan bukan sahaja persamaan). Kaedah ini adalah salah satu yang paling kerap digunakan dalam amalan. Pertama, saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengan topik tersebut.

Seperti yang telah anda fahami dari namanya, intipati kaedah ini adalah untuk memperkenalkan perubahan pembolehubah sedemikian sehingga persamaan eksponen anda secara ajaib akan berubah menjadi satu yang boleh anda selesaikan dengan mudah. Apa yang tinggal untuk anda selepas menyelesaikan "persamaan yang dipermudahkan" ini ialah membuat "penggantian terbalik": iaitu, kembali daripada yang diganti kepada yang diganti. Mari kita jelaskan apa yang baru sahaja kita katakan dengan contoh yang sangat mudah:

Contoh 1:

Persamaan ini diselesaikan dengan menggunakan "penggantian mudah," sebagaimana yang disebut oleh ahli matematik secara meremehkan. Malah, penggantian di sini adalah yang paling jelas. Seseorang hanya perlu melihatnya

Kemudian persamaan asal akan berubah menjadi ini:

Jika kita juga membayangkan bagaimana, maka jelaslah apa yang perlu diganti: sudah tentu, . Apakah kemudiannya menjadi persamaan asal? Inilah yang:

Anda boleh mencari akarnya dengan mudah sendiri: . Apa yang patut kita buat sekarang? Sudah tiba masanya untuk kembali kepada pembolehubah asal. Apa yang saya lupa sebutkan? Iaitu: apabila menggantikan darjah tertentu dengan pembolehubah baru (iaitu, apabila menggantikan jenis), saya akan berminat untuk hanya akar positif! Anda sendiri boleh menjawab dengan mudah mengapa. Oleh itu, anda dan saya tidak berminat, tetapi akar kedua agak sesuai untuk kami:

Kemudian dari mana.

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, dalam contoh sebelumnya, pengganti hanya meminta tangan kami. Malangnya, ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, jangan terus kepada perkara yang menyedihkan, tetapi mari berlatih dengan satu lagi contoh dengan penggantian yang agak mudah

Contoh 2.

Adalah jelas bahawa kemungkinan besar kita perlu membuat penggantian (ini adalah kuasa terkecil yang termasuk dalam persamaan kita), tetapi sebelum memperkenalkan penggantian, persamaan kita perlu "bersedia" untuknya, iaitu: , . Kemudian anda boleh menggantikan, sebagai hasilnya saya mendapat ungkapan berikut:

Oh seram: persamaan kubik dengan formula yang sangat mengerikan untuk menyelesaikannya (baik, bercakap dalam pandangan umum). Tetapi jangan putus asa dengan segera, tetapi mari kita fikirkan apa yang patut kita lakukan. Saya akan mencadangkan menipu: kita tahu bahawa untuk mendapatkan jawapan yang "cantik", kita perlu mendapatkannya dalam bentuk kuasa tiga (mengapa begitu, eh?). Mari cuba meneka sekurang-kurangnya satu punca persamaan kita (saya akan mula meneka dengan kuasa tiga).

tekaan pertama. Bukan akar. Alah dan ah...

.
Bahagian kiri adalah sama.
Sebelah kanan:!
makan! Meneka akar pertama. Kini keadaan akan menjadi lebih mudah!

Adakah anda tahu tentang skim pembahagian "sudut"? Sudah tentu anda lakukan, anda menggunakannya apabila anda membahagikan satu nombor dengan yang lain. Tetapi beberapa orang tahu bahawa perkara yang sama boleh dilakukan dengan polinomial. Terdapat satu teorem yang indah:

Menggunakan situasi saya, ini memberitahu saya bahawa ia boleh dibahagikan tanpa baki dengan. Bagaimanakah pembahagian dijalankan? Begini caranya:

Saya melihat monomial mana yang harus saya darabkan untuk mendapatkan Jelas, kemudian:

Saya menolak ungkapan yang terhasil daripada, saya dapat:

Sekarang, apakah yang perlu saya darabkan untuk mendapatkannya? Adalah jelas bahawa pada, maka saya akan mendapat:

dan sekali lagi tolak ungkapan yang terhasil daripada yang selebihnya:

Nah, langkah terakhir ialah mendarab dengan dan menolak daripada ungkapan yang tinggal:

Hore, perpecahan sudah berakhir! Apa yang telah kita kumpul secara peribadi? Sudah tentu: .

Kemudian kami mendapat pengembangan berikut bagi polinomial asal:

Mari kita selesaikan persamaan kedua:

Ia mempunyai akar:

Kemudian persamaan asal:

mempunyai tiga akar:

Kami, sudah tentu, akan membuang akar terakhir, kerana ia kurang daripada sifar. Dan dua yang pertama selepas penggantian terbalik akan memberi kita dua punca:

Jawapan: ..

Dengan contoh ini, saya sama sekali tidak mahu menakutkan anda, sebaliknya matlamat saya adalah untuk menunjukkan bahawa walaupun kami mempunyai pengganti yang agak mudah, namun ia membawa kepada persamaan yang agak kompleks, penyelesaiannya memerlukan beberapa kemahiran khas daripada kami. Nah, tiada siapa yang kebal daripada ini. Tetapi penggantian dalam kes ini agak jelas.

Berikut ialah contoh dengan penggantian yang kurang jelas:

Tidak jelas sama sekali apa yang harus kita lakukan: masalahnya ialah dalam persamaan kita terdapat dua asas yang berbeza dan satu asas tidak boleh diperoleh daripada yang lain dengan menaikkannya kepada mana-mana kuasa (munasabah, secara semula jadi). Namun, apa yang kita lihat? Kedua-dua tapak hanya berbeza dalam tanda, dan hasil darabnya ialah perbezaan segi empat sama dengan satu:

Definisi:

Oleh itu, nombor yang menjadi asas dalam contoh kita adalah konjugat.

Dalam kes ini, langkah pintar adalah darab kedua-dua belah persamaan dengan nombor konjugat.

Sebagai contoh, pada, maka bahagian kiri persamaan akan menjadi sama dengan, dan sebelah kanan. Jika kita membuat penggantian, maka persamaan asal kita akan menjadi seperti ini:

akarnya, kemudian, dan mengingati itu, kita mendapat itu.

Jawapan: , .

Sebagai peraturan, kaedah penggantian adalah mencukupi untuk menyelesaikan kebanyakan persamaan eksponen "sekolah". Tugas-tugas berikut diambil daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu C1 (tingkat kesukaran yang meningkat). Anda sudah cukup celik untuk menyelesaikan contoh ini sendiri. Saya hanya akan memberikan penggantian yang diperlukan.

Selesaikan persamaan:
Cari punca-punca persamaan:
Selesaikan persamaan: . Cari semua punca persamaan ini yang tergolong dalam segmen:

Dan kini beberapa penjelasan dan jawapan ringkas:

Di sini sudah cukup untuk kita ambil perhatian bahawa... Maka persamaan asal akan bersamaan dengan ini: Persamaan ini boleh diselesaikan dengan menggantikan Lakukan pengiraan selanjutnya sendiri. Pada akhirnya, tugas anda akan dikurangkan kepada menyelesaikan masalah trigonometri yang mudah (bergantung kepada sinus atau kosinus). Kami akan melihat penyelesaian kepada contoh yang serupa di bahagian lain.
Di sini anda juga boleh melakukan tanpa penggantian: hanya gerakkan subtrahend ke kanan dan mewakili kedua-dua asas melalui kuasa dua: , dan kemudian pergi terus ke persamaan kuadratik.
Persamaan ketiga juga diselesaikan dengan agak standard: mari bayangkan bagaimana. Kemudian, menggantikan, kita mendapat persamaan kuadratik: kemudian,
Anda sudah tahu apa itu logaritma, bukan? Tidak? Kemudian baca topik dengan segera!

Akar pertama jelas tidak tergolong dalam segmen, tetapi yang kedua tidak jelas! Tetapi kita akan mengetahui tidak lama lagi! Oleh kerana, maka (ini adalah sifat logaritma!) Mari bandingkan:

Kurangkan dari kedua-dua belah, maka kita dapat:

Bahagian kiri boleh diwakili sebagai:

darab kedua-dua belah dengan:

boleh didarab dengan, kemudian

Kemudian bandingkan:

sejak itu:

Kemudian akar kedua tergolong dalam selang yang diperlukan

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, pemilihan punca persamaan eksponen memerlukan pengetahuan yang agak mendalam tentang sifat-sifat logaritma, jadi saya menasihati anda supaya berhati-hati semasa menyelesaikan persamaan eksponen. Seperti yang anda faham, dalam matematik semuanya saling berkaitan! Seperti yang dikatakan oleh guru matematik saya: "matematik, seperti sejarah, tidak boleh dibaca dalam sekelip mata."

Sebagai peraturan, semua Kesukaran dalam menyelesaikan masalah C1 ialah pemilihan punca-punca persamaan. Mari kita berlatih dengan satu lagi contoh:

Jelas bahawa persamaan itu sendiri diselesaikan dengan mudah. Dengan membuat penggantian, kami mengurangkan persamaan asal kami kepada yang berikut:

Mula-mula mari kita lihat akar pertama. Mari kita bandingkan dan: sejak, kemudian. (harta benda fungsi logaritma, pada). Maka jelaslah bahawa akar pertama tidak tergolong dalam selang kita. Sekarang akar kedua: . Adalah jelas bahawa (memandangkan fungsi at semakin meningkat). Ia kekal untuk membandingkan dan...

sejak, kemudian, pada masa yang sama. Dengan cara ini saya boleh "memacu pasak" antara dan. Pasak ini ialah nombor. Ungkapan pertama kurang dan yang kedua lebih besar. Kemudian ungkapan kedua lebih besar daripada yang pertama dan akarnya tergolong dalam selang.

Jawapan: .

Akhir sekali, mari kita lihat satu lagi contoh persamaan di mana penggantian agak tidak standard:

Mari kita mulakan segera dengan apa yang boleh dilakukan, dan apa - pada dasarnya, boleh dilakukan, tetapi lebih baik tidak melakukannya. Anda boleh bayangkan segala-galanya melalui kuasa tiga, dua dan enam. Ini akan membawa kepada apa? Ia tidak akan membawa kepada apa-apa: beberapa darjah, beberapa daripadanya akan agak sukar untuk disingkirkan. Apa yang diperlukan? Mari kita ambil perhatian bahawa a Dan apakah ini akan memberi kita? Dan hakikat bahawa kita boleh mengurangkan keputusan contoh ini Persamaan eksponen mudah sudah cukup untuk diselesaikan! Pertama, mari kita tulis semula persamaan kita sebagai:

Sekarang mari kita bahagikan kedua-dua belah persamaan yang terhasil dengan:

Eureka! Sekarang kita boleh menggantikan, kita dapat:

Nah, kini giliran anda untuk menyelesaikan masalah demonstrasi, dan saya hanya akan memberikan ulasan ringkas kepada mereka supaya anda tidak sesat! Semoga berjaya!

1. Yang paling susah! Sukar untuk melihat pengganti di sini! Namun begitu, contoh ini boleh diselesaikan sepenuhnya menggunakan menonjolkan segi empat sama lengkap. Untuk menyelesaikannya, cukup untuk diperhatikan bahawa:

Kemudian inilah pengganti anda:

(Sila ambil perhatian bahawa di sini semasa penggantian kami, kami tidak boleh membuang punca negatif!!! Mengapa anda fikir?)

Sekarang untuk menyelesaikan contoh anda hanya perlu menyelesaikan dua persamaan:

Kedua-duanya boleh diselesaikan dengan "penggantian standard" (tetapi yang kedua dalam satu contoh!)

2. Perhatikan itu dan buat penggantian.

3. Uraikan nombor kepada faktor koprima dan mudahkan ungkapan yang terhasil.

4. Bahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan (atau, jika anda lebih suka) dan buat penggantian atau.

5. Perhatikan bahawa nombor dan adalah konjugat.

PERSAMAAN EXPONENTARY. TAHAP LANJUTAN

Di samping itu, mari kita lihat cara lain - menyelesaikan persamaan eksponen menggunakan kaedah logaritma. Saya tidak boleh mengatakan bahawa menyelesaikan persamaan eksponen menggunakan kaedah ini sangat popular, tetapi dalam beberapa kes hanya ia boleh membawa kita kepada keputusan yang betul persamaan kita. Ia sering digunakan untuk menyelesaikan apa yang dipanggil " persamaan campuran ": iaitu, di mana fungsi pelbagai jenis berlaku.

Sebagai contoh, persamaan bentuk:

dalam kes umum, ia hanya boleh diselesaikan dengan mengambil logaritma kedua-dua belah (contohnya, ke pangkalan), di mana persamaan asal akan berubah menjadi yang berikut:

Mari kita lihat contoh berikut:

Adalah jelas bahawa mengikut ODZ fungsi logaritma, kami hanya berminat. Walau bagaimanapun, ini mengikuti bukan sahaja dari ODZ logaritma, tetapi untuk satu lagi sebab. Saya fikir ia tidak sukar untuk anda meneka yang mana satu itu.

Mari kita ambil logaritma kedua-dua belah persamaan kita ke pangkalan:

Seperti yang anda lihat, mengambil logaritma persamaan asal kami dengan cepat membawa kami kepada jawapan yang betul (dan cantik!). Mari kita berlatih dengan satu lagi contoh:

Tidak ada yang salah di sini sama ada: mari kita ambil logaritma kedua-dua belah persamaan ke pangkalan, kemudian kita dapat:

Mari buat pengganti:

Namun, kami terlepas sesuatu! Adakah anda perasan di mana saya membuat kesilapan? Lagipun, kemudian:

yang tidak memenuhi keperluan (fikir dari mana asalnya!)

Jawapan:

Cuba tuliskan penyelesaian kepada persamaan eksponen di bawah:

Sekarang bandingkan keputusan anda dengan ini:

1. Mari kita logaritma kedua-dua belah ke pangkalan, dengan mengambil kira bahawa:

(akar kedua tidak sesuai untuk kita kerana penggantian)

2. Logaritma ke pangkalan:

Mari kita ubah ungkapan yang terhasil kepada bentuk berikut:

PERSAMAAN EXPONENTARY. HURAIAN RINGKAS DAN FORMULA ASAS

Persamaan eksponen

Persamaan bentuk:

dipanggil persamaan eksponen termudah.

Sifat darjah

Pendekatan penyelesaian

Pengurangan kepada asas yang sama
Pengurangan kepada eksponen yang sama
Penggantian berubah-ubah
Memudahkan ungkapan dan menggunakan salah satu daripada di atas.

Menyelesaikan persamaan eksponen. Contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

apa dah jadi persamaan eksponen? Ini ialah persamaan di mana yang tidak diketahui (x) dan ungkapan dengannya berada penunjuk beberapa darjah. Dan hanya di sana! Ini penting.

Di sini anda pergi contoh persamaan eksponen:

3 x 2 x = 8 x+3

Beri perhatian! Dalam asas darjah (di bawah) - nombor sahaja. DALAM penunjuk darjah (di atas) - pelbagai jenis ungkapan dengan X. Jika, secara tiba-tiba, X muncul dalam persamaan di suatu tempat selain penunjuk, contohnya:

ini akan menjadi persamaan jenis campuran. Persamaan sedemikian tidak mempunyai peraturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Kami tidak akan mempertimbangkan mereka buat masa ini. Di sini kita akan berurusan menyelesaikan persamaan eksponen dalam bentuk yang paling tulen.

Malah, walaupun persamaan eksponen tulen tidak selalu diselesaikan dengan jelas. Tetapi ada jenis tertentu persamaan eksponen yang boleh dan harus diselesaikan. Ini adalah jenis yang akan kami pertimbangkan.

Menyelesaikan persamaan eksponen mudah.

Pertama, mari kita selesaikan sesuatu yang sangat asas. Contohnya:

Walaupun tanpa sebarang teori, dengan pemilihan mudah adalah jelas bahawa x = 2. Tiada lagi, kan!? Tiada nilai lain X berfungsi. Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada persamaan eksponen yang rumit ini:

Apa yang telah kita lakukan? Kami, sebenarnya, hanya membuang bes yang sama (tiga kali ganda). Dibuang sepenuhnya. Dan, berita baiknya ialah, kami terkena paku di kepala!

Sesungguhnya, jika dalam persamaan eksponen terdapat kiri dan kanan serupa nombor dalam sebarang kuasa, nombor ini boleh dialih keluar dan eksponen boleh disamakan. Matematik membenarkan. Ia kekal untuk menyelesaikan persamaan yang lebih mudah. Hebat, kan?)

Walau bagaimanapun, marilah kita ingat dengan tegas: Anda boleh mengalih keluar tapak hanya apabila nombor asas di kiri dan kanan berada dalam pengasingan yang indah! Tanpa sebarang jiran dan pekali. Katakan dalam persamaan:

2 x +2 x+1 = 2 3, atau

dua-dua tidak boleh ditanggalkan!

Nah, kami telah menguasai perkara yang paling penting. Bagaimana untuk beralih daripada ungkapan eksponen jahat kepada persamaan yang lebih mudah.

"Itulah masanya!" - awak cakap. "Siapa yang akan memberikan pelajaran primitif tentang ujian dan peperiksaan!?"

Saya perlu bersetuju. Tiada siapa yang akan. Tetapi kini anda tahu ke mana hendak dituju apabila menyelesaikan contoh rumit. Ia adalah perlu untuk membawanya ke borang di mana nombor asas yang sama berada di sebelah kiri dan di sebelah kanan. Kemudian semuanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematik klasik. Kami mengambil contoh asal dan mengubahnya kepada yang diingini kami fikiran. Mengikut peraturan matematik, sudah tentu.

Mari kita lihat contoh yang memerlukan usaha tambahan untuk mengurangkannya kepada yang paling mudah. Jom panggil mereka persamaan eksponen mudah.

Menyelesaikan persamaan eksponen mudah. Contoh.

Apabila menyelesaikan persamaan eksponen, peraturan utama ialah tindakan dengan darjah. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini tiada apa yang akan berjaya.

Untuk tindakan dengan darjah, seseorang mesti menambah pemerhatian dan kepintaran peribadi. Adakah kita memerlukan nombor asas yang sama? Jadi kami mencari mereka dalam contoh dalam bentuk eksplisit atau disulitkan.

Mari lihat bagaimana ini dilakukan dalam amalan?

Mari kita diberi contoh:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pandangan tajam pertama adalah pada alasan. Mereka... Mereka berbeza! Dua dan lapan. Tetapi masih terlalu awal untuk berkecil hati. Sudah tiba masanya untuk mengingati itu

Dua dan lapan adalah saudara dalam ijazah.) Sangat mungkin untuk menulis:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jika kita ingat formula dari operasi dengan darjah:

(a n) m = a nm ,

ini berfungsi dengan baik:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Contoh asal mula kelihatan seperti ini:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Kami pindahkan 2 3 (x+1) ke kanan (tiada siapa yang membatalkan operasi asas matematik!), kita dapat:

2 2x = 2 3(x+1)

Itu sahaja. Mengeluarkan asas:

Kami menyelesaikan raksasa ini dan dapatkan

Ini adalah jawapan yang betul.

Dalam contoh ini, mengetahui kuasa dua orang membantu kami. Kami dikenalpasti dalam lapan terdapat dua yang disulitkan. Teknik ini (penyulitan alasan bersama bawah nombor yang berbeza) ialah teknik yang sangat popular dalam persamaan eksponen! Ya, dan dalam logaritma juga. Anda perlu dapat mengenali kuasa nombor lain dalam nombor. Ini amat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponen.

Hakikatnya ialah menaikkan sebarang nombor kepada mana-mana kuasa tidak menjadi masalah. Darab, walaupun di atas kertas, dan itu sahaja. Sebagai contoh, sesiapa sahaja boleh menaikkan 3 kepada kuasa kelima. 243 akan berjaya jika anda mengetahui jadual pendaraban.) Tetapi dalam persamaan eksponen, lebih kerap ia tidak perlu dinaikkan kepada kuasa, tetapi sebaliknya... Ketahui nombor berapa ke darjah berapa tersembunyi di sebalik nombor 243, atau, katakan, 343... Tiada kalkulator akan membantu anda di sini.

Anda perlu tahu kuasa beberapa nombor dengan penglihatan, kan... Jom berlatih?

Tentukan kuasa dan nombor nombor itu:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Jawapan (dalam keadaan huru-hara, sudah tentu!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kalau tengok dekat-dekat boleh nampak fakta pelik. Terdapat lebih banyak jawapan daripada tugasan! Nah, ia berlaku... Contohnya, 2 6, 4 3, 8 2 - itu sahaja 64.

Mari kita andaikan bahawa anda telah mengambil perhatian tentang maklumat tentang kebiasaan dengan nombor.) Izinkan saya juga mengingatkan anda bahawa untuk menyelesaikan persamaan eksponen kita gunakan semua stok pengetahuan matematik. Termasuk mereka dari kelas junior dan pertengahan. Anda tidak pergi terus ke sekolah menengah, bukan?)

Sebagai contoh, apabila menyelesaikan persamaan eksponen, meletakkan faktor sepunya daripada kurungan selalunya membantu (hello kepada gred 7!). Mari lihat contoh:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dan sekali lagi, pandangan pertama adalah pada asas! Asas darjah berbeza... Tiga dan sembilan. Tetapi kami mahu mereka menjadi sama. Nah, dalam kes ini keinginan itu dipenuhi sepenuhnya!) Kerana:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Menggunakan peraturan yang sama untuk berurusan dengan darjah:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Itu bagus, anda boleh menulisnya:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Kami memberi contoh atas sebab yang sama. Dan apa seterusnya!? Anda tidak boleh membuang bertiga... Jalan buntu?

Tidak sama sekali. Ingat peraturan keputusan yang paling universal dan berkuasa semua orang tugasan matematik:

Jika anda tidak tahu apa yang anda perlukan, lakukan apa yang anda boleh!

Lihat, semuanya akan berjaya).

Apa yang ada dalam persamaan eksponen ini boleh buat? Ya, di sebelah kiri ia hanya memohon untuk dikeluarkan dari kurungan! Pengganda keseluruhan 3 2x jelas membayangkan perkara ini. Mari cuba, dan kemudian kita akan lihat:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Contoh terus menjadi lebih baik dan lebih baik!

Kami ingat bahawa untuk menghapuskan alasan kita memerlukan ijazah tulen, tanpa sebarang pekali. Nombor 70 mengganggu kita. Jadi kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 70, kita dapat:

Aduh! Semuanya menjadi lebih baik!

Ini adalah jawapan muktamad.

Ia berlaku, bagaimanapun, bahawa teksi atas dasar yang sama dicapai, tetapi penghapusan mereka tidak mungkin. Ini berlaku dalam jenis persamaan eksponen yang lain. Mari kita kuasai jenis ini.

Menggantikan pembolehubah dalam menyelesaikan persamaan eksponen. Contoh.

Mari kita selesaikan persamaan:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pertama - seperti biasa. Mari kita beralih kepada satu pangkalan. Untuk deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kami mendapat persamaan:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dan di sinilah kami melepak. Helah sebelumnya tidak akan berfungsi, tidak kira bagaimana anda melihatnya. Kami perlu mengeluarkan satu lagi kaedah yang berkuasa dan universal daripada senjata kami. Ia dipanggil penggantian berubah-ubah.

Intipati kaedah ini sangat mudah. Daripada satu ikon kompleks (dalam kes kami - 2 x) kami menulis satu lagi, lebih mudah (contohnya - t). Penggantian yang seolah-olah tidak bermakna membawa kepada hasil yang menakjubkan!) Semuanya menjadi jelas dan mudah difahami!

Jadi biarlah

Kemudian 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Dalam persamaan kami, kami menggantikan semua kuasa dengan x dengan t:

Nah, adakah ia menyedarkan anda?) Persamaan kuadratik Dah lupa ke belum? Menyelesaikan melalui diskriminasi, kami mendapat:

Perkara utama di sini adalah untuk tidak berhenti, seperti yang berlaku... Ini belum jawapannya, kita perlukan x, bukan t. Mari kita kembali ke X, i.e. kami membuat penggantian terbalik. Pertama untuk t 1:

Oleh itu,

Satu akar ditemui. Kami sedang mencari yang kedua dari t 2:

Hm... 2 x di kiri, 1 di kanan... Masalah? Tidak sama sekali! Ia cukup untuk mengingati (daripada operasi dengan kuasa, ya...) bahawa unit adalah mana-mana nombor kepada kuasa sifar. mana-mana. Apa sahaja yang diperlukan, kami akan memasangnya. Kami memerlukan dua. Bermaksud:

Itu sahaja sekarang. Kami mendapat 2 akar:

Ini jawapannya.

Pada menyelesaikan persamaan eksponen pada akhirnya kadang-kadang anda berakhir dengan beberapa jenis ekspresi janggal. Jenis:

Dari tujuh hingga dua ijazah sederhana ia tidak berfungsi. Mereka bukan saudara... Bagaimana kita boleh jadi? Seseorang mungkin keliru... Tetapi orang yang membaca di laman web ini topik "Apakah itu logaritma?" , hanya tersenyum kecil dan menulis dengan tangan tegas jawapan yang betul-betul betul:

Tidak boleh ada jawapan sedemikian dalam tugas "B" pada Peperiksaan Negeri Bersepadu. Terdapat nombor tertentu diperlukan. Tetapi dalam tugasan "C" ia mudah.

Pelajaran ini menyediakan contoh penyelesaian persamaan eksponen yang paling biasa. Mari kita serlahkan perkara utama.

Nasihat praktikal:

1. Pertama sekali, kita lihat alasan ijazah. Kami tertanya-tanya sama ada ia boleh dibuat serupa. Mari cuba lakukan ini dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan darjah. Jangan lupa bahawa nombor tanpa x juga boleh ditukar kepada kuasa!

2. Kami cuba membawa persamaan eksponen ke bentuk apabila di sebelah kiri dan di sebelah kanan ada serupa nombor dalam mana-mana kuasa. Kami menggunakan tindakan dengan darjah Dan pemfaktoran. Apa yang boleh dikira dalam angka, kita kira.

3. Jika petua kedua tidak berfungsi, cuba gunakan penggantian berubah-ubah. Hasilnya mungkin persamaan yang boleh diselesaikan dengan mudah. Selalunya - persegi. Atau pecahan, yang juga berkurang kepada kuasa dua.

4. Untuk berjaya menyelesaikan persamaan eksponen, anda perlu mengetahui kuasa beberapa nombor melalui penglihatan.

Seperti biasa, pada akhir pelajaran anda dijemput untuk membuat keputusan sedikit.) Sendiri. Dari yang mudah kepada yang kompleks.

Selesaikan persamaan eksponen:

Lebih sukar:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Cari hasil darab akar:

2 3's + 2 x = 9

Adakah ia berkesan?

Kalau begitu contoh yang paling rumit(tekad, bagaimanapun, dalam fikiran...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Apa yang lebih menarik? Kemudian inilah contoh buruk untuk anda. Agak layak untuk meningkatkan kesukaran. Biar saya membayangkan bahawa dalam contoh ini, perkara yang menyelamatkan anda ialah kepintaran dan peraturan paling universal untuk menyelesaikan semua masalah matematik.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Contoh yang lebih mudah, untuk bersantai):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dan untuk pencuci mulut. Cari hasil tambah punca-punca persamaan:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ya, ya! Ini adalah persamaan jenis campuran! Yang tidak kami pertimbangkan dalam pelajaran ini. Mengapa menganggap mereka, mereka perlu diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan. Nah, anda memerlukan kepintaran... Dan semoga gred ketujuh membantu anda (ini adalah petunjuk!).

Jawapan (dalam keadaan kucar-kacir, dipisahkan dengan koma bertitik):

1; 2; 3; 4; tiada penyelesaian; 2; -2; -5; 4; 0.

Adakah semuanya berjaya? Hebat.

Ada masalah? Tiada soalan! Seksyen Khas 555 menyelesaikan semua persamaan eksponen ini dengan penjelasan terperinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, sudah tentu, terdapat maklumat berharga tambahan tentang bekerja dengan semua jenis persamaan eksponen. Bukan hanya yang ini.)

Satu soalan terakhir yang menyeronokkan untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini kita bekerja dengan persamaan eksponen. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Dalam persamaan, ini adalah perkara yang sangat penting, dengan cara...

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.