Mümkün olmayan əmlak çox kiçik bir obyektdir. "Mümkün olmayan rəqəmlər" layihəsi

Mümkün olmayan şey budur
mövcud ola bilməz...
ya da olur...

Dərsin məqsədi: tələbələrin üçölçülü görmə inkişafı; müəyyən bir fiqurun mövcudluğunun qeyri-mümkünlüyünü həndəsə nöqteyi-nəzərindən izah etmək bacarığı; mövzuya marağın inkişafı.

Avadanlıq: saytın materialları əsasında qəzet " Mümkün olmayan dünya" (İnternet), fiqur qurma alətləri, həndəsi fiqurlar, qeyri-mümkün fiqurların illüstrasiyaları.

Dərslər zamanı:

Giriş:
Tarix boyu insanlar bu və ya digər növ optik illüziyalarla qarşılaşmışlar. Səhrada ilğım, işıq və kölgənin yaratdığı illüziyaları, eləcə də nisbi hərəkəti xatırlamaq kifayətdir. Aşağıdakı misal hamıya məlumdur: üfüqdən yüksələn ay səmadakı hündürlükdən xeyli böyük görünür. Bütün bunlar təbiətdə baş verən maraqlı hadisələrdən yalnız bir neçəsidir. Görmə qabiliyyətini və ağlını aldadan bu hadisələr ilk dəfə diqqət çəkəndə insanların təxəyyülünü oyatmağa başladı.

Qədim dövrlərdən bəri optik illüziyalar sənət əsərlərinin təsirini artırmaq və ya təkmilləşdirmək üçün istifadə edilmişdir görünüş memarlıq əsərləri. Qədim yunanlar böyük məbədlərinin görünüşünü mükəmməlləşdirmək üçün optik illüziyalardan istifadə edirdilər. Orta əsrlərdə rəsmdə bəzən yerdəyişmə perspektivindən istifadə edilirdi. Sonralar qrafikada bir çox başqa illüziyalardan istifadə edildi. Onların arasında unikal və nisbətən yeni optik illüziya növü “mümkün olmayan obyektlər” kimi tanınır.

Texniki sahədə çalışan insanlar üçün vacib bacarıqlardan biri iki ölçülü müstəvidə üç ölçülü obyektləri qavramaq bacarığıdır. Qeyri-mümkün Obyektlər 2D məkanında perspektiv və dərinliyə malik fəndlər ətrafında qurulub. Həqiqi üçölçülü məkanda qeyri-mümkündür, onlar dəyişmiş perspektiv, dərinlik və müstəvi ilə manipulyasiyalar, aldadıcı optik göstərişlər, planlardakı uyğunsuzluqlar, işıq və kölgə oyunu, qeyri-müəyyən əlaqələr, səhv və ziddiyyətli istiqamətlər və əlaqələr səbəbindən görmə qabiliyyətimizə təsir göstərir. kod nöqtələri və başqaları.qrafik rəssamın müraciət etdiyi “hiylələr”.

Dizaynda qeyri-mümkün obyektlərin qəsdən istifadəsi qədim dövrlərə, klassik perspektivin yaranmasına qədər gedib çıxır. Rəssamlar yeni həll yolları tapmağa çalışdılar. Buna misal olaraq Hollandiyanın Breda şəhərindəki Müqəddəs Məryəm Katedralinin freskasında XV əsrə aid Annunciation təsvirini göstərmək olar. Şəkildə baş mələk Cəbrayıl Məryəmə gələcək Oğlu haqqında xəbər gətirərkən təsvir edilmişdir. Freska üç sütunla dəstəklənən iki tağla çərçivəyə salınmışdır. Bununla belə, orta sütuna diqqət yetirilməlidir. Digərlərindən fərqli olaraq o, sobanın arxasında fonda yox olur. Praktiki baxımdan rəssam səhnəni iki yerə bölməkdən yayınmaq üçün bu “mümkünsüzlük”dən xüsusi texnika kimi istifadə edib.

Belə bir arxın nümunəsi Şek. bir

"Qeyri-mümkün rəqəmlər"4 qrupa bölünürlər. İndi hər qrupdan əsas fiqurları sökməyə çalışaq. Beləliklə, birinci:

Tələbə 1:

Heyrətamiz üçbucaq - tribar.

Bu rəqəm bəlkə də çapda dərc olunan ilk rəqəmdir qeyri-mümkün obyekt. 1958-ci ildə göründü. Onun müəllifləri ata və oğul Lionell və müvafiq olaraq genetik və riyaziyyatçı Rocer Penrose obyekti "üç ölçülü düzbucaqlı quruluş" kimi təyin etdilər. O, həm də "tribar" adını aldı.

Həndəsi cəhətdən nəyin qeyri-mümkün olduğunu müəyyənləşdirin.

(İlk baxışda qəbilə sadəcə bərabərtərəfli üçbucağın təsviri kimi görünür. Lakin rəsmin yuxarı hissəsində birləşən tərəflər perpendikulyar görünür. Eyni zamanda, aşağıdakı sol və sağ üzlər də perpendikulyar görünür. Hər bir detala ayrıca baxsanız, bu, real görünür, amma ümumilikdə bu rəqəm mövcud ola bilməz. Deformasiya olunmayıb, lakin rəsm çəkərkən düzgün elementlər səhv bağlanıb.)

Budur, qəbilə əsasında qeyri-mümkün rəqəmlərin daha bir neçə nümunəsi. Onların qeyri-mümkünlüyünü izah etməyə çalışın.

Üçqat deformasiyaya uğramış qəbilə

12 kubdan ibarət üçbucaq

Qanadlı qəbilə

üçqat domino

Tələbə 2:

Sonsuz pilləkən

Bu rəqəm ən çox "Sonsuz pilləkən", "Əbədi pilləkən" və ya "Penrose pilləkəni" adlanır - yaradıcısının şərəfinə. Buna "davamlı olaraq yüksələn və enən yol" da deyilir.

Bu rəqəm ilk dəfə 1958-ci ildə dərc edilib. Qarşımızda yuxarıya və ya aşağıya aparan bir pilləkən görünür, amma eyni zamanda onunla gedən bir adam qalxmır və ya enmir. Vizual marşrutunu tamamladıqdan sonra yolun başlanğıcında olacaq.

“Sonsuz pilləkən” rəssam Maurits K. Escher tərəfindən bu dəfə 1960-cı ildə yaratdığı “Yüksəlmə və enmə” litoqrafiyasında uğurla istifadə edilmişdir.

Dörd və ya yeddi pilləli pilləkən.

Müəllifin çoxlu sayda addımları olan bu fiqurun yaradılması adi dəmiryol şpallarının qalaqlanmasından ilhamlana bilərdi. Bu nərdivanı qalxmağa hazırlaşırsınızsa, seçim qarşısında qalacaqsınız: dörd və ya yeddi pillə ilə qalxmaq.

Bu pilləkənin yaradıcılarının hansı xüsusiyyətlərdən istifadə etdiyini izah etməyə çalışın.

(Bu pilləkənin yaradıcıları blokların eyni məsafədə olan son hissələrini tərtib edərkən paralel xətlərdən istifadə etdilər; blokların bəziləri illüziyaya uyğun olaraq bükülür).

Başqa bir rəqəmə baxmaq təklif olunur. Pilləli divar.

Tələbə 3:

"Kosmik çəngəl" ümumi adı altında növbəti fiqurlar qrupu. Bu rəqəmlə biz qeyri-mümkün olanın özü və mahiyyətinə daxil oluruq. Bəlkə də bu mümkün olmayan obyektlərin ən çoxsaylı sinfidir.

Üç (və ya iki?) dişli bu bədnam qeyri-mümkün obyekt 1964-cü ildə mühəndislər və puzzle həvəskarları arasında populyarlaşdı. Qeyri-adi fiqura həsr olunmuş ilk nəşr 1964-cü ilin dekabrında çıxdı. Müəllif bunu “Üç elementdən ibarət mötərizə” adlandırıb. Bu yeni qeyri-müəyyən fiqurda uyğunsuzluğu dərk etmək və həll etmək (mümkünsə) vizual fiksasiyada real dəyişiklik tələb edir. Praktik baxımdan, mötərizə şəklində olan bu qəribə trident və ya mexanizm tamamilə tətbiq olunmur. Bəziləri bunu sadəcə olaraq "bədbəxt bir səhv" adlandırırlar. Aerokosmik sənayenin nümayəndələrindən biri onun xüsusiyyətlərindən ölçülərarası kosmik tüninq çəngəlinin dizaynında istifadə etməyi təklif etdi.

Dörd qoşa sütunlu qüllə.

Tələbə 4:

Daha bir qeyri-mümkün obyekt 1966-cı ildə Çikaqoda fotoqraf Dr.Charles F. Cochranın orijinal təcrübələri nəticəsində ortaya çıxdı. Qeyri-mümkün fiqurların bir çox həvəskarları Crazy Box ilə təcrübə keçirdilər. Müəllif əvvəlcə onu “Sərbəst qutu” adlandırıb və onun “qeyri-mümkün obyektləri çoxlu sayda daşımaq üçün nəzərdə tutulduğunu” bildirib.

Crazy Box içəriyə çevrilmiş kub çərçivədir. Crazy Box-un bilavasitə sələfi Escher tərəfindən qeyri-mümkün qutu, onun sələfi isə öz növbəsində Necker Cube idi.

Bu, qeyri-mümkün bir obyekt deyil, ancaq dərinlik parametrinin birmənalı şəkildə qəbul oluna biləcəyi bir rəqəmdir.

Nekker kubu ilk dəfə 1832-ci ildə isveçrəli kristalloqraf Lyuis A. Nekker tərəfindən təsvir edilmişdir və o, kristalların bəzən onlara baxdığınız zaman vizual olaraq formasını dəyişdiyini müşahidə etmişdir. Nekker kubuna nəzər saldıqda, nöqtəsi olan üzün ön planda olduğunu, daha sonra arxa planda bir mövqedən digərinə tullandığını görürük.

Daha bir neçə qeyri-mümkün rəqəmlər.

Müəllim:

İndi özünüz mümkün olmayan bir fiqur yaratmağa çalışın.

Dərs şagirdlərin özbaşına qeyri-mümkün fiqur çəkməyə çalışması ilə başa çatır.

Qeyri-mümkün rəqəmlər - xüsusi növ təsviri sənətdə obyektlər. Bir qayda olaraq, onlar mövcud ola bilmədiklərinə görə belə adlanırlar real dünya.

Daha dəqiq desək, qeyri-mümkün fiqurlar üçölçülü obyektin adi proyeksiyası təəssüratı yaradan kağız üzərində çəkilmiş həndəsi cisimlərdir, lakin daha yaxından araşdırıldıqda fiqurun elementlərinin birləşmələrində ziddiyyətlər görünür.

Mümkün olmayan rəqəmlər ayrıca bir sinifə ayrılır optik illüziyalar.

Mümkün olmayan tikintilər qədim zamanlardan məlumdur. Onlara orta əsrlərə aid ikonalarda rast gəlinir. İsveçli rəssam qeyri-mümkün fiqurların “atası” hesab olunur Oscar Reutersvärd kim çəkdi qeyri-mümkün üçbucaq, 1934-cü ildə kublardan ibarətdir.

Qeyri-mümkün rəqəmlər geniş ictimaiyyətə ötən əsrin 50-ci illərində, Rocer Penrose və Lionel Penrose-un iki məqaləsinin dərcindən sonra məlum oldu. əsas rəqəmlər- qeyri-mümkün üçbucaq (buna üçbucaq da deyilirPenrose) və sonsuz bir pilləkən. Bu yazı tanınmış adamın əlinə keçib Hollandiyalı rəssam M.K. Escher, o, qeyri-mümkün fiqurlar ideyasından ilhamlanaraq, məşhur "Şəlalə", "Yüksəlmə və Eniş" və "Belvedere" litoqrafiyalarını yaratdı. Onun ardınca dünyada çoxlu sayda rəssam öz işlərində qeyri-mümkün fiqurlardan istifadə etməyə başladı. Onların arasında ən məşhurları Jos de Mey, Sandro del Pre, Ostvan Orosdur. Bunların, eləcə də digər sənətkarların əsərləri ayrıca istiqamət üzrə seçilir. vizual incəsənət - " imp art" .

Görünə bilər ki, qeyri-mümkün fiqurlar həqiqətən üçölçülü məkanda mövcud ola bilməz. Real dünyada qeyri-mümkün rəqəmləri təkrar edə biləcəyiniz müəyyən üsullar var, baxmayaraq ki, onlar yalnız bir baxımdan qeyri-mümkün görünəcəklər.

Ən məşhur qeyri-mümkün fiqurlar bunlardır: qeyri-mümkün üçbucaq, sonsuz pilləkən və qeyri-mümkün trident.

Elm və Həyat jurnalından məqalə "Mümkün olmayan reallıq" yükləyin

Oscar Ruthersward(rusdilli ədəbiyyatda qəbul edilən soyadın yazılışı; daha doğrusu, Reuterswerd), ( 1 915 - 2002) qeyri-mümkün fiqurları, yəni təsvir edilə bilən, lakin yaradıla bilməyən fiqurları təsvir etməkdə ixtisaslaşmış İsveç rəssamıdır. Onun fiqurlarından biri alındı gələcək inkişaf Penrose üçbucağı kimi.

1964-cü ildən Lund Universitetində sənət tarixi və nəzəriyyəsi professoru.

Rutersvärd, Sankt-Peterburqdakı Rəssamlıq Akademiyasının rus mühacir professoru Mixail Katzın dərslərindən çox təsirləndi. İlk qeyri-mümkün fiqur - kublar toplusundan ibarət qeyri-mümkün üçbucaq 1934-cü ildə təsadüfən yaradılmışdır.Sonralar yaradıcılıq illəri ərzində o, 2500-dən çox müxtəlif qeyri-mümkün fiqurlar çəkmişdir. Hamısı paralel "yapon" perspektivində hazırlanmışdır.

1980-ci ildə İsveç hökuməti üç seriya buraxdı poçt markaları rəssamın rəsmləri ilə.

Giriş……………………………………………………………………………..2

Əsas hissə. Qeyri-mümkün rəqəmlər…………………………………………4

2.1. Bir az tarix…………………………………………………….4

2.2. Qeyri-mümkün fiqurların növləri……………………………………………….6

2.3. Oscar Ruthersvärd – qeyri-mümkün fiqurun atası………………………..11

2.4. Qeyri-mümkün rəqəmlər mümkündür!…………………………………..13

2.5. Qeyri-mümkün rəqəmlərdən istifadə……………………………………………………………………………………………………14

Nəticə……………………………………………………………………..15

Biblioqrafiya………………………………………………………………16

Giriş

Artıq bir müddətdir ki, elə fiqurlarla maraqlanıram ki, ilk baxışda adi görünsə də, yaxından baxanda onlarda nəyinsə düz olmadığını görmək olur. Mənim üçün əsas maraq qeyri-mümkün deyilən fiqurlar idi, onlara baxanda onların real dünyada mövcud ola bilməyəcəyi təəssüratı yaranır. Onlar haqqında daha çox bilmək istədim.

“Mümkün olmayan fiqurlar dünyası” əsərlərindən biridir maraqlı mövzular, öz sürətli inkişafını yalnız XX əsrin əvvəllərində aldı. Halbuki, çox əvvəllər bu məsələ ilə bir çox alim və filosof məşğul olmuşdu. Hətta kub, piramida, paralelepiped kimi sadə həcmli formalar da müşahidəçinin gözündən müxtəlif məsafələrdə yerləşən bir neçə fiqurun birləşməsi kimi təqdim edilə bilər. Bu halda, həmişə ayrı-ayrı hissələrin təsvirinin tam bir şəkilə birləşdirildiyi bir xətt olmalıdır.

“Qeyri-mümkün fiqur, kağız üzərində çəkilmiş, reallıqda mövcud olmayan, lakin ikiölçülü təsvir kimi görünə bilən üç ölçülü obyektdir.” Bu növlərdən biridir optik illüziyalar, ilk baxışda adi üçölçülü obyektin proyeksiyası kimi görünən fiqur, daha yaxından araşdırıldıqda fiqurun elementlərinin ziddiyyətli əlaqələri görünən olur. Üçölçülü fəzada belə bir fiqurun mövcudluğunun qeyri-mümkünlüyünə dair illüziya yaranır.

Qarşımda sual yarandı: “Mümkün olmayan fiqurlar real dünyada mövcuddurmu?”

Layihənin məqsədləri:

1. Tapınak yaratdıqeyri-real rəqəmlər görünür.

2. Proqramları tapınqeyri-mümkün rəqəmlər.

Layihənin məqsədləri:

1. “Mümkün olmayan fiqurlar” mövzusunda ədəbiyyat öyrənmək.

2 .Təsnifat edinqeyri-mümkün rəqəmlər.

3.PQeyri-mümkün fiqurların qurulması yollarını nəzərdən keçirin.

4. Qeyri-mümkün yaradınrəqəm.

İşimin mövzusu ona görə aktualdır ki, paradoksların başa düşülməsi bu qəbildən olan əlamətlərdən biridir yaradıcılıqən yaxşı riyaziyyatçılar, elm adamları və sənət adamları tərəfindən sahibdir. Qeyri-real obyektləri olan bir çox əsəri “intellektual” kimi təsnif etmək olar riyaziyyat oyunları". Simulyasiya edin oxşar dünya yalnız riyazi düsturların köməyi ilə mümkündür, insan sadəcə olaraq bunu təsəvvür edə bilmir. Məkan təxəyyülünün inkişafı üçün qeyri-mümkün rəqəmlər faydalı olur. İnsan yorulmadan zehni olaraq öz ətrafında onun üçün sadə və başa düşülən şeylər yaradır. Onu əhatə edən bəzi obyektlərin "mümkünsüz" ola biləcəyini ağlına belə gətirə bilməz. Əslində dünya birdir, lakin ona müxtəlif rakurslardan baxmaq olar.

Mümkün deyilrəqəmlər

Bir az tarix

Qədim qravüralarda, rəsmlərdə və ikonalarda qeyri-mümkün fiqurlara tez-tez rast gəlinir - bəzi hallarda perspektivin ötürülməsində aşkar səhvlərimiz olur, digərlərində - bədii niyyətə görə qəsdən təhriflərlə.

Orta əsr Yapon və Fars rəssamlığında qeyri-mümkün obyektlər şərq rəssamlığının tərkib hissəsidir. bədii üslub, bu, şəklin yalnız ümumi konturunu verir, təfərrüatları tamaşaçı tərəfindən öz seçimlərinə uyğun olaraq "düşünülməlidir". Burada məktəbimiz var. Diqqətimizi arxa planda həndəsi uyğunsuzluğu göz qabağında olan memarlıq quruluşu cəlb edir. Onu həm otağın daxili divarı, həm də binanın xarici divarı kimi şərh etmək olar, lakin bu təfsirlərin hər ikisi yanlışdır, çünki biz həm xarici, həm də xarici divar olan bir müstəvidən bəhs edirik, yəni. şəkil tipik qeyri-mümkün obyekti göstərir.

Təhrif edilmiş perspektivli şəkillərə artıq I minilliyin əvvəllərində rast gəlinir. 1025-ci ildən əvvəl yaradılmış və Bavariyada saxlanılan II Henrix kitabından miniatür üzərində dövlət kitabxanası Münhendə “Madonna və Uşaq” əsəri. Şəkildə üç sütundan ibarət tonoz göstərilir və orta sütun, perspektiv qanunlarına görə, Madonnanın qarşısında, ancaq onun arxasında yerləşməlidir ki, bu da şəkilə qeyri-reallıq effekti verir.

Növlərqeyri-mümkün rəqəmlər.

“Mümkün olmayan rəqəmlər” 4 qrupa bölünür. Beləliklə, birincisi:

Heyrətamiz üçbucaq - tribar.

Bu rəqəm, bəlkə də çapda dərc olunan ilk qeyri-mümkün obyektdir. 1958-ci ildə göründü. Onun müəllifləri ata və oğul Lionell və müvafiq olaraq genetik və riyaziyyatçı Rocer Penrose bu obyekti "üç ölçülü düzbucaqlı quruluş" kimi təyin etdilər. O, həm də "tribar" adını aldı. İlk baxışda qəbilə sadəcə bərabərtərəfli üçbucağın təsviri kimi görünür. Lakin rəsmin yuxarı hissəsində birləşən tərəflər perpendikulyar görünür. Eyni zamanda, aşağıdakı sol və sağ üzlər də perpendikulyar görünür. Hər bir detala ayrıca baxsanız, bu, real görünür, lakin, ümumiyyətlə, bu rəqəm mövcud ola bilməz. Deformasiya olunmur, ancaq çəkərkən düzgün elementlər səhv bağlanmışdır.

Budur, qəbilə əsasında qeyri-mümkün rəqəmlərin daha bir neçə nümunəsi.

Sonsuz pilləkən

Bu rəqəm ən çox "Sonsuz pilləkən", "Əbədi pilləkən" və ya "Penrose pilləkəni" adlanır - yaradıcısının şərəfinə. Buna “davamlı olaraq yüksələn və enən yol” da deyirlər.

Bu rəqəm ilk dəfə 1958-ci ildə dərc edilib. Qarşımızda yuxarıya və ya aşağıya aparan bir pilləkən görünür, amma eyni zamanda onunla gedən bir adam qalxmır və ya enmir. Vizual marşrutunu tamamladıqdan sonra yolun başlanğıcında olacaq.

“Sonsuz pilləkən” rəssam Maurits K. Escher tərəfindən bu dəfə 1960-cı ildə “Yüksək və enən” litoqrafiyasında uğurla istifadə edilmişdir.

Dörd və ya yeddi pilləli pilləkən. Müəllifin çoxlu sayda addımları olan bu fiqurun yaradılması adi dəmiryol şpallarının qalaqlanmasından ilhamlana bilərdi. Bu nərdivanı qalxmağa hazırlaşırsınızsa, seçim qarşısında qalacaqsınız: dörd və ya yeddi pillə ilə qalxmaq.

Bu pilləkənin yaradıcıları blokların eyni məsafədə olan son hissələrini tərtib edərkən paralel xətlərdən istifadə etdilər; görünür ki, bəzi bloklar illüziyaya uyğun olaraq bükülür.

Kosmik çəngəl.

"Kosmik çəngəl" ümumi adı altında növbəti fiqurlar qrupu. Bu rəqəmlə biz qeyri-mümkün olanın özü və mahiyyətinə daxil oluruq. Bəlkə də bu mümkün olmayan obyektlərin ən çoxsaylı sinfidir.

Üç (və ya iki?) dişli bu bədnam qeyri-mümkün obyekt 1964-cü ildə mühəndislər və puzzle həvəskarları arasında populyarlaşdı. Qeyri-adi fiqura həsr olunmuş ilk nəşr 1964-cü ilin dekabrında çıxdı. Müəllif bunu “Üç elementdən ibarət mötərizə” adlandırıb.

Praktik baxımdan, mötərizə şəklində olan bu qəribə trident və ya mexanizm tamamilə tətbiq olunmur. Bəziləri bunu sadəcə olaraq "bədbəxt bir səhv" adlandırırlar. Aerokosmik sənayenin nümayəndələrindən biri onun xüsusiyyətlərindən ölçülərarası kosmik tüninq çəngəlinin dizaynında istifadə etməyi təklif etdi.

Mümkün olmayan qutular

Daha bir qeyri-mümkün obyekt 1966-cı ildə Çikaqoda fotoqraf Dr.Charles F. Cochranın orijinal təcrübələri nəticəsində ortaya çıxdı. Qeyri-mümkün fiqurların bir çox həvəskarları Crazy Box ilə təcrübə keçirdilər. Əvvəlcə müəllif onu “Sərbəst qutu” adlandırdı və onun “mümkün olmayan obyektləri çoxlu sayda göndərmək üçün nəzərdə tutulduğunu” bildirdi.

"Dəli qutu" içəriyə çevrilmiş bir kub çərçivədir. Dəli Qutunun bilavasitə sələfi Mümkün Olmayan Qutu (Eşer tərəfindən), onun sələfi isə öz növbəsində Necker Cube idi.

Bu, qeyri-mümkün bir obyekt deyil, ancaq dərinlik parametrinin birmənalı şəkildə qəbul oluna biləcəyi bir rəqəmdir.

Nekker kubuna nəzər saldıqda, nöqtəsi olan üzün ön planda olduğunu, sonra arxa planda bir mövqedən digərinə tullandığını görürük.

Oskar Rutersward - qeyri-mümkün fiqurun atası.

Qeyri-mümkün fiqurların “atası” isveçli rəssam Oscar Ruthersvarddır. Qeyri-mümkün fiqurların təsvirlərinin yaradılması üzrə mütəxəssis olan isveçli rəssam Oskar Rutersvärd riyaziyyatdan zəif məlumatlı olduğunu iddia etsə də, buna baxmayaraq, müəyyən sayda naxışa görə qeyri-mümkün fiqurların yaradılmasının bütöv bir nəzəriyyəsini yaradaraq, sənətini elm səviyyəsinə qaldırdı. .

O, rəqəmləri iki əsas qrupa ayırdı. Onlardan birini o, “əsl qeyri-mümkün rəqəmlər” adlandırıb. Bunlar kağız üzərində rənglənə və kölgə sala bilən, lakin monolit və sabit dərinliyə malik olmayan üçölçülü cisimlərin ikiölçülü təsvirləridir.

Digər növ şübhəli qeyri-mümkün rəqəmlərdir. Bu rəqəmlər tək bərk cisimlər deyil. Onlar iki və ya birləşməsidir daha çox rəqəmlər. Onları nə rəngləmək, nə də üzərinə işıq və kölgə qoymaq olmaz.

Əsl qeyri-mümkün fiqur müəyyən sayda mümkün elementdən ibarətdir, şübhəli isə, onları gözlərinizlə izləsəniz, müəyyən sayda elementi “itirir”.

Bu qeyri-mümkün fiqurların bir versiyasını etmək çox asandır və mexaniki olaraq həndəsi çəkənlərin çoxu

rəqəmlər, telefonla danışarkən, bunu bir dəfədən çox etmişlər. Beş, altı və ya yeddi paralel xətt çəkmək, bu xətləri müxtəlif uclarda müxtəlif yollarla bitirmək lazımdır - və qeyri-mümkün rəqəm hazırdır. Məsələn, beş paralel xətt çəkilirsə, onda onlar bir tərəfdən iki şüa, digər tərəfdən üç şüa kimi tamamlana bilər.

Şəkildə biz şübhəli qeyri-mümkün rəqəmlərin üç variantını görürük. Solda, yeddi xəttdən tikilmiş üç-yeddi şüa, üç şüa yeddiyə çevrilir. Ortadakı fiqur, bir şüanın iki dairəvi şüaya çevrildiyi üç xəttdən qurulmuşdur. Sağdakı rəqəm, dörd sətirdən qurulmuşdur, içərisində iki dəyirmi şüa iki şüaya çevrilir

Rutersvärd həyatı boyu 2500-ə yaxın fiqur çəkib. Rutersvardın kitabları bir çox dillərdə, o cümlədən rus dilində nəşr olunub.

Qeyri-mümkün rəqəmlər mümkündür!

Bir çox insanlar qeyri-mümkün rəqəmlərin həqiqətən qeyri-mümkün olduğuna inanır və real dünyada yaradıla bilməz. Ancaq yadda saxlamalıyıq ki, bir vərəqdəki hər hansı bir rəsm üçölçülü bir fiqurun proyeksiyasıdır. Odur ki, kağız üzərində çəkilmiş istənilən fiqur üçölçülü məkanda mövcud olmalıdır. Rəsmlərdə qeyri-mümkün obyektlər üçölçülü obyektlərin proyeksiyalarıdır, yəni obyektlər formada reallaşdırıla bilər. heykəltəraşlıq kompozisiyaları. Onları yaratmağın bir çox yolu var. Onlardan biri qeyri-mümkün üçbucağın tərəfləri kimi əyri xətlərin istifadəsidir. Yaradılmış heykəl yalnız ondan qeyri-mümkün görünür tək nöqtə. Bu nöqtədən əyri tərəflər düz görünür və məqsədə nail olunacaq - real "mümkün olmayan" obyekt yaradılır.

Müasirimiz olan rus rəssamı Anatoli Konenko qeyri-mümkün fiqurları 2 sinfə ayırdı: bəzilərini reallıqda modelləşdirmək olar, digərlərini isə yox. Qeyri-mümkün fiqurların modellərinə Ames modelləri deyilir.

Mən qeyri-mümkün qutumun Ames modelini hazırladım. Mən qırx iki kub götürdüm və onları bir-birinə yapışdırdım, nəticədə kənarın bir hissəsinin əskik olduğu bir kub oldu. Qeyd edim ki, tam illüziya yaratmaq üçün düzgün baxış bucağı və düzgün işıqlandırma lazımdır.

Eyler teoremindən istifadə edərək qeyri-mümkün fiqurları tədqiq etdim və belə bir nəticəyə gəldim: İstənilən qabarıq çoxbucaqlı üçün doğru olan Eyler teoremi qeyri-mümkün fiqurlar üçün doğru deyil, onların Ames modelləri üçün doğrudur.

O. Rutersvardın məsləhətindən istifadə edərək, qeyri-mümkün fiqurlarımı yaradıram. Kağız üzərində yeddi paralel xətt çəkdim. Mən onları aşağıdan qırıq bir xəttlə birləşdirdim və yuxarıdan onlara paralelepipedlər şəklini verdim. Əvvəlcə yuxarıdan, sonra aşağıdan baxın. Belə rəqəmlərin sonsuz sayda var. Əlavəyə baxın.

Qeyri-mümkün rəqəmlərin tətbiqi

Mümkün olmayan rəqəmlər bəzən gözlənilməz istifadələr tapır. Oskar Rutersvärd özünün “Omojliqa fiquru” kitabında psixoterapiya üçün imp-art rəsmlərin istifadəsi haqqında danışır. O yazır ki, şəkillər öz paradoksları ilə təəccübləndirir, diqqəti kəskinləşdirir və deşifrə etmək istəyi yaradır. Psixoloq Rocer Şepard qeyri-mümkün filin rəsmini üçün trident ideyasından istifadə etdi.

İsveçdə onlardan stomatoloji praktikada istifadə olunur: gözləmə otağında şəkillərə baxan xəstələr stomatoloqun kabinetinin qarşısında xoşagəlməz fikirlərdən yayınırlar.

Mümkün olmayan fiqurlar rəssamları rəsmdə qeyri-mümkünlük adlanan tamamilə yeni bir istiqamət yaratmağa ruhlandırdı. Hollandiyalı rəssam Escher qeyri-mümkünlükçü adlandırılır. Onun qələmi məşhur “Şəlalə”, “Yüksəlmə və eniş” və “Belvedere” litoqrafiyalarına aiddir. Rəssam Rootesvardın kəşf etdiyi “sonsuz pilləkən” effektindən istifadə edib.

Xaricdə, şəhərlərin küçələrində qeyri-mümkün fiqurların memarlıq təcəssümlərini görə bilərik.

Qeyri-mümkün fiqurların ən məşhur istifadəsi populyar mədəniyyət - Renault avtomobil şirkətinin loqosu

Riyaziyyatçılar deyirlər ki, içərisinə pilləkənlərlə enə biləcəyiniz saraylar mövcud ola bilər. Bunun üçün sadəcə belə bir quruluşu üçölçülü deyil, deyək ki, dördölçülü məkanda qurmaq lazımdır. Və içində virtual dünya, bizə müasir kompüter texnologiyasını açır və siz səhv bir şey edə bilərsiniz. Əsrin əvvəlində qeyri-mümkün dünyaların varlığına inanan bir insanın ideyaları bu gün belə həyata keçirilir.

Nəticə.

Qeyri-mümkün rəqəmlər zehnimizi əvvəlcə nəyin olmamalı olduğunu görməyə, sonra cavab axtarmağa vadar edir - nəyin səhv edildiyi, paradoksun əsas məqamı nədir. Cavabı tapmaq bəzən o qədər də asan olmur - bu, təsvirlərin optik, psixoloji, məntiqi qavrayışında gizlənir.

Elmin inkişafı, yeni tərzdə düşünmək zərurəti, gözəllik axtarışları - bütün bu tələblər müasir həyat məkan təfəkkürünü, təxəyyülü dəyişdirə biləcək yeni üsullar axtarmağa məcbur olur.

Mövzu ilə bağlı ədəbiyyatı öyrəndikdən sonra “Real dünyada qeyri-mümkün fiqurlar varmı?” sualına cavab verə bildim. Anladım ki, qeyri-mümkündür və qeyri-real rəqəmlər öz əllərinizlə edilə bilər. Amesin qeyri-mümkün kub modelini yaratdım və onun üzərində Eyler teoremini sınaqdan keçirdim. Qeyri-mümkün fiqurların necə qurulacağına baxdıqdan sonra öz qeyri-mümkün fiqurlarımı çəkə bildim. Mən bunu göstərə bilmişəm

Nəticə 1: Bütün qeyri-mümkün rəqəmlər real dünyada mövcud ola bilər.

Nəticə2: İstənilən qabarıq çoxbucaqlı üçün doğru olan Eyler teoremi qeyri-mümkün fiqurlar üçün deyil, onların Ames modelləri üçün doğrudur.

Nəticə 3: Qeyri-mümkün rəqəmlərin istifadə olunacağı hələ çox sahələr var.

Beləliklə, qeyri-mümkün fiqurlar dünyasının son dərəcə maraqlı və rəngarəng olduğunu söyləyə bilərik. Qeyri-mümkün rəqəmlərin tədqiqi kifayət qədərdir əhəmiyyəti həndəsə baxımından. Əsər şagirdlərin məkan təfəkkürünün inkişafı üçün riyaziyyat dərslərində istifadə oluna bilər. üçün yaradıcı insanlar, ixtiraya meylli, mümkün olmayan rəqəmlər yeni, qeyri-adi bir şey yaratmaq üçün bir növ rıçaqdır.

Biblioqrafiya

Levitin Karl Həndəsi Rapsodiya. - M .: Bilik, 1984, -176 s.

Penrose L., Penrose R. Impossible objects, Kvant, No 5,1971, s.26

Reutersvärd O. Mümkün olmayan rəqəmlər. – M.: Stroyizdat, 1990, 206 s.

Tkacheva M.V. Fırlanan kublar. - M.: Bustard, 2002. - 168 s.

Mümkün olmayan fiqurlar ilk baxışdan adi fiqurlar kimi görünəcək şəkildə perspektivdə çəkilmiş fiqurlardır. Ancaq diqqətlə araşdırdıqda tamaşaçı anlayır ki, belə bir fiqur üçölçülü məkanda mövcud ola bilməz. Eşer məşhur “Belvedere” (1958), “Yüksək və enən” (1960) və “Şəlalə” (1961) rəsmlərində qeyri-mümkün fiqurları təsvir etmişdir. Qeyri-mümkün fiqurun nümunələrindən biri müasir macar rəssamı İştvan Orosun rəsm əsəridir.

İştvan Oros "Yol ayrıcı" (1999). Metal oyma reproduksiyası. Rəsm üçölçülü məkanda mövcud olmayan körpüləri təsvir edir. Məsələn, suda orijinal körpülər ola bilməyən əkslər var.

Mobius zolağı

Möbius zolağı yalnız bir tərəfi olan 3D obyektdir. Belə bir lent zolağın bir ucunu bükərək və sonra hər iki ucunu bir-birinə yapışdırmaqla kağız zolağından asanlıqla əldə edilə bilər. Escher Atlılar (1946), Möbius zolağı II (Qırmızı qarışqalar) (1963) və Düyünlər (1965) filmlərində Möbius zolağı təsvir etmişdir.

"Düyünlər" - Maurits Cornelis Escher 1965

Daha sonra minimum enerji səthləri bir çox riyaziyyatçı rəssamlar üçün ilham mənbəyi oldu. Brent Collins, heykəltəraşlıqda Möbius zolaqlarından və minimum enerji səthlərindən və digər abstraksiya növlərindən istifadə edir.

Təhrif edilmiş və qeyri-adi perspektivlər

İki və ya üç itmə nöqtəsi olan qeyri-adi perspektiv sistemləri də bir çox rəssamın sevimli mövzusudur. Bunlara həm də əlaqəli sahə daxildir - anamorfik sənət. Escher "Yuxarı və aşağı" (1947), "Pilləkənlər evi" (1951) və "İncəsənət Qalereyası" (1956) əsərlərində təhrif olunmuş perspektivdən istifadə edib. Dik Termes aşağıdakı nümunədə göstərildiyi kimi kürələr və çoxüzlülər üzərində səhnələr çəkmək üçün altı nöqtəli perspektivdən istifadə edir.

Dik Termez "İnsan üçün qəfəs" (1978). Bu altı nöqtəli perspektivdən istifadə edilməklə yaradılmış boyalı kürədir. O, landşaftın göründüyü tor şəklində həndəsi quruluşu təsvir edir. Üç budaq qəfəsin içərisinə nüfuz edir və sürünənlər onun boyunca sürünür. Bəziləri dünyanı araşdırarkən, bəziləri özlərini qəfəsdə görür.

Anamorfik (anamortik) sözü iki yunanca "ana" (yenidən) və morthe (forma) sözündən əmələ gəlib. Anamorfik təsvirlərə o qədər təhrif olunmuş təsvirlər daxildir ki, onları xüsusi güzgü olmadan ayırmaq mümkün deyil. Belə güzgü bəzən anamorfoskop adlanır. Anamorfoskop vasitəsilə baxıldıqda, təsvir tanınan şəkilə "yenidən formalaşır". Erkən İntibah dövrünün avropalı rəssamları xətti anamorfik rəsmlərə heyran olmuşdular, burada uzanan bir rəsm bucaqdan baxdıqda yenidən normal hala gəldi. Məşhur bir primer Hans Holbeinin uzunsov kəlləni təsvir edən "Səfirlər" (1533) əsəridir. Rəsm pilləkənlərin yuxarı hissəsində əyilə bilər ki, pilləkənləri qalxan insanlar kəllənin təsvirindən qorxsunlar. Baxmaq üçün silindrik güzgü tələb edən anamorfik rəsmlər Avropada və Şərqdə məşhur idi XVII-XVIII əsrlər. Çox vaxt bu cür şəkillər siyasi etiraz mesajları daşıyırdı və ya erotik məzmun daşıyırdı. Eşer öz işində klassik anamorfik güzgülərdən istifadə etməsə də, bəzi rəsmlərində sferik güzgülərdən istifadə etmişdir. Onun bu üslubda ən məşhur əsəri Reflecting Sphere olan Əldir (1935). Aşağıdakı nümunədə István Orosun klassik anamorfik təsviri göstərilir.

Istvan Oros "Quyu" (1998). “Quyu” rəsm əsəri metal üzərində qravüradan çap olunub. Əsər M.K.-nin anadan olmasının yüz illiyinə həsr edilmişdir. Escher. Escher heç bir şeyin təkrarlanmadığı gözəl bir bağda gəzmək kimi riyaziyyat sənətinə ekskursiyalar haqqında yazdı. Şəklin sol tərəfindəki darvaza Escherin beyində yerləşən riyazi bağını fiziki dünyadan ayırır. Şəklin sağ tərəfindəki sınmış güzgüdə İtaliyanın Amalfi sahilindəki kiçik Atrani şəhərinin mənzərəsi var. Escher buranı çox sevirdi və bir müddət orada yaşadı. O, bu şəhəri Metamorfozlar seriyasından ikinci və üçüncü rəsmlərdə təsvir etmişdir. Sağda göstərildiyi kimi quyunun yerinə silindrik bir güzgü qoysanız, onda sanki sehrli şəkildə Escherin üzü görünəcək.

Bir çox insanlar qeyri-mümkün rəqəmlərin həqiqətən qeyri-mümkün olduğuna inanır və onları real dünyada yaratmaq olmaz. Bununla belə, məktəb həndəsə kursundan bilirik ki, bir vərəqdə təsvir olunan rəsm üç ölçülü bir fiqurun təyyarəyə proyeksiyasıdır. Buna görə də bir vərəqdə çəkilmiş hər hansı bir fiqur üçölçülü məkanda mövcud olmalıdır. Üstəlik, sonsuz sayda üç ölçülü cisim var, bir müstəviyə proyeksiya edildikdə, müəyyən bir düz fiqur əldə edilir. Eyni şey qeyri-mümkün rəqəmlərə də aiddir.

Təbii ki, qeyri-mümkün fiqurların heç biri düz xətt üzrə hərəkət etməklə yaradıla bilməz. Məsələn, üç eyni ağac blokunu götürsəniz, onları birləşdirə bilməzsiniz ki, qeyri-mümkün üçbucaq əldə edəsiniz. Lakin üçölçülü fiqurun müstəviyə proyeksiyası zamanı bəzi xətlər görünməz ola bilər, bir-biri ilə üst-üstə düşə, bir-birinə qoşula və s. Buna əsaslanaraq, üç müxtəlif çubuq götürə və aşağıdakı fotoşəkildə göstərilən üçbucaq edə bilərik (şəkil 1). Bu foto M.K.-nin əsərlərinin məşhur populyarlaşdırıcısı tərəfindən yaradılmışdır. Escher, müəllif böyük rəqəm Bruno Ernst-in kitabları. Üstündə ön planda Fotoşəkildə qeyri-mümkün üçbucağın fiqurunu görürük. Arxa fonda eyni fiqurun fərqli nöqteyi-nəzərdən əks olunduğu güzgü var. Və görürük ki, əslində qeyri-mümkün üçbucağın fiquru qapalı deyil, açıq fiqurdur. Və yalnız rəqəmi tədqiq etdiyimiz nöqtədən belə görünür ki, fiqurun şaquli çubuğu üfüqi çubuqdan kənara çıxır, nəticədə rəqəm qeyri-mümkün görünür. Baxış bucağını bir az dəyişsək, siz dərhal şəkildəki boşluq görərdiniz və o, qeyri-mümkün effektini itirərdi. Qeyri-mümkün fiqurun yalnız bir nöqteyi-nəzərdən qeyri-mümkün görünməsi bütün qeyri-mümkün fiqurlar üçün xarakterikdir.

düyü. bir. Bruno Ernst tərəfindən qeyri-mümkün üçbucağın fotoşəkili.

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, verilmiş proyeksiyaya uyğun gələn rəqəmlərin sayı sonsuzdur, ona görə də yuxarıdakı misal belə deyil yeganə yol reallıqda qeyri-mümkün üçbucaq qurmaq. Şəkildə göstərilən heykəli Belçikalı rəssam Mathieu Hamaekers yaradıb. 2. Solda olan fotoşəkildə fiqurun öndən görünüşü göstərilir, burada qeyri-mümkün üçbucağa bənzəyir, mərkəzi fotoşəkildə 45° fırlanan eyni fiqur, sağdakı fotoda isə 90° fırlanan fiqur göstərilir.

düyü. 2. Mathieu Hemakers tərəfindən qeyri-mümkün üçbucaq fiqurunun fotoşəkili.

Gördüyünüz kimi, bu rəqəmdə yoxdur düz xətlər, fiqurun bütün elementləri müəyyən bir şəkildə əyilmişdir. Bununla belə, əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, mümkünsüzlüyün təsiri yalnız bir baxış bucağında nəzərə çarpır, bütün əyri xətlər düz xətlərə proyeksiya edildikdə və bəzi kölgələrə diqqət yetirməsəniz, rəqəm qeyri-mümkün görünür.

Qeyri-mümkün üçbucaq yaratmağın başqa bir yolu rus rəssamı və dizayneri Vyaçeslav Koleyçuk tərəfindən təklif edilmiş və "Texniki estetika" jurnalının 9-cu nömrəsində (1974) dərc edilmişdir. Bu dizaynın bütün kənarları düz xətlərdir və üzlər əyridir, baxmayaraq ki, bu əyri rəqəmin ön görünüşündə görünmür. O, ağacdan üçbucağın belə bir maketini yaradıb.

düyü. 3. Vyaçeslav Koleyçukun qeyri-mümkün üçbucağın modeli.

Bu model daha sonra İsraildəki Technion İnstitutunun Kompüter Elmləri Departamentinin üzvü Elber Gershon tərəfindən yenidən yaradılmışdır. Onun versiyası (bax. Şəkil 4) əvvəlcə kompüterdə hazırlanmış, sonra isə üçölçülü printerdən istifadə edərək reallıqda yenidən yaradılmışdır. Qeyri-mümkün üçbucağın baxış bucağını bir az dəyişdirsək, Şəkil 2-dəki ikinci fotoşəkilə bənzər bir rəqəm görəcəyik. 4.

düyü. 4. Elber Gershon tərəfindən qeyri-mümkün üçbucağın qurulması variantı.

Qeyd etmək lazımdır ki, əgər biz indi onların fotoşəkillərinə deyil, onların özlərinə baxsaydıq, o zaman dərhal görərdik ki, təqdim olunan fiqurların heç biri qeyri-mümkündür və onların hər birinin sirri nədir. Biz sadəcə olaraq bu rəqəmləri qeyri-mümkün kimi görə bilməzdik, çünki stereoskopik görmə qabiliyyətimiz var. Yəni bir-birindən müəyyən məsafədə yerləşən gözlərimiz eyni cismi iki yaxın, lakin yenə də fərqli baxış bucağından görür və beynimiz gözümüzdən iki görüntü qəbul edərək onları vahid bir şəkildə birləşdirir. Əvvəllər deyilmişdi ki, qeyri-mümkün obyekt yalnız bir nöqteyi-nəzərdən qeyri-mümkün görünür və biz obyektə iki nöqteyi-nəzərdən baxdığımız üçün bu və ya digər obyektin hansı hiylələrlə yaradıldığını dərhal görürük.

Bu o deməkdirmi ki, reallıqda qeyri-mümkün obyekti görmək hələ də mümkün deyil? Xeyr, edə bilərsiniz. Bir gözünüzü bağlayıb rəqəmə baxsanız, qeyri-mümkün görünəcək. Ona görə də muzeylərdə qeyri-mümkün fiqurları nümayiş etdirən zaman ziyarətçilər bir gözlə divardakı kiçik dəlikdən onlara baxmaq məcburiyyətində qalırlar.

Qeyri-mümkün bir rəqəmi və eyni anda iki gözlə görə biləcəyiniz başqa bir yol var. Aşağıdakılardan ibarətdir: hündürlüyü olan nəhəng bir rəqəm yaratmalısınız çoxmərtəbəli bina, onu geniş açıq yerə qoyun və çox uzaq məsafədən baxın. Belə olan halda, fiqura hər iki gözlə baxanda belə, hər iki gözünüzün bir-birindən praktiki olaraq fərqlənməyən görüntülər alacağına görə bunu qeyri-mümkün kimi qəbul edəcəksiniz. Belə qeyri-mümkün fiqur Avstraliyanın Pert şəhərində yaradılıb.

Əgər real dünyada qeyri-mümkün üçbucağı qurmaq nisbətən asandırsa, üçölçülü məkanda qeyri-mümkün trident yaratmaq o qədər də asan deyil. Bu rəqəmin bir xüsusiyyəti, fiqurun ayrı-ayrı elementləri fiqurun yerləşdiyi fona rəvan keçdikdə, fiqurun ön planı ilə fonu arasında ziddiyyətin olmasıdır.

düyü. 5. Dizayn qeyri-mümkün tridentə bənzəyir.

Axen şəhərində (Almaniya) Göz Optikası İnstitutunda xüsusi qurğu yaradaraq bu problemi həll edə bildilər. Dizayn iki hissədən ibarətdir. Qarşıda üç dairəvi sütun və bir inşaatçı var. Bu hissə yalnız aşağıdan işıqlandırılır. Sütunların arxasında yarımkeçirici (yarımkeçirici) güzgü var, əksedici təbəqəsi qabaqda yerləşir, yəni tamaşaçı güzgünün arxasında nə olduğunu görmür, ancaq onun içindəki sütunların əksini görür.

düyü. 6. Qeyri-mümkün tridenti əks etdirən quraşdırma diaqramı.