Hərf ifadələrinin vurulması. Hərfi ifadələr

Məlumdur ki, riyaziyyatda ifadələri sadələşdirmədən heç bir yol yoxdur. Bu, müxtəlif problemləri, eləcə də müxtəlif növ tənlikləri düzgün və tez həll etmək üçün lazımdır. Burada müzakirə olunan sadələşdirmə məqsədə çatmaq üçün tələb olunan hərəkətlərin sayının azaldılmasını nəzərdə tutur. Nəticədə hesablamalar nəzərəçarpacaq dərəcədə sadələşdirilir və vaxt əhəmiyyətli dərəcədə qənaət edilir. Bəs ifadəni necə sadələşdirmək olar? Bunun üçün çox vaxt düsturlar və ya qanunlar adlanan qurulmuş riyazi əlaqələrdən istifadə olunur ki, bu da ifadələri daha qısaltmağa imkan verir və bununla da hesablamaları sadələşdirir.

Heç kimə sirr deyil ki, bu gün onlayn ifadəni sadələşdirmək çətin deyil. Ən populyarlarından bəzilərinə keçidlər:

Ancaq bu, hər ifadə ilə mümkün deyil. Buna görə də, daha ənənəvi üsullara daha yaxından nəzər salaq.

Ümumi bölücünün çıxarılması

Bir ifadədə eyni amillərə malik monomiallar olduğu halda, onların əmsallarının cəmini tapa və sonra onlar üçün ümumi əmsala vura bilərsiniz. Bu əməliyyata "ortaq bölücünün çıxarılması" da deyilir. Davamlı istifadə bu üsul, bəzən ifadəni əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirə bilərsiniz. Axı, cəbr, ümumiyyətlə, bütövlükdə, amilləri və bölənləri qruplaşdırmaq və yenidən təşkil etmək üzərində qurulur.

Qısaldılmış vurma üçün ən sadə düsturlar

Daha əvvəl təsvir edilən metodun nəticələrindən biri qısaldılmış vurma düsturlarıdır. Onlardan çox istifadə edərək ifadələri necə sadələşdirmək olar daha aydındır, bu düsturları əzbərdən belə əzbərləməmiş, lakin onların necə alındığını, yəni haradan gəldiyini və müvafiq olaraq riyazi mahiyyətini bilən. Prinsipcə, əvvəlki ifadə birinci sinifdən mexaniki və riyaziyyat fakültələrinin ali kurslarına qədər bütün müasir riyaziyyatda qüvvədə qalır. Kvadratların fərqi, fərqin və cəminin kvadratı, kubların cəmi və fərqi - bütün bu düsturlar ibtidai, eləcə də ali riyaziyyatda məsələlərin həlli üçün ifadəni sadələşdirməyin lazım olduğu hallarda geniş istifadə olunur. Bu cür çevrilmələrin nümunələri hər hansı birində asanlıqla tapıla bilər məktəb dərsliyi cəbrdə və ya daha sadə, Ümumdünya Şəbəkəsinin genişliyində.

Dərəcə kökləri

İbtidai riyaziyyat, bütövlükdə baxsanız, ifadəni sadələşdirməyin bir çox yolu yoxdur. Dərəcələr və onlarla əməliyyatlar, bir qayda olaraq, əksər tələbələr üçün nisbətən asandır. Ancaq bir çox müasir məktəbli və tələbələr bir ifadəni köklərlə sadələşdirmək lazım olduqda xeyli çətinlik çəkirlər. Və bu tamamilə əsassızdır. Çünki köklərin riyazi təbiəti eyni dərəcələrin təbiətindən heç bir fərqi yoxdur, onlarla, bir qayda olaraq, daha az çətinliklər var. Məlumdur ki Kvadrat kökədədin, dəyişənin və ya ifadənin eyni ədəddən, dəyişəndən və ya ifadənin yarısının gücünə, kub kökünün üçdə birinin gücünə bərabər olmasından başqa bir şey deyil və s.

Kəsrlərlə ifadələrin sadələşdirilməsi

Bir ifadənin kəsrlərlə sadələşdirilməsinin ümumi nümunəsinə də baxaq. İfadələrin olduğu hallarda təbii fraksiyalar, siz ümumi amili məxrəcdən və paylayıcıdan təcrid etməli, sonra isə ona görə kəsri azaltmalısınız. Monomialların səlahiyyətlərə yüksəldilmiş eyni amilləri olduqda, onları yekunlaşdırarkən səlahiyyətlərin bərabər olmasını təmin etmək lazımdır.

Əsas triqonometrik ifadələrin sadələşdirilməsi

Bəziləri üçün diqqət çəkən şey triqonometrik ifadənin necə sadələşdirilməsi haqqında söhbətdir. Triqonometriyanın ən geniş sahəsi bəlkə də riyaziyyat tələbələrinin bir qədər mücərrəd anlayışlar, problemlər və onların həlli üsulları ilə qarşılaşacağı ilk mərhələdir. Burada müvafiq düsturlar var, onlardan birincisi əsas triqonometrik eynilikdir. Kifayət qədər riyazi təfəkkürə malik olmaqla, bütün əsas triqonometrik eyniliklərin və düsturların, o cümlədən fərq düsturlarının və arqumentlərin cəminin, ikiqat, üçlü arqumentlərin, reduksiya düsturlarının və bir çox başqalarının bu eyniliyindən sistematik törəməni izləyə bilərsiniz. Təbii ki, burada yeni üsul və düsturlarla birlikdə tam istifadə olunan ümumi faktorun əlavə edilməsi kimi ilk üsulları da unutmaq olmaz.

Xülasə etmək üçün oxucuya bəzi ümumi məsləhətlər verəcəyik:

• Çoxhədlilər faktorlara bölünməlidir, yəni müəyyən sayda amillərin hasili şəklində təqdim edilməlidir - monohədlər və çoxhədlilər. Əgər belə bir ehtimal varsa, mötərizədə ümumi faktoru çıxarmaq lazımdır.
• İstisnasız olaraq bütün qısaldılmış vurma düsturlarını yadda saxlamaq daha yaxşıdır. Onların sayı o qədər də çox deyil, lakin riyazi ifadələrin sadələşdirilməsi üçün əsasdır. Qısaldılmış vurma düsturlarından birinə tərs hərəkət olan trinomiallarda mükəmməl kvadratların təcrid edilməsi üsulunu da unutmamalıyıq.
• İfadədə mövcud olan bütün fraksiyalar mümkün qədər tez-tez azaldılmalıdır. Bununla belə, yalnız çarpanların azaldığını unutmayın. Cəbri kəsrlərin məxrəci və payı sıfırdan fərqli olan eyni ədədə vurulduqda kəsrlərin mənaları dəyişmir.
• Ümumiyyətlə, bütün ifadələr hərəkətlərlə və ya zəncirlə çevrilə bilər. Birinci üsula daha çox üstünlük verilir, çünki aralıq hərəkətlərin nəticələrini yoxlamaq daha asandır.
• Çox vaxt riyazi ifadələrdə kökləri çıxarmaq məcburiyyətindəyik. Yadda saxlamaq lazımdır ki, cüt güclərin kökləri yalnız mənfi olmayan ədəddən və ya ifadədən, tək qüvvələrin kökləri isə tamamilə hər hansı bir ifadədən və ya rəqəmdən çıxarıla bilər.

Ümid edirik ki, məqaləmiz gələcəkdə riyazi düsturları anlamağa kömək edəcək və onları praktikada tətbiq etməyi öyrədəcək.

Qeyd 1

Boolean funksiyası Boolean ifadəsi ilə yazıla bilər və sonra məntiq dövrəsinə köçürülə bilər. Mümkün olan ən sadə (və buna görə də daha ucuz) məntiqi dövrə əldə etmək üçün məntiqi ifadələri sadələşdirmək lazımdır. Əslində, məntiqi funksiya, məntiqi ifadə və məntiqi dövrə bir varlıq haqqında danışan üç fərqli dildir.

Məntiqi ifadələri sadələşdirmək üçün istifadə edin cəbr məntiqinin qanunları.

Bəzi çevrilmələr klassik cəbrdə düsturların çevrilməsinə bənzəyir (ümumi amili mötərizədən çıxarmaq, kommutativ və kombinasiya qanunlarından istifadə etmək və s.), digər çevrilmələr isə klassik cəbrin əməliyyatlarında olmayan xüsusiyyətlərə əsaslanır (distributivdən istifadə etməklə). birləşmə qanunu, udma qanunları, yapışdırma qanunları, de Morqan qaydaları və s.).

Məntiq cəbrinin qanunları əsas üçün tərtib edilmişdir məntiqi əməliyyatlar- “NOT” – inversiya (inkar), “AND” – birləşmə (məntiqi vurma) və “OR” – disjunksiya (məntiqi toplama).

İkiqat inkar qanunu o deməkdir ki, "YOX" əməliyyatı geri qaytarıla bilər: iki dəfə tətbiq etsəniz, sonda boolean dəyəri Dəyişməyəcək.

İstisna olunmuş orta qanunu bildirir ki, hər hansı məntiqi ifadə ya doğrudur, ya da yanlışdır (“üçüncü yoxdur”). Odur ki, əgər $A=1$, onda $\bar(A)=0$ (və əksinə), bu o deməkdir ki, bu kəmiyyətlərin birləşməsi həmişə sıfıra, disyunksiya isə həmişə birə bərabərdir.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Bu düsturu sadələşdirək:

Şəkil 3.

Buradan belə çıxır ki, $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Cavab:$B$, $C$ və $D$ tələbələri şahmat oynayır, lakin $A$ tələbəsi oynamır.

Məntiqi ifadələri sadələşdirərkən aşağıdakı hərəkətlər ardıcıllığını yerinə yetirə bilərsiniz:

1. Bütün “qeyri-əsas” əməliyyatları (ekvivalentlik, implikasiya, eksklüziv OR və s.) əsas inversiya, birləşmə və ayırma əməliyyatları vasitəsilə onların ifadələri ilə əvəz edin.
2. De Morqan qaydalarına uyğun olaraq mürəkkəb ifadələrin inversiyalarını elə genişləndirin ki, inkar əməliyyatları yalnız fərdi dəyişənlər üçün qalsın.
3. Sonra mötərizələri açaraq, ümumi amilləri mötərizədə və digər məntiqi cəbr qanunlarından kənara qoyaraq ifadəni sadələşdirin.

Misal 2

Burada ardıcıl olaraq De Morqan qaydası, bölüşdürmə qanunu, xaric edilmiş orta qanunu, kommutativ qanun, təkrar qanunu, yenidən kommutativ qanun və udma qanunundan istifadə olunur.

Çox vaxt tapşırıqlar sadələşdirilmiş cavab tələb edir. Həm sadələşdirilmiş, həm də sadələşdirilmiş cavablar düzgün olsa da, cavabınızı sadələşdirməsəniz, müəlliminiz qiymətinizi aşağı sala bilər. Üstəlik, sadələşdirilmiş riyazi ifadə ilə işləmək daha asandır. Buna görə də ifadələri sadələşdirməyi öyrənmək çox vacibdir.

Addımlar

Riyazi əməliyyatların düzgün ardıcıllığı

1. Riyazi əməliyyatları yerinə yetirmək üçün düzgün ardıcıllığı xatırlayın. Sadələşdirərkən riyazi ifadə Bəzi riyazi əməliyyatlar digərlərinə nisbətən üstünlük təşkil etdiyindən və ilk növbədə yerinə yetirilməli olduğundan (əslində, əməliyyatların düzgün ardıcıllığına əməl etməmək sizi yanlış nəticəyə aparacaq) müəyyən əməliyyat ardıcıllığına riayət etmək lazımdır. Riyazi əməliyyatların aşağıdakı ardıcıllığını yadda saxla: mötərizədə ifadə, eksponentasiya, vurma, bölmə, toplama, çıxma.

   • Nəzərə alın ki, əməliyyatların düzgün ardıcıllığını bilmək sizə ən sadə ifadələri sadələşdirməyə imkan verəcək, lakin polinomu (dəyişənli ifadə) sadələşdirmək üçün xüsusi fəndləri bilməlisiniz (növbəti hissəyə baxın).

2. Mötərizədə ifadəni həll etməklə başlayın. Riyaziyyatda mötərizələr göstərir ki, əvvəlcə onların içindəki ifadə qiymətləndirilməlidir. Odur ki, hər hansı riyazi ifadəni sadələşdirərkən, mötərizə içərisində olan ifadəni həll etməklə başlayın (mötərizədə hansı əməliyyatları yerinə yetirməyiniz vacib deyil). Amma unutmayın ki, mötərizədə verilmiş ifadə ilə işləyərkən əməliyyatların ardıcıllığına əməl etməlisiniz, yəni mötərizədə olan terminlər əvvəlcə vurulur, bölünür, toplanır, çıxılır və s.

   • Məsələn, ifadəni sadələşdirək 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Burada mötərizədə olan ifadələrlə başlayırıq: 5 + 2 = 7 və 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • İkinci mötərizədəki ifadə 5-ə qədər sadələşir, çünki əvvəlcə 4/2 bölünməlidir (əməliyyatların düzgün ardıcıllığına uyğun olaraq). Bu sıraya əməl etməsəniz, səhv cavab alacaqsınız: 3 + 4 = 7 və 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Mötərizədə başqa mötərizə cütü varsa, daxili mötərizədəki ifadəni həll etməklə sadələşdirməyə başlayın və sonra xarici mötərizədəki ifadənin həllinə keçin.

3. Eksponentləşdirin. Mötərizədə olan ifadələri həll etdikdən sonra eksponentasiyaya keçin (xatırlayın ki, gücün göstəricisi və əsası var). Müvafiq ifadəni (və ya rəqəmi) bir gücə qaldırın və nəticəni sizə verilən ifadə ilə əvəz edin.

   • Nümunəmizdə gücün yeganə ifadəsi (rəqəm) 3 2: 3 2 = 9-dur. Sizə verilən ifadədə 3 2-ni 9 ilə əvəz edin və əldə edəcəksiniz: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Çoxalmaq. Unutmayın ki, vurma əməliyyatı aşağıdakı simvollarla göstərilə bilər: "x", "∙" və ya "*". Amma əgər ədədlə dəyişən arasında (məsələn, 2x) və ya mötərizədə olan ədədlə ədəd arasında (məsələn, 4(7)) simvollar yoxdursa, bu da vurma əməliyyatıdır.

   • Bizim nümunəmizdə iki vurma əməliyyatı var: 2x (ikisi “x” dəyişəninə vurulur) və 4(7) (dördü yeddiyə vurulur). Biz x-in dəyərini bilmirik, ona görə də 2x ifadəsini olduğu kimi tərk edəcəyik. 4(7) = 4 x 7 = 28. İndi sizə verilən ifadəni aşağıdakı kimi yenidən yaza bilərsiniz: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Bölmək. Yadda saxlayın ki, bölmə əməliyyatı aşağıdakı simvollarla təmsil oluna bilər: “/”, “÷” və ya “–” (bu sonuncu simvolu kəsrlərdə görə bilərsiniz). Məsələn, 3/4 üçə dördə bölünür.

   • Nümunəmizdə artıq bölmə əməliyyatı yoxdur, çünki mötərizədə ifadəni həll edərkən artıq 4-ü 2-yə (4/2) bölmüsünüz. Beləliklə, növbəti mərhələyə keçə bilərsiniz. Unutmayın ki, ifadələrin əksəriyyətində bütün riyazi əməliyyatlar yoxdur (yalnız bəziləri).

6. qatlayın.İfadə şərtlərini əlavə edərkən, siz ən uzaqdakı (solda) terminlə başlaya bilərsiniz və ya əvvəlcə asanlıqla əlavə olunan şərtləri əlavə edə bilərsiniz. Məsələn, 49 + 29 + 51 +71 ifadəsində əvvəlcə 49 + 51 = 100, sonra 29 + 71 = 100 və nəhayət 100 + 100 = 200 əlavə etmək daha asandır. Bu cür əlavə etmək daha çətindir: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Bizim nümunəmizdə 2x + 28 + 9 + 5 iki əlavə əməliyyatı var. Ən kənar (sol) terminlə başlayaq: 2x + 28; 2x və 28-i əlavə edə bilməzsiniz, çünki "x" dəyişəninin dəyərini bilmirsiniz. Buna görə də, 28 + 9 = 37 əlavə edin. İndi ifadəni aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar: 2x + 37 - 5.

7. Çıxar. Bu, riyazi əməliyyatların yerinə yetirilməsinin düzgün ardıcıllığında sonuncu əməliyyatdır. Bu mərhələdə siz də əlavə edə bilərsiniz mənfi ədədlər və ya üzvlərin əlavə edilməsi mərhələsində edin - bu, heç bir şəkildə yekun nəticəyə təsir etməyəcək.

   • 2x + 37 - 5 nümunəmizdə yalnız bir çıxma əməliyyatı var: 37 - 5 = 32.

8. Bu mərhələdə bütün riyazi əməliyyatları etdikdən sonra sadələşdirilmiş ifadə almalısınız. Amma sizə verilən ifadə bir və ya bir neçə dəyişəni ehtiva edirsə, onda dəyişənli terminin olduğu kimi qalacağını unutmayın. İfadəni dəyişənlə həll etmək (sadələşdirməmək) həmin dəyişənin qiymətinin tapılmasını nəzərdə tutur. Bəzən dəyişən ifadələr istifadə edərək sadələşdirilə bilər xüsusi üsullar(növbəti bölməyə baxın).

   • Bizim nümunəmizdə yekun cavab 2x + 32-dir. Siz “x” dəyişəninin dəyərini bilməyincə iki şərti əlavə edə bilməzsiniz. Dəyişənin dəyərini bildikdən sonra bu binomialı asanlıqla sadələşdirə bilərsiniz.

   Mürəkkəb ifadələrin sadələşdirilməsi

   1. Oxşar terminlərin əlavə edilməsi. Unutmayın ki, siz yalnız oxşar şərtləri, yəni eyni dəyişənli və eyni göstəricili şərtləri çıxara və əlavə edə bilərsiniz. Məsələn, siz 7x və 5x əlavə edə bilərsiniz, lakin 7x və 5x 2 əlavə edə bilməzsiniz (çünki eksponentlər fərqlidir).

      • Bu qayda çox dəyişənli üzvlərə də aiddir. Məsələn, siz 2xy 2 və -3xy 2 əlavə edə bilərsiniz, lakin 2xy 2 və -3x 2 y və ya 2xy 2 və -3y 2 əlavə edə bilməzsiniz.
      • Bir misala baxaq: x 2 + 3x + 6 - 8x. Burada oxşar şərtlər 3x və 8x-dir, buna görə də onları bir-birinə əlavə etmək olar. Sadələşdirilmiş ifadə belə görünür: x 2 - 5x + 6.

   2. Ədədi kəsri sadələşdirin. Belə kəsrdə həm pay, həm də məxrəcdə ədədlər (dəyişənsiz) olur. Ədədi kəsr bir neçə yolla sadələşdirilə bilər. Əvvəlcə məxrəci saya bölmək kifayətdir. İkincisi, say və məxrəci hesablayın və oxşar amilləri ləğv edin (çünki ədədi özünə bölmək sizə 1 verəcək). Başqa sözlə, əgər həm pay, həm də məxrəc eyni əmsala malikdirsə, onu atıb sadələşdirilmiş kəsr əldə edə bilərsiniz.

      • Məsələn, 36/60 kəsrinə nəzər salın. Kalkulyatordan istifadə edərək, 0,6 almaq üçün 36-nı 60-a bölün. Amma siz bu kəsri say və məxrəci faktorlara ayırmaqla başqa üsulla sadələşdirə bilərsiniz: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 = 1 olduğundan, sadələşdirilmiş kəsr: 1 x 6/10 = 6/10. Amma bu kəsr də sadələşdirilə bilər: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Əgər kəsrdə dəyişən varsa, siz dəyişənlə oxşar amilləri ləğv edə bilərsiniz. Həm payı, həm də məxrəci hesablayın və oxşar amilləri ləğv edin, hətta onların tərkibində dəyişən olsa belə (unutmayın ki, burada oxşar amillər dəyişəni ehtiva edə və ya olmaya bilər).

      • Bir nümunəyə baxaq: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Bu ifadəni (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x) şəklində yenidən yazmaq (faktorla) etmək olar. 3x termini həm pay, həm də məxrəcdə olduğundan, sadələşdirilmiş ifadə vermək üçün onu ləğv edə bilərsiniz: (x + 1)/(5 - x). Başqa bir misala baxaq: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Nəzərə alın ki, heç bir şərti ləğv edə bilməzsiniz - yalnız həm pay, həm də məxrəcdə mövcud olan eyni amillər ləğv edilir. Məsələn, (x(x + 2))/x ifadəsində “x” dəyişəni (əmili) həm payda, həm də məxrəcdə yerləşir, ona görə də sadələşdirilmiş ifadə əldə etmək üçün “x” azaldıla bilər: (x + 2)/1 = x + 2. Lakin (x + 2)/x ifadəsində “x” dəyişənini azaltmaq olmaz (çünki “x” paylayıcıda faktor deyil).

   4. Mötərizəni açın. Bunu etmək üçün, mötərizənin xaricində olan termini mötərizədə olan hər bir terminə vurun. Bəzən sadələşdirməyə kömək edir mürəkkəb ifadə. Bu, hər iki üzvə aiddir sadə ədədlər, və dəyişəni ehtiva edən üzvlərə.

      • Məsələn, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 və 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Qeyd edək ki, daxil kəsr ifadələri Eyni amil həm payda, həm də məxrəcdə olarsa, mötərizənin açılmasına ehtiyac yoxdur. Məsələn, (3(x 2 + 8))/3x ifadəsində mötərizələri genişləndirməyə ehtiyac yoxdur, çünki burada 3 amilini ləğv edə və sadələşdirilmiş (x 2 + 8)/x ifadəsini əldə edə bilərsiniz. Bu ifadə ilə işləmək daha asandır; mötərizələri açsanız, aşağıdakı mürəkkəb ifadəni alacaqsınız: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktor polinomları. Bu üsuldan istifadə edərək bəzi ifadələri və çoxhədliləri sadələşdirə bilərsiniz. Faktorinq mötərizələrin açılmasının əks əməliyyatıdır, yəni ifadə hər biri mötərizə içərisində olan iki ifadənin hasili kimi yazılır. Bəzi hallarda faktorinq eyni ifadəni azaltmağa imkan verir. Xüsusi hallarda (adətən kvadrat tənliklər) faktorinq tənliyi həll etməyə imkan verəcək.

      • x 2 - 5x + 6 ifadəsini nəzərdən keçirək. Faktorlara bölünür: (x - 3)(x - 2). Beləliklə, məsələn, ifadə verilirsə (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), onda siz onu (x - 3)(x - 2)/(2(x) kimi yenidən yaza bilərsiniz. - 2)), ifadəni azaldın (x - 2) və sadələşdirilmiş ifadə (x - 3)/2 alın.
      • Tənlikləri həll etmək (kökləri tapmaq) üçün çoxhədli çoxhədlərdən istifadə olunur (tənlik 0-a bərabər çoxhədlidir). Məsələn, x 2 - 5x + 6 = 0 tənliyini nəzərdən keçirək. Onu faktorlara ayırmaqla (x - 3)(x - 2) = 0 alırsınız. 0-a vurulan istənilən ifadə 0-a bərabər olduğundan onu belə yaza bilərik. bu : x - 3 = 0 və x - 2 = 0. Beləliklə, x = 3 və x = 2, yəni sizə verilən tənliyin iki kökünü tapdınız.

İstənilən dil eyni məlumatı ifadə edə bilər fərqli sözlərlə və inqilablar. Riyazi dil də istisna deyil. Ancaq eyni ifadə müxtəlif yollarla ekvivalent şəkildə yazıla bilər. Və bəzi hallarda, girişlərdən biri daha sadədir. Bu dərsdə ifadələrin sadələşdirilməsindən danışacağıq.

İnsanlar ünsiyyət qurur müxtəlif dillər. Bizim üçün vacib bir müqayisə "Rus dili - riyazi dil" cütüdür. Eyni məlumat müxtəlif dillərdə ötürülə bilər. Bununla yanaşı, bir dildə müxtəlif yollarla tələffüz edilə bilər.

Məsələn: "Petya Vasya ilə dostdur", "Vasya Petya ilə dostdur", "Petya və Vasya dostdur". Fərqli dedim, amma eyni şeydi. Bu ifadələrin hər hansı birindən biz nədən danışdığımızı başa düşə bilərik.

Gəlin bu ifadəyə baxaq: "Oğlan Petya və oğlan Vasya dostdurlar." Nə demək istədiyimizi başa düşürük haqqında danışırıq. Ancaq bu ifadənin səslənməsini bəyənmirik. Bunu sadələşdirə, eyni şeyi, amma daha sadə deyə bilmərik? "Oğlan və oğlan" - bir dəfə deyə bilərsiniz: "Oğlanlar Petya və Vasya dostdurlar."

“Oğlanlar”... Adlarından bəlli deyil ki, qız deyillər? "Oğlanları" çıxarırıq: "Petya və Vasya dostdur." Və "dostlar" sözünü "dostlar" ilə əvəz etmək olar: "Petya və Vasya dostdur." Nəticədə, birinci, uzun, çirkin ifadə demək daha asan və başa düşülən ekvivalent ifadə ilə əvəz olundu. Biz bu ifadəni sadələşdirmişik. Sadələşdirmək daha sadə demək deməkdir, lakin mənasını itirmək və ya təhrif etmək deyil.

Riyazi dildə təxminən eyni şey olur. Eyni şeyi demək olar, fərqli yazmaq olar. Bir ifadəni sadələşdirmək nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, ilkin ifadə üçün çoxlu ekvivalent ifadələr, yəni eyni şeyi ifadə edən ifadələr var. Və bütün bu müxtəliflikdən, fikrimizcə, ən sadəini və ya gələcək məqsədlərimiz üçün ən uyğununu seçməliyik.

Məsələn, ədədi ifadəni nəzərdən keçirin. -ə bərabər olacaq.

O, həmçinin ilk ikisinə bərabər olacaq: .

Belə çıxır ki, biz ifadələrimizi sadələşdirmişik və ən qısa ekvivalent ifadəni tapmışıq.

Rəqəmli ifadələr üçün siz həmişə hər şeyi etməlisiniz və ekvivalent ifadəni tək ədəd kimi əldə etməlisiniz.

Hərfi ifadə nümunəsinə baxaq . Aydındır ki, daha sadə olacaq.

Hərfi ifadələri sadələşdirərkən bütün mümkün hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır.

Həmişə ifadəni sadələşdirmək lazımdırmı? Xeyr, bəzən bizim üçün ekvivalent, lakin daha uzun bir girişə sahib olmaq daha rahat olacaq.

Misal: nömrədən rəqəmi çıxarmaq lazımdır.

Hesablamaq olar, lakin əgər birinci ədəd onun ekvivalent qeydi ilə göstərilsəydi: , onda hesablamalar ani olardı: .

Yəni sadələşdirilmiş ifadə sonrakı hesablamalar üçün bizim üçün həmişə faydalı olmur.

Buna baxmayaraq, çox vaxt "ifadəsini sadələşdirmək" kimi səslənən bir vəzifə ilə qarşılaşırıq.

İfadəni sadələşdirin: .

Həll

1) Birinci və ikinci mötərizədə olan hərəkətləri yerinə yetirin: .

2) Məhsulları hesablayaq: .

Aydındır ki, sonuncu ifadə ilkin ifadədən daha sadə formadadır. Biz bunu sadələşdirmişik.

İfadəni sadələşdirmək üçün onu ekvivalent (bərabər) ilə əvəz etmək lazımdır.

Ekvivalent ifadəni müəyyən etmək üçün sizə lazımdır:

1) bütün mümkün hərəkətləri yerinə yetirmək,

2) hesablamaları sadələşdirmək üçün toplama, çıxma, vurma və bölmənin xassələrindən istifadə edin.

Toplama və çıxmanın xüsusiyyətləri:

1. Toplamanın kommutativ xassəsi: şərtlərin yenidən düzülməsi cəmi dəyişmir.

2. Toplamanın birləşmə xassəsi: iki ədədin cəminə üçüncü ədədi əlavə etmək üçün birinci ədədə ikinci və üçüncü ədədlərin cəmini əlavə etmək olar.

3. Ədəddən cəmi çıxma xüsusiyyəti: ədəddən cəmi çıxmaq üçün hər bir termini ayrıca çıxmaq olar.

Vurma və bölmənin xassələri

1. Vurmanın kommutativ xassəsi: amillərin yenidən düzülməsi hasili dəyişmir.

2. Kombinativ xassə: ədədi iki ədədin hasilinə vurmaq üçün əvvəlcə onu birinci amillə, sonra isə əldə olunan hasili ikinci əmsala vurmaq olar.

3. Vurmanın paylanma xassəsi: ədədi cəminə vurmaq üçün onu hər bir həddi ayrı-ayrılıqda vurmaq lazımdır.

Gəlin görək əslində zehni hesablamaları necə edirik.

Hesablayın:

Həll

1) Gəlin necə olduğunu təsəvvür edək

2) Birinci amili bit şərtlərinin cəmi kimi təsəvvür edək və vurmanı yerinə yetirək:

3) vurmağın necə və yerinə yetirildiyini təsəvvür edə bilərsiniz:

4) Birinci amili ekvivalent cəmi ilə əvəz edin:

Dağıtım qanunu da istifadə edilə bilər arxa tərəf: .

Bu addımları izləyin:

1) 2)

Həll

1) Rahatlıq üçün paylayıcı qanundan istifadə edə bilərsiniz, yalnız əks istiqamətdə istifadə edin - mötərizədə ümumi faktoru çıxarın.

2) Mötərizədə ümumi amili çıxaraq

Mətbəx və koridor üçün linoleum almaq lazımdır. Mətbəx sahəsi - , dəhliz - . Üç növ linoleum var: üçün və rubl üçün. Hər biri neçəyə başa gələcək? üç növ linoleum? (Şəkil 1)

düyü. 1. Problem bəyanatı üçün illüstrasiya

Həll

Metod 1. Siz ayrı-ayrılıqda mətbəx üçün linoleum almaq üçün nə qədər pul lazım olduğunu öyrənə bilərsiniz, sonra isə koridorda və nəticədə alınan məhsulları əlavə edə bilərsiniz.

Toplama, çıxma və vurma əməliyyatları ilə yanaşı hərf ifadələrinə bölmənin də istifadə olunduğu cəbri ifadə kəsr cəbri ifadə adlanır. Bunlar, məsələn, ifadələrdir

İki tam ədədli cəbri ifadənin (məsələn, monomiyallar və ya çoxhədlilər) bölünməsinin əmsal formasına malik olan cəbri ifadəni cəbri kəsr adlandırırıq. Bunlar, məsələn, ifadələrdir

İfadələrin üçüncüsü).

Kəsr cəbri ifadələrin eyni çevrilmələri daha çox onları cəbri kəsr şəklində təqdim etməyə yönəldilmişdir. Ortaq məxrəci tapmaq üçün kəsrlərin məxrəclərinin faktorlaşdırılmasından istifadə olunur - onların ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün terminlər. Cəbri fraksiyaları azaldarkən, ifadələrin ciddi eyniliyi pozula bilər: azalmanın aparıldığı amilin sıfıra çevrildiyi kəmiyyətlərin dəyərlərini istisna etmək lazımdır.

Kəsir cəbri ifadələrin eyni çevrilmələrinə misallar verək.

Misal 1: İfadəni sadələşdirin

Bütün şərtlər ümumi məxrəcə endirilə bilər (sonuncu terminin məxrəcindəki işarəni və qarşısındakı işarəni dəyişdirmək rahatdır):

İfadəmiz bu dəyərlərdən başqa bütün dəyərlər üçün birə bərabərdir; o, qeyri-müəyyəndir və kəsri azaltmaq qanunsuzdur).

Misal 2. İfadəni cəbri kəsr kimi təqdim edin

Həll. İfadə ümumi məxrəc kimi götürülə bilər. Biz ardıcıl olaraq tapırıq:

Məşqlər

1. Göstərilən parametr dəyərləri üçün cəbri ifadələrin qiymətlərini tapın:

2. Faktorlara ayırın.