Rodtegn på, hvordan man udtrækker. Sådan udtrækkes roden af ​​et flercifret tal

Bibliografisk beskrivelse: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Metoder til udtrækning af kvadratroden // Ung videnskabsmand. 2017. nr. 2.2. S. 76-77..02.2019).



Nøgleord : kvadratrod, kvadratrodsudvinding.

I matematiktimerne stiftede jeg bekendtskab med begrebet en kvadratrod, og operationen med at udtrække en kvadratrod. Jeg blev interesseret i, om det kun er muligt at udtrække kvadratroden ved hjælp af en tabel med kvadrater, ved hjælp af en lommeregner, eller om der er en måde at udtrække den manuelt. Jeg fandt flere måder: Formlen for det gamle Babylon, gennem løsning af ligninger, metoden til at kassere et komplet kvadrat, Newtons metode, den geometriske metode, grafisk metode(, ), metode til udvælgelse ved at gætte, metode til fradrag af et ulige tal.

Overvej følgende metoder:

Lad os nedbrydes til primære faktorer, ved hjælp af delelighedskriterier 27225=5*5*3*3*11*11. Dermed

1. TIL canadisk metode. Det her hurtig metode blev opdaget af unge videnskabsmænd ved et af Canadas førende universiteter i det 20. århundrede. Dens nøjagtighed er ikke mere end to til tre decimaler.

hvor x er det tal, som roden skal udvindes fra, c er tallet på det nærmeste kvadrat), for eksempel:

=5,92

1. I en kolonne. Denne metode giver dig mulighed for at finde den omtrentlige værdi af roden af ​​ethvert reelt tal med en forudbestemt nøjagtighed. Ulemperne ved denne metode omfatter den stigende kompleksitet af beregningen, efterhånden som antallet af fundne cifre stiger. For manuelt at udtrække roden, bruges en notation svarende til lang division

Kvadratrodsalgoritme

1. Fra kommaet skal du dividere brøkdelen og heltalsdelen separat på grænsen til to cifre i hvert ansigt ( kys del - fra højre til venstre; fraktioneret- fra venstre mod højre). Det er muligt, at heltalsdelen kan indeholde et ciffer, og brøkdelen kan indeholde nuller.

2. Udtrækning starter fra venstre mod højre, og vi vælger et tal, hvis kvadrat ikke overstiger tallet i den første side. Vi firkanter dette tal og skriver det under tallet på den første side.

3. Find forskellen mellem tallet på den første flade og kvadratet på det valgte første tal.

4. Vi tilføjer den næste kant til den resulterende forskel, det resulterende tal vil være delelig. Lad os uddanne skillevæg. Vi fordobler det første valgte ciffer i svaret (gang med 2), vi får antallet af tiere af divisoren, og antallet af enheder skal være sådan, at dets produkt med hele divisoren ikke overstiger dividenden. Vi skriver det valgte tal ned som svar.

5. Vi tager den næste kant til den resulterende forskel og udfører handlingerne i henhold til algoritmen. Hvis dette ansigt viser sig at være et ansigt af en brøkdel, så sætter vi et komma i svaret. (Fig. 1.)

Ved hjælp af denne metode kan du udtrække tal med forskellig præcision, for eksempel op til tusindedele. (Fig.2)

Overvejer forskellige måder udtrækker kvadratroden, kan vi konkludere: i hver konkret tilfælde du skal beslutte dig for valget af den mest effektive for at bruge mindre tid på at løse problemet

Litteratur:

1. Kiselev A. Elementer i algebra og analyse. Første del.-M.-1928

Nøgleord: kvadratrod, kvadratrod.

Anmærkning: Artiklen beskriver metoder til udtrækning af kvadratrødder og giver eksempler på udtrækning af rødder.

Hvad er en kvadratrod?

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Dette koncept er meget enkelt. Naturligt, vil jeg sige. Matematikere forsøger at finde en reaktion for hver handling. Der er addition - der er også subtraktion. Der er multiplikation - der er også division. Der er kvadratur... Så der er også tager kvadratroden! Det er alt. denne handling ( kvadrat rod) i matematik er angivet med dette ikon:

Selve ikonet kaldes et smukt ord "radikal".

Hvordan udvinder man roden? Det er bedre at se på eksempler.

Hvad er kvadratroden af ​​9? Hvilket tal i anden anden giver os 9? 3 kvadrat giver os 9! De der:

Men hvad er kvadratroden af ​​nul? Intet problem! Hvilket tal i anden kvadrat giver nul? Ja, det giver nul! Midler:

Forstået, hvad er kvadratrod? Så overvejer vi eksempler:

Svar (i uorden): 6; 1; 4; 9; 5.

Besluttede? Virkelig, hvor meget nemmere er det?!

Men... Hvad gør en person, når han ser en opgave med rødder?

En person begynder at føle sig trist... Han tror ikke på enkelheden og letheden i sine rødder. Selvom han lader til at vide det hvad er kvadratrod...

Dette skyldes, at personen ignorerede flere vigtige punkter, da han studerede rødderne. Så tager disse kæpheste grusom hævn over prøver og eksamener...

Punkt et. Du skal genkende rødderne ved synet!

Hvad er kvadratroden af ​​49? Syv? Højre! Hvordan vidste du, at det var syv? Kvadrat med syv og fik 49? Højre! Bemærk, at udvinde roden ud af 49 skulle vi udføre den omvendte operation - felt 7! Og sørg for, at vi ikke går glip af. Eller de kunne have misset...

Dette er vanskeligheden rodudvinding. Firkant Du kan bruge et hvilket som helst nummer uden problemer. Gang et tal med sig selv med en kolonne - det er alt. Men for rodudvinding Der findes ikke en sådan simpel og fejlsikker teknologi. Vi skal Saml op svar og tjek om det er rigtigt ved at kvadrere det.

Denne komplekse kreative proces - at vælge et svar - er meget forenklet, hvis du Husk kvadrater af populære tal. Som en multiplikationstabel. Hvis du f.eks. skal gange 4 med 6, tilføjer du ikke fire 6 gange, vel? Svaret 24 kommer med det samme. Selvom ikke alle forstår det, ja...

For at arbejde frit og succesfuldt med rødder er det nok at kende kvadraterne af tal fra 1 til 20. Desuden der Og tilbage. De der. du burde nemt kunne recitere både f.eks. 11 i anden og kvadratroden af ​​121. For at opnå denne memorering er der to måder. Den første er at lære tabellen med kvadrater. Dette vil være en stor hjælp til at løse eksempler. Det andet er at løse flere eksempler. Dette vil i høj grad hjælpe dig med at huske tabellen med firkanter.

Og ingen lommeregnere! Kun til testformål. Ellers vil du sænke farten nådesløst under eksamen...

Så, hvad er kvadratrod Og hvor udvinde rødder- Jeg synes, det er klart. Lad os nu finde ud af, HVAD vi kan udvinde dem fra.

Punkt to. Root, jeg kender dig ikke!

Hvilke tal kan du tage kvadratrødder fra? Ja, næsten alle af dem. Det er nemmere at forstå, hvad det er fra det er forbudt udtrække dem.

Lad os prøve at beregne denne rod:

For at gøre dette skal vi vælge et tal, der i anden kvadrat giver os -4. Vi vælger.

Hvad, passer det ikke? 2 2 giver +4. (-2) 2 giver igen +4! Det er det... Der er ingen tal, der, når de kvadreres, vil give os et negativt tal! Selvom jeg kender disse tal. Men jeg vil ikke fortælle dig). Gå på college, og du vil selv finde ud af det.

Den samme historie vil ske med ethvert negativt tal. Deraf konklusionen:

Et udtryk, hvor der er et negativt tal under kvadratrodstegnet - giver ikke mening! Dette er en forbudt operation. Det er lige så forbudt som at dividere med nul. Husk dette faktum bestemt! Eller med andre ord:

Kvadratrødder af negative tal kan ikke fjernes!

Men af ​​alle de andre er det muligt. Det er for eksempel sagtens muligt at beregne

Ved første øjekast er dette meget svært. At vælge brøker og kvadrere dem... Bare rolig. Når vi forstår røddernes egenskaber, vil sådanne eksempler blive reduceret til den samme tabel med kvadrater. Livet bliver lettere!

Okay, brøker. Men vi støder stadig på udtryk som:

Det er ok. Alt det samme. Kvadratroden af ​​to er det tal, der giver os to, når det kvadreres. Kun dette tal er fuldstændig ujævnt... Her er det:

Det interessante er, at denne brøk aldrig slutter ... Sådanne tal kaldes irrationelle. I kvadratrødder er dette det mest almindelige. Det er i øvrigt derfor, der kaldes udtryk med rødder irrationel. Det er klart, at det er ubelejligt at skrive sådan en uendelig brøk hele tiden. Derfor, i stedet for en uendelig brøk, lader de det være sådan her:

Hvis du, når du løser et eksempel, ender med noget, der ikke kan udvindes, som:

så lader vi det være sådan. Dette vil være svaret.

Du skal klart forstå, hvad ikonerne betyder

Selvfølgelig, hvis roden af ​​tallet er taget glat, du skal gøre dette. Svaret på opgaven er i skemaet f.eks

Et ganske komplet svar.

Og selvfølgelig skal du kende de omtrentlige værdier fra hukommelsen:

Denne viden hjælper i høj grad til at vurdere situationen i komplekse opgaver.

Punkt tre. Den mest snedige.

Den største forvirring i arbejdet med rødder er forårsaget af dette punkt. Det er ham, der giver usikkerhed til egen styrke... Lad os håndtere dette problem ordentligt!

Lad os først tage kvadratroden af ​​fire af dem igen. Har jeg allerede generet dig med denne rod?) Glem ikke, nu bliver det interessant!

Hvilket tal er 4 i anden kvadrat? Nå, to, to - jeg hører utilfredse svar...

Højre. To. Men også minus to vil give 4 i kvadrat... I mellemtiden er svaret

korrekt og svaret

groft fejl. Sådan her.

Så hvad er aftalen?

Faktisk, (-2) 2 = 4. Og under definitionen af ​​kvadratroden af ​​fire minus to ganske passende... Dette er også kvadratroden af ​​fire.

Men! I skolens matematikkursus er det kutyme at overveje kvadratrødder kun ikke-negative tal! Det vil sige nul og alt positivt. Selv et særligt udtryk blev opfundet: fra nummeret EN- Det her ikke-negativ nummer, hvis kvadrat er EN. Negative resultater ved udtrækning af en aritmetisk kvadratrod kasseres simpelthen. I skolen er alt kvadratrødder - aritmetik. Selvom dette ikke er særligt nævnt.

Okay, det er forståeligt. Det er endnu bedre ikke at genere negative resultater... Dette er endnu ikke forvirring.

Forvirring begynder, når man løser andengradsligninger. For eksempel skal du løse følgende ligning.

Ligningen er enkel, vi skriver svaret (som lært):

Dette svar (i øvrigt helt korrekt) er kun en forkortet version to svar:

Stop, stop! Lige ovenfor skrev jeg, at kvadratroden er et tal Altid ikke-negativ! Og her er et af svarene - negativ! Sygdom. Dette er det første (men ikke det sidste) problem, der forårsager mistillid til rødderne... Lad os løse dette problem. Lad os skrive svarene ned (bare for at forstå!) sådan:

Parenteserne ændrer ikke på essensen af ​​svaret. Jeg har lige adskilt det med beslag tegn fra rod. Nu kan du tydeligt se, at selve roden (i parentes) stadig er et ikke-negativt tal! Og tegnene er resultatet af løsningen af ​​ligningen. Når alt kommer til alt, når vi løser en ligning, skal vi skrive Alle X'er, der, når de indsættes i den oprindelige ligning, vil give det korrekte resultat. Roden af ​​fem (positiv!) med både et plus og et minus passer ind i vores ligning.

Sådan her. hvis du bare tag kvadratroden fra hvad som helst, dig Altid du får en ikke-negativ resultat. For eksempel:

Fordi det - aritmetisk kvadratrod.

Men hvis du beslutter dig for noget andengradsligning, skriv:

At Altid det viser sig to svar (med plus og minus):

Fordi dette er løsningen på ligningen.

Håber, hvad er kvadratrod Du har dine point klar. Nu er det tilbage at finde ud af, hvad der kan gøres med rødderne, hvad deres egenskaber er. Og hvad er pointerne og faldgruberne... undskyld, sten!)

Alt dette er i de følgende lektioner.

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Cirklen viste, hvordan du kan udtrække kvadratrødder i en kolonne. Du kan beregne roden med vilkårlig præcision, finde et hvilket som helst antal cifre i dens decimalnotation, selvom det viser sig at være irrationelt. Algoritmen blev husket, men spørgsmålene forblev. Det var ikke klart, hvor metoden kom fra, og hvorfor den gav det rigtige resultat. Det stod ikke i bøgerne, eller måske kiggede jeg bare i de forkerte bøger. Til sidst, ligesom meget af det, jeg ved og kan i dag, kom jeg selv på det. Jeg deler min viden her. Forresten, jeg ved stadig ikke, hvor begrundelsen for algoritmen er givet)))

Så først fortæller jeg dig "hvordan systemet fungerer" med et eksempel, og derefter forklarer jeg, hvorfor det rent faktisk fungerer.

Lad os tage et nummer (nummeret blev taget "ud af den blå luft", det kom lige til at tænke på).

1. Vi deler dens tal i par: dem til venstre for decimaltegnet er grupperet to fra højre mod venstre, og dem til højre er grupperet to fra venstre mod højre. Vi får.

2. Vi udtrækker kvadratroden fra den første gruppe af tal til venstre - i vores tilfælde er dette (det er klart, at den nøjagtige rod måske ikke kan udtrækkes, vi tager et tal, hvis kvadrat er så tæt som muligt på vores tal dannet af første gruppe af tal, men overskrider den ikke). I vores tilfælde vil dette være et tal. Vi skriver svaret ned - dette er det vigtigste ciffer i roden.

3. Vi firkanter det tal, der allerede er i svaret - dette - og trækker det fra den første gruppe af tal til venstre - fra tallet. I vores tilfælde forbliver det.

4. Vi tildeler følgende gruppe af to tal til højre: . Vi ganger det tal, der allerede er i svaret, med , og vi får .

5. Pas nu godt på. Vi skal tildele et ciffer til tallet til højre og gange tallet med, det vil sige med det samme tildelte ciffer. Resultatet skal være så tæt som muligt på, men igen ikke mere end dette tal. I vores tilfælde vil dette være nummeret, vi skriver det i svaret ved siden af, til højre. Dette er det næste ciffer i decimalnotationen af ​​vores kvadratrod.

6. Ved at trække produktet fra får vi .

7. Dernæst gentager vi de velkendte operationer: vi tildeler følgende gruppe af cifre til højre, multiplicerer med , til det resulterende tal > vi tildeler et ciffer til højre, sådan at når vi ganget med det, får vi et tal mindre end , men nærmest til det - dette er det næste ciffer i decimal rodnotation.

Beregningerne vil blive skrevet som følger:

Og nu den lovede forklaring. Algoritmen er baseret på formlen

Kommentarer: 50

1. 2 Anton:

   For kaotisk og forvirrende. Arranger alt punkt for punkt og nummerér dem. Plus: forklar, hvor vi erstatter de nødvendige værdier i hver handling. Jeg har aldrig beregnet en rodrod før - jeg havde svært ved at finde ud af det.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Yulia, 23 år dette øjeblik skrevet til højre, er det de to første (til venstre) allerede opnåede cifre i roden i svaret. Gang med 2 i henhold til algoritmen. Vi gentager trinene beskrevet i punkt 4.

4. 7 zzz:

   fejl i "6. Fra 167 trækker vi produktet 43 * 3 = 123 (129 nada), vi får 38."
   Jeg forstår ikke, hvordan det viste sig at være 08 efter decimalkommaet...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Og selv i pre-calculator-æraen blev vi undervist i skolen ikke kun kvadratet, men også terningroden i en kolonne, men det er mere kedeligt og møjsommeligt arbejde. Det var nemmere at bruge Bradis-borde eller en glideregel, som vi allerede studerede i gymnasiet.

6. 10 :

   Alexander, du har ret, du kan udtrække rødder af store magter i en kolonne. Jeg skal bare skrive om, hvordan man finder terningroden.

7. 12 Sergei Valentinovich:

   Kære Elizaveta Alexandrovna! I slutningen af ​​70'erne udviklede jeg en ordning til automatisk (dvs. ikke ved udvælgelse) beregning af quadra. root på Felix tilføjelsesmaskine. Hvis du er interesseret, kan jeg sende dig en beskrivelse.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((udtrækker kvadratroden af ​​kolonnen)))
   Algoritmen forenkles, hvis du bruger 2. talsystemet, som er studeret i datalogi, men også er brugbart i matematik. A.N. Kolmogorov præsenterede denne algoritme i populære foredrag for skolebørn. Hans artikel kan findes i "Chebyshev Collection" (Mathematical Journal, se efter et link til det på internettet)
   Sig i øvrigt:
   G. Leibniz legede på et tidspunkt med ideen om at gå fra det 10. talsystem til det binære på grund af dets enkelhed og tilgængelighed for begyndere ( ungdomsskolebørn). Men at bryde etablerede traditioner er som at bryde en fæstningsport med panden: det er muligt, men det er nytteløst. Så det viser sig, at ifølge de mest citerede i gamle dage til den skæggede filosof: alle døde generationers traditioner undertrykker de levendes bevidsthed.

   Indtil næste gang.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, ja, jeg er interesseret...((

   Jeg vil vædde på, at dette er en variation af "Felix" af den babylonske metode til at udtrække den firkantede ridder ved hjælp af metoden med successive tilnærmelser. Denne algoritme var dækket af Newtons metode (tangensmetode)

   Jeg spekulerer på, om jeg tog fejl i min prognose?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Ja, algoritmen i binær skal være enklere, det er ret indlysende.

    Om Newtons metode. Måske er det rigtigt, men det er stadig interessant

11. 20 Kirill:

    Mange tak. Men der er stadig ingen algoritme, ingen ved, hvor den kom fra, men resultatet er korrekt. MANGE TAK! Jeg har ledt efter dette i lang tid)

12. 21 Alexander:

    Hvordan vil du udtrække roden fra et tal, hvor den anden gruppe fra venstre mod højre er meget lille? for eksempel er alles favoritnummer 4.398.046.511.104. Efter den første subtraktion er det ikke muligt at fortsætte alt efter algoritmen. Kan du forklare venligst.

13. 22 Alexey:

    Ja, jeg kender denne metode. Jeg kan huske, at jeg læste det i bogen "Algebra" i en gammel udgave. Så, analogt, udledte han selv, hvordan man udtrak terningroden i en kolonne. Men der er det allerede mere kompliceret: hvert ciffer bestemmes ikke af et (som for et kvadrat), men af ​​to subtraktioner, og selv der skal du gange lange tal hver gang.

14. 23 Artem:

    I eksemplet med udtrækning af kvadratroden af ​​en kolonne med 56789.321 er der stavefejl. Gruppen af ​​tal 32 tildeles to gange til tallene 145 og 243, i tallet 2388025 skal det andet 8 erstattes af 3. Så skal den sidste subtraktion skrives som følger: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Når vi dividerer resten med den fordoblede værdi af svaret (uden at tage kommaet i betragtning), får vi et yderligere antal signifikante cifre (47975/(2*238305) = 0,100658819...), som skal lægges til svaret (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 Sergey:

    Tilsyneladende kom algoritmen fra Isaac Newtons bog "General Arithmetic eller en bog om aritmetisk syntese og analyse." Her er et uddrag af det:

    OM UDTRÆKNING AF RØDDER

    For at udtrække kvadratroden af ​​et tal, skal du først placere en prik over dets cifre, begyndende fra enerne. Så skal du i kvotienten eller radikalet skrive det tal, hvis kvadrat er lig med eller nærmest i ulempe for tallene eller tallet foran det første punkt. Efter subtrahering af dette kvadrat, vil de resterende cifre i roden blive fundet sekventielt ved at dividere resten med det dobbelte af værdien af ​​den allerede udtrukne del af roden og hver gang trække det sidst fundne ciffer og dets tidoblede produkt fra resten af ​​kvadratet med den navngivne divisor.

16. 25 Sergey:

    Ret også titlen på bogen "Generel aritmetik eller en bog om aritmetisk syntese og analyse"

17. 26 Alexander:

    tak for interessant materiale. Men denne metode forekommer mig noget mere kompliceret, end hvad der er brug for for eksempel til et skolebarn. Jeg bruger en enklere metode baseret på at udvide en kvadratisk funktion ved hjælp af de to første afledede. Dens formel er:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, hvor
    A1 er det heltal, hvis kvadrat er tættest på x;
    A2 er en brøk, tælleren er x-A1, nævneren er 2*A1.
    For de fleste tal, man støder på i et skoleforløb, er dette nok til at få resultatet nøjagtigt til en hundrededel.
    Hvis du har brug for et mere præcist resultat, så tag
    A3 er en brøk, tælleren er A2 i anden, nævneren er 2*A1+1.
    Selvfølgelig skal du bruge en tabel med kvadrater af heltal, men dette er ikke et problem i skolen. Det er ret simpelt at huske denne formel.
    Det forvirrer mig dog, at jeg opnåede A3 empirisk som resultat af eksperimenter med et regneark, og jeg forstår ikke helt, hvorfor dette medlem har dette udseende. Måske du kan give mig nogle råd?

18. 27 Alexander:

    Ja, jeg har også overvejet disse overvejelser, men djævelen er i detaljerne. Du skriver:
    "da a2 og b adskiller sig ganske lidt." Spørgsmålet er præcis hvor lidt.
    Denne formel fungerer godt på tal i de anden ti og meget værre (ikke op til hundrededele, kun op til tiendedele) på tal i de første ti. Hvorfor dette sker, er svært at forstå uden brug af derivater.

19. 28 Alexander:

    Jeg vil præcisere, hvad jeg ser som fordelen ved den formel, jeg foreslår. Det kræver ikke den ikke helt naturlige opdeling af tal i talpar, som erfaringsmæssigt ofte udføres med fejl. Dens betydning er indlysende, men for en person, der er fortrolig med analyse, er den triviel. Fungerer godt på tal fra 100 til 1000, som er de mest almindelige tal, man støder på i skolen.

20. 29 Alexander:

    Forresten gravede jeg lidt og fandt det nøjagtige udtryk for A3 i min formel:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    I vores tid, med den udbredte brug af computerteknologi, er spørgsmålet om at udtrække den firkantede ridder fra et nummer ikke det værd fra et praktisk synspunkt. Men for matematikelskere er de uden tvivl interessante forskellige muligheder løsninger på dette problem. I skolepensum metoden til denne beregning uden inddragelse af yderligere midler bør finde sted på linje med multiplikation og division i en kolonne. Beregningsalgoritmen skal ikke kun huskes, men også forståelig. Klassisk metode, leveret i dette materiale til diskussion med afsløring af essensen, opfylder fuldt ud ovenstående kriterier.
    En væsentlig ulempe ved metoden foreslået af Alexander er brugen af ​​en tabel med kvadrater af heltal. Forfatteren er tavs om størstedelen af ​​de tal, man støder på i skoleforløbet. Hvad angår formlen, kan jeg generelt godt lide det på grund af den relativt høje nøjagtighed af beregningen.

22. 31 Alexander:

    for 30 vasil stryzhak
    Jeg tier ikke noget. Tabellen med kvadrater skal være op til 1000. I min tid på skolen lærte de det simpelthen udenad og det stod i alle matematikbøger. Jeg navngav udtrykkeligt dette interval.
    Hvad angår computerteknologi, bruges den ikke hovedsageligt i matematiktimerne, medmindre emnet om at bruge en lommeregner er specifikt diskuteret. Lommeregnere er nu indbygget i enheder, der er forbudt at bruge på Unified State-eksamenen.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, tak for afklaringen. Jeg troede, at for den foreslåede metode er det teoretisk nødvendigt at huske eller bruge en tabel med kvadrater af alle to-cifrede tal bruge teknikken til at øge eller formindske dem med det nødvendige antal størrelsesordener ved at flytte decimaltegnet.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDER:

    MIT FØRSTE PROGRAM PÅ IAMB-SPROG PÅ DEN SOVJETISKE MASKIN "ISKRA 555″ BLEV SKREVET FOR AT UDTREKKE KVADRATRODEN AF ET TAL VED HJÆLP AF KOLONNEUDTRÆKNINGSALGORITIMEN! og nu har jeg glemt, hvordan man udpakker det manuelt!

Kapitel først.

Finde den største heltal kvadratrod fra et givet heltal.

170. Indledende bemærkninger.

EN) Da vi kun vil tale om at udtrække kvadratroden, for at forkorte talen i dette kapitel, vil vi i stedet for "kvadratrod" blot sige "rod".

b) Hvis vi kvadrerer tallene i den naturlige række: 1,2,3,4,5. . . , så får vi følgende tabel med kvadrater: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Det er klart, at der er mange heltal, der ikke er i denne tabel; Selvfølgelig er det umuligt at udtrække hele roden fra sådanne tal. Derfor, hvis du har brug for at udtrække roden af ​​et hvilket som helst heltal, f.eks. påkrævet for at finde √4082, så er vi enige om at forstå dette krav som følger: udtræk hele roden af ​​4082, hvis det er muligt; hvis det ikke er muligt, så skal vi finde det største heltal, hvis kvadrat er 4082 (sådan et tal er 63, da 63 2 = 3969 og 64 2 = 4090).

V) Hvis dette tal er mindre end 100, så findes roden af ​​det ved hjælp af multiplikationstabellen; Således ville √60 være 7, da syv 7 er lig med 49, hvilket er mindre end 60, og otte 8 er lig med 64, hvilket er større end 60.

171. Udtræk roden af ​​et tal mindre end 10.000, men større end 100. Lad os sige, at vi skal finde √4082. Da dette tal er mindre end 10.000, er dets rod mindre end √l0.000 = 100. På den anden side er dette tal større end 100; det betyder, at roden af ​​det er større end (eller lig med 10). (Hvis det for eksempel var nødvendigt at finde √ 120 , så selvom tallet 120 > 100, dog √ 120 er lig med 10, fordi 11 2 = 121.) Men hvert tal, der er større end 10, men mindre end 100, har 2 cifre; Det betyder, at den nødvendige rod er summen:

tiere + enere,

og derfor skal dens kvadrat være lig med summen:

Denne sum skal være det største kvadrat på 4082.

Lad os tage den største af dem, 36, og antage, at kvadratet af tierroden vil være lig med præcis dette største kvadrat. Så skal antallet af tiere i roden være 6. Lad os nu tjekke, at dette altid skal være tilfældet, dvs. antallet af tiere i roden er altid lig med den største heltalsrod af antallet af hundreder af radikalen.

Faktisk, i vores eksempel, kan antallet af tiere af roden ikke være mere end 6, da (7 dec.) 2 = 49 hundreder, hvilket overstiger 4082. Men det kan ikke være mindre end 6, da 5 dec. (med enheder) er mindre end 6 des., og i mellemtiden (6 des.) 2 = 36 hundreder, hvilket er mindre end 4082. Og da vi leder efter den største hele rod, bør vi ikke tage 5 des for roden, når selv 6 tiere ikke er mange.

Så vi har fundet antallet af tiere af roden, nemlig 6. Vi skriver dette tal til højre for =-tegnet, idet vi husker, at det betyder tiere af roden. Ved at hæve den ved pladsen får vi 36 hundrede. Vi trækker disse 36 hundrede fra de 40 hundrede af det radikale tal og trækker de resterende to cifre af dette tal. Resten 482 skal indeholde 2 (6 dec.) (enheder) + (enheder)2. Produktet (6 dec.) (enheder) skal være tiere; derfor skal dobbeltproduktet af tiere med enere søges i tiere af resten, dvs. i 48 (vi får deres tal ved at adskille et ciffer til højre i resten af ​​48 "2). De fordoblede tiere af roden udgør 12. Det betyder, at hvis vi ganger 12 med rodens enheder (som stadig er ukendte), så skulle vi få tallet indeholdt i 48. Derfor dividerer vi 48 med 12.

For at gøre dette skal du tegne en lodret linje til venstre for resten og bagved den (skrider tilbage fra linjen et sted til venstre til det formål, der nu vises), skriver vi dobbelt det første ciffer i roden, dvs. 12, og divider 48 med det I kvotienten får vi 4.

Vi kan dog ikke på forhånd garantere, at tallet 4 kan tages som enheder af roden, da vi nu har divideret hele antallet af tiere af resten med 12, mens nogle af dem måske ikke hører hjemme to gange produktet tiere efter enheder, og er en del af kvadratet af enheder. Derfor kan tallet 4 være stort. Vi skal prøve det. Det er naturligvis egnet, hvis summen 2 (6 dec.) 4 + 4 2 ikke er mere end resten 482.

Som et resultat får vi summen af ​​begge på én gang. Det resulterende produkt viste sig at være 496, hvilket er større end resten 482; Det betyder, at nummer 4 er stort. Så tester vi det næste mindre nummer 3 på samme måde.

Eksempler.

I eksempel 4, når vi dividerer de 47 tiere af resten med 4, får vi 11 som en kvotient. Men da antallet af enheder af roden ikke kan være et tocifret tal 11 eller 10, skal vi direkte teste tallet 9.

I eksempel 5, efter at have trukket 8 fra den første side af kvadratet, viser resten sig at være 0, og den næste side består også af nuller. Dette viser, at den ønskede rod kun består af 8 tiere, og derfor skal der sættes et nul i stedet for enerne.

172. Udtræk roden af ​​et tal større end 10.000. Lad os sige, at vi skal finde √35782. Da det radikale tal overstiger 10.000, er roden af ​​det større end √10000 = 100, og det består derfor af 3 cifre eller mere. Uanset hvor mange cifre den består af, kan vi altid betragte den som summen af ​​kun tiere og enere. Hvis roden for eksempel viser sig at være 482, så kan vi tælle det som mængden af ​​48 des. + 2 enheder Så vil kvadratet af roden bestå af 3 led:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (enhed) + (enhed) 2 .

Nu kan vi ræsonnere på nøjagtig samme måde, som når vi fandt √4082 (i forrige afsnit). Den eneste forskel vil være, at for at finde tiere af roden af ​​4082 var vi nødt til at udtrække roden af ​​40, og dette kunne gøres ved hjælp af multiplikationstabellen; nu, for at opnå tiere√35782, bliver vi nødt til at tage roden af ​​357, hvilket ikke kan gøres ved hjælp af multiplikationstabellen. Men vi kan finde √357 ved hjælp af teknikken, der blev beskrevet i det foregående afsnit, da tallet 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Dernæst fortsætter vi, som vi gjorde, da vi fandt √4082, nemlig: til venstre for resten 3382 tegner vi en lodret linje, og bagved skriver vi (skrider et mellemrum tilbage fra linjen) det dobbelte antal tiere af roden fundet, dvs. 36 (to gange 18). I resten adskiller vi et ciffer til højre og dividerer antallet af tiere af resten, altså 338, med 36. I kvotienten får vi 9. Vi tester dette tal, som vi tildeler det til 36 til højre og gange med det. Produktet viste sig at være 3321, hvilket er mindre end resten. Det betyder, at tallet 9 er passende, vi skriver det ved roden.

Generelt, for at udtrække kvadratroden af ​​et heltal, skal du først udtrække roden af ​​dets hundreder; hvis dette tal er mere end 100, så bliver du nødt til at lede efter roden af ​​antallet af hundreder af disse hundreder, det vil sige af titusinder af dette tal; hvis dette tal er mere end 100, bliver du nødt til at tage roden fra antallet af hundreder af titusinder, det vil sige fra millioner af et givet tal osv.

Eksempler.

I det sidste eksempel, efter at have fundet det første ciffer og trukket dets kvadrat, får vi en rest af 0. Vi trækker de næste 2 cifre 51 fra. Ved at adskille tierne får vi 5 des, mens det dobbeltfundne ciffer i roden er 6. Det betyder, at ved at dividere 5 med 6 får vi 0. Vi sætter 0 på andenpladsen ved roden og tilføjer de næste 2 cifre til resten. vi får 5110. Så fortsætter vi som normalt.

I dette eksempel består den påkrævede rod kun af 9 hundrede, og derfor skal nuller placeres i tiere og 1-pladser.

Herske. For at udtrække kvadratroden af ​​et givet heltal skal du dividere det fra højre hånd til venstre, på kanten, 2 cifre hver, undtagen det sidste, som kan indeholde et ciffer.
For at finde det første ciffer i roden skal du tage kvadratroden af ​​det første ansigt.
For at finde det andet ciffer trækkes kvadratet af det første ciffer i roden fra den første flade, den anden flade tages til resten, og antallet af tiere af det resulterende tal divideres med det dobbelte af det første ciffer i roden ; det resulterende heltal testes.
Denne test udføres således: bag den lodrette linje (til venstre for resten) skriv to gange det tidligere fundne nummer på roden og til den, med højre side, det testede ciffer tildeles, multipliceres det resulterende tal med det testede ciffer efter denne tilføjelse. Hvis resultatet efter multiplikation er et tal større end resten, er det testede ciffer ikke egnet, og det næste mindre ciffer skal testes.
De næste cifre i roden findes ved hjælp af samme teknik.
Hvis antallet af tiere af det resulterende tal viser sig at være mindre end divisoren efter at have fjernet et ansigt, det vil sige mindre end det dobbelte af den fundne del af roden, sætter de 0 ved roden, fjerner den næste side og fortsætte handlingen yderligere.

173. Antal cifre i roden. Af overvejelserne om processen med at finde roden, følger det, at der er lige så mange cifre i roden, som der er flader med 2 cifre hver i det radikale tal (den venstre side kan have et ciffer).

Kapitel to.

Udvinde fortrolige kvadratrødder fra hele og brøktal .

For udtrækning af kvadratroden af ​​polynomier, se tilføjelserne til 2. del af § 399 ff.

174. Tegn på en nøjagtig kvadratrod. Den nøjagtige kvadratrod af et givet tal er et tal, hvis kvadrat er nøjagtigt lig med det givne tal. Lad os angive nogle tegn, hvormed man kan bedømme, om en nøjagtig rod kan udvindes fra et givet tal eller ej:

EN) Hvis den nøjagtige hele rod ikke udvindes fra et givet heltal (resten opnås ved ekstrahering), kan den nøjagtige brøkrod ikke findes fra et sådant tal, da enhver brøk, der ikke er lig med et helt tal, når den ganges med sig selv , producerer også en fraktion i produktet, ikke et heltal.

b) Da roden af ​​en brøk er lig med roden af ​​tælleren divideret med roden af ​​nævneren, kan den nøjagtige rod af en irreducerbar brøk ikke findes, hvis den ikke kan udtrækkes fra tælleren eller nævneren. For eksempel kan den nøjagtige rod ikke udtrækkes fra brøkerne 4/5, 8/9 og 11/15, da den i den første brøk ikke kan udtrækkes fra nævneren, i den anden - fra tælleren og i den tredje - hverken fra tælleren eller fra nævneren.

Fra tal, hvorfra den nøjagtige rod ikke kan udvindes, kan der kun udvindes omtrentlige rødder.

175. Omtrentlig rod nøjagtig til 1. En omtrentlig kvadratrod, nøjagtig inden for 1, af et givet tal (heltal eller brøk, det er ligegyldigt) er et heltal, der opfylder følgende to krav:

1) kvadratet af dette tal er ikke større end det givne tal; 2) men kvadratet af dette tal øget med 1 er større end dette tal. Med andre ord er en omtrentlig kvadratrod nøjagtig til 1 den største heltal kvadratrod af et givet tal, det vil sige den rod, som vi lærte at finde i det foregående kapitel. Denne rod kaldes tilnærmet med en nøjagtighed på 1, fordi for at opnå en nøjagtig rod, skal vi tilføje en brøkdel mindre end 1 til denne omtrentlige rod, så hvis vi i stedet for den ukendte nøjagtige rod tager denne omtrentlige rod, vil vi lave en fejl mindre end 1.

Herske. For at udtrække en omtrentlig kvadratrod nøjagtig inden for 1, skal du udtrække den største heltalsrod af den heltallige del af det givne tal.

Tallet fundet af denne regel er en omtrentlig rod med en ulempe , da det mangler den nøjagtige rod af en bestemt brøk (mindre end 1). Hvis vi øger denne rod med 1, får vi et andet tal, hvor der er noget overskud over den nøjagtige rod, og dette overskud er mindre end 1. Denne rod øget med 1 kan også kaldes en omtrentlig rod med en nøjagtighed på 1, men med et overskud. (Navnene: "med mangel" eller "med overskud" i nogle matematiske bøger erstattes af andre tilsvarende navne: "ved mangel" eller "ved overskud.")

176. Tilnærmelsesvis rod med en nøjagtighed på 1/10. Lad os sige, at vi skal finde √2,35104 med en nøjagtighed på 1/10. Det betyder, at du skal finde en decimalbrøk, der ville bestå af hele enheder og tiendedele, og som ville opfylde følgende to krav:

1) kvadratet af denne brøk overstiger ikke 2,35104, men 2) hvis vi øger det med 1/10, så overstiger kvadratet af denne forøgede brøk 2,35104.

For at finde en sådan brøk finder vi først en omtrentlig rod nøjagtig til 1, det vil sige, at vi kun udtrækker roden fra hele tallet 2. Vi får 1 (og resten er 1). Vi skriver tallet 1 ved roden og sætter et komma efter det. Nu vil vi se efter antallet af tiendedele. For at gøre dette tager vi cifrene 35 til højre for decimaltegnet ned til rest 1, og fortsætter udtrækningen, som om vi udtrækker roden af ​​heltal 235. Vi skriver det resulterende tal 5 i roden i stedet for tiendedele. Vi har ikke brug for de resterende cifre i radikalnummeret (104). At det resulterende tal 1,5 faktisk vil være en tilnærmet rod med en nøjagtighed på 1/10 kan ses af det følgende. Hvis vi skulle finde den største heltalsrod af 235 med en nøjagtighed på 1, ville vi få 15. Så:

15 2 < 235, men 16 2 >235.

Ved at dividere alle disse tal med 100 får vi:

Det betyder, at tallet 1,5 er den decimalbrøk, som vi kaldte en omtrentlig rod med en nøjagtighed på 1/10.

Ved at bruge denne teknik kan vi også finde følgende omtrentlige rødder med en nøjagtighed på 0,1:

177. Tilnærmelsesvis kvadratrod inden for 1/100 til 1/1000 osv.

Antag, at vi skal finde en omtrentlig √248 med en nøjagtighed på 1/100. Det betyder: find en decimalbrøk, der ville bestå af hele, tiendedele og hundrededele dele, og som ville opfylde to krav:

1) dens kvadrat ikke overstiger 248, men 2) hvis vi øger denne brøk med 1/100, så overstiger kvadratet af denne forøgede brøk 248.

Vi finder en sådan brøk i følgende rækkefølge: først finder vi hele tallet, derefter tiendedele, så hundrededele. Roden af ​​et heltal er 15 heltal. For at få tiendedelene skal du, som vi har set, tilføje 23 yderligere 2 cifre til højre for decimaltegnet. I vores eksempel er disse tal slet ikke til stede, vi sætter nuller i stedet. Ved at lægge dem til resten og fortsætte, som om vi fandt roden af ​​hele tallet 24.800, vil vi finde tiendedelene figur 7. Det er tilbage at finde hundrededele figuren. For at gøre dette tilføjer vi yderligere 2 nuller til de resterende 151 og fortsætter ekstraktion, som om vi fandt roden af ​​hele tallet 2.480.000. Vi får 15,74. At dette tal virkelig er en omtrentlig rod på 248 med en nøjagtighed på 1/100 kan ses af det følgende. Hvis vi skulle finde den største heltal kvadratrod af heltal 2.480.000, ville vi få 1574; Midler:

1574 2 < 2.480.000, men 1575 2 > 2.480.000.

Ved at dividere alle tal med 10.000 (= 100 2), får vi:

Det betyder, at 15,74 er den decimalbrøk, som vi kaldte en omtrentlig rod med en nøjagtighed på 1/100 af 248.

Ved at anvende denne teknik til at finde en omtrentlig rod med en nøjagtighed på 1/1000 til 1/10000 osv., finder vi følgende.

Herske. For at uddrage fra dette hele tal eller fra en given decimalbrøk en omtrentlig rod med en nøjagtighed på 1/10 til 1/100 til 1/100 osv., find først en omtrentlig rod med en nøjagtighed på 1, og udtræk roden fra hele tallet (hvis den ikke er det der, skriv om roden 0 hel).

Så finder de antallet af tiendedele. For at gøre dette skal du tilføje de 2 cifre i radikaltallet til højre for decimaltegnet til resten (hvis de ikke er der, tilføje to nuller til resten), og fortsætte ekstraktion, som det gøres, når du udtrækker roden af ​​et heltal . Det resulterende tal skrives ved roden i stedet for tiendedele.

Find derefter hundrededele-tallet. For at gøre dette føjes to numre til højre for dem, der lige er blevet fjernet, til resten osv.

Når man udtrækker roden af ​​et heltal med en decimalbrøk, er det således nødvendigt at opdele 2 cifre i flader hver, startende fra decimaltegnet, både til venstre (i den heltallige del af tallet) og til højre (i tallet). brøkdelen).

Eksempler.

1) Find op til 1/100 rødder: a) √2; b) √0,3;

I det sidste eksempel konverterede vi brøken 3/7 til en decimal ved at beregne 8 decimaler for at danne de 4 flader, der er nødvendige for at finde rodens 4 decimaler.

178. Beskrivelse af kvadratrodstabellen. I slutningen af ​​denne bog er en tabel med kvadratrødder beregnet med fire cifre. Ved hjælp af denne tabel kan du hurtigt finde kvadratroden af ​​et helt tal (eller decimalbrøk), der ikke er udtrykt med mere end fire cifre. Før vi forklarer, hvordan denne tabel er opbygget, bemærker vi, at vi altid kan finde det første signifikante ciffer i den ønskede rod uden hjælp fra tabeller ved blot at se på det radikale tal; vi kan også let bestemme, hvilken decimal det første ciffer i roden betyder, og derfor, hvor i roden, når vi finder dens cifre, skal vi sætte et komma. Her er nogle eksempler:

1) √5"27,3 . Det første ciffer vil være 2, da venstre side af radikaltallet er 5; og roden af ​​5 er lig med 2. Da der i heltalsdelen af ​​radikalet kun er 2 flader, så skal der i heltalsdelen af ​​den ønskede rod være 2 cifre, og derfor skal dets første ciffer 2 betyder tiere.

2) √9.041. Det er klart, at i denne rod vil det første ciffer være 3 prime enheder.

3) √0,00"83"4. Det første signifikante ciffer er 9, da det ansigt, hvorfra roden skulle tages for at opnå det første signifikante ciffer, er 83, og roden af ​​83 er 9. Da det ønskede tal ikke vil indeholde hverken hele tal eller tiendedele, første ciffer 9 skal betyde hundrededele.

4) √0,73"85. Det første signifikante tal er 8 tiendedele.

5) √0,00"00"35"7. Det første signifikante tal vil være 5 tusindedele.

Lad os komme med en bemærkning mere. Lad os antage, at vi skal udtrække roden af ​​et tal, som, efter at have kasseret det besatte ord i det, er repræsenteret af en række tal som denne: 5681. Denne rod kan være en af ​​følgende:

Hvis vi tager rødderne, som vi understreger med én linje, så vil de alle blive udtrykt med den samme række af tal, netop de tal, der opnås ved udtræk af roden fra 5681 (disse vil være tallene 7, 5, 3, 7 ). Grunden til dette er, at de sider, som det radikale tal skal opdeles i, når man skal finde cifrene i roden, vil være de samme i alle disse eksempler, derfor vil cifrene for hver rod være de samme (kun placeringen af ​​decimalen punkt vil selvfølgelig være anderledes). På samme måde, i alle rødder understreget af os med to linjer, bør vi få samme tal, netop dem, som √568.1 er udtrykt med (disse tal vil være 2, 3, 8, 3), og af samme grund. Således vil cifrene i rødderne af tallene repræsenteret (ved at droppe kommaet) ved den samme række af tal 5681 være af to (og kun to) slags: enten er dette rækken 7, 5, 3, 7, eller række 2, 3, 8, 3. Det samme kan naturligvis siges om enhver anden række af tal. Derfor, som vi nu vil se, i tabellen, svarer hver række af cifre i det radikale tal til 2 rækker af cifre for rødderne.

Nu kan vi forklare tabellens struktur og hvordan man bruger den. Af hensyn til forklaringen har vi vist begyndelsen af ​​tabellens første side her.

Denne tabel er placeret på flere sider. På hver af dem, i den første kolonne til venstre, er tallene 10, 11, 12... (op til 99) placeret. Disse tal udtrykker de første 2 cifre i det tal, hvorfra kvadratroden søges. I den øverste vandrette linje (såvel som i bunden) er tallene: 0, 1, 2, 3... 9, der repræsenterer det 3. ciffer i dette tal, og længere til højre er tallene 1, 2, 3. . . 9, der repræsenterer det 4. ciffer i dette nummer. Alle andre vandrette linjer indeholder 2 fircifrede tal, der udtrykker kvadratrødderne af de tilsvarende tal.

Antag, at du skal finde kvadratroden af ​​et eller andet tal, heltal eller udtrykt decimal. Først og fremmest finder vi, uden hjælp fra tabeller, det første ciffer i roden og dets ciffer. Så kasserer vi kommaet i dette tal, hvis der er et. Lad os først antage, at efter at have kasseret kommaet, vil der kun være 3 cifre tilbage, f.eks. 114. Vi finder i tabellerne i kolonnen længst til venstre de første 2 cifre, altså 11, og bevæger os fra dem til højre langs den vandrette linje, indtil vi når den lodrette kolonne, hvoraf øverst (og bunden) er det 3. ciffer. af tallet , altså 4. På dette sted finder vi to firecifrede tal: 1068 og 3376. Hvilket af disse to tal skal tages og hvor der skal placeres kommaet i det, dette bestemmes af det første ciffer i roden og dets ciffer, som vi fandt tidligere. Så hvis vi skal finde √0,11"4, så er det første ciffer i roden 3 tiendedele, og derfor skal vi tage 0,3376 for roden. Hvis vi skulle finde √1,14, så ville det første ciffer i roden være 1, og vi Så ville vi tage 1.068.

På denne måde kan vi nemt finde:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 osv.

Lad os nu antage, at vi skal finde roden af ​​et tal udtrykt (ved at droppe decimaltegnet) med 4 cifre, f.eks. √7"45.6. Bemærk, at det første ciffer i roden er 2 tiere, finder vi for nummer 745, som det nu er blevet forklaret, cifrene 2729 (vi lægger kun mærke til dette tal med vores finger, men skriver det ikke ned. Derefter bevæger vi os længere til højre fra dette tal til på højre side af bordet (bagved). den sidste fed linje) møder vi den lodrette kolonne, der er markeret i toppen (og bunden) 4. det th ciffer i dette tal, altså tallet 6, og finder tallet 1 der. Dette vil være en ændring, der skal anvendes (i sindet) til det tidligere fundne tal 2729. Vi skriver dette tal ned og sætter et komma i det på det rigtige sted: 27.30.

På den måde finder vi f.eks.

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 osv.

Hvis det radikale tal kun udtrykkes med et eller to cifre, så kan vi antage, at disse cifre efterfølges af et eller to nuller, og derefter fortsætte som forklaret for et trecifret tal. For eksempel, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 osv.

Endelig, hvis det radikale tal er udtrykt med mere end 4 cifre, så tager vi kun de første 4 af dem og kasserer resten, og for at reducere fejlen, hvis det første af de kasserede cifre er 5 eller mere end 5, så vil vi øge den fjerde af de bibeholdte cifre med l. Så:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; og så videre.

Kommentar. Tabellerne angiver den omtrentlige kvadratrod, nogle gange med en mangel, nogle gange med et overskud, nemlig den af ​​disse omtrentlige rødder, der kommer tættere på den nøjagtige rod.

179. Udtræk kvadratrødder fra almindelige brøker. Den nøjagtige kvadratrod af en irreducerbar brøk kan kun udtrækkes, når begge led i brøken er nøjagtige kvadrater. I dette tilfælde er det nok at udtrække roden af ​​tælleren og nævneren separat, for eksempel:

Den omtrentlige kvadratrod af en almindelig brøk med nogen decimalpræcision kan lettest findes, hvis vi først vender tilbage almindelig brøk til decimal, beregner i denne brøk antallet af decimaler efter decimalkommaet, der ville være to gange flere tal decimaler i den ønskede rod.

Du kan dog gøre det anderledes. Lad os forklare dette med følgende eksempel:

Find omtrentlige √ 5 / 24

Lad os gøre nævneren til et nøjagtigt kvadrat. For at gøre dette ville det være nok at gange begge led af brøken med nævneren 24; men i dette eksempel kan du gøre det anderledes. Lad os dekomponere 24 i primfaktorer: 24 = 2 2 2 3. Fra denne dekomponering er det klart, at hvis 24 ganges med 2 og yderligere 3, så vil hver primfaktor blive gentaget i produktet lige tal gange, og derfor bliver nævneren et kvadrat:

Tilbage er at beregne √30 med en vis nøjagtighed og dividere resultatet med 12. Man skal huske på, at dividering med 12 også vil reducere den brøk, der angiver graden af ​​nøjagtighed. Så hvis vi finder √30 med en nøjagtighed på 1/10 og dividerer resultatet med 12, får vi en omtrentlig rod af brøken 5/24 med en nøjagtighed på 1/120 (nemlig 54/120 og 55/120)

Kapitel tre.

Graf over en funktionx = √y .

180. Omvendt funktion. Lad der gives en ligning, der bestemmer på som en funktion af x for eksempel sådan her: y = x 2 . Vi kan sige, at det ikke kun bestemmer på som en funktion af x , men også omvendt bestemmer x som en funktion af på omend på en implicit måde. For at gøre denne funktion eksplicit, skal vi løse denne ligning for x , tager på for et kendt nummer; Så ud fra ligningen vi tog, finder vi: y = x 2 .

Det algebraiske udtryk opnået for x efter løsning af ligningen, der definerer y som en funktion af x, kaldes den inverse funktion af den, der definerer y.

Altså funktionen x = √y omvendt funktion y = x 2 . Hvis vi som sædvanligt betegner den uafhængige variabel x , og den afhængige på , så kan den nu opnåede inverse funktion udtrykkes som følger: y = √ x . For således at få den omvendte funktion af en given (direkte) funktion ud fra ligningen, der bestemmer dette denne funktion, output x afhængigt af y og i det resulterende udtryk erstatte y på x , A x på y .

181. Graf over en funktion y = √ x . Denne funktion er ikke mulig med en negativ værdi x , men det kan beregnes (med enhver nøjagtighed) for enhver positiv værdi x , og for hver sådan værdi modtager funktionen to forskellige betydninger med samme absolutte værdi, men med modsatte tegn. Hvis du er bekendt √ Hvis vi kun angiver den aritmetiske værdi af kvadratroden, så kan disse to værdier af funktionen udtrykkes som følger: y = ± √ x For at plotte en graf over denne funktion skal du først kompilere en tabel med dens værdier. Den nemmeste måde at oprette denne tabel på er fra tabellen med direkte funktionsværdier:

y = x 2 .

hvis værdierne på tage som værdier x , og omvendt:

y = ± √ x

Ved at plotte alle disse værdier på tegningen får vi følgende graf.

I samme tegning afbildede vi (med en stiplet linje) grafen for den direkte funktion y = x 2 . Lad os sammenligne disse to grafer med hinanden.

182. Forholdet mellem graferne for direkte og inverse funktioner. At kompilere en tabel med værdier af den inverse funktion y = ± √ x vi tog for x de tal, der er i tabellen for den direkte funktion y = x 2 fungeret som værdier for på , og for på tog de tal; som i denne tabel var værdierne for x . Det følger heraf, at begge grafer er ens, kun grafen for den direkte funktion er placeret således i forhold til aksen på - hvordan grafen for den inverse funktion er placeret i forhold til aksen x - ov. Som et resultat, hvis vi bøjer tegningen rundt om en lige linje OA halverer en ret vinkel xOy , således at den del af tegningen, der indeholder halvaksen OU , faldt på den del, der indeholder akselakslen Åh , At OU kompatibel med Åh , alle divisioner OU vil falde sammen med opdelinger Åh , og parabelpunkter y = x 2 vil flugte med de tilsvarende punkter på grafen y = ± √ x . For eksempel point M Og N , hvis ordinat 4 , og abscissen 2 Og - 2 , vil falde sammen med punkterne M" Og N" , hvortil abscissen 4 , og ordinaterne 2 Og - 2 . Hvis disse punkter falder sammen, betyder det, at de rette linjer MM" Og NN" vinkelret på OA og del denne lige linje i to. Det samme kan siges om alle andre tilsvarende punkter i begge grafer.

Grafen for den omvendte funktion skal altså være den samme som grafen for den direkte funktion, men disse grafer er placeret forskelligt, nemlig symmetrisk med hinanden i forhold til vinklens halveringslinje xOy . Vi kan sige, at grafen for den inverse funktion er en refleksion (som i et spejl) af grafen for den direkte funktion i forhold til vinklens halveringslinje xOy .

Helst en ingeniør - en der har en knap med et rodtegn: "√". Normalt for at udtrække roden er det nok at skrive selve tallet og derefter trykke på knappen: "√".

I de fleste moderne mobiltelefoner Der er en "beregner"-applikation med en rodudtræksfunktion. Proceduren for at finde roden af ​​et tal ved hjælp af en telefonregner ligner ovenstående.
Eksempel.
Find fra 2.
Tænd for lommeregneren (hvis den er slukket), og tryk successivt på knapperne med billedet af to og rod ("2" "√"). Som regel behøver du ikke trykke på tasten “=”. Som et resultat får vi et tal som 1,4142 (antallet af cifre og "rundhed" afhænger af bitdybden og lommeregnerindstillingerne).
Bemærk: Når du forsøger at finde roden, giver lommeregneren normalt en fejl.

Hvis du har adgang til en computer, så er det meget nemt at finde roden til et tal.
1. Du kan bruge Lommeregner-applikationen, som er tilgængelig på næsten enhver computer. For Windows XP kan dette program startes som følger:
"Start" - "Alle programmer" - "Tilbehør" - "Lommeregner".
Det er bedre at indstille visningen til "normal". Forresten, i modsætning til en rigtig lommeregner, er knappen til at udtrække roden markeret "sqrt" og ikke "√".

Hvis du ikke kan komme til lommeregneren ved hjælp af den angivne metode, kan du køre standardberegneren "manuelt":
"Start" - "Kør" - "beregnet".
2. For at finde roden til et tal kan du også bruge nogle programmer, der er installeret på din computer. Derudover har programmet sin egen indbyggede lommeregner.

For eksempel, for MS Excel-applikationen, kan du udføre følgende rækkefølge af handlinger:
Start MS Excel.

Vi skriver i en hvilken som helst celle det tal, som vi skal udtrække roden fra.

Flyt cellemarkøren til en anden placering

Tryk på funktionsvalgknappen (fx)

Vælg funktionen "ROOT".

Vi angiver en celle med et tal som argument til funktionen

Klik på "OK" eller "Enter"
Fordelen ved denne metode er, at det nu er nok at indtaste en hvilken som helst værdi i cellen med et tal, som i funktionen, .
Bemærk.
Der er flere andre, mere eksotiske måder at finde roden til et tal på. For eksempel i et "hjørne", ved hjælp af en lineal eller Bradis-tabeller. Disse metoder er dog ikke diskuteret i denne artikel på grund af deres kompleksitet og praktiske ubrugelighed.

Video om emnet

Kilder:

• hvordan man finder roden af ​​et tal

Nogle gange opstår der situationer, hvor du skal udføre en form for matematiske beregninger, herunder at udtrække kvadratrødder og i højere grad fra nummeret. "n"-roden af ​​"a" er tallet n. grad som er tallet "a".

Instruktioner

For at finde roden "n" af , skal du gøre følgende.

På din computer skal du klikke på "Start" - "Alle programmer" - "Tilbehør". Gå derefter til undersektionen "Service" og vælg "Lommeregner". Du kan gøre dette manuelt: Klik på Start, skriv "calk" i feltet Kør, og tryk på Enter. Vil åbne. For at udtrække kvadratroden af ​​et tal skal du indtaste det i lommeregneren og trykke på knappen mærket "sqrt". Lommeregneren vil udtrække andengradsroden, kaldet kvadratroden, fra det indtastede tal.

For at udtrække en rod, hvis grad er højere end den anden, skal du bruge en anden type lommeregner. For at gøre dette skal du i lommeregnerens grænseflade klikke på knappen "Vis" og vælge linjen "Engineering" eller "Videnskabelig" fra menuen. Denne type lommeregner har det nødvendige til at beregne roden n. grad fungere.

For at udtrække roden af ​​tredje grad (), på en "teknisk" lommeregner, skriv det rigtige nummer og tryk på knappen "3√". For at opnå en rod, hvis grad er højere end 3, skal du indtaste det ønskede tal, trykke på knappen med "y√x"-ikonet og derefter indtaste tallet - eksponenten. Tryk derefter på lighedstegnet (“=” knappen), og du får den ønskede rod.

Hvis din lommeregner ikke har funktionen "y√x", er følgende.

For at udtrække terningroden skal du indtaste det radikale udtryk og derefter sætte et flueben i afkrydsningsfeltet, som er placeret ved siden af ​​inskriptionen "Inv". Med denne handling vil du vende funktionerne af lommeregnerknapperne om, dvs. ved at klikke på terningknappen vil du udtrække terningroden. På den knap, du