Power equation at expression kung paano lutasin. Lecture: “Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation

Sa artikulong ito ay makikilala mo ang lahat ng uri mga exponential equation at mga algorithm para sa paglutas ng mga ito, alamin kung anong uri ito nabibilang exponential equation, na kailangan mong lutasin, at ilapat ang naaangkop na paraan upang malutas ito. Detalyadong solusyon ng mga halimbawa mga exponential equation Maaari mong panoorin ang bawat uri sa kaukulang VIDEO LESSONS.

Ang exponential equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nakapaloob sa isang exponent.

Bago mo simulan ang paglutas ng isang exponential equation, kapaki-pakinabang na gumawa ng ilang bagay mga paunang aksyon , na maaaring makabuluhang mapadali ang proseso ng paglutas nito. Ito ang mga hakbang:

1. Hatiin ang lahat ng mga batayan ng kapangyarihan sa mga pangunahing kadahilanan.

2. Ipakita ang mga ugat bilang isang antas.

3. Ipakita ang mga decimal fraction bilang ordinaryong fraction.

4. Sumulat ng mga pinaghalong numero bilang mga hindi wastong praksiyon.

Malalaman mo ang mga benepisyo ng mga pagkilos na ito sa proseso ng paglutas ng mga equation.

Tingnan natin ang mga pangunahing uri mga exponential equation at mga algorithm para sa kanilang solusyon.

1. Equation ng form

Ang equation na ito ay katumbas ng equation

Panoorin ang solusyon sa equation sa VIDEO TUTORIAL na ito ganitong klase.

2. Equation ng form

Sa mga equation ng ganitong uri:

b) ang mga coefficient para sa hindi alam sa exponent ay pantay.

Upang malutas ang equation na ito, kailangan mong i-factor ang pinakamaliit na factor.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation ng ganitong uri:

panoorin ang VIDEO TUTORIAL.

3. Equation ng form

Ang mga equation ng ganitong uri ay naiiba doon

a) lahat ng antas ay may parehong mga batayan

b) ang mga coefficient para sa hindi alam sa exponent ay iba.

Ang mga equation ng ganitong uri ay nalulutas gamit ang mga pagbabago ng mga variable. Bago magpakilala ng kapalit, ipinapayong alisin ang mga libreng termino sa exponent. (, , atbp)

Panoorin ang VIDEO LESSON para malutas ang ganitong uri ng equation:

4. Mga homogenous na equation uri

Mga natatanging katangian ng homogenous na equation:

a) lahat ng monomial ay may parehong antas,

b) ang libreng termino ay zero,

c) ang equation ay naglalaman ng mga kapangyarihan na may dalawang magkaibang base.

Ang mga homogenous na equation ay nalulutas gamit ang isang katulad na algorithm.

Upang malutas ang ganitong uri ng equation, hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (maaaring hatiin ng o ng)

Pansin! Kapag hinahati ang kanan at kaliwang bahagi ng isang equation sa pamamagitan ng isang expression na naglalaman ng hindi alam, maaari kang mawalan ng mga ugat. Samakatuwid, kinakailangang suriin kung ang mga ugat ng expression kung saan hinahati natin ang magkabilang panig ng equation ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

Sa aming kaso, dahil ang expression ay hindi zero para sa anumang halaga ng hindi alam, maaari naming hatiin ito nang walang takot. Hatiin natin ang kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng terminong expression na ito sa pamamagitan ng termino. Nakukuha namin:

Bawasan natin ang numerator at denominator ng pangalawa at pangatlong fraction:

Ipakilala natin ang kapalit:

Bukod dito, title="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Nakukuha namin quadratic equation:

Lutasin natin ang quadratic equation, hanapin ang mga value na nakakatugon sa kondisyon title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Panoorin ang VIDEO TUTORIAL detalyadong solusyon homogenous equation:

Kapag nilulutas ang equation na ito, magpapatuloy tayo mula sa katotohanan na ang title="f(x)>0">!}

Ang unang pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa dalawang kaso:

1. Kung, dahil ang 1 sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng 1,

2. Kung matugunan ang dalawang kundisyon:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Panoorin ang VIDEO TUTORIAL para sa isang detalyadong solusyon sa equation

Exponential equation. Tulad ng alam mo, ang Pinag-isang State Examination ay may kasamang mga simpleng equation. Napag-isipan na namin ang ilan - ito ay logarithmic, trigonometric, rational. Narito ang mga exponential equation.

Sa isang kamakailang artikulo na nagtrabaho kami sa mga exponential expression, magiging kapaki-pakinabang ito. Ang mga equation mismo ay nalutas nang simple at mabilis. Kailangan mo lang malaman ang mga katangian ng mga exponents at... Tungkol ditoDagdag pa.

Ilista natin ang mga katangian ng mga exponent:

Ang zero power ng anumang numero ay katumbas ng isa.

Isang resulta mula sa property na ito:

Kaunting teorya pa.

Ang exponential equation ay isang equation na naglalaman ng variable sa exponent, iyon ay, ito ay isang equation ng form:

f(x) expression na naglalaman ng variable

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation

1. Bilang resulta ng mga pagbabago, ang equation ay maaaring bawasan sa anyo:

Pagkatapos ay inilapat namin ang ari-arian:

2. Sa pagkuha ng equation ng form isang f (x) = b gamit ang kahulugan ng logarithm, nakukuha natin ang:

3. Bilang resulta ng mga pagbabago, maaari kang makakuha ng equation ng form:

Inilapat ang logarithm:

Ipahayag at hanapin ang x.

Sa mga gawain Mga pagpipilian sa Pinag-isang State Exam Ito ay sapat na upang gamitin ang unang paraan.

Iyon ay, ito ay kinakailangan upang kumatawan sa kaliwa at kanang panig sa anyo ng mga kapangyarihan na may parehong base, at pagkatapos ay equate namin ang mga exponents at lutasin ang karaniwang linear equation.

Isaalang-alang ang mga equation:

Hanapin ang ugat ng equation 4 1–2x = 64.

Ito ay kinakailangan upang matiyak na sa kaliwa at tamang bahagi may mga demonstrative expression na may isang base. Maaari nating katawanin ang 64 bilang 4 sa kapangyarihan ng 3. Nakukuha natin ang:

4 1–2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Pagsusuri:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Sagot: –1

Hanapin ang ugat ng equation 3 x–18 = 1/9.

Ito ay kilala na

Kaya 3 x-18 = 3 -2

Ang mga base ay pantay-pantay, maaari nating ipantay ang mga tagapagpahiwatig:

x – 18 = – 2

x = 16

Pagsusuri:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Sagot: 16

Hanapin ang ugat ng equation:

Katawanin natin ang fraction 1/64 bilang one-fourth sa ikatlong power:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Pagsusuri:

Sagot: 11

Hanapin ang ugat ng equation:

Isipin natin ang 1/3 bilang 3 –1, at 9 bilang 3 squared, makuha natin ang:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Ngayon ay maaari nating itumbas ang mga tagapagpahiwatig:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Pagsusuri:

Sagot: 5

26654. Hanapin ang ugat ng equation:

Solusyon:

Sagot: 8.75

Sa katunayan, anuman ang antas na itinaas natin positibong numero a, hindi kami makakakuha ng negatibong numero sa anumang paraan.

Anumang exponential equation pagkatapos ng naaangkop na mga pagbabago ay binabawasan sa paglutas ng isa o higit pang mga simple.Sa seksyong ito ay titingnan din natin ang paglutas ng ilang mga equation, huwag palampasin ito!Iyon lang. Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo sa akin ang tungkol sa site sa mga social network.

Ang mga exponential equation ay ang mga kung saan ang hindi alam ay nakapaloob sa exponent. Ang pinakasimpleng exponential equation ay may anyo: a x = a b, kung saan ang a> 0, a 1, x ay hindi kilala.

Ang mga pangunahing katangian ng mga kapangyarihan kung saan binago ang mga exponential equation: a>0, b>0.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ginagamit din nila ang mga sumusunod na katangian exponential function: y = a x, a > 0, a1:

Upang kumatawan sa isang numero bilang isang kapangyarihan, gamitin ang pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic: b = , a > 0, a1, b > 0.

Mga problema at pagsubok sa paksang "Exponential Equation"

• Exponential equation

  Aralin: 4 Takdang-Aralin: 21 Pagsusulit: 1

• Exponential equation - Mahahalagang Paksa para sa pag-uulit ng Unified State Examination sa matematika

  Mga Gawain: 14

• Mga sistema ng exponential at logarithmic equation - Demonstratibo at logarithmic function Baitang 11

  Mga Aralin: 1 Takdang-Aralin: 15 Pagsusulit: 1

• §2.1. Paglutas ng mga exponential equation

  Mga Aralin: 1 Mga Gawain: 27

• §7 Exponential at logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay - Seksyon 5. Exponential at logarithmic function, grade 10

  Mga Aralin: 1 Mga Gawain: 17

Upang matagumpay na malutas ang mga exponential equation, dapat mong malaman ang mga pangunahing katangian ng mga kapangyarihan, katangian ng exponential function, at ang pangunahing logarithmic identity.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, dalawang pangunahing pamamaraan ang ginagamit:

1. paglipat mula sa equation na a f(x) = a g(x) sa equation na f(x) = g(x);
2. pagpapakilala ng mga bagong linya.

Mga halimbawa.

1. Nabawasan ang mga equation sa pinakasimpleng. Ang mga ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagbabawas ng magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan na may parehong base.

3 x = 9 x – 2 .

Solusyon:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Sagot: 4.

2. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng pag-alis ng common factor sa mga bracket.

Solusyon:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Sagot: 3.

3. Nalutas ang mga equation gamit ang pagbabago ng variable.

Solusyon:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Tinutukoy namin ang 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ang equation ay walang mga solusyon, dahil 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Sagot: log 2 3.

4. Mga equation na naglalaman ng mga kapangyarihan na may dalawang magkaibang (hindi mababawasan sa isa't isa) base.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Sagot: 2.

5. Mga equation na homogenous na may paggalang sa a x at b x.

Pangkalahatang anyo: .

9 x + 4 x = 2.5 × 6 x.

Solusyon:

3 2x – 2.5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
Tukuyin natin ang (3/2) x = y.
y 2 – 2.5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Sagot: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Ano ang isang exponential equation? Mga halimbawa.

Kaya, isang exponential equation... Isang bagong natatanging eksibit sa aming pangkalahatang eksibisyon ng isang malawak na uri ng mga equation!) Gaya ng halos palaging nangyayari, ang pangunahing salita ng anumang bagong termino sa matematika ay ang kaukulang pang-uri na nagpapakilala dito. Kaya ito ay dito. Keyword sa terminong "exponential equation" ay ang salita "nagpapahiwatig". Ano ang ibig sabihin nito? Ang salitang ito ay nangangahulugan na ang hindi alam na (x) ay matatagpuan sa mga tuntunin ng anumang degree. At doon lang! Ito ay lubhang mahalaga.

Halimbawa, ang mga simpleng equation na ito:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

O kahit na ang mga halimaw na ito:

2 sin x = 0.5

Mangyaring bigyang-pansin kaagad ang isang bagay mahalagang bagay: V mga dahilan degrees (ibaba) - mga numero lamang. Ngunit sa mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na iba't ibang mga expression na may X. Ganap na anuman.) Lahat mula sa tiyak na equation depende. Kung, biglang, ang x ay lilitaw sa ibang lugar sa equation, bilang karagdagan sa indicator (sabihin, 3 x = 18 + x 2), kung gayon ang naturang equation ay magiging isang equation na. halo-halong uri . Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas ng mga ito. Samakatuwid, hindi natin sila isasaalang-alang sa araling ito. Sa kasiyahan ng mga mag-aaral.) Dito ay isasaalang-alang lamang natin ang mga exponential equation sa kanilang "dalisay" na anyo.

Sa pangkalahatan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi palaging at hindi palaging nalutas nang malinaw. Ngunit sa lahat ng mayamang iba't ibang mga exponential equation ay mayroong ibang mga klase, na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri ng equation na ating isasaalang-alang. At tiyak na malulutas natin ang mga halimbawa.) Kaya't maging komportable tayo at umalis na tayo! Tulad ng sa mga computer shooter, ang aming paglalakbay ay magaganap sa pamamagitan ng mga antas.) Mula elementarya hanggang simple, mula simple hanggang intermediate at mula intermediate hanggang kumplikado. Sa daan, maghihintay din sa iyo ang isang lihim na antas - mga diskarte at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi karaniwang halimbawa. Ang mga hindi mo nabasa tungkol sa karamihan mga aklat-aralin sa paaralan... Well, sa dulo, siyempre, naghihintay sa iyo ang panghuling boss sa anyo ng araling-bahay.)

Level 0. Ano ang pinakasimpleng exponential equation? Paglutas ng mga simpleng exponential equation.

Una, tingnan natin ang ilang lantad na bagay sa elementarya. Kailangan mong magsimula sa isang lugar, tama ba? Halimbawa, ang equation na ito:

2 x = 2 2

Kahit na walang anumang mga teorya, ayon sa simpleng lohika at bait Malinaw na ang x = 2. Wala nang ibang paraan, di ba? Walang ibang kahulugan ng X ang angkop... At ngayon ibaling natin ang ating pansin sa talaan ng desisyon ang cool na exponential equation na ito:

2 x = 2 2

X = 2

Anong nangyari sa atin? At nangyari ang mga sumusunod. Talagang kinuha namin ito at... itinapon lang ang parehong mga base (dalawa)! Ganap na itinapon. At, ang magandang balita ay, natamaan kami!

Oo, sa katunayan, kung sa isang exponential equation ay may kaliwa at kanan pareho mga numero sa anumang kapangyarihan, kung gayon ang mga numerong ito ay maaaring itapon at itumbas lamang ang mga exponent. Pinapayagan ng matematika.) At pagkatapos ay maaari kang magtrabaho nang hiwalay sa mga tagapagpahiwatig at lutasin ang isang mas simpleng equation. Mahusay, tama?

Iyon ay pangunahing ideya mga solusyon sa anuman (oo, eksaktong anuman!) exponential equation: gamit ang magkaparehong pagbabago, kinakailangan upang matiyak na ang kaliwa at kanang bahagi ng equation ay pareho mga batayang numero sa iba't ibang kapangyarihan. At pagkatapos ay maaari mong ligtas na alisin ang parehong mga base at ipantay ang mga exponent. At gumana sa isang mas simpleng equation.

Ngayon tandaan natin tuntuning bakal: posibleng tanggalin ang magkaparehong base kung at kung ang mga base number sa kaliwa at kanan ng equation ay sa ipinagmamalaking kalungkutan.

Ano ang ibig sabihin nito, sa napakagandang paghihiwalay? Nangangahulugan ito na walang anumang kapitbahay at coefficient. Hayaan mo akong magpaliwanag.

Halimbawa, sa Eq.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Hindi matatanggal ang tatlo! Bakit? Dahil sa kaliwa mayroon kaming hindi lamang isang malungkot na tatlo sa antas, ngunit trabaho 3·3 x-5 . Ang isang karagdagang tatlong nakakasagabal: ang koepisyent, naiintindihan mo.)

Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa equation

5 3 x = 5 2 x +5 x

Dito, din, ang lahat ng mga base ay pareho - lima. Ngunit sa kanan ay wala tayong isang kapangyarihan ng lima: mayroong isang kabuuan ng mga kapangyarihan!

Sa madaling salita, may karapatan tayong mag-alis ng magkaparehong base lamang kapag ganito ang hitsura ng ating exponential equation at ganito lang:

af (x) = isang g (x)

Ang ganitong uri ng exponential equation ay tinatawag ang pinakasimple. O, sa siyentipikong pagsasalita, kanonikal . At kahit na anong convoluted equation ang nasa harap natin, gagawin natin, sa isang paraan o iba pa, bawasan ito sa pinakasimpleng (canonical) form na ito. O, sa ilang mga kaso, sa kabuuan mga equation ng ganitong uri. Pagkatapos ang aming pinakasimpleng equation ay maaaring isulat bilang pangkalahatang pananaw muling isulat ito tulad nito:

F(x) = g(x)

Iyon lang. Ito ay magiging isang katumbas na conversion. Sa kasong ito, ang f(x) at g(x) ay maaaring maging ganap na anumang mga expression na may x. Kahit ano.

Marahil ay magtatanong ang isang partikular na matanong na mag-aaral: bakit sa mundo ay napakadali at simpleng itinatapon natin ang parehong mga base sa kaliwa at kanan at tinutumbasan ang mga exponent? Ang intuwisyon ay intuwisyon, ngunit paano kung, sa ilang equation at sa ilang kadahilanan, ang diskarteng ito ay naging hindi tama? Lagi bang legal na itapon ang parehong batayan? Sa kasamaang palad, para sa isang mahigpit na mathematical na sagot dito interes Magtanong kailangan mong sumisid nang malalim at seryoso pangkalahatang teorya gawi ng device at function. At medyo mas partikular - sa hindi pangkaraniwang bagay mahigpit na monotony. Sa partikular, mahigpit na monotony exponential functiony= isang x. Dahil ang exponential function at ang mga katangian nito ang sumasailalim sa solusyon ng exponential equation, oo.) Ang isang detalyadong sagot sa tanong na ito ay ibibigay sa isang hiwalay na espesyal na aralin na nakatuon sa paglutas ng mga kumplikadong non-standard na equation gamit ang monotonicity ng iba't ibang function.)

Ang pagpapaliwanag sa puntong ito nang detalyado ngayon ay magpapagulo lamang sa isip ng karaniwang estudyante at matatakot siya nang maaga sa isang tuyo at mabigat na teorya. I won’t do this.) Kasi yung main namin sa sandaling ito gawain - matutong lutasin ang mga exponential equation! Ang pinakasimpleng mga! Samakatuwid, huwag na tayong mag-alala pa at matapang na itapon ang parehong mga dahilan. Ito Pwede, kunin ang aking salita para dito!) At pagkatapos ay malulutas namin ang katumbas na equation f(x) = g(x). Bilang panuntunan, mas simple kaysa sa orihinal na exponential.

Ipinapalagay, siyempre, na alam na ng mga tao kung paano lutasin ang hindi bababa sa , at mga equation, nang walang x sa mga exponents.) Para sa mga hindi pa rin alam kung paano, huwag mag-atubiling isara ang pahinang ito, sundan ang mga nauugnay na link at punan ang ang mga lumang gaps. Kung hindi ay mahihirapan ka, oo...

Hindi ko pinag-uusapan ang tungkol sa hindi makatwiran, trigonometriko at iba pang mga brutal na equation na maaari ding lumabas sa proseso ng pag-aalis ng mga pundasyon. Ngunit huwag maalarma, hindi namin isasaalang-alang ang tahasang kalupitan sa mga tuntunin ng mga degree sa ngayon: masyadong maaga. Magsasanay lamang kami sa pinakasimpleng mga equation.)

Ngayon tingnan natin ang mga equation na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimpleng. For the sake of distinction, tawagan natin sila simpleng exponential equation. Kaya, lumipat tayo sa susunod na antas!

Level 1. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin natin ang mga degree! Mga likas na tagapagpahiwatig.

Ang mga pangunahing tuntunin sa paglutas ng anumang mga exponential equation ay mga tuntunin sa pagharap sa mga degree. Kung wala ang kaalaman at kasanayang ito walang gagana. Naku. Kaya, kung may mga problema sa mga degree, pagkatapos ay malugod ka muna. Bilang karagdagan, kakailanganin din natin ang . Ang mga pagbabagong ito (dalawa sa kanila!) ay ang batayan para sa paglutas ng lahat ng mathematical equation sa pangkalahatan. At hindi lamang mga demonstrative. Kaya, kung sino ang nakalimutan, tingnan din ang link: Hindi ko lang sila inilalagay doon.

Ngunit ang mga operasyon na may mga kapangyarihan at pagbabago ng pagkakakilanlan lamang ay hindi sapat. Kinakailangan din ang personal na pagmamasid at talino. Kailangan natin ng parehong dahilan, hindi ba? Kaya't sinusuri namin ang halimbawa at hinahanap ang mga ito sa isang tahasan o disguised form!

Halimbawa, ang equation na ito:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Unang tingin sa bakuran. Sila ay magkaiba! Tatlo at dalawampu't pito. Ngunit masyadong maaga para mataranta at mawalan ng pag-asa. Oras na para tandaan iyon

27 = 3 3

Ang mga numero 3 at 27 ay magkakamag-anak sa antas! At mga malapit.) Samakatuwid, mayroon kaming bawat karapatan isulat:

27 x +2 = (3 3) x+2

Ngayon ikonekta natin ang ating kaalaman tungkol sa mga aksyon na may mga antas(at binalaan kita!). Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na formula doon:

(a m) n = isang mn

Kung isasagawa mo na ito ngayon, magiging mahusay ito:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Ang orihinal na halimbawa ay ganito na ngayon:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Mahusay, ang mga base ng mga degree ay nag-level out. Yun ang gusto namin. Ang kalahati ng labanan ay tapos na.) Ngayon ay inilunsad namin ang pangunahing pagbabago ng pagkakakilanlan - ilipat ang 3 3(x +2) sa kanan. Walang nagkansela ng elementarya na operasyon ng matematika, oo.) Nakukuha namin ang:

3 2 x = 3 3(x +2)

Ano ang ibinibigay sa atin ng ganitong uri ng equation? At ang katotohanan na ngayon ang aming equation ay nabawasan sa canonical form: sa kaliwa at kanan ay may parehong mga numero (tatlo) sa kapangyarihan. Bukod dito, pareho silang tatlo ay nasa napakagandang paghihiwalay. Huwag mag-atubiling tanggalin ang triple at makuha ang:

2x = 3(x+2)

Malutas namin ito at makakuha ng:

X = -6

Ayan yun. Ito ang tamang sagot.)

Ngayon isipin natin ang solusyon. Ano ang nagligtas sa atin sa halimbawang ito? Ang kaalaman sa kapangyarihan ng tatlo ang nagligtas sa amin. Paano eksakto? Kami nakilala number 27 ay naglalaman ng naka-encrypt na tatlo! Ang trick na ito (pag-encrypt ng parehong base sa ilalim magkaibang numero) ay isa sa pinakasikat sa mga exponential equation! Maliban kung ito ang pinakasikat. Oo, at sa parehong paraan, sa pamamagitan ng paraan. Ito ang dahilan kung bakit ang pagmamasid at ang kakayahang makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero ay napakahalaga sa mga exponential equation!

Praktikal na payo:

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng mga sikat na numero. Sa mukha!

Siyempre, kahit sino ay maaaring itaas ang dalawa sa ikapitong kapangyarihan o tatlo hanggang ikalimang kapangyarihan. Wala sa isip ko, pero sa draft man lang. Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na hindi kinakailangan na itaas sa isang kapangyarihan, ngunit sa halip upang malaman kung anong numero at kung anong kapangyarihan ang nakatago sa likod ng numero, sabihin nating, 128 o 243. At ito ay mas kumplikado kaysa sa simpleng pagtaas, papayag ka. Pakiramdam ang pagkakaiba, tulad ng sinasabi nila!

Dahil ang kakayahang makilala ang mga degree nang personal ay magiging kapaki-pakinabang hindi lamang sa antas na ito, kundi pati na rin sa mga susunod, narito ang isang maliit na gawain para sa iyo:

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Mga sagot (random, siyempre):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Oo Oo! Huwag magtaka na mas maraming sagot kaysa sa mga gawain. Halimbawa, ang 2 8, 4 4 at 16 2 ay 256 lahat.

Antas 2. Mga simpleng exponential equation. Kilalanin natin ang mga degree! Negatibo at fractional na mga tagapagpahiwatig.

Sa antas na ito ginagamit na natin ang ating kaalaman sa mga degree nang lubusan. Ibig sabihin, kasali tayo dito kapana-panabik na proseso negatibo at fractional exponents! Oo Oo! Kailangan nating dagdagan ang ating kapangyarihan, tama ba?

Halimbawa, ang kakila-kilabot na equation na ito:

Muli, ang unang sulyap ay sa mga pundasyon. Iba-iba ang mga dahilan! At sa pagkakataong ito ay hindi na sila magkatulad sa isa't isa! 5 at 0.04... At para maalis ang mga base, pareho ang kailangan... Ano ang gagawin?

ayos lang! Sa katunayan, ang lahat ay pareho, ito lamang na ang koneksyon sa pagitan ng lima at 0.04 ay hindi gaanong nakikita. Paano tayo makakalabas? Lumipat tayo sa numerong 0.04 bilang isang ordinaryong fraction! At pagkatapos, makikita mo, lahat ay gagana.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ang 0.04 pala ay 1/25! Well, sinong mag-aakala!)

Kaya paano? Mas madali na bang makita ang koneksyon sa pagitan ng mga numero 5 at 1/25? Ayan yun...

At ngayon ayon sa mga patakaran ng mga aksyon na may mga degree na may negatibong tagapagpahiwatig Maaari kang sumulat sa isang matatag na kamay:

Iyan ay mahusay. Kaya nakarating kami sa parehong base - lima. Ngayon ay pinapalitan namin ang hindi maginhawang numero 0.04 sa equation na may 5 -2 at makuha ang:

Muli, ayon sa mga patakaran ng mga operasyon na may mga degree, maaari na nating isulat:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Kung sakali, ipinapaalala ko sa iyo (kung sakaling hindi alam ng sinuman) na ang mga pangunahing patakaran para sa pagharap sa mga degree ay may bisa para sa anuman mga tagapagpahiwatig! Kasama ang para sa mga negatibo.) Kaya, huwag mag-atubiling kunin at i-multiply ang mga tagapagpahiwatig (-2) at (x-1) ayon sa naaangkop na tuntunin. Ang aming equation ay nagiging mas mahusay at mas mahusay:

Lahat! Bukod sa lonely fives, wala nang iba sa powers sa kaliwa't kanan. Ang equation ay nabawasan sa canonical form. At pagkatapos - kasama ang knurled track. Inalis namin ang lima at itinutumbas ang mga tagapagpahiwatig:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Ang halimbawa ay halos malutas. Ang natitira na lang ay elementary middle school math - buksan (tama!) ang mga bracket at kolektahin ang lahat sa kaliwa:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Malutas namin ito at makakuha ng dalawang ugat:

x 1 = 1; x 2 = 3

Iyon lang.)

Ngayon isipin natin muli. SA sa halimbawang ito muli naming kinailangan na kilalanin ang parehong numero sa magkaibang antas! Lalo na, upang makita ang isang naka-encrypt na lima sa numerong 0.04. At sa pagkakataong ito - sa negatibong antas! Paano natin ito nagawa? Right off the bat - hindi pwede. Ngunit pagkatapos ng paglipat mula sa decimal 0.04 sa karaniwang fraction 1/25 at iyon na! At pagkatapos ang buong desisyon ay naging parang orasan.)

Samakatuwid, isa pang berdeng praktikal na payo.

Kung ang isang exponential equation ay naglalaman ng mga decimal fraction, pagkatapos ay lumipat tayo mula sa mga decimal fraction patungo sa mga ordinaryong fraction. SA ordinaryong fraction Mas madaling makilala ang mga kapangyarihan ng maraming sikat na numero! Pagkatapos ng pagkilala, lumipat kami mula sa mga fraction patungo sa mga kapangyarihan na may mga negatibong exponent.

Tandaan na ang trick na ito ay nangyayari nang napakadalas sa mga exponential equation! Ngunit ang tao ay wala sa paksa. Siya ay tumitingin, halimbawa, sa mga numerong 32 at 0.125 at nagagalit. Lingid sa kanyang kaalaman, this is one and the same deuce, only in iba't ibang grado...Pero nasa topic ka na!)

Lutasin ang equation:

Sa! Mukhang tahimik na horror... Gayunpaman, nanlilinlang ang mga pagpapakita. Ito ang pinakasimpleng exponential equation, sa kabila ng nakakatakot hitsura. At ngayon ipapakita ko ito sa iyo.)

Una, tingnan natin ang lahat ng mga numero sa mga base at coefficient. Siyempre, iba sila, oo. Ngunit magsasagawa pa rin kami ng isang panganib at subukang gawin ang mga ito magkapareho! Subukan nating makarating ang parehong numero sa iba't ibang kapangyarihan. Bukod dito, mas mabuti, ang mga numero ay kasing liit hangga't maaari. Kaya, simulan natin ang pag-decode!

Buweno, sa apat ay agad na malinaw ang lahat - ito ay 2 2. Kaya, iyon ay isang bagay na.)

Sa isang fraction ng 0.25 - hindi pa rin malinaw. Kailangan mong alamin. Gumamit tayo ng praktikal na payo - lumipat mula sa isang decimal fraction patungo sa isang ordinaryong fraction:

0,25 = 25/100 = 1/4

Much better na. Dahil ngayon ay malinaw na nakikita na ang 1/4 ay 2 -2. Mahusay, at ang bilang na 0.25 ay katulad din ng dalawa.)

So far so good. Ngunit ang pinakamasamang bilang ng lahat ay nananatili - square root ng dalawa! Ano ang gagawin sa paminta na ito? Maaari rin ba itong ilarawan bilang kapangyarihan ng dalawa? At sino ang nakakaalam...

Buweno, muli nating sumisid sa ating kaban ng kaalaman tungkol sa mga degree! Sa pagkakataong ito, ikinonekta natin ang ating kaalaman tungkol sa mga ugat. Mula sa kursong ika-9 na baitang, dapat natutunan mo at ako na ang anumang ugat, kung ninanais, ay maaaring palaging gawing isang degree na may isang fractional indicator.

Ganito:

Sa kaso natin:

Wow! Lumalabas na ang square root ng dalawa ay 2 1/2. Ayan yun!

ayos lang yan! Ang lahat ng aming hindi maginhawang numero ay talagang naging isang naka-encrypt na dalawa.) Hindi ako nakikipagtalo, sa isang lugar na napaka sopistikadong naka-encrypt. Ngunit pinapabuti rin namin ang aming propesyonalismo sa paglutas ng mga naturang cipher! At saka halata na ang lahat. Sa aming equation pinapalitan namin ang mga numero 4, 0.25 at ang ugat ng dalawa sa pamamagitan ng kapangyarihan ng dalawa:

Lahat! Ang mga base ng lahat ng degree sa halimbawa ay naging pareho - dalawa. At ngayon ang mga karaniwang pagkilos na may mga degree ay ginagamit:

isang misang n = isang m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = isang mn

Para sa kaliwang bahagi makakakuha ka ng:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Para sa kanang bahagi ito ay magiging:

At ngayon ang aming masamang equation ay ganito ang hitsura:

Para sa mga hindi pa alam kung paano nangyari ang equation na ito, ang tanong dito ay hindi tungkol sa exponential equation. Ang tanong ay tungkol sa mga aksyon na may mga degree. Hiniling ko sa iyo na mapilit itong ulitin sa mga may problema!

Narito ang linya ng pagtatapos! Nakuha na ang canonical form ng exponential equation! Kaya paano? Napaniwala ba kita na ang lahat ay hindi nakakatakot? ;) Tinatanggal namin ang dalawa at tinutumbasan ang mga tagapagpahiwatig:

Ang natitira na lang ay upang malutas ang linear equation na ito. Paano? Sa tulong ng magkaparehong pagbabago, siyempre.) Magpasya kung ano ang nangyayari! I-multiply ang magkabilang panig ng dalawa (upang alisin ang fraction na 3/2), ilipat ang mga terminong may X's sa kaliwa, walang X's sa kanan, magdala ng mga katulad, bilangin - at ikaw ay magiging masaya!

Ang lahat ay dapat maging maganda:

X=4

Ngayon isipin natin muli ang solusyon. Sa halimbawang ito, natulungan kami ng paglipat mula sa parisukat na ugat Upang degree na may exponent 1/2. Bukod dito, ang gayong tusong pagbabago lamang ang nakatulong sa amin na maabot ang parehong base (dalawa) sa lahat ng dako, na nagligtas sa sitwasyon! At, kung hindi dahil dito, magkakaroon tayo ng bawat pagkakataong mag-freeze magpakailanman at hindi na makayanan ang halimbawang ito, oo...

Samakatuwid, hindi namin pinababayaan ang susunod na praktikal na payo:

Kung ang isang exponential equation ay naglalaman ng mga ugat, pagkatapos ay lumipat tayo mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan na may mga fractional exponent. Kadalasan ang gayong pagbabago lamang ang nagpapaliwanag sa karagdagang sitwasyon.

Siyempre, ang mga negatibo at praksyonal na kapangyarihan ay mas kumplikado kaysa sa mga likas na kapangyarihan. Hindi bababa sa mula sa punto ng view visual na pagdama at, lalo na, pagkilala mula kanan hanggang kaliwa!

Malinaw na ang direktang pagtaas, halimbawa, dalawa sa kapangyarihan -3 o apat sa kapangyarihan -3/2 ay hindi ganoon. malaking problema. Para sa mga nakakaalam.)

Ngunit pumunta, halimbawa, agad na mapagtanto iyon

0,125 = 2 -3

O kaya

Dito, practice at rich experience lang ang rule, yes. At, siyempre, isang malinaw na ideya, Ano ang isang negatibo at praksyonal na antas? At- praktikal na payo! Oo, oo, ang parehong mga iyon berde.) Umaasa ako na matutulungan ka pa rin nila na mas mahusay na mag-navigate sa buong magkakaibang iba't ibang antas at makabuluhang taasan ang iyong mga pagkakataong magtagumpay! Kaya huwag natin silang pabayaan. Hindi ako in vain berde Nagsusulat ako minsan.)

Ngunit kung makikilala ninyo ang isa't isa kahit na may mga kakaibang kapangyarihan tulad ng mga negatibo at praksyonal, kung gayon ang iyong mga kakayahan sa paglutas ng mga exponential equation ay lalawak nang husto, at magagawa mong hawakan ang halos anumang uri ng exponential equation. Well, kung wala man, 80 porsiyento ng lahat ng exponential equation - sigurado! Oo, oo, hindi ako nagbibiro!

Kaya, ang aming unang bahagi ng pagkilala sa mga exponential equation ay natapos na. lohikal na konklusyon. At, bilang isang intermediate na ehersisyo, tradisyonal kong iminumungkahi ang paggawa ng kaunting pagmumuni-muni sa sarili.)

Ehersisyo 1.

Upang ang aking mga salita tungkol sa pag-decipher ng mga negatibo at fractional na kapangyarihan ay hindi walang kabuluhan, iminumungkahi kong maglaro ng kaunting laro!

Ipahayag ang mga numero bilang kapangyarihan ng dalawa:

Mga sagot (magulo):

Nangyari? Malaki! Pagkatapos ay gumawa kami ng isang misyon ng labanan - nilulutas namin ang pinakasimpleng at pinakasimpleng mga exponential equation!

Gawain 2.

Lutasin ang mga equation (lahat ng sagot ay gulo!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Mga sagot:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Nangyari? Sa katunayan, ito ay mas simple!

Pagkatapos ay malulutas namin ang susunod na laro:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

Mga sagot:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

At ang mga halimbawang ito ay isang natitira? Malaki! Lumalaki ka! Pagkatapos ay narito ang ilang higit pang mga halimbawa para sa iyong meryenda:

Mga sagot:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

At ito ba ay nagpasya? Well, respeto! Tinatanggal ko ang aking sumbrero.) Kaya, ang aralin ay hindi walang kabuluhan, at Unang antas ang paglutas ng mga exponential equation ay maituturing na matagumpay na pinagkadalubhasaan. Ang mga susunod na antas at mas kumplikadong mga equation ay nasa unahan! At mga bagong diskarte at diskarte. At hindi karaniwang mga halimbawa. At mga bagong sorpresa.) Ang lahat ng ito ay nasa susunod na aralin!

May nangyari bang mali? Nangangahulugan ito na malamang na ang mga problema ay nasa . O sa . O pareho nang sabay-sabay. Wala akong kapangyarihan dito. pwede akong pumasok Muli Isa lang ang maimumungkahi ko - huwag maging tamad at sundin ang mga link.)

Itutuloy.)

Kagamitan:

• kompyuter,
• multimedia projector,
• screen,
• Annex 1(PowerPoint slide presentation) “Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential equation”
• Appendix 2(Paglutas ng isang equation tulad ng "Tatlong magkakaibang base ng kapangyarihan" ​​sa Word)
• Appendix 3(mga handout sa Word para sa praktikal na gawain).
• Appendix 4(handout sa Word para sa takdang-aralin).

Sa panahon ng mga klase

• mensahe ng paksa ng aralin (nakasulat sa pisara),
• ang pangangailangan para sa isang pangkalahatang aralin sa mga baitang 10-11:

Ang yugto ng paghahanda ng mga mag-aaral para sa aktibong pag-aaral

Pag-uulit

Kahulugan.

Ang exponential equation ay isang equation na naglalaman ng variable na may exponent (mga sagot ng mag-aaral).

Tala ng guro. Ang mga exponential equation ay nabibilang sa klase ng transendental equation. Ang hindi mabigkas na pangalan na ito ay nagpapahiwatig na ang mga naturang equation, sa pangkalahatan, ay hindi malulutas sa anyo ng mga formula.

Ang mga ito ay malulutas lamang nang humigit-kumulang sa pamamagitan ng mga numerical na pamamaraan sa mga computer. Ngunit ano ang tungkol sa mga gawain sa pagsusulit? Ang trick ay na ang tagasuri ay nag-frame ng problema sa paraang nagbibigay-daan ito para sa isang analytical na solusyon. Sa madaling salita, maaari kang (at dapat!) magsagawa ng magkatulad na pagbabagong-anyo na nagpapababa sa exponential equation na ito sa pinakasimpleng exponential equation. Ang pinakasimpleng equation na ito ay tinatawag na: ang pinakasimpleng exponential equation. Ito ay nireresolba sa pamamagitan ng logarithm.

Ang sitwasyon sa paglutas ng isang exponential equation ay nakapagpapaalaala sa paglalakbay sa isang labyrinth, na espesyal na imbento ng may-akda ng problema. Mula sa napaka-pangkalahatang mga argumentong ito ay sinusunod ang napakaespesipikong mga rekomendasyon.

1. Hindi lamang aktibong alam ang lahat ng mga exponential na pagkakakilanlan, ngunit hanapin din ang mga hanay ng mga variable na halaga kung saan tinukoy ang mga pagkakakilanlan na ito, upang kapag ginagamit ang mga pagkakakilanlan na ito ay hindi ka nakakakuha ng hindi kinakailangang mga ugat, at higit pa rito, huwag mawalan ng mga solusyon sa equation.

2. Aktibong alamin ang lahat ng exponential identity.

3. Malinaw, nang detalyado at walang mga pagkakamali, isagawa ang mga pagbabagong matematikal ng mga equation (maglipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, atbp.). Ito ay tinatawag na mathematical culture. Kasabay nito, ang mga kalkulasyon mismo ay dapat na awtomatikong gawin sa pamamagitan ng kamay, at dapat isipin ng ulo ang pangkalahatang gabay na thread ng solusyon. Ang mga pagbabago ay dapat gawin nang maingat at detalyado hangga't maaari. Ito lang ang magagarantiya ng tama, walang error na desisyon. At tandaan: ang isang maliit na error sa aritmetika ay maaaring lumikha lamang ng isang transendental na equation na, sa prinsipyo, ay hindi malulutas nang analytical. Naligaw ka na pala at tumama sa pader ng labirint.

4. Alamin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema (iyon ay, alamin ang lahat ng mga landas sa pamamagitan ng solusyon maze). Upang mag-navigate nang tama sa bawat yugto, kakailanganin mong (sinasadya o intuitively!):

• tukuyin uri ng equation;
• tandaan ang kaukulang uri paraan ng solusyon mga gawain.

Ang yugto ng generalization at systematization ng pinag-aralan na materyal.

Ang guro, kasama ang mga mag-aaral na gumagamit ng isang computer, ay nagsasagawa ng pagsusuri ng lahat ng uri ng mga exponential equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, nag-compile. pangkalahatang pamamaraan. (Ginamit na pagsasanay programa sa kompyuter L.Ya. Borevsky "Mathematics Course - 2000", ang may-akda ng PowerPoint presentation ay T.N. Kuptsova.)

kanin. 1. Ang figure ay nagpapakita ng pangkalahatang diagram ng lahat ng uri ng exponential equation.

Tulad ng makikita mula sa diagram na ito, ang diskarte para sa paglutas ng mga exponential equation ay upang bawasan ang ibinigay na exponential equation sa equation, una sa lahat, na may parehong mga base ng degree , at pagkatapos – at na may parehong mga tagapagpahiwatig ng antas.

Kapag nakatanggap ka ng equation na may parehong mga base at exponents, papalitan mo ang exponent na ito ng bagong variable at kumuha ng simpleng algebraic equation (karaniwan ay fractional-rational o quadratic) na may kinalaman sa bagong variable na ito.

Nang malutas ang equation na ito at gumawa ng reverse substitution, magkakaroon ka ng isang set ng mga simpleng exponential equation na maaaring malutas sa pangkalahatang anyo gamit ang logarithms.

Ang mga equation kung saan ang mga produkto lamang ng (partial) na kapangyarihan ang makikitang kapansin-pansin. Gamit ang mga exponential identity, posibleng bawasan kaagad ang mga equation na ito sa isang batayan, partikular, sa pinakasimpleng exponential equation.

Tingnan natin kung paano lutasin ang isang exponential equation na may tatlong magkakaibang base.

(Kung ang guro ay may programa sa computer na pang-edukasyon ni L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", pagkatapos ay natural na nagtatrabaho kami sa disk, kung hindi, maaari kang gumawa ng isang printout ng ganitong uri ng equation mula dito para sa bawat desk, ipinakita sa ibaba.)

kanin. 2. Magplano para sa paglutas ng equation.

kanin. 3. Simulan ang paglutas ng equation

kanin. 4. Tapusin ang paglutas ng equation.

Gumagawa ng praktikal na gawain

Tukuyin ang uri ng equation at lutasin ito.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Pagbubuod ng aralin

Pagmamarka para sa aralin.

Pagtatapos ng aralin

Para sa guro

Magsanay ng scheme ng sagot.

Pagsasanay: mula sa listahan ng mga equation, piliin ang mga equation ng tinukoy na uri (ipasok ang sagot na numero sa talahanayan):

1. Tatlong magkakaibang degree base
2. Dalawang magkaibang base - iba't ibang mga tagapagpahiwatig degrees
3. Mga base ng kapangyarihan - kapangyarihan ng isang numero
4. Parehong base - iba't ibang exponent
5. Ang parehong mga base ng mga degree - ang parehong mga tagapagpahiwatig ng mga degree
6. Produkto ng mga kapangyarihan
7. Dalawang magkaibang degree base - ang parehong mga tagapagpahiwatig
8. Ang pinakasimpleng exponential equation

1. (produkto ng kapangyarihan)

2. (parehong base – magkaibang exponents)