Hvilke metoder kender du til bestemmelse af sandsynligheder. Levetid som en tilfældig variabel

Begivenheder, der finder sted i virkeligheden eller i vores fantasi, kan opdeles i 3 grupper. Dette er pålidelige begivenheder, der helt sikkert vil ske, umulige begivenheder og tilfældige begivenheder. Sandsynlighedsteori studerer tilfældige begivenheder, dvs. begivenheder, der måske eller måske ikke sker. Denne artikel vil blive præsenteret i kort form sandsynlighedsteori formler og eksempler på løsning af problemer i sandsynlighedsteori, som vil være i 4. opgave for eksamen i matematik (profilniveau).

Hvorfor sandsynlighedsteorien er nødvendig

Historisk set opstod behovet for at studere disse problemer i det 17. århundrede i forbindelse med udviklingen og professionaliseringen af \u200b\u200bhasardspil og fremkomsten af \u200b\u200bkasinoer. Dette var et virkeligt fænomen, der krævede undersøgelse og forskning.

Spilkort, craps, roulette skabte situationer, hvor nogen af \u200b\u200bet begrænset antal lige så mulige begivenheder kunne forekomme. Behovet opstod for at give numeriske skøn over muligheden for, at en bestemt begivenhed skulle forekomme.

I det 20. århundrede blev det klart, at denne tilsyneladende useriøse videnskab spiller en vigtig rolle i forståelsen af \u200b\u200bde grundlæggende processer, der finder sted i mikrokosmos. Var lavet moderne teori sandsynligheder.

Grundlæggende begreber for sandsynlighedsteori

Formålet med studiet af teorien om sandsynlighed er begivenheder og deres sandsynligheder. Hvis begivenheden er kompleks, kan den opdeles i enkle komponenter, hvis sandsynligheder er lette at finde.

Summen af \u200b\u200bbegivenhederne A og B kaldes begivenhed C, som består i, at enten begivenhed A eller begivenhed B eller begivenheder A og B opstod samtidigt.

Produktet af begivenhederne A og B kaldes begivenhed C, som består i, at både begivenhed A og begivenhed B har fundet sted.

Begivenheder A og B kaldes inkonsekvente, hvis de ikke kan ske på samme tid.

Begivenhed A kaldes umulig, hvis den ikke kan ske. En sådan begivenhed er angivet med et symbol.

Begivenhed A kaldes troværdig, hvis det nødvendigvis vil ske. En sådan begivenhed er angivet med et symbol.

Lad hver begivenhed A være knyttet til tallet P (A). Dette nummer P (A) kaldes sandsynligheden for begivenhed A, hvis følgende betingelser er opfyldt for denne korrespondance.

Et vigtigt specielt tilfælde er situationen, hvor der er equiprobable elementære resultater, og vilkårlig for disse resultater danner begivenheder A. I dette tilfælde kan sandsynligheden indtastes ved hjælp af formlen. Sandsynligheden introduceret på denne måde kaldes den klassiske sandsynlighed. Det kan bevises, at egenskaberne 1-4 i dette tilfælde er opfyldt.

Problemer i sandsynlighedsteori, der opstår ved eksamen i matematik, er hovedsageligt relateret til klassisk sandsynlighed. Sådanne opgaver kan være meget enkle. Problemer i sandsynlighedsteori er især enkle i demonstrationsmuligheder... Det er let at beregne antallet af gunstige resultater, antallet af alle resultater er skrevet lige i tilstanden.

Vi får svaret ved hjælp af formlen.

Et eksempel på et problem fra eksamen i matematik for at bestemme sandsynligheden

Der er 20 tærter på bordet - 5 med kål, 7 med æbler og 8 med ris. Marina vil tage en tærte. Hvad er sandsynligheden for, at hun tager riskagen?

Afgørelse.

Der er 20 equiprobable elementære resultater i alt, det vil sige Marina kan tage et hvilket som helst af 20 tærter. Men vi er nødt til at estimere sandsynligheden for, at Marina tager en tærte med ris, det vil sige hvor A er valget af en tærte med ris. Så vi har kun antallet af gunstige resultater (valg af tærter med ris) 8. Derefter bestemmes sandsynligheden af \u200b\u200bformlen:

Uafhængige, modsatte og vilkårlige begivenheder

Imidlertid i åben bank opgaver begyndte at mødes og mere komplekse opgaver. Lad os derfor henlede læserens opmærksomhed på andre emner, der er undersøgt i sandsynlighedsteorien.

Begivenheder A og B kaldes uafhængige, hvis sandsynligheden for hver af dem ikke afhænger af, om en anden begivenhed har fundet sted.

Begivenhed B betyder, at begivenhed A ikke skete, dvs. begivenhed B er modsat begivenhed A. Sandsynligheden for den modsatte begivenhed er lig med en minus sandsynligheden for den direkte begivenhed, dvs. ...

Addition og multiplikation sætninger for sandsynligheder, formler

For vilkårlige begivenheder A og B er sandsynligheden for summen af \u200b\u200bdisse begivenheder lig med summen af \u200b\u200bderes sandsynligheder uden sandsynligheden for deres fælles begivenhed, dvs. ...

For uafhængige begivenheder A og B er sandsynligheden for produktet af disse begivenheder lig med produktet af deres sandsynligheder, dvs. I dette tilfælde .

De sidste 2 udsagn kaldes sætningerne for tilføjelse og multiplikation af sandsynligheder.

At tælle antallet af resultater er ikke altid så let. I nogle tilfælde er det nødvendigt at bruge kombinationsformler. I dette tilfælde er det vigtigste at tælle antallet af begivenheder, der opfylder visse betingelser. Nogle gange kan denne form for beregninger blive uafhængige opgaver.

På hvor mange måder kan 6 studerende sidde på 6 ledige pladser? Den første elev tager et af de 6 pladser. Hver af disse muligheder svarer til 5 måder at tage den anden studerendes plads på. For den tredje studerende er der 4 ledige pladser, for den fjerde - 3, for den femte - 2, den sjette tager den eneste resterende plads. For at finde antallet af alle muligheder skal du finde produktet, der er betegnet med symbolet 6! og det lyder "seks faktor".

I det generelle tilfælde er svaret på dette spørgsmål givet med formlen for antallet af permutationer af n elementer i vores tilfælde.

Overvej nu en anden sag med vores studerende. På hvor mange måder kan 2 studerende have plads til 6 ledige pladser? Den første elev tager et af de 6 pladser. Hver af disse muligheder svarer til 5 måder at tage den anden studerendes plads på. For at finde antallet af alle muligheder skal du finde produktet.

I det generelle tilfælde gives svaret på dette spørgsmål med formlen for antallet af placeringer af n elementer for k-elementer

I vores tilfælde.

OG sidste sag fra denne serie. Hvor mange måder er der at vælge tre studerende ud af 6? Den første elev kan vælges på 6 måder, den anden på 5 måder, den tredje på fire. Men blandt disse muligheder ses de samme tre studerende 6 gange. For at finde antallet af alle indstillinger skal du beregne værdien :. I det generelle tilfælde er svaret på dette spørgsmål givet med formlen for antallet af kombinationer af elementer efter elementer:

I vores tilfælde.

Eksempler på løsning af problemer fra eksamen i matematik for at bestemme sandsynligheden

Opgave 1. Fra samlingen, red. Jasjtjenko.

Der er 30 tærter på pladen: 3 med kød, 18 med kål og 9 med kirsebær. Sasha vælger en kage tilfældigt. Find sandsynligheden for, at han ender med et kirsebær.

.

Svar: 0.3.

Opgave 2. Fra samlingen, red. Jasjtjenko.

Hver batch på 1000 pærer indeholder i gennemsnit 20 defekte pærer. Find sandsynligheden for, at en tilfældig pære fra en batch fungerer.

Løsning: Antallet af anvendelige pærer er 1000-20 \u003d 980. Derefter er sandsynligheden for, at en pære, der er taget tilfældigt fra batchen, kan bruges:

Svar: 0,98.

Sandsynligheden for, at studerende U. korrekt løser mere end 9 problemer på matematikprøven, er 0,67. Sandsynligheden for, at U. korrekt løser mere end 8 problemer, er 0,73. Find sandsynligheden for, at U løser nøjagtigt 9 problemer korrekt.

Hvis vi forestiller os en talelinje og markerer punkt 8 og 9 på den, så vil vi se, at betingelsen “Y. vil løse nøjagtigt nøjagtigt 9 problemer "er inkluderet i betingelsen" U. vil korrekt løse mere end 8 problemer ", men gælder ikke for tilstanden" W. vil løse mere end 9 problemer korrekt ”.

Betingelsen “W. vil løse mere end 9 problemer korrekt "er indeholdt i betingelsen" W. vil løse mere end 8 problemer korrekt ”. Således, hvis vi udpeger begivenheder: “W. løser korrekt nøjagtigt 9 problemer "- gennem A," Y. vil korrekt løse mere end 8 problemer "- gennem B," U. vil korrekt løse mere end 9 problemer "gennem C. Den løsning vil se sådan ud:

Svar: 0,06.

I geometrieksamen besvarer den studerende et spørgsmål fra listen over eksamensspørgsmål. Sandsynligheden for, at dette er et trigonometri-spørgsmål, er 0,2. Sandsynligheden for, at dette er et spørgsmål om eksterne vinkler, er 0,15. Der er ingen spørgsmål, der samtidig vedrører disse to emner. Find sandsynligheden for, at en studerende får et spørgsmål om et af disse to emner på eksamen.

Lad os tænke på, hvilken slags begivenheder vi har. Vi får to uforenelige begivenheder. Det vil sige, enten vil spørgsmålet vedrøre emnet "Trigonometri" eller til emnet "Udenfor vinkler". Ifølge sandsynlighedssætningen er sandsynligheden for inkonsekvente begivenheder lig med summen af \u200b\u200bsandsynlighederne for hver begivenhed, vi skal finde summen af \u200b\u200bsandsynligheden for disse begivenheder, det vil sige:

Svar: 0,35.

Rummet er oplyst af en lanterne med tre lamper. Sandsynligheden for, at en lampe brænder ud om et år, er 0,29. Find sandsynligheden for, at mindst en lampe ikke brænder ud inden for et år.

Lad os overveje mulige begivenheder. Vi har tre pærer, som hver især måske brænder ud uafhængigt af andre pærer. Dette er uafhængige begivenheder.

Derefter vil vi angive mulighederne for sådanne begivenheder. Lad os tage følgende notation: - lyset er tændt, - lyset er udbrændt. Og lige ved siden af \u200b\u200bdet beregner vi sandsynligheden for begivenheden. For eksempel opstod sandsynligheden for en begivenhed, hvor tre uafhængige hændelser "pæren brændte ud", "pæren er tændt", "pæren er tændt": hvor sandsynligheden for begivenheden "pæren er tændt ”Beregnes som sandsynligheden for en begivenhed modsat begivenheden” pæren er slukket ”, nemlig: ...

Bemærk, at der kun er 7 inkonsekvente begivenheder, der er gunstige for os. Sandsynligheden for sådanne begivenheder er lig med summen af \u200b\u200bsandsynligheden for hver af begivenhederne :.

Svar: 0,975608.

Du kan se endnu et problem på billedet:

Således forstod du og jeg, hvad sandsynlighedsteorien for formlen og eksempler på løsning af problemer, som du kan møde i versionen af \u200b\u200beksamen er.

Det er usandsynligt, at mange mennesker tænker over, om det er muligt at beregne begivenheder, der er mere eller mindre tilfældige. Gav udtryk for med enkle ord, er det realistisk at vide, hvilken side af matricen der vil falde næste gang. Det var dette spørgsmål, der blev stillet af to store videnskabsmænd, der lagde grundlaget for en sådan videnskab som sandsynlighedsteorien, hvor sandsynligheden for en begivenhed undersøges ret udførligt.

Start

Hvis du forsøger at definere et sådant koncept som teorien om sandsynlighed, får du følgende: dette er en af \u200b\u200bgrenene i matematik, der beskæftiger sig med studiet af konstanten af \u200b\u200btilfældige begivenheder. Selvfølgelig, dette koncept afslører ikke rigtig hele pointen, så det er nødvendigt at overveje det mere detaljeret.

Jeg vil gerne starte med skaberne af teorien. Som nævnt ovenfor var der to af dem, dette og det var dem, der var blandt de første, der ved hjælp af formler og matematiske beregninger forsøgte at beregne resultatet af en begivenhed. Generelt manifesterede denne videnskabs rudiment i middelalderen. På det tidspunkt forsøgte forskellige tænkere og lærde at analysere hasardspil, såsom et målebånd, terninger osv., hvorved mønsteret og procentdelen af \u200b\u200bforekomsten af \u200b\u200bet bestemt nummer fastlægges. Grundlaget blev lagt i det syttende århundrede af de førnævnte forskere.

Først kunne deres værker ikke tilskrives de store præstationer på dette område, fordi alt, hvad de gjorde, var simpelthen empiriske fakta, og eksperimenterne blev opsat visuelt uden brug af formler. Over tid viste det sig at opnå gode resultater, der syntes som et resultat af at observere kastet af knogler. Det var dette værktøj, der hjalp med at udlede de første forståelige formler.

Likesindede mennesker

Man kan undlade at nævne en sådan person som Christian Huygens i processen med at studere et emne kaldet "sandsynlighedsteori" (sandsynligheden for en begivenhed er dækket af netop denne videnskab). Denne person er meget interessant. Han forsøgte, ligesom forskerne præsenteret ovenfor, at udlede regelmæssigheden af \u200b\u200btilfældige begivenheder i form af matematiske formler. Det er bemærkelsesværdigt, at han ikke gjorde dette sammen med Pascal og Fermat, det vil sige, at alle hans værker ikke krydsede disse sind på nogen måde. Huygens bragte

En interessant kendsgerning er, at hans arbejde kom ud længe før resultaterne af opdagernes værker, eller rettere, tyve år tidligere. Blandt de udpegede begreber er de mest berømte:

• begrebet sandsynlighed som en størrelsesorden af \u200b\u200ben chance;
• matematisk forventning til diskrete tilfælde;
• multiplikations- og additionssætninger for sandsynligheder.

Det er også umuligt ikke at huske, hvem der også har bidraget væsentligt til undersøgelsen af \u200b\u200bproblemet. Han gennemførte sine egne uafhængige retssager og kunne bevise loven store antal... Til gengæld var forskerne Poisson og Laplace, der arbejdede i det tidlige nittende århundrede, i stand til at bevise de originale sætninger. Det var fra dette øjeblik, at teorien om sandsynlighed begyndte at blive brugt til at analysere fejl i løbet af observationer. Russiske forskere, eller rettere Markov, Chebyshev og Dyapunov, kunne heller ikke omgå denne videnskab. De, baseret på de store geniers arbejde, konsoliderede dette emne som en gren af \u200b\u200bmatematik. Disse tal fungerede allerede i slutningen af \u200b\u200bdet nittende århundrede, og takket være deres bidrag blev sådanne fænomener bevist som:

• loven om stort antal
• teorien om Markov-kæder;
• central grænsesætning.

Så med historien om videnskabens oprindelse og med de vigtigste personer, der har påvirket den, er alt mere eller mindre klart. Nu er det tid til at konkretisere alle fakta.

Basale koncepter

Inden vi berører love og sætninger, er det værd at studere de grundlæggende begreber sandsynlighedsteori. Arrangementet tager hovedrollen i det. Dette emne ret voluminøs, men uden det vil det ikke være muligt at forstå alt andet.

En begivenhed i sandsynlighedsteori er ethvert sæt resultater af et eksperiment. Der er ikke så få begreber ved dette fænomen. Så videnskabsmanden Lotman, der arbejder i dette område, sagde det i dette tilfælde det kommer om hvad "der skete, skønt det måske ikke var sket."

Tilfældige begivenheder (sandsynlighedsteori giver dem særlig opmærksomhed) er et begreb, der indebærer absolut ethvert fænomen, der har evnen til at forekomme. Eller omvendt kan dette scenario muligvis ikke ske, hvis mange betingelser er opfyldt. Det er også værd at vide, at det er tilfældige begivenheder, der fanger hele volumenet af de fænomener, der er opstået. Sandsynlighedsteori indikerer, at alle forhold kan gentages hele tiden. Det er deres adfærd, der har fået navnet "eksperiment" eller "test".

En troværdig begivenhed er en, der vil ske hundrede procent i en given test. Derfor er en umulig begivenhed en begivenhed, der ikke vil ske.

Kombinationen af \u200b\u200bet par handlinger (betinget tilfælde A og sag B) er et fænomen, der forekommer samtidigt. De kaldes AB.

Summen af \u200b\u200bpar af begivenheder A og B er C, med andre ord, hvis mindst en af \u200b\u200bdem forekommer (A eller B), vil det vise sig C. Formlen for det beskrevne fænomen skrives som følger: C \u003d A + B.

Inkonsekvente begivenheder i sandsynlighedsteorien antyder, at to begivenheder er gensidigt eksklusive. De kan aldrig ske på samme tid. Fælles begivenheder i sandsynlighedsteorien er deres antipoder. Dette indebærer, at hvis A skete, interfererer det ikke med B.

Modsatte begivenheder (teorien om sandsynlighed betragter dem i detaljer) er lette at forstå. Den bedste måde at håndtere dem på er ved sammenligning. De er meget de samme som inkonsekvente begivenheder i sandsynlighedsteorien. Men deres forskel ligger i, at et af de mange fænomener under alle omstændigheder skal ske.

Lige mulige begivenheder er de handlinger, hvis mulighed for gentagelse er lige. For at gøre det tydeligere kan du forestille dig, at en mønt kastes: at falde ud af den ene af dens sider vil sandsynligvis også falde ud af den anden.

En lykkebringende begivenhed er lettere at se med et eksempel. Lad os sige, at der er episode B og episode A. Den første er terningkast med udseendet af et ulige tal, og det andet er udseendet af nummer fem på matricen. Så viser det sig, at A favoriserer B.

Uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteorien projiceres kun i to eller flere tilfælde og indebærer uafhængighed af en handling fra en anden. For eksempel er A haler, når man smider en mønt, og B får en donkraft fra dækket. De er uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteorien. Med dette øjeblik blev det klarere.

Afhængige begivenheder i teorien om sandsynlighed er også kun tilladelige for deres sæt. De indebærer afhængighed af hinanden, dvs. fænomenet B kan kun forekomme, hvis A allerede er sket eller tværtimod ikke skete, når dette er hovedbetingelsen for B.

Resultatet af et tilfældigt eksperiment med en komponent er elementære begivenheder. Sandsynlighedsteori forklarer, at dette er sådan et fænomen, der kun skete en gang.

Grundlæggende formler

Så begreberne "begivenhed", "teori om sandsynlighed" blev overvejet ovenfor, definitionen af \u200b\u200bde grundlæggende udtryk for denne videnskab blev også givet. Nu er tiden inde til at stifte bekendtskab med de vigtige formler. Disse udtryk bekræfter matematisk alle hovedbegreberne i et så komplekst emne som sandsynlighedsteorien. Sandsynligheden for en begivenhed spiller også en stor rolle her.

Bedre at starte med de vigtigste, og før du fortsætter med dem, er det værd at overveje, hvad de er.

Combinatorics er primært en gren af \u200b\u200bmatematik, den beskæftiger sig med studiet af et stort antal heltal samt forskellige permutationer af både tallene i sig selv og deres elementer, forskellige data osv., Hvilket fører til udseendet af en række kombinationer. Udover sandsynlighedsteori er denne industri vigtig for statistik, datalogi og kryptografi.

Så nu kan du fortsætte med præsentationen af \u200b\u200bselve formlerne og deres definition.

Den første af dem vil være udtrykket for antallet af permutationer, det ser sådan ud:

P_n \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \u003d n!

Ligningen gælder kun, hvis elementerne kun adskiller sig i rækkefølgen af \u200b\u200barrangementet.

Nu vil vi overveje placeringsformlen, den ser sådan ud:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (n - m)!

Dette udtryk gælder ikke kun i rækkefølgen, i hvilket elementet placeres, men også på dets sammensætning.

Den tredje ligning fra kombinatorik, og den er også den sidste, kaldes formlen for antallet af kombinationer:

C_n ^ m \u003d n! : ((n - m))! : m!

En kombination kaldes markeringer, der henholdsvis ikke er bestilt, og denne regel gælder for dem.

Det viste sig at være let at finde ud af formlerne for kombinatorik, nu kan du gå til den klassiske definition af sandsynligheder. Dette udtryk ser sådan ud:

I denne formel er m antallet af betingelser, der er gunstige for begivenhed A, og n er antallet af absolut alle lige mulige og elementære resultater.

Eksisterer et stort antal af udtryk, artiklen vil ikke overveje alle, men de vigtigste af dem vil blive berørt, såsom for eksempel sandsynligheden for summen af \u200b\u200bbegivenheder:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - denne sætning er kun til tilføjelse af inkonsekvente begivenheder;

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) - og dette er kun til tilføjelse af kompatible.

Sandsynlighed for forekomst af begivenheder:

P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B) - denne sætning er for uafhængige begivenheder;

(P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (A∣B)) - og dette er afhængig.

Begivenhedsformlen slutter listen. Sandsynlighed fortæller os om Bayes 'sætning, som ser sådan ud:

P (H_m∣A) \u003d (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k \u003d 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m \u003d 1, ..., n

I denne formel er H1, H2, ..., Hn fuld gruppe hypoteser.

Eksempler på

Hvis du studerer ethvert matematikområde nøje, er det ikke komplet uden øvelser og eksempler på løsninger. Det er også teorien om sandsynlighed: begivenheder, eksempler her er en integreret komponent, der bekræfter videnskabelige beregninger.

Formel for antallet af permutationer

Lad os sige, at der er tredive kort i et kort kort, der starter med en pålydende værdi på et. Næste spørgsmål. Hvor mange måder er der at lægge en bunke, så kortene med pålydende en og to ikke er side om side?

Opgaven er indstillet, lad os nu gå videre til at løse den. Først skal du bestemme antallet af permutationer af tredive elementer, for dette tager vi formlen præsenteret ovenfor, det viser sig at P_30 \u003d 30!.

Baseret på denne regel finder vi ud af, hvor mange muligheder der er for at folde bunken på forskellige måder, men vi skal trække dem fra, hvor det første og det andet kort er ved siden af \u200b\u200bhinanden. Lad os starte med indstillingen, når den første er over den anden. Det viser sig, at det første kort kan indtage 29 steder - fra det første til det niende og det andet kort, fra det andet til tredive, viser det sig kun 29 steder for et par kort. Til gengæld kan resten tage otteogtyve pladser og i ingen særlig rækkefølge. Det vil sige, for permutering af otteogtyve kort er der otteogtyve muligheder P_28 \u003d 28!

Som et resultat viser det sig, at hvis vi overvejer løsningen, når det første kort er over det andet, vil der være 29 ⋅ 28 ekstra muligheder! \u003d 29!

Ved hjælp af den samme metode skal du beregne antallet af overflødige muligheder for sagen, når det første kort er under det andet. Det viser sig også 29 ⋅ 28! \u003d 29!

Det følger heraf, at der er 2 ⋅ 29 ekstra muligheder!, Mens der er 30 nødvendige måder at bygge et dæk på! - 2 ⋅ 29!. Det er kun at tælle.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nu skal du multiplicere med hinanden alle tallene fra en til niogtyve, og derefter i slutningen multiplicere alt med 28. Svaret er 2.4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Eksempel på løsning. Formel til placeringsnummer

I denne opgave skal du finde ud af, hvor mange måder der er at lægge femten bind på en hylde, men på den betingelse, at der i alt er tredive bind.

I dette problem er løsningen lidt enklere end i den foregående. Ved hjælp af den allerede kendte formel er det nødvendigt at beregne det samlede antal placeringer fra tredive bind på femten.

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 \u003d 202843204931 727 360 000

Svaret svarer henholdsvis til 202843204931 727 360 000.

Lad os nu tage problemet lidt hårdere. Du skal finde ud af, hvor mange måder der er at arrangere tredive bøger på to bogreoler, forudsat at kun femten bind kan være på en hylde.

Før jeg starter løsningen, vil jeg gerne præcisere, at nogle problemer løses på flere måder, og på dette er der to måder, men i begge er den samme formel anvendt.

I dette problem kan du tage svaret fra det forrige, for der beregnede vi hvor mange gange du kan fylde en hylde til femten bøger på forskellige måder. Det viste sig A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Vi beregner den anden hylde ved hjælp af permutationsformlen, fordi femten bøger kan placeres i den, mens der i alt er femten. Vi bruger formlen P_15 \u003d 15!.

Det viser sig, at det samlede antal vil være A_30 ^ 15 ⋅ P_15 måder, men derudover skal produktet af alle tal fra tredive til seksten ganges med produktet af tal fra en til femten, som et resultat af produktet af alle numre fra en til tredive opnås, det vil sige svaret er lig med 30!

Men dette problem kan løses på en anden måde - lettere. For at gøre dette kan du forestille dig, at der er en hylde til tredive bøger. Alle er placeret på dette plan, men da betingelsen kræver, at der er to hylder, så vi en lang i halvdelen, det viser sig at være to til femten. Fra dette viser det sig, at placeringsmulighederne kan være P_30 \u003d 30!.

Eksempel på løsning. Formel til kombinationsnummer

Nu vil vi overveje en variant af det tredje problem fra kombinatorik. Du skal finde ud af, hvor mange måder der er for at arrangere femten bøger, forudsat at du skal vælge mellem tredive nøjagtigt det samme.

Til løsningen anvendes naturligvis formlen for antallet af kombinationer. Fra tilstanden bliver det klart, at rækkefølgen af \u200b\u200bde samme femten bøger ikke er vigtig. Derfor er du i første omgang nødt til at finde ud af det samlede antal kombinationer af tredive bøger på femten.

C_30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15))! : 15! \u003d 155 117 520

Det er alt. Ved hjælp af denne formel, i korteste tid lykkedes at løse et sådant problem, svaret er henholdsvis 155117 520.

Eksempel på løsning. Klassisk definition af sandsynlighed

Ved hjælp af formlen ovenfor kan du finde svaret i et simpelt problem. Men det vil hjælpe med at visuelt se og spore handlingsforløbet.

I problemet er det givet, at der er ti helt identiske kugler i urnen. Af disse er fire gule og seks blå. En kugle er taget fra urnen. Du skal finde ud af sandsynligheden for at blive blå.

For at løse problemet er det nødvendigt at udpege rækkevidde blå bold begivenhed A. Denne oplevelse kan have ti resultater, som igen er elementære og lige så mulige. Samtidig er seks ud af ti gunstige for begivenhed A. Vi bestemmer efter formlen:

P (A) \u003d 6: 10 \u003d 0,6

Ved hjælp af denne formel lærte vi, at evnen til at nå den blå bold er 0,6.

Eksempel på løsning. Sandsynligheden for summen af \u200b\u200bbegivenheder

Nu præsenteres en variant, som løses ved hjælp af formlen for sandsynligheden for summen af \u200b\u200bbegivenheder. Så i den tilstand er det givet, at der er to kasser, den første indeholder en grå og fem hvide kugler, og den anden indeholder otte grå og fire hvide kugler. Som et resultat blev en af \u200b\u200bdem taget fra den første og anden boks. Du skal finde ud af, hvad der er chancen for, at de kugler, du får, er grå og hvide.

For at løse dette problem er det nødvendigt at udpege begivenheder.

• Så A tog den grå kugle fra den første boks: P (A) \u003d 1/6.
• A '- de tog også en hvid kugle fra den første boks: P (A ") \u003d 5/6.
• B - den grå kugle blev fjernet fra den anden boks: P (B) \u003d 2/3.
• B '- tog en grå kugle fra den anden boks: P (B ") \u003d 1/3.

I henhold til problemets tilstand er det nødvendigt, at et af fænomenerne sker: AB 'eller AB. Ved hjælp af formlen får vi: P (AB ") \u003d 1/18, P (A" B) \u003d 10/18.

Formlen til multiplikation af sandsynligheden er nu blevet brugt. For at finde ud af svaret skal du bruge ligningen af \u200b\u200bderes tilføjelse:

P \u003d P (AB "+ A" B) \u003d P (AB ") + P (A" B) \u003d 11/18.

Dette er, hvordan du ved hjælp af en formel kan løse lignende problemer.

Resultat

Artiklen indeholdt oplysninger om emnet "Sandsynlighedsteori", sandsynligheden for en begivenhed, hvor der spilles afgørende rolle... Selvfølgelig blev ikke alt taget i betragtning, men på baggrund af den præsenterede tekst kan du teoretisk gøre dig bekendt med dette afsnit af matematik. Den pågældende videnskab kan være nyttig ikke kun i professionel forretning, men også i hverdagen... Med dens hjælp kan du beregne enhver mulighed for enhver begivenhed.

Teksten berørte også vigtige datoer i historien om dannelsen af \u200b\u200bsandsynlighedsteori som videnskab og navnene på mennesker, hvis værker blev investeret i den. Sådan har menneskelig nysgerrighed ført til, at folk har lært at beregne selv tilfældige begivenheder. Engang var de simpelthen interesserede i det, men i dag ved alle allerede om det. Og ingen vil sige, hvad der venter os i fremtiden, hvilke andre geniale opdagelser, der er forbundet med den teori, der overvejes, vil blive gjort. Men en ting er sikkert - forskning står ikke stille!

Mange, når de står over for begrebet "sandsynlighedsteori", bliver bange og tænker at dette er noget overvældende, meget vanskeligt. Men alt er faktisk ikke så tragisk. I dag vil vi overveje det grundlæggende koncept og lære at løse problemer ved hjælp af specifikke eksempler.

Videnskaben

Hvad studerer en sådan gren af \u200b\u200bmatematik som "sandsynlighedsteori"? Hun noterer mønstre og mængder. For første gang blev forskere interesseret i dette emne tilbage i det attende århundrede, da de studerede spil. Det grundlæggende koncept for sandsynlighedsteorien er en begivenhed. Dette er enhver kendsgerning, der fastslås ved erfaring eller observation. Men hvad er erfaring? Et andet grundlæggende begreb om sandsynlighedsteorien. Det betyder, at dette sæt omstændigheder ikke blev skabt ved en tilfældighed, men til et specifikt formål. Med hensyn til observation deltager forskeren her ikke selv i eksperimentet, men er blot vidne til disse begivenheder, han påvirker på ingen måde, hvad der sker.

Begivenheder

Vi lærte, at det grundlæggende begreb sandsynlighedsteori er en begivenhed, men vi overvejede ikke klassificering. De falder alle i følgende kategorier:

• Troværdig.
• Umulig.
• Tilfældig.

Uanset hvilken slags begivenheder der observeres eller skabes i løbet af eksperimentet, er de alle underlagt denne klassificering. Vi inviterer dig til at stifte bekendtskab med hver af de forskellige typer.

Troværdig begivenhed

Dette er en sådan omstændighed, foran hvilken der er truffet det nødvendige sæt foranstaltninger. For bedre at forstå essensen er det bedre at give et par eksempler. Fysik, kemi, økonomi og højere matematik er underlagt denne lov. Sandsynlighedsteori inkluderer følgende vigtigt konceptsom en pålidelig begivenhed. Her er nogle eksempler:

• Vi arbejder og modtager løn i form af løn.
• Vi bestod eksamenene godt, bestod konkurrencen, for dette modtager vi en belønning i form af optagelse til uddannelsesinstitution.
• Vi har investeret penge i banken, hvis det er nødvendigt, får vi dem tilbage.

Sådanne begivenheder er troværdige. Hvis vi har opfyldt alle de nødvendige betingelser, får vi bestemt det forventede resultat.

Umulige begivenheder

Vi ser nu på elementerne i teorien om sandsynlighed. Vi foreslår at gå videre til en forklaring på den næste type begivenhed, nemlig det umulige. Lad os først sige mest vigtig regel - sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul.

Man kan ikke afvige fra denne formulering, når man løser problemer. Til afklaring er her eksempler på sådanne begivenheder:

• Vandet frøs ved en temperatur på plus ti (dette er umuligt).
• Manglen på elektricitet påvirker ikke produktionen på nogen måde (lige så umulig som i det foregående eksempel).

Det er ikke værd at give flere eksempler, da de ovenfor beskrevne meget klart afspejler essensen af \u200b\u200bdenne kategori. En umulig begivenhed vil aldrig under nogen omstændigheder ske under en oplevelse.

Tilfældige begivenheder

At studere elementerne i sandsynlighedsteorien skal være særlig opmærksom på denne særlige type begivenhed. Det er dem, han studerer givet videnskab... Som et resultat af oplevelsen kan der ske noget eller ej. Derudover kan testen udføres et ubegrænset antal gange. Slående eksempler kan tjene:

• Kasten af \u200b\u200ben mønt er en oplevelse eller en test; hovedets fald er en begivenhed.
• Det er en test at trække en kugle ud af posen blindt, en rød kugle bliver fanget - dette er en begivenhed og så videre.

Der kan være et ubegrænset antal af sådanne eksempler, men generelt skal essensen være klar. For at opsummere og systematisere den viden, der er opnået om begivenheder, gives der en tabel. Sandsynlighedsteori studerer kun de sidste arter af alle præsenterede.

Lovene

Sandsynlighedsteori er en videnskab, der studerer muligheden for, at en begivenhed finder sted. Som andre har det nogle regler. Eksisterer følgende love sandsynlighedsteori:

• Konvergens af sekvenser af tilfældige variabler.
• Loven om stort antal.

Når du beregner muligheden for et kompleks, kan du bruge et sæt enkle begivenheder til at opnå et resultat på en lettere og hurtigere måde. Bemærk, at lovene om sandsynlighedsteori let kan bevises ved hjælp af nogle sætninger. Vi foreslår, at du først stifter bekendtskab med den første lov.

Konvergens af sekvenser af tilfældige variabler

Bemærk, at der er flere typer konvergens:

• En række tilfældige variabler konvergerer i sandsynlighed.
• Næsten umuligt.
• Rot-middel-kvadratisk konvergens.
• Distributionskonvergens.

Så i farten er det meget vanskeligt at forstå essensen. Her er nogle definitioner, der hjælper dig med at forstå dette emne. For det første, den første visning. Sekvensen kaldes konvergerende i sandsynlighed, hvis følgende betingelse er opfyldt: n har tendens til uendelig, er antallet, som sekvensen har tendens til, større end nul og er tæt på en.

Gå videre til følgende slags, næsten sikkert... Sekvensen siges at konvergere næsten sikkert til en tilfældig variabel, da n har tendens til uendelig, og P har tendens til en værdi tæt på enhed.

Den næste type er rMS-konvergens... Når man bruger SK-konvergens, reduceres studiet af vektorstokastiske processer til studiet af deres koordinatstokastiske processer.

Den sidste type er tilbage, lad os kort analysere den for at fortsætte direkte med at løse problemer. Konvergensen i distribution har endnu et navn - "svag", nedenfor forklarer vi hvorfor. Svag konvergens Er konvergensen af \u200b\u200bfordelingsfunktionerne på alle kontinuitetspunkter for den begrænsende fordelingsfunktion.

Vi vil helt sikkert holde vores løfte: svag konvergens adskiller sig fra alle ovenstående ved, at den tilfældige variabel ikke er defineret på sandsynlighedsområdet. Dette er muligt, fordi betingelsen udelukkende dannes ved hjælp af distributionsfunktioner.

Loven om stort antal

Teoremer om sandsynlighedsteori, såsom:

• Chebyshevs ulighed.
• Chebyshevs sætning.
• Generaliseret Chebyshevs sætning.
• Markovs sætning.

Hvis vi overvejer alle disse sætninger, kan dette spørgsmål trække i flere snesevis af sider. Vores hovedopgave er at anvende teorien om sandsynlighed i praksis. Vi foreslår, at du gør dette lige nu og gør det. Men inden dette skal du overveje aksiomerne for sandsynlighedsteori, de vil være de vigtigste hjælpere til at løse problemer.

Axiomer

Vi mødte allerede den første, da vi talte om en umulig begivenhed. Lad os huske: sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul. Vi gav et meget levende og mindeværdigt eksempel: det sneede ved en lufttemperatur på tredive grader Celsius.

Det andet er som følger: en pålidelig begivenhed opstår med en sandsynlighed lig med en. Nu viser vi, hvordan man skriver dette ved hjælp af matematisk sprog: P (B) \u003d 1.

For det tredje: En tilfældig begivenhed kan eller måske ikke ske, men muligheden varierer altid fra nul til en. End nærmere betydning til en, jo flere chancer er det; hvis værdien nærmer sig nul, er sandsynligheden meget lille. Lad os skrive det på matematisk sprog: 0<Р(С)<1.

Overvej det sidste, fjerde aksiom, der lyder således: sandsynligheden for summen af \u200b\u200bto begivenheder er lig med summen af \u200b\u200bderes sandsynligheder. Vi skriver på matematisk sprog: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Sandsynlighedsteoriens aksiomer er de enkleste regler, som det ikke vil være svært at huske. Lad os prøve at løse nogle problemer baseret på den allerede erhvervede viden.

Lodseddel

Lad os starte med det enkleste eksempel - et lotteri. Forestil dig, at du har købt en lotteri til held og lykke. Hvad er sandsynligheden for, at du vinder mindst tyve rubler? I alt deltager tusind billetter i lodtrækningen, hvoraf den ene har en pris på fem hundrede rubler, ti for hundrede rubler, halvtreds for tyve rubler og hundrede for fem. Sandsynlighedsproblemer er baseret på at finde muligheden for held. Nu analyserer vi sammen løsningen på ovenstående præsenterede opgave.

Hvis vi betegner en sejr på fem hundrede rubler med bogstavet A, vil sandsynligheden for at få A være 0,001. Hvordan fik vi det? Du skal bare dele antallet af "heldige" billetter med deres samlede antal (i dette tilfælde: 1/1000).

B er en sejr på hundrede rubler, sandsynligheden vil være 0,01. Nu handlede vi efter det samme princip som i den foregående handling (10/1000)

C - gevinsten er lig med tyve rubler. Vi finder sandsynligheden, den er lig med 0,05.

Resten af \u200b\u200bbilletterne er ikke af interesse for os, da deres præmiefond er mindre end den, der er specificeret i betingelsen. Lad os anvende det fjerde aksiom: Sandsynligheden for at vinde mindst tyve rubler er P (A) + P (B) + P (C). Bogstavet P angiver sandsynligheden for, at denne begivenhed forekommer, vi har allerede fundet dem i tidligere handlinger. Det er kun at tilføje de nødvendige data, i svaret får vi 0,061. Dette nummer vil være svaret på opgavespørgsmålet.

Kortspil

Problemer med sandsynlighedsteori er også mere komplekse, lad os f.eks. Tage følgende opgave. Her er et dæk på seksogtredive kort. Din opgave er at trække to kort i træk uden at blande bunken, det første og andet kort skal være ess, dragten betyder ikke noget.

Lad os først finde sandsynligheden for, at det første kort bliver et es, for dette deler vi fire med seksogtredive. De lagde det til side. Vi tager det andet kort ud, det bliver et es med sandsynligheden for tre tredive femtedele. Sandsynligheden for den anden begivenhed afhænger af hvilket kort vi trækker først, vi spekulerer på, om det var et es eller ej. Det følger heraf, at begivenhed B afhænger af begivenhed A.

Det næste trin er at finde sandsynligheden for samtidig forekomst, dvs. vi multiplicerer A og B. Deres produkt findes som følger: sandsynligheden for en begivenhed ganges med den betingede sandsynlighed for en anden, som vi beregner, forudsat at den første begivenhed skete, det vil sige, vi trak et es med det første kort.

For at gøre alt klart, vil vi give en betegnelse på et sådant element som begivenheder. Det beregnes, forudsat at begivenhed A har fundet sted. Beregnet som følger: P (B / A).

Lad os fortsætte med at løse vores problem: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) eller P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Sandsynligheden er (4/36) * ((3/35) / (4/36). Beregn, afrund til nærmeste hundrededel. Vi har: 0,11 * (0,09 / 0,11) \u003d 0,11 * 0, 82 \u003d 0,09 Sandsynligheden at vi tegner to esser i træk er lig med ni hundrededele. Værdien er meget lille, hvilket betyder, at sandsynligheden for begivenhedens forekomst er ekstremt lille.

Glemt nummer

Vi foreslår at analysere flere flere muligheder for opgaver som teorien om sandsynlighedsstudier. Du har allerede set eksempler på at løse nogle af dem i denne artikel, lad os prøve at løse følgende problem: Drengen glemte det sidste ciffer i sin vens telefonnummer, men da opkaldet var meget vigtigt, begyndte han at ringe alt efter tur. Vi skal beregne sandsynligheden for, at han ikke ringer mere end tre gange. Løsningen på problemet er den enkleste, hvis regler, love og aksiomer i sandsynlighedsteorien er kendt.

Inden du ser på løsningen, skal du prøve at løse den selv. Vi ved, at det sidste ciffer kan være fra nul til ni, dvs. der er kun ti værdier. Sandsynligheden for at få den krævede er 1/10.

Dernæst skal vi overveje mulighederne for begivenhedens oprindelse, antag at drengen gættede rigtigt og straks skrev den ønskede, sandsynligheden for en sådan begivenhed er 1/10. Den anden mulighed: det første opkald er et miss, og det andet er på mål. Lad os beregne sandsynligheden for en sådan begivenhed: gang 9/10 med 1/9, til sidst får vi også 1/10. Den tredje mulighed: det første og andet opkald var på den forkerte adresse, kun fra den tredje kom drengen, hvor han ønskede. Vi beregner sandsynligheden for en sådan begivenhed: gang 9/10 med 8/9 og med 1/8, vi får 1/10 til sidst. Vi er ikke interesseret i andre muligheder alt efter problemets tilstand, så det er tilbage for os at tilføje de opnåede resultater, til sidst har vi 3/10. Svar: Sandsynligheden for, at en dreng ikke ringer mere end tre gange er 0,3.

Antal kort

Der er ni kort foran dig, som hver har et nummer fra en til ni skrevet, tallene gentages ikke. De blev sat i en kasse og blandet grundigt. Du skal beregne sandsynligheden for, at

• et lige antal vil blive droppet
• to-cifret.

Før vi går videre til løsningen, lad os bestemme, at m er antallet af vellykkede sager, og n er det samlede antal muligheder. Lad os finde sandsynligheden for, at antallet bliver jævnt. Det vil ikke være svært at beregne, at der er fire lige tal, dette vil være vores m, i alt er der ni muligheder, det vil sige m \u003d 9. Derefter er sandsynligheden 0,44 eller 4/9.

Overvej det andet tilfælde: antallet af muligheder er ni, men der kan slet ikke være nogen succesfulde resultater, det vil sige, at m er lig med nul. Sandsynligheden for, at det trukkede kort indeholder et tocifret tal, er også nul.

Oprindeligt kun en samling af information og empiriske observationer af terningespelet er sandsynligheds teorien blevet en solid videnskab. De første, der gav det en matematisk ramme, var Fermat og Pascal.

Fra at tænke på den evige til sandsynlighedsteorien

To personer, som sandsynlighedsteorien skyldes mange af dens grundlæggende formler, Blaise Pascal og Thomas Bayes, er kendt for at være dybt religiøse mennesker, hvor sidstnævnte er en presbyteriansk præst. Tilsyneladende gav disse to videnskabsmænds ønske om at bevise fejlinformationen i en vis formue, der gav deres kæledyr held og lykke, drivkraft til forskning på dette område. Faktisk er ethvert hasardspil med gevinster og tab kun en symfoni af matematiske principper.

Takket være spændingen hos cavalier de Mere, der lige så meget var en spiller og en person, der ikke var ligeglad med videnskaben, blev Pascal tvunget til at finde en måde at beregne sandsynligheden på. De Mere var interesseret i følgende spørgsmål: "Hvor mange gange har du brug for at kaste to terninger parvis for at sandsynligheden for at få 12 point overstiger 50%?" Det andet spørgsmål, der var af stor interesse for herren: "Hvordan fordeler man væddemålet mellem deltagerne i det ufærdige spil?" Selvfølgelig besvarede Pascal med succes begge spørgsmål de Mere, der blev den ubevidste pioner inden for udviklingen af \u200b\u200bsandsynlighedsteorien. Interessant nok forblev persona de Mere berømt på dette område og ikke i litteraturen.

Tidligere havde ingen matematiker nogensinde forsøgt at beregne sandsynligheden for begivenheder, da man mente, at dette kun var en gætteløsning. Blaise Pascal gav den første definition af sandsynligheden for en begivenhed og viste, at dette er en specifik figur, der kan underbygges matematisk. Sandsynlighedsteori er blevet grundlaget for statistik og bruges i vid udstrækning i moderne videnskab.

Hvad er tilfældighed

Hvis vi overvejer en test, der kan gentages et uendeligt antal gange, kan vi definere en tilfældig begivenhed. Dette er et af de sandsynlige resultater af oplevelsen.

Erfaring er implementering af specifikke handlinger under konstante forhold.

For at kunne arbejde med resultaterne af eksperimentet betegnes begivenheder normalt med bogstaverne A, B, C, D, E ...

Sandsynligheden for en tilfældig begivenhed

For at kunne starte den matematiske del af sandsynligheden er det nødvendigt at give definitioner på alle dens komponenter.

Sandsynligheden for en begivenhed er et numerisk mål for sandsynligheden for, at en begivenhed (A eller B) opstår som et resultat af erfaring. Sandsynligheden er betegnet som P (A) eller P (B).

I sandsynlighedsteori skelnes mellem følgende:

• pålidelig begivenheden garanteres at forekomme som et resultat af eksperimentet P (Ω) \u003d 1;
• umulig begivenheden kan aldrig ske Р (Ø) \u003d 0;
• tilfældig en begivenhed ligger mellem bestemt og umulig, det vil sige sandsynligheden for dens forekomst er mulig, men ikke garanteret (sandsynligheden for en tilfældig begivenhed er altid inden for området 0≤P (A) ≤ 1).

Forholdet mellem begivenheder

Overvej både en og summen af \u200b\u200bbegivenhederne A + B, når begivenheden tælles, når mindst en af \u200b\u200bkomponenterne, A eller B, eller begge A og B implementeres.

I forhold til hinanden kan begivenheder være:

• Lige muligt.
• Kompatibel.
• Uforenelig.
• Modsat (gensidigt eksklusiv).
• Afhængig.

Hvis to begivenheder kan ske med lige sandsynlighed, så er de lige så muligt.

Hvis forekomsten af \u200b\u200bbegivenhed A ikke reducerer sandsynligheden for forekomst af begivenhed B til nul, så er de kompatibel.

Hvis begivenhederne A og B aldrig forekommer samtidigt i den samme oplevelse, kaldes de uforenelig... At kaste en mønt er et godt eksempel: haler er automatisk ikke hoveder.

Sandsynligheden for summen af \u200b\u200bsådanne inkompatible begivenheder består af summen af \u200b\u200bsandsynligheden for hver af begivenhederne:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

Hvis starten på en begivenhed gør starten på en anden umulig, kaldes de modsatte. Derefter betegnes den ene som A, og den anden - Ā (læses som "ikke A"). Forekomst af begivenhed A betyder, at Ā ikke skete. Disse to begivenheder danner en komplet gruppe med summen af \u200b\u200bsandsynligheder svarende til 1.

Afhængige begivenheder har en gensidig indflydelse, hvilket mindsker eller øger sandsynligheden for hinanden.

Forholdet mellem begivenheder. Eksempler på

Ved hjælp af eksempler er det meget lettere at forstå principperne for sandsynligheden og kombinationen af \u200b\u200bbegivenheder.

Eksperimentet, der skal udføres, består i at tage kuglerne ud af kassen, og resultatet af hvert eksperiment er et elementært resultat.

En begivenhed er et af de mulige resultater af et eksperiment - en rød kugle, en blå kugle, kugle nummer seks osv.

Test nr. 1. 6 bolde deltager, hvoraf tre er farvet blå med ulige tal, og tre andre er røde med lige tal.

Test nummer 2. 6 bolde i blå farve med tal fra en til seks deltager.

Baseret på dette eksempel kan du navngive kombinationerne:

• En troværdig begivenhed. I isp. Nr. 2, begivenheden “at få den blå kugle” er pålidelig, da sandsynligheden for dens forekomst er 1, da alle kuglerne er blå og der ikke kan gå glip af. Mens begivenheden "at få bolden med nummer 1" er tilfældig.
• Umulig begivenhed. I isp. №1 med blå og røde kugler er begivenheden "at få den lilla kugle" umulig, da sandsynligheden for dens forekomst er lig med 0.
• Lige mulige begivenheder. I isp. Nr. 1 af begivenhederne "få bolden med nummeret 2" og "få bolden med nummeret 3" er lige så mulige, og begivenhederne "få bolden med et lige antal" og "få bolden med tallet 2 "har forskellige sandsynligheder.
• Kompatible begivenheder. At få en seks i træk to gange i træk er kompatible begivenheder.
• Uforenelige begivenheder. I samme isp. Nr. 1, begivenhederne "få en rød bold" og "få en bold med et ulige tal" kan ikke kombineres i det samme eksperiment.
• Modsatte begivenheder. Det mest slående eksempel på dette er at kaste mønter, når tegnehoveder svarer til ikke at trække haler, og summen af \u200b\u200bderes sandsynligheder er altid 1 (fuld gruppe).
• Afhængige begivenheder... Så i isp. # 1, du kan indstille et mål om at udtrække den røde bold to gange i træk. Det hentes eller ikke hentes første gang påvirker sandsynligheden for at hente det en anden gang.

Det kan ses, at den første begivenhed i væsentlig grad påvirker sandsynligheden for den anden (40% og 60%).

Formel for sandsynlighed for begivenhed

Overgangen fra formuefortællende tanker til nøjagtige data sker ved at oversætte emnet til et matematisk plan. Dommer om en tilfældig begivenhed som "høj sandsynlighed" eller "minimal sandsynlighed" kan oversættes til specifikke numeriske data. Sådant materiale er allerede tilladt at evaluere, sammenligne og indgå i mere komplekse beregninger.

Ud fra beregningens synspunkt er definitionen af \u200b\u200bsandsynligheden for en begivenhed forholdet mellem antallet af elementære positive resultater og antallet af alle mulige resultater af oplevelsen vedrørende en bestemt begivenhed. Sandsynlighed er betegnet med P (A), hvor P betyder ordet "sandsynlighed", der oversættes fra fransk som "sandsynlighed".

Så formlen for sandsynligheden for en begivenhed:

Hvor m er antallet af gunstige resultater for begivenhed A, er n summen af \u200b\u200balle mulige resultater for denne oplevelse. I dette tilfælde ligger sandsynligheden for en begivenhed altid mellem 0 og 1:

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Beregning af sandsynligheden for en begivenhed. Eksempel

Lad os tage spansk. Kugle # 1 som beskrevet tidligere: 3 blå kugler med tal 1/3/5 og 3 røde kugler med tal 2/4/6.

Flere forskellige opgaver kan overvejes baseret på denne test:

• A - rød bold falder ud. Der er 3 røde kugler, og der er 6 varianter i alt. Dette er det enkleste eksempel, hvor sandsynligheden for en begivenhed er P (A) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - et lige antal faldt ud. Der er 3 (2,4,6) lige tal i alt, og det samlede antal mulige numeriske indstillinger er 6. Sandsynligheden for denne begivenhed er P (B) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C - falder ud af et tal større end 2. Der er 4 sådanne muligheder (3,4,5,6) ud af det samlede antal mulige resultater 6. Sandsynligheden for begivenhed C er P (C) \u003d 4/6 \u003d 0,67.

Som det kan ses af beregningerne, har begivenhed C stor sandsynlighed, da antallet af sandsynlige positive resultater er højere end i A og B.

Uforenelige begivenheder

Sådanne begivenheder kan ikke vises samtidigt i den samme oplevelse. Som i isp. Nr. 1 er det umuligt at nå den blå og røde kugle på samme tid. Det vil sige, du kan få enten en blå eller en rød kugle. Ligeledes kan et lige og et ulige tal ikke vises på en matrice på samme tid.

Sandsynligheden for to begivenheder betragtes som sandsynligheden for deres sum eller produkt. Summen af \u200b\u200bsådanne begivenheder A + B betragtes som en begivenhed, der består i udseendet af en begivenhed A eller B, og deres produkt AB er i udseendet for begge. For eksempel udseendet af to seksere på én gang på kanterne af to terninger i en kast.

Summen af \u200b\u200bflere begivenheder er en begivenhed, der forudsætter forekomsten af \u200b\u200bmindst en af \u200b\u200bdem. Produktionen af \u200b\u200bflere begivenheder er det fælles udseende af dem alle.

I teorien om sandsynlighed betegner brugen af \u200b\u200bforeningen som regel "og" summen, foreningen "eller" - multiplikationen. Formler med eksempler hjælper dig med at forstå logikken i tilføjelse og multiplikation i sandsynlighedsteori.

Sandsynligheden for summen af \u200b\u200binkonsekvente begivenheder

Hvis sandsynligheden for inkonsekvente begivenheder overvejes, er sandsynligheden for summen af \u200b\u200bbegivenheder lig med tilføjelsen af \u200b\u200bderes sandsynligheder:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B)

For eksempel: lad os beregne sandsynligheden for, at i isp. Nr. 1 med blå og røde kugler vil falde et tal mellem 1 og 4. Lad os ikke beregne i en handling, men summen af \u200b\u200bsandsynligheden for elementære komponenter. Så i en sådan oplevelse er der kun 6 bolde eller 6 af alle mulige resultater. Tallene, der opfylder betingelsen, er 2 og 3. Sandsynligheden for at få tallet 2 er 1/6, sandsynligheden for tallet 3 er også 1/6. Sandsynligheden for, at et tal mellem 1 og 4 falder, er:

Sandsynligheden for summen af \u200b\u200buforenelige begivenheder i den komplette gruppe er 1.

Så hvis vi i eksperimentet med terningen sammenlægger sandsynligheden for at falde ud af alle numrene, så er resultatet et.

Dette gælder også for modsatte begivenheder, for eksempel i oplevelsen med en mønt, hvor den ene side af den er begivenhed A, og den anden er den modsatte begivenhed Ā, som du ved,

P (A) + P (Ā) \u003d 1

Sandsynligheden for at producere inkonsekvente begivenheder

Sandsynlighedsmultiplikation anvendes, når man overvejer udseendet af to eller flere inkompatible begivenheder i en observation. Sandsynligheden for, at begivenhederne A og B vises i den samtidigt, er lig med produktet af deres sandsynligheder, eller:

P (A * B) \u003d P (A) * P (B)

For eksempel sandsynligheden for, at i isp. №1 som et resultat af to forsøg vises en blå bold to gange, lig med

Det vil sige, at sandsynligheden for, at en begivenhed finder sted, når der som resultat af to forsøg med udtrækning af kugler kun blå kugler udtrækkes er lig med 25%. Det er meget let at udføre praktiske eksperimenter med denne opgave og se, om dette faktisk er tilfældet.

Fælles begivenheder

Begivenheder betragtes som fælles, når udseendet af en af \u200b\u200bdem kan falde sammen med udseendet af en anden. Selvom de er fælles, overvejes sandsynligheden for uafhængige begivenheder. At kaste to terninger kan for eksempel give et resultat, når begge har nummeret 6. Selvom begivenhederne faldt sammen og dukkede op samtidigt, er de uafhængige af hinanden - kun en seks kunne have droppet ud, den anden terning har ingen effekt på det .

Sandsynligheden for fælles begivenheder betragtes som sandsynligheden for deres sum.

Sandsynligheden for summen af \u200b\u200bfælles begivenheder. Eksempel

Sandsynligheden for summen af \u200b\u200bbegivenhederne A og B, som er fælles i forhold til hinanden, er lig med summen af \u200b\u200bsandsynlighederne for begivenheden minus sandsynligheden for deres produkt (det vil sige deres fælles implementering):

R led (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Lad os sige, at sandsynligheden for at ramme et mål med et skud er 0,4. Derefter begivenhed A - at ramme målet i første forsøg, B - i det andet. Disse begivenheder er fælles, da det er muligt, at det er muligt at ramme målet med både første og andet skud. Men begivenheder er ikke afhængige. Hvad er sandsynligheden for, at et mål rammer begivenhed med to skud (mindst et)? Ifølge formlen:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Svaret på spørgsmålet er: "Sandsynligheden for at ramme målet med to skud er 64%."

Denne formel for sandsynligheden for en begivenhed kan også anvendes på inkonsekvente begivenheder, hvor sandsynligheden for en fælles hændelse P (AB) \u003d 0. Dette betyder, at sandsynligheden for summen af \u200b\u200binkonsekvente begivenheder kan betragtes som et specielt tilfælde af den foreslåede formel.

Sandsynlighedsgeometri for klarhed

Interessant kan sandsynligheden for summen af \u200b\u200bfælles begivenheder repræsenteres i form af to regioner A og B, som krydser hinanden. Som du kan se på billedet, er deres unions areal lig med det samlede areal minus arealet af deres kryds. Disse geometriske forklaringer gør formlen, ulogisk ved første øjekast, klarere. Bemærk, at geometriske løsninger ikke er ualmindelige i sandsynlighedsteorien.

Det er ret besværligt at bestemme sandsynligheden for summen af \u200b\u200bet sæt (mere end to) fælles begivenheder. For at beregne det skal du bruge de formler, der leveres til disse tilfælde.

Afhængige begivenheder

Afhængige hændelser kaldes, hvis forekomsten af \u200b\u200ben (A) af dem påvirker sandsynligheden for forekomsten af \u200b\u200ben anden (B). Desuden tages der hensyn til indflydelsen af \u200b\u200bbåde udseendet af begivenhed A og dens manglende udseende. Selvom begivenheder kaldes afhængige pr. Definition, er kun en af \u200b\u200bdem afhængige (B). Den sædvanlige sandsynlighed blev betegnet som P (B) eller sandsynligheden for uafhængige begivenheder. I tilfælde af afhængige begivenheder introduceres et nyt koncept - den betingede sandsynlighed РA (В), som er sandsynligheden for den afhængige begivenhed В under betingelsen af \u200b\u200bden indtrådte begivenhed А (hypotese), som den afhænger af.

Men begivenhed A er også tilfældig, så den har også en sandsynlighed, der skal og kan tages med i beregningerne. Følgende eksempel viser, hvordan man arbejder med afhængige begivenheder og hypoteser.

Et eksempel på beregning af sandsynligheden for afhængige begivenheder

Et godt eksempel til beregning af afhængige begivenheder er et standard kortkort.

Brug et kort på 36 kort som et eksempel, og overvej afhængige begivenheder. Det er nødvendigt at bestemme sandsynligheden for, at det andet kort, der trækkes fra bunken, er af diamanter, hvis det første kort trækkes:

1. Diamanter.
2. En anden dragt.

Naturligvis afhænger sandsynligheden for den anden begivenhed B af den første A. Så hvis den første mulighed er sand, at der er 1 kort (35) i bunken og 1 tamburin (8) mindre, er sandsynligheden for begivenhed B:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Hvis den anden mulighed er gyldig, er der 35 kort i bunken, og det fulde antal tamburiner (9) bevares, så sandsynligheden for følgende begivenhed B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Det kan ses, at hvis begivenhed A er aftalt, at det første kort er en tamburin, så falder sandsynligheden for begivenhed B og omvendt.

Multiplikation af afhængige begivenheder

Vejledt af det foregående kapitel tager vi den første begivenhed (A) som kendsgerning, men i det væsentlige er den tilfældig. Sandsynligheden for denne begivenhed, nemlig udvinding af en tamburin fra et kortkort, er lig med:

P (A) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Da teorien ikke eksisterer i sig selv, men er beregnet til at tjene til praktiske formål, er det med rimelighed at sige, at sandsynligheden for at producere afhængige begivenheder oftest er nødvendig.

Ifølge sætningen om produktet af sandsynligheder for afhængige begivenheder er sandsynligheden for forekomst af fællesafhængige begivenheder A og B lig med sandsynligheden for en begivenhed A multipliceret med den betingede sandsynlighed for begivenhed B (afhængig af A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

I eksemplet med et dæk er sandsynligheden for at trække to kort med en tamburin-dragt:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571 eller 5,7%

Og sandsynligheden for først at udvinde ikke tamburiner og derefter tamburiner er lig med:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19 eller 19%

Det kan ses, at sandsynligheden for forekomst af begivenhed B er større, forudsat at kortet i dragtens anden end tamburinen trækkes først. Dette resultat er ret logisk og forståeligt.

Fuld sandsynlighed for begivenheden

Når et problem med betingede sandsynligheder bliver mangesidigt, kan det ikke beregnes ved hjælp af konventionelle metoder. Når der er mere end to hypoteser, nemlig A1, A2, ..., Og n, .. danner en komplet gruppe af begivenheder under den betingelse:

• P (A i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i ∩ A j \u003d Ø, i ≠ j.
• Σ k A k \u003d Ω.

Så formlen for den samlede sandsynlighed for begivenhed B med en fuld gruppe af tilfældige begivenheder A1, A2, ..., og n er lig med:

Et blik ind i fremtiden

Sandsynligheden for en tilfældig begivenhed er yderst nødvendig inden for mange videnskabelige områder: økonometri, statistik, fysik osv. Da nogle processer ikke kan beskrives deterministisk, da de selv har en sandsynlig karakter, er der brug for specielle arbejdsmetoder. Sandsynlighedsteori kan bruges på ethvert teknologisk felt som en måde at bestemme muligheden for fejl eller funktionsfejl.

Vi kan sige, at vi ved at erkende sandsynligheden på en eller anden måde tager et teoretisk skridt ind i fremtiden og ser på det gennem formlenes prisme.

• Sandsynlighed er graden (relativ målestok, kvantitativ vurdering) af muligheden for, at en bestemt begivenhed finder sted. Når årsagerne til, at en mulig mulig begivenhed faktisk opvejer de modsatte årsager, kaldes denne begivenhed sandsynlig, ellers - usandsynlig eller usandsynlig. Overvejelsen af \u200b\u200bpositive grunde over negative og omvendt kan være i varierende grad, hvilket resulterer i, at sandsynligheden (og usandsynligheden) er større eller mindre. Derfor vurderes sandsynligheden ofte på et kvalitativt niveau, især i tilfælde hvor en mere eller mindre nøjagtig kvantitativ vurdering er umulig eller ekstremt vanskelig. Forskellige graderinger af sandsynlighedsniveauer er mulige.

  Undersøgelsen af \u200b\u200bsandsynlighed fra et matematisk synspunkt er en særlig disciplin - teorien om sandsynlighed. I sandsynlighedsteori og matematisk statistik formaliseres begrebet sandsynlighed som en numerisk egenskab ved en begivenhed - et sandsynligt mål (eller dens værdi) - et mål på et sæt begivenheder (delmængder af et sæt elementære begivenheder), der tager værdier Fra

  (\\ displaystyle 0)

  (\\ displaystyle 1)

  Værdi

  (\\ displaystyle 1)

  Svarer til en gyldig begivenhed. En umulig begivenhed har sandsynligheden 0 (det omvendte er generelt ikke altid sandt). Hvis sandsynligheden for en begivenheds forekomst er

  (\\ displaystyle p)

  Så er sandsynligheden for, at den ikke forekommer

  (\\ displaystyle 1-p)

  Især sandsynligheden

  (\\ displaystyle 1/2)

  Betyder den lige sandsynlighed for begivenhedens forekomst og ikke-forekomst.

  Den klassiske definition af sandsynlighed er baseret på forestillingen om lige sandsynlighed for resultater. Forholdet mellem antallet af resultater, der er gunstige for en given begivenhed, og det samlede antal lige mulige resultater fungerer som en sandsynlighed. For eksempel er sandsynligheden for at få "hoveder" eller "haler" ved en tilfældig møntkast, hvis det antages, at kun disse to muligheder eksisterer, og de er lige så mulige. Denne klassiske "definition" af sandsynlighed kan generaliseres til tilfældet med et uendeligt antal mulige værdier - for eksempel hvis en begivenhed kan forekomme med lige sandsynlighed på ethvert punkt (antallet af punkter er uendelig) i et bestemt begrænset område af plads (plan), så er sandsynligheden for, at det vil forekomme i en del af dette tilladte område lig med forholdet mellem volumen (areal) af denne del og volumen (areal) af området af alle mulige point.

  Den empiriske "definition" af sandsynlighed er forbundet med hyppigheden af \u200b\u200ben begivenheds forekomst på det grundlag, at med et tilstrækkeligt stort antal tests bør frekvensen have tendens til den objektive grad af muligheden for denne begivenhed. I den moderne præsentation af sandsynlighedsteorien defineres sandsynligheden axiomatisk som et specielt tilfælde af den abstrakte teori om et sæt mål. Ikke desto mindre er forbindelsen mellem det abstrakte mål og sandsynligheden, som udtrykker graden af \u200b\u200bmulighed for en begivenheds forekomst, netop hyppigheden af \u200b\u200bdens observation.

  Den sandsynlige beskrivelse af visse fænomener er blevet udbredt i moderne videnskab, især inden for økonometri, statistisk fysik af makroskopiske (termodynamiske) systemer, hvor selv i tilfælde af den klassiske deterministiske beskrivelse af partikelbevægelse, den deterministiske beskrivelse af hele partikelsystemet synes ikke praktisk muligt og hensigtsmæssigt. I kvantefysik er selve de beskrevne processer af sandsynlig karakter.